Lectio Praecursoria: Epälokaali epälineaarinen ...math.aalto.fi/home/jkorvenp/lektio.pdf ·...

Lectio Praecursoria:Epälokaali epälineaarinen potentiaaliteoriaja fraktionaaliset integraalioperaattoritJanne KorvenpääMatematiikan ja systeemianalyysin laitosAalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu

18.11.2016

Lectio Praecursoria18.11.2016

2/34

Lokaali ja lineaarinen: Laplacen yhtälö

I Yksi tyypillisimpiä osittaisdifferentiaaliyhtälöitä.I Tavoitteena etsiä n:n muuttujan funktio u siten, että

∆u =∂2u∂x2

1+∂2u∂x2

2+ · · ·+ ∂2u

∂x2n

= 0 joukossa Ω ⊂ Rn.

∆ on nimeltään Laplacen operaattori.I Fysiikassa Ω on usein 2- tai 3-ulotteinen kappale.I Mallintaa useita fysiikan ilmiöitä kappaleessa Ω:

I lämpötilan jakautumista tasapainotilassa,I sähköpotentiaalia tasapainotilassa,I aaltoliikkeen tasapainotilaa.


3/34



∆u =∂2u∂x2

1+∂2u∂x2

2+ · · ·+ ∂2u

∂x2n


∆ on nimeltään Laplacen operaattori.

I Fysiikassa Ω on usein 2- tai 3-ulotteinen kappale.I Mallintaa useita fysiikan ilmiöitä kappaleessa Ω:



4/34



∆u =∂2u∂x2

1+∂2u∂x2

2+ · · ·+ ∂2u

∂x2n


∆ on nimeltään Laplacen operaattori.I Fysiikassa Ω on usein 2- tai 3-ulotteinen kappale.I Mallintaa useita fysiikan ilmiöitä kappaleessa Ω:



5/34

Laplacen yhtälön reuna-arvo-ongelmaI Yksi tyypillisimmistä tilanteista on, että funktion u arvo

tunnetaan joukon Ω reunalla ∂Ω.I Esim. kappaleen sähköpotentiaali on mitattu sen reunalla ja

halutaan selvittää sähköpotentiaalijakauma kappaleensisällä.

I Funktio u ratkaistavissa yksikäsitteisesti, kunhanreunakäyttäytyminen ei tavattoman monimutkaista.

∆u = 0 Ω:ssau = ?

∂Ω:llau


6/34

1-ulotteinen Laplacen yhtälöI Differentiaaliyhtälö u′′(x) = 0.

I

⇒ u′(x) = a ⇒ u(x) = ax + b

joillakin vakioilla a ja b.

x

u′

x

u


7/34

1-ulotteinen Laplacen yhtälöI Differentiaaliyhtälö u′′(x) = 0.I

⇒ u′(x) = a ⇒ u(x) = ax + b

joillakin vakioilla a ja b.

x

u′

x

u


8/34

1-ulotteinen reuna-arvo-ongelmaI Ω = (−1,1), ∂Ω = −1,1.I u(−1) = −1, u(1) = 1; v(−1) = −0.5, v(1) = 2.I ∆u = 0 joukossa Ω; ∆v = 0 joukossa Ω.

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

x

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

u

u:n reuna-arvot

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

x

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

v

v :n reuna-arvot


9/34

1-ulotteinen reuna-arvo-ongelmaI Ω = (−1,1), ∂Ω = −1,1.I u(−1) = −1, u(1) = 1; v(−1) = −0.5, v(1) = 2.I ∆u = 0 joukossa Ω; ∆v = 0 joukossa Ω.

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

x

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

u

u:n kuvaaja

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

x

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

v

v :n kuvaaja


10/34

Epälokaali: fraktionaalinen Laplacen yhtälö

I Fraktionaalinen→ derivointien kertaluku ei kokonaisluku.

I Voidaan määritellä Fourierin muunnoksen F avulla, jokamuuntaa derivoinnin kertolaskuksi taajuuspuolelle;

I F (−∆u) = |ξ|2Fu, ξ ∈ Rn on taajuuspuolen muuttuja.I Fraktionaalinen Laplacen yhtälö kertaluvulla s ∈ (0,1):

(−∆)su = F−1(|ξ|2sFu) = 0.

I Esiintyy useiden pitkäkantamaisten ilmiöidenmallinnuksessa mm. fysiikassa, materiaalitieteissä jafinanssimatematiikassa:

I Qvasigeostrofiset virtausmallit,I Huokoisen aineen diffuusiomallit,I Amerikkalaisten optioiden hinnoittelumallit.


11/34


I Fraktionaalinen→ derivointien kertaluku ei kokonaisluku.I Voidaan määritellä Fourierin muunnoksen F avulla, joka

muuntaa derivoinnin kertolaskuksi taajuuspuolelle;I F (−∆u) = |ξ|2Fu, ξ ∈ Rn on taajuuspuolen muuttuja.

I Fraktionaalinen Laplacen yhtälö kertaluvulla s ∈ (0,1):

(−∆)su = F−1(|ξ|2sFu) = 0.




12/34


I Fraktionaalinen→ derivointien kertaluku ei kokonaisluku.I Voidaan määritellä Fourierin muunnoksen F avulla, joka

muuntaa derivoinnin kertolaskuksi taajuuspuolelle;I F (−∆u) = |ξ|2Fu, ξ ∈ Rn on taajuuspuolen muuttuja.

I Fraktionaalinen Laplacen yhtälö kertaluvulla s ∈ (0,1):

(−∆)su = F−1(|ξ|2sFu) = 0.




13/34


I Fraktionaalinen Laplacen yhtälö voidaan esittää myösintegraalidifferentiaaliyhtälönä

(−∆)su(x) =

∫Rn

u(x)− u(y)

|x − y |n+2s dy = 0.

I Epälokaalisuus→ integraalin vuoksi (−∆)su(x) riippuufunktion u arvoista myös kaukana pisteestä x , eiainoastaan x :n lähiympäristössä kuten derivaatoistakoostuva ∆u(x).


14/34


I Fraktionaalinen Laplacen yhtälö voidaan esittää myösintegraalidifferentiaaliyhtälönä

(−∆)su(x) =

∫Rn

u(x)− u(y)

|x − y |n+2s dy = 0.

I Epälokaalisuus→ integraalin vuoksi (−∆)su(x) riippuufunktion u arvoista myös kaukana pisteestä x , eiainoastaan x :n lähiympäristössä kuten derivaatoistakoostuva ∆u(x).


15/34

Epälokaali satunnaiskävely

I Jos u(x) kuvaa satunnaiskävelyn todennäköisyys-jakaumaa olla pisteessä x , niin

I Lokaalille satunnaiskävelylle (Brownin liike) ∆u = 0,I Eräälle epälokaalille satunnaiskävelylle (−∆)su = 0.


16/34

Epälokaali satunnaiskävelyI Jos u(x) kuvaa satunnaiskävelyn todennäköisyys-

jakaumaa olla pisteessä x , niinI Lokaalille satunnaiskävelylle (Brownin liike) ∆u = 0,I Eräälle epälokaalille satunnaiskävelylle (−∆)su = 0.


17/34

Epälokaali reuna-arvo-ongelma

I Fraktionaaliselle Laplacen yhtälölle "reuna-arvot" ontunnettava koko joukon Ω ulkopuolisessa osassa Rn \ Ω,jotta ratkaisun voi määrittää yksikäsitteisesti.

(−∆)su = 0 Ω:ssau = ?

(Rn \ Ω):llau


18/34

Epälokaali reuna-arvo-ongelma

I Fraktionaaliselle Laplacen yhtälölle "reuna-arvot" ontunnettava koko joukon Ω ulkopuolisessa osassa Rn \ Ω,jotta ratkaisun voi määrittää yksikäsitteisesti.

(−∆)su = 0 Ω:ssau = ?

(Rn \ Ω):llau


19/34

1-ulotteinen epälokaali reuna-arvo-ongelmaI Ω = (−1,1), R \ Ω = (−∞,−1] ∪ [1,∞).I u(x) = x (R \ Ω):lla; v(x) = maxx ,−1 (R \ Ω):lla.I (−∆)2/3u = 0 joukossa Ω; (−∆)2/3v = 0 joukossa Ω.

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

x

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

u

u:n reuna-arvot

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

x

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

v

v :n reuna-arvot


20/34

1-ulotteinen epälokaali reuna-arvo-ongelmaI Ω = (−1,1), R \ Ω = (−∞,−1] ∪ [1,∞).I u(x) = x (R \ Ω):lla; v(x) = maxx ,−1 (R \ Ω):lla.I (−∆)2/3u = 0 joukossa Ω; (−∆)2/3v = 0 joukossa Ω.

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

x

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

u

u:n kuvaaja

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

x

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

v

v :n kuvaaja


21/34

Vertailuperiaate

I Jos u ja v Laplacen yhtälön ratkaisuja joukossa Ω ja u ≤ vreunalla ∂Ω, niin u ≤ v myös joukossa Ω.

I Pätee paljon yleisemmillekin lokaaleille yhtälöille.

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

x

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

u

u:n kuvaaja

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

x

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

v

v :n kuvaaja


22/34

VertailuperiaateI Jos u ja v Laplacen yhtälön ratkaisuja joukossa Ω ja u ≤ v

reunalla ∂Ω, niin u ≤ v myös joukossa Ω.I Pätee paljon yleisemmillekin lokaaleille yhtälöille.

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

x

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

u

u:n kuvaaja

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

x

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

v

v :n kuvaaja


23/34

Epälokaali vertailuperiaateI Jos u ja v fraktionaalisen Laplacen yhtälön ratkaisuja

joukossa Ω ja u ≤ v joukon Ω ulkopuolella, niin u ≤ v myösjoukossa Ω.

I Pätee paljon yleisemmillekin epälokaaleille yhtälöille.

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

x

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

u

u:n kuvaaja

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

x

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

v

v :n kuvaaja


24/34

Yleisempi epälokaali yhtälö

∫Rn

u(x)− u(y)

|x − y |n+2s dy = 0 →∫Rn

(u(x)− u(y)

)K (x , y) dy = 0,

mikä vastaa epälokaalin satunnaiskävelyn siirtymä-todennäköisyysjakauman muuttamista.

→∫Rn|u(x)− u(y)|p−2(u(x)−u(y)

)K (x , y) dy = 0, 1 < p <∞,

mikä muuttaa yhtälön epälineaariseksi; FraktionaalinenLaplacen yhtälö on lineaarinen:(−∆)s(u + v) = (−∆)su + (−∆)sv , mutta yllä olevalle vastaavaei päde, kun p 6= 2.


25/34

Yleisempi epälokaali yhtälö

∫Rn

u(x)− u(y)

|x − y |n+2s dy = 0 →∫Rn

(u(x)− u(y)

)K (x , y) dy = 0,

mikä vastaa epälokaalin satunnaiskävelyn siirtymä-todennäköisyysjakauman muuttamista.

→∫Rn|u(x)− u(y)|p−2(u(x)−u(y)

)K (x , y) dy = 0, 1 < p <∞,

mikä muuttaa yhtälön epälineaariseksi; FraktionaalinenLaplacen yhtälö on lineaarinen:(−∆)s(u + v) = (−∆)su + (−∆)sv , mutta yllä olevalle vastaavaei päde, kun p 6= 2.


26/34

Epälokaali epälineaarinen potentiaaliteoria

I Väitöskirjassa kehitetään potentiaaliteoriaa yhtälöille

Lu(x) =

∫Rn|u(x)− u(y)|p−2(u(x)− u(y)

)K (x , y) dy = 0.

I Yksi keskeisistä kysymyksistä: miten u:n "reuna-arvot" Ω:nulkopuolella sekä joukon Ω ⊂ Rn muoto vaikuttavatjärkevän ratkaisun olemassaoloon.

I Haasteita aiheuttavat sekä yhtälön epälokaalikäyttäytyminen että sen epälineaarisuus.


27/34



Lu(x) =

∫Rn|u(x)− u(y)|p−2(u(x)− u(y)

)K (x , y) dy = 0.




28/34



Lu(x) =

∫Rn|u(x)− u(y)|p−2(u(x)− u(y)

)K (x , y) dy = 0.




29/34


I Vertailuperiaatteet keskeisessä osassa; voimassa yhtälölleLu = 0.

I Ratkaisujen sijaan tarkastellaan super- ja subratkaisuja:Lu ≥ 0 ja Lu ≤ 0.

I Erilaiset heikommat ratkaisun käsitteet:I Heikot (super/sub)ratkaisut,I (s,p)-(super/sub)harmoniset funktiot,I (s,p)-viskositeetti(super/sub)ratkaisut.


30/34


I Vertailuperiaatteet keskeisessä osassa; voimassa yhtälölleLu = 0.

I Ratkaisujen sijaan tarkastellaan super- ja subratkaisuja:Lu ≥ 0 ja Lu ≤ 0.

I Erilaiset heikommat ratkaisun käsitteet:I Heikot (super/sub)ratkaisut,I (s,p)-(super/sub)harmoniset funktiot,I (s,p)-viskositeetti(super/sub)ratkaisut.


31/34

Julkaisu III

I Tutkitaan yhtälöön Lu = 0 liittyvää ns. esteongelmaa.I Esteongelma keskeinen työkalu potentiaaliteoriassa.

I Johdetaan olemassaolo- ja säännöllisyystuloksiaesteongelman ratkaisulle.

-2 -1 0 1 2 3 4

x

-2

-1

0

1

2

3

4

u

u:n reuna-arvot ja este

-2 -1 0 1 2 3 4

x

-2

-1

0

1

2

3

4

u

u:n kuvaaja


32/34

Julkaisu IIII Tutkitaan yhtälöön Lu = 0 liittyvää ns. esteongelmaa.

I Esteongelma keskeinen työkalu potentiaaliteoriassa.I Johdetaan olemassaolo- ja säännöllisyystuloksia

esteongelman ratkaisulle.

-2 -1 0 1 2 3 4

x

-2

-1

0

1

2

3

4

u

u:n reuna-arvot ja este

-2 -1 0 1 2 3 4

x

-2

-1

0

1

2

3

4

u

u:n kuvaaja


33/34

Julkaisu IV

I Tutkitaan heikkoja superratkaisuja ja johdetaan niillekeskeisiä ominaisuuksia.

I Määritellään (s,p)-superharmonisten funktioiden käsite jajohdetaan niille keskeisiä tuloksia.

I Kehitetään epälokaali versio ns. Perronin menetelmästä.I Saadaan yhtälölle Lu = 0 teoreettinen ratkaisu, ns.

Perronin ratkaisu, hyvin yleisillä oletuksilla reuna-arvoista.I Näytetään Perronin ratkaisun olevan tyypillisen ratkaisun

käsitteen yleistys.


34/34

Julkaisu V

I Tutkitaan eri ratkaisun käsitteiden yhtenevyyttä yhtälölleLu = 0.

I Määritellään (s,p)-viskositeettisuperratkaisujen käsite jajohdetaan keskeisiä ominaisuuksia.

I Näytetään, että (s,p)-superharmonisten funktioiden ja(s,p)-viskositeettisuperratkaisujen luokat ovat hyvinyleisillä oletuksilla samat.

I Kun tarkastellaan vain rajoitettuja ratkaisuja, niin myösheikkojen superratkaisujen luokka yhtälölle Lu = 0 onsama kuin kaksi yllä olevaa.

Date post:	17-Aug-2020
Category:	Documents
Upload:	others
View:	1 times
Download:	0 times

Lectio Praecursoria: Epälokaali epälineaarinen ...math.aalto.fi/home/jkorvenp/lektio.pdf ·...

Documents