lib.sumdu.edu.ualib.sumdu.edu.ua/library/docs/rio/2011/m3137.pdf · Міністерство...

Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України

Сумський держаний університет

Шосткинський інститут

3137 МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

до практичних занять

на тему «Розрахунок простих електричних

кіл змінного струму»

з дисципліни «Теорія електричних та магнітних кіл»

для студентів напряму 0502 «Системна інженерія»

спеціальності 6.050201 «Комп’ютеризовані системи управління

та автоматика»

усіх форм навчання

Суми

Сумський державний університет

2011

2

Методичні вказівки до практичних занять на тему «Розра-

хунок простих електричних кіл змінного струму» з дисципліни

«Теорія електричних та магнітних кіл» / укладач А. В. Булашен-

ко. – Суми: Сумський державний університет, 2011. – 164 с.

Кафедра системотехніки та інформаційних технологій

ШІ СумДУ

3

Зміст

С.

1. МЕТА І ЗАВДАННЯ МЕТОДИЧНИХ ВКАЗІВОК ................. 4

2. ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ КІЛ ЗМІННОГО СТРУМУ .................. 4 3. РЕАКТИВНІ ЕЛЕМЕНТИ У КОЛАХ ГАРМОНІЧНОГО

СТРУМУ ...................................................................................... 30 3.1. Котушка індуктивності ..................................................... 30

3.2. Конденсатор ...................................................................... 34 3.3. Опори та провідності у колах гармонічного струму ....... 38

3.3. Задачі для самостійного розв’язання ............................... 44 4 ОСНОВНІ ЗАКОНИ ЕЛЕКТРИЧНИХ КІЛ ГАРМОНІЧНОГО

СТРУМУ ...................................................................................... 45 4.1 Закон Ома для кіл гармонічного струму ........................... 45

4.2 Закони Кірхгофа для кіл гармонічного струму................. 47 4.3. Перехід від послідовної схеми до паралельної ............... 49

5. ПОТУЖНІСТЬ У КОЛАХ ГАРМОНІЧНОГО СТРУМУ ...... 49 6 РОЗРАХУНОК ПРОСТИХ КІЛ ГАРМОНІЧНОГО СТРУМУ 54

7. ЕЛЕКТРИЧНІ КОЛА ІЗ КОТУШКАМИ ІЗ ВЗАЄМНОЮ

ІНДУКЦІЄЮ ............................................................................... 86

7.1. Розрахунок простих кіл символічним методом ............... 86 7.2. Приклади розв’язування задач ......................................... 89

8 КОМПЛЕКСНИЙ РОЗРАХУНОК КІЛ ГАРМОНІЧНОГО

СТРУМУ .................................................................................... 103

9 ЗАДАЧІ ДЛЯ САМОСТІЙНОГО РОЗВ’ЯЗАННЯ ............... 121 9.1 Основні задачі .............................................................. 121

2.2.2 Додаткові задачі ........................................................ 135 СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ .......................................................... 148

ДОДАТОК А .............................................................................. 151 Додаток Б ................................................................................... 152

Додаток В ................................................................................... 158

4

1. МЕТА І ЗАВДАННЯ МЕТОДИЧНИХ ВКАЗІВОК

Метою цих методичних вказівок є набуття практичних на-

вичок під час розрахунку електричних кіл змінного струму за

законами Ома і Кірхгофа, еквівалентних перетворень. Наведені

найбільш поширені методи розрахунку складних електричних

кіл змінного струму.

Опрацювання методичних вказівок і виконання розрахун-

кового завдання сприяють практичному застосуванню розраху-

нкових методів електричних кіл змінного струму.

Методичні вказівки містять методи розрахунку простих

електричних кіл змінного струму за допомогою законів Ома та

Кірхгофа, методи розрахунку складних кіл: метод рівнянь Кірх-

гофа, контурних струмів, вузлових потенціалів, суперпозиції

(накладання), еквівалентного генератора, а також метод еквіва-

лентних перетворень електричних кіл.

Для полегшення сприйняття студентами матеріалу кожен

розділ після відповідних теоретичних викладень супроводжу-

ється прикладами.

Методичні вказівки можуть бути використані як допоміж-

ний засіб для проведення лекційних та практичних занять.

2. ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ КІЛ ЗМІННОГО СТРУМУ

2.1. Змінний струм та напруга і методи їх представлення

Широке застосування змінного струму в електротехніці

почалося з часу розв’язання задач виробництва електричної

енергії та передачі її на значну відстань.

Основні поняття, що стосуються до змінного струму.

Змінний струм – це струм, що змінюється в часі. Значення

струму в будь-який момент часу називається миттєвим значен-

ням струму.

5

Струми, миттєві значення яких повторюються через рівні

проміжки часу в тій самій послідовності, називаються періодич-

ними, а найменший проміжок часу, через які ці повторення спо-

стерігаються – періодом Т.

Електричні кола, в яких значення та спрямування ЕРС, на-

пруг і струмів періодично змінюються у часі за синусоїдним за-

коном, називають колами синусоїдного струму чи просто кола-

ми змінного струму.

Аналітичний вираз для миттєвого значення гармонічного

струму

)sin()( Im tIti ,

де mI - амплітудне значення струму; I - фаза струму.

Аналітичний вираз для миттєвого значення гармонічної

напруги:

)sin()( Um tUtu ,

де mU - амплітудне значення напруги; U - фаза напруги.

Рисунок 2.1 – Часові діаграми синусоїдних струму та напруги

Із математичної точки зору гармонічними можна вважати

лише такі коливання, тривалість яких нескінченно велика. Фізи-

t

u(t), i(t)

Im

Um

T1

T2

6

чно здійснений процес не може бути нескінченно тривалим, от-

же, можна лише приблизно аналізувати його як гармонічний.

Початок координат часової діаграми слід розуміти так, що

саме в цей момент починається спостереження за процесом,

який виник нескінченно давно і буде існувати у наступний мо-

мент часу.

Час, протягом якого відбувається один цикл періодичного

процесу, називається періодом Т і вимірюється у секундах.

Кількість періодів за секунду називають лінійною часто-

тою

Tf

1 .

Одиницю виміру частоти називають герцом: 1Гц = 1с-1

.

Величину )( t називають фазою. Це аргумент гармо-

нічної функції, тобто кут, величина якого вимірюється у граду-

сах чи радіанах і визначає значення функції у даний момент ча-

су. Фаза складається із двох частин. Одна з них - це початкова

фаза, яка залежить від вибору моменту відліку часу і зростає з

часом. Швидкість зміни фази має назву кутова частота.

Протягом часу, який дорівнює періоду коливань Т, фаза

змінюється на 2T

T

2.

Кутова частота вимірюється у рад/с. (радіан за секунду).

Постійний струм можна розглядати як частинний випадок змін-

ного струму.

Початкова фаза гармонічного коливання характеризується

проходженням синусоїди через нульове значення до моменту

початку спостереження. Гармонічне коливання є періодичною

функцією, яка повністю характеризується трьома параметрами:

амплітудою, кутовою частотою та початковою фазою.

Якщо у колі синусоїдні джерела – це функції однакової

частоти, але із різними фазами, то має місце зсув фази.

7

Зсув фази – це різниця фаз двох синусоїд однакової часто-

ти.

Крім амплітудного та миттєвого, існує діюче значення

струму чи напруги.

Діюче значення періодичного струму чисельно дорівнює

значенню постійного струму, під час проходження якого через

резистор за період Т виділяється така сама кількість енергії, як і

при проходженні змінного.

.2

)0(2

1)

2

)2sin((

2

2

)2cos(1(1)(sin

1)(

1

2

0

2

0

2

0

22

0

2

mm

T

m

T

m

T

m

T

It

IT

T

tt

IT

dtt

IT

dttIT

dttiT

I

Діюче значення синусоїдної величини у 2 разів менше

від її амплітудного значення:

2

mII ,

2

mUU .

Приклад 2.1. У електричному колі гармонічного струму

діє струм )17314sin(27)( tti А. Знайти амплітудне значен-

ня, діюче значення, частоту та фазу.

Розв’язання

Амплітудне значення струму 27mI А.

Діюче значення струму визначається за формулою:

1.192

27

2 mI

I А.

Фаза струму 17I .

Кутова частота визначається із співвідношення

tt 314 і дорівнює 314 рад/с.

Лінійна частота визначається за формулою

50975.492

314

2

F Гц.

8

Приклад 2.2. Струм в електричному колі змінюється за

синусоїдним законом )30314sin(2)( tti . Визначити пока-

зання амперметра електромагнітної системи.


Із заданого миттєвого значення струму визначаємо амплі-

тудне значення струму

2mI А.

Амперметр електромагнітної системи показує діюче зна-

чення струму, яке дорівнює

4.12

2

2 m

A

III А.

Приклад 2.3. Визначте амплітудне значення та запишіть

миттєве значення напруги джерела, якщо показання вольтметра

110U В.


Вольтметр показує діюче значення напруги, тому ампліту-

дне значення дорівнює

56.15511022 UUm В.

Миттєве значення напруги джерела

)(56.155)()( ttUtu m В.

2.2. Відображення гармонічного струму комплексними

числами

Синусоїдний струм чи напругу можна представити векто-

ром на комплексній площині. Тоді синусоїдний струм чи напру-

га буде радіусом-вектором, який обертається відносно початку

координат з кутовою частотою проти годинникової стрілки.

Таким чином, будь-якому радіусу-вектору, який рівномірно обе-

ртається, однозначно відповідає синусоїдна функція

Дійсному гармонічному коливанню Ij

mIm eUUtIti )cos()( . Така відповідність ґрунту-

9

ється на формулах Ейлера, які пов’язують дійсні тригонометри-

чні функції з комплексними експоненціальними

2)cos(

jj ee

, 2

)sin(

jj ee

,

)sin()cos( je .

Коли використовується комплексна форма зображень, то

координати за осями х та у змінюються відповідно на осі ком-

плексної площини: дійсну Re (Real) та уявну Im (Imaginig). При-

чому будь-якому вектору на комплексній площині однозначно

відповідає комплексне число, яке може бути записане в алгебра-

їчній, показовій та комплексній площині.

Алгебраїчна форма запису комплексного числа:

bjai , де a - дійсна частина комплексного числа, b -

уявна частина комплексного числа, а 1j - уявна одиниця.

Алгебраїчну форму комплексного числа відкладають на

комплексній площині (рис. 2.2)

Тригонометрична форма запису комплексного числа:

)sin()cos( IjIi .

Показникова (експоненціальна) форма запису комплексно-

го числа: jeIi , де I - амплітуда комплексного вектора, - фа-

за комплексного вектора.

Комплексну величину, подану в показниковій формі теж

відкладають на комплексній площині (рис. 2.2).

Рисунок 2.2 – Зображення вектора на комплексній площині

10

Для переходу від однієї форми запису комплексного числа

до іншої використовують такі формули:

))(exp(22

a

barctgjbabjai

),sin()cos( IjI

де 22 baI , )(a

barctg , , )sin( Ib .

Отже, синусоїдну величину струму чи напруги можна

представити за допомогою комплексних чисел.

Таким чином, гармонічний струм )sin()( tIti m

можна представити у комплексній формі

)(exp)( tjItI mm , де

)(exp)( tjItI mm - миттєвий комплекс;

)(exp jII mm - комплексна амплітуда;

)(exp2

jI

I m - комплексний струм.

Отже, для запису миттєвого значення синусоїдної функції

комплексну амплітуду необхідно обов’язково записати в показ-

никовій формі.

Приклад 2.4. У колі діє гармонічна напруга

100100 jU . Знайти миттєве значення напруги.


Знайдемо амплітудне значення напруги

2100)100()100( 22 mU .

Знайдемо початкове значення фази

4

3)

100

100(arctgU .

Запишемо миттєве значення напруги

)sin()sin()( UmUm tUtUtu

)4

3sin(2100 t .

)cos( Ia

11

Приклад 2.5. До вузла кола приєднані три гілки (рис. 2.3).

Знайти струм )(3 ti , якщо відомі два інших струми:

)sin(10)(1 tti , )45sin(10)(2 tti

Рисунок 2.3


Для цього спочатку запишемо комплексні амплітуди двох

відомих струмів: 0

1 10 j

m eI А,

.07.707.7)45sin(10)45cos(1010 45

2 jjeI j

m

Тепер визначимо комплексну амплітуду третього струму

за допомогою першого закону Кірхгофа

.5.18)07.17

07.7(exp07.707.17

07.707.1707.707.710

5.2222

213

j

mmm

ej

jjIII

Представимо струм у синусоїдній формі

)5.22sin(5.18)(3 tti .

Приклад 2.6. Знайти напругу )()()( 21 tututu , якщо

)3

sin(100)(1

ttu В, )

6sin(50)(2

ttu В. Побудувати

векторну діаграму напруг.


Представимо гармонічні напруги у показниковій формі:

31 100

j

m eU В та 62 50

j

m eU .

i3(t)

i1(t)

i2(t)

12

Представимо гармонічні напруги в алгебраїчній формі:

.6.8650)866.05.0(100

))60sin()60(cos(100))3

sin()3

(cos(1001

jj

jjU m

.253.43)5.0866.0(50

))30sin()30(cos(50))6

sin()6

(cos(502

jj

jjU m

Знайдемо напругу в алгебраїчній формі запису:

6.1113.93)253.43()6.8650(21 jjjUUU mmm .

Представимо напругу в показниковій формі запису:

6.1113.93 jU m

.145))3.93

6.111(exp(6.1113.93 65022 jearctgj

Визначимо напругу в аналітичній формі запису

)650sin(145)sin()( ttUtu m .

Побудова векторної діаграми напруг

Побудову векторної діаграми напруги починають для ал-

гебраїчної чи показникової форми запису напруги. Якщо почати

із показникової, то спочатку необхідно відкласти кут фази на-

пруги, а потім її амплітуду. Наприклад, для напруги

62 50

j

m eU спочатку треба відкласти кут 30º від початку ко-

ординат проти годинникової стрілки, а потім відкласти довжину

вектора, тобто його амплітуду 50В. Після того, як ми відкладемо

обидві напруги, то амплітуди шуканої напруги mU можна оде-

ржати за допомогою додавання векторів за правилом прямокут-

ника (рис. 2.4). Потім ми можемо виміряти значення амплітуди

напруги та її фазу і записати шукану напругу в показниковій

формі, після чого перейти до аналітичної форми запису.

13

Рисунок 2.4

Приклад 2.7. Амплітудне значення синусоїдальної вели-

чини напруги подано у комплексній формі 86 jUm В. Зо-

бразити її в аналітичній формі.


Визначимо модуль амплітуди напруги:

10100642686 22 mU В.

Визначимо аргумент напруги:

3153)333.1()6

8(

arctgarctgU .

Оскільки напрямок кута повтору, як правило, беруть дода-

тніім, якщо вектор обертається від додатного напрямку дійсної

осі проти годинникової стрілки, то кут 3153 - це кут, визна-

чений за напрямком годинникової стрілки, а проти напрямку

годинникової стрілки матимемо

783063153360 U .

Якщо напруга промислової частоти 50f Гц, то

3145022 f с-1

. Тоді напруга в аналітичній формі

буде мати вигляд

)3153314sin(10)sin()( ttUtu Um В.

14

Приклад 2.8. Комплексна амплітуда напруги

100100 jUm В, частота 1f кГц. Записати вираз для мит-

тєвого значення напруги.


Знайдемо кутову частоту

628010122 3 f с-1

.

Визначимо амплітуду напруги

2100100)100( 22 mU .

Визначимо аргумент напруги

45)1()100

100( arctgarctgU .

Кут 45 - це кут, визначений за напрямком годинникової

стрілки, а проти напрямку годинникової стрілки матимемо

31545360U .

Таким чином, миттєве значення напруги запишеться так

)3156280sin(2100)sin()( ttUtu m .

Приклад 2.9. Дані струми )120sin(6)(1 tti А та

)30sin(5.1)(2 tti А. Визначити струм )(ti , що дорівнює

різниці цих струмів )()()( 21 tititi .


Подамо гармонічний струм в показниковому вигляді

120

11 6 jj

mm eeII I , 30

22 5.1 jj

mm eeII I .

Представимо струм у алгебраїчній формі

))120sin()120(cos(66 120

1 jeII j

m

2.53)866.05.0(6 jj А;

))30sin()30(cos(5.15.1 30

2 jeI j

m

75.03.1)5.0866.0(5.1 jj А.

Знайдемо різницю струмів в алгебраїчній формі

45.43.4)75.03.1()2.53(21 jjjIII mmm А.

15

Подамо струм у показниковій формі

.19.6))46360(exp(19.6))46exp(19.6

))035.1(exp(293.38

))3.4

45.4(exp(45.4)3.4(45.43.4

314

22

j

m

ejj

arctgj

arctgjjI

Приклад 2.10. Записати комплекс діючого значення гар-

монічної функції часу )150sin(2100)( otti А.


Модуль комплексу діючого значення збігається із діючим

значенням синусоїдальної величини, а аргумент збігається з по-

чатковою фазою цієї величини ojj eIeI 150100 А.

Приклад 2.11. Записати комплекс діючого значения гар-

монічної функції часу )45sin(2100)( ottu В (рис. 2.5) та

відкласти його на комплексній площині.

Рисунок 2.5


Запишемо комплекс діючої гармонічної напруги

.250250)45sin(100)45cos(100100 45 jjeUeU oojj ou

45o

j

1

U

0

50 2

j50 2

16

Приклад 2.12. Записати комплекс діючого значення си-

нусоїдальної функції часу )135sin(2100)( ottu B.


Запишемо комплекс діючого значення гармонічної на-

пруги

)135sin(100)135cos(100100 135 oojjjeUeU

ou

250250 j .

Зобразимо напругу на векторній діаграмі (рис. 2.6).

Рисунок 2.6


монічної функції часу )30cos(210)( otti А.


Перейдемо від косинуса до синуса за допомогою тригоно-

метричних формул

)120sin(210)30cos(210 oo tti А,

звідси o

I jjeIeI 12010

, А.

0

135o

1

j

U

50 2

j50 2

17


монічної функції часу )60cos(2100)( ottu В та побуду-

вати вектор напруги на комплексній площині.


Перейдемо від косинуса до синуса

)150sin(2100)60cos(2100)( oo tttu B.

Представимо напругу в алгебраїчній формі запису компле-

ксного числа

.5035030sin10030cos100

)150sin(100)150cos(100100 150

jj

jeUeU

oo

oojj ou


Рисунок 2.7

Приклад 2.15. Знайти гармонічну функцію часу, яка зо-

бражена комплексом діючого значення ojeI 605 A.


Визначимо струм як функцію часу

io jj IeeI

605 , звідси )60sin(25)( otti A.

1 0

150o

j

U

50 3

j50

18

Приклад 2.16. Знайти гармонічну функцію часу, яка зо-

бражена комплексом діючого значення ojeI 6010 A та побу-

дувати векторну діаграму.


Запишемо

iooo jjjj IeeeeI

12024060 101010 , оскільки

oje 180)1( .

Звідси )120sin(210)( otti A.

Зобразимо струм на векторній діаграмі (рис. 2.8).

Рисунок 2.8

Приклад 2.17. Знайти гармонічну функцію часу, зобра-

жену комплексом діючого значення ojejI 3010 A, та побуду-

вати вектор струму.


Запишемо

ioo jjj IeeejI

6030 1010 , оскільки j e j o90

.

Звідси )60sin(210)( otti A.

Зобразимо струм на векторній діаграмі (рис. 2.9).

1 0 120o

60o

j

I

I

19

Рисунок 2.8

Приклад 2.18. Знайти гармонічну функцію часу, що зо-

бражена комплексом діючого значення 5050 jU В, та по-

будувати вектор напруги.


Перейдемо від алгебраїчної форми запису до показникової

.25050505050 454522 uoo jjj UeeejU

Запишемо напругу у тригонометричній формі

)45sin(100)( ottu В. Зобразимо напругу на векторній діаг-

рамі (рис. 2.9).

Рисунок 2.9

1 0

j

I j ej o

10 30

I ej o

10 30

45o

1 0

U j

50

j50

20

Приклад 2.19. Знайти гармонічну функцію часу, що зо-

бражена комплексом діючого значення 5050 jU В та побу-

дувати вектор напруги.


Перейдемо від алгебраїчної до показникової форми запису для

напруги

.25050505050 13513522 uoo jjj UeeejU

Звідси )135sin(100)( ottu В.


Рисунок 2.10

Приклад 2.20. Знайти гармонічну функцію часу, зображе-

ну комплексом діючого значення ojejU 3060320 В, та по-



Представимо напругу у показниковій формі

.32030)310(

303103033032060320

606022

30

uoo

o

jjj

j

Ueee

jjejU



135o

1 0

U

j 50

j50

21

Рисунок 2.11

Приклад 2.21. Знайти гармонічну функцію часу, зображе-

ну комплексом діючого значення ojejU 15060120 В, та по-



Перейдемо до показникової форми запису для напруги

.272090)330(33090

330301206012060120

15015022

60150

uoo

oo

jjj

jj

Ueeej

jejejU



Рисунок 2.12

1 0

U

j

10 3

j30

150o

1 0

U

j

j30 3

90

22

Приклад 2.22. Визначити зсув фази u i між

струмом та напругою, комплекси діючих значень яких задані

2020 jU B, 33030 jI A, та побудувати вектор стру-

му та напруги на комплексній площині.


Запишемо показникову форму напруги ojejU 1352202020 B .

Звідси визначимо фазу напруги o

u 135 .

Запишемо показникову форму струму ojejI 606033030 A .

Звідси визначимо фазу струму o

i 60 .

Знайдемо різницю фаз ooo

iu 7560135 .


Рисунок 2.13

Приклад 2.23. Знайти суму струмів i i i i 1 2 3 , мит-

тєві значення яких дорівнюють: )90sin(21001

oti А,

)135sin(1002

oti А, )135sin(1003

oti А, та побудувати

векторну діаграму струмів.


Запишемо струми в алгебраїчній формі

100100 90

1 jeIoj А,

U

75o

30 20

j30 3

j20

1 0

j

23

5050250 135

2 jeIoj А,

5050250 135

3 jeIoj А.

Знайдемо загальний струм у комплексній формі

.2100100100

50505050100

135

321

io jj Ieej

jjjIIII

Звідси )135sin(200)( otti А.

Зобразимо векторну діаграму струмів (рис. 2.14).

Рисунок 2.14

Приклад 2.24. Визначити )(4 ti (рис. 2.15), якщо відомо:

)60sin(260)(1

otti А,

)60sin(290)(2

otti А,

tti sin260)(3 А.

Рисунок 2.15


На основі першого закона Кірхгофа у комплексній формі:

3214 IIII .

Переведемо струми в алгебраїчну форму

I1 2I

I

I3

1 0

j

i4

i3

i2

i1

24

3303060 60

1 jeIoj A;

3454590 60

2 jeIoj A; 603 I A;

.3031515603454533030 4

60

4i

o jj eIejjI

Звідси )60sin(230)(4

otti А.

Зобразимо векторну діаграму струмів (рис. 2.16)

Рисунок 2.16

2.3. Задачі для самостійного розв’язання

Задача 2.1. Визначити параметри гармонічного струму

)(3 ti mI3 , , f , T , який є сумою струмів 2i та 1i . Побудувати

векторну діаграму струму )(3 ti . Значення струмів:

а) )902cos(4)(1 tti А, а 222 I ;

б) )452sin(10)(1 tti А, а 552 jI ;

в) )1352sin(6)(1 tti А, а 332 jI .

Задача 2.2. Визначити параметри гармонічної напруги

)(3 tu mU3 , , f , T , яка є сумою напруг 2u та 1u . Побудувати

векторну діаграму напруги )(3 tu . Значення напруги

а) )454cos(22)(2 ttu А, а 22 U .

б) )902cos(20)(1 ttu А, а 222 U ;

в) )1352cos(212)(1 ttu А, а 62 jU .

I2

I4

I3

I1

1 0

j

25

Задача 2.3. Графік напруги )(tu наведений на рис. 2.17. За

зазначеною різницею фаз 45IU

та заданих умов

10mU , 2I , 2/1 t , 2t знайти T , f , , mU , mI , )(ti ,

)(tu і побудувати векторну діаграму )(ti та )(tu .

Рисунок 2.17

Задача 2.4. На рис. 2.17 наведений графік потужності

)()( tptf C , побудувати графіки )(tuC , )(tiC , )(twC .

Задача 2.5. Для наведеної схеми (рис. 2.18) значення дже-

рел струму визначаються виразами )cos(2220)( 11 tte ,

)cos(2220)( 22 tte . Які будуть покази приладів за умови

12021 , 9021 ? За яким зсувом фаз 21 вольт-

метр покаже 220В?

Рисунок 2.18

Задача 2.6. Знайти амплітуду і початкову фазу напруги

)(te для кола (рис. 2.19), якщо )cos(10)(1 ttu ,

)60cos(10)(2 ttu , )60cos(10)(3 ttu ,

)60cos(10)(4 ttu .

e1(t)

e2(t)

V

t1 t2 0

f(t)

t

26

Рисунок 2.19

Задача 2.7. Знайти значення напруги )(1 tu , якщо на зовні-

шніх затискачах активного багатополюсника для кола, що зо-

бражене на рис. 2.20, )cos(20)(12 ttu , )60cos(10)(23 ttu ,

)60cos(10)(34 ttu , )cos(10)(54 ttu , consttu 10)(56 .

Рисунок 2.20

Задача 2.8. Знайти амплітуду та початкову фазу )(te для

кола (рис. 2.21), якщо )cos(10)(1 ttu , )60cos(10)(2 ttu ,

)60cos(10)(3 ttu , а вольтметр V показує діюче значення

230 В (усі напруги у вольтах). Опори 1R , 2R активні.

Z1 Z2 Z3

Z4 e(t) u1(t) u2(t) u3(t)

u4(t)

u34(t) u16(t)

2

3 1

4 5

6

27

Рисунок 2.21

Задача 2.9. Знайти амплітуду та початкову фазу струму

)(ti на вході паралельно з’єднаних елементів для кола (рис.

2.22), якщо )cos(20)(1 tti мА, )60cos(40)(2 tti мА,

)60cos(40)(3 tti мА, а амперметр А показує діюче значення

струму 250 мА. Опори 1R , 2R активні.

Рисунок 2.22

Задача 2.10. Визначити діюче значення заданого періоди-

чного струму (рис. 2.23), якщо відомі T , 1t , a .

Рисунок 2.23

R1 Z2 Z3

R2 e(t) u1(t) u2(t) u3(t)

u4(t) V

R2 R1 Y2 Y1

A

i(t)

i1(t) i2(t) i3(t) i4(t)

i(t)

t t1 t2

at

T

28


чного струму (рис. 2.24) та обчислити його, якщо відомі

15T мкс, 31 t мкс, 8mI мА. У межах від 0 до 1t функція

струму є прямою лінією.

Рисунок 2.24



30T мкс, 51 t мкс, 7mI мА. У межах від 0 до 1t функція

струму є прямою лінією.

Рисунок 2.25



45T мкс, 101 t мкс, 9mI мА. У межах від 0 до 1t та від 1t до

2 1t функція струму є прямою лінією.

Im i(t)

t1 T t

Im i(t)

t1 T t

29

Рисунок 2.26

Задача 2.14. Періодична напруга )(tu має вигляд прямоку-

тних імпульсів з тривалістю 51 t мкс та амплітудним значен-

ням 6mU В. Визначити такий період T , щоб діюче значення

цієї напруги дорівнювало 3В. Графік цієї напруги наведений на

рис. 2.27.

Рисунок 2.27

Im

i(t)

t1 T t 2t1

t

Um

u(t)

t1 T

30

3. РЕАКТИВНІ ЕЛЕМЕНТИ У КОЛАХ ГАРМОНІЧНОГО

СТРУМУ

У колах гармонічного струму, окрім резистора, необхідно

враховувати опори індуктивності та ємності, що зумовлюються

часовою зміною струму та напруги.

3.1. Котушка індуктивності

Котушка індуктивності – це елемент, який має властивість

запасати енергію у вигляді магнітного поля. Параметрами ко-

тушки є резистивний опір kR та індуктивність L , що вимірюєть-

ся в Гн (Генрі).

Нехай у котушці проходить гармонічний струм (рис. 3.1 а):

)sin()( tIti mL .

Рисунок 3.1

Напруга на котушці індуктивності визначається за законом

Фарадея

)90sin()cos()(

)( tILtILdt

tdiLtu mm

LL .

Реактивний індуктивний опір LX визначається за форму-

лою LX L та вимірюється в омах (Ом), а повний реактив-

ний опір LL jXZ .

Струм у колі з індуктивністю визначається такими співвід-

ношенням:

31

90

90

jL

j

LL

L

L eL

U

Le

U

Lj

U

Z

UI

.

Із виразів для струму та напруги котушки індуктивності

випливає, що напруга на котушці випереджає за фазою струм на

90º чи струм відстає від напруги на 90º (рис. 3.1 б). Отже, кут

зсуву фаз між напругою та струмом котушки дорівнює 90º.

Миттєве значення потужності у колі із ідеальною індукти-

вністю

)sin()90sin()()()( tItUtituts mm

)2sin(2

)2sin(tIU

tIU mm

.

Отже, у колі з індуктивністю відбувається неперервний

періодичний процес обміну енергією між електричною мережею

(джерелом енергії) і магнітним полем індуктивності. Цю енер-

гію називають реактивною енергією, і відповідно потужність

цієї енергії – реактивною потужністю Q , яка визначається мак-

симальним значенням.

Таким чином, миттєве значення потужності )(ts , що над-

ходить до ідеальної котушки, дорівнює миттєвому значенню ре-

активної потужності )(tq .

Приклад 3.1. У електричному колі із котушкою індуктив-

ності 100L мГн діє джерело напруги )100sin(220)( ttu В.

Визначити індуктивний опір.


Визначаємо кутову частоту із виразу для напруги. Відомо,

що )sin()( tUtu m . Отже, порівнявши обидва вирази знахо-

димо, що 100 с-1

.

Визначаємо реактивний індуктивний опір котушки

1010100100 3 LX L Ом.

32

Приклад 3.2. Індуктивність 10L мГн живиться від дже-

рела напруги )60314sin(100)( ttu В. Визначити струм у

електричному колі та побудувати векторну діаграму.


Знайдемо індуктивний опір

14.31010314 3 LX L Ом.

Знайдемо діюче значення напруги

92.7041.1

100

2

100

2 mU

U В.

Запишемо напругу у комплексній формі

6092.70 jjeeUU U В.

Обчислимо величину струму

90

6060

14.3

92.70

14.3

92.70j

jj

L e

e

j

e

Xj

UI

150)9060( 58.2214.3

92.70 jj ee .

Тут ми використали формулу 901 jej .

Побудуємо векторну діаграму (рис. 3.2).

Для побудови векторної діаграми виберемо масштаби:

за напругою 20U В/см;

за струмом 5I А/см.

Рисунок 3.2

Re

Im 0

U

I

-60º -150º

33

Із рис. 2.6 видно, що фаза напруги випереджає струм на

90º. Справді, якщо 90)150(60IU .

Приклад 3.3. Струм індуктивного елемента заданий

)302cos(8)( ttiL , 2L Гн. Знайти )(tu L та побудувати

векторну діаграму.


Розрахунки будемо здійснювати у комплексній формі, ви-

користовуючи метод комплексних амплітуд.

Представимо гармонічний струм у показниковій формі 308 j

mL eI .

Знайдемо опір на котушці індуктивності 904422 j

L ejjLjZ .

Визначимо напругу у показниковій формі 60)3090(3090 323284 jjjj

mLLmL eeeeIZU .

Побудуємо векторну діаграму (рис. 3.3).

Рисунок 3.3

Як бачимо із рис. 3.3 зсув фази між напругою та струмом

становить 90º 90)30(60IU .

Re

Im

0

ImL

UmL

60º

-30º

34

3.2. Конденсатор

Конденсатор – це елемент, що запасає енергію у вигляді

електричного поля. Параметром конденсатора є ємність, що ви-

мірюється у фарадах (Ф).

Нехай до конденсатора прикладена синусоїдальна напруга

)sin()( tUtu mC .

Рисунок 3.4

Струм через конденсатор (рис. 3.4 а) визначається таким

співвідношенням:

)90sin()cos()(

)( tUCtUCdt

tduCti mm

C .

Реактивний ємнісний опір визначається за формулою

CX C

1, а повний реактивний опір – CC jXZ та вимірю-

ється в омах (Ом).

Напруга на конденсаторі визначається за формулою 90)( j

CCC eXIjXIZIU , де 90jej .

Із виразів для струму та напруги конденсатора видно, що

струм конденсатора випереджає за фазою напругу на 90º чи на-

пруга відстає від струму на 90º (рис. 3.4 б). Отже, кут зсуву фази

між напругою та струмом становить -90º.

Миттєве значення потужності )(ts в колі з конденсатором

)90sin()sin()()()( tItUtituts mmCC

)2sin(2

)2sin(2 tIU

tIU mm

.

35

Таким чином, у колі із конденсатором, як і у колі із індук-

тивністю, відбувається неперервний періодичний обмін енергі-

єю між мережею та конденсатором. Потужність, що характери-

зує швидкість зміни цієї енергії, називається реактивною потуж-

ністю.

Отже, реактивна енергія (потужність) коливається між

джерелом електричної енергії і споживачем та йде на утворення

магнітних полів у котушках і електричних полів у конденсато-

рах.

Приклад 3.4. Визначити покази амперметра у гілці із кон-

денсатором 500C мкФ, якщо до нього прикладена напруга

)100sin(120)( ttu .


Визначимо реактивний ємнісний опір конденсатора

2010500100

116

CX C

Ом.

Діюче значення напруги на конденсаторі

85.842

120

2 mU

U В.

Амперметр показує діюче значення струму, тому визначи-

мо його за виразом

24.420

85.84

CX

UI А.

Приклад 3.5. Конденсатор ємністю 80C мкФ приєдна-

ний до джерела струму )30314sin(10)( tti А. Визначити

напругу та реактивну потужність на конденсаторі. Побудувати



Визначимо діюче значення струму у колі

1.741.1

10

2 mI

I А.

36

Запишемо діюче значення струму у комплексній формі

301.7 jjeeII I А.

Визначимо ємнісний опір

401080314

116

CX C

Ом, CC XjZ .

Визначимо напругу на конденсаторі 60903030 284401.7)40(1.7 jjjj

C eeejeZIU .

Знайдемо реактивну потужність

4.20161.740 22 IXIUQ CC Вар.

Побудуємо векторну діаграму.

Для побудови векторної діаграми треба вибрати масштаби:

масштаб за напругою 50UM В/см;

масштаб за струмом 2IM А/см.

Рисунок 3.5

Як видно із рис. 3.5, напруга відстає від струму на кут -90º

за фазою. Справді зсув фази між напругою та струмом визнача-

ється за формулою 903060IU .

Re

Im

0

ImL

UmL

30º

-60º

37

Приклад 3.6. Напруга на ємнісному елементі

)453cos(5)( ttuC з 4C Ф. Знайти )(tiC та побудувати



Запишемо напругу у показниковій формі 455 j

mC eU .

Визначимо провідність конденсатора 90121243 j

C ejjCjY .

Визначимо струм у показниковій формі 135)4590(4590 6060512 jjjj

mCCmC eeeeUYI А.

Запишемо аналітичний вираз миттєвого значення для струму на

конденсаторі

)1353cos(60)cos()( ttIti ImCC А.

Побудуємо векторну діаграму

Визначимо масштаби:

масштаб за струмом 20IM А/см;

масштаб за напругою 2UM В/см.

Рисунок 3.6

Як видно із векторної діаграми, що зображена на рис. 3.6,

зсув фази між напругою та струмом дорівнює

9013545IU .

Отже, напруга відстає від струму на кут -90º на конденса-

торі.

Re

Im

0

ImС

UmС

45º

135º

38

3.3. Опори та провідності у колах гармонічного струму

Повним опором пасивного двополюсника Z у колі сину-

соїдального струму називається відношення діючих або амплі-

тудних значень напруги та струму, що є законом Ома в компле-

ксній формі:

I

U

I

UZ

m

m

.

Повний опір кола складається з активної складової та реак-

тивної

XjRZ .

Активний опір пасивного двополюсника R у колі синусої-

дального струму називається відношенням активної складової

амплітудного значення напруги до амплітудного значення стру-

му або активної складової діючого значення напруги до діючого

значення струму.

Реактивний опір пасивного двополюсника X у колі сину-

соїдального струму називається відношенням реактивної скла-

дової амплітудного значення напруги до амплітудного значення

струму або реактивної складової діючого значення напруги до

діючого значення струму.

Отже, ))(exp()exp( 22

R

XarctgjXRjZZ Zm .

Аналогічно вводяться поняття повної Y , активної G та

реактивної B провідностей.

Отже, повна провідність визначається BjGY та ви-

мірюється в См (сименсах).

Приклад 3.7. До джерела гармонічної напруги

)314sin(110)( ttu увімкнений споживач з опором 10R Ом.

Визначити показ амперметра у цьому колі та потужність, що

споживається.


Діюче значення напруги джерела дорівнює

39

78.772

110

2 mU

U В.

Амперметр показує діюче значення струму, яке визначаємо

згідно із законом Ома для кола з опором R :

778.710

8.77

R

UI А.

Потужність, яку споживає споживач на опорі R :

605778.710 22 IRP Вт.

Приклад 3.8. Визначити комплексний опір, якщо напруга

та струм задані виразами )60sin(2100)( ottu В,

)15sin(210)( otti А.


Переведемо струм та напругу у показникову форму ojeU 60100 В,

ojeI 1510 А.

Знайдемо опір на основі закону Ома у комплексній формі

25251010

100 45

15

60

jee

e

I

UZ

o

o

o

j

j

j

Ом.

Приклад 3.9. Визначити миттєве значення падіння напру-

ги, якщо відомі струм )30sin(5)( otti А та комплексний

опір 33030 jZ Ом.


Запишемо на основі закону Ома

mm IZU .

Представимо опір та струм у показниковій формі ojejZ 606033030 Ом,

oj

m eI 305 А.

Знайдемо напругу у показниковій формі

uooo j

m

jjj

m eUeeeU

903060 300560 , В.


40

Приклад 3.10. Визначити миттєві значення падіння напру-

ги, якщо відомі струм )15sin(10)( otti А та комплексна

провідність 1,01,0 jY .


На основі закону Ома у комплексній формі Y

IU m

m

.

Подамо струм та провідність у показниковій формі oj

m eI 1510 А, ojejY 4521.01,01,0 .

Запишемо вираз для напруги

uo

o

o

j

m

j

j

jm

m eUee

e

Y

IU

30

45

15

25021,0

10 .

Звідси )30sin(250)( ottu , В.

Приклад 3.11. Визначити провідність Y , якщо відомий

комплексний опір 1010 jZ Ом.


Компексна провідність визначається за формулою

ZY

1 .

Компексний опір визначається за формулою ojejZ 452101010 Ом.

Звідси 05,005,0205,0210

1 45

45je

eY

o

o

j

j

.

Приклад 3.12. Знайти вираз для комплексного опору Z

(рис. 3.7) та комплексної провідності Y, якщо 10R Oм,

10L Гн, 1000 с-1

Рисунок 3.7

L R

41


Визначимо комплексний опір гілки ojejLjRZ 452101010 Ом.

Визначимо провідність кола

05,005,0205,0210

11 45

45je

eZY

o

o

j

j

.

Приклад 3.13. Знайти вираз для комплексного опору Z

(рис. 3.8) та комплексної провідності Y , якщо 10R Oм,610 c

-1, 1,0C мкФ.

Рисунок 3.8


Визначимо комплексний опір гілки

;2101010101,010

110

1 45

66

ojejjC

jRZ

Визначимо комплексну провідність гілки

05,005,0205,0210

11 45

45je

eZY

o

o

j

j

.

Приклад 3.14. Визначити параметри заданих гармонічних

функцій напруги та струму у колі. Побудувати векторну діагра-

му струмів та напруг. Миттєве значення струму

)452sin(10)( ttiL А та значення провідності кола 2LY .

Знайти індуктивність кола L . Визначити такі параметри: mLU ,

mLU , LU , , T , I , U , Z , LI , mLI .


C R

42

Запишемо миттєве значення струму на котушці індуктив-

ності )452sin(10)( ttiL А.

З виразу для миттєвого значення струму запишемо такі па-

раметри:

частота 2 с-1

;

фаза струму 45I ;

амплітудне значення струму 10mLI А;

З виразу для струму знайдемо такі параметри:

дійсне значення струму

14.74.1

10

2

10

2 mL

L

II А;

показникова форма струму

4510 jj

mLmL eeII I ;

період

2T ;

алгебраїчна форма запису

77)7.07.0(10))45cos()45(sin(10 jjjImL .

Запишемо вираз для напруги на котушці індуктивності

)1352sin(52

)452sin(10)()(

90

t

e

t

Y

titu

j

L

LL В.

Запишемо вираз для провідності

90221 j

LL ejYjL

j

LjY

См.

З виразу для напруги запишемо та визначимо такі параметри:

амплітудне значення напруги 5mLU В;

дійсне значення напруги 57.34.1

5

2 mL

L

UU В;

показникова форма 455 j

mL eU В.

алгебраїчна форма запису

))135sin()135(cos(5 jU mL 5.35.3)7.07.0(5 jj ;

43

фаза напруги 135U .

Запишемо вираз для провідності котушки індуктивності:

LjYL

1.

Виразимо з цього виразу індуктивність кола

4

1

22

1

22

119090

jj

L eeYjL

Гн.

Побудуємо векторну діаграму струму та напруги (рис. 3.9).

Рисунок 3.9 – Векторна діаграма струмів та напруг

1

1

2 3 4 5 6 7 8

2

3

4

5

6

7

Re

Im

Um

Im

0

-1

-2

-3

-4

44

3.3. Задачі для самостійного розв’язання

Задача 3.1. Діюче значення струму у котушці 573.0I А,

а її індуктивність 982.0L Гн. Активним опором котушки інду-

ктивності можна знехтувати. Визначити миттєве значення на-

пруги на котушці у момент часу 0t , якщо початкова фаза

струму 63I , а частота 50f Гц.

Задача 3.2. Діючі значення активних складових напруги і

струму становлять 120 В та 1.5 А. Активна провідність двопо-

люсника 5 мСм. Визначити повний, активний, реактивний та

комплексний опори двополюсника, якщо кут зсуву фаз між на-

пругою та струмом 0 . Записати миттєві значення реактив-

них складових напруги і струму, якщо початкова фаза струму

35I .

Задача 3.3. Якою повинна бути величина L, щоб реактивна

потужність на ній дорівнювала за величиною потужності на ак-

тивному опорі R. Чому буде дорівнювати для цього випадку по-

тужність при заданій напрузі )10cos(25)( ttu ,

c/11000 .

45

4 ОСНОВНІ ЗАКОНИ ЕЛЕКТРИЧНИХ КІЛ ГАРМОНІЧ-

НОГО СТРУМУ

Основними законами електричних кіл є закон Ома та зако-

ни Кірхгофа. Закон Ома і закони Кірхгофа для миттєвих значень

напруг і струмів формулюються однаково і незалежно від того,

чи є кола лінійні, чи нелінійні, змінюються чи не змінюються в

них напруги та струми в часі.

4.1 Закон Ома для кіл гармонічного струму

Розглянемо коло, що зображене на рис. 4.1. У колі діє гар-

монічний струм )sin()( im tIti .

R L

C

i

u

Рисунок 4.1

Запишемо другий закон Кірхгофа для кола, що зображене

на рис. 4.1,

CLR uuuu .

Запишемо напругу через струм та перепишемо одержане

рівняння

idtCdt

diLiRu

1.

Одержали інтегрально-диференціальне рівняння. Підста-

вимо в рівняння значення гармонічного струму, а оскільки у ко-

лі діє гармонічний струм, то і напруга буде гармонічною функ-

цією.

)]sin([)sin()sin( imimum tIdt

dLRtItU

46

dttIC

im ))sin((1

.

Перепишемо рівняння у комплексній формі

tjjm

tjjm

tjjm

tjjm eeI

CjeeLIjReeIeeU iiiu

1 .

Перепишемо рівняння

tjm

tjm

tjm

tjm eI

CjeILjReIeU

1

,

де ujmm eUU

та ij

mm eII

.

Скоротивши рівняння на tje , одержимо

mmmm ICj

ILjRIU

1

.

У правій частині одержаного рівняння винесемо струм mI за

дужки

)1

(Cj

LjRIU mm

.

Одержане співвідношення називають законом Ома у ком-

плексній формі та записують так

)( jZIU mm ,

де Cj

LjRjZ

1

)( .

Вираз )( jZ називають комплексним опором кола. Його

можна переписати за допомогою формули jZejZ )( .

Враховуючи правила переходу від алгебраїчної форми за-

пису комплексного числа до показникової, можна записати, що

модуль Z та аргумент комплексного опору визначаються як

22 )1

(C

LRZ

, R

CL

arctg

1

.

Модуль комплексного опору називають повним опором ді-

лянки.

47

Проаналізувавши одержаний результат, зазначимо, що

комплексне перетворення перетворило диференціальне рівняння

на алгебраїчне.

У комплексній формі закон Ома буде мати такий вигляд:

Z

UI

.

Звідси випливає, що комплексний опір електричного кола

дорівнює відношенню комплексної напруги на затискачах дано-

го кола до комплексного струму у цьому колі.

4.2 Закони Кірхгофа для кіл гармонічного струму

Перший закон Кірхгофа в комплексній формі випливає із

запису символічного зображення рівняння за першим законом

Кірхгофа для миттєвих значень струму.

Якщо )()sin()( tItIti mkimkk , де k – це є кількість

гілок, що приєднані до будь-якого вузла.

Таким чином, у комплексній формі рівняння першого за-

кону Кірхгофа для електричних кіл синусоїдального струму має

вигляд

0 kI , 0 mkI .

Отже, алгебраїчна сума комплексних амплітуд струмів (чи

комплексних струмів) у вузлі дорівнює нулеві.

Другий закон Кірхгофа в комплексній формі випливає із

запису символічного зображення за другим законом Кірхгофа

для миттєвих значень напруг.

Якщо )()sin()( tUtUtu mkumkk та

)()sin()( tEtEte mpempk , де k – це є кількість пасивних

елементів у контурі, p – це кількість джерел ЕРС .

Рівняння другого закону Кірхгофа в колах синусоїдального

струму має вигляд

pk EU , mpmk EU .

З урахуванням закону Ома другий закон Кірхгофа може

бути сформований так: алгебраїчна (комплексна) сума спаду на-

48

пруг на активних і реактивних елементах будь-якого контуру

дорівнює алгебраїчній (комплексній) сумі ЕРС, які діють в цьо-

му контурі. Правила запису рівнянь залишаються такими, як і

для електричних кіл постійного струму.

Як було зазначено раніше, повним опором пасивного дво-

полюсника Z у колі гармонічного струму називається відно-

шення діючих або амплітудних значень напруги та струму, що є

законом Ома в комплексній формі:

I

U

I

UZ

m

m

.

Повний опір кола складається з активної складової та реактивної

XjRZ .

Активний опір пасивного двополюсника R у колі синусої-

дального струму називається відношенням активної складової

амплітудного значення напруги до амплітудного значення стру-

му або активної складової діючого значення напруги до діючого

значення струму.

Реактивний опір пасивного двополюсника X у колі сину-

соїдального струму називається відношенням реактивної скла-

дової амплітудного значення напруги до амплітудного значення

струму або реактивної складової діючого значення напруги до

діючого значення струму.

Отже, ))(exp()exp( 22

R

XarctgjXRjZZ Zm .

Аналогічно вводяться поняття повної Y , активної G та

реактивної B провідностей.

Отже, повна провідність визначається BjGY та ви-

мірюється в См (сименсах).

49

4.3. Перехід від послідовної схеми до паралельної

Перехід від послідовної схеми до еквівалентної паралель-

ної здійснюється за формулою

Y= jBGXR

Xj

XR

R

XR

jXR

jXR

1222222

.

Перехід від паралельної до еквівалентної послідовної схе-

ми здійснюється за формулою

222222

11

BG

Bj

BG

G

XG

jBG

jBGYZ

=R+jX.

5. ПОТУЖНІСТЬ У КОЛАХ ГАРМОНІЧНОГО СТРУМУ

У колах синусоїдного струму є активна, реактивна та пов-

на потужності.

Активна потужність P - це середнє значення миттєвої по-

тужності за період

cos IUP , де )(R

Xarctg , де X - це реактивна

складова повного опору кола, R - активна складова повного

опору кола.

Активна потужність вимірюється у ватах (Вт).

Реактивна потужність визначається так:

sin IUQ .

Реактивна потужність вимірюється у варах (Вар).

Повна потужність S визначається за формулою

IUS .

Комплексна потужність

QjPIUS * , де *I - спряжений комплекс струму.

Потужності можуть бути також розраховані за діючими

значеннями струму та відповідного опору за формулами: 2IRP , 2IXQ , 2IZS .

50

Як видно із наведених виразів, потужності утворюють три-

кутник потужностей, у якого катети відповідають P та Q , а гі-

потенуза – S .

Повна і активна потужності завжди додатні. При 0

(резистивно-індуктивні кола) реактивна потужність Q додатна,

а якщо 0 (резистивно-ємнісні кола) то Q - від’ємна.

Повна потужність S характеризує найбільше значення се-

редньої потужності (активної), яку можна одержати в колі для

заданих діючих значень напруги та струму.

Із трикутника потужностей коефіцієнти потужності ви-

значаються як

S

Pcos ,

S

Qsin .

Для вимірювання активної потужності використовується

ватметр. Показання ватметра визначається за формулою

]Re[cos *IUIUPW .

Для активної, реактивної та комплексної потужностей ви-

конується баланс потужності.

Приклад 5.1. Визначити комплекс повної потужності,

якщо )15sin(100)( ottu В, )30sin(10)( otti А.


Повна потужність визначається за формулою

IUS ~.

Подамо струм та напругу у показниковій формі ojeU 15250 В,

ojeI 3025 А.

Запишемо комплексно-спряжений струм ojeI 3025

А.

Розрахуємо вираз для повної потужності

2250225050025250~ 453015 jeeeIUS

ooo jjj

.

51

Приклад 5.2. Визначити активну та реактивну потужно-

сті, якщо )15sin(220 otu В, )45sin(2100 otu В,

)45sin(210 oti А.



IUjQPS ~.

Представимо струм та напругу у показниковій формі ojeU 15220 В,

ojeI 4510 А.

Запишемо комплексно-спряжений струм ojeI 4510

А.

Розрахуємо потужність

10031002001020~ 304515

ooo jjj eeeIUS .

Звідси 3100P Вт, 100Q ВАр.

Приклад 5.3. Відомі струм та напруга )90sin(10 oti

А, )60sin(100 otu В. Визначити активну та реактивну

потужності.


Активна потужність визначається як

cosSP .

Реактивна потужність визначається як

sinSQ .

де *IUS , iu .

Звідси

3250)9060cos(2

10

2

100 ooP Вт;

250)9060sin(2

10

2

100 ooQ ВАр.

52

Приклад 5.4. Визначити опори кола (R та L, рис. 5.1),

якщо tu sin2100 В, )90sin(20 oti А.

Рисунок 5.1


Визначимо опір кола

25

1

25

10

25

1 90

jje

U

IY

oj

m

m

См.

Звідси R , 25 LXX Ом.

Приклад 5.5. Електричне коло із послідовно з’єднаних ре-

зистора з опором 10R Ом, котушкою індуктивності

50L мГн і конденсатора ємністю 1000C мкФ увімкнено до

електричної енергії гармонічної напруги з діючим значенням

220В та частотою 50Гц. Обчислити повний опір кола, коефіцієнт

потужності, діюче значення струму, напруги на елементах кола,

активну, реактивну та повну потужності.


Визначимо реактивний індуктивний опір котушки

7.151050502 3 LX L Ом.

Обчислимо реактивний ємнісний опір конденсатора

18.3101000314

116

CX C

Ом.

Визначимо повний опір кола

CL XjXjRZ .

Визначимо амплітуду опору

i

U X R

53

16)18.37.15(10)( 2222 CLm XXRZ Ом.

Визначимо коефіцієнти потужності

625.016

10cos

Z

R , 81.0

16

18.37.15sin

Z

X .

Звідси знайдемо кут 54)81.0arcsin( .

Визначимо діюче значення струму

8.1316

220

mZ

UI А.

Діючі значення напруг

на резисторі 138108.13 IRU R В;

на котушці 2167.158.13 IXU LL В;

на конденсаторі 18.38.13 IXU CC В.

Визначимо діюче значення прикладеної напруги

220)44216(138)( 2222 CLR UUUU В.

Визначимо потужності

активну 1900625.08.13220cos UIP Вт;

реактивну 238081.08.13220sin IUQ Вар;

повну 30408.13220 IUS ВА.

54

6 РОЗРАХУНОК ПРОСТИХ КІЛ ГАРМОНІЧНОГО

СТРУМУ

Приклад 6.1. У колі (рис. 6.1) із номіналами елементів

10R Ом, 318C мкФ, ttu 314sin2100)( В. Визначити на-

пругу )(tuC.

Рисунок 6.1


Комплексний струм у колі визначається за комплексним

законом Ома

ojm

c

mm e

CjR

U

jXR

UI 4510

1

А.

Напруга у колі визначається за законом Ома

oj

CCcm eIjXU 45

. 100 В.

Звідси )45314sin(100 o

c tu В.

Приклад 6.2. У колі (рис. 6.2) із номіналами елементів

40 LXR Ом, )150sin(240)( o

L ttu В. Визначити напругу

на вході кола )(tu .

C

R

55

Рисунок 6.2


Комплексний струм у колі визначається за законом Ома у

комплексній формі

oj

L

mm e

jX

UI 606

А.

Визначаємо напругу у колі

oj

mLm eIjXRU 1052240)( В.


Приклад 6.3. Чому дорівнює показанння вольтметра 1V ,

що увімкнений у коло гармонічного струму (рис. 6.3), якщо

вольтметр 2V показує 30 В, 12R Ом, 5CX Ом.

Рисунок 6.3


Діючі значення напруги та струму визначаються за формулами

302 IXU C В, звідси 62 CX

UI А.

R

L

56

Звідси 1021263021 RIUU В.

Приклад 6.4. Визначити миттєве значення напруги u у

колі (рис. 6.4), якщо коло має такі номінали елементів

101 R Oм, 10C мкФ, 2L мГн, 410 c-1

,

)45sin(2100)( ottu В; )90sin(10)( otti А.

Рисунок 6.4


На основі другого закону Кірхгофа EUIZ .

Подамо напругу в алгебраїчній формі

250250100 45 jeEoj В.

Подамо опір у показниковій та алгебраїчній формах ojej

CjLjRZ 452101010

1

Ом.

Подамо струм у показниковій формі 9025 jeI А.

Розрахуємо значення комплексної напруги oo jj eejU 9045 25210250250

uo jj Ueej

9021002100 .

)90sin(200 otu В.

L C

e U

R

57

Приклад 6.5. У колі гармонічного струму (рис. 6.5) всі

чотири вольтметри показують одне й те саме значення напруги

–100В. Визначити )(tu , якщо взяти o

uL45 .

Рисунок 6.5


Оскільки CLR UUU , то C

LR

1

(у колі резонанс

напруги).

Звідси напруга визначається як

ojLR e

Lj

URIRUU 45100

В.

Тоді )45sin(2100)( ottu В.

Приклад 6.6. У колі (рис. 6.6) LXR , амперметр показує

10 А. Визначити i1 , якщо припустити, що o

i 30 .

Рисунок 6.6

i1 R

i

L

58


Із векторної діаграми знаходимо:

)75sin(211

otIi А, 22

2

2

1 III ,

оскільки LXR , то 22

12 II , звідси 252

11 II А.

Визначаємо )75sin(10 oti А.

Приклад 6.7. Визначити струм )(ti у колі (рис. 6.7) , якщо

ttu sin2120)( В, 12 cXR Ом, 6LX Ом.


Знайдемо значення комплексного струму

oj

cL

ejX

U

jX

U

R

UI 45210

А.


Рисунок 6.7

Приклад 6.8. Визначити покази амперметра A2 , якщо

покази приладів 1A , 3A , 5A відповідно дорівнюють: 5А, 5А, 3

А (рис. 6.9). Векторна діаграма струмів подана на рис. 6.8.

i

R

L

C

59

Рисунок 6.8


Із векторної діаграми визначимо 42

5

2

34 III А,

32

4

2

152 IIII А.

Звідси 62 I А.

Рисунок 6.9

Приклад 6.9. Визначити покази електромагнітного

вольтметра (рис. 6.10), якщо 200E В, 1021 RR Ом, 51LX

Ом, 602CX Ом, 20

1CX Ом, 15

2CX Ом.


Вольтметр показує діюче значення напруги

U

I2

I1

I4

I3

I5

I I2 5

5 2 4

3 1

C R L

60

.260)()( 22

321 21

2

2

CCL

C

C

XXXRRR

EXIXU

Рисунок 6.10

Приклад 6.10. Визначити комплексний опір кола Z

(рис. 6.11), якщо 61 R Oм, 532 RR Oм, 10C мкФ,

5,0L мГн, 410 c-1

.

Рисунок 6.11


Знайдемо загальний комплексний опір кола

32

321

ZZ

ZZZZ

,

C1 R2

C3

R3 R1

L1

E

C1

R2 L2

R1

R3

61

де 1061

1

11 jC

jRZ

Ом; 55222 jLjRZ Ом,

533 RZ Ом.

Запишемо загальний комплексний опір кола oje

j

jZ 4529

5)55(

5)55()106(

.

Приклад 6.11. Визначити миттєве значення струму i у

колі (рис. 6.12), якщо 21 R Oм, 202 C мкФ, 6,01 L мГн,

532 RR Oм, 410 c-1

, )120sin(2100)( ottu В.

Рисунок 6.12


На основі закону Ому комплексній формі Z

UI

.

Запишемо напругу у показниковій формі ojeU 1202100 .

Загальний комплексний опір кола визначається за формулою

32

321

ZZ

ZZZZ

,

де 62111 jLjRZ Ом; 551

2

22 jC

jRZ

Ом;

533 RZ Ом;

C2 R2

L1 R1

R3

62

Розрахуємо числові значення комплексного опору та струму ojejZ 452555 Ом ,

ojeI 7520 .


Приклад 6.12. Визначити струми у гілках кола (рис. 6.13)

та скласти рівняння балансу потужності, якщо коло має такі но-

мінали елементів ttu 314sin225)( В, 5R Ом, 8L мГн,

637C мкФ.

Рисунок 6.13


На основі закону Ома у комплексній формі Z

UI

.

Запишемо напругу у комплексній формі 025 jeU В.

Запишемо комплексний опір кола

5,25,25,25,255

)5(55,2

)(

jj

j

jj

jXR

jXRjXZ

C

CL Ом.

Знайдемо комплексний струм із закону Ома

105,2

25

Z

UI

А.

Визначимо значення комплексних струмів у гілках

1 L

R C

2

1I

2I

U

I

63

oj

CC

ejjjXR

RI

Z

UI 4512

1 255555

510

А;

oj

C

C ejj

j

jXR

jXI

R

UI 4512

2 255555

510

А.

Складемо рівняння балансу потужності:

Загальна потужність джерела 2501025~

IUSд ,

де 250)~

Re( дд SP Вт, 0)~

Im( дд SQ ;

потужність приймача:

2505)25( 22

2 RIP Вт;

2505.21022

LL XIQ Вар;

2505)25( 22

1 cc XIQ Вар;

пд PP , CLд QQQ ;

250Вт = 250Вт, 0 вар = 0 вар.

Приклад 6.13. У колі змінного струму, що зображене на

рис. 6.14, діє гармонічна напруга )1000sin(297)( ttu В. Но-

мінали елементів такі: 1521 RR Ом, 601 L мГн,

502 C мкФ. Визначити миттєве і діюче значення струму у ко-

лі, діюче значення напруги другого споживача 2U , показ ватме-

тра, а також активну, реактивну та повну потужності другого

споживача ( 2R - 2C ).

64


Визначимо опори реактивних елементів

6010601000 3

11 LX L Ом,

2010501000

116

2

12

C

X C

Ом.

Діюче значення вхідної напруги

2102

297

2 m

Д

UU В.

Запишемо комплекс діючого значення напруги

210210 0 jj

Д eeUU U В.

Запишемо загальний опір усього кола

4030201560152211 jjjXjRXjRZ CL .

Запишемо загальний опір усього кола в показниковій формі 3153)30/40( 504030 jarctgj eeZ .

За законом Ома визначимо комплекс діючого значення

3153

31532.4

50

210

j

je

eZ

UI

.

Отже, діюче значення струму дорівнює

R1

R2

C2

U2

L1

u(t)

i

Рисунок 6.14

W

65

2.4ДI А.

Знайдемо амплітудне визначення струму

94.522.42 Дm II A.

Запишемо миттєве значення струму

)31531000sin(94.5)sin()( ttIti im .

Визначимо показання ватметра

]882Re[]2.4210Re[]Re[ 31.5313.53* jj

W eeIUP

2.519]6.705512Re[ j Вт.

Визначимо комплексний опір другого споживача 13.53

22 252015 j

C ejXjRZ Ом.

Комплекс діючого значення напруги 26.10613.5313.53

22 1032.425 jjj eeeIZU В.

Отже, діюче значення напруги

1032 U В.

Визначимо комплексну потужність другого споживача

13.5313.5326.106*

22 4412.4103 jjj eeeIUS

8.3526.264 j ВА.

Звідси запишемо активну, реактивну та повну потужності

другого споживача

6.264P Вт, 8.352Q ВА, 441S ВА.

66

Приклад 6.14. Коло гармонічного струму, схема якого зо-

бражена на рис. 6.15, має такі номінали елементів 301 R Ом,

502 R Ом, 721 X Ом, 1002 X Ом. Діюче значення стру-

му джерела дорівнює 5.1J А. Визначити діюче значення на-

пруги на клемах джерела струму, а також покази амперметрів.


Обчислимо комплексні опори та провідності гілок 38.67

111 787230 jejXjRZ Ом,

,01183.0004931.001282.078

11 38.67

38.67

1

1 СмjeeZ

Y j

j

43.63

222 8.11110050 jejXjRZ ,

.08.0004.0008944.08.111

11 43.63

38.63

2

2 СмjeeZ

Y j

j

Визначимо комплексну провідність паралельно з’єднаних

гілок

R1 R2

X2

U X1 J

I1

Рисунок 6.15

A1 A2

I2

67

.00972.0003834.00893.0

008.0004.001183.0004931.0

23.23

21

Cмej

jjYYY

j

Припустимо, що початкова фаза струму джерела дорівнює

нулю. Тоді комплекс діючого значення струму джерела буде

5.1 JJ А.

Напруга джерела розраховується за формулою

23.23

23.2333.154

0092.0

5.1 j

je

eY

JU

В.

Звідси запишемо діюче значення напруги

33.154U В.

Визначимо комплекси діючих значень струму у паралель-

них гілках

15.44

38.67

23.23

1

1 979.178

33.154 j

j

j

ee

e

Z

UI

А,

66.86

43.63

23.23

2

2 3804.18.111

33.154 j

j

j

ee

e

Z

UI

А.

Звідси запишемо покази амперметрів

979.111 II A А,

3804.122 II A А.

Приклад 6.15. Діюче значення напруги на вході кола (рис.

6.16) 100U В. Знайти діюче значення струмів гілок, якщо

80R Ом, 20CX Ом, 60LX Ом. Перевірити виконання

балансу потужності. Побудувати векторні діаграми струмів та

напруг.


Комплексна напруга кола буде 100UU В.

68

Комплексний опір кола

j

jj

XR

XRXjZ

L

LC

6080

608020

6.3217.344.188.284.388.2820 jejjj Ом.

Знайдемо струм у колі

6.32

6.32926.2

17.34

100 j

je

eZ

UI

А.

Напруга на ділянці 2 – 3 5.201.536.32

2323 45.1404896.2 jjj eeeZIU В.

Знайдемо струм у гілках:

5.205.20

23 756.180

45.140 jj

R ee

R

UI

А,

5.695.20

23 341.260

45.140 jj

L

L ej

e

Xj

UI

А.

Діючі значення струмів у гілках

926.2I А, 756.1RI А, 341.2L

I А.

Перевіримо виконання балансу потужності.

Розрахуємо комплексну потужність джерела

5.1576.246926.2100 6.32* jeIUS j

U ВА.

R

1 C

IR

L

U

I

Рисунок 6.16

IL

2

69

Отже, маємо активну потужність джерела 6.246UP Вт та

реактивну потужність джерела 7.157UQ .

Розрахуємо комплексну потужність споживача

)()( 222

LLRCZ jXIRIjXIS .

Підставимо числові значення

)60(341.280756.1)20(926.2 222 jjSZ

5.1576.246 j ВА.

Отже, одержали активну потужність споживача

6.246ZP Вт та реактивну 5.157ZQ ВА.

Оскільки ZU PP та ZU QQ , то баланс потужності вико-

нується.

U

1U 23U I

RI

LI

Im

Re

Рис. 3.85 Рисунок 6.17

На рис. 6.17 на комплексній площині побудовані векторні

діаграми струмів та напруг.

Розрахуємо напругу 6.122

1 52.58)( j

C ejXIU В.

70

Приклад 6.16. Визначити струми у гілках за допомогою

законів Кірхгофа для схеми, що зображена на рис. 6.18, параме-

три якої подані нижче tte 314sin220)(1 В;

tte 314sin220)(3 В; 5.31821 CC мкФ; 162 L мГн;

52 R Ом, 103 R Ом.

Рисунок 6.18


Подамо джерела струму у комплексній формі 201 E В,

202 E В.

Складемо систему рівнянь на основі рівнянь Кірхгофа

.)(

;)(

;0

33322

1221

321

22

22

EIRIjXRjX

EIjXRjXIjX

III

CL

LCC


C1

1I 3I

)(1 te )(3 te

22I

2I

11I

C2

R2 R2

R3

L2

71

.2010)55(

;20)55(10

;0

32

21

321

IIj

IjIj

III

Запишемо розв’язки системи за допомогою методу Крамера

1

1I ,

2

2I ,

3

3I .

Розраховуємо визначники

200

10)55(0

0)55(10

111

j

j

jj

;

200

10)55(20

0)55(20

110

1

j

j ;

200200

10200

02010

101

2 jj

;

200

20)55(0

20)55(10

011

3 j

j

jj

.

Розрахуємо контурні струми

ojejj

I 9011

200

200

А, 11 I А,

)90314sin(2)(1

otti А;

72

ojejj

jI 452

2 21200

200200

, 22 I А,

)45314sin(2)(2

otti А; oje

j

jI 1803

3 1200

200

А,

13 I А, )180314sin(2)(3

otti А.

Баланс потужності

1E зростає у режимі джерела реактивної потужності, 3E

зростає у режимі джерела активної потужності:

2020120)1(20)(~~~

121131jjIEIESSS ддд

;

20101010)1(5)2( 22

3

2

32

2

232 RIRIPPP RR•p Вт;

221221

2

2

2

2

2

1 LccLCc•p XIXIXIQQQQ -10-

20+10=-20Вт.

пPд PP , птд QQ ;

20Вт = 20Вт, 20вар = 20вар.

Приклад 6.17. Розв’язати попередню задачу методом

контурних струмів.


Складемо систему рівнянь на основі методу контурних струмів

;

;

322221121

122121111

EIZIZ

EIZIZ

де

).55())((

;515)(

;155)(

22

22

212

22112

3222

211

jXXjRZZ

jXXjRRZ

jXXXjRZ

CL

CL

CcL

Підставимо числові значення в систему

.20)515()55(

;20)55()155(

2211

2211

IjIj

IjIj

73

Розв’яжемо систему рівнянь методом Крамера

.1;1 222

111

IjI

Визначимо струми у гілках

.1

;21

;1

223

45

22112

111

II

ejIII

jIIoj

Приклад 6.18. Визначити 11Z та 22Z , якщо 10101 jZ

Ом, 552 jZ Ом, 10103 jZ Ом.

Рисунок 6.19


Визначимо власний опір першого контура

203111 ZZZ Ом.

Взаємний опір контурів ojejZZZ 135

32112 2101010 , Ом.

Визначимо власний опір другого контура

5153222 jZZZ Ом.

74

Приклад 6.19. Визначити 11E у колі (рис. 6.20), якщо

10104321 jZZZZ Ом; ojeE 45

1 2100 В, ojeE 135

2 250 В.

Рисунок 6.20


Власна ЕРС контура

)5050()100100(2111 jjEEE ojej 452150150150 В.

Приклад 6.20. Елементи електричного кола, що зображене

на рис. 6.21, мають такі параметри: 501 R Ом, 1003 R Ом,

1001 CX Ом, 1002 CX Ом, 1001 LX Ом, 1.0J А,

202 jE , В 253 jE В. Визначити струм у гілках електри-

чного кола, вхідну напругу та записати вирази для їх миттєвих

значень.


Визначимо додатні напрямки проходження струмів у кон-

турах (рис. 3.87) та запишемо систему рівнянь на основі законів

Кірхгофа

.

,

,

2332322

221111

321

EEIXjRIXjI

EIXjIRI

JIII

LC

C

75

Підставимо в одержані рівняння числові значення

.45)100100(100

,20100)10050(

,1.0

32

21

321

jIjIj

jIjIj

III

Рисунок 6.21

Після розв’язання системи рівнянь у середовищі MathCAD

знайдемо такі значення струмів у гілках: 815.142

1 146.0088.0116.0 jejI А, 759.48

2 194.0146.0128.0 jejI А, 39.69

3 25.0234.0088.0 jejI А.

Запишемо комплексний опір у першій гілці кола 43.63

111 8.11110050 j

C ejXRZ Ом.

За законом Ома визначимо напругу у цій гілці: 359.8443.63815.142

11 279.168.111146.0 jjj eeeZIU В.

Приклад 6.21. Для кола (рис. 6.22) визначити 11Y та 12Y ,

якщо ojeZZZZZZ 45

654321 210 , Ом.

76

Рисунок 6.22


Знайдемо власну провідність першого вузла

.15,015,0220

3111 45

542

11 jeZZZ

Yoj

Взаємна провідність ojej

ZYY 135

2

2112 205,005,005,01

.

Приклад 6.22. Для кола (рис. 6.23) визначити 33I , якщо

1010654321 jZZZZZZ Ом; 1001001 jE В;

1001006 jE В.


Власний комплексний струм третього вузла

1010141.14210

200

1010

200 45

456

6

1

133 je

ejZ

E

Z

EI j

j

А.

3

6E

1E

Z4 Z3

Z1

1 2

Z6 Z5

Z2

77

Рисунок 6.23

Приклад 6.23. Розв’язати задачу методом двох вузлів,

якщо коло (рис. 6.24) має елементи 1001 E В, 503 jE , В,

10LX Ом, 10CX Ом, 10R Ом.

Рисунок 6.24

R

1I 1 3I

2

2I XL

XC

3E

1E

3

6E

1E

Z4 Z3

Z2

Z1

1 2

Z6 Z5

78


Визначимо напругу між 1-м та 2-м вузлами

)1(10

1

)50100(10

1

111

1131

12

j

jj

RjXjX

ER

EjX

Y

EYU

CL

L

2525821.432

50

1

50 45

45

90

jee

e

j

j j

j

j

.

Визначимо струми у гілках

5,125,210

25251001211 j

j

j

jX

UEI

L

;

555

2525122 j

j

j

jX

UI

C

,

5,75,210

75251233 j

j

R

UEI

.

Приклад 6.24. У колі (рис. 6.25) діюче значення гармоніч-

ного ЕРС 2E В, частота 1000f Гц та номінали елементів

1601 R Ом, 27002 R Ом, 303 R кОм, 1.0C мкФ,

001.0G См. На частоті f комплексне навантаження

600300 jZ Ом. Знайти миттєве значення струму у наванта-

женні. Розрахувати баланс потужності.

79


Визначимо напрям струмів у гілках. Запишемо рівняння за

першим законом Кірхгофа

0321 CIIII , 034 CIIII .

Виразимо струми гілок через напруги 10U , 20U

1

101

R

UEI

,

2

102

R

UI

,

3

20103

R

UUI

,

CC

Z

UUI 2010

,

Z

UI 20

,

)( 1014 UEGUGI .

Підставимо вирази для струмів у рівняння одержані за пе-

ршим законами Кірхгофа. Таким чином, одержуємо рівняння

для вузлових напруг

1

20

3

10

321

)11

()1111

(R

EU

ZRU

ZRRR CC

,

GEUZRZ

UGZR CC

20

3

10

3

)111

()11

( .

Обчислимо частоту

С

R1

R2

R3

E

1I

2I

4I

CI

I

Z 10U 20U

1UG

1U

3I 1 2

0 0

Рисунок 6.25

80

310283.6100022 f .

Розрахуємо опір ємності

jj

C

j

CjZC

3

6310592.1

101.010283.6

1

.

На основі одержаних рівнянь запишемо систему рівнянь

.

,

2222202110

1112201110

JYUYU

JYUYU

У одержаній системі

30000

1

2700

1

160

11111

321

11

CZRRRY

jj

43

310283.610654.6

10592.1

1

.

jjZRZY

C

3

3

2210592.1

1

30000

1

600300

1111

j44 1005.7107 ,

jZRY

C

3

3

1210592.1

1

30000

111

j45 10283.610333.3 ,

001.010592.1

1

30000

1113

3

21

j

GZR

YC

j44 10283.610667.9 ,

013.0160

2

1

11 R

EJ А, 002.02001.022 EGJ А.

Після розв’язання системи рівнянь одержимо 052.7

10 751.1215.0738.1 jejU ,

881.115

20 386.1247.1605.0 jejU .

Розрахуємо комплексне діюче значення струму навантаження

jj

j

Z

UI 3320 10638.110259.1

600300

247.1605.0

453.52310066.2 je А.

81

Обчислимо амплітудне значення струму навантаження 33 10922.210066.22 mI А.

Отже, амплітудне значення струму навантаження

92.2mI мА.

Початкова фаза струму навантаження

5.52I .

Таким чином, запишемо миттєве значення струму

)5.52sin(92.2)( tti мА.

Розрахуємо напруги гілок

)215.0738.1(2101 jUEU

373.39339.0215.0262.0 jej ;

)247.1605.0()215.0738.1(201012 jjUUU

964.31762.2462.1342.2 jej .

Обчислимо струм 373.393373.39

14 10339.0339.0001.0 jj eeUGI А.

Розрахуємо комплексну потужність джерела

jj

R

UES ДЖ

33

1

1 10687.21028.3600

215.0262.02

ВА.

Розрахуємо комплексну потужність споживача

jee

jj

IUZ

U

Z

U

R

U

R

U

R

US

jj

C

СП

33373.393881.115

2

3

2222

4*

20

2

20

2

12

3

2

12

2

2

10

1

2

1

10687.21028.310339.0386.1

600300

386.1

10592.1

762.2

30000

762.2

2700

751.1

160

339.0

Оскільки потужність джерела дорівнює потужності спожи-

вача, то баланс виконується.

82

Приклад 6.25. Розв’язати задачу 6.23 методом накладан-

ня.


Розрахуємо струми у колі, якщо діє тільки джерело 1E (рис.

6.26).

Рисунок 6.26

Знайдемо загальний опір кола, що зображене на рис. 3.21:

;624210)(

12 jjjjXR

jXRjXZjXZ

c

cLL

Знайдемо опори у гілках

.55510

)5()55(

;1010510

10)155(

;155811.15325.6

100

62

100

13

12

565.71

565.71

11

jj

jj

jXR

jXII

jj

j

jXR

RII

jeejZ

EI

C

C

C

j

j

Розрахуємо струми у колі, якщо діє тільки джерело 3E

(рис. 6.27)

45

90

3

12

333

142.14

50

1010

50

)( j

j

CL

CL e

e

j

j

jXjX

jXjXR

E

ZR

E

Z

EI

5,25,2536.3 45 je j А;

83

5,25,21

1231 jjX

ZIIL

А;

5,251

1232 jjX

ZIIC

А.

Визначимо струми у гілках методом накладання

.5,75,2555,25,2

;55551010

;5,125,25,25,2155

333

222

111

jjjIII

jjjIII

jjjIII

Рисунок 6.27

Приклад 6.26. Визначити струм у XC методом еквівален-

тного генератора для схеми із задачі 6.23.


Визначимо напругу неробочого ходу для схеми, що зображена

на рис. 6.28 а

25251

50

11

1121

jj

j

RjX

ER

EjX

U

L

LHX

.

Визначимо опір еквівалентного генератора

551010

)10(10)(j

j

j

jXR

jXRZ

C

LЕГ

.

Визначимо струм у колі, що зображене на рис. 3.23 б

84

55555

2525j

jj

j

jXZ

EI

CЕГ

ЕГ

.

а б

Рисунок 6.28

Приклад 6.27. Визначити ,2R за яким зсув фаз між U та

I дорівнює o45 , 31 R Ом, 5LX Ом у колі, що зображене на

рис. 6.29.


Визначимо загальний опір кола (рис. 6.29)

22

2

2

2122

2

2

2

1

L

L

L

L

L

L

XR

RXjR

XR

RXR

jXR

jRXZ

.

Для того щоб зсув фази був 45o

, необхідно, щоб )Im()Re( ZZ :

22

2

2

2122

2

2

2

L

L

L

L

XR

RXR

XR

RX

.

Звідси одержуємо рівняння

.075252 2

2

2 RR

Розв’язавши рівняння, одержимо 152 R Ом.

85

Рисунок 6.29

Приклад 6.28. Коло, що зображене на рис. 6.30 має пара-

метри 10I А, 100E В, ZR2

1 , jXRZ . Визначити по-

кази ватметра



IUS ~.

Струм визначається за формулою

222

2222

XR

UXj

XR

UR

jXR

U

Z

UI

.

Визначимо активну потужність

R

U

Z

RUSP

2

2)

~Re(

2

2

2

.

(оскільки RZ 2 за умовою).

Визначимо діюче значення струм у колі

102

R

U

Z

UI А.

Звідси визначаємо активний опір

10I

UR Ом.

Відповідно активна потужність

R1

R2 U

I

X

86

500102

100

2

22

R

UP Вт.

Рисунок 6.30

7. ЕЛЕКТРИЧНІ КОЛА ІЗ КОТУШКАМИ ІЗ ВЗАЄМНОЮ

ІНДУКЦІЄЮ

7.1. Розрахунок простих кіл символічним методом

Два контури індуктивно або взаємноіндуктивно зв’язані,

якщо частина магнітного потоку, створеного струмом одного з

контурів, пронизує інший (рис. 7.1).

L1

i1

L2

i2

Рис. 3.52 Рисунок 7.1

Характерною ознакою електричних кіл з взаємною індук-

тивністю є те, що електромагнітні процеси в їх елементах впли-

* *

Z U

I Z

87

вають один на однин і в основі цього впливу лежить закон елек-

тромагнітної індукції, який вивчався в курсі фізики.

Індуктивний зв’язок елементів утворюється як спеціально,

так і небажано. Індуктивний зв'язок застосовується в трансфор-

маторах, дозволяє регулювати власну індуктивність контура за

допомогою зміни індуктивного зв’язку між елементами контура,

регулювати фазові зсуви між напругами і струмами і т. п.

Індуктивний опір взаємоіндукції визначається таким чином:

MX M .

На схемах інформацію про спосіб зв’язку між котушками

подають через поняття однойменних затискачів. Затискачі двох

котушок вважають однойменними, якщо за однакових напрямів

струмів відносно цих затискачів магнітні потоки самоіндукції і

взаємоіндукції у кожній котушці збігаються за напрямом. На

практиці однойменність затискачів котушок залежить від їх вза-

ємного розташування і напряму намотування.

З енергетичної точки зору в електричному колі за наявнос-

ті взаємоіндукції за рахунок магнітного потоку взаємоіндукції

здійснюється передача потужності із одного контура в інший.

Взаємоіндуктивні котушки зображуються, як зазначено на

рис. 7.2. На рисунку знаком «» позначений початок обмотки.

L1

i1

L2

i2 M

( ) ( )

Рис. 3.54

Рисунок 7.2

Коли власний і взаємні магнітні потоки спрямовані в один

бік – узгоджене включення. В різні – неузгоджене.

Напруга на котушці індуктивності визначається із закону

електромагнітної індукції

88

dt

diL

dt

deuL

.

Напруга запишеться таким чином

dt

diM

dt

diL

dt

dEuL

2

.

Запишемо вираз для напруги при узгодженому ввімкненні

котушок індуктивностей у диференціальний формі

dt

diM

dt

diLu 21

11

та у комплексній

2111 IMjILjU .

Опір визначається за формулою

)( ML XXjZ .

Запишемо вираз для напруги при неузгодженому ввімк-

ненні котушок індуктивностей у диференціальній

dt

diM

dt

diLu 21

11

та комплексній формі

2111 IMjILjU .

Опір визначається за формулою

)( ML XXjZ .

Порівнюючи напруги та опори цих методів ввімкнення на-

вантаження (таблиця 7.1) та використовуючи закон Ома, одер-

жуємо, що струм при неузгодженому зв’язку буде більший, ніж

при узгодженому.

Таблиця 7.1

Параметри Узгоджений зв'язок Неузгоджений зв’язок

Напруга 1222 IMjILjU 1222 IMjILjU

Опір )( ML XXjZ )( ML XXjZ

Далі розглянемо розрахунки кіл із взаємоіндуктивними ко-

тушками на прикладах.

89

7.2. Приклади розв’язування задач

Задача 7.1. Знайти зсув фази

між струмом та напругою у колі

(рис. 3.18) на частоті Коло

має такі параметри елементів

, ,

взаємоін-

дукція .

Рисунок 7.1


Розрахунки будемо здійснювати у нормованих одиницях:

опір – кОм, індуктивність – мГн, ємність – нФ.

Оскільки струм через котушки індуктивності та

проходить узгоджено, то запишемо вхідний опір кола

Визначимо опори елементів

Підставимо числові значення у вираз для вхідного опору кола

Оскільки , то зсув фази між струмом та напругою

буде не чим іншим як фазою виразу вхідного опору. Отже, зсув

фази між струмом та напругою становить .

90

Задача 7.2. Визначити напругу на котушці у колі при

узгодженому та неузгодженому проходженні струмів (рис. 7.2),

якщо джерела струму працюють на частоті , взаємна

індукція , Струми джерела визна-

чаються за законами

,

Рисунок 7.2


Розрахунки будемо здійснювати у нормованих одиницях:

опір – кОм, ємність – нФ, індуктивність – мГн, частота –

рад/мкс.

Запишемо комплексні амплітуди струмів

, .

Визначимо опори котушок

кОм, кОм.

Визначимо опір зв’язку

кОм.

Визначимо напругу при узгодженому проходження струмів

Перейдемо до функції часу

В.

Визначимо напругу за неузгодженого протікання струмів

Перейдемо до функції часу

, В.

91

Задача 7.3. Для заданого кола (рис. 7.3) із однаковими ко-

тушками споживана активна потужність становить .

Струм та напруга у колі становлять

Частота джерела напруги стано-

вить Гц. Знайти параметри елементів кола , , , ,

Рисунок 7.3


Активна потужність кола визначається за формулою

Звідси визначимо опір

Колова частота визначається як

За другим законом Кірхгофа для першого контура

Визначимо амплітуду напруги на першій котушці

Звідси визначимо

Оскільки котушки однакові, то

Струм у першій котушці через взаємоіндукцію створює у

другій котушці напругу взаємоіндукції

92

Оскільки , то , оскільки ,

то

Звідси визначимо взаємоіндукцію

Оскільки , то , і опір може бути будь-

яким.

Коефіцієнт зв’язку визначається

Опір може набрати будь-яких значень, оскільки струм

Задача 7.4. Знайти вхідний опір кола (рис. 7.4) та запи-

сати систему рівнянь на основі методу контурних струмів. Замі-

нити магнітні зв’язки керованими джерелами. Записати систему

рівнянь

Рисунок 7.3


Узгоджене чи неузгоджене проходження струмів будемо

визначати, виходячи з того, як контурні струми проходять через

котушки із магнітним зв’язком.

Складемо систему рівнянь на основі методу контурних

струмів

Запишемо матрицю опорів

* *

93

Визначимо визначник системи

Із записаної матриці через визначники визначимо вхідний

опір кола

Зобразимо еквіваленту схему, замінивши індуктивні

зв’язки керованими джерелами. Як керовані джерела оберемо

джерело напруги, кероване струмом (рис. 7.5).

Рисунок 7.5

Складемо систему рівнянь на основі методу контурних

струмів для заданої схеми

Перенесемо невідомі змінні із правої частини рівнянь у ліву

Спростимо систему

Як видно, системи рівнянь збіглися, отже, схема зображена

правильно.

94

Приклад 7.5. Розрахувати струми у колі із індуктивно

зв’язаними гілками.

Рисунок 7.5

До кола (рис. 7.6) прикладена синусо-

їдальна напруга з діючим значенням

U=600В. На частоті прикладеної напруги

реактивні опори XL1=XL2=XC=300Ом,

XМ=1.5XL1. Знайти діючі значення струмів

у гілках. Потужність передається з однієї

гілки в іншу за рахунок індуктивного

зв’язку між ними. Побудувати векторні

діаграми струмів. Опір 100R Ом.


Запишемо окремо опори кожної з гілок з урахуванням уз-

годженого ввімкнення котушок індуктивності з індуктивно

зв’язаними гілками.

Знайдемо опір взаємоіндукції

4503005.15.1 1 LM XX Ом.

Опір першої гілки з урахуванням узгодженого ввімкнення

котушок індуктивності

45030010011 jjjXjXRZ ML 405.82637.756750100 jej .

Опір другої гілки з урахуванням узгодженого ввімкнення

котушок індуктивності

30045030010022 jjjjXjXjXRZ CML 47.77977.460450100 jej .

Знайдемо струм у гілках:

1) струм у першій гілці

2) струм у другій гілці

;785.0104.0)991.0132.0(793.0

))405.82sin()405.82(cos(793.0793.0977.756

600 405.82

405.82

1

1

Ajj

eeZ

UI j

j

95

За першим законом Кірхгофа знайдемо струм

055.2386.027.1282.0785.0104.021 jjjIII А.

Далі необхідно побудувати векторну діаграму (рис. 7.7).

Рисунок 7.7 – Векторна діаграма струмів

Запишемо потужність, що передається з однієї гілки в іншу

за рахунок взаємоіндукції

,47.73434.272450)163.0605.0(

450))785.0(785.0104.02104.0(450)785.0104.0( 2222

11

jj

jjXIP MM

jjXIP MM 326.322019.690450)27.1282.0( 22

22 .

Приклад 7.6. Знайти струми гілок кола, що зображенs на

рис. 7.8. Величини комплексних опорів jZ 8101 Ом,

jZ 63 Ом, реактивні опори індуктивностей 61 LX Ом,

102 LX Ом , активний опір 62 R Ом, величини джерел ЕРС

.27.1282.0)976.0217.0(302.1

))47.77sin()47.77(cos(302.1302.1977.460

600 47.77

47.77

2

2

Ajj

eeZ

UI j

j

-1.4

-1.2

-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 Re

Im

I1

0

I2

96

501 E В, jE 502 В, коефіцієнт зв’язку 85.0k . Перевірити

виконання балансу потужності.

Рисунок 7.8


Визначимо комплексний опір взаємоіндукції

jjXXjkjXZ LLMM 584.610685.021 Ом.

Визначаємо додатні напрямки контурних струмів у гілках.

Рівняння складені за методом контурних струмів у матри-

чній формі

22

11

22

11

2221

1211

E

E

I

I

ZZ

ZZ

.

Знайдемо власні комплексні опори контурів

MLL ZXXjZZZ 2)( 212111 ,

13122 LXjZZZ .

Взаємні комплексні опори контурів

ML ZjXZZ 1112 , 1221 ZZ .

Власні ЕРС контурів

2111 EEE , 122 EE .

У власний комплексний опір першого контура 11Z увійшла

величина MZ2 , оскільки контурний струм 11I орієнтований

відносно однойменних затискачів елементів 1LX та 2LX однако-

во.

97

У взаємний комплексний опір 12Z увійшла величина MZ ,

оскільки контурний струм 11I та 22I орієнтований відносно од-

нойменних затискачів елементів 1LX та 2LX не однаково.

Підставимо числові значення в матричне рівняння

50

5050

81058.410

58.41017.2116

22

11 j

I

I

jj

jj

.

Розв’язавши одержану систему рівнянь, одержуємо зна-

чення контурних струмів

jI 56.445.111 А, jI 31.511.022 А.

Визначимо струми гілок 72

112 78.456.445.1 jejII А, 89

223 31.531.511.0 jejII А,

)31.511.0()56.445.1(22111 jjIII

15054.176.034.1 jej А.

Розрахуємо напруги на елементах кола

jjjIjXU LXL 03.854.4)76.034.1(6111 В,

jjjIjXU LXL 52.1457.45)56.445.1(10222 В,

jjjIjXU MM 56.930)56.445.1(584.621 В,

jjjIjXU MM 82.898.4)76.034.1(584.612 В,

jjjIZUZ 27.1834.7)76.034.1()810(111 В,

jjIZUZ 32.2771.8)56.445.1(6222 В,

jjjIZU 68.088.31)31.511.0()6(333 В.

Визначаємо напруги

jZIjXZIU ML 68.012.18)( 21111 В,

jZIjXZIU ML 68.5088.31)( 122122 В,

jZIU 68.088.31333 В.

Комплексна потужність джерел

98

)76.034.1(50*

22

*

11 jIEIES ДЖ

jjj 8.348.160)56.445.1(50 ВА.

Комплексна потужність споживача *

33

*

22

*

11 IUIUIUSСПОЖ )76.034.1()68.012.18( jj

)56.445.1()68.5088.31( jj

jjj 8.348.160)31.511.0()68.088.31( ВА.

Баланс потужності виконується, оскільки потужність дже-

рела дорівнює потужності споживача.

Приклад 7.7. Розрахувати струм у котушках трансформа-

тора та напругу на всіх елементах кола (рис. 7.9), що має такі

номінали 1621 LLL мГн, 2021 RRR Ом, коефіцієнт

магнітного зв’язку КЗВ=0.625, активний опір навантаження

100HR Ом, частота джерела 200F Гц, діюче значення на-

пруги 1001 U В.


Рівняння, складені за методом контурних струмів, будуть

мати такий вигляд:

21121111 )( IMjIZIMjIXjRU ,

22222212 )( IZIXjRRIMjE H .

З другого рівняння визначимо струм

1

22

2 IZ

MI

.

Підставимо це значення у перше рівняння

99

1

22

22

111

22

22

111 )( IZZ

MZII

Z

MIZU BX

.

Виконаємо перетворення комплексного вхідного опору:

2

22

2

22

2222

22

11

2222

22

11

)(

XR

XjRMXjR

XjR

MXjRZBX

BXBX XjRXKjRKXjR 22

2

22

2

11 де

HBX RRRRKRR 22222

2

1 , ,

22222

2

1 , XXXKXX BX ,

2

22

2

22

222

XR

MK

.

Обчислимо опори:

1.20101620022 3

11 LfLX Ом,

1.2022 LX Ом,

12010020222 HRRR Ом,

LKLLKMX CBCBM 21

6.121016625.02002 3 Ом.

Коефіцієнт трансформації:

1035.01.20120

6.1222

2

2

22

2

22

22

XR

MK

.

Обчислимо вхідний активний та реактивний опори

3.211201035.020 2

22

2

1 RKRRBX Ом,

9.191.201035.01.20 2

22

2

1 XKXX BX Ом.

Визначимо повний опір первинного контура 05.432.299.193.21 j

BXBXBX ejXjRZ .

Визначимо струм в первинному контурі

5.43

5.43

11 43.3

02.29

1000

j

jBX

eeZ

UI

А.

100

Струм у вторинному контурі визначимо за умови рівності

активних потужностей у внесеному активному опорі в первин-

ний контур і в активному опорі первинного контура:

)()( 2

2

2

2

12

2

HH RRIIRRK , звідки

355.012 IKI А.

Визначимо напруги на всіх елементах вторинного та пер-

винного контурів

5.35355.01002 IRU HH В,

6943.31.20111 IXU X В,

15.7355.01.20222 IXU X В,

6.6843.320111 IRU В,

1.7355.020222 IRU В,

2.4343.36.1211 IXU MM В,

46.4355.06.1222 IXU MM В.

Приклад 7.8. У колі, що зображене на рис. 7.10, визначи-

ти струми гілок за наявності взаємоіндукції між котушками ін-

дуктивності 1L та 2L . Обчислити напругу на елементах схеми та

побудувати сумісну топографічну діаграму напруг та векторну

діаграму струмів. Скласти рівняння енергетичного балансу та

визначити активну потужність, що передається магнітним пото-

ком взаємоіндукції, якщо 81 R Ом, 301 LX Ом, 42 R Ом,

102 LX Ом, 6.15MX Ом, 8.53 R Ом, 15.11 CX Ом,

7.34 R Ом, 12 CX Ом. Вхідна напруга

)20sin(2380)( ttu В.

101

Рисунок 7.10


Для розрахунків скористаємося методом контурних стру-

мів. Виберемо додатні напрями проходження контурних струмів

по контурах. Запишемо систему рівнянь

,0

,

222211

122111

ZIZI

UZIZI

де

15.18.5308131111 jjjXRjXRZ CL 5.643285.288.13 jej Ом,

32142222 RjXjXRRjXZ CCL

8.5115.17.3410 jjj 2.306.1585.75.13 jej Ом,

)15.18.5(6.15)( 132112 jjjXRjXZZ CM 1097.1775.168.5 jej Ом.

Підставимо числові значення в систему

.06.157.17

,3807.1732

2.30

2

109

1

20109

2

5.64

1

jj

jjj

eIeI

eeIeI

Після розв’язання системи рівнянь одержуємо 2.63

1 23.8 jeI А, 7.57

2 33.9 jeI А.

Від знакf «-» у виразі для комплексного струму 2I можна поз-

бутися, змінивши аргумент комплексу на : 3.1647.15

2 33.933.9 jj eeI А.

102

Струм у третій гілці визначимо за першим законом Кірхгофа 8.203.1642.63

213 6.1333.923.8 jjj eeeIII А.

Визначимо напругу на ділянках кола 2.632.63

11 84.65823.8 jj

ab eeRIU В,

3.63.748.26 9.3.2615.1459.246 jjj eee В,

9.128.263.74

122 3.1434.1283.93 jjj

MLcd eeejXIjXIU В,

33.1643.164

21 3.37433.9 jj

df eeRIU В,

3.1793.164

242 1.36)17/3(33.9)( jj

Cfk ejejXRIU В,

328.20

133 1.4.80)15.18.5(6.13)( jj

Cck ejejXRIU В.

За результатами розрахунків будуємо сумісну топографіч-

ну діаграму напруг та векторну діаграму струмів (рис. 7.11).

Рисунок 7.11

Розрахуємо баланс потужності.

Розрахуємо потужність генератора

214122804.312723.8380 2.432.6320*

1 jeeeIUS jjj

Отже, активна потужність 2280P Вт, а реактивна

2141Q ВАр.

При обчисленні потужності споживача необхідно враховувати

також потужність, що обумовлена взаємоіндукцією.

Розрахуємо потужність взаємоіндукції

103

2.63903..164*

12

*

1.1 23.86.1533.9 jjj

MbcMM eeeIXjIIUS

6.23011751198 1.11 je j ,

3.164902.63*

21

*

2.2 33.96.1523.8 jjj

McdMM eeeIXjIIUS

6.2306.11751198 1.191 je j ,

Обчислимо потужність споживачів елементів

1

2

33

2

22

2

24

2

22

2

21

2

11

2

11

2

1 CCLLCП jXIRIjXIRIRIjXIjXIRIS

Обчислимо загальну потужність

)6.2306.1175()6.2301175(2.2602228521. jjjSSSS MMСПСПЗАГ

214122851198 1.191 je j .

Отже, активна потужність споживача 2285СПP Вт, а ре-

активна – 2141СПQ ВАр. Оскільки активна та реактивна по-

тужності споживача та генератора рівні між собою, то баланс

потужності збігся і можна вважати, що розрахунок кола викона-

ний з достатньою точністю.

8 КОМПЛЕКСНИЙ РОЗРАХУНОК КІЛ ГАРМОНІЧНОГО

СТРУМУ

Приклад 8.1 Коло, що зображене на рис. 8.1, має парамет-

ри, що подані у таблиці 83.1. Необхідно розрахувати всі струми

у гілках кола методом законів Кірхгофа, методом контурних

струмів та методом вузлових потенціалів, розрахувати баланс

потужності та побудувати векторні діаграми струмів та напруг.

Таблиця 8.1

1Е

м В 3Е

м В

1

град 3

град

1R

Ом 2R

Ом 3R

Ом

1L

мГн 2L

мГ

н

3L

мГн

4L

мГ

н

70 90 60 -100 75 10

0

50 32 32 64 32

М23 мГн М24 мГн 1С мкФ 3С мкФ F Гц

15 10 4 2 300

.2.260222857.2128.1072871.3222.3485.81020329.541 jjjjj

104

L3

L2

L1

L4 R3

R2

E3

E1

C3

C1

A

V

W

M23 M24

R1

1

Рисунок 8.1 – Вихідна схема


Оберемо напрямки протікання струмів у гілках схеми, що

зображена на рис. 8.1 та оберемо напрямки обходу контурів

(рис. 8.2)

L3

L2

L1

L4 R3

R2

E3

E1

C3

C1

A

V

W

M23 M24

i1 i3

i2

1 контур

2 контур

R1

1

Рисунок 8.2 – Схема для розрахунку струмів

за законами Кірхгофа

Знаки перед опором взаємної індукції обираються у відпо-

відності до напряму струмів у котушках індуктивності. Так,

струм 1i входить у початок L4, а струм 2i – у кінець L2, тобто по

відношенню до струму 1i котушки L4 та L2 ввімкнені зустрічно,

105

тому перед опором взаємної індукції обраний від’ємний знак.

Струм 3i входить у початок котушки L3, тобто по відношенню

до струму 1i котушки L2 та L3 ввімкнені зустрічно, тому перед

опором взаємної індукції обраний додатний знак.

Складемо систему рівнянь в інтегрально-диференціальній

формі за законами Кірхгофа

.)(1

,1

,

31

243

232

2223

3

223

3333

13

231

242

2221

12

241

4111

1

321

Edt

diM

dt

diM

dt

diLRidti

Cdt

diM

dt

diLRi

Еdt

diM

dt

diM

dt

diLRi

dt

diL

dt

diM

dt

diLRidti

C

iii

Складемо систему рівнянь за законами Кірхгофа у компле-

ксній формі

.)(1

,1

,

32412332222

3

32323333

12332412222112424111

1

1

321

EMjIMjILjIRICj

IMjILjIRI

EMjIMjILjIRILjIMjILjIRICj

I

III

Згідно з варіантом завдання розрахуємо значення джерел

jeeE

E jjm 866.42749.242

70

2

60.11

1 ,

jeeE

E jjm 673.62051.112

90

2

100.33

3 .

Обчислимо кругову частоту 310885.130022 F Гц.

Обчислимо опори гілок

jjCj

Z C 629.13210410885.1

1163

1

1

Ом,

jjCj

Z C 258.26510210885.1

1163

3

3

Ом,

jjLjZ L 319.60103210885.1 33

11 Ом,

106

jjLjZ L 319.60103210885.1 33

22 Ом,

jjLjZ L 637.120106410885.1 33

33 Ом,

jjLjZ L 319.60103210885.1 33

44 Ом,

jjMjZ M 274.28101510885.1 33

2323 Ом,

jjMjZ M 85.18101010885.1 33

2424 Ом.

Підставимо дані у систему рівняннь у комплексній формі

.)(

,

,

32412332222332323333

1233241222211242411111

321

EZIZIZIRIZIZIZIRI

EZIZIZIRIZIZIZIRIZI

III

MMLCML

MMLLMLC

Підставимо числові дані в систему

.672.62051.11)85.18274.28319.60100(

258.265274.28.637.12050

,866.42749.24274.2885.18319.60

100637.12085.18319.6075629.132

,

1322

3233

312

212111

321

jjIjIjII

jIjIIjI

jIIjI

IIjIIjIIj

III

Розрахувавши систему за допомогою пакета MathCad

отримаємо:

.196.0185.0065.0

,387.0334.0196.0

,301.015.0261.0

434.109

3

415.120

2

212.150

1

j

j

j

ejI

ejI

ejI

Складемо систему рівнянь за методом контурних струмів.

Виберемо напрямки проходження контурних струмів у контурах

(рис. 8.3).

107

L3

L2

L1

L4 R3

R2

E3

E1

C3

C1

A

V

W

M23 M24

i1 i3

i2

І11

І22

R1

1

Рисунок 8.3 - Схема для розрахунку струмів за МКС

Складемо систему рівнянь за методом контурних струмів:

.

,

322222111

112221111

ЕZIZI

ЕZIZI

Запишемо повний опір першого контура

.628.1017521

2422141

1

11 jMjLjRLjLjRCj

Z

Запишемо загальний опір двох контурів

jMjMjLjRZZ 743.691002423222112 .

Запишемо повний опір другого контура

2322

3

3322 21

MjRLjCj

LjRZ

j754.27150 .

Підставимо числові значення в систему рівнянь

.673.62051.11)754.27150()743.69100(

,866.42749.24)743.69100()628.10175(

2211

2211

jjIjI

jjIjI

Розрахувавши систему за допомогою пакета MathCad,

отримаємо:

..196.0185.0065.0

,301.015.0261.0

434.109

22

212.150

11

j

j

ejI

ejI

Знайдемо струми у гілках кола

108

.196.0185.0065.0

,387.0334.0196.0

,301.015.0261.0

434.109

3

415.120

2

212.150

1

j

j

j

ejI

ejI

ejI

Розрахуємо покази амперметра, вольтметра, ватметра. Ам-

перметр буде показувати струм 3I , отже: 434.109

3 196.0185.0065.0 jejI А.

Амперметр покаже 0.196 А. Напруга між точками підклю-

чення вольтметра

,

де

jRIUR 217.11596.19221 В,

jMLjIUL 758.15024.9)( 24422 В.

Підставимо числові значення 827.116265.78842.69321.35 j

V ejU В.

Вольтметр покаже 78.265 B. Ватметр буде показувати реа-

льну частину добутку відповідних струму та напруги:

)(*

2IUP WW .

Обчислимо напругу між точками підключення ватметра

(рис. 8.4)

)( 2414111 MLLW ZZZIRIU

596.96064.38812.37372.4 jej В.

Струм *

2I беремо комплексно-спряженим зі струмом 2I

jI 334.0196.0*

2 А.

Обчислимо потужність ватметра:

)334.0196.0()812.37372.4( jjPW

819.23748.14956.5492.13 jej .

Отже, ватметр покаже 14.748 Вт.

121 EUUU LR

109

L3

L2

L1

L4 R3

R2

E3

E1

C3

C1

A

V

W

M23 M24

i1 i3

i2

R1

1

UW

IW

UV

Рисунок 8.4

Побудуємо векторну діаграму струмів, використовуючи

розраховані значення струмів у гілках:

.196.0185.0065.0

,387.0334.0196.0

,301.015.0261.0

434.109

3

415.120

2

212.150

1

j

j

j

ejI

ejI

ejI

Побудуємо за допомогою математичного пакета MathCAD

векторну діаграму струмів (рис. 8.5).

I1

I2

I3

Im(I)

Re(I)

Im(I)

Рисунок 8.5 - Векторна діаграма струмів

Для побудови топографічної векторної діаграми напруг ро-

зрахуємо напруги у першому контурі схеми, що зображена на

рис. 8.6.

110

L3

L2

L1

L4 R3

R2

E3

E1

C3

C1

A

V

W

M23 M24

i1 i3

i2

R1

1

IW

U1

UL4

UL1

UR2

UC1

UL2 1 контур

А

В

Рисунок 8.6 - Напруга у першому контурі

Розрахуємо напруги у 1-му контурі

75)15.0261.0(111 jRIU

212.50.1579.22217.11596.19 jej В,

,336.12063.12723.285.18)334.0196.0(

319.60)15.0261.0(

279.77

242414

Bejjj

jjZIZIU

j

MLL

jjZIU LL 319.60)061.0332.0(111

,159.1876.15021.9 212.60 Bej j

100)334.0196.0(222 jRIU

415.120746.38414.33615.19 jej В,

,116.23065.5554.22274.28)185.0065.0(

85.18)15.0261.0(319.60)334.0196.0(

658.12

233241222

Bejjj

jjjjZIZIZIU

j

MMLL

,929.39653.34836.19)629.132()15.0261.0( 788.119

111 BejjjZIU j

CC

Побудуємо топографічну векторну діаграму напруг (рис.

10.7), вибравши обхід 1-го контура, як зазначено на рис. 8.7.

111

U1

UL4

UL3

U2

UL2

UC1

E1

Im(U)

Рисунок 8.7 - Топографічна векторна діаграма напруг

Для побудови топографічної векторної діаграми напруг ро-

зрахуємо напруги у 2-му контурі схеми, що зображена на рис.

8.8.

L3

L2

L1

L4 R3

R2

E3

E1

C3

C1

A

V

W

M23 M24

i1 i3

i2

R1

1

IW

U3

UL3

UR2

UC3

UL2

2 контур

А

В Рисунок 8.8 - Напруга у другому контурі

Розрахуємо напруги у 2-му контурі

50)194.0115.0(333 jRIU

669.12841.12689.9754.7 jej В,

112

,52.33702.13591.30274.28)255.0177.0(

637.120)194.0115.0(

873.155

232333

Bejjj

jjZIZIU

j

MLL

,057.31515.25707.17100)255.0177.0( 76.124

222 BejjRIU j

,713.19035.0712.19274.28)194.0155.0(

85.18)061.0332.0(319.60)255.0177.0(

101.0

233241222

Bejjj

jjjjZIZIZIU

j

MMLL

)258.265()194.0155.0(333 jjZIU CC

Bej j 669.38836.65136.41402.51 .

Побудуємо топографічну векторну діаграму напруг (рис.

7.8), вибравши обхід 2-го контура, як зазначено на рис. 8.9.

Рисунок 8.9 - Топографічна векторна діаграма напруг

Оскільки сума напруг у контурі дорівнює нулю, як видно з

топографічної векторної діаграми, отже, розрахунки здійснені

правильно, оскільки діаграма ілюструє виконання другого зако-

ну Кірхгофа у 2-му контурі.

Зобразимо на рис. 8.10 сумісну векторну діаграму струмів

та топографічну векторну діаграму напруг, причому струми на

діаграмі збільшимо у 100 разів.

113

Рисунок 8.10 - Суміщена топографічна векторна діаграма

струмів та напруг у 2-му контурі

Побудуємо векторну діаграму гілок відносно точок АВ

(рис. 8.7). Для цього розрахуємо напруги гілок відносно точок

АВ.

Напруга першої гілки

11411 EUUUUU LLCAB

368.94592.38479.38939.2 jej В.

Напруга другої гілки 632.85

221 592.38479.38939.2 j

LAB ejUUU В.

Напруга третьої гілки 632.85

32332 592.38479.38939.2 j

CLAB ejUUUEU В.

За розрахованими даними побудуємо векторні діаграми

напруг (рис. 7.10).

U3

UL3

UC3

UL2

U2

E3

I1

I2

I3

Re(I,U)

Im(I,U)

114

Im(U)

Re(U)

Рисунок 8.11 - Векторна діаграма напруг відносно точок АВ

Розрахунок кола методом двох вузлів без індуктивних

зв’язків. Перетворимо схему, що зображена на рис. 8.11, відки-

даючи індуктивні зв’язки між котушками та замінюючи магнітні

зв’язки. Якщо індуктивно-зв’язані котушки увімкнені у вузол

однойменними затискачами (початками або кінцями), то в третю

гілку потрібно увімкнути котушку з М, а від індуктивностей са-

мих котушок відняти по М, а якщо індуктивно-зв’язані котушки

увімкнені у вузол різнойменними затискачами – в третю гілку

потрібно увімкнути котушку з -М, а до індуктивностей самих

котушок додати М. Зобразимо схему одержаного кола (рис.

8.12).

L3+M23

L2-M24+M23

L1

L4-M24 R3

R2

E3

E1

C3

C1

A

V

W

i1 i3

i2

R1

1

M24 -M23

Рисунок 8.12 - Схема для розрахунку методом двох вузлів

115

Позначимо у схемі два вузли та пронумеруємо гілки (рис.

8.13). Потенціал нульового вузла візьмемо за нуль (φ0=0).

L3+M23

L2-M24+M23

L1

L4-M24 R3

R2

E3

E1

C3

C1

A

V

W

i1 i3

i2

R1

1

M24 -M23

0

1

φ0

φ1

Гілка 1

Гілка 2

Гілка 3

Рисунок 8.13 - Схема для розрахунку методом двох вузлів

Розрахуємо опори гілок.

Опір 1-ї гілки визначається як

jMLMLjXRZ C 116.5975)( 231244111 Ом.

Опір 2-ї гілки визначається

jMMLjRZ 743.69100)( 2324222 Ом.

Опір 3-ї гілки визначається як

jMLMjXRZ C 497.9750)( 23324333 Ом.

Розрахуємо провідності гілок як

jjZ

Y 33

1

1 10482.610224.8116.5975

11

Сім,

jjZ

Y 33

2

2 10692.410728.6743.69100

11

Сім,

jjZ

Y 33

3

3 10121.810165.4497.9750

11

Сім.

Оскільки всі три гілки під’єднані до вузлів 0 та 1 парале-

льно, то знайдемо загальну провідність, додавши провідності

всіх вузлів

jYYYY 3

321 10911.9019.0 Сім.

116

Знаходимо струми у гілках, де стоять джерела ЕРС,

jYEI 513.0074.01111 А,

jYEI 351.0463.03333 А.

Складемо рівняння на основі методу двох вузлів, причому

якщо струм входить у вузол, то його беремо зі знаком «+», якщо

виходить із вузла, то його беремо зі знаком «-».

33111 IIY

З рівняння знаходимо

j

jj

Y

II3

33111

10911.9019.0

)351.0463.0(513.0074.0

j095.47689.3 В.

Розрахуємо струми у гілках схеми, що зображена на рис. 8.2

j

jj

Z

EI

116.5975

)095.47689.3()866.42749.24(

1

111

j15.0261.0 А,

jj

j

ZI 334.0196.0

743.69100

)095.47689.3(00

2

12

А,

j

jj

Z

EI

497.9750

)095.47689.3()673.62051.11(

3

133

j185.0065.0 А.

Складемо порівняльну таблицю розрахунків струмів у

трьох гілках схеми за методом законів Кірхгофа, методом кон-

турних струмів та методом вузлових потенціалів (табл. 8.2).

Таблиця 8.2 - Порівняння результатів розрахунків різними ме-

тодами

Метод розрахунків Розраховані струми

I1 I2 I3

МЗК -0.261-0.15j -0.196-0.334j -0.065+0.185j

МКС -0.261-0.15j -0.196-0.334j -0.065+0.185j

МВП -0.261-0.15j -0.196-0.334j -0.065+0.185j

117

Розрахуємо потужності для споживачів

jZIZIZISСПОЖ 438.7726.233

2

32

2

21

2

1 ВА.

Отже,

ВтPСПОЖ 726.23 , ВарQСПОЖ 438.7 .

Здійснимо окремо розрахунок активної та реактивної по-

тужностей споживачів. Розрахуємо активну потужність спожи-

вача

.726.23185.0065.050334.0196.0100

15.0216.075

22

22

33

2

22

2

11

Втjj

jIRIRIRPСПОЖ

Розрахуємо реактивну потужність споживача

ВарIC

MLIMML

IC

MLLIXXX

IXXXIXXXXQ

CML

MMLCMLLСПОЖ

438.7)1

()(

)1

()(

)()(

2

3

3

233

2

223242

2

1

1

2441

2

33233

2

223242

2

112441

Розрахуємо потужності для джерел:

jEIEIS ДЖ 438.7726.233311 ВА, де

*

1I та *

3I – це комплексно-спряжені струми.

Отже,

ВтPДЖ 726.23 , ВарQДЖ 438.7 .

Оскільки ДЖСПОЖ SS , то баланс потужності виконується,

отже розрахунки здійснені правильно.

Приклад 8.2. Розрахувати електричне коло гармонічного

струму різними методами (рис. 8.14). Коло має такі номінали:

101 R Ом, 242 R Ом, 153 R Ом, 1.191 L мГн,

5.633 L мГн, 4552 C мкФ, 120U В, 50f Гц. Визначити

струми у гілках кола, скласти баланс потужності та побудувати

векторну діаграму струмів, суміщену із топографічною діагра-

мою напруг.

118

Рисунок 8.14


Розв’яжемо задачу методом перетворень.

Визначимо кутову частоту 3145022 f

Визначимо опори гілок кола у комплексній формі

610101.1931410 3

111 jjLjRZ

31)10/6(22 6.11610 jjarctg ee .

6

2

2210455314

124

1

C

jRZ

511625724 jej .

3

333 105.6331415 jLjRZ 553252015 jej .

Якщо початкова фаза напруги не задана, то 120UU .

Визначимо повний опір кола

1339

)2015)(724(610

32

321

j

jjj

ZZ

ZZZZ

55237.268.104.24 jej .

Визначимо значення струму у колі

5523

55231 5.47.26

120

j

je

eZ

UI .

Струми у паралельних гілках визначаються

54105523

32

312 74.2

1339

20155.4

jj e

j

je

ZZ

ZII .

53585523

32

213 74.2

1339

7245.4

jj e

j

je

ZZ

ZII .

119

Визначимо струми у гілках методом контурних струмів

(рис. 8.15)

Рисунок 8.15


Складемо систему рівнянь

.0)()(

;)()(

33222211

22221111

LjRC

jRI

C

jRI

UC

jRI

C

jRLjRI


.0)1439()724(

;120)724()134(

2211

2211

jIjI

jIjI

Розв’яжемо систему методом Крамера. Знайдемо визнач-

ники

)1339()34(

1339724

72434jj

jj

jj

3.421098739812)724())724( jejjj ;

.493315604680120)1339(13390

7241204.18

1

jejj

j

j

.30008402880120)724(0724

1203426.16

2

jejj

j

j

Знайдемо значення струму у гілках

82.11.45.41098

4933 9.23

3.42

4.18

1111 je

e

eII j

j

j

;

120

3.2424.173.21098

300 56.58

3.42

26.16

2223 je

e

eII j

j

j

;

)3.2424.1()82.11.4(22112 jjIII 77.1073.251.0676.2 jej .

Перевіримо баланс потужності. Визначимо комплексну

потужність усього кола

218494))5523sin()5523(cos(5405405.4120 55.235523*jjeeIUS j

Звідси 494P Вт, 218Q вар.

Значення активної та реактивної потужностей 2222

33

2

22

2

11 73.21573.2245.410 IRIRIRP

494112180202 Вт. 2222

33

2

22

2

11 73.21573.2245.410 IXIXIXQ

5.2191505.52122 Вт.

Побудуємо векторну діаграму струмів та суміщену потен-

ціальну діаграму потенціалів (рис. 8.16).

Рисунок 8.16

Визначимо потенціали точок:

035

32

21 4.68

j

bcbcb eZZ

ZIZU ;

51795410

2 18.19)7(74.2)( jj

Cece ejejXIU ; 52315358

33 8.54)20(74.2)( jj

Lfcf ejejXIU ;

1.18795.44.68 55233055

11 jeejXI jj

Lbd ;

13.014.12011 jRIda ;

121

9 ЗАДАЧІ ДЛЯ САМОСТІЙНОГО РОЗВ’ЯЗАННЯ

9.1 Основні задачі

Задача 9.1 Визначити параметри синусоїдального струму

, , , , який є сумою струмів та . Побуду-

вати векторну діаграму струму . Значення струмів

а) А, а ;

б) А, а А;

в) А, а А.

Задача 9.2 Визначити параметри синусоїдальної напругу

, , , , , яка є сумою напруг та . Побуду-

вати векторну діаграму напруги . Значення напруги

а) А, а ;

б) А, а ;

в) А, а ;

Задача 9.3 Для наведеної схеми

(рис. 9.1) значення джерел струму ви-

значаються виразами

,

. Які бу-

дуть показання приладів за умови

, ? За

яким зсувом фаз вольтметр

покаже 220В?

Рисунок 9.1

e1(t)

e2(t)

V

122

Задача 9.4. Знайти

амплітуду і початкову фазу

напруги для кола (рис.

9.2), якщо

,

Рисунок 9.2

Задача 9.5. Знайти амплітуду та початкову фазу для

кола (рис. 9.3), якщо ,

, а вольтметр

показує діюче значення В (всі напруги у вольтах). Опо-

ри , активні.

Рисунок 9.3

123

Задача 9.6. Знайти амплітуду та початкову фазу струму

джерела струму на вході паралельно з’єднаних елементів

для кола (рис. 9.4), якщо мА,

мА, мА, а

амперметр А показує діюче значення струму мА. Опори

, активні.

Рисунок 9.4

Задача 9.7. Знайти зна-

чення напруги , якщо на

зовнішніх затискачах активного

багатополюсника (рис. 9.5) ви-

значена напруга

,

,

.

Рисунок 9.5

Задача 9.8. Визначити

діюче значення заданого пері-

одичного струму (рис. 9.6),

якщо відомі , , .

Рисунок 9.6

i(t)

t t1 t2

at

T

u34(t) u16(t)

2

3 1

4 5

6

124

Задача 9.9. Визначити діюче

значення заданого періодичного

струму (рис. 9.7) та обчислити його,

якщо відомі мкс, мкс,

мА. У межах від 0 до фу-

нкція струму є прямою лінією. Рисунок 9.7

Задача 9.10. Визначити діюче

значення заданого періодичного

струму (рис. 9.8) та обчислити його,

якщо відомі мкс, мкс,

мА. У межах від 0 до фун-

кція струму є прямою лінією.

Рисунок 9.8



мкс, мкс, мА. У межах від 0 до та від до

функція струму є прямою лінією.

Рисунок 9.9

Im i(t)

t1 T t

Im i(t)

t1 T t

Im

i(t)

t1 T t 2t1

125

Задача 9.12. Періодична на-

пруга має вигляд прямокутних

імпульсів з тривалістю мкс

та амплітудним значенням

В. Визначити такий період , щоб

діюче значення цієї напруги дорів-

нювало 3В. Графік цієї напруги на-

ведений на рис. 9.10.

Рисунок 9.10

Задача 9.13. Котушка індуктивності під’єднується спочат-

ку до джерела постійної напруги 100В, а потім до джерела сину-

соїдальної напруги 100 В з частотою 50 Гц. У першому випадку

амперметр, під’єднаний до котушки, показав струм 5А, а у дру-

гому – 2А. Визначити індуктивність котушки, вважаючи, що її

активний опір від частоти не залежить. В умові наведені діючі

значення струму та напруги.

Задача 9.14. Вхідна провідність на частоті дорівнює

мСм. На вході пасивного двополюсника напруга

, В. Визначити струм на вході

цього двополюсника та активну і реактивну потужності, які він

споживає. Вказати розмірності розрахованих величин.

Задача 9.15. Коло складається з послідовно з’єднаних опо-

ру та індуктивності. Вхідна провідність кола на частоті

МГц дорівнює мСм. Визначити величину

опору та ємності , а також повний опір на вході цього

кола та його фазу.

Задача 9.16. Коло складається з паралельно з’єднаних

опора та індуктивності. Вхідний опір кола на частоті

дорівнює кОм. Визначити величину опора

та індуктивності , а також модуль вхідної провідності

цього кола та його фазу.

t

Um

u(t)

t1 T

126

Задача 9.17. На вході пасивного двополюсника напруга та

струм визначаються виразами В,

мА. Знайти активну та реактивну потуж-

ності, що споживається двополюсником. Накресліть його послі-

довну та паралельну схеми заміщення та визначити їх парамет-

ри, якщо .

Задача 9.18. На вході пасивного двополюсника струм ви-

значається за виразом мА. Вхідний

опір на робочій частоті дорівнює кОм.

Накреслити його паралельну схему заміщення, визначити її па-

раметри та знайти напругу на вході .

Задача 9.19. На вході пасивного двополюсника у гармоні-

чному режимі амплітуда напруги 10В, амплітуда струму 2.5 мА.

Кут зсуву фаз між цими напругами та струмом становить .

Визначити величину комплексного вхідного опору цього двопо-

люсника та його діючу складову. Визначити активну потуж-

ність, що споживається двополюсником.

Задача 9.20. На вході пасивного двополюсника напруга

, В. Вхідна провідність на частоті

дорівнює мСм. Визначити струм

на вході цього двополюсника, параметри його елементів та

намалювати послідовну схему заміщення. Визначити активну і

реактивну потужності, які він споживає. Вказати розмірності

розрахованих величин.


, В. Вхідний опір на частоті

дорівнює кОм. Визначити струм на вхо-

ді цього двополюсника, параметри його елементів та намалюва-

ти паралельну схему заміщення. Визначити активну і реактивну

потужності, які він споживає. Зазначити розмірності розрахова-

них величин.

127



мА. Знайти активну та реактивну поту-

жності, що споживаються двополюсником. Накреслити його по-

слідовну схему заміщення та визначити її параметри, якщо

.



мА. Знайти активну та реактивну поту-

жності, що споживаються двополюсником. Накреслити його по-

слідовну схему заміщення та визначити її параметри, якщо

.



мА. Знайти вхідний опір та провідність,

активну та реактивну потужності, що споживаються двополюс-

ником. Накреслити його послідовну схему заміщення та визна-

чити її параметри, якщо .


В. Вхідний опір на частоті

дорівнює кОм. Визначити струм )(ti на

вході цього двополюсника, параметри його елементів та на кре-

слити послідовну схему заміщення. Визначити активну і реак-

тивну потужності, які він споживає. Назвати розмірності розра-

хованих величин.

Задача 9.26. Доброт-

ність RC-кола (рис. 9.11) на

відомій частоті дорівнює

4. На вході цього кола дію-

чі значення напруги та

струму дорівнюють відпо-

відно 20 В та 10 мА. Знайти

та .

Рисунок 9.11

128

Задача 9.27. Активний опір RC-кола (рис. 9.11) на відомій

частоті дорівнює 3кОм. На вході цього кола діючі значення

напруги та струму дорівнюють відповідно 50 В та 10 мА. Знайти

опір та коефіцієнт потужності. Зазначити розмірності знай-

дених величин.

Задача 9.28. Доброт-

ність RL-кола (рис. 9.12) на

відомій частоті дорівнює 4.

На вході цього кола діючі

значення напруги та струму

дорівнюють відповідно 20 В

та 5 мА. Знайти опори та

.

Рисунок 9.12

Задача 9.29. Активний опір RL-кола (рис. 9.12) на відомій

частоті дорівнює 3кОм. На вході цього кола діючі значення

напруги та струму дорівнюють відповідно 50 В та 10 мА. Знайти

опір та коефіцієнт потужності. Зазначити розмірності знай-

дених величин.

Задача 9.30. Добротність RL-кола (рис. 9.12) на відомій

частоті дорівнює . На вході цього кола діючі значення на-

пруги та струму дорівнюють відповідно 10 В та 2 мА. Знайти

опори та .

Задача 9.31. У колі (рис. 9.13)

усталений синусоїдний режим. Абсо-

лютні значення опорів усіх елементів

становлять 10. Визначити повний вхі-

дний опір та повну вихідну провід-

ність, визначити струм , якщо

. Побудувати якісно векто-

рну діаграму.

Рисунок 9.13

129

Задача 9.32. Коло (рис.

9.14) працює в усталеному

гармонічному режимі на

частоті . На цій частоті

Ом. Показання

вольтметрів В,

В, В. Визначити по-

казання вольтметра .

Рисунок 9.14

Задача 9.33. Коло (рис. 9.15)

працює в усталеному гармонічному

режимі на частоті та має такі па-

раметри джерел напруги:

В,

В.

Які покази вольтметру при

– , якщо .

Рисунок 9.15


працює в усталеному гармонічному

режимі на частоті і має такі пара-

метри джерел напруги

В,

В. Які

покази вольтметра при

– , якщо Рисунок 9.16

e1(t)

V e2(t

) R1

L1

C1

e1(t)

V e2(t)

R1

L1

C1

R1 V

L1 C1

C2

L2

V1 V2

V3

E1

130

Задача 9.35. Напруга на вході кола (рис.

9.17) на частоті с-1

визначається як

В. Яка повинна бу-

ти величина індуктивності , щоб реактивна

потужність на ній дорівнювала за величиною

потужності на опорі кОм. Чому будуть

дорівнювати для цього випадку ці потужнос-

ті?

Рисунок 9.17

Задача 9.36. Струм на

вході кола (рис. 9.18) на частоті

с-1

визначається виразом

мА.

Знайти напругу та показан-

ня вольтметра, якщо мГн,

кОм.

Рисунок 9.18

Задача 9.37. Напруга на індуктивності кола (рис. 9.18) на

частоті с-1

визначається за виразом

В. Знайти струм та показання

амперметра, якщо мГн, кОм.

Задача 9.38. Коло (рис. 9.18) працює в усталеному гармо-

нічному режимі. Амплітуди струмів в опорі та індуктивності

однакові та дорівнюють 5мА. Визначити показання амперметра

та амплітуду напруги

, якщо мГн, кОм.

Задача 9.39. Струм на вході

кола (рис. 9.19) на частоті

с-1

визначається за вира-

зом мА.

Знайти напругу та показання

вольтметра, якщо нФ,

кОм.

Рисунок 9.19

e(t) R

L

V e(t)

i(t

)

R L

A

V

131

Задача 9.40. Напруга на ємності кола (рис. 9.19) на частоті

с-1

визначається виразом В.

Знайти струм та показання амперметра, якщо нФ,

кОм.

Задача 9.41. Коло (рис. 9.19) працює в усталеному гармо-

нічному режимі. Амплітуди струмів в опорі та ємності однакові

та дорівнюють 10мА. Визначити показання амперметра та амп-

літуду напруги

, якщо нФ, кОм.

Задача 9.42. Знайти вхідний опір

кола (рис. 9.20) на частоті с-1

Яка

буде початкова фаза вхідного струму,

якщо на вхід подати напругу

В, якщо

мГн, нФ, кОм.

Рисунок 9.20

Задача 9.43. Знайти діюче зна-

чення струму та струм у джерелі на-

пруги мА на час-

тоті с-1

для кола (рис. 9.21),

якщо мГн, нФ, кОм.

Рисунок 9.21


кола (рис. 9.22) на частоті с-1

.

Яка буде початкова фаза вхідного стру-

му, якщо на вхід подати напругу

В, якщо

мГн, нФ, кОм.

Рисунок 9.22

L

e(t) R C

L e(t)

R C

L e(t)

R C

132

Задача 9.45. Знайти струм та на-

пруги гілок для кола (рис. 9.23), якщо

на вхід подати напругу

В із номі-

налами елементів кола Гн,

Ф, Ом, Ом.

Рисунок 9.23

Задача 9.46. Визначити вхідний опір кола (рис. 9.24) та

струм , якщо кОм, кОм, =1 кОм,

кОм, кОм, кОм.

Рисунок 9.24

Задача 9.47. Коло (рис. 9.25) не мі-

стить Z незалежні джерела. Матриця

опорів для метода контурних струмів цієї

схеми симетрична відносно головної діа-

гоналі. Напруги та є гармоні-

чними функціями однієї частоти. Рисунок 9.25

Якщо В, а , то мА. Чому

буде дорівнювати струм , якщо , а В.

L e(t)

R1 C

R2

Z E1 E2

I1 I2

133

Задача 9.48. Визначити вхідний опір кола (рис. 9.26) та всі

струми та напруги, якщо кОм,

кОм, кОм, кОм, кОм,

В.

Рисунок 9.26

Задача 9.49. Величина джерела струму

мА у колі (рис. 9.27). Абсолютні зна-

чення опорів всіх реактивних елементів дорівнюють 0.5 кОм.

Знайти показання приладів.

Рисунок 9.27

А1

А3

V

А2

А1

1

L2 C2

R3

R2 R1

J(t)

L1 C1

134

Задача 9.50*. Для лінійної системи, що містить елементи

R(g), L, C та ДСКН за методом вузлових напруг складена мат-

риця провідностей (p=jω). Ваги елементів підібрані таким чи-

ном, що провідності – мСм, індуктивності – мГн, ємності – нФ.

Намалювати можливий варіант схеми та вказати номінали еле-

ментів.

Матриця провідностей


кола (рис. 9.28) та записати систему

рівнянь на основі методу контурних

струмів. Замінити магнітні зв’язки ке-

рованими джерелами. Записати систе-

му рівнянь.

Рисунок 9.28

Задача 9.52. Знайти вхі-

дний опір кола (рис. 9.29)

та записати систему рівнянь

на основі методу контурних

струмів. Замінити магнітні

зв’язки керованими джерела-

ми. Записати систему рівнянь.

Рисунок 9.29

* *

* *

*

*

135

Задача 9.53. Знайти зсув фа-

зи між струмом та напругою у ко-

лі (рис. 9.30) на частоті

Коло має такі параметри елемен-

тів , ,

взаємо-

індукція .

Рисунок 9.30

Задача 9.54. Для заданого

кола із однаковими котушками

(рис. 9.31) споживана активна по-

тужність становить .

Струм та напруга у колі станов-

лять

Рисунок 9.31

Частота джерела напруги становить Гц. Знайти парамет-

ри елементів кола , , , ,

2.2.2 Додаткові задачі

Задача 9.55. Графік на-

пруги наведений

на рис. 9.32. За зазначеною

різницею фаз

та заданих умовах =10 В,

, , знайти , , , , ,

та побудувати векторну діаг-

раму та .

Рисунок 9.32

Задача 9.56. На рис. 9.32 наведений графік потужності

побудувати графіки , , .

t1 t2 0

f(t)

t

136

Задача 9.57. У колі гармонічного струму через індуктив-

ність мГн струм визначається виразом

. Знайти .

Задача 9.58. У колі гармонічного струму струм через єм-

ність пФ визначається виразом .

Знайти напругу .

Задача 9.59. У колі гармонічного струму модуль опору на

індуктивності 1 Ом напруга визначається виразом

. Знайти струм та індуктивність .

Задача 9.60. У колі гармонічного струму модуль опору на

ємності 1 Ом струм визначається виразом

. Знайти напругу та ємність .

Задача 9.61. У колі гармонічного струму через індуктив-

ність мГн напруга визначається виразом

. Знайти струм .

Задача 9.62. У колі гармонічного струму через ємність

пФ напруга визначається виразом

. Знайти струм .

Задача 9.63. Потокозчеп-

лення індуктивного елемента

задане графічно (рис. 9.33), індук-

тивність Гн. Визначити за-

кони зміни напруги та струму,

побудувати діаграми їх миттєвих

значень. Рисунок 9.33

Задача 9.64. Графік струму

через ємність заданий графіч-

но (рис. 9.34), ємність мкФ.

Визначити закони зміни напруги

та побудувати його графік, якщо

.

Рисунок 9.34

i(t)

t 0

8

-4

1

2 3 4

t,с

ψ(t), Вб

2

1 2 4

137

Задача 9.65. Коло складається із паралельно з’єднаних

опора з провідністю мСм та індуктивністю мГн

на частоті с-1

Знайти повний вихідний опір та провід-

ність.

Задача 9.66. Якісно побудува-

ти векторну діаграму для кола (рис.

9.35).

Рисунок 9.35

Задача 9.67. У колі (рис. 9.35) усталений гармонічний ре-

жим. Абсолютні значення опорів всіх елементів становить 10.

Активна потужність Вт. Визначити всі струми у колі,

комплексну вхідну напругу та активну, реактивну і повну поту-

жності.

Задача 9.68. Котушка з активним опором Ом, ін-

дуктивності Гн підключена до джерела гармонічної

напруги, діюче значення якої В, а частота Гц.

Визначити повний опір катушки, струм зсуву фаз між напругою

та струмом, активну, реактивну і повну потужності.

Задача 9.69. Для визначення актив-

ного пору та індуктивності катушки у

коло змінного струму з частотою

Гц підключені вольтметр, амперметр

та ватметр (рис. 9.36). Прилади дали такі

показання В, А, Вт.

Визначити активний опір та індуктив-

ність катушки.

Рисунок 9.36

L I1

C

I2

I

138

Задача 9.70. За показаннями трьох

вольтметрів, що ввімкнені у коло (рис. 9.37)

визначити потужність, що витрачається у

індуктивній котушці , , якщо Ом,

а показання приладів В, В,

В. Побудувати векторну діаграму

напруг.

Рисунок 9.37

Задача 9.71. Індуктивна катушка, па-

раметри якої Ом, мкГн та

конденсатор з втратами, еквівалентні пара-

метри якого Ом, мкФ,

з’єднані послідовно (рис. 9.38). Яка напруга

прикладена до кола, якщо амперметр по-

казав А? Частота змінного

Рисунок 9.38

струму кГц. Визначити добротності конденсатора та ка-

тушки, напругу на катушці та конденсаторі с втратами

, потужність, що втрачається на кожному з цих елементів.

Побудувати векторну діаграму напруги та струму.

Задача 9.72. Для визначення параметрів еквівалентної

схеми пасивного двополюсника АВ (рис. 9.39 а) виміряна на-

пруга В, струм А та потужність Вт. Для

визначення характеру еквівалентного реактивного опору цього

двополюсника послідовно з ним ввімкнули конденсатор (рис.

9.39 б). У цьому ж випадку при тій же прикладеній напрузі при-

бори показали А т а Вт. Частота змінного

струму кГц. Визначити параметри еквівалентної схеми

двополюсника.

Рисунок 9.39

139

Задача 9.73. Прилади, що підклю-

чені до пасивного двополюсника АВ

(рис. 9.40, ключ К розімкнений), пока-

зали В, А Вт.

Для визначення характера реактивного

опора двополюсника паралельно до

нього ввімкнули конденсатор (ключ К

замкнений), ємнісний

Рисунок 9.40

опір якого Ом, при цьому прибори показали

В, А Вт. Визначити еквівалентні параметри

двополюсник.

Задача 9.74. За показаннями при-

ладів, що ввімкнені у коло (рис. 9.41)

визначити струм, що протікає у нерозга-

луженій ділянці кола, опір кожної гілки

та повний опір кола. Замінити дане коло

еквівалентним послідовним

Рисунок 9.41

колом з , . Побудувати векторну діаграму, якщо

В, А, А, А. Побудувати векторну

діаграму напруг.

Задача 9.75. Для визначення па-

раметрів конденсатора з втратами йо-

го ввімкнули до джерела синусоїдаль-

ної напруги В,еквівалентної

схеми пасивного

Рисунок 9.42

двополюсника АВ (рис. 9.42 а) виміряна напруга В,

частотою кГц. При цьому амперметр показав струм

А, а ватметр – потужність мВт. Визначити ,

та , двох схем (рис. 2.46 б), еквівалентних до конденса-

тора з втратами. Чому дорівнює добротність конденсатора?

140

Задача 9.76. Комплексна напруга та струм пасивного дво-

полюсника дорівнюють В та А. Обчи-

слити комплексний опір та провідність. Які еквівалентні пара-

метри двополюсника? Визначити активну та реактивну складові

напруги та струму, активну, реактивну та повну потужності.

Побудувати векторну діаграму напруги та струмів.

Задача 9.77. Послідовно із котушкою,

параметри якої Ом, мГн,

ввімкнений активний опір Ом (рис.

9.43). Визначити напругу на котушці , її

зсув фаз по відношенню до прикладеної на-

пруги, а також потужність, що витрачається у

катушці. До кола прикладена напруга

В, частотою Гц. Побудувати

векторну діаграму напруг та струмів.

Рисунок 9.43

Задача 9.78. Послідовно з активним опором Ом

ввімкнена індуктивна катушка з опором Ом. Через ка-

тушку проходить струм А, а загальна напруга, що прикла-

дена до кола В. Частота струму кГц. Визначити

індуктивність катушки.

Задача 9.79. Яка напруга прикла-

дена до кола (рис. 9.44), якщо амперметр

показує струм А, а опори її еле-

ментів Ом, Ом,

Ом, Ом?

Рисунок 9.44

Задача 9.80. У колі (рис. 9.44) напруга В. Пара-

метри елементів кола такі Ом, мкФ, Ом,

мкФ, с-1

. Чому дорівнює напруга, що прикладена

до кола?

141

Задача 9.81. До напруги В

ввімкнені послідовно з’єднані катушка ін-

дуктивності ( Ом, Ом) та

конденсатор з втратами ( Ом,

Ом). Визначити комплексні напру-

ги на катушці 1U та конденсаторі та зсув

фаз між ними (рис. 9.45).

Рисунок 9.45

Задача 9.82. До напруги В ввімкнені послідовно

з’єднані катушка індуктивності ( Ом, Ом) та

конденсатор з втратами ( Ом, Ом). Визначити

комплексні напруги на катушці та конденсаторі та зсув фаз

між ними (рис. 9.45).

Задача 9.83. Коло

(рис. 9.46) має такі парамет-

ри X1 = 2 Ом, Х2 = 3 Ом,

Х3 = 6 Ом, R = 8 Ом.

Вольтметр V2 показує 10 В.

Знайти показання решти

приладів.

Рисунок 9.46


має такі параметри X1 = 2 Ом,

Х2 = 3 Ом, Х3 = 6 Ом, R3 = 8 Ом.

Амперметр А2 показує 2 А. Знай-

ти показання решти приладів.

Рисунок 9.47

142


9.48) має такі номінали

X1 = 4 Ом, R2 = 3 Ом, R3 = 4 Ом,

Х3 = 3 Ом. Вольтметр V2 показує

15 В. Знайти показання решти

приладів.

Рисунок 9.48

Задача 9.86. Коло (рис. 9.48) має такі номінали Х1 = 4 Ом,

R2 = 3 Ом, R3 = 4 Ом, Х3 = 3 Ом. Амперметр А3 показує 3 А.

Знайти показання решти приладів.

Задача 2.87. Коло (рис. 9.48) має такі номінали Х1 = 4 Ом,

Х3 = 3 Ом, R2 = 3 Ом, R3 = 4 Ом. Амперметр А2 показує 5 А.

Знайти показання решти приладів.



Х1 = 5 Ом, Х2 = 10 Ом,

Х3 = 8 Ом, R = 6 Ом. Вольт-

метр V2 показує 20 В. Знайти

показання решти приладів.

Рисунок 9.49

Задача 9.89. Коло (рис. 9.49) має такі номінали

Х1 = 5 Ом, Х2 = 10 Ом, Х3 = 8 Ом, R = 6 Ом. Амперметр А1 по-

казує 1 А. Знайти показання решти приладів.


Х1 = 5 Ом, Х2 = 10 Ом, Х3 = 8 Ом, R = 6 Ом. Амперметр А2 пока-

зує 1 А. Знайти показання решти приладів.


Х1 = 5 Ом, Х2 = 10 Ом, Х3 = 8 Ом, R3 = 6 Ом. Амперметр А3 по-


143



Х1 = 3 Ом, Х2 = 5 Ом,

R = 3 Ом, Х3 = 6 Ом. Ам-

перметр А1 показує 1 А. Знай-

ти показання решти приладів. Рисунок 9.50


має такі номінали R1 = 6 Ом,

ХC = 8 Ом, R2 = 10 Ом,

R3 = 8 Ом, XL = 6 Ом. Амперметр

А1 показує 1 А. Знайти пока-

зання решти приладів.

Рисунок 9.51

Задача 2.94. Коло (рис. 9.51) має такі номінали R1 = 6 Ом,

R2 = 8 Ом, R3 = 6 Ом, ХL = 8 Ом, XC = 8 Ом. Амперметр А1 по-



має такі номінали XL1 = 10 Ом,

R2 = 8 Ом, ХC = 6 Ом, R3 = 2 Ом,

XL3 = 6 Ом. Амперметр А3 показує 1

А. Знайти показання решти приладів.

Рисунок 9.52

Задача 9.96. Знайти струми у гілках та

нерозгалуженій частині кола (рис. 9.53),

якщо прикладена напруга В, а опір

Ом, Ом, Ом,

Ом. Побудувати векторну діагра-

му.

Рисунок 9.53

144

Задача 9.97. У колі (рис. 9.54)

прикладена напруга В, а опір

Ом,

Ом,

Ом. Визна-

чити струми , , , активні та реак-

тивні потужності всього кола та окре-

мих гілок. Побудувати векторну діаг-

раму.

Рисунок 9.54

Задача 9.98. До напруги В ввімкнені два послідов-

но з’єднаних комплексних опори Ом,

Ом. Визначити, яким чисто ємнісним опором не-

обхідно шунтувати опір , для того, щоб струм у нерозгалуже-

ній частині кола (в опорі ) збігається за фазою зі прикладе-

ною напругою. Обчислити при цьому всі струми.

Задача 9.99. Для кола (рис. 9.55) ви-

значити ємність , при якій струм у галь-

ванометрі відсутній за умови балансу міс-

тка. Відомо, що Ом,

Ом, Ом. Частота

змінного струму Гц.

Рисунок 9.55

Задача 9.100. Для кола (рис. 9.56)

визначити всі струми у гілках методами

контурних струмів та вузлових напруг,

якщо відомо В, В,

В, Ом,

Ом.

Рисунок 9.56

145

Задача 9.101. Для кола (рис. 9.56) визначити всі струми у

гілках методами контурних струмів та вузлових напруг,якщо

відомі В, В,

В,

Ом, Ом,

Ом.

Задача 9.102. Для кола (рис. 9.57) ви-

значити всі струми у гілках неврівноваже-

ного моста. Прикладена до кола напруга

В. Опір елементів кола Ом,

Ом,

Ом, Ом,

Ом. Розрахувати потужність, що

витрачається у колі. Розрахувати задачу ме-

тодами контурних струмів та вузлових на-

пруг. Методом еквівалентного генератора

знайти струми , .

Рисунок 9.57

Задача 9.103. Опори кола (рис.

9.58) Ом, Ом, ЕРС

В. При якому опорі наван-

таження в ньому виділиться мак-

симальна потужність і чому вона до-

рівнює?

Рисунок 9.58

Задача 9.104. Для кола (рис.

9.59) знайти опір навантаження

, при якому у колі виділиться

максимальна потужність, та обчи-

слити її, якщо Ом,

Ом, ЕРС В.

Рисунок 9.59

146

Задача 9.105. У колі (рис. 9.60) з

джерелом струму, що керується стру-

мом , знайти напругу на кон-

денсаторі, якщо ,

, МОм,

МОм, МОм.

Рисунок 9.60

Задача 9.106. У колі (рис. 9.61) з

джерелом струму, що керується стру-

мом , знайти напругу на пер-

шому резисторі , якщо

В, , Ом,

Ом, Ом,

Ом.

Рисунок 9.61

.

Задача 9.107. Знайти передавальну функцію за напругою

підсилювача низької частоти на тріоді (рис. 9.62), якщо

МОм, мА/В, кОм, внутрішній опір джерела

струму кОм, а внутрішній опір лампи кОм.

Еквівалентна схема підсилювача наведена (рис. 9.62).

.

Рисунок 9.62

147

Задача 9.108. Знайти передавальні функції за напругою та

струмом підсилювача низької частоти на біполярному транзис-

торі (рис. 2.71), що ввімкнений зі спільною базою, якщо

В, Ом, Ом, Ом,

МОм, МОм. Еквівалентна схема підсилювача

наведена (рис. 9.63).

Рисунок 9.63

Задача 9.109. У транзисторному каскаді підсилювача ни-

зької частоти при ввімкненні транзистора зі спільним емітером

(рис. 2.72) знайти передавальну функцію за напругою та стру-

мом, а також вхідний та вихідні опори, якщо Ом,

, Ом, кОм, кОм. Еквівалентна

схема підсилювача наведена (рис. 9.64).

Рисунок 9.64

148

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

1. Теорія електричних та магнітних кіл: конспект лекцій: у 5

частинах. Частина 1: Лінійні електричні кола постійного

та змінного струму / укладач А.В. Булашенко –

Суми:Вид-во СумДУ, 2010. – 177с.

2. Теорія електричних та магнітних кіл: конспект лекцій у 5

частинах. Частина 2: Складні лінійні та нелінійні елект-

ричні кола змінного струму / укладач А.В. Булашенко -

Суми:Вид-во СумДУ, 2010. – 175с.


частинах. Частина 3: Перехідні процеси у лінійних елект-

ричних колах із зосередженими параметрами / укладач

А.В. Булашенко - Суми:Вид-во СумДУ, 2010. – 220с.


частинах / укладач А.В. Булашенко. – Суми:Вид-во Сум-

ДУ, 2010. – Ч.4. – 181с.

5. Теорія електричних та магнітних кіл: конспект лекцій: у

5-ти частинах / укладач А.В. Булашенко. – Суми:Вид-во

СумДУ, 2010. – Ч.5. – 157с.

6. Методичні вказівки до виконання розрахункової роботи з

дисципліни «Теорія електричних та магнітних кіл» на те-

му «Розрахунок лінійних електричних кіл в усталених

режимах» / укладач А. В. Булашенко. – Суми: Вид-во

СумДУ, 2010. – 87с.

7. Методичні вказівки до виконання курсової роботи з дис-

ципліни «Теорія електричних та магнітних кіл» на тему

«Розрахунок перехідних процесів у лінійних електричних

колах із зосередженими параметрами» / укладач

А. В. Булашенко. – Суми: Вид-во СумДУ, 2008. – 78 с.

8. Методичні вказівки до практичних робіт на тему «Розра-

хунок електричних кіл несинусоїдального періодичного

струму» з дисципліни «Теорія електричних та магнітних

кіл» / укладач А.В. Булашенко. - Суми:Вид-во СумДУ,

2010. – 38с.

149

9. Методичні вказівки до виконання лабораторних робіт з

дисципліни «Теорія електричних та магнітних кіл» на те-

му «Усталені режими у лінійних електричних колах із зо-

середженими параметрами» / укладач А. В. Булашенко. –

Суми: Вид-во: СумДУ, 2008. – 70с.

10. Методичні вказівки до самостійного вивчення теми «Лі-

нійні електричні кола трифазного струму» з дисципліни

«Теорія електричних та магнітних кіл» / укладач А.В. Бу-

лашенко - Суми:Вид-во СумДУ, 2010. – 64с.

11. Методичні вказівки до самостійного вивчення теми «Час-

тотний метод та метод змінних стану аналізу перехідних

процесів у лінійних електричних колах та моделювання

перехідних процесів у Electronics Workbench 5.12» з дис-

ципліни «Теорія електричних та магнітних кіл» / укладач

А. В. Булашенко - Суми:Вид-во СумДУ, 2010. – 137с.

12. Атабеков Г. И. Основы теории цепей. – М.: Энергия,

1969. – 424с.

13. Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники.

Электрические цепи. – М.: Высш. шк., 1984. – 559с.

14. Зевеке Г.В., Ионкин П.А. и др. Основы теории цепей:

учебник для вузов. - М.: Энергоатомиздат, 1989. – 528 с.

15. Зернов Н. В., Карпов В. Г. Теория радиотехнических це-

пей – Л.: Энергия, 1972.– 916с.

16. Попов В. П. Основы теории цепей: учеб. для вузов спец.

«Радиотехника». – М.: Высш. шк., 1985.– 496с.

17. Теоретичні основи електротехніки: підручник: у 3 т.

Т. 1. Усталені режими лінійних електричних кіл із зосе-

редженими параметрами / за заг. ред.. І. М. Чиженка,

В. С. Бойка. – К.: Політехніка, 2004. – 272с.

18. Шегедин О. І., Маляр В. С. Теоретичні основи електроте-

хніки. – Львів: Магнолія плюс, 2004. – 168с

19. Електротехніка: підручник / за заг. ред.. В. І. Коруда. – 3-

тє вид., перероб. і доп. – Львів.: Магнолія плюс, 2006. –

447с.

150

20. Петренко І. А. Основи електротехніки та електроніки:

навч. посіб. для дистанційного навчання: у 2 ч. – Ч. 1:

Основи електротехніки. – К.: Університет «Україна»,

2006. – 411 с.

21. Електротехніка та електроніка. Теоретичні відомості, ро-

зрахунки та дослідження за підтримки комп’ютерних те-

хнологій: навчальний посібник/ за заг. ред.. А. А. Щерби

та В. М. Рябенького. – К.: Корнійчук, 2007. – 488с.

22. Основи теорії електронних кіл: підручник / за ред. д. т. н.,

проф. П. Г. Стахіва. – Львів: Магнолія, 2006 – 296с.

23. Новгородцев А. Б. 30 лекций по теории электрических

цепей. – СПб.: Политехника, 1995. – 520с.

24. Демирчан К. С., Нейман Л. Р., Коровкин Н. В.,

Чечурин В. Л. Теоретические основы электротехники:

учебник для вузов. – 4-е изд. – СПб.: Питер, 2004. – Т. 1,

464с.

25. Попов В. П. Основы теории цепей: учебник для вузов. –

4-е изд., испр. – М.: Высш. шк., 2003. – 575 с.

26. Гумен М. Б., Гуржій А. М., Співак В. М. Основи теорії

електричних кіл. Кн. 1. Аналіз лінійних електричних кіл.

Часова область / за ред. М. Б. Гумена – К.: Вища шк.,

2003. – 399с.

27. Мурзин Ю. М., Волков Ю. И. Электротехника. –

СПб.:Питер, 2007. – 448с.

28. Нейман Л. Р., Коровкин Н. В., Селина Е. Е.,

Чечурин В. Л. Теоретические основы электротехники.

Сборник задач. – СПб.: Питер, 2004. – 512 с.

29. Теоретические основы электротехники: справочник по

теории электрических цепей / под ред. Ю Бычкова, В. Зо-

лотницкого, Э. Чернышева. – СПб.:Питер, 2007. – 332 с.

151

ДОДАТОК А

(обов’язковий)

Зразок титульного аркуша




Кафедра системотехніки та інформаційних технологій

ЗВІТ ІЗ ПРАКТИКИ з дисципліни «Теорія електричних та магнітних кіл»

на тему «Розрахунок простих лінійних електричних кіл

гармонічного струму»

Номер варіанта ___

Керівник:

Викладач Булашенко

Андрій Васильович

Відмітка про захист

____________/_________

____________/_________

Виконавець:

ст. ___________________

гр. СУ-

_______________________

Підпис студента

Шостка 2011

152

Додаток Б

(інформаційний)

Розрахунок кола гармонічного струму

1. За номером варіанта знайти у таблиці Б.1 схему електри-

чного кола та параметри її елементів. Частоту коливань ЕРС

взяти 50f Гц.

2. Знайти струми методом перетворень та методом контур-

них струмів.

3. Побудувати векторну діаграму струмів та суміщену то-

пографічну діаграму напруг.

4. Перевірити баланс потужності.

5. Знайти покази приладів.

Таблиця Б.1

Вар

. E,

B

C1,

мкФ

C2,

мкФ

C3,

мкФ

L1,

мГн

L2,

мГн

L3,

мГн

R1,

Ом

R2,

Ом

R3,

Ом

1 150 637 300 – – 8 9 2 3 4

2 100 – – 100 15.9 – 15.9 8 3 4

3 120 637 – – – 9 15.9 8 3 4

4 200 – 300 – 15.9 15.9 15.9 8 3 4

5 220 637 – 100 – - 15.9 8 – 4

6 100 100 300 – 15.9 47.7 – 10 – 10

7 120 – – 100 15.9 – 115 – 4 100

8 200 – 159 – – – 115 10 4 100

9 220 – 318 – 15.9 – 115 10 4 100

10 50 – 637 – 15.9 – – 5 – 8

11 100 637 – 100 – 15.7 6.37 – 10 8

12 120 – 300 100 31.8 – – 5 – 8

13 200 - - 100 31.8 – – 5 10 8

14 220 637 - 200 – 15.9 – 5 10 8

15 150 100 200 – 15.9 – 10 2 10

16 100 - 1600 200 31.8 – – – 8 10

17 120 100 – 200 – 15.9 – 10 8 10

153

Продовження табл. Б.1 В

ар. E,

B

C1,

мкФ

C2,

мкФ

C3,

мкФ

L1,

мГн

L2,

мГн

L3,

мГн

R1,

Ом

R2,

Ом

R3,

Ом

18 200 637 – 200 – 31.8 – – 8 10

19 220 – 1600 – 31.8 – 95 10 8 –

20 50 – 159 – 31.8 – 95 15 10 10

21 100 – 159 200 15.9 – – 15 – 10

22 120 – 159 200 15.9 – – – 10 20

23 200 637 159 200 - 31.8 95 15 10 20

24 220 637 159 - - - 95 - 10 20

25 150 - 159 - 25 - 95 6 10 20

26 100 637 159 637 - - 95 6 - 20

27 100 - 159 - 25 - 95 6 4 -

28 200 - 159 637 25 - 95 6 - 20

29 220 637 - 637 - 9 - 6 - 20

30 50 318 637 - - - 31.8 - 10 40

31 100 318 - 300 - - 31.8 - 10 10

32 120 - - 300 19.1 15.9 31.8 40 - 10

33 200 318 - 300 - 15.9 31.8 10 10 40

34 220 318 - 300 - 15.9 31.8 - 10 10

35 50 - 318 - 19.5 - 31.8 8 10 4

36 100 637 - 200 - 31.8 95 8 - 4

37 150 637 - 200 - 31.8 - 8 10 4

38 200 - 318 200 15.9 - 95 8 - 4

39 220 - - 200 15.9 31.8 95 8 - 4

40 50 637 - 200 - 31.8 95 4 40 40

41 100 - 318 2000 9.55 - - 4 40 4

42 120 500 - - - 15.9 95 4 - 4

43 200 500 - 159 - 15.9 - 40 10 40

44 220 - 318 159 9.55 - 95 - 10 40

154

Продовження додатка Б

Продовження табл. Б.1

Вар

. E,

B

C1,

мкФ

C2,

мкФ

C3,

мкФ

L1,

мГн

L2,

мГн

L3,

мГн

R1,

Ом

R2,

Ом

R3,

Ом

45 50 500 159 159 - - 31.8 35 20 40

46 100 500 - - - 15.9 31.8 35 - 40

47 120 - 159 - 15.9 - 31.8 35 20 80

48 200 318 318 159 - - 31.8 35 20 80

49 220 318 - 159 - 31.8 31.8 35 20 80

50 50 - 318 - 15.9 - 31.8 5 10 80

Схеми подані на рисунках Б.1 – Б.50. Номер рисунка від-

повідає номеру варіанта.

Рисунок А.1 Рисунок Б.2 Рисунок Б.3

Рисунок Б.4 Рисунок Б.5 Рисунок Б.6


155








156







157




Рисунок Б.49 Рисунок Б.50

158

Додаток В

(інформаційний)

I. Вважаючи, що індуктивний зв'язок між котушками від-

сутній: визначити струми у всіх гілках схеми; побудувати векто-

рну діаграму струмів та топографічну діаграму напруг; скласти

баланс активних та реактивних потужностей; побудувати на од-

ному графіку криві миттєвих значень е1 та i3; визначити пока-

зання ватметра.

II. Враховуючи взаємну індуктивність котушок та вва-

жаючи заданий струм у першій гілці i, а ЕРС е1 невідомою, ви-

значити невідомі струми та ЕРС; побудувати векторну діаграму

струмів та топографічну діаграму напруг.

Вказівки

1. При врахуванні взаємної індуктивності як заданий стру-

му у першій гілці i1 необхідно взяти струм, що існує в цій самій

гілці за відсутності індуктивного зв’язку.

2. На топографічних діаграмах повинні бути показані век-

тори напруг на всіх елементах схеми.

3. Напруга на елементах схеми, що мають взаємну індук-

тивність, повинна бути розділені на складові.

4. Номер схеми відповідає порядковому номеру, під яким

прізвище студента записане у журналі групи. Числові дані пара-

метрів схеми наведені у таблиці та обираються у відповідності

до номера групи.

159

Таблиця В.1

Параметри Номер групи

1 2 3 4

Е1, В

Е2, В

*

R1, Ом

L1, мГн

С1, мкФ

R2, Ом

L2, мГн

С2, мкФ

R3, Ом

L3, мГн

С3, мкФ

*12K

*13K

*23K

f, Гц

100

100

/6

4

20

200

5

30

250

2

10

200

0

0,6

0,8

50

100

120

/4

6

30

200

4

50

300

4

20

300

0,6

0

0,8

50

220

140

/4

6

40

300

8

10

200

6

60

200

0,6

0,8

0

50

200

200

/2

8

4

40

8

6

80

6

4

30

0

0,6

0,8

50

Зауваження:

1. – кут, на який Е1 випереджає Е2.

2. **

231312 ,, KKK – коефіцієнти індуктивного зв’язку котушок у

гілках 1, 2, 3.

160

Продовження додатка В

Рисунок В.1 Рисунок В.2

C2

1E

L1

L3

2E

L2

3

C3

R1

R2 C1

W



C2

1E

L1

L3

2E

L2

8

W

C3

R1

R3


C1

1E

L1

L3

L2

1 W

C3

R1

R2

R3

2E

C2

1E

L1

L3

2E

L2

2

W

C3

R1

R3

C1

C2

1E

L1

L3

2E

L2

4

W

C3

R1

R3

C1

R3

C2

1E

L1

L3

2E

L2

5

W

C3

R1 R2

R3

C2

1E

L1

L3 2E

L2

6

C3

R1 R2

W

C1

C2

1E

L1

L3

2E

L2

7

C3

R1

R2 W

R3

161


C2

1E

L1

L3

2E

L2

10

C3

R1

R2 C1

W

R3


C1

1E

L1

L3

2E

L2

11

R3

R2

R1

W

C3


C2

1E

L1

L3

2E

L2

14

C3

R1

R2

R3

W


C2

1E

L1

L3 2E

L2

16

R1 R2

W

C1

R3


C1

1E

L1

L3

2E

L2

9

R3

R2

R1

C2

W

C2

1E

L1

L3

L2

12

C3

R1

R2 C1

W

2E

R3

C2

1E

L1

L3

2E

L2

13

W

C3

C1

R2

R3

C1

1E

L1

L3

2E

L2

15

C3

R2

R1

C2

W

162


C2

1E

L1

L3

L2

17

R1

R2

W

2E

R3

C2

1E

L1

L3 2E

L2

18

R1 R2

W

C3 R3


C2

1E

L1

L3

L2

19

C3

R1

R2

W

2E

R3

C2

1E

L1

L3

L2

20

C3

R1

R2

W

2E


C2

1E

L1

L3

L2

22

C3

R2

C1

W

2E


C2 1E

L1

L3

L2

23

C3

R2

C1

W

2E

R3

C1

1E

L1

L3

2E

L2

24

W

C3

R2

R3


C2

1E

L1

L3

L2

21 R2

C1

W

2E

R3

163


C1

1E

L1

L3

2E

L2

25

R3

R2

R1

W

1E

L1

L3

2E

L2

26

C3

R1

R2 C1

W

R3


C1

1E

L1

L3

2E

L2

27

R3

R1

W

C3


1E

L1

L3

2E

L2

30

C3

R1 R2

R3

W


1E

L1

L3

2E

L2

32

R1 R2

W

C1

R3


C2

1E

L1

L3

L2

28

C3

R1

R2 C1

W

2E

1E

L1

L3

2E

L2

29

W

C3

C1

R2

R3

C1

1E

L1

L3

2E

L2

31

C3

R2

R1

W

164

Навчальне видання

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ







та автоматики»


Відповідальний за випуск Г. М. Худолей

Редактор Н. В. Лисогуб

Комп’ютерне верстання А. В. Булашенка

Підп. до друку , поз.

Формат 60х84/16. Ум. друк. арк. . Обл.-вид. арк. . Тираж 50 пр. Зам. №

Собівартість видання грн к.

Видавець і виготовлювач

Сумський державний університет,

вул. Римського-Корсакова, 2, м. Суми, 40007

Свідоцтво суб’єкта видавничої справи ДК № 3062 від 17.12.2007.

165













Суми


2011

166




До друку та в світ

дозволяю на підставі

«Єдиних правил», п.2.6.14

Заступник першого проректора –

начальник організаційно-методичного

управління В. Б. Юскаєв



на тему «Розрахунок простих електричних кіл змінного струму»






Усі цитати, цифровий

та практичний матеріал,

бібліографічні

відомості перевірені,

написання одиниць

відповідає стандартам

Укладач А. В. Булашенко

Відповідальний за випуск Г. М. Худолей

Директор Шосткинського інституту В. Л. Акуленко

Суми


2011

Date post:	15-Oct-2020
Category:	Documents
Upload:	others
View:	2 times
Download:	0 times

lib.sumdu.edu.ualib.sumdu.edu.ua/library/docs/rio/2011/m3137.pdf · Міністерство...

Documents