1

KL2202 Mekanika Gelombang Air

Buku yang digunakan:

Dean, R.G, Dalrymple. 1991. “Water Wave Mechanics for Engineers and Scientists”. World Scientific

Gelombang Air di Alam

Tinggi dan perioda bervariasi

(acak)

Variabel bebas fisis: ruang dan waktu

Gelombang air pada kelas mekanika gelombang air ini bersifat monokromatik, artinya:

Tinggi gelombang

Periode gelombang

x

sumbu jarak

Muka air rata-rata

Elevasi muka air

t

waktu

Elevasi muka air

Tetap sepanjang proses, merambat pada kedalaman perairan yang

tetap pada arah yang tetap juga

Garis yang menghubungkan titik-titik pada permukaan air

yang memiliki fasa gelombang sama

Wave front = muka gelombang

Arah rambat gelombang

Wave ray: Garis imajiner

tegak lurus wavefront

Tinggi

gelombang

2

Karakter gelombang air dinyatakan dengan persamaan matematika. “State-of-the-art” iptek sejauh ini

banyak berhasil memahami fenomena gelombang air dengan pendekatan fisika dan matematika.

→ Perilaku gelombang dapat dimodelkan secara matematika dan numerik.

Perlu tata sumbu matematika untuk memfasilitasi pendekatan matematika ini → dengan sketsa definisi

Karakter gelombang:

Tinggi

Perioda

Panjang

Kecepatan rambat

Kecepatan partikel air

Elevasi muka air (EMA)

Tekanan

Lintasan partikel

Energi

Daya, dll.

Variabel tak bebas

Variabel bebas = variabel bebas fisika. Pada umumnya waktu dan ruang.

= vektor kecepatan partikel air

, = vektor satuan arah x, z

u = skalar komponen kecepatan arah x

w = skalar komponen kecepatan arah z

Parameter utama gelombang air:

1. H

2. T

3. h

4. L

Saling terkait melalui

persamaan dispersi

3

Parameter lain bukan utama:

η = elevasi muka air

c = kecepatan rambat gelombang =

,

u

w

Persamaan Dispersi

ω =

= kecepatan sudut

k =

= bilangan gelombang (wave number)

g = percepatan gravitasi = 9,81 m/s2

tanh = fungsi hiberbolik

Dalam praktek: h dan T diketahui. L dihitung dengan persamaan dispersi.

Persamaan

tidak bisa dipecahkan begitu saja.

Fungsi hiperbolik:

Dihitung jika parameter utama diketahui

4

Tinjau karakter fungsi tanh:

Untuk argumen (a) kecil

tanh a ≈ a (untuk

)

Untuk argumen (a) besar

tanh a ≈ 1 (untuk )

Sifat tanh ini digunakan dalam mekanika gelombang air untuk memilah kedalaman perairan.

1. Perairan dangkal

→

→

Berlaku:

= ∙

2. Perairan dalam

→

→

Berlaku:

→ Panjang gelombang perairan dalam

5

3. Perairan transisi

[Tidak dapat disederhanakan]

Persamaan

Cara I : Analitis

Contoh:

Diketahui : h = 10m, T = 7s. Dengan cara coba-coba didapatkan L = 59,8m.

Cara II : Cara Tabel

Tabel SPM (Shore Protection Manual) tahun 1984 → referensi klasik teknik kelautan. Sebagian besar

diperbaharui menjadi Coastal Engineering Manual (CEM) tetapi ada sejumlah fitur yang hanya di SPM.

Prosedur :

1. Hitung L0.

2. Hitung

.

3. Baca tabel SPM.

Karakter Gelombang Air

1. Elevasi muka air (EMA) (η)

=

Fungsi cosinus dipakai karena pendekatan iptek.

2. Kecepatan rambat gelombang air

Kecepatan rambat gelombang air tidak sama dengan kecepatan partikel air .

Sifat Teknik (Engineering Properties) Gelombang Air

1. Elevasi Muka Air (EMA)

6

Keterangan:

η = elevasi muka air.

η(x,t) = elevasi muka air di titik x pada waktu t.

x = posisi.

t = waktu.

L = panjang gelombang.

T = periode gelombang.

2. Potensial Kecepatan (φ)

Parameter skalar φ(x,z,t) = potensial kecepatan.

= vektor partikel air

x,z = ruang

t = waktu

u, w = skalar

u =

= komponen kecepatan partikel arah x

w =

= komponen kecepatan partikel arah z

Parameter φ akan dibahas lebih rinci saat penurunan teori gelombang.

(4.1) Dean, Dalrymple, 1991

(4.2)

7

Selanjutnya,

(4.3a)

(4.3b)

(4.5)

Lebih lanjut,

Percepatan :

(4.4)

(4.6)

Contoh

Diketahui:

H = 4 m

h = 9 m

T = 10 s

Hitung u dan w pada t = 0 di bawah posisi puncak, lembah, dan η = 0.

∙

= 156,13 m

= 0,0576

Dari tabel SPM diperoleh:

. Maka, L = 88,32 m

= 0,0711

= 0,6403

8

z (m) u (m/s) di puncak

cos kx = 1

w (m/s) di puncak

sin kx = 0

u (m/s) di lembah

cos kx = 1

w (m/s) di lembah

sin kx = 0

u (m/s) di η = 0

cos kx = 0

w (m/s) di η = 0 sin kx = ±1

sin kx = 1 sin kx = -1

2 2,423204 0

1 2,316471 0

0 2,221467 0 0 1,256637 -1,25664

-1 2,137711 0 0 1,101481 -1,10148

-2 2,064779 0 -2,06478 0 0 0,951901 -0,9519

-3 2,002301 0 -2,0023 0 0 0,807142 -0,80714

-4 1,949961 0 -1,94996 0 0 0,666469 -0,66647

-5 1,907494 0 -1,90749 0 0 0,52917 -0,52917

-6 1,874685 0 -1,87469 0 0 0,394551 -0,39455

-7 1,851368 0 -1,85137 0 0 0,261929 -0,26193

-8 1,837425 0 -1,83743 0 0 0,130634 -0,13063

3. Lintasan Partikel Air

Saat air tenang, partikel menetap di koordinat (x1,z1).

Saat gelombang datang, partikel bergerak dengan kecepatan:

Posisi partikel berubah setiap saat

Sumber: Dean, Dalrymple (1991) figure 4.2

Partikel A hendak

ditinjau geraknya

9

Posisi partikel :

Dalam arah x:

(4.9)

Dalam arah z:

(4.10)

Sehingga didapat:

(4.13) Dean, Dalrymple, 1991

Persamaan tersebut merupakan persamaan elips dengan sumbu A dan B.

A dan B dihitung per lokasi (x1, z1)

Perairan dangkal (shallow water)

(4.14 dan 4.15)

Perairan dalam (deep water)

(4.16 dan 4.17)

Contoh

[Perairan Dalam]

H = 4 m

T = 10 s

h = 100 m

∙

= 156,13 m

Periksa:

= 0,64 > 0,5 → perairan dalam

z1 A = B

0 2,0000

-20 0,8951

-40 0,4006

-60 0,1793

-80 0,0802

-100 0,0359

*) Pada perairan dalam, pengaruh terjadi hingga

L.

10

[Perairan Dangkal]

H = 4 m

T = 10 s

h = 7 m

L0 = 156,13 m

= 0,045

Dari tabel SPM diperoleh:

. Maka, L = 79,5 m

=

=3,77m

=

= 2

4. Tekanan Akibat Gelombang Air

Telah diperkenalkan sebelumnya, besaran φ(x,z,t) merupakan potensial kecepatan. Pada saat membahas

kecepatan partikel air

Tekanan hidrodinamika akibat gelombang air juga diturunkan dari φ.

(4.21)

(4.22)

∙

11

ρ = kerapatan massa air

g = percepatan gravitasi

η = elevasi muka air gelombang

Diagram tekanan gelombang

Contoh

H = 4 m

T = 7 s

h = 8 m

Hitung dan plot diagram tekanan dalam air di bawah puncak gelombang.

L0 = 76,504 m

= 0,1046

Dari tabel SPM diperoleh:

. Maka, L = 55,05 m

k = 0,114

z (m) cosh k(h+z) Kp(z) ρg Kp(z)

[kPa]

2 1,723 1,192 23,975

0 1,446 1,000 20,111

-2 1,243 0,860 17,296

-4 1,106 0,765 15,384

-6 1,026 0,710 14,276

-8 1,000 0,692 13,912

12

Salah satu kegunaan rumus tekanan gelombang adalah untuk pengukuran EMA.

Dalam kegiatan profesi teknik kelautan, perlu pengukuran di lapangan:

Kedalaman perairan, h.

EMA (η) akibat gelombang di lokasi tertentu (x tertentu = x0) merupakan seri waktu η(x,t).

Yang dimaksud dengan mengukurgelombang dalam teknik kelautan adalah mengukur η(x0,t).

Nilai η direkam secara diskrit pada setiap Δt = interval waktu. Δt tipikal untuk pengukuran gelombang

adalah 0,5 s. Setiap 0,5 detik dicatat 1 titik data → sampling rate = 2 Hz.

Salah satu jenis instrumen pengukur EMA dibuat berdasarkan prinsip tekanan.

∙ (4.23)

Yang diukur a;at adalah tekanan akibat hidrostatis h1 dan hidrodinamis η. Karena h1 diketahui, komponen

hidrodinamika bisa dihitung.

13

Diperoleh:

∙

∙

Nilai η dapat dihitung berdasarkan tekanan dinamis yang diukur.

5. Standing Wave

Jika gelombang air menumbuk dinding vertikal yang kedap air, terjadi pemantulan sempurna. Secara

analitis, fenomena ini didekati sebagai berikut:

Gelombang datang (incident wave) → φi → berwujud

.

Gelombang pantul (reflection wave) → φr → berwujud

L sama k sama karena terjadi pada h yang sama

T sama ω sama karena “irama” gelombang ditentukan oleh pemicunya (gelombang

datang).

Pemantulan sempurna → Hi = Hr = H

Sederhananya, Teori Gelombang Linear adalah gelombang dalam wujud matematikanya dapat dijumlah

secara aljabar.

φi = potensial kecepatan gelombang datang (incident)

φr = potensial kecepatan gelombang pantul (reflection)

φ = φi + φr = interaksi antara gelombang datang dan pantul

Untuk lebih memudahkan analisis, ingat:

(4.20)

Dari φ = φi + φr diperoleh η = ηi + ηr

Pemantulan sempurna : Hi = Hr

η = ηi + ηr = Hi cos kx . cos ωt

14

Perhatikan hal berikut:

1. Di depan dinding vertikal tercipta gelombang dengan tinggi 2x gelombang datang.

2. Standing wave tidak merambat. Titik node tidak berubah elevasinya. Di titik selain node EMA

bergerak vertikal, simpangan terbesarnya di antinode.

3. Semua rumus gelombang merambat (progreesive wave) berlaku, namun hati-hati di tinggi

gelombang.

Hs = 2 x Hi

6. Energi Gelombang

Energi total = energi potensial + energi kinetik

Energi Potensial

Tinjau kolom air dx (lebar dalam arah tegak lurus bidang gambar = 1 satuan).

Elemen energi potensial kolom terhadap dasar perairan:

∙

∙

Energi potensial (PE) suatu kolom pada suatu saat. Kolom beda lokasi dan waktu

menghasilkan PE berbeda.

Energi potensial gelombang didefinisikan sebagai energi potensial kolom rata-rata yang dihitung

per satu panjang gelombang (L).

→ dibagi dengan L menghasilkan rata-rata

(4.64)

15

Selanjutnya, perhatikan yang disebabkan oleh gelombang saja.

(4.66)

Energi Kinetik

Tinjau kolom air yang sama

Elemen energi kinetik:

d(KE) adalah elemen energi kinetik. KE gelombang didefinisikan sebagai rata-rata KE kolom air,

dihitung sepanjang satu panjang gelombang (L).

∙

(4.74)

Energi Gelombang

(4.76)

! energi gelombang per satuan luas permukaan air

Flux energi gelombang = daya gelombang =

Definisi:

∙ ∙

(4.77)

16

Keterangan:

pD = tekanan dinamis (4.23)

u = komponen kecepatan arah sumbu x (4.3a dan 4.3b)

∙ ∙ (4.81) → daya gelombang per satuan lebar dalam arah arah rambat gelombang

E = energi gelombang

C = cepat rambat

(4.82b)

Ilustrasi

Gelombang datang di suatu pantai dengan H0 = 2 m, T = 7 s. PLTO hendak dibangun di kedalaman

h = 8 m. Anggap gelombang datang selalu tegak lurus garis pantai (mengabaikan masalah refraksi).

Efisiensi PLTO mengkonversi energi gelombang menjadi energi listrik sebesar 50%. Hitung:

1. E di perairan dalam.

2. E di kedalaman 8 m.

3. Daya gelombang di lokasi PLTO.

4. Daya listrik jika PLTO dibuat sepanjang 1 km.

Jawab:

1) H = H0 = 2 m

E =

=

(1025 kg/m3)(9,81 m/s2)(2 m)2 = 5027,625 J/m2

17

2)

=

∙

= 76,5 m

= 0,105

Dari tabel SPM diperoleh:

. Maka, L = 55,06 m

Diperkenalkan:

= perbandingan tinggi gelombang di suatu kedalaman terhadap tinggi gelombang di

perairan dalam.

= KS = koefisien shoaling (TANPA REFRAKSI)

(4.116)

(4.90)

∙

= 0,114

kh = 0,913

sinh 2kh = 3,024 → n = 0,802

tanh kh = 0,723 → KS = 1,313

H = KS H0 = 2,63

E =

= 8671,48 J/m2

3) ∙ ∙

∙

∙

W/m → watt per satuan lebar

4) 1 km

∙ ∙

∙ ∙

W

Mahasiswa teknik kelautan ITB harus punya wawasan bermutu tentang energi dan laut RI.

1. Bangsa modern membutuhkan energi besar.

2. Energi RI saat ini dipasok oleh sumber fosil yang akan habis di masa depan.

3. Laut merupakan sumber energi yang terbarukan.

4. Indonesia memiliki laut yang sangat luas.

5. Bagaimana cara memanfaatkan energi laut Indonesia untuk kesejahteraan bangsa?

18

Transformasi Gelombang

Ingat parameter utama gelombang:

1. T = perioda → tidak berubah sepanjang perambatannya.

2. h = kedalaman perairan → kondisi fisik laut di tempat gelombang merambat.

3. L = panjang gelombang → terdefinisi untuk T dan h tertentu.

4. H = tinggi gelombang → pokok kejadian transformasi gelombang.

Parameter yang berpengaruh paling besar untuk perencanaan, operasi, dan pemeliharaan

bangunan laut.

Produk dari kajian transformasi gelombang adalah distribusi tinggi dan arah gelombang dalam kawasan

perairan yang ditinjau.

19

Di kelas : dipelajari prinsip perhitungannya menggunakan kasus dengan kondisi sederhana.

Praktek profesi : perhitungan transformasi gelombnag dengan software

RCPWAVE

REF/DIF

SMS → CGWAVE

MIKE-21

Pemahaman: T (periode) tidak berubah sepanjang perambatan gelombang.

20

8. Refraksi

Ingat rumus panjang gelombang

[konstan]

[konstan]

Makin kecil h, makin kecil c.

21

Hukum Snell dari fisika optik

Dari rumus ini dapat dihitung sudut α di tiap kedalaman.

Perubahan Tinggi Gelombang Akibat Refraksi

Dalam bentuk rumus

→ daya di antara 2 lintasan gelombang

b = lebar antara 2 lintasan gelombang yang ditinjau

Terus jabarkan:

Akan diperoleh rumus untuk perubahan tinggi gelombang H.

(4.117)

Kr = koefisien refraksi

22

Ks = koefisien shoaling

∙

Untuk garis pantai dengan garis kedalaman sejajar berlaku:

Cara menggunakan grafik Kr dan Ks.

9. Difraksi

Gelombang terdifraksi merupakan gelombnag di daerah bayang-bayang suatu penghalang. Dalam praktik

profesi, difraksi dihitung menggunakan perangkat lunak. Untuk di kelas diberikan 2 kasus sederhana.

23

Difraksi di belakang penghalang gelombang semi-infinite

Difraksi melalui celah (celah relatif sempit)

Koefisien shoaling dapat diperoleh dari tabel C-1 SPM.

kh tanh kh sinh kh cosh kh

Koefisien shoaling untuk kasus gelombang garis pantai

Tidak ada refraksi

Kr = 1

= Kr KS = KS

1. Difraksi di belakang penghalang gelombang semi-infinite

Grafik : nilai yang tercantum adalah nilai

.

24

Hd = tinggi gelombang terdifraksi

H = tinggi gelombang datang

Contoh

Diketahui denah pelabuhan seperti tergambar.

Geometri pelabuhan:

h = 10 m

b = 400 m

a = 100 m

c = 150 m

Gelombang datang:

H = 2 m

T = 7 s

α = 30°

Hitung / taksir: HA dan HB.

Jawab:

=

∙

= 76,5 m

= 0,1370

Dari tabel SPM diperoleh:

. Maka, L = 59,88 m

Titik A

=0,18

Titik B

25

Tool grafik yang digunakan di kelas merupakan tool “kuno” yang tidak dapat dipakai dalam

praktek profesi. Kasus terlalusederhana dan hanya untuk keperluan pembelajaran.

Pada prakteknya menggunakan software: RCPWAVE, GGWAVE, REF/DIF, MIKE-21.

Dalam praktek tidak dijumpai breakwater semi-infinite pada grafik.

26

Contoh

Diketahui:

Geometri pelabuhan:

h = 10 m

k = 600 m

l = 400 m

m = 250 m

n = 150 m

Gelombang datang:

H = 2 m

T = 7 s

α = 15°

Taksir tinggi gelombang di titik A.

Karena tool yang tersedia adalah grafik untuk penghalang gelombang semi-infinite, maka

digunakan pendekatan sebagai berikut.

Kasus 1: Hd1 = tinggi gelombang terdifraksi di titik A akibat peristiwa pada kasus 1.

Kasus 2: Hd2 = tinggi gelombang terdifraksi di titik A akibat peristiwa pada kasus 2.

27

Cara perhitungan dan penggunaan grafik mirip dengan soal difraksi semi-infinite.

Tinggi felombang terdifraksi di titik A sebesar-besarnya adalah

Mengapa digunakan istilah sebesar-besarnya?

Difraksi kasus 1 dengan kasus 2 bisa saling menguatkan atau saling melemahkan.

2. Difraksi melalui celah (gap) pemecah gelombang

Dalam prakteknya, celah bisa berupa pintu masuk pelabuhan, misal Pelabuhan Tanjung Priok.

Gelombang Pecah

Gelombang harus pecah mendekati pantai sebagai mekanisme penghancuran energi gelombang melalui

gesekan:

partikel air dengan partikel air (turbulensi)

air dengan dasar laut (friction/gesekan)

28

Jenis gelombang pecah (sumber gambar: Dean, Dalrymple (2010) halaman 114) :

Spilling (pantai landai)

Plunging (pantai agak curam)

Surging (pantai curam)

Indikator jenis gelombang pecah:

Keterangan:

β = sudut lereng pantai

29

H = tinggi gelombag

L = panjang gelombang

Indeks 0 → perairan dalam

Nilai 0,1 1,0 3,0 5,0

Jenis Pecah Spilling Plunging Surging Tidak pecah / pemantulan

Koefisien Pantul 10 - 3 0,1 0,8

[Sketsa set-up dan run up]

Terjadi sejumlah fenomena di dekat pantai:

1. Gelombang pecah, saat rasio

mencapai 0,8.

2. Selanjutnya di kawasan surf zone, tinggi gelombang mengikuti kedalaman perairan .

3. Akibat aksi gelombang, muka air rata-rata (MSL) di dekat pantai naik (set-up).

*) Gambar dibuat terdistorsi. Skala vertikal tidak sama dengan skala horizontal.

Set-down (MSL turun) di breaker line

(10.32)

= koefisien gelombang pecah 0,8

Set-up (MSL naik) di garis pantai

(10.36)

4. Run-up/run-down adalah naik turunnya lidah air pada lereng pantai atau bangunan pantai akibat

aksi gelombang. Yang menjadi perhatian praktisi teknik kelautan adalah run-up maksimum.

Diperlukan untuk perhitungan puncak bangunan pantai dan untuk keperluan kriteria

keselamatan.

30

Rmax ditaksir dari persamaan empiris.

∙

(9.3) Reeve, dkk. (2004). Coastal Engineering. Spoon Press.

α = sudut lereng pantai/bangunan

g = percepatan gravitasi

T = periode gelombang

Hi = tinggi gelombang datang pada lereng

K = koefisien kekasaran (tabel 9.7 buku Reeve)

Untuk beton, nilai K sebesar 2,3.

Gaya Akibat Gelombang

Filosofi perancangan bangunan:

Bangunan harus kuat menanggung beban: sendiri, operasional, dan lingkungan.

Untuk beban lingkungan alam yang sudah mapan (established) diketahui, beban dinyatakan sebagai gaya.

31

Untuk bangunan teratur → dihitung gaya akibat gelombang.

Untuk bangunan tidak teratur → pendekatan berbeda karena sukar menyatakan besar dan gaya akibat

gelombang.

Gaya pada dinding vertikal

32

Struktur dinding vertikal dalam teknik kelautan dijumpai pada:

1. Dermaga jenis quary wall.

2. Dermaga dan breakwater Caisson.

Sudah dibahas:

Gaya lingkungan merupakan kekuatan alam yang harus diperhitungkan dalam desain bangunan.

Di lingkungan laut, gelombang merupakan fenomena keseharian, bisa kecil, namun bisa sangat

besar.

Iptek kelautan baru dapat mengkuantifikasi gaya gelombang pada kondisi tertentu.

o Gaya pada dinding vertikal.

o Gaya pada silinder kecil.

Tidak berarti untuk kondisi lain gaya gelombang tidak diperhitungkan. Dilakukan pendekatan lain

jika pengetahuan analitis tidak memberikan jawaban.

Misalnya untuk desain breakwater dicari hubungan antara kondisi gelombang (diwakili oleh tinggi

gelombang H) langsung dengan berat batu/unit pelindung breakwater, tanpa perlu menghitung besar

gaya pada breakwater.

33

W = fungsi dari H → diperoleh dari laboratorium.

Untuk gaya pada dinding vertikal digunakan pendekatan.

Untuk kasus gaya gelombang pada silinder, ada dua kelompok kasus dalam teknik kelautan.

A. Silinder vertikal

Kaki struktur bangunan lepas pantai pada umumnya.

Pilar dermaga jenis deck-on-pile.

B. Silinder horizontal

Pipa pembawa minyak bumi/gas alam/air/kabel listrik/kabel komunikasi.

Kini dibahas gaya pada silinder vertikal. Peristiwa fisik:

34

Pendekatan teoritis

Dicari persamaan tekanan pada permukaan silinder → diberikan oleh ilmu hidrodinamika.

Koordinat cartesian x, y, z

Koordinat silinder r, θ, z

ℓ = suatu jarak dari silinder ke lokasi di mana medan gelombang tidak terpengaruh oleh keberadaan

silinder

Tekanan = ΔP (di r=a, sudut θ)

∙

(8.7)

Suku ① yang Mengandung U

35

Elemen gaya

Digambar distribusi dFD sebagai fungsi θ pada grafik datar dFD terhadap θ (fig. 8.2)

Diagram tekanan pada permukaan silinder secara teoritis.

Apa yang diperoleh: Resultan = 0.

Artinya, secara teoritis tidak ada gaya yang dirasakan silinder.

Kenyataan? Ada gaya pada silinder.

Teori hidrodinamika yang dicoba adopsi hanya berlaku untuk aliran laminar dengan kecepatan U yang

sangat rendah. Ini tidak terjadi pada aliran air pada umumnya (turbulen karena ν rendah alias encer).

Dalam aliran turbulen terjadi vortex (flow separation) → mengubah distribusi tekanan

36

Persamaan teoritis dimodifikasi menjadi:

∙

(8.11)

(8.12)

A = luas proyeksi bidang kontak

ρ = kerapatan massa air laut

U = kecepatan partikel air akibat gelombang

CD = drag coefficient

Drag coefficient → gesekan, tingkat hambatan

CD 1 (jika silinder mulus)

Lebih tidak menghambat

Menghambat

CD > 1

Menghambat

37

Suku ② yang Mengandung

∙

∙

∙ ∙

∙

(8.13)

∙

(8.14)

∙

(8.15)

V = volume silinder yang dibahas

= percepatan partikel air

= koefisien massa tambahan (added mass coefficient)

38

Jadilah persamaan Morison

∙ ∙

(8.32)

*) Ditulis U|U| agar ada arahnya. (+) dan (-) mengikuti tanda U.

Contoh

Hitung gaya gelombang yang bekerja pada silinder pada gambar di atas.

=

∙

= 76,5 m

= 0,1176

Dari tabel SPM diperoleh:

. Maka, L = 57,69 m

k = 0,109

kh = 0,98

A = 1 m x 1 m = 1 m2

x 1 m = 0,7854 m3

; maksimum saat cos (kx-ωt) = 1 sebagai fungsi z.

; maksimum saat sin (kx-ωt) = 1 sebagai fungsi z.

CD = 1

CM = 1 + KM

39

KM = 1 untuk penampang lingkaran (fig. 8.6 DD 1991)

CM = 2

cosh kh = cosh 0,98 = 1,52

sinh kh = sinh 0,98 = 1,145

∙ ∙

∙

∙

∙

∙ ∙

∙ ∙ ∙

∙ N

∙ ∙

∙ ∙ ∙ ∙

∙ N

z (m) cosh k(h+z) dFD maks. (N) dFI maks. (N)

1 1,655 1941,928 2811,639

0 1,521 1639,772 2583,656

-1 1,405 1398,945 2386,400

-2 1,305 1207,956 2217,525

-3 1,222 1057,693 2075,022

-4 1,152 940,986 1957,197

-5 1,097 852,267 1862,649

-6 1,054 787,304 1790,252

-7 1,024 742,996 1739,147

-8,25 1,003 1070,284* 1704,303*

*) Luas dan volume dikali 1,5 karena tinggi elemen z sebesar 1,5 m.

40

∙ ∙

Untuk contoh soal tadi, FI lebih besar dari FD. Apakah selalu FI lebih besar dari FD? Dijawab di buku DD

butir 8.3.5.

∙ ∙

Nanti akan diperoleh fig. 8.13 DD 1991.

41

Sumber : fig. 8.13. Dean, Dalrymple. 1991

Bisa dihitung:

Gaya drag max. (inersia = 0).

Gaya inersia max. (drag = 0).

Kombinasi gaya drag dan inersia untuk suatu waktu t sembarang.

Kapan gaya total yang dialami silinder mencapai maksimum?

Butir 8.3.6 DD 1991.

Hitung saja dan dapatkan saat tepatnya.

Pembahasan gaya total terbesar dari butir 8.3.6 DD 1991

Persamaan Morison :

Ditulis dalam simbol lain:

∙

∙

Secara matematis, FT maksimum terjadi saat:

∙ ∙

; saat FT,max sebut t = tmax

1.

(8.69)

2.

(8.70)

42

Penurunan Teori gelombang Air Linear

Buku teks Dean, Dalrymple 1991 Bab 3

Pengertian umum:

Masalah gelombang air didekati secara matematika sebagai BVP (Boundary Value Problem). Suatu BVP

dalam matematika terdiri dari (masing-masing bisa lebih dari satu persamaan):

1. Persamaan pengatur (governing equation).

2. Syarat batas (boundary condition).

3. Kondisi awal (initial condition) → fakultatif

Bentuk matematika BVP adalah PDP (persamaan diferensial parsial) → variabel independen lebih dari

satu:

Waktu t.

Ruang x,y,z.

Jika variabel independen hanya satu → PDB (persamaan diferensial biasa).

Untuk mekanika gelombang air

Persamaan pengatur = persamaan Laplace

____ (1) (3.2)

2 dimensi (x,z) sesuai sketsa definisi.

Ini merupakan persamaan kekekalan massa → 1 dari 4 hukum dasar fisika.

Yang dicari adalah φ(x,z,t) = potensial kecepatan.

Dari pemahaman tentang matematika, φ diperoleh dari persamaan (1) melalui integrasi.

Setiap integrasi menghasilkan konstanta integrasi → dipecahkan melalui BC dan IC.

Mekanika gelombang air butuh BC; mekanika gelombang air tidak butuh IC.

43

Syarat batas ada 5

BC1 : Syarat gerak periodik dalam waktu

Dalam bentuk kalimat: Gelombang air berulang setiap interval waktu T (periode gelombang(

Besaran yang dibahas: φ(x,z,t) = potensial kecepatan.

Dalam bentuk matematika: φ(x,z,t) = φ(x,z,t+T).

Untuk memenuhi BC dipilih bentuk sinusoidal.

Mengingatkan: bentuk konvensional fungsi sinusoidal adalah

=

A,B,D = konstanta

Bentuk komplek fungsi sinusoidal:

∙

=

BC2 : Syarat gerak periodik dalam ruang

Dalam bentuk narasi: Gelombang air berulang pada setiap jarak horisontal L (panjang gelombang)

Dalam bentuk matematika: φ(x,z,t) = φ(x+L,z,t).

BC3 : Syarat batas kinematis (SBK) di dasar perairan

Dalam pengertian fisik: Partikel air tidak dapat menembus dasar perairan yang horisontal dan

kedap air.

w = 0 di z = -h

di z = -h

BC4 : Syarat batas kinematis di permukaan bebas

Narasi: Partikel air yang berkedudukan di permukaan, akan terus bertahan pada permukaan

(tidak memercik ke udara, tidak menyusup ke dalam domain).

Menyatakan narasi di atas dalam bentuk matematika memerlukan pencermatan (DD 1991 butir

3.2.2). Hasilnya:

di z = η

Bentuk di atas tidak linear:

i. Unknown (yang tidak diketahui) (η,w,u) diberikan persamaannya di tempat yang tidak

diketahui (z = η).

44

ii. Ada perkalian unknown u dan unknown

→ dilinearkan menjadi :

di z = 0 atau

di z = 0

BC5 : Syarat batas dinamik (SBD) di permukaan bebas

Untuk BC ini digunakan Persamaan Bernoulli. Bentuk persamaan Bernoulli:

Pengertian fisik BC ini :

Di permukaan, tekanan = 1 atm (mutlak) dan 0 (relatif)

Dalam bentuk persamaan Bernoulli:

di z = η

BC5 setelah dilinearisasi:

di z = 0 atau

di z = 0

Tiga komponen BVP TGL (Teori Gelombang Linear):

1. Sketsa definisi → gambar

2. Persamaan pengatur → 1 persamaan

3. 5 boundary conditions

Arti “menyelesaikan” adalah mendapat pernyataan matematika eksplisit untuk besaran gelombang air

yang dicari → φ(x,z,t)

Solusi akhirnya berbentuk:

Langkah Penyelesaian BVP Teori Gelombang Linear

Langkah 1

Dipilih bentuk matematika solusi sebagai berikut:

∙

∙

Langkah 2

Pilih fungsi waktu sebagai sinusoidal

Fungsi φ menjadi .

45

Ini memenuhi BC1. BC1 sudah terpakai.

BC1

Substitutsi φ ke persamaan pengatur

Persamaan sebelumnya hanya benar jika suku 1 dan 2 di ruas kiri adalah konstanta yang sama besar

dengan tanda berlawanan.

Langkah 3

Tinjau persamaan

(nanti

)

Solusi atas ODE ini adalah:

; C1 dan C2 merupakan konstanta.

Terapkan SBK di dasar perairan.

BC3

di z = -h

Langkah 4

Tinjau persamaan

Solusi ODE:

φ menjadi:

∙ ∙ ∙ ∙

Ambil bentuk (kx-ωt) karena diinginkan gelombang merambat ke arah sumbu x positif.

46

∙ ∙

∙

∙ ∙

Terapkan SBD di permukaan bebas.

BC5

∙

dipilih 0 agar persamaan rata-ratanya 0.

Jika C(t) tidak 0, rata-rata tidak bisa sama dengan 0.

BC2

Maka diperoleh:

∙

∙

Langkah 5

Susun φ

∙

∙ ∙

Bentuk ini masih kompleks. Suku i tidak punya arti fisik karena tidak fisik.

Ambil suku riil sebagai solusi.

47

∙

Langkah 6

BC4 belum digunakan.

SBK di permukaan bebas:

di z = 0

φ dan η sudah diketahui → PERSAMAAN DISPERSI