Isabel Maria Maciel de Aguiar
outubro de 2014
Sobre a Classificação dos Autómatos Celulares Elementares Finitos
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Universidade do Minho
Escola de Ciências
Isabel Maria Maciel de Aguiar
outubro de 2014
Dissertação de Mestrado Mestrado em Ciências – Formação Contínua de Professores
Sobre a Classificação dos Autómatos Celulares Elementares Finitos
Universidade do Minho
Escola de Ciências
Trabalho realizado sob a orientação doDoutor Ricardo José Mendes Severino
Nome
Isabel Maria Maciel de Aguiar
Endereço electrónico: [email protected]
Número do Bilhete de Identidade: 8188416
Título dissertação
Sobre a Classificação dos Autómatos Celulares Elementares
Orientador:
Doutor Ricardo José Mendes Severino
Ano de conclusão: 2014
Designação do Mestrado:
Mestrado em Ciências – Formação Contínua de Professores
É AUTORIZADA A REPRODUÇÃO INTEGRAL DESTA DISSERTAÇÃO APENAS PARA EFEITOS DE INVESTIGAÇÃO, MEDIANTE DECLARAÇÃO ESCRITA DO INTERESSADO, QUE A TAL SE COMPROMETE;
Universidade do Minho, ___/10/2014 Assinatura: ________________________________________________
Isabel Maria Maciel de Aguiar
Sobre a Classificacao dos Automatos
Celulares Elementares Finitos
Dissertacao de Mestrado
Mestrado em Ciencias – Formacao Contınua de Professores
Universidade do Minho
outubro 2014
Agradecimentos
Expresso o meu profundo agradecimento ao orientador, Professor Doutor Ricardo Se-
verino, pela disponibilidade e apoio demonstrados desde o primeiro dia. Realco a forma
entusiastica como partilhou o seu saber acerca do tema, as atitudes assertivas e palavras
incentivadoras, contribuindo decisivamente para a minha motivacao, desempenho e apren-
dizagem. Foi um enorme privilegio ter sido por ele acompanhada!
A minha famılia, pela paciencia e dedicacao durante este perıodo. De uma forma espe-
cial, aos meus filhos Joana e Pedro, pelo carinho e curiosidade demonstrados.
ii
Mestrado: em Ciencias – Formacao Contınua de Professores
Nome do aluno: Isabel Maria Maciel de Aguiar
Dissertacao: Sobre a classificacao dos automatos celulares elementares finitos
Resumo
Os automatos celulares elementares sao os modelos de evolucao temporal mais simples
com capacidade para exibir comportamento complicado. Por isso, e muito facil de aceitar
a importancia do seu estudo, quando se procura entender a complexidade que vemos surgir
de uma forma transversal em todas as Ciencias Naturais e Humanas.
A classificacao dos automatos celulares elementares, apresentada por Stephen Wolfram,
na decada de 1980, foi construıda a partir da simulacao computacional de sistemas finitos,
com condicoes de fronteira periodicas. Neste trabalho sao consideradas outras escolhas para
condicoes de fronteira, por reflexao e fixas, sendo estudadas as equivalencias dinamicas dos
automatos celulares finitos nesse contexto mais alargado. A partir desse estudo, mostramos
que, com pouquıssimas excecoes, a distribuicao dos automatos celulares elementares pelas
quatro classes propostas por Wolfram vale igualmente quando se consideram condicoes de
fronteira por reflexao e fixas.
Mais interessante porem, foram os resultados obtidos no estudo de duas dessas excecoes,
onde se encontrou um tipo de comportamento para automatos celulares elementares de
caraterısticas nao antecipadas por Wolfram na sua classificacao.
iii
Master Degree in: Science — Mathematics Teaching in Secondary School
Name of the student: Isabel Maria Maciel de Aguiar
Dissertation: On the classification of finite elementary cellular automata
Abstract
Elementary cellular automata are the simplest temporal evolution models still capable
of displaying complex behaviour. So it is easy to accept the importance of its study, when
looking to understand the intricacy we find throughought all Natural and Social Sciences.
The elementary cellular automata classification proposed by Stephen Wolfram, in the
1980s, was built from the computer simulation of finite systems, with periodic boundary
conditions. In this paper, other choices for boudary conditions are considered, by reflexion
and fixed, and the finite cellular automata’s dynamic equivalences are analysed regarding this
broader context. From this study, we show, with very few exceptions, that the distribution
of the elementar cellular automata by the four classes presented by Wolfram is consistent
when considering reflexion and fixed boundary conditions.
The most interesting though, were the results found in the study of two of those ex-
ceptions, where it was found a kind of behaviour for elementary cellular automata with
characteristics not predicted by Wolfram in his classification.
iv
Conteudo
1 Introducao 1
2 Automatos Celulares Elementares 6
2.1 Conceitos basicos sobre automatos celulares elementares . . . . . . . . . . 6
2.1.1 Configuracao de um automato celular elementar . . . . . . . . . . . 6
2.1.2 Dinamica de um automato celular elementar . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.3 Condicoes de fronteira para automatos celulares elementares finitos 10
2.1.4 Atratores e bacias de atracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.5 Representacao de Wolfram de uma regra de transicao . . . . . . . . 17
2.2 Diagramas de Wuensche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3 Equivalencia dinamica entre automatos celulares elementares . . . . . . . . 24
2.3.1 Simetria por conjugacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3.2 Simetria especular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3.3 Composicao da simetria por conjugacao com a simetria especular . 39
3 As Dinamicas dos Automatos Celulares Elementares 44
3.1 Dinamicas para diferentes escolhas da condicao de fronteira . . . . . . . . . 44
3.2 As regras de transicao Nφ = 30, Nφ = 45 e Nφ = 106 . . . . . . . . . . . 133
3.3 As regras de transicao Nφ = 26 e Nφ = 154 . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
4 Classificacao dos Automatos Celulares Elementares 135
4.1 A classificacao de Wolfram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
v
4.1.1 Classe I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
4.1.2 Classe II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
4.1.3 Classe III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
4.1.4 Classe IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
4.1.5 Outras caraterizacoes da classificacao de Wolfram . . . . . . . . . . 161
4.2 Uma outra classificacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
4.3 Os automatos celulares 2600, 2610, 15400 e 15410 . . . . . . . . . . . . . 166
5 Conclusoes 192
Bibliografia 194
vi
Capıtulo 1
Introducao
Nos primordios, o Homem olhava para a natureza como uma fonte de recursos que
provia a sua alimentacao e protecao. Pouca a compreendia, mas respeitava-a. O seu fraco
entendimento cimentava-se, na maioria das vezes, na propria experiencia de vida ou no
misticismo. Mais tarde, na ansia de a controlar em seu proveito, comecou a adotar formas
de a modificar produzindo plantas, criando animais, construindo artefactos, controlando o
fogo e a agua, etc.
Desde ha muitos seculos que o Homem passou a interpretar e racionalizar a natureza
num contexto chamado de Ciencia, comecando a observar e estudar os fenomenos fısicos,
quımicos e biologicos. Inicialmente, o desejo de a compreender baseava-se na busca do
simples, do regular e do equilıbrio estavel. Deste modo, a natureza revelava-se simples e ao
alcance do entendimento humano. Com o estudo da dinamica, iniciado por Isaac Newton,
por volta de 1665, cria-se um novo ramo da Matematica. Formalizam-se e estudam-se
modelos matematicos para sistemas que evoluem no tempo de acordo com uma regra,
expressa analiticamente na forma de um sistema de equacoes diferenciais ordinarias. A
partir do final do seculo dezanove, alguns matematicos e fısicos, continuando a olhar para
a natureza, viram que o simples, por vezes, torna-se complicado. Deste modo, o estudo do
simples deu lugar ao estudo do complexo, o do regular ao do irregular e o do periodico ao
do aperiodico.
De forma simplificada, a geometria da natureza pode ser vista como a geometria frac-
tal1, com toda a sua irregularidade e estruturas complexas e fragmentadas. Em 1963, o
matematico ucraniano A.N. Sharkovsky apresentou uma nova ordem dos numeros naturais,
a ordem do caos. E a ordem que aparece nos sistemas simbolicos que descrevem os fluxos
1O termo fractal foi adotado por Benoit Mandelbrot, para identificar uma famılia de formas que descrevempadroes irregulares e fragmentados da natureza.
1
de informacao, nos sistemas de codificacao e nos sistemas inteligentes. Com o novo seculo
surge tambem a sociedade da tecnologia, da informacao e comunicacao. Alan Turing, ma-
tematico britanico, introduz, em 1936, novas ”maquinas”, hoje conhecidas por maquinas
de Turing, inicia a teoria da computabilidade e formaliza a computabilidade das funcoes. A
natureza vai servir entao de fonte de inspiracao para o desenvolvimento de tecnicas: mode-
lar, simular e emular fenomenos e mecanismos naturais em computador. Mas, para isso, foi
fundamental o trabalho de um dos mais importantes matematicos do seculo XX, John von
Neumann.
John von Neumann, matematico norte-americano, de origem hungara, nascido em 1903,
foi, de multiplas formas, pioneiro na forma de pensar o computador. De facto, para alem do
conhecido envolvimento na construcao do computador digital de alta velocidade EDVAC,
von Neumann foi tambem um grande promotor da utilizacao do computador como uma
valiosa ferramenta matematica: segundo o proprio, as solucoes computacionais ajudariam
na descoberta de conceitos uteis, na formulacao de princıpios gerais e na construcao de
teorias. O ”uso heurıstico” dos computadores seria semelhante e poderia ser combinado
com o tradicional metodo hipotetico, dedutivo e experimental das Ciencias Naturais. Nas
palavras de von Neumann,
”many branches of both pure or applied mathematics are in great need of
computing instruments to break the present stalemate created by failure of the
purely analytical approach to non-linear problems. (. . . ) really efficient
high-speed computing devices may, in the field of non-linear partial differential
equations as well as in many other fields, which are now difficult or entirely
denied access, provide us with those heuristic hints which are needed in all
parts of mathematics for genuine progress.”
Se nos lembrarmos o que, na altura, era um computador, um sistema gigantesco a base de
valvulas, com uma fraquıssima fiabilidade e uma velocidade de processamento incompara-
velmente inferior a dos atuais, nao deixa de ser surpreendente a visao de von Neumann e
como profeticas foram as suas palavras2. De certa forma, von Neumann conseguiu prever
que, no futuro, a Matematica, e as Ciencias em geral, iriam conseguir abordar problemas de
cariz completamente diferente, sendo que os computadores providenciariam uma excelente
oportunidade para esse tipo de estudos.
2Sobretudo se pensarmos que, para a sua concretizacao, foi necessario esperar tres decadas, pela cons-trucao de sistemas computacionais simbolicos.
2
Nas suas pesquisas, relacionadas com o desenvolvimento de computadores mais potentes
e a sua programacao, von Neumann aceitou uma sugestao do seu amigo Stanislaw Ulam.
Este matematico, que estudava a formacao de cristais utilizando como modelo uma grelha,
que apelidava de espaco celular, tinha como paixao a criacao de jogos matematicos que
produziam padroes geometricos, por vezes estranhos. A sugestao foi entao no sentido de
von Neumann usar um sistema discreto, um espaco celular, para procurar criar um modelo
de autorreplicacao. Deste modo, surgiu o ”copiador e construtor universal”, isto e, uma
”maquina”capaz de reproduzir qualquer outra ”maquina”, inclusive a ela propria. A copia,
deste modo obtida, teria as mesmas caraterısticas do original, sendo por isso tambem capaz
de se autorreproduzir. A ideia passou por considerar um conjunto fixo e bastante universal
de conexoes, ou circuitos, na ”maquina”, um ”fluxograma”e um ”codigo”. Von Neumann
resolveu este problema, de regressao infinita, da seguinte forma: a descricao agiria primeiro
como um genoma, sendo interpretado, a fim de construir uma copia do construtor univer-
sal; a descricao seria entao literalmente copiada. Deste modo, foi introduzido o primeiro
automato celular, tendo por base uma grelha bidimensional, constituıda por 200 000 celulas,
onde cada celula do sistema podia assumir um de 29 estados. Estes estados variavam ao
longo do tempo de acordo com regras deterministas, eram descritos por sımbolos indicati-
vos da sua funcionalidade. Assim, o estado de uma celula, num instante t, seria obtido em
funcao do estado, no instante anterior, de um numero finito de celulas na sua vizinhanca.
Essa vizinhanca, hoje conhecida por vizinhanca de von Neumann, corresponde ao conjunto
de quatro celulas adjacentes, ou cinco, se incluirmos a propria. Embora as regras referidas
fossem as mesmas para todos os componentes do sistema, o estado das celulas do sistema
poderia variar de forma muito complexa com o tempo, podendo originar novos sistemas e
chegando ate a sua autorreproducao.
Para von Neumann, a teoria dos automatos celulares tinha como objectivo construir
um corpo coerente de conceitos e princıpios relacionados com a estrutura e organizacao
de sistemas naturais e artificiais, com o papel da linguagem e informacao nesses sistemas
e com a sua programacao e controlo. Seria entao uma area intermedia entre a logica, a
teoria da comunicacao e a fisiologia. Nesse sentido, podemos afirmar que a concecao de von
Neumann sobre a teoria dos automatos celulares estava muito proxima da concecao de ci-
bernetica de Norbert Wiener3, tendo sido mutuamente influenciadas4. No entanto, a teoria
3Norbert Wiener, matematico nascido, em 1894, nos Estados Unidos da America, foi um dos impulsionado-res da Cibernetica, tendo publicado, em 1948, o importante livro Cybernetics: Or Control and Communicationin the Animal and the Machine.
4Ambos participaram nas Conferencias Macy, realizadas em Nova York, em finais da decada de 1950.
3
dos automatos celulares dava mais enfase a logica e aos computadores digitais, enquanto a
cibernetica orientava-se mais para a fisiologia e engenharia de controlo. Entende-se, deste
modo, o vincado carater interdisciplinar da teoria dos automatos e, nesse contexto, importa
vincar a distincao entre os dois tipos de automatos celulares, artificiais e naturais, apre-
sentada por von Neumann. Segundo von Neumann, os computadores analogicos e digitais
representavam os automatos celulares artificiais mais importantes, podendo-se tambem in-
cluir nessa categoria outros sistemas, desenvolvidos por seres humanos, de comunicacao e
processamento de informacao, tais como, o telefone e o radio. Como exemplos de automatos
celulares naturais von Neumann apresenta o sistema nervoso, o sistema imunologico, siste-
mas autorreprodutivos e sistemas que envolvem evolucao e adaptacao de organismos vivos.
Em 1970, o matematico John Conway, inventou o conhecido Jogo da Vida, um automato
celular bidimensional que simula a evolucao temporal de sistemas de celulas biologicas.
Divulgado, pela primeira vez, na popular coluna de jogos matematicos que Martin Gardner,
durante muitos anos, manteve na revista de divulgacao cientıfica, Scientific American, o Jogo
da Vida chamou novamente a atencao dos meios academicos para os automatos celulares.
A ideia base do jogo parte de uma configuracao simples de celulas vivas (organismos), a
que se aplicam quatro ”leis geneticas”para nascimentos, mortes e sobrevivencia. Deste
modo, a cada instante, surge uma nova geracao de celulas. Estas regras ou leis podem ser
descritas do seguinte modo: uma celula viva, com menos de dois vizinhos vivos, morre; uma
celula viva, com mais de tres vizinhos vivos, morre; uma celula morta, com exatamente tres
vizinhos vivos, torna-se uma celula viva e, finalmente, uma celula viva, com dois ou tres
vizinhos vivos, continua no mesmo estado para a proxima geracao. Este automato celular,
embora simples, e capaz de revelar uma evolucao temporal com padroes surpreendentes
e complexos, tendo sido essa complexidade, a partir do nada, que fascinou um numeroso
grupo de seguidores, ao longo de varias decadas.
No inıcio da decada de 1980, o fısico ingles Stephen Wolfram procurava responder a
certas questoes relacionadas com acontecimentos quotidianos ou fenomenos naturais, tais
como: qual e a origem dos padroes complicados que se observam nos fluıdos dinamicos?
Como sao produzidos os padroes sofisticados dos flocos de neve? Qual e o mecanismo basico
que esta na origem no modo de crescimento complexo de certas plantas e animais?
A partir das experiencias computacionais realizadas, Wolfram mostrou que automatos
celulares extremamente simples, neste caso, cadeias unidimensionais de elementos em in-
teracao com os seus vizinhos diretos, assumindo cada celula o estado zero ou um, tinham
4
ainda capacidade de exibir comportamentos muito complicados. Mais tarde, na obra que
publicou em 2002, A New Kind of Science, Wolfram argumenta que, a constatacao de que
sistemas muito simples, cuja evolucao temporal e determinada por regras igualmente sim-
ples, a partir de configuracoes iniciais sem qualquer estrutura, podem exibir comportamentos
complicados, e o fenomeno basico responsavel pela maioria da complexidade verificavel na
natureza.
Hoje em dia, podemos dizer que o estudo dos automatos celulares ocupa um lugar de
destaque na Matematica e em diversificadas areas cientıficas. Devido a sua capacidade
de gerar uma ampla variedade de padroes comportamentais, por vezes complexos, apesar
das suas muito simples regras de evolucao temporal, algumas das dinamicas exibidas pelos
automatos celulares mostram grandes semelhancas com comportamentos, auto-organizados
e complexos, observados na Natureza. Desta forma, temos que os automatos celulares provi-
denciam um modelo, matematicamente rigoroso, mas simultaneamente muito simples, para
estudar sistemas dinamicos discretos, que envolvam componentes que interagem localmente,
gerando, na sua evolucao, complexidade e comportamentos imprevisıveis.
O conceito de automato celular elementar, proposto por Wolfram, encontra-se desen-
volvido ao longo do Capıtulo 2, onde essencialmente se abordam conceitos basicos e a
equivalencia dinamica entre automatos celulares elementares. No Capıtulo 3, o estudo recai
sobre as dinamicas dos automatos celulares elementares finitos, para diferentes escolhas da
condicao de fronteira. Finalmente, no Capıtulo 4, propomos uma classificacao das regras
de transicao independentemente das condicoes de fronteira escolhidas para os automatos
celulares elementares finitos. Ao estudar as cinco regras de transicao que nao se enquadram
na classificacao proposta por nos, mostramos que duas delas exibem comportamentos muito
diversos, com diferentes escolhas para as condicoes de fronteira.
5
Capıtulo 2
Automatos Celulares Elementares
Stephen Wolfram, na decada de 80, introduziu os automatos celulares elementares como
modelos matematicos simples de sistemas naturais. Segundo Wolfram, os automatos celu-
lares podem ser considerados como idealizacao discreta das equacoes diferenciais parciais
frequentemente utilizadas para descrever sistemas naturais. Essa natureza discreta tambem
permite a analogia com computadores digitais, pois os automatos celulares podem ser vistos
como computadores de processamento paralelo (ou seja, o processamento dos elementos de
um sistema evolui simultaneamente e independentemente) e de construcao simplificada.
Hoje em dia existem muitas generalizacoes do conceito de automato celular inicialmente
proposto por Wolfram. Neste capıtulo iremos apresentar uma abordagem aos automatos
celulares por ele estudados, habitualmente designados por automatos celulares elementares.
2.1 Conceitos basicos sobre automatos celulares elementares
Um automato celular elementar e um sistema dinamico discreto no espaco, no tempo e
nos estados que cada um dos seus elementos pode assumir. De seguida, importa pormeno-
rizar o significado desta afirmacao.
2.1.1 Configuracao de um automato celular elementar
Um automato celular elementar consiste num conjunto infinito ou finito de elementos,
habitualmente designados por celulas, dispostos ao longo de uma linha reta, podendo cada
um desses elementos estar num de dois estados, descritos pelos valores 0 e 1.
6
Definicao 2.1 Dado um automato celular elementar, vamos chamar configuracao do sis-
tema ao conjunto dos estados que cada uma das suas celulas assume.
Caso o numero de celulas do sistema seja finito, a configuracao do sistema vai ser represen-
tada por
A = a1 a2 . . . an, (2.1)
onde por ai se denota o estado em que se encontra a celula na posicao i. Se o numero de
celulas do sistema e infinito, entao a configuracao do sistema vai ser representada por
A = . . . a−2 a−1 a0 a1 a2 . . . . (2.2)
Por exemplo, para um automato celular elementar composto por vinte celulas, temos que
A = 01001011100101001001 (2.3)
e uma configuracao possıvel. Na figura seguinte, apresenta-se essa configuracao grafica-
mente, onde as celulas do sistema sao representadas por quadrados dispostos ao longo de
um segmento de reta e a configuracao do sistema e obtida pintando cada celula de acordo
com o seu estado: um quadrado branco representa uma celula no estado 0 e um quadrado
preto uma celula no estado 1.
Figura 2.1: Configuracao de um automato celular elementar com vinte celulas, onde ascelulas no estado 0 sao representadas por quadrados brancos e as celulas no estado 1 saorepresentadas por quadrados pretos.
Neste trabalho vamos estudar apenas automatos celulares com um numero finito de
elementos. Por isso, muito embora alguns resultados sejam validos para ambos os tipos de
sistemas, estes serao apresentados apenas no contexto mais restrito que nos interessa.
Os automatos celulares elementares sao modelos de evolucao temporal. Vejamos de
seguida de que forma se permite que um automato modifique a sua configuracao com o
passar do tempo.
2.1.2 Dinamica de um automato celular elementar
Num automato celular elementar, o estado de cada celula evolui em instantes discretos
de tempo, de acordo com uma certa regra de transicao, comum para todas as celulas do
sistema, sendo esta aplicada de forma sıncrona para todas elas.
7
Por definicao, para automatos celulares elementares, a regra que determina o estado de
cada celula, no instante seguinte, depende do estado de tres celulas: a propria celula, a
celula a sua esquerda e a celula a sua direita. Temos assim que uma regra de transicao e
uma funcao booleana com tres variaveis φ : {0, 1}3 → {0, 1}.
Como vimos, a regra de transicao determina, a partir da configuracao do sistema num
instante t, qual sera a configuracao que o sistema assumira no instante t+ 1. Localmente, a
transicao e feita a partir do conhecimento do estado da propria celula e do estado das suas
celulas vizinhas. Deste modo, existem 23 = 8 configuracoes distintas para os estados dessas
tres celulas e assim explicitar uma regra de transicao significa estabelecer uma resposta para
cada uma dessas configuracoes. Uma vez que essa resposta e um valor booleano, podemos
concluir que existem apenas 28 = 256 regras de transicao diferentes, ou seja, 256 automatos
celulares elementares distintos. Por curiosidade, vejamos qual o numero de regras que se
obtem quando alteramos alguns destes parametros.
Para automatos celulares elementares considera-se que a regra de transicao depende do
estado de um conjunto de tres celulas. Se, por exemplo, considerarmos vizinhancas com-
postas por 5 celulas, o numero de regras distintas sobe imediatamente para 4 294 967 296,
uma vez que agora estamos perante uma funcao booleana com cinco variaveis, logo existem
25 = 32 configuracoes distintas para o conjunto de celulas consideradas, e assim temos que
o numero de funcoes diferentes e dado por 232. Por outro lado, se, em vez de automatos
celulares onde o estado de cada celula assume um valor booleano, considerarmos automatos
com estados tomando valores num conjunto um pouco maior, por exemplo, em {0, 1, 2},
conservando ainda a sua dependencia na configuracao de um conjunto de tres vizinhos, o
numero de regras atinge numeros inacreditavelmente grandes! De facto, nesse caso existem
33 = 27 configuracoes possıveis para os conjuntos de tres celulas e assim, temos que exis-
tem 327 regras de transicao distintas, um numero bem superior ao anterior, sendo dado por
7 625 597 484 987 ≈ 7.6× 1012.
No caso geral, se denotarmos por d o numero de estados que cada celula do sistema
pode assumir e por k o numero de celulas que influenciam a evolucao temporal de cada
celula, temos que existem dk configuracoes possıveis para os conjuntos de k celulas, daı que
o numero de regras de transicao distintas venha dado por ddk.
Existem varias formas de explicitar uma regra de transicao para um automato celular
elementar. De seguida, vamos apresentar tres dessas representacoes. Tratando-se de uma
funcao booleana, e sempre possıvel escrever o seu resultado a partir das operacoes booleanas
8
mais simples. Por exemplo, se escrevermos
φ(x, y, z) = (x+ y + z) mod 2, (2.4)
temos perfeitamente explicitado o resultado da funcao para qualquer valor dos seus argu-
mentos1. Contudo, este tipo de representacao de uma funcao booleana nem sempre e tao
simples como o exemplo mostrado. Por essa razao, e por vezes conveniente usar um outro
tipo de explicitacao, neste caso, atraves de uma tabela.
A regra de transicao local de um automato celular elementar pode ser apresentada da
seguinte forma:
111 110 101 100 011 010 001 000
d7 d6 d5 d4 d3 d2 d1 d0
Tabela 2.1: Representacao tabular de uma funcao booleana com tres variaveis.
onde numa primeira linha sao apresentadas todas as oito configuracoes possıveis para o
conjunto de tres celulas, colocando-se imediatamente por baixo o valor di = φ(x, y, z), com
i = 4x+2y+z, que a funcao determina para cada uma dessas configuracoes. A justificacao
para o modo de escrita de cada uma das respostas sera evidente mais tarde. Voltando a
funcao booleana explicitada em (2.4), temos que a sua representacao tabular e dada por:
111 110 101 100 011 010 001 000
1 0 0 1 0 1 1 0
Tabela 2.2: Representacao tabular da funcao booleana descrita em (2.4).
Por fim, a terceira e ultima das representacoes que vamos apresentar para uma funcao
booleana passa por utilizar um grafico.
A representacao grafica da funcao booleana, que determina a evolucao temporal de um
automato celular elementar, passa fundamentalmente por atribuir uma cor a cada um dos
valores do estado de uma celula e seguir a representacao tabular proposta anteriormente.
Assim, tal como referimos anteriormente, vamos comecar por fazer corresponder uma celula
a um quadrado, que se apresentara pintado de branco, se o estado dessa celula for zero, e
pintado de preto, caso esse estado seja igual a um. Deste modo, podemos mostrar num
grafico as oito configuracoes possıveis para os conjuntos de tres celulas, acrescentando por
1A escrita de cada uma das 256 funcoes booleanas em termos de operacoes booleanas elementares, podeser vista no livro de Stephen Wolfram, A New Kind of Science.
9
baixo da celula central, o estado que a funcao booleana determina para ela, no instante
seguinte.
d0 d1 d2 d3 d4 d5 d6 d7
Figura 2.2: Representacao grafica de uma funcao booleana. Neste caso, os quadradoscorrespondentes ao estado da celula central no instante seguinte virao pintados de branco,caso di seja nulo, ou de preto, caso contrario.
Para o exemplo de funcao booleana anterior, temos que a sua representacao grafica e
dada da seguinte forma:
Figura 2.3: Representacao grafica da funcao booleana explicitada em (2.4).
No caso de sistemas com um numero infinito de elementos, verifica-se facilmente que
a regra de transicao local φ determina a evolucao da totalidade do sistema: de facto, se,
num certo instante o sistema assume a configuracao A = (ai), com i ∈ Z, entao assumira
a configuracao A′ = (a′i), com i ∈ Z no instante seguinte, onde
a′i = φ(ai−1, ai, ai+1), i ∈ Z. (2.5)
Deste modo, vamos poder falar de um automato celular elementar φ e dizer que existem 256
automatos celulares elementares distintos, tantos quantas as funcoes booleanas φ diferentes.
Contudo, quando estamos a estudar a dinamica de sistemas com um numero finito de
elementos, surge um problema adicional que e preciso resolver: como definir as vizinhancas
para a primeira e a ultima celulas do sistema. Desse modo, e evidente que a dinamica do
automato celular elementar nao vai ficar definida apenas atraves da explicitacao de uma
regra de transicao local φ, sendo tambem necessario escolher condicoes de fronteira para o
sistema.
2.1.3 Condicoes de fronteira para automatos celulares elementares finitos
Como ja foi referido, num automato celular elementar, a regra de transicao que determina
o estado de cada celula, no instante seguinte, depende do estado da propria celula e do
10
estado das duas celulas que lhe sao adjacentes. Ora, para sistemas com um numero finito
de elementos, e evidente que o primeiro parametro da regra de transicao local para a primeira
celula do sistema esta indefinido, assim como o terceiro parametro da regra de transicao local
para a ultima das celulas do sistema. De seguida, iremos resolver esta questao apresentando
seis diferentes condicoes de fronteira para o sistema2.
Condicoes de fronteira periodicas
Num automato celular elementar com um numero finito de elementos, dizemos que as
condicoes de fronteira sao periodicas quando escolhemos como vizinha esquerda da primeira
celula a ultima celula do sistema e para vizinha direita da ultima a primeira celula do sistema.
Desta forma, se o sistema assume a configuracao A = (ai), com i = 1, . . . , n, num certo
instante, temos que a configuracao A′ = (a′i), com i = 1, . . . , n, que assumira no instante
seguinte e dada por a′1 = φ(an, a1, a2)
a′i = φ(ai−1, ai, ai+1), i = 2, . . . , n− 1
a′n = φ(an−1, an, a1)
(2.6)
Esta escolha para condicoes de fronteira determina que o sistema assuma uma estrutura
cıclica, fechada sobre si mesma, a partir da continuidade na forma como as celulas estao
dispostas ao longo de uma circunferencia. Na figura seguinte mostramos a configuracao de
um sistema com vinte celulas apresentada anteriormente em (2.3), considerando condicoes
de fronteira periodicas.
Figura 2.4: Representacao grafica da configuracao considerada em (2.3), considerandocondicoes de fronteira periodicas para o sistema.
Como facilmente se percebe, esta forma de apresentar o sistema, sendo verdadeira, nao e
de todo a que nos mostra de forma clara a configuracao que o sistema assume naquele
2Naturalmente que as seis condicoes para a fronteira do sistema que vamos considerar nao esgotam todasas possibilidades, mas podemos dizer que, de certa forma, sao as mais importantes.
11
instante. Por essa razao, as configuracoes com estrutura cıclica, correspondentes a sistemas
com condicoes de fronteira periodicas, passaram a ser representadas da forma que de seguida
se descreve.
Consideremos uma configuracao correspondente a um sistema com condicoes de fronteira
periodicas e imaginemos que e efetuado um corte na configuracao de modo a separar duas
das suas celulas. Com este procedimento, vamos de novo obter um conjunto de celulas
dispostas ao longo de um segmento de reta, onde as celulas que foram separadas vao surgir
como pertencentes a uma fronteira meramente virtual, gerada pelo nosso corte. Na figura
seguinte apresentamos um exemplo, onde, para alem da configuracao do sistema, se incluem
a ultima celula do sistema, colocada a esquerda, e a primeira celula do sistema, colocada a
direita, por forma a nao so relembrar o carater cıclico do sistema, mas tambem para facilitar
o calculo do estado das celulas da fronteira do sistema no instante seguinte.
Figura 2.5: Representacao grafica da configuracao considerada em onde se mostra, tambem,as duas celulas que representam as condicoes de fronteira periodicas do sistema.
Condicoes de fronteira por reflexao
A segunda solucao para definir as vizinhancas das celulas, situadas na fronteira de siste-
mas com um numero finito de elementos, tem a sua origem em condicoes de fronteira que
habitualmente se consideram em equacoes diferenciais. Neste caso, cada uma das celulas da
fronteira do sistema vai tomar para parametro em falta uma copia de si propria: sao por isso
chamadas condicoes de fronteira por reflexao. Assim, se o sistema assume a configuracao
A = (ai), com i = 1, . . . , n, num certo instante, temos que a configuracao A′ = (a′i), com
i = 1, . . . , n, que assumira no instante seguinte e dada por:a′1 = φ(a1, a1, a2)
a′i = φ(ai−1, ai, ai+1), i = 2, . . . , n− 1
a′n = φ(an−1, an, an)
(2.7)
Neste caso, ao contrario dos sistemas com condicoes de fronteira periodicas, os sistemas
vao conservar a geometria inicial de um conjunto de celulas dispostas ao longo de um
segmento de reta. As condicoes de fronteira, agora, impoem apenas a nao variacao do
estado a esquerda e a direita, respetivamente, da primeira e da ultima celulas. Assim
sendo, a representacao grafica destes sistemas e muito semelhante ao que foi anteriormente
12
mostrado: a figura seguinte mostra a configuracao (2.3), onde desta vez se incluem tambem
as celulas, que nao pertencendo ao sistema, correspondem a escolha de condicoes de fronteira
por reflexao.
Figura 2.6: Representacao grafica da configuracao apresentada em (2.3), onde se mostra,tambem, as celulas virtuais a esquerda e a direita cujos estados correspondem a condicoesde fronteira por reflexao.
Condicoes de fronteira fixas
Por fim, vamos apresentar a situacao, tambem ela comum em condicoes de fronteira para
equacoes diferenciais, em que se consideram condicoes de fronteira fixas para os sistemas.
Por outras palavras, esta escolha corresponde a considerar duas celulas virtuais, a esquerda
e a direita do sistema, cujo estado, ae e ad, respetivamente, permanece invariante com o
tempo. Deste modo, se o sistema assume a configuracao A = (ai), com i = 1, . . . , n, num
certo instante, temos que a configuracao A′ = (a′i), com i = 1, . . . , n, que assumira no
instante seguinte e dada por:a′1 = φ(ae, a1, a2)
a′i = φ(ai−1, ai, ai+1), i = 2, . . . , n− 1
a′n = φ(an−1, an, ad)
(2.8)
onde ae, ad ∈ {0, 1}. Tal como no caso anterior, a representacao grafica da configuracao
de um sistema com estas condicoes de fronteira fixas corresponde exatamente a colocacao
de um conjunto de celulas ao longo de um segmento de reta. Na figura seguinte, vamos
representar o sistema assumindo a configuracao apresentada em (2.3) e as duas celulas
virtuais correspondentes a condicoes de fronteira fixas, neste caso para valores ae = ad = 0.
Figura 2.7: Representacao grafica da configuracao apresentada em (2.3), onde se mostram,tambem, as duas celulas virtuais cujos estados correspondem a escolha de condicoes defronteira fixas nulas.
Estas sao as escolhas de condicoes de fronteira para os sistemas que vamos considerar
neste trabalho. Por outras palavras, iremos estudar automatos celulares elementares finitos
(φ, α), onde α ∈ {p, r, 00, 01, 10, 11} explicita a condicao de fronteira escolhida para o
13
sistema. Para facilitar a notacao, a partir de agora um automato celular elementar finito
sera denotado pela regra de transicao global Φα, que determina a configuracao, no instante
seguinte, a partir da configuracao assumida pelo sistema num determinado instante. Assim,
supondo que o sistema assume a configuracao A = (ai), com i = 1, . . . , n, teremos que
no instante seguinte sera levado a assumir a configuracao A′ = (a′i) dada por (2.6), caso
α = p, ou dada por (2.7), caso α = r, ou ainda por (2.8), caso α = aead.
2.1.4 Atratores e bacias de atracao
Como ficou desde logo patente com os primeiros trabalhos de Wolfram, a representacao
grafica da dinamica de um automato celular tem um papel fundamental no seu estudo:
chamaremos diagrama espaco-tempo a representacao grafica do conjunto das configuracoes
que o sistema assume durante um certo intervalo de tempo.
Consideremos a dinamica do automato celular elementar Φp composto por 20 celulas,
ao longo de tres instantes de tempo, a partir da configuracao inicial
A = 01001011100101001001
cuja evolucao temporal se faz de acordo com a regra de transicao apresentada em (2.4). O
diagrama espaco-tempo, que vai representar a dinamica do sistema, vai ser obtido apresen-
tando as configuracoes assumidas para valores de t crescentes por baixo umas das outras.
Dessa forma, a figura construıda tem o espaco, isto e, o conjunto de celulas dispostas ao
longo de um segmento de reta, no eixo horizontal, e o tempo no eixo vertical, com valores
crescentes de t de cima para baixo. A figura seguinte mostra-nos o diagrama espaco-tempo
da dinamica nos primeiros tres instantes de tempo.
(t = 0)
(t = 1)
(t = 2)
(t = 3)
Figura 2.8: Diagrama espaco-tempo da evolucao temporal de um automato celular elementarcomposto por 20 celulas, para os tres primeiros instantes de tempo, com condicoes defronteira periodicas, de acordo com a regra de transicao φ descrita em (2.4).
14
Contrariamente ao que e habitual, neste diagrama espaco-tempo estamos a acrescentar, a
esquerda e a direita das configuracoes assumidas pelo sistema em cada instante, as celulas
virtuais correspondentes a escolha de condicoes de fronteira periodicas, tal como a indicacao
dos instantes correspondentes. Naturalmente que, em querendo construir estes diagramas
para sistemas com maior numero de celulas e para intervalos de tempo mais longos, seremos
levados a simplificar, mostrando apenas as configuracoes assumidas pelo sistema, uma vez
que a restante informacao e redundante. Estes diagramas sao muitas vezes suficientes para
apreender alguns dos aspetos mais importantes da dinamica do automato celular.
Consideremos agora um sistema constituıdo por 12 celulas, cuja evolucao temporal e uma
vez mais determinada pela regra de transicao (2.4), escolhendo ainda condicoes de fronteira
periodicas. Na figura seguinte e apresentado o diagrama espaco-tempo da dinamica que se
observa a partir da configuracao inicial A = 111011100101.
Figura 2.9: Diagrama espaco-tempo da evolucao temporal do automato celular elementarconstituıdo por 12 celulas, ao longo de seis instantes de tempo, cuja regra de transicao edada por (2.4), com condicoes de fronteira periodicas.
A partir deste diagrama espaco-tempo, e facilmente percetıvel que, apos alguns escassos
instantes, o sistema vai repetir para sempre uma mesma configuracao, neste caso a confi-
guracao A′ = 010101010101. A repeticao para sempre desta configuracao pode ser forma-
lizada como Φp(A′) = A′, sendo por isso natural designar esta configuracao por ponto fixo
do automato.
Definicao 2.2 Uma configuracao A diz-se um ponto fixo de um automato celular elementar
Φα se Φα(A) = A.
Contudo, este nao e o unico destino possıvel para a dinamica de um automato celular
elementar, senao vejamos: ainda para um sistema composto por 12 celulas, cuja dinamica
e determinada pela regra de transicao (2.4), mas desta vez considerando condicoes de
fronteira por reflexao, atentemos no diagrama espaco-tempo que descreve a dinamica a
partir da configuracao inicial A = 111010110001.
15
Figura 2.10: Diagrama espaco-tempo da evolucao temporal do automato celular elementarconstituıdo por 12 celulas, ao longo de seis instantes de tempo, cuja regra de transicao edada por (2.4), com condicoes de fronteira por reflexao.
Como podemos observar, o diagrama espaco-tempo mostra-nos claramente que desta vez o
sistema vai acabar por repetir ciclicamente um conjunto de quatro configuracoes. Tal como
fizemos anteriormente, podemos formalizar esse facto da seguinte forma: denotemos por
B, C, D, E as configuracoes que o sistema assume nos instantes t = 2, 3, 4, 5, respetiva-
mente; entao, verifica-se que Φr(B) = C, Φr(C) = D, Φr(D) = E e Φr(E) = B. Uma vez
que estamos perante uma repeticao cıclica de um conjunto de quatro configuracoes, vamos
dizer que o sistema tem como destino um ciclo de configuracoes.
Definicao 2.3 Dado um automato celular Φα, dizemos que um conjunto {A1,A2, . . . ,Ap}
de configuracoes e um ciclo para Φα se
Φα(A1) = A2
...
Φα(Ap−1) = Ap
Φα(Ap) = A1
O numero de elementos de um ciclo diz-se o seu perıodo. No exemplo anterior, temos que
o destino da dinamica e um ciclo de perıodo 4. Muitas vezes, com um abuso de linguagem,
tambem se diz que um ponto fixo e um ciclo de perıodo um.
Quando consideramos automatos celulares finitos temos imediatamente que o numero
de configuracoes, que o sistema pode assumir, e tambem em numero finito. Este facto
permite concluir que, qualquer que seja a configuracao inicial, o destino da dinamica de
um automato celular, com um numero finito de elementos, e sempre um ponto fixo ou um
ciclo. Por outras palavras, a dinamica de um automato celular com um numero finito de
elementos acaba sempre com a repeticao de uma configuracao, um ponto fixo, ou com a
repeticao cıclica de um conjunto de configuracoes, um ciclo. Por influencia da Teoria dos
16
Sistemas Dinamicos, os possıveis destinos para as dinamicas de um automato celular sao
chamados os atratores do automato.
Definicao 2.4 Diz-se que um conjunto de configuracoes A = {A1, . . . ,Am}, com m ≥ 1,
e um atrator do automato celular Φα, se Φα(Ak) ∈ A, para todo Ak ∈ A, mas o mesmo ja
nao acontece para qualquer subconjunto proprio e nao vazio de A.
Associado a cada atrator de um automato celular vamos ter o conjunto das configuracoes
cujas dinamicas tem esse atrator como destino.
Definicao 2.5 Dado um atrator A de um automato celular elementar, chama-se bacia de
atracao de A, B(A), ao conjunto das configuracoes a partir das quais e possıvel ao sistema
chegar a uma configuracao pertencente a A.
Escolhida uma configuracao inicial para o sistema, o numero de instantes necessarios para o
sistema chegar ao atrator traduz uma medida da sua distancia ao atrator. E nesse sentido
que vamos poder dizer que uma configuracao se encontra mais proxima que outra do atrator.
Naturalmente, de uma configuracao pertencente ao atrator, diremos que se encontra a uma
distancia zero.
Escolhido um automato celular elementar, o conhecimento de todas as suas bacias de
atracao e equivalente a conhecer com todo o detalhe as dinamicas admissıveis por esse
automato. Por isso, para sistemas com um numero razoavel de celulas, estaremos sempre
perante uma gigantesca quantidade de informacao que dificilmente teremos capacidade de
apreender, o que limita o estudo de todas as dinamicas possıveis para um automato celular.
2.1.5 Representacao de Wolfram de uma regra de transicao
Logo nos seus primeiros trabalhos, Wolfram introduziu uma forma muito sucinta de
representar uma regra de transicao local por um numero inteiro.
Definicao 2.6 Dada uma regra de transicao local φ, chama-se representacao de Wolfram
de φ, ao numero inteiro Nφ dado por
Nφ = (d7d6d5d4d3d2d1d0)2 =7∑
k=0
dk2k, (2.9)
onde os dıgitos dk sao dados pela Tabela 2.1.
17
Para o exemplo apresentado em (2.4), temos que
d0 = 0 d1 = 1 d2 = 1 d3 = 0
d4 = 1 d5 = 0 d6 = 0 d7 = 1
pelo que a representacao de Wolfram da regra de transicao local φ descrita em (2.4) e dada
por Nφ = (10010110)2 = 150.
Inversamente, dada a representacao de Wolfram de uma regra de transicao local, facil-
mente se chega a sua explicitacao. Por exemplo, seja Nφ = 30 a representacao de Wolfram
de uma regra de transicao local. Entao, uma vez que 30 = (00011110)2, conclui-se imedi-
atamente que a sua regra de transicao e dada por
Figura 2.11: Representacao grafica da regra de transicao local φ com representacao deWolfram Nφ = 30.
Neste caso, e como e habitual, apresentamos as diferentes configuracoes da vizinhanca
do automato celular elementar por ordem decrescente, por forma a que a leitura dos dıgitos
da representacao binaria seja direta.
Esta ideia de representar os elementos de uma famılia de regras de transicao local por
um numero inteiro pode ser generalizada: definido o conjunto de todas as configuracoes
para a vizinhanca de cada celula do sistema, basta assumir uma certa ordem para elas e
imediatamente a representacao por um numero inteiro surge da escrita, na base k, das
respostas que a regra assume para cada uma dessas configuracoes, sendo k o numero de
estados distintos que um elemento do automato celular pode assumir.
De seguida, vamos introduzir uma representacao grafica das bacias de atracao, logo, de
todas as dinamicas admissıveis, de um automato celular elementar. Como foi mencionado
anteriormente, estes graficos pretendem facilitar a assimilacao de uma quantidade muito
grande de informacao, muito embora a sua eficacia esteja limitada a valores baixos para o
numero de elementos do sistema.
18
2.2 Diagramas de Wuensche
Em 1992, Andrew Wuensche propos uma representacao grafica para a totalidade das
dinamicas admissıveis para os automatos celulares com um numero finito de elementos.
Como nesse grafico vamos querer incluir todas as configuracoes do sistema, facilmente se
depreende que se trata de algo so praticavel para sistemas com um numero muito pequeno
de elementos.
De seguida, vamos construir o diagrama de Wuensche para o automato celular elementar
composto por n = 5 celulas, cuja evolucao temporal e determinada pela regra de transicao
com representacao de Wolfram Nφ = 143, assumindo-se condicoes de fronteira periodicas.
Para tal, vamos comecar por encontrar qual a configuracao do sistema apos um instante
de tempo, considerando todas as configuracoes iniciais possıveis para o sistema. A tabela
seguinte mostra, graficamente, o resultado desse estudo.
Tabela 2.3: Evolucao temporal determinada pela regra com representacao de WolframNφ = 143, a partir de todas as possıveis configuracoes de um sistema com n = 5 celulas,consideradas condicoes de fronteira periodicas.
Observando a tabela anterior, verifica-se que a configuracao A = 11111 se mantem inva-
riante, isto e, que Φp(A) = A, logo estamos perante um atrator do sistema, que passaremos
a designar por A1.
A informacao apresentada na Tabela 2.3, muito embora diga apenas respeito a evolucao
temporal do sistema apos um instante de tempo, permite conhecer a totalidade das dinamicas
do automato, qualquer que seja a configuracao inicial escolhida e para qualquer intervalo
de tempo. Assim sendo, com uma analise mais detalhada dessa tabela e possıvel cons-
tatar existirem dois conjuntos, formados, respetivamente, por cinco e dez configuracoes,
onde e patente uma repeticao cıclica entre elas, logo sao tambem atratores para o sistema.
Graficamente, esses ciclos de configuracoes podem ser apresentados do seguinte modo: o
primeiro dos ciclos, que designaremos por A2, e formado pelo seguinte conjunto de cinco
19
configuracoes:
Figura 2.12: Atractor A2 do automato.
O segundo ciclo, de perıodo p = 10, sera designado por A3 e tem por elementos as seguintes
configuracoes:
Figura 2.13: Atractor A3 do automato.
Para alem da identificacao dos atratores do automato celular, a Tabela 2.3 mostra-nos
tambem que as dinamicas, a partir de qualquer outra configuracao, vao encontrar o atrator
logo apos um ou dois instantes de tempo. De seguida, vamos descrever, ainda a partir da
mesma tabela, como as restantes configuracoes se distribuem pelas bacias de atracao de
cada um dos atratores.
Como facilmente se observa, logo apos um instante de tempo, a configuracao 00000
encontra o ponto fixo atrator A1. Assim, esta configuracao pertence a bacia de atracao
B(A1). A partir da Tabela 2.3 e tambem possıvel concluir que nenhuma outra configuracao
encontra, quer a configuracao 11111, quer a configuracao 00000, pelo que a bacia de atracao
B(A1) tem apenas dois elementos:
B(A1) = {11111, 00000}.
Ainda pela Tabela 2.3, verificamos que o sistema, partindo de uma das configuracoes 00011,
00110, 01100, 01111, 10001, 10111, 11000, 11011, 11101 ou 11110 assume, logo no instante
seguinte, uma das configuracoes do atrator A2; e que o sistema, partindo de uma das
20
configuracoes 00001, 00010, 00100, 01000 ou 10000, assume, apos dois instantes de tempo,
uma das configuracoes do mesmo ciclo atrator. Resumindo, temos que
B(A2) = {00111, 01110, 11100, 11001, 10011, 00011, 00110, 01100, 01111, 10001,
10111, 11000, 11011, 11101, 11110, 00001, 00010, 00100, 01000, 10000}.
Por fim, tambem e possıvel concluir, a partir da Tabela 2.3, que nenhuma outra configuracao
que nao as do atrator A3 pertencem a sua bacia de atracao, isto e, que
B(A3) = {11010, 10010, 10110, 10100, 10101, 00101, 01101, 01001, 01011, 01010}.
Identificadas as tres bacias de atracao do automato celular vamos de imediato construir o
respetivo diagrama de Wuensche, tendo em conta as seguintes convencoes:
• o atrator deve ser colocado no centro da correspondente bacia de atracao;
• um ponto fixo atrator do automato representa-se por um vertice; caso nao seja evidente
que esse vertice ocupa o centro da bacia, acrescenta-se um lacete para lembrar a
evolucao para si proprio;
• um ciclo atrator do automato representa-se por um conjunto de vertices, unidos por
arestas; esses vertices devem ser dispostos numa circunferencia imaginaria, estipulando-
se que a evolucao temporal da-se no sentido negativo, isto e, sentido dos ponteiros
do relogio;
• qualquer uma das restantes configuracoes representa-se por um vertice que e ligado,
por uma aresta, ao vertice correspondente a configuracao que de seguida vai encontrar;
• configuracoes situadas a uma mesma distancia do atrator devem ser dispostas numa
circunferencia com o atrator como centro; deste modo, a bacia de atracao, vira re-
presentada por vertices colocados em circunferencias concentricas relativamente ao
atrator;
• caso essa informacao nao seja relevante, deve-se simplificar o diagrama omitindo as
configuracoes a que cada vertice corresponde; desse modo, o grafico que se obtem
apresenta apenas uma informacao qualitativa relativamente as dinamicas admissıveis
para o automato em causa.
Atendendo ao que foi anteriormente descrito, observemos na imagem seguinte o diagrama
de Wuensche relativo as dinamicas possıveis para o automato celular elementar Nφ = 143,
com condicoes de fronteira periodicas e n = 5 elementos.
21
Figura 2.14: Diagrama de Wuensche do automato celular elementar Nφ = 143, comcondicoes de fronteira periodicas, para sistemas com n = 5 elementos.
Como se pode observar, neste caso optamos por incluir um lacete para salientar qual das
duas configuracoes da bacia e o ponto fixo atrator.
Para entendermos a eficacia com que um diagrama de Wuensche descreve as dinamicas
de um automato celular, vamos de seguida mostrar, sem a respetiva construcao, o diagrama
de Wuensche para o automato celular elementar Nφ = 130, com condicoes de fronteira
periodicas e n = 6 celulas. O desafio consiste em ler, a partir da figura, alguns dos aspetos
mais importantes das dinamicas do automato. Por exemplo, quantos atratores tem, se
alguma das bacias e muito maior que as outras ou qual a distancia maxima aos atratores
em cada uma das bacias.
22
Figura 2.15: Diagrama de Wuensche do automato celular elementar Nφ = 130, comcondicoes de fronteira periodicas, para sistemas com n = 6 elementos.
Por observacao, conclui-se que o diagrama apresenta quatro atratores, dois pontos fixos,
as duas configuracoes homogeneas, 000000 e 111111, e dois ciclos, um de perıodo 3 e outro
de perıodo 6.
Relativamente ao ponto fixo 000000, apos um instante de tempo, cinco configuracoes
vao repetir para sempre a configuracao desse ponto fixo. Estas configuracoes compoem,
juntamente com o ponto fixo, a sua bacia de atracao.
Verifica-se tambem que um dos ciclos tem perıodo tres, sendo unicamente composto
pelas configuracoes 100100, 010010 e 001001.
O outro ciclo tem perıodo seis e, neste caso, sao as configuracoes 100000, 010000,
001000, 000100, 000010 e 000001, que sao repetidas interminavelmente. No entanto, neste
caso existem estados transitorios para o atrator, isto e, configuracoes a partir das quais,
apos alguns instantes de tempo, o sistema vai encontrar o ciclo atrator. Assim, podemos
concluir que a bacia de atracao deste ciclo atrator e dada por: 18 configuracoes a um
instante do ciclo, 12 configuracoes a dois instantes do ciclo, 12 a tres instantes do ciclo,
6 a quatro instantes do ciclo e, claro esta, as 6 configuracoes do ciclo atrator. Atendendo
ao numero de elementos da bacia de atracao, podemos dizer que, escolhida aleatoriamente
uma configuracao inicial para o sistema, este vai, com probabilidade aproximadamente igual
a 84%, acabar por repetir as configuracoes deste ciclo atrator.
23
Resumidamente, verificamos que, por vezes, as condicoes iniciais de um sistema podem-
-nos levar a resultados muito diferentes. Noutras vezes, variadas condicoes iniciais e ate
mesmo diferentes dinamicas transitorias, podem de facto levar ao mesmo atrator. Ou
seja, uma analise baseada em apenas algumas configuracoes iniciais podem nao explorar
adequadamente o comportamento do sistema. A utilizacao do poder de uma imagem e a
arquitetura inerente aos diagramas de Wuensche, permitem comunicar com maior eficacia
e clareza a dinamica global do automato celular.
2.3 Equivalencia dinamica entre automatos celulares elemen-tares
Como ja referimos, neste trabalho consideramos automatos celulares elementares finitos
correspondentes a 256 regras de transicao local distintas e seis escolhas para condicoes
de fronteira, isto e, 1 536 automatos celulares elementares finitos. No entanto, apesar de
distintos, isso nao significa que todos eles apresentem dinamicas que devam ser consideradas
diferentes. Atentemos nos seguintes diagramas espaco-tempo correspondentes a regras de
transicao local distintas, escolhidas condicoes de fronteira periodicas em ambos os casos.
Figura 2.16: Diagramas espaco-tempo para regras de transicao local distintas, com condicoesde fronteira periodicas, onde e patente que as configuracoes mostram, em cada instante,uma simetria branco-preto.
Apesar de, em cada instante, termos configuracoes distintas em cada um dos diagramas, e
notoria a alternancia dos estados das celulas correspondentes, desde as suas configuracoes
iniciais. De alguma forma, aquilo que esta imagem nos sugere e que o conhecimento de
uma das dinamicas nos vai permitir deduzir, sem qualquer ambiguidade, a outra, bastando
para tal inverter o estado de cada celula. Neste sentido, poderemos antecipar que sera
redundante estudar ambas as dinamicas, sendo lıcito dizer, entao, que as dinamicas sao
equivalentes.
Introduzindo algumas transformacoes de simetria no espaco das configuracoes, e possıvel
considerar como dinamicamente equivalentes aqueles automatos celulares que preservam es-
24
sas transformacoes ao longo do tempo. No caso dos automatos celulares elementares finitos,
onde as celulas do sistema sao disposta ao longo de uma linha reta, essas transformacoes vao
ser a conjugacao e a simetria especular. Como veremos, o uso dessas duas transformacoes
e da sua composicao vai-nos permitir reduzir significativamente o numero de automatos
celulares a estudar, uma vez que alguns deles sao dinamicamente equivalentes. E isso que a
seguir pretendemos comprovar, comecando por estudar cada uma das transformacoes acima
referidas.
2.3.1 Simetria por conjugacao
A primeira das simetrias que vamos apresentar e aquela que ficou patente na Figura
2.16. Vejamos como e possıvel formalizar essa ideia.
Definicao 2.7 Duas configuracoes A = (ai) e A′ = (a′i) de um automato celular elementar
com n celulas dizem-se conjugadas, denotando-se por A ∼c A′, se a′i = ai, para i = 1, . . . , n,
com 0 = 1 e 1 = 0.
Para simplificar, vamos escrever A como sendo a configuracao conjugada de A. Olhando
para os diagramas espaco-tempo apresentados na Figura 2.16, vemos que foram escolhidas
configuracoes conjugadas para iniciar cada uma das dinamicas:
Figura 2.17: As duas configuracoes iniciais dos diagramas espaco-tempo da Figura 2.16,onde se reconhece serem configuracoes conjugadas.
Voltando a Figura 2.16, aquilo que se observa e que as regras de transicao escolhidas foram
tais que essa simetria se preservou ao longo do intervalo de tempo considerado. Essa e a
ideia-chave para a equivalencia entre regras de transicao.
Definicao 2.8 Dois automatos celulares elementares finitos Φα e Φ′α′ dizem-se conjugados
se, para toda a configuracao A, for valida a igualdade
Φ′α′(A) = Φα(A). (2.10)
Se Φ′α′ e um automato celular conjugado de Φα vamos escrever Φ′α′ = Γc(Φα). Uma
outra forma de escrever a igualdade (2.10), onde nos parece ficar mais explıcita a ideia
que a dinamica de Φ′α′ se obtem a partir do conhecimento da dinamica de Φα, pode ser
25
Φ′α′(A) = Φα(A), para toda a configuracao A. O resultado seguinte apresenta condicoes
suficientes para que dois automatos celulares elementares finitos sejam conjugados.
Lema 2.1 Sejam Φα e Φ′α′ automatos celulares elementares finitos, com regras de transicao
local Nφ = (d7d6d5d4d3d2d1d0)2 e Nφ′ = (d′7d′6d′5d′4d′3d′2d′1d′0)2, respectivamente, tais que
Nφ′ = (d0d1d2d3d4d5d6d7)2
α′ = α = p ∨ α′ = α = r ∨
{α′ = aead
α = aead
(2.11)
Entao, Φα e Φ′α′ sao automatos celulares elementares finitos conjugados, ou seja, tem-se
que Φ′α′ = Γc(Φα).
Prova: Da primeira igualdade de (2.11), temos que
d′7 = φ′(1, 1, 1) = φ′(0, 0, 0) = d0 = φ(0, 0, 0)
d′6 = φ′(1, 1, 0) = φ′(0, 0, 1) = d1 = φ(0, 0, 1)
d′5 = φ′(1, 0, 1) = φ′(0, 1, 0) = d2 = φ(0, 1, 0)
d′4 = φ′(1, 0, 0) = φ′(0, 1, 1) = d3 = φ(0, 1, 1)
d′3 = φ′(0, 1, 1) = φ′(1, 0, 0) = d4 = φ(1, 0, 0)
d′2 = φ′(0, 1, 0) = φ′(1, 0, 1) = d5 = φ(1, 0, 1)
d′1 = φ′(0, 0, 1) = φ′(1, 1, 0) = d6 = φ(1, 1, 0)
d′0 = φ′(0, 0, 0) = φ′(1, 1, 1) = d7 = φ(1, 1, 1)
ficando estabelecida a igualdade (2.10) para toda a celula do sistema que nao esteja na sua
fronteira. Mas, considerando as condicoes impostas a α e α′, retira-se imediatamente que
tambem as primeira e ultima celulas do sistema satisfazem analogas igualdades, pelo que se
conclui que os automatos celulares elementares finitos Φα e Φ′α′ sao conjugados. �
Voltando a Figura 2.16, uma analise do diagrama espaco-tempo da direita leva-nos a
concluir que a regra de transicao local em causa e caraterizada por
d′7 = φ′(1, 1, 1) = 0 d′6 = φ′(1, 1, 0) = 1
d′5 = φ′(1, 0, 1) = 1 d′4 = φ′(1, 0, 0) = 1
d′3 = φ′(0, 1, 1) = 1 d′2 = φ′(0, 1, 0) = 1
d′1 = φ′(0, 0, 1) = 0 d′0 = φ′(0, 0, 0) = 1
Ora, recordando a representacao de Wolfram da regra de transicao local correspondente ao
diagrama espaco-tempo da esquerda, Nφ = 130 = (10000010)2, e que ambas as dinamicas
26
foram obtidas com escolha de condicoes de fronteira periodicas, verificamos que as hipoteses
do resultado anterior sao validas, pelo que podemos concluir que os automatos celulares ele-
mentares finitos que geraram os diagramas espaco-tempo sao conjugados, 190p = Γc(130p).
Deste modo, a simetria branco-preto que as dinamicas iniciais mostram, e valida para todo
instante.
Quando olhamos para os diagramas espaco-tempo de automatos celulares elementares
conjugados a partir de configuracoes iniciais conjugadas, Figura 2.16, dissemos que seria
natural considerar esses automatos celulares como equivalentes. Mas o que significa exata-
mente essa ideia de equivalencia entre as dinamicas de dois automatos celulares? Para nos
ajudar a responder a essa questao, vamos apresentar os diagramas de Wuensche de ambos
os automatos celulares, 130p e 190p, para sistemas com n = 5 celulas.
Figura 2.18: Diagramas de Wuensche dos automatos conjugados 130p, a esquerda, e 190p,a direita.
Comparando estes diagramas de Wuensche, e patente a existencia de uma corres-
pondencia entre eles: de facto, para alem de atratores do mesmo tipo, as respetivas bacias
de atracao sao identicas no que respeita a forma e, assim, tambem quanto ao numero de
configuracoes. Como e expetavel, a unica diferenca reside na configuracao associada a cada
vertice, surgindo configuracoes conjugadas em posicoes correspondentes nos diagramas.
Se tivermos em conta o Lema 2.1, podemos escrever outras cinco conjugacoes, para
alem daquela acima encontrada. De facto, dos argumentos anteriores, facilmente se conclui,
27
tambem, que:
190r = Γc(130r)
19000 = Γc(13011)
19001 = Γc(13010)
19010 = Γc(13001)
19011 = Γc(13000)
De igual modo, todas estas equivalencias vao ser refletidas nos diagramas de Wuensche
de cada um dos automatos celulares. Nas figuras seguintes apresentamos os diagramas de
Wuensche para os automatos celulares conjugados, sendo uma vez mais evidente que estes
mostram, em cada caso, dinamicas iguais.
Figura 2.19: Diagramas de Wuensche dos automatos conjugados 130r, a esquerda, e 190r,a direita.
28
Figura 2.20: Diagramas de Wuensche dos automatos conjugados 13000, a esquerda, e19011, a direita.
Figura 2.21: Diagramas de Wuensche dos automatos conjugados 13001, a esquerda, e19010, a direita.
29
Figura 2.22: Diagramas de Wuensche dos automatos conjugados 13010, a esquerda, e19001, a direita.
Figura 2.23: Diagramas de Wuensche dos automatos conjugados 13011, a esquerda, e19000, a direita.
30
O conjunto das seis equivalencias entre automatos celulares elementares finitos leva-nos
a introduzir o seguinte conceito.
Definicao 2.9 Dada uma regra de transicao local φ, vamos denotar por Φ o conjunto de
automatos celulares elementares {Φα, α = p, r, 00, 01, 10, 11}.
Assim sendo, as seis equivalencias anteriores vao permitir-nos dizer que existe uma equi-
valencia entre os conjuntos 190 e 130, na medida em que as dinamicas dos elementos de
190 podem ser deduzidas a partir do conhecimento das dinamicas de elementos de 130.
Definicao 2.10 Dois conjuntos de automatos celulares elementares finitos Φ′ e Φ dizem-se
conjugados se qualquer elemento de Φ′ for conjugado com algum elemento de Φ.
Com algum abuso de linguagem, vamos escrever tambem Φ′ = Γc(Φ) para denotar conjuntos
conjugados. O resultado seguinte vai caraterizar a conjugacao entre conjuntos de automatos
celulares elementares finitos.
Proposicao 2.1 Dois conjuntos de automatos celulares elementares finitos Φ′ e Φ sao con-
jugados se e so se Nφ′ = (d0d1d2d3d4d5d6d7)2 e Nφ = (d7d6d5d4d3d2d1d0)2, com Nφ′ , Nφ
as representacoes de Wolfram das regras de transicao dos automatos celulares pertencentes
a Φ′ e Φ, respetivamente.
Prova: A partir do Lema 2.1 temos que, se dois conjuntos de automatos celulares elementares
finitos Φ′ e Φ satisfazem Nφ′ = (d0d1d2d3d4d5d6d7)2 e Nφ = (d7d6d5d4d3d2d1d0)2, entao
sao conjugados. De facto, esse resultado diz-nos que, qualquer que seja Φ′α′ ∈ Φ′, existe
sempre um elemento Φα de Φ tal que Φ′α′ = Γc(Φα). Vejamos agora como mostrar que o
recıproco e igualmente verdadeiro.
Sejam Φ′ e Φ conjuntos de automatos celulares elementares finitos conjugados. Entao,
pela arbitrariedade da configuracao A em (2.10), sao verdadeiras as seguintes igualdades:
φ′(1, 1, 1) = φ′(0, 0, 0) = φ(0, 0, 0) φ′(1, 1, 0) = φ′(0, 0, 1) = φ(0, 0, 1)
φ′(1, 0, 1) = φ′(0, 1, 0) = φ(0, 1, 0) φ′(1, 0, 0) = φ′(0, 1, 1) = φ(0, 1, 1)
φ′(0, 1, 1) = φ′(1, 0, 0) = φ(1, 0, 0) φ′(0, 1, 0) = φ′(1, 0, 1) = φ(1, 0, 1)
φ′(0, 0, 1) = φ′(1, 1, 0) = φ(1, 1, 0) φ′(0, 0, 0) = φ′(1, 1, 1) = φ(1, 1, 1)
donde resulta facilmente a relacao entre as regras de transicao local Nφ′ e Nφ dos elementos
de Φ′ e Φ, respetivamente. �
31
Seguindo um percurso analogo, vamos de seguida apresentar a segunda das simetrias,
desta vez uma simetria espacial, que duas configuracoes de celulas dispostas ao longo de
uma linha reta podem apresentar, para chegar a correspondente equivalencia entre conjuntos
de automatos celulares.
2.3.2 Simetria especular
Um outro tipo de transformacao que importa considerar e a simetria especular, isto
e, uma simetria de reflexao relativamente a um eixo vertical, a partir da qual se obtem a
inversao espacial esquerda-direita da configuracao do sistema.
Definicao 2.11 Duas configuracoes A = (ai) e A′ = (a′i) de um automato celular elementar
com n celulas dizem-se ter simetria especular, escrevendo-se A ∼e A′, se a′i = an+1−i, para
i = 1, . . . , n.
Para simplificar, vamos usar a notacao←−A para a configuracao obtida de A por simetria
especular. Na figura seguinte, apresentam-se duas configuracoes com simetria especular,
relativamente ao eixo vertical, onde a da esquerda volta a ser a configuracao anteriormente
considerada na apresentacao da simetria por conjugacao.
Figura 2.24: Duas configuracoes exibindo simetria especular relativamente ao eixo vertical.
Tal como ha pouco, vamos agora generalizar este conceito para automatos celulares ele-
mentares finitos.
Definicao 2.12 Dois automatos celulares elementares finitos Φα e Φ′α′ dizem-se com sime-
tria especular se, para toda a configuracao A, for valida a igualdade
Φ′α′(←−A ) =
←−−−−Φα(A). (2.12)
Se Φα e Φ′α′ sao automatos celulares elementares finitos com simetria especular, vamos
escrever que o segundo se obtem do primeiro como Φ′α′ = Γe(Φα). O resultado que va-
mos apresentar de seguida apresenta condicoes suficientes para que automatos celulares
elementares finitos tenham simetria especular.
32
Lema 2.2 Sejam Φα e Φ′α′ automatos celulares elementares finitos, com regras de transicao
local Nφ = (d7d6d5d4d3d2d1d0)2 e Nφ′ = (d′7d′6d′5d′4d′3d′2d′1d′0)2, respectivamente, tais que
Nφ′ = (d7d3d5d1d6d2d4d0)2
α′ = α = p ∨ α′ = α = r ∨
{α′ = adae
α = aead
(2.13)
Entao, Φα e Φ′α′ sao automatos celulares elementares finitos com simetria especular, ou
seja, tem-se que Φ′α′ = Γe(Φα).
Prova: A partir da relacao entre as regras de transicao local, assumida por hipotese, podemos
escrever:
d′7 = φ′(1, 1, 1) = d7 = φ(1, 1, 1) d′6 = φ′(1, 1, 0) = d3 = φ(0, 1, 1)
d′5 = φ′(1, 0, 1) = d5 = φ(1, 0, 1) d′4 = φ′(1, 0, 0) = d1 = φ(0, 0, 1)
d′3 = φ′(0, 1, 1) = d6 = φ(1, 1, 0) d′2 = φ′(0, 1, 0) = d2 = φ(0, 1, 0)
d′1 = φ′(0, 0, 1) = d4 = φ(1, 0, 0) d′0 = φ′(0, 0, 0) = d0 = φ(0, 0, 0)
Como se verifica facilmente, as igualdades anteriores podem ser resumidas numa unica,
expressa por φ′(a, b, c) = φ(c, b, a), para quaisquer a, b, c ∈ {0, 1}. Vejamos agora como e
que, a partir daqui, somos levados a concluir que a igualdade (2.12) e valida para qualquer
elemento do sistema que nao esteja na sua fronteira.
Sem perda de generalidade, admitamos que o sistema em causa e constituıdo por um
numero n maior que dois de elementos. Seja A = (ai) uma qualquer configuracao; para
facilitar, denotemos por [Φ′(←−A )]i o elemento i da configuracao Φ′(
←−A ). Ora, por definicao,
temos que, para i = 2, . . . , n− 1,
[Φ′(←−A )]i = φ′([
←−A ]i−1, [
←−A ]i, [
←−A ]i+1) = φ′(an−i+2, an−i+1, an−i).
Mas, sabendo que φ′(a, b, c) = φ(c, b, a), podemos escrever a igualdade
[Φ′(←−A )]i = φ′(an−i+2, an−i+1, an−i) = φ(an−i, an−i+1, an−i+2),
a partir da qual temos entao que
[Φ′(←−A )]i = φ(an−i, an−i+1, an−i+2) = [Φ(A)]n−i+1 = [
←−−−Φ(A)]i.
Estabecida a igualdade procurada entre todos os elementos das configuracoes Φ′(←−A ) e
←−−−Φ(A)
que nao estejam na fronteira, a sua estensao para os dois elementos da fronteira retira-se
33
facilmente pela hipotese assumida; vejamos, por exemplo, o caso de se assumirem condicoes
de fronteira α = 01 e α′ = 10. Entao, pelas igualdades anteriores, temos que
[Φ′(←−A )]1 = φ′(1, [
←−A ]1, [
←−A ]2) = φ′(1, an, an−1) = φ(an−1, an, 1) = [Φ(A)]n = [Φ(
←−A )]1.
De forma analoga se obtem semelhante igualdade para os elementos n das configuracoes
em causa. �
Voltando ao automato celular elementar com representacao de Wolfram Nφ = 130, sabemos
ja que 130 = (10000010)2. Deste modo, tendo em conta o resultado anterior, se escolher-
mos o automato celular Φ′ com representacao de Wolfram Nφ′ = (10010000)2 = 144,
sabemos que, se escolhermos condicoes de fronteira periodicas para ambos, estamos pe-
rante automatos celulares com simetria especular.
Existe uma outra forma de determinar esta regra obtida por simetria especular, a partir
da representacao grafica de um automato celular elementar: consideremos a representacao
grafica da regra Nφ = 130:
Figura 2.25: Representacao grafica da regra de transicao do automato celular elementarcom representacao de Wolfram Nφ = 130.
Atendendo a (2.12), temos que a representacao grafica da regra obtida de Nφ = 130 por
simetria especular se encontra efetuando a transformacao especular das oito configuracoes,
deixando invariante os resultados, isto e:
Figura 2.26: Representacao grafica da regra de transicao do automato celular elementarobtido da regra Nφ = 130 por simetria especular.
Voltando a forma canonica para a representacao grafica de uma regra, temos que a regra
obtida de Nφ = 130 por simetria especular e descrita por:
34
Figura 2.27: Representacao grafica, na sua forma canonica, da regra de transicao doautomato celular elementar obtido da regra Nφ = 130 por simetria especular.
Por fim, vamos comparar os dois diagramas espaco-tempo, para a evolucao temporal de-
terminada pelos automatos celulares 130p e 144p, a partir das configuracoes iniciais com
simetria especular, apresentadas na Figura 2.24:
Figura 2.28: Diagramas espaco-tempo para os automatos celulares elementares 130p e144p, a partir de configuracoes iniciais com simetria especular.
O calculo acima efetuado, permitiu-nos perceber que os automatos celulares 130p e 144p
tem simetria especular, mas tambem que outros cinco, com iguais regras de transicao, mas
distintas condicoes de fronteira, tambem exibem esse tipo de simetria, nomeadamente:
144r = Γe(130r)
14400 = Γe(13000)
14401 = Γe(13010)
14410 = Γe(13001)
14411 = Γe(13011)
Tal como fizemos anteriormente para a conjugacao, vamos agora mostrar os diagramas de
Wuensche relativamente as regras Nφ = 130 e Nφ′ = 144, para todas as seis condicoes de
fronteira consideradas, querendo com isso evidenciar que, uma vez mais, estamos perante
automatos celulares elementares finitos dinamicamente equivalentes.
35
Figura 2.29: Diagramas de Wuensche para os dois automatos celulares com simetria espe-cular 130p, a esquerda, e 144p, a direita.
Figura 2.30: Diagramas de Wuensche para os dois automatos celulares com simetria espe-cular 130r, a esquerda, e 144r, a direita.
36
Figura 2.31: Diagramas de Wuensche para os dois automatos celulares com simetria espe-cular 13000, a esquerda, e 14400, a direita.
Figura 2.32: Diagramas de Wuensche para os dois automatos celulares com simetria espe-cular 13001, a esquerda, e 14410, a direita.
37
Figura 2.33: Diagramas de Wuensche para os dois automatos celulares com simetria espe-cular 13010, a esquerda, e 14401, a direita.
Figura 2.34: Diagramas de Wuensche para os dois automatos celulares com simetria espe-cular 13011, a esquerda, e 14411, a direita.
38
De forma analoga, o Lema 2.4 vai permitir-nos generalizar o conceito de simetria especular
para conjuntos de automatos celulares.
Definicao 2.13 Dois conjuntos Φ′ e Φ dizem-se com simetria especular se qualquer ele-
mento de Φ′ tiver simetria especular com algum elemento de Φ.
Dados conjuntos Φ′ e Φ com simetria especular, vamos escrever Φ′ = Γe(Φ). Tambem
agora vai ser possıvel caraterizar conjuntos com simetria especular, num resultado analogo
ao anteriormente estabecido para a conjugacao, cuja prova segue de perto os argumentos
anteriores, que por isso sera omitida.
Proposicao 2.2 Conjuntos Φ′ e Φ tem simetria especular se e so seNφ′ = (d7d3d5d1d6d2d4d0)2
e Nφ = (d7d6d5d4d3d2d1d0)2, com Nφ′ , Nφ as representacoes de Wolfram das regras de
transicao dos automatos celulares pertencentes a Φ′ e Φ, respetivamente.
Apresentadas as duas transformacoes de simetria basicas que podemos definir nas confi-
guracoes de celulas dispostas ao longo de uma linha reta, vamos de seguida tentar perceber
que composicoes destas transformacoes sao ainda transformacoes de simetria distintas.
2.3.3 Composicao da simetria por conjugacao com a simetria especular
Estudadas as duas simetrias que e possıvel definir em sistemas booleanos dispostos ao
longo de uma linha reta, a questao agora passa por identificar se uma sua composicao
corresponde a uma transformacao distinta. Para tal, vejamos o seguinte resultado, cuja
prova e muito simples, pelo que sera omitida.
Lema 2.3 Seja A uma qualquer configuracao. Entao, temos que,
(A) = A
←−−(←−A ) = A
←−(A) = (
←−A )
Como facilmente se reconhece, as duas primeiras igualdades dizem que a aplicacao de duas
transformacoes iguais resulta na identidade, enquanto a terceira estabelece que a composicao
de transformacoes e comutativa. A partir destas igualdades, vamos ver que apenas uma
composicao vai resultar numa transformacao de simetria distinta.
39
Sejam A e A′ configuracoes resultantes de uma qualquer composicao de m trans-
formacoes por conjugacao e imagem especular, que vamos escrever como,
A ∼u1 A1 ∼u2 A2 ∼u3 . . . ∼um−1 Am−1 ∼um A′ (2.14)
com ui = c ou ui = e e onde por Ai se designa a configuracao que se obtem de A por
aplicacao sucessiva das transformacoes u1, . . . , ui. Ora, aplicando a comutatividade das
transformacoes, estabelecida no Lema 2.3, podemos escrever a expressao anterior como
A ∼c B1 ∼c . . . ∼c Bm′ ∼e Bm′+1 ∼e . . . ∼e Bm−1 ∼e A′
onde m′ ≥ 0 e igual ao numero de transformacoes por conjugacao, se existir alguma,
presentes na composicao (2.14), sendo m−m′ ≥ 0 o numero de transformacoes por simetria
especular, se existir alguma, em (2.14), e onde Bi e agora a configuracao que se obtem de
A por aplicacao sucessiva das i transformacoes iniciais. O resultado que procuramos surge
imediatamente por aplicacao das duas primeiras igualdades do Lema 2.3:
1. m′ e m−m′ pares =⇒ A = A′
2. m′ par e m−m′ ımpar =⇒ A ∼e A′
3. m′ ımpar e m−m′ par =⇒ A ∼c A′
4. m′ e m−m′ ımpares =⇒ A ∼c A1 ∼e A′
Assim sendo, podemos concluir que existe uma unica composicao de transformacoes de
conjugacao e simetria especular que resulta numa transformacao distinta: vamos escolher
essa transformacao como sendo a composicao da imagem especular apos a conjugacao,
que vamos denotar simplesmente por A ∼ce A′. Para facilitar, vamos denotar por A◦ a
configuracao obtida de A por esta terceira transformacao.
Tal como foi feito relativamente as duas simetrias anteriores, tambem agora vamos
formalizar a correspondente simetria entre automatos celulares elementares finitos.
Definicao 2.14 Dois automatos celulares elementares finitos Φα e Φ′α′ dizem-se com sime-
tria conjugacao-especular se, para toda a configuracao A, for valida a igualdade
Φ′α′(A◦) = (Φα(A))◦, (2.15)
Se Φ′α′ e um automato celular elementar com simetria conjugacao-especular relativamente
a Φα vamos escrever Φ′α′ = Γce(Φα). O resultado seguinte vai uma vez mais mostrar que
40
automatos celulares elementares com certas caraterısticas tem sempre simetria conjugacao-
especular. Por ser facilmente obtida a partir de argumentos analogos aos apresentados nas
demonstracoes dos dois lemas anteriores, a sua prova sera omitida.
Lema 2.4 Sejam Φα e Φ′α′ automatos celulares elementares finitos, com regras de transicao
local Nφ = (d7d6d5d4d3d2d1d0)2 e Nφ′ = (d′7d′6d′5d′4d′3d′2d′1d′0)2, respectivamente, tais que
Nφ′ = (d0d4d2d6d1d5d3d7)2 e as condicoes de fronteira α e α′ sao iguais, exceto se α = 00
ou α = 11, para as quais α′ = 11 e α′ = 00, respectivamente. Entao, Φα e Φ′α′ sao
automatos celulares elementares finitos com simetria conjugacao-especular, ou seja, tem-se
que Φ′α′ = Γce(Φα).
Para encontrar a regra de transicao que se obtem de Nφ = 130 por esta composicao de
transformacoes, temos apenas que determinar a regra que e equivalente por imagem espe-
cular a Nφ′ = 190, uma vez que concluimos ja ser esta a regra equivalente por conjugacao
a Nφ = 130. Um pequeno calculo leva-nos a dizer que a representacao de Wolfram desta
regra corresponde ao inteiro cuja representacao binaria e dada por (11110110)2, ou seja,
Nφ′′ = 246. Na figura seguinte mostramos diagramas espaco-tempo correspondentes as
dinamicas exibidas pelos automatos 130p, 190p e 246p.
Figura 2.35: Diagramas espaco-tempo para os automatos celulares elementares 130p, 190pe 246p, a partir de configuracoes iniciais com as simetria indicadas, sendo patente que asconfiguracoes que lhes sucedem tem essa mesma simetria.
Do Lema 2.4 resulta ser tambem possıvel definir este tipo de simetria relativamente a
conjuntos de automatos celulares finitos.
Definicao 2.15 Dois conjuntos Φ′ e Φ dizem-se com simetria conjugacao-especular se qual-
quer elemento de Φ′ tiverem simetria conjugacao-especular com algum elemento de Φ.
41
Dados conjuntos Φ′ e Φ com simetria conjugacao-especular, vamos escrever Φ′ = Γce(Φ).
Tambem agora vai ser possıvel caraterizar conjuntos Φ′ e Φ relacionados por este tipo de
simetria.
Proposicao 2.3 Dois conjuntos de automatos celulares elementares finitos Φ′ e Φ tem sime-
tria conjugacao-especular se e so seNφ′ = (d0d4d2d6d1d5d3d7)2 eNφ = (d7d6d5d4d3d2d1d0)2,
com Nφ′ , Nφ as representacoes de Wolfram das regras de transicao dos automatos celulares
pertencentes a Φ′ e Φ, respetivamente.
Na tabela seguinte resumimos as equivalencias dinamicas do conjunto 130, indicando os
conjuntos obtidos por cada uma das tres transformacoes.
Φ Γc(Φ) Γe(Φ) Γce(Φ)
130 190 144 246
Tabela 2.4: Conjuntos de automatos celulares elementares dinamicamente equivalentes a130.
Encontrado o conjunto dos automatos celulares elementares dinamicamente equivalentes,
temos que escolher o seu representante: o criterio, que e habitual seguir-se, passa pela
escolha daquele de entre todos com menor representacao de Wolfram. Procedendo desse
modo, no caso anterior, somos levados a escolher a regra Nφ = 130 como representante da
classe descrita na tabela.
Em apendice, apresentamos uma tabela das regras equivalentes para todos os 256
automatos celulares elementares. Mais interessante, porem, sera listar todos os automatos
celulares elementares dinamicamente nao-equivalentes, pois serao apenas esses que devere-
mos estudar. Na tabela seguinte, sao apresentadas as 88 regras dinamicamente nao equi-
valentes, a partir das respetivas representacoes de Wolfram, que se obtem por uma analise
detalhada do resultado de todas as equivalencias dinamicas apresentadas em apendice.
42
0 1 2 3 4 5 6 7
8 9 10 11 12 13 14 15
18 19 22 23 24 25 26 27
28 29 30 32 33 34 35 36
37 38 40 41 42 43 44 45
46 50 51 54 56 57 58 60
62 72 73 74 76 77 78 90
94 104 105 106 108 110 122 126
128 130 132 134 136 138 140 142
146 150 152 154 156 160 162 164
168 170 172 178 184 200 204 232
Tabela 2.5: Representacao de Wolfram dos 88 automatos celulares elementares finitos di-namicamente nao-equivalentes.
Tendo apresentado um formalismo para o estudo das equivalencias dinamicas entre
automatos celulares elementares, quaisquer que sejam as condicoes de fronteira escolhidas,
vamos ver de seguida se cada um desses automatos celulares exibe um unico tipo de compor-
tamento, relativamente aos diferentes tipos identificados por Wolfram, quando se escolhem
as condicoes de fronteira apresentadas.
43
Capıtulo 3
As Dinamicas dos AutomatosCelulares Elementares
Tradicionalmente, os automatos celulares elementares sao apresentados a partir da esco-
lha de condicoes de fronteira periodicas. E nesse contexto que sao, muitas vezes, mostrados
exemplos dos diferentes tipos de comportamento que estes modelos discretos muito simples
sao capazes de exibir. De seguida, vamos tentar saber se as dinamicas mais significativas,
em termos estatısticos, que os automatos celulares elementares mostram sao independentes
da escolha efetuada para as condicoes de fronteira. Por outras palavras, fixada uma regra de
transicao φ, vamos comparar as dinamicas que se obtem para as seis diferentes escolhas para
as condicoes de fronteira. Este desafio e proposto antes mesmo de apresentarmos os quatro
tipos distintos de dinamicas identificadas por Wolfram, com o intuito de procurar, nos seis
diagramas espaco-tempo que vao ser mostrados, caraterısticas comuns, sem qualquer ideia
preconcebida.
3.1 Dinamicas para diferentes escolhas da condicao de fron-teira
Nas paginas que se seguem, sao mostrados diagramas espaco-tempo para cada conjunto
de automatos celulares elementares dinamicamente nao-equivalentes, apresentados na Ta-
bela 2.5, considerando as seis escolhas para as condicoes de fronteira. Todos os sistemas sao
compostos por n = 60 celulas e sao mostradas as configuracoes correspondentes aos pri-
meiros 62 instantes de tempo, a partir de uma configuracao inicial escolhida aleatoriamente,
mas a mesma para cada regra de transicao.
44
Nφ = 0
condicoes de fronteira periodicas condicoes de fronteira por reflexao
condicoes de fronteira fixas 00 condicoes de fronteira fixas 01
condicoes de fronteira fixas 10 condicoes de fronteira fixas 11
Figura 3.1: Diagramas espaco-tempo para a regra de transicao Nφ = 0, considerandodiferentes condicoes de fronteira, a partir de uma configuracao inicial comum.
45
Nφ = 1
condicoes de fronteira periodicas condicoes de fronteira por reflexao
condicoes de fronteira fixas 00 condicoes de fronteira fixas 01
condicoes de fronteira fixas 10 condicoes de fronteira fixas 11
Figura 3.2: Diagramas espaco-tempo para a regra de transicao Nφ = 1, considerandodiferentes condicoes de fronteira, a partir de uma configuracao inicial comum.
46
Nφ = 2
condicoes de fronteira periodicas condicoes de fronteira por reflexao
condicoes de fronteira fixas 00 condicoes de fronteira fixas 01
condicoes de fronteira fixas 10 condicoes de fronteira fixas 11
Figura 3.3: Diagramas espaco-tempo para a regra de transicao Nφ = 2, considerandodiferentes condicoes de fronteira, a partir de uma configuracao inicial comum.
47
Nφ = 3
condicoes de fronteira periodicas condicoes de fronteira por reflexao
condicoes de fronteira fixas 00 condicoes de fronteira fixas 01
condicoes de fronteira fixas 10 condicoes de fronteira fixas 11
Figura 3.4: Diagramas espaco-tempo para a regra de transicao Nφ = 3, considerandodiferentes condicoes de fronteira, a partir de uma configuracao inicial comum.
48
Nφ = 4
condicoes de fronteira periodicas condicoes de fronteira por reflexao
condicoes de fronteira fixas 00 condicoes de fronteira fixas 01
condicoes de fronteira fixas 10 condicoes de fronteira fixas 11
Figura 3.5: Diagramas espaco-tempo para a regra de transicao Nφ = 4, considerandodiferentes condicoes de fronteira, a partir de uma configuracao inicial comum.
49
Nφ = 5
condicoes de fronteira periodicas condicoes de fronteira por reflexao
condicoes de fronteira fixas 00 condicoes de fronteira fixas 01
condicoes de fronteira fixas 10 condicoes de fronteira fixas 11
Figura 3.6: Diagramas espaco-tempo para a regra de transicao Nφ = 5, considerandodiferentes condicoes de fronteira, a partir de uma configuracao inicial comum.
50
Nφ = 6
condicoes de fronteira periodicas condicoes de fronteira por reflexao
condicoes de fronteira fixas 00 condicoes de fronteira fixas 01
condicoes de fronteira fixas 10 condicoes de fronteira fixas 11
Figura 3.7: Diagramas espaco-tempo para a regra de transicao Nφ = 6, considerandodiferentes condicoes de fronteira, a partir de uma configuracao inicial comum.
51
Nφ = 7
condicoes de fronteira periodicas condicoes de fronteira por reflexao
condicoes de fronteira fixas 00 condicoes de fronteira fixas 01
condicoes de fronteira fixas 10 condicoes de fronteira fixas 11
Figura 3.8: Diagramas espaco-tempo para a regra de transicao Nφ = 7, considerandodiferentes condicoes de fronteira, a partir de uma configuracao inicial comum.
52
Nφ = 8
condicoes de fronteira periodicas condicoes de fronteira por reflexao
condicoes de fronteira fixas 00 condicoes de fronteira fixas 01
condicoes de fronteira fixas 10 condicoes de fronteira fixas 11
Figura 3.9: Diagramas espaco-tempo para a regra de transicao Nφ = 8, considerandodiferentes condicoes de fronteira, a partir de uma configuracao inicial comum.
53
Nφ = 9
condicoes de fronteira periodicas condicoes de fronteira por reflexao
condicoes de fronteira fixas 00 condicoes de fronteira fixas 01
condicoes de fronteira fixas 10 condicoes de fronteira fixas 11
Figura 3.10: Diagramas espaco-tempo para a regra de transicao Nφ = 9, considerandodiferentes condicoes de fronteira, a partir de uma configuracao inicial comum.
54
Nφ = 10
condicoes de fronteira periodicas condicoes de fronteira por reflexao
condicoes de fronteira fixas 00 condicoes de fronteira fixas 01
condicoes de fronteira fixas 10 condicoes de fronteira fixas 11
Figura 3.11: Diagramas espaco-tempo para a regra de transicao Nφ = 10, considerandodiferentes condicoes de fronteira, a partir de uma configuracao inicial comum.
55
Nφ = 11
condicoes de fronteira periodicas condicoes de fronteira por reflexao
condicoes de fronteira fixas 00 condicoes de fronteira fixas 01
condicoes de fronteira fixas 10 condicoes de fronteira fixas 11
Figura 3.12: Diagramas espaco-tempo para a regra de transicao Nφ = 11, considerandodiferentes condicoes de fronteira, a partir de uma configuracao inicial comum.
56
Nφ = 12
condicoes de fronteira periodicas condicoes de fronteira por reflexao
condicoes de fronteira fixas 00 condicoes de fronteira fixas 01
condicoes de fronteira fixas 10 condicoes de fronteira fixas 11
Figura 3.13: Diagramas espaco-tempo para a regra de transicao Nφ = 12, considerandodiferentes condicoes de fronteira, a partir de uma configuracao inicial comum.
57
Nφ = 13
condicoes de fronteira periodicas condicoes de fronteira por reflexao
condicoes de fronteira fixas 00 condicoes de fronteira fixas 01
condicoes de fronteira fixas 10 condicoes de fronteira fixas 11
Figura 3.14: Diagramas espaco-tempo para a regra de transicao Nφ = 13, considerandodiferentes condicoes de fronteira, a partir de uma configuracao inicial comum.
58
Nφ = 14
condicoes de fronteira periodicas condicoes de fronteira por reflexao
condicoes de fronteira fixas 00 condicoes de fronteira fixas 01
condicoes de fronteira fixas 10 condicoes de fronteira fixas 11
Figura 3.15: Diagramas espaco-tempo para a regra de transicao Nφ = 14, considerandodiferentes condicoes de fronteira, a partir de uma configuracao inicial comum.
59
Nφ = 15
condicoes de fronteira periodicas condicoes de fronteira por reflexao
condicoes de fronteira fixas 00 condicoes de fronteira fixas 01
condicoes de fronteira fixas 10 condicoes de fronteira fixas 11
Figura 3.16: Diagramas espaco-tempo para a regra de transicao Nφ = 15, considerandodiferentes condicoes de fronteira, a partir de uma configuracao inicial comum.
60
Nφ = 18
condicoes de fronteira periodicas condicoes de fronteira por reflexao
condicoes de fronteira fixas 00 condicoes de fronteira fixas 01
condicoes de fronteira fixas 10 condicoes de fronteira fixas 11
Figura 3.17: Diagramas espaco-tempo para a regra de transicao Nφ = 18, considerandodiferentes condicoes de fronteira, a partir de uma configuracao inicial comum.
61
Nφ = 19
condicoes de fronteira periodicas condicoes de fronteira por reflexao
condicoes de fronteira fixas 00 condicoes de fronteira fixas 01
condicoes de fronteira fixas 10 condicoes de fronteira fixas 11
Figura 3.18: Diagramas espaco-tempo para a regra de transicao Nφ = 19, considerandodiferentes condicoes de fronteira, a partir de uma configuracao inicial comum.
62
Nφ = 22
condicoes de fronteira periodicas condicoes de fronteira por reflexao
condicoes de fronteira fixas 00 condicoes de fronteira fixas 01
condicoes de fronteira fixas 10 condicoes de fronteira fixas 11
Figura 3.19: Diagramas espaco-tempo para a regra de transicao Nφ = 22, considerandodiferentes condicoes de fronteira, a partir de uma configuracao inicial comum.
63
Nφ = 23
condicoes de fronteira periodicas condicoes de fronteira por reflexao
condicoes de fronteira fixas 00 condicoes de fronteira fixas 01
condicoes de fronteira fixas 10 condicoes de fronteira fixas 11
Figura 3.20: Diagramas espaco-tempo para a regra de transicao Nφ = 23, considerandodiferentes condicoes de fronteira, a partir de uma configuracao inicial comum.
64
Nφ = 24
condicoes de fronteira periodicas condicoes de fronteira por reflexao
condicoes de fronteira fixas 00 condicoes de fronteira fixas 01
condicoes de fronteira fixas 10 condicoes de fronteira fixas 11
Figura 3.21: Diagramas espaco-tempo para a regra de transicao Nφ = 24, considerandodiferentes condicoes de fronteira, a partir de uma configuracao inicial comum.
65
Nφ = 25
condicoes de fronteira periodicas condicoes de fronteira por reflexao
condicoes de fronteira fixas 00 condicoes de fronteira fixas 01
condicoes de fronteira fixas 10 condicoes de fronteira fixas 11
Figura 3.22: Diagramas espaco-tempo para a regra de transicao Nφ = 25, considerandodiferentes condicoes de fronteira, a partir de uma configuracao inicial comum.
66
Nφ = 26
condicoes de fronteira periodicas condicoes de fronteira por reflexao
condicoes de fronteira fixas 00 condicoes de fronteira fixas 01
condicoes de fronteira fixas 10 condicoes de fronteira fixas 11
Figura 3.23: Diagramas espaco-tempo para a regra de transicao Nφ = 26, considerandodiferentes condicoes de fronteira, a partir de uma configuracao inicial comum.
67
Nφ = 27
condicoes de fronteira periodicas condicoes de fronteira por reflexao
condicoes de fronteira fixas 00 condicoes de fronteira fixas 01
condicoes de fronteira fixas 10 condicoes de fronteira fixas 11
Figura 3.24: Diagramas espaco-tempo para a regra de transicao Nφ = 27, considerandodiferentes condicoes de fronteira, a partir de uma configuracao inicial comum.
68
Nφ = 28
condicoes de fronteira periodicas condicoes de fronteira por reflexao
condicoes de fronteira fixas 00 condicoes de fronteira fixas 01
condicoes de fronteira fixas 10 condicoes de fronteira fixas 11
Figura 3.25: Diagramas espaco-tempo para a regra de transicao Nφ = 28, considerandodiferentes condicoes de fronteira, a partir de uma configuracao inicial comum.
69
Nφ = 29
condicoes de fronteira periodicas condicoes de fronteira por reflexao
condicoes de fronteira fixas 00 condicoes de fronteira fixas 01
condicoes de fronteira fixas 10 condicoes de fronteira fixas 11
Figura 3.26: Diagramas espaco-tempo para a regra de transicao Nφ = 29, considerandodiferentes condicoes de fronteira, a partir de uma configuracao inicial comum.
70
Nφ = 30
condicoes de fronteira periodicas condicoes de fronteira por reflexao
condicoes de fronteira fixas 00 condicoes de fronteira fixas 01
condicoes de fronteira fixas 10 condicoes de fronteira fixas 11
Figura 3.27: Diagramas espaco-tempo para a regra de transicao Nφ = 30, considerandodiferentes condicoes de fronteira, a partir de uma configuracao inicial comum.
71
Nφ = 32
condicoes de fronteira periodicas condicoes de fronteira por reflexao
condicoes de fronteira fixas 00 condicoes de fronteira fixas 01
condicoes de fronteira fixas 10 condicoes de fronteira fixas 11
Figura 3.28: Diagramas espaco-tempo para a regra de transicao Nφ = 32, considerandodiferentes condicoes de fronteira, a partir de uma configuracao inicial comum.
72
Nφ = 33
condicoes de fronteira periodicas condicoes de fronteira por reflexao
condicoes de fronteira fixas 00 condicoes de fronteira fixas 01
condicoes de fronteira fixas 10 condicoes de fronteira fixas 11
Figura 3.29: Diagramas espaco-tempo para a regra de transicao Nφ = 33, considerandodiferentes condicoes de fronteira, a partir de uma configuracao inicial comum.
73
Nφ = 34
condicoes de fronteira periodicas condicoes de fronteira por reflexao
condicoes de fronteira fixas 00 condicoes de fronteira fixas 01
condicoes de fronteira fixas 10 condicoes de fronteira fixas 11
Figura 3.30: Diagramas espaco-tempo para a regra de transicao Nφ = 34, considerandodiferentes condicoes de fronteira, a partir de uma configuracao inicial comum.
74
Nφ = 35
condicoes de fronteira periodicas condicoes de fronteira por reflexao
condicoes de fronteira fixas 00 condicoes de fronteira fixas 01
condicoes de fronteira fixas 10 condicoes de fronteira fixas 11
Figura 3.31: Diagramas espaco-tempo para a regra de transicao Nφ = 35, considerandodiferentes condicoes de fronteira, a partir de uma configuracao inicial comum.
75
Nφ = 36
condicoes de fronteira periodicas condicoes de fronteira por reflexao
condicoes de fronteira fixas 00 condicoes de fronteira fixas 01
condicoes de fronteira fixas 10 condicoes de fronteira fixas 11
Figura 3.32: Diagramas espaco-tempo para a regra de transicao Nφ = 36, considerandodiferentes condicoes de fronteira, a partir de uma configuracao inicial comum.
76
Nφ = 37
condicoes de fronteira periodicas condicoes de fronteira por reflexao
condicoes de fronteira fixas 00 condicoes de fronteira fixas 01
condicoes de fronteira fixas 10 condicoes de fronteira fixas 11
Figura 3.33: Diagramas espaco-tempo para a regra de transicao Nφ = 37, considerandodiferentes condicoes de fronteira, a partir de uma configuracao inicial comum.
77
Nφ = 38
condicoes de fronteira periodicas condicoes de fronteira por reflexao
condicoes de fronteira fixas 00 condicoes de fronteira fixas 01
condicoes de fronteira fixas 10 condicoes de fronteira fixas 11
Figura 3.34: Diagramas espaco-tempo para a regra de transicao Nφ = 38, considerandodiferentes condicoes de fronteira, a partir de uma configuracao inicial comum.
78
Nφ = 40
condicoes de fronteira periodicas condicoes de fronteira por reflexao
condicoes de fronteira fixas 00 condicoes de fronteira fixas 01
condicoes de fronteira fixas 10 condicoes de fronteira fixas 11
Figura 3.35: Diagramas espaco-tempo para a regra de transicao Nφ = 40, considerandodiferentes condicoes de fronteira, a partir de uma configuracao inicial comum.
79
Nφ = 41
condicoes de fronteira periodicas condicoes de fronteira por reflexao
condicoes de fronteira fixas 00 condicoes de fronteira fixas 01
condicoes de fronteira fixas 10 condicoes de fronteira fixas 11
Figura 3.36: Diagramas espaco-tempo para a regra de transicao Nφ = 41, considerandodiferentes condicoes de fronteira, a partir de uma configuracao inicial comum.
80
Nφ = 42
condicoes de fronteira periodicas condicoes de fronteira por reflexao
condicoes de fronteira fixas 00 condicoes de fronteira fixas 01
condicoes de fronteira fixas 10 condicoes de fronteira fixas 11
Figura 3.37: Diagramas espaco-tempo para a regra de transicao Nφ = 42, considerandodiferentes condicoes de fronteira, a partir de uma configuracao inicial comum.
81
Nφ = 43
condicoes de fronteira periodicas condicoes de fronteira por reflexao
condicoes de fronteira fixas 00 condicoes de fronteira fixas 01
condicoes de fronteira fixas 10 condicoes de fronteira fixas 11
Figura 3.38: Diagramas espaco-tempo para a regra de transicao Nφ = 43, considerandodiferentes condicoes de fronteira, a partir de uma configuracao inicial comum.
82
Nφ = 44
condicoes de fronteira periodicas condicoes de fronteira por reflexao
condicoes de fronteira fixas 00 condicoes de fronteira fixas 01
condicoes de fronteira fixas 10 condicoes de fronteira fixas 11
Figura 3.39: Diagramas espaco-tempo para a regra de transicao Nφ = 44, considerandodiferentes condicoes de fronteira, a partir de uma configuracao inicial comum.
83
Nφ = 45
condicoes de fronteira periodicas condicoes de fronteira por reflexao
condicoes de fronteira fixas 00 condicoes de fronteira fixas 01
condicoes de fronteira fixas 10 condicoes de fronteira fixas 11
Figura 3.40: Diagramas espaco-tempo para a regra de transicao Nφ = 45, considerandodiferentes condicoes de fronteira, a partir de uma configuracao inicial comum.
84
Nφ = 46
condicoes de fronteira periodicas condicoes de fronteira por reflexao
condicoes de fronteira fixas 00 condicoes de fronteira fixas 01
condicoes de fronteira fixas 10 condicoes de fronteira fixas 11
Figura 3.41: Diagramas espaco-tempo para a regra de transicao Nφ = 46, considerandodiferentes condicoes de fronteira, a partir de uma configuracao inicial comum.
85
Nφ = 50
condicoes de fronteira periodicas condicoes de fronteira por reflexao
condicoes de fronteira fixas 00 condicoes de fronteira fixas 01
condicoes de fronteira fixas 10 condicoes de fronteira fixas 11
Figura 3.42: Diagramas espaco-tempo para a regra de transicao Nφ = 50, considerandodiferentes condicoes de fronteira, a partir de uma configuracao inicial comum.
86
Nφ = 51
condicoes de fronteira periodicas condicoes de fronteira por reflexao
condicoes de fronteira fixas 00 condicoes de fronteira fixas 01
condicoes de fronteira fixas 10 condicoes de fronteira fixas 11
Figura 3.43: Diagramas espaco-tempo para a regra de transicao Nφ = 51, considerandodiferentes condicoes de fronteira, a partir de uma configuracao inicial comum.
87
Nφ = 54
condicoes de fronteira periodicas condicoes de fronteira por reflexao
condicoes de fronteira fixas 00 condicoes de fronteira fixas 01
condicoes de fronteira fixas 10 condicoes de fronteira fixas 11
Figura 3.44: Diagramas espaco-tempo para a regra de transicao Nφ = 51, considerandodiferentes condicoes de fronteira, a partir de uma configuracao inicial comum.
88
Nφ = 56
condicoes de fronteira periodicas condicoes de fronteira por reflexao
condicoes de fronteira fixas 00 condicoes de fronteira fixas 01
condicoes de fronteira fixas 10 condicoes de fronteira fixas 11
Figura 3.45: Diagramas espaco-tempo para a regra de transicao Nφ = 56, considerandodiferentes condicoes de fronteira, a partir de uma configuracao inicial comum.
89
Nφ = 57
condicoes de fronteira periodicas condicoes de fronteira por reflexao
condicoes de fronteira fixas 00 condicoes de fronteira fixas 01
condicoes de fronteira fixas 10 condicoes de fronteira fixas 11
Figura 3.46: Diagramas espaco-tempo para a regra de transicao Nφ = 57, considerandodiferentes condicoes de fronteira, a partir de uma configuracao inicial comum.
90
Nφ = 58
condicoes de fronteira periodicas condicoes de fronteira por reflexao
condicoes de fronteira fixas 00 condicoes de fronteira fixas 01
condicoes de fronteira fixas 10 condicoes de fronteira fixas 11
Figura 3.47: Diagramas espaco-tempo para a regra de transicao Nφ = 58, considerandodiferentes condicoes de fronteira, a partir de uma configuracao inicial comum.
91
Nφ = 60
condicoes de fronteira periodicas condicoes de fronteira por reflexao
condicoes de fronteira fixas 00 condicoes de fronteira fixas 01
condicoes de fronteira fixas 10 condicoes de fronteira fixas 11
Figura 3.48: Diagramas espaco-tempo para a regra de transicao Nφ = 60, considerandodiferentes condicoes de fronteira, a partir de uma configuracao inicial comum.
92
Nφ = 62
condicoes de fronteira periodicas condicoes de fronteira por reflexao
condicoes de fronteira fixas 00 condicoes de fronteira fixas 01
condicoes de fronteira fixas 10 condicoes de fronteira fixas 11
Figura 3.49: Diagramas espaco-tempo para a regra de transicao Nφ = 62, considerandodiferentes condicoes de fronteira, a partir de uma configuracao inicial comum.
93
Nφ = 72
condicoes de fronteira periodicas condicoes de fronteira por reflexao
condicoes de fronteira fixas 00 condicoes de fronteira fixas 01
condicoes de fronteira fixas 10 condicoes de fronteira fixas 11
Figura 3.50: Diagramas espaco-tempo para a regra de transicao Nφ = 72, considerandodiferentes condicoes de fronteira, a partir de uma configuracao inicial comum.
94
Nφ = 73
condicoes de fronteira periodicas condicoes de fronteira por reflexao
condicoes de fronteira fixas 00 condicoes de fronteira fixas 01
condicoes de fronteira fixas 10 condicoes de fronteira fixas 11
Figura 3.51: Diagramas espaco-tempo para a regra de transicao Nφ = 73, considerandodiferentes condicoes de fronteira, a partir de uma configuracao inicial comum.
95
Nφ = 74
condicoes de fronteira periodicas condicoes de fronteira por reflexao
condicoes de fronteira fixas 00 condicoes de fronteira fixas 01
condicoes de fronteira fixas 10 condicoes de fronteira fixas 11
Figura 3.52: Diagramas espaco-tempo para a regra de transicao Nφ = 74, considerandodiferentes condicoes de fronteira, a partir de uma configuracao inicial comum.
96
Nφ = 76
condicoes de fronteira periodicas condicoes de fronteira por reflexao
condicoes de fronteira fixas 00 condicoes de fronteira fixas 01
condicoes de fronteira fixas 10 condicoes de fronteira fixas 11
Figura 3.53: Diagramas espaco-tempo para a regra de transicao Nφ = 76, considerandodiferentes condicoes de fronteira, a partir de uma configuracao inicial comum.
97
Nφ = 77
condicoes de fronteira periodicas condicoes de fronteira por reflexao
condicoes de fronteira fixas 00 condicoes de fronteira fixas 01
condicoes de fronteira fixas 10 condicoes de fronteira fixas 11
Figura 3.54: Diagramas espaco-tempo para a regra de transicao Nφ = 77, considerandodiferentes condicoes de fronteira, a partir de uma configuracao inicial comum.
98
Nφ = 78
condicoes de fronteira periodicas condicoes de fronteira por reflexao
condicoes de fronteira fixas 00 condicoes de fronteira fixas 01
condicoes de fronteira fixas 10 condicoes de fronteira fixas 11
Figura 3.55: Diagramas espaco-tempo para a regra de transicao Nφ = 78, considerandodiferentes condicoes de fronteira, a partir de uma configuracao inicial comum.
99
Nφ = 90
condicoes de fronteira periodicas condicoes de fronteira por reflexao
condicoes de fronteira fixas 00 condicoes de fronteira fixas 01
condicoes de fronteira fixas 10 condicoes de fronteira fixas 11
Figura 3.56: Diagramas espaco-tempo para a regra de transicao Nφ = 90, considerandodiferentes condicoes de fronteira, a partir de uma configuracao inicial comum.
100
Nφ = 94
condicoes de fronteira periodicas condicoes de fronteira por reflexao
condicoes de fronteira fixas 00 condicoes de fronteira fixas 01
condicoes de fronteira fixas 10 condicoes de fronteira fixas 11
Figura 3.57: Diagramas espaco-tempo para a regra de transicao Nφ = 94, considerandodiferentes condicoes de fronteira, a partir de uma configuracao inicial comum.
101
Nφ = 104
condicoes de fronteira periodicas condicoes de fronteira por reflexao
condicoes de fronteira fixas 00 condicoes de fronteira fixas 01
condicoes de fronteira fixas 10 condicoes de fronteira fixas 11
Figura 3.58: Diagramas espaco-tempo para a regra de transicao Nφ = 104, considerandodiferentes condicoes de fronteira, a partir de uma configuracao inicial comum.
102
Nφ = 105
condicoes de fronteira periodicas condicoes de fronteira por reflexao
condicoes de fronteira fixas 00 condicoes de fronteira fixas 01
condicoes de fronteira fixas 10 condicoes de fronteira fixas 11
Figura 3.59: Diagramas espaco-tempo para a regra de transicao Nφ = 105, considerandodiferentes condicoes de fronteira, a partir de uma configuracao inicial comum.
103
Nφ = 106
condicoes de fronteira periodicas condicoes de fronteira por reflexao
condicoes de fronteira fixas 00 condicoes de fronteira fixas 01
condicoes de fronteira fixas 10 condicoes de fronteira fixas 11
Figura 3.60: Diagramas espaco-tempo para a regra de transicao Nφ = 106, considerandodiferentes condicoes de fronteira, a partir de uma configuracao inicial comum.
104
Nφ = 108
condicoes de fronteira periodicas condicoes de fronteira por reflexao
condicoes de fronteira fixas 00 condicoes de fronteira fixas 01
condicoes de fronteira fixas 10 condicoes de fronteira fixas 11
Figura 3.61: Diagramas espaco-tempo para a regra de transicao Nφ = 108, considerandodiferentes condicoes de fronteira, a partir de uma configuracao inicial comum.
105
Nφ = 110
condicoes de fronteira periodicas condicoes de fronteira por reflexao
condicoes de fronteira fixas 00 condicoes de fronteira fixas 01
condicoes de fronteira fixas 10 condicoes de fronteira fixas 11
Figura 3.62: Diagramas espaco-tempo para a regra de transicao Nφ = 110, considerandodiferentes condicoes de fronteira, a partir de uma configuracao inicial comum.
106
Nφ = 122
condicoes de fronteira periodicas condicoes de fronteira por reflexao
condicoes de fronteira fixas 00 condicoes de fronteira fixas 01
condicoes de fronteira fixas 10 condicoes de fronteira fixas 11
Figura 3.63: Diagramas espaco-tempo para a regra de transicao Nφ = 122, considerandodiferentes condicoes de fronteira, a partir de uma configuracao inicial comum.
107
Nφ = 126
condicoes de fronteira periodicas condicoes de fronteira por reflexao
condicoes de fronteira fixas 00 condicoes de fronteira fixas 01
condicoes de fronteira fixas 10 condicoes de fronteira fixas 11
Figura 3.64: Diagramas espaco-tempo para a regra de transicao Nφ = 126, considerandodiferentes condicoes de fronteira, a partir de uma configuracao inicial comum.
108
Nφ = 128
condicoes de fronteira periodicas condicoes de fronteira por reflexao
condicoes de fronteira fixas 00 condicoes de fronteira fixas 01
condicoes de fronteira fixas 10 condicoes de fronteira fixas 11
Figura 3.65: Diagramas espaco-tempo para a regra de transicao Nφ = 128, considerandodiferentes condicoes de fronteira, a partir de uma configuracao inicial comum.
109
Nφ = 130
condicoes de fronteira periodicas condicoes de fronteira por reflexao
condicoes de fronteira fixas 00 condicoes de fronteira fixas 01
condicoes de fronteira fixas 10 condicoes de fronteira fixas 11
Figura 3.66: Diagramas espaco-tempo para a regra de transicao Nφ = 130, considerandodiferentes condicoes de fronteira, a partir de uma configuracao inicial comum.
110
Nφ = 132
condicoes de fronteira periodicas condicoes de fronteira por reflexao
condicoes de fronteira fixas 00 condicoes de fronteira fixas 01
condicoes de fronteira fixas 10 condicoes de fronteira fixas 11
Figura 3.67: Diagramas espaco-tempo para a regra de transicao Nφ = 132, considerandodiferentes condicoes de fronteira, a partir de uma configuracao inicial comum.
111
Nφ = 134
condicoes de fronteira periodicas condicoes de fronteira por reflexao
condicoes de fronteira fixas 00 condicoes de fronteira fixas 01
condicoes de fronteira fixas 10 condicoes de fronteira fixas 11
Figura 3.68: Diagramas espaco-tempo para a regra de transicao Nφ = 134, considerandodiferentes condicoes de fronteira, a partir de uma configuracao inicial comum.
112
Nφ = 136
condicoes de fronteira periodicas condicoes de fronteira por reflexao
condicoes de fronteira fixas 00 condicoes de fronteira fixas 01
condicoes de fronteira fixas 10 condicoes de fronteira fixas 11
Figura 3.69: Diagramas espaco-tempo para a regra de transicao Nφ = 136, considerandodiferentes condicoes de fronteira, a partir de uma configuracao inicial comum.
113
Nφ = 138
condicoes de fronteira periodicas condicoes de fronteira por reflexao
condicoes de fronteira fixas 00 condicoes de fronteira fixas 01
condicoes de fronteira fixas 10 condicoes de fronteira fixas 11
Figura 3.70: Diagramas espaco-tempo para a regra de transicao Nφ = 138, considerandodiferentes condicoes de fronteira, a partir de uma configuracao inicial comum.
114
Nφ = 140
condicoes de fronteira periodicas condicoes de fronteira por reflexao
condicoes de fronteira fixas 00 condicoes de fronteira fixas 01
condicoes de fronteira fixas 10 condicoes de fronteira fixas 11
Figura 3.71: Diagramas espaco-tempo para a regra de transicao Nφ = 140, considerandodiferentes condicoes de fronteira, a partir de uma configuracao inicial comum.
115
Nφ = 142
condicoes de fronteira periodicas condicoes de fronteira por reflexao
condicoes de fronteira fixas 00 condicoes de fronteira fixas 01
condicoes de fronteira fixas 10 condicoes de fronteira fixas 11
Figura 3.72: Diagramas espaco-tempo para a regra de transicao Nφ = 142, considerandodiferentes condicoes de fronteira, a partir de uma configuracao inicial comum.
116
Nφ = 146
condicoes de fronteira periodicas condicoes de fronteira por reflexao
condicoes de fronteira fixas 00 condicoes de fronteira fixas 01
condicoes de fronteira fixas 10 condicoes de fronteira fixas 11
Figura 3.73: Diagramas espaco-tempo para a regra de transicao Nφ = 146, considerandodiferentes condicoes de fronteira, a partir de uma configuracao inicial comum.
117
Nφ = 150
condicoes de fronteira periodicas condicoes de fronteira por reflexao
condicoes de fronteira fixas 00 condicoes de fronteira fixas 01
condicoes de fronteira fixas 10 condicoes de fronteira fixas 11
Figura 3.74: Diagramas espaco-tempo para a regra de transicao Nφ = 150, considerandodiferentes condicoes de fronteira, a partir de uma configuracao inicial comum.
118
Nφ = 152
condicoes de fronteira periodicas condicoes de fronteira por reflexao
condicoes de fronteira fixas 00 condicoes de fronteira fixas 01
condicoes de fronteira fixas 10 condicoes de fronteira fixas 11
Figura 3.75: Diagramas espaco-tempo para a regra de transicao Nφ = 152, considerandodiferentes condicoes de fronteira, a partir de uma configuracao inicial comum.
119
Nφ = 154
condicoes de fronteira periodicas condicoes de fronteira por reflexao
condicoes de fronteira fixas 00 condicoes de fronteira fixas 01
condicoes de fronteira fixas 10 condicoes de fronteira fixas 11
Figura 3.76: Diagramas espaco-tempo para a regra de transicao Nφ = 154, considerandodiferentes condicoes de fronteira, a partir de uma configuracao inicial comum.
120
Nφ = 156
condicoes de fronteira periodicas condicoes de fronteira por reflexao
condicoes de fronteira fixas 00 condicoes de fronteira fixas 01
condicoes de fronteira fixas 10 condicoes de fronteira fixas 11
Figura 3.77: Diagramas espaco-tempo para a regra de transicao Nφ = 156, considerandodiferentes condicoes de fronteira, a partir de uma configuracao inicial comum.
121
Nφ = 160
condicoes de fronteira periodicas condicoes de fronteira por reflexao
condicoes de fronteira fixas 00 condicoes de fronteira fixas 01
condicoes de fronteira fixas 10 condicoes de fronteira fixas 11
Figura 3.78: Diagramas espaco-tempo para a regra de transicao Nφ = 160, considerandodiferentes condicoes de fronteira, a partir de uma configuracao inicial comum.
122
Nφ = 162
condicoes de fronteira periodicas condicoes de fronteira por reflexao
condicoes de fronteira fixas 00 condicoes de fronteira fixas 01
condicoes de fronteira fixas 10 condicoes de fronteira fixas 11
Figura 3.79: Diagramas espaco-tempo para a regra de transicao Nφ = 162, considerandodiferentes condicoes de fronteira, a partir de uma configuracao inicial comum.
123
Nφ = 164
condicoes de fronteira periodicas condicoes de fronteira por reflexao
condicoes de fronteira fixas 00 condicoes de fronteira fixas 01
condicoes de fronteira fixas 10 condicoes de fronteira fixas 11
Figura 3.80: Diagramas espaco-tempo para a regra de transicao Nφ = 164, considerandodiferentes condicoes de fronteira, a partir de uma configuracao inicial comum.
124
Nφ = 168
condicoes de fronteira periodicas condicoes de fronteira por reflexao
condicoes de fronteira fixas 00 condicoes de fronteira fixas 01
condicoes de fronteira fixas 10 condicoes de fronteira fixas 11
Figura 3.81: Diagramas espaco-tempo para a regra de transicao Nφ = 168, considerandodiferentes condicoes de fronteira, a partir de uma configuracao inicial comum.
125
Nφ = 170
condicoes de fronteira periodicas condicoes de fronteira por reflexao
condicoes de fronteira fixas 00 condicoes de fronteira fixas 01
condicoes de fronteira fixas 10 condicoes de fronteira fixas 11
Figura 3.82: Diagramas espaco-tempo para a regra de transicao Nφ = 170, considerandodiferentes condicoes de fronteira, a partir de uma configuracao inicial comum.
126
Nφ = 172
condicoes de fronteira periodicas condicoes de fronteira por reflexao
condicoes de fronteira fixas 00 condicoes de fronteira fixas 01
condicoes de fronteira fixas 10 condicoes de fronteira fixas 11
Figura 3.83: Diagramas espaco-tempo para a regra de transicao Nφ172 =, considerandodiferentes condicoes de fronteira, a partir de uma configuracao inicial comum.
127
Nφ = 178
condicoes de fronteira periodicas condicoes de fronteira por reflexao
condicoes de fronteira fixas 00 condicoes de fronteira fixas 01
condicoes de fronteira fixas 10 condicoes de fronteira fixas 11
Figura 3.84: Diagramas espaco-tempo para a regra de transicao Nφ = 178, considerandodiferentes condicoes de fronteira, a partir de uma configuracao inicial comum.
128
Nφ = 184
condicoes de fronteira periodicas condicoes de fronteira por reflexao
condicoes de fronteira fixas 00 condicoes de fronteira fixas 01
condicoes de fronteira fixas 10 condicoes de fronteira fixas 11
Figura 3.85: Diagramas espaco-tempo para a regra de transicao Nφ = 184, considerandodiferentes condicoes de fronteira, a partir de uma configuracao inicial comum.
129
Nφ = 200
condicoes de fronteira periodicas condicoes de fronteira por reflexao
condicoes de fronteira fixas 00 condicoes de fronteira fixas 01
condicoes de fronteira fixas 10 condicoes de fronteira fixas 11
Figura 3.86: Diagramas espaco-tempo para a regra de transicao Nφ = 200, considerandodiferentes condicoes de fronteira, a partir de uma configuracao inicial comum.
130
Nφ = 204
condicoes de fronteira periodicas condicoes de fronteira por reflexao
condicoes de fronteira fixas 00 condicoes de fronteira fixas 01
condicoes de fronteira fixas 10 condicoes de fronteira fixas 11
Figura 3.87: Diagramas espaco-tempo para a regra de transicao Nφ = 204, considerandodiferentes condicoes de fronteira, a partir de uma configuracao inicial comum.
131
Nφ = 232
condicoes de fronteira periodicas condicoes de fronteira por reflexao
condicoes de fronteira fixas 00 condicoes de fronteira fixas 01
condicoes de fronteira fixas 10 condicoes de fronteira fixas 11
Figura 3.88: Diagramas espaco-tempo para a regra de transicao Nφ = 232, considerandodiferentes condicoes de fronteira, a partir de uma configuracao inicial comum.
132
Do nosso ponto de vista, os diagramas anteriores mostram claramente que, para quase todos
os conjuntos de automatos celulares elementares finitos, as dinamicas obtidas a partir de
uma mesma configuracao inicial, apresentam caraterısticas comuns para os seus elementos.
Por outras palavras, fixada uma regra de transicao, os diagramas gerados por cada uma das
dinamicas, correspondentes a diferentes escolhas para as condicoes de fronteira, mostram
padroes muito semelhantes, de tal forma que somos levados a dizer que as dinamicas sao
independentes das condicoes de fronteira, ou seja, que existe um tipo de dinamica que
podemos associar a Φ, sendo irrelevante a condicao de fronteira que se escolha para obter o
diagrama espaco-tempo. Exemplos claros desta conjetura sao os diagramas espaco-tempo
obtidos para Φ = 1, ver a Figura 3.2, para Φ = 18, ver a Figura 3.17, e para Φ = 54,
ver a Figura 3.44. Para todos estes exemplos, parece-nos indiscutıvel que os seis diagramas
espaco-tempo mostram padroes muito semelhantes, podendo cada um deles servir para
representar a dinamica tıpica dos automatos celulares em causa.
No entanto, existem excecoes, isto e, existem regras de transicao φ em que a alteracao
das condicoes de fronteira assumidas para o sistema vai conferir uma variacao a dinamica
do automato celular, podendo mesmo levar o sistema a exibir um comportamento muito
diferente. E sobre essas excecoes que achamos importante analisar as dinamicas encontradas.
Por razoes que serao evidentes, vamos apresentar as excecoes em duas partes distintas.
3.2 As regras de transicao Nφ = 30, Nφ = 45 e Nφ = 106
Atentemos nos diagramas espaco-tempo apresentados para as regras Φ = 30, ver a
Figura 3.27, Φ = 45, ver a Figura 3.40, e Φ = 106, ver a Figura 3.60. Como se pode
observar, para algumas condicoes de fronteira a complicacao ou desordem inicial vai, com o
passar do tempo, dar origem a uma certa simplificacao, isto e, podemos dizer que uma certa
ordem se vai propagando a partir de uma determinada fronteira. Esta alteracao, verificada
na dinamica do automato, seria de certa forma expetavel, ou pelo menos nao nos surpreende,
uma vez que, ao fixar as fronteiras, ou mesmo ao considera-las reflexivas, se esta a impor
uma certa rigidez ao sistema, rigidez essa que julgamos passıvel de alterar as condicoes que
levam o sistema a evidenciar um comportamento complicado.
Naturalmente que a alteracao nos padroes exibidos pelos diagramas espaco-tempo cor-
responde a uma modificacao muito forte nas caraterısticas das dinamicas: para estas regras,
os ciclos de perıodo muito grande das dinamicas observadas com condicoes de fronteira
133
periodicas dao lugar a ciclos de perıodo pequeno, em alguns casos mesmo a ciclos de
perıodo 1, ou seja, a pontos fixos.
Como afirmamos acima, para estas tres regras a complicacao da dinamica para a escolha
de condicoes de fronteira periodicas, correspondente a sistemas fechados, surge fortemente
simplificada quando escolhidas outras condicoes para a fronteira do sistema. Uma vez
que qualquer escolha de condicoes de fronteira, que nao periodicas, conduz efetivamente
a existencia de uma fronteira para o sistema, consideramos natural que isso resulte numa
simplificacao. Contudo, pouco esperadas sao as alteracoes verificadas nas duas seguintes
excecoes, que passamos a estudar.
3.3 As regras de transicao Nφ = 26 e Nφ = 154
Observando os diagramas espaco-tempo correspondentes as dinamicas geradas pelas
regras de transicao Nφ = 26 e Nφ = 154, ver as Figuras 3.23 e 3.76, respetivamente,
constata-se que, para condicoes de fronteira periodicas, essas dinamicas nos mostram uma
certa ordem, uma vez que se observa que o sistema vai acabar por repetir um ciclo de
perıodo pequeno, sendo este rapidamente alcancado. No entanto, quando sao alteradas as
condicoes de fronteira, a situacao, por vezes, altera-se profundamente, uma vez que para
certas escolhas vemos surgir padroes mais complicados. Isto e evidente no caso das condicoes
fixas 00 e 10, ou seja, aquelas que consideram uma celula no estado zero na fronteira direita
do sistema. Ao contrario do que sucedeu para as tres regras de transicao anteriores, neste
caso estamos perante algo bastante bizarro: sao escolhas de condicoes de fronteira fixas
que vao complicar a dinamica que estas regras de transicao exibem para sistemas sujeitos
a condicoes de fronteira periodicas. No final do capıtulo seguinte, iremos detalhar o estudo
dos automatos celulares elementares 2600, 2610, 15400 e 15410, evidenciando algumas das
caraterısticas das suas dinamicas.
134
Capıtulo 4
Classificacao dos AutomatosCelulares Elementares
Desde sempre que nomear e classificar faz parte da condicao humana. Classifica-se de
modo a facilitar a compreensao da grande variedade do mundo que nos rodeia. No entanto,
o processo de classificar nao e nunca uma tarefa facil! Vejamos, de seguida, alguns exemplos
relacionados com areas distintas, que sao alvo de estudo pela comunidade cientıfica.
Qualquer taxinomia devera ser entendida como uma classificacao que se baseia em cara-
terısticas consideradas fundamentais dispensando, sempre que possıvel, as acessorias. Para
tal, utilizam-se criterios e identifica-se entre as caraterısticas fundamentais uma determinada
hierarquia. Das varias tentativas de classificacao dos seres vivos, a primeira e unanimemente
atribuıda a Aristoteles, com a criacao de dois grandes grupos: Animalia e Plantae. Esta
primeira distincao teve por base a mobilidade e o tipo de nutricao dos seres vivos: as plan-
tas sao imoveis e produzem o seu proprio alimento e os animais apresentam capacidade
de locomocao e capturam as suas presas. Para alem disso, Aristoteles classificou centenas
de especies animais de acordo com o tipo de reproducao, agrupando-os ainda em ”animais
com sangue e animais sem sangue”; quanto as plantas, um seu discıpulo, Teofrasto, criou
diversos grupos, sendo um dos criterios o tamanho, repartindo-as por ”arvores, arbustos,
subarbustos e ervas”, tendo tambem sugerido a divisao entre ”plantas com flores e plantas
sem flores”. Muitos anos mais tarde, outros criterios foram aplicados, tais como o tipo de
locomocao ou o ambiente onde vivem, levando ainda assim a que animais com muito poucas
semelhancas fossem agrupados na mesma categoria. No seculo dezoito, o naturalista sueco
Carolus Linnaeus, apresentou uma classificacao hierarquica, na qual se baseia a atual, sendo
a especie, um grupo de organismos que acasalam na natureza e cujos descendentes sao
ferteis, a unidade de classificacao, e definindo o reino como a categoria mais abrangente.
135
Curiosamente, ao propor a existencia de dois reinos, Animalia e Plantae, Linnaeus respei-
tou a classificacao aristotelica. No caso dos animais, Linnaeus baseou-se na sua aparencia
externa; quanto aos vegetais, utilizou as caraterısticas sexuais recentemente descobertas
nestes. Algumas decadas depois, sobretudo a partir dos trabalhos de Charles Darwin, com
a teoria da evolucao, as classificacoes procuraram agrupar os seres vivos tendo em conta
o estabelecimento de relacoes de parentesco evolutivo entre os mesmos, ou seja, todas as
especies atuais, ou mesmo as que ja se encontram extintas, surgiram de outras, adquirindo
novas caraterısticas e perdendo outras, de acordo com a adaptacao aos diversos ambientes
ao longo da historia do planeta Terra. Assim, as especies nao mais foram consideradas
como grupos estaticos de seres vivos. Mas os problemas da taxionomia nao se restringiram
somente ao nıvel das especies.
Ao longo dos tempos, o numero de reinos propostos tem sofrido algumas variacoes: ja
se considerou existirem somente dois reinos, mas ja se chegou a preconizar a existencia
de ate treze reinos. Atualmente, e quase consensual uma divisao em cinco reinos, pro-
posta, em 1969, por Robert Whittaker: Animalia, Plantae, Fungi, Monera e Protista. Para
a sua classificacao, este biologo norte-americano considerou tres criterios: o nıvel de or-
ganizacao celular, o modo de nutricao e a interacao com os ecossistemas. Quanto aos
grupos taxinomicos utilizados na classificacao sistematica dos seres vivos, e hoje aceite uma
hierarquia composta por Reino, Filo, Ordem, Classe e Genero.
Por fim, mais recentemente, o microbiologista Carl R. Woese sugeriu uma classificacao
dos reinos em tres grandes domınios, de acordo com a analise do RNA1 ribossomico en-
contrado em todos os seres vivos: Archaea, Bacteria e Eucarya. Contudo, esta distincao
primordial nao tem tido a concordancia de todos. Percebemos, deste modo, que existirao
sempre problemas relacionados com a classificacao dos seres vivos e que este objetivo sera
sempre alvo de novos desenvolvimentos e descobertas, impulsionados pela necessidade e/ou
curiosidade do Homem e tambem pelos avancos a nıvel tecnologico que sao postos a sua
disposicao.
Na area da antropologia, tambem se tem observado que a classificacao e uma necessidade
inerente a quem pretende estudar os varios sistemas locais, culturais e sociais. Citando
Jared Diamond2, do seu livro O mundo ate ontem, publicado em 2013, acerca da tarefa de
1Acido ribonucleico (a molecula que participa na producao dos ribossomos que por sua vez atuam nasıntese das proteınas).
2Cientista, zoologo de formacao, vencedor do premio Pulitzer e praticante de uma area a que o propriodesigna por ”biogeografia”, em que tenta explicar a evolucao das sociedades atraves de condicionantesbiologicas e evolutivas.
136
classificar a diversidade existente entre as sociedades tradicionais:
”Embora cada sociedade humana seja unica, existem tambem padroes transversais que
permitem algumas generalizacoes. Especificamente, temos tendencias interligadas em
pelo menos quatro aspetos das sociedades: dimensao da populacao, subsistencia,
centralizacao polıtica e estratificacao social. (. . . ) Tais correlacoes entre os diferentes
aspetos de uma sociedade nao sao rıgidas. No entanto, precisamos de algo que nos
ajude a identificar os diversos tipos de sociedades que surgem destas tendencias mais
vastas, ao mesmo tempo que reconhecemos as diversidades no meio dessas tendencias.
(. . . ) e vantajoso adotar categorias de referencia cujas imperfeicoes compreendemos”.
Tambem aqui, voltamos a ter a ideia de que a tarefa de reduzir a diversidade de um grande
numero de situacoes nunca e pacıfica, ou seja, quase sempre existirao dificuldades em qual-
quer tentativa de classificacao. Por curiosidade, gostarıamos de acrescentar que Diamond,
no mesmo trabalho, refere tambem que alguns cientistas se servem de numerosas catego-
rias de referencia alternativas para descrever a variacao entre as sociedades tradicionais,
contrariamente a outros que se indignam pelo facto de se usar sequer categorias.
De seguida, permitindo-nos a algum paralelismo, podemos referir que, embora cada
automato celular seja unico, como e evidente, existem caraterısticas comuns, tais como,
os padroes gerados nos diagrama espaco-tempo (embora de diversos tipos, apresentando
ordem ou desordem) ou mesmo a existencia de ciclos (alguns de perıodo 1 ou relativamente
pequeno e outros de perıodo extremamente elevado). As distincoes baseadas numa destas
caraterısticas poderao servir para agrupar os automatos celulares em diferentes classes e
reduzir a enorme diversidade de situacoes. Essas correlacoes entre os automatos celulares nao
sao rıgidas e, por isso, e natural esperar diferencas entre os automatos celulares pertencentes
a uma mesma classe. Contudo, e util adotar classes de referencia, reconhecendo sempre a
existencia de possıveis imperfeicoes e excecoes.
Stephen Wolfram teve o merito de, na decada de 1980, ser o primeiro a chamar a
atencao para algo muito inesperado: existem automatos celulares que, com as suas regras
de transicao extremamente simples, exibem dinamicas que nao sao, de modo algum, simples.
Wolfram apelidou de elementares aos mais simples dentre eles.
Baseando-se na observacao dos padroes espaco-tempo gerados pela evolucao temporal
de automatos celulares, Wolfram julgou ser possıvel identificar alguns, poucos, tipos de
dinamicas que poderiam ser associados a cada uma das regras, isto e, que tipicamente cada
137
automato celular apresentaria. E assim que e proposta uma classificacao qualitativa para
os automatos celulares elementares, distribuindo-os em quatro classes. Desde entao, outras
classificacoes tem sido propostas, algumas delas pequenas variacoes da apresentada por
Wolfram, como a classificacao de Li e Packard, mas outras muito diferentes, uma vez que
resultantes de olhar os automatos celulares num contexto diferente. Neste trabalho vamos
considerar apenas a classificacao de Wolfram, nao exatamente a original, mas aquela que
dela resultou, a partir dos trabalhos realizados desde entao.
4.1 A classificacao de Wolfram
Como o proprio reconhece, a classificacao dos automatos celulares elementares, proposta
por Wolfram, em 1984, teve como inspiracao a Teoria dos Sistemas Dinamicos contınuos
onde, para la de pontos fixos e orbitas periodicas, tinha sido ja identificada a possibilidade de
uma dinamica determinista exibir um comportamento caotico. A partir da simulacao de um
grande numero de automatos celulares, Wolfram vai sugerir entao que muitos, talvez todos3,
automatos celulares exibem dinamicas tıpicas classificaveis num numero muito reduzido
de classes: sendo as tres primeiras analogas as dinamicas identificadas pela Teoria dos
Sistemas Dinamicos contınuos, verifica-se contudo a necessidade de introduzir uma quarta,
pois algumas das dinamicas observadas nao se enquadravam exatamente em nenhuma dessas
tres classes4.
Antes de continuarmos, achamos conveniente fazer alguns comentarios: no seu trabalho,
Wolfram diz claramente que, no inıcio, todos os sistemas finitos foram construıdos com
escolha de condicoes de fronteira periodicas. Logo, quando e apresentada a classificacao
das dinamicas, a partir de configuracoes iniciais aleatorias, esta implıcito que e para essa
famılia de automatos celulares finitos. Acontece que, na literatura consultada, os autores
assumem a classificacao de Wolfram sem referir que esse resultado teve por base simulacoes
de sistemas finitos com uma das possıveis escolhas para as condicoes de fronteira, parecendo
com isso aceitar que as dinamicas tıpicas dos automatos celulares elementares nao dependem
dessa escolha. Como mostramos no capıtulo anterior, isso nao e verdade para todos os
automatos celulares elementares.
3Mais tarde, em Two-dimensional Cellular Automata, publicado logo em 1985, Wolfram vai estudar demodo analogo automatos celulares no plano, e sugerir que a classificacao apresentada a partir do estudode automatos celulares unidimensionais, ultrapassa esse ambito, conjeturando entao a sua validade paraquaisquer automatos celulares.
4Daı que as classes nao estejam ordenadas pela complexidade das dinamicas.
138
Na tabela seguinte, e mostrada a distribuicao pelas quatro classes dos 88 automatos ce-
lulares elementares dinamicamente nao equivalentes, com condicoes de fronteira periodicas.
Esta informacao foi obtida a partir da mais recente versao do sistema Wolfram Alpha, de
que Stephen Wolfram e responsavel.
Classe I
0p 8p 32p 40p 128p 136p 160p 168p
Classe II
1p 2p 3p 4p 5p 6p 7p 9p
10p 11p 12p 13p 14p 15p 19p 23p
24p 25p 26p 27p 28p 29p 33p 34p
35p 36p 37p 38p 42p 43p 44p 46p
50p 51p 56p 57p 58p 62p 72p 73p
74p 76p 77p 78p 94p 104p 108p 130p
132p 134p 138p 140p 142p 152p 154p 156p
162p 164p 170p 172p 178p 184p 200p 204p
232p
Classe III
18p 22p 30p 45p 60p 90p 105p 122p
126p 146p 150p
Classe IV
41p 54p 106p 110p
Tabela 4.1: Classificacao de Wolfram dos 88 automatos celulares elementares, com condicoesde fronteira periodicas, dinamicamente nao equivalentes.
De seguida, vamos apresentar a descricao habitualmente aceite para as caraterısticas dos
automatos celulares elementares correspondentes a cada uma das classes, nao sem antes
mostrar diagramas espaco-tempo tıpicos das dinamicas exibidas por cada um deles. Pre-
tendemos dessa forma evidenciar a diversidade de dinamicas que coexiste em algumas das
classes. Para sermos coerentes com a tabela acima, todos os diagramas foram obtidos com
condicoes de fronteira periodicas para os automatos celulares.
139
4.1.1 Classe I
Consideremos os automatos celulares elementares pertencentes a Classe I e, para uma
mesma configuracao inicial, aleatoriamente escolhida, vejamos o que nos mostra cada um
dos diagramas espaco-temporais, para sistemas com n = 40 celulas.
Φα = 0p Φα = 8p
Φα = 32p Φα = 40p
Φα = 128p Φα = 136p
Φα = 160p Φα = 168p
Figura 4.1: Diagramas espaco-tempo para os oito automatos celulares elementares perten-centes a Classe I, durante dez instantes de tempo, a partir de uma mesma configuracaoinicial, para sistemas com n = 40 elementos e escolha de condicoes de fronteira periodicas.
Os diagramas espaco-tempo apresentados na figura anterior ilustram claramente a ca-
raterıstica comum a todas as dinamicas: escolhida aleatoriamente uma configuracao inicial
para o sistema, o seu estado final e um ponto fixo com as celulas apresentando um mesmo
estado, neste caso, o estado zero. No entanto, como veremos de seguida, nao e a existencia
deste ponto fixo que e importante.
140
Habitualmente, as configuracoes cujas celulas se apresentam todas num mesmo estado
dizem-se homogeneas. Como facilmente se reconhece, para os automatos celulares ele-
mentares existem duas configuracoes homogeneas, que passaremos a denotar por C0 e C1,
correspondentes a todas as celulas assumirem o estado zero e o estado um, respetivamente5.
Ora, quando consideramos condicoes de fronteira periodicas para o sistema, verifica-se que
a regra de transicao local para todas as celulas de C0 e C1 apresenta exatamente o mesmo
valor, φ(0, 0, 0) e φ(1, 1, 1), respetivamente. Deste modo, podemos concluir que a confi-
guracao que se segue a uma configuracao homogenea, qualquer que ela seja, e necessaria-
mente uma configuracao homogenea, sendo esta C0 ou C1, de acordo com os dıgitos d0 e
d7 da representacao de Wolfram da regra de transicao. De facto, facilmente se reconhece a
validade do seguinte resultado.
Lema 4.1 Seja Φp um automato celular elementar cuja regra de transicao tem representacao
de Wolfram N(φ) = (d7d6d5d4d3d2d1d0)2. Entao, temos que:
d0 = 0, d7 = 0 =⇒ Φp(C0) = C0 ∧ Φp(C1) = C0
d0 = 0, d7 = 1 =⇒ Φp(C0) = C0 ∧ Φp(C1) = C1
d0 = 1, d7 = 0 =⇒ Φp(C0) = C1 ∧ Φp(C1) = C0
d0 = 1, d7 = 1 =⇒ Φp(C0) = C1 ∧ Φp(C1) = C1
O resultado acima pode ser descrito da seguinte forma: se d0 = 0 e d7 = 0, entao C0 e um
ponto fixo do sistema e C1 esta na sua bacia de atracao; se d0 = 0 e d7 = 1, entao ambas
as configuracoes homogeneas sao pontos fixos do sistema; se d0 = 1 e d7 = 0, entao as
configuracoes C0 e C1 formam um ciclo limite de perıodo dois; por fim, se d0 = 1 e d7 = 1,
entao C1 e um ponto fixo do sistema e C0 esta na sua bacia de atracao. E importante fazer
notar que as dinamicas das configuracoes homogeneas acima enunciadas existem para todos
os automatos celulares elementares e nao apenas para aqueles pertencentes a Classe I. Aquilo
que vai distinguir as oito regras de transicao tabeladas como pertencentes a primeira das
classes de Wolfram e a forma como cresce a bacia de atracao do unico ponto fixo homogeneo,
ou as bacias dos dois pontos fixos homogeneos, ou a bacia do ciclo limite formado por
ambas as configuracoes homogeneas: se denotarmos por Bh o conjunto das configuracoes
do sistema cuja evolucao temporal passa por uma configuracao homogenea, por #Bh o
numero dessas configuracoes e por %Bh o tamanho relativo de #Bh, considerando o numero
total de configuracoes do sistema, podemos escrever que a caraterıstica comum as regras
5Para nao complicar a notacao, nao e habitual explicitar o numero de elementos da configuracao, devendotal numero ser evidente pelo contexto.
141
de transicao pertencentes a Classe I e que o tamanho relativo das configuracoes do sistema
que acabam por chegar a uma configuracao homogenea cresce para 1, com o numero de
elementos do sistema, isto e,
limn→∞
%Bh = 1.
Por curiosidade, apresentamos na tabela seguinte os valores de #Bh e %Bh, estes ultimos
dados em percentagem, para um automato celular pertencente a Classe I e para um outro
que nao pertence.
n #Bh(168p) %Bh(168p) #Bh(1p) %Bh(1p)
6 47 73.44 40 62.50
7 100 78.12 72 56.25
8 210 82.03 132 51.56
9 437 85.35 242 47.26
10 902 88.08 444 43.36
11 1 850 90.33 816 39.84
12 3 775 92.16 1 500 36.62
13 7 672 93.65 2 758 33.67
14 15 542 94.86 5 072 30.96
15 31 405 95.84 9 328 28.47
16 63 330 96.63 1 7156 26.18
17 127 502 97.28 31 554 24.07
18 256 367 97.80 58 036 22.14
19 514 940 98.22 106 744 20.36
20 1 033 450 98.56 196 332 18.72
21 2 072 677 98.83 361 110 17.22
22 4 154 702 99.06 664 184 15.84
23 8 324 507 99.24 1 221 624 14.56
24 16 673 007 99.38 2 246 916 13.39
Tabela 4.2: Valores de #Bh e %Bh, este ultimo em percentagem, para diferentes valores donumero de celulas do sistema, para o automato celular elementar Φα = 168p, pertencentea Classe I de Wolfram, e para o automato celular elementar Φα = 1p, que nao pertence.
E interessante perceber que, para o automato celular elementar Φα = 1p, a bacia de atracao
do ciclo limite formado por ambas as configuracoes homogeneas tambem cresce com n, so
que esse crescimento nao e suficiente, o que leva a que os valores para o tamanho relativo
da bacia de atracao %Bh se mostrem decrescentes com n, daı que Φα = 1p nao esteja
incluıdo na Classe I.
142
Como e possıvel verificar, para todos os oito automatos celulares elementares perten-
centes a Classe I de Wolfram uma ou ambas as configuracoes homogeneas sao pontos fixos.
Essa circunstancia levou a que, no artigo original de Wolfram, e mesmo durante algum tempo
mais6, esta primeira classe fosse referida como a dos automatos celulares cujas dinamicas, a
partir de uma configuracao aleatoriamente escolhida, tivessem como estado final um ponto
fixo homogeneo. So mais tarde foi possıvel encontrar um automato celular, ja nao elemen-
tar, mas ainda com condicoes de fronteira periodicas, cujo estado assintotico e, para quase
todas as configuracoes iniciais, o ciclo composto por ambas as configuracoes homogeneas.
4.1.2 Classe II
Consideremos as 65 regras pertencentes a Classe II, ver Tabela 4.1. Tal como anterior-
mente, vamos escolher uma mesma configuracao inicial, aleatoriamente escolhida, e calcu-
lar a evolucao temporal dos sistemas. Vejamos o que nos mostra cada um dos diagramas
espaco-temporais.
Φα = 1p Φα = 2p
Φα = 3p Φα = 4p
Figura 4.2: Diagramas espaco-tempo para as regras pertencentes a Classe II, para 20 ins-tantes de tempo, com escolha de condicoes de fronteira periodicas.
6Veja-se, por exemplo, o artigo de K. Sutner, Computational Classification of Cellular Automata, publicadoem 2012.
143
Φα = 5p Φα = 6p
Φα = 7p Φα = 9p
Φα = 10p Φα = 11p
Φα = 12p Φα = 13p
Figura 4.3: Diagramas espaco-tempo para as regras pertencentes a Classe II, para 20 ins-tantes de tempo, com escolha de condicoes de fronteira periodicas.
144
Φα = 14p Φα = 15p
Φα = 19p Φα = 23p
Φα = 24p Φα = 25p
Φα = 26p Φα = 27p
Φα = 28p Φα = 29p
Figura 4.4: Diagramas espaco-tempo para as regras pertencentes a Classe II, para 20 ins-tantes de tempo, com escolha de condicoes de fronteira periodicas.
145
Φα = 33p Φα = 34p
Φα = 35p Φα = 36p
Φα = 37p Φα = 38p
Φα = 42p Φα = 43p
Figura 4.5: Diagramas espaco-tempo para as regras pertencentes a Classe II, para 20 ins-tantes de tempo, com escolha de condicoes de fronteira periodicas.
146
Φα = 44p Φα = 46p
Φα = 50p Φα = 51p
Φα = 56p Φα = 57p
Φα = 58p Φα = 62p
Figura 4.6: Diagramas espaco-tempo para as regras pertencentes a Classe II, para 20 ins-tantes de tempo, com escolha de condicoes de fronteira periodicas.
147
Φα = 72p Φα = 73p
Φα = 74p Φα = 76p
Φα = 77p Φα = 78p
Φα = 94p Φα = 104p
Figura 4.7: Diagramas espaco-tempo para as regras pertencentes a Classe II, para 20 ins-tantes de tempo, com escolha de condicoes de fronteira periodicas.
148
Φα = 108p Φα = 130p
Φα = 132p Φα = 134p
Φα = 138p Φα = 140p
Φα = 142p Φα = 152p
Figura 4.8: Diagramas espaco-tempo para as regras pertencentes a Classe II, para 20 ins-tantes de tempo, com escolha de condicoes de fronteira periodicas.
149
Φα = 154p Φα = 156p
Φα = 162p Φα = 164p
Φα = 170p Φα = 172p
Φα = 178p Φα = 184p
Figura 4.9: Diagramas espaco-tempo para as regras pertencentes a Classe II, para 20 ins-tantes de tempo, com escolha de condicoes de fronteira periodicas.
150
Φα = 200p Φα = 204p
Φα = 232p
Figura 4.10: Diagramas espaco-tempo para as regras pertencentes a Classe II, para 20instantes de tempo, com escolha de condicoes de fronteira periodicas. (cont.)
Olhando para os diagramas espaco-tempo caraterısticos das regras pertencentes a esta
classe, constata-se que existem dois tipos bem distintos de dinamicas: aquelas cujos ci-
clos limite tem perıodos diretamente relacionados com o numero de elementos do sistema,
quando os diagramas mostram um deslocamento, para a esquerda ou para a direita, de uma
certa configuracao ou conjunto de configuracoes, e as restantes, onde nao existe qualquer
deslocamento, sendo entao o perıodo dos seus ciclos limite bastante pequeno. Em qualquer
dos casos, as dinamicas exibem uma ordem muito significativa.
4.1.3 Classe III
Para visualizar, em diagramas espaco-tempo, as caraterısticas principais das dinamicas
exibidas pelos automatos celulares elementares pertencentes a Classe III, e preferıvel escolher
sistemas com um numero de celulas superior ao anteriormente considerado. De seguida,
vamos considerar sistemas com n = 80 elementos e apresentar diagramas espaco-tempo da
evolucao a partir de uma configuracao inicial aleatoriamente escolhida, para 250 instantes
de tempo.
151
Φα = 18p Φα = 22p
Figura 4.11: Diagramas espaco-tempo para as regras pertencentes a Classe III, para 250instantes de tempo, escolhendo condicoes de fronteira periodicas.
152
Φα = 30p Φα = 45p
Figura 4.12: Diagramas espaco-tempo para as regras pertencentes a classe III, para 250instantes de tempo, escolhendo condicoes de fronteira periodicas. (cont)
153
Φα = 60p Φα = 90p
Figura 4.13: Diagramas espaco-tempo para as regras pertencentes a Classe III, para 250instantes de tempo, escolhendo condicoes de fronteira periodicas. (cont.)
154
Φα = 105p Φα = 122p
Figura 4.14: Diagramas espaco-tempo para as regras pertencentes a Classe III, para 250instantes de tempo, escolhendo condicoes de fronteira periodicas. (cont.)
155
Φα = 126p Φα = 146p
Figura 4.15: Diagramas espaco-tempo para as regras pertencentes a Classe III, para 250instantes de tempo, escolhendo condicoes de fronteira periodicas. (cont.)
156
Φα = 150p
Figura 4.16: Diagramas espaco-tempo para as regras pertencentes a Classe III, para 250instantes de tempo, escolhendo condicoes de fronteira periodicas. (cont.)
157
A partir dos diagramas espaco-tempo apresentados, facilmente se conclui ser a desordem a
caraterıstica fundamental comum a estes 11 automatos celulares. Ao inves das dinamicas
das duas classes anteriores, torna-se difıcil identificar qualquer ciclo, ou mesmo qualquer
tendencia para o sistema se organizar7. Muito pelo contrario, parece evidente que os sistemas
rapidamente atingem um certo regime desordenado, mantendo-o de uma forma consistente,
isto e, com as mesmas caraterısticas, durante os 250 instantes de tempo.
4.1.4 Classe IV
Esta e a classe onde Wolfram agrupou os automatos celulares elementares cujas dinamicas
nao se enquadravam naquilo que era conhecido no contexto da iteracao de funcoes no in-
tervalo. Basta efetuar algumas simulacoes para perceber que este tipo de dinamica e uma
propriedade emergente, quando se consideram valores crescentes para o seu numero de
elementos. Por outras palavras, a complexidade exibida por estes sistemas so e patente
quando consideramos um numero elevado de elementos. De certa forma, podemos dizer
que se trata de um tipo de dinamica exclusiva de sistemas com um grande numero de
elementos em interacao.
Os diagramas espaco-tempo que vamos apresentar de seguida foram novamente obtidos
para sistemas com n = 80 celulas, durante 250 instantes de tempo. Pensamos que estes
valores sao ja suficientes para termos uma ideia das caraterısticas principais deste tipo de
dinamica.
7Nos diagramas espaco-tempo apresentados, devido ao numero de celulas do sistema nao ser muitogrande, e possıvel identificar que para os automatos celulares 90p,105p e 150p o sistema ainda consegueatingir o ciclo final.
158
Φα = 41p Φα = 54p
Figura 4.17: Diagramas espaco-tempo para as regras pertencentes a Classe IV, para 250instantes de tempo, escolhendo condicoes de fronteira periodicas.
159
Φα = 106p Φα = 110p
Figura 4.18: Diagramas espaco-tempo para as regras pertencentes a Classe IV, para 250instantes de tempo, escolhendo condicoes de fronteira periodicas. (cont.)
160
A partir dos quatro diagramas apresentados, e possıvel estabelecer que os automatos perten-
centes a esta Classe IV exibem dinamicas caraterizadas por estruturas localmente complexas,
evoluindo com um elevado grau de imprevisibilidade, ora propagando-se e perdurando por
perıodos longos de tempo, ora gerando ou destruindo outras estruturas, num fundo muito
ordenado. De facto, sendo verdade que, globalmente, estas dinamicas nao apresentam qual-
quer regularidade, e evidente que, por alguns instantes de tempo, e para certas regioes do
sistema, e possıvel encontrar padroes proprios da Classe II.
4.1.5 Outras caraterizacoes da classificacao de Wolfram
As caraterısticas atras apresentadas para cada uma das classes da classificacao de Wol-
fram refletem o modo como se procurou analisar os diferentes comportamentos de automatos
celulares elementares, com condicoes de fronteira periodicas. Posteriormente, foram feitos
outros estudos que confirmaram a existencia de quatro classes, identificando outras cara-
terısticas para cada classe. De seguida vamos apresentar algumas dessas outras carate-
rizacoes das quatro classes de Wolfram.
Em 1986, Kunihiko Kaneko estudou as dinamicas dos automatos celulares elementares
finitos, com condicoes de fronteira periodicas, determinando o modo como o numero de
atratores e os respetivos perıodos variavam com n, o numero de elementos do sistema. Os
resultados obtidos levaram-no a propor a seguinte caraterizacao das classes de Wolfram:
• os automatos celulares pertencentes a Classe I tem um numero pequeno de atratores,
sempre de pequeno perıodo, mesmo para valores elevados de n;
• os automatos celulares pertencentes a Classe II tem um numero grande de atratores,
mas sempre de pequeno perıodo; o numero de atratores cresce exponencialmente com
n, i.e., exp(αn), com α tipicamente entre 0.2 e 0.4;
• os automatos celulares pertencentes a Classe III tem um numero pequeno de atratores,
de perıodos muito longos; o numero de atratores nao parece variar de uma forma
regular com n e, pelo menos para certas regras, parece depender de caraterısticas do
numero n; por exemplo, e possıvel mostrar que a regra 90 tem um unico atrator, a
configuracao homogenea C0, quando n = 2k, para k um inteiro positivo;
• os automatos celulares pertencentes a Classe IV tem um numero grande de atratores,
muito possivelmente com perıodos grandes; embora de forma nao muito regular, o
161
crescimento do numero de atratores com n aparenta ser igualmente de tipo exponen-
cial, tal como na Classe II.
Pelos argumentos expostos anteriormente, no Capıtulo 2, aquando da apresentacao dos dia-
gramas de Wuensche, facilmente se percebe a debilidade desta caraterizacao das dinamicas:
parte-se do princıpio que a variacao do numero de atratores e seus perıodos, observada para
valores muito pequenos de n, e generalizavel para valores muito superiores do numero de
elementos do sistema. Recordemos que conhecer com todo o detalhe a dinamica de um
sistema com apenas n = 100 celulas implica o conhecimento da dinamica de
1 267 650 600 228 229 401 496 703 205 376
configuracoes do sistema. Para regras de transicao nao triviais, esse estudo revela-se com-
putacionalmente muito difıcil.
Uma outra abordagem, nos antıpodas desta, passa pelo estudo da dinamica, nao de
todo o sistema, mas de um seu elemento, arbitrariamente escolhido8. A questao que se
coloca entao e a de saber se sera possıvel caraterizar as diferentes dinamicas classificadas
por Wolfram a partir da sequencia de estados, zeros e uns, que um elemento do sistema
sente com o passar do tempo. Olhando para os diagramas espaco-tempo apresentados para
os diferentes automatos celulares, pensamos ser possıvel uma descricao desse tipo.
Dado um sistema com um numero suficientemente grande de elementos, consideremos a
sequencia de estados de um desses elementos, para um intervalo de tempo suficientemente
grande, logo apos um numero suficientemente grande de instantes de tempo9.
• estaremos perante um automato celular pertencente a Classe I se a sequencia de
estados e constante, sendo igual para qualquer escolha de elementos do sistema;
• estaremos perante um automato celular pertencente a Classe II se a sequencia de es-
tados e constante ou periodica, sendo que no primeiro caso nao e igual para diferentes
escolhas para o elemento do sistema;
• estaremos perante um automato celular pertencente a Classe III se a sequencia de
estados nao e periodica;
8Este tipo de estudo difere de forma substancial do anterior, na medida em que aquele e feito por alguemde fora do sistema, acima do sistema, que, em todo o instante, consegue abarcar a totalidade dos estadosdos seus elementos, enquanto este se baseia na descricao de dentro do sistema, de alguem que regista, emcada instante, o estado em que se encontra.
9As indefinicoes sao inevitaveis, uma vez que estes dois parametros dependem do numero de elementosdo sistema.
162
• estaremos perante um automato celular pertencente a Classe IV se a sequencia de
estados e periodica durante certos intervalos de tempo, sendo esse regime interrompido
de forma nao regular.
Esta caraterizacao das dinamicas pertencentes as quatro classes definidas por Wolfram tem
um ponto fraco logo no inıcio, quando, para distinguir as primeiras duas classes, se exige
que se alargue o estudo a outros elementos do sistema, caso a sequencia de estados seja
constante, ficando sempre em aberto se o numero de elementos escolhidos foi suficiente para
declarar uma dinamica como sendo de Classe I. Por outro lado, uma sequencia de estados
pode-se revelar como nao periodica, ainda que para um automato celular pertencente a
Classe II, caso nao se tenha esperado o tempo necessario para deixar o sistema entrar
no regime regular que carateriza essas dinamicas. Por outras palavras, podera ser difıcil
perceber se estamos perante uma sequencia de estados reveladora de um automato celular
pertencente a Classe III, ou se tal acontece porque nao esperamos o tempo necessario para
que o sistema alcancasse o regime periodico que lhe e natural.
4.2 Uma outra classificacao
A classificacao de Wolfram das dinamicas exibidas por automatos celulares elementares
tem em si duas afirmacoes muito distintas: a primeira diz-nos que todas as dinamicas de
automatos celulares elementares podem ser catalogadas em apenas quatro tipos, facilmente
caraterizaveis; segundo, que as dinamicas tıpicas, isto e, provaveis perante uma escolha
aleatoria de uma configuracao inicial, de um automato celular, pertencem unicamente a um
desses tipos. Estes sao, na nossa opiniao, os pilares que sustentam a proposta de Wolfram
para as dinamicas exibidas por automatos celulares elementares.
Se atentarmos nos diagramas espaco-tempo, mostrados no Capıtulo 3, para cada uma
das escolhas de condicoes de fronteira, facilmente se conclui ser impossıvel generalizar a
classificacao de Wolfram para automatos celulares elementares finitos, qualquer que seja a
escolha de condicoes de fronteira. De facto, e evidente que muitos dos automatos celulares
pertencentes a Classe II, quando escolhidas condicoes de fronteira periodicas, mostram uma
configuracao homogenea, ponto fixo, como estado final da sua dinamica perante outras
escolhas: sao os casos das regras de transicao Nφ = 2, Nφ = 6, Nφ = 10, Nφ = 14,
Nφ = 24, Nφ = 34, Nφ = 38, Nφ = 42, Nφ = 46, Nφ = 56, Nφ = 130, Nφ = 134,
Nφ = 138, Nφ = 142, Nφ = 152, Nφ = 162, Nφ = 170 e Nφ = 184. Outras, como as
163
regras de transicao Nφ = 3, Nφ = 11, Nφ = 15, Nφ = 27 e Nφ = 43, tem como estado
final da sua dinamina um ciclo constituıdo por ambas as configuracoes homogeneas, quando
escolhidas outras condicoes de fronteira. Reciprocamente, existe uma regra de transicao,
Nφ = 40, pertencente a Classe I, quando escolhidas condicoes de fronteira periodicas, que
nao tem ja necessariamente um estado homogeneo como estado final, quando escolhidas
outras condicoes de fronteira. Como e obvio, isto nao significa que outras regras de transicao
pertencentes as Classe I e Classe II, para condicoes de fronteira periodicas, nao mostrem
outro tipo de dinamica perante uma escolha diferente de condicoes de fronteira. Estas sao
apenas as situacoes que e possıvel identificar a partir dos diagramas apresentados.
Valorizando a possibilidade de classificar as dinamicas que um automato celular elemen-
tar finito, qualquer que seja a escolha para as condicoes de fronteira10, pensamos ser valido
propor uma classificacao alternativa a introduzida por Wolfram. Assim sendo, propomos
que sejam consideradas tres classes, a Classe I & II, a Classe III e a Classe IV, descritas da
seguinte forma: para um sistema com um numero suficientemente grande de elementos e
considerando um intervalo de tempo suficientemente grande, logo apos um numero suficien-
temente grande de instantes de tempo, a partir de uma configuracao inicial aleatoriamente
escolhida, temos que:
• estaremos perante um automato celular pertencente a Classe I & II se a sequencia de
estados de um elemento arbitrario do sistema e constante ou periodica;
• estaremos perante um automato celular pertencente a Classe III se a sequencia de
estados de um elemento arbitrario nao e periodica;
• estaremos perante um automato celular pertencente a Classe IV se a sequencia de
estados de um elemento arbitrario e periodica durante certos intervalos de tempo,
sendo esse regime interrompido de forma nao regular.
Como facilmente se percebe, esta caraterizacao das tres classes agora propostas consegue
resolver o primeiro dos problemas anteriormente identificados, ficando, no entanto, ainda
por resolver a segunda das dificuldades.
Devera ser obvio agora, que a forma como, no Capıtulo 3, olhamos para os diagramas
espaco-tempo, tinha ja em mente esta nova classificacao. De facto, quando na altura dis-
semos que existiam apenas cinco regras de transicao cujas dinamicas exibiam caraterısticas
10Relativamente ao conjunto de condicoes consideradas neste trabalho.
164
muito diferentes, perante escolhas diferentes para as condicoes de fronteira, estavamos a
distinguir apenas tres tipos de dinamicas: ordenadas, caoticas, ou complexas, a que corres-
pondem as classes atras descritas. Dessa forma, podemos concluir que dos 88 conjuntos
de automatos celulares, apenas cinco nao sao passıveis de serem enquadrados na nossa
classificacao. Eis de seguida, a tabela da distribuicao dos conjuntos de automatos celulares
elementares finitos pelas tres classes.
Classe I & II
0 1 2 3 4 5 6 7
8 9 10 11 12 13 14 15
19 23 24 25 27 28 29 32
33 34 35 36 37 38 40 42
43 44 46 50 51 56 57 58
62 72 73 74 76 77 78 94
104 108 128 130 132 134 136 138
140 142 152 156 160 162 164 168
170 172 178 184 200 204 232
Classe III
18 22 60 90 105 122 126 146
150
Classe IV
41 54 110
Tabela 4.3: Classificacao de 83 conjuntos de automatos celulares elementares.
Como se ve facilmente, esta nossa proposta para distinguir conjuntos de automatos celulares
elementares finitos tem um serio problema: embora poucos, existem conjuntos de automatos
celulares relativamente aos quais nao e possıvel decidir a que classe pertencem. Como vimos,
no Capıtulo 3, os diagramas espaco-tempo mostram claramente que estamos perante regras
de transicao que se revelam extremamente sensıveis a escolha das condicoes de fronteira,
no sentido em que as dinamicas exibidas pelos automatos celulares sao completamente
diferentes. Contudo, para perceber se estas excecoes devem ser integradas em classes a
165
definir, pensamos ser necessario sair do contexto dos automatos celulares elementares, quer
considerando um maior numero de vizinhos, quer mesmo estudando automatos celulares
bidimensionais. Um pouco a margem do objetivo deste trabalho, avaliar da possibilidade
de classificar os automatos celulares elementares finitos, nao importando a escolha para as
condicoes de fronteira, pareceu-nos importante estudar com mais algum detalhe duas das
regras de transicao que levaram a dinamicas completamente distintas como consequencia
de diferentes escolhas para as condicoes de fronteira do sistema.
4.3 Os automatos celulares 2600, 2610, 15400 e 15410
No final do Capıtulo 3, quando apresentamos as cinco excecoes a ideia que conjuntos de
automatos celulares elementares finitos exibiam dinamicas do mesmo tipo, fizemos algumas
consideracoes sobre o carater extraordinario de duas dessas excecoes. Nesta ultima seccao,
iremos desenvolver um pouco mais a analise anterior, estudando os automatos celulares
2600, 2610, 15400 e 15410.
Desde o inıcio, existiram poucas duvidas relativamente a classificacao dos automatos
celulares elementares finitos, com condicoes de fronteira periodicas, com dinamica descrita
pelas regras de transicao Nφ = 26 e Nφ = 154: em ambos os casos, estamos inequivo-
camente perante automatos celulares pertencentes a Classe II de Wolfram. Na realidade,
estamos perante dinamicas que fazem deslocar padroes de configuracoes ao longo do sis-
tema, pelo que o perıodo do ciclo final e, para a maioria das configuracoes iniciais escolhidas,
multiplo do numero de elementos do sistema. Quanto ao transiente, isto e, ao numero de
instantes que o sistema demora a atingir o atrator, este revela valores extremamente baixos,
como e caraterıstico das dinamicas pertencentes a esta classe.
Consideremos o automato celular 2600, composto por n = 200 elementos11. A partir
de uma configuracao inicial aleatoriamente escolhida, vamos representar em tres diagramas
espaco-tempo a dinamica exibida pelo sistema nos 900 primeiros instantes de tempo.
11Este parece ser o valor mais elevado de n que ainda permite apreciar diagramas espaco-tempo. Deseguida, iremos tentar caraterizar a dinamica de sistemas com um numero muito superior de elementos, masja nao a partir de diagramas espaco-tempo.
166
Figura 4.19: Diagrama espaco-tempo para o automato celular 2600, para 900 instantes detempo, a partir de uma configuracao inicial aleatoriamente escolhida. (parte 1/3)
167
Figura 4.20: Diagrama espaco-tempo para o automato celular 2600, para 900 instantes detempo, a partir de uma configuracao inicial aleatoriamente escolhida. (parte 2/3)
168
Figura 4.21: Diagrama espaco-tempo para o automato celular 2600, para 900 instantes detempo, a partir de uma configuracao inicial aleatoriamente escolhida. (parte 3/3)
169
Olhando para o primeiro destes diagramas espaco-tempo, e visıvel que a dinamica cara-
terıstica deste sistema vai ser construıda a partir da sua fronteira direita. De facto, nos
primeiros instantes, aproximadamente igual ao numero de celulas do sistema, vemos o sis-
tema evoluir, a partir da sua fronteira direita, para um regime inteiramente caraterizado
por padroes triangulares. Aquilo que se observa, depois de alcancado esse regime, e algo
que podemos ainda adjetivar como simples, muito embora seja visıvel que por vezes o sis-
tema exiba um conjunto menos simples de padroes triangulares mais pequenos; veja-se, por
exemplo, a regiao do diagrama espaco-tempo por volta do instante 500.
A nossa intencao, ao mostrar diagramas espaco-tempo para um numero tao elevado
de instantes sucessivos, e sobretudo para evidenciar a existencia de uma complexificacao
crescente da dinamica. Por outras palavras, pensamos ser evidente que, no terceiro dos
diagramas, a regiao correspondente a dinamica entre os instantes 601 e 900 e um pouco
mais complexa que aquela que e possıvel observar antes. Aceitando essa complexificacao da
dinamica, a questao se coloca e a de saber quais as caraterısticas da dinamica para a qual o
sistema evolui. Para tentar responder a essa questao, vamos apresentar, de seguida, um di-
agrama espaco-tempo correspondente a 300 instantes, 64 300 instantes apos a configuracao
inicial.
170
Figura 4.22: Diagrama espaco-tempo para o automato celular 2600, para 300 instantes detempo, 64 300 instantes de tempo apos a configuracao inicial.
171
Olhando para este diagrama espaco-tempo, sao evidentes as semelhancas com alguns dos
diagramas espaco-tempo correspondentes a automatos celulares elementares, com condicoes
de fronteira periodicas, classificados como pertencentes a Classe III de Wolfram; veja-se, por
exemplo, ambos os diagramas da Figura 4.15. Assim sendo, tudo indicaria que o sistema
estivesse a evoluir, de forma progressiva, para uma dinamica com as caraterısticas daquelas
ja classificadas numa das classes de Wolfram. Muito embora essa conclusao fosse ja muito
interessante, a simples mudanca de condicoes de fronteira ter levado um automato a mudar
da classe correspondente a dinamicas simples, para aquela onde se encontram as dinamicas
mais complicadas, o nosso estudo do automato celular elementar 2600 havia ainda de revelar
uma muito maior surpresa.
Ainda para um sistema composto por n = 200 celulas, cuja evolucao temporal e deter-
minada pela regra de transicao Nφ = 26, escolhidas condicoes de fronteira fixas 00, vejamos
o que se passa logo a seguir ao instante onde terminou o diagrama espaco-tempo anterior,
isto e, observemos, nos seis proximos diagramas, a representacao grafica da dinamica do
sistema durante 1 800 instantes de tempo, 64 600 instantes apos a configuracao inicial.
172
Figura 4.23: Diagrama espaco-tempo para o automato celular 2600, para 1 800 instantes detempo, 64 600 instantes de tempo apos a configuracao inicial. (parte 1/6)
173
Figura 4.24: Diagrama espaco-tempo para o automato celular 2600, para 1 800 instantes detempo, 64 600 instantes de tempo apos a configuracao inicial. (parte 2/6)
174
Figura 4.25: Diagrama espaco-tempo para o automato celular 2600, para 1 800 instantes detempo, 64 600 instantes de tempo apos a configuracao inicial. (parte 3/6)
175
Figura 4.26: Diagrama espaco-tempo para o automato celular 2600, para 1 800 instantes detempo, 64 600 instantes de tempo apos a configuracao inicial. (parte 4/6)
176
Figura 4.27: Diagrama espaco-tempo para o automato celular 2600, para 1 800 instantes detempo, 64 600 instantes de tempo apos a configuracao inicial. (parte 5/6)
177
Figura 4.28: Diagrama espaco-tempo para o automato celular 2600, para 1 800 instantes detempo, 64 600 instantes de tempo apos a configuracao inicial. (parte 6/6)
178
Dos seis diagramas espaco-tempo apresentados, os tres primeiros pretendem apenas re-
forcar a ideia anterior, que, nesta altura, o sistema evolui num regime em tudo identico as
dinamicas pertencentes a Classe III. De facto, a grande surpresa surge apenas no quarto
dos diagramas, quando, de forma absolutamente inesperada, e possıvel ver que o sistema
vai sofrer uma mudanca extraordinariamente radical: nesse instante, quase todos os ele-
mentos do sistema assumem um mesmo estado, ou seja, o sistema vai, num determinado
instante, exibir uma simplicidade e ordem quase completas, quando apenas cinco, das du-
zentas, celulas nao assumem o estado zero. Aquilo que se passa apos esse instante e em tudo
analogo ao que tınhamos observado no inıcio quando, apos alguns instantes, o sistema mos-
trou padroes triangulares com alguma ordem. Os dois diagramas seguintes mostram entao
aquela tendencia gradual para a complexidade, anteriormente identificada. Visto isto, qual
sera a melhor forma de descrever o comportamento exibido pelo automato celular elementar
2600?
Tal como a dinamica dos automatos celulares elementares, com condicoes de fronteira
periodicas, classificados por Wolfram na Classe IV, tambem aqui estamos perante compor-
tamentos que mostram elementos de dois tipos de dinamicas: observando os diagramas
espaco-tempo apresentados, nao restam duvidas que a evolucao temporal do sistema passa
por regimes ordenados e desordenados. Assim sendo, tudo indicaria que estarıamos perante
um automato celular classificavel como pertencente a Classe IV. Contudo, essa seria uma
decisao bastante precipitada, senao vejamos.
Uma dinamica pertencente a Classe IV e caraterizada por mostrar partes do sistema, a
grande maioria, num regime ordenado, estando a desordem confinada a pequenas regioes
do sistema. Aquilo que acontece e que, com o passar do tempo, as regioes com desordem
vao movimentar-se e, eventualmente, levar quase todos os elementos do sistema a passar
por esse regime. Ora, aquilo que os diagramas espaco-tempo anteriores nos revela e uma
dinamica completamente diferente: todo o sistema esta tipicamente num regime desorde-
nado, passando, em determinados instantes, por uma modificacao radical, muito semelhante
a uma mudanca de fase, do seu estado, enquanto sistema. Por isso, achamos estarmos pe-
rante um comportamento que, tal como as dinamicas pertencentes a Classe IV, tambem
nao pertencente a nenhuma das Classe II ou Classe III, mas que nao se pode dizer que seja
semelhante a qualquer das dinamicas pertencentes a Classe IV. Para acentuar esse aspeto,
vamos estudar a evolucao temporal do numero de celulas do sistema num determinado
estado, por exemplo, no estado um.
179
Para sistemas com n = 6 000 elementos, consideremos a sua evolucao temporal a partir
de uma configuracao inicial aleatoriamente escolhida. As figuras seguintes mostram-nos,
para diferentes automatos celulares elementares, como varia o numero relativo de celulas do
sistema que se encontra no estado um, ou seja, a densidade de celulas do sistema que, em
cada instante, assume o estado um.
Φα = 90p
0 50 100 150 200 250 300
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Figura 4.29: Variacao da densidade de celulas no estado 1, para o automato celular Φα,com n = 6 000 elementos, para 300 instantes, 12 000 instantes apos a configuracao inicial.
Como sabemos, este automato celular pertence a Classe III de Wolfram, sendo visıvel que,
em virtude de toda a desordem que carateriza a sua dinamica, o numero de celulas no
estado um varia pouco em redor de um determinado valor, neste caso 0.5. Vejamos agora
que evolucao temporal se observa para uma dinamica pertencente a Classe II de Wolfram.
Φα = 1p
0 50 100 150 200 250 300
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Figura 4.30: Variacao da densidade de celulas no estado 1, para o automato celular Φα,com n = 6 000 elementos, para 300 instantes, 12 000 instantes apos a configuracao inicial.
Neste caso, estamos perante uma dinamica que percorre um ciclo de perıodo 2, pelo que o
grafico mostra uma variacao entre os dois valores do numero de celulas no estado um em
180
cada uma das configuracoes. Por fim, atentemos no grafico que se obtem quando se estuda
uma dinamica pertencente a Classe IV.
Φα = 54p
0 50 100 150 200 250 300
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Figura 4.31: Variacao da densidade de celulas no estado 1, para o automato celular Φα,com n = 6 000 elementos, para 300 instantes, 12 000 instantes apos a configuracao inicial.
E muito curioso observar que, neste caso, vemos os valores da densidade de celulas do
sistema no estado um quase a oscilar entre certos (quatro) valores, sendo as perturbacoes
a essa variacao periodica devidas as pequenas regioes de desordem do sistema. Vejamos
agora, nas mesmas circunstancias, o que se obtem para o automato celular Φα = 2600.
Φα = 2600
0 50 100 150 200 250 300
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Figura 4.32: Variacao da densidade de celulas no estado 1, para o automato celular Φα,com n = 6 000 elementos, para 300 instantes, 12 000 instantes apos a configuracao inicial.
Antes mesmo de analisar o grafico, e inevitavel a comparacao com os tres anteriores: tudo
indica estarmos perante uma dinamica completamente distinta de qualquer uma das outras,
cada uma delas pertencente a uma das classes de Wolfram.
181
A variacao, ao longo tempo, do numero relativo de celulas do sistema no estado um vem
reforcar as caraterısticas deste tipo de dinamica anteriormente descritas: estamos perante
uma dinamica complexa, daı a irregularidade, com grandes perıodos onde essa complexidade
tem uma tendencia para crescer, quebrada por subitas transicoes para configuracoes com
grandes regioes de celulas no estado zero, chegando mesmo, em certos instantes, a passar por
configuracoes muito proximas da configuracao homogenea nula, com valores da densidade
muito proximos de zero.
Consideremos um sistema composto por n = 6 000 elementos, cuja dinamica e deter-
minada pela regra de transicao Nφ = 154, escolhidas condicoes de fronteira fixas nulas, a
partir de uma configuracao inicial escolhida aleatoriamente. Vejamos o que se obtem quando
estudamos a variacao do numero relativo de celulas do sistema no estado um, muito tempo
apos o inıcio do processo.
Φα = 15400
0 50 100 150 200 250 300
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Figura 4.33: Variacao da densidade de celulas no estado 1, para o automato celular Φα,com n = 6 000 elementos, para 300 instantes, 12 000 instantes apos a configuracao inicial.
Comparando os dois ultimos graficos, parece-nos razoavel concluir aquilo que os diagramas
espaco-tempo apresentados nas Figura 3.23 e Figura 3.76, obtidos para sistemas com um
numero muito inferior de celulas, ja tinham sugerido: estamos perante automatos celulares
com dinamicas de caraterısticas muito semelhantes. Por fim, vejamos o que acontece quando
repetimos todo este estudo para os automatos celulares 2610 e 15410.
Olhemos de novo os diagramas espaco-tempo das Figura 3.23 e Figura 3.76: escolhidas
condicoes de fronteira fixas 10, tudo indica estarmos, em ambos os casos, perante dinamicas
com as caraterısticas exibidas pelos automatos celulares 2600 e 15400. Vejamos entao o
que nos revela o estudo da variacao do numero relativo de celulas do sistema no estado um,
182
quando consideramos sistemas com um numero muito superior de elementos.
Φα = 2610
0 50 100 150 200 250 300
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Φα = 15410
0 50 100 150 200 250 300
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Figura 4.34: Variacao da densidade de celulas no estado 1, para o automato celular Φα,com n = 6 000 elementos, para 300 instantes, 12 000 instantes apos a configuracao inicial.
Os resultados sao surpreendentes: nao so porque sao completamente distintos dos observa-
dos para os automatos celulares 2600 e 15400, mas tambem porque nos mostram variacoes
semelhantes as obtidas para dinamicas classificadas como de Classe III de Wolfram. Como
e obvio, estes resultados levaram-nos a procurar mais detalhes destas dinamicas, a partir da
sua representacao grafica.
Consideremos o automato celular 2610, composto por n = 200 elementos. A partir
de uma configuracao inicial aleatoriamente escolhida, vamos apresentar em tres diagramas
espaco-tempo a dinamica exibida pelo sistema em 900 instantes, 12 000 instantes apos a
configuracao inicial.
183
Figura 4.35: Diagrama espaco-tempo para o automato celular 2610, para 900 instantes detempo, 12 000 instantes de tempo apos a configuracao inicial. (parte 1/3)
184
Figura 4.36: Diagrama espaco-tempo para o automato celular 2610, para 900 instantes detempo, 12 000 instantes de tempo apos a configuracao inicial. (parte 2/3)
185
Figura 4.37: Diagrama espaco-tempo para o automato celular 2610, para 900 instantes detempo, 12 000 instantes de tempo apos a configuracao inicial. (parte 3/3)
186
Como e obvio, os tres diagramas anteriores sao apenas um exemplo da dinamica deste tipo
de sistema. Contudo, todos os casos por nos estudados, quer muito mais tempo apos a
configuracao inicial, quer durante um numero muito superior de instantes, revelam uma
dinamica com caraterısticas analogas as exibidas nestes diagramas. Podemos assim concluir
que a dinamica exibida pelo automato celular 2610 deve ser classificada como pertencendo
a Classe III de Wolfram.
Para termos uma visao de conjunto, vamos de seguida mostrar os graficos da variacao
do numero relativo de celulas no estado um, para sistemas com n = 6 000 elementos,
cuja evolucao temporal e determinada pela regra de transicao Nφ = 26, escolhidas as seis
diferentes condicoes de fronteira por nos consideradas.
Φα = 26p
0 50 100 150 200
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Φα = 26r
0 50 100 150 200
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Figura 4.38: Variacao da densidade de celulas no estado 1, para o automato celular Φα,com n = 6 000 elementos, para 200 instantes, 12 000 instantes apos a configuracao inicial.
187
Φα = 2600
0 50 100 150 200
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Φα = 2601
0 50 100 150 200
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Φα = 2610
0 50 100 150 200
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Figura 4.39: Variacao da densidade de celulas no estado 1, para o automato celular Φα,com n = 6 000 elementos, para 200 instantes, 12 000 instantes apos a configuracao inicial.(cont.)
188
Φα = 2611
0 50 100 150 200
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Figura 4.40: Variacao da densidade de celulas no estado 1, para o automato celular Φα,com n = 6 000 elementos, para 200 instantes, 12 000 instantes apos a configuracao inicial.(cont.)
Os graficos obtidos para os automatos 2601 e 2611 correspondem a ciclos finais cujas
configuracoes tem valores muito proximos para o numero relativo de celulas do sistema no
estado um, variacao essa que nao e percetıvel.
Concluindo, e possıvel observar tres tipos de dinamicas assintoticas completamente dis-
tintas para a regra de transicao Nφ = 26: ordenadas, com ciclos de perıodo muito pequeno,
quando escolhemos condicoes de fronteira periodicas, reflexivas, fixas 01 e fixas 11; desor-
denadas, quando escolhemos condicoes de fronteira fixas 10 e, finalmente, complexas, mas
com caraterısticas distintas das classificadas na Classe IV de Wolfram, quando escolhemos
condicoes de fronteira fixas 00.
De seguida, vamos apresentar os resultados obtidos quando foi feito o mesmo tipo de
estudo para os tres automatos celulares elementares 154p, 15400 e 15410, uma vez que
os restantes mostram dinamicas triviais, com dinamicas assintoticas iguais a configuracao
homogenea C1 ou a configuracao com todas as celulas no estado um, exceto a da esquerda,
ver Figura 3.76.
189
Φα = 154p
0 50 100 150 200
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Φα = 15400
0 50 100 150 200
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Φα = 15410
0 50 100 150 200
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Figura 4.41: Variacao da densidade de celulas no estado 1, para o automato celular Φα,com n = 6 000 elementos, para 200 instantes, 12 000 instantes apos a configuracao inicial.
190
Como podemos observar, tambem a regra de transicao Nφ = 154 permite comportamen-
tos muito diferentes para um sistema, consoante a escolha de condicoes de fronteira. Na
realidade, podemos ate dizer que, neste caso, ate dinamicas tıpicas da Classe I de Wolfram
podem ser exibidas, por escolha adequada das condicoes de fronteira. Sem qualquer duvida,
estamos perante duas regras de transicao de uma complexidade nunca suspeitada.
191
Capıtulo 5
Conclusoes
Pensar os automatos celulares como modelos de evolucao temporal de redes de elementos
em interacao implica ve-los como sistemas finitos. Ora, essa constatacao levanta, desde logo,
dois problemas: o primeiro surge pela necessidade de escolher condicoes de fronteira para
os sistemas e o segundo pela dificuldade em estabelecer resultados sobre as dinamicas de
um automato celular que sejam independentes do numero de elementos escolhidos.
Relativamente a este ultimo, podemos dizer que, hoje em dia, se aceita que as cara-
terısticas dinamicas que um automato celular exibe para valores suficientemente grandes do
numero de elementos sao generalizaveis para qualquer outro, por muito maior que seja esse
numero. No entanto, nao deixa de ser curioso que se aceite esta generalizacao, quando
se sabe, desde os primeiros trabalhos de Wolfram, que podem existir excecoes, ou seja,
que sistemas com um determinado numero de elementos podem exibir dinamicas muito
diferentes.
Neste trabalho apresentamos uma analise das equivalencias dinamicas entre automatos
celulares elementares finitos relativamente a tres tipos de condicoes de fronteira: periodicas,
reflexivas e fixas. Com base nesse estudo, conclui-se que existem 6×88 automatos celulares
elementares dinamicamente nao equivalentes. Analisando as dinamicas apresentadas por
cada regra de transicao, para todas as seis condicoes de fronteira consideradas, e colocado
em evidencia que e possıvel classifica-las, caso nao se distinga entre dinamicas com com-
portamento simples, isto e, caso se considere apenas tres classes. Para nao nos afastarmos
muito da proposta de Wolfram, designamos as tres classes por Classe I & II, Classe III
e Classe IV, correspondentes, respetivamente, a comportamentos simples, comportamentos
desordenados e comportamentos complexos. Contudo, nem todas as regras de transicao sao
passıveis de classificacao. Por outras palavras, cinco regras de transicao exibem dinamicas
192
com caraterısticas muito distintas, dependendo da escolha das condicoes de fronteira para
o sistema. Apesar destas excecoes, pensamos que o estudo de outra famılia de regras
de transicao podera ajudar a decidir se e valido este proposito de classificar as regras de
transicao.
No estudo das regras de transicao que nao sao classificaveis, encontramos duas que
mostraram dinamicas extremamente interessantes. Primeiro, colocamos em evidencia que o
automato celular elementar finito 15400 tem um comportamento desordenado, que contrasta
com a evolucao temporal simples do automato celular elementar finito 154p. Mas, muito
para alem dessa contradicao, o nosso estudo permite-nos tambem concluir que o automato
celular elementar finito 2600 tem uma evolucao temporal, a partir de uma configuracao
inicial aleatoriamente escolhida, nunca referida na literatura. Trata-se de uma dinamica
complexa, que contrasta em absoluto com aquela caraterıstica da Classe IV de Wolfram, onde
a complexidade se traduz por perıodos de auto-organizacao do sistema ate uma configuracao
quase homogenea nula para, logo de seguida, evoluir para configuracoes cada vez mais
desordenadas, ate surgir, de forma nao esperada, um novo perıodo de auto-organizacao.
193
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www.sobiologia.com.br
educar.sc.usp.br/ciencias/seres vivos
195
Apendice
Tendo em conta as transformacoes de simetria que e possıvel definir nas configuracoes
de um sistema booleano finito, com as celulas dispostas ao longo de uma linha, nem todos os
automatos celulares elementares sao dinamicamente distintos. De seguida, sao apresentadas
as equivalencias entre conjuntos de automatos celulares elementares, para cada uma das 256
possibilidades.
∼c ∼e ∼e ◦ ∼c0 255 0 255
1 127 1 127
2 191 16 247
3 63 17 119
4 223 4 223
5 95 5 95
6 159 20 215
7 31 21 87
8 239 64 253
9 111 65 125
10 175 80 245
11 47 81 117
12 207 68 221
13 79 69 93
14 143 84 213
15 15 85 85
16 247 2 191
17 119 3 63
18 183 18 183
19 55 19 55
∼c ∼e ∼e ◦ ∼c20 215 6 159
21 87 7 31
22 151 22 151
23 23 23 23
24 231 66 189
25 103 67 61
26 167 82 181
27 39 83 53
28 199 70 157
29 71 71 29
30 135 86 149
31 7 87 21
32 251 32 251
33 123 33 123
34 187 48 243
35 59 49 115
36 219 36 219
37 91 37 91
38 155 52 211
39 27 53 83
Tabela 5.1: Conjuntos equivalentes por conjugacao, por simetria especular e pela com-posicao de ambas.
196
∼c ∼e ∼e ◦ ∼c40 235 96 249
41 107 97 121
42 171 112 241
43 43 113 113
44 203 100 217
45 75 101 89
46 139 116 209
47 11 117 81
48 243 34 187
49 115 35 59
50 179 50 179
51 51 51 51
52 211 38 155
53 83 39 27
54 147 54 147
55 19 55 19
56 227 98 185
57 99 99 57
58 163 114 177
59 35 115 49
60 195 102 153
61 67 103 25
62 131 118 145
63 3 119 17
64 253 8 239
65 125 9 111
66 189 24 231
67 61 25 103
68 221 12 207
69 93 13 79
70 157 28 199
71 29 29 71
72 237 72 237
73 109 73 109
74 173 88 229
∼c ∼e ∼e ◦ ∼c75 45 89 101
76 205 76 205
77 77 77 77
78 141 92 197
79 13 93 69
80 245 10 175
81 117 11 47
82 181 26 167
83 53 27 39
84 213 14 143
85 85 15 15
86 149 30 135
87 21 31 7
88 229 74 173
89 101 75 45
90 165 90 165
91 37 91 37
92 197 78 141
93 69 79 13
94 133 94 133
95 5 95 5
96 249 40 235
97 121 41 107
98 185 56 227
99 57 57 99
100 217 44 203
101 89 45 75
102 153 60 195
103 25 61 67
104 233 104 233
105 105 105 105
106 169 120 225
107 41 121 97
108 201 108 201
109 73 109 73
Tabela 5.2: Conjuntos equivalentes por conjugacao, por simetria especular e pela com-posicao de ambas (continuacao).
197
∼c ∼e ∼e ◦ ∼c110 137 124 193
111 9 125 65
112 241 42 171
113 113 43 43
114 177 58 163
115 49 59 35
116 209 46 139
117 81 47 11
118 145 62 131
119 17 63 3
120 225 106 169
121 97 107 41
122 161 122 161
123 33 123 33
124 193 110 137
125 65 111 9
126 129 126 129
127 1 127 1
128 254 128 254
129 126 129 126
130 190 144 246
131 62 145 118
132 222 132 222
133 94 133 94
134 158 148 214
135 30 149 86
136 238 192 252
137 110 193 124
138 174 208 244
139 46 209 116
140 206 196 220
141 78 197 92
142 142 212 212
143 14 213 84
144 246 130 190
∼c ∼e ∼e ◦ ∼c145 118 131 62
146 182 146 182
147 54 147 54
148 214 134 158
149 86 135 30
150 150 150 150
151 22 151 22
152 230 194 188
153 102 195 60
154 166 210 180
155 38 211 52
156 198 198 156
157 70 199 28
158 134 214 148
159 6 215 20
160 250 160 250
161 122 161 122
162 186 176 242
163 58 177 114
164 218 164 218
165 90 165 90
166 154 180 210
167 26 181 82
168 234 224 248
169 106 225 120
170 170 240 240
171 42 241 112
172 202 228 216
173 74 229 88
174 138 244 208
175 10 245 80
176 242 162 186
177 114 163 58
178 178 178 178
179 50 179 50
Tabela 5.3: Conjuntos equivalentes por conjugacao, por simetra especular e pela composicaode ambas (continuacao).
198
∼c ∼e ∼e ◦ ∼c180 210 166 154
181 82 167 26
182 146 182 146
183 18 183 18
184 226 226 184
185 98 227 56
186 162 242 176
187 34 243 48
188 194 230 152
189 66 231 24
190 130 246 144
191 2 247 16
192 252 136 238
193 124 137 110
194 188 152 230
195 60 153 102
196 220 140 206
197 92 141 78
198 156 156 198
199 28 157 70
200 236 200 236
201 108 201 108
202 172 216 228
203 44 217 100
204 204 204 204
205 76 205 76
206 140 220 196
207 12 221 68
208 244 138 174
209 116 139 46
210 180 154 166
211 52 155 38
212 212 142 142
213 84 143 14
214 148 158 134
215 20 159 6
216 228 202 172
217 100 203 44
∼c ∼e ∼e ◦ ∼c218 164 218 164
219 36 219 36
220 196 206 140
221 68 207 12
222 132 222 132
223 4 223 4
224 248 168 234
225 120 169 106
226 184 184 226
227 56 185 98
228 216 172 202
229 88 173 74
230 152 188 194
231 24 189 66
232 232 232 232
233 104 233 104
234 168 248 224
235 40 249 96
236 200 236 200
237 72 237 72
238 136 252 192
239 8 253 64
240 240 170 170
241 112 171 42
242 176 186 162
243 48 187 34
244 208 174 138
245 80 175 10
246 144 190 130
247 16 191 2
248 224 234 168
249 96 235 40
250 160 250 160
251 32 251 32
252 192 238 136
253 64 239 8
254 128 254 128
255 0 255 0
Tabela 5.4: Conjuntos equivalentes por conjugacao, por simetria especular e pela com-posicao de ambas (fim).
199