LA ESENCIA Y LA LA ESENCIA Y LA ESTRUCTURA DE ESTRUCTURA DE

RESOLUCIÓN DE LOS RESOLUCIÓN DE LOS PROBLEMAS DE PROBLEMAS DE MATEMÁTICASMATEMÁTICAS

¿¿QuèQuè significa resolver un problema de significa resolver un problema de matemàticasmatemàticas??La estructura del proceso de La estructura del proceso de resoluciònresoluciòn de problemas de problemasLos problemas Los problemas caracterìsticoscaracterìsticos y su y su resoluciònresoluciòn..Los problemas no Los problemas no caracterìsticoscaracterìsticos y su y su resoluciònresoluciònConclusionesConclusiones..

Ahora se verà en que consiste Ahora se verà en que consiste la resoluciòn de un problema. la resoluciòn de un problema. Su esencia. Las etapas de Su esencia. Las etapas de este proceso. Todo esto con este proceso. Todo esto con el fin de abordar la pregunta el fin de abordar la pregunta fundamental. ¿còmo buscar la fundamental. ¿còmo buscar la soluciòn del problema?soluciòn del problema?

¿¿Què significa resolver un Què significa resolver un problema de matemàticasproblema de matemàticas??

En primera instancia resolver un En primera instancia resolver un problema significa encontrar la problema significa encontrar la respuesta del mismo.respuesta del mismo.

Encontrar la respuesta no significa que Encontrar la respuesta no significa que se ha resuelto el problema.se ha resuelto el problema.

Resolver un problema significa seguir Resolver un problema significa seguir un proceso hasta encontrar la un proceso hasta encontrar la respuesta.respuesta.

¿¿Qué significa resolver un Qué significa resolver un problema de matemáticasproblema de matemáticas??

Ejemplo 1 de resolución de Ejemplo 1 de resolución de un problemaun problema::Descomponer en factores Descomponer en factores el polinomio:el polinomio:

Soluciòn: Con base en las Soluciòn: Con base en las propiedades transitiva y propiedades transitiva y asociativa, el polinomio asociativa, el polinomio puede ser escrito en la puede ser escrito en la siguiente forma:siguiente forma:

xxxx 4624 23

)246()4(4624 2323 xxxxxxxx (1)

¿¿Qué significa resolver un Qué significa resolver un problema de matemáticasproblema de matemáticas??

Aplicamos a cada Aplicamos a cada expresiòn entre expresiòn entre parèntesis en el parèntesis en el miembro izquierdo miembro izquierdo de la igualdad la de la igualdad la regla de extracciòn regla de extracciòn de factor comùn.de factor comùn.

)4(6)4()246()4( 2223 xxxxxxx (2)

¿¿Qué significa resolver un Qué significa resolver un problema de matemáticasproblema de matemáticas??

Ahora, si consideramos Ahora, si consideramos a como factor a como factor comùn y mediante la comùn y mediante la misma regla de misma regla de extracciòn de factor extracciòn de factor comùn, la expresiòn comùn, la expresiòn del miembro derecho del miembro derecho puede ser puede ser presentada en la presentada en la siguiente forma:siguiente forma:

42 x

)6)(4()4(6)4( 222 xxxxx (3)

¿Qué significa resolver un ¿Qué significa resolver un problema de matemáticas?problema de matemáticas?

Queda solamente Queda solamente aplicar a la expresiòn aplicar a la expresiòn contenida en el contenida en el primer parèntesis del primer parèntesis del miembro derecho, la miembro derecho, la regla para regla para descomponer en descomponer en factores una factores una diferencia de diferencia de cuadrados:cuadrados: )6)(2)(2()6)(4( 2 xxxxx

(4)

¿¿Qué significa resolver un Qué significa resolver un problema de matemáticasproblema de matemáticas??

Si ahora comparamos las Si ahora comparamos las igualdades 1, 2, 3 y 4, y igualdades 1, 2, 3 y 4, y observamos que el miembro observamos que el miembro derecho de cada una de las derecho de cada una de las tres primeras igualdades es tres primeras igualdades es idèntico al miembro izquierdo idèntico al miembro izquierdo de la igualdad que le sigue, de la igualdad que le sigue, con base en la propiedad con base en la propiedad transitiva de igualdades, transitiva de igualdades, obtenemos que el miembro obtenemos que el miembro izquierdo de la primera izquierdo de la primera igualdad es igual al miembro igualdad es igual al miembro derecho de la ùltima, es derecho de la ùltima, es decir,decir,

..

.. )6)(2)(2(4624 23 xxxxxx

Con esto el polinomio dado ha sido descompuesto en factores y, por consiguiente, el problema ha quedado resuelto

¿¿Qué significa resolver un Qué significa resolver un problema de matemáticasproblema de matemáticas??

Si analizamos atentamente la resoluciòn Si analizamos atentamente la resoluciòn del problema, podemos advertir que èsta del problema, podemos advertir que èsta consiste en una serie de pasos, y que consiste en una serie de pasos, y que cada paso de la resoluciòn consiste en la cada paso de la resoluciòn consiste en la aplicaciòn de un cierto principio de las aplicaciòn de un cierto principio de las matemàticas (una regla, una identidad, matemàticas (una regla, una identidad, una ley, una fòrmula) a las diferentes una ley, una fòrmula) a las diferentes condiciones del problema o a las condiciones del problema o a las consecuencias obtenidas a partir de consecuencias obtenidas a partir de dichas condiciones.dichas condiciones.

¿¿Qué significa resolver un Qué significa resolver un problema de matemáticasproblema de matemáticas??

La resolución del La resolución del problema anterior problema anterior puede puede representarse en el representarse en el siguiente esquema:siguiente esquema:

¿¿Qué significa resolver un Qué significa resolver un problema de matemáticasproblema de matemáticas??

Ejemplo 2 de resolución de un problema:Ejemplo 2 de resolución de un problema:Las longitudes de las bases de un trapecio son 4 cm y 10 cm. Encontrar las Las longitudes de las bases de un trapecio son 4 cm y 10 cm. Encontrar las

longitudes de los segmentos en las cuales divide a la linea media de este longitudes de los segmentos en las cuales divide a la linea media de este trapecio una de las diagonales.trapecio una de las diagonales.

Soluciòn:Soluciòn:

Como es sabido, la linea media de un trapecio es Como es sabido, la linea media de un trapecio es paralela a las bases de èste. Esto significa que paralela a las bases de èste. Esto significa que MN//ABMN//AB y y MN// CDMN// CD. La diagonal . La diagonal ACAC. La diagonal . La diagonal ACAC divide el divide el trapecio en dos triàngulos. Veamos cada triàngulo. En trapecio en dos triàngulos. Veamos cada triàngulo. En el triangulo el triangulo ABCABC el segmento el segmento NKNK es una lìnea media, es una lìnea media, ya que ya que NKNK, como parte del segmento , como parte del segmento MNMN, es paralelo , es paralelo a a ABAB, y el punto medio N por la condiciòn del , y el punto medio N por la condiciòn del problema es el punto medio del lado BC. Pero la problema es el punto medio del lado BC. Pero la longitud de la lìnea media de un trìangulo es igual a longitud de la lìnea media de un trìangulo es igual a lam mitad de la base. Esto quiere decir que lam mitad de la base. Esto quiere decir que

KNKN = ½ de = ½ de ABAB, y ya que , y ya que ABAB= 10 cm, entonces = 10 cm, entonces KNKN= 5 = 5 cm.cm.

Anàlogamente, si se considera el triàngulo Anàlogamente, si se considera el triàngulo ACDACD, nos , nos convenceremos de que convenceremos de que MKMK es la lìnea media de este es la lìnea media de este trìangulo y por ello trìangulo y por ello MKMK= ½ de = ½ de CDCD, pero , pero CDCD = 4cm, y = 4cm, y por consiguiente, por consiguiente, MKMK = 2 cm. = 2 cm.

Asì puès, las longitudes buscadas de los segmentos han Asì puès, las longitudes buscadas de los segmentos han sido encontradas, y el problema ha quedado resuelto.sido encontradas, y el problema ha quedado resuelto.

La resoluciòn se puede presentar en forma de esquema:

INICIO

La estructura del proceso de La estructura del proceso de resoluciòn de un problemaresoluciòn de un problema

¿Cuàles son las etapas que conforman al ¿Cuàles son las etapas que conforman al proceso de resoluciòn de un problema?proceso de resoluciòn de un problema?

Al recibir un problema debemos:Al recibir un problema debemos:Entender de que trata el problema.Entender de que trata el problema.Cuàles son sus condiciones.Cuàles son sus condiciones.En què consisten sus requerimientos.En què consisten sus requerimientos.

Este anàlisis constituye la Este anàlisis constituye la primera etapaprimera etapa del proceso re resoluciòn del problema.del proceso re resoluciòn del problema.

La estructura del proceso de La estructura del proceso de resoluciòn de un problemaresoluciòn de un problema

Este anàlisis puede escribirse de diversas formas Este anàlisis puede escribirse de diversas formas esquemàticas, y cuya elaboraciòn constituye la esquemàticas, y cuya elaboraciòn constituye la segunda etapasegunda etapa del proceso de resoluciòn.del proceso de resoluciòn.

Estas dos etapas son necesarias para encontrar el Estas dos etapas son necesarias para encontrar el mètodo o modo de resolverso.mètodo o modo de resolverso.

La bùsqueda de dicho mètodo constituye la La bùsqueda de dicho mètodo constituye la tercera tercera etapaetapa del proceso de resoluciòn.del proceso de resoluciòn.

La aplicaciòn del mètodo de resoluciòn constituye la La aplicaciòn del mètodo de resoluciòn constituye la cuarta etapacuarta etapa del proceso de resoluciòn.del proceso de resoluciòn.

La prueba de la soluciòn constituye la La prueba de la soluciòn constituye la quinta etapaquinta etapa del proceso de resoluciòn.del proceso de resoluciòn.

La estructura del proceso de La estructura del proceso de resoluciòn de un problemaresoluciòn de un problema

Realizar una investigaciòn del problema constituye Realizar una investigaciòn del problema constituye la la sexta etapasexta etapa del proceso de resoluciòn.del proceso de resoluciòn.

La formulaciòn de manera precisa de la respuesta La formulaciòn de manera precisa de la respuesta al problema es la al problema es la sèptima etapasèptima etapa del proceso de del proceso de resoluciòn.resoluciòn.

El anàlisis de la soluciòn obtenida, en particular, El anàlisis de la soluciòn obtenida, en particular, determinar si existe otro modo màs racional, para determinar si existe otro modo màs racional, para resolver el problema, si es posible geberalizar el resolver el problema, si es posible geberalizar el problema, cuàles son las conclusiones que se problema, cuàles son las conclusiones que se pueden obtener de la soluciòn. Todo esto es la pueden obtener de la soluciòn. Todo esto es la ùltima estapaùltima estapa, aunque no obligatoria., aunque no obligatoria.

La estructura del proceso de La estructura del proceso de resoluciòn de un problemaresoluciòn de un problema

En resumen, el proceso de resolución de un En resumen, el proceso de resolución de un problema se puede dividir en ocho etapas:problema se puede dividir en ocho etapas:

1ª Análisis del problema.1ª Análisis del problema.2ª Escritura esquemàtica del problema.2ª Escritura esquemàtica del problema.3ª Bùsqueda del mètodo de resoluciòn del problema.3ª Bùsqueda del mètodo de resoluciòn del problema.4ª Aplicaiòn del mètodo de resoluciòn.4ª Aplicaiòn del mètodo de resoluciòn.5ª Prueba de la soluciòn del problema.5ª Prueba de la soluciòn del problema.6ª Anàlisis del problema.6ª Anàlisis del problema.7ª Formulaciòn de la respuesta al problema.7ª Formulaciòn de la respuesta al problema.8ª Anàlisis de la resoluciòn del problema.8ª Anàlisis de la resoluciòn del problema.

La estructura del proceso de La estructura del proceso de resoluciòn de un problemaresoluciòn de un problema

Un ejemplo para mostrar el procesoUn ejemplo para mostrar el proceso::

Problema: Problema: Una lancha recorrió la Una lancha recorrió la distancia entre dos muelles sobre un río distancia entre dos muelles sobre un río a favor de la corriente en 6 h, mientras a favor de la corriente en 6 h, mientras que el camino de regreso lo realizó en 8 que el camino de regreso lo realizó en 8 h. ¿En cuánto tiempo recorrerá la h. ¿En cuánto tiempo recorrerá la distancia entre los muelles una balsa distancia entre los muelles una balsa que es arrastrada por la corriente del que es arrastrada por la corriente del río?río?

Etapas del proceso de Etapas del proceso de resoluciòn del problemaresoluciòn del problema

1ª :1ª :Anàlisis del problema:Anàlisis del problema:Se habla de dos objetos: la lancha y la balsa.Se habla de dos objetos: la lancha y la balsa.La lancha tiene velocidad propia, mientras que La lancha tiene velocidad propia, mientras que

la corriente del rìo tiene una cierta velocidad.la corriente del rìo tiene una cierta velocidad.Estas dos velocidades no estàn dadas. Estas dos velocidades no estàn dadas. Lo mismo ocurre con la distancia entre los Lo mismo ocurre con la distancia entre los

muelles.muelles.Sin embargo, el ùnico requerimiento es el Sin embargo, el ùnico requerimiento es el

tiempo en el cual la balsa recorrerà la tiempo en el cual la balsa recorrerà la distancia desconocida entre los muelles.distancia desconocida entre los muelles.

2ª Escritura esquemàtica del 2ª Escritura esquemàtica del problemaproblema

3ª Bùsqueda del mètodo de 3ª Bùsqueda del mètodo de resoluciòn del problema.resoluciòn del problema.Se necesita encontrar el tiempo en el cual la balsa Se necesita encontrar el tiempo en el cual la balsa

recorre la distancia entre los muelles A y B. Puesto recorre la distancia entre los muelles A y B. Puesto que esta distancia depende de la velocidad de la que esta distancia depende de la velocidad de la corriente del rìo y de la distancia AB, y relacionarla corriente del rìo y de la distancia AB, y relacionarla a su vez con la velocidad de la mlancha y estas a su vez con la velocidad de la mlancha y estas son desconocidas (son desconocidas (datos indeterminadosdatos indeterminados), es ), es necesario simbolizarlos con letras.necesario simbolizarlos con letras.

De este anàlìsis, surge de manera natural el plan de De este anàlìsis, surge de manera natural el plan de resoluciòn. Formular un sistema de ecuaciones con resoluciòn. Formular un sistema de ecuaciones con respecto a las incògnitas desconocidas a saber:respecto a las incògnitas desconocidas a saber:

Velocidad de la corriente:Velocidad de la corriente: a km/ha km/hVelocidad de la lancha:Velocidad de la lancha: v km/hv km/hDistancia AB:Distancia AB: s kms km

4ª Resoluciòn del problema.4ª Resoluciòn del problema.

Entonces, la velocidad de la lancha a favor de la Entonces, la velocidad de la lancha a favor de la corriente del rìo serà igual a corriente del rìo serà igual a ((v+a)km/h.v+a)km/h.

En En 6 h6 h, moviendòse a esta velocidad, recorre la , moviendòse a esta velocidad, recorre la distancia distancia AB AB igual a igual a s km. Por lo tanto,s km. Por lo tanto,

6(v+a)=s6(v+a)=s (1)(1)Contra la corriente la lancha desarrolla una velocidad Contra la corriente la lancha desarrolla una velocidad

igual a igual a (v-a)km/h (v-a)km/h y el recorrido y el recorrido ABAB de de s kms km lo hace lo hace en en 8 h8 h, por esto, por esto

8(a-v)=s8(a-v)=s (2)(2)Por ùltimo, la balsa navega con una velocidad Por ùltimo, la balsa navega con una velocidad a km/ha km/h

y recorre la distancia s en y recorre la distancia s en x hx h y, por consiguiente y, por consiguienteax=sax=s (3)(3)

Las ecuaciones Las ecuaciones ((1), (2) y (3) 1), (2) y (3) forman un forman un sistema de ecuaciones cuyas incògnitas son sistema de ecuaciones cuyas incògnitas son s, a, v s, a, v yy x. x. Ya que se requiere encontrar Ya que se requiere encontrar solamente solamente x. x. debemos eliminar las debemos eliminar las incògnitas restantes.incògnitas restantes.

Para esto, de las ecuaciones Para esto, de las ecuaciones 2) y (3) 2) y (3) encontramosencontramos v+a=s/6,v+a=s/6, v-a=s/8v-a=s/8

Restando la segunda ecuaciòn de la primera Restando la segunda ecuaciòn de la primera obtenemosobtenemos

2a=s/6 – s/8, 2a=s/6 – s/8, de donde de donde a=s/48a=s/48Sustituyendo esta ùltima expresiòn en la Sustituyendo esta ùltima expresiòn en la

ecuaciòn ecuaciòn (3) (3) para para aa(s/48).x=s(s/48).x=s

Puesto que s no es igual a cero. Se tiene que Puesto que s no es igual a cero. Se tiene que x= 48 hx= 48 h

Los problema característicos y Los problema característicos y su resoluciónsu resoluciónSon un tipo de problemas para los cuales existe en Son un tipo de problemas para los cuales existe en

cursos escolares de matemática, reglas o cursos escolares de matemática, reglas o principios generales que determinan de alguna principios generales que determinan de alguna manera el algoritmo para su resolución manera el algoritmo para su resolución (concatenar las condiciones o sus consecuencias).(concatenar las condiciones o sus consecuencias).

En matemáticas, las reglas que nos permiten En matemáticas, las reglas que nos permiten encontrar la concatenación de pasos para encontrar la concatenación de pasos para resolver cualquier problema, se formulan de resolver cualquier problema, se formulan de diversas maneras. Algunos ejemplos de tales diversas maneras. Algunos ejemplos de tales reglas son:reglas son: INICIO

Regla verbalRegla verbal. . Ej; La regla para encontrar la potencia del producto: Ej; La regla para encontrar la potencia del producto: ”La ”La

potencia de un producto es igual al producto de las potencia de un producto es igual al producto de las potencias de los multiplicandos”potencias de los multiplicandos”

Esta regla permite elaborar un algoritmo o concatenación de Esta regla permite elaborar un algoritmo o concatenación de pasos, para resolver cualquier problema que consista en pasos, para resolver cualquier problema que consista en encontrar la potencia de un producto.encontrar la potencia de un producto.

Regla-fórmula.Regla-fórmula.Ej; Ej; La fórmula que sirve para encontrar las raices de la La fórmula que sirve para encontrar las raices de la

ecuación cuadrática.ecuación cuadrática. Regla-identidad.Regla-identidad.

Ej; Ej; La identidad para el binomio al cuadradoLa identidad para el binomio al cuadrado Regla –teorema.Regla –teorema.Ej; Ej; La líné media del trapecio es paralela a sus bases, y su La líné media del trapecio es paralela a sus bases, y su

longitud es igual a la semisuma de las longitudes de las longitud es igual a la semisuma de las longitudes de las bases.bases.

Regla-definición. Regla para la resolución de un sistema de Regla-definición. Regla para la resolución de un sistema de inecuaciones en una variable: inecuaciones en una variable: ““El valor de la variable bajo el El valor de la variable bajo el cual cada una de las desigualdades del sistema se cual cada una de las desigualdades del sistema se transforman en una desigualdad numérica verdadera, se transforman en una desigualdad numérica verdadera, se llama solución del sistemallama solución del sistema””

Los problema no Los problema no característicos y su resolucióncaracterísticos y su resoluciónLos problemas no característicos son aquellos, para Los problemas no característicos son aquellos, para

los cuales en el curso de matemáticas no se dispone los cuales en el curso de matemáticas no se dispone de reglas o principios generales que determinen de de reglas o principios generales que determinen de manera exacta un algoritmo para su resolución.manera exacta un algoritmo para su resolución.

Ejemplos de algunos problemas:Ejemplos de algunos problemas:

Ej; 1. Ej; 1. Unos turista planeaban cubrir la distancia Unos turista planeaban cubrir la distancia desde un rio hasta el campamento en 6 h. Sin desde un rio hasta el campamento en 6 h. Sin embargo, luego de 2 h de recorrido disminuyen la embargo, luego de 2 h de recorrido disminuyen la velocidad en 0,5 km/h y como resultado tuvieron un velocidad en 0,5 km/h y como resultado tuvieron un retrazo de 30 minutos. ¿A qué velocidad iban los retrazo de 30 minutos. ¿A qué velocidad iban los turistas inicialmente?turistas inicialmente?

INICIO

CONCLUSIONESCONCLUSIONES

En la resolución de cualquier problema de matemáticas se identifican básicamente En la resolución de cualquier problema de matemáticas se identifican básicamente dos elementos, las condiciones y los requerimientos.dos elementos, las condiciones y los requerimientos.

Resolver un problema no solo significa encontrar la respuesta a los requerimientos. Resolver un problema no solo significa encontrar la respuesta a los requerimientos. Significa llevar a cabo un proceso para encontrar la respuesta.Significa llevar a cabo un proceso para encontrar la respuesta.

El autor presenta una manera de sistematizar la resolución de un problema de El autor presenta una manera de sistematizar la resolución de un problema de matemáticas.matemáticas.

No basta con tener buenos conocimientos para resolver un problema de No basta con tener buenos conocimientos para resolver un problema de matemáticas. Se requiere además de esto, identificar un algoritmo que permita matemáticas. Se requiere además de esto, identificar un algoritmo que permita concatenar las condiciones del problema y sus consecuencias.concatenar las condiciones del problema y sus consecuencias.

Una de las etapas más importantes en proceso de resolución de problemas es la del Una de las etapas más importantes en proceso de resolución de problemas es la del análisis. Puesto que en ella se establece el método para su resolución.análisis. Puesto que en ella se establece el método para su resolución.

Existen algunas reglas generales de la matemática que permiten concatenar las Existen algunas reglas generales de la matemática que permiten concatenar las condiciones de un problema y de sus consecuencias. Tales reglas son acertadas en condiciones de un problema y de sus consecuencias. Tales reglas son acertadas en los problemas “caractéristicos”los problemas “caractéristicos”

Existen problemas en los cuales las reglas generales no permiten identificar un Existen problemas en los cuales las reglas generales no permiten identificar un algoritmo para su resolución.algoritmo para su resolución.

Hay que enseñar no solo contenidos sino tambien como relacionarlso, para identificar Hay que enseñar no solo contenidos sino tambien como relacionarlso, para identificar métodos de resolución de problemas.métodos de resolución de problemas.

Los estudiantes fracasan en los examenes de ingreso al la educación superior porque Los estudiantes fracasan en los examenes de ingreso al la educación superior porque nos se les enseña como usar el conocimiento. Ejemplo Pruebas de apttitud nos se les enseña como usar el conocimiento. Ejemplo Pruebas de apttitud Académica, pruebas ICFES.Académica, pruebas ICFES.

Lic. Walter Byron Pineda Isaza

C-13 4774 006