Date post: | 16-Jun-2015 |
Category: |
Documents |
Upload: | dinarbekti |
View: | 505 times |
Download: | 1 times |
susy susmartini operations research 1, 2006 1
OPERATIONS RESEARCH 1OPERATIONS RESEARCH 1
MATERI KULIAH 1MATERI KULIAH 1
susy susmartini operations research 1, 2006 2
TAHAPAN KEGIATAN :• PERENCANAAN• PERSIAPAN/PENGADAAN• OPERASIONAL• EVALUASI
PENGAMBILANKEPUTUSAN
TUJUAN
KENDALA / KETERBATASAN
OPTIMASI
susy susmartini operations research 1, 2006 3
PENGAMBILAN KEPUTUSAN DENGAN PENDEKATAN
OPERATIONS RESEARCH
MODEL DETERMINISTIK
• PROGRAM LINIER
• PROGRAM INTEGER
• PROGRAM NON LINIER
• PROGRAM DINAMIS
• MODEL PERSEDIAAN
• MODEL JARINGAN
MODEL STOKASTIK
• MODEL ANTRIAN
• PROSES MARKOV
• MODEL SIMULASI
• ANALISA KEPUTUSAN
susy susmartini operations research 1, 2006 4
PROGRAMA LINIER• METODE GRAFIS• METODE SIMPLEKS :
– OPERASI PIVOT ( TABLO )• METODE UMUM/DASAR• METODE BIG M• METODE DUA PHASE
– REVISED SIMPLEX METHOD
• MASALAH DUALITAS ( PRIMAL-DUAL )• ANALISA SENSITIVITAS• SPECIAL TYPES :
– TRANSPORTATION PROBLEM– TRANSHIPMENT PROBLEM– ASSIGNMENT PROBLEM– MULTIDIVISIONAL PROBLEM
susy susmartini operations research 1, 2006 5
BATASAN UMUM
FUNGSI TUJUAN (Objective function) :
FUNGSI KENDALA (Subject to / Constraint) :
nn xcxcxcZMinMax ......./ 2211
0,.......,,
,,..........::
,,..........,,..........
21
2211
22222121
11212111
n
mnmnmm
nn
nn
xxx
katauxaxaxa
katauxaxaxakatauxaxaxa
susy susmartini operations research 1, 2006 6
CONTOH 1 :
Sebuah perusahaan pembuat pesawat TV memutuskan untuk membuat TV berukuran 27’ dan 20’. Menurut pengamatan, kebutuhan pasar tidak lebih dari 40 unit / bulan untuk TV 27’, dan tidak lebih dari 10 unit / bulan untuk TV 20’.
Produksi 1 unit TV 27’ memerlukan waktu selama 20 jam kerja, dan 1 unit TV 20’ memerlukan waktu selama 10 jam kerja. Sedangkan waktu yang tersedia : 500 jam kerja / bulan.
Besarnya keuntungan untuk setiap unit TV 27’ diharapkan $120, dan $80 / unit TV 20’
Seorang penyalur bersedia membeli semua produksi kedua tipe TV tersebut, asalkan tidak melampaui jumlah yang diperoleh dari hasil pengamatan tentang kebutuhan pasar.
Formulasikan ke dalam model Programa Linier untuk mendapatkan jumlah masing-masing tipe TV tersebut, agar diperoleh keuntungan yang maksimal.
susy susmartini operations research 1, 2006 7
Penyelesaian :
Misalkan : jumlah produk I (TV 27’) :
jumlah produk II (TV 20’) :
Objective Function :
Constraint Set :
1x
2x
21 80120: xxZMax
1040
5001020
2
1
21
xx
xx
021 xdanx
susy susmartini operations research 1, 2006 8
CONTOH 2 :
Sebuah perusahaan tambang mengoperasikan tiga tambang di Virginia Barat. Bijian dari tiap tambang dipisahkan ke dalam dua jenis kualitas sebelum dikirimkan kepada konsumennya. Berikut ini adalah kapasitas produksi dan ongkos produksi harian masing-masing tambang tersebut :
TAMBANG KUALITAS TINGGI
(TON/HARI)
KUALITAS RENDAH
(TON/HARI)
BIAYA OPERASI
($1000/HARI)
IIIIII
461
446
202218
Perusahaan telah memutuskan untuk mengirim 54 ton bijian kualitas tinggi dan 65 ton bijian kualitas rendah tiap minggu. Formulasikan ke dalam model Programa Linier untuk menentukan jumlah hari kerja di tiap tambang dalam satu minggu, agar perusahaan dapat menekan biaya operasionalnya.
susy susmartini operations research 1, 2006 9
PENYELESAIAN :
Misalkan : Jumlah hari kerja di tambang i adalah
Untuk i = 1, 2, 3
ix
0,,
7
7
7
65644
54164
:
182220
:
321
3
2
1
321
321
321
xxx
x
x
x
xxx
xxx
toSubject
xxxZMinimize
functionObjective
susy susmartini operations research 1, 2006 10
METODE GRAFIS
CONTOH 3 :
Sebuah perusahaan merencanakan dua macam produksi, yaitu Bearing Plate (Produk I) dan Gear (Produk II). Proses produksi kedua produk tersebut menggunakan Milling Machine (kapasitas : 60 Machine Hours / week) dan Metal Lathe (kapasitas : 40 Machine Hours / week) yang sama. Masing-masing produk memerlukan lama waktu pengerjaan yang berbeda pada tiap mesin tersebut, yaitu :
Machine Machine Hours / unit
Product I Product II
Milling MachineMetal Lathe
54
104
Jika diperkirakan keuntungan Produk I : $6 dan Produk II : $8, berapa jumlah masing-masing produk yang harus dibuat, agar mendapatkan keuntungan yang maksimal
susy susmartini operations research 1, 2006 11
Penyelesaian :
Misalkan : Jumlah Produk I :
Jumlah Produk II :
1x
2x
0,404460105
:86
:
21
21
21
21
xxxxxx
toSubjectxxZMaximize
functionObjective
2 4 6 8 10 12
12
10
8
6
4
2
0
Z = 48
Z = 64
Z = 60
60105 21 xx
4044 21 xx
642,8:
21 ZxxpadaOptimal
A(0,6)
B(8,2)
C(10,0)
susy susmartini operations research 1, 2006 12
METODE SIMPLEKS(OPERASI PIVOT)
BEKERJA DALAM TABLOKOLOM-KOLOM DALAM TABLO :
1. : Koefisien Variabel Basis pada Fungsi Tujuan (Objective Function)
2. : Variabel Basis
a. Variabel Basis Awal :
Variabel yang terdapat hanya pada satu Constraint Set
b. Variabel Basis pada langkah-langkah selanjutnya
Dipilih, sebagai Entering Variable, melalui pemilihan :
- yang positif terbesar (Maximize)
- yang paling negatif (Minimize)
c. Variabel Basis yang diganti :
Leaving Variable, melalui pemilihan nilai terkecil pada kolom
perbandingan RK :
BC
jC
jC
BV
BV
susy susmartini operations research 1, 2006 13
3. :Variabel
4. : Koefisien Variabel Pada Fungsi Tujuan
5. Konst Ruan Kn : Konstanta Pembatas pada Constraint Set
6. Perband RK : KP : Perbandingan Kolom Konstanta Ruas Kanan dengan
Kolom Pivot
ix
jC
KonstRuasKanan
PerbandKonst RK:Kolom Pivot
. . .BC Var Basis
jC
jC
1x 2x
susy susmartini operations research 1, 2006 14
LANGKAH-LANGKAH OPERASI PIVOT
1. Ubah Formulasi / Bentuk Dasar Programa Linier ke Bentuk Standard :
a. Constraint Set berbentuk persamaan “=“
b. Konstanta Ruas Kanan pada Constraint Set harus positif
c. Variabel tambahan pada Constraint Set harus > 0
d. Koefisien Variabel Tambahan pada Objective Function harus “= 0”
2. Bentuk Tablo dengan Kolom-kolom yang telah ditentukan
3. Pilih Variabel Basis Awal, kemudian letakkan berurut pada Kolom Variabel Basis
4. Isi kolom-kolom yang telah ditentukan, serta isi baris
5. Cari Entering Variable :
a.
b. Pilih Entering Variable sesuai Objective Function
jC
Bj C kolom dengan j"" variabelkolomperkalianJumlahCC
susy susmartini operations research 1, 2006 15
6. Kolom Entering Variable, disebut KOLOM PIVOT (KP)
7. Isi kolom “Perband RK : KP”, kemudian pilih nilai terkecil sebagai Leaving Variable. Abaikan hasil perbandingan yang bernilai negatif dan pembagi nol. Baris Leaving Variable disebut BARIS PIVOT
8. Cek nilai :
a. Untuk masalah Maximize keadaan OPTIMAL pada
b. Untuk masalah Minimize keadaan OPTIMAL pada
9. Berhenti pada kondisi OPTIMAL
Dengan hasil :
Variabel yang menjadi Variabel Basis bernilai besarnya Konstatnta Ruas Kanannya.
Variabel yang tidak terpilih sebagai Variabel Basis saat itu, bernilai nol
jC0jC
0jC
susy susmartini operations research 1, 2006 16
10. Jika belum optimal, lanjutkan TABLO ke bawah
11. Ganti Variabel Basis yang terpilih sebagai Leaving Variable dengan
variabel yang terpilih sebagai Entering Variable
12. Perpotongan antara KOLOM PIVOT dengan BARIS PIVOT disebut
TITIK PIVOT
a. Upayakan TITIK PIVOT bernilai “1”. Semua konstanta yang berada
di atas / bawahnya dalam KOLOM PIVOT berharga nol.
b. Konstanta lain disesuaikan (melalui iterasi)
13. Hitung
14. Cek kembali, apakah sudah optimal ?
a. Jika sudah optimal, hentikan iterasi (seperti langkah 9)
b. Jika belum optimal, lanjutkan ke langkah 10
jC
susy susmartini operations research 1, 2006 17
CONTOH 4 :
0,102153
4:
23:
21
21
21
1
21
xxxxxx
xtoSubject
xxZMaximizefunctionObjective
BENTUK STANDARD :
0,,,,1021534
:00023
:
32121
321
221
11
32121
SSSxxSxx
SxxSx
toSubjectSSSxxZMaximize
functionObjective
Berapa nilai
Yang optimal ?
21, xdanx
susy susmartini operations research 1, 2006 18
3 2 0 0 0 KonstRuasKanan
PerbandKonst RK:Kolom Pivot
0 1 0 1 0 0 4 4/1 = 4
0 1 3 0 1 0 15 15/1 = 15
0 2 1 0 0 1 10 10/2=5
3 2 0 0 0 Z=0
Var Basis
jC
1x 2x1S 2S 3S
BC
1S
2S
3S
jC
3 2 0 0 0 KonstRuasKanan
PerbandKonst RK:Kolom Pivot
3 1 0 1 0 0 4 4/0
0 0 3 -1 1 0 11 11/3=3.67
0 0 1 -2 0 1 2 2/1=2
0 2 -3 0 0 Z=12
Var Basis
jC
1x 2x1S 2S 3S
1x
2S
3S
jC
BC
susy susmartini operations research 1, 2006 19
3 2 0 0 0 KonstRuasKanan
PerbandKonst RK:Kolom Pivot
3 1 0 1 0 0 4 4/1=4
0 0 0 5 1 -3 5 5/5=1
2 0 1 -2 0 1 2 2/-2=-1
0 0 1 0 -1 Z=16
Var Basis
jC
1x 2x1S 2S 3S
1x
2S
2x
jC3 2 0 0 0 Konst
RuasKanan
Optimal pada
= 3
= 4
Z=17
3 1 0 0 -1/5 3/5 3
0 0 0 1 1/5 -3/5 1
2 0 1 0 2/5 -1/5 4
0 0 0 -1/5 -7/5 Z=17
1x 2x
2x
1S
1S 2S 3S
1x
Var Basis
jC
jC
1x
2x
BC
BC
susy susmartini operations research 1, 2006 20
VARIABEL SEMU
CONTOH 5 :
0,,12324
112:
3:
321
31
321
321
321
xxxxxxxxxxx
toSubjectxxxZMinimize
functionObjective
0,,,,12324
112:
003:
21321
31
2321
1321
21321
SSxxxxx
SxxxSxxx
toSubjectSSxxxZMinimize
functionObjectiveBENTUK STANDARD
susy susmartini operations research 1, 2006 21
.12,324
,112
31
2321
1321
AwalBasisVariabeladatidakxxlayaktidakAwalBasisVariabeladaSxxx
layakAwalBasisVariabeladaSxxx
UNTUK MENDAPATKAN VARIABEL BASIS AWAL YANG LAYAK, DIPERLUKAN PENAMBAHAN SUATU VARIABEL SEMU
0,,,,,,12324
112:
003:
2121321
231
12321
1321
21321
RRSSxxxRxx
RSxxxSxxx
toSubjectSSxxxZMinimize
functionObjectiveSEHINGGA :
susy susmartini operations research 1, 2006 22
layakAwalBasisVariabelRRxxlayakAwalBasisVariabelRRSxxxlayakAwalBasisVariabelSSxxx
,12,324,112
2231
112321
11321
TAPI …………
KARENA DI ANTARA VARIABEL BASIS AWAL TERSEBUT TERDAPAT VARIABEL SEMU, MAKA SOLUSI BASIS MENJADI SOLUSI TAK LAYAK
KEADAAN INI DAPAT DIATASI DENGAN :
1. METODE SIMPLEKS M BESAR (BIG M)
2. METODE SIMPLEKS 2 PHASE
susy susmartini operations research 1, 2006 23
METODE SIMPLEKS M BESAR (BIG M)
0,,,,,,12324
112:
003:
2121321
231
12321
1321
2121321
RRSSxxxRxx
RSxxxSxxx
toSubjectMRMRSSxxxZMinimize
functionObjective
CATATAN :
PADA MASALAH MINIMIZE harga adalah POSITIF
PADA MASALAH MAXIMIZE harga adalah NEGATIFiMR
iMR
susy susmartini operations research 1, 2006 24
-3 1 1 0 0 M M Konst Ruas Kn
Perband
RK : KP
0 1 -2 1 1 0 0 0 11 11/1=11
M -4 1 2 0 -1 1 0 3 3/2=1.5
M -2 0 1 0 0 0 1 1 1/1=1
-3+
6M
1-M 1-3M
0 M 0 0 Z=4M
-3 1 1 0 0 M M Konst Ruas Kn
Perband
RK : KP
0 3 -2 0 1 0 0 -1 10 10/-2
M 0 1 0 0 -1 1 -2 1 1/1
1 -2 0 1 0 0 0 1 1 1/0
-1 1-M 0 0 M 0 3M-1 Z=1+M
BC
BCBV
BV jC
jC
1x
1x
2x
2x
3x
3x
1S
1S
2S
2S
1R
1R
2R
2R
1S
1S
1R
1R
2R
jC
jC
3x
Kolom Pivot (KP) Baris Pivot
susy susmartini operations research 1, 2006 25
-3 1 1 0 0 M M Konst Ruas Kn
Perband
RK : KP
0 3 0 0 1 -2 2 -5 12 12/3=4
1 0 1 0 0 -1 1 -2 1 1/0
1 -2 0 1 0 0 0 1 1 1/-2
-1 0 0 0 1 M-1 M+1 Z=2
-3 1 1 0 0 M M Konst Ruas Kn
Optimal pada
= 4
= 1
= 9
Z = -2
-3 1 0 0 1/3 -2/3 2/3 -5/3 4
1 0 1 0 0 -1 1 -2 1
1 0 0 1 2/3 -4/3 4/3 -7/3 9
0 0 0 1/3 1/3 M-1/3
M-2/3
Z=-2
BC
BCBV
BVjC
jC
1x
1x
2x
2x
3x
3x
1S
1S
2S
2S
1R
1R
2R
2R
1S
jC
jC
2x
3x
1x
2x
3x
1x
2x
3x
susy susmartini operations research 1, 2006 26
METODE SIMPLEKS DUA FASA
FASA I :
0,,,,,,12324
112:
:
2121321
231
12321
1321
21
RRSSxxxRxx
RSxxxSxxx
toSubjectRRWMinimize
functionObjective
0 0 0 0 0 1 1 Konst Ruas Kn
Perband
RK : KP
0 1 -2 1 1 0 0 0 11 11/1=11
1 -4 1 2 0 -1 1 0 3 3/2=1.5
1 -2 0 1 0 0 0 1 1 1/1=1
6 -1 -3 0 1 0 0 W=4
BCBV
jC
1x 2x 3x1S 2S 1R 2R
1S
1R
2R
jC
susy susmartini operations research 1, 2006 27
0 0 0 0 0 1 1 Konst Ruas Kn
Fasa I optimal
0 3 0 0 1 -2 2 -5 12
0 0 1 0 0 -1 1 -2 1
0 -2 0 1 0 0 0 1 1
0 0 0 0 0 1 1 W=0
0 0 0 0 0 1 1 Konst Ruas Kn
Perband
RK : KP
0 3 -2 0 1 0 0 -1 10 10/-2
1 0 1 0 0 -1 1 -2 1 1/1=1
0 -2 0 1 0 0 0 1 1 1/0
0 -1 0 0 1 0 3 W=1
BC
BC
BV
BV
jC
jC
1x
1x
2x
2x
3x
3x
1S
1S
2S
2S
1R
1R
2R
2R
1S
1R
3x
jC
jC
1S
3x
2x
susy susmartini operations research 1, 2006 28
-3 1 1 0 0 Konst Ruas Kn
Optimal pada :
= 4
= 1
= 9
Z = -2
-3 1 0 0 1/3 -2/3 4
1 0 1 0 0 -1 1
1 0 0 1 2/3 -4/3 9
0 0 0 1/3 1/3 Z = -2
-3 1 1 0 0 Konst Ruas Kn
Perband
RK : KP
0 3 0 0 1 -2 12 12/3=4
1 0 1 0 0 -1 1 1/0
1 -2 0 1 0 0 1 1/-2
-1 0 0 0 1 Z = 2
BC
BC
BV
BV
jC
jC
1x
1x
2x
2x
3x
3x
1S
1S
2S
2S
jC
jC
FASA II :
1S
2x
3x
3213: xxxZMinfunctionObjective
1x
2x
3x
1x
2x
3x
susy susmartini operations research 1, 2006 29
REVISED SIMPLEX
NOTASI-NOTASI :
j
B
j
jj
j
j
PdanKanPerbandingNilaiDariMinimumHargaTujuanFungsipadaBasisVariabelVariabelKoefisienC
BasisMatriksInversBBasisMatriksjugadisebut
BasisVariabelBagiTeknologiKoefisienMatriksBBaruyangKananRuasKonstantaK
KananRuasKonstantaK
PivotKolomP
xBagiTeknologiKoefisienMatriksPMultiplierSimplex
TujuanFungsipdKeputusanVariabelKoefisienC
mjRelatifOngkosKoefisienC
:::
)(:::
:
::
:
,.....,2,1,:
1
susy susmartini operations research 1, 2006 30
LANGKAH PENYELESAIAN :
1. Mengubah Formulasi awal ke dalam Bentuk Standard
2. Mencari Entering Variable
3. Mencari Leaving Variable
terpilihCdenganxVariableEntering
TerkecilCpilihMinimasi
TerbesarCpilihMaksimasiKasus
BCPCC
jj
j
j
Bjjj
,
,:
1
terpilihBarispadaBasisVariablex: Varable Leaving
PKMin
PBPdanKBK
B
j
jj
:
/
11
susy susmartini operations research 1, 2006 31
CONTOH 6 :
0,18231224
53:
21
21
2
1
21
xxxxx
xtoSubject
xxZMaximizeFunctionObjective
Bentuk Standard
0,,,,18231224
00053:
32121
321
22
11
32121
SSSxxSxx
SxSx
toSubjectSSSxxZMaximize
FunctionObjective
susy susmartini operations research 1, 2006 32
Langkah Penyelesaian :
ITERASI I :
a. Mencari ENTERING VARIABEL
VARIABLEENTERINGxC
C
C
BB
PPPB
BCPCC
B
Bjjj
22
1
1
543
1
5
2
2
0
0,0,05
3
3
0
1
0,0,03
0,0,00,0,0100
010
001
100
010
001,,
susy susmartini operations research 1, 2006 33
b. Memilih LEAVING VARIABLE
VARIABLELEAVINGS
Min
PPBP
KBK
jj
2
21
1
2/12
2/18,2/12,0/4
2
2
0
2
2
0
100
010
001
18
12
4
18
12
4
100
010
001
susy susmartini operations research 1, 2006 34
ITERASI II
a. Mencari ENTERING VARIABLE
VARIABLEENTERINGx
C
C
C
BBPPPB
BCPCC
B
Bjjj
1
21
21
4
21
1
21
21
211
523
1
2
0
1
0
0,2,00
3
3
0
1
0,2,03
0,2,0
110
00
001
0,5,00,5,0
110
00
001
120
020
001
,,
susy susmartini operations research 1, 2006 35
b. Memilih LEAVING VARIABLE
VARIABLELEAVINGS
Min
PPBP
KBK
jj
3
21
11
211
3/6
3/6,0/6,1/4
3
0
1
3
0
1
110
020
001
6
6
4
18
12
4
110
020
001
susy susmartini operations research 1, 2006 36
ITERASI III
a. Mencari ENTERING VARIABLE
2
6
2
2
6
2
18
12
4
0
00
1
:
1
1
0
0
1,1,00
1
0
1
0
1,1,00
1,1,0
0
00
1
3,5,03,5,0
0
00
1
320
020
101
,,
1
2
1
31
31
21
31
31
21
5
21
21
4
21
31
31
21
31
31
31
31
21
31
31
1123
1
x
x
S
K
padaOPTIMALSOLUSI
C
C
C
BBPPPB
BCPCC
B
Bjjj
susy susmartini operations research 1, 2006 37
DUALITY THEORY
(TEORI DUALITAS)
Setiap masalah Programa Linier, dengan variabel :
Mempunyai keterkaitan dengan bentuk Programa Linier
lain, dengan variabel :
(“m” adalah
jumlah Constraint Set pada Programa Linier semula), yang
disebut sebagai DUAL nya
Bentuk DUAL ini ditentukan oleh bentuk Programa Linier
semula, yang disebut sebagai PRIMAL
njx j .....,,3,2,1,
miyi ....,,2,1,
susy susmartini operations research 1, 2006 38
PRIMAL PROBLEM DUAL PROBLEM
Maximize
Subject to :
Minimize :
Subject to :
Maximize Z = cx
Subject to : Ax < b x > 0
Minimize : W = yb
Subject to : yA > c y > 0
C & y : Row Vectorb & x : Column Vector
BENTUK UMUM
n
jjj xcZ
1
0
...,,2,11
j
i
n
jjij
x
mibxa
m
iii ybW
1
0
...,,2,11
i
j
m
iiij
y
njcya
susy susmartini operations research 1, 2006 39
Contoh 7:
PRIMAL PROBLEM DUAL PROBLEM
Maximize
Subject to :
Minimize
Subject to :
2
15,3x
xZ
0
0
18
12
4
2
2
0
3
0
1
2
1
2
1
x
x
x
x
18
12
4
,, 321 yyyW
0,0,0,,
5,3
2
2
0
3
0
1
,,
321
321
yyy
yyy
susy susmartini operations research 1, 2006 40
PRIMAL – DUAL RELATIONSHIP
• WEAK DUALITY PROPERTY
Terjadi jika : cx < yb
x : adalah solusi feasible untuk masalah PRIMAL
y : adalah solusi feasible untuk masalah DUAL
•STRONG DUALITY PROPERTY
Terjadi jika : cx* = y*b
x* : adalah optimal solution untuk masalah PRIMAL
y* : adalah optimal solution untuk masalah DUAL
susy susmartini operations research 1, 2006 41
• COMPLEMENTARY SOLUTION PROPERTY
Pada setiap iterasi, metode Simpleks secara simultan mengidentifi-
kasikan suatu “Corner – Point Feasible Solution” x untuk PRIMAL
Problem dan suatu “Complementary Solution” y untk DUAL Problem,
Dimana :
cx = yb
Contoh :
Problem contoh 6, pada Iterasi II :
ybcxyx
300,2,0
6
02
1
susy susmartini operations research 1, 2006 42
• COMPLEMENTARY OPTIMAL SOLUTION PROPERTY
Pada Iterasi terakhir :
Contoh :
Iterasi terakhir pada contoh 6 :
yi* : SHADOW PRICE untuk PRIMAL PROBLEM
bycxsolutionoptcomply
solutionoptimalx**
..:*
:*
ybcxyx
36*1,,0*
6
2* 2
3
susy susmartini operations research 1, 2006 43
SYMMETRY PROPERTY :
Untuk setiap PRIMAL PROBLEM dan DUAL PROBLEMnya,
Semua hubungan antara keduanya merupakan huibungan yang
Symmetry, karena DUAL PROBLEM dari suatu DUAL PROBLEM adalah
PRIMAL PROBLEMnya
susy susmartini operations research 1, 2006 44
HUBUNGAN NILAI
Jika :
: adalah nilai optimal bagi suatu DUAL PROBLEM
: adalah nilai untuk Variabel Basis Awal pada saat
optimal (PRIMAL PROBLEM)
: adalah nilai (Simplex Multiplier dala Revised Simplex
Method) pada saat harga optimal (PRIMAL PROBLEM)
Maka : = = = SHADOW PRICE
untuk PRIMAL PROBLEM
*** ,, jBCy
*y iy
*jBC
*jC
jx
jx
*
*y *jBC
*
susy susmartini operations research 1, 2006 45
Contoh 8 :
(Kembali ke kasus contoh 6)
a. Penyelesaian PRIMAL PROBLEM dengan menngunakan Operasi Pivot
Bentuk Standard :
0,,,,18231224
00053:
32121
321
22
11
32121
SSSxxSxx
SxSx
toSubjectSSSxxZMaximize
FunctionObjective
0,18231224
53:
21
21
2
1
21
xxxxx
xtoSubject
xxZMaximizeFunctionObjective
susy susmartini operations research 1, 2006 46
3 5 0 0 0 KonstRuasKanan
PerbandKonst RK:Kolom Pivot
0 1 0 1 0 0 4 4/0
0 0 2 0 1 0 12 12/2 = 6
0 3 2 0 0 1 18 18/2 = 9
3 5 0 0 0 Z=0
3 5 0 0 0 KonstRuasKanan
PerbandKonst RK:Kolom Pivot
0 1 0 1 0 0 4 4/1 = 4
5 0 1 0 1/2 0 6 6/0
0 3 0 0 -1 1 6 6/3 = 2
3 0 0 - 5/2 0 Z = 30
BC
BC
jC
jC
1x
1x
2x
2x
1S
1S
1S
2S
2S
2S
3S
3S
3S
3S
Var Basis
Var Basis
1S
2x
jC
jC
susy susmartini operations research 1, 2006 47
3 5 0 0 0 KonstRuasKanan
Optimal pada
= 2
= 6
= 2
0 0 0 1 1/3 -1/3 2
5 0 1 0 1/2 0 6
3 1 0 0 -1/3 1/3 2
0 0 0 - 3/2 -1 Z = 36
1x
1x
2x
2x1S
1S
2S 3S
1x
2x
1S
1,,0 23* jBC
BC Var Basis
jC
jC
susy susmartini operations research 1, 2006 48
b. Penyelesaian dengan Operasi Pivot untuk DUAL PROBLEM
0,,
52203301
18124
321
321
321
321
yyy
yyyyyytoSubject
yyyWMinimizeFunctionObjective
Bentuk Standard
0,,,,,,
52203301
00018124
2121321
22321
11321
21321321
RRSSyyy
RSyyyRSyyytoSubject
MRMRSSSyyyWMinimizeFunctionObjective
susy susmartini operations research 1, 2006 49
4 12 18 0 0 M M Konst Ruas Kn
Perband
RK : KP
M 1 0 3 -1 0 1 0 3 3/3
M 0 2 2 0 -1 0 1 5 5/2
4-M 12-2M
18-5M
M M 0 0 W=8M
1y 2y 3y 1S 2S 1R 2R
2R
1R
BC Var Basis
jC
jC
4 12 18 0 0 M M Konst Ruas Kn
Perband
RK : KP
18 1/3 0 1 -1/3 0 1/3 0 1 1/0
M -2/3 2 0 2/3 -1 -2/3 1 3 3/2
-2+ 2/3M
12-2M
0 6-2/3M
M 5/3M-6
0 W=18+3M
BC Var Basis
jC
1y 2y 3y
3y
1S 2S 1R 2R
2R
jC
susy susmartini operations research 1, 2006 50
4 12 18 0 0 M M Konst Ruas Kn
Optimal pada
= 0
= 3/2
= 1
18 1/3 0 1 -1/3 0 1/3 0 1
12 -1/3 1 0 1/3 -1/2 -1/3 1/2 3/2
2 0 0 2 6 M-2 M-6 W=36
BC Var Basis
jC
1y 2y 3y 1S 2S 1R 2R
3y
2y
jC
1y
2y
3y
y* = ( 0, 3/2, 1 )
c. Penyelesaian dengan Revised Simplex Method untuk PRIMAL PROBLEM
Pada solusi optimal : 1,,0 23
KESIMPULAN :**
jBCy
susy susmartini operations research 1, 2006 51
Shadow Price :
Perubahan keuntungan pada Z optimal per satuan kenaikan sumber kendala
Artinya :
(lihat contoh)
Jika :
• dari 4 diubah menjadi 5,
maka Z optimal tidak berubah
• dari 12 diubah menjadi 13,
maka Z optimal naik sebesar 3/2
• dari 18 diubah menjadi 19,
maka Z optimal naik sebesar 1
1b
2b
3b
susy susmartini operations research 1, 2006 52
susy susmartini operations research 1, 2006 53
SOAL NO. 1 :
Selesaikan masalah berikut dengan menggunakan :
a. Metode Grafis
b. Operasi Pivot / Metode Simpleks
0,
3
1833
82
36
21
2
21
21
21
xx
x
xx
xx
toSubject
xxZMaximize
FunctionObjective
susy susmartini operations research 1, 2006 54
Soal no. 2 :
Sebuah perusahaan persewaan truk memutuskan akan membeli 3 (tiga) jenis truk untuk menambah armadanya. Harga ketiga jenis truk tersebut adalah $25,000 untuk truk ukuran besar, $20,000 untuk truk ukuran sedang, dan $15,000 untuk truk ukuran kecil. Dana yang tersedia adalah $400,000.
Agar terjadi keseimbangan dalam armadanya, diputuskan untuk membeli truk ukuran besar paling sedikit 4 (empat) truk, paling sedikit 5 (lima) truk ukuran sedang dan paling sedikit 10 truk ukuran kecil.
Di samping itu, kapasitas garasi adalah 25 truk. Sedangkan fasilitas pemeliharaan dapat menangani 40 (empat puluh) truk kecil. Setiap truk ukuran sedang memerlukan 2 kali fasilitas pemeliharaan truk kecil, dan fasilitas pemeliharaan truk besar adalah 4 kali fasilitas pemeliharaan truk kecil.
Bentuklah dalam formasi Programa Linier
susy susmartini operations research 1, 2006 55
Soal no. 1
0,
1826
1232
64
21
21
21
21
xx
xx
xx
toSubject
xxZMaximize
FunctionObjective
a. Selesaikan dengan menggunakan metode Grafis
b. Selesaikan dengan menggunakan operasi Pivot
susy susmartini operations research 1, 2006 56
Soal no. 2 :Sebuah perusahaan persewaan rumah memutuskan akan membuat 3 (tiga) jenis rumah sewa lagi dari yang telah ada. Biaya pembangunan ketiga jenis rumah tersebut adalah $35,000 untuk rumah ukuran besar, $30,000 untuk rumah ukuran sedang, dan $25,000 untuk rumah ukuran kecil. Dana yang tersedia adalah $800,000.Agar terjadi keseimbangan, diputuskan untuk membangun rumah ukuran besar paling sedikit 4 (empat) rumah, paling sedikit 6 (enam) rumah ukuran sedang dan paling sedikit 12 rumah ukuran kecil.Di samping itu, kapasitas lahan yang ada adalah 35 rumah. Sedangkan fasilitas pemeliharaan dapat menangani 40 (empat puluh) rumah kecil. Setiap rumah ukuran sedang memerlukan 2 kali fasilitas pemeliharaan rumah kecil, dan fasilitas pemeliharaan rumah besar adalah 4 kali fasilitas pemeliharaan rumah kecil. Bentuklah dalam formasi Programa Linier