DIKTATMEKANIKA KLASIK

DEDY SUYANTO Ph.D

FAKULTAS MATEMATIKADANILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS INDONESIA2014/2015

MEKANIKA KLASIKDEDI SUYANTO PhDPustaka :1. Thornton &Marion: Classical Dynamics of Particles and System 5th ed Brooks/Cole Thomson Belmont USA 2004.2. V.Barger and M.Olsson,Classical Mechanics: A Modern Perspective,2nd ed McGraw Hill,1995.3. Goldstein,Poole &Safko: Classical Mechanics 3rd ed Addison Wesley 2000.Minggu ke-Topik bahasanMediaAktivitasReferensi

1Mekanika Newtonian-partikel tunggal1. Hukum Newton2. Kerangka Acuan3. Persamaan Gerak Satu Partikel4. Teorema Konservasi5. Energi6. Keterbatasan Mekanika NewtonPapan Tulis dan/atau LCDKuliah Mimbar dan Diskusi1. Classical Dynamics 5th Ed., Stephen T Thornton dan Jerry B Marion p.48-892.

2Gravitasi1. Potensial Gravitasi2. Garis Gaya dan Permukaan Equipotensial3. Penggunaan Konsep Potensial4. Pasang Air LautPapan Tulis dan/atau LCDKuliah Mimbar dan Diskusi1. Classical Dynamics 5th Ed., Stephen T Thornton dan Jerry B Marion p.182-2032.

3Vibrasi Non-linear,Kuiz 1 (TBA), Mekanika Newtonian dan Gravitasi)Papan Tulis dan/atau LCDKuliah dan Tugas (laporan dikumpul saat UAS)

4Beberapa Metode Kalkulus Variasi1. Pernyataan Masalah2. Persamaan Euler3. Bentuk Kedua Persamaan Euler4. Fungsi Beberapa Variabel Independen5. Persamaan Euler dengan Konstrain6. Notasi Papan Tulis dan/atau LCDKuliah Mimbar dan Diskusi1. Classical Dynamics 5th Ed., Stephen T Thornton dan Jerry B Marion p.207-2252.

5Prinsip Hamilton1. Prinsip Hamilton2. Koordinat Diperumum3. Persamaan Lagrange di Koordinat Diperumum4. Persamaan Lagrange dengan Pengali Tidakditentukan5. Equivalensi Persamaan Lagrange dan Persamaan Newton6. Esensi Dinamika Lagrangian7. Papan Tulis dan/atau LCDKuliah Mimbar dan Diskusi1. Classical Dynamics 5th Ed., Stephen T Thornton dan Jerry B Marion p.228-2792.

6 Hamiltonian1. Teorema Terkait Energi Kinetik2. Teorema Konservasi3. Dinamika Hamiltonian4. Komentar tentang Variabel dinamika5. Ruang Vase dan Teorema Liouville6. Teorema VirialPapan Tulis dan/atau LCDKuliah Mimbar dan Diskusi1. Classical Dynamics 5th Ed., Stephen T Thornton dan Jerry B Marion p.228-2792.

7Gerak di Bawah Pengaruh Gaya Sentral1. Massa Tereduksi2. Persamaan Integral3. Persamaan Gerak4. Orbit di Bawan Pengaruh Gaya Sentral5. Energi Sentrifugal dan Potensial Efektif6. Papan Tulis dan/atau LCDKuliah Mimbar dan Diskusi1. Classical Dynamics 5th Ed., Stephen T Thornton dan Jerry B Marion p.287-3222.

8Ujian Tengah Semester; Kalkulus Variasi dan Prinsip Hamiltonian30 Maret 11 April Berkas UjianUjian1. Classical Dynamics 5th Ed., Stephen T Thornton dan Jerry B Marion p.48-982.

9Gerak di Bawah Pengaruh Gaya Sentral1. 2. Gerak Planetari3. Dinamika Orbital4. Sudut Apsidal dan Presisi5. Stabilitas Orbit SirkularPapan Tulis dan/atau LCDKuliah Mimbar dan Diskusi3. Classical Dynamics 5th Ed., Stephen T Thornton dan Jerry B Marion p.287-3224.

10Kuiz 2 (TBA); Gerak dibawah Pengaruh Gaya Sentral

11Dinamika Sistem Partikel1. Pusat Massa 2. Momentum Linear Sistem3. Momentum Angular Sistem4. Energi Sistem5. Tumbukan Elastis Dua Partikel6. Kinematika Tumbukan Elastis7. Papan Tulis dan/atau LCDKuliah Mimbar dan Diskusi1. Classical Dynamics 5th Ed., Stephen T Thornton dan Jerry B Marion p.328-3772.

12Dinamika Sistem Partikel1. Tumbukan inelastic2. Penampang Lintang Hamburan3. Formula Hamburan Rutherford4. Gerak RoketPapan Tulis dan/atau LCDKuliah Mimbar dan Diskusi1. Classical Dynamics 5th Ed., Stephen T Thornton dan Jerry B Marion p.328-3772.

13Gerak di Kerangka Acuan Non-inersial1. Sistem Koordinat Berputar2. Gaya Sentrifugal dan Coriolis3. Gerak Relative Terhadap BumiPapan Tulis dan/atau LCDKuliah Mimbar dan Diskusi1. Classical Dynamics 5th Ed., Stephen T Thornton dan Jerry B Marion p.387-4072.

14Din amika Benda Pejal1. Gerak Planar Sederhana2. Tensor Inersia3. Momentum Angular4. Sumbu Utama Inersia5. Momen Inersia untuk Sistem Koordinat Benda yang Berbeda6. Sifat-sifat Tensor Inersia7. Papan Tulis dan/atau LCDKuliah Mimbar dan Diskusi1. Classical Dynamics 5th Ed., Stephen T Thornton dan Jerry B Marion p.411-4622.

15Din amika Benda Pejal1. Sudut Euler2. Persamaan Euler Benda Pejal3. Gerak Bebas Gaya Gasing Simetris4. Gerak Gasing Simetris dengan Satu Titik Tetap5. Stabilitas Rotasi Benda Pejal

Papan Tulis dan/atau LCDKuliah Mimbar dan Diskusi1. Classical Dynamics 5th Ed., Stephen T Thornton dan Jerry B Marion p.411-4622.

16Ujian Akhiir Semester2-13 Juni; Dinamika Sisterm Partikel, Gerak di kerangka non-inersia, Dinamika Benda PejalBerkas UjianUjian1. Classical Dynamics 5th Ed., Stephen T Thornton dan Jerry B Marion p.48-982.

Komponen PenilaianUTS =30UAS=30Kuiz=20Tugas Individu dan Kelompok = 20% (satu/dua asisten untuk 3 kelas, asisten yang mengoreksi)

Isi Kuliah:1. Mekanika Newton untuk partikel tunggal.2. Oscilasi non linear.3. Gravitasi.4. Calculus variasi.5. Dinamika Lagrangian dan Hamilton.6. Gerak gaya central.7. Dinamika sistim partikel.8. Gerak dalam kerangka acuan non inersial.9. Dinamika benda kaku.I.MEKANIKA NEWTON UNTUK PARTIKEL TUNGGAL.I.1 Hukum NewtonHukum Newton I: Benda akan tetap diam atau bergerak dengan kecepatan konstan kecuali kalau dikenai gaya.Hukum Newton II: Benda dikenai gaya menyebabkan perubahan impulse Hukum Newton III:Bila dua benda berinteraksi maka (aksi dan reaksi pada benda yang berbeda). = gaya yang diberikan benda 1 pada benda 2.Menurut Aristoteles benda bergerak karena ada yang mendorongnya,hingga benda yang bergerak dengan kecepatan konstanpun harus ada gaya yang mempengaruhinya. Ini dibantah oleh Newton yang menyatakan bahwa benda (massa) berusaha mempertahankan inersianya yaitu benda akan tetap diam atau bergerak dengan kecepatan konstan. Hukum Newton I biasa dinyatakan sebagai hukum inersia yaitu benda berusaha mempertahankan keadaannya, kalau diam tetap diam kalau bergerak dengan kecepatan konstan tetap bergerak dengan kecepatan konstan. Adanya gaya luar menyebabkan perubahan pada gerak benda.Gaya merupakan besaran vector, kalau benda dikenai berbagai macam gaya maka resultante gaya yang menyebabkan percepatan. Perubahan gerak menimbulkan perubahan percepatan, arah percepatan sama dengan arah resultante gaya yang menimbulkannya.Aksi dan reaksi merupakan pasangan gaya dan timbul seketika ,hingga mana yang beraksi dan mana yang bereaksi tidak relevan.Untuk menggambarkan gerak diperlukan kerangka acuan, hukum Newton berlaku dalam kerangka acuan inersial. Untuk memudahkan kerangka acuan inersial adalah kerangka acuan yang tidak mengalami percepatan.Contohnya kereta yang diam bisa dipakai sebagai kerangka acuan inersial atau kereta yang bergerak dengan kecepatan konstan juga adalah kerangka acuan inersial , tapi kereta yang mengalami perlambatan bukan kerangka acuan inersial. Bila hukum Newton berlaku pada sebuah kerangka acuan inersial maka kerangka acuan lain yang bergerak dengan kecepatan konstan adalah kerangka acuan inersial juga.

1.2 Persamaan Gerak Partikel.Persamaan gerak partikel dinyatakan oleh Yang merupakan persamaan diferensial tingkat dua, dengan dilakukan integral akan didapat r(t) bila gaya F diketahui. Syarat batas dari r dan v dipakai untuk menentukan dua konstanta integrasi.Secara umum fungsi gaya bisa dituliskan sebagai F(r,v,t) dan secara spesifik bisa hanya fungsi salah satu variable atau kombinasi berbagai variable.Dengan melihat berbagai bentuk dari F(r,v,t) dan diselesaikan persamaan geraknya bisa dilihat beragam gerak.1. Gaya gesek.Contoh:Dua benda dihubungkan oleh tali melewati katrol yang licin. Bila koefisien kinetik tentukan supaya benda bergerak dengan kecepatan konstan.

Untuk benda m: mg T = ma (arah kebawah positif)T= m ( g a )Untuk benda 2m : diarah y : N-2 m g cos = m = 0 -> N = 2 m g cos diarah x: T 2 m g sin -2 m g cos = 2 m am ( g a) - 2 m g sin -2 m g cos = 2 m amg - 2 m g sin -2 m g cos = 3 m apada sudut supaya benda bergerak dengan kecepatan konstan a = 0g - 2 g sin - 2 g cos = 0 = sin + cos = sin + Akar dari persamaan kuadrat

2.Gaya penghambat:Untuk benda yang bergerak diatas meja gaya yang bekerja boleh dikatakan konstan dan formulasi persoalan tidak mengharuskan penyelesaian persamaan diferensial dari persamaan gerak. Pada gerak projektil, benda selain dipengaruhi oleh gaya gravitasi yang konstan juga akan dipengaruhi gaya penghambat yang timbul dari gesekan dengan medium dimana benda bergerak:F = F gravitasi + F penghambat = m g + F penghambat.Gaya penghambat dalam medium biasanya tergantung pada kecepatan, akan ditunjukan penyelesaian gerak vertical benda dimuka bumi dimana gaya gesekan udara tergantung pada kecepatan kuadrat.Persamaan geraknya :

Dimana k = konstanta.Substitusi:

persamaan gerak jadi:

Diintegrasi:

Dengan C adalah konstanta yang ditentukan oleh syarat batas bahwa pada y = 0 , v =

Hingga Rumus persamaan gerak berupa persamaan differensial tingkat dua, tergantung persoalan yang dihadapi mungkin persoalannya tidak perlu diintegral atau bisa diintegral dengan mudah tapi secara umum biasanya persamaanya harus diselesaikan.

1.3 Hukum Kekekalan.- Momentum liniar (p) partikel konstan bila tidak ada gaya yang bekerja padanya.

Kekekalan momentum biasanya dipakai dalam kasus tumbukan dimana jumlah momentum sebelum dan sesudah tumbukan sama.- Momentum sudut: bila tidak mengalami torsi maka momentum sudut partikel konstan.Momentum sudut L didefinisikan sebagai L = r X p.Torsi N didefinisikan sebagai N = r X F

r adalah vector posisi ke tempat gaya dikenakan.

tapi

Bila tidak mengalami torsi N maka L = konstan.- Energy total E konstan tidak tergantung waktu untuk partikel yang mengalami gaya konservatif.Energy total E adalah gabungan dari energy kinetic T dan energy potensial U.E = T + UTurunan terhadap waktu dari E

sedang

sehingga Untuk gaya konservatif Bila gaya konservatif dan energy potensial tidak tergantung waktu maka energy partikel konstan.Arti fisis dari gaya konservatif bisa dilihat dari

Kerja yang dilakukan oleh gaya konservatif tidak tergantung lintasan hanya tergantung titik awal dan akhir.Dari definisi kerja W

Kerja yang dilakukan gaya F sepanjang lintasan sama dengan selisih energy kinetic T.1.4 EnergyEnergy merupakan besaran skalar, secara prinsip lebih mudah memakai besaran skalar dibandingkan besaran vektor seperti gaya karena tidak perlu memperhatikan arah.Pandang partikel yang bergerak dibawah pengaruh potensial konservatif

Persamaan bisa dituliskan

diintegrasi

Secara prinsip persoalan gerak partikel sudah dapat diketahui artinya x(t) didapat.Bentuk dari U(x) akan menentukan dinamika partikel.

Dari bentuk kurva secara kualitatif bisa diketahui gerak dari partikel.Untuk partikel dengan energy E4 gerak benda tidak terbatas dan bisa berada dimana saja hanya kecepatannya berubah tergantung selisih dari energy dan potensial, bila partikel bergerak kekanan akan mengalami percepatan atau perlambatan dan menuju tak berhingga.Energy E3 geraknya terbatas sebagian pada titik xg akan mengalami pantulan dan bergerak kembali menuju tak berhingga.Pada E2 gerak terbatas pada dua daerah yang berbeda,partikel yang ada di satu daerah tidak bisa pindah kedaerah lain.Untuk E1 gerak terbatas dan partikel bolak balik dari xa ke xb.Benda dengan energy E0 berada dalam keadan diam di x0 .

Titik x0 disebut titik setimbang berlaku kondisi

Titik setimbang bisa stabil, bila digeser akan kembali keasalnya dan syaratnya dinyatakan oleh

Sedang titik setimbang yang tidak stabil kalau digeser akan menjauh dari asalnya dan syaratnya adalah

Jarak antara pusat silinder dan pusat kubus sebagai fungsi sudut:

Potensial sebagai fungsi sudut: Syarat kesetimbangan

Jenis kestabilan dilihat dari pada

Kalau R > b/2 maka kesetimbangan stabil,sebaliknya R < b/2 kesetimbangan tidak stabil.II GRAVITASI.Hukum gravitasi universal Newton: tiap benda menarik benda lainnya dialam dengan gaya yang tergantung perkalian massa keduanya dan berbanding terbalik dengan jarak kuadrat antara keduanya.

Secara konsepsional hukum gravitasi Newton menyatakan bahwa gerak benda di angkasa dan di bumi sama.

Rumus diatas hanya berlaku untuk partikel titik massa m dan M.Untuk benda yang kontinyu mempunyai kerapatan (r), dianggap bahwa ada elemen volume tertentu yang memberikan gaya dan penjumlahan dari seluruh elemen menghasilkan gaya gravitasi.

Contoh : Misal ada massa M berbentuk piring tipis jari jari a, hitung gaya yang dialami m sepanjang sumbu piring.

Piring mempunyai simetri lingkaran, hingga gaya pada bidang horizontal saling menghilangkan. Hanya perlu diperhatikan gaya vertical sepanjang sumbu z.

Cos = z/r

Hingga:

Harga F negative menunjukan bahwa benda saling tarik menarik.

Medan gravitasi didefinisikan sebagai vector yang menggambarkan gaya persatuan masa yang dialami benda yang ditimbulkan oleh benda M.

Dipermukaan bumi besar g adalah percepatan gravitasi.-POTENSIAL GRAVITASIGaya merupakan besaran vector, secara prinsip lebih mudah bekerja dengan scalar dibandingkan vector.Untuk medan gravitasi g berubah terbalik dengan jarak kuadrat, hingga g bisa dituliskan sebagai gradient sebuah fungsi scalar.

adalah potensial gravitasi,yang mempunyai satuan ( gaya/massa)x jarak= energy per satuan masa.Medan gravitasi mengarah radial,sehingga potensial gravitasinya hanya fungsi dari r.

Yang kalau diintegral hasilnya

Sebenarnya ada konstanta integrasi, tapi biasa dipilih bahwa potensial gravitasi harganya = 0 pada r .Dipilih titik acuan . Potensial gravitasi yang disebabkan oleh distribusi massa yang kontinyu:

Kalau massanya menyebar pada permukaan dengan s rapat masa permukaan (luas)Sedang untuk masa yang berupa garis dengan rapat masa liniar l :

U adalah energy potensial maka

Sehingga rumus gayanya jadi

Potensial gravitasi dari bola berlubang: bola mempunyai simetry pada sudut integralnya adalah 2

di diferensial Atau

Batas integral r tergantung dari posisi P.P terletak diluar bola:

Untuk bola berongga masa M berlakuPotensial gravitasi bola berongga pada titik diluar bola:

Bisa diperluas untuk bola pejal, diluar bola potensial gravitasi bola masa M sama dengan potensial gravitasi titik dipusat masa dengan masa M (dimensi bola tidak berpengaruh).Bila titik P berada dalam rongga:

Potensial gravitasi dalam rongga konstan,dan tidak tergantung lokasi didalam rongga.Persamaan Poisson:Untuk gaya electromagnetic ada persamaan Poisson yang menghubungkan potensial dengan kerapatan muatan.Ingin dibentuk persamaan Poisson untuk gaya gravitasi.Misal ada masa m yang terletak dalam sebuah permukaan S, flux gravitasi yang berasal dari m:

integral terhadap solid angle = 4

Posisi m tidak menentukan, dimana saja.Untuk kumpulan masa yang diskrete

Untuk kumpulan masa yang kontinyu

Teorema divergen Gauss:

Persamaan berubah volume V sembarang

Masukan persamaan Poisson untuk potensial gravitasi.Garis gaya dan permukaan ekipotensial.Untuk menggambarkan medan gravitasi, dianggap bahwa dari benda ada garis yang keluar dari permukaannya yang searah dengan arah g. garis ini disebut garis gaya, yang berawal dipermukaan benda menuju tak berhingga. Kerapatan garis gaya menunjukan besar dari gaya di daerah tersebut, jumlah garis gaya menembus permukaan satuan yang tegak lurus garis gaya menentukan kerapatan.

Dari sudut pandang potensial

Persamaan ini menggambarkan sebuah permukaan dimana harga potensialnya konstan,disebut permukaan ekipotensial.Karena medan gravitasi adalah gradient dari potensial maka garis gaya adalah tegak lurus permukaan potensial termasuk permukaan ekipotensial.

Permukaan ekipotensial untuk dua masa M.Beberapa karakteristik dari permukaan ekipotensial:-garis gaya tegak lurus permukaan ekipotensial, tidak ada kerja kalau bergerak sepanjang permukaan ekipotensial.-fungsi potensial berharga tunggal, tidak ada permukaan ekipotensial yang berpotongan atau bersentuhan.Peristiwa Pasang Laut

Dibuat model dimana seluruh permukaan bumi dilapisi air,rotasi bumi diabaikan, hanya diperhatikan interaksi dengan bulan.dibuat kerangka acuan (x,y,z)Pandang pengaruh gaya gravitasi bumi dan bulan terhadap masa air m

Sedang gaya yang dialami oleh pusat bumi yang disebabkan oleh bulan

Percepatan pusat bumi

Suku pertama menunjukan tarikan dari bumi, sedangkan suku kedua adalah gaya FTpasang yang timbul dari selisih tarikan bulan dipusat bumi dan dipermukaan bumi.

Pada titik a terjauh dari bulan, R > D, suku kedua dominan dan gaya pasang sepanjang x positif.Untuk titik b, R < D, gaya pasang sama dengan di a karena r dimana Bila simpangan kecil dan persamaan gerak jadi gerak oscillator harmonic sederhana:

Dengan pendekatan bentuk gaya jadi liniar (pangkat satu dalam ) dan persamaan gerak bisa diselesaikan secara analitik.Secara umum gaya yang ada dalam ayunan bidang adalah gaya nonlinear ( sin ).Sistim adalah konservatif, energy totalnya konstan. Pilih titik acuan energy potensial pada titik terendah: Ambil titik tertinggi maka Gunakan

->dari rumus ini bisa digambarkan diagram phase .Bila dan kecil maka kordinat ruang phase digunakan dan maka lintasan phase akan membentuk lingkaran (oscillator harmonic).Untuk dan gerakan adalah gerak terikat dalam sumur potensial lintasan phase tertutup.Potensial periodic dalam maka lintasan phase yang sama ada di dst,titik adalah titik setimbang stabil dan merupakan attractor.Bila energy total = maka dan lintasan phase adalah fungsi cosinus. Akan ada dua cabang tergantung arah gerakan.jika ayunan diam di adanya sedikit gangguan maka lintasan akan terjadi pada salah satu bagian.Ciri dari gerak chaotic yaitu sensitive pada keadaan awal.Untuk energy > maka gerak tidak bolak balik walaupun masih periodic, ayunan akan melakukan putaran penuh.Lintasan phase yang memisahkan antara gerak terikat dan tidak terikat disebut separatrix. Titik separatrix selalu melewati titik tidak setimbang, gerakan disekitar separatrix tergantung pada keadaan awal karena titik disekitarnya mempunyai lintasan phase berbeda.

Dari rumus kecepatan sudut didapat diintegral dari kehasilnya adalah jadiyang merupakan integral elliptic jenis pertama. Substitusi makabisa diintegral secara numeric.Untuk gerak oscilasi atau dengan suku bisa diuraikan

-ambil sampai pangkat 4

Untuk gerak linear rumus (t) didapat yang berarti gerak setiap saat bisa diketahui, diagram phase membantu dalam penggambaran gerak. Sedang untuk dinamika nonlinear (chaos theory) dinamika hanya bisa didapat dari diagram phase.-Ayunan Teredam Dipaksa.torsi terhadap titik ayun bisa dituliskandengan I = momen inersia = ml2, b factor redamam dan Nd torsi penggerak dengan frekuensi wd. Bagi dengan I makadigunakan parameter tidak berdimensi ,,,maka,,,,persamaan gerak jadimerupakan PD tingkat dua nonlinear yang belum ada solusi analitiknya. Salah satu penyelesaian pendekatannya biasa dilakukan secara numerik. Biasanya dirubah jadi PD tingkat satu. Substitusimaka dengan . Kemudian kedua persamaan secara bersamaan diselesaikan secara numerik.Salah satu metode numerik untuk menyelesaikan PD adalah metode Runge-Kutta tingkat empat: Contoh -Ayunan TeredamPersamaan dituliskan dalam bentuk: Gunakan =0.2 w0=1 dan syarat batas (0) = 0, (0) = 4

(0)=2.49,2.69,2.89,3.09,3.29, 3.49kecepatan cukup tinggi, hingga ayunan berputar 1,5 kali. Adanya redaman kecepatan mengecil dan ayunan akan menuju attractor pada =2 dan =0. Berbagai harga syarat awal menghasilkan attractor yang sama, kumpulan harga ini disebut basin of attraction.Titik = 0,2,4,.. =0 adalah titik attractor dimana ayunan akan menuju. Dalam setiap attractor terdapat berbagai harga dimana lintasannya akan menuju titik yang sama, kurva yang memisahkan satu daerah dengan yang lain disebut separatrix.

-Ayunan Dipaksa TeredamPersamaan dituliskan sebagai Dengan harga = 0.2 f = 0.52 w = 0.694 w0 = 1 didapat

= 0.2 f = 0.6 w = 0.694

= 0.5 f = 1.15 w = 2/3

= 0.05 f = 0.6 w =0.7

f = 0.7

f = 0.8

f = 0.9

f = 1.0

f = 1.01

f = 1.1

-Penampang Poincare (Poincare Section)Struktur dari ruang phase sangat rumit, dengan digunakannya penampang Poincare maka bentuknya jadi lebih sederhana. Yang dilakukan adalah mengambil titik ruang phase pada periode tertentu (stroboscopic view).

Perpotongan antara lintasan phase dengan sebuah bidang akan menghasilkan sebuah titik, bidang dibuat pada interval tertentu dan semua titiknya diproyeksikan pada satu bidang akan menghasilkan penampang Poincare. Untuk gerak yang periodic maka akan dihasilkan satu titik. Sedang untuk gerak chaotic akan terdapat banyak titik. Untuk ayunan dipaksa teredam biasanya penampang Poincare diambil dengan frekuensi gaya luar w.-MappingUntuk melihat bagaimana dinamika nonlinear bergerak dengan melihat keadaan (n+1) didapat dari keadaan n (sebelumnya). Hubungan disebut mapping yang menggambarkan bagaimana pergerakan sistim. Penampang Poincare bisa dipandang sebagai mapping yang merupakan snapshots dari bidang phase diambil pada periode gaya luar. Terdapat hubungan antara kordinat (n,wn) diakhir periode n dengan kordinat (n+1, wn+1) diakhir periode ke n+1 yang merupakan mapping dua dimensi :n+1 = f1(n,wn) , wn+1 =f2(n,wn)Sampai saat ini rumus mapping untuk pendulum ayunan teredam belum diketemukan.Yang banyak dipelajari adalah mapping bentuk tertentu yang kemudian dicari sistim yang mengikuti dinamika tersebut.Peta Logistik ( Logistic map).Persamaan menunjukan bahwa f menghasilkan xn+1 dari xn, nilai xn dibatasi (0,1) dan adalah parameter tergantung model.Untuk peta logistic-> model ini biasanya dipakai untuk model populasi biology. contohnya populasi ikan dalam kolam, missal x1 adalah populasi awal ikan karena banyak makanan maka x akan bertambah besar, tapi karena jumlah makanan tetap setelah populasi tertentu x akan berkurang. Dengan mempelajari map diharapkan akan memberikan gambaran dinamika sistim secara diskret. Orbit dari peta adalah urutan titik yang dihasilkan dari keadaan awal. Untuk peta logistic harga dibatasi dari 0 sampai 4, orbit yang dihasilkan akan berbeda beda. Untuk = 2.9 terlihat bahwa orbit konvergen menuju harga 0.655 ini disebut sebagai titik tetap (fixed point) yang bisa dipandang sebagai titik setimbang. Titik tetap bisa berperilaku menarik (attracting) yaitu bila berada disekitarnya maka orbit akan menuju ke titik tersebut. Ini analog dengan ayunan teredam yang amplitudonya mengecil dan tertarik pada attractornya.Titik tetap tidak berubah oleh pemetaannya x0 = f(f(f(x0)).Orbit bisa mempunyai periode. Contoh orbit dengan periode 2 , = 3.4 titik bolak balik antara 0.45 dan 0.84.Orbit periode 4, = 3.54 disini beroscilasi pada harga 0.364, 0.5216, 0.5218, 0.8203, 0.883

Dengan dinaikannya = 3.55 orbit jadi periode 8kalau = 3.7 orbit jadi chaotic, tidak terlihat ada keteraturan.

Titik tetap periode satu mengikuti hubungan x0 = f(x0) untuk setiap n -> titik tetap periode satu adalah x = 0 dan Kestabilan dilihat dari kalau < 1 stabil dan tidak stabil kalau > 1.x = 0 -> titik tetap stabil kalau 0 < < 1 tidak stabil kalau > 1. stabil kalau 1 < 3.Titik tetap periode dua mengikuti hubungan x0=f(f(x0)).

Titik tetap periode satu termasuk dalam titik periode dua dst, titik tetap periode dua lainnya: dari syarat kestabilan terlihat bahwa = 3 merupakan titik bifurkasi pertama dari peta logistic.Dan = 1+ merupakan titik bifurkasi kedua.Untuk peta logistic tidak ada titik tetap periode tiga.Titik tetap periode 4 mengikuti hubungan x0 = f(f(f(f(x0)))) untuk peta logistic didapat kalau = 7/2 adalah (0,5/7), (0,3/7,5/7,6/7), (0,5/7),,,, titik (0,5/7) adalah titik tetap periode 1,titik periode yang dibawah biasanya diabaikan maka titik tetap periode 2 adalah (3/7,6/7).Terdapat metode grafik untuk menentukan titik tetap dengan periode ke n yaitu dengan menggambarkan perpotongan antara garis lurus x dengan kurva f(x).Contoh untuk = 7/2 ,persamaan periode satu adalah x=7/2 x (1-x) Harga periode tiga berimpit dengan periode 1 (tidak ada periode tiga).untuk = 3.99 akan didapat cobweb tidak terlihat ada pola yang mengarah kebentuk tertentu.Sifat dari orbit akan berubah kalau parameter dari peta dirubah. Harga dari parameter dimana gerak berubah disebut titik bifurkasi (bifurcation). Pada titik bifurkasi, orbit periode satu berubah jadi orbit periode dua,pada titik bifurkasi berikutnya akan berubah lagi,periode dua berubah jadi periode 4 dst. untuk peta logistic terlihat bahwa titik bifurkasi terjadi pada titik = 3.45, 3.54, 3.564. dan diatas daerah 3.57 terdapat daerah periodic yang bercampur dengan yang chaotic.-FractalDalam fractal pemetaan (mapping) mempunyai sifat self similarity pada berbagai skala. Contoh dari struktur yang mempunyai sifat self similarity adalah himpunan Julia dan Mandelbrot. Keduanya pemetaan dalam bilangan kompleks Zn+1 = Zn2 + C. Untuk himpunan Mandelbrot C = titik dalam bidang kompleks dan iterasi dimulai dari titik Z0 = 0, tiap bilangan kompleks C didalam himpunan bila iterasi tetap berhingga. Sedang untuk himpunan Julia, C ditentukan tapi harga awal Z0 dirubah dan Z0 membentuk himpunan Julia bila iterasi tetap berhingga. Dalam prakteknya tidak mungkin dilakukan iterasi sampai tak berhingga, hingga biasanya dilakukan batasan jari jari tertentu dan iterasi dihentikan bila batas ini dilewati. Contoh himpunan Julia.

IV Metode Variasi.Persamaan gerak Newton merupakan persamaan dari vector, setiap saat harus diperhatikan besar dan arahnya. Diperlukan bentuk lain Mekanika yang menggunakan skalar yaitu Lagrangian dan Hamiltonian, sebenarnya dapat diturunkan bahwa Lagrangian dan Hamiltonian bisa didapat dari Newton tapi disini akan diturunkan dari prinsip Hamilton (aksi terkecil) dengan menggunakan metode variasi. Disini yang dilakukan adalah memvariasikan besaran hingga didapat lintasan yang ekstrem ( bisa maksimum atau minimum).-Persamaan Euler.Misal terdapat sebuah fungsi J:

Akan dicari fungsi y(x) yang menyebabkan J mempunyai harga ekstrem.

Yang diketahui hanya diujung lintasan bahwa y(x1) = y1 , y(x2) = y2.Misal lintasan yang dicari y(x,0) maka lintasan disekitarnya adalah y(x,) = y(x,0) + (x). = parameter variasi, sedang (x) = fungsi yang berharga nol di x = x1 dan x = x2.Sehingga integral menjadi fungsi dari parameter variasi:

Syarat supaya J stasioner adalah J tidak tergantung yaitu:

Yang didiferensial hanya fungsinya:

masukan

Suku yang kedua di integrasi parsial menggunakan hubungan

Syarat batas integrasi (x1) = (x2) = 0 (x) fungsi sembarang hingga syarat stasioner dipenuhi oleh: disebut persamaan Euler.Setiap f yang memenuhi persamaan Euler dijamin akan membuat J stasioner.Contoh: Partikel bergerak dalam medan gravitasi yang konstan, berawal dari (x1,y1) ke (x2,y2). Cari lintasan hingga partikel bergerak dengan waktu tersingkat ?

Persoalan ini biasa disebut persoalan brachistochrone.Lintasan dengan waktu tersingkat maka dilihat:

Dengan S = lintasan Misal benda bergerak dari keadaan diam

Dimana y =dy/dxt akan stasioner ( waktu tersingkat) kalau suku dalam integral harus memenuhi persamaan Euler.

Substitusi variable pada t = 0 , x=0,y=0 maka konstanta =0Solusi membentuk cycloid:

Bentuk kedua dari persamaan Euler:f(y,y,x) maka

substitusi y

Dua suku terakhir bisa dituliskan: menurut persamaan Euler suku dalam kurung=0

Untuk keadaan khusus dimana f bukan fungsi eksplisit dari x

Contoh : cari geodesic dari bola ?Geodesic adalah jarak terdekat antara dua titik pada permukaan.Geodesic dari bola adalah jarak terdekat antara dua titik yang terletak pada permukaan bola.Untuk kordinat bola

Pada permukaan dengan jari jari , dr = 0

Jarak antara dua titik

Supaya jarak minimum dicari syarat supaya s minimum. dimana f bukan fungsi eksplisit dari , digunakan bentuk kedua dari persamaan Euler.

Di diferensialkan kalikan dengan f

dengan konstanta integrasi dan

Kalikan dengan dan uraikan

Tulis

Dalam koordinat spheris yang menggambarkan bidang yang lewat pusat dan memotong permukaan bola disebut great circle.MlodinowUntuk f yang fungsi dari beberapa variable f = f{yi(x),yi(x);x} i = 1,2,..n

PERSAMAAN EULER DENGAN SYARAT TAMBAHANSelain f dalam persoalan variasi bisa juga ada tambahan syarat lain yang harus dipenuhi dalam mencari ekstrem, syarat tambahan tersebut bisa masuk dalam persamaan Euler.Misal ada dua variable Maka Adanya konstrain dan tidak independen hingga suku dalam kurung tidak sama dengan nol ketikaPersamaan konstrain didiferensial:

dimana lintasan dimisalkan

Dimasukan ke diferensial g:

gunakan

Titik ekstrem didapat kalau persamaan =0

Suku sebelah kiri adalah turunan f dan g terhadap y dan y,sedang suku sebelah kanan turunan terhadap z dan z.Masing masing y dan z adalah fungsi x,kedua suku bisa disamakan dengan sebuah fungsi x yang dituliskan sebagai disebut sebagai pengali Lagrange tak tentu.Masing suku dapat dituliskan sebagai

Solusi terselesaikan kalau dan didapat, perlu tiga persamaan yaitu dua persamaan diatas dan persamaan konstrain g( y,z;x).Untuk keadaan yang terdiri dari n variable dan m syarat

Persamaan konstrain bisa berbentuk fungsi

Berbentuk diferensial:

Atau berbentuk integral

Contoh tentukan kurva y(x) panjang l yang dibawahnya dibatasi oleh sumbu x pada ( - a,0 ) dan ( a,0 ) dan menutupi luas paling besar ?

Diferensial luas dA = y dxYang ingin dicari maksimumnya adalah

Konstrainnya dan Sepanjang kurva dengan Konstrain dalam bentuk integral Persamaan Euler dengan konstrain:

maka

Di integral terhadap x y=dy/dx dengan C1 dan C2 konstanta integrasi.

Daerah maksimum yang didapat adalah setengah lingkaran yang dibatasi oleh garis y = 0. Setengah lingkaran tersebut harus melewati titik (- a, 0) dan ( a,0), hingga pusatnya di titik (0,0) maka C1,C2 harganya = 0 dan jari jari setengah lingkaran adalah a = . Panjang perimeter setengah lingkaran a = l maka a = l/ .V DINAMIKA LAGRANGIAN DAN HAMILTONIANMekanika Newton didasarkan kepada gaya, kalau setiap gaya yang bekerja pada benda diketahui maka gerak benda didapat. Selain itu gaya berbentuk vector berarti harus diketahui besar dan arahnya, dalam keadaan tertentu sangat sulit melihat komponen dari gaya tersebut. Dalam Lagrangian dan Hamiltonian digunakan besaran scalar.-Prinsip Hamilton.Prinsip Hamilton juga disebut prinsip aksi terkecil yaitu dari berbagai lintasan dimana sistim bisa bergerak dari satu titik ketitik lain dalam waktu tertentu, lintasan yang terjadi adalah yang meminimumkan aksi.Aksi Dengan L(x,x,t) adalah Lagrangian dan L = T U.Titik ekstreme didapat dengan variasi

Persamaan gerak ini disebut persamaan Euler-Lagrange.Denga diketahuinya L maka dengan persamaan Euler-Lagrange gerak benda (persamaan gerak) diketahui.Contoh:-Oscilator harmonic

-Ayunan datar

Kordinat Umum Kordinat dari titik bisa dinyatakan dalam berbagai variable (x,yz) ,(r,,z).Setiap himpunan besaran yang menspesifikasikan keadaan disebut kordinat umum: q1,q2.qn.Kecepatan umum I = 1,2,.nDari qi terdapat hubungan dengan kordinat (x,y,z):

Untuk sistim yang terdiri dari n partikel diperlukan 3n kordinat untuk menggambarkan keadaan dari sistim, kadang tidak semua 3n kordinat independen. Kalau terdapat m persamaan konstrain maka sistim dikatakan mempunyai (3n-m) derajat kebebasan. Derajat kebebasan adalah jumlah kordinat independen yang diperlukan untuk menspesifikasikan posisi masing masing dari setiap partikel dalam sistim.Dalam kordinat umum persamaan Euler-Lagrange: Terdapat kebebasan dalam pemilihan kordinat umum, harus dipastikan bahwa pemilihan kordinat umum harus menggambarkan keadaan dari sistim secara keseluruhan. Contoh ayunan datar yang talinya terbuat dari karetUntuk ayunan dengan tali kaku hanya terdapat 1 derajat kebebasan ,kalau talinya terbuat dari karet maka tali bisa bertambah panjang derajat kebebasan bertambah.

Adanya konstrain akan mengurangi jumlah kordinat umum yang dipakai untuk menggambarkan gerakan dari sistim.Contoh kelereng bergerak dalam cangkir berbentuk parabola z = c r2, kelereng berputar dengan jari jari R ketika cangkir berputar dengan frekuensi w. Tentukan c ?

Gunakan kordinat umum ( r,,z) Terdapat hubungan antara beberapa kordinat (konstrain) Kordinat terkait dengan kecepatan putar:

Persamaan Euler-Lagrange

Ketika kelereng berputar konstan pada r = R maka kecepatan dan percepatan = 0. -Persamaan Lagrange Dengan Pengali Tak Tentu.Terdapat dua jenis konstrain yaitu holonomic dan nonholonomic. Dalam konstrain holonomic hubungan antara berbagai kordinat bisa dituliskan sebagai fungsi antara kordinat: Secara umum kalau konstrain berbentuk diferensial dan tidak dapat diintegral maka konstrainnya adalah nonholonomic.

Misal konstrain dapat dituliskan sebagai: persamaan ini belum tentu bisa diintegrasi, kalau berbentuk istimewa bisa diintegrasi. hingga yang merupakan konstrain holonomic.Untuk konstrain yang berbentuk diferensial maka dengan menggunakan pengali tak tentu Lagrange dapat dimasukan ke persamaan gerak.

dengan persamaan konstrain Dalam formulasi Lagrange tidak dibicarakan gaya, tapi dalam keadaan tertentu kadang dipergunakan. Didefinisikan gaya umum konstrain:

Contoh:

Untuk silinder yang bergerak pada bidang miring, tentukan persamaan gerak, gaya konstrain dan percepatan sudut.

Konstrainnya adalah jarak tempuh y sebanding dengan banyak putaran konstrain holonomic.Silinder tidak tergelincir, hanya ada satu derajat kebebasan bisa digunakan y atau .Persamaan konstrain bisa dipakai untuk mengeliminir salah satu kordinat,hingga didapat satu persamaan gerak dari persamaan Euler-Lagrange. Persamaan geraknya Sekarang digunakan persamaan Euler-Lagrange dengan pengali tak tentu:persamaan konstrain hanya ada satu, hanya ada satu

Persamaan konstrain Hingga kalau silinder tergelincir tanpa berotasi adanya rotasi menyebabkan percepatan berkurang jadi 2/3 nya.

Gaya umum konstrain: torsi. Ini adalah gaya yang mempertahankan gerak supaya berotasi tanpa tergelincir.

-Persamaan Euler-Lagrange Ekivalen dengan Persamaan Newton.Untuk satu partikel

untuk sistim konservatif:

Ini adalah persamaan Newton.Sebaliknya dari persamaan Newton bisa diturunkan perasamaan Euler-Lagrange.

-Teorema Energy Kinetik.Dalam kordinat tegak lurus energy kinetic:

Dalam kordinat umum:

Energy kinetic menjadi

Yang bisa dituliskan:

Untuk sistim scleronomic hubungan kordinat tidak tergantung waktu secara eksplisit:

Energy kinetic adalah fungsi homogen tingkat dua dari kecepatan umum:

Turunkan terhadap

Kalikan dan jumlahkan

Indeks sembarang

Teorema Euler : fungsi adalah fungsi homogen tingkat n kalau berlaku:

Energy kinetic adalah fungsi homogen tingkat dua dari kecepatan umum.

Hukum Kekekalan.Persamaan Euler-Lagrange merupakan persamaan diferensial tingkat dua, diperlukan dua kali integrasi dan 2 konstanta.Dalam keadaan tertentu hanya dari integral pertama dapat diketahui informasi tentang gerak. Misal ada L yang bukan fungsi salah satu qi. Maka:=0pj = konstan pj disebut integral pertama

-Hukum kekekalan energy:L = L(qi,qi,t) maka

Definisikan H

Kalau L bukan fungsi eksplisit dari waktu maka suku sebelah kanan =0.

H kekal atau integral pertama dari gerak, H simetry terhadap waktu.Arti fisis dari H:Misal L(q,q,t) = Lo(q,t) + L1(q,q,t) + L2(q,q,t)L1(q,q,t)= fungsi homogen tingkat satu dari q.L2(q,q,t)= fungsi homogen tingkat dua dari q.

Energy kekal,integral pertama dan E symmetry terhadap waktu.-Hukum kekekalan momentum missal partikel digeser (translasi) oleh

makamasing masing independen maka Dari persamaan Euler-Lagrange: Pergeseran menyebabkan momentum konstan, ruang adalah invariant terhadap pergeseran. Ruang adalah homogen, kalau mengalami translasi tidak berubah.Ruang mempunyai simetry translasi, ruang homogen.Bila Langrangian sebuah sistim adalah invariant terhadap pergeseran(translasi) pada arah tertentu maka momentum liniar pada arah tersebut adalah konstan.-Hukum Kekekalan Momentum Sudut.Misal sistim diputar, vector berubah jadi .

sedang untuk kecepatan

persamaan Euler-Lagrange menjadi

sembarang maka

l = r X p = momentum sudut.Hukum kekekalan momentum sudut merupakan perwujudan dari simetry rotasi.Simetry rotasi menunjukan bahwa ruang adalah isotropis. -Persamaan Gerak Kanonik (Dinamika Hamilton)L = L(qi,qi,t) gunakan momenta umum

akan didapat:

Perubahan dari L ke H bisa dipandang sebagai perubahan variable dari (qi, qi) ke (qi, pi).

Diferensial total dari H

Dari definisi H

Maka: persamaan gerak Hamiltonian.Bentuk persamaan yang simetrik persamaan juga disebut sebagai persamaan kanonik.Berbeda dengan persamaan Euler-Lagrange yang merupakan persamaan diferensial tingkat dua, persamaan gerak Hamilton adalah persamaan diferensial tingkat satu.Kalau qk siklis di L maka siklis juga di H,bedanya adalah keberadaan kordinat siklis di L tidak merubah jumlah persamaan gerak

masih terdapat s PD II, tapi untuk H keberadaan kordinat siklis mengurangi jumlah persamaan karena pk = konstan langsung didapat

Contoh ayunan spheris:

Untuk mendapatkan H bisa digunakan:ini adalah cara aman tapi panjang untuk mendapatkan H.Cara paling singkat adalah dengan melihat bahwa H = E = T + U tapi digunakan pk bukan q, kalau diketahui bentuk pk nya tidak perlu dituliskan Lagrangiannya.

Persamaan gerak: siklis maka pasangan (conjugate) momentanya langsung didapat yaitu = konstan.

-Teorema LiouvillesKordinat umum qj akan membentuk ruang konfigurasi berdimensi s, posisi partikel diketahui tapi kecepatannya tidak diketahui. Begitu pula momenta umum pj akan membentuk ruang momentum berdimensi s, momenta diketahui tapi posisi tidak. Dengan dibentuknya ruang dari qj dan pj akan didapat ruang phase Hamiltonian atau ruang phase, yang berdimensi 2s.Pada ruang phase akan diketahui posisi dan momenta dari setiap partikel. kerapatan di ruang phase. Jumlah N titik yang terletak dalam elemen volume dv adalah dimana

Pandang elemen luas dari bidang qk-pk dalam ruang phase.Jumlah titik yang bergerak dari sebelah kiri luasan persatuan waktu adalah yang masuk dari bagian bawah jumlah total yang masuk persatuan waktu adalah

Sedang yang keluar dari luasan persatuan waktu:

Sehingga kenaikan kerapatan persatuan waktu

Dari persamaan gerak Hamilton:

Maka

Yang merupakan diferensial total turunan terhadap waktu dari

Teorema Liouvilles menyatakan bahwa kerapatan dari titik di ruang phase selama gerak adalah konstan.-Teorema VirialMisal ada kumpulan partikel yang mempunyai posisi r dan momentum p.Definisikan Turunan terhadap waktu

Dihitung harga rata rata waktu dalam selang waktu

Untuk sistim yang periodic maka harga rata akan sama dengan nol, sedang untuk yang tidak periodic selisih akan mendekati nol kalau dipilih cukup lama.

Teorema virial menyatakan bahwa energy kinetic rata rata sistim partikel adalah sama dengan virialnya.Salah satu pemakaian dari virial untuk menentukan persamaan keadaan gas.Untuk gas ideal tidak ada interaksi antara molekul,interaksi yang ada adalah hanya antara molekul dengan dinding.

Dengan unit vector n mengarah keluar permukaan.

Integral permukaan (luas) dirubah jadi integral volume

Untuk gas ideal energy kinetic rata rata adalah 3/2 kT untuk N molekul didapat ->

VII GERAK GAYA CENTRALDalam gaya central dilihat gerakan dua benda dimana gaya interaksinya mengarah sepanjang garis antara pusat massanya.Untuk menggambarkan gerak dua benda diperlukan 6 besaran dari partikel r1 dan r2 atau pusat massa R dan vector r = r1 r2.

Ingin dilihat gerak satu partikel terhadap lainnya, maka digunakan kordinat relative terhadap pusat massa R = 0.dan akan didapatdefinisikan masa tereduksi

Persoalan dua benda dirubah jadi persoalan satu benda, dengan didapatnya r(t) maka r1(t) dan r2(t).Potensial energy hanya tergantung kepada jarak tidak kepada orientasinya, maka sistim mempunyai simetry spheris artinya rotasi terhadap sumbu tetap tidak akan merubah persamaan gerak. Pada sistim yang punya simetry rotasi maka:

Maka r dan p terletak dibidang normal terhadap L,gerak benda terletak di bidang yang merupakan gerak dua dimensi ( dua derajat kebebasan).

Lagrangian tidak mengandung (kordinat siklis) makaberarti disebut sebagai integral pertama dari gerak dan harga konstannya diberi symbol l

Momentum liniar juga konstan, tapi karena gerak translasi pusat masa tidak diperhatikan maka tidak memberikan informasi tambahan.Sedang untuk energy juga kekal (integral pertama) atau

Dituliskan dalam bentukkalau persamaan bisa diintegral maka akan didapat t= t(r) -> r = r(t).Untuk lintasan (orbit) biasanya ingin didapat hubungan r dan : masukan dan r kemudian di integral

Pada prinsipnya integral bisa dihitung, bentuk dari gaya central akan berperan bila tergantung pangkat dari jarak n bisa bulat atau pecahan. Untuk n = 1 adalah kasus oscillator harmonic dan n = -2 adalah persoalan gaya terpusat kuadrat.Persamaan orbit diatas diturunkan dari konstanta gerak, bisa juga diturunkan dari persamaan Euler-Lagrange dengan satu derajat kebebasan. Dalam keadaan dimana orbitnya diketahui r = r() dan ingin diketahui gaya yang menimbulkan orbit tersebut digunakan variable

masukan maka -> Dinyatakan dalam variable u persamaan gerak menjadi atau -Orbit Dalam Gaya Central.

Kecepatan akan nol kalau titik ini disebut titik balik. secara umum akan ada dua titik balik yaitu rmax dan rmin. Dan gerak benda akan dibatasi oleh daerah rmax > r > rmin. Dalam keadaan khusus ( harga E, U(r) dan l tertentu) hanya ada satu akar maka r=0 maka r = konstan maka orbitnya berbentuk lingkaran.Perubahan sudut setelah bergerak dari rmin ke rmax dan kembali ke rmin

Lintasan akan tertutup bila dimana a dan b bilangan bulat. Setelah periode b vector radius partikel melakukan a putaran penuh dan kembali ke posisi awalnya. Bila perubahan sudut tidak kelipatan bilangan irasional maka lintasan akan terbuka.

Bisa dibuktikan bahwa untuk maka lintasan tertutup noncircular hanya akan terjadi bila n = 1 dan -2. Kasus n= -2 berlaku untuk gaya central gravitasi dan listrik. Sedang n = 1 untuk oscillator harmonic, misal untuk gabungan dua oscillator harmonic di x dan y maka lintasannya akan tertutup bila wx/wy adalah pecahan rasional.-Energy Centrifugal dan Potensial Efektif.

Suku terakhir mempunyai satuan energy bisa dituliskan: merupakan energy rotasi terkait dengan momentum sudut.Definisikan energy potensial maka gayanya Ini biasa disebut sebagai gaya centrifugal dan potensialnya adalah energy potensial centrifugal.Definisikan energy potensial efektif: yang merupakan gabungan energy potensial U(r) dan energy rotasi.Untuk gaya terpusat kuadrat jarak ->Maka

-Gerak Planet-Persoalan Kepler.Lintasan partikel yang bergerak dibawah pengaruh gaya sentral kuadrat jarak:

Dirubah ke kordinat u = 1/r dari table integral atau dipilih const adalah /2 yang sama dengan memilih minimum r pada =0,makadefinisikan

Titik r = rmin disebut pericenter dan r = rmax disebut apocenter, secara spesifik untuk gerak mengitari matahari ini adalah perihelion dan aphelion sedang untuk satelit yang mengelilingi bumi adalah perigee dan apogee.Berbagai macam bentuk konik yang mungkin

Untuk gerak planet orbitnya berbentuk ellipse dengan 2a sumbu utama dan 2b sumbu minor dimana dan

Untuk r(t), vector radius pada waktu dt akan mengkover daerah seluas maka areal velocity Ini adalah hukum Kepler kedua yaitu areal velocity untuk gaya central berharga konstan.Untuk menghitung periode gerak elipse:luas elipse Selain itu sumbu semiminor bisa dituliskan maka periode bisa dituliskan biasa disebut hukum Kepler ketiga. HOHMANN TRANSFERMisal ingin diluncurkan roket dari bumi menuju Mars dan diusahakan supaya energy yang diperlukan seminimum mungkin. Untuk melakukan perjalanan antar planet harus diusahakan perpindahan orbit, cara yang paling sederhana dengan dorongan tunggal (single thrust) pada bidang orbit tetap (arah momentum sudut tidak dirubah) dimana yang dirubah secara bersamaan adalah eccentrisitas dan energy. Perpindahan orbit yang paling ekonomis adalah dari orbit lingkaran terpusat di matahari ke orbit yang lain pada bidang tetap (bumi dan Mars terletak pada bidang sama). Diperlukan dua dorongan untuk berpindah orbit 1) dorongan dari orbit lingkaran bumi ke orbit perpindahan eliptik yang memotong orbit Mars 2) dorongan perpindahan dari orbit eliptik ke orbit Mars.Anggap hanya ada gravitasi matahari (gravitasi bumi dan Mars diabaikan)Untuk orbit lingkaran dan ellip:

Gerak melingkar terhadap matahari pada jari jari r: dirubah Sumbu utama orbit perpindahan ellip adalah Energy di perihelion ellip perpindahan dimana vtl adalah kecepatan perpindahan ellip searah v1. sehingga kecepatan perpindahan yang diperlukan

Dengan cara yang sama untuk perpindahan dari orbit ellip ke lingkaran perpindahan kecepatan Waktu total untuk berpindah adalah sama dengan dari periode orbit ellip Perpindahan Hohmann dari segi energy ekonomis tapi dari segi waktu sangat lama sekali, perlu menunggu selama 460 hari di Mars supaya posisinya tepat untuk orbit ellip perpindahan (259 + 460 +259= 978 hari = 2.7 tahun untuk pp).

Sudut Apsidal dan Precesi.Gerak planet terbatas antara rmin < r < rmax , setelah satu putaran bisa saja tidak kembali ke rmax yang sama tapi bergeser. Pemisahan sudut antara dua rmax disebut sudut apsidal,untuk gaya terpusat 1/r2 sudut harus tetap sebagai fungsi waktu. Untuk planet Mercuri ternyata sudut apsidal perihelionnya adalah 574 tiap abad, setelah memperhitungkan factor planet lainnya ternyata sudutnya dihitung adalah 531 per abad terdapat selisih 43 antara perhitungan dan pengamatan. Perbedaan ini tidak dapat dijelaskan oleh hukum gravitasi Newton.

Menurut teori Einstein untuk gaya terpusat 1/r2 harus dikoreksi, dengan memasukan factor koreksi ini presesi Mercury bisa dijelaskan.Persamaan orbit dibawah gaya gravitasi 1/r2:

Benda masa m dibawah pengaruh gaya gravitasi benda M.Dimasukan factor koreksi relativitas umum:tulis adanya u2 menjadikan persamaan diferensial jadi nonlinear, solusinya dicari dengan pendekatan berurutan.Kalau tidak ada u2 solusinya diketahui: anggap ini solusi pendekatan pertama,kalau dimasukan ke persamaan:

u1 hanya menghasilkan suku pertama, supaya menghasilkan suku kedua harus ditambah suku lain up.

Diambil hanya pendekatan kedua

Pada kurung kedua, suku pertama hanya konstan dan suku kedua kecil dan periodic kalau dirata rata tidak memberikan pengaruh presesi. Hanya diperhatikan kurung yang pertama:

Perhatikan:

Gunakan dan makaperihelion berikutnya kalau suku dalam cos kelipatan 2 ->Pengaruh suku relativistic adalah menggeser perihelion sebesar

Dari dan , presesi ini akan besar untuk yang mempunyai a (sumbu utama) kecil dan eccentrisitas besar seperti Mercury.-Stabilitas Orbit LingkaranKetika E = Vmin maka orbit akan berbentuk lingkaran.Ssetiap orbit lingkaran akan terjadi untuk gaya tarik terpusat karena bisa diusahakan gaya tarik selalu di imbangi oleh gaya centrifugal dengan memilih kecepatan radial tertentu, bila ,hanya kalau potensial efektif adalah minimum maka orbit lingkaran stabil sedang pada keadaan lain tidak stabil.Gaya tarik terpusat ->Potensial efektifSyarat minimum yang menghasilkan orbit lingkaran

->->maka syarat keberadaan orbit lingkaran stabil adalah n < 3.Untuk n = 3 , dari syarat titik ekstrem l2 = k sedang dari turunan kedua l2 > k kedua syarat tidak mungkin dipenuhi secara bersamaan, maka n = 3 orbit lingkaran tidak akan stabil.Keberadaan orbit lingkaran stabil bisa juga dilihat dari kenyataan bahwa gerak stabil karena melakukan gerak osilasi periodic.Gaya central Persamaan gerak substitusi l Untuk orbit melingkar maka Anggap partikel tadinya bergerak melingkar dengan jari jari kemudian diganggu berubah jadi dengan x < 0.diuraikan

Persamaan menjadimasukan g()

definisikan solusinyaKalau maka w0 imaginair suku kedua akan menuju tak berhingga. Solusi beroscilasi adalah ->

Syarat stabilitas orbit lingkaran dari gaya central adalah

Untuk gaya central ->atau n < 3 .VIII DINAMIKA SISTIM PARTIKEL.-Pusat Masa

Pandang benda yang terdiri dari n partikel masing masing mempunyai masa dengan = 1,2 nMasa total sistim adalah Pusat masa benda dengan vector posisi benda ke .Untuk benda yang kontinyu dituliskan dalam bentuk integral

Tentukan pusat masa bendaanggap benda terdiri dari dua benda yaitu kerucut dan setengah bola.Untuk kerucut, dipilih kordinat dipusat maka pusat masa x = y = 0 hanya perlu dicari pusat masa di arah z.= rapat masa.

Gunakan kordinat silinder

Untuk setengah bola, kordinat dipusat maka pusat masa x = y = 0

Gunakan z = r cos akan didapat:tanda minus karena setengah bola terletak dibawah.

Kalau ->-Momentum Liniar Sistim PartikelKetika sistim partikel dikenai gaya luar, maka masing masing partikel akan mengalami juga gaya dalam karena interaksi antar partikel.Gaya dalam f adalah gaya yang dialami oleh partikel oleh (n-1) partikel lainnya: Gaya total -> dijumlah untuk seluruh partikel

karena sistim partikel dikenai gaya luar maka pusat masa sistim partikel akan bergerak seperti partikel masa M hanya dikenai gaya luar dan tidak tergantung gaya dalam yang ada.Momentum liniar total sistim adalah

-momentum liniar sistim adalah sama dengan momentum liniar partikel masa M terletak di pusat masa.-momentum liniar sistim partikel tanpa gaya luar adalah konstan dan sama dengan momentum liniar pusat masa.-Momentum Sudut Sistim PartikelPilih kordinat relative terhadap pusat masa, maka vector posisi: dimana vector posisi partikel terhadap pusat masa.Momentum sudut partikel terhadap titik asal Untuk seluruh partikel

Suku yang ditengah= 0 karena

-momentum sudut terhadap titik sembarang adalah jumlah momentum sudut pusat masa ke titik sembarang dan momentum sudut sistim terhadap pusat masa.Untuk partikel turunan terhadap waktu

Untuk seluruh partikel

Suku terakhir

karena

Untuk gaya central dalam

-bila resultante torsi luar nol pada sumbu sembarang, maka momentum sudut total akan konstan pada sumbu tersebut.Torsi internal pada partikel

-bila gaya dalam central torsi total dalam = 0, dan momentum sudut sistim hanya bisa dirubah oleh gaya luar.-Energy Sistim PartikelKerja untuk membawa sistim dari 1 ke 2 adalah gaya resultan yang bekerja di partikel

Gunakan pada

kecepatan pusat masa.

Suku terakhir = 0 karena

-energy kinetic total sistim adalah jumlah energy kinetic partikel masa M bergerak dengan kecepatan pusat masa dan energy kinetic masing masing partikel relative terhadap pusat masa.

Untuk gaya konservatif dan dimana adalah energy potensial dalam dari sistim, untuk benda kaku posisi masing masing partikel tidak berubah maka energy potensial dalamnya = 0. ->Contoh proyektil masa M meledak di udara menjadi 3 bagian, bergerak sama dengan proyektil awal, bergerak pada arah berlawanan dan diam. Energy yang dilepaskan dalam ledakan adalah 5 kali energy kinetic. Tentukan kecepatan pecahan ?

Proyektil awal masa M dan kecepatan v.m1 kecepatan searah maka m2 berlawanan arah hukum kekekalan momentum->Kekekalan energy

-> maka harus positif. Pilih maka Kecepatan pecahan

-Tumbukan Elastis Dua Partikel.Untuk sistim partikel dinamika sistim menjadi sederhana dengan digunakannya kordinat pusat masa. Untuk tumbukan pengamatan dilakukan di lab, dimana relative pada kordinat ini satu partikel diam dan yang lainnya bergerak. Digunakan dua sistim kordinat pada kasus tumbukan yaitu kordinat pusat masa CM dan kordinat LAB.Partikel masa m1 menumbuk partikel m2.Di kordinat LAB:Partikel m1:kecepatan awal, kecepatan akhir energy kinetic akhir.Partikel m2:kecepatan awal, kecepatan akhir energy kinetic total.kecepatan pusat masa sudut dimana m1 dibelokan sudut dimana m2 dibelokanKeadaan awal Keadaan akhir Di kordinat CMPartikel m1: kecepatan awal, kecepatan akhir energy kinetic akhir.Partikel m2: kecepatan awal, kecepatan akhir. energy kinetic total.sudut dimana m1 dan m2 dibelokanKeadaan awal Keadaan akhir Dari definisi pusat masa diturunkan terhadap waktu u2 = 0 di kordinat LAB pusat masa bergerak kearah m2 dengan kecepatan:

m2 awalnya diam, sehingga di kordinat CM akan bergerak dengan kecepatan sama dengan V:secara vector Di CM momentum linier total = 0, Definisikan u1= kecepatan relative kedua partikel baik di CM atau LAB

perbandingan masa ini akan menentukan jenis trayektori.hanya ada satu trayektory. ada dua trayektori yaitu forward (kedepan) dan backward (mantul kebelakang)

Bila m1 Harga maksimum = 180, ketika m1 = m2 di LAB tidak ada hamburan yang lebih besar dari 90.Recoil dari m2:

V = ->->Ketika m1 = m2 -> hamburan partikel dengan masa sama akan menghasilkan kecepatan akhir yang saling tegak lurus ( m2 diam awalnya).

-Kinematik Tumbukan Elastik.Keadaan awal: di CM adalah di CM energy kinetic awalnya adalah pecahan dari energy kinetic di LAB.Keadaan akhirDi CM

Di LAB

Sedang maka

Dari dan dua suku pertama didapat.Suku ketigadari rumus tanmaka

Disederhanakan

Dengan menggunakan sudut hamburan akan didapat:dipilih tanda + kecuali kalau m1 > m2 kedua tanda digunakan.Energy partikel yang recoil m2 Kalau ->

Hubungan yang lain:

-Tumbukan Tidak Elastik (Inelastic)Dalam tumbukan elastic kekekalan energy menunjukan kekekalan energy kinetic, tidak ada energy yang hilang atau bertambah. Secara umum dalam tumbukan bisa saja energy hilang atau bertambah,

Q = 0 tumbukan elastic.Q < 0 tumbukan endoergic, energy kinetic hilang. Untuk benda makroskopis tumbukan biasanya tidak elastic karena ada energy kinetic yang hilang.Q > 0 tumbukan exoergic, energy kinetic bertambah. Dalam tumbukan mikroskopik bisa saja masa dari partikel berubah jadi energy.Derajat ketidak elastikan bisa juga dilihat dari koefisien restitusi , Newton mendapatkan bahwa kecepatan relative kedua partikel sebelum dan sesudah tumbukan konstan:

Untuk tumbukan elastic = 1 dan = 0 bila kedua partikel nempel setelah tumbukan.Harga menunjukan bahwa komponen kecepatan pada bidang aa konstan, bila kedua permukaan tumbukan licin kondisi ini terpenuhi . Yang penting tidak ada gerak rotasi pada peristiwa tumbukan. Tapi bila permukaan tidak licin bisa saja komponen kecepatan tidak sama, begitu pula bila tumbukan oblique.-Penampang Hamburan.Pada peristiwa hamburan terdapat gaya yang bekerja antara partikel yang bertumbukan, persoalannya bisa dipandang sebagai gerakan partikel dibawah pengaruh gaya tolak central.

Di LAB kordinat, m1 bergerak mendekati m2 dengan b = parameter tumbukan menunjukan jarak terdekat yang bisa dilewati partikel datang bila tidak ada gaya.Parameter tumbukan menentukan momentum sudut m1 terhadap m2, m1 kecepatannya u1 maka momentum sudut dengan energy kinetic datang .Untuk energy tertentu maka momentum sudut l dan sudut hamburan akan ditentukan oleh parameter tumbukan bila gaya tolak diketahui. Dalam hamburan atomic atau inti, parameter tumbukan tidak diketahui atau tidak bisa ditentukan, hingga hanya bisa ditentukan kemungkinan hamburan pada berbagai sudut.Misal ada berkas partikel masa m1 dan energy T0 mendekati masa m2 yang diam, maka intensitas (rapat fluks) I adalah jumlah partikel datang per satuan waktu melewati satuan luas yang normal terhadap arah gerak berkas.Penampang lintang hamburan diferensial didefinisikan sebagai:

Dengan adalah elemen sudut ruang.kemungkinan hamburan pada adalah ,sedang untuk fluks I dan dN adalah jumlah partikel terhambur pada persatuan waktu maka-> Dimensi adalah luas per steradian.Untuk gaya sentral mempunyai simetry sumbu, integral pada azimuth hasilnya 2 maka .

Jumlah partikel dalam interval db harus terkait dengan partikel terhambur dalam interval ddimana < 0 penurunan sudut defleksi berlawanan dengan kenaikan parameter tumbukan.

Untuk partikel yang bergerak dalam gaya sentral:

= gerak partikel dalam gaya sentral simetrik terhadap titik terdekat pusat hamburan =

Gunakan ambil U = 0 maka :

Untuk potensial tertentu dan harga T0 maka akan didapat b = b() berarti penampang diferensial hamburan didapat. m2 pusat hamburan diam, diferensial hamburan adalah untuk CM.Jumlah partikel yang dihamburkan pada sudut ruang harganya sama di CM atau di LAB->Di LAB dan ->

kalikan dengan dan tambahkan jadisuku sebelah kiri diuraikan

Maka

gunakan

Untuk maka

Untuk ,

-Hamburan RutherfordUntuk hamburan partikel bermuatan yang disebabkan gaya Coulomb makadengan q1,q2 muatan. k > 0 gaya tolak menolak, k < 0 gaya tarik menarik.

Diintegral akan didapat: dengan dengan ->

gunakan rumus hamburan Rutherford.Penampang lintang hamburan di CM tergantung dan tidak tergantung jenis muatan tolak menolak dan tarik menarik sama.Untuk kasus ->

Di LAB kordinat:

Penampang lintang hamburan total yang sebanding dengan luas efektif partikel target yang menghamburkan adalah integral dari penampang lintang diferensial:

Harga penampang lintang hamburan total sama apakah di CM atau LAB.Bila ingin dihitung di LAB bila m1 < m2 maka batas integral dari 0 ke .Bila m1 m2 maka batas integral dari 0 ke

Bila penampang lintang total hamburan Rutherford dihitung hasilnya akan menjadi tak berhingga disebabkan lambatnya penurunan 1/r, biasanya medan Coulomb inti atom dianggap mengalami screening dan penampang lintang total jadi berhingga.-Gerak Roket.Roket bergerak karena semburan masa dengan kecepatan tinggi.Pada waktu t masa roket adalah m dan kecepatan v.Selang waktu dt, roket menyemburkan masa dm dengan kecepatan u.Roket masanya jadi m dm dan kecepatannya jadi v + dv.Momentum awal = mv.Pada waktu t + dt momentum jadi Tidak ada gaya luar berlaku hukum kekekalan momentum:->->-> suku dm dv diabaikan.dm masa yang disemburkan roket, maka perubahan masa roket sendiri adalah-> -> dianggap kecepatan sembur u konstan.Kecepatan akhir roket tergantung u dan , hingga roket biasanya dibuat bertingkat dengan masing masing tingkat punya tabung bahan bakar sendiri.Roket didorong oleh kekekalan momentum liniar, supaya konsep gayanya kelihatan maka didefinisikan dorongan thrust suku sebelah kiri adalah m aDorongan = thrust dm/dt berharga negative hingga dorongan berharga positif.Pada waktu roket naik maka roket dipengaruhi oleh gaya gravitasi bumi, persamaan geraknya:=->Kecepatan bakar konstandt dihilangkan ->

Dari ->

Bila kecepatan sembur kecil maka v akan negative, roket tidak akan pernah naik. Diperlukan kecepatan sembur tertentu supaya roket naik.Untuk naik lift off thrust=dorongan harus sama dengan berat roket.Thrust = -u dm/dt = u dimana u = kecepatan sembur bahan bakar.m g = u -> u= mg/.VIII GERAK DALAM KERANGKA ACUAN NONINERSIALKerangka acuan inersial adalah kerangka acuan yang tidak mengalami percepatan,sedang kerangka acuan noninersial adalah kerangka acuan yang mengalami percepatan.Pilihan kerangka acuan sembarang, tapi diharapkan dari pilihan tersebut dinamika benda jadi lebih sederhana.untuk sebagian besar kasus pilihan kerangka acuan inersia bisa dilakukan,dalam keadaan tertentu pilihan kerangka acuan noninersial tidak terelakan.Untuk melihat gerak dalam kerangka acuan noninersial, perhatikan dua kerangka acuan yaitu kerangka acuan (x1x2x3) diam (fixed) dan kerangka acuan (x1x2x3) bergerak.

Titik P bisa dituliskan sebagai: dimana adalah vector radius dikordinat tetap,adalah vector radius di kordinat bergerak dan vector radius yang menghubungkan kedua sistim kordinat.misal vector mengalami pergeseran makadimana pengukuran dilakukan dikordinat tetap.-> dimanaKalau P mempunyai kecepatan dikordinat bergerak,maka totalnya

Rumus kecepatan titik P dikordinat tetap:

Definisikan:=kecepatan pada sumbu tetap=kecepatan kordinat yang bergerak= kecepatan pada kordinat bergerak.kecepatan yang disebabkan rotasi kordinat bergerak.

Rumus Newton berlaku dikordinat inersial, maka dikordinat tetap:

Dari kecepatan dikordinat tetap:

Tulis dandengan percepatan dikordinat bergerak.

Untuk pengamat dikordinat bergerak:

=jumlah gaya yang bekerja pada partikel diukur dikordinat tetap. = percepatan translasi kordinat bergerak pada kordinat tetap.= percepatan sudut kordinat bergerak pada kordinat tetap.= gaya centrifugal dan mengarah kepusat putaran.= gaya Coriolis yang timbul karena partikel bergerak dikordinat bergerak.-Gerak di Permukaan Bumi.Adanya rotasi bumi menjadikan bumi adalah kerangka acuan noninersial. anggap kordinat tetap berada dipusat bumi sedang kerangka acuan noninersial dipermukaan bumi.

Dikordinat bergerak:

= jumlah gaya luar selain gravitasi. medan gravitasi bumi

Kecepatan sudut bumi konstan maka=0

Definisikan

g efektif yang menentukan percepatan gravitasi bukan g0, arahnya tidak tepat mengarah kepusat bumi. Pengaruh factor sentrifugal cukup berarti, dikatulistiwa jari jari bumi lebih besar 21.4 km dibandingkan jari jari kutub dan percepatan gravitasi kutub lebih besar dibandingkan di katulistiwa.harga -Gaya CoriolisSuku adalah gaya Coriolis sangat berperanan di belahan bumi lain kecuali di katulistiwa.kecepatan sudut adalah kecepatan rotasi bumi yang mengarah keutara. Dibelahan bumi utara akan memberikan penyimpangan pada arah kanan. Pengaruh paling terlihat dari efek Coriolis adalah pada gerakan angin,angin bergerak dari tekanan tinggi ke tekanan rendah ,dibelahan bumi utara akan didefleksikan kearah kanan.

Arah defleksi di bagian selatan, berlawanan dengan di utara yaitu ke kiri.Arah whirlpool di bathtub bisa mengarah ke sembarang, karena pengaruh gesekan dlsb.Contoh: tentukan penyimpangan yang dialami benda yang jatuh bebas dari ketinggian h yang disebabkan oleh gaya Coriolis.

Gaya luar hanya gravitasi maka

Kordinat di belahan bumi utara:,,Benda jatuh bebas, dan dianggap kecepatan di arah x dan y kecil,,

Abaikan suku w2 maka ,,

->->Jatuh dari ketinggian h maka waktu jatuh Penyimpangan benda

Benda dijatuhkan dari ketinggian 100 m di latitude 45 penyimpangan sekitar 1.55 cm ( gesekan udara diabaikan).-Ayunan Foucault.

Ayunan raksasa yang membuktikan bahwa bumi berputar.Adanya tegangan tali maka

Tegangan tali didekati oleh,,Gaya gravitasi: ,,Gerak rotasi: ,,Kecepatan: ,,

,,,kecepatan dan percepatan diarah z diabaikan.Tuliskan ,persamaan x mengandung y dan sebaliknya biasa disebut persamaan pasangan.Kalikan persamaan y dengan I dan jumlahkan

Tulis persamaan oscillator teredam, dengan factor redaman imaginair.Solusi

Untuk melihat arti fisis solusi:Misal bumi tidak berputar maka factor terkait dengan frekuensi dan

Solusi untuk kondisi bumi tidak berputar:

Maka

Komponen real dan imaginair,Dalam bentuk matriks dengan Sudut rotasi dan bidang ayun dari Foucault berotasi dengan frekuensi IX DINAMIKA BENDA KAKU.-Tensor Inersia.Benda kaku adalah kumpulan partikel yang jarak relatifnya selalu tetap.Untuk menggambarkan gerak benda kaku digunakan dua sistim kordinat yaitu kerangka acuan inersial (diam) dan kordinat sistim dibendanya sendiri.Misal benda kaku terdiri dari n partikel dengan masa dengan Bila benda berputar dengan kecepatan w relative terhadap titik tertentu dan bergerak dengan kecepatan V maka:jadi Energy kinetic partikel ke : Energy kinetic total benda kaku

Pilihan acuan titik sembarang. pilih titik acuan dipusat masa benda kaku maka R = 0.Maka Dimana Gunakan Bagian rotasi dari energy kinetic di kordinat benda

Tulis

Elemen dari penjumlahan terhadap diberi symbol

Energy kinetic rotasi menjadi:

Tensor inersia dituliskan

Gunakan komponen dan

Elemen diagonal I11,I22,I33 disebut momen inersia terhadap sumbu x1,x2,x3. Sedang suku off diagonal I12,I13,I21 dst disebut perkalian inersia (product of inertia).Tensor inersia simetrik yaitu berarti hanya ada 6 besaran independen.Untuk benda yang kontinyu dengan kerapatan maka tensor inersianya

Tentukan tensor inersia dari kerucut terbalik?gunakan kordinat silinder.

Dari simetry kerucut terlihat bahwa

diintegrasikan dan gunakan

->Perhitungan tensor inersia relative terhadap kordinat (x1x2x3) bisa dihitung relative terhadap kordinat di pusat masa (x1x2x3),ada cara lain untuk menghitung tensor inersia pada kordinat lain kalau sudah diketahui besarnya pada kordinat tertentu.-Momentum SudutRelative terhadap sebuah titik dikordinat benda momentum sudut benda adalah:

Momentum liniar relative terhadap kordinat benda:

Maka

Momentum sudut adalah vector maka untuk satu komponennya

Dalam bentuk tensor Terlihat bahwa arah momentum sudut L tidak harus searah dengan kecepatan sudut w.

-Sumbu Utama InersiaRumus L dan T rotasi jadi rumit karena adanya perkalian inersia yang merupakan suku off diagonal. Kalau bisa dipilih sumbu sedemikian rupa sehingga yang ada hanya suku diagonal maka rumus L dan T rotasi jadi sederhana.->Yang ada hanya suku diagonal saja makadan Sumbu dimana inersia tensornya hanya bagian diagonal saja disebut sumbu utama inersia.Untuk mencari sumbu utama inersia samakan suku di komponen momentum sudut:persamaan tersebut akan terpenuhi bila determinan koefisien memenuhipersamaan ini disebut persamaan secular atau karakteristik.Akar dari persamaan adalah I1,I2 dan I3 yang merupakan sumbu utama inersia. Dengan memasukan harga yang didapat kepersamaan asal akan didapat w1:w2:w3 yang merupakan arah dari sumbu utama.Dalam pemakaiannya benda kaku biasanya mempunyai bentuk tertentu yang simetris dalam keadaan ini sumbu utama terletak pada arah tertentu.Kalau benda disebut gasing spheris. disebut gasing simetris.I1I2I3 disebut gasing asimetris.Contoh sistim terdiri dari 3 partikel dengan masa dan posisi: Cari tensor inersia, sumbu utama dan sumbu utama inersia?

Dengan cara yang sama

Momen inersia utama didapat dari->Secara numeric ( gunakan rumus diiterasi berkali sampai konstan untuk tiap akar) didapat Momen inersia utama Persamaan awal:

Untuk ,->masukan maka ->Jadi Posisi sumbu utama I1 adalah Dari posisi I2 adalah Dari posisi I3 adalah Sumbu utama harus saling tegak lurus.-Teorema Sumbu Paralel Steinerdalam komponen Supaya energy kinetic menjadi penjumlahan energy kinetic tranlasi dan rotasi, maka kordinat benda harus dipilih pada pusat masa. Dalam keadaan pilihan kordinat pusat masa bukan yang terbaik, maka digunakan kordinat benda yang tidak terletak dipusat masa.Elemen tensor inersia dalam kordinat X

Dalam penjumlahan suku terakhir terdapat suku karena O adalah pusat masa.

teorema sumbu parallel Steiner.Dengan diketahuinya tensor inersia pada sumbu tertentu maka tensor inersia di pusat masa bisa dihitung atau sebaliknya.Untuk kerucut:Pusat masa terletak di maka Maka tensor inersia dipusat masa adalah

-Sifat Tensor InersiaIngin dilihat besaran tensor dalam transformasi kordinat.Pandang dua sistim kordinat, disatu kordinat dan dikordinat yang berotasi besaran yang sama dinyatakan sebagai

Untuk vektor transformasinya dituliskanSehingga untuk dan kalikan dengan dan jumlahkan terhadap kbagian bisa diambil kesimpulan bahwa ini menyatakan hubungan (transformasi) antara tensor inersia ( tensor rank dua) di satu kordinat pada kordinat lain.Dalam bentuk matriks transformasi bisa dituliskan sebagaiuntuk transformasi matriks orthogonal yaitu transpose sama dengan inversenya (kebalikan).transformasi demikian disebut similarity transformation.Untuk keadaan dimana setelah transformasi hasilnya adalah tensor yang diagonal:-> kalikan dengan dan jumlahkan terhadap i,suku sebelah kiri bisa dituliskan sebagai penjumlahan terhadap l->Momen inersia utama didapat dari akar persamaan secular determinan

Tensor inersia adalah tensor simetrik real yang mempunyai sifat-dengan similarity transformation bisa dibuat diagonal.( lebih mudah dengan persamaan secular untuk mendiagonalkan kalau polynomial kecil). -harga eigen didapat dari akar persamaan secular dan merupakan bilangan real.-vektor eigennya adalah orthogonal dan real.-Sudut Euler.Kordinat benda pada benda kaku bisa dipilih sembarang, tapi kalau dipilih mempunyai hubungan tertentu penggambaran dinamika jadi lebih sederhana. Sudut Euler adalah sudut yang dibentuk antara kordinat benda dan kordinat tetap yang khusus.Cara mendapat sudut Euler dengan melakukan beberapa rotasi untuk membawa xi ke kordinat xi-putaran berlawanan arah jam sebesar pada sumbu x3 yang membawa xi ke xi,putaran terjadi di bidang matriks transformasi adalah

-putaran berlawanan arah jam sebesar pada sumbu yang mentransformasikan jadi ,putaran terjadi di bidang maka matriksnya adalah

-putaran berlawanan arah jam sebesar pada sumbu yang membawa ke transformasi matriksnya

Perpotongan antara bidang x1-x2 dan bidang x1-x2 disebut garis nodes, sudut adalah sudut antara garis nodes dengan x1 , sudut adalah sudut antara garis nodes dengan x1 dan arah sepanjang garis nodes.Matriks transformasi secara keseluruhan adalah maka Komponennya:

Pada kordinat benda (kordinat xi) kecepatan sudut w dapat dituliskan sebagai

-Persamaan Gerak EulerBenda mendapat torsi N makadan

Dalam komponen dikordinat benda x3kordinat xi berimpit dengan sumbu utama benda untuk komponen lain dilihat dengan permutasi

Secara umum dengan symbol permutasi persamaan gerak benda kaku Euler.adalah symbol permutasi (Levy-Civita density) yang mempunyai harga sebagai berikut =0 kalau ada indeks sama, = 1 kalau ijk membentuk permutasi genap dari 1 2 3 dan = -1 kalau ijk membentuk permutasi ganjil dari 1 2 3.

-Gerak Tanpa Gaya Gasing simetrik.Untuk gasing simetrik maka persamaan Euler tanpa gaya

Tanpa gaya luar maka pusat masa benda diam atau mempunyai kecepatan konstan, pilih kecepatan konstan. Untuk kecepatan sudut searah sumbu utama, gerakannya biasa. Pandang w tidak searah sumbu utama.Dari ->Tulis ->->dimana Kalikan suku kedua dengan i dan jumlahkan:tulis persamaan jadisolusi yaitu dengan memilih phase=0.maka

karena sehingga proyeksi menggambarkan lingkaran di waktu:sumbu x3 adalah sumbu simetry benda, berarti vector berpresesi terhadap sumbu benda x3 dengan frekuensi sudut tetap . Untuk pengamat dikordinat benda mengitari sumbu simetry benda membentuk kerucut benda.Di kordinat diam, momentum sudut tetap dan konstan (karena tidak ada gaya luar). Konstanta gerak lain adalah energy kinetic rotasi (pusat masa benda diam): karena maka harus bergerak sedemikian rupa hingga proyeksinya pada momentum sudut konstan. Jadi bepresesi dan membentuk sudut tetap dengan .Dari -> . berarti dan x3 terletak pada bidang. Bila sumbu x3 berimpit dengan L maka untuk pengamat di kordinat diam vector akan mengitari sumbu x3 dan membentuk kerucut ruang. Hingga akan berpresesi terhadap x3 dikordinat benda dan berpresesi pula terhadap sumbu x3 dikordinat tetap.

w3 = w maka presesi adalah 306 hari ( 10 bulan) Chandler wobble adalah 420 hari karena bentuk bumi tidak oblate spheroidal dan bumi sedikit elastic (tidak betul betul kaku). -Gerak Gasing Simetrik dengan salah satu titik tetap.Dipilih kordinat benda dan diam berimpit titik asalnya hingga energy kinetic translasi = 0 ( V = R = 0), ujung dari gasing tetap di pusat kordinat. Sumbu x3 menunjukan vertical di kordinat diam, dan sumbu x3 berimpit dengan sumbu simetry gasing.I1=I2 I3Energy kinetic rotasi

Dimana

dan

Maka

Kordinat dan siklis dalam Lagrangian maka momentanya konstan:

Torsi gaya gravitasi sepanjang garis node tidak ada komponen di x3 dan x3 maka momentum sudut di x3 dan x3 konstan.substitusi ke patu->

Sistim konservatif hingga energy total konstan

Dari ->maka

Masukan denganmakapada prinsipnya dari hasil integral dan (t), (t) gerak gasing didapat.Dari bentuk potensial efektif bisa juga dilihat gerak dari gasing

Pada = 0 maka maka gerak adalah presesi dengan kemiringan 0 yang tetap.

Tulis persamaan kuadrat dalam akarnyabesaran adalah real maka kalau sedang gerak presesi pada kemiringan akan terjadi kalau kecepatan sudut memenuhi syarat tersebut.Pada bisa dituliskan karena punya dua harga akan didapatyang merupakan presesi cepat dan presesi lambat.Kalau besar maka suku dalam akar di diuraikan menggunakan akan didapat dan biasanya yang teramati adalahUntuk (posisi ujung gasing lebih tinggi daripada pusat masa) maka akan selalu real, tidak ada batasan terhadap w3. Untuk keadaan umum maka daribisa berubah tanda atau tidak tergantung dari harga dan . Kalau tidak berubah tanda maka geraknya disebut nutasi yaitu gasing berpresesi pada sumbu x3 dan x3 beroscilasi dari dan sedang kalau berubah tanda maka arah putar presesi akan berbeda di dan Kalau maka kondisi ini dijumpai dalam keadaan awal dari gasing -Stabilitas Rotasi Benda KakuMissal ada benda kaku dengan dan sumbu benda berimpit dengan sumbu utama. Benda awalnya diputar pada sumbu x1 maka kemudian dikasih gangguan hingga kecepatan sudut jadidengan dan bilangan kecil Persamaaan Euler jadi suku 0 maka dan persamaan yang lain jadidan yang merupakan persamaan pasangan.masukan akan didapatsolusinyadengan dan maka bilangan real dan solusi adalah gerak oscilasi.Begitu pula dengan gerak merupakan gerak oscilasi.Gerakan rotasi pada sumbu x1 stabil.Kalau dilakukan rotasi pada sumbu x2 dan x3 akan didapatdan karenamaka bilangan real tapi bilangan imaginair.Kalau dilakukan rotasi pada sumbu x1 dan x3 maka gerakan akan stabil karena adanya gangguan akan menghasilkan gerak oscilasi. Tapi untuk rotasi pada sumbu x2 gerakan tidak stabil karena gangguan akan menghasilkan gerakan yang tidak terbatas. Bisa disimpulkan bahwa rotasi pada momen inersia terbesar dan terkecil akan stabil tapi pada momen inersia pertengahan akan tidak stabil.Bila I1 = I2 maka dan konstangerakan tak terbatas maka gerak x1 tidak stabil.Maka hanya gerak sumbu x3 yang stabil tidak tergantung besar dari I3.