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La necesidad de aproximar numéricamente el valor de una integral surge por dos
motivos fundamentalmente:
la dificultad o imposibilidad en el calculo de una primitiva, la función a integrar
solo se conoce por una tabla de valores.
Para calcular la integral definida, aplicando el Teorema Fundamental del Cálculo,
es preciso obtener previamente una integral indefinida Aunque se conocendiversos métodos para hallar la integral indefinida de una cantidad considerable
de funciones, existen funciones para las cuales estos métodos no son aplicables.
Este inconveniente se supera haciendo uso de la integración numérica. La
integración numérica permite evaluar la integral definida de una función continua
en un intervalo cerrado con la exactitud deseada.
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INDICE
Regla del trapecio
Regla de Simpson
Regla compuesta de SimpsonRegla compuesta del trapecio
Regla del punto medio
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Para calcular la integral definida, aplicando el Teorema Fundamental del
Cálculo, es preciso obtener previamente una integral indefinida. Aunque se
conocen diversos métodos para hallar la integral indefinida de una cantidad
considerable de funciones, existen funciones para las cuales estos métodos
no son aplicables. Este inconveniente se supera haciendo uso de la
integración numérica. La integración numérica permite evaluar la integral
definida de una función continua en un intervalo cerrado con la exactitud
deseada. En este apartado vamos a estudiar dos métodos de integración
numérica: la Regla del trapecio y la Regla de Simpson (debida a Thomas no a
Homero).
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Regla del trapecio
Sea p1(x) el polinomio lineal que interpola a f(x) en x=a y x=b, i.e.,
Usando la fórmula para el área de un trapezoide o integrando p1(x) directamente seobtiene que
Asi que podemos escribir la aproximación:
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Regla se Simpson
Resulta cuando una interpolación polinomial de segundo orden es sustituida en
una ecuación de aproximación con integral:
Después de la integración y manejo algebraico, resulta:
Donde h = (b ± a)/2
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M ETODO DE NEWTON COTES
En análisis numérico las
fórmulas de Newton-Cotes
(nombradas así por Isaac
Newton y Roger Cotes) son un
grupo de fórmulas deintegración numérica de tipo
interpolatorio, en las cuales se
evalúa la función en puntos
equidistantes, para así hallar
un valor aproximado de la
integral. Cuanto másintervalos se divida la función
más preciso será el resultado.
Se divide el intervalo [a, b] en n sub-intervalos
de igual amplitud
xi= x0 + (b-a)/n h
Se aproxima la función por
un polinomio de grado n y se
integre para obtener la aproximación
´b
an dx x p )(
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MÉTODOS DE DIFERENCIAS
DIVIDIDAS
h
x f h x f x f
h
00
00
lim'
!p
10 xh x !
01
01
' x x
x f x f x f
!
),( 101,0 x x f f !
2,1,0 f 02
1021 ),(),(
x x
x x f x x f
02
21
01
12
12 )()()()(
x x
x x
x f x f
x x
x f x f
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h x x
! 21h x x ! 12
!1,0 f h
x f x f )0()1(
h
x f )0((!
!2,1,0 f !
22
)0()1(2)2(
h
x f x f x f
2
2
2
)0(
h
x f (
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)( 0 x f )( 01,0 x x f ))(( 102,1,0 x x x x f
)( 0 x f (
h
x x x f ))(( 00
2^2
)1)()((2^ 00
h
x x x x x f (
sh x x ! 0
h
x x s
0!
! )( 02 sh x p )( 0 x f ( s x f *)( 0
2
)1(*)(2^ 0 ( s s x f
´ ´$b
a
b
a
n dx x pdx x f )()(
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h x x s
0
! !dx
d s
h
1
hd sdx !
´´!
2
0
02 )()( hd s sh x pdx x f
b
a
d s x f s x f s
x f s x f h )2
)0(
2
)0()0()0((
22
0
22(
(
(´
)0(( x s f h
2
)0(2 x f s (
(
6
)0(23 x f s 2
0
22
)4
)0( x f s (
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)1
)(
3
)(4
))()((2
)(2
(
02
02
010
x f x f
x f x f x f h
(
(
)3
)()(2)(2)(2(
02
010
x f x f x f x f h
(
!
(
3
)( 02 x f
3
)()(
3
2
3
)( 0
1
2 x f x f
x f
3
)( 0 x f
3
)(4 1 x f
3
)( 2 x f ? A)2()1(4)0(
3 x f x f x f
h
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Regla compuesta de S impson
Empleando un razonamiento similar al anterior y tomando un polinomio de
grado n=2 para interpolar a f , obtenemos la conocida regla de Simpson:
que es exacta para todos los polinomios de grado 2 y cur iosamente, exacta para todoslos polinomios de grado 3.
En los cálculos prácticos se emplea, generalmente, la regla de Simpson
compuesta, en la que el intervalo de integración [a,b] se divide en un número
par, n, de subintervalos. Tenemos entonces:
h = (b-a)/n
Aplicando la regla de Simpson (77) en cada uno de los subintervalos se obtiene la
expresión final:
(77)
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Regla compuesta del punto medio
PROPOSICION: Sea f C 4[a, b], n par, h = (b ± a)/(n+2), y x j = a + ( j +1)h para
cada j = ±1, 0, 1, 2, ... n+1. La regla de compuesta del punto medio para n
subintervalos puede escribirse como:
§´!
!
2/
0
22
n
j
j
b
a x f hdx x f
x 0 = a x n+1 = b
y= f ( x )
x 0 x j -1 x j x n x 1 x j +1
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Regla compuesta del trapecio
la Regla de Trapecio Compuesta está dada por:
x 0 = a x n = b
y= f ( x )
x 1 x j -1 x j x n ±1
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Por medio de todos los métodos estudiados encontrar la integral de la
siguiente función:
3.1 Mediante calculo iterativo a mano
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S olución con metodo de simpson
´ !
3.1
0
3
55 dx
x I
5!n
2
03.1
2
!
!
abh
65.0!h
? A)()(4)(3
)(210
x f x f x f h
dx x f I
b
a
}! ´
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En estas notas hemos discutido algunos métodos clásicos para aproximar integrales,
así como algunas de las técnicas de integración desarrollados durante los últimos
años: aproximaciones analíticas, integración numérica, métodos de Monte Carlo y
técnicas de Monte Carlo vía cadenas de Markov. Cuál de estos métodos es mejor? La
elección depende, por supuesto, del tipo de información que se requiera en cadaaplicacion específica. Los métodos de Monte Carlo vía cadenas de Markov son
bastante flexibles en relación con los otros métodos, pero pueden llegar a tener un
costo computacional muy alto. Probablemente la mejor estrategia en una aplicación
concreta consista en combinar varios de los métodos revisados en estas notas. Es
frecuente, por ejemplo, que la aproximación normal asintótica a la distribución final
del parámetro de interés sugiera formas que pueden ser utilizadas como
distribuciones de muestreo por importancia para Monte Carlo, o bien como
distribuciones de transición para el algoritmo de Metropolis-Hastings.
c onc lusiones
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CONCLUSIONES
El método de simpson es la mejor seaproxima al integral real.
Mientras más intervalos mucho mejor sera
la aproximación.