Introducción a los ﬂujos multifásicos -...

Introducción a los flujos multifásicos

Patricio Bohórquez & Luis Parras

Escuela Politécnica Superior de Jaén

Universidad de Jaén, España

Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales

Universidad de Málaga, España

Curso de Mecánica de Fluidos Computacional Aplicada

Técnicas Reunidas S.A.

02/Julio/2010

Introducción a los flujos multifásicos– p.1

Flujos multifásicos: caso inmiscible

Flujos inmiscibles:

Nos referimos a 2 o más fases separadas por una superficie infinitesimal.

Ejemplos.- Caída libre de una gota de agua en la atmósfera, rotura de una presa, llenado deun depósito, etc.



Interface tracking:

Las ecuaciones que gobiernan el problema son, para cada fase, las ecuaciones deNavier-Stokes. Por ejemplo, para agua y aire, a bajos números de Mach, se tiene:

~x ∈ el aire : ∇ · ~vg = 0 , (1)

∂ρg~vg

∂t+ ∇ · (ρg~vg~vg) = −∇pg + ∇ · (τ

′

g + τ′′

g ) , (2)

~x ∈ el líquido : ∇ · ~vf = 0 , (3)

∂ρf~vf

∂t+ ∇ · (ρf~vf~vf ) = −∇pf + ∇ · (τ

′

f + τ′′

f ) , (4)

Arriba, t es tiempo, ~v es la velocidad, p = P − ρ~g · ~x es la presión reducida, P es la presión

absoluta, ρ es la densidad, τ′ es el tensor de esfuerzos viscosos,

τ′

= µl

»

∇~v + (∇~v)T +

„

µv

µl

−2

3

«

(∇ · ~v) I

–

, (5)

µl es la viscosidad dinámica, µv es la viscosidad de mezcla y τ′′ es el tensor de esfuerzos

de Reynolds.Introducción a los flujos multifásicos– p.3


Interface tracking:

Las ecuaciones de cada fase están acopladas a las de la fase colindante vía la superficielibre.

La superficie libre, o interfase, representa pues una condición de contorno que estácompuesta por: una condición cinemática y una condición dinámica. Formalmente,

~x ∈ Γ : ~vf = ~vg , (τf − τg) · ~n = (Pf − Pg + σκ) · ~n , (6)

donde σ es el coeficiente de tensión superficial, ~n es el vector unitario normal a la interfazdibujado desde el gas hacia el líquido, κ es la curvatura local de la superficie,

κ ≡ ∇ · ~n y τ ≡ τ′

+ τ′′

. (7)

Si se resuelve la formulación dada anteriormente por (1)-(7), diremos que hacemos uso de unmétodo tipo interface tracking (ver Tukovic & Jasak, 2008, y Jasak, 2009). Ejemplo,transporte de sulfactantes entre una gota ascendente y la atmósfera,



Interface tracking:

Hay casos en los que se puede despreciar la influencia del movimiento de una fase en la dela otra. En tal caso, sólo se resuelve las ecuaciones de Navier-Stokes en la fase de interés yse extrapola el campo de velocidades a la fase débil. Ejemplo.- Análisis del flujo sobre unperfil aerodinámico en un canal de agua:

Ventajas: la interfaz está definida por el contorno de las celdillas de la malla; la difusiónnumérica inherente a los métodos de bajo orden de consistencia no distoriona la forma de lainterfaz; permite determinar con exactitud la posición de la superficie libre, calcular lacurvatura y lidiar con efectos dominantes de tensión superficial (no sufre de corrientesparásitas).

Inconvenientes: requiere deformar la malla; en presencia de distorsión elevada de lasceldillas es necesario remallar e interpolar entre mallas (problemas de conservación demasas, inestabilidades numéricas, etc); no permite cambios de forma (por ejemplo,formación y coalescencia de burbujas) a no ser que se lleve a cabo un tratamiento exhaustivodel método (ver trabajos de Sandeep Menon en http://www.ecs.umass.edu/ smenon/).


http://www.ecs.umass.edu/~smenon/


Interface capturing (level set):

El sistema de ecuaciones (1)-(4) y la condición de contorno (6) se pueden combinarmodelando la fuerza de superficie como una fuerza de volumen:

ρ∂~v

∂t+ ρ∇ · (~v~v) = −∇p + ∇ · τ − σκδ(d)~n , ∇ · ~v = 0 , ~x ∈ Ω (8)

donde ~v viene dada por

~v =

8

>

<

>

:

~vf ~x ∈ líquido~vf = ~vg ~x ∈ Γ

~vg ~x ∈ aire

.

La densidad ρ y viscosidad µ se definen de manera análoga a ~v. Por otro lado, Ω es eldominio que contiene los fluidos y δ es la delta de Dirac. Por otro lado, d es la funcióndistancia a la interfaz.

La interfaz Γ está parametrizada por la función distancia φ ≡ d, conocida como level set:

Γ = ~x |φ(~x, t) = 0 , (9)

siendo φ > 0 en el líquido y φ < 0 en el aire.



Interface capturing (level set):

La condición cinemática establece que φ se propaga a la velocidad del fluido,

∂φ

∂t+ ∇ · (φ~v) = 0 . (10)

El vector normal y la curvatura de la interfaz se puede expresar fácilmente en términos deφ(~x, t): ~n = ∇φ/|∇φ| and κ = ∇ · (∇φ/|∇φ|).

Para que φ(~x, t) continue siendo la función distancia para todo t, se debe reinicializar encada paso de tiempo,

∂φ

∂τ+ sgn(φ0)(|∇φ| − 1) = 0 , (11)

donde sgn(φ0) es

sgn(φ0) =φ0

q

φ2

0+ (∆x)2

. (12)

Inconvenientes: la reinicialización de la función distancia no garantiza la conservación de lamasa. Típicamente, levelset pierde un 20 % de la masa fluida a lo largo de la simulación.



Interface capturing (volume of fluid):

Numéricamente es inviable trabajar con magnitudes discontínuas en la interfaz, como son laviscosidad µ, densidad ρ, ...

Para evitar la aparición de oscilaciones espúreas se suaviza la transición entre fases:

ρ = ρfγ + ρg(1 − γ) , µ = µf γ + µg(1 − γ) .

Se supone que las fases son miscibles en una región “cercana” a la interfaz (típicamente,± 3 celdillas computacionales):




La velocidad másica ~v viene dada por

~v = [γρf~vf + (1 − γ)ρg~vg]/ρ . (13)

El flujo volumétrico ~u viene dado por

~u ≡ γ~vf + (1 − γ)~vg satisfaciendo ∇ · ~u = 0 . (14)

Se considera que existe un movimiento relativo (de deslizamiento) entre las fases dentro dela interfaz: ~urγ ≡ ~vf − ~vg es la velocidad relativa de la fase líquida respecto de la fasegaseosa.

Las ecuaciones de conservación a resolver son (ver Berberovic et al., 2009):

∂ρ

∂t+ ∇ · (ρ~v) = 0 , (15)

∂ρ~v

∂t+ ∇ · (ρ~v~v) = −∇p + ∇ · τ − σκ∇γ − ~g · ~x∇ρ , (16)

∂γ

∂t+ ∇ · (γ~u) + ∇ · [γ(1 − γ)~urγ ] = 0 . (17)




Ventajas: es conservativo, permite analizar flujos que experimentan cambios topológicos(formación y coalescencia de burbujas), es fácil de implementar y permite la resolución delas pequeñas escalas vía refinado octree (Popinet, 2009).

Inconvenientes: en la malloría de las implementaciones se pierde la localización de lainterfaz e introduce corrientes parásitas en flujos dominados por tensión superficial.




La velocidad de compresión de la interfaz ~vrγ debe actuar a lo largo de la dirección perpendiculara la interfaz:

~vrγ = Kc∇γ

|∇γ|. (18)

Existen distintas formulaciones para asignar un valor al factor de compresión Kc. Por defecto,interFOAM adopta la siguiente ley:

Kc = mın(Cγ~u · ~nf , max(~u · ~nf )) (19)

donde ~nf es el vector normal a la cara de la celdilla. La constante Cγ toma valores comprendidosentre 0 y 2, usualmente 1.


Flujos multifásicos: caso miscible

Existen dos grandes grupos (ver Ishii & Hibiki, 2006 y Drew & Passman, 1999):

Modelos de mezcla: se emplea cuando el acoplamiento entre las fases es débil y laconcentración de una de las especies es pequeña respecto de la otra. Esto es, cuandoexiste poca disparidad de masa entre las especies y, por tanto, la velocidad relativa entre losdistintos componentes es pequeña frente a la velocidad másica de la mezcla. También seemplea cuando no se satisfacen dichas hipótesis siempre y cuando haya suficiente tiempode interacción (Manninen et al., 2006).

Su uso está estandarizado en tanques de sedimentación, separadores, ciclones, etc.



(continuación):

Modelos multi-fluídicos: se emplea cuando existe una larga disparidad de masas y no existeuna fase predominante. Por ejemplo, en mezclas binarias de aire y partículas sólidas,lechos fluidizados, etc.

Constituyen un reto científico. Nótese que existen grandes grupos de trabajo internacionales,a destacar MFIX y MULTIFLOW (Berend van Wachem Research Group).


https://mfix.netl.doe.gov/

http://www.multiflow.org/


Modelo de mezcla:

Actualmente disponemos de 1 modelo de mezcla para 2 fases. La descripción teórica delmismo y de los tutoriales incorporados se encuentra en Brennan (2001).

Las ecuaciones de partida son las de Navier-Stokes para cada especie. Por ejemplo,continuidad se lee como

∂αfρf

∂t+ ∇ · (αfρf 〈~vf 〉) = 0 , (20)

∂αpρp

∂t+ ∇ · (αpρp〈~vp〉) = 0 , (21)

¡Y se reescribe de la siguiente forma!

∂ρ

∂t+ ∇ · (ρ~v) = 0 ó ∇ · (〈~u〉) = 0 , (22)

∂αp

∂t+ ∇ · (αp~v) + ∇ · (αp(1 − αp)~vr) = 0 . (23)

Interpretamos: ecuación de continuidad de la mezcla + ecuación de trasporte escalar para laconcentración volumétrica de la fase débil.



Modelo de mezcla:

Las ecuaciones de partida son las de Navier-Stokes para cada especie. Por ejemplo,balance de momento se lee como

∂αpρp〈~vp〉

∂t+ ∇ · (αpρp〈~vp〉〈~vp〉) = −∇(αp〈ps〉) + ∇ · (αp〈τp〉) + αpρp~g , (24)

∂αfρf 〈~vf 〉

∂t+ ∇ · (αfρf 〈~vf 〉〈~vf 〉) = −∇(αf 〈p〉) + ∇ · (αf 〈τf 〉) + αf ρf~g , (25)

¡Y se reescribe de la siguiente forma!

∂ρ〈~v〉

∂t+ ∇ · (ρ〈~v〉〈~v〉) = −∇(αf 〈p〉) −∇(αp〈ps〉) + ∇ · 〈τ〉 − ~g · ~x∇ρ , (26)

~vr = ~vf − ~vp = · · · (27)

Interpretamos: ecuación de balance de momento cinético de la mezcla + ecuaciónconstitutiva de movimiento relativo para ~vr , ps y τ .

Hipótesis inheretes: la inercia de la fase p es despreciable.



Modelo de mezcla:

El tensor de esfuerzos generalizado τ contiene: el tensor de esfuerzos viscosos τ′, el tensor

de esfuerzos de Reynolds τ′′ y el tensor de difusión de cantidad de movimiento debido al

movimiento relativo entre fases τ′′′.

τ′

= µl

»

∇~v + (∇~v)T +

„

µv

µl

−2

3

«

(∇ · ~v) I

–

, (28)

τ′′

= µt

»

∇~v + (∇~v)T +

„

µv

µt

−2

3

«

(∇ · ~v) I

–

, (29)

τ′′′

≡ αp(1 − αp)ρfρp

ρ~vr~vr . (30)

La velocidad de deslizamiento puede incluir efectos difusivos (ley de Fick), velocidad defluctuación turbulenta (difusión turbulenta), shear-induced self-diffusion, etc.

El modelo es generalizable a n fases dispersas. Ver, por ejemplo, Liu & García (2007).



Modelo multi-fásico:

Actualmente disponemos de 2 modelso multi-físicos para 2 fases:

Modelo para flujos compuestos por fases tipo líquido-gas (bubbleFoam).

Modelos para flujos compuestos por fases tipo sólido-gas (twoPhaseEulerFoam).

La derivación matemática de los mismos es original.

¿Qué hay detrás de los modelos teóricos y de su formulación matemática?

bubbleFoam: descrito en profundidad en Weller (2005) y Rusche (2002).Alberto Passalacqua ha presentado una descripción detalla tanto del solver numéricocomo de su implementación y como de los parámetros que en el intervienen.

twoPhaseEulerFoam: constituye una extensión del anterior, donde se incluyen leyesreológicas predefinidas para flujos gas-sólido basadas en la teoría cinética(van Wachem, 2000). Se observa que kineticTheoryModel.C implementa los modelosdescritos en la tesis de van Wachem.

¿Por qué? Muy sencillo, por las leyes de cierre y las ecuaciones constitutivas.

Éstas condicionan la convergencia de los métodos numéricos tipo segregado que sonincorporados en la solución propuesta.

La alternativa son las descritas anteriormente: solvers numéricos específicamentediseñados para problemas acoplados.


Flujos multifásicos: esquemas acoplados

La solución propuesta:

Definir una estructura de datos apropiada para lidiar con el acoplamiento de ecuaciones, demanera análoga a coupledMatrix ⇒ Damos el salto a la versión OpenFOAM-1.5-dev.

Redefinimos la estructura de datos, e.g. blockMatrix (ver Clifford & Jasak, 2009, yKissling et al, 2010).

VulaSHAKA: Simultaneous Neutronic, Fuel Performance, Heat And Kinetics Analysis.


http://sourceforge.net/projects/vulashaka/


Referencias:

1. Tukovic, Z. and Jasak, H. (2008) Simulation of free-rising bubble with soluble surfactant usingmoving mesh finite volume/area method. 6th International Conference on CFD in Oil & Gas,Metallurgical and Process Industries.

2. Jasak, H. (2009) Dynamic Mesh Handling in OpenFOAM. AIAA.

3. Menon, S., Rothstein, J. and Schmidt, D. P. (2009) A Numerical Study of Axi-symmetricDroplet Formation Using A Moving Mesh Approach. 11th Triennial International AnnualConference on Liquid Atomization and Spray Systems.

4. Berberovic, E., van Hinsberg, N. P., Jakirlic, S., Roisman, I. V. and Tropea, C. (2009) Dropimpact onto a liquid layer of finite thickness: Dynamics of the cavity evolution. PhysicalReview E 79, 036306.

5. Popinet, S. (2009) An accurate adaptive solver for surface-tension-driven interfacial flows.Journal of Computational Physics, 228(16): 5838-5866.

6. Ishii, M., Hibiki, T. (2006) Thermo-fluid dynamics of two-phase flow. Springer.

7. Drew, D. A. and Passman, S.L. (1999) Theory of Multicomponent Fluids. Springer.

8. Manninen, M., Taivassalo, V., Kallio, S. (1996) On the mixture model for multiphase flow.Tech. Rep. VTT Publications 288., Centre of Finland.



Referencias (continuación):

9. Brennan, D. (2001) The numerical simulation of two-phase flows in settling tanks. Ph.D.thesis, Imperial College, University of London.

10. Liu, X., Garcia, M. H. (2007). Numerical modeling for the Calumet Water Reclamation Plant(CWRP) primary settling tank. Tech. rep., University of Illinois.

11. Weller, H. G. (2005). Derivation, modelling and solution of the conditionally averagedtwo-phase flow equations. Tech. Rep. TR/HGW/02, Nabla Ltd.

12. Rusche, H. (2002). Computational fluid dynamics of dispersed two-phase flows at high phasefractions. Ph.D. thesis, Imperial College, University of London.

13. Passalacqua, A (2010) The FOAM Documentation Project, pp 1-1/1-31.

14. van Wachem, B. G. M. (2000). Derivation, implementation, and validation of computersimulation models for gas-solid fluidized beds. Ph.D. thesis, Delft University of Thechnology.

15. Clifford I and Jasak H. (2009) The application of a multi-physics toolkit to spatial reactordynamics. International Conference on Mathematics, Computational Methods & ReactorPhysics.

16. Kissling, K., Springer, J., Jasak, H., Schutz, S., Urban, K. and Piesche, M. (2010) A CoupledPressure Based Solution Algorithm. Based on the Volume-Of-Fluid Approach for Two or MoreImmiscible Fluids. V European Conference on Computational Fluid Dynamics.


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