Integrales Multiples

7/18/2019 Integrales Multiples

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INTEGRALES MULTIPLES

1. Integrales dobles sobre rectàngulos2. Propedades!. "àlculo#. Teore$a de %ubn

&. "a$bo de 'arable(. La trans)or$ac*n a coordenadas polares+. Aplcacones de las ntegrales dobles

R,SA N. LLAN,S -ARGAS



INTEGRALES ,/LES S,/RE RE"TANGUL,S





||P||= máx { diagonales de , i = }

Sea ( .Consideremos el prisma que tiene por base el rectánguloy altura ( ! entonces

el "olumen del prisma será



$a suma de %iemann sobre %, es

Si ||P||& , entonces el "olumen del s'lido es

e0ncn . Si la unci'n es continua sobre un

rectángulo %, la integral doble de sobre % ,es

Si el lmite existe. % se llama dominio de integraci'n



neral si * es una regi'n acotada del plano y si es una unua sobre *, entonces la integral doble existe y su "alor e

ite (+.

ma. Si es una unci'n continua sobre la regi'n acotada *, entonces es integrable sobre *.

cn. )l "olumen del s'lido debao de la super/cie S0 1 = base es el conunto acotado * es,



PR,PIEAES E LAS INTEGRALES ,/LES

Si y g son unciones integrables sobre la regi'nacotada *

$inealidad

2onotona03. Si (x,y g(x , y sobre * entonces



4diti"idad5. Si * = son acotados, entonces

6. Si (x , y 7 & sobre * , entonces

8. -eorema del "alor medio .9 Si 0 es continuaentonces en el punto , tenemos0

donde 4(* es el área de la regi'n *



"L"UL, E LAS INTEGRALES ,/LES

S ITERAAS. a , b; x : c , d ; un rectángulo sobre el cual la unci'n es continuaniendo /a la "ariable x , la unci'n depende de y, e integrando conto a y , se tiene

lla$ada ntegral

4







E,REMA E %U/INI . Si es continua sobre el rectángulo %= :a , bntonces

. Si % = { (x,y } , siendounciones continuas en : a, b ; , es una unci'n continua sobre %.

>

?



. Si % = { (x,y } , siendounciones continuas en : c , d ; , es una unci'n continua sobre %.



si (x , y = g ( x ( y , sobre %= : a, b ;x : c ,d ; entonces



"AM/I, E -ARIA/LE

s una unci'n continua de/nida sobre la regi'n acotada S de en % y s

una transormaci'n continua de/nida sobre una regi'n acotada * de

tales que existe

- S" ( x , y 1

( x , y = ( x ( u, " , y ( u ,"

nde,



)l determinante de la matri1 acobiana , denotado por |D(u,"|,es

)ntonces

d4 = dxdy = |D(u,"|dud"

*e all que



4 -%4ASEB%24CFBA 4 CBB%*)A4*4S PB$4%)S

=

e all que

ta transormaci'n se utili1a, por lo general, cuando aparece en eltegrando o en los lmites de integraci'n.



4P$FC4CFBA)S *) $4 FA-)G%4$ *BH$)

i 0 * es continua sobre la regi'n acotada *.

. Area de la superfcie S : z = (x,y) ,limitada por la curva C. C es la r S. es la re!i"n limitada por la proyecci"n de C sobre el plano #$.



4P$FC4CFBA)S *) $4 FA-)G%4$ *BH$)

a. Si % es la regi'n del plano ocupada por una lámina cuya densida

a punto P(x,y es )ntonces la masa de la lámina es0

tro de masa .



)emplos. *ibuar la regi'n de integraci'n y calcular la s integrales doblessiguientes0

+

)n esta integral x "ara entre & e y , mientras y "ara entre & y 3I ! esdecir

&Jx 5 y &J y J 3I ?

= 3I x = y

$uego, & > = 93I

Cambiando el orden de la integraci'n0 &Jx 5 3I , x J y J 3I

= == 9 ( x K senx = 9 3





FF. Si

a Gra/car la regi'n * b Calcular como una sola integral

FFF0 )ectuar un cambio de "ariable para calcular

Sea la transormaci'n -0y

D(u," =< >L<?=3

Por otro lado, transormando *,b x= & , y

& 3 xM = 9u , u = 9<y , luego u N :93, & ;



b y = & , xN :& , 3 ; , entonces "= u , u = x luego uN :&, 3 ; M

c x L <y = 3

3

Pero & J xJ3 , y , x= = "=9 u " = u

)ntonces & J & O

= 3(+9cos+



INTEGRALES TRIPLES S,/RE RE"TNGUL,S

Si 0 % F% es una unci'n continuasobre %siguiendo el mQtodo del cálculo

integral, luego de de/nir una partici'n sobrecada

uno de los inter"alos : a , b ;, : c , d; , : u , " ; en m, n y l subinter"alos,respecti"a9mente, entonces % queda di"idido en

mnlpequeRos paraleleppedos de la orma

H i = : xi9+ , xi ;x:y 9+ , y ;x:19+ , 1 ;

Cuyo "olumen es 6 8 -4 6 9 6 : 68 ;



INTEGRAL TRIPLE



INTEGRAL TRIPLE



PR,PIEAES E LA INTEGRAL TRIPLE

$as Propiedades del + al 6 de las integrales dobles se generali1anpara las integrales

-riples, en general sobre un s'lido T , se tiene0

donde T = .

y se llaman UsolapamientosV



dM

"L"UL, E INTEGRALES TRIPLES <INTEGRAL ITERAA



E-ALUA"I=N E INTEGRALES ITERAAS

S R es el rect3ngulo R 4 >a? b@ 9 >c ? d@ 9 >u ?' @ sobre el cual )es ntegrable? entonces



+. Si % 0

$a regi'n de integraci'n % ,es proyectada

Sobre el plano >?.

REGI,NES E INTEGRA"I=N



>= (y,1 ?=(x,1



)emplo +



ectando sobre el plano >?, acemos 1 = & , entonces

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4

−1

1

2

3

4

y

y

x

9<



*eterminar el s'lido cuyo "olumen es dado por la integral

&& x y& 1 + 9

)emplo <



TE,REMA E %U/INI PARA INTEGRALES TRIPLES

Si suponemos que la regi'n de integraci'n es de la primera ormaT0 a



"a$bo de -arable

,y



"AM/I,S E -ARIA/LES BA",/IAN,S



"AM/I, E -ARIA/LES EN INTEGRALES TRIPLES



r c o s

rsen

",,RENAAS "ILINRI"AS



"AM/I, A ",,RENAAS "ILINRI"AS



EREN"IAL E -,LUMEN EN ",,RENAAS "ILINRI



$a integral triple en coordenadas

cilndricas



Coordenadas )sQricas

>=

E(, ,



"AM/I, A ",,RENAAS ES%ERI"AS



%EREN"IAL E -,LUMEN EN ",,RENAAS ES%CRI"





1 = + 9









y L 1 = < , x = 3 9











M,MENT,S E INER"IA E UNA REGI=N S=LIA



"a$bo de -arable

,y



"AM/I,S E -ARIA/LES BA",/IAN,S



"AM/I, E -ARIA/LES EN INTEGRALES TRIPLES



r c o s

rsen

",,RENAAS "ILINRI"AS



"AM/I, A ",,RENAAS "ILINRI"AS





$a integral triple en coordenadas

cilndricas



Coordenadas )sQricas

>=

E(, ,









1 = + 9









y L 1 = < , x = 3 9





Date post:	13-Jan-2016
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