三平方の定理1 AM0311931C-01

� 次の図のxの値を求めなさい。

� �

� 次のような 3 辺をもつ三角形のうち，直角三角形であるものをすべて選びなさい。

①　 2 cm， 3 cm， 4 cm ②　 3 cm，3 2 cm，3 3 cm

③　 5 cm，2 5 cm， 5 cm ④　 3 cm， 2 cm， 5 cm

� 次の図のxの値を求めなさい。

� �

�

�

�

�

A D

CB

x

5

6

10

x

A

B CH

5

9

132

A

HB C

x

9

15

16

x

A

B C

6

30゜ 45゜

��　BH＝yとおき，AH2に注目してyについての方程式をつくる。

要点M2W 15.1要点 M3W 4.1要点 M2X 19.1要点 M3X 8.1

またはまたはまたはまたは

または

または

要点 M2W 15.1要点 M3W 4.1要点 M2X 19.1要点 M3X 8.1

またはまたはまたはまたは

または

または

要点 M2W 15.2要点 M3W 4.2要点 M2X 19.2要点 M3X 8.2

またはまたはまたはまたは

または

または

＊「要点」は『Z Study サポート』に1年分をまとめて掲載。実際の教材ではサイズはB5です。

中高一貫コース 中学3年 数　学 スーパーハイレベル 「練習問題」見本

AM0311931C-02

A

B C

O

� 右の図のような半径 6 cmの円Oに内接する正三角形ABCの面積

を求めなさい。

� 右の図のように，∠B＝45°の△ABCにおいて，辺BCの

中点をMとし，点Aと点Mを結ぶ。また，点Cから辺ABに垂

線CDを下ろす。このとき，

AB2＋AC2＝2AM2＋BD2

になることを証明しなさい。

�直線y＝2x上にあり， 2 点A（1，－3），B（－4，2）から等距離にある点Pの座標を求めなさ

い。

45゜

A

D

M CB

発展

発展

� 点Pの座標を（a，2a）とおき，AP＝BPより，AP2＝BP2が成り立つことからaの値を求める。

EXCELLENT!

SGOOD!

AAVERAGE

BNEVER GIVE UP!

C

8 7 6 5 4 3 2 1

要点M2W 15.2要点 M3W 4.2要点 M2X 19.2要点 M3X 8.2

またはまたはまたはまたは

または

または

要点 M2W 15.3要点 M3W 4.3要点 M2X 19.3要点 M3X 8.3

またはまたはまたはまたは

または

または

要点 M2W 15.4要点 M3W 4.4要点 M2X 19.4要点 M3X 8.4

またはまたはまたはまたは

または

または

三平方の定理1 AM0311931E-01

�� 点Dから辺BCに垂線DHをひくと，四角

形ABHDは長方形より

DH＝6， HC＝10－5＝5

よって，U DHCで三平方の定理より

x 6 5 612 2＝ ＋ ＝61 （答）

� BH＝yとすると

CH＝9－y

ここで，U ABH，U ACHで三平方の定理より

y y

y y y

y

y

2 13 5 9

52 25 81 18

18 108

6

2 2 2 2

2 2

－ ＝ － －

－ ＝ － ＋ －＝＝

` _j i

よって， x 52 6 16 42＝ － ＝ ＝4 （答）

最も長い辺の 2 乗と，残りの 2 辺の 2 乗の和の関係を調べると

①　22＋32＝13 O 42

②　3 3 2 27 3 32 2 2＋ ＝ ＝` `j j

③　 5 2 5 25 52 2 2＋ ＝ ＝` `j j

④　 O3 2 7 52 2 2＋ ＝` `j j

よって，直角三角形であるものは

②，③

②，③　（答）

� 直角三角形ABHにおいて，斜辺はABであり

BH：AB＝9：15＝3：5

より

BH：AH＝3：4

9：AH＝3：4 AH＝12

直角三角形AHCにおいて，斜辺はACでありAH：HC＝12：16＝3：4

よりAH：AC＝3：5

12：x＝3：5 x＝20 20 （答）

�

�

�4 つの角が90°の四角形は長方形である。

� DH HC2 2＋

�AH2に注目している。

� x AB BH2 2＝ －

�三平方の定理の逆が成り立つものを選ぶ。

A D

CH

B

x

5

6

10

� 3AH＝9×4

� 3x＝12×5

＊「練習問題・解答解説、添削問題・解答解説」は『Z Studyトレーニング』に掲載して毎月お届け。添削問題の解答解説は、実際の教材では、翌月号に掲載します。

中高一貫コース 中学3年 数　学 スーパーハイレベル 「練習問題解答解説」見本

AM0311931E-02

� 点Aから辺BCに垂線AHをひくと

U ABHは30°，60°の角をもつ直角三

角形より

AH 21 AB 2

1 6 3＝ ＝ × ＝

U AHCは直角二等辺三角形より

x 2 AH 2 3 3 2＝ ＝ × ＝ 3 2 （答）

点OはU ABCの重心より，中線AMをひくと

AB3

2 AM3

223 6

6 3 cm

＝ ＝ × ×

＝ （ ）

よって，U ABCの面積は

43

6 3 27 32

× ＝` j （cm2） 27 3 cm2 （答）

中線定理より

AB AC 2 AM BM2 2 2 2＋ ＝ ＋ 　……①a k

ここで， 2 点D，Mを結ぶと，U BCDは直角二等

辺三角形であるから

BM＝CM＝DM， DM⊥BC

よって，U BDMで三平方の定理より

BD2＝BM2＋DM2＝2BM2 ……②

②を①に代入して

AB2＋AC2＝2AM2＋2BM2

＝2AM2＋BD2 （証明終）

点Pの座標をP（a，2a）とおくと，AP＝BPより，AP2＝BP2だから

a a a a

a a a

a a

1 2 3 4 2 2

5 10 10 5 20

10 10 1

2 2 2 2

2 2

－ ＋ － － ＝ － － ＋ －

＋ ＋ ＝ ＋＝ 　　　 ＝

_ _ _ _i i i i$ $. .

よって， P（1，2） P（1，2）（答）

求める点Pは，直線y＝2xと線分ABの垂直二等分線の交点になります。線分ABの垂直二等

分線は，線分ABの中点 23

21－ ，－c mを通る傾き 1 の直線より，y＝x＋1になるので，この式

とy＝2xを連立させて交点Pの座標を求めることもできます。

�

�

�

x

A

B CH

6

30゜ 45゜

45゜

A

D

M CB

�1 辺がaの正三角形の面積は

a43 2である。

�重心は中線を2：1に分ける。

AM23

AO＝

�∠B＝45°の直角三角形である。

A

B CM

O

60゜

②

①

三平方の定理1 AM0311951L-01

次の各問いに答えなさい。（配点　50）

�次の各問いに答えなさい。（各 7点）

� 右の図 1のような

AB＝1 cm，BC＝8 cm，CD＝4 cm，∠ABC＝∠ADC＝90°

の四角形ABCDがあるとき，辺ADの長さを求めなさい。

� 右の図 2のような

AB＝8 cm，BC＝17 cm，CA＝15 cm

のUABCがある。辺AB上にBD＝3 cmとなる点Dをとるとき，線分

CDの長さを求めなさい。

�右の図のように，∠CAB＝60°，∠ABC＝90°のUABCと∠DBC

＝45°，∠CDB＝90°のUDBCがあり，辺BCを共有している。辺ACと辺

BDの交点をE，BC＝10 cmとするとき，UEBCの面積を求めなさい。

（10点）

� 右の図のように，長方形ABCDとその内部の点Pがあり，AP＝5 cm，

BP＝7 cm，CP＝12 cmである。このとき，線分DPの長さを求めなさい。

（11点）

�右の図のような座標平面上に，点A（－4，2）があり，点Pは原点Oを中心

とする半径 3の円周上を動く点である。PがAと最も近くなるときの距離K

と，PがAと最も離れるときの距離Lをそれぞれ求めなさい。（15点）

A

B

D

C8cm

4cm

1cm

図１�

8cm

A

B C

D

17cm

15cm

3cm

図２�

AD

E

B C

A

B

D

C

P

x

y

O

A P

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中高一貫コース 中学3年 数　学 スーパーハイレベル 「添削問題」見本

� 点Aと点Cを結ぶ。UABCにおいて，三平

方の定理より

AC2＝12＋82＝65

よって，UACDにおいて，三平方の定理より

AD＝ 65 4 2－

AD＝ 49

AD＝7（cm）

7 cm （答）

� AB2＋AC2＝82＋152＝289

BC2＝172＝289

よって，

AB2＋AC2＝BC2

が成り立つので，三平方の定理の逆より，UABCは∠CAB＝90°の直角三角

形である。ゆえに，UADCにおいて，三平方の定理より

CD＝ 15 8 32 2＋ －^ h

CD＝ 250

CD＝ 5 10（cm）

5 10 cm （答）

� ∠ABC＝∠ADC＝90°なので，三平方の定理が利用できるように，補助線をひくのがポイン

トです。

� 問題文では，どの角の大きさが90°であるか明記されていませんが，UABCにおいて

AB2＋AC2＝BC2

が成り立つので，三平方の定理の逆より，UABCは∠CAB＝90°の直角三角形であることがわ

かります。これが本問のポイントです。

三平方の定理1 AM0311951O-01

�次の各問いに答えなさい。（各 7点）

� 右の図 1のような

AB＝1 cm，BC＝8 cm，CD＝4 cm，∠ABC＝∠ADC＝90°

の四角形ABCDがあるとき，辺ADの長さを求めなさい。

� 右の図 2のような

AB＝8 cm，BC＝17 cm，CA＝15 cm

のUABCがある。辺AB上にBD＝3 cmとなる点Dをとるとき，線分

CDの長さを求めなさい。

�この補助線がポイント。

� AB2＋BC2

� AC DC2 2－

�まず，UABCが直角三角形であることを示す方針。

� AC AB DB2 2－＋ ^ h

�

A

B

D

C8cm

4cm

1cm

図１

8cm

A

B C

D

17cm

15cm

3cm

図２

A

B

D

C8cm

4cm

1cm

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中高一貫コース 中学3年 数　学 スーパーハイレベル 「添削問題解答解説」見本

AM0311951O-02

点Eから辺BCに垂線EHを下ろすと，UBHEは直

角二等辺三角形より

BH＝EH ……………………………①

また，∠ABC＝∠EHC＝90°より，AB Q EHである

ので

∠CEH＝∠CAB＝60°

よって，UEHCは30°，60°の角をもつ直角三角形であるので

EH：HC＝1： 3 ………………………………②

したがって，①，②より

BH：HC＝1： 3

BH：（10－BH）＝1： 3

3 BH＝10－BH

3 1＋_ i BH＝10

BH＝3 110＋

＝3 1 3 110 3 1＋ －

－_ _

_

i i

i＝ 5 3 1－_ i（cm）

ゆえに，EH＝ 5 3 1－_ i cmなので，UEBCの面積は

UEBC＝ 21 ×10× 5 3 1－_ i＝ 25 3 1－_ i（cm2）

25 3 1－_ i cm2 （答）

辺BCの長さが与えられているので，UEBCにおいて，辺BCを底辺とみたときの高さを求める

ことができれば，UEBCの面積を求めることができます。そこで，「解答」のように，点Eから辺

BCに垂線EHを下ろすと，EHがUEBCの高さであり，このとき，

UBHEは直角二等辺三角形

UEHCは30°，60°の角をもつ直角三角形

となるので，この 2つの三角形をうまく利用して，線分EHの長さを求めればよいでしょう。

なお，∠CEHの大きさは，UABCにおいて

∠BCA＝180°－（∠ABC＋∠CAB）＝180°－（90°＋60°）＝30°

よって，UEHCにおいて

∠CEH＝180°－（∠EHC＋∠HCE）＝180°－（90°＋30°）＝60°

と求めることもできます。

�右の図のように，∠CAB＝60°，∠ABC＝90°のUABCと∠DBC

＝45°，∠CDB＝90°のUDBCがあり，辺BCを共有している。辺ACと辺

BDの交点をE，BC＝10 cmとするとき，UEBCの面積を求めなさい。

（10点）

� ∠EBH＝∠HEB＝45°，∠BHE＝90°

�同位角が等しいことより。

�平行線の同位角は等しい。

� EH：HC：CE＝1： 3 ：2

� HC＝BC－BH

�21 ×BC×EH

�

AD

E

B C

AD

E

B C

60°

45° H

点Pから辺AB，DCにそれぞれ垂線PE，PFを下

ろす。UAEP，UEBPで三平方の定理より

52－AE2＝72－EB2

AE2－EB2＝－24 …………………①

また，UDPF，UFPCで三平方の定理より

DP2－DF2＝122－FC2

DP2＋FC2－DF2＝144………………………………②

ここで，

AE＝DF

EB＝FC

であるから，①は

DF2－FC2＝－24 …………………………………③

となる。よって，②＋③より

DP2＝120

したがって，DP＞0より

DP＝ 2 30（cm）

2 30 cm （答）

点Pから辺AB，DCにそれぞれ垂線PE，PFを下ろすと

AE＝DF， EB＝FC

UAEP，UEBP，UDPF，UFPCは直角三角形

となります。ここで，右の図において

h2＝p

2－r2， h

2＝q2－s

2

が成り立つので，これより

p2－r

2＝q2－s

2

が成り立つことがわかります。よって，

UAEP，UEBPで三平方の定理 ⇒ EP2に着目して等式をつくる

UDPF，UFPCで三平方の定理 ⇒ PF2に着目して等式をつくる

ことで，「解答」の①，②が得られ，これとAE＝DF，EB＝FCを合わせることで，DPの長さが

求められるというわけです。なお，点Pから辺AD，BCに垂線を下ろしても同じ結果を得ること

ができます。各自，確認してみてください。

AM0311951O-03

� 右の図のように，長方形ABCDとその内部の点Pがあり，AP＝5 cm，

BP＝7 cm，CP＝12 cmである。このとき，線分DPの長さを求めなさい。

（11点）

�この補助線がポイント。

�EP2に着目している。AP2－AE2＝BP2－EB2

�PF2に着目している。DP2－DF2＝CP2－FC2

�四角形AEFDは長方形。

�四角形EBCFは長方形。

�

A

B

D

C

P

A

B

D

C

PE F

5cm

7cm12cm

p

r s

h

q

AM0311951O-04

線分AOと円Oの交点をP1，線分AOのOの方の

延長と円Oとの交点をP2とする。図形的に考える

と，K，Lはそれぞれ

K；線分AP1の長さ

L；線分AP2の長さ

に他ならない。よって，求めるK，Lはそれぞれ

K＝AO－OP1

K＝ 4 22 2－ ＋^ h －3

K＝ 20 －3

K＝ 2 5 －3

L＝AO＋OP2

L＝ 2 5 ＋3

L＝ 2 5 －3，L＝ 2 5 ＋3 （答）

円Oの外にある点Aと円Oの周上を動く点Pとの距離が最大・最小になるのは

線分AP（またはその延長）が円Oの中心を通るとき

です。なぜならば，点Aを中心とする半径AP1，AP2

の円C1，C2をそれぞれかくと，円Oはそれぞれ円C1

に外接，円C2に内接するので

AP F AP1（円C1の半径）

AP E AP2（円C2の半径）

が成り立つからです。よって，

K；線分AP1の長さ

L；線分AP2の長さ

となるわけです。わかりにくければ，実際に点Pをい

くつか円Oの円周上にとって，点Pが点Aに最も近

くなるとき，点Pが点Aから最も遠くなるときを考えるとよいでしょう。この考え方はよく問わ

れるので，しっかりと理解しておいてください。

�右の図のような座標平面上に，点A（－4，2）があり，点Pは原点Oを中心

とする半径 3の円周上を動く点である。PがAと最も近くなるときの距離K

と，PがAと最も離れるときの距離Lをそれぞれ求めなさい。（15点）

�「解説」参照

�2点D（x1，y1），E（x2，y2）を結ぶ線分DEの長さは

x x y y2 2

2 1 2 1－ ＋ －^ ^h h

また，OP1＝OP2＝3

�

x

y

O

A P

x

y

O－4

A

P2

2P1

x

y

O

A

P

P1

C1

P2

C2