Ingenier´ıas: Aeroespacial, Civil y Qu´ımica. Matem´aticas ... · Tema 4 (Resultados).-...

Ingenierıas: Aeroespacial, Civil y Quımica.Matematicas I. 2010-2011.

Departamento de Matematica Aplicada II.Escuela Superior de Ingenieros. Universidad de Sevilla.

Tema 4 (Resultados).- Espacios vectoriales. Transformaciones lineales.

Ejercicio 1. Determina cuales de los siguientes conjuntos de vectores son subespacios vecto-riales, cuales son variadades y cuales no son ni lo uno ni lo otro, del correspondiente espaciovectorial R

n:

(a) El conjunto de los vectores (x1, x2) ∈ R2 cuyas coordenadas verifican, respectivamente,

(a1) cos2(x1) + sen2(x1) = 1.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Puesto que para cualquier x1 ∈ R se verifica que cos2(x1) + sen2(x1) = 1, el conjuntoconsiderado es R

2 y por tanto, se trata de un subespacio vectorial.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(a2) x1x2 = a (a ∈ R).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Para a = 0 el conjunto considerado esta formado por los vectores (x1, x2) que verificanque x1 = 0 o que x2 = 0. Es decir se trata de la recta x1 = 0 y de la recta x2 = 0(los vectores determinados por puntos que estan en una recta o en la otra). Alsumar un vector de una recta, por ejemplo (1, 0) con un vector de la otra, porejemplo (0, 1) se obtiene el vector (1, 1) que no esta en ninguna de las dos, noverifica la ecuacion x1x2 = 0. Por tanto, el conjunto considerado no es subespaciovectorial y es inmediato comprobar que tampoco es una variedad.

Para a 6= 0, los puntos (x1, x2) ∈ R2 que verifican x1x2 = a determinan una hiperbola

equilatera con los ejes coordenados como asıntotas. Obviamente un multiplo deun vector que verifique x1x2 = a no verifica dicha ecuacion. Por ejemplo (x1 =a, x2 = 1) verifica dicha ecuacion pero 2(x1, x2) = (2a, 2) no la verifica. Por tanto,no se trata de un subespacio vectorial y es facil comprobar que tampoco se tratade una variedad.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(a3) x1 + 2x2 = 0 o x1 − x2 = 0.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Se trata del conjunto de vectores que verifican una ecuacion o la otra (o las dossimultaneamente). Cualquier multiplo de cualesquiera de dichos vectores esta endicho conjunto y pertenece a la misma recta que el primero. Sin embargo, alsumar un vector de una recta, por ejemplo (2,−1) con un vector de la otra, porejemplo (1, 1) se obtiene un vector que no esta en ninguna de las dos, con losvectores dados, (3, 0). Por tanto, el conjunto considerado no es un subespacio

51

R-52 Tema 4.- Espacios vectoriales. Transformaciones lineales. (Resultados)

vectorial. De forma analoga puede comprobarse que tampoco es una variedad(al desplazar dos rectas que pasan por el origen se obtienen otras dos rectas).

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(a4) x2

1+ x2

2= a (a ∈ R),

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Para a = 0 el unico vector que verifica la ecuacion es el vector nulo y por tanto, setrata de un subespacio vectorial.

Para a < 0, no hay ningun vector (x1, x2) ∈ R2 que verifique la ecuacion. Por tanto,

se trata del conjunto vacıo que no es ni un subespacio vectorial ni unavariedad.

Para a > 0, la ecuacion dada determina una la circunferecia de centro el origen decoordenadas y radio

√a. Por tanto, no es ni un subespacio vectorial ni una

variedad.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(a5) x1 − x2 = a (a ∈ R),

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Si a = 0 se trata de un subespacio vectorial, la recta de ecuacion x1 − x2 = 0.

Si a 6= 0 se trata de una variedad, la variedad que pasa por el punto (a, 0) y tiene comosubespacio director al subespacio vectorial S de ecuacion implıcita x1 − x2 = 0.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(a6) x1 + 2x2 = a y x1 − x2 = b, (a, b ∈ R).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Si a = b = 0, se trata de un subespacio vectorial puesto que el conjunto consideradoesta definido como el espacio nulo de una matriz, en concreto se trata de

Nul

�1 21 −1

�.

Resolviendo el sistema que caracteriza al conjunto tenemos que el unico vectorque verifica las dos ecuaciones es el vector nulo (el punto de corte de las dosrectas).

Si a 6= 0 o b 6= 0, el conjunto de vectores considerado es una variedad (es un unicopunto) cuyo subespacio director viene dado por las ecuaciones implıcitas x1 +2x2 = 0 y x1 − x2 = 0, es decir el subespacio director es el subespacio nulo.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(b) El conjunto de los vectores (x1, x2, x3) ∈ R3 cuyas coordenadas verifican, respectiva-

mente,

(b1) x1 + x2 + x3 = 0 y 2x1 − x3 = a (a ∈ R),

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Si a = 0 es un subespacio vectorial (es una recta que pasa por origen).

Matematicas I. Ingenierıas: Aeroespacial, Civil y Quımica

Tema 4.- Espacios vectoriales. Transformaciones lineales. (Resultados) R-53

Si a 6= 0 es una variedad (es una recta que no pasa por el origen).

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(b2) x2

1+ x2

2= a (a ∈ R),

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Si a = 0, los vectores que verifican la ecuacion dada son los vectores de la forma

(x1, x2, x3) = (0, 0, x3), x3 ∈ R.

Obviamente dicho conjunto de vectores es un subespacio vectorial de R3. De

hecho, dicho conjunto puede caracterizarse mediante el sistema de ecuacioneslineales homogeneas, ¨

x1 = 0,x2 = 0.

Si a 6= 0 dicha ecuacion determina un cilindro (a > 0) o el conjunto vacio (a < 0) ypor tanto no es ni un subespacio ni una variedad.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(b3) (x1 + x2)(x2 + x3) = 0,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Es el conjunto formado por dos planos (que no es lo mismo que la recta interseccion).Obviamente dicho conjunto no es ni un subespacio ni una variedad, al igualque sucedıa con el conjunto de vectores determinados por los puntos de dos rectas).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(b4) x1 = 0 y (x2 = 0 o x3 = 0),

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Se trata de las rectas

r ≡¨

x1 = 0,x2 = 0

y s ≡¨

x1 = 0,x3 = 0.

Dicho conjunto no es ni un subespacio ni una variedad.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(b5) Se pueden expresar de la forma8><>: x1 = α,x2 = α + α2,x3 = 0,

para algun α ∈ R.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Eliminando el parametro α, el conjunto citado es el de los vectores cuyas coordenadasverifican ¨

x2 = x1 + x2

1,

x3 = 0.

Es decir, se trata de una parabola (en R3) que esta contenida en uno de los

planos coordenados. Obviamente dicho conjunto no es ni un subespacio ni unavariedad.

Matematicas I. 2010-2011


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(b6) x1 + x2 + x3 ≤ 0.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

El vector (−1, 0, 0) verifica la inecuacion dada, sin embargo, −2(−1, 0, 0) = (2, 0, 0) nola verifica. Por tanto, no es un subespacio vectorial. De la misma forma, tampocose trata de una variedad.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(c) El conjunto de los vectores (a1, a2, . . . , an) ∈ Rn cuyas coordenadas verifican, respecti-

vamente,

(c1) Cada una de las coordenadas a3, . . . , an es la media (aritmetica) de las coorde-nadas anteriores.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Las condiciones que caracterizan a los vectores del conjunto considerado vienen dadaspor las siguientes ecuaciones,8>>>>><>>>>>: a3 = 1

2(a1 + a2) ,

a4 = 1

3(a1 + a2 + a3) ,

......

...an = 1

n−1(a1 + · · ·+ an−1) ,

9>>>>>=>>>>>; ≡

8>>>><>>>>: a1 + a2 − 2a3 = 0,

a1 + a2 + a3 − 4a4 = 0,...

......

a1 + · · · + an−1 − (n − 1)an = 0.

9>>>>=>>>>;Es decir, el conjunto considerado puede caracterizarse como el espacio nulo deuna matriz. por tanto, es un subespacio vectorial.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(c2) Cada una de las coordenadas a3, . . . , an es la media geometrica de las dos coor-denadas anteriores,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

La media geometrica de dos numeros (reales positivos) α y β es γ =√

αβ.

Obviamente el conjunto considerado no es un subespacio vectorial puesto que unmultiplo con coeficiente negativo de un elemento del conjunto no esta en el con-junto. Tampoco es una variedad.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(c3) La derivada segunda del polinomio

a1 + a2t + a3t2 + · · ·+ ant

n−1

se anula para t = 1.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

La derivada segunda del polinomio dado es

2a3 + 3 · 2a4t + 4 · 3a5t2 + · · · + (n − 1)(n − 2)ant

n−3.



Por tanto, el conjunto de vectores considerado esta caracterizado por la ecuacion

2a3 + 3 · 2a4 + 4 · 3a5 + · · ·+ (n − 1)(n − 2)an = 0.

Por tratarse de una ecuacion lineal homogenea, el conjunto considerado es unsubespacio vectorial.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(c4) La derivada segunda del polinomio

a1 + a2t + a3t2 + · · ·+ ant

n−1

vale 3 para t = 1.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Se trata del conjunto de vectores caracterizados por la ecuacion implıcita no-homogenea

2a3 + 3 · 2a4 + 4 · 3a5 + · · ·+ (n − 1)(n − 2)an = 3.

Por tanto, es una variedad cuyo subespacio direccion es el subespacio dado porla ecuacion homogenea asociada,

2a3 + 3 · 2a4 + 4 · 3a5 + · · ·+ (n − 1)(n − 2)an = 0.

Ejercicio 2. Siendo v1, v2, . . . , vk vectores de Rn, demuestra o da un contraejemplo de (cada

una) de las siguientes afirmaciones:

a) Si v1, v2, . . . , vk son linealmente independientes, entonces al menos uno de ellos es com-binacion lineal de los restantes.

b) Si v1, v2, . . . , vk son linealmente independientes, entonces cualquiera de ellos es combi-nacion lineal de los restantes.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Las dos afirmaciones son falsas.

Ejercicio 3. Determina dos bases distintas de cada uno de los subespacios siguientes asıcomo ecuaciones implıcitas independientes para cada uno de ellos:

(a) Vectores de R3 que pueden expresarse como combinacion lineal de

v1 =

264 −102

375 y v2 =

264 111

375y cuyas coordenadas verifican la ecuacion x1 − x2 + x3 = 0.



(b) Subespacio de R4 generado por los vectores

v1 =

26664 −1020

37775 , v2 =

26664 20−40

37775 v3 =

26664 1111

37775 y v4 =

26664 3202

37775 .

(c) Subespacio de R4 definido por las ecuaciones implıcitas8><>: x1 − x2 + x3 − x4 = 0,

−2x1 + x2 + x3 = 0,3x1 − 2x2 − x4 = 0.

(d) Subespacio de Rn definido por las ecuaciones implıcitas8><>: x1 + x2 + · · · + xn = 0,

−x1 + 2x2 + · · · + 2xn = 0,2x1 + 5x2 + · · · + 5xn = 0.

(a) Vectores de R3 que pueden expresarse como combinacion lineal de

v1 =

264 −102

375 y v2 =

264 111

375y cuyas coordenadas verifican, ademas, la ecuacion x1 − x2 + x3 = 0.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Los vectores x ∈ R3 que se pueden expresar como combinacion lineal de los vectores dados

son los vectores de la forma264 x1

x2

x3

375 = α

264 −102

375 + β

264 111

375 =

264 −α + ββ

2α + β

375 .

Si ademas sus coordenadas tienen que verificar la ecuacion dada tenemos

x1 − x2 + x3 = −α + β − β + 2α + β = 0 ⇐⇒ β = −α.

Por tanto el subespacio considerado es el formado por los vectores264 x1

x2

x3

375 = α

264 −102

375− α

264 111

375 =

264 −2α−αα

375 = α

264 −2−11

375 .

es decir, se trata del subespacio generado por el vector v1 = [−2,−1, 1]T (la recta quepasa por el origen de coordenadas y tiene a dicho vector como vector direccion).



Una base, {v1}.Otra base, {−3v1}.Ecuaciones impıcitas. El sistema264 −2 x1

−1 x2

1 x3

375 F1 + 2F3

−→F2 + F3

264 0 x1 + 2x3

0 x2 + x3

1 x3

375 es compatible ⇐⇒¨

x1 + 2x3 = 0,x2 + x3 = 0.

Observacion.- El subespacio estaba originalmente definido como la interseccionde un plano que venıa dado en forma parametrica con un plano que venıa dado enforma implıcita. Lo unico que hemos hecho ha sido expresar la recta interseccionen forma parametrica y en forma implıcita.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(b) Subespacio de R4 generado por los vectores

v1 =

26664 −1020

37775 , v2 =

26664 20−40

37775 , v3 =

26664 1111

37775 y v4 =

26664 3202

37775 .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

•

26664 −1 2 1 3 x1

0 0 1 2 x2

2 −4 1 0 x3

0 0 1 2 x4

37775 F3 + 2F1

−→

26664 −1 2 1 3 x1

0 0 1 2 x2

0 0 3 6 x3 + 2x1

0 0 1 2 x4

37775F3 − 3F2

−→F4 − F2

266664 -1 2 1 3 x1

0 0 1 2 x2

0 0 0 0 x3 + 2x1 − 3x2

0 0 0 0 x4 − x2

377775Ecuaciones implıcitas no redundantes

¨2x1 − 3x2 + x3 = 0

−x2 + x4 = 0

«.

Una base

8>><>>:v1 =

26664 −1020

37775 , v3 =

26664 1111

377759>>=>>; .

Otra base {v1, v3 + v1}.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(c) Subespacio de R4 definido por las ecuaciones implıcitas8><>: x1 − x2 + x3 − x4 = 0,

−2x1 + x2 + x3 = 0,3x1 − 2x2 − x4 = 0.



. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .264 1 −1 1 −1 0−2 1 1 0 03 −2 0 −1 0

375 F2 + 2F1

−→F3 − 3F1

264 1 −1 1 −1 00 −1 3 −2 00 1 −3 −2 0

375F3 + F2

−→

264 1 −1 1 −1 0

0 -1 3 −2 00 0 0 0 0

375 F1 − F2

−→

264 1 0 −2 1 00 −1 3 −2 00 0 0 0 0

375=⇒

¨x1 = 2x3 − x4

x2 = 3x3 − 2x4

«⇒

26664 x1

x2

x3

x4

37775 = x3

26664 2310

37775+ x4

26664 −1−201

37775 .

Por tanto:

El subespacio considerado puede caracterizarse mediante cualesquiera de las siguientesparejas de ecuaciones implıcitas no redundantes (y otras muchas),¨

x1 − x2 + x3 − x4 = 0−x2 + 3x3 − 2x4 = 0

«, y

¨x1 − 2x3 + x4 = 0,

−x2 + 3x3 − 2x4 = 0.

«.

Una base es 8>><>>:v1 =

26664 2310

37775 , v2 =

26664 −1−201

377759>>=>>; .

Otra base es {v1, v2 − 3v1}.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(d) Subespacio de Rn definido por las ecuaciones implıcitas8><>: x1 + x2 + · · · + xn = 0,

−x1 + 2x2 + · · · + 2xn = 0,2x1 + 5x2 + · · · + 5xn = 0.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


Tema 4.- Espacios vectoriales. Transformaciones lineales. (Resultados) R-59264 1 1 · · · 1 0−1 2 · · · 2 02 5 · · · 5 0

375 F2 + F1

−→F3 − 2F1

264 1 1 · · · 1 00 3 · · · 3 00 3 · · · 3 0

375 F3 − F2

−→

264 1 1 · · · 1 00 3 · · · 3 00 0 · · · 0 0

375F3/3−→

F1 − F2

264 1 0 · · · 0 00 1 · · · 1 00 0 · · · 0 0

375⇐⇒¨

x1 = 0x2 + · · · + xn = 0

«=⇒

266664 x1

x2

...xn

377775 =

266666664 0−x3 − · · · − xn

x3

...xn

377777775 = x3

266666666640−110...0

37777777775 + · · ·+ xn

266666666640−10...01

37777777775 .

Por tanto,

Unas ecuaciones implıcitas no redundantes del subespacio dado son¨x1 = 0,x2 = −x3 − · · · − xn.

«.

Una base es 8>>>>>><>>>>>>:v1 =

266666666640−110...0

37777777775 , v2 =

266666666640−101...0

37777777775 , . . . , vn−2 =

266666666640−10...01

377777777759>>>>>>=>>>>>>; .

Y otra base es, por ejemplo,

{v1, v2 − v1, v3 − v2, . . . , vn−2 − vn−1} .

Ejercicio 4. Sea V la variedad de R4 dada por las ecuaciones parametricas8>><>>: x1 = 1 + α − β + 2γ,

x2 = −1 + 2α + β,x3 = 2 + 2α − 7γ,x4 = β + γ.

Determina una base (del subespacio director) y la dimension de V y halla unas ecuacionesimplıcitas.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



Obtengamos las condiciones para que un vector x ∈ R4 este en V . Para que un vector x

este en V el sistema anterior, con incongitas α, β, γ y termino independiente x, tiene que sercompatible. Obtengamos dichas condiciones de compatibilidad.26664 1 −1 2 x1 − 1

2 1 0 x2 + 12 0 −7 x3 − 20 1 1 x4

37775 operacionesfila

-

266664 1 −1 2 x1 − 1

0 1 1 x4

0 0 -13 x3 − 2x1 − 2x4

0 0 0 −12x1 + 13x2 − 7x3 − 25x4 + 39

377775=⇒

�el sistema es compatible ⇔

−12x1 + 13x2 − 7x3 − 25x4 + 39 = 0

�.

Por tanto:

El subespacio director de V es el subespacio S generado por los tres primeros vectorescolumna de la matriz ampliada anterior y dicho subespacio esta caracterizado por laecuacion implıcita (homogenea)

−12x1 + 13x2 − 7x3 − 25x4 = 0.

Una base de S viene dada por los tres vectores columna que generan S (que sonLinealmente Independientes),8>><>>:v1 =

26664 1220

37775 , v2 =

26664 −1101

37775 , v3 =

26664 20−71

377759>>=>>; .

Ecuacion implıcita de V : −12x1 + 13x2 − 7x3 − 25x4 = −39.

dim (V ) = dim (S) = 3.

Ejercicio 5.

(1) Determina el rango de las siguientes matrices:

A =

26664 0 1 −1 2 00 2 1 2 −20 1 −1 2 00 0 −1 −2 3

37775 , B =

26664 −1 1 −1 23 2 3 22 1 2 20 1 0 −2

37775 .

(2) Sabiendo que el rango de una matriz A, 3 × 3, es 3, determina el rango de la matriz�A A2

I 2A

�(3) Sea A una matriz 20 × 15 cuyo rango es rango(A) = 12. Determina la dimension de los

siguientes subespacios vectoriales,

Col (A), Nul (A), Col (AT ) y Nul (AT ).



(4) Sabiendo que una matriz A de orden 4 verifica que A2 = 0,

(4a) demuestra que Col (A) ⊆ Nul (A),

(4b) demuestra que el rango de A tiene que ser menor o igual 2 y

(4c) da ejemplos de matrices A que verifiquen que A2 = 0 y cuyos rangos respectivossean 0, 1 y 2.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(a) Determina el rango de las siguientes matrices:

A =

26664 0 1 −1 2 00 2 1 2 −20 1 −1 2 00 0 −1 −2 3

37775 , B =

26664 −1 1 −1 23 2 3 22 1 2 20 1 0 −2

37775 .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Reduciendo a forma escalonada se obtiene rango(A) = rango(B) = 3.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(b) Sabiendo que el rango de una matriz A, 3 × 3, es 3, determina el rango de la matriz�A A2

I 2A

�. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Puesto que A es una matriz cuadrada que tiene rango maximo, A tiene inversa y, portanto, mediante ciertas operaciones elementales (por filas) sobre la matriz A podemosobtener la matriz identidad. Al hacer dichas operaciones elementales sobre la matriz[A|A2] obtendremos la matriz [I|A] puesto que hacer dichas operaciones fila sobre unamatriz M es lo mismo que multiplicar dicha matriz, por la izquierda, por la inversa deA dando como resultado A−1M . Por tanto, al hacer las operaciones fila citadas sobrenuestra matriz obtnemos�

A A2

I 2A

�−→

�A−1 00 I

� �A A2

I 2A

�=

�I A−1A2

I 2A

�=

�I AI 2A

�−→

�I 0−I I

� �I AI 2A

�=

�I A0 A

�.

Por tanto el rango de la matriz dada es 6.

Trabajando con matrices por bloques es facil comprobar que la inversa de la matriz deorden 6 dada es �

X YZ T

�=

�2A−1 −I

−(A2)−1 A−1

�.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



(c) Sea A una matriz 20 × 15 cuyo rango es rango(A) = 12. Determina la dimension de lossiguientes subespacios vectoriales,

Col (A), Nul (A), Col (AT ) y Nul (AT ).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

dim (Col (A)) = 12.

dim (Nul (A)) = 15 − 12 = 3.

dim�Col (AT )

�= rango(AT ) = rango(A) = 12.

dim�Nul (AT )

�= 20 − 12 = 8.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(d) Sabiendo que una matriz A de orden 4 verifica que A2 = 0,

(d1) demuestra que Col (A) ⊆ Nul (A),

(d2) demuestra que el rango de A tiene que ser menor o igual 2 y

(d3) da ejemplos de matrices A que verifiquen que A2 = 0 y cuyos rangos respectivossean 0, 1 y 2.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(d1) Si un vector y ∈ R4 esta en Col (A), se puede expresar como combinacion lineal

de las columnas de A o lo que es equivalente, existe algun vector x ∈ R4 de forma

que Ax = y. Por tanto,

Ay = A (Ax) = A2x = 0 =⇒ y ∈ Nul (A).

Es decir, Col (A) ⊆ Nul (A).

(d2) Si llamamos r al rango de A, por el teorema del rango se verifica que

dim (Nul (A)) = n − r = 4 − r.

Puesto que Col (A) ⊆ Nul (A), se verifica que

dim (Col (A)) = rango(A) = r ≤ dim (Nul (A)) = 4 − r =⇒ 2r ≤ 4 =⇒ r ≤ 2.

(d3) la matriz nula A0 = 0 (cuadrada de orden 4) tiene rango cero y A2

0= 0,

la matriz

A1 =

26664 0 0 0 10 0 0 00 0 0 00 0 0 0

37775tiene rango 1 y su cuadrado es la matriz nula.

la matriz

A2 =

26664 0 0 1 00 0 0 10 0 0 00 0 0 0

37775tiene rango 2 y su cuadrado es la matriz nula.



Ejercicio 6. Consideremos una transformacion lineal T : Kn −→ K

m y su matriz asociadaA, T (x) = Ax, ∀ x ∈ K

n. Demuestra que

(a) T transforma subespacios vectoriales (de Kn) en subespacios vectoriales (de K

m). Esdecir, si S ⊂ K

n es un subespacio vectorial,

T (S) = {T (x) : x ∈ S} ≡ {Ax : x ∈ S}

es un subespacio vectorial. Que puede afirmarse sobre las dimensiones de S y de T (S)?

(b) T transforma variedades de Kn en variedades, es decir, si V ⊂ K

n es una variedad,

T (V ) = {T (x) : x ∈ V } ≡ {Ax : x ∈ V }

es una variedad.

¿En que se puede transformar un plano mediante una transformacion lineal?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(a) Para comprobar que

T (S) = {T (x) : x ∈ S} ≡ {Ax : x ∈ S}

es un subespacio vectorial (de Km) basta con verificar que una combinacion lineal

arbitraria

αy1 + βy2, α, β ∈ R

de dos vectores y1, y2 de T (S) pertenece a T (S). Puesto que y1 e y2 estan en T (S),existen x1 y x2 en S de forma que y1 = T (x1), y2 = T (x2) y, por tanto,

αy1 + βy2 = αT (x1) + βT (x2) =

�Puesto queT es lineal

�= T (αx1 + βx2)

es un vector de T (S) puesto que αx1 + βx2 pertenece a S por ser S un subespaciovectorial.

¿Que puede afirmarse sobre las dimensiones de S y de T (S)?

Notemos que si tenemos una base {v1, . . . , vr} de S, los vectores {T (v1), . . . , T (vr)} ={Av1, . . . , Avr} generan el subespacio T (S) puesto que todo vector de T (S) es de laforma

T (α1v1 + · · ·+ αrvr) = α1T (v1) + · · · + αrT (vr).

Suprimiendo vectores que sean combinacion lineal de los restantes, del conjunto de vec-tores {T (v1), . . . , T (vr)} podremos extraer una base que estara formada por a lo sumo rvectores (en caso de que todos los vectores anteriores sean linealmente independientes).Por tanto, se verifica que

dim (T (S)) ≤ dim (S).



(b) De forma analoga a lo hecho en el apartado anterior, puede probarse que una transfor-macion lineal transforma una variedad en una variedad. Es decir, si V ⊂ K

n es unavariedad con subespacio director S y p ∈ V , entonces V = p + S y

T (V ) = {T (x) : x ∈ V } ≡ {Ax : x ∈ V } = T (p) + T (S) ⊂ Km

es una variedad que pasa por q = T (p) y tiene subespacio director T (S). En este casohay la posibilidad de que esta ultima variedad sea de hecho un subespacio vectorial.Un ejemplo de esto ultimo viene dado al considerar la proyeccion ortogonal sobre unplano (que pase por el origen de coordenadas). Por ejemplo, la proyeccion ortogonal

sobre el plano π ≡ x3 = 0 proyecta la recta r ≡¨

x1 = 0x2 + x3 = 0

«sobre el eje OX2.

¿En que se puede transformar un plano mediante una transformacion lineal?

Tanto si se trata de un plano que pasa por el origen de coordenadas (subespacio vectorialde dimension dos) como si no pasa por el origen de coordenadas (variedad lineal de di-mension dos), mediante una transformacion lineal, su transformado sera un subespacioo una variedad de dimension dos (plano) o de dimension uno (recta) o de dimensioncero (punto).

Ejercicio 7. Determina la matriz de una aplicacion lineal T : R4 → R

4 sabiendo que

T

26664 1001

37775 =

26664 1012

37775 , T

26664 1012

37775 =

26664 0110

37775 , T

26664 0110

37775 =

26664 0001

37775 , T

26664 0001

37775 =

26664 1000

37775 .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Sea A la matriz asociada a la transformacion lineal T dada. Es decir, A es la (unica)

matriz que verifica que Ax = T (x), ∀x ∈ R4.

Siendo A =

264 a1 a2 a3 a4

375 sus vectores columna a1, a2, a3 y a4 vienen dados por

a1 = Ae1, a2 = Ae2, a3 = Ae3, a4 = Ae4

donde los vectores e1, e2, e3 y e4 son los vectores canonicos de R4.

Una forma directa de determinar A consiste en expresar las condiciones dadas,

A

26664 1001

37775 =

26664 1012

37775 , A

26664 1012

37775 =

26664 0110

37775 , A

26664 0110

37775 =

26664 0001

37775 , A

26664 0001

37775 =

26664 1000

37775en forma matricial,

A

26664 1001

1012

0110

0001

37775 =

26664 1012

0110

0001

1000

37775 =⇒ A =

26664 1012

0110

0001

1000

37775 26664 1001

1012

0110

0001

37775−1

.



. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Calculemos la matriz inversa involucrada26664 1 1 0 0 1 0 0 0

0 0 1 0 0 1 0 0

0 1 1 0 0 0 1 0

1 2 0 1 0 0 0 1

37775 F4 − F1

−→

26664 1 1 0 0 1 0 0 0

0 0 1 0 0 1 0 0

0 1 1 0 0 0 1 0

0 1 0 1 −1 0 0 1

37775F2 ↔ F4

−→

26664 1 1 0 0 1 0 0 0

0 1 0 1 −1 0 0 1

0 1 1 0 0 0 1 0

0 0 1 0 0 1 0 0

37775 F3 − F2

−→

26664 1 1 0 0 1 0 0 0

0 1 0 1 −1 0 0 1

0 0 1 −1 1 0 1 −1

0 0 1 0 0 1 0 0

37775F4 − F3

−→

26664 1 1 0 0 1 0 0 0

0 1 0 1 −1 0 0 1

0 0 1 −1 1 0 1 −1

0 0 0 1 −1 1 −1 1

37775 F3 + F4

−→F2 − F4

26664 1 1 0 0 1 0 0 0

0 1 0 0 0 −1 1 0

0 0 1 0 0 1 0 0

0 0 0 1 −1 1 −1 1

37775F1 − F2

−→

26664 1 0 0 0 1 1 −1 0

0 1 0 0 0 −1 1 0

0 0 1 0 0 1 0 0

0 0 0 1 −1 1 −1 1

37775 .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Por tanto la matriz A es

A =

26664 1012

0110

0001

1000

37775 26664 1 1 −1 00 −1 1 00 1 0 0−1 1 −1 1

37775 =

26664 0 2 −2 10 −1 1 01 0 0 02 3 −2 0

37775 .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

La determinacion de la matriz A puede plantearse, a partir de las condiciones dadas,como la resolucion de un sistema de ecuaciones en el que las incognitas son los vectores



columna de A. Tenemos las siguientes igualdades:

T

26664 1001

37775 = T (e1) + T (e4) = v1 =

26664 1012

37775 ≡ a1 + a4 = v1,

T

26664 1012

37775 = T (e1) + T (e3) + 2T (e4) = v2 =

26664 0110

37775 ≡ a1 + a3 + 2a4 = v2,

T

26664 0110

37775 = T (e2) + T (e3) = v3 =

26664 0001

37775 ≡ a2 + a3 = v3,

T

26664 0001

37775 = T (e4) = v4 =

26664 1000

37775 ≡ a4 = v4 = e4.

Es decir, tenemos que resolver el sistema

a1 + a4 = v1

a1 + a3 + 2a4 = v2

a2 + a3 = v3

a4 = e4

9>>=>>;donde las incognitas a1, a2, a3 y a4 y los terminos independientes v1, v2, v3 y v4 = e4 sonvectores.

Resolviendo, directamente, el sistema anterior, tenemos

a4 = e4 =

26664 0001

37775 , a1 = v1 − a4 = v1 − e4 =

26664 0012

37775 ,

a3 = v2 − a1 − 2a4 = v2 − (v1 − e4) − 2e4 = v2 − v1 − e4 =

26664 −210−2

37775 ,

a2 = v3 − a3 = v3 − v2 + v1 + e4 =

26664 2−103

37775 .

Por tanto, ya tenemos las cuatro columnas de la matriz A pedida.



Ejercicio 8. Determina la matriz A de una transformacion lineal T : R3 −→ R

2 sabiendoque el espacio nulo de A viene dado por la ecuacion implıcita x1 − x2 − x3 = 0 y que

T

�264 111

375Ǒ =

�2−1

�.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Teniendo en cuenta las condiciones dadas, tenemos que determinar la unica matriz A,

2 × 3, que verifica que Av = 0 para cualquier vector v ∈ Nul (A) y que

A

264 111

375 =

�2−1

�.

Tomamos 2 vectores linealmente independientes que generen Nul (A), por ejemplo

v1 =

264 110

375 y v2 =

264 101

375 .

Por tanto, A debe verificar A

264 111

375 =

�2−1

�, A

264 110

375 =

�00

�y A

264 101

375 =

�00

�.

Expresando estas igualdades en forma matricial tenemos A

264 1 1 11 1 01 0 1

375 =

�2 0 0−1 0 0

�.

Despejando A,

A =

�2 0 0−1 0 0

� 264 1 1 11 1 01 0 1

375−1

=

�2 0 0−1 0 0

� 264 −1 1 11 0 −11 −1 0

375 =

� −2 2 21 −1 −1

�.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

•

264 1 1 1 1 0 0

1 1 0 0 1 0

1 0 1 0 0 1

375 F2 − F1

-

F3 − F1

264 1 1 1 1 0 0

0 0 −1 −1 1 0

0 −1 0 −1 0 1

375F1 + F2 + F3

-

264 1 0 0 −1 1 1

0 0 −1 −1 1 0

0 −1 0 −1 0 1

375 −→

264 1 0 0 −1 1 1

0 1 0 1 0 −1

0 0 1 1 −1 0

375 .

Ejercicio 9. Se considera la transformacion lineal T cuya matriz asociada es

A =

�1 2 1 22 4 1 3

�.



(a) Determina el espacio columna de A, Col (A).

(b) Calcular los vectores del nucleo de T que, a su vez, verifican el sistema de ecuaciones¨x1 + 4x2 − 2x3 + x4 = 2,x1 + 6x2 − 4x3 + x4 = 4.

(c) Sea V el conjunto de los vectores encontrados en el apartado anterior. ¿Es V un subes-pacio vectorial de R

4? Justifica la respuesta.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(a) Vamos a obtener vectores linealmente independientes que generen Col (A). Si reducimosA a forma escalonada y seleccionamos todas las columnas pivote, de A, tendremos unconjunto de vectores que verifica las dos condiciones anteriores.

Al reducir A a forma escalonada obtenemos,

A =

�1 2 1 22 4 1 3

�−→

"1 2 1 2

0 0 -1 −1

#.

De esto se deduce que:

el segundo vector-columna de A es un multiplo del primero,

el primer y el tercer vector-columna de A son linealmente independientes,

el cuarto vector-columna de A se puede expresar como combinacion lineal de laprimera y la tercera columnas,

cualquier vector y ∈ R2 puede expresarse como combinacion lineal de las columnas

de A. Ademas, se podra expresar de infinitas formas distintas puesto que el sistemaAx = y es compatible indeterminado. Puesto que las columnas a1 (primera) y a3

(tercera) de A son linealmente independientes, el sistema264 a1 a3

375 � αβ

�= y

es compatible determinado. Por tanto cada vector y se podra expresar de formaunica como combinacion lineal de a1 y a3.

Por tanto, el espacio columna de A es Col (A) = R2 y¨

a1 =

�12

�, a3 =

�11

�«,

¨e1 =

�10

�, e2 =

�01

�«son conjuntos de vectores linealmente independientes que generan Col (A).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



(b) Se trata de obtener las soluciones del sistema, no-homogeneo, cuya matriz ampliada es26664 1 2 1 2 02 4 1 3 01 4 −2 1 21 6 −4 1 4

37775 .

Resolvamos el sistema,26664 1 2 1 2 02 4 1 3 01 4 −2 1 21 6 −4 1 4

37775 F2 − 2F1

F3 − F1

−→F4 − F1

26664 1 2 1 2 00 0 −1 −1 00 2 −3 −1 20 4 −5 −1 4

37775F3 ↔ F2

−→

26664 1 2 1 2 00 2 −3 −1 20 0 −1 −1 00 4 −5 −1 4

37775 F4 − 2F2

−→

26664 1 2 1 2 00 2 −3 −1 20 0 −1 −1 00 0 1 1 0

37775F4 + F3

−→

26664 1 2 1 2 00 2 −3 −1 20 0 −1 −1 00 0 0 0 0

37775⇒

8>>>><>>>>: x3 = −x4

2x2 = 2 + 3x3 + x4 = 2 − 2x4

x1 = −2x2 − x3 − 2x4

= −2 + 2x4 + x4 − 2x4

= −2 + x4

9>>>>=>>>>; =⇒

=⇒

26664 x1

x2

x3

x4

37775 =

26664 −2 + x4

1 − x4

−x4

x4

37775 =

26664 −2100

37775 + λ

26664 1−1−11

37775 , ∀λ ∈ R.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(c) Obviamente V no es un subespacio vectorial, el vector nulo no esta en V .

Ejercicio 10. Siendo e1, e2, e3 los vectores de la base canonica de R3 y sabiendo que los

vectores {u1, u2, u3} verifican e1 = 2u1 +2u2 +u3, e2 = u1−2u2 +2u3, e3 = −2u1 +u2 +2u3,senala la relacion correcta:

(a) [e1 e2 e3] =

264 2 2 11 −2 2−2 1 2

375 [u1 u2 u3] .

(b) [u1 u2 u3] =

�264 2 2 11 −2 2−2 1 2

375Ǒ−1

= 1

9

264 2 1 −22 −2 11 2 2

375 .

(c) [u1 u2 u3] =

�264 2 1 −22 −2 11 2 2

375Ǒ−1

= 1

9

264 2 2 11 −2 2−2 1 2

375 .



. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Las relaciones dadas entre los vectores de la base canonica {e1, e2, e3} y los vectores de

la base B = {u1, u2, u3} pueden expresarse en forma matricial264 e1 e2 e3

375 =

264 u1 u2 u3

375 264 2 1 −22 −2 11 2 2

375 =⇒ (c).

Ejercicio 11. Consideremos los siguientes vectores de R5,

v1 =

26666664 21−132

37777775 , v2 =

26666664 11011

37777775 , v3 =

26666664 15421

37777775 y v4 =

26666664 26432

37777775 .

(a) ¿Son v1, v2, v3 y v4 linealmente independientes?

(b) ¿Es v4 combinacion lineal de v1, v2 y v3?

(c) ¿Es v1 combinacion lineal de v2, v3 y v4?

(d) ¿Es v4 combinacion lineal de v1 y v2?

(e) ¿Es v4 combinacion lineal de v2 y v3?

(f) ¿Son v1, v2 y v3 linealmente independientes?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Estudiar si un conjunto de vectores {u1, . . . , up} es linealmente dependiente o indepen-

diente es equivalente a estudiar si el sistema homogeneo Ax = 0 (siendo A la matriz cuyascolumnas son las coordenadas de los vectores dados) es (compatible) indeterminado o deter-minado. En el caso de que el sistema tenga infinitas soluciones, cada una de las solucionesno nulas nos dara una relacion de dependencia lineal entre los vectores considerados y po-dremos determinar que vectores pueden expresarse como combinacion lineal de los demas.Todas las preguntas planteadas en el ejercicio pueden responderse reduciendo a forma esca-lonada la matriz cuyas columnas son los vectores dados, con lo cual podremos discutir elsistema homogeneo Ax = 0.26666664 2 1 1 2 0

1 1 5 6 0−1 0 4 4 03 1 2 3 02 1 1 2 0


-

26666664 −1 0 4 4 00 1 9 10 00 0 1 1 00 0 0 0 00 0 0 0 0

37777775 .

Puesto que este sistema homogeneo tiene infinitas soluciones (hay una variable libre), loscuatro vectores dados (los cuatro vectores columna de la matriz de los coeficientesde las incognitas) son Linealmente Dependientes. Es decir,



(a) v1, v2, v3 y v4 no son linealmente independientes.

Ademas, todas las posibles relaciones de dependencia lineal de estos vectores vienen dadaspor

x1v1 + x2v2 + x3v3 + x4v4 = 0

siendo (x1, x2, x3, x4)T cualquier solucion del sistema homogeneo considerado. Resolviendo

el sistema tenemos26666664 −1 0 4 4 00 1 9 10 00 0 1 1 00 0 0 0 00 0 0 0 0


-

26666664 1 0 0 0 00 1 0 1 00 0 1 1 00 0 0 0 00 0 0 0 0

37777775→

26664 x1

x2

x3

x4

37775 =

26664 0−λ−λλ

37775 = λ

26664 0−1−11

37775 , λ ∈ R.

Puesto que de las igualdades 0v1 + (−λ)v2 + (−λ)v3 + λv4 = 0 (λ ∈ R) podemos despejar v4

para λ 6= 0, v4 = v2 + v3 = 0v1 + v2 + v3 tenemos que

(b) v4 es combinacion lineal de v2 y v3,

(e) y de v1, v2 y v3.

Puesto que en todas las relaciones de dependencia lineal obtenidas el coeficiente de v1 escero, no podemos despejar v1 y por tanto

(c) v1 no es combinacion lineal de v2, v3 y v4.

Si pudieramos expresar v4 como combinacion lineal de v1 y v2 tendrıamos v4 = αv1 +βv2

para ciertos valores α, β ∈ R y, por tanto, tendrıamos αv1 + βv2 + 0v3 − v4 = 0. Puesto queel sistema homogeneo no tiene ningna solucion del tipo (x1 = α, x2 = β, x3 = 0, x4 = −1,tenemos que

(d) v4 no es combinacion lineal de v1 y v2.

Si en la matriz ampliada del sistema homogeneo suprimimos (antes o despues de hacerlas operaciones fila) la columna correspondiente al vector v4, el sistema correspondiente(equivalente a la ecuacion vectorial x1v1 +x2v2 +x3v3 = 0) tiene unicamente la solucion nulay, por tanto,

(f) los vectores {v1, v2, v3} son Linealmente Independientes.

Ejercicio 12. (Comparar con los resultados obtenidos en el Ejercicio 9 del Tema 3) Seaf : R

3 → R4 la aplicacion lineal dada por

f(x) =

26664 1 2 −32 −1 43 a 1b 4 −b

37775 264 x1

x2

x3

375 .



Determinar las condiciones a satisfacer por a y b para que el vector v = (−1, 3, 2, b − 4)verifique respectivamente:

(a) No pertenezca a la imagen de f .

(b) Sea la imagen de un unico vector de R3.

(c) Sea la imagen de infinitos vectores de R3.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(a) Para un vector v ∈ R3,

v /∈ Im (f) ≡ f(R3) ⇔ Ax = v es un sistema incompatible ⇔ (ver Ejercicio ??)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(b) Un vector v ∈ R3 es imagen de un unico vector de R

3

⇔ Ax = v es un sistema compatible determinado ⇔ (ver Ejercicio ??)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(c) Un vector v ∈ R3 es imagen de infinitos vectores de R

3

⇔ Ax = v es un sistema compatible indeterminado ⇔ (ver Ejercicio ??)

Ejercicio 13. Sea T : R2 → R

2 la transformacion que hace corresponder al punto P =(x1, x2) el punto Q = (−x1, x2). Senala la unica opcion que es correcta.

es una transformacion que no esta bien definida.

X es una aplicacion lineal que se representa, respecto de las bases canonicas, por la matriz

A =

� −1 00 1

�.

es una transformacion, pero no es lineal porque tiene por ecuaciones8><>: y1 = −x1 cos π2

+ x2senπ2,

y2 = x1senπ

2+ x2 cos π

2.

Ejercicio 14. (a) Demuestra que para una matriz cuadrada A se verifica que

Nul (A) ⊆ Nul (A2) ⊆ · · · y Col (A) ⊇ Col (A2) ⊇ · · ·



(b) Demuestra que para dos matrices A y B con las dimensiones adecuadas se verifica que

Nul (B) ⊆ Nul (AB) y Col (A) ⊇ Col (AB).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(a) Comprobemos que Nul (A) ⊆ Nul (A2), las otras inclusiones se pueden obtener deforma analoga,

Si x ∈ Nul (A) =⇒ Ax = 0 =⇒ AAx = 0 =⇒ x ∈ Nul (A2)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Comprobemos que Col (A2) ⊆ Col (A), las otras inclusiones se pueden obtener deforma analoga. Puesto que cada columna de A2 es una combinacion lineal de lascolumnas de A, cualquier cobinacion lineal de las columnas de A2 es combinacionlineal de las columnas de A. Dicho de otra forma,

y ∈ Col (A2) =⇒ ∃x tal que A2x = y =⇒ A(Ax) = y =⇒ y ∈ Col (A).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(b) Comprobemos,

Si x ∈ Nul (B) =⇒ Bx = 0 =⇒ ABx = 0 =⇒ x ∈ Nul (AB).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Puesto que cada columna de AB es una combinacion lineal de las columnas deA, cualquier combinacion lineal de las columnas de AB es combinacion lineal delas columnas de A. Dicho de otra forma,

y ∈ Col (AB) =⇒ ∃x tal que ABx = y =⇒ A(Bx) = y

=⇒ y ∈ Col (A)puesto que ∃z = Bx tal que Az = y.

Ejercicio 15. Dados dos subespacios E y F de Rn, hallar las ecuaciones implıcitas, las

parametricas y una base del subespacio interseccion, E ∩ F :

(a) E ≡ x1 + x2 = 0, F ≡ x1 + 2x2 = 0, en R2.

(b) E ≡ x1 + x2 = 0, F ≡ 2x1 + 2x2 = 0, en R2.

(c) E ≡ x1 + x2 = 0, F ≡ x1 + 2x2 = 0, en R3.

(d) E ≡ x1 + x2 + x3 = 0, F ≡ x1 − x2 + 2x3 = 0, en R3.

(e) E = Gen {(1, 1, 1), (1, 0, 1)}, F = Gen {(0, 1, 0)}, en R3.

(f) E = Gen {(1, 1, 1), (1, 0, 1)}, F = Gen {(2, 1, 2), (0, 1, 0)}, en R3.



(g) E = Gen {(1, 1, 1), (1, 0, 1)}, F = Gen {(2, 1, 3), (0, 1, 0)}, en R3.

(h) E = Gen {(1, 1, 0, 1), (2, 1, 0, 3)}, F = Gen {(0, 1, 1, 2), (1, 0, 2, 2)}, en R4.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(a) E ≡ x1 + x2 = 0, F ≡ x1 + 2x2 = 0, en R2.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Interseccion de dos rectas distintas que pasan por el origen de coordenadas.

E ∩ F ≡¨

x1 + x2 = 0x1 + 2x2 = 0

«≡¨

x1 = 0x2 = 0

«=⇒ E ∩ F =

¨�00

�«. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(b) E ≡ x1 + x2 = 0, F ≡ 2x1 + 2x2 = 0, en R2.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Interseccion de dos rectas coincidentes que pasan por el origen de coordenadas.

E ∩ F ≡¨

x1 + x2 = 02x1 + 2x2 = 0

«≡ x1 + x2 = 0 =⇒ E ∩ F = E = F =

¨� −αα

�, α ∈ R

«. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(c) E ≡ x1 + x2 = 0, F ≡ x1 + 2x2 = 0, en R3.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

E ∩ F es la recta interseccion de dos planos que pasan por el origen de coordenadas,

E∩F ≡¨

x1 + x2 = 0

x1 + 2x2 = 0

«≡¨

x1 = 0

x2 = 0

«=⇒ E∩F =

8<:264 0

0

α

375 : α ∈ R

9=; = Gen

8<:264 0

0

1

3759=; .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(d) E ≡ x1 + x2 + x3 = 0, F ≡ x1 − x2 + 2x3 = 0, en R3.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

E ∩ F es la recta interseccion de dos planos que pasan por el origen de coordenadas.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(e) E = Gen {(1, 1, 1), (1, 0, 1)}, F = Gen {(0, 1, 0)}, en R3.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

E ∩ F es la interseccion de un plano, E, y una recta, F que pasan por el origen de coorde-nadas. Puesto que la recta F esta contenida en el plano E,

E ∩ F = F.



. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(f) E = Gen {(1, 1, 1), (1, 0, 1)}, F = Gen {(2, 1, 2), (0, 1, 0)}, en R3.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

E ∩ F es la interseccion de dos planos que pasan por el origen de coordenadas.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(g) E = Gen {(1, 1, 1), (1, 0, 1)}, F = Gen {(2, 1, 3), (0, 1, 0)}, en R3.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

E ∩ F es la interseccion de dos planos que pasan por el origen de coordenadas.

E ≡ x3 − x1 = 0

F ≡ 3x1 − 2x3 = 0=⇒ E ∩ F ≡

¨x1 = 0x3 = 0

≡

264 x1

x2

x3

375 = α

264 010

375 , α ∈ R.

Es decir, E ∩ F es la recta de R3 dada por E ∩ F = Gen

8><>:264 010

3759>=>; .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(h) E = Gen {(1, 1, 0, 1), (2, 1, 0, 3)}, F = Gen {(0, 1, 1, 2), (1, 0, 2, 2)}, en R4.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Pasamos E a forma implıcita,

E :

26664 1 2 x1

1 1 x2

0 0 x3

1 3 x4


-

26664 1 2 x1

0 −1 x2 − x1

0 0 x3

0 0 −2x1 + x2 + x4

37775⇒ E ≡

¨x3 = 0

−2x1 + x2 + x4 = 0

«.

Pasamos F a forma implıcita,

F :

26664 0 1 x1

1 0 x2

1 2 x3

2 2 x4


-

26664 1 0 x2

0 1 x1

0 0 x3 − x2 − 2x1

0 0 x4 − 2x2 − 2x1

37775⇒ F ≡

¨2x1 + x2 − x3 = 0

2x1 + 2x2 − x4 = 0

«.



Ya tenemos una expresion implıta de E ∩ F ,

E ∩ F ≡

8>><>>: x3 = 0−2x1 + x2 + x4 = 02x1 + x2 − x3 = 0

2x1 + 2x2 − x4 = 0

⇒ E ∩ F = {0}26664 0 0 1 0 0−2 1 0 1 02 1 −1 0 02 2 0 −1 0


-

26664 −2 1 0 1 00 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 1 0

37775⇒

26664 x1

x2

x3

x4

37775 =

26664 0000

37775 .

Ejercicio 16. Hallar las ecuaciones implıcitas, las parametricas y una base del subespaciosuma, E + F , para los siguientes subespacios:

(a) E ≡ x1 + x2 = 0, F ≡ x1 + 2x2 = 0, en R2.

(b) E ≡ x1 + x2 = 0, F ≡ 2x1 + 2x2 = 0, en R2.

(c) E ≡ x1 + x2 = 0, F ≡ x1 + 2x2 = 0, en R3.

(d) E ≡ x1 + x2 + x3 = 0, F ≡ x1 − x2 + 2x3 = 0, en R3.

(e) E = Gen {(1, 1, 1), (1, 0, 1)}, F = Gen {(0, 1, 0)}, en R3.

(f) E = Gen {(1, 1, 1), (1, 0, 1)}, F = Gen {(2, 1, 2), (0, 1, 0)}, en R3.

(g) E = Gen {(1, 1, 1), (1, 0, 1)}, F = Gen {(2, 1, 3), (0, 1, 0)}, en R3.

(h) E = Gen {(1, 1, 0, 1), (2, 1, 0, 3)}, F = Gen {(0, 1, 1, 2), (1, 0, 2, 2)}, en R4.

(i) E = Gen {(1, 1, 1), (2, 2, 2)}, F = Gen {(0, 1, 0)}, en R3.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .La relacion entre las dimensiones de los subespacios E, F, E ∩ F y E + F ,

dim (E + F ) + dim (E ∩ F ) = dim (E) + dim (F ),

permite en algunos casos obtener, sin realizar el calculo directo, el subespacio suma si cono-cemos el subespacio interseccion o viceversa.

(h) Tenemos dos subespacios E y F de R4 y segun hemos obtenido en el ejercicio anterior

dim (E) = 2, dim (F ) = 2 y E ∩ F = {0} .

Por tanto, E + F ⊂ R4, y

dim (E + F ) = dim (E) + dim (F ) − dim (E ∩ F ) = 4 =⇒ E + F = R4.



Ejercicio 17. Extender a una base de Rn el conjunto linealmente independiente que se da:

(a) {v1 = (1, 1, 1)} en R3.

(b) {v1 = (1, 3, 4), v2 = (1, 0, 2)} en R3.

(c) {v1 = (1, 1, 0), v2 = (1, 3, 0)} en R3.

(d) {v1 = (1, 1, 0, 1), v2 = (2, 1, 0, 3)} en R4.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(a) Bastara obtener dos vectores lineamente independientes de forma que junto con v1 for-men un conjunto linelamente independiente. Esto se puede hacer paso a paso. Primerotomamos un vector que no este en la recta generada por v1, por ejemplo v2 = e1. Acontinuacion tomamos un vector que no este en el plano generado por v1 y v2,8><>: x1 = α + β

x2 = αx3 = α

9>=>; , α, β ∈ R,

por ejemplo v3 = (0, 1, 2). Y ya esta.

(b) Basta tomar un vector que no este en el plano determinado por v1 y v2. Puesto que laecuacion del plano es 6x1 + 2x2 − 3x3 =, podemos tomar v3 = e1, por ejemplo.

(c) Basta tomar v3 = e3.

(d) Para obtener una base de R4 hacen falta dos vectores linealmente independientes que

sean linealmente independientes con v1 y v2. Si obtenemos unas ecuaciones implıtasdel subespacio que generan v1 y v2 tendremos dos ecuaciones implıtas. Si tomamosun vector v3 que verifique una de dichas ecuaciones y no la otra y un vector v4 queverifique la otra pero no la primera, ya estara.

Ejercicio 18. Consideremos la base B = {(2, 1), (−3,−1)} de R2.

(a) Obtener, en dicha base, las ecuaciones implıcitas y las parametricas de los subespaciosque en la base canonica vienen definidos mediante:

E ≡ x1 + x2 = 0, F ≡ x1 − 2x2 = 0, G = Gen {(1, 1)}, H = Gen {(3, 1)}.

(b) Obtener, en la base canonica, las ecuaciones implıcitas y las parametricas de los subes-pacios que en la base B vienen definidos mediante:

E ≡ y1 + 5y2 = 0, F ≡ y2 = 0, G = Gen {(1, 0)B}, H = Gen {(2, 4)B}.



. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Denotamos por C la base canonica de R

2. Dado un vector v ∈ R2 consideremos�

x1

x2

�= [v]

C,

�y1

y2

�= [v]

B.

Tenemos, por tanto, la siguiente relacion

v = x1e1 + x2e2 = y1u1 + y2u2

que en forma matricial queda�x1

x2

�=

�2 −31 −1

� �y1

y2

�≡¨

x1 = 2y1 − 3y2

x2 = y1 − y2

⇔�

y1

y2

�=

�2 −31 −1

�−1 �x1

x2

�⇔

�y1

y2

�=

� −1 3−1 2

� �x1

x2

�≡¨

y1 = −x1 + 3x2,y2 = −x1 + 2x2.

(a) Expresando, en cada caso, x1 y x2 en funcion de y1 e y2 tenemos

E ≡ x1 + x2 = 0,

[1 1 ]

�x1

x2

�= 0 ⇐⇒ [1 1 ]

�2 −31 −1

� �y1

y2

�= 0 ⇔ 3y1 − 4y2 = 0

⇔¨

y1 = 4

3α

y2 = αα ∈ R.

F ≡ x1 − 2x2 = 0,

[1 − 2 ]

�x1

x2

�= 0 ⇐⇒ [1 − 2 ]

�2 −31 −1

� �y1

y2

�= 0 ⇐⇒ −y2 = 0.

H :

�x1

x2

�=

�31

�⇔

�y1

y2

�=

�0−1

�⇒ H ≡

¨y1 = 0y2 = α

α ∈ R.

(b) Expresando, en cada caso, y1 e y2 en funcion de x1 y x2 tenemos

E ≡ [1 5 ]

�y1

y2

�= 0 ⇐⇒ [1 5 ]

� −1 3−1 2

� �x1

x2

�= 0 ⇐⇒ −6x1 + 13x2 = 0,

F ≡ [0 1 ]

�y1

y2

�= 0 ⇐⇒ [0 1 ]

� −1 3−1 2

� �x1

x2

�= 0 ⇐⇒ −x1 + 2x2 = 0.



G = Gen {u} , u = 1u1 + 0u2 = u1

G = Gen

¨�21

�«⇔ G ≡

¨x1 = 2αx2 = α

α ∈ R ⇔ G ≡ x1 − 2x2 = 0.

Ejercicio 19. Halla las ecuaciones parametricas de un subespacio F (de R4) complementario

de Nul (A), siendo A la matriz

A =

26666664 1 −2 0 01 −3 3 00 1 −1 0

−1 2 4 02 −3 −1 0

37777775 .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Obtengamos una base de Nul (A) :]26666664 1 −2 0 0 0

1 −3 3 0 00 1 −1 0 0

−1 2 4 0 02 −3 −1 0 0


-

26666664 1 −2 0 0 00 −1 3 0 00 0 2 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0

37777775⇒

26664 x1

x2

x3

x4

37775 =

26664 000x4

37775=⇒ Nul (A) = Gen {e4} .

Tenemos que obtener un subespacio vectorial F que verifique que Nul (A) + F = R4 y

Nul (A) ∩ F = {0}. Obviamente, F = Gen {e1, e2, e3} es un subespacio complementario deNul (A),

F ≡

8>><>>: x1 = α,x2 = β,x3 = γ,x4 = 0.

9>>=>>; ≡ x4 = 0.


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