Teoremas Limite para um Modelo Epidêmi ono Grafo CompletoAlexandre Ribeiro Lei hsenring

Dissertação/Tese apresentadaaoInstituto de Matemáti a e Estatísti adaUniversidade de São Pauloparaobtenção do títulodeDoutor em Ciên iasÁrea de Con entração: Estatísti aOrientador: Prof. Dr. Fábio Prates Ma hadoDurante o desenvolvimento deste trabalho o autor re ebeu auxílio �nan eiro daCAPES e CNPqSão Paulo, setembro de 2007

ResumoEstudamos o seguinte sistema de passeios aleatórios a tempo ontínuo no grafo ompleto: em ada vérti e do grafo existem partí ulas ativas e inativas, e ada partí ulaativa realiza um passeio aleatório simétri o a tempo ontínuo pelos vérti es do grafo.Quando uma partí ula ativa entra em ontato om uma partí ula inativa, esta é ativadae também passa a realizar, de maneira independente, um passeio aleatório pelo grafo.Cada partí ula ativa morre no instante em que faz um número inteiro L de saltos( onse utivos ou não) sem ativar nenhuma partí ula. O pro esso morre assim que nãohá mais partí ulas ativas. Provamos uma Lei dos Grandes Números e um TeoremaCentral do Limite para a proporção de sítios visitados ao �nal do pro esso.Palavras- have: modelo dos sapos, pro essos esto ásti os, passeios aleatórios, grafo ompleto.

i

Abstra tWe study the following system of ontinuous time random walks on the ompletegraph: there are a tive and ina tive parti les living on the verti es of the ompletegraph, and ea h a tive parti le performs a ontinuous time symmetri random walkthrough the verti es of the graph. When an a tive parti le hits an ina tive one thelatter be omes a tive and starts an independent random walk through the graph. Ea ha tive parti le dies at the moment it rea hes an integer number L of jumps ( ose utiveor not) without a tivating any parti le. The pro ess dies out as soon as there are nomore a tive parti les. We prove a Law of Large Numbers and a Central Limit Theoremfor the proportion of visited verti es at the end of the pro ess.Key-words: Frog Model, Sto hasti Pro ess, Random Walk, Complete Graph.

ii

Índi e1 O Modelo 11.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Referên ias sobre o Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Des rição do Modelo e De�nições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Teoremas Limite para a Cobertura 92.1 Lei dos Grandes Números . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Teorema Central do Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3 Número de Saltos do Pro esso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Demonstração dos Teoremas 133.1 Limite Determinísti o da Trajetória . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.2 Mudança de Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.3 Redução da Dimensão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.4 Tempo de Duração do Pro esso Rees alado . . . . . . . . . . . . . . . . 233.5 Convergên ia da Cobertura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.6 Teorema Central do Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.7 Número de Saltos do Pro esso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Apêndi e 33A Teoremas da Probabilidade 33Referên ias Bibliográ� as 34iii

iv

Lista de Figuras2.1 Efeito da variação de L, ρ0 e ρ em v∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2 20000 simulações de √

n(v∞ − v(n)(γ(n))

) . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.1 Evolução simulada de a(n) e a(n). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2 θ(n)(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.3 Simulação Esto ásti a x Pro esso Limite (em tempo rees alado) . . . . 233.4 Ponto �xo de f(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.5 Comportamento de y(t): 4 situações em termos de ρ, ρ0 e L. . . . . . . 253.6 Comportamento de y(v): 4 situações em termos de ρ, ρ0 e L. . . . . . . 27

v

Capítulo 1O Modelo1.1 Introdução

Os sistemas de partí ulas interagentes são um ramo da teoria da probabilidadeque reúne modelos su� ientemente �exíveis para modelar sistemas reais e imaginários.Nestes modelos, partí ulas evoluem no espaço e no tempo, seguindo regras simples deinteração lo al, levando em onta essen ialmente o que o orre dentro de uma vizin-hança (�nita ou não) da sua posição no espaço (os livros de Liggett [17℄ e [18℄ e ode Durrett [14℄ são importantes referên ias teóri as). Parte do atrativo teóri o destesmodelos está no fato de ombinarem uma dinâmi a lo al bastante simples om um omportamento global espa ial e temporal bastante ri o. Do ponto de vista das apli- ações, hama a atenção uma ri a onexão om outras áreas da iên ia. Ini ialmentedesenvolveu-se uma interfa e bastante ampla om a Físi a, mas à medida que seuestudo foi evoluindo, des obriu-se atraentes possibilidades de apli ações na Biologia,Ciên ias So iais e E onomia, para itar algumas áreas. Entre várias possibilidades, ossistemas de partí ulas interagentes - que são tipos de pro essos esto ásti os - podemser usados para modelar magnetismo, ompetição entre organismos por espaço físi o, res imento de tumores, espalhamento de infe ções ou mesmo sistemas e on�mi os.1

2 Neste trabalho estudamos questões assintóti as qualitativas de um sistema depasseios aleatórios em grafos, onhe ido omo modelo dos sapos. Este modelo tem re- ebido boa dose de atenção re entemente em função de sua simpli idade e �exibilidade,aliados à possibilidade de uma ampla diversidade de tratamento teóri o que pode re- eber. Para itar alguns exemplos men ionamos teorema da forma, transição de fase,limite hidrodinâmi o e densidade assintóti a.A dinâmi a do sistema estudado neste trabalho pode ser des rita de modo geralda seguinte maneira. Em ada sítio do grafo ompleto en ontra-se um número �xode partí ulas. Ini ialmente apenas uma proporção de partí ulas está ativa, enquantotodas as outras en ontram-se dormentes. Cada partí ula ativa então omeça a realizarum passeio aleatório a tempo ontínuo om taxa 1 pelos vérti es do grafo ompleto, etoda vez que uma partí ula ativa salta para um sítio não visitado, ela ativa a partí ulaque ali se en ontra. A partir do momento em que uma partí ula inativa é ativadaela passa a realizar um passeio aleatório independente pelo grafo, ativando todas aspartí ulas inativas que en ontra pelo aminho, até o momento em que ela morre. Naversão que estudamos, para um inteiro �xo L ≥ 1, ada partí ula ativa desapare eno instante em que faz L saltos ( onse utivos ou não) sem ativar nenhuma partí ula.Podemos pensar que ada partí ula ativa omeça om L vidas e perde uma vida todavez que salta para um sítio que já foi visitado pelo pro esso. A partí ula ativa morrequando perde sua última vida. A dinâmi a prossegue até que não haja mais partí ulasativas. A idéia é examinar a evolução do pro esso quando o tamanho do grafo tende ain�nito, abordando questões assintóti as rela ionadas à proporção de vérti es visitadose de partí ulas ativas.

31.2 Referên ias sobre o ModeloO modelo dos sapos é uma variação de um modelo para difusão de informaçãoproposto por R. Durret e K. Ravishankar em 1996. Nesse modelo a idéia é que adapartí ula ativa possui uma erta informação que é transmitida às partí ulas inativas nomomento em que a primeira salta sobre estas últimas. No modelo usual ada partí ulaativa realiza um passeio aleatório simples a tempo dis reto e a ada instante de tempopode morrer independentemente om probabilidade 1 − p. O primeiro resultado pub-li ado sobre esse modelo é devido a Tel s e Wormald [20℄ , no qual foi referido omoegg model. Eles provaram que no modelo sem mortes em Z

d, partindo da on�guraçãoini ial om 1 partí ula por vérti e, a origem é visitada in�nitas vezes quase erta-mente. Popov [19℄ provou o mesmo para dimensão d ≥ 3 para a on�guração ini ial onstruída da seguinte maneira: uma partí ula é olo ada em ada vérti e x 6= 0 omprobabilidade α/ ‖ x ‖2, onde α é uma onstante positiva grande. Em Alves et al.[3℄ foi provado para o modelo dos sapos em Zd sem mortes om on�guração ini ialde 1 partí ula por vérti e, que o onjunto das posições originais de todas as partí ulasativas, rees alado pelo tempo trans orrido, onverge para um onjunto não aleatório ompa to onvexo não vazio, resultado onhe ido omo teorema da forma. Em Alves etal. [1℄ foi demonstrado o teorema da forma para o aso de on�guração ini ial aleatória,e em Alves et al. [4℄ foram apresentados para Z

d e para árvores regulares resultadossobre transição de fase e valores assintóti os para parâmetros ríti os. Fontes et al.[7℄ dis utem a monotoni idade do parâmetro ríti o do modelo omo uma função dografo, o que também foi tema da dissertação de mestrado de Lei hsenring [9℄. EmLebensztayn et al. [8℄, Lebensztayn et al. [5℄ e Lebensztayn [6℄ são apresentados re-sultados sobre transição de fase dos modelos na árvore homogênea. Resultados sobreo modelo a tempo dis reto no grafo ompleto são apresentados em Alves et al.[2℄, emque provam transição de fase sobre o parâmetro rela ionado à proporção de vérti esvisitados pelo pro esso. Nesse artigo também tratam do pro esso em que o tempo de

4vida das partí ulas depende do passado de todo o pro esso, apresentando resultadosobtidos via análise omputa ional, simulações e análise de ampo médio. O nosso tra-balho estuda o pro esso semelhante, a tempo ontínuo, no qual o tempo de vida daspartí ulas está rela ionado à evolução do número de vérti es visitados e do número departí ulas ativas.Este modelo pode ser visto omo um modelo epidêmi o des revendo a evoluçãode uma infe ção/vírus om L estágios numa população de tamanho n. Nessa interpre-tação, em instantes de tempo dados por um pro esso de Poisson homogêneo de taxa 1,um indvíduo infe tado es olhe aleatoriamente um entre os vérti es do sistema. Se novérti e es olhido houver um indivíduo ainda sus eptível, este indivíduo então ontraia doença no estágio L e nada a onte e ao indivíduo transmissor (que obeteve su essona propagação do vírus). Por outro lado, se o vérti e es olhido não houver um indi-víduo sus etível, então o estágio da doença do indivíduo transmissor de res e em umaunidade, matando-o se seu estágio atual é 1. O aso parti ular em que L = 1 é bas-tante semelhante ao modelo onhe ido omo modelo epidêmi o esto ásti o geral (SIRMarkoviano), que foi teve sua origem em Bartlett [12℄. As letras S, I, R indi am respe -tivamente os termos �sus etível�, �infe tado� e �removido�. Nesse modelo, ao invés de semovimentarem por um grafo, os pontos de um pro esso de Poisson mar am en ontrosentre dois indivíduos do sistema, e o tempo de vida de ada indivíduo segue uma var-iável aleatória om distribuição exponen ial. Aqui está a diferença fundamental entre onosso sistema e o modelo usualmente estudado:no nosso modelo há dependên ia entrea trajetória de um indivíduo e seu tempo de vida. Para mais detalhes sobre modelosepidêmi os, ver Andersson e Britton [10℄.1.3 Des rição do Modelo e De�niçõesNesta seção apresentamos algumas de�nições formais rela ionadas ao modelo.Para n ≥ 3 seja Kn o �grafo n- ompleto om loop�, isto é, o grafo om onjunto

5de vérti es V = 1, 2, ..., n e ada par de vérti es (i, j) ∈ {1, 2, . . . n}2 ligados por um elo.Seja também L ≥ 1 um inteiro �xo. Na on�guração bási a do sistema há no instantezero uma partí ula em ada vérti e de Kn, e apenas uma delas está ativa, estando asoutras inativas.A partí ula ativa omeça a realizar um passeio aleatório a tempo ontínuo à taxa1 uniformemente por Kn, ativando as partí ulas inativas que en ontra pelo aminho.Uma partí ula inativa é a ordada sempre que uma partí ula ativa salta para um vérti eque ainda não foi visitado pelo pro esso. Cada partí ula ativa, a partir do momento emque é ativada, passa também a se movimentar por Kn de a ordo um passeio aleatórioa tempo ontínuo de taxa 1 independente. Isso signi� a que os tempos entre saltos de ada partí ula ativa têm distribuição exponen ial de parâmetro 1 e a probabilidade deque ela faça um salto para qualquer vérti e v em V é 1/n. Entretanto, ela é ex luídado sistema no instante em que faz L saltos ( onse utivos ou não) sem ativar nenhumapartí ula. Podemos pensar que ada partí ula omeça om L vidas e perde uma vidasempre que salta para um vérti e que já tenha sido visitado pelo pro esso. Observeque para todo n o pro esso a aba quase ertamente em algum instante �nito.Para uma realização do pro esso, onsidere V (n)(t), o número de vérti es visi-tados até o tempo t, e A(n)i (t), i = 1, . . . , L, o número de partí ulas ativas om i vidasno tempo t. A evolução do pro esso pode ser representada pelo vetor

Z(n)(t) = ( V (n)(t), A(n)1 (t) , A

(n)2 (t) , . . . , A

(n)L (t) ) ∈ Z

L+1.

Daqui em diante onsideraremos ondições ini iais mais gerais para o pro esso,a saber:

6V (n)(0) = ρ

(n)0 n, om ρ

(n)0 n inteiro e tal que 0 < ρ

(n)0 < 1, (1.1)

A(n)i (0) = ρ

(n)i n, om ρ

(n)i n inteiro e tal que ρ

(n)i ≥ 0 (1.2)para i = 1, . . . , L, e L∑

i=1

ρ(n)i > 0.Para qualquer on�guração ini ial existe uma e apenas uma partí ula inativaem ada vérti e não visitado.Observe que o pro esso morre em algum momento, sendo absorvido no estado

Z(n)(γ(n)) = (V, 0, 0, . . . , 0) para algum V ∈ {1, . . . , n}. A seguir de�nimos o tempo deduração do pro esso.De�nição 1.1. Denominamosγ(n) = inf{t :

L∑

i=1

A(n)i (t) = 0},o primeiro instante em que não há mais partí ulas ativas.Desta maneira, V (n)(γ(n)) é o número total de vérti es visitados ao �nal dopro esso. Nosso prin ipal objetivo é estabele er teoremas limite para a para a proporção

V (n)(γ(n))n

de vérti es visitados ao �nal do pro esso.De�nição 1.2. Denominamosv(n)(γ(n)) =

V (n)(γ(n))

na obertura do pro esso em Kn.No que segue, assumimos queρi = lim

n→∞ρ

(n)i existe para todo i = 0, . . . , L, (1.3)

7e de�nimosρ =

L∑

i=1

i ρi ,a proporção limite de vidas ativas no tempo zero. Observe que ρ0 = ρ = 0 para a on�guração ini ial de uma partí ula por vérti e e uma úni a ativa no tempo zero.No próximo apítulo enun iamos os resultados prin ipais do trabalho. O primeiroresultado estabele e a onvergên ia da obertura do pro esso quando o número de vér-ti es vai para in�nito. No segundo, derivamos um Teorema Central do Limite para a obertura. Finalmente, mostramos que a esperança do número de saltos do pro essoem Kn rees alado por n onverge para uma onstante, dada pelo limite de uma funçãoda trajetória do pro esso. O apítulo 3 é dedi ado às provas dos teoremas.

8

Capítulo 2Teoremas Limite para a Cobertura2.1 Lei dos Grandes NúmerosLembrando que estamos assumindo 1.3 e que ρ =

∑Li=1 i ρi, enun iamos umaLei dos Grandes Números para a obertura do pro esso.Teorema 2.1. v(n)(γ(n)) onverge quase ertamente quando n → ∞, e a quantidadelimite, v∞, é dada pela solução da equação:

v∞ = v∞(ρ0, ρ, L) = (1 − ρ0) exp {−(L + 1)v∞ − ρ + (L + 1)ρ0} .

Observação 2.1. v∞ pode ser dada expli itamente:v∞ = 1 − (1 − ρ0) exp {−LambertW (−cρ0,L exp{−cρ0,L − ρ}) − cρ0,L − ρ} , om cρ0,L = (1 − ρ0)(L + 1). A função LambertW é a inversa da função x → xex. Seuramo prin ipal (que é onsiderado aqui) assume valores reais no intervalo [−e−1,∞] esatisfaz LambertW (x) ≥ −1 para todo x ≥ −e−1. Mais detalhes podem ser en ontra-dos em Corless et al. [13℄ 9

10Observação 2.2. Para a on�guração ini ial de uma partí ula por vérti e,v∞ = 1 − exp{−LambertW (−ce−c) − c}, (2.1)onde c = L + 1. Fórmula semelhante apare e no estudo do tamanho �nal de modelosepidêmi os e o tamanho relativo do omponente gigante em ertos grafos aleatórios.Sobre isso ver respe tivamente Anderson e Britton [10℄ e Bollobás [11℄.2.2 Teorema Central do LimiteA seguir apresentamos o Teorema Central do Limite para a obertura.Teorema 2.2. Suponha que ρ > 0 ou que ρ = 0 e ρ0 < L

L+1e seja

γ = γ(ρ0, ρ, L) = ρ + (L + 1)(v∞ − ρ0).Então,√

n(v(n)(γ(n)) − v∞

) D→ N(0, σ2) quando n → ∞,onde D→ indi a onvergên ia em distribuição, e N(0, σ2) é a distribuição Gaussiana ommédia zero e variân ia dada porσ2 = σ2(ρ0, ρ, L) =

(1 − v∞)(v∞ − ρ0 − γ(1 − ρ0)(1 − v∞))

(1 − ρ0) (L − (L + 1)v∞)2. (2.2)2.3 Número de Saltos do Pro essoFinalmente, provamos:Teorema 2.3. Seja N (n) o número de saltos que o pro esso faz até a absorção. Então,

limn→∞

E(N (n)

)

n= γ.

11Ao longo da demonstração dos teoremas será onstatado que γ é o limite em nde uma função da trajetória do pro esso em Kn.A título de ilustração mostramos na a tabela 2.1 valores aproximados de v∞, σ2e γ para os asos L = 1, 2, ..., 6 na on�guração bási a ρ0 = ρ = 0.A �gura 2.1 mostra, nos grá� os da linha superior, o efeito da variação de ρpara valores �xos de ρ0 e L, e nos dá linha inferior, o efeito da variação de ρ0 paravalores �xos de ρ e L.L = 1 2 3 4 5 6v∞ 0.7968 0.9405 0.9802 0.9930 0.9975 0.9991σ2 0.2727 0.0681 0.0211 0.0072 0.0025 0.0009γ 1.5936 2.8214 3.9207 4.9651 5.9849 6.9936Tabela 2.1: Con�guração bási a (ρ0 = ρ = 0)Um fato interessante é que para toda ondição ini ial om ρ e L �nitos e ρ0 < 1a obertura limite é estritamente menor do que 1.Na �gura 2.2 apresentamos omo exemplo o histograma de 20000 simulaçõesde √

n(v(n)(γ(n)) − v∞

), para a seguinte on�guração: n = 1000, L = 2, ρ(n)0 = 0, 1e ρ(n) = 0, 2. Sobreposta ao histograma está desenhada a urva da distribuição limiteteóri a, ou seja, Normal om média 0 e variân ia dada pela fórmula 2.2.

12

0.5 1 1.5 2Ρ

0.2

0.4

0.6

0.8

1.

v¥HΡL

L = 1

Ρ0 = 0.5

Ρ0 = 0

0.5 1 1.5 2Ρ

0.2

0.4

0.6

0.8

1.

v¥HΡL

L = 2

Ρ0 = 0.5

Ρ0 = 0

0.5 1Ρ0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.

v¥HΡ0L

L = 1

Ρ = 0

Ρ = 1

0.5 1Ρ0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.

v¥HΡ0L

L = 2

Ρ = 0

Ρ = 1

Figura 2.1: Efeito da variação de L, ρ0 e ρ em v∞

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

0.0

0.5

1.0

1.5 N ( 0 , 0.0676 )

Figura 2.2: 20000 simulações de √n(v∞ − v(n)(γ(n))

)

Capítulo 3Demonstração dos Teoremas

Este apítulo é dedi ado às provas dos teoremas enun iados no apítulo 2. Asprovas estão fortemente baseadas na teoria das Density Dependent Markov Chains,apresentada no apítulo 11 de Ethier e Kurtz [15℄. Nas linhas a seguir traçamos umesboço do roteiro das provas.Primeiramente veri� amos que em todo intervalo de tempo limitado o pro essoesto ásti o z(n)(t) = Z(n)(t)n

onverge quase ertamente para um pro esso determinísti oquando n → ∞. Queremos obter informações sobre o estado do pro esso nos instantesγ(n), porém não temos muito ontrole sobre o omportamento da seqüên ia {γ(n)}.Fazendo uso de uma mudança na es ala do tempo nós �a eleramos� o pro esso semafetar o estado em que ele é absorvido. Dessa maneira, observamos nosso pro essonum tempo rees alado de tal modo a garantir que os tempo de duração γ(n) do pro essorees alado onvergem para γ, �nito. O teorema 2.1 é obtido ao omprovarmos que oestado �nal do pro esso rees alado, isto é, o estado do pro esso rees alado no momentoem que é absorvido, onverge para o estado do pro esso rees alado limite no tempoγ. O teorema 2.2 resulta da apli ação de um teorema de Ethier e Kurtz [15℄ para opro esso rees alado om dimensão reduzida, ou seja, ao invés de examinar o pro essoZ(n) em Z

L+1 observamos um pro esso em Z2 que resume o omportamento de Z(n) arespeito da evolução do número de vérti es visitados. O teorema 2.3 apare e omo um13

14 orolário da onvergên ia dos tempos de duração do pro esso rees alado.3.1 Limite Determinísti o da TrajetóriaNesta seção vamos mostrar que em todo intervalo de tempo limitado a trajetóriade z(n)(t) apresenta um limite determinísti o quando n → ∞. Usando uma abordagem onstrutiva e apli ando a teoria das Density Dependent Markov Chains, vamos demon-strar que para todo t �nito, a seqüên ia de pro essos esto ásti os {z(n)} onverge quase ertamente uniformemente em [0, t] para um pro esso determinísti o.Começamos por observar que Z(n)(t) = (V (n)(t), A

(n)1 (t), . . . , A

(n)L (t)) é uma adeia de Markov no reti ulado Z

L+1 governada por intensidades q(n)l (Z), Z, l ∈ Z

L+1representando as taxas de transição do estado Z para o estado Z + l. hamando de Λo onjunto das possíveis transições, então Λ tem L + 1 elementos, l0, l1, . . . , lL, ondel0 = (1, 0, 0, . . . , 0, 1),

l1 = (0,−1, 0, . . . , 0, 0),

li = (0, . . . , 0, 1︸︷︷︸

A(n)i−1

, −1︸︷︷︸

Ai(n)

, . . . , 0), i = 2, . . . , L.Em palavras, l0 indi a a transição do pro esso quando uma partí ula ativa saltapara um vérti e ainda não visitado, aso em que o número de vérti es visitados éa res ido de uma unidade. Além disso, a partí ula que originalmente se en ontra nessevérti e não visitado torna-se ativa, o que faz aumentar em uma unidade o número departí ulas ativas om L vidas. Por outro lado, l1 indi a a morte de uma partí ula ativae para 2 ≤ i ≤ L os li apontam o evento em que uma partí ula ativa om i vidas perdeuma vida. Então, se o pro esso está no estado Z = (V, A1, . . . , AL) ∈ ZL+1, as taxas

q(n)l (Z), l ∈ Λ, são da seguinte forma:

15q(n)l0

(Z) =

(

1 − V

n

) L∑

i=1

Ai

q(n)li

(Z) =V

nAi, i = 1, . . . , L,e q

(n)l (Z) = 0 para l fora de Λ.Logo, a distribuição de Z(n)(t) é determinada por

P(Z(n)(t + h) = Z + l|Z(n)(t) = Z) = hq(n)l (Z) + o(h), Z ∈ Z

L+1, l ∈ Λ,

P(Z(n)(t + h) = Z|Z(n)(t) = Z) = 1 −∑

l∈Λ

hq(n)l (Z) + o(h). (3.1)Uma maneira de ara terizar esse pro esso é através de pro essos de Poisson.Para isso, sejam {Yl(t) : t ≥ 0} pro essos de Poisson padrão ( om taxa 1) independentesde�nidos para ada transição l de Λ. Então, Z(n)(t) pode ser es rito omo

Z(n)(t) = Z(n)(0) +∑

l∈Λ

lYl

(∫ t

0

q(n)l (Z(n)(s))ds

)

. (3.2)Para omprovar que 3.2 satisfaz 3.1 lembramos que a probabilidade de umamar a em um pro esso de Poisson em um urto intervalo é propor ional ao om-primento do intervalo. Dado Z(n)(t) = Z, a probabilidade de que haja um saltoem Yl(∫ t

0q(n)l (Z(n)(s))ds) durante (t, t + h), ou mais pre isamente, durante o intervalo

(∫ t

0q(n)l (Z(n)(s))ds ,

∫ t+h

0q(n)l (Z(n)(s))ds

), é hq(n)l (Z)+o(h), uma vez que o integrandoé igual a q

(n)l (Z) até o instante do primeiro salto depois de ∫ t

0q(n)l (Z(n)(s))ds.Observamos que os pro essos estão de�nidos no mesmo espaço de probabilidadepara diferentes valores de n, já que os mesmos pro essos de Poisson são utilizados na onstrução. Além disso, é importante reparar que embora os pro essos de Poisson sejam onstruídos de maneira independente, os termos da soma em 3.2 são dependentes, jáque os intervalos de observação dos pontos do pro esso são dependentes.

16 Para Z = (V, A1, . . . , AL) ∈ ZL+1 e l ∈ Λ, podemos es rever q

(n)l (Z) = nfl(

Zn) om

fl0

(Z

n

)

=

(

1 − V

n

) L∑

i=1

Ai

n

fli

(Z

n

)

=V

n

Ai

ni = 1, . . . , L.Se z(n)(t) = Z(n)(t)

n= (v(n)(t), a

(n)1 (t), . . . , a

(n)L (t)), então z(n)(t) é uma adeia deMarkov om estado de espaços { 1

nZ : Z ∈ Z

L+1}, e sua distribuição é dada por:z(n)(t) = z(n)(0) +

∑

l∈Λ

l

nYl

(

n

∫ t

0

fl(z(n)(s))ds

)

. (3.3)Olhando para ada omponente, temosv(n)(t) = ρ

(n)0 +

1

nY0

(

n

∫ t

0

(1 − v(n)(s))a(n)(s)ds

)

,

a(n)i (t) = ρ

(n)i +

1

nYi+1

(

n

∫ t

0

v(n)(s)a(n)i+1(s)ds

)

− 1

nYi

(

n

∫ t

0

v(n)(s)a(n)i (s)ds

)

,(3.4)i = 1, . . . , L − 1,

a(n)L (t) = ρ

(n)L +

1

nY0

(

n

∫ t

0

(1 − v(n)(s))a(n)(s)ds

)

− 1

nYL

(

n

∫ t

0

v(n)(s)a(n)i (s)ds

)

,onde a(n)(s) =∑L

i=1 a(n)i (s) e Yi é o pro esso de Poisson asso iado ao vetor li.A seguir apresentamos um teorema de onvergên ia para a seqüên ia de pro es-sos {z(n)}. Refere-se ao teorema 11.2.1 de Ethier e Kurtz [15℄, onde se pode en ontrara prova. Ele estabele e que em todo intervalo de tempo �nito o pro esso esto ásti o

z(n) onverge quase ertamente para um pro esso determinísti o dado por um sistemade equações diferen iais.Teorema 3.1. Seja F (x) =∑

l∈Λ lfl(x), x ∈ RL+1, a função drift, e suponha que

z(n) é um pro esso om espaço de estados E satisfazendo 3.3 e que para ada ompa toK ⊂ E,

17∑

l

|l| supx∈K

fl(x) < ∞e que existe uma onstante MK > 0 tal que|F (x) − F (y)| ≤ MK|x − y|, ∀x, y ∈ K.Além disso, suponha que limn→∞z(n)(0) = z0 e que z satisfazz(t) = z0 +

∫ t

0

F (z(s))ds, t ≥ 0. (3.5)Então para todo t ≥ 0,lim

n→∞sups≤t

|z(n)(s) − z(s)| = 0 q.c.Sua prova usa basi amente um resultado fundamental sobre pro essos de Pois-son, qual seja, se Y = {Y (t); t ≥ 0} é um pro esso de Poisson padrão entãolimn→∞ sups≤t |n−1Y (ns) − s| = 0 quase ertamente para todo t ≥ 0.Supondo então que as ondições ini iais do nosso pro esso satisfazem 1.1, 1.2 e1.3, resulta que z(n)(t) onverge para o modelo determinísti o z(t) = (v(t), a1(t), . . . , aL(t))governado por

v(t) = ρ0 +

∫ t

0

(1 − v(s))a(s)ds,

ai(t) = ρi +

∫ t

0

v(s)(ai+1(s) − ai(s))ds, i = 1, . . . , L − 1, (3.6)aL(t) = ρL +

∫ t

0

(1 − v(s))a(s) − v(s)aL(s)ds,onde a(s) =∑L

i=1 ai(s).No momento γ(n) o pro esso esto ásti o é absorvido no estado

18z(n)

(γ(n)

)=(v(n)(γ(n)), 0, 0, . . . , 0

).Queremos obter resultados assintóti os sobre a proporção de vérti es visitados no mo-mento da absorção, porém não temos muito ontrole sobre a seqüên ia {γ(n)}. Paraobter informações sobre o estado em que o pro esso é absorvido, podemos alterar a es- ala de tempo do pro esso sem afetar onde ele atinge a fronteira. Dessa forma, faremosuma modi� ação na es ala de tempo de uma maneira que vai nos permitir um ontrolemaior sobre os tempos de duração do pro esso.3.2 Mudança de TempoVamos efetuar a mudança de tempo de�nida por

∫ τ (n)(t)

0

a(n)(s)ds = t, 0 ≤ t ≤∫ ∞

0

a(n)(s)ds. (3.7)Mais pre isamente, sejaθ(n)(s) =

∫ s

0

a(n)(t)dt, (3.8)entãoτ (n)(t) = inf{s : θ(n)(s) = t}.De�nimos z(n)(t) = z(n)(τ (n)(t)) e passamos a observar o pro esso no tempo

τ (n)(t).Observe que θ(n) é uma função estritamente res ente, linear por partes (linearem ada intervalo entre dois saltos su essivos de z(n)). Sendo τ (n) a inversa de θ(n),aquela também tem as mesmas propriedades desta. De orre que o pro esso transfor-mado z(n)(t) faz as mesmas transições do pro esso original, porém em outra es ala detempo. Vejamos omo essa transformação afeta a es ala de tempo.

19Sejam [t1, t2] um intervalo de tempo qualquer em [0, γ(n)] e [t1, t2] o intervalo orrespondente no pro esso modi� ado. Isto é, t1 e t2 são respe tivamente os tempostais que τ (n)(t1) = t1 e τ (n)(t2) = t2. Logo,t2 − t1 =

∫ t2

t1

a(n)(s)ds.

1 2 3 4 5 6 7t

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7aHnLHtL

ΤHnL

1 2 3 4 5 6 7t

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7a� HnLHtL

Figura 3.1: Evolução simulada de a(n) e a(n).Resulta que nos intervalos [t1, t2] em que o número de partí ulas ativas é menordo que n, temos t2 − t1 < t2 − t1 e o pro esso modi� ado orre mais rápido do que ooriginal. Nos intervalos em que o número de ativas é maior do que n o orre o inverso, e�nalmente os dois pro essos orrem em tempos iguais nos intervalos em que o númerode partí ulas ativas é igual a n. A proposição a seguir es lare e esse efeito da mudançade tempo. A �gura 3.1 mostra a evolução de a(n) antes e depois da mudança de tempoinduzida por τ (n) numa simulação do pro esso em K10 para L = 1 om 1 partí ula ativano tempo 0.Proposição 3.1. Os tempos entre saltos do pro esso z(n)(t) são variáveis aleatóriasindependentes om distribuição exponen ial de taxa n.Prova.Sejam 0 = T0 < T1 < T2 < . . . < TN os instantes de salto do pro esso original.Seja {Ti}i∈{0,...,N} uma seqüên ia tal que Ti = θ(n)(Ti). Então τ (n)(Ti) = Ti, ou seja,

20

T1 T2 T3 T4 ...t

T�

1

T�

2

T�

3

T�

4

�

ΘHnLHtL

Figura 3.2: θ(n)(t).{Ti}i≥0 são os instantes de salto do pro esso modi� ado. Se ti é o tempo entre os saltosi − 1 e i do pro esso modi� ado, então

ti =

∫ Ti

Ti−1

a(n)(s)ds.Durante o intervalo [Ti−1, Ti), a(n)(s) vale a(n)(Ti−1), e temosti = a(n)(Ti−1) · (Ti − Ti−1).Como ti = Ti − Ti−1 tem distribuição exponen ial de taxa A(n)(Ti−1) segue que

P(ti > t

)= P

(

ti >t

a(n)(Ti−1)

)

= e−nt.

�Vejamos outro efeito da mudança de tempo. Como visto no sistema 3.5,v(n)(t) = ρ

(n)0 +

1

nY0

(

n

∫ t

0

(1 − v(n)(s))a(n)(s)ds

)

. (3.9)

21Lembrando que τ (n)(θ(n)(t)) = t, temos z(n)(θ(n)(t)) = z(n)(t). Assim, fazendo a mu-dança de variável de�nida por θ(n)(s) =∫ s

0a(n)(u)du na integral em 3.9, vem

v(n)(t) = v(n)(θ(n)(t)) = ρ(n)0 +

1

nY0

(

n

∫ θ(n)(t)

0

(1 − v(n)(θ(n)(s))

)dθ(n)(s)

)

,e logo, para t <∫ γ(n)

0an(s)ds, obtemos

v(n)(t) = ρ(n)0 +

1

nY0

(

n

∫ t

0

(1 − v(n)(s)

)ds

)

.Dessa forma, no sistema rees alado, v(n) não depende de a(n) a não ser pelo fatode que o tempo de duração do pro esso depende de a(n).De maneira análoga obtemos as equações para a(n)i , i = 1, . . . , L:

a(n)i (t) = ρ

(n)i +

1

nYi+1

(

n

∫ t

0

v(n)(s)a

(n)i+1(s)

a(n)(s)ds

)

− 1

nYi

(

n

∫ t

0

v(n)(s)a

(n)i (s)

a(n)(s)ds

)

,

i = 1, . . . , L − 1, (3.10)a

(n)L (t) = ρ

(n)L +

1

nY0

(

n

∫ t

0

(1 − v(n)(s))ds

)

− 1

nYL

(

n

∫ t

0

v(n)(s)a

(n)L (s)

a(n)(s)ds

)

,

a(n)(t) =

L∑

i=1

ρ(n)i +

1

nY0

(

n

∫ t

0

(1 − v(n)(s))ds

)

− 1

nY1

(

n

∫ t

0

v(n)(s)a

(n)1 (s)

a(n)(s)ds

)

.O teorema 3.1 impli a que o sistema tem limite não trivial,v(t) = ρ0 +

∫ t

0

(1 − v(s))ds, (3.11)ai(t) = ρi +

∫ t

0

v(s)ai+1(s)

a(s)ds −

∫ t

0

v(s)ai(s)

a(s)ds, i = 1, . . . , L − 1,

aL(t) = ρL +

∫ t

0

(1 − v(s))ds −∫ t

0

v(s)aL(s)

a(s)ds,

a(t) =

L∑

i=1

ρi +

∫ t

0

(1 − v(s))ds −∫ t

0

v(s)a1(s)

a(s)ds,

22de�nido até γ = inf{t : a(t) = 0}.Seja γ(n) = inf{t : a(n)(t) = 0}, então observe que v(n)(γ(n)) = v(n)(γ(n)).Nosso objetivo agora é demonstrar a onvergên ia dos tempos de duração dopro esso rees alado, e para isso vamos examinar o pro esso de um outro ponto de vista,reduzindo pro esso à dimensão 2. A redução da dimensão, além de fa ilitar a obtençãode uma solução explí ita para o sistema de equações diferen iais do pro esso limite,vai viabilizar a apli ação do teorema 11.4.1 de Ethier e Kurtz [15℄ para a obtenção doteorema entral do limite para a obertura.3.3 Redução da DimensãoConsidere Y (n)(t) :=

∑Li=1 iA

(n)i (t), a quantidade total de vidas ativas no tempo

t (do modelo original). Se y(n)(t) := Y (n)(t)n

e y(n)(t) é a quantidade orrespondenteno modelo transformado, então o tempo de duração de pro esso pode ser dado omofunção de y(n)(t), isto é, γ(n) = inf{t : y(n)(t) = 0}. Assim, para efeito da análise da obertura do pro esso basta a ompanhar a trajetória do vetor (v(n)(t), y(n)(t)).O par ( V (n)(t) , Y (n)(t)) é markoviano e pode ser des rito por um passeioaleatório em Z

2 om estado ini ial ( nρ(n)0 , n

∑L

i=1 iρ(n)i

) e transições dadas por saltosrepresentados pelos vetores (0,−1) e (1, L). O primeiro tipo de salto o orre quandouma partí ula ativa perde uma vida, e o segundo, quando uma nova partí ula é ativada.Se asso iamos à transição (1, L) um pro esso de Poisson Y ∗1 independente de Y0, então

y(n)(t) admite a seguinte representação:y(n)(t) =

L∑

i=1

iρ(n)i +

L

nY0

(

n

∫ t

0

1 − v(n)(s)ds

)

− 1

nY ∗

1

(

n

∫ t

0

v(n)(s)ds

)

,e onverge para

23y(t) = ρ + (L + 1)

∫ t

0

1 − v(s)ds − t, (3.12)de�nido atéγ = inf{t : y(t) = 0}. (3.13)Resumindo, 3.11 e 3.12 impli am nas seguintes expressões para v e y:

v(t) = 1 − (1 − ρ0)e−t, (3.14)

y(t) = ρ + (L + 1)(1 − ρ0)(1 − e−t) − t. (3.15)A �gura 3.3 apresenta duas simulações esto ásti as do pro esso rees alado, omos grá� os do pro esso limite ao fundo (em inza). O grá� o da esquerda representaa evolução do pro esso em K100 e o da direita, a evolução do pro esso em K1000. Emambas as simulações a on�guração utilizada foi L = 2, ρ(n)0 = 0, 1 e ρ(n) = 0, 2.

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0t

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

n = 100

v�HtL

y� HtL

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0t

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

n = 1000

v�HtL

y� HtL

Figura 3.3: Simulação Esto ásti a x Pro esso Limite (em tempo rees alado)3.4 Tempo de Duração do Pro esso Rees aladoO teorema a seguir enun ia a onvergên ia dos tempos de duração do pro essorees alado.

24Teorema 3.2. γ(n) onverge quase ertamente para γ.Prova.Observe que no tempo γ, 3.15 se reduz aγ = ρ + (L + 1)(1 − ρ0)(1 − e−γ). (3.16)É fá il ver que o ponto �xo de f(t) = ρ + (L + 1)(1 − ρ0)(1 − e−t) em R+ existe e éúni o sempre que ρ > 0 (ver �gura 3.4). Quando ρ = 0, se ρ0 < L

L+1então f tem doispontos �xos e a de�nição 3.13 indi a que γ é o maior deles. Observamos que γ poderiaser alternativamente de�nida omo a úni a solução de y(t) = 0 om y′(t) < 0. Valenotar que γ é �nito para qualquer on�guração ρ0, ρ e L om L < ∞.

Γ� t

Γ�

Ρ

fHtL

t

Figura 3.4: Ponto �xo de f(t).Agora seja {γ(nk)} uma subseqüên ia de {γ(n)} que onverge para γ = lim sup{γ(n)}.Então, da onvergên ia uniforme de y(n) para y em intervalos limitados vem que

0 = y(nk)(γ(nk))n→∞−→ y(γ) q. .Analogamente, para uma subseqüen ia {γ(n

k′ )} que onverge para γ = lim inf{γ(n)},temos

250 = y(n

k′ )(γ(n

k′ ))

n→∞−→ y(γ) q. .Como y(γ) = y(γ) = 0, resulta que γ = γ = γ.�

LogHL+1LH1- Ρ0L

t

Ρ

y�

max

y�HtL

Ρ0<L�HL+1L and Ρ>0

Γ�

t

y�

max = Ρ

y�HtL

Ρ0³L�HL+1L and Ρ>0

Γ�

LogHL+1LH1- Ρ0L

t

y�

max

y�HtL

Ρ0<L�HL+1L and Ρ=0

Γ�

t

y�HtL

Ρ0³L�HL+1L and Ρ=0

Γ�

y�

max = 0

Figura 3.5: Comportamento de y(t): 4 situações em termos de ρ, ρ0 e L.Por �m, observamos que se ρ = 0 e ρ0 ≥ LL+1

, então y(t) < 0 para todo t > 0,e o teorema 3.2 forne e γ = limn→∞ γ(n) = 0 quase ertamente. A �gura 3.5 ilustra o omportamento de y em termos de ρ, ρ0 e L.3.5 Convergên ia da CoberturaDada a onvergên ia uniforme de v(n) para v em intervalos limitados, a on-vergên ia de γ(n) para γ garante a onvergên ia da obertura. Isto é,

26v(n)(γ(n)) → v(γ) = v∞.De 3.14 e 3.16 vem que v∞ é dada pela solução da equação

1 − v∞ = (1 − ρ0) exp {−(L + 1)v∞ − ρ + (L + 1)ρ0} .Isso en erra a demonstração do Teorema 2.1.�Observação 3.1. As equações 3.14 e 3.15 estabele em uma orrespondên ia um a umentre os valores de v(t) e y(t), de modo que podemos es rever y em função de v. Atravésde uma manipulação simples dessas equações obtemos

y(v) = ρ + (L + 1)(v − ρ0) + log

(1 − v

1 − ρ0

)

. (3.17)A �gura 3.6 ilustra o omportamento de y(v) em termos de ρ, ρ0 e L.Observação 3.2. Fazendo t = γ em 3.14 é possível rees rever 3.16 em função de v∞ daseguinte maneira:γ = ρ + (L + 1)(v∞ − ρ0).3.6 Teorema Central do LimiteAqui derivamos um teorema entral para a proporção de vérti es visitados. Eleé obtido da apli ação do teorema 3.3 (apresentado a seguir) para o pro esso rees aladoem dimensão reduzida. O teorema 3.3 é o teorema 11.4.1 de Ethier e Kurtz [15℄, ondesua prova pode ser en ontrada.

271

v�

y�Hv

�L

Ρ0<L�HL+1L e Ρ>0

L

L +1

y�

max

Ρ0

Ρ

v¥

1v�

y�Hv

�L

Ρ0³L�HL+1L e Ρ>0

L

L + 1

Ρ0

Ρv¥

1v�

y�Hv

�L

Ρ0<L�HL+1L e Ρ=0

L

L + 1

y�

max

Ρ0

v¥

1v�

y�Hv

�L

Ρ0³L�HL+1L e Ρ=0

L

L + 1

v¥= Ρ0

Figura 3.6: Comportamento de y(v): 4 situações em termos de ρ, ρ0 e L.Teorema 3.3. Seja Z(n) uma seqüên ia de pro essos em { 1nZ : Z ∈ Z

L+1} satisfazendo3.3, e z satisfazendo 3.5. Suponha que para ada ompa to K ⊂ E,∑

l

|l|2 supx∈K

fl(x) < ∞,e que fl e ∂F são ontínuos. Seja tambémU(t) = U(0) +

∑

l

lWl

(∫ t

0

fl(z(s))ds

)

+

∫ t

0

∂F (z(s))U(s)ds,onde Wl são movimentos Brownianos padrão independentes, e U(0) = limn→∞

√n(z(n)(0)−

z(0)), om U(0) uma onstante.Seja ϕ uma função ontinuamente diferen iável em Rd om ϕ(z(0)) > 0, esejam

28τ (n) = inf{t : ϕ(z(n)(t)) ≤ 0}, e

τ = inf{t : ϕ(z(t)) ≤ 0}.Suponha τ < ∞ e∇ϕ(z(τ)) · F (z(τ)) < 0. (3.18)Então,

√n(z(n)(τ (n)) − z(τ)) ⇒ U(τ) − ∇ϕ(z(τ)) · U(τ)

∇ϕ(z(τ)) · F (z(τ))F (z(τ)), (3.19)onde U é Gaussiano om média Φ(t, 0)U(0) e matriz de ovariân ia ov(z(t), z(r)) =

∫ t∧r

0

Φ(t, s)G(z(s))[Φ(r, s)]T ds,

Φ é a solução da equação matri ial∂

∂tΦ(t, s) = ∂F (z(t))Φ(t, s), Φ(s, s) = I, (3.20)e

G(x) =∑

l

llT fl(x).Consideremos o nosso pro esso rees alado x(n)(t) = (v(n)(t), y(n)(t)), e o pro essolimite x(t) = (v(t), y(t)). Para x = (v, y) ∈ R2, seja ϕ(x) = y. Então,

inf{t : ϕ(x(n)(t)) ≤ 0} = γ(n), einf{t : ϕ(x(t)) ≤ 0} = γ.

29Vimos na prova do teorema 3.2 que γ < ∞. Temos f(1,L)(x) = (1 − v) ef(0,−1)(x) = v, e assim, F (x) = (1 − v, L − (L + 1)v). x(γ) = (v∞, 0), e logo,

∇ϕ(x(γ)) · F (x(γ)) = (0, 1) · (1 − v∞, L − (L + 1)v∞) = L − (L + 1)v∞,que é a derivada de y em γ. Assim, para o aso ρ > 0 e para o aso em que ρ = 0e ρ0 < LL+1

podemos apli ar o teorema 3.3 para obter estimativas para v(n)(γ(n)) =

v(n)(γ(n)). Observamos que quando ρ = 0 e ρ0 ≥ LL+1

temos γ = 0, e a derivada de yem t = 0 é zero. Dessa maneira, a hipótese 3.18 não é satisfeita, o que não se veri� anos outros asos, para os quais as hipóteses estão todas satisfeitas.Então, de a ordo om o teorema 3.3, para estes vale√

n(x(n)(γ(n)) − x(γ)) ⇒ U(γ) − ∇ϕ(x(γ)) · U(γ)

∇ϕ(x(γ)) · F (x(γ))F (x(γ)). (3.21)Observando que U tem duas omponentes, digamos (Uv, Uy), hegamos a

√n(v(n)(γ(n)) − v∞) ⇒ Uv(γ) − 1 − v∞

L − (L + 1)v∞Uy(γ). (3.22)Supondo U(0) = (0, 0), a distribuição limite em 3.22 é normal om média 0. Nas linhasa seguir apresentamos os ál ulos para a obtenção da matriz de ovariân ias de U .

∂F (x) =

∂1F1(x) ∂2F1(x)

∂1F2(x) ∂2F2(x)

=

−1 0

−(L + 1) 0

φ

′

11(t, s) φ′

12(t, s)

φ′

21(t, s) φ′

22(t, s)

=

−1 0

−(L + 1) 0

·

φ11(t, s) φ12(t, s)

φ21(t, s) φ22(t, s)

(3.23)

30As derivadas do sistema a ima são om relação a t, e sua solu ão é

φ11(t, s) φ12(t, s)

φ21(t, s) φ22(t, s)

=

e−(t−s) 0

(L + 1)(e−(t−s) − 1) 1

.

G(x) =

1

L

(

1 L

)

(1 − v) +

0

−1

(

0 −1

)

v =

1 − v L(1 − v)

L(1 − v) v + L2(1 − v)

.Daí,G(x(s)) =

(1 − ρ0)e

−s L(1 − ρ0)e−s

L(1 − ρ0)e−s 1 − (1 − ρ0)(1 − L2)e−s

.Logo, ov(U(t), U(t)) =

∫ t

0Φ(t, s)G(x(s))[Φ(t, s)]T ds =

(1 − ρ0)e

−t(1 − e−t) (1 − ρ0)e−t((L + 1)(1 − e−t) − t

)

(1 − ρ0)e−t((L + 1)(1 − e−t) − t

)(L + 1)2(1 − ρ0)e

−t(1 − e−t) + t(1 − 2(L + 1)(1 − ρ0)e−t)

.

Finalmente, usando as onhe idas propriedades da variân ia e simpli� ando adequada-mente, obtemos a variân ia σ2 da distribuição limite em 3.22:σ2 =

(1 − v∞)(v∞ − ρ0 − γ(1 − ρ0)(1 − v∞))

(1 − ρ0) (L − (L + 1)v∞)2. (3.24)Isso en erra a demonstação do teorema 2.2. Vale ressaltar que a redução dadimensão do pro esso foi o que viabilizou o ál ulo da variân ia do pro esso limite, dada

31a di� uldade de se al ular as quantidades envolvidas, omo por exemplo a solução daequação matri ial 3.20.�3.7 Número de Saltos do Pro essoO teorema 2.3 é um orolário do teorema 3.2. Lembramos que N (n) é o númerode transições que o pro esso faz até a asbsorção. Antes da prova do teorema vamosprovar o seguinte lema:Lema 3.1. N (n) ≤ n

(

(L + 1)(1 − ρ(n)0 ) +

∑Li=1 iρ

(n)i

).Prova.Basta ontar o número de saltos do pro esso (V (n), Y (n)). Como já foi dito,

(V (n), Y (n)

) é um passeio aleatório em Z2 om transições (0,−1) e (1, L), e estadoini ial ( nρ

(n)0 , n

∑Li=1 iρ

(n)i

). O evento {V (n)(γ(n)) = k} é equivalente à absorçãodesse passeio aleatório no estado (k, 0). Para que esse evento o orra, o passeio tem quefazer k − nρ(n)0 saltos (1, L), e n

∑L

i=1 iρ(n)i + L(k − nρ

(n)0 ) saltos (0,−1). O númerototal de saltos, k(L + 1) − nρ

(n)0 (L + 1) + n

∑Li=1 iρ

(n)i , é máximo quando k = n.

�Prova do Teorema 2.3.Com a intenção de não di� ultar a leitura, alguns resultados da Teoria da Proba-bilidade usados na prova do teorema 2.3 foram itados aqui e apresentados no Apêndi e.Podemos es rever γ(n) =∑N(n)

i=1 Ri, onde {Ri}i≥1 são variáveis aleatórias omdistribuição exponen ial de parâmetro n independentes. Além disso, N (n) é indepen-dente de {Ri}i≥1. Pela identidade de Wald,E(γ(n)

)=

E(N (n)

)

n.

32 Portanto, tendo em vista o teorema 3.2, o resultado desejado � a estabele idose provarmos que a seqüên ia {E(γ(n))} onverge para γ.O teorema A.1, apresentado no apêndi e, indi a que a onvergên ia vale se{γ(n)} é uniformemente integrável.Considere N (n) = n

(

(L + 1)(1 − ρ(n)0 ) +

∑Li=1 iρ

(n)i

). Do lema 3.1 temos N (n) ≤

N (n), e podemos es reverγ(n) ≤ Γ(n) ∼ Gama

(N (n), n

).Então,

E[(Γ(n))2

]= Var(Γ(n)) + E

[(Γ(n))

]2=

N (n)

n2+

(N (n)

n

)2

≤(

(L + 1)(1 − ρ(n)0 ) +

L∑

i=1

iρ(n)i

)(

(L + 1)(1 − ρ(n)0 ) +

L∑

i=1

iρ(n)i + 1

)

.Como supn E|Γ(n)|2 < ∞ então {Γ(n)} é uniformemente integrável (teorema A.2), o queimpli a que {γ(n)} também o é (teorema A.3). Logo,lim

n→∞E(γ(n)

)= lim

n→∞

E(N (n)

)

n= γ.

�

Apêndi e ATeoremas da Probabilidade

Aqui apresentamos alguns resultados da Probabilidade que foram usados emalgumas passagens da tese. São teoremas onhe idos ujas demonstrações podem seren ontrados na literatura, omo por exemplo no livro de Gut [16℄. Assim, serão apre-sentados sem demonstração.De�nição A.1. Uma seqüên ia X1, X2, . . . é hamada uniformemente integrávelse e somente se∫

|x|>a

|x|dFXn(x) → 0 quando n → ∞ uniformemente em n.Teorema A.1. Sejam X e X1, X2, . . . variáveis aleatórias, e suponha que Xn

q.c.→ Xquando n → ∞. Então, se r ≥ 1 e {|Xn|r, n ≥ 1} é uniformemente integrável entãoE(Xn) → E(X) quando n → ∞.Teorema A.2. Sejam X1, X2, . . . variáveis aleatórias, e suponha que supn E|Xn|p < ∞para algum p > 1. Então {Xn, n ≥ 1} é uniformemente integrável.Teorema A.3. Sejam X1, X2, . . . variáveis aleatórias tais que |Xn| ≤ Yn q. . para todo n,onde Y1, Y2, . . . são variáveis aleatórias positivas integráveis. Se {Yn, n ≥ 1} é uni-formemente integrável, então {Xn, n ≥ 1} também o é.33

34

Referên ias Bibliográ� as[1℄ O.S.M. Alves, F.P. Ma hado, S.Yu. Popov The shape theorem for the frogmodel with random initial on�guration. Markov Pro esses and Related Fields 7,no 4, 525-539 (2001).[2℄ O.S.M. Alves, E. Lebensztayn, F.P. Ma hado, M.Z. Martinez Randomwalk systems on omplete graphs. Bulletin of the Brazilian Mathemati al So i-ety,no 4, vol 37, 571-580 (2006).[3℄ O.S.M Alves, F.P. Ma hado, S.Yu. Popov The shape theorem for the frogmodel. The Annals of Applied Probability, 12, no 2, 534-547 (2002).[4℄ O.S.M. Alves, F.P. Ma hado, S.Yu. Popov Phase transition for the frogmodel. Ele tron. J. Probab. <http://www.math.washington.edu/7Eejpe p> 7, pa-per No. 16 (2002).[5℄ E. Lebensztayn, F.P. Ma hado, M.Z. Martinez Self avoid random walkson homogeneus trees Markov Pro esses and Realted Fields , v. 12, n. 4, 735-745(2006).[6℄ E. Lebensztayn Um estudo sobre ondições para transição de fase no modelo deper olação em grafos Tese (Doutorado em Estatísti a) - Instituto de Matemáti ae Estatísti a, Universidade de São Paulo, São Paulo (2005)35

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