INTERÉS SIMPLE final.doc

8/18/2019 INTERÉS SIMPLE final.doc

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MATEMATICA FINANCIERA

MATEMÁTICA FINANCIERA

Las matemáticas Financieras son una de las partes más útiles e interesantes de lamatemática aplicada, sobre todo en la situación económica actual que exige a laspersonas relacionadas con el medio financiero un amplio conocimiento, así como laactualización de las operaciones y técnicas aplicadas en el mercado.Las personas y las instituciones empresariales con su dinero aspira lograr el máximobeneficio como comprador, y óptimos beneficios como inersionista!sto demanda cada ez mas un mayor número de profesionales y asesores quesean capaces de efectuar cálculos financieros y dar la orientación adecuada a todoslos que se "allan en la necesidad de conseguir dinero prestado, o que disponen decapital para prestarlo o ponerlo a producir en inersiones. #l desarrollar el curso se analizarán los principales conceptos matemáticos y lastécnicas aplicadas en la solución de operaciones que se generan en el mediofinanciero. #demás al desarrollar los e$ercicios los alumnos aplicarán las fórmulas, ecuaciones,

análisis y razonamiento financieros con la finalidad de amalgamar sus conocimientosde matemática básica con el medio financiero.

INTERÉS SIMPLE!l interés es la diferencia que existe entre un monto o capital final y el importeoriginal que lo produ$o!l interés es el importe que se cobra al final de cada período se%ala

&

'#(&)#L '#(&)#L

&*&'L F&*#L '

L#(+ -! )&!(

!l precio que se paga por un capital depende de los siguientes factores/0. -el beneficio económico o social a obtener con la utilización de dic"o capital.1. -el tiempo de la operación, a mayor tiempo mayor interés.

2. -e la seguridad sobre él buen fin de la inersión, y del respaldo de la personaque solicita el crédito, a mayor riesgo mayor tasa de interés y iceersa.

3. -e la situación del mercado de dinero. 4na mayor demanda sobre la ofertapresionará a un incremento de la tasa de interés, o a elegir entre aquellosdemandantes de capital que presenten un menor riesgo potencial.

5. -e otras ariables de carácter económico, político, social, etc.& 6 función 7capital, tasa, tiempo, riesgo, etc.8

El Interés/ !s la cantidad que paga por el uso de dinero a$enoEL capital: (uede estar dado en moneda nacional o moneda extran$era.La tasa: de interés simple se suele expresar en tanto por ciento 798 y

traba$ar en las fórmulas financieras en tanto por uno.El Tanto por uno/ !s el rendimiento que produce una unidad de monedaEl Monto/ !s la suma del capital mas los intereses ganadosEl tiempo: !stá referido al plazo total de la operación.

DOCENTE: FREDY JUNIOR ÄPAZA CRUZ 1


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El riesgo: !s la medida de la incertidumbre de que el deudor "onre alacreedor su compromiso al encimiento del plazo pactado, elprecio del riesgo se incluye en el costo del dinero.

! C"lculo #el interés simple!n una operación de interés simple el capital que genera los intereses permanece

constante durante el tiempo de igencia de la transacción.Sim$olog%a& 6 &nterés( 6 (rincipal, capital o stoc: inicial de efectio, alor presente.+ 6 onto, capital o stoc: final de efectio, alor futuro.,n 6 *úmero de períodos de tiempo 7días, meses, trimestres, semestres, etc8.i 6 )asa de interés simple por unidad de tiempo, expresado en tanto por uno.F&rmula general I ' P( i n ) ()!$emplo/ para calcular el interés simple consideremos un préstamo de +;. 0<


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permanecido en la institución financiera como mínimo un día, transcurrido entre dosfec"as consecutias, la primera de las cuales se excluye y la última se incluye,operación conocida como el Iétodo de los días terminalesJ.!$emplo 3.= A'uántos días de interés se "abrán acumulado entre el 05 de ayo y el de #gosto del mismo a%o, fec"as de depósito y cancelación de un importe

a"orrado en un bancoB. Soluci&nes -ías -ías transcurridos en el mes

ayo05Kunio2anco 'entral de ?esera del (erú, el a%o bancario

es un período de 2@< días. ea el siguiente cuadro/)érmino (eríodo en días

#%o+emestre'uatrimestre)rimestre>imestreesHuincena-ías

2@<0G<01<<@<2<050

*úmero de unidades de tiempo en un a%o bancario4nidad *úmero

#%o+emestre'uatrimestre)rimestre>imestreesHuincena-ías

0123@0113

2@<

!$emplo/ 5 -ado la tasa anual de interés simple del 139 anual A'uál será la tasapara el período comprendido entre el 0 de enero de 1


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!+ Inclusi&n 5 e6clusi&n #e #%as cuan#o se pro#ucen 7ariaciones #e tasas'uando existen ariaciones de tasas los intereses deben calcularse por tramos/ !$emplo/!l 10 de agosto, cuando la tasa de interés simple mensual fue 2,59, uncomerciante depositó en su cuenta de a"orros +;. 02


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MATEMATICA FINANCIERA m& 6 ( O i: n: 7 5 8 P 6 0

La fórmula 7 5 8 calcula el interés simple con ariaciones de tasa.!$emplo 00/ 'alcular/

a8 !l interés simple de un depósito de a"orro de +;. G5


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La siguiente fórmula es utilizada para resoler este tipo de problemas/& 6 i Q (0 n0 N (1 n1 N (2 n2 N (3n3 N ... (m.nm. R'ada sumando de la expresión entre corc"etes es un numeral.!$emplo 01/4n comerciante abre una libreta de a"orros el 0 de abril con +;. 0 0


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28 'alculamos los numerales/ multiplicando los saldos acreedores ( P por los díasnP que la cuenta "a permanecido con ese saldo y obtenemos la sumatoria delas operaciones acumuladas durante el mes que es de +;. 21 G0< la misma queiene a representar los numerales que serirán para el cálculo del interés.

38 +e "alla el interés del mes, multiplicando la tasa diaria por la sumatoria de los

numerales acreedores&nterés 6 7


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( 6 15


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Soluci&n F&rmula 0 ( 6 B ( 6 + i 6


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< 25 G 0G<1


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i 6


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-atos fórmulan 6 B n 6 & / (i( 6 5<


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-atos Fórmula+ 6 B + 6 (70 N in8( 6 00 5 . #$, #> ;$ .$ > S() 22 000& #$ #. > 5 , > 20 ,#> .$ ,#,> > 7&5?) *C.=> .:> #$,/ > ;#> -. > ,.;#!

S>.;#$ % E> #$,/:D F,.>IH P ! I S K PS 22 000I 22 000 K 21 187&80I 0&075 I 812)2$ 46 ( 90% E> ;#>

F,.> S 22 000

P P 21 187&80 1 + "#$%G 1 + " 0&075 ' 46 ( 90 %G

15) D,#$, > #$,/ #> #$;>.# $ > $ S() 10 000& $# > 2 L.$# , .$ ;#>

;>; > 1 .$ $.> > 36?)S>.;#$I !S 10 000$ 32 ( 360# 0&36I S K P " 1 %

S P " 2 % 1 + " # $ %G R>$ "2 % $ "1% $:

I S 1 K 1 ( "1 + # $ % G

1I 10 000 1 K 310&08

1 + "0&36 ' 32( 360 %

DOCENTE: FREDY JUNIOR ÄPAZA CRUZ 13


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MATEMATICA FINANCIERA16) U$ ,; >;,/#; #$ .$ ,;# ;$ S() 1 800) P, . -.#,#, ;,/# ;$.$ ;.) #$#;#> S()800 .$ >, S() 1 200 45 & *;.=> > #$,/ #> $.>;, $ #$$;##$! S>.;#$D F,.>

# ! S ( P K 1

P 1 800 800 1 000 # $ 1&5 $S 1 200 1 200 ( 1 000 K 1# 0&1333333333?

1&5

17) *E$ -./ # .$ ;#> S() 1 000 ,= ;$> 5? #$,/ #>!S>.;#$D F,.>

n 6 B + / ( = 0( 6 0


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-atos Fórmula ( 6 B +

+ 6 3


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c8 !l número de períodos de capitalización en el a%o 7m8, el cual se "allarelacionando con el a%o bancario y la frecuencia de capitalización de la tasa deinterés.

d8 La frecuencia de capitalización 7 f 8/ número de días del período capitalizable.e8 !l "orizonte de tiempo 7 E 8/ número de días de la operación. +i un contrato de

préstamo se amortiza en cuotas o partes, entonces E 6 E0 N E1 N ... N En D dondelos E: representan el número de días de cada cuota..

f8 !l número de períodos de capitalización 7n8 en el "orizonte temporal. +eentiende que el número de capitalizaciones debe ser un número entero dado por el cociente E / f

m aplica$le a una tasa anualCapitaliaci&n Dperaci&n m

#nual 2@


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! El -actor simple #e capitaliaci&n!l F+', factor simple de capitalización 7 0 N i 8 es el monto compuesto de I a unatasa i por período, durante n períodos y su función es llear al futuro cualquier cantidad presente o traer al presente cualquier cantidad del pasado.!$emplo 0. 'alcule el monto de un capital inicial de +;.


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t n t N 0 = n t N 0

( 7 0 N i 8 t ( 7 0 N i 8 n ( 7 0N i 8N 0

!l monto "asta el momento t es ( 7 0 N i 8t

.!l monto "asta el momento t N 0 es ( 70 N i 8 t N 0 ( a )(or analogía que el monto "asta el momento n es (70 N i8 n. !ntonces para ser consistente, el monto "asta el momento t N 0 debe ser igual al monto en el momenton lleado "asta t N 0, es decir /( 7 0 N i 8 n 7 0 N i 8 t N 0 = n ( $ )( 70 N i8 n 70 N i8 t N 0 T n 6 (70 N i8 n N t N 0 = n 6 ( 7 0 N i 8 t N 0

'on esto demostramos la igualdad de 7a8 y 7b8 y la consistencia de la aplicación den no entero.+ 6 ( 7 0 N i 8 E / f 7058

!$emplo 3.= 'onsideremos un capital de +;.01


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'uando una tasa es susceptible de diidirse o multiplicarse para ser expresada enotra unidad de tiempo diferente a la original, con el ob$eto de capitalizarse una o máseces, recibe el nombre de tasa nominal. !n este caso la tasa nominal es una tasareferencial mientras la tasa efectia refle$a el número de capitalizaciones que "aexperimentado durante un plazo determinado.

!l monto compuesto aplicando una tasa nominal capitalizable m eces en un plazodeterminado durante n períodos se calcula con la siguiente fórmula/ $ n

+ 6 ( 0 N 7 0@ 8 m!$emplo C. 'alcular el monto a pagar dentro de @ meses por un préstamo bancariode +;. 03


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!$emplo 0


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de $unio. 'alcule el importe abonado por el banco a !-!(#L#. considerandouna tasa nominal del 2@9 anual con capitalización mensual.Soluci&n-atos/ Fórmula( 6 ( 6 + 70 N i 8 = n

+ 6 @<


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+i se "ubiesen conocido en la fec"a del descuento las futuras ariaciones detasas 7lo cual no es posible, debido a las fluctuaciones de tasas en el mercado8, elimporte erdadero del alor presente sería calculado del siguiente modo.Soluci&n-atos/ Fórmula

(06 B (0 6 + 70 N i0 8= 7E0 / f8

7 0 N i1 8= 7E1 / f8

+ 6 1<


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-e la ecuación 7118 despe$amos (, i y n

& & 0 / n Log. 7 & / ( N 08( 6 7 11 8D i 6 N 0 = 0 712 8D n 6 7138 7 0 N i 8 n =0 ( Log. 7 0 N i 8

!$emplo 0C. 'alcule el interés compuesto generado en un trimestre por unainersión de +;.35


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+i el período comienza en el momento n y acaba en el momento n, paraobtener el interés generado en ese período, calculamos la diferencia de losintereses acumulados "asta el momento n y los intereses generados "asta elperíodo anterior n .Fórmula

&P 6 ( i 7 0 N i 8n =0

7 15 8

!$emplo/ 10 #licia a"orra en una entidad financiera +;. 0


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Soluci&n-esignando el día de "oy como el momento


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'on el ob$eto de aplicar el programa a cualquier artículo comercializado por laempresa se traba$ará a niel de una unidad monetaria +;.0,


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Pro$lemas #esarrolla#os #e interés compuesto0. 'alcular el monto a pagar dentro de 5 meses por un préstamo bancario de

+;. 5<


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n6 2 a%os y medio2. !l 0 de abril el precio de una materia prima de +;. 1<


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+olución-atos/ Fórmula( 6 B ( 6 +70 N i 8 = n + 6 2


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G y 10 de $unio (egaso +.#. amortizó +;.5


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+ 6 alor nominal del documento, alor futuron 6 (eríodos de tiempo que faltan para el encimiento del título=alor i 6 )asa dé interés por período de tiempo aplicable sobre Pd 6 )asa de descuento por período de tiempo aplicable sobre S!


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- 6 + 0 = + 6 2 G


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n0 6 2


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!$emplo G.= 'alcule el importe disponible a obtenerse "oy por el descuento racionalde un pagaré con alor nominal de +;. 0<


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(artiendo del futuro para llegar al presente, deducimos la fórmula del descuentorealizado en cualquier período :.

(n (n= 0 (2 (1 (0 +&===================&===============&&================&================&================&================&

n n =0 2 1 0 <+70N i8 = n +70N i87n = 08 +70Ni8 =2 #70 N i8 =1 +70 N i8=0

-0 6+ =+ 70 Ni8 =0 6+ 70 N i8=0 70 N i =08 6+70 N i8 =0 i-1 6+7 0 N i8 =0 = + 70 N i 8 =1 6 +70 N i8=1 7 0 N i T08 6+70 N i8 =1 i-2 6+ 70 N i8 T1 =+7 0 N i8 =2 6 + 70 Ni8 =2 70 N i = 08 6+70 N i8 =2 i-n 6 + 70 N i 8 = 7n=08 = + 70 N i8 =n 6+ 70Ni8 =nN0= +70 Ni8=n 6+70 N i8=n 70 N i=08

6+70 N i8 = n i8(ara un período : cualquiera, su respectio descuento ( puede calcularse con lasiguiente fórmula/

-: 6 + i 70 N i8 = : 728

!$emplo 00.= 4n pagaré cuyo alor nominal es +;. 5


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: 6 2 -2 6 5


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Soluci&n-atos Fórmulan 6 B días n 6 - / +d+ 6 3


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( 6 + 70 T d8n 70anco #mericano,aceptó un pagaré de +;.


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Soluci&n-atos Fórmula- 6 B - 6 +Q0 = 70 = d 8n + 6 C<


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+olucióna) tilian#o un a tasa #el >4 anual-atos/ Fórmula- 6 B


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MATEMATICA FINANCIERA( -0 ( 7d08 ( = (7d 08 6

(70=d 08d1 ( 70 T d 08 d 1 (?0 = -c 0 6

( 70=d 08 70= d18

!l descuento comercial sucesio total es igual a la diferencia del precio de entaoriginal y el último precio reba$ado/-c 6 ( T (?n

-c 6 ( = (70 = d 08 70 = d18 ... 70 = dn 8 RF;,#$ $:-c 6 ( Q 0 = 70 = d 0 8 70 = d 18 ... 70 = dn8R 70@8

!l término entre corc"etes representa La tasa de descuento acumulada.0ltimo precio re$aa#o!l último precio reba$ado después de "aber otorgado un con$unto de descuentossucesios se obtiene con la siguiente fórmula/(? 6 ( Q 70 = d 0870 = d 18 ... 70 = d n 8 R 70C8

!$emplo 15.= (or campa%a de quincena, una tienda de autosericios ofrece el

descuento del 1


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a) Tasa #e #escuento o (aumento) acumula#ad 6 Q0 = 70 N


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n1 6 35 ; 2@< - 6 3,5


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n 6 2 meses antes de ( 6 3 C


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MATEMATICA FINANCIERA ( n

&n 6 738 )iempo

( i

m

& 6 ( O i : n : 758 &nterés simple con 1 ariaciones de tasas

m

& 6 i O ( : n : 7@8 *umerales 1+ 6 ( N & 7C8 onto

+ 6 ( 70 N in8 7G8 onto

+ / ( = 0i 6 78 )asa de interés

n

+ / ( = 0n 6 70


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MATEMATICA FINANCIERA (

Log. 7& / (8 N 0n 6 7138 )iempo Log.70 N i 8

&: 6 ( i 70 N U 8 n =0 7158 &nterés deengado en el período :

F&rmulas


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! Interés simple

0. A'uánto "abrá ganado un capital de +;. 1<


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a8 S 0C 5


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'onsiderando que PLK tiene una tasa de rentabilidad en dólares del @9

mensual, Aque opción le coniene. Apor quéB ?p. #l crédito porque le

representaría una inersión a alor presente de S C


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bancariamente a una tasa de descuento simple anual del 0G9B.

?p. + 6 +;. 5


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! interés simple

0. A'uánto "abrá ganado un capital de +;. 1<


52/63


día 01 de $unio 1,59 mensual, día 13 de $unio 9 trimestral, día 2 de $ulio 109

semestral. Hué interés se pagará al encimientoB ?p. & 6 + / . 55.


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considerando que la entidad financiera abona los intereses en la cuenta cada fin

de mes. ?p. + 6 +;. 5 @@@,@@.

Soluci&n

-atos Fórmula

+ 6 B +6 (Q70 N i0n0 8 70 N i1n1 8 70 N i2n2 8 70 N i3n3 8 70 N i5n58R

( 6 5


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Soluci&n

-atos Fórmula

n 6 B n ' I / Pi

( 6 02


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& 6 + = ( 6 1


56/63


Capital inicial3 7alor presente

3. A'uánto debo inertir "oy para acumular +;. 1<


57/63


i1 6


58/63


& 6 0


59/63


+olución

-atos Fórmula

( 6


60/63


bancariamente a una tasa de descuento simple anual del 0G9B.

?p. + 6 +;. 5


61/63


'alcule el descuento bancario realizado en el tercer y quinto mes.

?p. -2 6 +;. G3,@GD -5 6 +;. C,@G.

Soluci&n

-atos Fórmula

- 6 B - 6 + d 70 = d 8 :=0

+6 2


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d0 6


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