MATEMATICAMATEMATICA FINANCIERA FINANCIERA

Oscar Ruiz Carrasco

• ES LO QUE SE PAGA O SE RECIBE POR CIERTA CANTIDAD DE DINERO TOMADA O DADA EN PRESTAMO

INTERES

Oscar Ruiz Carrasco

INTERES

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intereses

Capitalinicial

Capital inicial

Capital final

Lapso de tiempo

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VARIABLES QUE DETERMINAN EL INTERES:

• CAPITAL COLOCADO O INVERTIDO• TASA DE INTERES IMPLICITA O EXPLICITA• TIEMPO DE DURACION DE LA OPERACIÓN• RIESGO DE LA OPERACIÓN • OTRAS VARIABLES: económicas, políticas y sociales, etc

En consecuencia el interés esta en función de:

I = f ( capital, tasa, tiempo, riesgo, etc.)

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Matemáticamente, el interés se denota: I = S – P (1) I = P x i x n (2)

Donde :I = interésS = monto finalP = principal o capital inicial

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INTERES SIMPLE:Es el interés que se genera en un periodo determinado, cuyo cálculo se realiza en función del capital inicial.

Este método realiza su capitalización (que es la adición de dicho interés al capital original) únicamente al término de la operación.

SIMBOLOGIAI : InteresP : Principal, capital o stock inicial de efectivo, valor presenteS : Monto, capital o stock final de efectivo, valor futuron : numero de periodos de tiempo(días, meses, trimestres, etc.)i : Tasas de interés simple por unidad de tiempo, expresado en porcentaje

Para deducir la formula general que calcule el interés simple consideremos el siguiente ejemplo.

Un fabricante de calzado ha adquirido un préstamo de S/. 1,000 del Bco. Financiero, la tasa de interés que le cobra dicho banco es de 10% al año y el préstamo será cancelado en un periodo de 3 años

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Formula general:

Nro de años (n)

Capital inicial (P)

Tasa de interés(i)

Operación (P x n x i)

Interés (I)

1 1,000.00 0.10 1,000 x 0.10 x 1 100.00

2 1,000.00 0.10 1,000 x 0.10 x 2 200.00 .. … …. ……… …… n 1,000.00 0.10 1,000 x 0.10 x n

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I = P x i x n

P = I i.n

i = I P.n

n = I P.i

(3)

(4)

(6)

Por lo que, se puede deducir que el interés total que se paga por una operación es:

En esta formula hay que tener en cuenta que tanto la (i) como (n) deben estar expresados en la mismas unidades., es decir, si (i) se expresa en años, (n) también deberán ser en años.De la ecuación (1) se pueden derivar las siguientes formulas:

(5) (6)

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Ejemplos:

1.Un banco otorgo a una empresa un préstamo de S/. 5,000, para ser devuelto dentro de un año, cobrando una tasa de interés simple del 20%. ¿Cuál será el interés que pagara la empresa al vencimiento?

Rpta: La empresa pagara al banco la cantidad de S/. 1,000 de intereses.

2. ¿Cuál será el interés acumulado en 90 días por un deposito de ahorro de S/. 3,000 percibiendo una tasa de interés simple del 20% anual?

Rpta: El interés acumulado en 90 días es de S/. 150 3. Una persona deposita S/. 6,000 en una entidad financiera ganando

una tasa de interés simple del 5% mensual ¿que interés habrá acumulado en 3 meses.Rpta: Se habrá acumulado durante 3 meses la suma de S/. 900

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¿ Si Ud. deposita y retira de su Cta. de ahorros en un banco una determinada cantidad de dinero en el mismo día, ganara interés alguno.?

PERIODO DE TIEMPO COMPRENDIDO ENTRE DOS FECHAS

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No. para percibir intereses es necesario, que el dinero haya permanecido en el banco como mínimo un día, transcurrido entre dos fechas consecutivas, la primera de las cuales se excluye y la ultima se incluye

A, esta operación se conoce como el “Método de los días terminales”

PERIODO DE TIEMPO COMPRENDIDO ENTRE DOS FECHAS

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PERIODO DE TIEMPO COMPRENDIDO ENTRE DOS FECHAS

Mes Días Días transcurridos en el mesJunio JulioAgosto

303131

5 excluye el 25 de junio (30 - 25)31 incluye los 31 días25 incluye el 25 de agosto61 días

Ejemplo:

4.- ¿cuantos días de interés se habrán acumulado entre 25 de junio y el 25 de agosto del mismo año, fechas de deposito y cancelación de un importe ahorrado en un banco?Solución:

Respuesta: Se han acumulado 61 días.

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Ejemplos:

5. Si se abre una Cta. el día 29/03 y se cierra el 02/04 del mismo año. ¿Cuántos días deben considerarse entre ambas fechas?

6. ¿Cuántos días de interés se habrán acumulado entre el 05/07 y el 15710 del mismo año, fechas de deposito y cancelación de un importe ahorrado en un banco?

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El año bancario, se conoce también como año ordinario o comercial es de un periodo de 360 días.

El año bancario tiene como submúltiplos, los semestres, cuatrimestres, trimestres, bimestres, meses, quincenas y días bancarios cuyo número de días y unidades de tiempo se indican en la sgte tabla:

AÑO BANCARIO Y AÑO EXACTO

Termino Periodo de días

Nro de unidades de tiempo

AñoSemestreCuatrimestreTrimestreBimestreMesQuincenaDía

360180120 90 60 30 15 1

1 2 3 4 6 12 24360

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El uso del año bancario simplifica algunos cálculos, sin embargo aumenta el interés generado.

Y el año exacto o año real, es de un periodo de 365 días (366 días cuando es año bisiesto)

AÑO BANCARIO Y AÑO EXACTO

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Ejemplos: 7. Calcule el interés simple exacto y ordinario de un capital de S/. 4,000, colocado en un banco durante 50 días, a una tasa del 3% anual. 8. Calcule el interés simple de un capital de S/. 10,000, colocado en el banco Financiero desde el 5 de abril al 15 de junio del mismo año a una tasa del 2% mensual.  9. ¿Que capital colocado a una tasa anual del 24% producirá un interés simple de S/. 1,000 en el periodo comprendido entre el 18 de mayo y 31 de julio? 10. ¿Cuál será la tasa mensual de interés simple a cargar en el financiamiento a 45 días, sobre un articulo cuyo precio de contado es de S/. 3,000 y al crédito sin cuota inicial será de S/. 3,540?  11.¿En cuanto tiempo podrá duplicarse un capital a una tasa de interés simple del 4% mensual?

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Respuestas: 7. El interés exacto es de S/. 16.44 y el interés ordinario es de S/. 16.67  8. El interés simple generado es la suma de S/.473.33  9. El capital colocado es la suma de S/.20,270.27  10. La tasa mensual de interes simple es del 12%  11. El capital se duplicara en 25 meses

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Cuando en el mercado se producen variaciones de tasas, la formula (3) debe modificarse para incluir dichas variaciones durante los periodos de tiempo de vigencia de la tasa.

VARIACIONES EN LA TASA DE INTERES

m I = P Σ ik nk

k=1

I = Pi1n1 + Pi2n2 + Pi3n3+…….... + Pimnm

I = P (i1n1 + i2n2 + i3n3+……….....+..imnm)

Corresponde a la tasa de interés acumulada

Esta formula calcula el interés simple con variaciones de tasa.

(7)

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Ejemplo: 

12.- Calcular el interés simple de un deposito de ahorro de S/. 10,000, colocado en el Banco Finanzas, del 06/07 al 30/09 del mismo año ganando una tasa anual de interés simple del 36%. La tasa bajo al 24% a partir del 16/07 y al 21% a partir del 16/09.Solución:

VARIACIONES EN LA TASA DE INTERES

A partir de I anual dias6/7

16/718/930/9

I1 = 36%I2 = 24%I3 = 21%cancelac

n1 = 10n2 = 62n3 = 14 86

i1 = 36% i2 = 24% i3 = 21%6/7 n1 = 10 d. 16/7 n2 = 62 d. 16/9 n3 = 14 d. 30/9

I = ?P = S/. 10,000

I = P (i1 n1 + i2 n2 + i3 n3 )I = 10,000 (0.36x10/360 + 0.24x62/360 + 0.21x14/360)I = 10,000 (0.0595)I = S/. 595

Respuesta: El interés simple ganado es la suma de S/. 595

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Cuando el saldo de una cuenta corriente., de ahorro, etc., cambia constantemente debido a los movimientos que se generan en torno a ella (cargos y abonos), el calculo del interés simple se efectúa usando numerales. Numeral es el producto de cada nuevo saldo de una cuenta y el número de días de permanencia de ese saldo sin movimiento. A una fecha determinada (fin de mes, trimestre, etc.) se obtiene el interés simple multiplicando la sumatoria de los numerales por la tasa diaria de interés. 

VARIACIONES EN EL PRINCIPAL

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Ejemplo: 

13.- El 1/6 una persona abre una cuenta de ahorros en el Banco Finanzas con un importe de S/. 1,000 por el que percibe una tasa de interés anual de 24%. A partir de esa fecha efectúa en su cuenta los siguientes movimientos:

VARIACIONES EN EL PRINCIPAL

A partir de operacion Importe1/69/6

21/61/7

depositodepositoretirocancelac

S/. 1,000 200 500

Se requiere calcular el interés simple que genero el principal hasta el 1/7 del mismo año, fecha en la cual se cancelo la cuenta de ahorros

Solución:

I = i (P1n1 + P2n2 + P3n3+…………….Pmnm)I = 0.24 (1,000x8/360 + 1,200x12/360 + 700x10/360)I = 0.24 (81.6667)I =S/ 19.60Respuesta: El interés simple que genero el principal asciende a S/. 19.60

n1 = 8 d. n2 = 12 d. n3 = 10 d.

1/6 9/6 21/6 1/7

P1 = 1,000 P2 = 1,200 P3 = 700

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MONTO, CAPITAL O STOCK FINAL, VALOR FUTURO

El monto o valor futuro es el resultado de la suma del capital inicial (P) más los intereses (I) generados en un periodo de tiempo (n) y representa el valor equivalente futuro del principal:

Si S= P + I y I = P. i . n Reemplazando (I) en (S), se tiene: En esta formula (n) y (i) se refieren a una misma unidad de tiempo. El termino (1 + in), es el Factor Simple de Capitalización (FSC) a interés simple, que convierte un importe inicial en un monto final igual a S, al cabo de n periodos De la ecuación (9), despejamos i y n:

S = P (1 + in)

i = S/P – 1 n

n = S/P – 1 i (1 0 ) (11 )

( 9 )

Oscar Ruiz Carrasco

MONTO, CAPITAL O STOCK FINAL, VALOR FUTURO

Ejemplos:14.- ¿Que monto habrá acumulado una persona en una cuenta de ahorros del 04 al 16 de octubre del mismo año, percibiendo una tasa de interés simple del 2% mensual, si el deposito inicial fue de S/. 2,000?

15.- Una maquina cuyo precio de contado es de S/. 5,000 fue adquirida con una cuota inicial de S/. 1,500 y el saldo financiado con una letra a 45 días por el importe de S/. 4,000. ¿Cuál fue la tasa mensual de interés simple cargada?

16.- ¿En que tiempo se podrá triplicar un capital a una tasa anual de interés simple del 50%?

Oscar Ruiz Carrasco

MONTO, CAPITAL O STOCK FINAL, VALOR FUTURO

Respuestas:

14.- El monto acumulado es de S/.2.016

15.- La tasa mensual de interés simple cargada es del 9,52%

16.- El capital se triplica dentro de 4 años

El resultado esta dado en años porque se ha trabajado con una tasa anual. Si quisiéramos expresarlo en meses, días, quincenas, etc., entonces tendríamos que multiplicar el resultado por 12 meses o 360 días.

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MONTO CON VARIACIONES DE TASAS

Cuando se producen variaciones de tasa, podemos aplicar la siguiente formula:

(12)

Ejemplo: 17.- Un préstamo de S/. 3,000 fue pactado para ser devuelto dentro de 6 meses conjuntamente con los

intereses simples generados por el capital inicial y calculados con la tasa de inflación mensual más un punto adicional. Al final del plazo la inflación fue del 1% y 1.5% para el primer y segundo mes y del 1.8% para los restantes 4 meses. Calcule el monto de esa operación.

Solución: S =? S = P (1 + i1n1 + i2n2 + i3n3) P = S/. 3,000 S = 3,000 (1 + 0.02x1 + 0.025x1 + 0.028x4)

S = 3,000 (1.157)

S = S/. 3,471

Respuesta: El monto de la presente operación asciende a la suma de /. 3,471

i 1 = 0 .0 2 n 1 = 1 I 2 = 0 .025 n 2 = 1 I 3 = 0 .028 n 2 = 4

S= P(1 + i1n1 + i2n2 + i3n3 + …….. + imnm)

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PRINCIPAL, CAPITAL O STOCK INICIAL, VALOR PRESENTE

Dicho capital inicial se obtiene despejando P en : En esta formula, al igual que el caso del valor futuro, (i) y (n) están expresadas en la misma unidad de tiempo. El termino (1 / 1 + in), es el Factor Simple de Actualización (FSA) a interés simple, que trae un monto desde el termino del plazo de la operación hacia el inicio del mismo. Ejemplo: 18.- Encontrar el capital que impuesto a una tasa de interés simple mensual del 2% durante 85 días, ha

producido un monto de S/. 500

Solución: P =? P = S P = 500 S = S/.500 (1 + in) (1 + 0.02x85/30) i = 0.02 n = 85 días/30 P = S/. 473.19

Respuesta: El capital correspondiente es de S/. 473.19

P= S 1 1 + in

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ECUACIONES DE VALOR EQUIVALENTECuando dos importes coinciden cronológicamente y están expresados en la misma unidad monetaria entonces, en ese momento del tiempo podrán sumarse o restarse. Esta propiedad puede utilizarse tanto cuando se lleva un valor al futuro (capitalizar) o cuando se trae al presente (actualizar). Asimismo, dos o más importes de dinero ubicados en diferentes momentos de tiempo son equivalentes cuando sus valores, llevados a una misma fecha en el tiempo con una misma tasa de interés, son iguales

Para el cálculo de equivalencias de capitales a interés simple es necesario fijar una fecha focal (fecha de evaluación) y plantear una ecuación de equivalencia donde se pongan en igualdad las condiciones originales y las nuevas condiciones y luego despejar la incógnita planteada.

Oscar Ruiz Carrasco

ECUACIONES DE VALOR EQUIVALENTEEjemplos: 19.- El día 29 de setiembre la empresa el Bosque SRL., tiene con el banco Sudamericano una deuda de

S/. 5,000 que vence el 15 de octubre y otra deuda de S/. 6,000 que vence el 15 de noviembre. El Bosque renegocio con el banco y consolido sus deudas en una sola cuenta a interés simple con vencimiento a 30 de diciembre del mismo año, a una TNA constante de 24%. Se requiere saber el monto que cancelara el Bosque el 30 de diciembre.

Solución:

76 días 45 días 5,000 6,000 S=? 29/9 15/10 15/11 30/12

S = 5,000 (1 + 0.24x76/360) + 6,000 (1 + 0.24x45/360) S = 5,000 (1.05066667) + 6,000 (1.03) S = 5,253.33 + 6,180 S = 11,433.33

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ECUACIONES DE VALOR EQUIVALENTE

20.- En la fecha, la empresa Costa Azul S.A., tiene tres deudas con el Banco de Finanzas por S/. 4,000, 6,000 y 8,000 las cuales vencen dentro de 20, 40 y 60 días respectivamente. Si Costa azul negocia con su Banco efectuar un pago único de 18,000. ¿En que fecha debe efectuarlo considerando una tasa anual de interés simple del 24%?

Solución:

40 días 4,000 6,000 8,000 0 20 40 20 días 60

Para el desarrollo del presente problema es necesario efectuar la equivalencia en la fecha del último vencimiento. Con los presentes datos la equivalencia se efectuara en el día 60

4,000 (1 + 0.24x40/360) + 6,000 (1 + 0.24x20/360) + 8,000 = 18,000(1 + 0.24/360xn) 4,106.67 + 6,080 + 8,000 = 18,000 + 12n 12n = 186.67 n = 186.67/12 n = 15.56

Con el pago de 18,000 la deuda total quedara cancelados 16 días antes del día 60

MUCHAS GRACIAS...