-
Univ
ersid
ad de
Ant
ioqu
ia
Indice general
Prefacio II0.1. Algunos conjuntos de numeros . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 10.2. DEFINICIONES Y TEOREMAS. . . . . . . . . . .
. . . . . . 2
1. Logica - Teora de Conjuntos 51.1. Operacion binaria . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2. Ejercicios . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3. Nociones de
Logica.
Metodos de demostracion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
141.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 381.5. Demostraciones por Induccion. . . . . . . . . . . .
. . . . . . 451.6. Ejercicios para demostrar por el metodo de
induccion. . . . . . 491.7. Cuantificadores . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 511.8. Ejercicios sobre
cuantificadores. . . . . . . . . . . . . . . . . . 601.9. Teora de
conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641.10. 4
conjuntos especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
791.11. Operaciones con conjuntos: , , , . . . . . . . . . . . . .
. 811.12. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 93
2. Relaciones y funciones. Desigualdades. 992.1. Relaciones. . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 992.2.
Ejercicios sobre relaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 1152.3. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 1192.4. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 1342.5. R, Desigualdades, Intervalos. . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 1382.6. Ejercicios . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1572.7. Valor Absoluto. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1592.8. Ejercicios. .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
i
-
Univ
ersid
ad de
Ant
ioqu
iaii INDICE GENERAL3. Funciones basicas. 1853.1. Funciones
definidas por formula. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1853.2.
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 1913.3. Definicion y graficas de algunas funciones basicas. . . .
. . . . 1953.4. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 205
4. Lmites - continuidad. 2124.1. Primeras ideas. . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2124.2. Ejercicios . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2164.3. La definicion
, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2174.4.
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 2294.5. Funciones continuas. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 2334.6. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 2544.7. Consecuencias de la continuidad . . . .
. . . . . . . . . . . . . 2564.8. Ejercicios. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2664.9. Otros tipos de lmites.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2674.10. Ejercicios . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
5. La funcion derivada. - Reglas de derivacion. 2925.1. Dos
problemas resueltos con lmites. . . . . . . . . . . . . . . .
2925.2. La derivada - Reglas de derivacion. . . . . . . . . . . . .
. . . 2985.3. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 320
-
Univ
ersid
ad de
Ant
ioqu
ia
Notas de Introduccion al Calculo
Alberto Castano
julio/2006
(Version Preliminar)
-
Univ
ersid
ad de
Ant
ioqu
ia
Prefacio
Se ha dicho, con fundamento, que la puerta de entrada a las
ideas delCalculo la constituye el concepto de lmite. Estas notas
quieren hacer honora dicho concepto teniendo como objetivo llegar
con un proceso constructivoa la definicion precisa de lmite de
funciones de una variable real. Tal vez unarazon para eludir esta
definicion precisa en los cursos habituales de Calculo,sea la
necesidad de llevar a cabo toda una serie de ideas basicas que
lepermitan al estudiante un feliz arribo a este extraordinario
concepto, basicopara todos aquellos que quieran ir un poco mas alla
de formulas y anhelenadquirir un conocimiento de calidad en
Calculo, cuanto con mayor razon paralos que estan ingresando en
areas de investigacion, llamese Fsica, Qumica,Economa o de
Ingenieras y obviamente para los Matematicos.
El recorrido que se ha querido hacer en estas notas para llegar
a la nocionde lmite, propuesta en el parrafo anterior, se inicia
con la definicion deoperacion binaria, concepto que se aprovecha
para familiarizar al estudiantecon las leyes basicas del campo
algebraico. Razones para hacerlo as sobran,pues una parte central
del trabajo matematico es la actividad permanente conoperaciones de
diferente naturaleza. Baste decir aqu que desde un
principioestaremos comprometidos con operaciones de tipo logico,
operaciones conconjuntos, con relaciones y funciones, y con los
numeros reales.
Se ingresa a continuacion en el terreno de la demostracion
matematica,proponiendo las principales operaciones con enunciados,
pero con la idea deproporcionarle al estudiante los diferentes
metodos de razonamiento matemati-co.
Claro esta que no es aqu el lugar para desarrollar toda la
estructurateorica de la logica. Lo que se espera es que el
estudiante adquiera las tecni-cas necesarias para comprender textos
demostrativos y que ademas llegue aelaborarlos por su propia
cuenta. El procedimiento recurre al metodo eursti-co, complementado
con ejemplos que sirvan de modelo apropiado a cada uno
ii
-
Univ
ersid
ad de
Ant
ioqu
ia iiide los diferentes metodos de demostracion. Para ello se
han introducido des-de un comienzo, (ver preambulo), definiciones y
teoremas elementales de losnumeros enteros, supuesto que el
estudiante tiene alguna familiaridad conellos gracias a sus
estudios anteriores. En esta parte se enuncian algunos teo-remas
sobre numeros enteros como el llamado Algoritmo de la division,
elTeorema Fundamental de la Aritmetica, el hermoso resultado griego
so-bre la infinitud de los numeros primos, y ademas, algunas
nociones comonumeros pares e impares, numeros primos y compuestos,
Maximo ComunDivisor y primos relativos. Esto se hace con el
proposito de tener algunoselementos de la Aritmetica para realizar
desde un principio ejemplos de de-mostraciones sencillas.
Sigue un desarrollo elemental pero basico de la Teora de
Conjuntos. Estetema nos ofrece una oportunidad de poner en practica
conceptos descritosen la parte anterior, tales como operaciones con
conjuntos y sus respectivasleyes algebraicas, as como tambien
demostraciones que tengan el sello debien construdas, empleando los
principales metodos de razonamiento logico.En este punto damos por
terminado el primer captulo .
En el segundo captulo se complementa el tema anterior con las
ideasde Relaciones y funciones, conceptos centrales en el estudio
del Calculo.Aqu nuevamente salen a relucir importantes operaciones
como inversion derelaciones y la importante composicion de
relaciones y sus leyes de asocia-tividad, no conmutatividad, etc.
En este tema se parte del conocimiento y lafamiliaridad que tiene
el estudiante con los numeros reales, as sea este levey quiza un
tanto confuso. Lo que se espera es que el estudiante vaya
mejoran-do este conocimiento a medida que se desenvuelve el curso.
Para dar un pasoen este sentido se abre aqu un parentesis para
hacer un recuento de las leyesalgebraicas de la suma y producto
usuales con numeros reales y se inicia eltema del orden en
Matematicas, las tecnicas de resolucion de desigualdades,el
reconocimiento de la recta numerica y de los llamados intervalos
reales.Se incluye en este momento la idea de distancia entre puntos
de la recta, uti-lizando el concepto de valor absolutode un numero
real. Tambien se exponeen terminos de correspondencia biunvoca, el
hecho fundamental de que todointervalo real no trivial tiene tantos
puntos como la recta numerica y se senalala posibilidad de expresar
distancias entre puntos reales, tan pequenas comose quiera,
recurriendo a la presentacion centro-radio de cualquier intervalono
trivial escribiendolo en terminos de una desigualdad con valor
absoluto.
Se inicia el captulo tres con la presentacion de un buen numero
de fun-ciones basicas entre numeros reales, (polinomicas,
racionales, exponenciales,
-
Univ
ersid
ad de
Ant
ioqu
iaiv PREFACIOlogartmicas y trigonometricas), destacando el
aspecto operacional por mediodel cual se obtienen nuevas funciones
generadas mediante sumas, diferen-cias, productos, cocientes y
composicion. Se insiste en el aspecto grafico defunciones como
lneas rectas, parabolas, curvas exponenciales,
logartmicas,trigonometricas, y funciones del tipo
x, 1
x, |x|, funciones por tramos, etc.,
que seran una reserva para mas adelante ilustrar las ideas de
lmite, con-tinuidad y diferenciabilidad, informando al estudiante
que toda la compleji-dad que encierra la forma de estas curvasse
ira aclarando con el transcurrirde los temas.
En el captulo cuatro consideramos que todo esta preparado para
definirel concepto de lmite de una funcion, lo cual se hara desde
el punto de vistaintuitivo de aproximacion sistematica a un cierto
numero a prefijado en elambiente determinado por una funcion. Una
vez desarrollado este proceso detipo eurstico se esta en
condiciones de presentar en terminos formales esta,no solo
importante sino magnfica, construccion del ingenio matematico:
Para todo > 0 existe > 0 tal que para todo x,
0 < |x a| < = |f(x) L| < ,cuya abreviatura es
usualmente representada como
lmxa
f(x) = L.
Llegados a este punto, sigue un proceso de manejo tecnico de
esta ex-presion, incluyendo modelos demostrados de lmites de
funciones basicas,exponiendo leyes y propiedades de los lmites y
aprovechando el momentopara definir las ideas de continuidad y
derivacion.
Terminamos el curso en el quinto captulo, presentando las
tecnicas basicasde derivacion que se extienden hasta la importante
Regla de la cadena.
-
Univ
ersid
ad de
Ant
ioqu
ia0.1. ALGUNOS CONJUNTOS DE NUMEROS 1PREAMBULO.En este preambulo
mencionamos, sin entrar en mayores detalles, los conjun-tos
numericos de nuestro mayor interes e inclumos algunas definiciones
yresultados sobre los numeros enteros.Se inicia el primer captulo
con el concepto de operacion binaria acompanadode las leyes basicas
del Algebra. Viene enseguida una presentacion, acom-panada mas de
intuicion que de rigor, de las leyes logicas y principalesmetodos
de demostracion y se ofrecen algunos modelos de
razonamiento,demostrando resultados referidos a los numeros
enteros.El captulo finaliza con una introduccion elemental de la
Teora de Conjuntosque incluye las operaciones usuales con
conjuntos.Muy pronto, en la seccion 0.2., inclumos los conectivos
logicos, , (im-plicacion), con el significado Si ...entonces, y ,
(equivalencia), con elsignificado Si y solo si.As mismo, a partir
de la seccion 1.1. inclumos expresiones del estilo x Aque tiene los
siguientes significados:
x es un elemento del conjunto A,x pertenece a A,
x en A.
Como es usual, x / A significa: x no pertenece a A.
0.1. Algunos conjuntos de numeros
Las diferentes clases de conjuntos numericos que estaremos
utilizando son:
El conjunto de los numeros naturales { 1,2,3,... }, que se
representa conla letra especial: N.
El conjunto de los numeros enteros { 0, 1,2,3, }, que se
re-presenta con la letra especial: Z. Se utiliza el smbolo Z+,
(enterospositivos), como otra manera de representar el conjunto
N.
El conjunto de los numeros racionales: Q, numeros que son de la
formaab con a, b enteros, b 6= 0. Numeros como 35 , 74 , 0, 2, 3
1416, sonracionales.
-
Univ
ersid
ad de
Ant
ioqu
ia2 PREFACIOEl conjunto de los numeros irracionales, es decir,
numeros que no sepueden expresar en forma racional. Este conjunto
lo vamos a represen-tar con el smbolo Q .
El uso recomienda aproximar un numero irracional por medio de
unoracional.
Numeros como 31416, e 271828 y 2 14142, son ejemplosde numeros
irracionales aproximados a valores racionales.
El conjunto de los numeros reales se representa con la letra
especial Ry consta de la reunion de los racionales, Q, con los
irracionales, Q.
Finalmente, el conjunto C de los numeros complejos, numeros que
sonde la forma (a + bi), siendo i =
1 y a, b, numeros reales; porejemplo, (2 + 3i), (1
2 i3), (0 + i), son numeros complejos. Todo
numero real a se puede escribir como un complejo de la forma
(a+0i).
0.2. DEFINICIONES Y TEOREMAS.
La igualdad a = 2k, donde k es un entero, significa que a es un
enteropar.
Ejemplos:
6 es de la forma 2k con k = 3; 0 es de la forma 2k con k = 0; 10
esde la forma 2k con k = 5, por lo tanto 6, 0, 10 son numeros
pares.La igualdad a = 2k 1, donde k es un entero, significa que a
es unentero impar. Ejemplo: 7 es de la forma 2k 1 con k = 4, por
lotanto 7 es numero impar.
La expresion a | b con a, b enteros, a 6= 0, significa lo
siguiente:
a divide a b,a es un divisor de b,
o tambien,b es un multiplo de a.
-
Univ
ersid
ad de
Ant
ioqu
ia0.2. DEFINICIONES Y TEOREMAS. 3Escribimos: a | b b = ka,
siendo k un entero.Ejemplos: 3 | 15, 5 | 20. En cambio, 5 12, (5 no
divide a 12.)Un entero positivo d se llama Maximo Comun Divisor de
los en-teros a, y b si d es el mayor de los divisores comunes de a
y b,donde a, b son no ambos ceros.
Escribimos:
d = MCD(a, b).
Ejemplos: MCD(18, 30) = 6, MCD(14, 45) = 1, MCD(0, 20) = 20.
Dos enteros a, b son primos relativos si y solo si MCD(a, b) =
1. Porejemplo 14 y 45 son primos relativos.
Un numero racional abpresenta forma reducida si y solo siMCD(a,
b) = 1
Por ejemplo, 1445
esta en forma reducida; en cambio 1830
no esta en formareducida.
Se puede demostrar que todo numero racional se puede representar
ensu forma reducida, por ejemplo, 18
30= 3
5.
Un entero positivo p 6= 1 es un numero primosi y solo si
sus unicos divisores positivos son: 1 y el mismo p.
2, 3, 5, 7, 11, 523, son primos. En cambio 6, 8, 9, 10, 91, 731,
no sonprimos.
Todo entero > 1, que no sea primo, se llama numero compuesto.
731es un numero compuesto.
El siguiente teorema se llama Algoritmo de la division:
Teorema 0.2.1. Si a, b son dos enteros, b 6= 0, se pueden hallar
dos en-teros q, r, unicos, tales que se cumplen las dos condiciones
siguientes:
a = bq + r
0 r < b.
-
Univ
ersid
ad de
Ant
ioqu
ia4 PREFACIOEn el anterior teorema, a se llama Dividendo, b es
el divisor, q es elcociente y r, el residuo.Ejemplo:
87 = 15 5 + 12donde 87 es el dividendo, 15 el divisor, 5 el
cociente y 12 el residuo.
Ejemplo:17 = 4 5 + 3
donde 17 es el Dividendo, 4 el divisor, 5 el cociente y 3 el
residuo.Los siguientes dos resultados (teoremas) se refieren al
MCD:
i. Si d es el MCD de a, b, se pueden hallar dos enteros x, y
tales qued = xa+ yb .
Por ejemplo,
MCD(15, 20) = 5 = (5)15 + (4)20ii. Si a, c son primos relativos
y c | ab, entonces c | b .Por ejemplo,
8 | 48, (3 16 = 48), y como 8 y 3 son primos entre si,se
concluye que 8 | 16.
Los siguientes dos teoremas se refieren a los numeros
primos.
Teorema 0.2.2. Todo entero mayor que 1 se puede descomponer
comoun producto de factores primos, repetidos o no, y estos primos
sonunicos, salvo cambio de lugar de los factores en el
producto.
El Teorema 0.2.2 se conoce como el teorema fundamental de
laAritmetica.
Ejemplo: 2924 = 22 17 43.Corolario 0.2.3. Todo entero mayor que
1 tiene algun divisor primo.
Por ejemplo, 43 es un divisor primo de 2 924 (y no es el
unico!)
Teorema 0.2.4. No existe un primo que sea el mayor de todos
losnumeros primos.
(En otras palabras, este teorema dice que la cantidad de numeros
primoses infinita).
-
Univ
ersid
ad de
Ant
ioqu
ia
Captulo 1
Logica - Teora de Conjuntos
1.1. Operacion binaria
Definicion 1.1.1. Una operacion binaria definida en un conjunto
A, esuna regla que asigna a dos elementos a, b de A, un unico
resultado c que estambien elemento del mismo conjunto A.
Escribimos:
a b = c
para indicar que la operacion entre a, b ha dado como resultado,
c.
Veamos algunos ejemplos:
Las siguientes dos tablas ilustran dos operaciones binarias
definidas enun conjunto
A = {e, a, b, c}
.
En la Tabla #1 se leen,entre otros, los siguientesresultados: a
e = ab b = eb a = c.
e a b ce e a b ca a e c bb b c e ac c b a e
Tabla #1
5
-
Univ
ersid
ad de
Ant
ioqu
ia6 CAPITULO 1. LOGICA - TEORIA DE CONJUNTOSEn la Tabla #2 se
leen,entre otros, los siguientesresultados: a e = ae a = aa b = ab
c = b.
e a b ce e a b ca a a a ab b b b bc c c c c
Tabla #2
El siguiente esquema muestra como se obtienen resultados en una
tablade operacion binaria: (Ver Tabla #2.)
a : :. .
b b : :b a = b
La suma y la multiplicacion usuales con toda clase de numeros,
desdelos enteros, (Z), hasta los complejos (C), son operaciones
binarias, porejemplo, sumar o multiplicar enteros nos da como
resultado un numeroentero unico.
LEYES BASICAS DEL ALGEBRA(Clausurativa - uniforme - asociativa -
conmutativa - modulativa
- invertiva - distributiva)
Consideremos una operacion binaria definida en un conjunto
A.
1. L. Clausurativa: El resultado de efectuar la operacion con
dos ele-mentos de A es tambien un elemento de A.
Para fines practicos es bueno tener esta ley en forma de
implicacion:
a, b A = (a b) A
-
Univ
ersid
ad de
Ant
ioqu
ia1.1. OPERACION BINARIA 72. L. Uniforme: Todo resultado
obtenido por medio de la operacion esunico.Dicho en otras palabras,
si se opera con elementos iguales, se obtienenresultados
iguales.
Puesta en forma de implicacion esta ley se puede escribir
as:
Sean a, b, c, d A :
a = cb = d
}= ab = cd
Un caso particular de esta ley ocurre cuando se tiene una
igualdad,digamos a = b, y se opera en ambos miembros por un mismo
elementoc. En tal caso se obtiene a c = b c o bien, c a = c b.Estas
dos primeras leyes definen una operacion binaria, sin ellas no
seconsidera como tal. (Ver Definicion 1.1.1).
Las leyes que siguen son opcionales, es decir, una operacion
puedecumplirlas o no.
3. L. Asociativa: El resultado de realizar la operacion con 3
elementoses el mismo en cualquiera de las dos maneras en que es
posible llevarlaa cabo sin cambiar el orden en que se tomen los
elementos.
En terminos de implicacion, esta ley se expresa de la siguiente
manera:a, b, c A = (a b) c = a (b c)
Esta ley tambien es valida cuando el numero de elementos a
operar esmayor que tres, en cuyo caso se puede realizar
agrupandolos de 3 en 3.
4. L. Commutativa: El orden en que se realice la operacion con
doselementos no modifica el resultado.
Esta propiedad se extiende a cualquier numero finito de
elementos.
Puesta en terminos de implicacion queda as:
a, b A = a b = b a
-
Univ
ersid
ad de
Ant
ioqu
ia8 CAPITULO 1. LOGICA - TEORIA DE CONJUNTOS5. L. Modulativa:
Hay en el conjunto A por lo menos un elemento, quedenotaremos con
e, que operado, (por derecha o por izquierda), concada elemento de
A, da como resultado el mismo elemento, es decir:
a A = (a e = a y e a = a)
El elemento e se llama el modulo o elemento neutro de .Claro que
si es commutativa, es suficiente que se cumpla una sola delas
igualdades en la anterior implicacion para que tambien se cumplala
otra.
6. L. Invertiva:
Si el conjunto A tiene un modulo e y para cada elemento a de A
hayun elemento (por lo menos uno) en A , que denotaremos con a1,
talque, al operar a con a1 en cualquier orden, el resultado es el
moduloe, entonces la operacion cumple la L. Invertiva.En terminos
de implicacion:
(a A y en A existe modulo) = (EnA existe a1tal que aa1 = e y a1a
= e).
El elemento a1 se llama el inverso de la operacion .Aqu tambien
es claro que si es commutativa, es suficiente una solaigualdad en
la implicacion anterior.
7. L. Distributiva:
Esta ley requiere que en el conjunto A esten definidas dos
operaciones,digamos y . Decimos que distribuye con respecto a si
secumple la siguiente implicacion:
a, b, c A = (a (b c) = (a b) (a c) y (b c) a = (b a) (c a))
Nuevamente, si es commutativa, es suficiente que se cumpla unade
las igualdades en la implicacion anterior ya que tambien se es-tara
cumpliendo la otra.
-
Univ
ersid
ad de
Ant
ioqu
ia1.1. OPERACION BINARIA 9Ejemplos:Los numeros racionales, (Q),
los reales, (R), y los complejos, (C), conlas operaciones usuales
de suma (+) y multiplicacion () satisfacen las7 leyes mencionadas
anteriormente, razon por la cual se llaman camposalgebraicos.
Tengase en cuenta que solo la multiplicacion distribuyecon respecto
a la suma, es decir:
a (b+ c) = (a b) + (a c),Pero la suma no distribuye con respecto
a la multiplicacion, es decir,
a+ (bc) 6= (a+ b)(a+ c).
Un ejemplo numerico aclara lo dicho: 3 + (2 5) 13
6= (3 + 2) (3 + 5) 40
.
La siguiente tabla resume la notacion y nombres relacionados con
lasoperaciones usuales en Q, R, y C.
Nombres y smbolos relacionados con las operaciones + y .
Operacion modulos notacion y nombre para inversos+ 0 a (opuesto
de a) 1 1
a(recproco de a 6= 0)
Tengase en cuenta que los Naturales con + no cumplen la L.
Modu-lativa, (0 / N), ni la L. Invertiva, (cuando a N,a / N.)Los
Enteros con no cumplen la L. Invertiva, (cuando a 6= 1 esun entero,
a1 no es entero.)
En la Tabla #3, la operacion cumplecon las leyes 1, 6. El modulo
es e.Los inversos son:e1 = e, a1 = b, b1 = a.
e a be e a ba a b eb b e a
Tabla #3
-
Univ
ersid
ad de
Ant
ioqu
ia10 CAPITULO 1. LOGICA - TEORIA DE CONJUNTOSLa operacion
definida en la Tabla , verificalas Leyes basicas 1 6.Para esta
operacion el modulo es e.Inversos:e1 = e a1 = a.b1 = b. c1 = c.
e a b ce e a b ca a e c bb b c e ac c b a e
Tabla
En cambio la Tabla verifica las Ls. clausurativa,uniforme,
asociativa ymodulativa, (modulo (e)),pero no, las leyes
conmutativae invertiva.
e a b ce e a b ca a a a ab b b b bc c c c c
Tabla
Operaciones modulo n. (n un entero > 1)
Son dos operaciones de la mayor importancia en Algebra y Teora
deNumeros. Veamos un ejemplo con n = 5.
Definimos en el conjunto B = {0, 1, 2, 3, 4, }. una suma y una
mul-tiplicacion as:Para x, y B,x y = residuo r que queda despues de
dividir (x+ y) por 5.x y = residuo r que queda despues de dividir
(xy) por 5.Las Tablas # 4 y # 5 muestran sendos resultados.
0 1 2 3 40 0 1 2 3 41 1 2 3 4 02 2 3 4 0 13 3 4 0 1 24 4 0 1 2
3
Tabla #4
1 2 3 41 1 2 3 42 2 4 1 33 3 1 4 24 4 3 2 1
Tabla #5
Las dos operaciones y desplegadas en las tablas #4 y #5 cumplen
todaslas leyes basicas del Algebra y por tanto constituyen un campo
algebraicocon 5 elementos a saber, 0, 1, 2, 3, 4.
-
Univ
ersid
ad de
Ant
ioqu
ia1.2. EJERCICIOS 11No se incluye el 0 en la tabla #5 ya que
este no tiene inverso para el producto. Sin embargo es posible
re-incluirlo por medio del teorema,a 0 = 0
Ejemplos-: (Verificar cada ejemplo en las tablas #4 y #5.)
4 (5 2) 3
= (4 5) 0
(4 2) 3
= 3. Ley Distributiva.
El opuesto de 2 es 3 y esto lo expresamos as: 2 = 3.(Note que 2
3 = 0; Ley Invertiva de ).
El recproco de 3 es 2 y esto lo expresamos as: 31 = 2.(Note que
3 2 = 1; Ley Invertiva de ).
42 = 1, ya que 42 significa 4 4 = 1
3 (2 3) = 4, ya que 2 3 = 3.
1.2. Ejercicios
1. En la siguiente tabla I, verificar por inspeccion que es
operacionbinaria; verificar la ley asociativa al menos 2 veces;
verificar la ley con-mutativa al menos 2 veces; identificar, si
existe, modulo; completar lasigualdades que se dejan indicadas.
x y z wx y w x zy w z y xz x y z ww z x w yTabla I.
y z = ;x1 =(z x) w = ;w1 =z z = ;x2 =x2 y1 = ; y3 w2 =(w x) (y
x) =
-
Univ
ersid
ad de
Ant
ioqu
ia12 CAPITULO 1. LOGICA - TEORIA DE CONJUNTOS x a y b cx x a y b
caybcTabla II.
2. Complete la Tabla II de manera quequede definida una
operacion binariacon modulo el elemento xy que ademas cumpla las
Ls. algebraicas1 6.Ademas que se cumplan los
siguientesrequisitos:El inverso de a que sea c.El inverso de b que
sea y.
3. Completar la tabla III considerando la multiplicacion, modulo
6. Re-solver, por ensayo y error, la ecuacion propuesta al lado de
la tabla.Cual es la unica ley algebraica, (1 6), que esta operacion
no cumple?
0 1 2 3 4 50 0 01 0 1 2 3 4 52 43 04 45Tabla III
5 x2 3 x 2 = 1.( = suma, modulo 6).
4. La operacion desplegada en la singular tabla IV, satisface
las leyesbasicas del algebra 1 6. Verifique, (parcialmente), esta
afirmacionefectuando algunos resultados.
z 0 -1 1 20 0 -1 1 2-1 -1 0 2 11 1 2 0 -12 2 1 -1 0Tabla IV.
(-1 z 1) z 2=-1 z (1 z 2)=22 = , (es decir, 2z 2 = .)13 = ; 16
=
5. Justifique la afirmacion: La operaciondefinida por medio de
la tabla ;no es conmutativa ni invertiva.Encuentre una regla o
formula paradicha operacion.
e a b ce e a b ca a a a ab b b b bc c c c c
Tabla
-
Univ
ersid
ad de
Ant
ioqu
ia1.2. EJERCICIOS 136. En el conjunto de los enteros positivos,
juntandole el 0, (Z+ {0}),definimos una operacion binaria en 3
pasos, as:a b =
[(el menor de a y b
) 1], cuando a y b sean 6= 0.a 0 = a
0 b = b
Por ejemplo:
3 8 = 3-1 = 2.
0 0 = 0.
1 1 = 1-1 = 0.
5 0 = 5.
Preguntas y actividades:
Existe modulo?. Justifique su respuesta. Halle los inversos de
los siguientes numeros: 0, 1, 5, 219. Para todo a (Z+ {0}), existe
inverso? Para a 6= 0 : a a = ?. Verifique que esta operacion es
conmutativa.
Realice las siguientes operaciones:1 2 = ?;
51 50 = ?;
11 (7 9) = ?;
(11 7) 9 = ?;
(11 8) 5 = ?
11 (8 5) = ?
A la vista del punto anterior, esta operacion es asociativa? De
otrosejemplos que corroboren su respuesta.
7. En el conjunto de los enteros positivos juntandole el 0, (Z+
{0}), sedefine la operacion:
a b = MCD(a, b).
Realizar las siguientes operaciones:
a 1 = ; a (a+ 1) = ; a p = (p primo, p a).
70 30 = ; a p = (p primo, p | a) ; a 0 = , (a 6= 0).
-
Univ
ersid
ad de
Ant
ioqu
ia14 CAPITULO 1. LOGICA - TEORIA DE CONJUNTOS1.3. Nociones de
Logica.Metodos de demostracion.
Terminos y Enunciados:
Son los elementos basicos de una Teora Matematica.
Los terminos matematicos son los objetos que son motivo de
estu-dio, tales como conjuntos, numeros, funciones, figuras
geometricas yun grande etcetera.
Representaremos los terminos con letras y smbolos
especiales.
Ejemplos:
El punto P, el conjunto A, la funcion f, la integral baf, son
terminos
matematicos.
Excepto en unos pocos casos, (que se mencionaran en la pagina
si-guiente), los terminos entran a hacer parte de la teora por
medio dedefiniciones.
Los enunciados corresponden a las propiedades y relaciones que
ocurrenentre los terminos; los denominamos con esta palabra porque
empiezana tener existencia matematica una vez que se enuncien.
Ejemplos -:
Un enunciado de la Aritmetica es:Todo numero entero > 1 tiene
algun divisor primo.
Un enunciado de la Geometra es:En todo triangulo isosceles, los
angulos de la base son iguales.
Representaremos los enunciados con letras mayusculas, en
particular P,Q, R, S, T, etc. Existen diferentes tipos de
enunciados: verdaderos,falsos, contradictorios, conjeturas e
indecidibles pero solo nosocuparemos de los tres primeros.
Un enunciado solo se considera verdadero, (tambien se dice
TEORE-MA ) cuando ha sido objeto de una prueba o demostracion
matematica,en cuyo caso pasa a ser parte de la teora. Para indicar
que un enunciadoes verdadero, utilizaremos la letra v.
-
Univ
ersid
ad de
Ant
ioqu
ia1.3. NOCIONES DE LOGICA. METODOS DE DEMOSTRACION. 15Para
nuestros fines en este curso, una demostracion consiste en una
ar-gumentacion basada en leyes logicas muy precisas, leyes que aqu
pre-sentaremos sin entrar en detalles mayores, que son propios de
un cursode Logica.
Sin embargo agreguemos que la demostracion de un enunciado
utilizateoremas y definiciones que, en el momento de demostrarlo,
esten ha-ciendo parte de la teora.
TERMINOS PRIMITIVOS - AXIOMAS.
La definicion de los terminos se hace recurriendo a terminos
anterior-mente definidos. Sin embargo algunos terminos basicos no
se puedendefinir ya que son independientes entre si y no existen
terminos anterio-res que los definan. La solucion a este impase
consiste en admitir, sindefinicion, los primeros terminos de la
teora a cambio de que sea dadala lista definida de ellos. Estos son
los llamados terminos primitivos.Los otros seran terminos
definidos.
Ejemplos -: Conjunto y pertenecer son terminos primitivos de
laTeora de conjuntos de Zermelo-Fraenkel.
Punto, recta y plano son terminos primitivos de la Geometra
Eu-clidiana.
En cambio numero primo es un termino definido de la
Aritmetica.
La demostracion de los teoremas se hace recurriendo a teoremas
quepreviamente hallan sido demostrados. Sin embargo los primeros
teore-mas no se pueden demostrar ya que son independientes entre si
y noexisten teoremas anteriores que permitan llevar a cabo su
demostracion.La solucion a este impase es que se admitan algunos
teoremas sin serdemostrados a condicion de que se expresen
claramente y que se refierana propiedades de los terminos
primitivos. Estos enunciados admitidossin demostracion se llaman
los axiomas y cada rama de la Matematicaempieza con una lista de
ellos.
Ejemplos -: Un axioma de la Teora de conjuntos es el
siguiente:
Si los conjuntos A y B tienen los mismos elementos,
entonces son conjuntos iguales.
-
Univ
ersid
ad de
Ant
ioqu
ia16 CAPITULO 1. LOGICA - TEORIA DE CONJUNTOSUn axioma de la
Geometra es el siguiente:Por dos puntos pasa una recta y solo
una.
Veamos a continuacion, y a la par con las operaciones basicas
conenunciados, las leyes logicas que se necesitan para elaborar
demostra-ciones que reciban el reconocimiento de correctas.
Operaciones con Enunciados(Negacion - Disyuncion - Conjuncion -
Implicacion -Equivalencia.)
La negacion -: Es la operacion que da lugar a un enunciado que
esel contrario de otro enunciado P. El resultado es el enunciado
que de-notaremos noP. Como cuando decimos:
La recta l no pasa por el puntoA. noP
,
enunciado que constituye la negacion de:
la recta l pasa por el puntoA. P.
Enunciado falso -: Es aquel cuyo contrario (o negacion), es
verdadero(es decir, teorema.) En otras palabras, el enunciado P es
falso solocuando noP es verdadero.
Se indicara que un enunciado es falso por medio de la letra
f.
Recuerde -:Afirmar de (noP) que es un enunciado verdadero,
es equivalente a afirmar que (P) es un enunciado falso.
Enunciado contradictorio -: Es aquel que es verdadero y falso
simultanea-mente.
Un enunciado contradictorio presenta la siguiente forma:(P y
noP).
Un principio logico prohibe que una teora matematica tenga
enuncia-dos contradictorios. Se llama Principio de no contradiccion
y quedaresumido en la siguiente Tabla #6.
-
Univ
ersid
ad de
Ant
ioqu
ia1.3. NOCIONES DE LOGICA. METODOS DE DEMOSTRACION. 17P noPv ff
vTabla #6
La Disyuncion -: Es la operacion que expresa la posibilidad de
que seaverdadero al menos uno de entre dos o mas enunciados, como
cuandodecimos,
(3 es primo) o (6 es par).
Para fines teoricos representamos la disyuncion de dos
enunciados P, Q, enla forma
(P o Q).Esta es una operacion binaria cuyo signo de operacion es
la palabra o. Dichaoperacion se rige por el siguiente
principio:
Un enunciado (P o Q) es verdadero en todos los casos
en que los enunciados P y Q no sean ambos falsos.
En el caso de ser P y Q ambos falsos, (P o Q) tambien es
falso.
Este principio queda resumido en la Tabla #7.
P Q PoQv v vv f vf v vf f fTabla #7.
Note que una disyuncion verdadera tiene verdadero al menos uno
de susenunciados. Tambien es suficiente que uno de sus enunciados
sea verdadero,para que la disyuncion sea verdadera.
-
Univ
ersid
ad de
Ant
ioqu
ia18 CAPITULO 1. LOGICA - TEORIA DE CONJUNTOSEn la Tabla #7 se
pueden verificar las dos primeras leyes logicas, a saber:Ley de
adicion con o:
Siendo P un enunciado verdaderoy Q cualquier tipo de enunciado
verdadero o falso,se obtiene otro enunciado tambien verdadero
que se expresa en la forma (P o Q) o en la forma (Q o P).
Observe, por ejemplo, la segunda lnea de la Tabla #7 donde Q es
un enun-ciado falso (f) pero como P es verdadero (v), el enunciado
(P o Q) apareceverdadero (v).Ejemplo -: Al ser verdad que 5 > 3,
tambien es verdad que
(5 > 3) o (5=3).
Notese que 5 = 3 es falso. No obstante, la disjuncion que se
obtuvo, esverdadera, usualmente resumida en la forma 5 3.Ejemplo -:
A partir del enunciado verdadero (5 > 3) se obtiene
verdaderoenunciado al adicionar el tambien verdadero (4 < 5),
resultado que se ex-presa as:
(5 > 3) o (4 < 5.)
En adelante llamaremos premisa a todo enunciado que, en
principio, setome como verdadero para obtener, mediante deduccion
logica, otrosenunciados verdaderos.
Utilizaremos esquemas de tipo premisa(s) - conclusion(es) para
re-presentar algunas leyes logicas.
La Ley de adicion con o se resume en el siguiente esquema:
Premisa.P
Conclusion 1: P o QConclusion 2: Q o P
Ley de cancelacion de los enunciados falsos en la
Disjuncion.
En toda disjuncion verdadera se pueden cancelar los enunciados
fal-sos, y los enunciados que queden sin cancelar son
verdaderos.
-
Univ
ersid
ad de
Ant
ioqu
ia1.3. NOCIONES DE LOGICA. METODOS DE DEMOSTRACION. 19Observe,
por ejemplo, la segunda lnea de la Tabla #7, donde Q esfalso (f)
pero como (P o Q) es verdadero (v), P aparece verdadero (v),es
decir, al cancelar el enunciado Q(f), el que queda, P, es
verdadero.
Situacion similar se repite para la tercera lnea, esta vez con
P(f) yQ(v): se cancela P(f) y queda Q(v).
Ejemplo -: Siendo claro que
(5 < 3)o (5 > 4)
es una afirmacion verdadera, cancelamos la parte falsa, (5 <
3), y laque queda, (5 > 4), es verdadera.
Presentacion esquematica de la L. de Cancelacion:
Premisas.1. P o Q2. noP
Conclusion: Q.
Premisas.1. P o Q2. noQ
Conclusion: P.
La Conjuncion -: Es la operacion que expresa la simultaneidad de
doso mas enunciados, como cuando decimos,
(3 es primo) y (6 es par).
La conjuncion de dos enunciados P, Q se representa en la
forma
(P y Q)
Esta es tambien una operacion binaria cuyo signo de operacion es
la palabray. Dicha operacion se rige por el siguiente
principio:
Un enunciado (P y Q) solo es verdaderoen el unico caso en el que
tanto P como Q
son ambos verdaderos.En los demas casos (P y Q) es enunciado
falso.
Este principio queda resumido en la Tabla #8.
-
Univ
ersid
ad de
Ant
ioqu
ia20 CAPITULO 1. LOGICA - TEORIA DE CONJUNTOSP Q (P y Q)v v vv f
ff v ff f f
Tabla #8
En la Tabla #8 se pueden verificar otras dos leyes logicas, que
son las si-guientes:
Ley de simultaneidad.
Si tanto el enunciado P como el enunciado Q son verdaderos,se
obtiene un enunciado verdadero que se representa en cualquiera de
las dosformas siguientes:
(P y Q) o (Q y P)
Verifique el lector esta ley en la 1a lnea de la Tabla #8
Ley de simplificacion.
Siendo verdadero un enunciado de la forma(P y Q),
se pueden concluir, independientemente,tanto la verdad de P,
como la verdad de Q.
En la 1a lnea de la Tabla #8 se puede constatar esta ultima
ley.
Presentacion esquematica de las Ls. de simultaneidad y
simplificacion.
simultaneidad
Premisas.1. P2. Q
Conclusion: (P y Q)
simplificacion
Premisa.P y Q
Conclusion 1. PConclusion 2. Q
-
Univ
ersid
ad de
Ant
ioqu
ia1.3. NOCIONES DE LOGICA. METODOS DE DEMOSTRACION. 21La
Implicacion -: Es la operacion binaria entre enunciados P, Q
queestablece la disjuncion entre la negacion de P o la afirmacion
deQ como cuando decimos:
Un entero a (no es multiplo de 6) o (es divisible por 3).
La implicacion de dos enunciados P, Q se representa en la
forma:
P = Q.
El enunciado P se llama antecedente y el enunciado Q,
consecuente.
Los enunciados que toman la forma de implicacion, (P = Q),
recibenlas siguientes lecturas:
Si P entonces Q.P implica a Q.
Q siempre que P.P es una condicion suficiente para Q.Q es una
condicion necesaria para P.
Por ejemplo, el enunciado senalado con se representa por6 | a =
3 | a
y se lee, entre otras maneras, as:
Si un entero a es multiplo de 6, entonces a es divisible por
3.
(Un entero a es multiplo de 6) implica que (a es divisible por
3).
a es divisible por 3 siempre que lo sea por 6.
Una condicion suficiente para que un entero a sea divisible por
3, esque a sea multiplo de 6.
Una condicion necesaria para que un entero a sea multiplo de 6,
esque a sea divisible por 3.
-
Univ
ersid
ad de
Ant
ioqu
ia22 CAPITULO 1. LOGICA - TEORIA DE CONJUNTOSUna gran parte de
los enunciados matematicos estan asociados a laforma de
implicaciones, las cuales pueden estar, o no estar, presentesen
forma explcita. En estas notas haremos explcita la implicacion
decada enunciado, esto por razones de orden practico en el proceso
dedemostracion que nos ocupe. De hecho ya lo hemos puesto en
practicaa partir de la seccion 1.1, (pagina 6), con motivo de las
leyes basicasdel algebra.
Por ejemplo, el teorema: El producto de numeros impares da
comoresultado otro numero impar esta asociado a la implicacion:
(a y b son numeros impares) = (ab es impar.)RECIPROCA y
CONTRARRECIPROCA.
Asociadas a toda implicacion se deben considerar otras dos
implica-ciones las cuales se indican en el siguiente esquema:
P = Q
Q = P RECIPROCA
noQ = noP CONTRARRECIPROCA.
Ejemplo -:Implicacion inicial :
Si el entero a es multiplo de 6, entonces a es divisible por 3.
P = Q (v)
Implicacion recproca :Si el entero a es divisible por 3,
entonces a es multiplo de 6.
Q = P (f)
Implicacion contrarrecproca :Si el entero a no es divisible por
3, entonces a no es multiplo de 6.
noQ = noP (v)
-
Univ
ersid
ad de
Ant
ioqu
ia1.3. NOCIONES DE LOGICA. METODOS DE DEMOSTRACION. 23NOTA :Como
puede verse en el ejemplo anterior, el hecho de que la
implicacioninicial sea verdadera, (es decir, teorema), no asegura
que la recproca seaverdadera pues en este caso es falsa, como se
puede constatar por medio delsiguiente contraejemplo:
15 es divisible por 3 (recuerde, 3 | 15) pero 15 no es multiplo
de 6, (6 15).Sin embargo, la implicacion inicial y su
contrarrecproca siempre seran am-bas verdaderas o ambas falsas.
(Ley del contrarrecproco, pagina 31). En elejemplo considerado,
ambas son verdaderas, lo cual demostraremos un pocomas adelante,
(Ver paginas 26 y 31.)
La implicacion es como ya se dijo, una operacion binaria cuyo
signo de ope-racion esta representado por dos palabras, Si entonces
. Dicha ope-racion se rige por el siguiente principio -:
El unico caso en que un enunciado de la formaP = Q es falso,
se da cuando el antecedente, P, es verdaderoy el consecuente, Q,
es falso.
En los otros casos la implicacion es verdadera.
La Tabla #9 registra este principio:
P Q P Qv v vv f ff v vf f vTabla #9
En la Tabla#9 se pueden verificar las siguientes dos nuevas
leyes logicas y
el importante Metodo Directo para hacer demostraciones.
Ley del Antecedente Falso:
Toda implicacion con antecedente falso es verdadera, es decir,
teorema.
-
Univ
ersid
ad de
Ant
ioqu
ia24 CAPITULO 1. LOGICA - TEORIA DE CONJUNTOSEjemplos -:1.
(falso) (6 es primo) =
(verdadero.) (6 es par)
(=verdadera)
2.(falso)
(6 es primo) =(falso)
(6 es impar) (=verdadera)
Ley del Modus ponens. Forma esquematica:De una implicacion
ver-dadera con antecedenteverdadero, se puede con-cluir que el
consecuente esverdadero.
Premisas:1. P = Q2. P
Conclusion: Q.
Esta importante ley es de uso continuo no solo en el
razonamiento matematico,sino en el uso del lenguaje corriente. Ella
indica las condiciones (premisas)bajo las cuales se puede deducir
(poner?) el consecuente de una impli-cacion.
Metodo Directo
Es el procedimiento mas utilizado para efectuar demostraciones
matematicas.Su explicacion puede seguirse en las filas 1 y 2 de la
Tabla #9.Consideremos que se quiere demostrar un enunciado de la
forma
P = Q.
A continuacion describimos el procedimiento.
-
Univ
ersid
ad de
Ant
ioqu
ia1.3. NOCIONES DE LOGICA. METODOS DE DEMOSTRACION. 25Partamos
del supuesto (hipotesis) de que P es un enunciado verdadero,
verfilas 1 y 2 de la Tabla #9. All se observan 2 opciones para Q.
La 1a filanos indica que Q puede llegar a ser enunciado verdadero,
en cuyo caso laimplicacion resultara verdadera. La 2a fila nos
indica que el enunciado Qpuede llegar a ser falso, en cuyo caso la
implicacion resultara falsa.Si una sucesion de deducciones
(logicas) intermedias nos llevan a la conclusionfinal de que Q es
verdadero, hemos llegado a buen puerto, pues la consecuen-cia
inmediata es que P = Q es una implicacion verdadera y elenunciado
ha quedado demostrado.Cabe aqu preguntarse, porque no suponer
inicialmente que P es falso?La respuesta es inmediata: Con
antecedente falso toda implicacion es (tri-vialmente) verdadera y
no se tienen que hacer mas razonamientos.
Presentacion esquematica del metodo directo:
Hip. Deducc/s. Interm/s. Conclus/Final. Demostrado:
P. P1, P2 Pn. Q. P = Q
Es bueno aclarar que no es el enunciado Q el que queda
demostrado sinoel enunciado (P = Q). Hecha esta aclaracion, cuando
se realice unademostracion por metodo directo, esta se puede dar
por terminada en elpunto en que se obtenga la conclusion final
Q.
En el siguiente teorema se tiene un modelo de aplicacion del
metodo directo.
Teorema 1.3.1. El producto de numeros impares da resultado
impar.
Demostracion. Empezamos por expresar el enunciado en forma de
impli-cacion:
(a, b enteros impares) = (ab es impar)Esto no es indispensable
pero nos ayuda a entender mejor el procedimiento,que empieza
as:Supongamos que a y b son impares, (hipotesis). Queremos
demostrar que abtambien es impar, (tesis).
Al ser a y b impares,a = 2k + 1, con k Zb = 2h+ 1, con h Z
Por ley uniforme,ab = (2k + 1)(2h+ 1)
-
Univ
ersid
ad de
Ant
ioqu
ia26 CAPITULO 1. LOGICA - TEORIA DE CONJUNTOSPor ley
distributiva, ab = 2k 2h+ 2k + 2h+ 1Agrupando y sacando un factor
comun,
ab = 2 (2kh+ k + h) + 1
En este punto, llamemos 2kh+ k + h = t, t Z, lo cual se
justifica porla ley clausurativa.Reemplazando en , obtenemos
finalmente,
ab = 2t+ 1lo cual significa que ab es impar y la demostracion
termina.
Veamos otro ejemplo sencillo.Demostremos por el metodo directo
la implicacion mencionada en la pagi-na 23:
6 | a = 3 | aDm:- Supongamos que 6 | a. Por definicion,
a = 6k, k Z.Esta igualdad se puede re-escribir en la forma,
a = 3(2k).
Hagamos 2k = h, (L. clausurativa), luego,
a = 3h, h Z.Esta ultima igualdad equivale (por definicion) a 3 |
a. La implicacion quedademostrada. 2
La Equivalencia -: Esta operacion binaria se reduce a una
combinacionde conjuncion y dos implicaciones, pues se define como
la conjuncionde una implicacion y su recproca, es decir,
(P = Q) y (Q = P).El signo convenido para denotar la
equivalencia es . El enunciadoanterior se representa as:
P Q
-
Univ
ersid
ad de
Ant
ioqu
ia1.3. NOCIONES DE LOGICA. METODOS DE DEMOSTRACION. 27Analizamos
en la siguiente tabla, cuando es verdadero, y cuando falso,un
enunciado en forma de equivalencia:(P = Q) y (Q = P) P Qv v v v vf
f f f vv f f v ff v v f f
Cuando un enunciado de la forma P Q es verdadero, (ver filas1 y
2), se dice de los enunciados P, Q que son equivalentes.
El enunciado P Q recibe, entre otras, las siguientes
lecturas:
P si y solo si Q.P sii Q.
P es condicion suficiente y necesaria para Q.
En resumen, vemos que dos enunciados son equivalentes cuando
am-bos son simultaneamente verdaderos, (1a fila de la tabla
anterior),o simultaneamente falsos, (2a fila de la tabla
anterior).
Una conclusion valida es que todos los enunciados verdaderos son
equiva-lentes entre si y tambien todos los falsos son equivalentes
entre si.
Demostrar que dos enunciados P, Q son equivalentes obliga a
demostrardos implicaciones, (en cualquier orden):
I) Demostrar P = Q.II) Demostrar la recproca, Q = P
Ejercicio -: Completar la tabla anterior en las columnas que
estanvacas.
NOTA: Es importante tener en cuenta que en logica matematica no
existenenunciados iguales. El signo = pertenece a la teora de
conjuntos.Por lo demas, el signo hace las veces del signo = en el
sentido de que dosenunciados equivalentes se reemplazan, a
conveniencia, el uno por el otro.Lasiguiente ley justifica la
anterior afirmacion:
-
Univ
ersid
ad de
Ant
ioqu
ia28 CAPITULO 1. LOGICA - TEORIA DE CONJUNTOSMODUS PONENS EN
EQUIVALENCIAS.Premisas
1. P Q2. P
Conclusion: Q
Premisas1. P Q2. Q
Conclusion: P
LAS DEFINICIONES.El papel que cumplen las definiciones es el de
poner un nombre a cada terminonuevo que se vaya presentando en una
teora. Una aplicacion de la equiva-lencia es el uso, explcito o
implcito, que de ella se hace para presentar lasdefiniciones. En el
preambulo, (seccion 0.2), ya habamos adelantado algu-nas
definiciones: numero par, numero impar, numero primo,
divisor-multiplo,MCD(a, b), y primos relativos.Recordemos aqu que
implicacion y equivalencia son otros terminos que yahemos definido,
si bien de un modo informal, pero que ahora presentamosformalmente
as:
DEFINICION.
(P = Q) ( (noP) o Q ).DEFINICION.
(P Q) ( (P = Q) y (Q = P) ).Veamos a continuacion un teorema que
agrupa las principales propiedadesalgebraicas de las operaciones
logicas que hasta ahora hemos considerado.
Teorema 1.3.2. (Equivalencias basicas.)
1.((P = Q) y (Q = R)) = (P = R) (Silogismo o transitividad
de)((P Q) y (Q R)) = (P R) (Transitividad de)
2. (noR o R) (Ley del medio excludo).
(Ley que tambien equivale a (R = R); ver def. de .)3. no(noR) R
(Ley de la doble negacion).
(negar 2 veces equivale a afirmar).
-
Univ
ersid
ad de
Ant
ioqu
ia1.3. NOCIONES DE LOGICA. METODOS DE DEMOSTRACION. 294.
Diferentes maneras de negar enunciados:no(R o S)
negacion indicada
((noR) y (noS)) negacion ejecutada
no(R y S) negacion indicada
((noR) o (noS)) negacion ejecutada
no(R = S) negacion indicada
(R y (noS)) negacion ejecutada
5. Leyes conmutativas:
(R o S) (S o R)(R y S) (S y R)
6. Leyes asociativas:((R o S) o T
) (R o (S o T ))((R y S) y T
) (R y (S y T ))7. Leyes distributivas:(
R o (S y T)) ((R o S) y (R o T))(
R y (S o T)) ((R y S) o (R y T))(
R = (S = T )) ((R = S) = (R = T ))
Ejemplos-: Negar los siguientes enunciados.
1. 6 es primo y 7 es par.
negacion: 6 no es primo o 7 no es par.
2. 7 no es primo o 7 es par.
negacion: 7 es primo y 7 no es par.
3. Si 7 es primo entonces es par.
negacion: 7 es primo y no es par.
-
Univ
ersid
ad de
Ant
ioqu
ia30 CAPITULO 1. LOGICA - TEORIA DE CONJUNTOS4. 6 es primo y 7
no es primo o 7 es par.Enunciado ambiguo. No se puede responder por
la falta de un parente-sis.
Se puede corregir de dos maneras de acuerdo a la ubicacion del (
). Verlos dos ejercicios siguientes:
5. (6 es primo y 7 no es primo) o 7 es par.
negacion: (6 no es primo o 7 si es primo) y 7 no es par.
6. 6 es primo y (7 no es primo o 7 es par).
negacion: 6 no es primo o (7 si es primo y 7 no es par).
7. Por los puntos A y B pasa una recta y pasan infinitos
planos.
negacion: Por los puntos A y B no pasa una recta o no pasan
infinitosplanos.
8. (P y Q) = R.negacion:
(P y Q) y noR.
9. P = (Q y R).negacion:
P y (noQ o noR).
10. (P = Q) o (P = noQ).negacion:
(P y noQ) y (P y Q).
11. Si 6 no es primo entonces es un numero compuesto.
negacion: 6 no es primo y no es un numero compuesto.
12. Si un polgono es triangulo entonces no tiene diagonales.
negacion: Un polgono es triangulo y tiene diagonales.
-
Univ
ersid
ad de
Ant
ioqu
ia1.3. NOCIONES DE LOGICA. METODOS DE DEMOSTRACION. 31Teorema
1.3.3. Ley del contrarrecprocoToda implicacion y su
contrarrecproca, son equivalentes.
En smbolos:
(P = Q) (noQ = noP)
Veamos una prueba esquematica de esta ley.Como se trata de una
equivalencia debemos demostrarla en 2 partes, i.e.,
I. (P = Q) = (noQ = noP)II. (noQ = noP) = (P = Q)Demostracion.
Veamos la prueba de I. Se deja para el lector la parte II.Metodo
directo.
P = Q (hipotesis.)(noP) o Q (def. de =).
Q o (noP) (L. conmutativa.)
(no(no)Q) o (noP) (L. doble negacion.)
noQ = noP (def. de =).
El anterior teorema justifica una afirmacion que hicimos en la
pagina 23,segun la cual las implicaciones,
Si el entero a es multiplo de 6, entonces a es divisible por 3.
P = Q (v)
.
Si el entero a no es divisible por 3, entonces a no es multiplo
de 6. noQ = noP (v)
,
son ambas verdaderas, pues segun se demostro en la pagina 26, la
primera loes.
-
Univ
ersid
ad de
Ant
ioqu
ia32 CAPITULO 1. LOGICA - TEORIA DE CONJUNTOSEl metodo del
contrarrecprocoEs un metodo de demostracion indirecto basado
precisamente en la ley delcontrarrecproco que acabamos de enunciar.
Consiste en dejar de lado el enun-ciado que tenemos por demostrar y
fijar su contrarrecproco para ponernosa la tarea de
demostrarlo.Veamos, en el siguiente teorema, un ejemplo que nos
sirve de modelo paracomprender el procedimiento.Notese que el
numero 36 es un cuadrado perfecto par y que sus dos racescuadradas,
6, tambien son numeros pares. Este es un ejemplo al cual serefiere
nuestro proximo teorema.
Teorema 1.3.4. Todo entero, cuadrado perfecto, que sea par tiene
racescuadradas que tambien son numeros pares.
Demostracion. Para llevar a cabo la demostracion, presentemos la
impli-cacion asociada.Sea a un entero.
(a2par) = (a tambien es par ).Cambiamos esta implicacion por la
contrarrecproca:
(a no es par) = (a2 no es par ).y demostremos esta por metodo
directo.
Supongamos que a no es un entero par, (hipotesis). Queremos
demostrar quea2 tampoco es par.No siendo a par, entonces es impar y
en consecuencia, a2 = a a es productode impares e invocando el
teorema 1.3.1., conclumos que a2 es impar, luegoa2 no es par.
Metodo de Disyuncion de casos
Este es un poderoso metodo auxiliar que debemos utilizar cuando
en mediode un razonamiento se presentan dos o mas opciones o
posibilidades. Decimosentonces que se presentan 2, 3, o mas casos.
Veamos, en forma esquematica,el teorema para 2 casos en dos
versiones, donde una es un caso particular dela otra.
-
Univ
ersid
ad de
Ant
ioqu
ia1.3. NOCIONES DE LOGICA. METODOS DE DEMOSTRACION. 33Teorema
1.3.5.
Version general.
Premisas.1. P o Q2. P = R3. Q = S
Conclusion: (R o S)
Caso particular.
Premisas.1. P o Q2. P = R3. Q = R
Conclusion: R
El metodo de Reduccion al Absurdo
Tambien llamado el metodo de la contradiccion, esta basado en el
hechode que una teora matematica no puede contener contradicciones
(Principiode no contradiccion - sec. 1.3, pagina 16).Describamos el
metodo: Sea T el enunciado que se quiere demostrar. Ad-mitamos, en
principio, que T es falso lo cual equivale, (por definicion),
adecir que (noT) es verdadero y, por lo tanto, entra a hacer parte
de la teora.Aqu pueden ocurrir 2 posibilidades:
I. Suele suceder que, tras una secuencia de pasos logicos, T
resulte ha-ciendo parte de la teora como enunciado verdadero; se
sigue, por la ley desimultaneidad, que el enunciado
(T y noT)
es verdadero, pero esta es una contradiccion que la teora no
presentaba antesde la injerencia de (noT). Conclumos que (noT) es
el causante del derrumbede la teora y de inmediato lo descartamos
como falso lo cual quiere decirque el contrario de (noT), o sea T,
es verdadero. Nuestro enunciado ha sidodemostrado.!!
II. Otra posibilidad que puede ocurrir consiste en que la
presencia de (noT)como un teorema, conduce, despues de una
secuencia de pasos intermedios,a un resultado contradictorio de la
forma
R y (noR),
donde R es un teorema antiguo (o reciente) de nuestra teora.
Igual que en Iconclumos que (noT) es falso, lo que es equivalente
a: T es un enunciadoverdadero. Nuestro enunciado ha sido
demostrado. !!
Veamos un hermoso y antiguo teorema (Euclides - siglo III adC.)
que nosilustra el metodo de la contradiccion.
-
Univ
ersid
ad de
Ant
ioqu
ia34 CAPITULO 1. LOGICA - TEORIA DE CONJUNTOSTeorema 1.3.6.
Aceptado que 2 es un numero real, 2 es irracional.Puesto en forma
de implicacion, este teorema nos queda as:
2 R = 2 Q .
Demostracion. Aceptado que2 R y razonando por contradiccion,
supon-
gamos que2 es racional. Esto significa que
2 = a
b, donde a, b Z, b 6= 0.
Recordemos que todo racional se puede escribir en forma
reducida, (Preambu-lo, secc. 0.2); entonces, sin perdida de
generalidad, supongamos que
MCD(a, b) = 1.
Regresando a , y despues de multiplicar por b,b2 = a. (L.
uniforme.)
Elevemos al cuadrado.
b2 (2) = a2, (1) (L. uniforme).
Esto quiere decir que,
a2 es par,
y por tanto,
a tambien es par, (teorema 1.3.4., pagina 32).
En consecuencia podemos escribir,
a = 2k, k Z
De donde a2 = 4k2 (L. uniforme.)
Y reemplazando en (1) obtenemos,
b2(2) = 4k2.
-
Univ
ersid
ad de
Ant
ioqu
ia1.3. NOCIONES DE LOGICA. METODOS DE DEMOSTRACION. 35Si
cancelamos un factor 2, obtenemos,b2 = 2 k2
Y ahora podemos decir que b2 es par y que por tanto,
b tambien es par (otra vez, teorema 1.3.4).
Finalmente conclumos que tanto a como b son numeros pares,
luego
MCD(a, b) 2 Absurdo!
pues se conforma una contradiccion con .
El teorema ha quedado demostrado!
El numero real2 tiene el recordde ser el primer numero del cual
se supo
con certeza que no era racional, es decir, que no se poda
expresar en terminosde dos enteros como a
b. En efecto, se dice que los Pitagoricos, (siglo IV adC
?.), lograron realizar la hazana de demostrarlo.
DEMOSTRACIONES VARIAS (A manera de modelos.)
IVeamos un ejercicio resuelto de 2 maneras, con las cuales se
ilustra elempleo de las leyes logicas vistas.1.De las premisas
dadas obtener la conclucion propuesta.
Premisas:1. p o (q y r)2. s o t3. s = no(p o q)Conclusion:
t.
SOLUCION 1:4. (p o q) = no(s) Contrarrecproco en 3.5. (p o q) y
(p o r) L.Distributiva en 1.6. (p o q) L. de simplificacion en 5.7.
no(s) Modus ponens entre 4. y 6.8. t. Cancelacion de la falsa en
2.
IIVeamos otra solucion del mismo ejercicio empleando el metodo
de disyun-cion de casos: Como la premisa 1. nos ofrece dos
opciones, es oportunoentrar aqu en dicho metodo.En el primer caso
se quiere obtener la implicacion p = t.En el segundo, se quiere
obtener la implicacion (q y r) = t.Veamos ambos casos:
-
Univ
ersid
ad de
Ant
ioqu
ia36 CAPITULO 1. LOGICA - TEORIA DE CONJUNTOSSOLUCION 2:Caso I
Caso II
4. p Hipotesis, (1aopcion).
5. p o q Adicion con o en 4.
6. (p o q) = no(s) Contrarrecproco en 3.7. no(s) Modus ponens
entre 5. y 6.
8. t Cancelacion de la falsa en 2.
9. p = t Metodo Directo entre 4. y 8.
4. q y r Hipotesis, (2a opcion).
5. q Simplificacion en 4.
6. p o q Adicion con o en 5.
7. (p o q) = no(s) Contrarecproco en 3.
8. no(s) Modus ponens entre 6 y 7.
9. t Cancelacion de la falsa en 2.
10. (q y r) = t Metodo Directo entre 4 y 9.
Finalmente, de 1., 9., y 10., conclumos, por disyuncion de
casos, la verdadde t.
IIIVeamos una prueba clasica del teorema 0.2.4, enunciado en el
preambu-lo de estas notas, (pagina 4), y debida a la matematica de
la Grecia Antigua(Euclides, siglo III adC.), el cual asegura que,
no existe un primo que seael mayor primo.
La demostracion se realiza por el metodo de reduccion al absurdo
y para ellose requiere utilizar en cierto momento el teorema
llamado Algoritmo de ladivision(teorema 0.2.1) y el corolario
0.2.3, (ver paginas 3 y 4):
DEMOSTRACION.Razonando por el absurdo, supongamos que hay un
entero P que es el numeroprimo mas grande que existe.Definamos un
numero N , as:
N = (p1p2p3 pk) P + 1 (1.)donde
p1, p2, p3, , pk y P,
son todos los primos posibles ya que primos mas grandes que P ,
hemossupuesto que no hay. Segun el corolario 0.2.3., N tiene un
divisor primo,digamos q y por lo tanto,
N = qA+ 0, A Z (2.)
-
Univ
ersid
ad de
Ant
ioqu
ia1.3. NOCIONES DE LOGICA. METODOS DE DEMOSTRACION. 37Este primo
q tiene que ser alguno de los primos de la lista (). ; Pero q 6=
p1, ya que de ser q = p1, se tendra, por sustitucion en (2.)
yre-agrupando en (1.),
N = p1A+ 0.N = p1 (p2p3 pk P ) + 1.
y esto no puede ser posible pues esta mostrando que la division
entre N y p1esta dejando residuos distintos 0 y 1, y el Algoritmo
de la division(teorema0.2.1) afirma que el residuo es solo uno.
El mismo procedimiento permite descartar las demas
posibilidades: con q =p2 ; q = p3 ; ; q = pk ; o q = P , se llega a
la misma imposibilidad.Por ejemplo para q = P se tendran las
igualdades,
N = P A+ 0.N = P (p1 p2p3 pk) + 1.
donde la division entre N y P esta dejando nuevamente los
residuos 0 y 1.
Por tanto q no esta en la lista ( ) y esto es una contradiccion
con lo afir-mado en ; , contradiccion que proviene de haber
supuesto que P era elmayor entre los primos. Conclumos que P no es
el mayor primo y que portanto no existe un mayor primo. El teorema
queda demostrado. 2
IVVeamos una prueba de las llamadas Leyes cancelativas,
propiedad quese cumple en todo conjunto que tenga dos operaciones
binarias que cumplantodas las leyes del algebra, (seccion 1.3,
pagina 6), como es el caso de lasuma y la multiplicacion en los
racionales, los reales y los complejos.Como es lo usual,
representemos las dos operaciones por + y
TEOREMA:- (i) a+ c = b+ c = a = b.(ii) (a c = b c y c 6= 0) = a
= b.
DEMOSTRACION:- (metodo directo)Parte (i). Supongamos
a+ c = b+ c.
-
Univ
ersid
ad de
Ant
ioqu
ia38 CAPITULO 1. LOGICA - TEORIA DE CONJUNTOSEn esta igualdad
apliquemos en secuencia, diferentes leyes algebraicas, em-pezando
por sumar el opuesto de c :(a+ c) + (c) = (b+ c) + (c)
L.UNIFORME.a+ (c+ (c)) = b+ (c+ (c)) L.ASOCIATIVA.a+ 0 = b+ 0
L.INVERTIVA(+).a = b. L. MODULATIVA(+).
Queda demostrada la primera parte del enunciado. 2
Parte(ii).Supongamos
a c = b c y c 6= 0.
Apliquemos nuevamente algunas leyes del algebra.
Como c 6= 0, existe su inverso c1. Empecemos multiplicando por
c1:(a c) c1 = (b c) c1 L. UNIFORME.a (c c1) = b (c c1)
L.ASOCIATIVA.a 1 = b 1 L.INVERTIVA.a = b. L.MODULATIVA.
Queda demostrada la segunda parte del enunciado. 2
1.4. Ejercicios
1. Negar los siguientes enunciados:
a.) (noR) o Q; Resp. : R y (noQ).
b.) ((T y R) y S;c.) (R y R); d.) R y (noQ);e.) (noR) o
(noT);f.) (noR o T) y Q;g.) ((R y S) o T);h.) (R y (S o T));i.) (R
y noT) y S;j.) (noR) o (T y Q);k.) ((T y R) y S).
l.) P = (R y T);m.) (P = R) y T;n.) (P = Q) y (Q = P);o.) (R y
S) = (T o R);p.) (noR) y (T o S);q.) (M o L) y H;r.) P = (Q =
T);s.) (P = Q) = T);t.) ((noP) = (noT)).
-
Univ
ersid
ad de
Ant
ioqu
ia1.4. EJERCICIOS 392. Negar los siguientes enunciados:a.) x es
racional y z no es entero.b.) 3 es par y 7 es primo.c.) 3 es impar
o 7 no es primo.
Resp. : x no es racional o z es entero.d.) (3 es impar y 7 es
primo) o 6 espar.e.) x no es racional o z no es entero.
3. Dar el recproco, el contrarrecproco y la negacion de las
siguientesimplicaciones:
a.) Si un entero es mayor que 1, entonces tiene un divisor
primo.
Respuesta :
Recproco. ; Si un entero tiene un divisor primo, entonces es
mayorque 1.
Contrarrecproco. ; Si un entero no tiene un divisor primo,
entoncesno es mayor que 1.
Negacion. ; Un entero es mayor que 1 y no tiene un divisor
primo.b.) Si a es impar, entonces ca es impar.c.) Si el cuadrado de
un entero es par, entonces dicho entero tambienes par.
d.) Si un triangulo esta inscrito en media circunferencia,
entonces tieneun angulo recto.
e.) Si un entero es numero compuesto, entonces tiene 2 o mas
factoresprimos.
f.) Si x (A B), entonces (x A) o (x B).g.) Si (x,w) AB, entonces
(x A) y (w B).h.) Si un numero real es 0 o es negativo, entonces no
tiene logaritmo.
i.) Si una matriz es cuadrada y su determinante es cero,
entonces notiene inversa.
j.) Si una funcion es continua y uno a uno, entonces es
monotona.
k.) Si a | b y b | c, entonces a | c.l.) Si p es primo o divisor
de 10, entonces p|20.m.) Si un triangulo es isosceles, entonces
tiene dos angulos iguales.
-
Univ
ersid
ad de
Ant
ioqu
ia40 CAPITULO 1. LOGICA - TEORIA DE CONJUNTOS4. Suponga que P es
un enunciado falso y descubra cuales de los siguientesenunciados
son verdaderos, cuales falsos y de cuales no se puede
decirnada:
P y Q; R o P; R y noP; S o noP; R = P;P = Q; noP = (P o S); P =
(P y S); noP = P;S = noP; (P o Q) o R; noP o (P y R); R = (S =
P);noP = (P = R); (P y S) = (Q y noR).
5. En el ejercicio anterior, descubra como son los enunciados
propuestos,(verdaderos, falsos o imposible decidir), en el supuesto
de que P seaverdadero y Q y R falsos.
6. En i) a xiii) se da una lista de premisas y se pide obtener
la conclusionpropuesta empleando leyes logicas apropiadas.
i) Premisas:1. no(r = q)
Conclusion: no(q)
ii) Premisas:1. no(r) = q2. no(q)
Conclusion:(r o t.)
iii) Premisas:1. no(r = q)2. no(r)
Conclusion: Sistemacontradictorio.
iv) Premisas:1. (r y q) = no(s)2. s
Conclusion: (no(r) o no(q))
v) Premisas:1. (no(r) y p) = (r o q)2. no(p = r)
Conclusion: (r o q).
vi) Premisas:1. p = no(q)2. (no(q)) = h
Conclusion: (no(h))= (no(p))
vii) Premisas:1. no(r) o t2. r
Conclusion: t.
viii) Premisas:1.(r y q) = no(s)2. s3. q
Conclusion: no(r).
ix) Premisas:1. p o (q y r)2. s o t3. s = no(p o q)
Conclusion: t.
-
Univ
ersid
ad de
Ant
ioqu
ia1.4. EJERCICIOS 41x) Premisas:1. p = s2. q = r3. (s y r) = k4.
p y q
Conclusion: k.
xi) Premisas:1. no(p o no(r))2. q o p3. r = s4.(q y s) = (t y
s)
Conclusion: t.
xii) Premisa:1. no (q)
Conclusion1: q = p.Conclusion2: r = no(q).
xiii) Premisas:1. p y q2. no(r) = (no(p) o no(q))
Conclusion: (r.)
7. Completar la tabla de la equivalencia, (pagina 27.).
8. Escribir el enunciado (P o Q) en forma de =. Resp.: (noP =
Q).
9. Demostrar la parte II., (teorema, pagina 31), de la L. del
contra rrecpro-co: (noQ = noP ) = (P = Q).(Sugerencia: Utilizar la
parte I del teorema y la L. de la doble negacion.)
Nota: En los ejercicios que siguen las letras que representan
numeros,se refieren a numeros enteros.
En 11 a 16, completar cada enunciado y demostrarlo.
10. Si se suman dos numeros pares, el resultado es Escriba el
enunciado como implicacion:
(a y b son numeros pares) = (a+ b)
11. Si se suman dos numeros impares, el resultado es
12. Si se suman tres numeros impares, el resultado es
13. Si se suman n numeros impares el resultado es par o impar,
depen-diendo de n; como es el resultado si n es par?. Y si n es
impar?.
14. Si se suma un numero par con uno impar, el resultado es
-
Univ
ersid
ad de
Ant
ioqu
ia42 CAPITULO 1. LOGICA - TEORIA DE CONJUNTOS15. Si a es par, b,
y c impares, a (b+ c) es De los siguientes enunciados, 17 a 31,
senale con F, (y justifique), losque son falsos y redacte una
demostracion de los que son ciertos:
16. Si todos los multiplos de un entero a son pares, entonces a
tambien espar. (v.)
Sugerencia: (k Z y ka es par) = a es par.
17. Si (a+ b) es par, entonces a es par o b es par.
18. Si (a+ b) es impar, entonces a es impar o b es impar.
19. Si ab es par, entonces a es par o b es par.
20. El producto de tres enteros consecutivos siempre es un
numero par.
Sugerencia: (k) y (k+1) representan dos enteros consecutivos.
Represente
3 enteros consecutivos.
21. El producto de tres enteros consecutivos siempre es multiplo
de 4.
22. Todo numero par es multiplo de 2 o de 4. (v.)
Para facilitar la comprension de la demostracion puede ser
convenienteescribir la implicacion asociada al enunciado, es
decir,
(a es numero par ) = (a es multiplo de 2 o de 4).Demostracion:
(Por metodo directo, atendiendo a la implicacion propuesta.)
Sea a un numero par, entonces a es de la forma 2k, k Z y esto
quiere decirque a es multiplo de 2.
Por la ley de adicion con o conclumos que a es multiplo de 2 o
de 4.
La demostracion ha terminado. 2
23. Todo numero par es multiplo de 4 o de 5.
24. Todo numero impar es multiplo de 3 o de 5.
25. Todo numero impar es de una de las formas (4k+1) o (4k+3.)
(Ver-dadero. Utilizar el Algoritmo de la division. Considere un
entero arbi-trario n como dividendo siendo 4 el divisor.(Son 4
casos porque son 4los posibles residuos: 0, 1, 2, 3.)
-
Univ
ersid
ad de
Ant
ioqu
ia1.4. EJERCICIOS 4326. Todo entero de las formas (4k + 1) o (4k
+ 3), es impar.27. Si 5 divide a (m+ n), entonces 5 divide a m o 5
divide a n.
28. Si 5 divide a mn, entonces 5 divide a m o 5 divide a n.
29. Si 5 divide a mn, entonces 5 divide a m y 5 divide a n.
30. Si a | b, entonces a | bc cualquiera que sea el entero c.31.
Demostrar: si un numero entero es divisible por 2 y por 3,
entonces
tambien es divisible por 6. (v.)
Sugerencia: Segun el Algoritmo de la division, (teorema 0.2.1.,
pagina3), todo entero n es de la forma 6k+ r donde r puede ser
cualquiera delos numeros 0, 1, 2, 3, 4, o 5. Descomponga a n en las
formas 2 (3k)+ ry 3 (2k) + r. Terminar descartando todos los r 6=
0.
Demostrar los siguientes enunciados, 33 a 45, por el metodo
directo.
32. Si 3 | a y 5 | b, entonces 15 | ab.33. Si a, b, c son
impares, entonces a(b c) es par.34. Demostrar que todo numero impar
se puede escribir en la forma 2k7
donde k es un entero.
35. El producto de tres numeros pares es multiplo de 8.
36. Si m+ n = m+ k entonces n = k.
37. Si am = an, con a 6= 0, entonces m = n.38. Si a | b y b | c
entonces a | c.39. Si a | (b c) y a | c demostrar que a | b40. Dos
enteros consecutivos siempre seran primos relativos.
41. Si 3 es un divisor de 5c, demostrar que 3 | c42. Si d | bc y
MCD(d, c) = 1, entonces d | b. Sugerencia: El 1 es combinacion
lineal de c y d ; 1 = xc+ yd, con x, y Z. (Ver teorema I, pagina
4). Ahora multiplique por by tenga en cuenta la hipotesis: d | bc.
Termine.
-
Univ
ersid
ad de
Ant
ioqu
ia44 CAPITULO 1. LOGICA - TEORIA DE CONJUNTOS43. Si el cuadrado
de un entero es par, el entero tambien es par.44. Si el cuadrado de
un entero es impar, el entero tambien es impar.
Demostrar los siguientes enunciados, 46 a 52 , por el metodo de
Re-duccion al absurdo:
45. Si un entero es divisible por 6, entonces es divisible por 2
y por 3.(recproco del ejercicio 31.)
46. Si 3 divide a un cuadrado perfecto, entonces 3 tambien
divide a su raizcuadrada.
47.3 es irracional. [Sugerencia: Utilice el anterior
ejercicio.]
48.6 es irracional.
49. (32) es irracional.
50. El numero de enteros pares es infinito.
51. El numero de primos es infinito.
-
Univ
ersid
ad de
Ant
ioqu
ia1.5. DEMOSTRACIONES POR INDUCCION. 451.5. Demostraciones por
Induccion.El metodo de induccion se emplea para demostrar
enunciados que se refierena un conjunto infinito de numeros
enteros. Nosotros lo restringiremos a losenteros positivos, Z+.
Se puede describir de la siguiente manera:Si un conjunto A de
numeros tiene entre sus elementos al 1 y si cada vez queenA este el
entero positivo k, se puede asegurar que tambien esta el
siguiente,(k + 1), podemos facilmente concluir que A contiene a Z.
La conclusion esfacil si partimos de un conjunto A que satisfaga
ambas condiciones, pues alestar el 1 en A, tiene que estar el
siguiente o sea el 2. De la misma manera,como el 2 esta en A tiene
que estar el siguiente o sea el 3; como esta el 3,tambien esta el 4
y siguiendo de la misma manera se concluye que en Aestan el 5, el
6, y as se puede continuar indefinidamente, llegandose a
laconclusion de que en A esta cualquier entero positivo por grande
que sea,i.e., Z esta contenido en A.El metodo de demostracion por
induccion esta basado en las dos condicionesdescritas en el parrafo
anterior y lo podemos expresar de la siguiente manera:
Si en un conjunto A se verifican las dos condiciones
siguientes:
1 A. k A = (k + 1) A,
entonces se puede asegurar que el conjunto A es Z+ o contiene a
Z+. Laprimera de estas condiciones se llama base para la induccion;
y la segundase llama paso de induccion.
Veamos como se utiliza este principio para demostrar enunciados
(propiedades)que se refieren a numeros enteros.Sea P una propiedad
que tiene que ver con numeros enteros. Para demostrarpor el metodo
de induccion que esta propiedad P la cumplen, digamos, todoslos
enteros positivos nos aseguramos de que se verifique para el 1.
Este hecholo representamos por P(1).Enseguida nos ocupamos de
demostrar la implicacion,
P (k) = P (k + 1)cuyo significado es el siguiente:
-
Univ
ersid
ad de
Ant
ioqu
ia46 CAPITULO 1. LOGICA - TEORIA DE CONJUNTOSSi la propiedad se
verifica para un entero positivo k, (esto queda representadopor
P(k)), entonces tambien se verifica para el siguiente (k+1), (lo
cual quedarepresentado por P(k + 1)).
Para demostrar esta implicacion, se puede emplear cualquiera de
los metodosde demostracion, en particular el metodo directo,
empezando por suponerque el enunciado P se cumple para el entero k.
Este supuesto es llamadohipotesis de induccion. El proposito que
sigue es deducir que la propiedadP se cumple para el entero (k + 1)
y una vez logrado este proposito, quedademostrada la propiedad para
todos los enteros positivos.
Veamos tres ejemplos:Ejemplo 1. (Suma de cuadrados
consecutivos.)Demostrar que la suma de n cuadrados consecutivos
esta dada por la formula,
n(n+ 1)(2n+ 1)
6
siendo n 1; as por ejemplo:Para n = 3, el resultado es
3 4 76
= 14.
En efecto,1 + 22 + 32 = 14
Para n = 4 verifique la formula con el resultado de la suma:
(1+22+32+42 = 30).
Pasemos a la demostracion:- Sea P el enunciado propuesto en
.Verificar el primer punto de la induccion, P(k = 1), es trivial ya
que lasuma tiene solamente el primer sumando, lo cual conduce al
resultado cierto:12 = 123
6
El segundo punto de la induccion, llamado el paso de k a (k+1),
consiste endemostrar la implicacion
P (k) = P (k + 1).Empleando el metodo directo, supongamos cierto
P(k = n), es decir,
12+22+32+ +n2 = n(n+ 1)(2n+ 1)6
(hipotesis de induccion.).
-
Univ
ersid
ad de
Ant
ioqu
ia1.5. DEMOSTRACIONES POR INDUCCION. 47Queremos, a partir de ,
obtener P(k = n+ 1), es decir:12 + 22 + 32 + + n2 + (n+ 1)2 =(n+
1)((n+ 1) + 1)(2(n+ 1) + 1)
6=
(n+ 1)(n+ 2)(2n+ 3)
6X (tesis).
En la igualdad marcada con un , (hipotesis de induccion),
sumemos (n+1)2obteniendo as:
(12+22+32+ +n2)+ (n+1)2 =[n(n+ 1)(2n+ 1)
6
]+(n+1)2 ; (L. UNIFORME).
Para simplificar el segundo miembro de esta igualdad podemos
empezar porfactorizar el termino (n+ 1):
n(n+ 1)(2n+ 1)
6+ (n+ 1)2 = (n+ 1)
[n(2n+ 1)6
+ (n+ 1)]
Reduciendo a comun denominador y simplificando, se tiene
= (n+ 1)[2n2 + 7n+ 6
6
]Finalmente, la factorizacion del trinomio de 2do. grado nos
produce el resul-tado final X que no es otro que
(n+ 1)(n+ 2)(2n+ 3)
6. 2
Tal vez mas interesante que hacer la demostracion de una
propiedad P, seaconstruirla o descubrirla. Una vez obtenida,
proceder a su demostracion (porinduccion), puede decirse que es un
proceso de rutina.
Ejemplo 2: (Suma de enteros consecutivos)Tratemos de descubrir
una ley para las sumas siguientes:1 = 1.1+2 = 3.1 + 2 +3 = 6.1 + 2
+ 3 + 4 = 10.1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15....1 + 2 + 3 + 4 + 5 + + n =
?.La ultima lnea nos lleva a una famosa regla que nos permite
calcular facil-mente una suma de ese estilo.
-
Univ
ersid
ad de
Ant
ioqu
ia48 CAPITULO 1. LOGICA - TEORIA DE CONJUNTOSPara descubrir esa
regla podemos observar y analizar los primeros resultadosde las
sumas, 1, 3, 6, 10, 15, cual seguira? La idea es obtener una
formulaen terminos de n que nos produzca el resultado para
cualquier entero n, porejemplo, cual sera el resultado de sumar los
primeros 100 numeros.?Puede que sea mas facil observar primero los
duplicados de estas sumas,digamos,
2, 6, 12, 20, 30. Si se descubre la formula que reproduce esta
ultima lista, basta dividir por 2para obtener la anterior, 1, 3, 6,
10, 15 y a partir de all conseguir el resultadodeseado.En la
seccion de ejercicios, (ejercicio 1 pagina 49), el estudiante podra
encon-trar el resultado, propuesto como ejercicio. La razon de este
aplazamiento esdar la oportunidad de que el lector descubra su
propio resultado. (Sugerencia:Descomponga los numeros en como
productos de dos numeros y observelos factores.)
Ejemplo 3:Demostrar la 1a ley de los exponentes: am an = am+n,
siendo a cualquiernumero real y m, n enteros positivos .
Se puede hacer el procedimiento de induccion sobre uno
cualquiera de los dosexponentes, n o m; en este caso, sobre n,
dejando a m fijo.Es necesario hacer primero una definicion.
Definicion: Para n entero positivo y para todo real x,
x1 = x
xn x = xn+1.
Pasemos ahora a la demostracion utilizando el metodo de
induccion:
(Base) - Para n = 1,
am a1 = am a = am+1 Por la anterior definicion.
(Paso de induccion.) - Supongamos que
am an = am+n. (hipotesis de induccion.)
Queremos deducir que el enunciado se cumple para (n+ 1),
i.e.
am an+1 = am+(n+1). (tesis)
-
Univ
ersid
ad de
Ant
ioqu
ia1.6. EJERCICIOS PARADEMOSTRAR POR ELMETODODE
INDUCCION.49Empezamos (y terminamos) de la siguiente manera:am an+1
= am (ana). Por la anterior definicion.
= (am an) a. Por ley asociativa.
= am+n a. Por hipotesis de induccion.
= a(m+n)+1. Por definicion.
= am+(n+1). Por ley asociativa.
Queda demostrado el enunciado. 2
1.6. Ejercicios para demostrar por el metodo
de induccion.
El primer ejercicio se refiere al ejemplo 2, (pagina 47, suma de
enteros con-secutivos), que se dejo aplazado para que el lector
tuviera un espacio parapensarlo.
1. Para n entero positivo,
1 + 2 + 3 + + n = n(n+ 1)2
2. Suma de impares.
Como en el ejemplo 2, pagina 47, trate de hallar, en terminos de
n =numero de sumandos, un resultado para las sumas del siguiente
estilo:
1 = 1.
1 + 3 = 4.
1 + 3 + 5 = 9....
1 + 3+ 5 + 7 + + (2n 1) =?.Y cuando lo encuentre, demuestrelo,
(por induccion).
-
Univ
ersid
ad de
Ant
ioqu
ia50 CAPITULO 1. LOGICA - TEORIA DE CONJUNTOS3. Suma de cubos
consecutivos.Para n entero positivo,
13 + 23 + 33 + =[n(n+ 1)
2
]24.
1
1 2 +1
2 3 +1
3 4 + 1
n (n+ 1) =n
n+ 1
5. Para n entero positivo y para reales x, y, y 6= x,
xn yn es divisible por x y
6. Suma de n terminos de una progresion geometrica. ; (P.G.)
Para r un numero real 6= 1,
1 + r + r2 + r3 + rn1 = rn 1r 1
7. 2a ley de los exponentes:
Para m y n enteros positivos y x numero real,
(xm)n = xmn
(Como en el ejemplo 3 de la pagina 48, basta hacer la induccion
sobreuno de los exponentes.)
8. Demostrar que la suma de un numero impar de enteros impares,
da unresultado impar. (Mire por ejemplo, 7 + 15 + 3 = 25.)
Sugerencia: Demuestre la igualdad,
a1 + a2 + a3 + + a2k1 = 2t+ 1,
donde k Z+, t Z y los ai son enteros impares. La induccion
sehace sobre k.
-
Univ
ersid
ad de
Ant
ioqu
ia1.7. CUANTIFICADORES 519. Demostrar que la suma de un numero
par de enteros impares , da unresultado par. Por ejemplo: 7 + 3 +
15 + 3 = 28.Sugerencia: Como en el ejercicio anterior, la induccion
se hace sobreel entero k en la igualdad,
a1 + a2 + a3 + + a2k = 2t,
donde los ai son enteros impares.
10. Demostrar que 2 es un factor de n2 + n.
(Esto es, demostrar que 2 | (n2 + n).)11. Demostrar que 3 es un
factor de n3 n+ 3.
(Esto es, demostrar que 3 | (n3 n+ 3).)12. Suma de n terminos de
una P.A. (Progresion Aritmetica.)
a+ (a+ d) + (a+ 2d) + + [a+ (n 1)d] = n[2a+ (n 1)d]2
.
13. 13 + 33 + 53 + + (2n 1)3 = n2(2n2 1)14. 1
13 +1
35 +1
57 + . . .+1
(2n1)(2n+1) =n
2n+1.
15. (1 + 31)(1 + 5
4)(1 + 7
9) ( ) = (?)
Encontrar el termino de lugar n, (espacio en blanco), proponer
el posible resultado,
(?), en terminos de n y hacer la demostracion por induccion.
1.7. Cuantificadores
(Universal, Existencial, de Unicidad, de Existencia Unica.)
Son palabras o expresiones que se refieren a la cantidad de
objetos (matematicos)o elementos de un cierto conjunto, que
verifican una propiedad.
Ya hemos mencionado en lugares anteriores de estas notas,
enunciados concuantificadores, apelando al sentido comun del
lector. En lo que sigue hare-mos una presentacion donde se enuncian
las principales caractersticas y
-
Univ
ersid
ad de
Ant
ioqu
ia52 CAPITULO 1. LOGICA - TEORIA DE CONJUNTOStecnicas para el
manejo de estas expresiones pero sin entrar a demostrar-las ya que
ello no esta contemplado en estas notas.A.) - Un enunciado esta
afectado por un cuantificador Universal cuandoen el aparecen
expresiones como todos, cada uno u otras que tengan esemismo
significado, como cuando decimos,Todo numero real elevado al
cuadrado da resultado positivo.Cada uno de los numeros primos 6= 2,
es impar.Para cada real x, x+ 0 = x.Para x, y, reales arbitrarios,
x+ y = y + x.
B.) - Un enunciado esta afectado por un cuantificador
Existencial cuandoen el aparecen expresiones como alguno, por lo
menos un, hay un, existepor lo menos un (termino) tal que u otras
que explcita o implcitamentetengan este mismo significado, como
cuando decimos, Existe por lo menos un numero primo que es par.Hay
triangulos con sus 3 lados iguales.Para algun x R, x2 1 = 0.Por dos
puntos pasa por lo menos una recta.Un entero es par si es de la
forma 2k, siendo k un entero.(En otros terminos, a Z es par si
existe k Z tal que a = 2k.)(Esta implcito el cuantificador
existencial en la frase, es de la forma).
C.) - Un enunciado esta afectado por un cuantificador de
Unicidad cuandoen el aparece una expresion al estilo de A lo sumo
hay un, cuando mashay un, no pueden haber 2 u otras expresiones que
puedan tener estemismo significado, como cuando decimos,En un
conjuntoA en el cual este definida una operacion binaria
modulativa,a lo sumo hay un elemento neutro.Entre 24 y 28 hay,
cuando mas, un primo.Entre 24 y 30 no hay dos primos.
D.) - Un enunciado esta afectado por un cuantificador de
Existencia Unicacuando en el aparecen expresiones al estilo deUno y
solo uno, unicamenteuno, exactamente uno, como cuando decimos,
Por un punto exterior a una recta dada pasa una y solo una recta
paralelaa la recta dada.
Al dividir entre si dos numeros enteros, el cociente y el
residuo son unicos.
-
Univ
ersid
ad de
Ant
ioqu
ia1.7. CUANTIFICADORES 53Para cada numero real 6= 0 existe
exactamente un inverso multiplicativo.LEYES DE LOS
CUANTIFICADORES.
Solamente para efectos de enunciar las leyes de los
cuantificadores y algunasexpresiones de tipo teorico, utilizaremos
las siguientes abreviaturas:
P (x) significa un enunciado o propiedad matematica referida a
untermino x. Similarmente, P (x, y, u, , z.) representa un
enunciado quese refiere a dos o mas terminos, representados por las
letras x, y, u, ...z.
Para el c. Universal 7 (x)P (x), que significa para todo x, P
(x).
Para el c. Existencial 7 (x)P (x), que significa existe un x tal
queP (x).
Para el c. de Unicidad 7 ( x)P (x), que significa existe a lo
sumoun x tal que P (x).
Para el c. de Existencia Unica 7 ( ! x)P (x), que significa
existe ununico x tal que P (x).
Algunas observaciones relacionadas con los cuantificadores:
En las abreviaturas anteriores se debe tener en cuenta que el
cuantificadorva acompanado de una letra que solo puede ser una
variable o sea un terminosin especificar y no una constante que
representa un termino especfico. Se acostumbra abreviar expresiones
cuantificadas doblemente con cuan-tificadores del mismo tipo, como
(x)(y)P (x, y) en la forma (x, y)P (x, y).De la misma manera se
procede con los demas cuantificadores y cuando elnumero de
variables sea 3 o mas. Un enunciado puede contener el numero y
variedad de cuantificadores quesean necesarios. El siguiente
enunciado tiene 3 cuantificadores:
Para todo > 0 existe > 0 talque para todo real x,
|x a| < = |f(x) f(a)| < ,
donde a es un numero fijo.
-
Univ
ersid
ad de
Ant
ioqu
ia54 CAPITULO 1. LOGICA - TEORIA DE CONJUNTOS Cuando un
enunciado presenta una variable no cuantificada, se asume queesta
afectada por el cuantificador . Por ejemplo, en el enunciado,(an)m
= anm,
(donde a R+ y m,n Z+), se sobrentiende que las letras a,m, n
estanafectadas, cada una, por un c. universal.
En el siguiente teorema utilizamos el smbolo (T |x)P para
indicar la ope-racion que consiste en reemplazar en el enunciado P
, la letra x por un terminoespecfico T . Por ejemplo, si P es x R y
T es 2, en tonces (T |x)P es2 R.
Teorema 1.7.1. (i.) (T |x)P (x) = (x)P (x).(es decir, con un
solo objeto que cumpla la propiedad P , se puede afirmar: existen
objetos
que cumplen la propiedad P.
(ii.) (x)P (x) = (T |x)P (x).(es decir, de lo general se sigue
lo particular. Recproco falso.)
(iii.) (x)P (x) = (x)P (x).(Silogismo entre (ii.) y (i.)).
Teorema 1.7.2 (Negacion de enunciados cuantificados).
(i.) no((x)P (x)) negacion indicada
(x)(no(P (x)) negacion efectuada
).
La negacion se efectua cambiando el cuantificador Universal por
cuantificadorExistencial y negando el enunciado P.
(ii.) no((x)P (x)) negacion indicada
(x)(no(P (x))) negacion efectuada
.
La negacion se efectua cambiando el c. Existencial por c.
Universal y negandoel enunciado P.
Ejemplos: Negar los siguientes enunciados:
1.-(x)(y)P (x, y) Respuesta: (x)(y)noP (x, y).2.-(x)(y)P (x, y)
Respuesta: (x)(y)noP (x, y).
-
Univ
ersid
ad de
Ant
ioqu
ia1.7. CUANTIFICADORES 553.-(a)(R(a) = S(a)) Respuesta: (a)
(R(a) y noS(a).)4.-(b)(P (b) y S(b)) Respuesta: (b) (noP (b) o
noS(b).)5.-(w)R(w) o (z)Q(z) Respuesta: ((w)noR(w)) y
((z)noQ(z).)6.-(x)P (x) = (y)Q(y) Respuesta: ((x)P (x)) y
((y)noQ(y).)7.-Existen rombos que no tienen los lados
iguales.Respuesta: Todos los rombos tienen los lados iguales.
8.-Todo entero es primo y todo primo es impar.Respuesta: Hay
enteros que no son primos o hay primos que no son impares.
9.-Si algun entero es impar, entonces es primo.Respuesta: Algun
entero es impar y no es primo.
10.-Todo multiplo de 3 tambien es multiplo de 6.Respuesta: Hay
al menos un multiplo de 3 que no es multiplo de 6.
En los enunciados que siguen haremos una simplificacion de la
notacion
(cuantificador-letra) P(letra) , suprimiendo la letra que
acompana a la
P. Por ejemplo (x)P (x) se vera simplificada como (x)P .Teorema
1.7.3 (Reglas de empleo de los cuantificadores).
(1.) LEYES DISTRIBUTIVAS :
a) (x)(R = S) = ((x)R = (x)S).
b) (x)(R = S) = ((x)R = (x)S).
c) (x)(R o S) ((x)R o (x)S).
d) (x)(R y S) ((x)R y (x)S).
e) ((x)(R y S) = ((x)R y (x)S).
f) ((x)R o (x)S) = (x)(R o S).
-
Univ
ersid
ad de
Ant
ioqu
ia56 CAPITULO 1. LOGICA - TEORIA DE CONJUNTOS(2.) LEYES
CONMUTATIVAS :g) (x)(y)R (y)(x)R.
h) (x)(y)R (y)(x)R.
i) (x)(y)R = (y)(x)R.
j) El recproco de (i) es falso.
Veamos un ejemplo relacionado con (i) y (j). Mientras que el
enunciado,para todo entero n > 1, existe un primo que divide a n
(cor.0.2.3.) es verdadero, el enunciado que cambia la posicion de
los cuantifi-cadores, existe un primo que divide a todos los
enteros mayoresque 1, es falso. Este ejemplo sera analizado mas
adelante. (Ver solucion aejercicio 19(m), pagina 63,
contraejemplos.)
El resultado en (j) pide tener cuidado de no intercambiar los
cuantificadorescuando se presentan en el orden porque el enunciado
obtenido con elintercambio puede ser falso. En cambio el resultado
en (i) afirma que el orden puede modificarse sin que se afecte la
verdad del enunciado.Por supuesto que cada una de las anteriores
propiedades dadas en los teore-mas 1.7.1, 1.7.2, 1.7.3., se
demuestran en un curso de Logica, pero nosotroslas tendremos en
consideracion para cuando sea del caso aplicarlas.Una propiedad
adicional que tendremos a mano es la siguiente.Si z es una letra
que no aparece en un enunciado P , se verifica la equivalencia,
P (z)P.
COMO DEMOSTRAR ENUNCIADOS CON CUANTIFICADORES.
Lo primero es senalar que el cuantificador Universal esta
asociado a unaimplicacion que usualmente aparece implcita en el
enunciado, como cuandodecimos,
-
Univ
ersid
ad de
Ant
ioqu
ia1.7. CUANTIFICADORES 57Todo numero real multiplicado por 0, da
como resultado, 0.La implicacion asociada es en este ejemplo,
x R = x 0 = 0Note que al hacer explcita la implicacion,
recurrimos al empleo de una varia-ble (letra cualquiera) que
representa el termino al cual se refiere el enunciado,(en este caso
la x se refiere a un numero real.)
Regla:- Para demostrar un enunciado referido a cuantificador
Universal ,
