KAEDAH KAEDAH

INTERPOLASI

SPLINE(Interpolation Spline Method)1

KKENAPAENAPA SSPLINEPLINE????

Polynomial interpolation involves finding a polynomialof order n that passes through n+1 data points.Several methods to obtain such a polynomial includedirect method, Newtons Divided Difference polynomial,and Lagrangian interpolation method. So is spline justanother method of obtaining this nth order polynomial? NO! Actually, when n becomes large, in manycases, one may get oscillatory behavior in the resultingcases, one may get oscillatory behavior in the resultingpolynomial. This was shown by Runge when heinterpolated data based on a simple function of

on an interval of [-1, 1]. For example, take sixequidistantly spaced points in [-1, 1] and find y at thesepoints as given in Table 1. 2

22511

xy

+=

Jadual 1

-1.0 0.038461

-0.6 0.1

-0.2 0.5

0.2 0.5

x 22511

xy

+=

3

0.6 0.1

1.0 0.038461

Figure 1: 5th order polynomial vs. exact function

,2019.17308.156731.0)( 425 xxxf += 11 x

0

1

2

f x( )

f1 n1 x,( )f1 n2 x,( )f1 n3 x,( )

4

Runge mendapati, apabila peringkat polinomial menghampiri

infiniti, polinomial akan mencapah pada selang 1 < x < 0.726

dan 0.726 < x < 1.

1 0.5 0 0.5 1

1

x

Jadi apakah kaedah yang sesuai digunakan untuk

interpolasi dengan menggunakan lebih banyak data

dan dalam masa yang sama mengekalkan

penumpuan?

KaedahKaedahKaedahKaedah InterpolasiInterpolasiInterpolasiInterpolasi SplineSplineSplineSpline

5

KaedahKaedahKaedahKaedah InterpolasiInterpolasiInterpolasiInterpolasi SplineSplineSplineSpline

INTERPOLASI SPLINE LINEAR

Diberi , memenuhi data

spline linear. Jika data yang diberi adalah dalam susunan

menaik, maka spline linear adalah .

( ) ( ) ( )( )nnnn yxyxyxyx ,,,......,,,, 111100 ( ))( ii xfy =

6

),()()()()( 001

010 xx

xx

xfxfxfxf

+= 10 xxx

2 11 1

2 1

( ) ( )( ) ( ),f x f xf x x xx x

= +

21 xxx

INTERPOLASI SPLINE LINEAR

7

11 1

1

( ) ( )( ) ( ),n nn nn n

f x f xf x x xx x

= +

1n nx x x

Perhatikan sebutan , ia adalah kecerunan

di antara dan .

1

1)()(

ii

ii

xx

xfxf

1ix ix

CONTOH 1(A)

Halaju menaik sebuah roket diberikan sebagai fungsi masa

seperti dalam Jadual 1. Cari halaju pada t=16 saat menggunakan

kaedah interpolasi spline linear.

8

t v(t)s m/s0 0

10 227.0415 362.7820 517.35

22.5 602.9730 901.67

Jadual 1

Velocity vs. time data for the rocket example

,150 =t 78.362)( 0 =tv

,201 =t 35.517)( 1 =tv

)()()()()( 001

010 tttt

tvtvtvtv

+=

)15(1520

78.36235.51778.362

+= t

Kita dapat lihat tiada

perbezaan dengan

interpolasi linear yang lain.

Ia masih menggunakan

hanya dua data yang

berturutan. Serta

perubahan kecerunan

berlaku secara mendadak.

Ini bermakna, terbitan

yang pertama tidak

selanjar pada titik

9

)15(1520

78.362

+= t

)15(913.3078.362)( += ttv,16=t

)1516(913.3078.362)16( +=v-1393.7ms=

Pada

perubahan kecerunan

berlaku secara mendadak.

Ini bermakna, terbitan

yang pertama tidak

selanjar pada titik

tersebut. Jadi, bagaimana

untuk membaiki keadaan

ini?

( ) ( ) ( )( )nnnn yxyxyxyx ,,,......,,,, 111100

,)( 1121 cxbxaxf ++= 10 xxx 2

2 2 2 ,a x b x c= + + 21 xxx

INTERPOLASI SPLINE KUADRATIK

Diberi , memenuhi data

spline kuadratik. Maka spline kuadratik adalah .

10

2 2 2

,2

nnn cxbxa ++= nn xxx 1

Diperoleh pekali 3n berikut:

, , ; 1,2, ,i i ia b c i n=

LangkahLangkahLangkahLangkah 1:1:1:1:

Untuk mendapatkan nilai pekali 3n , kita perlu ada 3n persamaandan selesaikannya secara serentak.

Jadi, setiap spline kuadratik melalui dua data yang berturutan.

INTERPOLASI SPLINE KUADRATIK

11

Untuk mendapatkan nilai pekali 3n , kita perlu ada 3n persamaandan selesaikannya secara serentak.

Jadi, setiap spline kuadratik melalui dua data yang berturutan.

)( 0101201 xfcxbxa =++2

1 1 1 1 1 1( )a x b x c f x+ + =

)( 1121 =++ iiiiii xfcxbxa2 ( )i i i i i ia x b x c f x+ + =

( ) 2 ,n n nf x a x b x c= + + nn xxx 1

12

)( 1121 =++ nnnnnn xfcxbxa)(2 nnnnnn xfcxbxa =++

LangkahLangkahLangkahLangkah 2:2:2:2:

Terbitan pertama dua spline kuadratik adalah selanjar pada titik-

titik pedalaman. Contohnya, terbitan bagi spline kuadratik pertama

(n=1)

21 1 1 1 1 0 1adalah 2 bagi a x b x c a x b x x x+ + +

Terbitan spline kuadratik kedua (n=2)

13

Terbitan spline kuadratik kedua (n=2)

22 2 2 2 2 1 2adalah 2 bagi a x b x c a x b x x x+ + +

maka kedua-duanya adalah sama pada 1xx=

212111 22 bxabxa +=+022 212111 =+ bxabxa

Similarly at the other interior points,

022 323222 =+ bxabxa

.

.

.

022 11 =+ ++ iiiiii bxabxa

Terdapat (n-1) titikpedalaman, kita ada (n-1) persamaan. Setakat ini,

jumlah persamaan adalah

persamaan. Kita masih

memerlukan satu lagi

persamaan. Andaikan spline

yang pertama adalah linear,

maka

)13()1()2( =+ nnn

14

.

.

.

022 1111 =+ nnnnnn bxabxa

persamaan. Kita masih

memerlukan satu lagi

persamaan. Andaikan spline

yang pertama adalah linear,

maka

atau

01 =a

( ) 1 1f x b x c= +

,)( 1121 cxbxaxf ++= 10 xxx ,22

22 cxbxa ++= 21 xxx

.

Ini memberikan 3n persamaan dan 3n pekali. Ia dapat

diselesaikan menggunakan pelbagai kaedah seperti ???

15

.

.

.

,2

nnn cxbxa ++= nn xxx 1

CONTOH 1(B)

Halaju menaik sebuah roket diberikan sebagai fungsi masa

seperti dalam Jadual 1. Cari halaju pada t=16 saat menggunakan

kaedah interpolasi spline kuadratik.

16

t v(t)s m/s0 0

10 227.0415 362.7820 517.35

22.5 602.9730 901.67

Jadual 1

Velocity vs. time data for the rocket example

Since there are six data points, five quadratic splines pass through them.

,)( 1121 ctbtatv ++= 100 t ,22

22 ctbta ++= 1510 t

,332

3 ctbta ++= 2015 t

Terdapat 6 data, maka kita peroleh 5 spline kuadratik

17

,442

4 ctbta ++= 5.2220 t

,552

5 ctbta ++= 305.22 t

Langkah 1:

Dapatkan semua persamaan. Setiap spline kuadratik melalui dua

data berturutan.

( ) 21 1 1v t a t b t c= + +0)0()0( 1121 =++ cba

04.227)10()10( 2 =++ cba

melalui t = 0 dan t = 10,

(1)

(2)

18

04.227)10()10( 1121 =++ cba

( ) 22 2 2v t a t b t c= + +04.227)10()10( 2222 =++ cba78.362)15()15( 2222 =++ cba

melalui t = 10 dan t = 15,

(1)

(2)

(3)

(4)

Kita juga dapat

332

3 ctbta ++78.362)15()15( 3323 =++ cba35.517)20()20( 3323 =++ cba

442

4 ctbta ++35.517)20()20( 4424 =++ cba

(5)

(6)

(7)

(8)

35.517)20()20( 444 =++ cba97.602)5.22()5.22( 4424 =++ cba

552

5 ctbta ++97.602)5.22()5.22( 5525 =++ cba

67.901)30()30( 5525 =++ cba

(7)

(8)

(9)

(10)

Langkah 2:

Terbitan pertama spline kuadratik adalah selanjar pada titik-titik

pedalaman.

0)10(2)10(2 2211 =+ baba

0)15(2)15(2 3322 =+ baba

0)20(2)20(2 =+ baba

(11)

(12)

(13)

t = 15

t = 20

t = 10

20

0)20(2)20(2 4433 =+ baba

0)5.22(2)5.22(2 5544 =+ baba

(13)

(14)

t = 20

t = 22.5

Anggap spline yang pertama adalah linear;112

1 ctbta ++

1 0 (15)a =

=

97.60297.60235.51735.51778.36278.36204.22704.227

0

15.2225.50600000000000000015.2225.506000000000000120400000000000000000120400000000000000115225000000000000000115225000000000000110100000000000000000110100000000000000100

3

3

3

2

2

2

1

1

1

c

ba

c

ba

c

ba

21

00000

67.901

00000000000000101450145000000000000014001400000000000000130013000000000000001200120130900000000000000

5

5

5

4

4

4

3

c

ba

c

ba

Solving the above 15 equations gives the 15 unknowns as

i ia ib ic

1 0 22.704 0

2 0.8888 4.928 88.88

3 -0.1356 35.66 -141.61

22

4 1.6048 -33.956 554.55

5 0.20889 28.86 -152.13

Maka, kita peroleh persamaan spline berikut:

,704.22)( ttv = 100 t2( ) 0.8888 4.928 88.88,v t t t= + + 1510 t

2( ) 0.1356 35.66 141.61,v t t t= + 2015 t2( ) 1.6048 33.956 554.55,v t t t= + 5.2220 t2( ) 1.6048 33.956 554.55,v t t t= + 5.2220 t

2( ) 0.20889 28.86 152.13,v t t t= + 305.22 t

Pada t = 16

2 1(16) 0.1356(16) 35.66(16) 141.61 394.24v ms= + =23

JJARAKARAK DARIPADADARIPADA PPROFILROFIL HHALAJUALAJU

Dapatkan jarak yang dilalui oleh roket tersebut pada masa

t=11s hingga t=16s ?

,704.22)( ttv = 100 t2( ) 0.8888 4.928 88.88,v t t t= + + 1510 t

24

( ) 0.8888 4.928 88.88,v t t t= + + 1510 t2( ) 0.1356 35.66 141.61,v t t t= + 2015 t

2( ) 1.6048 33.956 554.55,v t t t= + 5.2220 t2( ) 0.20889 28.86 152.13,v t t t= + 305.22 t

=16

11

)()11()16( dttvss

But since the splines are valid over different ranges, we need to break the integral accordingly as

,88.88928.48888.0)( 2 ++= tttv 1510 t ,61.14166.351356.0 2 += tt 2015 t

+=16

11

15

11

16

15

)()()( dttvdttvdttv

15 16

25

++++=15

11

16

15

22 )61.14166.351356.0()88.88928.48888.0()11()16( dtttdtttss

9.1595= m

16)()16( == ttvdtd

a

,61.14166.351356.0)( 2 += tttv 2015 t

PECUTAN DARIPADA PROFIL HALAJU

Dapatkan pecutan roket pada t=16s.

26

,

)61.14166.351356.0()()( 2 +== ttdtd

tvdtd

ta

66.352712.0)( += tta 2015 t 66.35)16(2712.0)16( +=a

321.31= m/s2

( ) ( ) ( )( )nnnn yxyxyxyx ,,,......,,,, 111100

3 21 1 1 1( ) ,f x a x b x c x d= + + + 10 xxx

3 22 2 2 2 ,a x b x c x d= + + + 21 xxx

INTERPOLASI SPLINE KUBIK

Diberi , memenuhi data

spline kubik. Maka spline kubik adalah .

27

2 2 2 2

3 2,n n n na x b x c x d= + + + nn xxx 1

Diperoleh pekali 4n berikut:

, , ; 1,2, ,i i ia b c i n=

Untuk mendapatkan nilai pekali 4n , kita perlu ada 4n persamaandan selesaikannya secara serentak.

LangkahLangkahLangkahLangkah 1: 1: 1: 1: Setiap spline kubik melalui dua data yang berturutan.

LangkahLangkahLangkahLangkah 2:2:2:2: Terbitan pertama spline kubik adalah selanjar pada titik-

titik pedalaman.

INTERPOLASI SPLINE KUBIK

28

LangkahLangkahLangkahLangkah 2:2:2:2: Terbitan pertama spline kubik adalah selanjar pada titik-

titik pedalaman.

LangkahLangkahLangkahLangkah 3: 3: 3: 3: Terbitan kedua spline kubik adalah selanjar pada titik-

titik pedalaman.

LangkahLangkahLangkahLangkah 4:4:4:4: Terbitan kedua spline kubik adalah sifar pada titik-titik

hujung.

CONTOH 2

Dapatkan kubik spline yang memenuhi data berikut:

x f(x)1 1

2 53 4

29

LangkahLangkahLangkahLangkah 1: 1: 1: 1: Setiap spline kubik melalui dua data yang

berturutan.

3 21 1 1 1 1( ) ,f x a x b x c x d= + + + 1 2x

( ) 3 22 2 2 2 2 ,f x a x b x c x d= + + + 2 3x 1

1

2

2

(1) 1(2) 5(2) 5(3) 4

ffff

=

=

=

=

LangkahLangkahLangkahLangkah 2:2:2:2: Terbitan pertama spline kubik adalah selanjar pada titik-

titik pedalaman.

1 2(2) (2)f f =

LangkahLangkahLangkahLangkah 3: 3: 3: 3: Terbitan kedua spline kubik adalah selanjar pada

titik-titik pedalaman.

30

( )1 2(2) 2f f =LangkahLangkahLangkahLangkah 4:4:4:4: Terbitan kedua spline kubik adalah sifar pada

titik-titik hujung.

( )1

2

(1) 03 0

ff =

=

11

1

1

a

bc

d

31

1

2

2

2

2

a

bc

d

Maka, penyelesaiannya adalah

1

1

1

1

a

bc

da

32

2

2

2

2

a

bc

d

Maka, kita peroleh persamaan spline berikut:

3 21( ) 1.25 3.75 1.5 3,f x x x x= + + 1 2x

( ) 3 22 1.25 11.25 31.5 23,f x x x x= + 2 3x

33