Т Е Х Н И Ч Е С К И У Н И В Е Р С И Т Е Т С О Ф И Я Ф И Л И А Л П Л О В Д И В маг. инж. Валентин Спасов Петров СИНТЕЗ НА АДАПТИВНИ НАБЛЮДАТЕЛИ ЗА КЛАСОВЕ НЕЛИНЕЙНИ СИСТЕМИ АВТОРЕФЕРАТ на дисертация за присъждане на образователна и научната степен "доктор" Професионално направление 5.2 "Електротехника, Електроника и Автоматика" Научна специалност 02.21.01 "Теория на автоматичното управление" Научен ръководител доц. д-р инж. Румен Мишков Рецензенти проф. дтн инж. Камен Димов Велев проф. д-р Михаил Михайлов Константинов Пловдив 2015
Transcript
Т Е Х Н И Ч Е С К И У Н И В Е Р С И Т Е Т С О Ф И Я Ф И Л И А Л П Л О В Д И В
АВТОРЕФЕРАТ на дисертация за присъждане на образователна и научната степен
"доктор"
Професионално направление 5.2 "Електротехника, Електроника и Автоматика"
Научна специалност 02.21.01 "Теория на автоматичното управление"
Научен ръководител доц. д-р инж. Румен Мишков
Рецензенти проф. дтн инж. Камен Димов Велев
проф. д-р Михаил Михайлов Константинов
Пловдив 2015
2
Дисертационният труд е разработен в общ обем от 185 страници, разпределени в 159 страници изложение, състоящо се от въведение и пет глави, 10 страници библиография със 151 литературни източника и две приложения поместени в 7 страници.
Дисертационният труд е обсъден пред катедрен съвет на катедра „Системи за управление” при факултет Електроника и автоматика на Технически Университет София, Филиал Пловдив с протокол 9/18.05.2015. Защитата на дисертационния труд ще се състои на 12.10.2015 от 14:30 часа в зала 4425 на ТУ-София, Филиал Пловдив на открито заседание на научното жури, определено със заповед ОЖ-328/24.06.2015 на Ректора на ТУ-София. Материалите по защитата са на разположение на интересуващите се в канцеларията на факултета по Електроника и Автоматика на ТУ София, Филиал Пловдив, на адрес: гр. Пловдив, ул. "Цанко Дюстабанов” 25, етаж 2, зала 4242.
ЗЗАА ККЛЛААССООВВЕЕ ННЕЕЛЛИИННЕЕЙЙННИИ ССИИССТТЕЕММИИ автор: маг. инж. Валентин Спасов Петров ОБЩА ХАРАКТЕРИСТИКА НА ДИСЕРТАЦИОННИЯ ТРУД ....................................................3 Въведение ...................................................................................................................................... 3 Мотивация, цел и задачи ............................................................................................................. 4
ГЛАВА 1: ПРЕГЛЕД НА МЕТОДИТЕ ЗА СИНТЕЗ НА НЕЛИНЕЙНИ АДАПТИВНИ НАБЛЮДАТЕЛИ .5 ГЛАВА 2: НЕЛИНЕЙНИ АДАПТИВНИ НАБЛЮДАТЕЛИ ЗА КЛАСОВЕ НЕЛИНЕЙНИ СИСТЕМИ.......6 Синтез на нелинейни адаптивни наблюдатели в РОНКФ..................................................... 6 Синтез на нелинейни адаптивни наблюдатели в АНКФ ..................................................... 13
ГЛАВА 3: АДАПТИВНО УПРАВЛЕНИЕ С НЕЛИНЕЙНИ АДАПТИВНИ НАБЛЮДАТЕЛИ ............... 17 Подобрение на метода на настройващите функции ........................................................... 17 Подобрение на метода на вплетения регулатор-наблюдател .......................................... 21
ГЛАВА 4: ФИЗИЧЕСКИ ЕКСПЕРИМЕНТИ....................................................................... 24 Постановка на експеримента.................................................................................................. 24 Приложение на модифицирания метод на вплетения регулатор-наблюдател ............... 26 Приложение на модифицирания метод настройващите функции ..................................... 29
ПРИНОСИ В ДИСЕРТАЦИЯТА...................................................................................... 32 СПИСЪК С ПУБЛИКАЦИИТЕ ПО ДИСЕРТАЦИЯТА............................................................ 33 УЧАСТИЕ В НАУЧНО-ИЗСЛЕДОВАТЕЛСКИ ПРОЕКТИ....................................................... 33 NONLINEAR ADAPTIVE OBSERVERS DESIGN FOR CLASSES OF NONLINEAR SYSTEMS ............. 34
Въведение В теорията на автоматичното управление на нелинейните системи точният модел на обекта е в основата на методите за синтез на управление или наблюдатели. Необходима е не само точната структура на системата, но и максимално точните стойности на параметрите, определящи нейната динамика. В общия случай не може да се каже, че параметрите на дадена нелинейна динамична система са известни. Това е вследствие на факта, че параметрите на повечето физически системи зависят от температура, време на експлоатация, честота и от други фактори. Промяната на параметрите на нелинейния обект може да доведе до неустойчивост на затворената система за управление или нелинейния наблюдател, ако са изведени за конкретна динамика на модела и стойности на параметрите. Тези ограничения на класическата нелинейна теория насочват изследванията към синтез на системи, които оценят промените на параметрите в реално време и могат да компенсират неочаквани промени в динамиката на нелинейната система, която е обект на синтеза. Тези нелинейни методи се наричат адаптивни, тъй като синтезираната нелинейна система се "адаптира" към промените настъпили по време на работата на системата за управление или наблюдение.
Голяма част от методите за оценка на неизвестните параметри в реално време разчитат на директно измерване на всички променливи на състоянието. Тези методи са неизменна част от подходите за синтез на нелинейно адаптивно управление. Проблемът при тях е, че не за всяка система променливите на състоянието са реални физически величини, които могат да се измерват. Този недостатък води до идеята за
синтез на нелинейна динамична система, която да възстановява както състоянието на нелинейния обект, така и всички негови параметри на динамиката. Такава динамична
система се нарича нелинеен адаптивен наблюдател на състоянието. В сравнение със самостоятелната оценка на параметрите при наличие на цялото състоянието на нелинейната система тази задача е значително по-трудна, поради нейната присъщо нелинейна природа.
Въпреки сложността на задачата за синтез на нелинейни адаптивни наблюдатели, съществува разнообразие от средства за нейното решаване. В основата са методи, използващи координатна трансформация на обектната нелинейна система в специална адаптивна наблюдателна канонична форма, която позволява синтез на асимптотически устойчив нелинеен адаптивен наблюдател. Други методи използват се базират на
4
условието за непрекъснатост на Липшиц на нелинейните функции, в динамиката на нелинейния обект за наблюдение.
Нелинейните адаптивни наблюдатели са намерили широко приложение за различни видове електромеханични системи, системите за отчитане на неизправност, пробивни процеси, химически системи, комуникационните и навигационните системи, механични и роботизирани системи. Мотивация, цел и задачи Гореспоменатите предимства на нелинейните адаптивни наблюдатели пред класическите нелинейни наблюдатели и широката област на приложимост, обуславят техния избор за обект на разработка в настоящата дисертация. Целта на дисертационния труд е :
Проектиране на методи за синтез на нелинейни адаптивни наблюдатели за класове нелинейни системи, с асимптотическа оценка на състоянието и параметрите с възбуждане за краен интервал от време. Новите методи трябва да подобрят съществуващите класически методи за синтез на нелинейни адаптивни наблюдатели/регулатори и да бъдат съвместими с тях.
Задачите на дисертационния труд, поставени в съответствие с целта, са:
1. Синтез на асимптотически устойчив нелинеен адаптивен наблюдател за класове нелинейни системи, трансформируеми в редуцирана обобщена наблюдателна канонична форма, гарантиращи точна оценка на неизвестните параметри, с управляема сходимост и без постоянно възбуждане; 2. Синтез на експоненциално устойчив нелинеен адаптивен наблюдател, с експоненциално устойчив параметричен оценител, за многомерни нелинейни системи, трансформируеми в АНКФ, без постоянно възбуждане; 3. Усъвършенстване на адаптивния метод на вплетения регулатор-наблюдател, чрез синтез на асимптотически устойчив параметричен оценител, с обратна връзка по изхода, който не изисква постоянно възбуждане; 4. Усъвършенстване на метода на настройващите функции, чрез проектиране на асимптотически устойчив параметричен оценител, с изходна обратна връзка, без необходимост от постоянно възбуждане на нелинейната система;
5. Провеждане на физически експерименти, сравняващи развитите в
дисертацията нови методи за синтез на нелинейни адаптивни наблюдатели и параметрични оценители със съществуващите методи.
5
Дисертационният труд е разделен на 5 глави в съответствие с последователността на работата по него. Първа глава представя преглед на методите за синтез на
нелинейни адаптивни наблюдатели, на базата на който в края на главата е формирана целта на дисертацията и са поставени задачите за нейното постигане. Във втора глава са предложени два метода за синтез на нелинейни адаптивни наблюдатели, за класове нелинейни системи. Глава 3 е посветена на адаптивно управление с нелинейни
адаптивни наблюдатели. В тази глава е предложено подобрение на два класически метода за синтез на адаптивно управление: метод на настройващите функции; метод на вплетения регулатор-наблюдател. В четвърта глава са представени физически експерименти с предложените в дисертацията методи за синтез на нелинейни адаптивни наблюдатели. Обобщение на изследванията в дисертацията е представено в пета глава, в която са представени получените приноси в дисертационния труд.
Методите за синтез на нелинейни адаптивни наблюдатели могат да се разделят на две основни групи.
Първата група от методи е базирана на координатна трансформация на нелинейните системи, обект на наблюдение, в специални канонични форми, в които нелинейните функции зависят от наличните входни и изходни сигнали. Тези канонични форми се наричат адаптивни наблюдателни канонични форми (АНКФ) (Bastin и Gevers, 1988), тъй като за тях могат да се дефинират асимптотически устойчиви нелинейни адаптивни наблюдатели. Най-широко използвана е адаптивната наблюдателна канонична форма, предложена от Marino (1990). Връзката между тази канонична форма и обобщената наблюдателна канонична форма (ОНКФ) (Keller, 1987) е филтрираната трансформация (Marino и Tomei, 1992). Чрез нея всяка система, трансформируема в ОНКФ, която може да бъде линейно параметризирана, се трансформира в АНКФ. Грешката на адаптивния наблюдател за тази форма има строго положителна реална предавателна функция. Тогава за нея важи лемата на Kalman-Yakubovic, която позволява чрез синтеза на устойчив параметричен оценител да се осигури асимптотически устойчива оценка на състоянието на нелинейния обект за наблюдение. За специални системи в ОНКФ, в които управляващото въздействие се намира в последното управление, преобразуването чрез филтрираната трансформация в АНКФ, позволява синтез на нелинейно адаптивно управление с нелинеен адаптивен наблюдател на състоянието (Krstic и съавт., 1995).
6
Другата група от методи за синтез на нелинейни адаптивни наблюдатели отново разчита на специална структура на обектната нелинейна система, която обхваща системи, чиито нелинейни функции са съставени от неизмеряеми променливи на състоянието. При тази група от методи недостатък е ограничаващото условие функциите на нелинейните системи да са Липшицови в локален (Stamnes и съавт., 2009) или в глобален смисъл (Rajamani и Hedrick, 1993). Основни недостатъци на тези групи методи за синтеза на нелинейни адаптивни наблюдатели са:
Тесни класове от системи, за които са приложими наблюдателите;
Необходимост от постоянно възбуждане за точна оценка на параметрите. В литературата се срещат методи за асимптотически устойчива оценка на параметрите за краен времеви интервал от време (Adetola и Guay, 2008, 2009, 2010), базирани на изчисляване на стойността на матрица на Грам, от чиято обратимост зависи точната оценка на параметрите. Недостатъците на тези методи са:
неограниченото по време интегриране на матрици;
необходимостта от измерване на цялото състояние на системата;
изчисленията на детерминанти и обратни матрици, което създава изчислителни проблеми;
Представен е нов метод за синтез на асимптотически устойчив нелинеен адаптивен наблюдател за клас нелинейни системи, трансформируеми в редуцираната обебщена наблюдателна канонична форма (РОНКФ). Методът е публикуван в (Mishkov и Petrov, 2015). Асимптотически устойчивата сходимост на нелинейния адаптивен наблюдател се постига чрез експоненциално устойчива оценка на всички неизвестни параметри на системата без противоречащото с целите на управлението условие за постоянно възбуждане. Този резултат е получен чрез въвеждане на устойчив динамичен процес на натрупване на информация за параметрите и на свойството – параметрична
идентифицируемост. Разглежданите многовходови многоизходни системи се описват с уравненията
),(η uηfη , , (2.1a) 0)0( ηη
),( uηhy , (2.1b)
7
където , са векторите на състоянието и управлението
е векторът на изхода и , са достатъчно
диференцируеми и локално ограничени. Приема се, че системата е локално наблюдаема,
с индекси на наблюдаемостта ,
nη RB η r
u RB u
,( uηf
my RB y
nfuη RBBB:)
0nk ,2,1k
mhuη RBBB:),( uηh
m, , и трансформируема в
РОНКФ (Mishkov, 2005). Репараметризираната РОНКФ (РРОНКФ) за системата
m1k k nn
(2.1) е
θuyGuygAxx ),(),( , , (2.2a) 0)0( xx
Cxy , (2.2b)
където е векторът на състоянието, и са векторите на
входните въздействия и на техните производни,
nx RB x r
u RB u ru RB u
T] pRθTT,[ uuu , е вектор на неиз-
вестните параметри, nguy RBBB:),( uyg , p
uy BB:),( uyG nG RB
1k
1k
kn1
)n(nk 0
I0A , A , , C . ],,,[diag AAA ],,,[diag cccm21
kn1i ]0,,0,1[ c m21
Уравненията на нелинейния адаптивен наблюдател в РРОНКФ са
)ˆ(ˆ),(),(ˆˆ yyNθuyGuygxAx , , (2.3a) 0ˆ)0(ˆ xx
xCy ˆˆ , (2.3b)
където векторът е оценката на вектора на параметрите , е векторът
на оценката на състоянието . За целите на метода се дефинират филтрите
θ θ nx RBˆ x
x
FKCAF )( , , (2.4a) n)0( IF
),()( uyGΩKCAΩ , , (2.4b) pn)0( 0Ω
KyuygξKCAξ ),()( , , (2.4c) 0ξ )0(
които се получават от аналитичното решението на системата (2.2) по формулата на Коши. Използвайки тези филтри, се извежда регресионната форма
aWφ , (2.5а)
Cξyφ , (2.5b)
където е обобщена регресионна матрица, е обобщеният
вектор на параметрите, а е съставен от известните сигнали на и .
],[ FΩCW sTT0
T R],[ xθa
mφ RR φ y ξ
Новият подход, елиминиращ условието за постоянно възбуждане, се състои във въвеждане на нов управляем динамичен натрупващ информационен процес, във вида
))(( qwrqTT QRQWRWQQΛQ , 0Q )0( , (2.6)
където QRs×s е новата натрупваща регресионна матрица със задание матрицата с
8
пълен ранг QrRs×s и положително определена матрица на полюсите на натрупването
. Матриците и са положително
определени тегловни матрици. Решението на уравнението
)λ,,λ(diags1 qqq Λ )r,,r(diag
s1 www R
a
)r,,r(diags1 qqq R
(2.6) се използва за
трансформация на вектора на параметрите . Дефинира се динамичната проекция
Qaψ , (2.7)
където , чиято производна по времето, отчитайки зависимостта sψ RR ψ (2.5а),
определя нейната динамика във вида
))(( qT
wT
rq ψRQφRWQQΛψ , . (2.8) 0ψ )0(
Тази динамика е напълно изчислима, тъй като всички входни вектори и матрици в
дясната и част са известни. Този факт позволява синтез на оценител , с
изчислима предсказана грешка във вида
aQψ ˆˆ
ψψψ ˆ~
aQψ ~~ , (2.9а)
aQψ ~~ . (2.9b)
За предсказаната грешка се прилага методът на най-малките квадрати, при което
се получава динамиката на параметричния оценител
ψ~
ψΓQΓa ~)t(ˆ ψT
a , . (2.10) 0ˆ)0(ˆ aa
aψT
aa ΓQΓQΓΓ , . 0)0(a Γ
Устойчивостта на нелинейния адаптивен наблюдател в РРОНКФ се базира на свойството – параметрична идентифицируемост (ПИ):
Определение 2.1 – Параметрична идентифицируемост Динамичната система във вида (2.2) е ПИ, ако съществува краен момент от време
, , за който ]t,t[ 10 1t
0τd)τ()τ()t()t,t(1
0
t
t
T010 WWΦΦ , , (2.11) 0)t()t()t( 000
T000 WWΦ
където е регресионната матрица на системата, която се определя
от динамиките
)]t(),t([)t( FΩCW
(2.4a) и (2.4b).
Свойството параметрична идентифицируемост характеризира възможността за точна оценка на всички параметри за дадена нелинейна динамична система.
Чрез доказателствата на следващите теореми са доказани асимптотическа или експоненциална устойчивост на нелинейния адаптивен наблюдател и на неговия параметричен оценител:
9
Теорема 2.1 – Необходими и достатъчни условия за глобална равномерна експонен-циална устойчивост на грешката на натрупване на информацията
Грешката е глобално равномерно експоненциално устойчива или )t()t( r QQE
0QQE
)]t([lim)t(lim rtt,
за краен интервал от време , за който 2 тогава и само тогава,
когато е в сила условието за параметрична идентифицируемост
ET /5τd))τ((λE
1
Tt
t min P
(2.11), където
)t()t()t()t()t( qT
wT QRQWRWM и )]t(λ,),t(λ),t(λ[diag)t(
s21 qqq MMMP
Теорема 2.2 – Глобална равномерна асимптотическа или експоненциална устойчивост на параметричния оценител.
Параметричният оценител (2.10) е глобално равномерно асимптотически или експонен-циално устойчив, ако условието за ПИ (2.11) е в сила.
Разгледан е и случаят, когато съществува базов параметричен оценител, който се
модифицира с цел осигуряване на асимптотическа устойчивост на оценките .
Резултатите се базират на следното допускане:
a
Допускане 2.1 Приема се, че за РРОНКФ (2.2) съществува базов параметричен оценител от типа
)t,,,ˆ,(ˆθ χuθCεβΓθ , , 00
ˆ)t(ˆ θθ
където функция )t,,,~,( χuθCεβ е от известни сигнали, за който грешката има динамика ε
)t,,,~,(ε χuθεfε , , 00 )t( εε
където вектор-функциите и са по части непрекъснати във времето добре
дефинирани в областта , , , диференцируеми по
отношение на всички аргументи в и равномерно диференцируеми по времето .
Съществува положително определена функция на Ляпунов , във вида
εε Bf
ε1 BD
βBβ
βB [ε
RD1
1TTT D]~, 0θ pn
1 RD
:)t,~,(V θε
t
RRD1
θΓθεθε ~~5.0)(V)t,~,(V 1θ1
T , , 0)t,(V1 ε
където , чиято производна по времето е βθΛεεε TT1
~)(V
0)t,~,(V T Λεεθε , , . 0tt 1D)~,( θε
Грешката в това допускане може да бъде както грешка от следене на траектория,
така и грешка от наблюдение на състояние, в зависимост от поставената задача. Резултатите от изследването са обобщени чрез теоремата:
ε
Теорема 2.3 – Глобална равномерна асимптотическа или експоненциална устойчивост
10
на модифицираните параметрични оценители
Модифицираният параметричен оценител
)],)([t(ˆ Tn1
Ta μ0βΓa
, , (2.12a) 00 ˆ)t(ˆ aa
)t()t()t( aψTT
aa QΓΓQΓΓ , , (2.12b) 0a0a )t( ΓΓ
където , с модификатор 0T0a0a ΓΓ
ψΓQμ ~ψ
T (2.13)
е локално равномерно асимптотически или експоненциално устойчив, ако допускане 2.1 е в сила и условието за ПИ е изпълнено. В допълнение, ако допускане 2.1 важи в глобален
смисъл и функцията ) е радиално неограничена, то модифицирания параметричен
оценител е глобално равномерно асимптотически или експоненциално устойчив.
t,~,(V θε
0x
yu
)ˆ(ˆ),(),(ˆ yyNθuyGuygxA x
)ˆ,,ˆ(ˆ θuxη
u
η
),()( uyGΩKCA
KyuygξKCA ),()(
0Ω
0ξ
Ω
ξ
FKCA )(
0FF
],[ FΩC W
Cξy φ
))(( qT
wT
rq ψRQφRWQQΛ
))(( qwrqTT QRQWRWQQΛ
ψΓQΓ ~ψ
Taaψ
Ta QΓΓQΓ
aQψ ˆψ~
x
Ω
F
ξ
Q0Q
ψ0ψ
aΓ aΓ a0a
a0aΓ
x
Фигура 2.1: Структурна блок-схема на нелинейния адаптивен наблюдател в РРОНКФ
За по-добро представяне на метода, на фигура 2.1 е представена структурната блок-схема на цялата нелинейна адаптивна система, включваща нелинейния адаптивен
11
наблюдател, параметричния оценител и процеса на натрупване на информацията. Предложеният подходът е приложен за еднозвенен манипулатор с гъвкава става,
задвижван от синхронен двигател с постоянни магнити. Моделът на системата е
,ηc)ηη(c)ηsin(cη,ηη
21313122
21
(2.14a)
,uc)ηη(cηcη,ηη
6315444
43
(2.14b)
11 ηy , , (2.14c) 32 ηy
с параметри , , , , , . За тази
система е синтезиран нелинейният адаптивен наблюдател, който има вида
чиято реакция е представена на фигура 2.2. Реакцията на параметричния оценител в
0 0.5 1 1.5 2 2.5 t [s] -4 -3 -2 -1 0 1
[rad]
0 0.05 0.1 0.15 0.2 -4
-2
0
1y
1y
0 0.5 1 1.5 2 2.5 -4
-2
0
2
0 0.1 0.2 -3 -2 -1 0 1
t [s]
[rad]
2y
2y
0 0.5 1 1.5 2 2.5 -60
-40
-20
0
[rad/s]
0 0.2 0.4 -60 -40 -20
0
t [s]
2η
2η
0 0.5 1 1.5 2 2.5 -60 -40 -20
0 20 40 60
0 0.2 0.4 0.6 -50
0 50
t [s]
[rad/s]
4η
4η
Фигура 2.2: Реакция на нелинейния адаптивен наблюдател в оригинални координати
РРОНКФ е илюстрирана на фигура 2.3. Управляващото въздействие ) е показано на t(u
12
0 0.5 1 1.5 2 2.5 -2 -1.5
-1 -0.5
0 0.5
t [s]
1a
1a
0 0.5 1 1.5 2 2.5 -1000
0
1000
2000
3000
t [s]
5a
5a
0 0.5 1 1.5 2 2.5 -5 0 5
10 15 20
t [s]
2a
2a
0 0.5 1 1.5 2 2.5 -500 0
500 1000 1500 2000 2500
t [s]
6a
6a
0 0.5 1 1.5 2 2.5 -5
0
5
10
15
t [s]
3a
3a
0 0.5 1 1.5 2 2.5 -4
-3
-2
-1
0
t [s]
97 aa
97 aa
0 0.5 1 1.5 2 2.5 -15 -10
-5 0 5
10
t [s]
4a
4a
0 0.5 1 1.5 2 2.5 -2 0 2 4 6 8
t [s]
8a
10a1.0
10a1.0
8a
Фигура 2.3: Реакция на параметричния оценител в РРОНКФ
фигура 2.4. Сходимостта на грешката от натрупването на информацията е показана
на фигура 2.5, чрез реакцията на функцията на Ляпунов . На фигура EV 2.6 е
представено развитието на ранга на натрупващата динамична регресионна матрица
13
0 0.5 1 1.5 2 2.5 0
10
20
30
40
EV
t [s] Фигура 2.5: Реакция на функцията EV
във времето. Вижда се, че обектната система е идентифицируема, тъй като за времевия интервал ] Грамианът 2.0,0[t (2.11) има пълен ранг, даден на фигура 2.7.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 -4
-2
0
2 [A]
diu
t [s] Фигура 2.4: Управляващ ток
0 0.2 0.4 0.6 0.8 0 2 4 6 8
10 12
s
Φrank
t [s] Фигура 2.7: Ранг на ПИ Грамиана
Необходимото условие за асимптотически устойчива оценка на състоянието на нелинейната система е асимптотически устойчивата оценка на параметрите, което се потвърждава от реакциите на системата.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 0 2 4 6 8
10 12
Qrank
t [s]
s
Фигура 2.6: Ранг на матрицата Q
Представеният подход за синтез на нелинеен адаптивен наблюдател и адаптивен параметричен оценител може успешно да се прилага за системи, трансформируеми в РРОНКФ. Методът осигурява едновременно асимптотически устойчива оценка на състоянието и експоненциално устойчива оценка на неизвестните параметри с управляемо качество на процеса и може да се използва за синтез на затворени нелинейни адаптивни системи с високо качество на управлението.
Синтез на нелинейни адаптивни наблюдатели в АНКФ
В тази точки е адресиран проблемът за синтез на нелинеен адаптивен наблюдател с експоненциално устойчива сходимост в адаптивна наблюдателна канонична форма (АНКФ). Експоненциално устойчивата сходимост е характерна както за оценката на състоянието, така и за оценката на параметрите. Филтрираната трансформация е разширена до случая на многовходови многоизходни системи. Експоненциалната
14
устойчивост на адаптивния наблюдател е гарантирана чрез експоненциално устойчива оценка на неизвестните параметри. Подходът е базиран на динамичен процес на натрупване на информация за неизвестните параметрите под формата на натрупваща динамична матрица.
Методът е приложим за многомерни системи, трансформируеми в РОНКФ. Чрез представеното в дисертацията обобщение на филтрираната трансформация
Tθxz , (2.16a)
T m,,2,1s m1 ],,[ TTT , , (2.16b)
s
p1s M
0T
),(sbsbs ssuyGBMAM , , (2.16c) p)1n(s s
)0( 0M
за многомерни системи, системата в РОНКФ се трансформира в многомерната АНКФ
θBωuygAzz T),( , , (2.17a) 0)0( zz
Czy , (2.17b)
с матрици , ],,[diag m1 AAA nnR A , , ],,[diag m1 bbB mnR B , ,
, а
],,[diag m1 CCC
nmR C ),(T uyCGCATω , . За тази форма е предложен нелинеен
адаптивен наблюдател
pmR ωT Bω
)ˆ(ˆ),(ˆˆ T yyNθBωuygzAz , , (2.18a) 0ˆ)0(ˆ zz
zCy ˆˆ , (2.18b)
с параметричен оценител
)~~],([ˆ ψTT
n1T
a ψΓQy0ωΓa , . (2.19) 0a )0(ˆ
Този параметричен оценител е от възможно най-нисък ред, което се постига чрез диагонализиране на системата, посредством смяна на базиса на АНКФ и формулата
0λ
Tsssss
js1sn1j
)](k,),(k,1[
λλv , , sn,,2,1j
за изчисляване на собствените вектори на матрицата на наблюдателя ,
където задава желани собствени стойности на матрицата на състоянието на наблюдателя. Устойчивостта на нелинейния адаптивен наблюдател в АНКФ е доказана чрез доказателството на следващите две теореми:
)( KCA
K
Теорема 2.4 Ако двойката матрици (A, C) е в едноизходна форма на Бруновски и
векторът задава собствените стойности на
матрица (A – kC), тогава собствените вектори на (A – kC) изчислени по формулата
Tn21 )](k,),(k),(k[ λλλk ]λ,,λ,λ[ n21 λ
0λ
T1n21jjjj
jn21
)](k,),(k),(k,1[]v,,v,v[ λλλv , n,,2,1j (2.20)
15
са съставени от коефициентите на устойчив полином.
Теорема 2.5 – Глобална равномерна експоненциална устойчивост на нелинейния
адаптивен наблюдател и параметричен оценител
Нелинейният адаптивен наблюдател (2.18) и параметричния оценител (2.19) са глобално равномерно експоненциално устойчиви, ако системата (2.17) отговаря на критерия за ПИ. В противен случай адаптивният наблюдател ще бъде асимптотически устойчив, но параметричния оценител ще бъде устойчив по Ляпунов.
Подходът е приложен за системата обърнато махало, задвижвано от постоянно токов двигател. Оригиналният модел на системата е
ucηcηcηηcηcηsincη
ηη
635243
3322112
21
1ηy
с коефициенти , , , , , . Този модел е
трансформиран в АНКФ, където е синтезиран нелинейният адаптивен наблюдател.
J J/kc t2 /mglc1 J/fc m6 L/kc e3 L/Rc4 L/1c5
0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 1
[rad]
0 0.1 0.2 0.3 -4 -3 -2 -1 0 1
t [s]
1z
1z
0 1 2 3 4 -800 -600 -400 -200
0 200
t [s]
2z
2z
0 1 2 3 4 -2500 -2000 -1500 -1000
-500 0
500
t [s]
3z
3z
0 1 2 3 4 -3000
-2000
-1000
0
1000
t [s]
1z~
2z~ 3z~
Фигура 2.8: Реакция на нелинейния адаптивен наблюдател в АНКФ
Реакцията на нелинейния адаптивен наблюдател в АНКФ е представена на фигура 2.8, като на четвъртата графика са показани грешките от оценката на състоянието. На На фигура 2.9 са показани преходните процеси на параметричния оценител.
16
0 1 2 3 4 -50
0
50
100
150
t [s]
1a 1a
0 1 2 3 4 -200 0
200 400 600 800
t [s]
2a
2a
0 1 2 3 4 -20
-10
0
10
20
t [s]
3a 3a
0 1 2 3 4 -1000
0
1000
2000
3000
t [s]
4a
4a
0 1 2 3 4 -500
0
500
1000
1500
t [s]
5a
5a
0 1 2 3 4 -600 -500 -400 -300 -200 -100
0
t [s]
6a
6a
0 1 2 3 4 -500
0
500
1000
1500
t [s]
7a
7a
0 1 2 3 4 -1000 -800 -600 -400 -200
0 200
t [s]
8a 8a
Фигура 2.9: Реакция на параметричния оценител в АНКФ
Показателите на качеството на преходните процеси на нелинейния адаптивен наблюдател могат да се задават чрез процедура за синтез по желани полюси за двойката матрици (A,C) по отношение на матрицата на наблюдателя . Оценките на
параметрите са асимптотически устойчиви по отношение на истинските стойности.
N
17
Експоненциално устойчивата сходимост на адаптивната система. Този процес зависи от избора на матриците Лq, Qr, Rq, Rw, Гψ, Гa, където по-големи стойности водят до по-
бърза сходимост на Q към матрицата . Параметрите са точно оценени по време на
нормалната работа на системата за управление без добавяне на специален възбуждащ сигнал към управлението.
rQ
Представеният подход за синтез на нелинеен адаптивен наблюдател и адаптивен параметричен оценител може успешно да се прилага за системи, трансформируеми в РРОНКФ, която от своя страна е трансформируема в АНКФ, посредством представената многомерна филтрирана трансформация (2.16). Представеният метод осигурява експоненциално устойчива оценка както на състоянието, така и на неизвестните параметри, с управляемо качество на процесите и може да се използва в синтеза на висококачествени затворени нелинейни адаптивни системи.
ГГллаавваа 33:: ААддааппттииввнноо ууппррааввллееннииее сс ннееллииннееййннии ааддааппттииввннии
ннааббллююддааттееллии
Подобрение на метода на настройващите функции Класическият методи на настройващите функции е приложим за системи в едноизходна АНКФ
)ω( T0 θωbAzz , , 0) z0(z
0
czy .
В настоящата глава е представена взаимовръзка между класическият метод на настройващите функции (Krstic и съавт., 1995) и методът за синтез на параметричен оценител в многомерната АНКФ, представен във втора глава от дисертацията. Класическият метод на настройващите функции се прилага за горната система, при което се определя динамиката на параметричния оценител, във вида
2ˆ Γτθ , (3.1)
където е последната настройваща функция. Чрез този закон се гарантира
асимптотическа устойчивост на адаптивния наблюдател и на затворената следяща
адаптивна система, въпреки че той е устойчив по Ляпунов. За да се подобри оценката на неизвестните параметри, за едноизходната АНКФ се дефинират филтрите
2τ
ΦΛΦ , , (3.2a) cIΦ )0(T
1λ ωΩΩ , Ω , (3.2b) )0(
yω 10 kVΛξξ , , (3.2c) 0ξ )0(
18
чрез които се определя регресионната форма aWφ , където cVξ yφ е известен
сигнал, а е регресионната матрица на обобщения вектор на неизвестните
параметри . На базата на тази регресионна форма се дефинира системата
за събиране на информация и генериране на предсказана грешка, с уравнения
],[ ΦΩW
T,[ πθa TT0 ]
))(( qwrqTT QRQWRWQQΛQ , , (3.3) 0Q )0(
)φ)(( Tw
Trq RψQRWQQΛψ , (3.4) 0ψ )0(
aQaQψψ ~ˆ~ .
Чрез модифициращият вектор
ψψT eΓQμ ,
оценителят (3.1) се променя, във вида
)]0,0,([ˆ TT2a μτΓa , , (3.5a) 0ˆ)0(ˆ aa
с което синтеза по подобрения метод е завършен По-добра представа за цялата система се придобива от нейната структурна блок-
схема на фигура 3.1, чрез която се виждат връзките между отделните подсистеми.
Адаптивно управление
Нелинейна система
Подсистема за натрупване на информация за параметрите и за
генериране на предсказана грешка
Нелинеен адаптивен наблюдател в АНКФ
Филтрирана трансформация
Параметричен оценител
Еталонен модел
),,( y χvM
)~,( ψQ
u
yy~
z
a
задание
),...,,( ρrrr yyy
y
),,( y χvM
a
1εry
δ
Фигура 3.1: Структурна блок-схема на ПМНФ
Новото в сравнение с класическия подход е подсистемата за натрупване на информация за параметрите, генерираща предсказана грешка. Чрез тази подсистема се подобрява сходимостта на базовия оценител до асимптотическа, без постоянно възбуждане.
19
Подобреният метод на настройващите функции (ПМНФ) е приложен за системата – обърнато махало, задвижвано от СДПМ, управляван в токов режи. Моделът на тази система е
1312212
21
uθηsinθηθη,ηη
(3.6а)
1ηy , (3.6b)
с параметри
2f
1 mlJbθ
, 22 mlJmglθ
, 2pmp
3 mlJψn
23θ
.
Динамичната симулация на затворената следяща нелинейна адаптивна система е направена за задание по позиция 3/π2r . Реакциите на променливите на състоянието
на затворената следяща нелинейна адаптивна система са представени на фигура 3.2.
0 1 2 3 t [s] 0 0.5
1 1.5
2 [rad]
0 0.1 0.2 0
0.2
0.4 r
1x
r1x
0 1 2 3 -4
-2
0
2
[rad/s]
0 0.05 0.1 -2 0 2
t [s]
2x
r2x
Фигура 3.2: Реакция на затворената система с управление по ПМНФ
Оценката на състоянието на системата в АНКФ е показана на фигура 3.3. На фигура 3.4 е илюстриран управляващият ток, а на фигура 3.5 е илюстрирано развитието на ранга на матрицата Q, от който зависи точната оценка на параметрите. Системата
е параметрично идентифицируема, тъй като за времевия интервал t[0, 0.5] рангът на
0 1 2 3 0 0.5
1 1.5
2 2.5
0 0.1 0.2 0
0.2
0.4
t [s]
1z
1z
0 1 2 3 -1
0
1
2
3
t [s]
2z
2z
Фигура 3.3: Реакция на нелинейния адаптивен наблюдател на ПМНФ
управляемата динамична натрупваща регресионна матрица матрицата става пълен Q
20
0 1 2 3 0 1 2 3 4 5 6
t [s]
)t(rankQ
Фигура 3.5: Ранг на Q при ПМНФ
rank(Q)=5. Фигура 3.6 изобразява реакцията на оценките на неизвестните параметри
на обектната нелинейна система. Времето на преходния процес на всички реакции на
0 1 2 3 -20 -15 -10
-5 0 5
[A]
t [s]
diu
Фигура 3.4: Управление при ПМНФ
0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2
t [s]
1a
1a
0 1 2 3 -5 0 5
10 15 20
t [s]
2a
2a
0 1 2 3 -5
0
5
10
15
t [s]
3a
3a
0 1 2 3 -1.5
-1
-0.5
0
0.5
t [s]
4a
4a
0 1 2 3 0
0.5
1
1.5
t [s]
5a
5a
0 1 2 3 0 0.02 0.04 0.06 0.08
0.1
t [s]
δ
δ
Фигура 3.6: Реакция на параметричния оценител на ПМНФ
системата е по-малко от секунда. Необходимото условие за асимптотическа оценка на
21
цялото състояние на системата е асимптотическата оценка на всички неизвестни параметри. Това условие се потвърждава и от динамичните реакции на затворената следяща адаптивна система.
В заключение затворената адаптивна система, включваща нелинеен адаптивен наблюдател, модифициран параметричен оценител и следящо управление с изходна обратна връзка, синтезирано по ПМНФ, осигурява следене на еталонна траектория, с предварително зададено качество на процесите.
Подобрение на метода на вплетения регулатор-наблюдател Класическият методи на вплетения регулатор наблюдател е приложим за системи в изходно параметрична канонична форма
,u)y(σ)y()y( 1)1ρ(
b0
θGgAxx , 0)0( xx
cxy .
Тази форма е специален случай на многомерната РРОНКФ, показана във втора глава. Това позволява методът за синтез на параметричен оценител в РРОНКФ да се комбинира със синтеза на управление по метода на вплетения регулатор-наблюдател (Krstic и съавт., 1995), (Kanellakopoulos и съавт., 1992).
Първоначално се прави синтез на адаптивно управление по класическия метод, при което се получава базовият параметричен оценител
)ε(ˆ21θ2θ ωτΓτΓθ , , (3.7) 0
ˆ)0(ˆ θθ
След това се дефинират допълнителните филтри
)y(y)( gkξkcAξ , , 0)0( ξξ
ΦkcAΦ )( , IΦ )0( ,
които заедно с филтрите на класическия метод на вплетения регулатор-наблюдател
ngkζkcAζ )y(y)( , , (3.8a) 0ζ )0(
)y()( 11 GΩkcAΩ , , (3.8b) 0Ω )0(1
)u)y(σ(diag)( )1m()1ρ(0VkcAV , 0V )0( , (3.8c)
формират регресионната форма aWφ ,
където а е обобщеният вектор на неизвестните параметри, разширен с
началните условия. Регресионната матрица ] и сигналът
],[ T0
T xθa
,[ 1 ΦΩcW cξ yφ се
използват от системата за акумулиране на информация на параметрите, генерираща
22
предсказана грешка. Това се вижда по-ясно от структурната блок-схема на затворената нелинейна адаптивна система представена на фигура Н3.7. а изхода на
Адаптивно управление
Нелинейна система
Система за натрупване на информация за параметрите и за
формиране на предсказана грешка
Филтри на вплетения регулатор-наблюдател
Параметричен оценител
Еталонен модел
uзадание
),...,,( ρyyy rrr
y1εry
Вплитащи функции
)~,( ψQ
),( 1 VΩ
),,( 1 ζVΩ
n
)δ,ˆ(a
Фигура 3.7: Блок схема на ПМВРН
споменатата подсистема заната грешка , които
е получав
.9a)
По този начин по бреният
наблюдател (ПМВРН) е приложен за сист
излизат матрицата Q и предска ψ~
формират модифициращия вектор ψΓQμ ~ψ
T . Този вектор се включва в динамиката на
базовия оценител (3.7), при което с а динамиката на подобрения оценител
)],([ˆ Tn1
T2a μ0τΓa
, 00 ˆ)t(ˆ aa . (3
до параметричен оценител (3.9) гарантира асимптотически устойчива оценка на неизвестните параметри, без противоречивото с целите на управлението условие за постоянно възбуждане.
Подобрения метод на вплетения регулатор ема (3.6). На фигура 3.8 е показана реакцията на затворената следяща адаптивна
система, спрямо желаната еталонна траектория. Графичната илюстрация на процеса
0 0.5 1 1.5 2 -1
0
1
2
[rad]
1x
r1x
t [s]
0 0.5 1 1.5 2 0
2
4
6 [rad/s]
2x
r2x
t [s] Фигура 3.8: Реакция на затворената адаптивна система с управление по ПМВРН
23
на . оценяване на състоянието на обектната нелинейна система е предста вена на фиг
0 0.5 1 1.5 2 -1
0
1
2
3
0 0.1 0.2 -0.5
0
0.5
1x 1x
t [s]
0 0.5 1 1.5 2 -4 -2 0 2 4 6 8
2x
2x
t [s] Фигура 3.9: Оценка на състоя о на системата на ПМВРН ниет
0 0.5 1 1.5 2 0 1 2 3 4 5 6
0 0.5 1 1.5 2 -10 -5 0 5
10 15 [A]
diu
t [s]
Qrank
t [s] Фигура 3.11: Ранг на при ПМВРН Q
0 0.5 1 1.5 2 -0.5
0
0.5
1
1.5 Фигура 3.10: Управление при ПМВРН
1a
1a
t [s]
0 0.5 1 1.5 2 -5 0 5
10 15 20
2a
2a
t [s]
0 0.5 1 1.5 2 -5
0
5
10
15
3a
3a
t [s]
0 0.5 1 1.5 2 -0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
4a
4a
t [s] Фигура 3.12a: Реакция на параметричния оценител на ПМВРН
24
0 0.5 1 1.5 2 -1 0 1 2 3 4 5
5a
5a
t [s]
0 0.5 1 1.5 2 0 0.02 0.04 0.06 0.08
0.1 δ
δ
t [s] Фигура 3.12b: Реакция на параметричния оценител на ПМВРН
3.9. На фигур здействие –
т
вна система, включваща нелинеен адаптивен оцен о о
а 3.10 е дадено развитието във времето на управляващото въ
токът di , генериращ електромагнитния момент на СДПМ. Фигура 3.11 изобразява
промяна а на ранга на динамичната натрупваща регресионна матрица Q(t). От нея
се вижда, че системата е параметрично идентифицируема. Преходните процеси на модифицирания параметричен оценител са показани на фигура 3.12. Те потвърждават теоретичните резултати, които доказват асимптотическата устойчивост на всички оценки на неизвестните параметри.
Затворената нелинейна адаптиител на съст янието, подобрен параметричен ценител и следящо управление с
изходна обратна връзка, синтезирано по метода на ПМВРН гарантира управление с високо качество, подобрени робастни и енергетични свойства и пълна управляемост на качеството на преходните процеси, в сравнение със МВРН.
На фигура 4.1 е представена инейна аналогова система, Постановка на експеримента блок-схема на физическата нел
използвана за обект на управление в главата. За реализацията на типовите динамични
p1
1pT1
2k 2(.)
k1u 1ηy 2η
Фигура 4.1: Блок-схема на нелинейна система
звена са използвани линейността е 2y инвертиращи операционни усилватели, а не
25
реализирана чрез умножител AD633JN на Analog Devices, с предавателна функция
Z)XX)(YY(1.0W 2121 ,
където сигнала се добавя за компенсиране на отместването на изхода. В случая Z
X
а
yXY 11 и 0Y 22 , следователно след компенсация на отместването 2yW . На
а следващат фигур 4.2 е представена схемата на аналоговата нелинейна ема, съответстваща на блок-схемата от фигура
сист4.1. На блок-схемата от фигура 4.1 има
само три параметъра 1k , 1T и 2k , чиито стойности се изчисляват по формулите дадени
Фигура 4.2: Схема на аналогова нелинейна система
в таблица 4.1. Пот ициента по енциометърът 14R се използва за изменение на коеф 2k
Параметър Формула Стойност 1k 1310 R/R 466.0
1T 1110 CR 243.0 s
min2k 984.0 2k 191514 R/RR(1.0 )
max2k 842.1 Таблица 4.1: Параметри на аналогова ейна сист
време на работ . На фигура 4.3
от фигура 4.1 е
нелин емаата на системата за адаптивно управление и наблюдение
е представена блок-диаграмата на опитната постановка. За целта е необходим персонален компютър с инсталиран софтуер: MATLAB/Simulink и специализиран софтуер за комуникация с модула RT-DAC на фирма InTeCo. Този модул осигурява преобразуване на цифрови и аналогови сигнали в реално време. Чрез него се осигурява връзка между кода в Simulinк и физическата аналогова нелинейна система.
Моделът в пространство на състоянието на системата
26
1ηy 2η
Фигура 4.3: Диаграма на опитната постановка
(4.1a)
(4.1b)
с параметри .
Приложение на модифицирания метод на вплетения регулатор-наблюдател
Подо ора
uθηθηθη
ηη
3212212
21
1ηy
11 T/1θ , 1212 T/kkθ , 113 T/kθ
брения метод на вплетен регулатор-наблюдател (ПМВРН), представен във втглава, е приложен за система (4.1). Този метод е сравнен графично метода на вплетения регулатор-наблюдател (МВРН). На фигури 4.4 и 4.5 са представени грешките
0 10 20 30 -0.04
-0.02
0 0.02
0.04
0.06
0.08
t [s]
1r1 ηη
t
0
321r1 107τd)ηη(J
0 10 20 30 -0.1
-0.05
0
0.05
0.1
t
0
321r1 1017τd)ηη(J
1r1 ηη
t [s] Фигура 4.4: Грешки от следене на траекторията при ПМВРН и при МВРН r1η
0 10 20 30 -0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
2r2 ηη
t [s]
t
0
322r2 1017τd)ηη(J
0 10 20 30 -0.4
-0.2
0
0.2
0.4
t [s]
2r2 ηη
t
0
322r2 1050τd)ηη(J
Фигура 4.5: Грешки от следене на траекторията при ПМВРН и при МВРН
от сл е на
r2η
еденето на желаните еталонни траектории. Отляво са показани сигналит
27
подобрения, а отдясно на класическия метод на вплетения регулатор-наблюдател. От тези фигури става ясно, че при предложения метод стойността на грешките на оценките е по-малка от тази на стандартния метод. Другото предимство на новия метод става ясно от вида на управляващите въздействия на сравняваните методи,
0 10 20 30 -10
-5
0
5
t [s]
[V] u
t
0
2 36.87τduJ
0 10 20 30 -10
-5
0
5
t [s]
[V] u
t
0
2 73.152τduJ
Фигура 4.6: Управляващо въз твие по ПМВРН и по МВРН
дадени на фиг итудата на
я
дейс
ура 4.6. От тази фигура се вижда нарастването на амплуправляващото входно въздействие на МВРН (отдясно). Това нарастване на управлението заедно с факта, че управл ващото устройство е ограничено ( V10 ) ще
доведе до неустойчивост на системата за наблюдение и управление под влиян ие на
0 10 20 30 -1
0 1 2 3 4 5
t [s]
1θ
1a
0 10 20 30 -1
0
1
2
3
4
5
1θ
1θ
t [s]
0 10 20 30 -1
0
1
2
3
4
t [s]
min2θ 2a
max2θ
0 10 20 30 -1
0
1
2
3
4
t [s]
min2θ
2θ
max2θ
Фигура 4.7a: Оценка на параметрите на системата на ПМВРН и на МВРН
смущен ите с ията. Такова явление не се наблюдава при ПМВРН, тъй като параметркоито се изчислява управляващият закон са максимално близки до истинските. Този
28
0 10 20 30 -0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
t [s]
3θ
3a
0 10 20 30 -0.5
0
0.5
1
1.5
2
t [s]
3θ
3θ
Фигура 4.7b: Оценка на параметрите на системата на ПМВРН и на МВРН
факт в еския. оди до по-добри робастни свойства на новия метод в сравнение с класичНа следващата фигура 4.7 са представени графиките на оценките на параметрите на системата. За да се покаже работата на двата метода при изменение на параметър
по време на нормалната работа на системата, в момента 16t s е направена промяна
на параметъра 2θ от 1212 T/kkθmaxmax
до 1212 T/kkθminmin
. На фигура 4.8 е са представени
0 10 20 30 -0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0 10 20 30 -0.04
-0.02
0
0.02
0.04
t [s]
1η~
t
0
421 1096.8τdη~J
t
0
421 1052.7τdη~J
1η~
t [s]
0 10 20 30 -0.5
0
0.5
1
t [s]
2η~
t
0
322 10242τdη~J
0 10 20 30 -1
-0.5
0
0.5
1
t [s]
2η~
t
0
322 10357τdη~J
Фигура 4.8: Грешки от оценката на състоянието на ПМВРН и на МВРН
грешкит жда по-
ески експеримент и направения
е от оценките на състоянието на сравняваните методи. От тях се вималката грешка на новия метод. При класическия метод (отдясно) поради неточната оценка при всяко изменение на параметрите се наблюдава значителна динамична грешка в оценката на променливите на състоянието.
На базата на резултатите от проведения физич
29
срав
Приложение на модифицирания метод настройващите функции
Подобр ическата нели
нителен анализ се вижда, че ПМВРН, представен в дисертацията, има значително по-добри показатели в сравнение с МВРН.
еният метод на настройващите функции също е приложен за физнейната системата с модел в пространството на състоянията (4.1). На фигура
0 10 20 30 -0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
t
0
421 1068.2τdη~J
1η~
t [s]
0 10 20 30 -0.03
-0.02
-0.01
0 0.01
0.02
0.03
t
0
421 1016.3τdη~J
1η~
t [s]
0 10 20 30 -0.5
0
0.5
1
t [s]
2η~
t
0
22 17.0τdη~J
0 10 20 30 -1
-0.5
0
0.5
1
t [s]
2η~
t
0
22 29.0τdη~J
Фигура 4.9: Грешки от оценката състоянието на ПМНФ и на МНФ
4.9 графи ) и на
чно са сравнени подобрения метод на настройващите функции (ПМНФкласическия метод на настройващите функции (отдясно), чрез грешките от оценките на техните адаптивни наблюдатели. От тези графики става ясно, че при ПМНФ оценката на състоянието е по-добра от тази на МНФ (отдясно). Вижда се, че при всяка смяна на заданието наблюдателят на класическия метод генерира голяма динамична грешка при оценяването на двете променливи на състоянието. Това явление не се наблюдава при подобрения метод на настройващите функции, тъй като при него параметрите на системата са максимално точно оценени, както се вижда от фигура 4.10. Както при предишния експеримент и при този е направена промяна на
параметъра 2θ от max2θ до
min2θ , в момента s14t . От преходните процеси се вижда, че
новият мето (отл ) оце и новата стойност при следващ преходен процес, без постоянно възбуждане. На фигура
д яво ня 4.11 е показано отклонението на траекториите на
управляваната система от желаната еталонна траектория. От тази фигура ясно се
30
0 10 20 30 -1
0
1
2
3
4
5
t [s]
1a
1θ
0 10 20 30 -1
0
1
2
3
4
5
1θ
1θ
t [s]
0 10 20 30 -1
0
1
2
3
4
t [s]
2a
max2θ
min2θ
0 10 20 30 -1
0
1
2
3
4
t [s]
2θ
max2θ
min2θ
0 10 20 30 0
0.5
1
1.5
2
2.5
t [s]
3a
3θ
0 10 20 30 -0.5
0
0.5
1
1.5
2
t [s]
3θ
3θ
Фигура 4.10: Оценки на параметрите на системата при ПМНФ и при МНФ
вижда ните
о
с о и яия анализ между
предимството на новия метод (отляво). Грешките от следенето на желатраектории са значително по-малки от тези на класическия метод както в преходен, така и в установен режим. Това не са всички предимствата на предложения подобрен метод на настройващите функции. На следващата графика 4.12 е представенвходното напрежение, което се изчислява от управляващия закон. От фигурата вдясно се вижда нарастващата амплитуда на управляващото въздействие на класическия метод и пиковите му стойности в зоната на насищане. Тези процеси при непрекъсната работа на системата ще доведат до неустойчивост на затворената нелинейна адаптивна система. Това заключение не важи за предложения метод, който показва по- добри робастни свойства, тъй като амплитудата на управляващото входно въздей твие е значително по-малка т таз на класически метод.
В резултат от проведения физически експеримент и сравнителн
31
0 10 20 30 -0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
t [s]
1r1 ηη
t
0
321r1 10134τd)ηη(J
0 10 20 30 -0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
t
0
321r1 10203τd)ηη(J
1r1 ηη
t [s]
0 10 20 30 -0.5
0
0.5
1
t [s]
2r2 ηη
t
0
322r2 1012τd)ηη(J
0 10 20 30 -0.5
0
0.5
1
t [s]
2r2 ηη
t
0
322r2 1022τd)ηη(J
Фигура 4.11: Грешки от следенето на елана траектория на ПМНФ и на МНФ ж
0 10 20 30 -10
-5
0
5
t [s]
[V]
u
t
0
2 72.58τduJ
0 10 20 30 -10
-5
0
5
t [s]
[V] u
t
0
2 86.134τduJ
Фигура 4.12: Управляващо въздействие по ПМНФ и по МНФ
класическия М твърди, че
физически експерименти потвърждават на физическо ниво рабо
НФ и ПМНФ, разработен в дисертацията, може да сеподобреният подход има по-добри показатели на качеството на преходните процеси и по-добри робастни свойства, които са резултат от подобрената работа на параметричния оценител.
Проведените в главататоспособността на разработените в дисертацията методи. Сравнителният
анализ, представен в настоящата глава, показва предимствата на предложените нови методи за синтез на нелинейни адаптивни наблюдатели пред класическите методи по отношение на устойчивост, робастност и точност.
32
ППррииннооссии вв ддииссееррттаацциияяттаа
I. Предложен е нов метод за синтез на нелинеен адаптивен наблюдател за общ клас многомерни нелинейни системи, трансформируеми в РРОНКФ, гарантиращ асимптотически устойчива оценка на състоянието и глобална равномерна асимптотическа или експоненциално устойчива оценка на неизвестните параметри (теорема 2.2). Методът осигурява управляемост на качеството на преходните процеси на параметричния оценител;
II. Въведен е експоненциално устойчив процес на извличане на информация за неизвестните параметри от наличните входно-изходни сигнали във вид на натрупваща динамична регресионна матрица и критерий за параметрична идентифицируемост, чрез които необходимостта от постоянно възбуждане на системата се свежда до необходимост от възбуждане за краен интервал от време. Специалната структура на процеса на натрупване позволява управляемост на сходимостта на акумулиращата матрица към желана предварително зададена матрица с пълен ранг;
III. Предложен е подход за усъвършенстване на предварително синтезирани базови параметрични оценители, гарантиращ асимптотическа или експоненциално устойчива оценка на неизвестните параметри (теорема 2.3), за системи в РРОНКФ;
IV. Предложен е нов метод за синтез на нелинеен адаптивен наблюдател за многомерни нелинейни системи в АНКФ, който гарантира глобална равномерна експоненциално устойчива оценка както на състоянието, така и на неизвестните параметри (теорема 2.5), без постоянно възбуждане на нелинейната система;
V. Предложена е формула (2.49) за минимизация на реда на параметричния оценител в АНКФ, чрез която се изчисляват собствените вектори на матрицата на състоянието на наблюдателя ) , където двойката ),( CA е в канонична форма на Бруновски, а чрез матрицата K се задават желани собствени стойности на матрицата на състоянието на наблюдателя. Тази формула гарантира, че елементите на собствените вектори са коефициенти на полином на Хурвиц (теорема 2.4);
( KCA
VI. Предложено е усъвършенстване на метода на вплетения регулатор-наблюдател, за синтез на нелинейно адаптивно управление, за нелинейни системи с параметризирана изходна обратна връзка. Методът гарантира асимптотически устойчива оценка както на параметрите на нелинейната система, така и на нейното състояние без постоянно възбуждане, за разлика от оригиналната му версия;
VII. Предложено е подобрение на метода на настройващите функции, за синтез на нелинейно адаптивно управление, с обратна връзка по изхода, за системи, които са трансформируеми в АНКФ чрез филтрирана трансформация. Методът осигурява асимптотически устойчива оценка на параметрите и на състоянието на обектната система без постоянно възбуждане, за разлика от стандартната му версия.
VIII. Проведени са физически експерименти с приложение на разработените в дисертацията методи за синтез на нелинейни адаптивни наблюдатели. Предложените методи са сравнени на физическо ниво с класическите методи за синтез на нелинейни адаптивни наблюдатели и управление; В заключение, поставената цел на дисертационния труд е постигната с решаването на съответните задачи и получените положителни резултати.
33
ССППИИССЪЪКК СС ППУУББЛЛИИККААЦЦИИИИТТЕЕ ППОО ДДИИССЕЕРРТТААЦЦИИЯЯТТАА
[1] Mishkov R., Petrov V., Strictly Orientated State Space Models of Permanent-magnet
Synchronous Motors for Feedback Linearization Control, International Conference Engineering, Technologies and Systems TechSys 2011, Plovdiv, Bulgaria, Vol. 16, book 1, 335
– 340, ISSN 1310 – 8291, 2011. [2] Petrov V., Darmonski S., Observer Based Adaptive Nonlinear Control System Design for a Single
Link Manipulator, Student Conference Electrical Engineering, Information and Communication Technology EEICT 2012 Brno, Czech Republic, 116–120, ISBN 978-80-214-4462-1, 2012.
[3] Mishkov R., Petrov V., Advanced Control Nonlinear State Space Models of Permanent Magnet
Synchronous Motors, International Conference Automatics and Informatics', 12, Sofia,
Bulgaria, 70 – 73, ISSN 1313-1869, 2012a. [4] Mishkov R., Petrov V., Advanced Control Nonlinear State Space Models of Permanent Magnet
Synchronous Motors, Автоматика и информатика, 5-6, 68–71, ISSN 0861-7562, 2012b.
[5] Mishkov R., Petrov V., Nonlinear Adaptive Observer Design in Combined Error Nonlinear Adaptive Control, Scientific Works "Food Science, Engineering and Technologies 2013", Seventh National Conference with International Participation "Process Automation in the Food and Biotechnology Industries", Plovdiv, Bulgaria, Vol. LX, No. 2, 95–99, ISSN 1314-7102, 2013a.
[6] Mishkov R., Petrov V., Nonlinear Adaptive Observers in Adaptive Tuning Functions Tracking
Control, International Conference Automatics and Informatics' 13, Sofia, Bulgaria, I-289–I-292,
ISSN 1313-1869, 2013b. [7] Petrov V., Nonlinear Adaptive Observer Design with Exponential State and Parameter Estimation,
International Conference Automatics and Informatics' 14, Sofia, Bulgaria, I-209-I-212, ISSN
1313-1850, 2014. [8] Mishkov R., Petrov V., Adaptive Tuning Functions Tracking Control with Nonlinear Adaptive
Observers, International Conference Information Technologies and Control, Sofia, Bulgaria,
Участие в проект "Проект в помощ на докторант" договор 132ПД0027-19, финансиран
от НИС към ТУ София със заглавие "Нелинейни адаптивни наблюдатели и системи за управление със синхронни двигатели", с научен ръководител доц. д-р Румен Мишков.
The PhD thesis presents new methods for nonlinear adaptive observers design for nonlinear systems in reduced generalized observer canonical form (RGOCF) and in adaptive observer canonical form (AOCF), (Chapter 2). The approaches presented are compatible with other nonlinear adaptive design methods in the respective canonical forms (Chapter 3). The methods introduced guarantee both global uniform exponentially or asymptotically stable state and parameter estimation with controllable performance specifications without persistency of excitation of the objective nonlinear system.
The approaches are built upon the introduced parametric identifiability and the stable data accumulation concepts. Global uniform stability of the data accumulation matrix is provided by the special structure of the data accumulation dynamics which together with the parametric identifiability property of the objective nonlinear systems allows asymptotic and exponential estimation of the unknown parameters. The performance specifications of the nonlinear adaptive state observers and parameter estimators can be controlled by the respective design matrices. The approaches permit an a priori designed adaptive parameter estimator to be modified into an asymptotically stable one thus, extending the application field.
The thesis methods are applied and verified via simulation over models of real nonlinear systems: DC motor inverted pendulum, PMSM inverted pendulum, single-link flexible joint manipulator. Moreover the presented nonlinear adaptive observers are used in physical experiment – nonlinear adaptive observer and control implementation for second order physical analogue nonlinear system (Chapter 4).
The contributions of the achieved results are pointed as follows: I. A new method for nonlinear adaptive observer design for MIMO nonlinear system transformable
in RGOCF with asymptotic state estimation and global uniform asymptotically or exponentially stable parameter estimation without persistency of excitation is proposed (Theorem 2.2). ; II. Exponentially stable data accumulation process in the form of dynamic regression matrix and
parametric identifiability criterion are introduced, providing elimination of the persistency of excitation condition. The special structure of the process allows its convergence controllability. III. An approach for improve of predefined parameter estimators guaranteeing asymptotically stable unknown parameter estimation for systems in RRGOCF is presented; IV. A new method for nonlinear adaptive observer design for MIMO nonlinear system transformable in AOCF with global uniform exponentially stable state and parameter estimation without persistency of excitation is proposed (Theorem 2.2). V. A special formula for eigenvectors computation used in the process of minimization of the parameter estimator in AOCF is proposed; VI. An improvement of the tuning function and interlaced controller-observer design methods is proposed via parameter estimator modification to asymptotically stable parameter estimation;
VII. Physical experiment with implementation of the thesis methods for nonlinear and adaptive observers design are carry out.
