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8/3/2019 Lin 1996 Lecture Notes in Mathematical Finance
1/114
L E C T U R E N O T E S I N M A T H E M A T I C A L
F I N A N C E
X . S h e l d o n L i n
D e p a r t m e n t o f S t a t i s t i c s & A c t u a r i a l S c i e n c e
U n i v e r s i t y o f I o w a
I o w a C i t y , I A 5 2 2 4 2
P h o n e : ( 3 1 9 ) 3 3 5 - 0 7 3 0
F a x : ( 3 1 9 ) 3 3 5 - 3 0 1 7
E m a i l : s h l i n @ s t a t . u i o w a . e d u
C o m m e n t s a r e w e l c o m e !
c
X . S h e l d o n L i n , 1 9 9 6 .
1
8/3/2019 Lin 1996 Lecture Notes in Mathematical Finance
2/114
C o n t e n t s
I D i s c r e t e - T i m e F i n a n c e M o d e l s 4
1 B a s i c C o n c e p t s a n d O n e T i m e - P e r i o d M o d e l s 5
1 . 1 T h e B a s i c S e t u p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1 . 2 T r a d i n g S t r a t e g i e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1 . 3 C h a r a c t e r i s a t i o n o f N o - A r b i t r a g e S t r a t e g i e s . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1 . 4 V a l u a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1
1 . 5 R i s k P r e m i u m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4
2 D i s c r e t e - T i m e S t o c h a s t i c P r o c e s s e s a n d L a t t i c e M o d e l s 1 6
2 . 1 D i s c r e t e - T i m e S t o c h a s t i c P r o c e s s e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6
2 . 2 R a n d o m W a l k s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8
2 . 3 G e n e r a l L a t t i c e M o d e l s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2
3 N o - A r b i t r a g e V a l u a t i o n 2 8
3 . 1 N o - A r b i t r a g e C o n d i t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 8
3 . 2 R i s k - N e u t r a l P r o b a b i l i t y M e a s u r e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0
3 . 3 V a l u a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3
3 . 4 B i n o m i a l M o d e l s o f O p t i o n P r i c i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 5
3 . 5 B i n o m i a l I n t e r e s t R a t e M o d e l s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1
3 . 6 M u l t i n o m i a l / M u l t i f a c t o r I n t e r e s t R a t e M o d e l s . . . . . . . . . . . . . . . . 4 6
2
8/3/2019 Lin 1996 Lecture Notes in Mathematical Finance
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I I C o n t i n u o u s - T i m e F i n a n c e M o d e l s 5 1
4 S t o c h a s t i c C a l c u l u s 5 2
4 . 1 C h a r a c t e r i s t i c F u n c t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2
4 . 2 W i e n e r P r o c e s s e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3
4 . 3 R e e c t i o n P r i n c i p l e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 0
4 . 4 S t o c h a s t i c ( I t o ) I n t e g r a l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 4
4 . 5 S t o c h a s t i c D i e r e n t i a l E q u a t i o n s a n d I t o ' s L e m m a . . . . . . . . . . . . . . 6 7
4 . 6 F e y n m a n - K a c F o r m u l a a n d O t h e r A p p l i c a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2
4 . 7 O p t i o n P r i c i n g : D y n a m i c H e d g i n g A p p r o a c h . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 5
4 . 8 G i r s a n o v T h e o r e m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 0
4 . 9 M u l t i - D i m e n s i o n a l I t o P r o c e s s e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 6
5 C o n t i n u o u s - T i m e F i n a n c e M o d e l s 8 9
5 . 1 S e c u r i t y M a r k e t s a n d V a l u a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 9
5 . 2 D i g i t a l a n d B a r r i e r O p t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 8
5 . 3 I n t e r e s t R a t e M o d e l s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 5
5 . 4 S w a p s a n d S w a p t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 5
A P r o b a b i l i t y T h e o r y 1 0 6
B F u n c t i o n a l A n a l y s i s 1 0 9
3
8/3/2019 Lin 1996 Lecture Notes in Mathematical Finance
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P a r t I
D i s c r e t e - T i m e F i n a n c e M o d e l s
4
8/3/2019 Lin 1996 Lecture Notes in Mathematical Finance
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C h a p t e r 1
B a s i c C o n c e p t s a n d O n e T i m e - P e r i o d
M o d e l s
1 . 1 T h e B a s i c S e t u p
W e c o n s i d e r a s e c u r i t y m a r k e t w i t h t h e f o l l o w i n g c o n d i t i o n s :
T h e r e a r e o n l y t w o c o n s u m p t i o n d a t e s : t h e i n i t i a l d a t e t = 0 a n d t h e t e r m i n a l d a t e
t = T . T r a d i n g t a k e s p l a c e a t t = 0 o n l y .
T h e r e a r e n i t e n u m b e r o f s t a t e s o f e c o n o m y
= f !
1
!
2
!
J
g
w i t h t h e p r o b a b i l i t y a t s t a t e !
j
b e i n g P ( !
j
) :
H e n c e ( F P ) c o n s i s t s o f a p r o b a b i l i t y s p a c e w i t h t h e - a l g e b r a b e i n g a l l t h e s u b s e t s
o f .
5
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T h e r e a r e N p r i m i t i v e s e c u r i t i e s . T h e n - t h s e c u r i t y h a s p r i c e p
n
a t t i m e 0 a n d
t e r m i n a l p a y o
d
n
=
0
B
B
B
B
B
B
B
B
@
d
n
( !
1
)
d
n
( !
2
)
.
.
.
d
n
( !
J
)
1
C
C
C
C
C
C
C
C
A
T h u s , w e h a v e a p r i c e s y s t e m
p = ( p
1
p
2
p
N
)
0
w h e r e
0
d e n o t e s t h e c o r r e s p o n d i n g t r a n s p o s e , a n d t h e p a y o m a t r i x
D =
0
B
B
B
B
B
@
d
1
( !
1
) d
N
( !
1
)
.
.
.
.
.
.
d
1
( !
J
) d
N
( !
J
)
1
C
C
C
C
C
A
I n v e s t o r s a r e p r i c e t a k e r s a n d h a v e t h e h o m o g e n e o u s b e l i e f P = ( P ( !
1
) P ( !
2
)
P ( !
J
) ) .
T h e r e i s o n l y o n e p e r i s h a b l e c o n s u m p t i o n g o o d .
1 . 2 T r a d i n g S t r a t e g i e s
I f a n i n v e s t o r p o s s e s s e s
n
s h a r e s o f s e c u r i t y n , t h e p o r t f o l i o o f t h e s e c u r i t i e s o f t h e i n v e s t o r
h a s t h e p a y o
P
N
n = 1
n
d
n
a t t i m e T . L e t e ( 0 ) e ( T ) b e t h e i n i t i a l e n d o w m e n t a n d t h e
t e r m i n a l e n d o w m e n t f o r t h e i n v e s t o r , r e s p e c t i v e l y . T h u s , t h e i n v e s t o r ' s c o n s u m p t i o n s a r e
c ( 0 ) = e ( 0 ) ;
N
X
n = 1
n
p
n
( 1 . 1 )
c ( T ) = e ( T ) +
N
X
n = 1
n
d
n
: ( 1 . 2 )
W e c a l l = (
1
2
N
)
0
a t r a d i n g s t r a t e g y . T h e s e t
B( e p ) c o n t a i n i n g a l l c o n s u m p t i o n
p r o c e s s e s c = ( c ( 0 ) c ( T ) ) o v e r a l l i s c a l l e d t h e b u d g e t s e t w i t h r e s p e c t t o t h e e n d o w m e n t
6
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p r o c e s s e = ( e ( 0 ) e ( T ) ) a n d t h e p r i c e s y s t e m p . M a t h e m a t i c a l l y , a b u d g e t s e t i s a n a n e
s p a c e o f R
J + 1
.
A c o n s u m p t i o n p r o c e s s i s s a i d t o b e a t t a i n a b l e i f i t s t e r m i n a l c o n s u m p t i o n c a n b e
e x p r e s s e d a s t h e p a y o o f a p o r t f o l i o , i . e .
c ( T ) =
N
X
n = 1
n
d
n
:
I t i s e a s y t o s e e t h a t a c o n s u m p t i o n p r o c e s s i s a t t a i n a b l e i f a n d o n l y i f
R a n k ( D ) = R a n k ( D c ( T ) ) :
I t i s a l s o e a s y t o s e e t h a t t h e t e r m i n a l c o n s u m p t i o n o f a n y a t t a i n a b l e c o n s u m p t i o n p r o c e s s
i s i n t h e i m a g e o f t h e m a t r i x D , r e g a r d e d a s a l i n e a r m a p . T h u s , e v e r y c o n s u m p t i o n p r o c e s s
i s a t t a i n a b l e i f a n d o n l y i f R a n k ( D ) = J , t h e r e f o r e , i f a n d o n l y i f t h e r e a r e J i n d e p e n d e n t
s e c u r i t i e s . I n t h i s c a s e , w e s a y t h e m a r k e t i s c o m p l e t e . O t h e r w i s e , w e s a y t h e m a r k e t i s
i n c o m p l e t e . W e w i l l s e e l a t e r t h a t i f t h e m a r k e t i s c o m p l e t e , a n y c o n s u m p t i o n p r o c e s s c a n
b e p r i c e d u n i q u e l y .
W h e n t h e m a r k e t i s n o t c o m p l e t e , t h e r e i s a n e e d t o c r e a t e n e w s e c u r i t i e s i n o r d e r
t o c o m p l e t e t h e m a r k e t . O n e a p p r o a c h i s t o c r e a t e d e r i v a t i v e s e c u r i t i e s o n t h e e x i s t i n g
s e c u r i t i e s s u c h a s E u r o p e a n - t y p e o p t i o n s .
A E u r o p e a n c a l l o p t i o n w r i t t e n o n a s e c u r i t y g i v e s i t s h o l d e r t h e r i g h t ( n o t o b l i g a t i o n )
t o b u y t h e u n d e r l y i n g s e c u r i t y a t a p r e s p e c i e d p r i c e o n a p r e s p e c i e d d a t e w h i l s t a
E u r o p e a n p u t o p t i o n w r i t t e n o n a s e c u r i t y g i v e s i t s h o l d e r t h e r i g h t ( n o t o b l i g a t i o n ) t o
s e l l t h e u n d e r l y i n g s e c u r i t y a t a p r e s p e c i e d p r i c e o n a p r e s p e c i e d d a t e . T h e p r e s p e c i e d
p r i c e i s c a l l e d t h e s t r i k e p r i c e a n d t h e p r e s p e c i e d d a t e i s c a l l e d t h e e x p i r a t i o n o r m a t u r i t y
d a t e .
G i v e n a s e c u r i t y w i t h t e r m i n a l p a y o
d = (
d ( !
1
)
d ( !
J
) )
0
, t h e p a y o o f a E u r o p e a n
c a l l o p t i o n w i t h s t r i k e p r i c e K t h e n i s
m a x f
d ; K 0 g :
7
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S i m i l a r l y , t h e p a y o o f a E u r o p e a n p u t o p t i o n w i t h s t r i k e p r i c e K t h e n i s
m a x f K ;
d 0 g :
E x a m p l e 1 . 1 C o n s i d e r t w o s e c u r i t i e s w i t h p a y o d
1
= ( 1 2 4 )
0
d
2
= ( 2 0 1 )
0
r e s p e c -
t i v e l y . S i n c e t h e n u m b e r o f t h e s t a t e s i s 3 a n d t h e n u m b e r o f s e c u r i t i e s i s 2 , t h e m a r k e t
i s n o t c o m p l e t e . W r i t e a E u r o p e a n c a l l o p t i o n o n t h e r s t s e c u r i t y w i t h s t r i k e p r i c e 1 .
T h e n i t s p a y o i s d
3
= ( 0 1 3 )
0
: T h e s e t h r e e s e c u r i t i e s a r e a l g e b r a i c a l l y i n d e p e n d e n t a n d
t h e r e f o r e c o m p l e t e t h e m a r k e t .
W e n o w c o n s i d e r n o a r b i t r a g e s t r a t e g i e s . A t r a d i n g s t r a t e g y = (
1
2
N
)
0
i s s a i d
t o a d m i t a r b i t r a g e i f e i t h e r
N
X
n = 1
n
p
n
= 0 a n d
N
X
n = 1
n
d
n
0 ( 1 . 3 )
w i t h
P
N
n = 1
n
d
n
( !
j
) > 0 f o r s o m e j ,
o r
N
X
n = 1
n
p
n
8/3/2019 Lin 1996 Lecture Notes in Mathematical Finance
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d ( A B ) i s t h e d i s t a n c e b e t w e e n A a n d B d e n e d b y
d ( A B ) = i n f f k x ; y k f o r a n y x 2 A a n d y 2 B g :
T h e n , t h e r e e x i s t s a z 2 H a n d a s c a l a r h s u c h t h a t f o r a n y x 2 A x z > h , a n d f o r a n y
y 2 B y z < h : S e e A p p e n d i x B f o r a p r o o f .
I t i s e a s y t o s e e t h a t t h e p r i c e s y s t e m a d m i t s a r b i t r a g e i f a n d o n l y i f s o m e c o n s u m p t i o n
p r o c e s s w i t h z e r o e n d o w m e n t p r o c e s s l i e s i n t h e s e t R
J + 1
+
; f 0 g : T h u s , n o a r b i t r a g e c o n d i t i o n
i s e q u i v a l e n t t o t h e c o n d i t i o n t h a t t h e s e t s B ( 0 p ) a n d R
J + 1
+
; f 0 g a r e s e p a r a t e . S u p p o s e
t h i s i s t h e c a s e . L e t A = f x 2 R
J + 1
+
x
0
+ + x
J
1
2
g . T h e n i t c a n b e s h o w n ( s e e
A p p e n d i x B ) t h a t t h e r e e x i s t a 2 A a n d b 2 B ( 0 p ) s u c h t h a t d ( A B ( 0 p ) ) = k a ; b k :
B y t h e H a h n - B a n a c h T h e o r e m , t h e r e i s a z = ( z
0
z
1
z
J
)
0
a n d a s c a l a r h s u c h t h a t f o r
a n y x
2A x
0
z > h , a n d f o r a n y y
2 B( 0 p ) y
0
z < h : S i n c e
B( 0 p ) i s a l i n e a r s p a c e , y
0
z
i s e i t h e r 0 o r u n b o u n d e d f r o m a b o v e o n B ( 0 p ) . T h u s , y
0
z = 0 f o r a l l y 2 B ( 0 p ) . T h i s
m e a n s t h a t
0
D
0
z = z
0
0
p
f o r a n y , w h e r e z = ( z
1
z
J
)
0
. T h a t i s a r b i t r a r y i m p l i e s
D
0
= p ( 1 . 5 )
w h e r e = (
z
1
z
0
z
2
z
0
z
J
z
0
)
0
: I t i s e a s y t o s e e t h a t h > 0 : L e t s
j
b e t h e v e c t o r w h o s e
( j + 1 ) - t h c o m p o n e n t i s 1 a n d o t h e r s 0 . T h e n s
j
2 A a n d h e n c e s
0
j
z > 0 , w h i c h i m p l i e s
z
j
> 0 j = 0 1 J . T h u s , > 0 :
T h e r e f o r e , t h e p r i c e s y s t e m d o e s n o t a d m i t a r b i t r a g e i m p l i e s t h a t t h e r e i s a v e c t o r ,
a l l o f w h o s e c o m p o n e n t s a r e p o s i t i v e , s u c h t h a t t h e e q u a t i o n ( 1 . 5 ) h o l d s .
C o n v e r s e l y , i f t h e r e i s a p o s i t i v e v e c t o r s u c h t h a t t h e e q u a t i o n ( 1 . 5 ) h o l d s , t h e r e w i l l
b e n o a r b i t r a g e . O t h e r w i s e , l e t
b e a n a r b i t r a g e t r a d i n g s t r a t e g y . M u l t i p l y i n g
0
b o t h
s i d e s o f t h e e q u a t i o n f r o m t h e l e f t g i v e s a n i n e q u a l i t y , w h i c h i s a c o n t r a d i c t i o n .
9
8/3/2019 Lin 1996 Lecture Notes in Mathematical Finance
10/114
S u m m e r i z i n g t h e a b o v e a r g u m e n t s , w e c o n c l u d e t h a t
T h e o r e m 1 . 2 T h e p r i c e s y s t e m d o e s n o t a d m i t a r b i t r a g e i f a n d o n l y i f t h e r e i s a p o s i t i v e
v e c t o r s u c h t h a t
D
0
= p : ( 1 . 6 )
L e t u s n o w c o n s i d e r t h e c a s e t h a t o n e o f t h e s e s e c u r i t i e s i s a r i s k l e s s b o n d , s a y t h e r s t
s e c u r i t y . D e n o t e r t h e r a t e o f r e t u r n o f t h e b o n d . T h u s , d
1
= ( 1 + r ) p
1
: T h e r s t e q u a l i t y
i n e q u a t i o n ( 1 . 6 ) g i v e s ( 1 + r ) (
1
+
2
+ +
J
) = 1 : L e t Q ( !
j
) = ( 1 + r )
j
j = 1 J .
T h e n , Q = ( Q ( !
1
) Q ( !
J
) )
0
i s a p r o b a b i l i t y m e a s u r e o n ( F ) a n d t h e e q u a t i o n ( ( 1 . 6 )
b e c o m e s
D
0
Q = ( 1 + r ) p : ( 1 . 7 )
T h e n t h s c a l a r e q u a t i o n i n ( 1 . 7 ) g i v e s
J
X
j = 1
d
n
( !
j
) Q ( !
j
) = ( 1 + r ) p
n
:
T h u s ,
p
n
=
E
Q
( d
n
)
1 + r
a n d
E
Q
( R
n
) =
1
p
n
K
X
j = 1
d
n
( !
j
) Q ( !
j
) ; 1 = r
w h e r e R
n
=
d
n
p
n
; 1 :
H e n c e , t h e p r i c e s y s t e m d o e s n o t a d m i t a r b i t r a g e i f a n d o n l y i f t h e r e i s a p r o b a b i l -
i t y m e a s u r e Q o n ( F ) s u c h t h a t u n d e r t h i s m e a s u r e , t h e p r i c e o f e a c h s e c u r i t y i s t h e
d i s c o u n t e d v a l u e o f i t s e x p e c t e d p a y o a n d a l l s e c u r i t i e s h a v e t h e s a m e e x p e c t e d r a t e o f
r e t u r n . T h e p r o b a b i l i t y m e a s u r e Q i s o f t e n r e f e r r e d t o a s a r i s k - n e u t r a l p r o b a b i l i t y m e a -
s u r e . I f t h e m a r k e t i s c o m p l e t e i t u n i q u e l y e x i s t s u n d e r n o a r b i t r a g e c o n d i t i o n . H o w e v e r ,
i t t h e m a r k e t i s n o t c o m p l e t e , t h e r e a r e m o r e t h a n o n e r i s k - n e u t r a l p r o b a b i l i t y m e a s u r e .
1 0
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11/114
1 . 4 V a l u a t i o n
W e n o w d e n o t e t h e t i m e - 0 p r i c e o f a c o n s u m p t i o n p r o c e s s c = ( c ( 0 ) c ( T ) ) b y ( c ) . T h e n ,
n o a r b i t r a g e i m p l i e s t h a t f o r a n y a t t a i n a b l e c o m s u m p t i o n p r o c e s s w i t h c ( T ) =
P
N
n = 1
n
d
n
,
( c ) = c ( 0 ) +
N
X
n = 1
n
p
n
: ( 1 . 8 )
T h i s f o r m u l a i t s e l f i s t r i v i a l b u t i t r e p r e s e n t s a v e r y i m p o r t a n t p r i n c i p l e i n p r i c i n g s e c u r i t i e s .
T h a t i s , i f t h e p a y o o f a s e c u r i t y c a n b e h e d g e d b y f o r m i n g a p o r t f o l i o o f t h e e x i s t i n g
s e c u r i t i e s , t h e p r i c e s h o u l d b e e q u a l t o t h e i n i t i a l v a l u e o f t h e p o r t f o l i o . W e w i l l s e e l a t e r
o n t h a t t h e s a m e p r i n c i p l e i s a p p l i e d t o m a n y m u l t i - p e r i o d m o d e l s .
O n t h e o t h e r h a n d , s i n c e t h e p r i c e o f e a c h e x i s t i n g s e c u r i t y c a n b e w r i t t e n a s t h e
d i s c o u n t e d e x p e c t e d v a l u e o f i t s p a y o u n d e r a r i s k - n e u t r a l p r o b a b i l i t y m e a s u r e , w e h a v e
( c ) = c ( 0 ) +
P
N
n = 1
n
E
Q
( d
n
)
1 + r
= c ( 0 ) +
1
1 + r
E
Q
f
N
X
n = 1
n
d
n
g : ( 1 . 9 )
T h i s f o r m u l a r e p r e s e n t s a n o t h e r i m p o r t a n t p r i n c i p l e i n p r i c i n g s e c u r i t i e s . I t s a y s t h a t
t h e p r i c e o f a s e c u r i t y i s t h e d i s c o u n t e d e x p e c t e d v a l u e o f i t s p a y o u n d e r a r i s k - n e u t r a l
p r o b a b i l i t y m e a s u r e , d i s c o u n t e d a t t h e r i s k - f r e e r a t e . T h i s p r i n c i p l e i s o f t e n a p p l i e d t o
A m e r i c a n t y p e o p t i o n s a s w e l l a s c o n t i n u o u s t i m e n a n c i a l m o d e l s .
I t i s e a s y t o s e e t h a t t h e p r i c e o f a n a t t a i n a b l e c o n s u m p t i o n p r o c e s s i s u n i q u e l y d e t e r -
m i n e d n o m a t t e r w h i c h r i s k - n e u t r a l p r o b a b i l i t y m e a s u r e i s u s e d . T h u s , w h e n t h e m a r k e t
i s c o m p l e t e , e v e r y c o n s u m p t i o n p r o c e s s i s p r i c e d u n i q u e l y .
C o n s i d e r n o w t h e f o l l o w i n g s e c u r i t i e s : f o r e a c h j = 1 2 J t h e p a y o o f t h e j - t h
s e c u r i t y i s
j
( ! ) =
8
>
:
1 ! = !
j
0 o t h e r w i s e
( 1 . 1 0 )
T h e s e s e c u r i t i e s a r e u s u a l l y r e f e r r e d t o a s t h e A r r o w - D e b r e u s e c u r i t i e s w h i c h p a y o n e u n i t
a t o n e s t a t e a n d n o t h i n g e l s e w h e r e . T h e i r p r i c e s
j
j = 1 2
J , c a l l e d t h e A r r o w -
D e b r e u p r i c e s o r t h e s t a t e p r i c e s , c a n b e e a s i l y d e t e r m i n e d w h e n t h e m a r k e t i s c o m p l e t e .
1 1
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F o r e a c h j ,
j
=
1
1 + r
E
Q
(
j
) =
1
1 + r
Q ( !
j
) : ( 1 . 1 1 )
I n o t h e r w o r d s , t h e r i s k - n e u t r a l p r o b a b i l i t y f o r e a c h s t a t e i s a c t u a l l y t h e a c c u m u l a t e d v a l u e
o f t h e c o r r e s p o n d i n g s t a t e p r i c e a t t h e r i s k f r e e r a t e .
E x a m p l e 1 . 2 C o n s i d e r a n e c o n o m y w i t h o n l y t w o s t a t e s : t h e u p s t a t e a n d t h e d o w n s t a t e ,
r e s p e c t i v e l y . T h e p r o b a b i l i t y o f t h e u p w a r d s t a t e i s q a n d t h e o t h e r i s 1 ; q . T h e r e a r e
t w o s e c u r i t i e s , o n e r i s k l e s s b o n d w i t h i n t e r e s t r a t e r a n d o n e s t o c k w i t h i n i t i a l p r i c e S a n d
w i t h r e t u r n u a t t h e u p s t a t e a n d r e t u r n d a t t h e d o w n s t a t e , u > d ( F i g u r e 1 . 1 ) .
*
H
H
H
H
H
Hj
1
u
d
F i g u r e 1 . 1 : R e t u r n o f t h e r i s k y s e c u r i t y
T h e p a y o m a t r i x t h e n i s
D
0
=
0
B
@
1 + r 1 + r
S u S d
1
C
A
T h e n o a r b i t r a g e c o n d i t i o n i s e q u i v a l e n t t o u > 1 + r > d : T h e r i s k - n e u t r a l p r o b a b i l i t y
m e a s u r e Q = ( q
u
q
d
)
0
s a t i s e s
q
u
=
1 + r ; d
u ; d
q
d
=
u ; 1 ; r
u ; d
:
F o r a n y g i v e n p a y o C = ( C
u
C
d
)
0
, w h i c h c o u l d b e t h e p a y o o f a c a l l o r p u t o p t i o n , w e
h a v e t h e p r i c e
C
= C
u
q
u
+ C
d
q
d
=
( 1 + r ; d ) C
u
+ ( u ; 1 ; r ) C
d
u ; d
: ( 1 . 1 2 )
1 2
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O n t h e o t h e r h a n d , s u p p o s e t h a t a p o r t f o l i o S + B , w h e r e i s t h e n u m b e r o f s h a r e s o f
t h e s t o c k a n d B i s t h e b o n d v a l u e , g i v e s t h e s a m e p a y o a s ( C
u
C
d
)
0
. W e t h e n h a v e
S u + B ( 1 + r ) = C
u
( 1 . 1 3 )
S d + B ( 1 + r ) = C
d
( 1 . 1 4 )
T h u s , =
C
u
; C
d
S ( u ; d )
B =
u C
d
; d C
u
( 1 + r ) ( u ; d )
: I t i s e a s y t o v e r i f y t h a t
C
= S + B : i s a l s o t h e
d e r i v a t i v e o f t h e p r i c e o f t h e s e c u r i t y w i t h p a y o C w i t h r e s p e c t t o t h e s t o c k p r i c e a n d i s
o f t e n c a l l e d d e l t a b y p r a c t i t i o n e r s .
W e n o w c o n s i d e r p r i c i n g c o n s u m p t i o n p r o c e s s e s i n a n i n c o m p l e t e m a r k e t . I t s u c e s t o
p r i c e o n l y t h e r e s p e c t i v e t e r m i n a l c o n s u m p t i o n s s i n c e t h e p r i c e o f a c o n s u m p t i o n p r o c e s s
i s s i m p l y t h e s u m o f i t s i n i t i a l c o n s u m p t i o n a n d t h e p r i c e o f i t s t e r m i n a l c o n s u m p t i o n .
L e t b e a p r i c e s y s t e m o n t h e t e r m i n a l c o n s u m p t i o n s p a c e f c ( T ) 2 R
J
g : T h e n ,
( c ( T ) ) = ( c ( T ) ) a n d ( c
1
( T ) + c
2
( T ) ) = ( c
1
( T ) ) + ( c
2
( T ) ) : I n o t h e r w o r d s , i s
a l i n e a r f u n c t i o n a l o n R
J
. F u r t h e r m o r e , t h e f a c t t h a t i s a p r i c e s y s t e m a n d i t d o e s n o t
a d m i t a r b i t r a g e i m p l i e s t h a t
(
j
) > 0 j = 1 J ( 1 . 1 5 )
a n d
J
X
j = 1
(
j
) =
1
1 + r
: ( 1 . 1 6 )
I f w e r e q u i r e t h e p r i c e s y s t e m t o b e c o n s i s t e n t w i t h t h e c u r r e n t p r i c e s y s t e m p =
( p
1
p
N
)
0
, i . e . ( d
n
) = p
n
n = 1 N w e h a v e
J
X
j = 1
d
n
( !
j
) (
j
) = p
n
: ( 1 . 1 7 )
D e n e Q
( !
j
) = ( 1 + r ) (
j
) j = 1 J : T h e s e t h r e e c o n d i t i o n s ( 1 . 1 5 ) , ( 1 . 1 6 ) a n d ( 1 . 1 7 )
g i v e
D
0
Q
= ( 1 + r ) p : ( 1 . 1 8 )
1 3
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T h u s , t h e y t o g e t h e r a r e a l s o s u c i e n t c o n d i t i o n s f o r a c o n s i s t e n t n o - a r b i t r a g e p r i c e s y s t e m
f o r a l l c o n s u m p t i o n p r o c e s s e s .
T h e c o r r e s p o n d a n c e ! Q
i s a n o n e - t o - o n e c o r r e s p o n d a n c e s i n c e a l i n e a r f u n c t i o n a l i s
u n i q u e l y d e t e r m i n e d b y i t s v a l u e s o n a b a s i s w h i c h i s
j
j = 1 J i n o u r c a s e . T h u s ,
t h e n u m b e r o f p r i c e f u n c t i o n a l s i s e q u a l t o t h e n u m b e r o f t h e r i s k - n e u t r a l p r o b a b i l i t y
m e a s u r e s f o r t h e p r i c e s y s t e m p = ( p
1
p
N
)
0
. M o r e o v e r , i f R a n k ( D ) = N t h e r e a r e
e x a c t l y J ; N i n d e p e n d e n t p r i c e f u n c t i o n a l s a n d a n y o t h e r p r i c e f u n c t i o n a l i s a l i n e a r
c o m b i n a t i o n o f t h o s e .
F r o m t h e e q u a t i o n ( 1 . 1 8 ) , f o r a n y c o n s i s t e n t n o - a r b i t r a g e p r i c e s y s t e m , t h e r e i s a
u n i q u e r i s k - n e u t r a l p r o b a b i l i t y m e a s u r e Q
s u c h t h a t
( c ( T ) ) =
1
1 + r
E
Q
( c ( T ) ) : ( 1 . 1 9 )
1 . 5 R i s k P r e m i u m s
A s i n t h e p r e c e d i n g s e c t i o n , w e l e t
R
n
=
d
n
p
n
; 1
b e t h e r a t e o f r e t u r n o f s e c u r i t y n . D e n o t e t h e e x p e c t e d r a t e o f r e t u r n u n d e r t h e p r o b a b i l i t y
m e a s u r e P b y
n
= E
P
( R
n
) =
E
P
( d
n
)
p
n
; 1 :
T h i s i s t h e e x p e c t e d r a t e o f r e t u r n b a s e d o n t h e i n v e s t o r s h o m o g e n e o u s b e l i e f . H e n c e , t h e
d i e r e n c e
n
; r b e t w e e n t h e e x p e c t e d r a t e o f r e t u r n a n d t h e r i s k f r e e r a t e o f r e t u r n i s t h e
r i s k p r e m i u m f o r s e c u r i t y n . I f w e l e t z =
P
Q
;1 i n d e p e n d e n t o f t h e s e c u r i t i e s , t h e n
n
; r = E
P
( R
n
) ; E
Q
( R
n
) = E
P
( 1 ;
P
Q
) R
n
] = ; C o v
P
( z R
n
) : ( 1 . 2 0 )
F o r a n y g i v e n p o r t f o l i o
P
N
n = 1
n
p
n
w i t h t h e r a t e o f r e t u r n
R =
P
N
n = 1
n
d
n
P
N
n = 1
n
p
n
; 1
1 4
8/3/2019 Lin 1996 Lecture Notes in Mathematical Finance
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a n d t h e e x p e c t e d r a t e o f r e t u r n = E
P
( R )
; r = E
P
( R ) ; E
Q
( R ) = ; C o v
P
( z R ) ( 1 . 2 1 )
s i n c e E
Q
( R ) = r :
I f z i s a t t a i n a b l e , i . e . z =
P
N
n = 1
n
d
n
, t h e n ,
z = (
N
X
n = 1
n
p
n
) ( 1 + R
z
)
w h e r e R
z
i s t h e r a t e o f r e t u r n o f p o r t f o l i o z . W e h a v e
E
P
( R
z
) ; r = ; (
N
X
n = 1
n
p
n
) V a r
P
( R
z
)
a n d
;r =
;(
N
X
n = 1
n
p
n
) C o v
P
( R
z
R ) :
T h e r e f o r e ,
;r =
C o v
P
( R
z
R )
V a r
P
( R
z
)
( E
P
( R
z
)
;r ) : ( 1 . 2 2 )
T h e e q u a t i o n ( 1 . 2 2 ) i s i n t h e f o r m o f t h e w e l l - k n o w n C a p i t a l A s s e t P r i c i n g M o d e l ( C A P M ) .
z i s r e f e r r e d t o a s t h e m a r k e t p o r t f o l i o a n d t h e q u a n t i t y
C o v
P
( R
z
R )
V a r
P
( R
z
)
i s r e f e r r e d t o a s t h e
m a r k e t b e t a . S i n c e t h e c o v a r i a n c e o p e r a t o r a n d t h e v a r i a n c e o p e r a t o r a r e i n v a r i a n t u n d e r
p a r a l l e l s h i f t i n g R ! R + a t h e a b o v e f o r m u l a a l s o h o l d s w h e n t h e r a t e s o f r e t u r n s a r e
r e p l a c e d b y t h e r e t u r n s p e r u n i t . T h e l a t t e r i s u s e d i n t h e s t a n d a r d C A P M s e t t i n g .
1 5
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16/114
C h a p t e r 2
D i s c r e t e - T i m e S t o c h a s t i c P r o c e s s e s
a n d L a t t i c e M o d e l s
2 . 1 D i s c r e t e - T i m e S t o c h a s t i c P r o c e s s e s
l e t ( F P ) b e a p r o b a b i l i t y s p a c e . F t h e n i s t h e c o l l e c t i o n o f a l l p o s s i b l e r a n d o m e v e n t s .
T h u s , F r e p r e s e n t s a l l t h e i n f o r m a t i o n c o n t a i n e d i n t h i s p r o b a b i l i t y s p a c e .
L e t F
1
b e a n o t h e r - a l g e b r a d e n e d o n . I f F
1
i s c o a r s e r t h a n F , t h e p r o b a b i l i t y
s p a c e ( F
1
P ) c o n t a i n s l e s s i n f o r m a t i o n t h a n ( F P ) d o e s .
E x a m p l e 2 . 1 L e t F
1
= f g : F
1
i s t h e c o a r s e s t - a l g e b r a w h i c h c o n t a i n s n o i n f o r m a t i o n
a t a l l .
L e t F
2
b e t h e s e t o f a l l s u b s e t s o f . F
2
i s t h e n e s t - a l g e b r a w h i c h c o n t a i n s a l l t h e
i n f o r m a t i o n f r o m t h e u n d e r l y i n g s p a c e .
L e t X b e a r a n d o m v a r i a b l e d e n e d o n ( F P ) . H o w m u c h i n f o r m a t i o n w o u l d w e b e
a b l e t o o b t a i n f r o m X ? O b v i o u s l y , a n y r a n d o m e v e n t w e c o u l d o b s e r v e t h r o u g h X w i l l b e
r e p r e s e n t e d b y t h e v a l u e s o f X o n t h e r a n d o m e v e n t . I f t w o e v e n t s g i v e t h e s a m e r a n g e
f o r X , w e w i l l b e u n a b l e t o d i s t i n g u i s h t h e m . H e n c e , a l l p o s s i b l e r a n d o m e v e n t s w e c a n
1 6
8/3/2019 Lin 1996 Lecture Notes in Mathematical Finance
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o b s e r v e f r o m X a r e i n t h e - a l g e b r a g e n e r a t e d b y e v e n t s f X x g f o r a l l r e a l n u m b e r s
x . W e c a l l t h e - a l g e b r a g e n e r a t e d b y f X x g x 2 R t h e B o r e l - a l g e b r a w i t h r e s p e c t
t o X a n d d e n o t e i t a s B
X
. H e n c e , B
X
r e p r e s e n t s a l l t h e i n f o r m a t i o n t h a t c a n b e o b t a i n e d
f r o m X .
E x a m p l e 2 . 2 S u p p o s e t h a t X i s a r a n d o m v a r i a b l e w h i c h o n l y t a k e s a n i t e n u m b e r
o f d i e r e n t v a l u e s u
1
u
2
u
J
. L e t !
j
= f X = u
j
g j = 1 2 J . T h e n B
X
i s t h e
c o l l e c t i o n o f a l l s u b s e t s o f f !
1
!
2
!
J
g .
C o n s i d e r n o w a l l t h e t i m e - d e p e n d e n t r a n d o m e v e n t s i n
F. L e t
F
t
b e t h e c o l l e c t i o n o f
a l l p o s s i b l e r a n d o m e v e n t s t h a t m a y h a p p e n b e f o r e o r a t t i m e t . T h e n , ( i ) F
t
i s a - a l g e b r a
c o a r s e r t h a n F ( i i ) i f t < s , F
t
F
s
. T h u s , f F
t
t 0 g d e n e a n i n f o r m a t i o n s t r u c t u r e
o n ( F P ) , w i t h F
t
r e p r e s e n t i n g t h e i n f o r m a t i o n u p t o t i m e t . I n p r o b a b i l i t y t h e o r y , a n y
c o l l e c t i o n o f - a l g e b r a s w h i c h s a t i s e s ( i ) a n d ( i i ) i s c a l l e d a l t r a t i o n o n ( F P ) a n d t h e
q u a d r u p l e t ( F F
t
P ) i s c a l l e d a l t e r e d s p a c e .
A t t h i s m o m e n t l e t u s c o n s i d e r a d i s c r e t e - t i m e s e t t i n g : t = t
0
t
1
: W i t h o u t l o s s o f
g e n e r a l i t y , a s s u m e t = 0 1 2 : I f w e h a v e a s e q u e n c e o f r a n d o m v a r i a b l e s X ( 0 ) X ( 1 )
X ( t ) s u c h t h a t X ( t ) i s a r a n d o m v a r i a b l e o n ( F
t
P ) , t h e n t h e s e q u e n c e X ( 0 ) X ( 1 )
X ( t )
i s c a l l e d a n a d a p t e d d i s c r e t e - t i m e s t o c h a s t i c p r o c e s s o n (
F
F
t
P ) . I n t h e s e
n o t e s , w e a l w a y s a s s u m e t h a t a s t o c h a s t i c p r o c e s s i s a d a p t e d a n d s i m p l y c a l l i t a s t o c h a s t i c
p r o c e s s .
G i v e n a s t o c h a s t i c p r o c e s s X ( t ) t = 0 1 w e w a n t t o s e e h o w m u c h i n f o r m a t i o n
w e w i l l b e a b l e t o o b t a i n f r o m i t . A s w e h a v e m e n t i o n e d a b o v e , B
X ( t )
i s t h e i n f o r m a -
t i o n w e c a n o b t a i n f r o m t h e r a n d o m v a r i a b l e X ( t ) . T h u s , t h e i n f o r m a t i o n u p t o t i m e t
f r o m t h e s t o c h a s t i c p r o c e s s X ( t ) t = 0 1 i s t h e - a l g e b r a g e n e r a t e d b y t h e r a n d o m
e v e n t s i n B
X ( 0 )
B
X ( 1 )
B
X ( t )
: I n o t h e r w o r d s , i t i s t h e s m a l l e s t - a l g e b r a c o n t a i n i n g
B
X ( 0 )
B
X ( 1 )
B
X ( t )
: W e d e n o t e t h i s - a l g e b r a a s B
t
. I t i s e a s y t o s e e t h a t
B
0
B
1
B
t
F
1 7
8/3/2019 Lin 1996 Lecture Notes in Mathematical Finance
18/114
T h u s , B
t
t = 0 1 f o r m a l t r a t i o n o n ( F P ) , c a l l e d t h e B o r e l o r n a t u r a l l t r a t i o n
w i t h r e s p e c t t o X ( t ) t = 0 1 : T h i s l t r a t i o n c o n t a i n s e x a c t i n f o r m a t i o n o b t a i n e d f r o m
X ( t ) t = 0 1 a n d B
t
i s t h e e x a c t i n f o r m a t i o n o b t a i n e d f r o m X ( t ) t = 0 1 u p
t o t i m e t . S i n c e X ( t ) i s F
t
- m e a s u r a b l e , B
t
F
t
. H e n c e t h e i n f o r m a t i o n c o n t a i n e d i n t h e
B o r e l l t r a t i o n i s n o m o r e t h a n t h a t i n t h e o r i g i n a l l t r a t i o n F
t
t = 0 1 :
S o f a r , w e a s s u m e t h a t w e a r e g i v e n a n i n f o r m a t i o n s t r u c t u r e o r l t r a t i o n F
t
t =
0 1 : B a s e d o n t h i s i n f o r m a t i o n s t r u c t u r e , w e d e n e a s t o c h a s t i c p r o c e s s a n d i t s B o r e l
i n f o r m a t i o n s t r u c t u r e . B u t v e r y o f t e n , w h a t w e h a v e i s a s e q u e n c e o f r a n d o m v a r i a b l e s
X ( t ) t = 0 1 d e n e d o n ( F P ) w i t h o u t h a v i n g t h e i n f o r m a t i o n s t r u c t u r e F
t
t =
0 1 : I n o t h e r w o r d s , t h e s e q u e n c e o f r a n d o m v a r i a b l e s i s t h e o n l y s o u r c e w e c a n o b t a i n
i n f o r m a t i o n f r o m . I n t h i s c a s e , w e m a y d i r e c t l y d e n e
B
t
f r o m t h e s e q u e n c e X ( t ) t =
0 1 a s a b o v e . I t i s e a s y t o s e e t h a t ( F B
t
P ) i s a l t e r e d s p a c e a n d X ( t ) t =
0 1 i s a s t o c h a s t i c p r o c e s s o n i t .
F i n a l l y , w e e x t e n d o u r d i s c u s s i o n t o v e c t o r - v a l u e d s t o c h a s t i c p r o c e s s e s . W e s a y a s e -
q u e n c e o f r a n d o m v e c t o r s
( X
1
( t ) X
2
( t )
X
N
( t ) ) t = 0 1
i s a s t o c h a s t i c p r o c e s s o n ( F F
t
P ) i f f o r a n y n = 1 2 N , X
n
( t ) t = 0 1
i s a s t o c h a s t i c p r o c e s s o n ( F F
t
P ) . T h e c o r r e s p o n d i n g B o r e l - a l g e b r a B
t
i s d e -
n e d a s t h e s m a l l e s t - a l g e b r a c o n t a i n i n g t h e B o r e l - a l g e b r a s g e n e r a t e d b y X
n
( s ) n =
1 2 N s = 0 1 t :
2 . 2 R a n d o m W a l k s
R a n d o m w a l k s a r e o n e o f t h e s i m p l e s t d i s c r e t e - t i m e s t o c h a s t i c p r o c e s s e s . B e c a u s e t h e y
a r e s i m p l e , i n t u i t i v e a n d h a v e o t h e r a p p e a l i n g f e a t u r e s , t h e y h a v e b e e n w i d e l y u s e d i n
m o d e l i n g s e c u r i t i e s . I n t h i s s e c t i o n w e s h o w h o w a r a n d o m w a l k i s c o n s t r u c t e d a n d h o w i t
1 8
8/3/2019 Lin 1996 Lecture Notes in Mathematical Finance
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c a n b e u s e d t o m o d e l s e c u r i t i e s .
L e t Y
1
Y
2
Y
k
b e a s e q u e n c e o f i n d e p e n d e n t , i d e n t i c a l l y d i s t r i b u t e d ( i i d ) B e r n o u l l i
r a n d o m v a r i a b l e s d e n e d o n a p r o b a b i l i t y s p a c e ( F P ) . F i r s t , l e t u s a s s u m e t h a t f o r a
g i v e n h > 0 ,
Y
k
=
8
>
:
h
; h
( 2 . 1 )
a n d
P r ( Y
k
= h ) = P r ( Y
k
= ; h ) =
1
2
: ( 2 . 2 )
W e n o w c o n s t r u c t a r a n d o m w a l k o v e r t h e t i m e p e r i o d 0 T ] a s f o l l o w s :
A n o b j e c t s t a r t s a t a p o s i t i o n m a r k e d 0 . I t m o v e s o n c e o n l y a t a t i m e i n t e r v a l w i t h
l e n g t h > 0 . W e c h o o s e s u c h t h a t T i s a m u l t i p l e o f . D u r i n g e a c h t i m e i n t e r v a l
t h e o b j e c t e i t h e r m o v e s u p h u n i t s w i t h p r o b a b i l i t y
1
2
o r m o v e s d o w n h u n i t s w i t h
p r o b a b i l i t y
1
2
.
L e t X ( t ) b e t h e p o s i t i o n o f t h e o b j e c t a t t i m e t . T h e n w e h a v e
X ( t ) = Y
1
+ Y
2
+ + Y
t
( 2 . 3 )
w h e r e t =
t . A p p a r e n t l y , X ( t ) i s b i n o m i a l l y d i s t r i b u t e d . T h e B o r e l - a l g e b r a B
t
w i t h
r e s p e c t t o t h i s p r o c e s s i s t h e c o l l e c t i o n o f a l l t h e s u b s e t s o f t h e s e t o f a l l p o s s i b l e p a t h s u p
t o t i m e t . F o r e x a m p l e , B
2
i s t h e c o l l e c t i o n o f a l l t h e s u b s e t s o f
f ( h h ) ( h ; h ) ( ; h h ) ( ; h ; h ) g :
L e t P ( x t ) d e n o t e t h e p r o b a b i l i t y t h a t t h e o b j e c t i s a t p o s i t i o n x a t t i m e t , i . e . P ( x t ) =
P r ( X ( t ) = x ) . T h e n w h e n x i s r e a c h e d b y m o v i n g u p m t i m e s a n d m o v i n g d o w n
t ; m
t i m e s , w e h a v e
P ( x t ) =
0
B
@
t
m
1
C
A
(
1
2
)
t
x = ( 2 m ;
t ) h ( 2 . 4 )
1 9
8/3/2019 Lin 1996 Lecture Notes in Mathematical Finance
20/114
m = 0 1
t .
W e c a n a l s o e a s i l y c o m p u t e i t s m e a n a n d v a r i a n c e .
E ( X ( t ) ) =
t E ( Y
1
) = 0 ( 2 . 5 )
V a r ( X ( t ) ) =
t V a r ( Y
1
) =
t h
2
= t
h
2
: ( 2 . 6 )
M o r e o v e r , t h e r e i s a r e c u r s i v e r e l a t i o n a m o n g P ( x t ) t = 0 . I t f o l l o w s f r o m
P ( x t + ) = P r ( X
t
= x ; Y
t + 1
) = E ( P r ( X
t
= x ; y ) j Y
t + 1
= y )
t h a t
P ( x t + ) = P ( h ) P ( x ; h t ) + P ( ; h ) P ( x + h t ) ( 2 . 7 )
w i t h P ( 0 0 ) = 1 P ( x 0 ) = 0 x 6= 0 .
I n t h e a b o v e c a s e ,
P ( x t + ) =
1
2
P ( x ; h t ) + P ( x + h t ) ] : ( 2 . 8 )
N e x t , w e c o n s i d e r r a n d o m w a l k s w i t h d r i f t . A s w e h a v e s e e n i n t h e p r e v i o u s d i s c u s s i o n
t h a t t h e m e a n a n d v a r i a n c e o f t h e r a n d o m w a l k d i s c u s s e d a r e p r o p o r t i o n a l t o t h e t i m e t h a t
h a s p a s s e d . I n o t h e r w o r d s , t h e a v e r a g e m e a n a n d v a r i a n c e o v e r t i m e r e m a i n c o n s t a n t .
F u r t h e r m o r e , t h e m o v e a t t i m e t o n l y d e p e n d s o n t h e p o s i t i o n o f t h e o b j e c t a t t i m e t ,
n o t t h e p o s i t i o n s i n t h e p a s t , w h i c h i s c a l l e d t h e M a r k o v p r o p e r t y . T h o s e p r o p e r t i e s a r e
a p p e a l i n g s i n c e m a n y r i s k y s e c u r i t i e s e n j o y t h e s a m e p r o p e r t i e s . H o w e v e r , i n p r a c t i c e , t h e
a v e r a g e m e a n o f a r i s k y s e c u r i t y i s o f t e n n o n z e r o . T h u s t h e r e i s a n e e d t o e x t e n d t h e
r a n d o m w a l k w e h a v e c o n s i d e r e d .
L e t u s n o w d e s i g n a r a n d o m w a l k X ( t ) t = 0 2 : : : w i t h a c o n s t a n t a v e r a g e m e a n
a n d a c o n s t a n t a v e r a g e v a r i a n c e , n a m e l y
E ( X ( t ) ) = t V a r ( X ( t ) ) = t
2
: ( 2 . 9 )
T h e r e a r e t w o a p p r o a c h e s t o a c h i e v e t h i s g o a l .
2 0
8/3/2019 Lin 1996 Lecture Notes in Mathematical Finance
21/114
1 . A d j u s t t h e p r o b a b i l i t i e s o f t h e u p m o v e m e n t a n d t h e d o w n m o v e m e n t . L e t
P r ( Y
k
= h ) = q P r ( Y
k
= ; h ) = 1 ; q :
T o s a t i s f y e q u a t i o n s i n ( 2 . 9 ) , w e m u s t h a v e
h ( 2 q ; 1 )
=
4 h
2
q ( 1 ; q )
=
2
w h i c h y i e l d s
h =
q
2
+
2
2
q =
1
2
h
1 +
s
1
1 +
2
=
2
i
: ( 2 . 1 0 )
T h e c o r r e s p o n d i n g r e c u r s i v e f o r m u l a b e c o m e s
P ( x t + ) = q P ( x ; h t ) + ( 1 ; q ) P ( x + h t ) : ( 2 . 1 1 )
2 . A d j u s t t h e m a g n i t u d e o f t h e u p m o v e m e n t a n d t h e d o w n m o v e m e n t s e p a r a t e l y .
P r ( Y
k
= h
1
) =
1
2
P r ( Y
k
= ; h
2
) =
1
2
:
S i n c e
E ( Y
k
) =
1
2
( h
1
; h
2
) V a r ( Y
k
) = (
h
1
+ h
2
2
)
2
h
1
; h
2
2
=
( h
1
+ h
2
)
2
4
=
2
:
T h i s y i e l d s
h
1
= +
p
h
2
=
; +
p
: ( 2 . 1 2 )
T h e r e c u r s i v e f o r m u l a i s t h e s a m e a s ( 2 . 8 ) .
W e n o w i l l u s t r a t e h o w a r a n d o m w a l k w i t h d r i f t c a n b e u s e d t o m o d e l t h e p r i c e m o v e -
m e n t o f a r i s k y s e c u r i t y .
C o n s i d e r a r i s k y s e c u r i t y f o r t h e t i m e p e r i o d 0 T ] . A s s u m e t h a t d u r i n g t h e p e r i o d
0 T ] t h e r e a r e
T t r a d i n g d a t e s ,
t = 0 1
T
;1 , s e p a r a t e d i n r e g u l a r i n t e r v a l s , i . e .
t = t = w h e r e i s t h e t i m e b e t w e e n t w o c o n s e c u t i v e t r a d i n g d a t e s . A t e a c h t i m e t , t h e r e
2 1
8/3/2019 Lin 1996 Lecture Notes in Mathematical Finance
22/114
a r e o n l y t w o s t a t e s o f e c o n o m y o v e r t h e n e x t t i m e i n t e r v a l : t h e u p s t a t e a n d t h e d o w n s t a t e .
T h e p r o b a b l i t i e s o f t h e u p s t a t e a n d t h e d o w n s t a t e a r e q a n d 1 ; q , r e s p e c t i v e l y . T h e r e t u r n
o f t h e s e c u r i t y o v e r t h e n e x t t i m e i n t e r v a l i s u w h e n t h e u p s t a t e i s a t t a i n e d a n d d w h e n
t h e d o w n s t a t e i s a t t a i n e d . S u p p o s e t h a t S ( t ) i s t h e p r i c e o f t h e s e c u r i t y a t t i m e t . D e n e
t h a t Y
t
= l o g S ( t ) ; l o g S ( t ; ) : T h e n Y
t
i s a B e r n o u l l i r a n d o m v a r i a b l e w i t h
P r ( Y
t
= l o g u ) = q P r ( Y
t
= l o g d ) = 1
;q : ( 2 . 1 3 )
L e t X ( t ) = Y
1
+ Y
2
+ + Y
t
: T h e n X ( t ) i s a r a n d o m w a l k a n d t h e p r i c e S ( t ) c a n b e
e x p r e s s e d a s
S ( t ) = S ( 0 ) e
X ( t )
: ( 2 . 1 4 )
I f w e f u r t h e r r e q u i r e t h a t t h e l o g a r i t h m o f S ( t ) h a v e c o n s t a n t a v e r a g e m e a n a n d
c o n s t a n t a v e r a g e v a r i a n c e
2
, o u r r s t a p p r o a c h g i v e s
u = e
p
2
+
2
2
d = e
;
p
2
+
2
2
: ( 2 . 1 5 )
a n d
q =
1
2
h
1 +
s
1
1 +
2
=
2
i
: ( 2 . 1 6 )
T h e r s t - o r d e r a p p r o x i m a t i o n o n i n ( 2 . 1 5 ) a n d ( 2 . 1 6 ) y i e l d s t h e w e l l - k n o w n b i n o m i a l
m o d e l o f C o x , R o s s a n d R u b i n s t e i n 5 ] .
I f w e u s e t h e s e c o n d a p p r o a c h , t h e n q =
1
2
a n d
u = e
+
p
d = e
;
p
: ( 2 . 1 7 )
T h i s i s s i m i l a r t o t h e m o d e l p r o p o s e d b y H u a H e 1 4 ] .
2 . 3 G e n e r a l L a t t i c e M o d e l s
W e n o w c o n s i d e r a s e c u r i t y m a r k e t w i t h t h e f o l l o w i n g c o n d i t i o n s :
2 2
8/3/2019 Lin 1996 Lecture Notes in Mathematical Finance
23/114
T h e r e a r e T + 1 c o n s u m p t i o n d a t e s s e p a r a t e d i n r e g u l a r i n t e r v a l s . W i t h o u t l o s s o f
g e n e r a l i t y , w e a s s u m e t h e s e d a t e s a r e t = 0 1 T . T r a d i n g s t a k e p l a c e o n l y a t
t = 0 1 T ; 1 .
T h e r e a r e a n i t e n u m b e r o f s t a t e s o f e c o n o m y
= f !
1
!
2
!
J
g
w i t h t h e p r o b a b i l i t y a t s t a t e !
j
b e i n g P ( !
j
) :
H e n c e t h e - a l g e b r a F o f t h i s p r o b a b i l i t y s p a c e ( F P ) i s t h e c o l l e c t i o n o f a l l t h e
s u b s e t s o f .
T h e r e i s a n i n f o r m a t i o n s t r u c t u r e
f F
t
t = 0 1 T g ( 2 . 1 8 )
o n ( F P ) s u c h t h a t F
0
= f g i s t h e t r i v i a l - a l g e b r a a n d F
T
= F : T h u s , a t
t h e b e g i n n i n g o f t h e p e r i o d , t h e r e i s n o i n f o r m a t i o n a n d a t t h e e n d o f t h e p e r i o d , a l l
i n f o r m a t i o n i s a v a i l a b l e .
T h e r e a r e N p r i m i t i v e s e c u r i t i e s w i t h p r i c e p r o c e s s
p ( t ) = ( p
1
( t ) p
2
( t ) p
N
( t ) )
0
t = 0 1 T
w h e r e p
n
( t ) i s t h e p r i c e o f s e c u r i t y n a t t i m e t . T h e p r i c e s ( p
1
( T ) p
2
( T ) p
N
( T ) )
a t t i m e T i s a c t u a l l y t h e t e r m i n a l p a y o s o f t h o s e s e c u r i t i e s a n d s o m e t i m e w e d e n o t e
t h e m b y p a y o m a t r i x
D =
0
B
B
B
B
B
@
d
1
( !
1
) d
N
( !
1
)
.
.
.
.
.
.
d
1
( !
J
) d
N
( !
J
)
1
C
C
C
C
C
A
2 3
8/3/2019 Lin 1996 Lecture Notes in Mathematical Finance
24/114
S i n c e a t t i m e t t h e s e c u r i t i e s a r e p r i c e d b a s e d o n t h e i n f o r m a t i o n a v a i l a b l e u p t o t i m e
t , t h e p r i c e p r o c e s s
( p ( 0 ) p ( 1 ) p ( T ) )
i s a s t o c h a s t i c p r o c e s s o n ( F F
t
P ) .
W e f u r t h e r a s s u m e t h a t o n e o f t h e s e s e c u r i t i e s , s a y , t h e r s t s e c u r i t y , i s a r i s k f r e e
b o n d w i t h c o n s t a n t i n t e r e s t r a t e r o v e r e a c h t i m e i n t e r v a l . T h u s , p
1
( t ) = ( 1 + r )
t
p ( 0 ) :
I n v e s t o r s a r e p r i c e t a k e r s . T h e y s h a r e t h e s a m e i n f o r m a t i o n r e p r e s e n t e d b y f F
t
t =
0 1 T g a n d h a v e a h o m o g e n e o u s b e l i e f P .
T h e r e i s o n l y o n e p e r i s h a b l e c o n s u m p t i o n g o o d .
A t r a d i n g s t r a t e g y ( t ) = (
1
( t )
N
( t ) )
0
a t t h e t i m e t i s s u c h t h a t a f t e r t r a d i n g t h e
i n v e s t o r o w n s
n
( t ) s h a r e s o f s e c u r i t y n a t t i m e t . A t r a d i n g s t r a t e g y f o r t h e p e r i o d 0 T ]
i s t h e n
( 0 ) ( 1 ) ( T ; 1 ) :
S i n c e ( t ) i s d e t e r m i n e d a t t i m e t , i t i s a r a n d o m v e c t o r o n ( F
t
P ) . T h u s , ( t ) t =
0 1 T ; 1 i s a s t o c h a s t i c p r o c e s s o n ( F F
t
P ) .
L e t e ( t ) b e a n e n d o w m e n t a t t i m e t w h i c h i s a r a n d o m v a r i a b l e o n ( F
t
P ) . H e n c e ,
t h e e n d o w m e n t p r o c e s s e = ( e ( 0 ) e ( 1 ) e ( T ) ) i s a s t o c h a s t i c p r o c e s s o n ( F F
t
P ) .
A s t o c h a s t i c p r o c e s s c = ( c ( 0 ) c ( 1 ) c ( T ) ) i s c a l l e d a c o n s u m p t i o n p r o c e s s w i t h
r e s p e c t t o t h e e n d o w m e n t p r o c e s s e a n d t h e p r i c e p r o c e s s p i f t h e r e i s a t r a d i n g s t r a t e g y
( t ) t = ; 1 0 1 T s u c h t h a t
c ( t ) = e ( t ) +
N
X
n = 1
(
n
( t ; 1 ) ;
n
( t ) ) p
n
( t ) ( 2 . 1 9 )
f o r t = 0 1 2 T , w h e r e
n
( ; 1 ) = 0
n
( T ) = 0 : S i m i l a r t o t h e o n e t i m e - p e r i o d c a s e ,
a c o n s u m p t i o n p r o c e s s c = ( c ( 0 ) c ( 1 ) c ( T ) ) i s a t t a i n a b l e i f t h e r e i s a t r a d i n g s t r a t e g y
2 4
8/3/2019 Lin 1996 Lecture Notes in Mathematical Finance
25/114
( t ) s u c h t h a t
c ( t ) =
N
X
n = 1
(
n
( t ; 1 ) ;
n
( t ) ) p
n
( t ) ( 2 . 2 0 )
f o r t = 1 2 T . A m a r k e t i s c o m p l e t e i f e v e r y c o n s u m p t i o n p r o c e s s i s a t t a i n a b l e .
A s e l f - n a n c i n g t r a d i n g s t r a t e g y i s a t r a d i n g s t r a t e g y s u c h t h a t
N
X
n = 1
(
n
( t ; 1 ) ;
n
( t ) ) p
n
( t ) = 0 ( 2 . 2 1 )
f o r t = 1 2 T ; 1 . I n o t h e r w o r d s , u n d e r a s e l f - n a n c i n g t r a d i n g s t r a t e g y a n i n v e s t o r
c o n s u m e s o n l y h i s / h e r e n d o w m e n t , n o m o r e a n d n o l e s s , o n a n y i n t e r m e d i a t e t r a d i n g d a t e .
I t i s e a s y t o s e e t h a t a c o n s u m p t i o n p r o c e s s w i t h n o i n t e r m e d i a t e c o n s u m p t i o n s i s a t t a i n a b l e
i f a n d o n l y i f t h e c o r r e s p o n d i n g t r a d i n g s t r a t e g y i s s e l f - n a n c i n g .
I n t h i s s e c t i o n w e e x a m i n e t h e r e l a t i o n o f p r i c e s b e t w e e n a n y t w o c o n s e c u t i v e t r a d i n g
d a t e s .
L e t p ( t ) t = 0 1 T b e t h e p r i c e p r o c e s s a n d F
t
t = 0 1 T b e t h e i n f o r -
m a t i o n s t r u c t u r e w e d e n e d i n S e c t i o n 2 . 3 . A s w e h a v e a s s u m e d t h a t c o n s i s t s o f o n l y
a n i t e n u m b e r o f s t a t e s , i t c a n b e s h o w n t h a t e a c h F
t
i s g e n e r a t e d b y a n i t e p a r t i t i o n
f F
1
t
F
2
t
F
m
t
t
g , i . e .
m
t
i = 1
F
i
t
= F
i
t
\ F
j
t
= i 6= j a n d e a c h F
i
t
i s i n d i v i s i b l e i n F
t
.
T o s e e t h i s , g i v e n a n y ! 2 , l e t F
t
( ! ) b e t h e s m a l l e s t s e t i n F
t
c o n t a i n i n g ! . A l l s u c h
s e t s t h e n e i t h e r c o i n c i d e o r c o m p l e t e l y s e p a r a t e . T h u s a l l d i e r e n t F
t
( ! ) ! 2 , f o r m a
n i t e p a r t i t i o n o f . F r o m t h e i n d i v i s i b i l i t y o f e a c h F
i
t
, e v e r y r a n d o m v a r i a b l e d e n e d o n
( F
t
P ) i s c o n s t a n t o n F
i
t
.
L e t n o w t h e p a r t i t i o n
fF
1
t ; 1
F
2
t ; 1
F
m
t ; 1
t ; 1
gg e n e r a t e
F
t ; 1
. I t f o l l o w s f r o m
F
t ; 1
F
t
t h a t e a c h F
j
t ; 1
i s t h e u n i o n o f a n i t e n u m b e r o f F
i
t
' s . W i t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t y , w e m a y
n u m b e r ! i s s u c h a w a y t h a t , f o r e a c h t , t h e r e a r e
1 i
1
< i
2
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26/114
3
F
1
0
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Qs
1
F
1
1
-
P
P
P
P
P
P
P
P
Pq
1
F
2
1
P
P
P
P
P
P
P
P
Pq
:
F
1
2
X
X
X
X
X
Xz
-
F
2
2
:
-
X
X
X
X
X
Xz
F
3
2
-
F
4
2
:
-
X
X
X
X
X
Xz
F
5
2
F i g u r e 2 . 1 : T r e e s t r u c t u r e o f a l a t t i c e m o d e l
T h u s , i
j
; i
j ; 1
i s t h e n u m b e r o f s e t s i n F
t
s p l i t f r o m F
j
t ; 1
. S u m m a r i z i n g t h e d i s c u s s i o n
a b o v e , w e s e e t h a t t h e m o d e l w e c o n s i d e r i s o f a l a t t i c e o r t r e e s t r u c t u r e . U n d e r t h i s
s t r u c t u r e ,
F
j
t ; 1
j = 1 2 m
t ; 1
a r e n o d e s a t t i m e t ; 1 . T h e s e t F
i
t
F
i
t
F
j
t ; 1
, i s a b r a n c h c o m i n g f r o m F
j
t ; 1
:
R e c a l l t h a t p ( t ; 1 ) i s c o n s t a n t o n e a c h F
j
t ; 1
a n d p ( t ) i s c o n s t a n t o n e a c h F
i
t
. W e m a y
d e n o t e t h e s e c o n s t a n t v e c t o r s a s p ( F
j
t ; 1
) a n d p ( F
i
t
) r e s p e c t i v e l y .
F o r e a c h F
j
t ; 1
, w e n o w c o n s t r u c t a o n e t i m e - p e r i o d m o d e l a s f o l l o w s : p ( F
j
t ; 1
) i s i t s p r i c e
s y s t e m a n d
D ( F
j
t ; 1
) =
0
B
B
B
B
B
@
p
1
( F
i
j ; 1
+ 1
t
) p
N
( F
i
j ; 1
+ 1
t
)
.
.
.
.
.
.
p
1
( F
i
j
t
) p
N
( F
i
j
t
)
1
C
C
C
C
C
A
( 2 . 2 3 )
2 6
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27/114
i s i t s p a y o m a t r i x .
T h u s , t h e m u l t i p l e t i m e - p e r i o d l a t t i c e m o d e l i s d e c o m p o s e d i n t o a c o l l e c t i o n o f t h e
a s s o c i a t e d o n e t i m e - p e r i o d m o d e l s i n w h i c h t h e p a y o s o f a p r i c e s y s t e m a r e t h e p r i c e s o n
t h e f o l l o w i n g t r a d i n g d a t e .
2 7
8/3/2019 Lin 1996 Lecture Notes in Mathematical Finance
28/114
C h a p t e r 3
N o - A r b i t r a g e V a l u a t i o n
3 . 1 N o - A r b i t r a g e C o n d i t i o n
S i m i l a r t o t h e d e n i t i o n o f a r b i t r a g e f o r o n e t i m e - p e r i o d m o d e l s , w e s a y a p r i c e p r o -
c e s s p ( t ) t = 0 1 T a d m i t s a r b i t r a g e i f t h e r e e x i s t s a t r a d i n g s t r a t e g y ( t ) t =
0 1
T
;1 s u c h t h a t t h e a s s o c i a t e d c o n s u m p t i o n p r o c e s s
c ( t ) =
N
X
n = 1
(
n
( t ; 1 ) ;
n
( t ) ) p
n
( t ) ( 3 . 1 )
f o r t = 0 1 2 T , i s a n o n z e r o , n o n n e g a t i v e c o n s u m p t i o n p r o c e s s .
W e w i l l s h o w b e l o w t h a t a p r i c e p r o c e s s d o e s n o t a d m i t a r b i t r a g e i f a n d o n l y i f e v e r y
a s s o c i a t e d o n e t i m e - p e r i o d m o d e l d e n e d i n S e c t i o n 2 . 4 d o e s n o t a d m i t a r b i t r a g e .
S u p p o s e t h a t t h e r e i s a n a s s o c i a t e d o n e t i m e - p e r i o d m o d e l w h i c h a d m i t s a r b i t r a g e , s a y
t h e o n e w i t h p r i c e s y s t e m p ( F
i
t
) a n d p a y o m a t r i x D ( F
i
t
) . T h u s , t h e r e i s a t r a d i n g s t r a t e g y
= (
1
2
N
)
0
s u c h t h a t
( ;
0
p ( F
i
t
)
0
D
0
( F
i
t
) )
i s n o n z e r o a n d n o n n e g a t i v e . L e t ( t ) = w h e n t h e s t a t e F
i
t
p r e v a i l s o t h e r w i s e , ( t ) = 0 .
T h e n ( t ) t = 0 1 T ; 1 i s a n a r b i t r a g e s t r a t e g y .
2 8
8/3/2019 Lin 1996 Lecture Notes in Mathematical Finance
29/114
C o n v e r s e l y , S u p p o s e t h a t n o n e o f t h e a s s o c i a t e d o n e p e r i o d m o d e l s a d m i t s a r b i t r a g e
b u t t h e p r i c e p r o c e s s p ( t ) t = 0 1 T a d m i t s a r b i t r a g e . L e t ( t ) t = 0 1 T ; 1
b e a n a r b i t r a g e s t r a t e g y . T h u s ,
c ( t ) =
N
X
n = 1
(
n
( t ; 1 ) ;
n
( t ) ) p
n
( t ) 0
f o r t = 0 1 T a n d c ( s ) > 0 a t s o m e n o d e F
i
s
.
S t a r t i n g f r o m t h e l a s t t i m e i n t e r v a l T ; 1 T ] , t h a t
c ( T ) =
N
X
n = 1
n
( T ; 1 ) p
n
( T ) 0
a n d e v e r y o n e p e r i o d m o d e l d o e s n o t a d m i t a r b i t r a g e i m p l i e s
N
X
n = 1
n
( T ; 1 ) p
n
( T ; 1 ) 0 :
I t f o l l o w s f r o m c ( T ; 1 ) 0 t h a t
N
X
n = 1
n
( T ; 2 ) p
n
( T ; 1 ) 0 :
C o n t i n u i n g b a c k w a r d s o v e r t i m e i n t h i s m a n n e r , w e h a v e
N
X
n = 1
n
( t ) p
n
( t ) 0
f o r t = s s + 1 T ; 1 :
S i n c e c ( s ) > 0 a t n o d e F
i
s
,
P
N
n = 1
n
( s ; 1 ) p
n
( s ) > 0 a t n o d e F
i
s
. T h e s a m e a r g u m e n t a s
a b o v e c a n s h o w t h a t f o r t = 0 1 s ; 1 , a t a t l e a s t o n e n o d e a t t i m e t
N
X
n = 1
n
( t ) p
n
( t ) > 0 :
I n p a r t i c u l a r , ; c ( 0 ) =
P
N
n = 1
n
( 0 ) p
n
( 0 ) > 0 w h i c h i s c o n t r a d i c t o r y t o c ( 0 ) 0 :
H e n c e , t o v e r i f y w h e t h e r a m u l t i - p e r i o d m o d e l a d m i t s a r b i t r a g e , i t i s s u c i e n t t o v e r i f y
w h e t h e r i t s a s s o c i a t e d o n e p e r i o d m o d e l s a d m i t a r b i t r a g e , w h i c h c a n e a s i l y b e d o n e a s w e
h a v e s h o w n i n C h a p t e r O n e .
2 9
8/3/2019 Lin 1996 Lecture Notes in Mathematical Finance
30/114
3 . 2 R i s k - N e u t r a l P r o b a b i l i t y M e a s u r e s
W e n o w a l w a y s a s s u m e t h a t t h e p r i c e p r o c e s s p ( t ) t = 0 1 T d o e s n o t a d m i t a r b i t r a g e .
W e w i l l s h o w i n t h i s s e c t i o n t h a t u n d e r t h e n o - a r b i t r a g e a s s u m p t i o n , t h e r e i s a p r o b a b i l i t y
m e a s u r e o n ( F ) s u c h t h a t t h e p r e s e n t v a l u e p r o c e s s e s a r e m a r t i n g a l e s w i t h r e s p e c t t o
t h e i n f o r m a t i o n s t r u c t u r e F
t
.
C o n s i d e r t h e o n e p e r i o d m o d e l a t e a c h n o d e F
j
t ; 1
. F r o m T h e o r e m 1 . 2 , t h e r e i s a r i s k -
n e u t r a l p r o b a b i l i t y m e a s u r e , d e n o t e d a s
Q ( F
j
t ; 1
) s u c h t h a t
D
0
( F
j
t ; 1
)
Q ( F
j
t ; 1
) = ( 1 + r ) p ( F
j
t ; 1
) : ( 3 . 2 )
D e n e
Q ( t ! ) =
Q ( F
j
t ; 1
) ( F
i
t
) i f ! 2 F
i
t
F
j
t ; 1
:
T h e n , Q ( t ) i s m e a s u r a b l e o n ( F
t
) a n d Q ( t ) i s a p r o b a b i l i t y m e a s u r e o n e a c h F
j
t ; 1
. L e t
Q =
T
Y
t = 1
Q ( t ) : ( 3 . 3 )
W e r s t s h o w t h a t Q i s a p r o b a b i l i t y m e a s u r e o n ( F ) . T h e p o s i t i v i t y o f Q i s o b v i o u s .
L e t
1 i
1
< i
2
8/3/2019 Lin 1996 Lecture Notes in Mathematical Finance
31/114
w h e r e Q ( s F
i
t
) = Q ( s ! ) f o r ! 2 F
i
t
a n d s t . I t i s w e l l d e n e d s i n c e Q ( s ) s = 1 t
a l l a r e F
t
- m e a s u r a b l e . P r o c e e d i n g i n t h i s m a n n e r y i e l d s
J
X
j = 1
Q ( !
j
) = =
m
0
X
k = 1
Q ( 1 F
k
1
) = 1 : ( 3 . 5 )
F u r t h e r m o r e , f o r a n y F
i
t
2 F
t
Q ( F
i
t
) =
X
!
j
2 F
i
t
Q ( !
j
) =
X
!
j
2 F
i
t
T
Y
s = 1
Q ( s !
j
)
=
t
Y
s = 1
Q ( s F
i
t
)
X
!
j
2 F
i
t
T
Y
s = t + 1
Q ( s !
j
) : ( 3 . 6 )
T h e s e c o n d f a c t o r i n ( 3 . 6 ) i s e q u a l t o o n e , w h i c h c a n b e d e r i v e d e x a c t l y a s w a s d o n e i n
( 3 . 4 ) a n d ( 3 . 5 ) . T h u s ,
Q ( F
i
t
) =
t
Y
s = 1
Q ( s F
i
t
) : ( 3 . 7 )
F o r a n y p a i r F
i
t
F
j
t ; 1
t h e c o n d i t i o n a l p r o b a b i l i t y
Q ( F
i
t
j F
j
t ; 1
) =
Q
t
s = 1
Q ( s F
i
t
)
Q
t ; 1
s = 1
Q ( s F
j
t ; 1
)
= Q ( t F
i
t
) =
Q ( F
j
t ; 1
) ( F
i
t
) ( 3 . 8 )
s i n c e Q ( s F
i
t
) = Q ( s F
j
t ; 1
) f o r s = 1
t
;1 .
W e n o w i n t r o d u c e t h e p r e s e n t v a l u e p r o c e s s
a
n
( t ) = ( 1 + r )
; t
p
n
( t ) ( 3 . 9 )
f o r s e c u r i t y n n = 1 N . I n f a c t , a
n
( t ) i s t h e p r e s e n t v a l u e a t t i m e 0 , o f t h e p r i c e o f
s e c u r i t y n a t t i m e t , d i s c o u n t e d a t t h e r i s k f r e e r a t e r .
R e c a l l t h a t a s t o c h a s t i c p r o c e s s X ( t ) o n ( F F
t
P ) i s c a l l e d a m a r t i n g a l e i f
E ( X ( t ) j F
t ; 1
) = X ( t ; 1 ) : ( 3 . 1 0 )
W e n o w s h o w t h a t a
n
( t ) i s a m a r t i n g a l e u n d e r t h e p r o b a b i l t y m e a s u r e Q .
3 1
8/3/2019 Lin 1996 Lecture Notes in Mathematical Finance
32/114
F o r a n y F
j
t ; 1
2 F
t ; 1
,
E
Q
( a
n
( t ) j F
j
t ; 1
) = ( 1 + r )
; t
E
Q
( p
n
( t ) j F
j
t ; 1
)
= ( 1 + r )
; t
X
F
i
t
F
j
t ; 1
p
n
( F
i
t
) Q ( F
i
t
j F
j
t ; 1
)
= ( 1 + r )
; t
X
F
i
t
F
j
t ; 1
p
n
( F
i
t
)
Q ( F
j
t ; 1
) ( F
i
t
)
b y ( 3 : 2 )
= ( 1 + r )
; t + 1
p
n
( F
j
t ; 1
) = a
n
( t ; 1 F
j
t ; 1
) :
T h e r e f o r e ,
E
Q
( a
n
( t ) j F
t ; 1
) = a
n
( t ; 1 ) : ( 3 . 1 1 )
M o r e o v e r , f o r a n y s < t ,
E
Q
( a
n
( t )
j F
s
) = a
n
( s ) : ( 3 . 1 2 )
T h i s c a n b e e a s i l y d e r i v e d f r o m E ( E ( X j F
1
) j F
2
) = E ( X j F
2
) w h e r e F
1
i s n e r t h a n F
2
.
H e n c e , i f t h e p r i c e p r o c e s s p ( t ) t = 0 1
T d o e s n o t a d m i t a r b i t r a g e , t h e r e i s a
p r o b a b i l i t y m e a s u r e Q s u c h t h a t t h e p r e s e n t v a l u e p r o c e s s e s a
n
( t ) t = 0 1 T n =
1 N a r e m a r t i n g a l e s o n t h e l t e r e d s p a c e ( F F
t
Q ) . I t i s p r o v e d b e l o w t h a t t h i s i s
a l s o t r u e c o n v e r s e l y .
T h e o r e m 3 . 1 A p r i c e p r o c e s s p ( t ) t = 0 1 T d o e s n o t a d m i t a r b i t r a g e i f a n d
o n l y i f t h e r e i s a p r o b a b i l i t y m e a s u r e Q s u c h t h a t t h e p r e s e n t v a l u e p r o c e s s e s a
n
( t ) t =
0 1
T n = 1
N a r e m a r t i n g a l e s o n t h e l t e r e d s p a c e (
F
F
t
Q ) .
P r o o f : I t i s e n o u g h t o p r o v e t h e s u c i e n t p a r t .
L e t Q b e s u c h a p r o b a b i l i t y m e a s u r e . F o r e a c h n o d e F
j
t ; 1
, d e n e a p r o b a b i l i t y m e a s u r e
Q ( F
j
t ; 1
) f o r t h e a s s o c i a t e d o n e p e r i o d m o d e l a s f o l l o w s : f o r e a c h F
i
t
F
j
t ; 1
,
Q ( F
j
t ; 1
) ( F
i
t
) = Q ( F
i
t
j F
j
t ; 1
) :
3 2
8/3/2019 Lin 1996 Lecture Notes in Mathematical Finance
33/114
F r o m
E
Q
( a
n
( t ) j F
t ; 1
) = a
n
( t ; 1 )
w e h a v e
D
0
( F
j
t ; 1
)
Q ( F
j
t ; 1
) = ( 1 + r ) p ( F
j
t ; 1
) :
T h u s , n o n e o f t h e o n e p e r i o d m o d e l s a d m i t s a r b i t r a g e , n e i t h e r d o e s t h e m u l t i - p e r i o d m o d e l .
T h e p r o b a b i l i t y m e a s u r e Q u n d e r w h i c h t h e p r e s e n t v a l u e p r o c e s s e s a r e m a r t i n g a l e s i s
c a l l e d t h e r i s k - n e u t r a l p r o b a b i l i t y m e a s u r e .
S o f a r , w e h a v e a s s u m e d t h a t t h e r i s k f r e e r a t e i s a c o n s t a n t a n d n o n r a n d o m t h r o u g h t o u t
t h e e n t i r e p e r i o d 0 T ] : M o r e r e a l i s t i c a l l y , t h e i n t e r e s t r a t e s h o u l d b e a s s u m e d t o d e p e n d o n
t h e i n f o r m a t i o n a v a i l a b l e u p t o a c u r r e n t p o i n t i n t i m e . M a t h e m a t i c a l l y , t h i s i s e q u i v a l e n t
t o a s s u m i n g t h a t t h e i n t e r e s t r a t e p r o c e s s r
t
t = 1 T i s a p r e d i c t a b l e p r o c e s s ( a
s t o c h a s t i c p r o c e s s X ( t ) i s s a i d t o b e p r e d i c t a b l e i f X ( t + 1 ) i s a s t o c h a s t i c p r o c e s s ) . L e t
u s d e n o t e t h e d i s c o u n t f u n c t i o n a t t i m e t a s
R
; 1
t
=
1
( 1 + r
1
) ( 1 + r
2
) ( 1 + r
t
)
: ( 3 . 1 3 )
T h e n t h e p r e s e n t v a l u e p r o c e s s e s a r e
a
n
( t ) = R
; 1
t
p
n
( t ) t = 1 T ( 3 . 1 4 )
f o r n = 1 N . A l l t h e r e s u l t s f o r m u l t i - p e r i o d m o d e l s w e h a v e d i s c u s s e d a n d i n t h e
f o l l o w i n g s e c t i o n s c a n b e e x t e n d e d t o h o l d i n t h e c a s e t h a t t h e d i s c o u n t f u n c t i o n i s d e n e d
i n ( 3 . 1 3 ) .
3 . 3 V a l u a t i o n
I n t h i s s e c t i o n , w e a s s u m e t h a t t h e m a r k e t i s c o m p l e t e . T h e d i s c u s s i o n o f p r i c i n g i n a n
i n c o m p l e t e m a r k e t w i l l b e s i m i l a r t o t h a t i n S e c t i o n 1 . 4 .
3 3
8/3/2019 Lin 1996 Lecture Notes in Mathematical Finance
34/114
S i n c e a n y c o n s u m p t i o n p r o c e s s c = ( c ( t ) t = 0 1 2 T ) , i s a t t a i n a b l e , w e h a v e a
t r a d i n g s t r a t e g y ( t ) t = 0 1 2 T ; 1 s u c h t h a t
c ( t ) =
N
X
n = 1
(
n
( t ; 1 ) ;
n
( t ) ) p
n
( t ) ( 3 . 1 5 )
f o r t = 1 2 T . N o - a r b i t r a g e i m p l i e s t h a t t h e p r i c e o f t h i s c o n s u m p t i o n p r o c e s s i s
( c ) = c ( 0 ) +
N
X
n = 1
n
( 0 ) p
n
( 0 ) ( 3 . 1 6 )
T h i s f o r m u l a s u g g e s t s t h a t t h e c o n s u m p t i o n p r o c e s s c = ( c ( t ) t = 0 1 2 T ) c o u l d
b e a c h i e v e d b y r e b a l a n c i n g a p o r t f o l i o w i t h i n i t i a l v a l u e ( c ) a t e a c h t r a d i n g d a t e : a t t i m e
0 , c o n s u m e c ( 0 ) a n d f o r m a p o r t f o l i o w i t h
n
( 0 ) s h a r e s o f s e c u r i t y n a t t i m e 1 , a d j u s t t h e
p o r t f o l i o s o t h a t w e o w n
n
( 1 ) s h a r e s o f s e c u r i t y n a n d c o n s u m e t h e r e s t w h i c h i s e x a c t
a m o u n t o f c ( 1 ) , a n d s o o n . T h i s p r o c e s s i s o f t e n c a l l e d r e p l i c a t i o n o r d y n a m i c h e d g i n g .
W h e n a s e c u r i t y h a s n o i n t e r m e d i a t e c o n s u m p t i o n s , w h i c h i s t h e c a s e f o r m a n y d e r i v a t i v e
s e c u r i t i e s , t h e p r i c e o f t h i s s e c u r i t y i s t h e v a l u e o f a p o r t f o l i o w h i c h r e p l i c a t e s t h e t e r m i n a l
p a y o o f t h e s e c u r i t y t h r o u g h a s e l f - n a n c i n g t r a d i n g s t r a t e g y .
A n o t h e r a p p r o a c h i s t o u s e t h e r i s k - n e u t r a l p r o b a b i l i t y m e a s u r e . S i m i l a r t o t h e o n e
p e r i o d c a s e , t h e p r i c e o f a c o n s u m p t i o n p r o c e s s c a n b e e x p r e s s e d a s t h e e x p e c t e d p r e s e n t
v a l u e u n d e r t h e r i s k - n e u t r a l p r o b a b i l i t y m e a s u r e .
L e t
a = c ( 0 ) +
T
X
t = 1
c ( t )
( 1 + r )
t
: ( 3 . 1 7 )
a i s t h e p r e s e n t v a l u e o f t h e c o n s u m p t i o n p r o c e s s .
E
Q
( a ) = c ( 0 ) +
T
X
t = 1
E
Q
( c ( t ) )
( 1 + r )
t
= c ( 0 ) +
T
X
t = 1
N
X
n = 1
E
Q
(
n
( t ; 1 ) p
n
( t ) ) ; E
Q
(
n
( t ) p
n
( t ) )
( 1 + r )
t
:
S i n c e
E
Q
(
n
( t
;1 ) p
n
( t ) ) = E
Q
h
E
Q
(
n
( t
;1 ) p
n
( t )
j F
t ; 1
)
i
= ( 1 + r ) E
Q
(
n
( t
;1 ) p
n
( t
;1 ) )
3 4
8/3/2019 Lin 1996 Lecture Notes in Mathematical Finance
35/114
E
Q
( a ) = c ( 0 ) +
T
X
t = 1
N
X
n = 1
h
E
Q
(
n
( t ; 1 ) p
n
( t ; 1 ) )
( 1 + r )
t ; 1
;
E
Q
(
n
( t + 1 ) p
n
( t ) )
( 1 + r )
t
i
= c ( 0 ) +
N
X
n = 1
n
( 1 ) p
n
( 0 ) = ( c ) : ( 3 . 1 8 )
I n p a r t i c u l a r , i f w e l e t
F
i
t
( ! ) =
8
>
:
1 ! 2 F
i
t
0 o t h e r w i s e
( 3 . 1 9 )
b e t h e A r r o w - D e b r e u s e c u r i t y w h i c h p a y s o n e u n i t w h e n t h e s t a t e F
i
t
p r e v a i l s a n d z e r o
o t h e r w i s e . T h e n , t h e c o r r e s p o n d i n g p r i c e i s
(
F
i
t
) =
E
Q
(
F
i
t
)
( 1 + r )
t
=
Q ( F
i
t
)
( 1 + r )
t
: ( 3 . 2 0 )
A l t h o u g h b o t h a p p r o a c h e s p r o d u c e t h e s a m e p r i c e f o r a n a n c i a l s e c u r i t y u n d e r t h e
i d e a l a s s u m p t i o n s w e h a v e u s e d , w h i c h s h o u l d b e u s e d i n p r a c t i c e d e p e n d s o n t h e t y p e
o f t h e s e c u r i t y . I n m a n y c a s e s , t h e r i s k - n e u t r a l v a l u a t i o n a p p r o a c h i s s i m p l e r t h a n t h e
d y n a m i c h e d g i n g a p p r o a c h , e s p e c i a l l y w h e n a s e c u r i t y i s a E u r o p e a n t y p e d e r i v a t i v e . T h i s
c a n b e s e e n i n t h e n e x t s e c t i o n w h e r e a E u r o p e a n c a l l i s c o n s i d e r e d . H o w e v e r , t h e d y n a m i c
h e d g i n g a p p r o a c h o e r s m o r e e x i b l i t i e s . i t a l l o w s u s n o t o n l y t o d e a l w i t h n o n - E u r o p e a n
d e r i v a t i v e s b u t a l s o t o d e a l w i t h t h e v a l u a t i o n p r o b l e m f o r m o d e l s u n d e r m o r e r e a l i s t i c
a s s u m p t i o n s . M a n y f e a t u r e s s u c h a s d i v i d e n d p a y m e n t s , t r a n s a c t i o n c o s t s c a n b e d e a l t w i t h
e a s i l y . T h e v a l u a t i o n o f A m e r i c a n d e r i v a t i v e s i s i l l u s t r a t e d i n t h e n e x t s e c t i o n . A p p l i c a t i o n s
o f t h e d y n a m i c h e d g i n g a p p r o a c h t o m o d e l s w h i c h i n c o r p o r a t e s t r a n s a c t i o n c o s t s c a n b e
f o u n d i n 4 ] a n d 3 ] .
3 . 4 B i n o m i a l M o d e l s o f O p t i o n P r i c i n g
C o n s i d e r n o w a m a r k e t w i t h o n l y t w o s e c u r i t i e s : a r i s k l e s s b o n d a n d a s t o c k . B o t h a r e
t r a d e d o v e r t h e p e r i o d 0 T ] . T h e r e a r e
T t r a d i n g d a t e s ,
t = 0 1
T ; 1 , s e p a r a t e d i n
3 5
8/3/2019 Lin 1996 Lecture Notes in Mathematical Finance
36/114
r e g u l a r i n t e r v a l s . T h e s t o c k p r i c e S ( t ) f o l l o w s t h e r a n d o m w a l k m o d e l d e s c r i b e d i n S e c t i o n
2 . 2 . H e n c e ,
P r f S ( t ) = u S ( t ; ) j S ( t ; ) g = q
P r f S ( t ) = d S ( t ; ) j S ( t ; ) g = 1 ; q 0 < q
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37/114
= ( 1 + r )
;
T
S ( 0 )
X
s
l o g ( K = S ( 0 ) ) ;
T l o g d
l o g ( u = d )
0
B
@
T
s
1
C
A
u
s
d
T ; s
q
s
u
( 1 ; q
u
)
T ; s
; ( 1 + r )
;
T
K
X
s
l o g ( K = S ( 0 ) ) ;
T l o g d
l o g ( u = d )
0
B
@
T
s
1
C
A
q
s
u
( 1 ; q
u
)
T ; s
:
L e t
q
u
=
u q
u
1 + r
: ( 3 . 2 4 )
T h e n , f r o m ( 3 . 2 2 )
q
d
= ( 1 ; q
u
) =
d q
d
1 + r
: ( 3 . 2 5 )
T h e p r i c e o f t h e c a l l c a n t h e n b e w r i t t e n a s
c
= S ( 0 )
X
s
l o g ( K = S ( 0 ) ) ;
T l o g d
l o g ( u = d )
0
B
@
T
s
1
C
A
q
s
u
( 1 ; q
u
)
T ; s
;( 1 + r )
;
T
K
X
s
l o g ( K = S ( 0 ) ) ;
T l o g d
l o g ( u = d )
0
B
@
T
s
1
C
A
q
s
u
( 1
;q
u
)
T ; s
= S ( 0 )
X
s
T l o g u + l o g ( S ( 0 ) = K )
l o g ( u = d )
0
B
@
T
s
1
C
A
q
s
d
( 1 ; q
d
)
T ; s
; ( 1 + r )
;
T
K
X
s
T l o g u + l o g ( S ( 0 ) = K )
l o g ( u = d )
0
B
@
T
s
1
C
A
q
s
d
( 1 ; q
d
)
T ; s
: ( 3 . 2 6 )
D e n o t e
d =
T l o g u + l o g ( S ( 0 ) = K )
l o g ( u = d )
a n d B ( x n p ) t h e d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n o f t h e b i n o m i a l
d i s t r i b u t i o n w i t h p a r a m e t e r s n a n d p , i . e .
B ( x n p ) =
X
s x
0
B
@
n
s
1
C
A
p
s
( 1 ; p )
n ; s
: ( 3 . 2 7 )
W e h a v e
c
= S ( 0 ) B (
d
T q
d
) ; ( 1 + r )
;
T
K B (
d
T q
d
) : ( 3 . 2 8 )
3 7
8/3/2019 Lin 1996 Lecture Notes in Mathematical Finance
38/114
T h i s f o r m u l a i s t h e w e l l k n o w n o p t i o n p r i c i n g f o r m u l a o f R o s s , C o x a n d R u b i n s t e i n 5 ] .
T h e d e l t a i s B (
d
T q
d
) . O t h e r G r e e k s c a n b e c a l c u l a t e d e a s i l y . I t a l s o r e v e a l s t h a t t o
r e p l i c a t e a E u r o p e a n c a l l , t h e s t r a t e g y i s t o f o r m a p o r t f o l i o l o n g i n s t o c k a n d s h o r t i n b o n d .
N o t e t h a t t h e r s t s u m m a t i o n i n t h e f o r m u l a i s t h e d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n o f t h e b i n o m i a l
d i s t r i b u t i o n w i t h p a r a m e t e r q
d
a n d t h e s e c o n d s u m m a t i o n i s t h e d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n o f
t h e b i n o m i a l d i s t r i b u t i o n w i t h p a r a m e t e r q
d
. H e n c e b o t h c a n b e e v a l u a t e d q u i t e e a s i l y .
T o v a l u e a E u r o p e a n p u t o p t i o n , w e c a n e i t h e r u s e t h e a b o v e a p p r o a c h o r u s e t h e
p u t - c a l l p a r i t y .
L e t
P = m a x ( K ; S ( T ) 0 )
b e t h e p a y o o f a E u r o p e a n p u t o p t i o n w i t h t h e s t r i k e p r i c e K , e x p i r e d a t t i m e T . I t i s
e a s y t o s e e t h a t
m a x ( S ( T ) ; K 0 ) ; m a x ( K ; S ( T ) 0 ) = S ( T ) ; K :
H e n c e i f
p
i s t h e p r i c e o f t h e p u t , w e h a v e
c
;
p
= ( 1 + r )
;
T
E
Q
( S ( T ) ) ; K ] = S ( 0 ) ; ( 1 + r )
;
T
K : ( 3 . 2 9 )
T h i s i d e n t i t y i s c a l l e d t h e p u t - c a l l p a r i t y .
W e n o w c o n s i d e r t h e v a l u a t i o n p r o b l e m f o r A m e r i c a n o p t i o n s . T h e p a y o s t r u c t u r e o f
a n A m e r i c a n o p t i o n i s s i m i l a r t o i t s E u r o p e a n c o u n t e r p a r t . H o w e v e r , a n A m e r i c a n o p t i o n
c a n b e e x e r c i s e d a t a n y t i m e b e f o r e i t s e x p i r a t i o n d a t e . F o r e x a m p l e , a n A m e r i c a n c a l l
o p t i o n a n d a n A m e r i c a n p u t o p t i o n w r i t t e n o n a s t o c k w i t h t h e p r i c e S ( t ) a t t i m e t f o r
t h e p e r i o d 0 T ] c a n b e e x e r c i s e d b e f o r e t i m e T . T h e i r p a y o s , i f e x e r c i s e d a t t , w i l l b e
m a x ( S ( t ) ; K 0 ) a n d m a x ( K ; S ( t ) 0 ) , r e s p e c t i v e l y .
T h e v a l u a t i o n p r o b l e m f o r A m e r i c a n o p t i o n s i s g e n e r a l l y m u c h m o r e d i c u l t t h a n E u -
r o p e a n o p t i o n s . U n l i k e E u r o p e a n o p t i o n s , T h e r e a r e n o c l o s e d f o r m s o l u t i o n s f o r A m e r i c a n
o p t i o n s . T h i s i s b e c a u s e t h e b u y e r o f a n A m e r i c a n o p t i o n h o l d s t h e r i g h t t o e x e r c i s e a t
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8/3/2019 Lin 1996 Lecture Notes in Mathematical Finance
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a n y t i m e a n d t h e p r o b l e m b e c o m e s h o w t o n d t h e o p t i m a l e x e r c i s e t i m e a t w h i c h t h e
e x p e c t e d d i s c o u n t e d p a y o f o r t h e b u y e r i s m a x i m i z e d . S i n c e a d e c i s i o n o n w h e t h e r t o e x -
e r c i s e s h o u l d b e b a s e d o n t h e i n f o r m a t i o n u p t o d a t e , a n e x e r c i s e t i m e i s a r a n d o m