1UNIVERSIDAD DE LOS ANDES

Facultad de Ingeniera

Departamento de Ingeniera Industrial

Probabilidad y Estadstica I

Sesiones # 23 y # 24

Intervalos de Confianza

Mario Castillo (Coordinador General Curso)

2Intervalos de Confianza

Caso No. 1: Intervalo de Confianza para la media cuando se muestrea una distribucin normal con varianza conocida.

Supuestos:

1) Variable aleatoria:

2) Parmetros poblacionales: desconocida, conocida.

3) Muestra aleatoria: calculables a partir de la muestra aleatoria.

Estadstico:1) Estimador del parmetro :

2) Construccin del estadstico:

Construccin del Intervalo de confianza para el parmetro :

)1,0(~0

Nn

X

nNX

2

0,~

1

1

0)2/1(

0)2/1(

)2/1(

0

)2/1(

nzX

nzXP

zn

XzP

nzXIC 0)2/1(%100)1(

20,~ NX 2

0

SnX ,,

3Ejemplo (Clculo del I. de C.)

Variable de inters: precio de las acciones de compaas del sector tecnolgico en US.

Se sabe que el precio de los acciones se comporta como una VA N(, 400). Se tiene una MAde tamao 9 dada por: (100, 109, 110, 80, 65, 125,120, 85, 85).

Calcular el IC para , de 90% y 95% de confiabilidad.

De la MA se obtiene: Por otra parte:

- P(XN* z) = 0.975 => z = 1.96

- P(XN* z) = 0.950 => z = 1.65

Entonces el IC para , de 95% de confiabilidad est dado por:

Ejemplo (Clculo del I. de C.)

Variable de inters: Consumo mensual de minutos de celular de estudiantes de P&E I.

Se sabe que esta variable se comporta como una VA N(, 703.22). Se tiene una MA detamao 10 dada por: (400, 200, 400, 600, 700, 900, 550, 150, 400, 400). Calcular el IC para

, de 95% de confiabilidad.

Intervalos de Confianza

404

7.97

2

S

X

]76.110;64.84[9

2096.17.970)975.0(%95

nzXIC

]8.905;15.34[10

2.70396.14700)975.0(%95

nzXIC

4Intervalos de Confianza

Caso No. 2: Intervalo de Confianza para la media cuando se muestrea unadistribucin normal con varianza desconocida.

Supuestos:

1) Variable aleatoria:

2) Parmetros poblacionales: desconocidas.

3) Muestra aleatoria: calculables a partir de la muestra aleatoria.

Estadstico:1) Estimador del parmetro :

2) Construccin del estadstico:

pero es desconocido.

Por otra parte, se puede demostrar que:

)1,0(~ Nn

X

nNX

2

,~

2,~ NX2,

SnX ,,

2

)1(2

2

~)1( nnS

)1()1(

2

2~~

)1(

)1(

nn tnS

Xt

n

nS

n

X

5Intervalos de Confianza

Caso No. 2: Intervalo de Confianza para la media cuando se muestrea unadistribucin normal con varianza desconocida.

Supuestos:

1) Variable aleatoria:

2) Parmetros poblacionales: desconocidas.

3) Muestra aleatoria: calculables a partir de la muestra aleatoria.

Estadstico:1) Estimador del parmetro :

2) Construccin del estadstico:

Construccin del Intervalo de confianza para el parmetro :

nNX

2

,~

2,~ NX2,

SnX ,,

)1(~

ntnS

X

1

1

)2/1()2/1(

)2/1()2/1(

n

StX

n

StXP

tnS

XtP

n

StXIC )2/1(%100)1(

6Ejemplo (Clculo del I. de C.)

Variable de inters: activos de una muestra aleatoria de 1000 clientes de un banco.

Segn el comportamiento de los datos, esta variable se comporta como un VA N(, 2).

Con base en la muestra, se calcul que = 517 ($M) y S = 300($M).

Hallar el IC para , de 90% y 95% de confiabilidad.

- P( t(999) t ) = 0.950 => t = 1.645

- P( t(999) t ) = 0.975 => t = 1.96

Los IC del parmetro de 90% y 95% de confiabilidad estn dados por:

Intervalos de Confianza

X

]6.535;4.498[1000

30096.1517)975.0(%95

n

StXIC

]6.532;4.501[1000

300645.1517)95.0(%90

n

StXIC

7Intervalos de Confianza

Caso No. 3: Intervalo de Confianza para la diferencia de medias cuando semuestrean dos distribuciones normales independientes con varianzasdesconocidas pero iguales.

Supuestos:

1) Variables aleatorias:

2) Parmetros poblacionales: desconocidas.

3) Muestras aleatorias: calculables a partir de la M.A.

Estadstico:1) Estimador del parmetro (1 - 2):

2) Construccin del estadstico:

pero es desconocido.

Por otra parte, se puede demostrar que:

2

2

1

2

2121 ,~nn

NXX

222211 ,~,,~ NXNX 221 ,,

222111 ,,,,, SnXSnX

2

)2(22

2

212

2

1

21~)1()1( nnn

Sn

S

)2(

21

22

2

212

2

1

2

2

1

2

2121

21~

2

)1()1(

nnt

nn

nS

nS

nn

XX

1,0~

2

2

1

2

2121 N

nn

XX

)2(

21

2

2

21

2

1

21

2121

21~

2

)1()1(11

nnt

nn

nSnS

nn

XX

8Intervalos de Confianza

Caso No. 3: Intervalo de Confianza para la diferencia de medias cuando semuestrean dos distribuciones normales independientes con varianzasdesconocidas pero iguales.

Estadstico: donde

Construccin del Intervalo de confianza para el parmetro (1 - 2):

11111

111

21

)2/1(2121

21

)2/1(21

)2/1(

21

2121

)2/1(

nnSptXX

nnSptXXP

t

nnSp

XXtP

2

)1()1(~

11 21

2

2

21

2

1)2(

21

2121

21

nn

nSnSSpt

nnSp

XXnn

21

)2/1(21%100)1(

11

nnSptXXIC

9Intervalos de Confianza para la Diferencia de Medias - Ejemplo

X1 X2

n1 = 100 n2 = 100

S12 = 41 S2

2 = 46

Media Muestral 1 =101 Media Muestral 2 = 80.3

]53.22;87.18[100

1

100

1)595.6(96.13.80101%95

IC

595.62100100

)1100(46)1100(41

2

)1()1(

21

2

2

21

2

1

Sp

nn

nSnSSp

21

)975.0(21%95

11

nnSptXXIC

10

Intervalos de Confianza

Caso No. 4: Intervalo de Confianza para la diferencia de medias cuando semuestrean dos poblaciones independientes, no necesariamente normales, paramuestras grandes y varianzas conocidas.

Supuestos:

1) Variables aleatorias:

2) Parmetros poblacionales: desconocidas conocidas.

3) Muestras aleatorias: calculables a partir de la M.A.

Estadstico:1) Estimador del parmetro (1 - 2):

2) Construccin del estadstico:

Construccin del Intervalo de confianza para el parmetro (1 - 2):

2

2

2

1

2

12121 ,~

nnNXX

2222

11221121 ,,,, XVarXVarXEXEXX

21,

222111 ,,,,, SnXSnX

1,0~

2

2

2

1

2

1

2121 N

nn

XX

2

2

2

1 ,

1

1

2

2

2

1

2

1)2/1(2121

2

2

2

1

2

1)2/1(21

)2/1(

2

2

2

1

2

1

2121

)2/1(

nnzXX

nnzXXP

z

nn

XXzP

2

2

2

1

2

1)2/1(21%100)1(

nnzXXIC

30, 21 nn

11

Intervalos de Confianza

Caso No. 5: Intervalo de Confianza para la diferencia de proporciones cuando semuestrean dos poblaciones independientes, no necesariamente normales, paramuestras grandes y varianzas conocidas.

Supuestos:

1) Variables aleatorias:

Estadstico:1) Estimador del parmetro (p1 - p2):

2) Construccin del estadstico:

Construccin del Intervalo de confianza para el parmetro (p1 - p2):

2

22

1

11212121

)1()1(,~

n

pp

n

ppppNXXpp

1,0~

)1()1(

2

22

1

11

2121 N

n

pp

n

pp

pppp

2

22

1

11)2/1(21%100)1(

)1()1(

n

pp

n

ppzppIC

2211 ~,~ pBernoulliXpBernoulliX

)1()1( 2221112211 ppXVarppXVarpXEpXE

12

Intervalos de Confianza

Caso No. 6: Intervalo de Confianza para la varianza cuando se muestrea una distribucin normal.

Supuestos:

1) Variable aleatoria:

2) Parmetros poblacionales: desconocidas.

3) Muestra aleatoria: calculables a partir de la M.A.

Estadstico:

Construccin del Intervalo de confianza para el parmetro 2:

1)1()1(

1)1(

)2/(

22

)2/1(

2

)2/1(2

2

)2/(

nSnSP

nS

P

2,~ NX2,

SnX ,,

2

)1(2

2

~)1( nnS

)2/(

2

)2/1(

2

%100)1(

)1(;

)1(

nSnSIC

13

EJEMPLO

Variable de inters: estatura de los estudiantes de P&E I.

Segn el comportamiento de los datos, esta variable se comporta como un VA N(, 2).

Se quiere construir un intervalo de confianza del 99% para la varianza de dicha variable a partir de una MA

de tamao 15 en la que se obtuvieron las siguientes estaturas en centmetros: 182, 167, 170, 165, 169,

169, 180, 181, 175, 157, 168, 168, 183, 178, 162.

Solucin:

De la muestra aleatoria se obienten S2 = 61.54 y n = 15.

Intervalos de Confianza

]43.211;51.27[075.4

)115(54.61;

32.31

)115(54.61%99

IC

)005.0(

2

)995.0(

2

%99

)1(;

)1(

nSnSIC

14

Intervalos de Confianza

Caso No. 7: Intervalo de Confianza con respecto al cociente de varianzas de dos distribuciones normales independientes.

Supuestos:

1) Variables aleatorias:

2) Parmetros poblacionales: desconocidas.

3) Muestra aleatoria: calculables a partir de la M.A.

Construccin del Estadstico:

Construccin del Intervalo de confianza para el parmetro (12/ 2

2 ):

1

1

)2/1(2

2

2

1

2

2

2

1)2/(2

2

2

1

)2/1(2

2

2

1

2

1

2

2)2/(

FS

SF

S

SP

FS

SFP

22222111 ,~,,~ NXNX

2

)1(22

2

22

)1(12

2

2

2

1

1

1

~)1(,~)1( nn nS

nS

2

2

2

121 ,,,

222111 ,,,,, SnXSnX

)1,1(

1

2

1

2

2

2

2

2

2

12

1

1

2

~

)1(

)1(

)1(

)1(

nnF

n

nS

n

nS

)1,1(22

22

2

12

21

1

~ nnFS

S

)2/1(2

2

2

1)2/(2

2

2

1%100)1( ; F

S

SF

S

SIC

15

Tabla de la Distribucin Normal Estndar

Probabilidad acumulada

hasta el punto z.

= ( )

= 1 ( )

16

Tabla de la Distribucin ()

n: Grados de libertad.

17

Tabla de la Distribucin ()2

n: Grados de libertad.

18

Tabla de la Distribucin F

m: Grados de libertad del numerador.

n: Grados de libertad del denominador.

05.0)( vVP

19

Ejercicios Propuestos

1. Suponga, que se quiere analizar el comportamiento de la media de la variable

Consumo mensual de Minutos de Celular en la poblacin de estudiantes deP&E 1. Usando las 100 muestras aleatorias que se encuentran en el archivo

Ejercicios IC.xlsx construya los intervalos de confianza del 95% para la

estimacin de la media poblacional si se sabe que es 703.72 minutos/mes , yencuentre la proporcin de veces que dicho intervalo contiene a la media.

2. Repita el procedimiento anterior asumiendo que no se conoce la varianza

poblacional.

3. Suponga que se desea comparar los tiempos de desplazamiento Casa-

Universidad y Universidad-Casa de los estudiantes de P&E 1. Usando el archivo

Ejercicios IC.xlsx construya un intervalo de confianza del 95% para la diferencia

de medias, asumiendo normalidad y que la desviaciones son de 20.11 y 21.81

minutos, respectivamente . Analice sus resultados.