Fraktal: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika Volume 2, No. 1, Mei 2021, Hal. 64-79 (e-ISSN 2776-0073)
Available online at https://ejurnal.undana.ac.id/fraktal
64
KAJIAN INTERPOLASI DUA DIMENSI DALAM TABEL NILAI
KRITIK SEBARAN F BERBANTUAN PROGRAM MATLAB
Irna K.S. Blegur
Pendidikan Matematika, FKIP Universitas Nusa Cendana, Kupang.
Email: [email protected]
Diterima (16 April 2021); Revisi (26 April 2020); Diterbitkan (21 Mei 2021)
Abstrak
Tujuan penelitian ini adalah mengkaji cara melakukan interpolasi dua dimensi untuk menentukan
nilai tabel sebaran F, membuat program interpolasi dua dimensi berbantuan Matlab, dan mengkaji
perbandingan dari metode-metode yang digunakan (manual maupun berbantuan program). Jenis
penelitian ini adalah penelitian dasar dengan pendekatan studi literatur. Karena itu keseluruhan data
penelitian diambil dari buku-buku dan referensi lain yang relevan dengan masalah yang dikaji.
Adapun hasil penelitian adalah sebagai berikut: pertama, interpolasi dua dimensi dalam tabel nilai
kritik sebaran F dapat dilakukan dengan menggunakan prosedur interpolasi satu variabel secara
berurutan. Formula interpolasi dua dimensi dapat dibuat dengan mengacu pada bentuk umum
polinom interpolasi Lagrange dan Newton. Kedua, telah dibuat suatu program interpolasi dua
dimensi berbantuan Matlab yaitu program yang dapat menentukan nilai tengahan suatu fungsi dalam
dua variabel dengan menggunakan formula interpolasi polynomial Lagrange dan formula interpolasi
polynomial Newton. Ketiga, dilihat dari hasil akhir, tidak ada perbedaan yang ditunjukkan oleh
kedua metode yang digunakan. Dilihat dari proses, interpolasi dua dimensi dengan menggunakan
metode interpolasi polynomial Lagrange memiliki kelebihan dalam kesederhanaan pembuatan
program, namun memerlukan waktu yang cukup lama dalam penyelesaian manualnya. Sedangkan
metode interpolasi polynomial Newton memiliki kelebihan dalam kesederhanaan proses kerja secara
manual, namun memerlukan waktu yang cukup lama dalam pembuatan program.
Kata kunci: Interpolasi; Sebaran F, Program Matlab
Abstract
The purposes of this research are to examine how to perform two-dimensional interpolation for
determine the value of the F distribution, to make a two-dimensional interpolation program using
Matlab and reviewing the comparison of the methods used (manually and program). This research
was conducted by using literature study approach. The results of this research are: first, the two-
dimensional interpolation in F distribution table can be done using the successive univariate
polynomial interpolation. Two-dimensional interpolation formulas can be made by referring to the
general form of Lagrange and Newton's interpolation polynomials. Second, a two-dimensional
interpolation program assisted by Matlab that is a program that can determine the intermediate value
of a function in two variables using the Lagrange and Newton’s polynomial interpolation formula
has been created. Third, based on the final results, there is no difference shown by the two methods
used. Judging from the process, two-dimensional interpolation using the Lagrange polynomial
method has advantages in simplicity of programming, but requires a long time in manual
completion. While the Newton polynomial interpolation method has advantages in the simplicity of
the manual work process, but it requires a long time to make the program.
Keywords: Interpolation, F-Distribution, Matlab
PENDAHULUAN
Permasalahan klasik yang sering muncul dalam sebuah data diskrit adalah mencari fungsi
yang melibatkan data. Untuk hal seperti ini umumnya data yang diperoleh telah tepat memiliki
Fraktal: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika Blegur, Kajian Interpolasi …..
Volume 2, No. 1, Mei 2021, Hal. 64-79
65
pasangan nilai fungsinya. Permasalahan yang muncul kemudian adalah bagaimana menghitung
nilai fungsi dari data yang terletak dalam rentangan titik-titik data yang diperoleh itu. Contohnya,
data pada tabel 1 berupa harga jual (y) mobil bekas merek dan tipe tertentu yang telah berumur x
tahun
Tabel 1. Harga Jual Mobil Bekas
x (tahun) y ($)
1 2350
2 1750
3 1395
5 985
Kemudian ingin dicari harga jual mobil bekas demikian yang telah berumur 4 tahun. Masalah
seperti ini dapat diselesaikan dengan proses interpolasi. Interpolasi adalah teknik untuk
mendapatkan fungsi yang melewati semua titik dari sebuah data diskrit (Kosasih, 2006). Karena itu
interpolasi dapat digunakan untuk menghitung perkiraan nilai yang terletak dalam rentangan titik-
titik data.
Interpolasi diklasifikasikan berdasarkan fungsi penginterpol yang digunakan dalam proses
interpolasi. Misalkan P = P(x) adalah fungsi penginterpol m+1 titik data diskrit (x0, y0),(x1,
y1),…,(xm, ym) disebut interpolasi polinomial jika P adalah sebuah fungsi polynomial aljabar. P
disebut pendekatan trigonometri jika P adalah sebuah fungsi polynomial trigonometri. P juga
disebut interpolasi polynomial perbagian (interpolasi spline) jika P adalah fungsi polynomial lokasi
(Quarteroni; 2007; Karris, 2004; Kiusalaas, 2005). Dari ketiga jenis interpolasi tersebut, interpolasi
polynomial menjadi pilihan utama dan sering digunakan. Dalam interpolasi polynomial, terdapat
beberapa metode yang dapat digunakan untuk mendapatkan nilai yang terletak dalam rentangan
titik-titk data tersebut. Dua diantaranya adalah metode interpolasi polinomial Lagrange dan metode
interpolasi polinomial Newton.
Interpolasi Polinomial Lagrange untuk n+1 titik data,bentuk umum fungsi penginterpolnya
adalah 𝑃𝑛(𝑥) = ∑ 𝐿𝑖(𝑥)𝑓(𝑥𝑖) = 𝐿0𝑓(𝑥0) + 𝐿1𝑓(𝑥1) + ⋯ + 𝐿𝑛𝑓(𝑥𝑛)𝑛𝑖=0 dimana n menyatakan
derajat tertinggi polynomial tersebut dan 𝐿𝑖(𝑥) = ∏x−xj
xi−xj
nj=0,i≠j menyatakan koefisien-koefisien
dalam polinomial Lagrange. Interpolasi Polinomial Newton untuk n+1 titik data , bentuk umum
fungsi penginterpolnya adalah 𝑃𝑛(𝑥) = 𝑓(𝑥0) + 𝑓[𝑥1, 𝑥0](𝑥 − 𝑥0) + 𝑓[𝑥2, 𝑥1, 𝑥0] (𝑥 −
𝑥0)(𝑥−𝑥1) + ⋯ + 𝑓[𝑥𝑛, 𝑥𝑛−1, … , 𝑥1, 𝑥0](𝑥 − 𝑥0) (𝑥 − 𝑥1) … . (𝑥 − 𝑥𝑛−1) dimana n menyatakan
derajat tertinggi polynomial tersebut dan 𝑓[𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1, … , 𝑥1, 𝑥0] =(𝑓[𝑥𝑛,𝑥𝑛−1,…𝑥1]−𝑓[𝑥𝑛−1,…,𝑥1,𝑥0])
𝑥𝑛−𝑥0
menyatakan koefisien-koefisien dalam polinomial newton (Kosasih,2006:192).
Fraktal: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika Blegur, Kajian Interpolasi …..
Volume 2, No. 1, Mei 2021, Hal. 64-79
66
Sejauh ini formula-formula ini dapat digunakan untuk menentukan nilai tengahan data
untuk suatu polynomial berderajat-n. Kasus lain terjadi pada tabel distribusi F, sebagian tabel nilai
distribusi F (untuk 𝛼=0.01) seperti terlihat pada tabel 2.
Tabel 2. Nilai Distribusi F (𝛼=0.01)
𝝂𝟐 𝝊𝟏
8 9 10 12 15
3
0 3.17 3.07 2.98 2.84 2.70
4
0 2.99 2.89 2.80 2.66 2.52
6
0 2.82 2.72 2.63 2.50 2.35
1
20 2.66 2.56 2.47 2.34 2.19
*sumber : tabel A.7 Nilai kritik sebaran F, Ronald E. Walpole
Jika dalam suatu pengujian hipotesis diperlukan 𝑓0.01(13,35),bagaimana hasilnya dapat diperoleh
dari tabel?
Permasalahan seperti ini dapat diselesaikan dengan interpolasi, namun terdapat dua
variabel yang harus diinterpolasi yakni 𝜐1 𝑑𝑎𝑛 𝜈2. Formula interpolasi polynomial Lagrange dan
Interpolasi polynomial Newton yang telah dijelaskan di atas tidak dapat digunakan untuk
menjawab persoalan ini karena itu dibutuhkan formula baru. Formula yang dimaksud adalah
formula interpolasi dalam dua variabel, atau yang dinamakan interpolasi dua dimensi. Hal ini
sejalan dengan pendapat. Quarteroni (2007) yang menyatakan bahwa “dalam interpolasi dua
dimensi, terdapat matriks nilai fungsi 𝑓(𝑥, 𝑦),di mana x bervariasi dari 1 sampai m dan y
bervariasi dari 1 sampai n. Akan diperkirakan nilai 𝑓 di beberapa titik yang tidak diketahui
(𝑥1, 𝑦1) dimana 1 ≤ 𝑥1 ≤ 𝑚 dan 1 ≤ 𝑦1 ≤ 𝑛”
Untuk menyelesaikan kasus-kasus dengan menggunakan interpolasi dua dimensi dapat
dilakukan dengan perhitungan secara manual. Namun untuk kasus yang lebih kompleks, sangat
sulit untuk bekerja secara manual sehingga dibutuhkan bantuan program komputer. Hal ini
dikarenakan program komputer berperan mempercepat proses perhitungan tanpa membuat
kesalahan. Di pasaran terdapat banyak program aplikasi komersil yang langsung dapat digunakan.
Contoh aplikasi yang ada saat ini adalah MatLab. Matlab (Matrix Laboratory) adalah sebuah
program interaktif untuk komputasi numerik dan data visualisasi, digunakan secara luas oleh para
insinyur untuk analisis dan desain (Yang, Cao, Chung & Moris, 2005; Hanselman & Bruce, 2000;
Etter, Kunicky & Hull, 2003). Matlab menggunakan bahasa canggih untuk komputasi teknik
namun mudah didapatkan, praktis digunakan oelh siapa saja, serta tidak membutuhkan waktu yang
lama untuk menuliskan Bahasa bila dibandingkan program lainnya yang beredar di pasaran.
Beberapa alasan inilah yang menyebabkan Matlab dipilih dalam penilitian ini.
Fraktal: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika Blegur, Kajian Interpolasi …..
Volume 2, No. 1, Mei 2021, Hal. 64-79
67
Dengan bertitik tolak dari pemikiran-pemikiran di atas, maka terdapat beberapa pertanyaan
menarik untuk dijawab diantaranya: bagaimana cara melakukan interpolasi dua dimensi untuk
menentukan nilai tabel sebaran F? Apakah terdapat beberapa metode? Jika ya, bagaimana
perbandingan dari metode-metode yang digunakan? Bagaimana membuat program interpolasi dua
dimensi berbantuan Matlab yang dapat membantu proses perhitungan? Adapun jawaban terkait
ketiga pertanyaan di atas, dibahas secara lengkap dalam artikel ini.
METODE
Jenis penelitian ini adalah penelitian dasar dengan pendekatan studi literatur. Penelitian
dasar atau murni merupakan penelitian yang kegunaannya diarahkan dalam rangka penemuan atau
pengembangan ilmu pengetahuan. Studi literatur dimana keseluruhan data penelitian diambil dari
buku-buku dan referensi lain yang relevan dengan materi yang dikaji (Hadi, 1995; Muhadjir,
1998).
Penelitian diawali dengan mencari sumber-sumber yang relevan dengan materi yang dikaji.
Setelah itu setiap sumber dibaca untuk mencari gambaran umum terkait interpolasi dua dimensi
dan pembuatan bahasa program pada Matlab. Setelah gambaran umum didapatkan, dilakukan
pembatasan ruang lingkup permasalahan yakni 1) pengkajian hanya akan dilakukan pada
interpolasi bilinear, interpolasi bikuadrat dan interpolasi bikubik; 2) prosedur penyelesaian yang
digunakan adalah prosedur penyelesaian dengan menggunakan fungsi interpolasi 1 variabel secara
berurutan (successive univariate polynomial interpolation) dan metode yang digunakan terbatas
pada metode interpolasi polynomial Lagrange dan metode interpolasi polynomial newton 3). kajian
hanya dilakukan pada tabel nilai kritik sebaran F. Pembatasan ini perlu dilakukan agar terhindar
dari luasnya cakupan masalah yang diteliti.
Setelah pembatasan masalah penilitian yang dilakukan di atas, penilitian dilanjutkan
dengan: a) menguraikan cara melakukan interpolasi dua dimensi menurut prosedur penyelesaian
dengan menggunakan fungsi interpolasi 1 variabel secara berurutan (successive univariate
polynomial interpolation) untuk menemukan formula berdasarkan bentuk umum polinom
interpolasi Lagrange dan bentuk umum polinom interpolasi Newton. Penentuan formula ini
dilakukan dengan menggunakan data pada tabel nilai kritik yang telah diketahui untuk
membuktikan keakuratan formula. b) Membuat program interpolasi dua dimensi dengan
menggunakan Matlab. c). Menghitung dan meembandingkan hasil perhitungan nilai kritik sebaran
F untuk 𝑥 𝑑𝑎𝑛 𝑦 yang ditentukan berdasarkan formula yang telah diuraikan menurut langkah a)
dan bahasa program pada langkah b). d). Membuat kesimpulan.
Fraktal: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika Blegur, Kajian Interpolasi …..
Volume 2, No. 1, Mei 2021, Hal. 64-79
68
HASIL DAN PEMBAHASAN
Definisi Interpolasi Dua Dimensi
Jika data yang diberikan bergantung pada dua variabel, maka teknik yang digunakan untuk
menginterpol nilai dalam data disebut Interpolasi dua dimensi. Dalam Interpolasi Dua
Dimensi,terdapat matriks nilai fungsi 𝑓(𝑥, 𝑦),di mana x bervariasi dari 1 sampai m dan y
bervariasi dari 1 sampai n. Akan diperkirakan nilai 𝑓 di beberapa titik yang tidak diketahui
(𝑥1, 𝑦1) dimana 1 ≤ 𝑥1 ≤ 𝑚 dan 1 ≤ 𝑦1 ≤ 𝑛 (Quarteroni, 2007). Interpolasi dua dimensi dikenal
juga dengan nama interpolasi permukaan. Interpolasi ini diklasifikasikan ke dalam interpolasi
perbagian karena proses interpolasinya dilakukan secara bertahap (perbagian), tahap pertama
interpolasi untuk variabel pertama dan selanjutnya untuk variabel yang kedua.
Interpolasi Dua dimensi dengan menggunakan prosedur interpolasi 1 variabel secara berurutan
(successive univariate polynomial interpolation)
Interpolasi dua dimensi menurut prosedur ini dilakukan dengan berturut-turut melakukan
interpolasi satu variabel untuk mendapatkan fungsi dekatan bagi data yang diberikan. Interpolasi
dilakukan terlebih dahulu untuk salah satu variabel dari dua variabel itu dengan menganggap
variabel yang lainnya konstan. Kemudian sekali lagi dilakukan interpolasi untuk mendapatkan
polinom interpolasi ganda untuk data yang diberikan. Perkiraan nilai tengahan untuk fungsi
dimaksud dapat dilakukan dengan mensubstitusikan setiap variabel bebas ke dalam interpolasi
polinom interpolasi ganda yang telah diperoleh. Formula interpolasi dua dimensi untuk
menghitung tabel nilai kritik sebaran F dapat dibuat dengan mengacu pada bentuk umum polinom
interpolasi Lagrange dan polinom interpolasi Newton.
1. Interpolasi dua dimensi berdasarkan bentuk umum polinom interpolasi Lagrange
Sebagian nilai kritik sebaran F(𝛼 = 0.01) terlihat pada table 1 Misalkan ingin diketahui
nilai 𝑓0.01(𝑣1, 𝑣2) pad 𝑣1 = 3 dan 𝑣2 = 6. Nilainya tidak diketahui dalam tabel ini. Karena itu akan
digunakan interpolasi untuk menentukan 𝑓0.01(3, 6).
Tabel 3. Nilai kritik sebaran F,untuk 𝛼 = 0.01
𝒗𝟐 𝒗𝟏
2 4 5 6
5 13.27 11.39 10.97 10.67
7 9.55 7.85 7.46 7.19
8 8.65 7.01 6.63 6.37
9 8.02 6.42 6.06 5.80
Pertama akan digunakan interpolasi linear. Akan ditentukan terlebih dahulu dua nilai yang
mengapit 𝑣1 = 3 yaitu 𝑣1 = 2 𝑑𝑎𝑛 𝑣1 = 4 dua nilai 𝑣2 yang mengapit nilai 𝑣2 = 6 yakni 𝑣2 =
5 𝑑𝑎𝑛 𝑣2 = 7. Selanjutnya masing-masing nilai 𝑣1 ini akan dikenakan interpolasi untuk
Fraktal: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika Blegur, Kajian Interpolasi …..
Volume 2, No. 1, Mei 2021, Hal. 64-79
69
mendapatkan nilai 𝑓0.01(𝑣1, 6). Setelah itu barulah kita dapat melakukan interpolasi untuk
mendapatkan 𝑓0.01(3,6).
𝑓0.01(2,6) = 6−7
5−7𝑓0.01(2,5) +
6−5
7−5𝑓0.01(2,7)
= 6−7
5−7 13.27 +
6−5
7−5 9.55 = 11.41
𝑓0.01(4,6) = 6−7
5−7𝑓0.01(4,5) +
6−5
7−5𝑓0.01(6,7)
= 6−7
5−7 11.39 +
6−5
7−57.85 = 9.62
Sampai di dua titik ini telah diperoleh 𝑓0.01(2,6)𝑑𝑎𝑛 𝑓0.01(4,6), ini berarti untuk 𝑓0.01(3,6) yang
dibatasi oleh nilai 𝑓0.01(2,6)𝑑𝑎𝑛 𝑓0.01(4,6) dapat ditentukan dengan menggunakan interpolasi yang
dilakukan sekali lagi 𝑓0.01(3,6) =3−4
2−4𝑓0.01(2,6) +
3−2
4−2𝑓0.01(4,6) = 10.52. Telah didapatkan nilai
interpolasi 𝑓0.01(3,6) dengan menggunakan metode interpolasi polynomial Lagrange yakni 10.52.
Harganya yang benar adalah 𝑓0.01(3,6) = 9.78
Dengan mengasumsikan ketelitian ini mencukupi, selanjutnya akan diformulasikan
formula interpolasi liniear dalam dua variabel (Biliniear) berdasarkan bentuk umum polinom
interpolasi Lagrange. 𝑓𝛼(𝑣1, 𝑣2) dimisalkan menjadi 𝑓(𝑥, 𝑦) dimana 𝑥 menyatakan 𝑣1𝑑𝑎𝑛 𝑦
menyatakan 𝑣2. Jika ingin dihitung nilai 𝑓(𝑥, 𝑦) untuk 𝑥 = �̅� 𝑑𝑎𝑛 𝑦 = �̅� pertama tentukan terlebih
dahulu dua titik 𝑥 yang membatasi 𝑥 = �̅�, misalnya 𝑥 = 𝑥0𝑑𝑎𝑛 𝑥 = 𝑥1 dan dua titik 𝑦 yang
membatasi nilai 𝑦 = �̅� misalnya 𝑦 = 𝑦0 dan 𝑦 = 𝑦1. Untuk 𝑥 = 𝑥0 𝑑𝑎𝑛 𝑥 = 𝑥1, fungsi
𝑓(𝑥0, 𝑦) dan 𝑓(𝑥1, 𝑦) adalah fungsi satu variabel 𝑦. Interpolasi secara liniear untuk menaksir
𝑓(𝑥0, �̅�). Berdasarkan bentuk umum interpolasi polynomial Lagrange orde 1
𝑓(𝑥) =𝑥−𝑥1
𝑥0−𝑥1𝑓(𝑥0) +
𝑥−𝑥0
𝑥−𝑥1 𝑓(𝑥1), maka:
𝑓1(𝑥0, �̅�) =�̅�−𝑦1
𝑦0−𝑦1𝑓(𝑥0, 𝑦0) +
�̅�−𝑦0
𝑦1−𝑦0𝑓(𝑥0, 𝑦1) (1.1)
Serupa untuk 𝑥 = 𝑥1, diinterpolasi dan diperoleh:
𝑓1(𝑥1, �̅�) =�̅�−𝑦1
𝑦0−𝑦1𝑓(𝑥1, 𝑦0) +
�̅�−𝑦0
𝑦1−𝑦0𝑓(𝑥1, 𝑦1) (1.2)
Proses interpolasi ini disebut dengan interpolasi dalam arah y,dan x dibuat tetap.Sekarang jika
𝑥 = �̅�, maka 𝑓(𝑥, �̅�) adalah fungsi satu variabel x. Karena 𝑥 = 𝑥0 𝑑𝑎𝑛 𝑥 = 𝑥1 membatasi 𝑥 = �̅�
maka interpolasi 𝑓(𝑥, �̅�) untuk mendapatkan 𝑓(�̅�, �̅�). Kembali dengan menggunakan bentuk umum
polinom interpolasi Lagrange orde pertama, maka:
𝑓1(�̅�, �̅�) =�̅�−𝑥1
𝑥0−𝑥1𝑓1(𝑥0, �̅�) +
�̅�−𝑥0
𝑥1−𝑥0𝑓1(𝑥1, �̅�) (1.3.a)
bentuk umum persamaan (1.3.a)dapat ditulis:
𝑓1(�̅�, �̅�) = 𝐿1.0(�̅�)𝑓1(𝑥0, �̅�) + 𝐿1.1(�̅�)𝑓1(𝑥1, �̅�) (1.3.b)
dimana 𝑓1(𝑥0, �̅�) 𝑑𝑎𝑛𝑓1(𝑥1, �̅�) diberikan oleh
Fraktal: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika Blegur, Kajian Interpolasi …..
Volume 2, No. 1, Mei 2021, Hal. 64-79
70
𝑓1(𝑥0, �̅�) = 𝐿1.0(�̅�)𝑓(𝑥0, 𝑦0) + 𝐿1.1(�̅�)𝑓(𝑥0, 𝑦1) dan
𝑓1(𝑥1, �̅�) = 𝐿1.0(�̅�)𝑓(𝑥1, 𝑦0) + 𝐿1.1(�̅�)𝑓(𝑥1, 𝑦1).
(1.3.c)
Perhatikan bahwa untuk mendapatkan 𝑓(�̅�, �̅�) sangat diperlukan 𝑓(𝑥0, �̅�) 𝑑𝑎𝑛 𝑓(𝑥1, �̅�).Itulah
sebabnya persamaan (1.1) dan (1.2) harus dikerjakan terlebih dahulu. Proses interpolasi yang kedua
ini disebut dengan interpolasi dalam arah x, dan y dibuat tetap.
Untuk interpolasi dua dimensi orde ke-dua (Interpolasi bikuadrat), pertama tentukan
terlebih dahulu tiga titik 𝑥 yang membatasi 𝑥 = �̅�, misalnya 𝑥 = 𝑥0, 𝑥 = 𝑥1 𝑑𝑎𝑛 𝑥 = 𝑥2 dan tiga
titik 𝑦 yang membatasi nilai 𝑦 = �̅� misalnya 𝑦 = 𝑦0,𝑦 = 𝑦1 𝑑𝑎𝑛 𝑦 = 𝑦2. Untuk 𝑥 = 𝑥0, 𝑥 =
𝑥1 𝑑𝑎𝑛 𝑥 = 𝑥2 fungsi 𝑓(𝑥0, 𝑦), 𝑓(𝑥1, 𝑦)𝑑𝑎𝑛 𝑓(𝑥2, 𝑦). adalah fungsi satu variabel 𝑦.Iinterpolasi
secara kuadrat untuk menaksir 𝑓(𝑥0, �̅�), 𝑓(𝑥1, �̅�) 𝑑𝑎𝑛 𝑓(𝑥2, �̅�). Selanjutnya berdasarkan bentuk
umum interpolasi polynomial Lagrange orde 2
𝑓(𝑥) =(𝑥−𝑥1)(𝑥−𝑥2)
(𝑥0−𝑥1)(𝑥0−𝑥2)𝑓(𝑥0) +
(𝑥−𝑥0)(𝑥−𝑥2)
(𝑥1−𝑥0)(𝑥1−𝑥2) 𝑓(𝑥1) +
(𝑥−𝑥0)(𝑥−𝑥1)
(𝑥2−𝑥0)(𝑥2−𝑥1) 𝑓(𝑥2), maka:
𝑓2(𝑥0, �̅�) =(�̅�−𝑦1)(�̅�−𝑦2)
(𝑦0−𝑦1)(𝑦0−𝑦2)𝑓(𝑥0, 𝑦0) +
(�̅�−𝑦0)(�̅�−𝑦2)
(𝑦1−𝑦0)(𝑦1−𝑦2)𝑓(𝑥0, 𝑦1) +
(�̅�−𝑦0)(�̅�−𝑦1)
(𝑦2−𝑦0)(𝑦2−𝑦1)𝑓(𝑥0, 𝑦2) (1.4)
𝑓2(𝑥1, �̅�) =(�̅�−𝑦1)(�̅�−𝑦2)
(𝑦0−𝑦1)(𝑦0−𝑦2)𝑓(𝑥1, 𝑦0) +
(�̅�−𝑦0)(�̅�−𝑦2)
(𝑦1−𝑦0)(𝑦1−𝑦2)𝑓(𝑥1, 𝑦1) +
(�̅�−𝑦0)(�̅�−𝑦1)
(𝑦2−𝑦0)(𝑦2−𝑦1)𝑓(𝑥1, 𝑦2) (1.5)
𝑓2(𝑥2, �̅�) =(�̅�−𝑦1)(�̅�−𝑦2)
(𝑦0−𝑦1)(𝑦0−𝑦2)𝑓(𝑥2, 𝑦0) +
(�̅�−𝑦0)(�̅�−𝑦2)
(𝑦1−𝑦0)(𝑦1−𝑦2)𝑓(𝑥2, 𝑦1) +
(�̅�−𝑦0)(�̅�−𝑦1)
(𝑦2−𝑦0)(𝑦2−𝑦1)𝑓(𝑥2, 𝑦2) (1.6)
Sekarang jika 𝑥 = �̅�, maka 𝑓(𝑥, �̅�) adalah fungsi satu variabel x. Karena 𝑥 = 𝑥0 , 𝑥 =
𝑥1, 𝑥 = 𝑥2 membatasi 𝑥 = �̅� maka interpolasi 𝑓(𝑥, �̅�) untuk mendapatkan 𝑓(�̅�, �̅�). Kembali
dengan menggunakan bentuk umum polinom interpolasi Lagrange orde kedua, maka:
𝑓2(�̅�, �̅�) =(�̅�−𝑥1)(𝑥−𝑥2)
(𝑥0−𝑥1)(𝑥0−𝑥2)𝑓2(𝑥0, �̅�) +
(�̅�−𝑥0)(𝑥−𝑥2)
(𝑥1−𝑥0)(𝑥1−𝑥2)𝑓2(𝑥1, �̅�) +
(�̅�−𝑥0)(𝑥−𝑥1)
(𝑥2−𝑥0)(𝑥2−𝑥1)𝑓2(𝑥2, �̅�) (1.7.a)
bentuk umum persamaan (1.7a) dapat ditulis:
𝑓2(�̅�, �̅�) = 𝐿2.0(�̅�)𝑓2(𝑥0, �̅�) + 𝐿2.1(�̅�)𝑓2(𝑥1, �̅�) +𝐿2.2(�̅�)𝑓2(𝑥2, �̅� ) (1.7.b)
dimana 𝑓2(𝑥0, �̅�) , 𝑓2(𝑥1, �̅�) dan 𝑓2(𝑥2, �̅�) diberikan oleh
𝑓2(𝑥0, �̅�) = 𝐿2.0(�̅�)𝑓(𝑥0, 𝑦0) + 𝐿2.1(�̅�)𝑓(𝑥0, 𝑦1) + 𝐿2.2(�̅�)𝑓(𝑥0, 𝑦2),
𝑓2(𝑥1, �̅�) = 𝐿2.0(�̅�)𝑓(𝑥1, 𝑦0) + 𝐿2.1(�̅�)𝑓(𝑥1, 𝑦1) + 𝐿2.2(�̅�)𝑓(𝑥1, 𝑦2),
𝑓2(𝑥2, �̅�) = 𝐿2.0(�̅�)𝑓(𝑥2, 𝑦0) + 𝐿2.1(�̅�)𝑓(𝑥2, 𝑦1) + 𝐿2.2(�̅�)𝑓(𝑥2, 𝑦2)
(1.7.c)
Dengan prosedur yang sama , dapat diturunkan formula untuk interpolasi dua dimensi orde
3 (biikubik) yang dapat ditulis ke dalam bentuk berikut:
𝑓3(�̅�, �̅�) = 𝐿3.0(�̅�)𝑓3(𝑥0, �̅�) + 𝐿3.1(�̅�)𝑓3(𝑥1, �̅�) + 𝐿3.2(�̅�)𝑓3(𝑥2, �̅� ) + 𝐿3.3(�̅�)𝑓3(𝑥3, �̅� ) (1.8.a)
dimana 𝑓3(𝑥0, �̅�) , 𝑓3(𝑥1, �̅�) ,𝑓3(𝑥2, �̅�) 𝑑𝑎𝑛 𝑓3(𝑥3, �̅� ) diberikan oleh:
𝑓3(𝑥0, �̅�) = 𝐿3.0(�̅�)𝑓(𝑥0, 𝑦0) + 𝐿3.1(�̅�)𝑓(𝑥0, 𝑦1) + 𝐿3.2(�̅�)𝑓(𝑥0, 𝑦2) + 𝐿3.3(�̅�)𝑓(𝑥0, 𝑦3)
Fraktal: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika Blegur, Kajian Interpolasi …..
Volume 2, No. 1, Mei 2021, Hal. 64-79
71
𝑓3(𝑥1, �̅�) = 𝐿3.0(�̅�)𝑓(𝑥1, 𝑦0) + 𝐿3.1(�̅�)𝑓(𝑥1, 𝑦1) +𝐿3.2(�̅�)𝑓(𝑥1, 𝑦2) + 𝐿3.3(�̅�)𝑓(𝑥1, 𝑦3)
𝑓3(𝑥2, �̅�) = 𝐿3.0(�̅�)𝑓(𝑥2, 𝑦0) + 𝐿3.1(�̅�)𝑓(𝑥2, 𝑦1) + 𝐿3.2(�̅�)𝑓(𝑥2, 𝑦2) + 𝐿3.3(�̅�)𝑓(𝑥2, 𝑦3)
𝑓3(𝑥0, �̅�) = 𝐿3.0(�̅�)𝑓(𝑥3, 𝑦0) + 𝐿3.1(�̅�)𝑓(𝑥3, 𝑦1) + 𝐿3.2(�̅�)𝑓(𝑥3, 𝑦2) +𝐿3.3(�̅�)𝑓(𝑥3, 𝑦3)
(1.8.b)
Dengan demikian dapat dirumuskan bentuk umum interpolasi dua dimensi orde-n sebagai berikut:
𝑓𝑛(�̅�, �̅�) = ∑ 𝐿𝑛.𝑘(�̅�). 𝑓𝑛(𝑥, �̅�
𝑛
𝑖=0
) (1.9.a)
dimana
𝐿𝑛.𝑘(�̅�) = ∏�̅�−𝑥𝑘
𝑥𝑗−𝑥𝑘
𝑛𝑘=0𝑗≠𝑘
dan
𝑓𝑛(𝑥𝑛, �̅�) = ∑ 𝐿𝑛.𝑘(�̅�)𝑓(𝑥, 𝑦)𝑛𝑖=0
(1.9.b)
yang mana 𝐿𝑛.𝑘(�̅�) diberikan oleh
𝐿𝑛.𝑘(�̅�) = ∏�̅� − 𝑦𝑘
𝑦𝑗 − 𝑦𝑘
𝑛
𝑘=0𝑗≠𝑘
(1.9.c)
2. Interpolasi dua dimensi berdasarkan bentuk umum polinom interpolasi Newton
Akan diselesaikan dengan menggunakan interpolasi liniear masalah pada tabel 3
berdasarkan bentuk umum polinom interpolasi Newton. Akan ditentukan terlebih dahulu dua nilai
yang mengapit 𝑣1 = 3 yaitu 𝑣1 = 2 𝑑𝑎𝑛 𝑣1 = 4 dua nilai 𝑣2 yang mengapit nilai 𝑣2 = 6 yakni
𝑣2 = 5 𝑑𝑎𝑛 𝑣2 = 7. Selanjutnya masing-masing nilai 𝑣1 ini akan dikenakan interpolasi untuk
mendapatkan nilai 𝑓0.01(𝑣1, 6). Setelah itu barulah kita dapat melakukan interpolasi untuk
mendapatkan 𝑓0.01(3,6).
𝑓0.01(2,6) = 𝑓(2,5) +𝑓(2,7)−𝑓(2,5)
7−5(6 − 5)
= 13.27 +9.55−13.27
7−5(6 − 5)
= 11.41
𝑓0.01(4,6) = 𝑓(4,5) +𝑓(4,7)−𝑓(4,5)
7−5(6 − 5)
= 11.39 +7.85−11.39
7−5(6 − 5)
= 9.62
Sampai di dua titik ini telah diperoleh 𝑓0.01(2,6)𝑑𝑎𝑛 𝑓0.01(4,6), ini berarti untuk 𝑓0.01(3,6) yang
dibatasi oleh nilai 𝑓0.01(2,6)𝑑𝑎𝑛 𝑓0.01(4,6) dapat ditentukan dengan menggunakan interpolasi yang
dilakukan sekali lagi 𝑓0.01(3,6) = 𝑓(2,6) +𝑓(4,6)−𝑓(2,6)
4−2(3 − 2) = 10.52. Telah didapatkan nilai
interpolasi 𝑓0.01(3,6) dengan menggunakan metode interpolasi polynomial Newton yakni 10.52.
Harganya yang benar adalah 𝑓0.01(3,6) = 9.78
Fraktal: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika Blegur, Kajian Interpolasi …..
Volume 2, No. 1, Mei 2021, Hal. 64-79
72
Dengan mengasumsikan ketelitian ini mencukupi, selanjutnya akan diformulasikan
formula interpolasi liniear dalam dua variabel (Biliniear) berdasarkan bentuk umum polinom
interpolasi Newton.. Jika 𝑓𝛼(𝑣1, 𝑣2) dimisalkan menjadi 𝑓(𝑥, 𝑦) dimana 𝑥 menyatakan 𝑣1𝑑𝑎𝑛 𝑦
menyatakan 𝑣2. Jika ingin dihitung nilai 𝑓(𝑥, 𝑦) untuk 𝑥 = �̅� 𝑑𝑎𝑛 𝑦 = �̅� pertama tentukan terlebih
dahulu dua titik 𝑥 yang membatasi 𝑥 = �̅�, misalnya 𝑥 = 𝑥0𝑑𝑎𝑛 𝑥 = 𝑥1 dan dua titik 𝑦 yang
membatasi nilai 𝑦 = �̅� misalnya 𝑦 = 𝑦0 dan 𝑦 = 𝑦1. Untuk 𝑥 = 𝑥0 𝑑𝑎𝑛 𝑥 = 𝑥1, fungsi
𝑓(𝑥0, 𝑦) dan 𝑓(𝑥1, 𝑦) adalah fungsi satu variabel 𝑦. Interpolasi secara liniear untuk menaksir
𝑓(𝑥0, �̅�). Selanjutnya berdasarkan bentuk umum interpolasi polynomial Newton orde 1 𝑓1(𝑥) =
𝑓(𝑥0) +[𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥0)]
𝑥1−𝑥0(𝑥 − 𝑥0) maka:
𝑓1(𝑥0, �̅�) = 𝑓(𝑥0, 𝑦0) +(𝑓(𝑥0, 𝑦1) − 𝑓(𝑥0, 𝑦0))
𝑦1 − 𝑦0
(�̅� − 𝑦0) (1.10)
Serupa untuk 𝑥 = 𝑥1, diinterpolasi dan diperoleh:
𝑓1(𝑥1, �̅�) = 𝑓(𝑥1, 𝑦0) +(𝑓(𝑥1, 𝑦1) − 𝑓(𝑥1, 𝑦0))
𝑦1 − 𝑦0
(�̅� − 𝑦0) (1.11)
Proses interpolasi ini disebut dengan interpolasi dalam arah y,dan x dibuat tetap.Sekarang jika
𝑥 = �̅�, maka 𝑓(𝑥, �̅�) adalah fungsi satu variabel x. Karena 𝑥 = 𝑥0 𝑑𝑎𝑛 𝑥 = 𝑥1 membatasi 𝑥 = �̅�
maka interpolasi 𝑓(𝑥, �̅�) untuk mendapatkan 𝑓(�̅�, �̅�). Kembali dengan menggunakan bentuk umum
polinom interpolasi Newton orde pertama, maka:
𝑓1(�̅�, �̅�) = 𝑓1(𝑥0, �̅�) +(𝑓1(𝑥1, �̅�) − 𝑓1(𝑥0, �̅�))
𝑥1 − 𝑥0(�̅� − 𝑥0) (1.12.a)
bentuk umum persamaan (1.12.a)dapat ditulis:
𝑓1(�̅�, �̅�) = 𝑓(𝑥0, �̅�) + 𝑓[(𝑥1, �̅�), (𝑥0, �̅�)](�̅� − 𝑥0) (1.12.b)
Dimana 𝑓[(𝑥1, �̅�), (𝑥0, �̅�)] =(𝑓(𝑥1,�̅�)−𝑓(𝑥0,�̅�))
𝑥1−𝑥0 didefenisikan sebagai perbedaan terbagi pertama
untuk interpolasi dalam arah x dan ,𝑓(𝑥, �̅�) = 𝑓(𝑥, 𝑦0) + 𝑓[(𝑥, 𝑦1), (𝑥, 𝑦0)](𝑦 − 𝑦0) yang mana
𝑓[(𝑥, 𝑦1), (𝑥, 𝑦0)] =(𝑓(𝑥,𝑦1)−𝑓(𝑥,𝑦0))
𝑦1−𝑦0 didefenisikan sebagai perbedaan terbagi pertama untuk
interpolasi dalam arah y.
Dengan prosedur yang sama akan diturunkan formula interpolasi dua dimensi orde 2
sebagai berikut:
𝑓2(�̅�, �̅�) = 𝑓(𝑥0, �̅�) + 𝑓[(𝑥1, �̅�), (𝑥0, �̅�)](�̅� − 𝑥0) + 𝑓[(𝑥2, �̅�), (𝑥1, �̅�), (𝑥0, �̅�)](�̅� − 𝑥0)(�̅� − 𝑥1) (1.13)
dimana 𝑓[(𝑥2, �̅�), (𝑥1, �̅�), (𝑥0, �̅�)] =𝑓[(𝑥2,�̅�),(𝑥1,�̅�)]−𝑓[(𝑥1,�̅�),(𝑥0,�̅�)]
𝑥2−𝑥0 didefenisikan sebagai perbedaan
terbagi kedua untuk interpolasi dalam arah x dan ,𝑓(𝑥, �̅�) = 𝑓(𝑥, 𝑦0) + [𝑓(𝑥, 𝑦1), 𝑓(𝑥, 𝑦0)](𝑦 −
𝑦0) + [𝑓(𝑥, 𝑦2), 𝑓(𝑥, 𝑦1), 𝑓(𝑥, 𝑦0)] (𝑦 − 𝑦0)(𝑦 − 𝑦1) = 𝑓1(𝑥, �̅�) + [𝑓(𝑥, 𝑦2), 𝑓(𝑥, 𝑦1), 𝑓(𝑥, 𝑦0)]
Fraktal: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika Blegur, Kajian Interpolasi …..
Volume 2, No. 1, Mei 2021, Hal. 64-79
73
(𝑦 − 𝑦0)(𝑦 − 𝑦1) yang mana 𝑓[(𝑥, 𝑦2), (𝑥, 𝑦1), (𝑥, 𝑦0)] =𝑓[(𝑥,𝑦2),(𝑥,𝑦1)]−𝑓[(𝑥,𝑦1),(𝑥,𝑦0)]
𝑦2−𝑦0
didefenisikan sebagai perbedaan terbagi kedua untuk interpolasi dalam arah y.
Interpolasi dua dimensi orde 3 sebagai berikut:
𝑓3(�̅�, �̅�) = 𝑓(𝑥0, �̅�) + 𝑓[(𝑥1, �̅�), (𝑥0, �̅�)](�̅� − 𝑥0) + 𝑓[(𝑥2, �̅�), (𝑥1, �̅�), (𝑥0, �̅�)](�̅� − 𝑥0)(�̅� − 𝑥1) +𝑓[(𝑥3, �̅�), (𝑥2, �̅�), (𝑥1, �̅�), (𝑥0, �̅�)](�̅� − 𝑥0)(�̅� − 𝑥1)(�̅� − 𝑥2)
(1.14)
dimana 𝑓[(𝑥3, �̅�), (𝑥2, �̅�), (𝑥1, �̅�), (𝑥0, �̅�)] didefenisikan sebagai perbedaan terbagi ketiga untuk
interpolasi dalam arah x dan ,𝑓(𝑥, �̅�) = 𝑓2(𝑥, �̅�) + [𝑓(𝑥, 𝑦3), 𝑓(𝑥, 𝑦2), 𝑓(𝑥, 𝑦1), 𝑓(𝑥, 𝑦0)](𝑦 −
𝑦0)(𝑦 − 𝑦1)(𝑦 − 𝑦2) yang mana 𝑓[(𝑥, 𝑦3), (𝑥, 𝑦2), (𝑥, 𝑦1), (𝑥, 𝑦0)]
=𝑓[(𝑥,𝑦3),(𝑥,𝑦2),(𝑥,𝑦1)]−𝑓[(𝑥,𝑦2),(𝑥,𝑦1),(𝑥,𝑦0)]
𝑦3−𝑦0 didefenisikan sebagai perbedaan terbagi ketiga untuk
interpolasi dalam arah y.
Dengan demikian dapat dirumuskan bentuk umum interpolasi dua dimensi orde-n sebagai
berikut:
𝑓𝑛(�̅�, �̅�) = 𝑓(𝑥0, �̅�) + 𝑓[(𝑥1, �̅�), (𝑥0, �̅�)](�̅� − 𝑥0) + ⋯ +
𝑓[(𝑥𝑛, �̅�), … , (𝑥1, �̅�), (𝑥0, �̅�)](𝑥 − 𝑥0) (𝑥 − 𝑥1) … (𝑥 − 𝑥𝑛−1)
(1.15)
dimana 𝑓[(𝑥𝑛, �̅�), … , (𝑥1, �̅�), (𝑥0, �̅�)] =𝑓[(𝑥𝑛,�̅�)…(𝑥1,�̅�)]−𝑓[(𝑥𝑛−1,�̅�)…(𝑥0,�̅�)]
(𝑥𝑛−𝑥0) didefenisikan sebagai
perbedaan terbagi ke-n untuk interpolasi dalam arah x dan
𝑓𝑛(𝑥, �̅�) = 𝑓𝑛−1(𝑥, �̅�) + 𝑓[(𝑥, 𝑦𝑛), … , (𝑥, 𝑦0)](𝑦 − 𝑦0)(𝑦 − 𝑦1) … (𝑦 − 𝑦𝑛). Yang mana
𝑓[(𝑥, 𝑦𝑛), … , (𝑥, 𝑦0)] diberikan oleh
𝑓[(𝑥, 𝑦𝑛), … , (𝑥, 𝑦0)] =𝑓[(𝑥,𝑦𝑛),…,(𝑥,𝑦1)]−𝑓[(𝑥,𝑦𝑛−1),…,(𝑥,𝑦0)]
𝑦𝑛−𝑦0 didefenisikan sebagai perbedaan terbagi
ke-n untuk interpolasi dalam arah y.
Berdasarkan formula di atas dapat dibuat tabel perbedaan terbagi newton untuk interpolasi
dua dimensi yang diwakilkan oleh interpolasi biliniear dalam tabel 4 dan tabel 5.
Tabel 4. Tabel perbedaan terbagi newton untuk interpolasi dalam arah y
xi yi f(xi ,yi) f[ , ]
x0
y0 𝑓(𝑥0, 𝑦0) [𝑓(𝑥0, 𝑦1), 𝑓(𝑥0, 𝑦0)] =(𝑓(𝑥0,𝑦1)−𝑓(𝑥0,𝑦0))
𝑦1−𝑦0
y1 𝑓(𝑥0, 𝑦1)
x1
y0 𝑓(𝑥1, 𝑦0) [𝑓(𝑥1, 𝑦1), 𝑓(𝑥1, 𝑦0)] =(𝑓(𝑥1,𝑦1)−𝑓(𝑥1,𝑦0))
𝑦1−𝑦0
y1 𝑓(𝑥1, 𝑦1)
Tabel 5. Tabel perbedaan terbagi newton untuk interpolasi dalam arah x
Fraktal: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika Blegur, Kajian Interpolasi …..
Volume 2, No. 1, Mei 2021, Hal. 64-79
74
y xi f(xi ,yi) f[ , ]
�̅� x0 𝑓(𝑥0, �̅�) [𝑓(𝑥1, �̅�), 𝑓(𝑥0, �̅�)] =
(𝑓(𝑥1,�̅�)−𝑓(𝑥0,�̅�))
𝑥1−𝑥0
x1 𝑓(𝑥1, �̅�)
Pembuatan Program Interpolasi Dua Dimensi dengan menggunakan Matlab
Adapun algoritma bahasa program interpolasi dua dimensi dengan menggunakan metode
interpolasi polynomial Lagrange dan Newton yang diketikkan pada M-file seperti pada gambar 1.
Gambar 1. Bahasa program interpolasi dua dimensi Metode Lagrange (a) dan Newton (b)
Selanjutnya klik menu file > save as simpan dengan nama Lagrange atau Newton. Bisa juga
dengan menekan tombol “F5”, program tersebut akan otomatis dijalankan oleh Matlab dan lagsung
disimpan secara otomatis pula.
Perbandingan metode interpolasi dua dimensi dalam menentukan nilai tabel sebaran F
Untuk mendapatkan perbandingan metode-metode yang digunakan baik secara manual
maupun berbantuan matlab dapat diketahui dengan menyelesaiakan masalah berikut.
Data berikut menunjukkan sebagian tabel nilai kritik sebaran F (𝛼 = 0.01)
1. Mulai
2. Defenisikan interpolasi dalam arah y
3. Masukkan data 𝑦, 𝑓(𝑥, 𝑦), �̅�
4. For i =1: length (y), temp= f(i)
5. For j =1:length(y)
6. If i ≠ 𝑗, temp= temp*(�̅� - y(i))/(y(i)-y(j))
7. Tampilkan dengan angka nilai 𝑓(𝑥, �̅�)
8. Defenisikan interpolasi dalam arah x
9. Masukkan data 𝑥, 𝑓(𝑥, �̅�), �̅�
10. For i =1: length (x), temp= f(i)
11. For j =1:length(x)
12. If i ≠ 𝑗, temp= temp*(�̅� - x(i))/(x(i)-x(j))
13. Tampilkan dengan angka nilai 𝑓(�̅�, �̅�)
14. Selesai
1. Mulai
2. Defenisikan interpolasi dalam arah y
3. Masukkan data 𝑦, 𝑓(𝑥, 𝑦), �̅�
4. Defenisikan variaabel 𝑛 = 𝑙𝑒𝑛𝑔𝑡ℎ (𝑦), 𝑎(1) =𝑓(1)
5. For i = 2: n
6. For j = 1: n+1-i, f(j)=(f(j+1)-f(j))/(y(j+i-1)-y(j))
7. If j==i, a(i)=f(j);
8. Defenisikan variabel p=a(1)
9. For i=2:n, temp a(i)
10. For j =2:i, temp=temp*(�̅�-y(j-1))
11. P=p+temp
12. Tampilkan koefisien polynomial Newton (a)
13. Tampilkan 𝑓(𝑥, �̅�) (P)
14. Defenisikan interpolasi dalam arah x
15. Masukkan data 𝑥, 𝑓(𝑥, �̅�), �̅�
16. Defenisikan variaabel 𝑛 = 𝑙𝑒𝑛𝑔𝑡ℎ (𝑥), 𝑎(1) =𝑓(1)
17. For i = 2: n
18. For j = 1: n+1-i, f(j)=(f(j+1)-f(j))/(x(j+i-1)-x(j))
19. If j==i, a(i)=f(j);
20. Defenisikan variabel p=a(1)
21. For i=2:n, temp a(i)
22. For j =2:i, temp=temp*(�̅�-x(j-1))
23. P=p+temp
24. Tampilkan koefisien polynomial Newton (a)
25. Tampilkan 𝑓(�̅�, �̅�) (P)
(a) (b)
Fraktal: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika Blegur, Kajian Interpolasi …..
Volume 2, No. 1, Mei 2021, Hal. 64-79
75
Tabel 6. Tabel nilai kritik sebaran F (soal aplikasi)
𝒗𝟐 𝒗𝟏
3 5 6 7
10 6.55 5.64 5.39 5.20
11 6.22 5.32 5.07 4.89
12 5.95 5.06 4.82 4.64
14 5.56 4.69 4.46 4.28
Tentukan nilai interpolasi 𝑓0.01(4,13) dan bandingkan dengan nilai eksak 𝑓0.01(4,13) = 5,21.
Penyelesaian:
Dengan menggunakan metode interpolasi polynomial Lagrange kita dapatkan 𝐿3.0(13) =2
8,
𝐿3.1(13) − 1, 𝐿3.2(13) =6
4, 𝐿3.3(13) =
6
24. Lalu 𝑓(3,13) =
2
8𝑓(3,10) + (−1)𝑓(3,11) +
6
4𝑓(3,12) +
6
24𝑓(3,14) = 5.7325, 𝑓(5,13) = 4.8525, 𝑓(6,13) = 4.6225, 𝑓(7,13) = 4.44
Selanjutnya 𝐿3.0(4) =6
24, 𝐿3.1(4) =
6
4, 𝐿3.2(4) = −1, 𝐿3.3(4) =
2
8 Sehingga 𝑓(4,13) = 5.1994
Hasil run dengan menggunakan Matlab seperti pada gambar 2.
Gambar 2 Hasil run Matlab dengan metode interpolasi polynomial Lagrange
Dengan menggunakan metode interpolasi polynomial Newton, kita dapatkan perbedaan
terbagi newton seprti pada tabel 7.
(a) (b)
(c) (d)
Fraktal: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika Blegur, Kajian Interpolasi …..
Volume 2, No. 1, Mei 2021, Hal. 64-79
76
Tabel 7. perbedaan terbagi newton untuk interpolasi dalam arah y soal aplikasi
xi yi f(xi , yi ) f [ , ] f [ , , ] f[ , , , ]
3
10 6.55 -0.3300 0.0300 -0.0013
11 6.22 -0.2700 0.0250
12 5.95 -0.1950
14 5.56
5
10 5.64 -0.3200 0.0300 -0.0012
11 5.32 -0.2600 0.0250
12 5.06 -0.1850
14 4.69
6
10 5.39 -0.3200 0.0350 -0.0029
11 5.07 -0.2500 0.2333
12 4.82 -0.1800
14 4.46
7
10 5.20 -0.3100 0.0300 -0.0017
11 4.89 -0.2500 0.2333
12 4.64 -0.1800
14 4.28
Sehingga 𝑓(3,13) = 5.7325, 𝑓(5,13) = 4.8525 , 𝑓(6,13) = 4.6225 dan 𝑓(7,13) = = 4.4400
Selanjutnya
Tabel 8. Perbedaan terbagi newton untuk interpolasi dalam arah x (soal aplikasi)
�̅� xi f(xi ,�̅�) f [ , ] f [ , , ] f[ , , , ]
13
3 5.7325 -0.4400 0.0700 -0.0116
5 4.8525 -0.2300 0.0238
6 4.6225 -0.1825
7 4.4400
Sehingga 𝑓(4,13) = 5.1994. Adapun hasil run dengan menggunakan Matlab seperti pada
gambar 3. Tabel 9 menunjukkan perbandingan hasil yang diperoleh dari metode yang telah
dikerjakan.
Tabel 9. Perbandingan hasil interpolasi dua dimensi mengunakan metode interpolasi
polynomial Lagrange dan metode interpolasi polynomial Newton
Metode yang
digunakan 𝒇(𝒙, 𝒚)
Nilai interpolasi
manual program
Interpolasi
polynomial
Lagrange
𝑓(3,13) 5.7325 5.7325
𝑓(5,13) 4.8525 4.8525
𝑓(6,13) 4.6225 4.6225
𝑓(7,13) 4.4400 4.4400
𝑓(4,13) 5.1994 5.1994
Interpolasi
polynomial
Newton
𝑓(3,13) 5.7325 5.7325
𝑓(5,13) 4.8525 4.8525
𝑓(6,13) 4.6225 4.6225
𝑓(7,13) 4.4400 4.4400
𝑓(4,13) 5.1994 5.1994
Fraktal: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika Blegur, Kajian Interpolasi …..
Volume 2, No. 1, Mei 2021, Hal. 64-79
77
Gambar 3. Hasil run Matlab dengan metode interpolasi polynomial
Hasil perhitungan pada tabel 9 baik secara manual maupun dengan menggunakan program
menunjukkan hasil yang sama. Metode interpolasi polynomial Lagrange hasil perhitungan manual
sama dengan hasil perhitungan menggunakan program baik untuk setiap nilai
𝑓(𝑥, 13)𝑚𝑎𝑢𝑝𝑢𝑛 𝑓(4,13). Demikian juga pada metode interpolasi Polinomial Newton hasil
perhitungan manual sama dengan perhitungan menggunakan program baik untuk koefisien
polinomialnya maupun nilai 𝑓(𝑥, 13)dan 𝑓(4,13).Dan nilai interpolasi dari kedua metode pun
sama yakni 𝑓(3,14) = 5.1994 , besarnya galat relative pun hanya 0.20% ,ini berarti nilai
interpolasi yang diperoleh dekat dengan nilai eksaknya.
Dilihat dari prosedur penyelesaian manual ,kedua metode memiliki prosedur penyelesaian
yang sama yakni penentuan nilai koefisien polinom terlebih dahulu kemudian nilai interpolasi
dalam arah y maupun x. Perlu diketahui bahwa proses komputasi dengan menggunakan metode
interpolasi polinomial Lagrange lebih lama dibandingkan metode interpolasi polynomial Newton.
Hal ini disebabkan karena proses perhitungan untuk mencari koefisien polynom interpolasi
Lagrange lebih rumit dibandingkan dengan proses perhitungan untuk mencari koefisien polynom
interpolasi Newton. Dalam proses perhitungan untuk mencari koefisien polynom interpolasi
Newton dibantu dengan menggunakan tabel perbedaan terbagi Newton. Hal ini sangat
memudahkan untuk mengecek ulang apabila terjadi kesalahan,dan kesalahan perhitungan itu akan
mudah dideteksi. Selain itu dalam pembuatan tabel perbedaan terbagi newton ini terdapat pola
khusus yang sangat membantu dalam proses perhitungan. Pola ini akan disadari ketika
(a) (b) (c)
(d) (e)
Fraktal: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika Blegur, Kajian Interpolasi …..
Volume 2, No. 1, Mei 2021, Hal. 64-79
78
mencobanya langsung.Proses Interpolasi tersebut jika dilihat dari prosedur penyelesaian dengan
menggunakan program, interpolasi dengan metode interpolasi polynomial Newton lebih lama
dibandingkan metode interpolasi polynomial Lagrange. Jadi, nilai interpolasi distrubsi
𝑓0.01(4,13)𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 5.1994 dapat dibulatkan menjadi 5.20
KESIMPULAN
Interpolasi dua dimensi dalam tabel nilai kritik sebaran F dapat dilakukan dengan
menggunakan prosedur interpolasi 1 variabel secara berurutan.. Interpolasi dilakukan dengan
berturut-turut melakukan interpolasi satu variabel untuk mendapatkan fungsi dekatan bagi data
yang diberikan. Interpolasi dilakukan terlebih dahulu untuk salah satu variabel dan menganggap
variabel yang lainnya konstan. Kemudian sekali lagi dilakukan interpolasi untuk mendapatkan
polinom interpolasi ganda untuk data yang diberikan. Perkiraan nilai tengahan untuk fungsi
dimaksud dapat dilakukan dengan mensubstitusikan setiap variabel bebas ke dalam interpolasi
polinom interpolasi ganda yang telah diperoleh. Formula interpolasi dua dimensi dapat dibuat
dengan mengacu pada bentuk umum polinom interpolasi Lagrange dan Newton. Telah dibuat suatu
program interpolasi dua dimensi dengan menggunakan Matlab yaitu program yang dapat
menentukan nilai tengahan suatu fungsi dalam dua variabel dengan menggunakan formula
interpolasi polynomial Lagrange dan Newton. Hasil interpolasi dua dimensi dengan menggunakan
kedua metode adalah sama. Metode Lagrange memiliki kelebihan dalam kesederhanaan pembuatan
program namun memerlukan waktu yang cukup lama dalam penyelesaian manualnya. Sedangkan
Metode Newton memiliki kelebihan dalam kesederhanaan proses kerja secara manual namun
memerlukan waktu yang cukup lama dalam pembuatan program.
DAFTAR PUSTAKA
Etter, D. M., Kunicky D. C., & Hull, D. (2003). Pengantar Matlab 6, terjemahan. PT Indeks
kelompok Gramedia : Jakarta
Hadi, S. (1995). Metodologi Research Jilid 3. Metodologi Research Jilid 3. Yogyakarta: Andi
Offset
Hanselman, D. & Bruce L. (2000) . Matlab Bahasa Komputasi Teknis, terjemahan. Andi Offset:
Yogyakarta.
Karris, S. T. (2004). Numerical Analysis using Matlab and Spreadsheets, edisi kedua. Orchard
Publications : California.
Kiusalaas, J. (2005). Numerical Methods In Engineering With Matlab. Cambridge University
Press: New York
Kosasih, P. B. (2006). Komputasi Numerik Teori dan Aplikasi. Andi Offset : Yogyakarta.
Muhadjir, N. (1998). Metodologi Penelitian Kualitatif. Yogyakarta: Rake Sarasin.
Quarteroni, A., Sacco, R., & Saler, F. (2007). Numerical Mathematics, edisi kedua. Springer :
Berlin.
Walpole, R. E. (1995). Pengantar Statistika Edisi ke-3. PT Gramedi Pustaka Utama: Jakarta.
Fraktal: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika Blegur, Kajian Interpolasi …..
Volume 2, No. 1, Mei 2021, Hal. 64-79
79
Yang, W. Y., Cao, W., Chung, T. S., & Morris, J. (2005). Applied Numerical Methods Using
Matlab. John Wiley & Sons: Singapura.