M ater i al comp i l ado con f i nes...Página 7 de 176 1) ESTADISTICA I CONCEPTO. La estadística...

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Estadística 1

Semestre

3

Escuela Superior de Administración

Pública - ESAP-Pasto

Material compilado con fines educativosBolívar Canchala Cuarán

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TABLA DE CONTENIDO TEMATICA .................................................................................................................................... 5 OBJETIVO GENERAL .................................................................................................................. 5

OBJETIVOS ESPECIFICOS ..................................................................................................... 6 1) ESTADISTICA I ...................................................................................................................... 7

CONCEPTO. ............................................................................................................................. 7 VARIABLES ESTADISTICAS. .................................................................................................. 7 DIVISION DE LA ESTADISTICA. ............................................................................................. 8 POBLACION, MUESTRA Y DATOS ........................................................................................ 8 MUESTREO ESTADÍSTICO ..................................................................................................... 9 1) ¿QUÉ ES EL MUESTREO? ............................................................................................ 10 2) ¿CUÁLES SON LAS ETAPAS DEL MUESTREO? ........................................................ 10 3) ¿QUÉ SON LOS CRITERIOS DE INCLUSIÓN Y EXCLUSIÓN? .................................. 11 4) ¿CUÁNTOS TIPOS DE MUESTREO HAY?................................................................... 11 5) ¿QUÉ ES EL MUESTREO PROBABILÍSTICO? ............................................................ 12 6) ¿QUÉ ES EL MUESTREO NO PROBABILÍSTICO? ...................................................... 19 7) ¿CUÁNTOS TIPOS DE MUESTREO NO PROBABILÍSTICO HAY? ............................ 20 8) ¿CÓMO CALCULO EL TAMAÑO DE LA MUESTRA? .................................................. 21 APLIQUEMOS LO APRENDIDO 1. ........................................................................................ 22 ENCUESTAS ........................................................................................................................... 24 1) DISEÑO DEL CUESTIONARIO ...................................................................................... 24 2) PLANEACIÓN DE UNA ENCUESTA .............................................................................. 25 3) TRABAJO DE CAMPO Y RECOLECCIÓN INFORMACIÓN. ........................................ 25 4) PROCESAMIENTO Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN. ............................................ 25 5) INFORME DE LA INVESTIGACIÓN. .............................................................................. 26

2) DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS PARA DATOS NO AGRUPADOS ............................ 29 FRECUENCIA ABSOLUTA f................................................................................................... 29 FRECUENCIA RELATIVA fr ................................................................................................... 31 ESTADÍSTICAS CON MÁS DE DOS VARIABLES................................................................ 34 ESTADÍSTICAS MIXTAS. ....................................................................................................... 37 OTRAS CLASES DE GRAFICAS ........................................................................................... 40 APLIQUEMOS LO APRENDIDO 2 ......................................................................................... 43

3) DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS PARA DATOS AGRUPADOS ................................... 46 OBSERVACIÓN COMPUESTA. ............................................................................................. 46 INTERVALOS DE CLASE....................................................................................................... 47 AMPLITUD DEL INTERVALO DE CLASE ............................................................................. 47 LÍMITES REALES DE CLASE. ............................................................................................... 49 MARCAS DE CLASE. ............................................................................................................. 49 APLIQUEMOS LO APRENDIDO 3 ......................................................................................... 51

4. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL ................................................................................. 56 MEDIA ARITMETICA O PROMEDIO ..................................................................................... 57

MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS. ................................................................................... 57 DATOS AGRUPADOS ...................................................................................................................... 59 LA MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS ..................................................................................... 59

APLIQUEMOS LO APRENDIDO 4 ......................................................................................... 63 OTRAS MEDIAS O PROMEDIOS .......................................................................................... 65

MEDIA GEOMÉTRICA ...................................................................................................................... 65 MEDIA ARMONICA H ....................................................................................................................... 67 MEDIA CUADRATICA C ................................................................................................................... 69

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APLIQUEMOS LO APRENDIDO 5 ......................................................................................... 70 MEDIANA................................................................................................................................. 70

LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS ........................................................................ 70 APLIQUEMOS LO APRENDIDO 6 ......................................................................................... 72

LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS ............................................................................... 73 APLIQUEMOS LO APRENDIDO 7 ......................................................................................... 76 LOS CUARTILES Q ................................................................................................................ 78

CUARTILES PARA DATOS NO AGRUPADOS .......................................................................... 78 CUARTILES PARA DATOS AGRUPADOS EN TABLAS DE FRECUENCIAS ................... 80 CUARTILES PARA DATOS AGRUPADOS EN INTERVALOS DE FRECUENCIAS ......... 81

APLIQUEMOS LO APRENDIDO 8 ......................................................................................... 85 LOS DECILES D ..................................................................................................................... 87

DECILES PARA D ATOS NO AGRUPADOS .............................................................................. 87 DECILES PARA DATOS AGRUPADOS EN INTERVALOS DE FRECEUNCIAS .............. 89

APLIQUEMOS LO APRENDIDO 9 ......................................................................................... 93 LOS CENTILES O PERCENTILES ........................................................................................ 95

CENTILES PARA DATOS NO AGRPADOS ................................................................................ 96 CENTILES PARA DATOS AGRUPADOS EN INTERVALO DE RECUENCIA .................... 97

APLIQUEMOS LO APRENDIDO 10 .....................................................................................102 LA MODA ...............................................................................................................................104

LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS ............................................................................ 104 LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS .................................................................................... 106

APLIQUEMOS LO APRENDIDO 11 .....................................................................................110 PARA DATOS NO AGRUPADOS EN INTERVALOS .............................................................. 110 PARA DATOS AGRUPADOS CON INTERVALOS DE FRECUENCIAS ............................ 110

5. MEDIDAS DE DISPERSION ................................................................................................113 LA DESVIACION MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS ..............................................113 LA DESVIACION MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS .....................................................116 LA VARIANZA PARA DATOS NO AGRUPADOS ...............................................................119 LA VARIANZA PARA DATOS AGRUPADOS ......................................................................121 LA DESVIACIÓN TÍPICA PARA DATOS NO AGRUPADOS ..............................................124 LA DESVIACIÓN TÍPICA PARA DATOS AGRUPADOS ....................................................125 EL COEFICIENTE DE VARIACIÓN (CV) .............................................................................129 APLIQUEMOS LO APRENDIDO 12 .....................................................................................129

6. PROBABILIDADES Y TECNICAS DE CONTAR.................................................................133 LEY DE LA MULTIPLICACION.............................................................................................133 NOTACIÓN FACTORIAL ......................................................................................................134 VARIACIONES ......................................................................................................................135 PERMUTACIONES ...............................................................................................................136 COMBINACIONES ................................................................................................................137 APLIQUEMOS LO APRENDIDO 13 .....................................................................................139 CONCEPTO CLÁSICO DE PROBABILIDAD.......................................................................139 APLIQUEMOS LO APRENDIDO 14 .....................................................................................141

7. DISTRIBUCION DE PROBABILIDADES ESPECIALES .....................................................147 DISTRIBUCIÓN BINOMIAL ..................................................................................................147 LA TABLA BINOMIAL. ..........................................................................................................149 APLIQUEMOS LO APRENDIDO 15 .....................................................................................149 DISTRIBUCIÓN DE POISSON .............................................................................................150 USO DE LA TABLA.DE POISSON .......................................................................................151

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APLIQUEMOS LO APRENDIDO 16 .....................................................................................152 DISTRIBUCIÓN NORMAL ....................................................................................................154 DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTANDARIZADA. ...................................................................155 USO DE LA TABLA Y ÁREA BAJO LA CURVA NORMAL. ................................................156 RELACION ENTRE DISTRIBUCIONES ESPECIALES ......................................................161 APLIQUEMOS LO APRENDIDO 17 .....................................................................................162

BIBLIOGRAFIA .........................................................................................................................164

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ESCUELA SUPERIOR DE ADMINISTRACION PUBLICA ESAP PASTO

ESTADISTICA I

TERCER SEMESTRE

TEMATICA

OBJETIVO GENERAL

Establecer, la importancia de la adquisición de la información estadística de acuerdo a la utilidad que pueda tener para el desempeño profesional como investigativo, determinado las fuentes posibles de información y el valor de esta para el trabajo

estadístico e identificando problemas del campo de la Administración Pública dentro de los sistemas sociales, susceptibles de ser analizados con medios

estadísticos.

1.) Conceptos de estadística

2.) Distribución de frecuencias datos no agrupados

3.) Distribución de frecuencias datos agrupados

4.) Medidas de tendencia central

5.) Medidas de dispersión

6.) Probabilidades

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OBJETIVOS ESPECIFICOS

1) Utilizar los procesos de búsqueda de información para ser aplicadas en el proceso de

desarrollo de la carrera de administración pública.

2) Conocer el concepto sobre Fuentes de información estadística; para ser aplicado en

diferentes campos del conocimiento dentro de la carrera de administración pública.

3) Conocer el concepto sobre Organización y presentación de la información para ser

aplicado en diferentes campos del conocimiento especialmente en la interpretación graficas

crecientes y decrecientes.

4) Conocer los diferentes sistemas de Medidas de tendencia central, de dispersión y

asimetría para ser utilizados en el campo de la Administración Publica Territorial

5) Conocer los diferentes sistemas de Probabilidades de intercepción de eventos y las

Técnicas de conteo para ser utilizados en el campo de la Administración Publica Territorial

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1) ESTADISTICA I

CONCEPTO.

La estadística es una parte de la Matemática aplicada que nos proporciona instrumentos para recopilar, organizar, resumir, presentar, analizar, hacer predicciones e interpretar datos para tomar decisiones sobre determinados hechos o fenómenos de estudio.

Antiguamente la Estadística solo era aplicada a los asuntos del Estado. Ahora, frecuentemente

la Estadística se emplea para acontecimientos ordinarios, tales como predicción del tiempo, mediciones, probabilidades futbolísticas, uso popular de productos alimenticios, simpatía de algún personaje público, etc. Pero para ello, es necesario que la Estadística se use

adecuadamente para hacer más eficiente las investigaciones que nos proponemos a realizar, por lo que todos los investigadores se deben familiarizar con las técnicas y conceptos básicos de esta ciencia tan útil.

Estadística Descriptiva. Es la parte de la Estadística que se encarga de recolectar, clasificar,

organizar, resumir, presentar y analizar en forma descriptiva sin sacar conclusiones de tipo general.

Estadística inferencial. Es la parte de la Estadística, cuyo propósito es inferir o deducir conclusiones y/o predicciones con respecto a una población en estudio a partir de la

información de una muestra. Para asegurar la validez de las inferencias utiliza las Probabilidades.

Recolección de datos: Esto se puede hacer mediante el diseño de un cuestionario, test o encuesta oportuna para escoger los datos que correspondan, el primer análisis que se debe

realizar es el del tipo de variable que pretendemos estudiar (Cualitativa o Cuantitativa; Discreta o Continua). Esto condicionará en gran medida su posterior tratamiento.

Organización y procesamiento de datos: Determinado el modo de agrupamiento de las observaciones, procedemos a su recuento, construyendo la tabla de frecuencias.

Posteriormente podremos visualizar tales frecuencias de forma gráfica con el diagrama estadístico apropiado.

Análisis final y presentación de datos: La obtención de las diferentes conclusiones respecto de la variable estudiada, se podrá realizar con auxilio de los diferentes parámetros estadísticos (medidas de tendencia de centralización, medidas de posición, dispersión, etc.)

VARIABLES ESTADISTICAS.

Lo que se estudia en una muestra o población es una serie de variables en cada individuo o elemento. El aspecto que deseamos estudiar (edad, sexo, peso, ...) recibe el nombre de variable estadística. A lo largo de esta unidad observaremos, que las técnicas estadísticas a

seguir serán diferentes según el tipo de variable objeto de estudio. La clasificación más tradicional de las variables estadísticas es la siguiente:

1) Variables cualitativas, también llamadas caracteres, variables categóricas o atributos, que son aquellas que no necesitan números para expresarse; cada forma particular en que

pueden presentarse se denomina modalidad. Por ejemplo, el sexo de una persona es una variable cualitativa y “hombre” o “mujer” son sus únicas modalidades. En consecuencia, para una variable cualitativa, cada dato no es más que la información de que un

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determinado elemento de la muestra presenta una determinada modalidad. Los valores de

las observaciones quedan expresados por características o atributos. Por ejemplo: Estado civil; Color preferido; Nivel de estudios; Raza.

2) Variables cuantitativas o numéricas, que son aquellas que necesitan números para ser expresadas, como la edad de alguien o el número de páginas de un libro. Cada forma

particular en que se presentan es un valor numérico, y un dato es en estas variables un número que refleja el valor de la variable en un elemento de la muestra. También pueden distinguirse al menos dos subtipos. Los valores de las observaciones son numéricos

(cuantificables) y, en consecuencia, ordenables. A su vez las variables cuantitativas se subdividen en dos tipos:

DISCRETAS: Toman valores concretos y pueden enumerarse y sus valores son consecutivos (Nº de hijos: 0, 1, 2, ...)

CONTINUAS: Pueden tomar cualquier valor de un cierto intervalo, que pueden ser resultados de la toma de medidas (Peso; Estatura; ...).

DIVISION DE LA ESTADISTICA.

La “Estadística Descriptiva” Es la parte de la estadística que proporciona técnicas para

extraer y mostrar la información que se encuentra conjuntos de numerosos datos; se dividen en técnicas que nos permitirán realizar un análisis elemental de las observaciones experimentales. Se subdivide en dos bloques:

1) Estadística primaria: Son aquellos datos obtenidos por observación directa en el campo

de los hechos de un grupo de investigaciones experimentales, este apartado nos enseña a ordenarlas adecuadamente, de modo que se ofrezca una información lo más clara posible.

2) Estadística derivada o secundaria: Son datos obtenidos de las primarias o en forma indirecta de publicaciones, libros, revistas, periódicos etc. y puede ser parcial o total. Con

los datos observados realizaremos ciertos cálculos, obteniendo así unas medidas. Este bloque temático nos enseña a interpretarlas. Tanto en las primarias y secundarias si se considera el tiempo puede ser periódico y no periódico

POBLACION, MUESTRA Y DATOS

El estudio estadístico puede estar orientado hacia dos campos; sea una población o una

muestra; cuando la población es muy grande se toma una muestra, a este proceso se denomina muestreo que puede ser aleatorio y no aleatorio.

A) Población. Es el conjunto de todos los elementos cuyo estudio nos interesa. Si se dispone de datos de una o más variables sobre la población completa, o se puede acceder a ellos,

la Estadística tendrá como misión que la recolección sea adecuada, se ordenen, se estructuren y se resuman dichos datos para su mejor comprensión, es decir, que se describan. Por ejemplo, el conjunto de los hombres mayores de 65 años y residentes en un barrio o una vereda sería una población.

B) Muestra. Es el conjunto de elementos de los que efectivamente se dispone de datos, y que es una parte (a menudo pequeña) de la población. Cuando no se puede acceder a los datos de toda la población, que es lo más frecuente, y se debe trabajar con sólo los de la muestra,

a la simple descripción de los datos se añade el interés por valorar hasta qué punto los resultados de la muestra son extrapolables o generalizables a la población utilizando las técnicas de la Estadística Descriptiva que permiten inferir afirmaciones sobre la población

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a partir de los datos de la muestra y que constituyen la Estadística Inferencial. Por ejemplo,

el grupo de los hombres mayores de 65 años residentes en un barrio o una vereda que son usuarios de bibliotecas públicas sería una muestra de la población.

C) Datos. Es la medida, valores o características que posee cada uno de los elementos pertenecientes a una muestra o la población.

MUESTREO ESTADÍSTICO

Una vez definido el problema a investigar, formulados los objetivos y delimitadas las variables,

se hace necesario determinar los elementos o individuos con quienes se va a llevar a cabo el estudio o investigación.

Es el momento de delimitar el ámbito de investigación definiendo una población y seleccionando la muestra.

Se debe recordar que las variables siempre están ubicadas o contenidas en algún elemento,

sea persona (Ejemplo. edad, sexo, inteligencia, categoría laboral, desempeño, etc.), cosa (Ejemplo. informes, empresas, oficinas, leyes, etc.) o situaciones. A estos elementos se les llama “unidad de análisis” y el conjunto de todas las unidades de análisis se conoce como “población”.

Muchas veces es imposible tener contacto y observar a todas las unidades de análisis, por lo

que es necesario seleccionar un sub‐conjunto que represente apropiadamente a toda la

población. Este sub‐conjunto es conocido con el nombre de “muestra”. El proceso mediante el cual este sub‐conjunto es seleccionado se denomina “muestreo”.

La población (denotada como “N”) es el conjunto de todos los individuos (objetos, personas, eventos, situaciones, etc.) en los que se desea investigar algunas propiedades. La población es el conjunto de individuos que tienen una o más propiedades en común, se encuentran en un espacio o territorio y varían en el transcurso del tiempo.

En una investigación se puede tener más de una población, todo depende de la complejidad y variedad de los objetivos de investigación. A veces, cada objetivo requiere una población distinta. Si se tiene más de una población, se debe especificar y describir con detalle.

La muestra (denotada como “n”) es el conjunto de casos extraídos de una población,

seleccionados por algún método de muestreo. La muestra siempre es una parte de la población. Si se tiene varias poblaciones, entonces se tendrá varias muestras.

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Entonces, ahora que ya se sabe que es unidad de análisis, población, muestra y muestreo. Se analizará con en detalle el muestreo.

1) ¿QUÉ ES EL MUESTREO?

El muestreo es el proceso de extraer una muestra a partir de una población. Por ejemplo, cuando se extraen sangre a un individuo para analizarla, no se la extraen toda porque moriría. Le extraen solamente una pequeña muestra. Con esa muestra es suficiente para determinar

con precisión las características de toda la sangre de un individuo, saber si esta anémico o tiene alguna enfermedad, etc. Lo mismo sucede con la investigación. En la práctica no es necesario estudiar toda la población para resolver el problema de investigación, sino que, en general, se puede lograr los objetivos solo con una parte representativa de ella.

El muestreo proporciona muchas ventajas: a) ahorra tiempo, b) reduce costos y c) posibilita mayor profundidad y exactitud en los resultados. Sin embargo, tiene algunos inconvenientes: a) es dificultoso, b) una muestra mal seleccionada o sesgada distorsiona los resultados, c) las limitaciones propias del tipo de muestreo.

2) ¿CUÁLES SON LAS ETAPAS DEL MUESTREO?

El muestreo tiene seis etapas muy bien definidas. Cada una de las etapas requiere que se tome decisiones. Veamos cada una de ellas:

1) Definir la unidad de análisis y la población de estudio. Es decir, identificar los criterios de inclusión y exclusión de la población y precisar el tamaño de la población. Esta etapa se

termina cuando se sabe a cuánto asciende el tamaño de la población de estudio, y que criterios de inclusión y exclusión se emplea para delimitarla.

• Para seleccionar una muestra lo primero es definir la unidad de análisis (“quienes van a ser estudiados”). Esto depende del problema a investigar y de los objetivos de la investigación.

• Una vez definida la unidad de análisis se debe delimitar la población. Una población es el conjunto de todos los casos que concuerdan con una serie de especificaciones (criterios de inclusión y exclusión).

• La población debe situarse claramente en torno a sus características de contenido, lugar y tiempo.

2) Determinar si se realizará muestreo o si se trabajará con toda la población. Si la población es pequeña y se puede acceder a ella sin restricciones, entonces se trabajará con toda la población. Si la población es muy grande o es demasiado costoso trabajar con toda la población, entonces conviene utilizar una muestra.

3) Determinar el tipo de muestreo a emplear. Precisar si se utilizará un muestreo

probabilístico o no probabilístico. Precisar que sub‐tipo de muestreo se empleará. Se pretende que la muestra sea un reflejo fiel de la población (que sea representativa).

4) Calcular el tamaño de la muestra. Utilizando formulas estadísticas o cualitativas, calcula el tamaño mínimo de la muestra requerido para el estudio.

5) Identificar el marco poblacional de donde se extraerá la muestra. Determinado el

tamaño de la muestra, es necesario identificar a cada uno de los elegidos. Para ello se

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utiliza el “marco poblacional”, que es una lista donde están identificados todos elementos de la población.

6) Seleccionar a los individuos de la población que conformarán la muestra. Si se utiliza un muestreo probabilístico, o se utiliza una tabla de números aleatorios para seleccionar el marco muestral a cada uno de los integrantes de la muestra.

Estas etapas son genéricas, casi siempre son idénticas para todas las investigaciones. Las variaciones ocurren dependiendo del tipo de investigación que se realiza.

3) ¿QUÉ SON LOS CRITERIOS DE INCLUSIÓN Y EXCLUSIÓN?

Los criterios de inclusión y exclusión son características que sirven para diferenciar quien participa como población en la investigación y quién no. Los criterios de inclusión y exclusión son demarcadores, son limites que discriminan entre los que serán parte del estudio y los que no lo serán.

Es importante identificar estos criterios y que se haga explícito en el proyecto de investigación.

EJEMPLO. “…La población está constituida por los estudiantes de nivel secundario de las instituciones educativas públicas. Los criterios de inclusión y exclusión considerados para la delimitación poblacional son los siguientes:

• Sexo masculino: solo varones.

• Edades comprendidas entre 12 y 14 años de edad.

• Que cursen entre 1° y 3° año de secundaria.

• Que estudien en jornada de la mañana o tarde.

• Que estudien en instituciones educativas públicas.

Esta es la forma típica como se debe redactar la identificación de la población y la demarcación de los criterios de inclusión exclusión.

4) ¿CUÁNTOS TIPOS DE MUESTREO HAY?

En el paso 3 de las etapas del muestreo es necesario determinar qué tipo de muestreo se empleará. Al respecto, existen dos tipos generales de muestreo:

a) el muestreo probabilístico

b) el muestreo no probabilístico.

Al proceso de seleccionar una muestra se denomina muestreo, que se divide en dos grupos: aleatorio o probabilístico y no probabilístico, estos a su vez se subdividen en otros.

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En las muestras probabilísticas, todo integrante de la población tiene una probabilidad

determinada y conocida de conformar la muestra, y esa probabilidad puede ser calculada con precisión estadística. Los muestreos probabilísticos son los muestreos más confiables pero los más complicados.

En las muestras no probabilísticas ocurre lo contrario, todo integrante de la población no

tiene una probabilidad determinada, tampoco es conocida, de conformar la muestra. Los criterios para seleccionar la muestra no son estadísticos, son racionales, por eso el investigador no tiene idea del error que puede estar introduciendo en su muestra. Las muestras

no probabilísticas son las menos confiables, pero las más frecuentes, por ser más económicas y, algunas veces, más convenientes.

5) ¿QUÉ ES EL MUESTREO PROBABILÍSTICO?

Conocido también como “muestreo aleatorio”, utiliza el azar y las estadísticas como instrumentos de selección, pudiéndose calcular de antemano la probabilidad de que cada elemento de la población sea incluido en la muestra.

Este tipo de muestreo es el que alcanza mayor rigor científico, y se caracteriza porque se cumple el principio de la equiprobabilidad, según el cual todos los elementos de la población tienen la misma probabilidad de ser elegidos en una muestra. Las muestras probabilísticas

siempre son representativas de la población. Y como son representativas, con este muestreo se puede generalizar con precisión los resultados a la población.

La muestra probabilística es la más adecuada para identificar índices y describir poblaciones mediante muestras. Por eso, este tipo de muestreo es típico y necesario cuando se está realizando investigaciones cuantitativas, descriptivas y correlacionales.

Los muestreos probabilísticos son los más costosos. Requieren más tiempo y recursos. Es más lento y complicado. Sin embargo, su costo vale la pena porque los resultados se pueden generalizar a toda la población.

1) Muestreo aleatorio simple y números aleatorios. Es la modalidad de muestreo más

conocida y que alcanza mayor rigor científico. Garantiza la equiprobabilidad de elección de cualquier elemento y la independencia de selección de cualquier otro. En este

CLASE DE MUESTREO

ALEATORIO O PROBABILISTICO NO ALEATORIO, NO

PROBABILISTICO

ALEATORIO SIMPLE

ALEATORIO SISTEMATICO

ESTRATIFICADO

POR CONGLOMERADOS

POR ETAPAS

• ACCIDENTALES • POR CUOTAS • INTENCIONALES • POR RASTREO O BOLA DE

NIEVE

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procedimiento se extraen al azar un número determinado de elementos (conocido como ‘n’), de la población (conocido como ‘N’). La secuencia es:

a) Definir la población.

b) Elaborar una lista de toda la población, asignándoles números consecutivos desde 1 hasta ‘n’.

c) Calcular el tamaño de la muestra.

d) Extraer al azar los elementos hasta completar el numero calculado (utilizando tablas de números aleatorios o programas de computadora.

Al proceso de extraer una muestra de tamaño n de una población de tamaño N, de tal

manera que todo elemento tenga la misma probabilidad de ser seleccionado, se llama muestreo aleatorio simple. Este proceso puede ser con o sin reemplazamiento y el más utilizado es el proceso sin reemplazamiento debido a que sus resultados tienen mayor

confiabilidad para realizar estimaciones en una población. Un procedimiento utilizado para determinar una muestra que realmente sea probabilística o aleatoria, consiste en utilizar la tabla de números aleatorios NA, que son tablas que se pueden programar en una

computadora, calculadora de bolsillo o buscar en un libro de estadística, en este caso se utiliza una tabla de números aleatorios que se encuentra en el Anexo identificada con NA, con el propósito de seleccionar muestras de trabajo. Al utilizar la tabla NA hay que considerar los siguientes pasos:

Numerar o codificar la población según su número.

Definir los dígitos en la tabla según la población.

Ubicarse en cualquier punto de la tabla de NA.

Una vez definido un punto moverse en cualquier dirección.

Descartar los números que se repiten.

EJEMPLO. Considerando una población de 80 estudiantes se desea obtener una muestra por medio de la tabla de números aleatorios, de 25 estudiantes para determinar sus

correspondientes características y hacer extensivo hacia la población (N = 80 población y n = 25, muestra). Tomando la tabla NA se ubica en el origen de la primera fila y columna, allí se encuentra el número 23 formado por dos dígitos que corresponde a los dígitos de la

población, partiendo de éste número se hace un recorrido ya sea hacia la derecha o hacia abajo, siguiendo hacia abajo se toma sin repetición los números menores o igual a 80; éstos números se encuentran en la Tabla, que presenta un conjunto de números aleatorios

correspondiente al número de estudiantes comprendidos entre 0 y 80 que definen la muestra de la población.

TABLA 1: Datos aleatorios

Datos sin ordenar

23, 05, 14, 38, 11, 43, 49, 36, 07, 61, 31, 57, 09, 72, 25, 64, 10, 71, 60, 37, 47, 73, 32, 56, 16

Datos ordenados

05, 07, 09, 10, 11, 14, 16, 23, 25, 31, 32, 36, 37, 38, 43, 47, 49, 56, 57, 60, 61, 64, 71, 72, 73

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Este tipo de muestreo en ciertas ocasiones no es tan difícil de utilizar debido a que la

población de estudio está enumerada con anterioridad. Por ejemplo, las casas de una calle o carrera, los alumnos matriculados en una institución educativa, el número de registro de nacimiento en una notaría, etc.

2) Muestreo aleatorio sistemático. Es una variante del muestreo simple. Este muestreo es

más rápido que el anterior, sobre todo si la población es numerosa y esta previamente ordenada. La forma de selección utiliza un sistema sencillo.

Este método consiste en seleccionar una por una las unidades de una muestra a partir de una población definida, siguiendo dos pasos importantes:

Primero. Calcular una constante K resultado de dividir el número de elementos de la población por el número de elementos que formará la muestra.

K = (n) Muestra

(N)Población =

n

N

Segundo. Conocido el valor de K elegir aleatoriamente la primera unidad que conformará

la muestra, sea A la primera unidad de la muestra, ésta debe ser mayor o igual que uno y menor o igual que K, 1AK la segunda unidad a tomar será, A más una K, la tercera unidad a tomar será A más dos veces K, y así, sucesivamente hasta llegar a tomar la última unidad de la muestra deseada.

A + 0*K Primera unidad

A + 1*K Segunda unidad

A + 2*K Tercera unida

.

A + X*K Ultima unidad

En forma general y de acuerdo al proceso anterior se obtiene el tamaño de la muestra que se expresa de la siguiente manera:

n= (A + X*K), para X = 0, 1, 2, 3, 4, 5,...

EJEMPLO. Considerando una población de 600 estudiantes, se desea obtener una muestra de 30 estudiantes, una vez que se haya enumerado se procede a realizar el cálculo:

Primero

K = 20, valor de la constante

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Segundo: Elegir la primera unidad de la muestra; tomando que sea A=15 valor que se encuentra entre 1 y 20

1<A=15<K

A + X*K

15 + 0*20 = 15 Primera unidad.

15 + 1*20 = 35 Segunda unidad.

15 + 2*20 = 55 Tercera unidad.

15 + 3*20 = 75 Cuarta unidad.

15 + 29*20 = 595 Ultima unidad.

Esto indica que de los 600 estudiantes se deben tomar los estudiantes que estén identificados con los números 15, 35, 55, 75, 95,...,595 y así se obtendrá la muestra deseada.

n = {15, 35, 55, 75, 95, ..., 495}

La elección sistemática partiendo de listas es válida si el orden no ha sido establecido

teniendo en cuenta la característica que estudiamos. No pueden servir, por ejemplo, listas en orden de ingresos, si esta es una de las variables de investigación.

3) Muestreo estratificado. Este muestreo se utiliza cuando la población está constituida en estratos o subgrupos (conjuntos homogéneos con respecto a la característica que se

estudia). Dentro de cada estrato se puede aplicar el muestreo aleatorio simple o sistemático.

El muestreo estratificado consiste en sub‐dividir la población en subgrupos o estratos según las características que se consideren y en elegir la muestra de modo que estén representados los diferentes estratos.

Para obtener la muestra estratificada, se siguen los siguientes pasos:

a) Se divide la población en estratos.

b) De cada estrato se extrae una muestra por muestreo aleatorio simple.

c) Se asigna a cada individuo según ciertas reglas definidas (simple, proporcional, optima).

d) Las sumas de las muestras de cada estrato forman la muestra total ‘n’.

Cuando se va a estudiar una población, en ciertos casos es necesario fraccionar en

subpoblaciones que estadísticamente se conoce como estratos que deben ser heterogéneos entre sí y homogéneos entre elementos; además las uniones de todos sus estratos forman la población original y la intersección es el vacío Ø.

Si A1, A2, A3, ..., An son partes o estratos de N, así:

A1A2A3 ,...,An = Ø Vacío.

A1A2A3 ,...,An = N Población original.

Una vez que se obtenga los estratos, sí éstos tienen un número grande de elementos

aleatoriamente se selecciona muestras; si esto no sucede se toma cada estrato y se trabaja como una muestra independiente para luego inferir hacia la población.

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Observando, en el siguiente ejemplo, la forma como se presenta un muestreo probabilístico estratificado en un proyecto de investigación.

EJEMPLO. Se desea hacer un estudio estadístico sobre los salarios con relación al número de personas en una ciudad, para esto hay necesidad de tomar diferentes niveles o estratos de salarios, así el número de personas con salario:

Menor que el mínimo.

Igual al mínimo. El anterior y el mínimo más su 50%. El anterior y el mínimo más su 100%.

El anterior y el mínimo más su 150%. El anterior y el mínimo más su 200%. El anterior y el mínimo más su 250%.

El anterior y el mínimo más su 300%. El anterior y el mínimo más su 350%. El anterior y el mínimo más su 400%.

Del anterior en adelante.

Estrato uno.

Estrato dos. Estrato tres. Estrato cuatro.

Estrato cinco. Estrato seis. Estrato siete.

Estrato ocho. Estrato nueve. Estrato diez

Estrato once.

*Construir una tabla tomando como base el salario mínimo vigente, siguiendo las indicaciones anteriores.

La selección de la muestra de cada estrato se puede hacer utilizando el muestreo aleatorio simple, y tomar muestras proporcionales o no proporcionales.

A.) Muestreo Estratificado proporcional. Las muestras proporcionales son aquellas que se obtienen al tomar la misma fracción de muestreo (f) de cada uno de los estratos. Se tiene una población de 5000 estudiantes divididos en 6 estratos, tomar una muestra de 500, el resumen del procedimiento se encuentra en la Tabla siguiente.

Para seleccionar una muestra se deben conocer los tamaños de la muestra (n) y población o universo (N) para obtener la relación llamada fracción de muestreo (f), así:

f = 10

1

5000

500 %101.0

Esto me indica que debo tomar el 10% para cada estrato, no importa la cantidad de

poblacional de cada estrato.

TABLA 2: Muestreo estratificado proporcional

Estrato Población Fracción. Muestra estrato

1 1500 1500*1/10 150

2 900 900*1/10 90

3 800 800*1/10 80

4 700 700*1/10 70

5 600 600*1/10 60

6 500 500*1/10 50

SUMA N = 5000 n = 500

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B.) Muestreo Estratificado no proporcional. Las muestras no proporcionales son

aquellas que se obtienen al tomar diferentes fracciones de muestreo f en cada estrato. Si se tiene una población (N) de 5000 estudiantes distribuidos en 6 estratos (1, 2, 3, 4, 5, 6); tomando los porcentajes 10%, 12%, 14%, 16%, 18% y 30% respectivamente para cada estrato.

TABLA 3: Muestreo estratificado no proporcional

Estrato Población Porcentaje. % Muestra estrato

1 1500 1500*0.10 150

2 900 900*0.12 108

3 800 800*0.14 112

4 700 700*0.16 112

5 600 600*0.18 108

6 500 500*0.30 150

SUMA N = 5000 n = 740

TABLA 4: Muestreo estratificado no proporcional

Estrato Población Porcentaje. % Muestra estrato

1 1500 1500*0.30 450

2 900 900*0.18 162

3 800 800*0.16 128

4 700 700*0.14 98

5 600 600*0.12 72

6 500 500*0.10 50

SUMA N = 5000 n = 960

*Cuál de las dos muestras anteriores tomaría para su trabajo de investigación y por qué?

4) Muestreo por conglomerados. Este tipo de muestreo se utiliza cuando los individuos de la población constituyen grupos naturales muy grandes o conglomerados que contienen otros grupos más pequeños de forma sucesiva (Ejemplo. País, departamento, región, distrito, organismos, oficinas, etc.).

Esta técnica es útil porque no es necesario identificar ni tener un listado de todos los elementos de la población para seleccionarlos aleatoriamente, sino que después de seleccionar los conglomerados, se procede a elaborar dicho listado solo para los elementos

que componen los conglomerados elegidos. En el muestreo por grupos el proceso sigue estos pasos:

1) La población se divide previamente en grupos o conglomerados que contienen diversos elementos.

2) Se seleccionan aleatoriamente el número de conglomerados y se trabaja con el total de elementos pertenecientes a los conglomerados elegidos.

3) La unidad muestral es el conglomerado (clúster) o grupo y el proceso de selección aleatoria se aplica a la selección de estos y no a los elementos menores que componen el conglomerado.

El muestro por conglomerados es un proceso que consiste en elegir aleatoriamente en

primer lugar los conglomerados, subpoblaciones o paquetes de unidades muestrales de

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una población original. Si los conglomerados son muy grandes se toma una muestra

aleatoria por medio de números aleatorios, sistemático o por estratos ya sea proporcional o no, de cada uno de ellos para realizar los estudios propuestos. En un muestreo por conglomerados debe existir homogeneidad entre conglomerados y heterogeneidad entre

elementos de cada conglomerado, paquete o subpoblación; esto hace que se diferencie entre un estrato y conglomerado.

Cuando un conglomerado se hace por sectores geográficos recibe el nombre de muestreo por áreas y conglomerados. Se desea investigar sobre las diferentes características que

tienen las familias del sector rural de clima frío del departamento de Nariño. La primera selección se debe hacer con las zonas de clima frío del departamento de Nariño, una vez escogidas las zonas, la segunda selección será las familias motivo de investigación para luego inferir hacia la población de clima frío del departamento de Nariño, ver Figura.

FIGURA. Muestreo por conglomerados

En la Figura se encuentran las zonas de investigación que son sectores geográficos de clima frío, también se puede llamar muestreo por áreas y conglomerados. En las zonas del sector rural y especialmente en el clima frío las familias son homogéneas en sus

costumbres, alimentación, vestido, fiestas y estilo de casas; sin embargo, son heterogéneas individualmente entre familias con relación a la tenencia de tierras, dinero y otras.

5. Muestreo aleatorio por etapas o polietápico. En este caso se combina el muestreo aleatorio simple con el muestreo por conglomerados. Primero se realiza un muestreo por

conglomerados (Ejemplo. si los conglomerados son colegios, se seleccionan aleatoriamente varios de ellos).

Segundo, no se eligen todos los estudiantes (como ocurriría en un muestro por conglomerados), sino que se elige una muestra aleatoria (dicha muestra puede ser obtenida por muestreo aleatorio simple o puede ser estratificado).

El proceso sigue una secuencia de etapas de selección de unidades muestrales de mayor rango a otras de menor, hasta llegar a los individuos o elementos que constituyen la muestra: provincia, distrito escolar, centros, aulas, estudiantes. Este tipo de muestreo solo necesita conocer los individuos que integran los conglomerados de la última etapa.

Este proceso es una ampliación del muestreo por conglomerados debido a que, puede extenderse formando diferentes etapas hasta llegar a las unidades muestrales o miembros de la población, utilizando procesos aleatorios en cada una de las etapas que según su

orden llevan nombres específicos: bietápico, trietápico y en general polietápico. Si en una

Población original

Primera etapa

Segunda etapa

DEPARTAMENTO DE NARIÑO

ZONAS RURALES DE CLIMA FRIO

FAMILIAS A INVESTIGAR

I N F E R E N C I

A

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determinada investigación se toma una sección geográfica su nombre será, muestreo aleatorio por etapas y áreas.

Suponiendo que en Colombia se desea investigar sobre el rendimiento escolar en los niños que estudian primaria en las familias del sector urbano, con poblaciones mayores de 200.000 habitantes. Para realizar éste proceso de una manera fácil sin perder las

características de la población objeto, consiste en formar etapas, ver Figura siguiente. La población motivo es el rendimiento de los niños que estudian primaria del sector urbano en ciudades colombianas con más de 200.000 habitantes. En cada etapa se desarrollan actividades específicas:

Primera etapa consiste en seleccionar aleatoriamente los departamentos.

Segunda etapa, una vez seleccionado los departamentos, seleccionar aleatoriamente las ciudades con más de 200.000 habitantes.

Tercera etapa tiene dos alternativas, la primera consiste en seleccionar aleatoriamente las familias que de pronto se dificulta, el segundo y el más adecuado consiste en seleccionar aleatoriamente las escuelas urbanas.

Cuarta etapa, una vez seleccionadas las escuelas, seleccionar aleatoriamente la

muestra, niños objeto de estudio de cada escuela, para luego inferir hacia la población motivo de estudio.

Recuerda que la descripción de los tipos de muestreo es solo introductoria, es solo para

que los conozcas. Este no es un libro de estadística, por eso se recomiendo revisar algunos libros especializados sobre el tema. Hacer una investigación no solo implica estudiar a fondo el tema de investigación, sino también aprender sobre el método y las técnicas que

va a emplear. Por eso, no solo se revisa bibliografía del tema, se revisa también bibliografía metodológica.

6) ¿QUÉ ES EL MUESTREO NO PROBABILÍSTICO?

El muestreo no probabilístico, como su nombre lo indica, no se basa en el principio de la equiprobabilidad. Estas técnicas siguen otros criterios de selección (conocimientos del

RENDIMIENTO ESCOLAR EN LOS NIÑOS DEL SECTOR URBANO CON POBLACIÓN MAYOR A 200.000 HABITANTES

DEPARTAMENTOS

CIUDADES CON POBLACIONES MAYOR O IGUAL A 200.000 HABITANTES

FAMILIAS URBANAS ESCUELAS URBANAS

NIÑOS QUE ESTUDIAN PRIMARIA

I N F E R E N C I

A

Etapa 1

Etapa 2

Etapa 3

Etapa.4

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investigador, economía, comodidad, alcance, etc.), procurando que la muestra obtenida sea lo más representativa posible.

Estas muestras, al no utilizar el muestreo al azar, no tienen la garantía de las muestras probabilísticas, es decir, no se sabe si los resultados estarán sesgados. Sin embargo, aunque existe esta limitación, en la práctica los muestreos no probabilísticos son a menudo necesarios e inevitables, porque son más económicos, rápidos y menos complicados.

Este tipo de muestreo es típico y necesario cuando estas realizando investigaciones cualitativas, exploratorias, históricas, documentales.

7) ¿CUÁNTOS TIPOS DE MUESTREO NO PROBABILÍSTICO HAY?

Existen diferentes tipos de muestreo no probabilístico. Los más usados son:

1) Muestreo accidental

2) Muestreo por cuotas

3) Muestreo intencional

4) Muestreo por rastreo “Bola de nieve”

1) Muestra accidental. Es aquella que se obtiene sin ningún plan pre‐concebido. Las unidades elegidas resultan producto de circunstancias fortuitas y descontroladas. Con este

muestreo nunca sabrás hasta qué punto tus resultados son válidos y si en verdad representan a la población. Este es el tipo de muestreo menos confiable.

Las investigaciones que utilizan voluntarios es un tipo de muestreo accidental. Estas muestras están sesgadas porque los voluntarios tienen características distintas a la

población en general, como, por ejemplo: son personas que tienen mayor nivel cultural, tienen mejor estatus social, suelen ser más inteligentes, son más sociables, son menos convencionales, son menos conformistas, etc.

2) Muestra por cuotas. Se calcula el tamaño de la muestra dependiendo de la distribución

de la población. Por ejemplo, en una población de 1,000 estudiantes, donde el 40% son mujeres, puedes asignar una cuota de 60 hombres y 40 mujeres a una muestra de 100 individuos. Por más que esa presunción llegue a ser válida, no deja de existir cierta arbitrariedad en este modo de proceder, por lo que la rigurosidad estadística de las muestras por cuotas se reduce considerablemente.

3) Muestra intencional. Este es el mejor tipo de muestreo no probabilístico. El muestreo se realiza sobre la base del conocimiento y criterios del investigador. Se basa, primordialmente, en la experiencia con la población. En algunas oportunidades se usan

como guía o muestra tentativa para decidir cómo tomar una muestra aleatoria más adelante.

4) Muestreo por rastreo o “bola de nieve”. Son muy empleados en la investigación cualitativa histórica, documental y etnográfica.

En este muestreo, los primeros elegidos como encuestados (a juicio del investigador)

proponen y ayudan a la selección de los restantes de la muestra. Esta técnica se utiliza para localizar por referencias a miembros de poblaciones peculiares o muy difíciles de acceder.

Siempre existe el riesgo del sesgo porque la persona sugerida por otro miembro de la muestra tiene una probabilidad mayor de ser similar a la primera.

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8) ¿CÓMO CALCULO EL TAMAÑO DE LA MUESTRA?

El cálculo del tamaño de la muestra depende de qué tipo de investigación que se está realizando. Si es una investigación cualitativa o cuantitativa, el procedimiento variara.

¿Cómo calculo el tamaño de la muestra si mi investigación es cuantitativa?

En los estudios cuantitativos, el tamaño de la muestra depende de la precisión con que se desea estimar el parámetro de la población. Entre más grande sea la muestra más representativa de la población será.

Para calcular el tamaño de las muestras cuantitativas se emplean formulas estadísticas. Para ello se necesita algunos valores, como son:

• El tamaño de la población: Si es mayor a 100 mil, entonces el tamaño de la muestra será suficiente con 370. Si es menor a 100 mil, necesitas calcular empleando formulas.

• El nivel de confianza: Te aconsejo que siempre sea del 95%.

• El tamaño aproximado de la proporción (p,q): Si no las conoces, que sea del 50% cada una.

• El error máximo admisible: Acepta un error máximo del 5%.

• Otros valores adicionales: como la tasa de no respuesta, entre otros.

EJEMPLO. Una Empresa con 500 empleados desea reducir el nivel de ausentismo de los

trabajadores. Reportes de asistencia indican que cerca del 10% de los trabajadores faltan al trabajo, pero no determinan las causas del ausentismo. Decides investigar las razones más frecuentes para las faltas, y, por tanto, estimas el nivel de confianza de tu muestra en el 95% y un error máximo admisible del 3%.

Datos.

n = tamaño de la muestra Z = nivel de confianza elegido del 95% (igual a 1.96) p = porcentaje de inasistencia (10%)

q = porcentaje complementario (p ‐ q = 90%) N = tamaño de la población (N=500) e = error máximo permitido (3%)

Solución.

La fórmula utilizada para el cálculo es la siguiente:

qp Z 1)-(Ne

qp Z Nn

**2

*2

**2

*

Substituyendo los números en la formula se tiene:

21849.21790.010.096.1)1500(03.0

90.010.096.1500

qp Z 1)-(Ne

qp Z Nn

**2

*2

**2

*

**2

*2

**2

*

218n empleados.

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En este caso, el estudiante tendría que investigar aproximadamente 217 empleados para

poder determinar cuáles son las principales causas del ausentismo laboral. Si se aumentase el porcentaje de error admisible al 5%, el tamaño de la muestra se reduciría a 112. Recomiendan nunca usar un error máximo del 5%

En algunas condiciones es difícil conocer el valor de N, por ejemplo, el número de plantas

pequeñas en una parcela, el número de árboles de cierta región o el número de fauna silvestre de un área. En tal caso el tamaño de la muestra se calcula con la siguiente ecuación

2

**2

e

qpZn

EJEMPLO. En un bosque bastante grande de pinos, se desea obtener una muestra “n”, en

donde el error máximo permitido es del 5% (e) y un nivel de confianza o seguridad del 95%, con una proporción esperada del 30%.

Datos.

Z = 1.96 para un nivel de confianza en 95% (según la tabla siguiente). e = Error máximo permitido o deseado 5%.

p = 30% = 0.30 Proporción esperada. q = 1 – p = 1- 0.30 = 0.70

Solución.

3230025.0

806736.0

0025.0

21.08416.3

050.

7.03.096.1

e

Zn *

2

**2

2

**2

qp

, árboles

Se debe tomar una muestra de ( 323n , árboles) del bosque.

Valores críticos para Z

NIVEL DE CONFIANZA %

0 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9%

50% 0.657 0.695 0.705 0.725 0.735 0.755 0.775 0.785 0.805 0.825

60% 0.845 0.855 0.875 0.895 0.915 0.935 0.955 0.975 0.995 1.015

70% 1.035 1.055 1.085 1.105 1.125 1.155 1.175 1.205 1.225 1.255

80% 1.200 1.315 1.345 1.375 1.405 1.435 1.475 1.515 1.555 1.595

90% 1.625 1.595 1.755 1.835 1.885 1.960 2.055 2.170 2.325 2.575

100% 3.000

APLIQUEMOS LO APRENDIDO 1.

Calcular el tamaño de la muestra cuando en nivel de confianza es de: a) 97%, b) 95% y c) 93%; p = q= 50%; considerando la población como grupos de edades comprendidas entre 18 y 40 años de edad para los municipios de:

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Ancúya.

Año Población Muestra

para: e. = 3% Muestra

para: e. = 5% Muestra

para: e.= 7%

2017 2399

2018 2327

2019 2257

2020 2187

Sandoná.

Año Población Muestra para:

e. = 3% Muestra para:


e.= 7%

2017 9135

2018 9113

2019 9072

2020 9022

Providencia.




e.= 7%

2017 3967

2018 3998

2019 4031

2020 4064

Pasto.




e.= 7%

2017 173702

2018 175245

2019 176338

2020 177074

Tumaco.




e.= 7%

2017 77306

2018 79015

2019 80721

2020 82465

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Ipiales.




e.= 7%

2017 51818

2018 52949

2019 54005

2020 55042

ENCUESTAS

La encuesta es un conjunto de técnicas y procedimientos que se utilizan para recolectar,

procesar y analizar información o datos obtenidos de fenómenos naturales o sociales, en donde el hombre es el protagonista principal. Los datos de una encuesta son obtenidos por diferentes procedimientos, entre ellos están la observación directa, entrevistas, por correo, teléfono o cuestionarios; siendo esta última la utilizada con mayor frecuencia.

El objetivo de la elaboración y la aplicación de encuestas es la recopilación de datos suficientes para inferir sobre una población. Normalmente las encuestas se usan para recolectar información e investigar sobre más de una variable.

Métodos de recolección de la información.

Entrevista Personal: Es el procedimiento donde una persona acude al sujeto seleccionado para obtener la información.

Entrevista por Teléfono: Si el objetivo son personas cuyo nivel económico les permite tener teléfono, entonces es válida la entrevista por teléfono

Cuestionarios Auto aplicados: Se pueden enviar por correo cuestionarios que las personas respondes por algún interés especial.

Observación directa: Si las variables a evaluar lo permiten, es posible realizar la observación directa:

1) DISEÑO DEL CUESTIONARIO

Explicación: Es conveniente que el encuestado esté enterado del procedimiento de cómo se llevará a cabo la entrevista. Ejemplo: Esta encuesta consiste en 10 preguntas y usted debe escoger una de las opciones que le voy a dar.

Orden de las preguntas: Las preguntas deben estar agrupadas por temas y de lo general a

lo particular. Se ha demostrado que la organización de las preguntas afecta las respuestas. Ejemplo: ¿Qué opina de la pena de muerte en el mundo? ¿Qué opina de la pena de muerte en Colombia?

Preguntas abiertas y cerradas: Dependiendo del objetivo de la pregunta, se debe escoger si es abierta o cerrada. Se usa más la pregunta cerrada por su fácil manejo. Ejemplo: El desempeño del alcalde hasta el momento es. a) Muy Bueno b) Bueno

Redacción de las preguntas: Las preguntas deben ser equilibradas y no inducir la respuesta. Ejemplo: ¿Verdad que la pena de muerte es mala? ¿Apoya usted la pena de muerte? ¿Apoya usted la pena de muerte o la rechaza?

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2) PLANEACIÓN DE UNA ENCUESTA

Establecimiento de objetivos.

Definir población objetivo.

Definir el marco de la muestra. El método qué define qué personas se van a entrevistar.

Seleccionar el diseño de muestreo. Diseño aleatorio irrestricto, conglomerados, etc.

Seleccionar el método de medición. Entrevista personal, telefónica, etc.

Diseñar el instrumento de medición

Selección y adiestramiento de investigadores de campo

Preferentemente realizar una prueba piloto

Organización del trabajo de campo

Organización del manejo de datos

Análisis de los datos.

Informe final

3) TRABAJO DE CAMPO Y RECOLECCIÓN INFORMACIÓN.

Etapa que consiste en la ejecución o desarrollo de la investigación planeada siguiendo su

respectivo proceso metodológico, de acuerdo a sus características y recursos que posee la institución o quien vaya a realizar la investigación, afrontando los inconvenientes que se pueden presentar en las diferentes etapas y así alcanzar los objetivos formulados. En primer

lugar, consiste en determinar un mecanismo para obtener información de los elementos que pertenecen al conjunto de estudio, que puede ser por medio de un cuestionario o cuadros debidamente organizados para que facilite la captación y tabulación de la información. El

segundo paso será el desarrollo del trabajo de campo o la toma de datos y recolección de la información. La tercera instancia consiste en revisar y examinar detalladamente todos los datos obtenidos para ser analizados con el fin de descubrir algunos errores para modificar o

excluirlos del proceso de investigación. Seguidamente se procede a codificar o sea presentar los datos verbales como numéricos para luego tabular, formar tablas y realizar los cálculos respectivos como si fueran datos cuantitativos. Codificar es asignarle un número o letra

diferente que sustituye las respuestas u observaciones para proceder a su respectiva tabulación generalmente viene impreso con el cuestionario. La tabulación consiste en hacer listados y tablas de los datos que permitan agrupar para realizar la contabilización de las

respuestas de acuerdo a los códigos establecidos con anterioridad. En la actualidad exis ten diferentes medios o programas de computador que permiten tabular gran cantidad de datos en tiempos cortos y con grandes exactitudes.

4) PROCESAMIENTO Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN.

Consiste en definir la manera como se va procesar la información, obtenida por medio de

formularios u otros medios definidos con anterioridad, su procesamiento puede ser manual, mecánico, electrónico o por computadora. Analizar significa descomponer un todo en sus partes con el fin de aplicar las técnicas para evaluar y verificar si las preguntas, hipótesis y

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objetivos formulados en que tanto por ciento fueron alcanzados. Estos análisis pueden ser de forma cuantitativa y cualitativa.

5) INFORME DE LA INVESTIGACIÓN.

En esta fase se describe el contenido que deberá llevar el informe, siguiendo las recomendaciones del Instituto Colombiano de Normas Técnicas (ICONTEC) actualizadas u otras normas vigentes. Se dice que una investigación termina relativamente cuando se

presenta el informe final, o sea, poner al alcance de la comunidad científica y al público en general los avances realizados durante el proceso de investigación.

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MODELO DE ENCUESTA PARA ESTUDIANTES

Establecimiento Educativo

Jornada Grado y curso Fecha

Área

Estimado(a) estudiante, tu opinión acerca de la forma como el profesor organiza, desarrolla y evalúa el curso es muy importante para nuestra institución educativa. A continuación, se presentan una serie de aspectos relevantes en este sentido, para que valores el desempeño

del docente con la mayor objetividad posible, marcando con una equis (X) frente a cada aspecto la respuesta que mejor represente tu opinión.

1. El profesor entregó el programa de la asignatura al inicio del curso SÍ NO

Nunca Algunas

veces

Casi

siempre Siempre

EL PROFESOR

2. Presenta los temas con mucha claridad

3. Comunica claramente los objetivos de cada clase

4. Responde las dudas de los estudiantes en clase

5. Expresa expectativas positivas de los estudiantes

6. Explica los criterios de evaluación de la materia

7. Evalúa adecuadamente la materia

8. Programa y coordina salidas pedagógicas como complemento a la materia

9. Atiende dudas académicas de los estudiantes fuera de clase

10. Realiza actividades de recuperación y refuerzo con estudiantes que lo necesitan

11. Indica normas de comportamiento en clase claras para todos

12. Es respetado por todos los estudiantes del curso

13. Realiza clases activas y dinámicas

14. Informa a padres de familia y acudientes sobre el desempeño de los estudiantes

15. Llega a clase y sus orientaciones son seguidas por todos los estudiantes

LAS CLASES

16. Son interesantes porque tratan temas llamativos

17. Empiezan y terminan a la hora indicada

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18. Desarrollan los temas propuestos en el tiempo indicado

19. Tratan temas importantes para el barrio, la zona o la comunidad

20. ¿Cuáles de los siguientes recursos usa el profesor para desarrollar sus clases?

Tablero Películas y videos Láminas y otros materiales gráficos

Computadores Diapositivas o acetatos Música

Libros de texto Laboratorios Otros

Programas educativos computarizados

Mapas Cuales

¡Gracias por tu tiempo!

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2) DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS PARA DATOS NO AGRUPADOS

Una distribución de frecuencias indica como las aparecen los datos estadísticos, desde el

menor de ellos hasta el mayor de ese conjunto de trabajo sin que se haya hecho ninguna modificación al tamaño de las unidades originales. En estas distribuciones los valores de cada variable han sido solamente reagrupados, siguiendo un orden lógico con sus respectivas repeticiones.

Para algunos estadísticos definen datos No agrupados cuando el tamaño de la muestra es menor a 30 o la muestra es mayor y homogénea, los datos pueden tratarse individualmente, y en este caso se les llama Datos no agrupados. Sin embargo, cuando la muestra es grande

(mayor 30), es laborioso hacerlo de esta forma, por lo que se lleva a cabo algún tipo de agrupación preliminar para realizar el tratamiento adecuado a los datos. En este último caso, se les llama Datos Agrupados. Para trabajar con datos no agrupados, lo primero que

podemos hacer es ordenarlos, en forma ascendente o descendente. Una vez ordenados los datos de la muestra se organizan en una tabla de frecuencias.

FRECUENCIA ABSOLUTA f.

Se llama frecuencia absoluta de un dato al número de veces que se repite ese dato o resultado en una observación de una muestra o población.

La suma de las frecuencias absolutas de todos los datos que se han obtenido en la encuesta o estudio, ha de ser igual al número total de datos observados.

EJEMPLO. Vamos a hacer un recuento de datos y ver su frecuencia relativa en el caso siguiente: Hemos preguntado a los 22 alumnos y alumnas de clase sobre cuál será el resultado del próximo partido entre el Pasto y el rival BB…., obteniendo estos resultados:

TABLA 1: Toma de datos

G P E E G G P E G G E P G G G

E E P G P P E

Dónde:

3) G; Gana el equipo de casa.

4) E; Empatan.

5) P; Pierde el equipo de casa.

Efectuamos el recuento de los datos, anotando el número de veces que ha aparecido cada uno de los resultados.

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TABLA 2: Recuento de datos

No Resultado del partido Número de veces que se ha dado Recuento

1 G ///////// 9

2 E /////// 7

3 P ////// 6

TOTAL N = 22

Ahora construyamos una tabla, llamada tabla de frecuencias, en la segunda columna podemos escribir las frecuencias absolutas para cada evento.

TABLA 3: Frecuencia absoluta y acumulada

No Resultado del partido

Frecuencia absoluta

Frecuencia acumulada

F fa

1 Gana el equipo de casa G 9 9

2 Empatan E 7 16

3 Pierde el equipo de casa P 6 22

TOTAL n = 22

La suma de las frecuencias absolutas es: 9 + 7 + 6 = 22

También podemos agrupar las frecuencias absolutas, valores que se encuentran consignados en la tercera columna.

Algo importante, lo primero que hemos de hacer es comprobar que no hemos dejado ningún resultado sin contar: en este caso hemos preguntado a 22 alumnos de clase, que coincide con

el resultado de la suma anterior. Estas tablas son una forma sencilla de presentar los datos y hacen más fácil interpretar los resultados.

Gráfico de barras vertical simple . Para representar los datos en forma de barras verticales se toma un ancho proporcional y de acuerdo al número de datos y su altura va de acuerdo al valor de la ordenada, cada barra representa un valor único observado.

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FRECUENCIA RELATIVA fr

Se llama frecuencia relativa de un dato al cociente entre su frecuencia absoluta y el número total de datos. La suma de todas las frecuencias relativas de los datos de un estudio tiene que

ser igual a 1 o al ciento por ciento 100%. Para los resultados de la encuesta anterior, escribimos una nueva columna a la derecha de la tabla de frecuencias en la que vamos calculando cada una de las frecuencias relativas:

N

ffr i ; 100*

N

ffr

i=

TABLA 4: Frecuencia relativa

No

Resultado del partido

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa Frecuencia relativa

f fr fr %

1 G 9 9/22 0.41 9/22*100 41%

2 E 7 7/22 0.32 7/22*100 32%

3 P 6 6/22 0.27 6/22*100 27%

TOTAL n = 22 1.00 1.0 100% 100%

La suma de las frecuencias absolutas es: 9 + 7 + 6 = 22 La suma de las frecuencias relativas es la unidad o 100%.

Según la tabla de frecuencias nos indica que hay una mayoría que piensan o afirman que ganará el equipo de casa.

En este tipo de gráfico, lo que vamos a comparar es la amplitud de los sectores circulares que,

para cada uno de los datos, vamos a dibujar sobre un mismo círculo. Para ello, dibujamos un círculo grande, y lo dividimos en tantas partes como participantes haya habido en la encuesta o votación: debemos dividir 360º entre el número total de votantes o encuestados. A

continuación, a cada uno de los datos le asignamos tantas partes como indique su frecuencia relativa (expresada está en forma de fracción), y escribimos un rótulo para cada sector resultante, indicando a qué dato corresponde.

0

2

4

6

8

10

G E PFREC

UEN

CIA

AB

SOLU

TA

RESULTADOS DEL PARTIDO

0

5

10

15

20

25

G E P

FREC

UEN

CIA

A

CU

MU

LDA

D

RESULTADOS DEL PARTIDO

Página 32 de 176

EJEMPLO. Veamos ahora otro caso; Hemos hecho una votación entre los 22 alumnos y alumnas para elegir de entre cuatro candidatos al representante del curso, obteniéndose los siguientes resultados (nombres).

Carlos, Paula, Carmen, Ana, Carmen, Paula, Paula, Carlos, Ana, Paula, Carlos, Paula, Ana, Carmen, Paula, Carmen, Carlos, Carlos, Paula, Carlos, Paula, Carmen

Hacemos, en primer lugar, el recuento de los datos:

TABLA 5: Recuento de datos

No Nombre del candidato Número de veces que se

repite Recuento

1 Carlos ////// 6

2 Paula //////// 8

3 Carmen ///// 5

4 Ana /// 3

TOTAL n = 22

Una vez efectuado el recuento, construimos la tabla de frecuencias:


No Nombre del candidato Frecuencia absoluta

Frecuencia Absoluta acumulada

f fa

1 Carlos 6 6

2 Paula 8 14

3 Carmen 5 19

4 Ana 3 22

TOTAL n = 22

La suma de las frecuencias absolutas es: 6 + 8 + 5 + 3 = 22

La persona con mayor votación ha sido Paula, por lo tanto, será la representante o delegada del curso.

G41%

E32%

P27%

G41%

E32%

P27%

Página 33 de 176

TABLA 7: Frecuencia relativa y acumulada

No

Nombre del candidato

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa Frec. relativa acumulada

f fr fr*100 fra%

1 Carlos 6 6/22 0.27 0.27*100 27% 27%

2 Paula 8 8/22 0.36 0.36*100 36% 63%

3 Carmen 5 5/22 0.23 0.23*100 23% 86%

4 Ana 3 3/22 0.14 0.14*100 14% 100%

TOTAL n = 22 1.00 1.0 100% 100%

Con los nombres de los candidatos y los valores de las frecuencias absolutas, relativas y

relativas acumuladas diseñas graficas de líneas, de barras u otras; ubicando en el horizontal los nombres y el eje vertical las frecuencias.

Gráfico lineal. Proceso que consiste en representar puntos en un sistema de coordenadas dado por las parejas de valores que pertenecen a la observación de un elemento de una

muestra, que luego son unidos por medio de líneas rectas. Cuando se utiliza como variable el tiempo, este se ubica en el eje horizontal.

HISTOGRAMA DE FRECUENCIA

POLIGONO DE FRECUENCIA

FRECUENCA ACUMULADA

FRECUENCIA ACUMULADA

0

2

4

6

8

10

Carlos Paula Carmen Ana

FREC

UEN

CIA

A

BSO

LUTA

CANDIDATOS 0

2

4

6

8

10


FREC

UEN

CIA

ASO

LUTA

0

5

10

15

20

25


FREC

UEN

CIA

AC

UM

ULA

DA

CANDIDATOS0

5

10

15

20

25

0 Carlos Paula Carmen Ana

FREC

EUN

CIA

AC

UM

ULA

DA

Página 34 de 176

ESTADÍSTICAS CON MÁS DE DOS VARIABLES.

Esto se presenta cuando en cada elemento se observan simultáneamente dos o más variables,

obteniéndose valores que están relacionados entre sí. Para llenar la ficha de los estudiantes del grado 11 de un Instituto A, se tiene en cuenta entre otras variables las siguientes: la edad, peso y estatura.

TABLA 8. Con más de dos variables.

Con los datos obtenidos de cada variable completar las tablas de frecuencias

TABLA 9: Frecuencia absoluta para la edad

No Edad en años Frecuencia absoluta


XI f fa

1 17 2 2

2 18 4 6

3 19 4 10

TOTAL n = 10

No Variables

Estudiantes Edad en años x1 Peso en kg x2 Estatura en cm x3

1 A 18 60.0 170.0

2 B 17 55.0 175.0

3 C 18 45.0 160.0

3 D 18 55.0 155.0

4 E 19 50.0 155.0

5 F 19 55.0 160.0

6 G 19 55.0 170.0

7 H 17 60.0 155.0

8 I 19 55.0 175.0

9 J 18 50.0 160.0

Página 35 de 176

TABLA 10: Frecuencia absoluta para el peso

No Peso en Kg Frecuencia absoluta Fr. Absoluta acumulada

X f fa

1 45

2 50

3 55

4 60

TOTAL n =

0

2

4

6

8

10

12

17 18 19

FREC

UEN

CIA

AB

SOLU

TA

EDAD EN ANOS

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

17 18 19

FREC

UEN

CIA

AB

SOLU

TA

EDAD

0

2

4

6

8

10

12

17 18 19

FREC

EUN

CIA

AC

UM

ULA

DA

EDAD

0

2

4

6

8

10

12

0 17 18 19

FREC

UEN

CIA

AC

UM

ULA

DA

EDAD

Página 36 de 176

TABLA 11: Frecuencia absoluta para la estatura

No Estatura en Cm Frecuencia absoluta Fr. Absoluta acumulada

X f Fa

1 155

2 160

3 165

4 170

5 175

TOTAL n =

TABLA 12: Frecuencia relativa para la edad

No Edad en años

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa Frec. relativa acumulada

f fr fr*100 fra%

1 17

2 18

3 19

TOTAL n =

TABLA 13: Frecuencia relativa para el peso

No

Peso en

kg

Frecuencia

absoluta Frecuencia relativa

Frecuencia relativa

acumulada

X f fr fr*100 fra%

1 45

2 50

3 55

4 60

TOTAL n =

TABLA 14: Frecuencia relativa para la estatura

No

Estatura en Cm

Frecuencia absoluta


acumulada

X f fr fr*100 fra%

1 155

2 160

3 165

4 170

5 175

TOTAL n =

Página 37 de 176

ESTADÍSTICAS MIXTAS.

Se presenta cuando se estudia la relación existente entre cualidades y las variables

cuantitativas de un elemento perteneciente a una muestra o población. Por ejemplo, si se desea saber la relación que existe entre las variables: sexo, edad, peso y estatura en una muestra de estudiantes del grado 11, ver Tabla siguiente.

TABLA 15. Datos mixtos.

No CUALIDAD

SEXO

VARIABLES

EDAD (AÑOS) PESO (Kg) ESTATURA (Cm)

1 M 18 50.0 170.0

2 M 17 55.0 175.0

3 M 18 55.0 160.0

5 M 18 60.0 155.0

6 M 19 55.0 155.0

Con los datos obtenidos de cada variable del sexo masculino completar las tablas de frecuencias y además calcular el valor promedio o media aritmética para datos no agrupados.


No Edad en años

Frecuencia absoluta


XI f fa

1 17

2 18

3 19

TOTAL n =


No Peso en Kg

Frecuencia absoluta


XI f fa

1 50

2 55

3 60

TOTAL n =


No Estatura en Cm Frecuencia

absoluta Frecuencia

Absoluta acumulada

XI f Fa

1 155

2 160

3 165

4 170

TOTAL n =

Página 38 de 176


No Edad en años

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa Frecuencia

relativa acumulada

XI f fr fr*100 fra%

1 17

2 18

3 19

TOTAL n =


No Peso en kg

Frecuencia absoluta


acumulada

XI f fr fr*100 fra%

1 45

2 50

3 55

4 60

TOTAL n =


No

Estatura en

cm

Frecuencia

absoluta Frecuencia relativa

Frecuencia relativa

acumulada

XI f fr fr*100 fra%

1 155

2 160

3 165

4 170

5 175

TOTAL n =

TABLA 22. Datos mixtos

No CUALIDAD

SEXO

VARIABLES

EDAD (AÑOS) PESO (Kg) ESTATURA (Cm)

1 F 19 55.0 175.0

2 F 19 55.0 160.0

3 F 17 60.0 155.0

4 F 19 55.0 155.0

5 F 18 50.0 160.0

Página 39 de 176

Con los datos obtenidos de cada variable del sexo femenino completar las tablas de frecuencias y además calcular el valor promedio o media aritmética para datos no agrupados.



Frecuencia

Absoluta acumulada

X f fa

1

2

3

4

TOTAL n =


No Peso en kilos Frecuencia absoluta


X f fa

1

2

3

4

TOTAL n =


No Estatura en Cm

Frecuencia absoluta


X f fa

1

2

3

4

5

TOTAL n =


No

Edad en años

Frecuencia absoluta


acumulada

XI f fr fr*100 fra%

1

2

3

4

TOTAL n =

Página 40 de 176


No

Peso en kg

Frecuencia absoluta


acumulada

XI f fr fr*100 fra%

1

2

3

4

TOTAL n =


No

Estatura en Cm

Frecuencia absoluta


acumulada

XI f fr fr*100 fra%

1

2

3

4

5

TOTAL n =

OTRAS CLASES DE GRAFICAS

Gráfico de barras vertical simple. Para representar los datos en forma de barras verticales se toma un ancho proporcional y de acuerdo al número de datos y su altura va de acuerdo al valor de la ordenada, cada barra representa un valor único observado.

Gráfica de barras horizontal simple. Este tipo de gráficas se utiliza cuando en la base se necesita hacer explicaciones largas y detalladas, al graficar se obtiene la Figura 3

Gráfico de barras compuesto. Esta clase de gráficas tiene una similitud con las gráficas de barras simples verticales y horizontales Figura 4

TABLA 31. Datos ingreso de estudiantes a la institución B

No Año

Variable

Ingreso de estudiantes variable

Grado 8. Grado 9 Grado 10 Total

1 2000 164 91 100 355

2 2001 343 170 152 665

3 2002 44 82 75 201

4 2003 126 46 63 253

5 2004 62 87 94 243

6 2005 81 121 178 380

7 2006 105 131 215 451

8 2007 136 127 236 499

9 2008 173 179 300 653

TOTAL 1234 1034 1414 3682

Página 41 de 176

La Figura 1. Gráfico lineal

La Figura 1 indica que en el año de 2001 se ha obtenido un ingreso máximo, esto muestra la gráfica con su punto más alto, en tanto que en el año de 2002 el ingreso es mínimo.

0

100

200

300

400

500

600

700

2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008

AÑOS

ING

RE

SO

0

100

200

300

400

500

600

700

2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008

AÑOS

ING

RE

SO

Página 42 de 176

FIGURA 2. Barras verticales simples

FIGURA 3. Barras horizontales simples

Gráfico de barras compuesto. Esta clase de gráficas tiene una similitud con las gráficas de barras simples verticales y horizontales Figura 4

TABLA32. Datos ingreso de estudiantes a la institución B

No Año

Variable

Ingreso de estudiantes variable

Grado 8. Grado 9

1 2000 164 91

2 2001 343 170

3 2002 44 82

4 2003 126 46

5 2004 62 87

6 2005 81 121

7 2006 105 131

8 2007 136 127

9 2008 173 179

TOTAL 1234 1034

355

665

201

253

243380

451

499

653

0 200 400 600 800

2000

2002

2004

2006

2008

ING

RE

SO

AÑOS

Página 43 de 176

FIGURA 4. Barras compuestas horizontales

APLIQUEMOS LO APRENDIDO 2

Para las siguientes tablas de datos seguir los pasos adecuados para construir la tabla de distribución de frecuencias y dibujar el diagrama de barras y polígono de frecuencias.

1) TABLA: Información recolectada relacionada con

No Edad años (x) Peso kilogramos (x) Estatura cm (x)

Desorden Ordenados Desorden Ordenados Desorden Ordenados

1 14 45 140

2 18 55 165

3 18 55 165

4 17 55 160

5 16 50 155

6 16 50 155

7 16 50 155

8 16 50 150

9 17 55 160

10 17 55 160

11 17 55 160

12 17 55 160

13 15 50 150

14 15 45 150

15 15 45 145

16 15 50 145

17 15 50 150

18 14 45 140

19 14 60 140

20 18 60 165

G8; 164

G8; 343

G8; 44

G8; 126

G8; 62

G8; 81

G8; 105

G8; 136

G8; 173

G9; 91

G9; 170

G9; 82

G9; 46

G9; 87

G9; 121

G9; 131

G9; 127

G9; 179

0 50 100 150 200 250 300 350 400

2000

2001

2002

2003

2004

2005

2006

2007

2008A

ÑO

S

INGRESO

Página 44 de 176

2) Las calificaciones de un grupo de estudiantes de ESTADISTICA son los siguientes:

5 2 4 9 7 4 5 6 5 7 7 5 5 2 10 5 6 5 4 5 8 8 4 1 8 4 8 6 6 3 6 7 6 6 7 6 7 3 5 6

9 6 1 4 6 3 5 5 6 7 5 2 4 9 7 4 5 6 5 7 7 5 5 2 5 8 8 4 3 5 5 4 5 6 5 7 7 5 5 2

10 5 6 5 4 5 8 8 4 1 8 4 8 6 6 3 6 7 6 6 7 6 7 3 5 6 9 6 1 4 6 3 5 5 6 7 5 2 4 1

3) En una ciudad se registra el número de nacimientos ocurridos por semana durante un año.

16 14 12 18 18 16 10 16 17 15 12 18 19

12 17 11 19 16 19 18 18 16 14 12 17 10

13 11 17 12 15 19 11 15 19 14 11 16 11

17 18 10 15 13 12 13 19 11 17 13 12 18

4) Con los datos de la tabla siguiente formar grupos para organizar las tablas adecuadas para

construir las gráficas estudiadas hasta el momento utilizando los datos que se presentan a continuación, de acuerdo a las siguientes condiciones.

5) TABLA. Ingreso de estudiantes de la institución B

No Año Académico grado Electrónica grado

Computación

grado

10 11 10 11 10 11

1 2003 32 30 61 26 67 27

2 2004 49 32 70 51 126 49

3 2005 53 52 75 56 129 97

4 2006 87 49 73 54 153 83

5 2007 105 68 21 58 178 123

Total 326 231 400 225 653 379

a) Gráficas lineales y de barras para el grado 10 según el grado académico, electrónica y computación

b) Gráficas lineales y de barras para el grado 11 según el grado académico, electrónica y computación

c) Gráficas de barras para el grado 10 y 11 según el grado académico, electrónica y computación

d) Gráficas lineales y de barras para frecuencias acumuladas el grado 10 según el grado académico, electrónica y computación

e) Gráficas lineales y de barras para frecuencias acumuladas el grado 11 según el grado académico, electrónica y computación

f) Gráficas lineales y de barras para el grado 10 uniendo todos los grados

g) Gráficas lineales y de barras para el grado 11 uniendo todos los grados.

Página 45 de 176

6) *La tabla adjunta representa la información de un conjunto de estudiantes de secundaria

relacionando con la edad, peso y estatura; con los conocimientos que usted tiene será posible de presentar:

a) Una tabla de frecuencias para la edad, peso y estatura

b) Un histograma y polígono de frecuencias absoluta para cada caso

c) Las ojivas para frecuencias absolutas y relativas

TABLA: Información recolectada relacionada con



1 14 45 140

2 18 55 165 3 18 55 165

4 17 55 160

5 16 50 155

6 16 50 155

7 16 50 155 8 16 50 155

9 16 50 150

10 17 55 160

11 17 55 160

12 17 55 160

13 17 55 160 14 15 50 150

15 15 45 150 16 15 45 145

17 15 45 145 18 15 50 145

19 15 50 150

20 14 45 140 21 14 60 140

22 18 60 165

Página 46 de 176

3) DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS PARA DATOS AGRUPADOS

¿QUÉ HACER PARA AGRUPAR DATOS?

Recoger los datos: tomar datos mediante instrumentos de recolección de datos (encuesta, fichas de entrevista o de observación).

Ordenación de los datos: una vez recogidos los datos, los colocaremos en orden creciente o decreciente.

Rango: determinar la diferencia entre el mayor y menor de los datos. Se representa por R.

Agrupación de datos: agrupar los datos en intervalos de clases, dividiendo el rango entre el número de intervalos. Así, todas las clases deben tener la misma amplitud o longitud.

Respecto a cuántos intervalos tomar, no hay respuesta única, depende de los propósitos del estudio. Si el número de intervalos (k) es muy pequeño, se pierde información; mientras que,

si es muy grande, se introducen distorsiones y no es muy manejable. Existe una regla que nos puede dar una orientación, se llama Regla de Sturges, cuyo valor se halla con la siguiente

fórmula: K = 1 + 3,3 log N, donde N es el número de datos; además, cuando K resulte un número decimal, este valor debe aproximarse al número entero, de acuerdo con las reglas de aproximación.

OBSERVACIÓN COMPUESTA.

Este caso se presenta cuando las observaciones son numerosas y la variable (X i) toma

diferentes valores, entonces se recurre a agrupar los valores de la variable (Xi) en grupos llamados intervalos de clases y son utilizados para el proceso de cálculo. Ahora, los datos representativos son las marcas de clase a cambio de los observados. Por ejemplo, al aplicar una encuesta, para para determinar las edades de los componentes familiares; ver tabla 1

TABLA 1. Observaciones compuestas

No Grupos edad en años

Valores que se repiten frecuencia

Límite inferior (Li) Límite superior (Ls) fI

1 0 10 110

2 11 21 156

3 22 32 122

4 33 43 62

5 44 54 48

6 55 65 50

7 66 76 9

8 77 87 2

9 88 98 1

TOTAL n = 560

Página 47 de 176

INTERVALOS DE CLASE.

Son grupos pequeños de datos observados, utilizados para realizar cálculo cuando los datos

son numerosos, su conformación está sometida a diferentes reglas establecidas universalmente. El propósito es no perder información primaria en el cálculo y expresar correctamente las características de la variable. Algunos autores acostumbran y recomiendan

tomar el número de grupos o intervalos ( i ) entre 5 y 20, otros entre 5 y 15 con el objeto de no distorsionar la información, en éste caso se toma el primer caso. Como n intervalo de clase es el conjunto de todos los números comprendidos entre dos valores dados, llamados límites inferior y superior del intervalo. Se denota por (Li, Ls)

Para formar los grupos se debe:

Ordenar los datos de mayor a menor o de menor a mayor.

Buscar el rango o recorrido ( R ), que equivale a la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo de los datos ordenados de la muestra de trabajo.

R = Xmáx - Xmím

EJEMPLO. Al tomar la estatura a un grupo de estudiantes, se encontró que la máxima es de 175 cm y la mínima de 147 cm, su rango será:

R = 175 cm - 147 cm R = 28 cm

AMPLITUD DEL INTERVALO DE CLASE

La amplitud del grupo o del intervalo de clase ( C ) se encuentra mediante la siguiente expresión: Se desea hallar la amplitud de los intervalos para i = 5 e i = 20

i

RC donde i toma los valores de 5 y 20

Para i = 5 Para i = 20

6.55

28C Cm = 6 4.1

20

28C Cm

Estos dos resultados indican que se tiene 5 grupos o intervalos con amplitud de 5.6 = 6 y para 20 intervalos con amplitud de 1.4. Entonces la amplitud o tamaño del intervalo de clase que se

puede tomar estará comprendido entre 1.4 y 5.6, tomando números enteros 2, 3, 4 y 5. El tamaño del intervalo de clase ( C ) también se puede hallar tomando un promedio entre i = 5 e i = 20 mediante la siguiente expresión:

8

RC

Página 48 de 176

EJEMPLO: Para hallar la amplitud del intervalo de rango ( R ) 28, según la expresión del promedio será

8

28C = 3.5 = 4 Valor que está comprendido entre 1.4 y 5.6 cm.

Al tomar el peso a una muestra de 40 estudiantes se obtuvo los datos que están en la Tabla 2, las columnas 1 y 2 los datos se encuentran sin ordenar; en cambio en la Tabla 3, los datos están ordenados. Hallar el rango o recorrido: R = 168 - 139 = 29

Amplitud de intervalo para i = 5 será: Amplitud del intervalo para i = 20 será:

8.55

29C 45.1

20

29C

O sea que ( C ) puede tomar valores desde 1.45 hasta 5.8, que tomando números enteros serán 1, 2, 3, 4, 5 y 6 o tomando la expresión que utiliza el promedio se tendrá:

463.38

29C

TABLA 2. Datos observados.

Número de datos Estatura

Número de datos Estatura

X I XI

1 149 21 148

2 153 22 161

3 144 23 147

4 153 24 155

5 160 25 142

6 142 26 154

7 159 27 139

8 143 28 156

9 163 29 158

10 152 30 154

11 155 31 156

12 150 32 157

13 144 33 150

14 151 34 152

15 147 35 158

16 146 36 152

17 168 37 162

18 153 38 166

19 151 39 154

20 152 40 153

Después de calcular la amplitud del intervalo se procede a encontrar y formar los intervalos de

clase. Tomando como punto de partida el mínimo dato observado y sumando horizontalmente

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el tamaño del intervalo de clase menos la unidad (C - 1), así: 139 + (4 -1) = 139 + 3 = 142,

verticalmente se suma el verdadero valor de ( C ), cuyo valor es 4 así: 139 + 4 = 143, hasta llegar al tope del máximo valor, ver Tabla 4 primera columna. Con los datos ordenados de la Tabla 3 se procede a contabilizar los datos que se encuentran comprendidos en éstos

intervalos; estos resultados están en la columna 2 Tabla 4 que se denomina frecuencia absoluta fi.

TABLA. 3 Datos observados y ordenados

Número datos

Estatura ordenadas Número datos

Estatura ordenadas

XI XI

1 139 21 153

2 142 22 153

3 142 23 153

4 143 24 154

5 144 25 154

6 144 26 154

7 146 27 155

8 147 28 155

9 147 29 156

10 148 30 156

11 149 31 157

12 150 32 158

13 150 33 158

14 151 34 159

15 151 35 160

16 152 36 161

17 152 37 162

18 152 38 163

19 152 39 166

20 153 40 168

LÍMITES REALES DE CLASE.

El límite real inferior de clase se obtiene restando la mitad de la unidad ( 0.5 ). En datos agrupados el límite real superior de clase se obtiene sumando al límite superior de un intervalo de clase, la mitad de la unidad ( 0.5 )

MARCAS DE CLASE.

Cuando los datos son agrupados se acostumbra a buscar el punto medio de un intervalo o

clase que se denomina marcas de clase, esto debido a que los datos reales no se utilizan por ser numerosos. En la Tabla 4 las marcas de clase Xi se encuentran en la columna 4, resultados que se obtienen de sumar el límite inferior y superior, su resultado dividido entre 2. En forma general se puede expresar de la siguiente manera:

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2

Ls Li Xi

TABLA 4. Límites de clase y frecuencia absoluta y acumulada.

No Intervalos de clase

Li + c–1

Marcas de

clase

Frecuencia

absoluta

Frecuencia absoluta

acumulada

Li Ls Xi Fai Fai

1 139 142 140.5 3 3

2 143 146 144.5 4 7

3 147 150 148.5 6 13

4 151 154 152.5 13 26

5 155 158 156.5 7 33

6 159 162 160.5 4 37

7 163 166 164.5 2 39

8 167 170 168.5 1 40

n=40

Al igual que para los datos no agrupados, la frecuencia relativa de un dato es igual al cociente

entre su frecuencia absoluta y el número total de datos. La suma de todas las frecuencias relativas de los datos de un estudio tiene que ser igual a 1 o al ciento por ciento 100%. Para los resultados de la encuesta anterior, escribimos una nueva columna a la derecha de la tabla de frecuencias en la que vamos calculando cada una de las frecuencias relativas.

TABLA 5. Frecuencia absoluta, relativa y acumulada.


LI + c–1 Marcas de

clase Frecuencia

absoluta

Frecuencia absoluta

acumulada

Frecuencia relativa

Frecuencia relativa

acumulada

Li Ls Xi fa fai fri% fr%

1 139 142 140.5 3 3 7,50 7,50

2 143 146 144.5 4 7 10,00 17,50

3 147 150 148.5 6 13 15,00 32,50

4 151 154 152.5 13 26 32,50 65,00

5 155 158 156.5 7 33 17,50 82,50

6 159 162 160.5 4 37 10,00 92,50

7 163 166 164.5 2 39 5,00 97,50

8 167 170 168.5 1 40 2,50 100,00

n=40 100,00

N

ffr

i= ; 100*

N

ffr

i=

Página 51 de 176

TABLA 6. Límites reales de clase.


LI + c–1 Marcas de

clase Limites reales de

clase Frecuencia

absoluta

Li Ls Xi Lri Lrs fi

1 139 142 140.5 138.5 142.5 3

2 143 146 144.5 142.5 146.5 4

3 147 150 148.5 146.5 150.5 6

4 151 154 152.5 150.5 154.5 13

5 155 158 156.5 154.5 158.5 7

6 159 162 160.5 158.5 162.5 4

7 163 166 164.5 162.5 166.5 2

8 167 170 168.5 166.5 170.5 1

n=40


Para cada una de las actividades siguientes Construir la tabla de frecuencias y además dibujar el histograma y el polígono de frecuencias relativas y acumuladas. Para lo cual se debe seguir los siguientes eventos.

1) Encontrar la puntuación más alta (máximo) y la más baja (mínimo).

2) Encontrar el rango R. R = Valor máximo – Valor mínimo.

3) Encontrar la amplitud o intervalo de clase C = R/8, (8 intervalos aproximadamente) o utilizando la Regla de Sturges

4) Construir el histograma y polígono de frecuencias correspondiente.

Marcas de clase y frecuencia relativa;

Marcas de clase y frecuencia relativa acumulada;

Marcas de clase y frecuencia absoluta

Marcas de clase y frecuencia absoluta acumulada

1) TABLA: Información recolectada relacionada con


Desorden Ordenados Desorden Ordenados Desorden Ordenados 1 23 38 150

2 18 47 153

3 24 37 168

4 18 70 173

5 25 82 163

6 25 35 172

7 41 49 177

8 25 55 154

9 36 46 158

10 26 56 152

11 34 52 180

12 19 55 175

13 22 64 165

Página 52 de 176

14 22 54 163

15 30 50 153

16 26 66 154

17 28 67 153

18 23 52 175

19 18 51 159

20 35 68 161

21 42 55 158

22 38 42 177

23 39 52 176

24 40 41 156

25 25 82 165

26 20 61 178

27 27 68 159

28 21 71 173

29 24 80 162

30 22 79 160

31 29 77 154

32 31 51 159

33 32 78 169

34 26 76 159

35 18 75 170

36 27 60 182

37 28 49 150

38 22 45 166

39 22 60 160

40 29 63 154

41 31 64 185

42 32 69 165

43 30 49 150

44 40 77 152

45 25 42 171

46 25 55 154

47 36 46 158

48 28 58 159

49 40 63 156

50 25 64 165

51 27 60 178

52 22 49 159

53 29 45 173

54 31 60 162

55 32 63 160

56 30 64 154

57 40 69 159

56 25 49 169

59 25 77 159

60 36 42 170

61 40 55 171

62 25 46 156

2) Puntuación obtenida con base a 50 puntos por estudiantes de ESTADISTICA.

13 15 24 28 33 35 38 42 23 38 36 34 29 25 17 17 34 36 39 44

31 26 20 11 13 22 27 47 39 37 34 32 35 28 38 41 48 15 32 13

35 38 42 23 38 36 17 34 24 28 33 35 38 42 23 38 36 34 29 25

Página 53 de 176

17 17 34 36 39 44 31 26 20 11 13 22 27 47 39 37 34 32 35 28

38 41 47 39 37 34 32 35 28 38 41 48 15 32 13 35 34 29 25 17

36 39 44 31 26 20 31 26 20 11 13 22 27 47 39 17 34 36 39 44

36 34 29 25 17 17 34 36 39 44 13 15 24 28 33 35 38 42 23 38

2) Las medidas de estatura de un grupo de estudiantes son los siguientes.

175 156 172 159 161 185 186 192 179 163 164 170 164 167 168 174 172 168 176

167 169 182 170 169 167 170 162 172 171 174 171 155 171 171 170 157 170 173

174 168 166 172 172 158 159 163 163 168 174 175 150 154 175 160 175 177 178

169 165 180 166 184 183 174 173 162 185 189 169 173 171 173 174 168 166 172

158 159 163 163 175 177 178 180 169 165 172 158 164 167 168 174 172 168 176

170 164 167 168 174 172 168 176 166 170 175 156 172 159 161 185 186 192 179

3) En una prueba de inteligencia aplicada a unos alumnos dio como resultado los siguientes valores.

87 105 88 103 114 125 108 107 118 114 129 100 106 113 105 111 94 115 89 82

141 92 132 112 97 135 101 104 130 99 114 91 145 95 101 115 104 87 108 115

103 132 110 113 102 109 124 98 140 107 93 108 122 117 114 141 116 108 102 101

118 138 99 105 112 94 96 132 118 123 108 131 127 100 91 114 125 108 107 118

130 99 114 91 145 95 101 115 104 87 108 115 103 132 110 87 105 88 103 114

123 108 131 127 100 91 114 125 108 107 118 123 87 105 88 103 114 125 108 107

114 91 145 95 101 115 104 87 108 115 87 105 88 103 114 125 108 107 94 96

4) Tabla de datos observados de puntajes

375 354 376 387 444 411 424 360 282 500

416 358 317 363 365 241 404 422 241 288

328 263 402 254 362 424 440 317 299 279

408 348 315 385 481 500 438 310 482 446

333 382 300 347 421 368 365 387 358 440

294 390 249 418 315 230 273 379 359 263

385 481 279 408 317 299 424 440 254 362

402 288 328 422 241 291 404 363 365 358

411 424 360 282 500 328 263 402 254 362

317 500 416 360 282 411 424 387 444 354

376 375 420 289 252 405 359 252 399 269

405 359 252 399 269 416 358 317 363 365

387 444 411 424 360 424 440 317 299 279

5) Tabla de datos observado pesos en kilogramos

31 28 32 35 33 20 32 31 28 32 33 32

28 22 29 29 33 32 35 28 22 29 33 35

28 22 29 29 33 32 35 28 22 29 33 35

27 21 33 29 25 32 24 27 21 33 25 24

27 21 33 29 25 32 24 27 21 33 25 24

21 22 18 30 27 29 26 21 22 33 27 26

21 22 33 30 27 29 26 21 22 33 27 26

23 24 20 25 26 33 32 23 24 20 26 32

23 24 20 25 26 31 32 23 24 20 26 32

24 20 32 32 29 20 21 24 20 32 29 21

24 20 32 32 29 20 21 24 20 32 29 21

31 28 32 35 33 28 32 31 28 32 33 32

31 28 32 35 33 28 32 31 28 32 33 32

Página 54 de 176

28 22 29 29 33 22 35 28 22 29 33 35

28 22 29 29 33 22 35 28 22 29 33 35

27 21 33 29 25 21 24 27 21 33 25 24

33 32 31 28 26 24 32 23 24 20 26 32

6) Se ha aplicado un test a los empleados de una fábrica, obteniéndose la siguiente tabla:

No Intervalos

fi Li Ls

1 38 44 7

2 45 51 8

3 52 58 15

4 59 65 25

5 66 72 18

6 73 79 9

7 80 86 6

n=

7) Los pesos de los 65 empleados de una fábrica vienen dados por la siguiente tabla:

Peso 50 60 70 80 90 100 110

fi 8 10 16 14 10 5 2

8) Un dentista observa el número de caries en cada uno de los 100 niños de cierto colegio. La información obtenida esta resumida en la siguiente tabla: construir la tabla de frecuencias y sus graficas

No de caries 0 1 2 3 4

Fi 25 20 30 15 10

9) Estas son las notas obtenidas por los 100 candidatos que se presentaron a un concurso: Presenta datos en una tabla de intervalos de clase y frecuencias.

38 51 32 65 25 28 34 12 29 43

71 62 50 37 8 24 19 47 81 53

16 62 50 37 4 17 75 94 6 25

55 38 46 16 72 64 61 33 59 21

13 92 37 43 58 52 88 27 74 66

63 28 36 19 56 84 38 6 42 50

98 51 62 3 17 43 47 54 58 26

12 42 34 68 77 45 60 31 72 23

18 22 70 34 5 59 20 68 55 49

33 52 14 40 38 54 50 11 41 76

Página 55 de 176

10) Realizar las operaciones correspondientes y llenar los espacios en blanco para calcular:

No

Intervalos de clase

Marca de clase

Frecuencia absoluta


Frecuencia relativa

Frecuencia relativa

acumulada

Li Ls X f fa fr% fra%

1 30 34 20

2 35 30

3 35

4 40

5 45

6 39

7 30

8 20

9 10

n=

Página 56 de 176

4. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Datos no agrupados. En esta clase de estadística depende del número de observaciones

efectuadas y del número de valores distintos que toma la variable, considerando éstos factores, las estadísticas de una sola variable se dividen en observaciones simples y semicompuestas.

Observación simple. Este caso se presenta cuando la observación es única y los datos

obtenidos se consignan en filas y/o columnas ordenando de menor a mayor o de acuerdo como se obtuvieron los datos. Tomando los puntajes obtenidas por un estudiante (observación) en un semestre que corresponde a la variable Xi, datos de la Tabla 1.

TABLA 1: Observaciones simples

Asignatura Puntaje variable Xi

1 Biología 70

2 Estadística 75

3 Filosofía 80

4 Física 85

5 Matemáticas 90

6 Química 95

Observación semi-compuesta. Este caso hace relación cuando las observaciones son varias y la variable toma pocos valores y distintos. Los valores obtenidos se ubican en dos columnas,

en la primera los valores de la variable y en la segunda la frecuencia o número de veces que cada valor aparece repetido. Al consultar a 25 estudiantes (observación) sobre el número de hermanos y hermanas (variable Xi), se puede elaborar la Tabla 2:

TABLA 2: Observaciones semi-compuestas

Estudiante Observación

Hermano variable (Xi)

Estudiante Observación

Hermano variable (Xi)

1 3 14 4

2 4 15 3

3 2 16 2

4 3 17 3

5 2 18 2

6 2 19 3

7 4 20 2

8 5 21 3

9 2 22 3

10. 4 23 2

11 3 24 1

12 2 25 2

13 5

Página 57 de 176

MEDIA ARITMETICA O PROMEDIO

Es el más importante, útil y conocido de los promedios. Casi siempre se hace referencia a la

media aritmética diciendo simplemente la “media” o el “promedio”, pero cuando se habla de la media geométrica de la media armónica o de otro promedio, se agrega el adjetivo correspondiente.

Utilizaremos como símbolo a ---

X , para representar la media aritmética. La media aritmética de

una serie de valores es igual a la suma dichos valores y dividiendo el resultado entre el número de ellos. Es decir:

MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS.

Algunos autores consideran datos no agrupados cuando no hay intervalos de clase ni marcas

de clase o puntos medios. Los datos utilizados en los diferentes cálculos son los realmente observados, éstos poseen frecuencia fi igual a la unidad fi = 1 o mayor que la unidad fi > 1.

Matemáticamente la expresión para el cálculo de media o promedio se utiliza la siguiente expresión:

n

X=X

i--- ∑

---

X = Media aritmética

Xi = Datos observados

n. = Número de observaciones.

Si se desea saber la edad media de un grupo de 18 estudiantes que tienen las siguientes edades:

20, 17, 20, 16, 15, 17, 16, 19, 19, 15, 16, 18, 18, 23, 18 ,16, 17 y 16,

Uno de los procesos será.

20+17+20+16+15+17+16+19+19+15+16+18+18+23+18+16+17+16 = 316

n

XX

i

= 18

316= 17.6

En el segundo caso, el proceso se puede hacer menos extenso y su resultado será el mismo.

n

XfX

ii

fi = Frecuencia que corresponde a cada observación.

Página 58 de 176

15*2 + 16*5 + 17*3 +18*3 + 19*2 + 20*2 + 23*1 = 316

n

XfX

ii

= 18

316= 17.6

Con la siguiente tabla de datos hallar el valor de la media para cada variable.

TABLA 3: Información recolectada relacionada con



1 15 45 140

2 16 44 150

3 15 47 160

4 17 50 145

5 16 55 149

6 15 52 155

7 18 53 152

8 17 46 154

9 15 47 160

10 17 48 158

11 16 45 159

12 18 46 147

13 14 47 159

14 17 51 151

15 15 53 153

16 14 54 152

17 17 55 157

18 16 44 159

19 15 46 160

20 16 47 143

TABLA 4: Media aritmética para la edad

No Datos observados Frecuencia absoluta Producto

X f X*f

1

2

3

4

5

n = ii Xf =

Página 59 de 176

n

XfX

ii

* Hallar la media aritmética para el peso y la estatura.

DATOS AGRUPADOS

Es una observación compuesta en donde las observaciones son numerosas y la variable (Xi) toma diferentes valores, entonces se recurre a agrupar los valores de la variable (Xi) en grupos

pequeños llamados intervalos de clases y son utilizados para el proceso de cálculo. Ahora, los datos representativos son las marcas de clase a cambio de los observados y datos que reciben el nombre, de datos agrupados. Un grupo de estudiantes de una institución educativa de una

ciudad B aplicaron una encuesta a una muestra de casas, para determinar las edades de los componentes familiares; el trabajo produjo resultados numerosos por lo cual se procedió a agrupar datos y elaborar la Tabla 5

TABLA 5: Observaciones compuestas

No Grupos edad en años

Valores que se repiten frecuencia

Límite inferior (Li) Límite superior (Ls) fI

1 0 10 110

2 11 21 156

3 22 32 122

4 33 43 62

5 44 54 48

6 55 65 50

7 66 76 9

8 77 87 2

9 88 98 1

TOTAL n = 560

La media aritmética o simplemente la media de un conjunto de datos, se calcula como la suma de los valores de la observación de una muestra, población o censo dividida por el número de

datos u observaciones de una muestra o población. La media aritmética puede ser desarrollada tanto para datos agrupados y no agrupados.

LA MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

Se consideran datos agrupados aquellos que se encuentran en tablas de frecuencias expresados en intervalos de clase y se toma como representativo de ellos las marcas de clase (Xi) o puntos medios de cada intervalo y no sus valores reales.

Xi = Para datos agrupados se toma las marcas de clase.

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fi = Frecuencia absoluta de un intervalo.

n. = Número total de datos

n

fXX

i*i

Encontrar la media de las edades utilizando la expresión para datos agrupados, en estos casos se debe encontrar primeramente sus intervalos de clase siguiendo los pasos que se describen a continuación, su resultado se encuentra en la Tabla 6

Primero. Ordenar y hallar las frecuencias respectivas

Segundo. Hallar el recorrido R y determinar la amplitud del intervalo (c).

R = Xmax - Xmín: R = 23 - 14 = 9 R = 9

Tomando para un mínimo de intervalos i = 5, su amplitud (c) será:

1.8=5

9=

i

R=c

TABLA 6: Frecuencia absoluta


Xi fi

1. 14 1

2. 15 5

3. 16 10

4. 17 8

5. 18 8

6. 19 3

7. 20 3

8. 21 0

9. 22 1

10. 23 1

n = 40

Para un máximo de intervalos i = 20, su amplitud (c) será:

0.45=20

9=

i

R=c

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O sea, que la amplitud del intervalo estará comprendida entre 0.45 y 1.8, que bien pueden ser 1 y 2 aproximando. En éste caso se tomará c = 2

Tercero. Elaborar tablas con sus intervalos, productos de frecuencia y marcas de clase.

Cuarto. Hallar la media aritmética.

n

fXX

i*i

35.1740

694

X = 17 años cumplidos

TABLA 7: Marcas de clase y frecuencias

No Intervalo de clase Marcas de Clase Frecuencia Producto

Li Ls Xi fi Xi*fi

1. 14 15 14.5 6 87.0

2. 16 17 16.5 18 297.0

3. 18 19 18.5 11 203.5

4. 20 21 20.5 3 61.5

5. 22 23 22.5 2 45.0

n = 40 Σ X i* fi = 694

La información de un grupo de estudiantes de una institución permite trabajar las siguientes tablas estadísticas.

TABLA 8: Ordenar la información recolectada relacionada con



1 23 38 150

2 18 47 153

3 24 37 168

4 18 70 173

5 25 82 163

6 25 35 172

7 41 49 177

8 25 55 154

9 36 46 158

10 26 56 152

11 34 52 180

12 19 55 175

13 22 64 165

14 22 54 163

15 30 50 153

16 26 66 154

Página 62 de 176

17 28 67 153

18 23 52 175

19 18 51 159

20 35 68 161

21 42 55 158

22 38 42 177

23 39 52 176

24 40 41 156

25 25 82 165

26 20 61 178

27 27 68 159

28 21 71 173

29 24 80 162

30 22 79 160

31 29 77 154

32 31 51 159

33 32 78 169

34 26 76 159

35 18 75 170

36 27 60 182

37 28 49 150

38 22 45 166

39 22 60 160

40 29 63 154

41 31 64 185

42 32 69 165

43 30 49 150

44 40 77 152

45 25 42 171

46 25 55 154

47 36 46 158

48 28 58 159

49 40 63 156

50 25 64 165

51 27 60 178

52 22 49 159

53 29 45 173

54 31 60 162

55 32 63 160

56 30 64 154

57 40 69 159

56 25 49 169

59 25 77 159

60 36 42 170

61 40 55 171

62 25 46 156

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TABLA 9: La media aritmética para la edad

No Intervalos de clase Marcas de clase

Frecuencia absoluta

Producto

Li Ls X f X*f

1

2

3

4

5

6

7

8

n = fX

*∑ =

n

XfX

ii

*Hallar la media aritmética para el peso y la estatura considerando datos agrupados.


Hallar media para cada uno de los siguientes:

1) A continuación, se registra los puntajes de conjunto de personas obtenidos con base a 100 puntos.

38 51 32 65 25 28 34 12 29 43

71 62 50 37 18 24 19 47 81 53

16 62 50 37 14 17 75 94 16 25

55 38 46 16 72 64 61 33 59 21

13 92 37 43 58 52 88 27 74 66

63 28 36 19 56 84 38 16 42 50

38 46 16 72 64 61 33 59 68 77

98 51 62 13 17 43 47 54 58 26

12 42 34 68 77 45 60 31 72 23

18 22 70 34 15 59 20 68 55 49

33 52 14 40 38 54 50 11 41 76


13 15 24 28 33 35 38 42 23 38 36 34 29 25 17 17 34 36 39 44

31 26 20 11 13 22 27 47 39 37 34 32 35 28 38 41 48 15 32 13

35 38 42 23 38 36 17 34 24 28 33 35 38 42 23 38 36 34 29 25

17 17 34 36 39 44 31 26 20 11 13 22 27 47 39 37 34 32 35 28

38 41 47 39 37 34 32 35 28 38 41 48 15 32 13 35 34 29 25 17

36 39 44 31 26 20 31 26 20 11 13 22 27 47 39 17 34 36 39 44

36 34 29 25 17 17 34 36 39 44 13 15 24 28 33 35 38 42 23 38

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175 156 172 159 161 185 186 192 179 163 164 170 164 167 168 174 172 168 176

167 169 182 170 169 167 170 162 172 171 174 171 155 171 171 170 157 170 173

174 168 166 172 172 158 159 163 163 168 174 175 150 154 175 160 175 177 178

169 165 180 166 184 183 174 173 162 185 189 169 173 171 173 174 168 166 172

158 159 163 163 175 177 178 180 169 165 172 158 164 167 168 174 172 168 176

170 164 167 168 174 172 168 176 166 170 175 156 172 159 161 185 186 192 179


87 105 88 103 114 125 108 107 118 114 129 100 106 113 105 111 94 115 89 82

141 92 132 112 97 135 101 104 130 99 114 91 145 95 101 115 104 87 108 115

103 132 110 113 102 109 124 98 140 107 93 108 122 117 114 141 116 108 102 101

118 138 99 105 112 94 96 132 118 123 108 131 127 100 91 114 125 108 107 118

130 99 114 91 145 95 101 115 104 87 108 115 103 132 110 87 105 88 103 114

123 108 131 127 100 91 114 125 108 107 118 123 87 105 88 103 114 125 108 107

114 91 145 95 101 115 104 87 108 115 87 105 88 103 114 125 108 107 94 96


375 354 376 387 444 411 424 360 282 500

416 358 317 363 365 241 404 422 241 288

328 263 402 254 362 424 440 317 299 279

408 348 315 385 481 500 438 310 482 446

333 382 300 347 421 368 365 387 358 440

294 390 249 418 315 230 273 379 359 263

385 481 279 408 317 299 424 440 254 362

402 288 328 422 241 291 404 363 365 358

411 424 360 282 500 328 263 402 254 362

317 500 416 360 282 411 424 387 444 354

376 375 420 289 252 405 359 252 399 269

405 359 252 399 269 416 358 317 363 365

387 444 411 424 360 424 440 317 299 279

6) Tabla de datos observados

31 28 32 35 33 20 32 31 28 32 33 32

28 22 29 29 33 32 35 28 22 29 33 35

28 22 29 29 33 32 35 28 22 29 33 35

27 21 33 29 25 32 24 27 21 33 25 24

27 21 33 29 25 32 24 27 21 33 25 24

21 22 18 30 27 29 26 21 22 33 27 26

21 22 33 30 27 29 26 21 22 33 27 26

23 24 20 25 26 33 32 23 24 20 26 32

23 24 20 25 26 31 32 23 24 20 26 32

24 20 32 32 29 20 21 24 20 32 29 21

24 20 32 32 29 20 21 24 20 32 29 21

31 28 32 35 33 28 32 31 28 32 33 32

Página 65 de 176

31 28 32 35 33 28 32 31 28 32 33 32

28 22 29 29 33 22 35 28 22 29 33 35

28 22 29 29 33 22 35 28 22 29 33 35

27 21 33 29 25 21 24 27 21 33 25 24

33 32 31 28 26 24 32 23 24 20 26 32

OTRAS MEDIAS O PROMEDIOS

Si se tiene un conjunto de “n” mediciones, X1, X2, X3, .....Xn, existen varias formas de describir su PROMEDIO o su centro o su punto medio, con el fin de representar adecuadamente dicho conjunto.

Los promedios más conocidos son: MEDIA ARITMÉTICA, MEDIA GEOMÉTRICA, MEDIA

ARMÓNICA. Existen otras medidas de carácter posicional como la MEDIANA, la MODA y los CUANTILES, que se verán a lo largo de este curso de estadística.

MEDIA GEOMÉTRICA

Además de las anteriores existen otras medidas de tendencia central que se utilizan en ciertas ocasiones tanto en el comercio y la economía, entre las más importantes están la media geométrica, armónica y otras.

Método para datos no agrupados. La media geométrica de n observaciones se define como la raíz de índice n del producto de todas las observaciones se simboliza con la letra G y su expresión es la siguiente:

nnXXXXG *...*** 321

Dónde:

G = Media geométrica.

n = Número de observaciones.

X1, X2, X3, ..., Valor de cada observación.

EJEMPLO. Si se tiene cinco puntajes 65, 70, 80, 50 y 85 significa que el número de observaciones es cinco (n=5), por lo tanto, la media geométrica será:

9.6845.68154700000085*50*80*70*65 55 G

El resultado anterior también se puede encontrar utilizando logaritmos, así:

)*...***(1

321 nXXXXLogn

LogG

Según los datos anteriores el resultado será:

037898063.1)189490314.9(5

1)1547000000(

5

1)85*50.*80*70*65(

5

1 LogLogLogG G

= Antilog( 037898063.1 )

G = 68.84 = 69

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Si se desea hallar la media aritmética, ésta será:

705

350

5

8550807065

X

Comparando los dos resultados, se tiene: 69 < 70; En forma general se puede afirmar que:

XG

Método para datos agrupados. Si los valores X1, X2, X3, X4, ..., Xn, se representan con sus

correspondientes frecuencias f1, f2, f3, f4, ..., fn y además con intervalos de clase, entonces para hallar la media geométrica G se utiliza la siguiente expresión:

fnfffXnXXXG ...**

3

3

2

2

1

1

Hallar la media geométrica, en donde Xi pertenece a las marcas de clase y f i a la frecuencia absoluta, además utilizando los datos de la Tabla.1. Tomando el resultado de la columna 3 se puede llevar a la expresión para calcular G, así:

TABLA 1: Tabla para calcular la media geométrica

No Marcas de clase

Frecuencia absoluta

Producto Potencia

Xi fi Xi* fi (xi)fi

1 14.5 6 87 9294114.39

2 16.5 18 297 8.21695665 E21

3 18.5 11 203.5 8.68738387 E13

4 20.5 3 61.5 8615.125

5 22.5 2 45 506.25

TOTAL n = 40 694 2.8935743 E49

24.1710*8935743.240 49 G

Como la media aritmética es,

35.1740

694

n

fi *Xi

X Entonces:

G<

X o sea 17.24 < 17.35

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Para el cálculo de G también se puede por medio de logaritmos y se utiliza la siguiente expresión:

))*(1

log( ii LogXfn

AntiG

MEDIA ARMONICA H

Cuando se utiliza el recíproco de la media aritmética de los recíprocos de los valores se denomina media armónica y se utiliza cuando se desea hallar la media de datos inversamente proporcionales entre sí, ya sea para datos no agrupados y agrupados.

Método para datos no agrupados. Para este caso se utiliza la siguiente expresión matemática:

iX

nH

1

Dónde:


Xi = Datos observados.

Se desea hallar la media armónica para los puntajes de 50, 65, 70, 80 y 85, para esto n=5.

63.67626.67073935035.0

5

85

1

80

1

70

1

65

1

50

1

5

1

iX

nH

Comparando la media aritmética, la media geométrica y la media armónica encontrada se tiene:

67.6 < 68.8 < 70 En general será:

XGH

Método para datos agrupados. Cuando se utiliza datos agrupados o sea aquellos que están expresados por medio de una distribución de frecuencias e intervalos de clase y se desea hallar la media armónica se utiliza la siguiente expresión:

i

i

X

f

nH

Dónde:

H = Media armónica para datos agrupados.

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fi = Frecuencia absoluta.

Xi = Marcas de clase.

Tomando los datos de la Tabla 2 se puede hallar la media armónica. Utilizando el resultado de

las columnas 2 y 3 con el número de observaciones n = 40 de la Tabla 2 y reemplazando se tiene:

92.163345.2

40

i

i

X

f

nH

TABLA 2: Permite calcular el cociente

No

Marcas de clase Frecuencia absoluta Cociente

Xi fi Xi

fi

1 14.5 6 0.41379103

2 16.5 18 1.09090909

3 18.5 11 0.59459459

4 20.5 3 0.14634146

5 22.5 2 0.08888888

n = 40

i

i

X

f =2.33452714

EJEMPLO. Se necesita repellar 7440 metros cuadrados en una determinada construcción,

varios obreros realizan 3720 metros cuadrados, con un rendimiento de 100 metros por día; si el trabajo se necesita lo más rápido posible, entonces los 372 metros cuadrados restantes los mismos trabajadores realizan 120 metros cuadrados por día. El maestro de obra desea saber cuál es el promedio de metro cuadrado por día.

Total, de 7440 metros cuadrados.

Primera etapa 3720 metros cuadrados con un trabajo promedio de 100 metros cuadrados por día.

La segunda etapa 3720 metros cuadrados con un trabajo promedio de 120 metros cuadrados por día.

Para calcular el tiempo total t utilizado en realizar todo el trabajo será:

días 2.37100

días 37201 t

días 31120

días3202 t

t = t1 + t2

t = 37. 2 + 31 = 68.2 días

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Para hallar el promedio de metros cuadrados realizados por día se utiliza la media armónica, así:

dia/cuadrados.m 090.109220

24000

120

1

100

1

2

H

H = 109.090 metros cuadrados/día Comprobando para el total de metros cuadrados = t*H se obtiene: = 68.2 días*109.090m/día = 744m

MEDIA CUADRATICA C

Esta media se define como la raíz cuadrada de la media aritmética de los cuadrados de la variable, la media cuadrática se puede calcular tanto para datos no agrupados y agrupados.

Método para datos no agrupados. Su fórmula matemática es la siguiente:

n

XXXXC n

22

3

2

2

2

1 ... =

n

X i

2

Dónde:

C = Media cuadrática.


Xi = Observaciones.

Para hallar la media cuadrática de los valores siguientes 3, 4, 5, -6, -1, -3 y 2 se procede así:

7

2)3()1()6(543 2222222

C7

100=3.78

Generalmente se utiliza la media cuadrática cuando se desea hallar la media de valores

positivos y negativos; se presenta cuando se trabaja con las desviaciones, debido a que se pueden dar valores positivos y negativos que al sumar dan como resultado igual cero.

Método para datos agrupados. Si se utiliza datos agrupados como se ha descrito anteriormente, la media cuadrática se la expresa por medio de la siguiente expresión matemática:

Xi: Representa marcas de clase

fi: La frecuencia absoluta.

n

fXfXfXfXC nn *...***

2

3

2

32

2

21

2

1 =

n

fX ii *2

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Con los datos observados que se presentan a continuación realizar y discutir con sus

compañeros los resultados finales y hacer sus correspondientes interpretaciones en cada uno de los siguientes casos:

Hallar la media aritmética para datos agrupados y no agrupados

Hallar la media geométrica para datos agrupados y no agrupados

Hallar la media armónica para datos agrupados y no agrupados

Hallar la media cuadrática para datos agrupados y no agrupados

Comparar los resultados de la media aritmética, media geométrica, media armónica y media cuadrática.

La medida de longitud de un tablero (mm):

3000, 3015, 2995, 2855, 3040, 3050, 3020, 2955, 2985, 2995, 3015, 3120, 3150, 3100, 3115, 3130, 3125, 2855, 2985 y 3070

Medidas de peso (Kg):

40, 45, 60, 42, 51, 42, 44, 59, 55, 48, 46, 53, 57, 50, 58, 49, 43, 41, 54, 59, 48, 51, 56, 53, 50, 49, 45, 47, 42 y 59

MEDIANA

La mediana es una medida de posición de tendencia central. Se simboliza por Me. La mediana

de un conjunto de datos es aquel valor que ocupa la posición central, previa ordenación de los datos en forma ascendente o descendente; por lo cual podemos decir que por encima del valor de la mediana se encuentra el 50% de los datos y por debajo del valor de la mediana se

encuentra el otro 50% de los datos del conjunto. Según lo anterior, veamos cual será el valor de la mediana para datos no agrupados en una tabla de frecuencias.

Si todos los valores de una determinada variable son ordenados en sentido creciente o decreciente; se dice que la mediana es aquella observación, dato o valor que ocupa el punto

central o divide a una muestra en dos partes iguales. La mediana se la puede calcular tanto para datos no agrupados como para agrupados.

LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS

En este caso los datos no se encuentran expresados mediante una distribución de frecuencias, se puede ordenar con facilidad en forma creciente o decreciente las observaciones que pueden dar dos casos, uno para datos impares y otro para los pares.

EJEMPLO. Considerando que un estudiante tiene los siguientes puntajes en una determinada actividad: 40, 80, 90, 70 y 100; hallar el puntaje mediano

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TABLA 1: Ordenamiento creciente y decreciente de datos

Lugar X1. X2. X3. X4 X5

Creciente 40 70 80 90 100

Decreciente 100 90 80 70 40

Al ordenar los datos en forma creciente o decreciente se puede tomar la mediana como el dato

central que divide a la muestra en dos partes iguales, que en este caso el valor que ocupa el tercer lugar con un valor de 80 es la mediana. Este resultado se puede encontrar mediante:

2

1+n=PMe

PMe = Posición de la mediana.


EJEMPLO Considerando los datos de la tabla en donde n es igual a los cinco puntajes, se tendrá el siguiente resultado:

=2

1+n=PMe

2

15 =3

El número 3 indica la posición de la mediana, que se halla en tercer lugar a partir de izquierda

hacia la derecha o de derecha hacia la izquierda y pertenece a la puntuación mediana, Me = 80

EJEMPLO. Tomando otro caso, en donde se supone que un estudiante llegó a obtener los puntajes que van de 1 a 100, éstas son: 100, 90, 80, 60, 40 y 70. En este caso los datos son

pares, entonces la mediana se la puede encontrar por medio de una fórmula, que con anterioridad se ha ordenado los datos. Para hallar la mediana primero se calcula la posición.

TABLA 2: Ordenamiento datos pares

Lugar X1 X2 X3 X4 X5 X6

Creciente 40 60 70 80 90 100

Decreciente 100 90 80 70 60 40

2

1+n=PMe =

2

16 =3.5

PMe = 3.5 Posición de la mediana.

Esto indica que el valor de la mediana estará entre el tercero y cuarto lugar, que de acuerdo a

la tabla anterior corresponde a los puntajes de 70. y 80., conociendo éstos datos se procede a encontrar el valor de la mediana:

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2

8070Me =

2

150= 75

Me = 75 Puntaje mediano.


Hallar mediana para cada uno de los siguientes casos (datos no agrupados):


No Edad años (x) Peso kilogramos (x) Estatura cm (x) 1 15 45 140

2 16 44 150

3 15 47 160

4 17 50 145

5 16 55 149

6 15 52 155

7 18 53 152

8 17 46 154

9 15 47 160

10 17 48 158

11 16 45 159

12 18 46 147

13 14 47 159

14 17 51 151

15 15 53 153

16 14 54 152

17 17 55 157

18 16 44 159

19 15 46 160

20 16 47 143

Tabla para calcular la mediana para la edad

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Tabla para calcular la mediana para el peso

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Tabla para calcular la mediana para la estatura

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

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Las calificaciones de un grupo de alumnos son los siguientes:

5 2 4 9 7 4 5 6 5 7 7 5 5 2 10 5 6 5 4

8 8 4 5 8 4 8 6 6 3 6 7 6 6 7 6 7 3 5

9 6 1 4 6 3 5 5 6 7 5 2 4, 9 7 4 5 6 5

7 5 5 2 5 8 8 4 3 5 5 4 5 6 5 7 7 5 5

10 5 6 5 4 5 8 8 4 1 8 4 8 6 6 3 6 7 6

7 6 7 3 5 6 9 6 1 4 6 3 5 5 6 7 5 2 4

Número de nacimientos ocurridos durante un año.

16 14 12 18 18 16 10 12 16 17 15 12 18 19

12 17 11 19 16 19 18 19 18 16 14 12 17 10

13 11 17 12 15 19 11 16 15 19 14 11 16 11

17 18 10 15 13 12 13 11 19 11 17 13 12 18

LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS

MÉDIANA PARA DATOS AGRUPADOS. Si los datos son numerosos y están expresados

mediante intervalos de clase junto con una distribución de frecuencias, la mediana se puede calcular matemáticamente por medio de:

fme

faa)-2

nc(

+Lri=Me

Dónde:

Me = Mediana.

c = Amplitud de intervalo.

n/2 = Posición de la mediana.


fme = Frecuencia de la clase mediana.

Lri = Límite real inferior de la clase mediana.

faa = Frecuencia acumulada del intervalo anterior.

EJEMPLO. En una encuesta realizada por unos estudiantes sobre los componentes familiares en 102 casas resultaron los intervalos que se encuentran en la tabla siguiente y de ella se tiene:

n = 561

PMe = 561/2 = 280.5

PMe = 280.5 posición de la mediana.

De acuerdo a la posición de la mediana, ésta se encontrará entre las frecuencias acumuladas 267 y 389, que pertenecen al intervalo 21.5 y 32.5, de donde:

PMe = 561/2 = 280.5 Lri = 21.5 faa = 267 fme = 122 c = 11

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No Intervalo de clase

Limite real de clase

Frecuencia absoluta


Li Ls Lri Lrs f fa

1 0 10 -0.5 10.5 110 110

2 11 21 10.5 21.5 157 267

3 22 32 21.5 32.5 122 389

4 33 43 32.5 43.5 62 451

5 44 54 43.5 54.5 48 499

6 55 65 54.5 65.5 50 549

7 66 76 65.5 76.5 9 558

8 77 87 76.5 87.5 2 560

9 88 98 87.5 98.5 1 561

n = 561

Si se reemplaza en la expresión para la mediana:

fme

faa)-2

nc(

+Lri=Me

71.22122

5.148

122

)2675.280(115.21

Me

Me = 23 Años cumplidos.

Este resultado indica que el 50% de 561 personas tiene edad menor a 22.71 años y el otro 50% corresponde a edades mayores a 22.71 años y menores de 98

Con la siguiente información hallar la mediana para cada una de las variables, considerando como datos agrupados.

Tabla 2: Información recolectada relacionada con



1 23 38 150

2 18 47 153

3 24 37 168

4 18 70 173

5 25 82 163

6 25 35 172

7 41 49 177

8 25 55 154

9 36 46 158

10 26 56 152

11 34 52 180

12 19 55 175

13 22 64 165

Página 75 de 176

14 22 54 163

15 30 50 153

16 26 66 154

17 28 67 153

18 23 52 175

19 18 51 159

20 35 68 161

21 42 55 158

22 38 42 177

23 39 52 176

24 40 41 156

25 25 82 165

26 20 61 178

27 27 68 159

28 21 71 173

29 24 80 162

30 22 79 160

31 29 77 154

32 31 51 159

33 32 78 169

34 26 76 159

35 18 75 170

36 27 60 182

37 28 49 150

38 22 45 166

39 22 60 160

40 29 63 154

41 31 64 185

42 32 69 165

43 30 49 150

44 40 77 152

45 25 42 171

46 25 55 154

47 36 46 158

48 28 58 159

49 40 63 156

50 25 64 165

51 27 60 178

52 22 49 159

53 29 45 173

54 31 60 162

55 32 63 160

56 30 64 154

57 40 69 159

56 25 49 169

59 25 77 159

60 36 42 170

61 40 55 171

62 25 46 156

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Procedimiento:

Valor mínimo

Valor máximo

Rango

Amplitud del intervalo.

TABLA 3: Que permite calcular la mediana para la edad

No

Intervalo de clase

Limite real de clase Frecuencia

absoluta Frecuencia acumulada

Li Ls Lri Lrs f fa

1

2

3

4

5

6

7

8

9

n=

PMe = Lri = faa = fme = c =

fme

faa)-2

nc(

+Lri=Me

*Hallar la mediana para el peso y estatura


Hallar mediana para cada uno de los siguientes casos:


38 51 32 65 25 28 34 12 29 43

71 62 50 37 18 24 19 47 81 53

16 62 50 37 14 17 75 94 16 25

55 38 46 16 72 64 61 33 59 21

13 92 37 43 58 52 88 27 74 66

63 28 36 19 56 84 38 16 42 50

38 46 16 72 64 61 33 59 68 77

98 51 62 13 17 43 47 54 58 26

Página 77 de 176

12 42 34 68 77 45 60 31 72 23

18 22 70 34 15 59 20 68 55 49

33 52 14 40 38 54 50 11 41 76


13 15 24 28 33 35 38 42 23 38 36 34 29 25 17 17 34 36 39 44

31 26 20 11 13 22 27 47 39 37 34 32 35 28 38 41 48 15 32 13

35 38 42 23 38 36 17 34 24 28 33 35 38 42 23 38 36 34 29 25

17 17 34 36 39 44 31 26 20 11 13 22 27 47 39 37 34 32 35 28

38 41 47 39 37 34 32 35 28 38 41 48 15 32 13 35 34 29 25 17

36 39 44 31 26 20 31 26 20 11 13 22 27 47 39 17 34 36 39 44

36 34 29 25 17 17 34 36 39 44 13 15 24 28 33 35 38 42 23 38


175 156 172 159 161 185 186 192 179 163 164 170 164 167 168 174 172 168 176

167 169 182 170 169 167 170 162 172 171 174 171 155 171 171 170 157 170 173

174 168 166 172 172 158 159 163 163 168 174 175 150 154 175 160 175 177 178

169 165 180 166 184 183 174 173 162 185 189 169 173 171 173 174 168 166 172

158 159 163 163 175 177 178 180 169 165 172 158 164 167 168 174 172 168 176

170 164 167 168 174 172 168 176 166 170 175 156 172 159 161 185 186 192 179


87 105 88 103 114 125 108 107 118 114 129 100 106 113 105 111 94 115 89 82

141 92 132 112 97 135 101 104 130 99 114 91 145 95 101 115 104 87 108 115

103 132 110 113 102 109 124 98 140 107 93 108 122 117 114 141 116 108 102 101

118 138 99 105 112 94 96 132 118 123 108 131 127 100 91 114 125 108 107 118

130 99 114 91 145 95 101 115 104 87 108 115 103 132 110 87 105 88 103 114

123 108 131 127 100 91 114 125 108 107 118 123 87 105 88 103 114 125 108 107

114 91 145 95 101 115 104 87 108 115 87 105 88 103 114 125 108 107 94 96


375 354 376 387 444 411 424 360 282 500

416 358 317 363 365 241 404 422 241 288 328 263 402 254 362 424 440 317 299 279

408 348 315 385 481 500 438 310 482 446 333 382 300 347 421 368 365 387 358 440 294 390 249 418 315 230 273 379 359 263

385 481 279 408 317 299 424 440 254 362 402 288 328 422 241 291 404 363 365 358

411 424 360 282 500 328 263 402 254 362 317 500 416 360 282 411 424 387 444 354

376 375 420 289 252 405 359 252 399 269 405 359 252 399 269 416 358 317 363 365

387 444 411 424 360 424 440 317 299 279


31 28 32 35 33 20 32 31 28 32 33 32

28 22 29 29 33 32 35 28 22 29 33 35

28 22 29 29 33 32 35 28 22 29 33 35

27 21 33 29 25 32 24 27 21 33 25 24

Página 78 de 176

27 21 33 29 25 32 24 27 21 33 25 24

21 22 18 30 27 29 26 21 22 33 27 26

21 22 33 30 27 29 26 21 22 33 27 26

23 24 20 25 26 33 32 23 24 20 26 32

23 24 20 25 26 31 32 23 24 20 26 32

24 20 32 32 29 20 21 24 20 32 29 21

24 20 32 32 29 20 21 24 20 32 29 21

31 28 32 35 33 28 32 31 28 32 33 32

31 28 32 35 33 28 32 31 28 32 33 32

28 22 29 29 33 22 35 28 22 29 33 35

28 22 29 29 33 22 35 28 22 29 33 35

27 21 33 29 25 21 24 27 21 33 25 24

33 32 31 28 26 24 32 23 24 20 26 32

LOS CUARTILES Q

Son éstas, otras medidas de posición de la familia de la mediana, que dividen la distribución en cuatro partes iguales o cuatro subconjuntos de igual tamaño Q1, Q2, Q3 previa ordenación de los datos de forma ascendente o distribución de frecuencias en intervalos.

CUARTILES PARA DATOS NO AGRUPADOS

Sus procesos de cálculo son similares a la mediana en que también subdividen una distribución

de mediciones de acuerdo con la proporción de frecuencias observadas. Mientas que la mediana divide a una distribución en mitades, los cuartiles (Q) la dividen en cuartos, los deciles (D) la dividen en décimos y los puntos percentiles (C) la dividen en centésimos.

Colectivamente, cuartiles, deciles y percentiles se denominan cuantiles. Puesto que sirven

para ubicar datos particulares dentro de ciertas porciones de una distribución de datos, toman el nombre de medidas de posición.

1) CUARTILES. Son cada uno de los 3 valores Q1, Q2, Q3 que dividen a la distribución de los datos en 4 partes iguales.

EJEMPLO. Encuentre los cuartiles dada la siguiente distribución de datos (edades en años): 6, 9, 9, 12, 12, 12, 15 y 17

Solución:

Tabla 1: Para calcular los cuartiles se debe se ordenar los datos de menor a mayor.

X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8

6 9 9 12 12 12 15 17

En segundo lugar, hallar la posición de los cuartiles utilizando la siguiente expresión:

4

2+n.j=PQ j

Donde

n = número total de datos.

j = número del cuartil

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Posición cuartil 1 (j = 1) y n = 8

2.5=4

10=

4

2+18=

4

2+1n=P

**

Q1

La posición 2,5 dice que el cuartil 1 está ubicado al 25% del trayecto comprendido entre el segundo dato, que es 9 y el tercer dato que es 9, es decir, Q1.


4.5=4

18=

4

2+28=

4

2+2n=P

**

Q2

La posición 4,5 dice que el cuartil 2 está ubicado al 50% del trayecto comprendido entre el cuarto dato, que es 12 y el quinto dato que también es 12, es decir, Q2.


6.5=4

26=

4

2+38=

4

2+3n=P

**

Q3

La posición 6,5 dice que el cuartil 3 está ubicado al 75% del trayecto comprendido entre el sexto dato, que es 12 y el séptimo dato que es 15, es decir, Q3

En tercer lugar, hallar los cuartiles correspondientes.

Cuartil 1. Como la posición del cuartil 1 es 2,5, su valor (Q1) es el promedio de los datos segundo y tercero

9=2

9+9=

2

X+X=Q

32

1

Este resultado indica que el 25% de los datos es inferior a 9 y mayor que 6.

Cuartil 2. Como la posición del cuartil 2 es 4,5, su valor (Q2) es el promedio de los datos cuarto y quinto.

12=2

12+12=

2

X+X=Q

54

2


Cuartil 3. Como la posición del cuartil 3 es 6,5, su valor (Q3) es el promedio de los datos sexto y séptimo.

13.5=2

15+12=

2

X+X=Q

76

3

Este resultado indica que el 75% de los datos es inferior a 13.5 y mayor que 6.

Con los resultados anteriores podemos construir el siguiente gráfico de los cuartiles

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Tabla 2: Distribución de cuartiles en porcentajes

X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8

6 9 9 12 12 12 15 17

Q1 = 25%

Q2 = 50%

Q3 = 75%

CUARTILES PARA DATOS AGRUPADOS EN TABLAS DE FRECUENCIAS

Se aplica la misma ecuación empleada para el cálculo en los datos no agrupados

EJEMPLO. Dada la siguiente tabla:

Calcular el cuartil 2. Hallar la posición del cuartil 2 (Q2)

4

2+n.j=PQ j

Donde

n = Número total de datos.

j = Número del cuartil

Tabla 3: distribución de frecuencias para datos no agrupados.

No Datos observados Frecuencia absoluta

X f.

1 6 1

2 9 2

3 12 3

4 15 1

5 17 1

n.=8


4.5=4

18=

4

2+28=

4

2+2n=P

**

Q2

Como la posición del cuartil 2 es 4,5, su valor es el promedio de los datos cuarto y quinto

Para observar con claridad cuáles son los datos cuarto y quinto es importante calcular la frecuencia acumulada.

Página 81 de 176

Tabla 4: Frecuencias absolutas y acumuladas

No Datos observados Frecuencia absoluta Frecuencia acumulada

X f. fa

1 6 1 1

2 9, 9 2 3

3 12, 12, 12 3 6

4 15 1 7

5 17 1 8

Total n. = 8

Se observa que el cuarto dato es 12 y el quinto dato es 12

Como la posición del cuartil 2 es 4,5, su valor (Q2) es el promedio de los datos cuarto y quinto.

12=2

12+12=

2

X+X=Q

54

2


CUARTILES PARA DATOS AGRUPADOS EN INTERVALOS DE FRECUENCIAS

Cuando los datos se dividen en cuatro partes iguales y se toma una de ellas se denomina cuartil y se representa por Q1, Q2 y Q3 en donde cada fracción contiene un 25% del total de las observaciones.

El primer cuartil Q1 contiene 25% de las observaciones.

El segundo cuartil Q2 agrupa el 50% de las observaciones.

El tercer cuartil Q3 agrupa el 75% de las observaciones.

fqj

- 4

jnc(

+Lri=Qj

*

Qj = Identifica al cuartil 1, 2, 3 j = Índice que identifica al cuartil 1, 2, 3 Lri = Límite real inferior de la clase cuartílica.

fQj = Frecuencia de la clase cuartílica. c = Amplitud del intervalo de clase. faa = Frecuencia acumulada del intervalo anterior.

j*n/4 = Posición del cuartil.

EJEMPLO. En la institución Z, 40 estudiantes tienen un peso mínimo de 39 y un máximo de 68 kilogramos. Si la amplitud del intervalo es (c = 4), los datos agrupados se encuentran en la Tabla siguiente.

Página 82 de 176

HALLAR EL CUARTIL Q1: n = 40 Y J = 1.

104

401

4

njP **

1Q

Posición cuartil uno Q1, que se halla entre las frecuencias acumuladas 7 y 13 que pertenecen al intervalo 46.5 y 50.5

PQ1 = 10 Lri = 46.5 faa = 7 fQ1 = 6 c = 4


No

Intervalo de

clase Limites reales

Marcas

clase

Frecuencia.

Absoluta

Frecuencia

acumulada

Li Ls Lri Lrs Xi fi fa

1 39 42 38.5 42.5 40.5 3 3

2 43 46 42.5 46.5 44.5 4 7

3 47 50 46.5 50.5 48.5 6 13

4 51 54 50.5 54.5 52.5 13 26

5 55 58 54.5 58.5 56.5 7 33

6 59 62 58.5 62.5 60.5 4 37

7 63 66 62.5 66.5 64.5 2 39

8 67 70 66.5 70.5 68.5 1 40

n= 40

Reemplazando en la expresión se tendrá el valor del Q1.

KgQ 5.4825.466

)74

140(4

5.46

*

1

Este resultado indica que el 25% de los estudiantes tienen un peso que está comprendido entre 39 y 48.5 Kg.

CALCULAR Q2 CUANDO J = 2.

204

402

4

402P **

Q2

Posición cuartil Q2, éste se encontrará entre las frecuencias acumuladas 13 y 26, que pertenecen al intervalo 50.5 y 54.5

PQ2 = 20 Lri = 50.5 faa = 13 fq2 = 13 c = 4

Reemplazando se obtendrá el cuartil Q2.

Página 83 de 176

KgQ 65.5254.25.5013

)134

240(4

5.50

*

2

Este resultado indica que el 50% de los estudiantes tienen un peso que está comprendido entre 39 y 52.65 Kg

PARA CALCULAR Q3 CUANDO J = 3.

304

403

4

403P **

Q3

Posición cuartil Q3, se halla entre las frecuencias acumuladas 26 y 33, que pertenece al intervalo 54.5 y 58.5.

PQ3 =30 Lri = 54.5 faa = 26 fq2 = 7 c = 4

Reemplazando se obtendrá el cuartil Q3.

KgQ 78.5679.25.547

)264

340(4

5.54

*

3


Hallar los cuartiles1, 2, y 3 para la edad, peso y estatura




1 23 38 150

2 18 47 153

3 24 37 168

4 18 70 173

5 25 82 163

6 25 35 172

7 41 49 177

8 25 55 154

9 36 46 158

10 26 56 152

11 34 52 180

12 19 55 175

13 22 64 165

Página 84 de 176

14 22 54 163

15 30 50 153

16 26 66 154

17 28 67 153

18 23 52 175

19 18 51 159

20 35 68 161

21 42 55 158

22 38 42 177

23 39 52 176

24 40 41 156

25 25 82 165

26 20 61 178

27 27 68 159

28 21 71 173

29 24 80 162

30 22 79 160

31 29 77 154

32 31 51 159

33 32 78 169

34 26 76 159

35 18 75 170

36 27 60 182

37 28 49 150

38 22 45 166

39 22 60 160

40 29 63 154

41 31 64 185

42 32 69 165

43 30 49 150

44 40 77 152

45 25 42 171

46 25 55 154

47 36 46 158

48 28 58 159

49 40 63 156

50 25 64 165

51 27 60 178

52 22 49 159

53 29 45 173

54 31 60 162

55 32 63 160

56 30 64 154

57 40 69 159

56 25 49 169

59 25 77 159

60 36 42 170

61 40 55 171

62 25 46 156

Página 85 de 176

Procedimiento:

Hallar el valor mínimo y máximo

Hallar el rango

Hallar la amplitud del intervalo

Construir la tabla correspondiente para la mediana

TABLA 3: Calculo de cuartiles 1, 2 y 3 para la edad

No

Intervalo de clase


Frecuencia absoluta


Li Ls Lri Lrs f fa

1

2

3

4

5

6

7

8

n=

PQ1 = Lri = faa = fq1 = c =

=fqj

faa)-4

jnc(

+Lri=Q

*

1

*Hallar el cuartil 1, 2 y 3 para el peso y estatura.


1) ¿El valor de la mediana con qué valor del cuartil son iguales? Plantee y resuelva un ejercicio para ilustrar su respuesta.

2) Calcule los 3 cuartiles para las siguientes distribuciones de datos de manera manual.

a) 5, 2, 6, 4, 1 y 3

b) 5, 2, 8, 4, 1, 6, 7 y 3

c) 9, 2, 8, 4, 5, 6, 7, 3 y 1

d) 36, 8, 12, 32, 24, 28, 16 y 4

e) 80, 70, 40, 60, 50, 30, 20 y 10

Página 86 de 176

2) Dada la siguiente tabla:

Datos observados

X 6 9 12 15 17

Frecuencia absoluta

f. 1 2 5 4 2

a) Calcule el primero, segundo y tercer cuartil.

3) Calcule los tres cuartiles de 1, 3, 6, 9, 12, 15, 18 y 21 de manera manual

4) Calcule el percentil de orden 25 de 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 y 22 de manera manual.

5) Calcule el cuartil 3 para 10, 20, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 120 y 140.


38 51 32 65 25 28 34 12 29 43

71 62 50 37 18 24 19 47 81 53

16 62 50 37 14 17 75 94 16 25

55 38 46 16 72 64 61 33 59 21

13 92 37 43 58 52 88 27 74 66

63 28 36 19 56 84 38 16 42 50

38 46 16 72 64 61 33 59 68 77

98 51 62 13 17 43 47 54 58 26

12 42 34 68 77 45 60 31 72 23

18 22 70 34 15 59 20 68 55 49

33 52 14 40 38 54 50 11 41 76


13 15 24 28 33 35 38 42 23 38 36 34 29 25 17 17 34 36 39 44

31 26 20 11 13 22 27 47 39 37 34 32 35 28 38 41 48 15 32 13

35 38 42 23 38 36 17 34 24 28 33 35 38 42 23 38 36 34 29 25

17 17 34 36 39 44 31 26 20 11 13 22 27 47 39 37 34 32 35 28

38 41 47 39 37 34 32 35 28 38 41 48 15 32 13 35 34 29 25 17

36 39 44 31 26 20 31 26 20 11 13 22 27 47 39 17 34 36 39 44

36 34 29 25 17 17 34 36 39 44 13 15 24 28 33 35 38 42 23 38


175 156 172 159 161 185 186 192 179 163 164 170 164 167 168 174 172 168 176

167 169 182 170 169 167 170 162 172 171 174 171 155 171 171 170 157 170 173

174 168 166 172 172 158 159 163 163 168 174 175 150 154 175 160 175 177 178

169 165 180 166 184 183 174 173 162 185 189 169 173 171 173 174 168 166 172

158 159 163 163 175 177 178 180 169 165 172 158 164 167 168 174 172 168 176

170 164 167 168 174 172 168 176 166 170 175 156 172 159 161 185 186 192 179


87 105 88 103 114 125 108 107 118 114 129 100 106 113 105 111 94 115 89 82

141 92 132 112 97 135 101 104 130 99 114 91 145 95 101 115 104 87 108 115

103 132 110 113 102 109 124 98 140 107 93 108 122 117 114 141 116 108 102 101

118 138 99 105 112 94 96 132 118 123 108 131 127 100 91 114 125 108 107 118

130 99 114 91 145 95 101 115 104 87 108 115 103 132 110 87 105 88 103 114

123 108 131 127 100 91 114 125 108 107 118 123 87 105 88 103 114 125 108 107

114 91 145 95 101 115 104 87 108 115 87 105 88 103 114 125 108 107 94 96

Página 87 de 176


375 354 376 387 444 411 424 360 282 500

416 358 317 363 365 241 404 422 241 288

328 263 402 254 362 424 440 317 299 279

408 348 315 385 481 500 438 310 482 446

333 382 300 347 421 368 365 387 358 440

294 390 249 418 315 230 273 379 359 263

385 481 279 408 317 299 424 440 254 362

402 288 328 422 241 291 404 363 365 358

411 424 360 282 500 328 263 402 254 362

317 500 416 360 282 411 424 387 444 354

376 375 420 289 252 405 359 252 399 269

405 359 252 399 269 416 358 317 363 365

387 444 411 424 360 424 440 317 299 279


31 28 32 35 33 20 32 31 28 32 33 32

28 22 29 29 33 32 35 28 22 29 33 35

28 22 29 29 33 32 35 28 22 29 33 35

27 21 33 29 25 32 24 27 21 33 25 24

27 21 33 29 25 32 24 27 21 33 25 24

21 22 18 30 27 29 26 21 22 33 27 26

21 22 33 30 27 29 26 21 22 33 27 26

23 24 20 25 26 33 32 23 24 20 26 32

23 24 20 25 26 31 32 23 24 20 26 32

24 20 32 32 29 20 21 24 20 32 29 21

24 20 32 32 29 20 21 24 20 32 29 21

31 28 32 35 33 28 32 31 28 32 33 32

31 28 32 35 33 28 32 31 28 32 33 32

28 22 29 29 33 22 35 28 22 29 33 35

28 22 29 29 33 22 35 28 22 29 33 35

27 21 33 29 25 21 24 27 21 33 25 24

33 32 31 28 26 24 32 23 24 20 26 32

LOS DECILES D

Son éstas, otras medidas de posición de la familia de la mediana, que dividen la distribución

en cuatro partes iguales o cuatro subconjuntos de igual tamaño D1, D2, D3, D4, D5, D6, D7, D8, D9 previa ordenación de los datos de forma ascendente o distribución de frecuencias en intervalos.

DECILES PARA D ATOS NO AGRUPADOS

Son cada uno de los 9 valores D1, D2, D3, D4, D5, D6, D7, D8, D9 que dividen a la distribución de los datos en 10 partes iguales.

Para datos no agrupados.

EJEMPLO. Encontrar los cuartiles dada la siguiente distribución de datos (edades en años): 6, 9, 9, 12, 12, 12, 15 y 17

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Solución:

En primer lugar, para calcular los deciles se ordena los datos de menor a mayor

Tabla 1: Datos ordenados de manera creciente.

X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8

6 9 9 12 12 12 15 17

En segundo lugar, hallar la posición de los deciles utilizando la siguiente expresión.

10

5+n.j=PDj

Donde


j = Número del decil.

Posición decill 5 (j = 5 y n = 8

Aplicando la ecuación para el quinto decil ( j = 5 )se obtiene:

4.5=10

45=

10

5+58=

10

5+5n=P

**

D5

La posición 4,5 dice que el decil 5 está ubicado al 50% del trayecto comprendido entre el cuarto y quinto dato, que es 12 y 12es decir, D5.

Posición decil 7 (j = 7) y n = 8

6.1=10

61=

10

5+78=

10

5+7n=P

**

D7

La posición 6,1 dice que el decil 7 está ubicado al 70% del trayecto comprendido entre el sexto dato, que es 12 y el séptimo dato que es 15, es decir, D7.

Posición decil 9 (j = 9) y n = 8

7,7=10

77=

10

5+98=

10

5+9n=P

**

D9

La posición 7,7 dice que el decil 9 está ubicado al 90% del trayecto comprendido entre el séptimo dato, que es 15 y el octavo dato que es 17, es decir, D9.

En tercer lugar, hallar los deciles correspondientes.

Decil 5. Como la posición del decil 5 es 4,5, su valor (D5) es el promedio de los datos cuarto y quinto

12=2

12+12=

2

X+X=D

54

5


Decil 7. Como la posición del decil 7 es 6,1, su valor (D7) es el promedio de los datos sexto y séptimo.

Página 89 de 176

14,5=2

17+12=

2

X+X=D

76

7

Este resultado indica que el 70% de los datos es inferior a 14,5 y mayor que 6.

Decil 9. Como la posición del decil 9 es 7,7, su valor (D9) es el promedio de los datos séptimo y octavo.

16=2

17+15=

2

X+X=D

87

9


Tabla 2: Ubicación porcentual de los deciles.

X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8

6 9 9 12 12 12 15 17

D5 = 50%

D7 = 75%

D9 = 90%

DECILES PARA DATOS AGRUPADOS EN INTERVALOS DE FRECEUNCIAS

Si los valores que conforman una distribución se los divide en diez partes iguales en donde, cada uno de ellos se denomina decíl que se simboliza por D1, D2, D3, ...., D9 cada fracción representa el 10% de las observaciones. Para el cálculo de los deciles el proceso es similar al de cuartiles y su expresión matemática es:

Dj

*

f

faa)-10

jnc(

+Lri=Dj

Dónde:

Dj = Identifica al decíl 1, 2, 3, ....9 j = Índice que identifica al decíl 1, 2, 3, ...9

Lri = Límite real inferior de la clase decílica. fDj = Frecuencia de la clase decílica. faa = Frecuencia acumulada del intervalo anterior.

j*n/10 = Posición del decíl.

Para hallar los deciles D2, D4, D6, D8 según la Tabla anterior

HALLAR EL DECÍL D2: n = 40 J = 2.

10

njP *

Dj , 810

402

10

402P **

D2

Posición decil D2, éste se halla entre las frecuencias acumuladas 7 y 13 que pertenecen al intervalo 46.5 y 50.5.

PD2 = 10 Lri = 46.5 faa = 7 fD2 = 6 c = 4

Página 90 de 176


No

Intervalo de clase

Limites reales Marcas clase Frecuencia

absoluta Frecuencia acumulada


1 39 42 38.5 42.5 40.5 3 3

2 43 46 42.5 46.5 44.5 4 7

3 47 50 46.5 50.5 48.5 6 13

4 51 54 50.5 54.5 52.5 13 26

5 55 58 54.5 58.5 56.5 7 33

6 59 62 58.5 62.5 60.5 4 37

7 63 66 62.5 66.5 64.5 2 39

8 67 70 66.5 70.5 68.5 1 40

n= 40

Reemplazando se obtendrá el decil

KgD 17.476

)710

240(4

5.46

*

2


HALLAR D4 CUANDO J = 4

1610

40*4

10

40*4PD4

Posición decíl D4, éste se halla entre las frecuencias acumuladas 13 y 26, que pertenece al intervalo 50.5 y 54.5

PD4 = 16 Lri = 50.5 faa = 13 fD4 = 13 c = 4

Reemplazando se obtendrá el decíl.

KgD 42.5113

)1310

440(4

5.50

*

4


Página 91 de 176

EL DECÍL D6 CUANDO J = 6

2410

406

10

406P **

D6

Posición decíl D6, éste se hallará entre las frecuencias acumuladas 13 y 26, que pertenece al intervalo 50.5 y 54.5

PD6 = 24 Lri = 50.5 faa = 13 fD6 = 13 c = 4

Reemplazando en su expresión se obtendrá el decíl

KgD 88.5313

)1310

640(4

5.50

*

6


EL DECÍL D8 CUANDO J = 8

3210

408

10

408P **

D8

Posición decíl D8, éste se halla entre las frecuencias acumuladas 26 y 33, que tiene por intervalos reales de clase 54.5 y 58.5

PD8 = 32 Lri = 54.5 faa = 26 fD8 = 7 c = 4

Reemplazando en su expresión se obtendrá el decíl

KgD 93.577

)2610

840(4

5.54

*

8


Con la siguiente información calcular los deciles que se asigne.




1 23 38 150

2 18 47 153

3 24 37 168

4 18 70 173

Página 92 de 176

5 25 82 163

6 25 35 172

7 41 49 177

8 25 55 154

9 36 46 158

10 26 56 152

11 34 52 180

12 19 55 175

13 22 64 165

14 22 54 163

15 30 50 153

16 26 66 154

17 28 67 153

18 23 52 175

19 18 51 159

20 35 68 161

21 42 55 158

22 38 42 177

23 39 52 176

24 40 41 156

25 25 82 165

26 20 61 178

27 27 68 159

28 21 71 173

29 24 80 162

30 22 79 160

31 29 77 154

32 31 51 159

33 32 78 169

34 26 76 159

35 18 75 170

36 27 60 182

37 28 49 150

38 22 45 166

39 22 60 160

40 29 63 154

41 31 64 185

42 32 69 165

43 30 49 150

44 40 77 152

45 25 42 171

46 25 55 154

47 36 46 158

48 28 58 159

49 40 63 156

50 25 64 165

51 27 60 178

52 22 49 159

53 29 45 173

54 31 60 162

Página 93 de 176

55 32 63 160

56 30 64 154

57 40 69 159

56 25 49 169

59 25 77 159

60 36 42 170

61 40 55 171

62 25 46 156

Procedimiento:


Hallar el rango


Construir la tabla correspondiente para los deciles.

TABLA 3: Cálculo de los deciles para la edad

No Intervalo de

clase

Limite real de

clase

Frecuencia

absoluta

Frecuencia

acumulada

Li Ls Lri Lrs f fa

1

2

3

4

5

6

7

8

n=

PD8 = Lri = faa = fD8 = c =

=fDj

faa)-10

jnc(

+Lri=Dj

*

Hallar los deciles ………para el peso y estatura


1) ¿El valor de la mediana con qué valor del cuartil, decil coincide? Plantee y resuelva un ejercicio para ilustrar su respuesta.

2) Calcule los deciles 2, 4, 6 y 8 para las siguientes distribuciones de datos de manera manual.

Página 94 de 176

f) 5, 2, 6, 4, 1 y 3

g) 5, 2, 8, 4, 1, 6, 7 y 3

h) 9, 2, 8, 4, 5, 6, 7, 3 y 1

i) 36, 8, 12, 32, 24, 28, 16 y 4

j) 80, 70, 40, 60, 50, 30, 20 y 10


Datos observados X 6 9 12 15 17

Frecuencia absoluta f. 1 2 5 4 2

b) Calcule los deciles 3, 6 y 9.

4) Calcule el quinto decil de 1, 3, 6, 9, 12, 15, 18 y 21 de manera manual

5) Cree y resuelva un ejercicio sobre el cálculo del decil 3 y del decil 7 para datos agrupados en tablas de frecuencias.

6) Calcule los deciles 2, 4, 8 para: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 y 22 de manera manual.

7) Calcule los deciles 3, 5, 7 y 9 para: 10, 20, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 120 y 140.


38 51 32 65 25 28 34 12 29 43

71 62 50 37 18 24 19 47 81 53

16 62 50 37 14 17 75 94 16 25

55 38 46 16 72 64 61 33 59 21

13 92 37 43 58 52 88 27 74 66

63 28 36 19 56 84 38 16 42 50

38 46 16 72 64 61 33 59 68 77

98 51 62 13 17 43 47 54 58 26

12 42 34 68 77 45 60 31 72 23

18 22 70 34 15 59 20 68 55 49

33 52 14 40 38 54 50 11 41 76


13 15 24 28 33 35 38 42 23 38 36 34 29 25 17 17 34 36 39 44

31 26 20 11 13 22 27 47 39 37 34 32 35 28 38 41 48 15 32 13

35 38 42 23 38 36 17 34 24 28 33 35 38 42 23 38 36 34 29 25

17 17 34 36 39 44 31 26 20 11 13 22 27 47 39 37 34 32 35 28

38 41 47 39 37 34 32 35 28 38 41 48 15 32 13 35 34 29 25 17

36 39 44 31 26 20 31 26 20 11 13 22 27 47 39 17 34 36 39 44

36 34 29 25 17 17 34 36 39 44 13 15 24 28 33 35 38 42 23 38


175 156 172 159 161 185 186 192 179 163 164 170 164 167 168 174 172 168 176

167 169 182 170 169 167 170 162 172 171 174 171 155 171 171 170 157 170 173

174 168 166 172 172 158 159 163 163 168 174 175 150 154 175 160 175 177 178

169 165 180 166 184 183 174 173 162 185 189 169 173 171 173 174 168 166 172

158 159 163 163 175 177 178 180 169 165 172 158 164 167 168 174 172 168 176

170 164 167 168 174 172 168 176 166 170 175 156 172 159 161 185 186 192 179

Página 95 de 176


87 105 88 103 114 125 108 107 118 114 129 100 106 113 105 111 94 115 89 82

141 92 132 112 97 135 101 104 130 99 114 91 145 95 101 115 104 87 108 115

103 132 110 113 102 109 124 98 140 107 93 108 122 117 114 141 116 108 102 101

118 138 99 105 112 94 96 132 118 123 108 131 127 100 91 114 125 108 107 118

130 99 114 91 145 95 101 115 104 87 108 115 103 132 110 87 105 88 103 114

123 108 131 127 100 91 114 125 108 107 118 123 87 105 88 103 114 125 108 107

114 91 145 95 101 115 104 87 108 115 87 105 88 103 114 125 108 107 94 96


375 354 376 387 444 411 424 360 282 500

416 358 317 363 365 241 404 422 241 288

328 263 402 254 362 424 440 317 299 279

408 348 315 385 481 500 438 310 482 446

333 382 300 347 421 368 365 387 358 440

294 390 249 418 315 230 273 379 359 263

385 481 279 408 317 299 424 440 254 362

402 288 328 422 241 291 404 363 365 358

411 424 360 282 500 328 263 402 254 362

317 500 416 360 282 411 424 387 444 354

376 375 420 289 252 405 359 252 399 269

405 359 252 399 269 416 358 317 363 365

387 444 411 424 360 424 440 317 299 279

Tabla de datos observados

31 28 32 35 33 20 32 31 28 32 33 32

28 22 29 29 33 32 35 28 22 29 33 35

28 22 29 29 33 32 35 28 22 29 33 35

27 21 33 29 25 32 24 27 21 33 25 24

27 21 33 29 25 32 24 27 21 33 25 24

21 22 18 30 27 29 26 21 22 33 27 26

21 22 33 30 27 29 26 21 22 33 27 26

23 24 20 25 26 33 32 23 24 20 26 32

23 24 20 25 26 31 32 23 24 20 26 32

24 20 32 32 29 20 21 24 20 32 29 21

24 20 32 32 29 20 21 24 20 32 29 21

31 28 32 35 33 28 32 31 28 32 33 32

31 28 32 35 33 28 32 31 28 32 33 32

28 22 29 29 33 22 35 28 22 29 33 35

28 22 29 29 33 22 35 28 22 29 33 35

27 21 33 29 25 21 24 27 21 33 25 24

33 32 31 28 26 24 32 23 24 20 26 32

LOS CENTILES O PERCENTILES

Son éstas, otras medidas de posición de la familia de la mediana, que dividen la distribución

en cuatro partes iguales o cuatro subconjuntos de igual tamaño C1, C2, C3.…….., C99 previa ordenación de los datos de forma ascendente o distribución de frecuencias en intervalos.

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CENTILES PARA DATOS NO AGRPADOS

Son cada uno de los 99 valores C1, C2, C3.…….., C99, que dividen a una distribución de los datos en 100 partes iguales.

EJEMPLO. Encontrar los centiles dada la siguiente distribución de datos (peso en kilogramos): 80, 78, 65, 73, 65, 67, 72, 68, 70 y 72

Solución:

En primer lugar, para calcular los centiles se ordena los datos de menor a mayor

Tabla 1: Datos ordenados en forma creciente.

X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10

65 65 67 68 70 72 72 73 78 80

En segundo lugar, hallar la posición de los deciles utilizando la siguiente expresión.

100

50+n.j=PCj

Donde


j = Número del centil.

Posición Centil 20 (j = 20 y n = 10

Aplicando la ecuación para el centil ( j = 20 ) se obtiene:

2.5=100

250=

100

50+2010=

100

50+jn=P

**

C20

La posición 2,5 dice que el centil 20 está ubicado al 20% del trayecto comprendido entre el segundo y tercer dato, que es 65 y 67es decir, C20

Posición centil 40 (j = 40) y n = 10

4.5=100

450=

100

50+4010=

100

50+jn=P

**

C40

La posición 4,5 dice que el centil 40 está ubicado al 40% del trayecto comprendido entre el cuarto dato, que es 68 y el quinto dato que es 70, es decir, C40.

Posición centil 80 (j = 80) y n = 10

8,5=100

77=

100

50+8010=

100

50+jn=P

**

C40

La posición 8,5 dice que el centil 80 está ubicado al 80% del trayecto comprendido entre el octavo dato, que es 73 y el noveno dato que es 78, es decir, C80.

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En tercer lugar, hallar los centiles correspondientes.

Centil 20. Como la posición del centil 20 es 2,5, su valor (C20) es el promedio de los datos segundo y tercero

66=2

132=

2

67+65=

2

X+X=C

32

20


Centil 40. Como la posición del centil 40 es 4,5, su valor (C40) es el promedio entre los datos cuarto y quinto.

69-2

138=

2

70+68=

2

X+X=C

54

40


Centil 80. Como la posición del centil 80 es 8,5, su valor (C80) es el promedio de los datos octavo y noveno.

75,52

151=

2

78+73=

2

X+X=C

87

80 =

Este resultado indica que el 80% de los datos es inferior a 72,5 y mayor que 65.

Tabla 2: Ubicación porcentual de los centiles.

X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10

65 65 67 68 70 72 72 73 78 80

C20 = 20%

C40 = 40%

C80 = 80%

CENTILES PARA DATOS AGRUPADOS EN INTERVALO DE RECUENCIA

Si los valores que conforman una distribución se dividen en cien partes iguales y a cada una se denomina centíl, su símbolo es C1, C2, C3, ….. C99, cada fracción contiene el 1% de las observaciones. El cálculo de los centiles es similar al de deciles y su expresión es:

Página 98 de 176

Cj

*

f

faa)-100

jnc(

+Lri=Cj

Dónde:

Cj = Identifica al centíl 1, 2, 3,....,99

j = Índice que identifica el centíl 1, 2, 3,...,99

Lri = Límite real inferior de la clase centílica.

fCj = Frecuencia de la clase centílica.

faa = Frecuencia acumulada del intervalo anterior.

j*n/100 = Posición del centíl.

Hallar los centiles C20, C40, C60 y C80 para la siguiente tabla de datos.

EL CENTÍL C20 CUANDO n = 40 Y J = 20

8=100

4020==

*

100

njP

*

C20

8=100

nj* Lri = 46,5. fCi = 7. faa = 7 C= 4

Al reemplazar en su ecuación correspondiente se obtendrá los siguientes resultados:

KgC 17.477

)7100

2040(4

5.46

*

20

equivale al 20%


16=100

4040==

*

100

njP

*

C40

16=100

nj* Lri = 50,5. Fcj = 6. Faa = 13 C= 4


KgC 42.516

)13100

4040(4

5.50

*

40

equivale al 40%


24=100

4060==

*

100

njP

*

C60

24=100

nj* Lri = 50,5. fCj = 13. faa = 13 C= 4

Página 99 de 176


KgC 88.5313

)13100

6040(4

5.50

*

60

equivale al 60%


32=100

4080==

*

100

njP

*

C80

32=100

nj* Lri = 54,5. fCj = 7. faa = 26 c= 4


KgC 93.577

)26100

8040(4

5.54

*

80

equivale al 80%


No Intervalo de

clase Limites reales

Marcas clase

Frecuencia. Absoluta



1 39 42 38.5 42.5 40.5 3 3

2 43 46 42.5 46.5 44.5 4 7

3 47 50 46.5 50.5 48.5 6 13

4 51 54 50.5 54.5 52.5 13 26

5 55 58 54.5 58.5 56.5 7 33

6 59 62 58.5 62.5 60.5 4 37

7 63 66 62.5 66.5 64.5 2 39

8 67 70 66.5 70.5 68.5 1 40

n= 40

Los resultados de los centiles C20, C40, C60 y C80 son iguales al de los deciles D2, D4, D6 y D8.

Con la información siguiente calcular los centiles que se asigne.

TABLA 2: Información recolectada relacionada con.

No EDAD AÑOS (X) PESO KILOGRAMOS (X) ESTATURA CM (X)


1 23 38 150

2 18 47 153

3 24 37 168

4 18 70 173

Página 100 de 176

5 25 82 163

6 25 35 172

7 41 49 177

8 25 55 154

9 36 46 158

10 26 56 152

11 34 52 180

12 19 55 175

13 22 64 165

14 22 54 163

15 30 50 153

16 26 66 154

17 28 67 153

18 23 52 175

19 18 51 159

20 35 68 161

21 42 55 158

22 38 42 177

23 39 52 176

24 40 41 156

25 25 82 165

26 20 61 178

27 27 68 159

28 21 71 173

29 24 80 162

30 22 79 160

31 29 77 154

32 31 51 159

33 32 78 169

34 26 76 159

35 18 75 170

36 27 60 182

37 28 49 150

38 22 45 166

39 22 60 160

40 29 63 154

41 31 64 185

42 32 69 165

43 30 49 150

44 40 77 152

45 25 42 171

46 25 55 154

47 36 46 158

48 28 58 159

49 40 63 156

Página 101 de 176

50 25 64 165

51 27 60 178

52 22 49 159

53 29 45 173

54 31 60 162

55 32 63 160

56 30 64 154

57 40 69 159

56 25 49 169

59 25 77 159

60 36 42 170

61 40 55 171

62 25 46 156

Procedimiento:


Hallar el rango


Construir la tabla correspondiente para los centiles

TABLA 3: Cálculo de los centiles para la edad

No

Intervalo de clase


Frecuencia absoluta


Li Ls Lri Lrs f fa

1

2

3

4

5

6

7

8

n=

PC15 = Lri = faa = fC2 = c =

=f

faa)-100

jnc(

+Lri=CjCj

*

Hallar los centiles para el peso y estatura

Página 102 de 176


1) ¿El valor de la mediana con qué valor del cuartil, decil y del percentil coincide? Plantee y resuelva un ejercicio para ilustrar su respuesta.

2) ¿Por qué a los cuartiles, deciles y percentiles se les considera como medidas de posición?

3) Calcule los 3 cuartiles y los deciles 2, 4, 6 y 8 para las siguientes distribuciones de datos de manera manual.

a) 5, 2, 6, 4, 1 y 3

b) 5, 2, 8, 4, 1, 6, 7 y 3

c) 9, 2, 8, 4, 5, 6, 7, 3 y 1

d) 36, 8, 12, 32, 24, 28, 16 y 4

e) 80, 70, 40, 60, 50, 30, 20 y 10




c) Calcule el centil 25, 50 y 75.

d) Calcule el segundo cuartil empleando un histograma para la frecuencia absoluta acumulada.

5) Cree y resuelva un ejercicio similar al presentado en el cálculo de los centiles 20, 40, 60 y 80 para datos agrupados en intervalos.

6) Emplee los datos del ejercicio anterior y calcular los cuartiles empleando un histograma para la frecuencia absoluta acumulada.

7) Calcule el centil 30, 60 y 90 para 1, 3, 6, 9, 12, 15, 18 y 21 de manera manual

8) Cree y resuelva un ejercicio sobre el cálculo del centil 30 y del centl 70 para datos agrupados en tablas de frecuencias.

9) Calcule el percentil de orden 25, 50 y 75 para: 20, 40, 60, 80, 90, 90, 40, 16, 80, 20 y 22 de manera manual.

10) Calcule el percentil de orden 75 de 10, 20, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 120 y 140.


38 51 32 65 25 28 34 12 29 43

71 62 50 37 18 24 19 47 81 53

16 62 50 37 14 17 75 94 16 25

55 38 46 16 72 64 61 33 59 21

13 92 37 43 58 52 88 27 74 66

63 28 36 19 56 84 38 16 42 50

38 46 16 72 64 61 33 59 68 77

98 51 62 13 17 43 47 54 58 26

12 42 34 68 77 45 60 31 72 23

18 22 70 34 15 59 20 68 55 49

33 52 14 40 38 54 50 11 41 76

Página 103 de 176


13 15 24 28 33 35 38 42 23 38 36 34 29 25 17 17 34 36 39 44

31 26 20 11 13 22 27 47 39 37 34 32 35 28 38 41 48 15 32 13

35 38 42 23 38 36 17 34 24 28 33 35 38 42 23 38 36 34 29 25

17 17 34 36 39 44 31 26 20 11 13 22 27 47 39 37 34 32 35 28

38 41 47 39 37 34 32 35 28 38 41 48 15 32 13 35 34 29 25 17

36 39 44 31 26 20 31 26 20 11 13 22 27 47 39 17 34 36 39 44

36 34 29 25 17 17 34 36 39 44 13 15 24 28 33 35 38 42 23 38


175 156 172 159 161 185 186 192 179 163 164 170 164 167 168 174 172 168 176

167 169 182 170 169 167 170 162 172 171 174 171 155 171 171 170 157 170 173

174 168 166 172 172 158 159 163 163 168 174 175 150 154 175 160 175 177 178

169 165 180 166 184 183 174 173 162 185 189 169 173 171 173 174 168 166 172

158 159 163 163 175 177 178 180 169 165 172 158 164 167 168 174 172 168 176

170 164 167 168 174 172 168 176 166 170 175 156 172 159 161 185 186 192 179


87 105 88 103 114 125 108 107 118 114 129 100 106 113 105 111 94 115 89 82

141 92 132 112 97 135 101 104 130 99 114 91 145 95 101 115 104 87 108 115

103 132 110 113 102 109 124 98 140 107 93 108 122 117 114 141 116 108 102 101

118 138 99 105 112 94 96 132 118 123 108 131 127 100 91 114 125 108 107 118

130 99 114 91 145 95 101 115 104 87 108 115 103 132 110 87 105 88 103 114

123 108 131 127 100 91 114 125 108 107 118 123 87 105 88 103 114 125 108 107

114 91 145 95 101 115 104 87 108 115 87 105 88 103 114 125 108 107 94 96


375 354 376 387 444 411 424 360 282 500

416 358 317 363 365 241 404 422 241 288

328 263 402 254 362 424 440 317 299 279

408 348 315 385 481 500 438 310 482 446

333 382 300 347 421 368 365 387 358 440

294 390 249 418 315 230 273 379 359 263

385 481 279 408 317 299 424 440 254 362

402 288 328 422 241 291 404 363 365 358

411 424 360 282 500 328 263 402 254 362

317 500 416 360 282 411 424 387 444 354

376 375 420 289 252 405 359 252 399 269

405 359 252 399 269 416 358 317 363 365

387 444 411 424 360 424 440 317 299 279


31 28 32 35 33 20 32 31 28 32 33 32

28 22 29 29 33 32 35 28 22 29 33 35

28 22 29 29 33 32 35 28 22 29 33 35

27 21 33 29 25 32 24 27 21 33 25 24

27 21 33 29 25 32 24 27 21 33 25 24

21 22 18 30 27 29 26 21 22 33 27 26

21 22 33 30 27 29 26 21 22 33 27 26

23 24 20 25 26 33 32 23 24 20 26 32

23 24 20 25 26 31 32 23 24 20 26 32

Página 104 de 176

24 20 32 32 29 20 21 24 20 32 29 21

24 20 32 32 29 20 21 24 20 32 29 21

31 28 32 35 33 28 32 31 28 32 33 32

31 28 32 35 33 28 32 31 28 32 33 32

28 22 29 29 33 22 35 28 22 29 33 35

28 22 29 29 33 22 35 28 22 29 33 35

27 21 33 29 25 21 24 27 21 33 25 24

33 32 31 28 26 24 32 23 24 20 26 32

LA MODA

Se define como aquel valor del conjunto que se presenta con mayor frecuencia. Esto quiere

decir que, si elegimos aleatoriamente un dato de un conjunto, el valor con mayor probabilidad de ser seleccionado es la moda. La moda se simboliza por Mo.

LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

La moda es una medida de tendencia central que pertenece al valor que más se repite o que tiene mayor frecuencia en un grupo de observaciones o datos y su cálculo se hace tanto para datos no agrupados y agrupados.

Moda para datos no agrupados. En este caso la moda puede existir o no, si existe no puede ser única. Cuando una información estadística posee una sola moda se llama unimodal, si tiene dos se denomina bimodal.

EJEMPLO. Suponiendo que un estudiante A obtuvo cuatro valoraciones, en donde sus

puntajes son: 65, 70, 80 y 90, de acuerdo al concepto de moda ésta no existe ya que todos los valores de las observaciones tienen la misma frecuencia igual a la unidad, ver la tabla siguiente.

Un segundo estudiante B realizó seis valoraciones y sus puntajes se encuentran en la tabla

siguiente, en donde el puntaje modal, indica que existen dos modas identificadas con los puntajes de 65 y 80, denominada bimodal.

TABLA 1: Moda cero

No Calificación Frecuencia absoluta

XI fI

1 65 1

2 70 1

3 80 1

4 90 1

n = 4

Página 105 de 176

TABLA 2: Frecuencia bimodal

No Calificación Frecuencia absoluta

XI fI

1 60 1

2 65 2 Moda 1

3 80 2 Moda 2

4 100 1

n = 6

Hallar la moda para datos no agrupados relacionados con la edad, peso y estatura

Tabla 3: Información recolectada relacionada con

No EDAD AÑOS (X) PESO KILOGRAMOS (X) ESTATURA CM (X)


1 14 45 140

2 18 55 165

3 18 55 165

4 17 55 160

5 16 50 155

6 16 50 155

7 16 50 155

8 16 50 150

9 17 55 160

10 17 55 160

11 17 55 160

12 17 55 160

13 15 50 150

14 15 45 150

15 15 45 145

16 15 50 145

17 15 50 150

18 14 45 140

19 14 60 140

20 18 60 165

TABLA 4: Distribución de frecuencia para la edad

No Datos observados Frecuencia

XI fI

1

2

3

4

5

Página 106 de 176

Mo =

TABLA 5: Distribución de frecuencia para el peso


XI fI

1

2

3

4

5

Mo =

TABLA 6: Distribución de ´frecuencias para la estatura


XI fI

1

2

3

4

5

Mo =

LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS

MODA PARA DATOS AGRUPADOS. Para el cálculo de la moda en datos agrupados o que se encuentran en una tabla de distribución de frecuencias con intervalos de clase, se utiliza la siguiente expresión matemática:

c*dp+da

da+Lri=Mo

da = La expresión, corresponde a la diferencia absoluta entre la frecuencia modal y la frecuencia absoluta de la clase inmediatamente anterior.

dp = La expresión, corresponde a la diferencia absoluta entre la frecuencia modal y la frecuencia absoluta de la clase inmediatamente posterior.

Lri = Límite real inferior de la clase modal.

Página 107 de 176

c = Tamaño o amplitud del intervalo de clase.

EJEMPLO. Tomando los datos de la tabla siguiente se puede calcular la edad modal. En ésta

tabla la frecuencia modal es la de mayor valor y permite calcular la moda de esta información estadística:

Dónde:

Lri = 10.5 da=fmo-fa=157-110=47 da=47 dp = fmo - fp = 157-122=35 dp=35 c=11

TABLA 1: Frecuencia modal

No Limites reales Frecuencia absoluta

Lri Lrs fi

1 -0.50 10.50 110 fa

2 10.50 21.50 157 fmo

3 21.50 32.50 122 fp

4 32.50 43.50 62

5 43.50 54.50 48

6 54.50 65.50 50

7 65.50 76.50 9

8 76.50 87.50 2

9 87.50 98.50 1

n = 561

Reemplazando los datos de la tabla en la expresión correspondiente se tendrá el valor de la moda para esta información estadística.

80.16305.65.1082

5175.1011*

3547

475.10

Mo

Mo = 16.80 Clase modal.

Este resultado indica que aproximadamente, la edad que más se repite es de 16.80 años, si se desea en años cumplidos será de 17.

El conjunto de datos que obtenemos al hacer una encuesta o votación, podemos representarlo gráficamente, mediante un diagrama de barras o un gráfico de sectores, o bien mediante tres valores que llamamos media, mediana y moda.

Hallar la moda para los siguientes datos

Página 108 de 176

TABLA 2: información recolectada relacionada con

No Edad (años) X Peso (kilos) X Estatura (cm) X


1 23 38 150

2 18 47 153

3 24 37 168

4 18 70 173

5 25 82 163

6 25 35 172

7 41 49 177

8 25 55 154

9 36 46 158

10 26 56 152

11 34 52 180

12 19 55 175

13 22 64 165

14 22 54 163

15 30 50 153

16 26 66 154

17 28 67 153

18 23 52 175

19 18 51 159

20 35 68 161

21 42 55 158

22 38 42 177

23 39 52 176

24 40 41 156

25 25 82 165

26 20 61 178

27 27 68 159

28 21 71 173

29 24 80 162

30 22 79 160

31 29 77 154

32 31 51 159

33 32 78 169

34 26 76 159

35 18 75 170

36 27 60 182

37 28 49 150

38 22 45 166

39 22 60 160

40 29 63 154

41 31 64 185

42 32 69 165

Página 109 de 176

43 30 49 150

44 40 77 152

45 25 42 171

46 25 55 154

47 36 46 158

48 28 58 159

49 40 63 156

50 25 64 165

51 27 60 178

52 22 49 159

53 29 45 173

54 31 60 162

55 32 63 160

56 30 64 154

57 40 69 159

56 25 49 169

59 25 77 159

60 36 42 170

61 40 55 171

62 25 46 156

Procedimiento:


Hallar el rango


Construir la tabla correspondiente para la moda

TABLA 3: Moda para la edad

No Intervalos de clase Limites reales de clase Frecuencia absoluta

Li Ls Lri Lrs fi

1

2

3

4

5

6

7

8

9

n =

Lri = da=fmo-fa= dp = fmo - fp = c=

Página 110 de 176

=cdp+da

da+Lri=Mo

*Hallar la moda para el peso y la estatura


PARA DATOS NO AGRUPADOS EN INTERVALOS

1) Calcular la moda para las siguientes distribuciones de datos de manera manual.

a) 5, 2, 6, 4, 1 y 3

b) 5, 2, 8, 4, 1, 6, 7 y 3

c) 9, 2, 8, 4, 5, 6, 7, 3 y 1

d) 36, 8, 12, 32, 24, 28, 16 y 4

e) 80, 70, 40, 60, 50, 30, 20 y 10

2) Dada la siguiente tabla calcular la moda:



3) Calcule la moda para: 9, 1, 3, 6, 9, 12, 15, 9, 18, 18 y 21 de manera manual

4) Calcule la moda para: 12, 14, 16, 18, 10, 12, 14, 16, 18, 20 y 12 de manera manual.

5) Calcule la moda para: 100, 120, 140, 120, 160, 100, 80, 90, 100, 120 y 140.

PARA DATOS AGRUPADOS CON INTERVALOS DE FRECUENCIAS

1) En las tablas adjuntas se registraron datos en donde se pueden calcular la moda utilizando tablas de intervalos. Para estos casos se deben seguir las siguientes etapas:

a) Encontrar la puntuación más alta (máximo) y la más baja (mínimo).

b) Encontrar el rango R. R = Valor máximo – Valor mínimo.

c) Encontrar la amplitud o intervalo de clase C = R/8, (8 intervalos aproximadamente)

d) Construir la tabla correspondiente para calcular la moda en una distribución de frecuencias para datos agrupados en intervalos.

Tabla de datos observados sobre puntajes

375 354 376 387 444 411 424 360 282 500

416 358 317 363 365 241 404 422 241 288

328 263 402 254 362 424 440 317 299 279

408 348 315 385 481 500 438 310 482 446

333 382 300 347 421 368 365 387 358 440

294 390 249 418 315 243 273 379 359 263

Página 111 de 176

385 481 279 408 317 299 424 440 254 362

402 288 328 422 241 291 404 363 365 358

317 500 416 360 282 411 424 387 444 354

376 375 420 289 252 405 359 252 399 269

405 359 252 399 269 416 358 317 363 365

387 444 411 424 360 424 440 317 299 279

2) A continuación, se registra puntajes de conjunto de personas obtenidos con base a 100 puntos.

38 51 32 65 25 28 34 12 29 43

71 62 50 37 18 24 19 47 81 53

16 62 50 37 14 17 75 94 16 25

55 38 46 16 72 64 61 33 59 21

13 92 37 43 58 52 88 27 74 66

63 28 36 19 56 84 38 16 42 50

38 46 16 72 64 61 33 59 68 77

98 51 62 13 17 43 47 54 58 26

12 42 34 68 77 45 60 31 72 23

18 22 70 34 15 59 20 68 55 49

33 52 14 40 38 54 50 11 41 76


13 15 24 28 33 35 38 42 23 38 36 34 29 25 17 17 34 36 39 44

31 26 20 11 13 22 27 47 39 37 34 32 35 28 38 41 48 15 32 13

35 38 42 23 38 36 17 34 24 28 33 35 38 42 23 38 36 34 29 25

17 17 34 36 39 44 31 26 20 11 13 22 27 47 39 37 34 32 35 28

38 41 47 39 37 34 32 35 28 38 41 48 15 32 13 35 34 29 25 17

36 39 44 31 26 20 31 26 20 11 13 22 27 47 39 17 34 36 39 44

36 34 29 25 17 17 34 36 39 44 13 15 24 28 33 35 38 42 23 38


175 156 172 159 161 185 186 192 179 163 164 170 164 167 168 174 172 168 176

167 169 182 170 169 167 170 162 172 171 174 171 155 171 171 170 157 170 173

174 168 166 172 172 158 159 163 163 168 174 175 150 154 175 160 175 177 178

169 165 180 166 184 183 174 173 162 185 189 169 173 171 173 174 168 166 172

158 159 163 163 175 177 178 180 169 165 172 158 164 167 168 174 172 168 176

170 164 167 168 174 172 168 176 166 170 175 156 172 159 161 185 186 192 179


87 105 88 103 114 125 108 107 118 114 129 100 106 113 105 111 94 115 89 82

141 92 132 112 97 135 101 104 130 99 114 91 145 95 101 115 104 87 108 115

103 132 110 113 102 109 124 98 140 107 93 108 122 117 114 141 116 108 102 101

118 138 99 105 112 94 96 132 118 123 108 131 127 100 91 114 125 108 107 118

130 99 114 91 145 95 101 115 104 87 108 115 103 132 110 87 105 88 103 114

123 108 131 127 100 91 114 125 108 107 118 123 87 105 88 103 114 125 108 107

114 91 145 95 101 115 104 87 108 115 87 105 88 103 114 125 108 107 94 96


375 354 376 387 444 411 424 360 282 500

416 358 317 363 365 241 404 422 241 288

Página 112 de 176

328 263 402 254 362 424 440 317 299 279

408 348 315 385 481 500 438 310 482 446

333 382 300 347 421 368 365 387 358 440

294 390 249 418 315 230 273 379 359 263

385 481 279 408 317 299 424 440 254 362

402 288 328 422 241 291 404 363 365 358

411 424 360 282 500 328 263 402 254 362

317 500 416 360 282 411 424 387 444 354

376 375 420 289 252 405 359 252 399 269

405 359 252 399 269 416 358 317 363 365

387 444 411 424 360 424 440 317 299 279


31 28 32 35 33 20 32 31 28 32 33 32

28 22 29 29 33 32 35 28 22 29 33 35

28 22 29 29 33 32 35 28 22 29 33 35

27 21 33 29 25 32 24 27 21 33 25 24

27 21 33 29 25 32 24 27 21 33 25 24

21 22 18 30 27 29 26 21 22 33 27 26

21 22 33 30 27 29 26 21 22 33 27 26

23 24 20 25 26 33 32 23 24 20 26 32

23 24 20 25 26 31 32 23 24 20 26 32

24 20 32 32 29 20 21 24 20 32 29 21

24 20 32 32 29 20 21 24 20 32 29 21

31 28 32 35 33 28 32 31 28 32 33 32

31 28 32 35 33 28 32 31 28 32 33 32

28 22 29 29 33 22 35 28 22 29 33 35

28 22 29 29 33 22 35 28 22 29 33 35

27 21 33 29 25 21 24 27 21 33 25 24

33 32 31 28 26 24 32 23 24 20 26 32

8) Los siguientes datos pertenecen a edades de un grupo de estudiantes, calcular la moda.

31 28 32 35 33 32 31 28 32 33 32

28 22 29 29 33 35 28 22 29 33 35

28 22 29 29 33 35 28 22 29 33 35

27 21 33 29 25 24 27 21 33 25 24

27 21 33 29 25 24 27 21 33 25 24

21 22 33 30 27 26 21 22 33 27 26

21 22 33 30 27 26 21 22 33 27 26

23 24 20 25 26 32 23 24 20 26 32

23 24 20 25 26 32 23 24 20 26 32

24 20 32 32 29 21 24 20 32 29 21

24 20 32 32 29 21 24 20 32 29 21

31 28 32 35 33 32 31 28 32 33 32

31 28 32 35 33 32 31 28 32 33 32

28 22 29 29 33 35 28 22 29 33 35

28 22 29 29 33 35 28 22 29 33 35

27 21 33 29 25 24 27 21 33 25 24

33 32 31 28 26 32 23 24 20 26 32

Página 113 de 176

5. MEDIDAS DE DISPERSION

Las medidas de tendencia central también son llamadas medidas de posición, que tratan de

medir o dar a conocer los datos que se dispersan o se alejan con relación a la media, mediana, moda, cuartiles, deciles o percentiles; en esta unidad se tomará como referencia la media aritmética. En general el uso de las medidas de tendencia central no es ayuda suficiente para

comparar dos o más distribuciones o muestras, especialmente cuando la media es igual en cada una de ellas. Entre las diferentes medidas de dispersión están: el rango o recorrido, desviación media, varianza, coeficiente de variación, etc.

LA DESVIACION MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Método para datos no agrupados . La media aritmética de las desviaciones para datos no

agrupados con relación a la media aritmética de los datos se puede calcular de la siguiente forma:

n

XX

DMi

n

XXf

DMii

)(*

Dónde:

X = Media aritmética de los datos.

Dm = desviación media.

Xi = Valor de cada uno de los datos observados.

fi = Frecuencia absoluta de cada valor Xi.

Para el cálculo de la desviación media se puede elaborar ciertas tablas que permiten organizar cada uno de los resultados obtenidos en el proceso, ver las dos Tablas siguientes

Problema. Para este caso se analiza dos grupos que tienen el mismo valor promedio.

TABLA 1: Permite calcular la media aritmética grupo A

No Puntaje Frecuencia producto

Xi fi Xi*f

1 40 1 40

2 45 2 90

3 50 3 150

4 55 4 220

5 60 5 300

6 65 4 260

7 70 3 210

8 75 2 150

9 80 1 80

n = 25 ii*Xf =1500

6025

1500

n

Xf=X

ii*---

Página 114 de 176

TABLA 2: Permite calcular la desviación media para el grupo A

No Puntaje Frecuencia Desviación Producto

Xi fi )(

XX i fi*I )(

XX iI

1 40 1 -20 20

2 45 2 -15 30

3 50 3 -10 30

4 55 4 -5 20

5 60 5 0 0

6 65 4 5 20

7 70 3 10 30

8 75 2 15 30

9 80 1 20 20

n = 25 200)(*

XXf ii

n

XXf

DMii

)(*

= 825

200

TABLA 3: Permite calcular la media aritmética grupo B

No Puntaje Frecuencia Producto

Xi fi X*f

1 45 1 45

2 50 2 100

3 55 3 165

4 60 5 300

5 65 3 195

6 70 2 140

7 75 1 75

n = 17 1020

6017

1020

n

Xf=X

ii*---

TABLA 4: Permite calcular la desviación media del grupo B

No Puntaje Frecuencia Desviación Producto

Xi fi )(

XX i fi*I )(

XX i I

1 45 1 -15 15

2 50 2 -10 20

3 55 3 -5 15

4 60 5 0 0

5 65 3 5 15

6 70 2 10 20

7 75 1 15 15

n = 17 100)(*

XXf ii

Página 115 de 176

n

XXf

DMii

)(*

9.517

100

De acuerdo a los resultados de la desviación media, se puede afirmar que el grupo A presenta mayor dispersión que el grupo B con relación a la media, por lo tanto, quien ocupa el primer puesto es el grupo B y el segundo para el A. Si no se está convencido se puede recurrir al concepto de varianza.

Calcular la desviación media para cada una de las siguientes variables




1 14 45 140

2 18 55 165

3 18 55 165

4 17 55 160

5 16 50 155

6 16 50 155

7 16 50 155

8 16 50 150

9 17 55 160

10 17 55 160

11 17 55 160

12 17 55 160

13 15 50 150

14 15 45 150

15 15 45 145

16 15 50 145

17 15 50 150

18 14 45 140

19 14 60 140

20 18 60 165

TABLA 6: Permite calcular la desviación media de la edad

No

Datos observados

Frecuencia Desviación Producto

Xi fi )(

XX i fi*I )(

XX i I

1

2

3

4

5

n =

)(* XXf ii

Página 116 de 176

n

XXf

DMii

)(*

=

Hallar la desviación media para el peso y la estatura

LA DESVIACION MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

Método para datos agrupados. Recordando que datos agrupados son aquellos en donde se trabaja con marcas de clase y no con datos realmente observados junto con las frecuencias (fi) de cada clase. Su expresión matemática es:

n

XXf

DMii

)(*

Xi = Marcas de clase.

fi = Frecuencia absoluta de cada intervalo.


Hallar la desviación media para la siguiente información.




1 23 38 150

2 18 47 153

3 24 37 168

4 18 70 173

5 25 82 163

6 25 35 172

7 41 49 177

8 25 55 154

9 36 46 158

10 26 56 152

11 34 52 180

12 19 55 175

13 22 64 165

14 22 54 163

15 30 50 153

16 26 66 154

17 28 67 153

18 23 52 175

19 18 51 159

Página 117 de 176

20 35 68 161

21 42 55 158

22 38 42 177

23 39 52 176

24 40 41 156

25 25 82 165

26 20 61 178

27 27 68 159

28 21 71 173

29 24 80 162

30 22 79 160

31 29 77 154

32 31 51 159

33 32 78 169

34 26 76 159

35 18 75 170

36 27 60 182

37 28 49 150

38 22 45 166

39 22 60 160

40 29 63 154

41 31 64 185

42 32 69 165

43 30 49 150

44 40 77 152

45 25 42 171

46 25 55 154

47 36 46 158

48 28 58 159

49 40 63 156

50 25 64 165

51 27 60 178

52 22 49 159

53 29 45 173

54 31 60 162

55 32 63 160

56 30 64 154

57 40 69 159

56 25 49 169

59 25 77 159

60 36 42 170

61 40 55 171

62 25 46 156

Procedimiento:


Hallar el rango

Página 118 de 176


Construir la tabla correspondiente para la media y la desviación media

TABLA 2: Calculo de la media para la edad

No Intervalos de clase Marcas de clase Frecuencia Producto

Li Ls Xi f Xi*f

1

2

3

4

5

6

7

8

n = fX*

i

n

fXX

i*i

TABLA 3: Calculo de la desviación media para la edad

No Intervalos de clase Marcas de clase Frecuencia Desviación Producto

Li Ls Xi f )(

XX i fi*I )(

XX iI

1

2

3

4

5

6

7

8

n =

)(* XXf ii

n

XXf

DMii )(*

Hallar la deviación media para el peso y estatura

Página 119 de 176

LA VARIANZA PARA DATOS NO AGRUPADOS

La varianza es una medida de dispersión que consiste en la suma de las desviaciones al

cuadrado de cada uno de los datos con relación a la media aritmética, dividida por el tamaño de la muestra n. Cuando la dispersión de los datos es mayor, también lo son sus desviaciones, por lo tanto, lo será su varianza. En el proceso de cálculo, la varianza toma unidades

cuadráticas resultando un inconveniente, de allí que se ha tomado otra medida de dispersión llamada desviación típica o estándar que se simboliza por S. La varianza puede ser para datos no agrupados y agrupados.

Para datos no agrupados . La expresión que se utiliza para éstos casos es la siguiente:

n

XX i

2

2)(

S n

XXf ii

2

2)(

S

Xi = Datos observados.

fi = Frecuencia absoluta de cada uno de los datos.

Siguiendo el proceso para solucionar el problema anterior de los grupos A y B ahora utilizando el concepto de varianza. En primer lugar, se debe elaborar tablas de valores para cada uno de los grupos, ver Tabla 1 y 2 que pertenece a A y B respectivamente. Reemplazando los datos de las Tablas 1 y 2 se obtiene la varianza tanto para A y B.

TABLA 1: Calculo de la varianza grupo A

No Datos Frecuencia Desviación Potencia Producto

Xi fi )(

XX i )(

XX i2 fi* )(

XX i2

1 40 1 -20 400 400

2 45 2 -15 225 450

3 50 3 -10 100 300

4 55 4 -5 25 100

5 60 5 0 0 0

6 65 4 5 25 100

7 70 3 10 100 300

8 75 2 15 225 450

9 80 1 20 400 400

n = 25 2500)(

2

XXf ii

n

XX i

2

2)(

S 10025

2500

Página 120 de 176

TABLA 2: Calculo de la varianza grupo B


Xi fi )(

XX i )(

XX i2 fi*( - XX i

)2

1 45 1 -15 225 225

2 50 2 -10 100 200

3 55 3 -5 25 75

4 60 4 0 0 0

5 65 5 5 25 75

6 70 2 10 100 200

7 75 1 15 225 225

n = 17 1000)( 2

XXf ii

n

XX i

2

2)(

S 82.5817

1000

Según los resultados de las varianzas el grupo B ocupa el primer puesto 100>58.82




1 14 45 140

2 18 55 165

3 18 55 165

4 17 55 160

5 16 50 155

6 16 50 155

7 16 50 155

8 16 50 150

9 17 55 160

10 17 55 160

11 17 55 160

12 17 55 160

13 15 50 150

14 15 45 150

15 15 45 145

16 15 50 145

17 15 50 150

18 14 45 140

19 14 60 140

20 18 60 165

Página 121 de 176

TABLA 4: La varianza para la edad


Xi fi )(

XX i )(

XX i2 fi*( - XX i

)2

1

2

3

4

5

n =

2)( XXf ii

n

XX i

2

2)(

S

*Hallar la varianza para el peso y estatura

LA VARIANZA PARA DATOS AGRUPADOS

Método para datos agrupados. Para estos casos se puede utilizar una expresión similar a la

anterior en donde los datos observados son reemplazados por las marcas de clase X i con sus correspondientes frecuencias f i.

n

XXf ii

2

2)(

S


No Edad años ( x) Peso kilogramos (x) Estatura cm (x)


1 23 38 150

2 18 47 153

3 24 37 168

4 18 70 173

5 25 82 163

6 25 35 172

7 41 49 177

8 25 55 154

9 36 46 158

10 26 56 152

11 34 52 180

12 19 55 175

Página 122 de 176

13 22 64 165

14 22 54 163

15 30 50 153

16 26 66 154

17 28 67 153

18 23 52 175

19 18 51 159

20 35 68 161

21 42 55 158

22 38 42 177

23 39 52 176

24 40 41 156

25 25 82 165

26 20 61 178

27 27 68 159

28 21 71 173

29 24 80 162

30 22 79 160

31 29 77 154

32 31 51 159

33 32 78 169

34 26 76 159

35 18 75 170

36 27 60 182

37 28 49 150

38 22 45 166

39 22 60 160

40 29 63 154

41 31 64 185

42 32 69 165

43 30 49 150

44 40 77 152

45 25 42 171

46 25 55 154

47 36 46 158

48 28 58 159

49 40 63 156

50 25 64 165

51 27 60 178

52 22 49 159

53 29 45 173

54 31 60 162

55 32 63 160

56 30 64 154

57 40 69 159

56 25 49 169

59 25 77 159

60 36 42 170

61 40 55 171

62 25 46 156

Página 123 de 176

Procedimiento:


Hallar el rango


Construir la tabla correspondiente para la varianza

TABLA 2: -Calculo de la media y desviación media para la edad

No Intervalos de clase Marcas de clase Frecuencia Producto

Li Ls Xi f Xi*f

1

2

3

4

5

6

7

8

n =

n

fXX

i*i

TABLA 2: La varianza para la edad

No

Intervalos de clase

Marcas de clase

Frecuencia Desviación Potencia Producto

Li Ls Xi fi )(

XX i )(

XX i2 fi*( - XX i )2

1

2

3

4

5

6

7

8

n = 2

)( XXf ii

n

XXf ii

2

2)(

S

*Hallar la varianza para el peso y la estura.

Página 124 de 176

LA DESVIACIÓN TÍPICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Se define como la raíz cuadrada de la varianza tomada con signo positivo o la raíz cuadrada

de las desviaciones al cuadrado con relación a la media aritmética y se representa por S, su expresión matemática es la siguiente: La desviación típica o estándar permite hacer comparaciones con los datos originales en forma directa, debido a que su resultado lleva la

misma unidad de medida que los datos observados. La desviación típica puede encontrar tanto para datos no agrupados y agrupados.

Método para datos no agrupados . Para este caso se puede utilizar

n

XXfS

ii

2

)( VarianzaS

S = Desviación típica.

fi = Frecuencia de cada dato Xi.

Xi = Valor de cada uno de los datos.

Siguiendo con el caso de los dos grupos A y B tomar el concepto desviación típica para decidir cuál de los grupos ocupa el primer lugar mediante el uso de los valores de las Tablas 1 y 2 y la fórmula anterior, se tiene:

TABLA 1: Para calcular la desviación standard grupo A


Xi fi )(

XX i )(

XX i2 fi*( - XX i

)2

1 40 1 -20 400 400

2 45 2 -15 225 450

3 50 3 -10 100 300

4 55 4 -5 25 100

5 60 5 0 0 0

6 65 4 5 25 100

7 70 3 10 100 300

8 75 2 15 225 450

9 80 1 20 400 400

n = 25 2500)(2

XXf ii

13.120588.14717

2500)(2

n

XXfS

ii

Página 125 de 176

TABLA 2: Para calcular la desviación standard grupo B


Xi fi )(

XX i )(

XX i2 fi*( - XX i

)2

1 45 1 -15 225 225

2 50 2 -10 100 200

3 55 3 -5 25 75

4 60 4 0 0 0

5 65 5 5 25 75

6 70 2 10 100 200

7 75 1 15 225 225

n = 17 1000)(2

XXf ii

67.782.5817

1000)(2

n

XXfS

ii

Según estos resultados se puede afirmar que el grupo B ocupa el primer lugar, debido a que éste presenta menor desviación con relación a la media aritmética.

LA DESVIACIÓN TÍPICA PARA DATOS AGRUPADOS

Cuando no se puede obtener la media aritmética, la desviación media, varianza y desviación típica con los datos realmente observados debido a que éstos son numerosos, se procede a agrupar en clases o intervalos, en donde Xi representa las marcas de clase y f i las frecuencias

de cada intervalo, para esto se utiliza expresiones semejantes a las anteriores con algunas modificaciones.

n

XXfS

ii

2

)(

Veamos el siguiente caso, después de tabular los datos, agrupar en intervalos ver Tabla 1 para una muestra de 200 elementos.

TABLA 1: Para calcular la media aritmética

No Intervalos

Frecuencia absoluta

Marcas de clase

Producto

Li Ls fi Xi f*X

1 4 7 5 5.5 27.5

2 8 11 20 9.5 190

3 12 15 40 13.5 540

4 16 19 60 17.5 1050

5 20 23 40 21.5 860

6 24 27 20 25.5 510

7 28 31 10 29.5 295

8 32 35 5 33.5 167.5

n = 200 ii Xf * = 3640

Página 126 de 176

Para utilizar la expresión para S, hay necesidad de hallar la media aritmética y confeccionar la Tabla 2 tomando como referencia la Tabla 1, así:

n

XfX

ii

*= 2.18

200

3640

Reemplazando en la expresión, se obtiene valor de la desviación típica.

n

XXfS

i

2

)(=

200

00.7182= 91.35 = 5.99 = 6

TABLA 2: Para calcular la desviación estándar

No

Marcas de

clase Frecuencia Desviación Potencia Producto

Xi fi )(

XX i )(

XX i2 fi*( - XX i

)2

1 5.5 5 -12.7 161.29 806.45

2 9.5 20 -8.7 75.69 1513.80

3 13.5 40 -4.7 22.09 883.60

4 17.5 60 -0.7 0.49 29.40

5 21.5 40 3.3 10.89 435.60

6 25.5 20 7.3 53.29 1065.80

7 29.5 10 11.3 127.69 1276.90

8 33.5 5 15.3 234.09 1170.45

n = 200 7182)(

2

XXf ii

Hallar la desviación típica o standard para las variables siguientes




1 23 38 150

2 18 47 153

3 24 37 168

4 18 70 173

5 25 82 163

6 25 35 172

7 41 49 177

8 25 55 154

9 36 46 158

10 26 56 152

11 34 52 180

12 19 55 175

13 22 64 165

14 22 54 163

Página 127 de 176

15 30 50 153

16 26 66 154

17 28 67 153

18 23 52 175

19 18 51 159

20 35 68 161

21 42 55 158

22 38 42 177

23 39 52 176

24 40 41 156

25 25 82 165

26 20 61 178

27 27 68 159

28 21 71 173

29 24 80 162

30 22 79 160

31 29 77 154

32 31 51 159

33 32 78 169

34 26 76 159

35 18 75 170

36 27 60 182

37 28 49 150

38 22 45 166

39 22 60 160

40 29 63 154

41 31 64 185

42 32 69 165

43 30 49 150

44 40 77 152

45 25 42 171

46 25 55 154

47 36 46 158

48 28 58 159

49 40 63 156

50 25 64 165

51 27 60 178

52 22 49 159

53 29 45 173

54 31 60 162

55 32 63 160

56 30 64 154

57 40 69 159

56 25 49 169

59 25 77 159

60 36 42 170

61 40 55 171

62 25 46 156

Página 128 de 176

Procedimiento:


Hallar el rango


Construir la tabla correspondiente para la desviación stándard

TABLA 4: Calcular la media aritmética

No Intervalos

Frecuencia absoluta

Marcas de clase

Producto

Li Ls fi Xi f*X

1

2

3

4

5

6

7

8

n = ii Xf * =

n

XfX

ii *

TABLA 5: Calcular la desviación estándar para la edad

No

Intervalos de clase

Marcas de clase

Frecuencia Desviación Potencia Producto

Li Ls Xi fi )(

XX i )(

XX i2 fi*( - XX i )2

1

2

3

4

5

6

7

8

n = 2

)( XXf ii

Página 129 de 176

n

XXfS

i

2

)(

*Hallar la desviación estándar para el peso y estatura.

EL COEFICIENTE DE VARIACIÓN (CV)

En algunas ocasiones se requiere un estadístico descriptivo que indique cuán grande es la

desviación estándar en relación con la media. Esta medida es el coeficiente de variación y se representa como porcentaje. El coeficiente de variación es una medida relativa de la variabilidad; mide la desviación estándar en relación con la media, expresado en porcentaje.

100C

X

SV

En los datos de los tamaños de los cinco grupos de estudiantes, se encontró una media muestral de 44 y una desviación estándar muestral de 8. El coeficiente de variación es [(8/44)

100] = 18.2%. Expresado en palabras, el coeficiente de variación indica que la desviación estándar muestral es 18.2% del valor de la media muestral. En los datos de los sueldos iniciales, la media muestral encontrada es 3540 y la desviación estándar muestral es 165.65,

el coeficiente de variación, [(165.65/3540) 100] = 4.7%, indica que la desviación estándar muestral es sólo 4.7% del valor de la media muestral. En general, el coeficiente de variación es un estadístico útil para comparar la variabilidad de variables que tienen desviaciones estándar distintas y medias distintas.

Este coeficiente permite comparar la variabilidad de diferentes muestras en una misma variable o la variabilidad existente entre variables diferentes. Una investigación experimental en el campo agropecuario que tenga un CV menor al 10 %, muestra que en el experimento hubo un

muy buen control del error experimental entre las diferentes repeticiones, sin embargo, en procesos productivos industriales éste valor de variabilidad en una variable de salida, sería muy alto, en general se aceptan valores muy pequeños, inferiores al 1%.

*Hallar el coeficiente de variación para la edad, el peso y estatura para la tabla anterior.


1) Calcular la desviación media, la varianza, la desviación típica y el coeficiente de variación para las siguientes distribuciones de datos de manera manual.

a) 5, 2, 6, 4, 1 y 3

b) 5, 2, 8, 4, 1, 6, 7 y 3

c) 9, 2, 8, 4, 5, 6, 7, 3 y 1

d) 36, 8, 12, 32, 24, 28, 16 y 4

e) 80, 70, 40, 60, 50, 30, 20 y 10

6) Dada la siguiente tabla calcular la desviación media, la varianza, la desviación típica y el coeficiente de variación:

Página 130 de 176



7) Calcule la desviación media, la varianza, la desviación típica y el coeficiente de variación: 9, 1, 3, 6, 9, 12, 15, 9, 18, 18 y 21 de manera manual

8) Calcule la desviación media, la varianza, la desviación típica y el coeficiente de variación: 12, 14, 16, 18, 10, 12, 14, 16, 18, 20 y 12 de manera manual.

9) Calcule la desviación media, la varianza, la desviación típica y el coeficiente de variación: 100, 120, 140, 120, 160, 100, 80, 90, 100, 120 y 140.

Con los datos de las siguientes tablas calcular:

a) La desviación media para datos agrupados

b) La varianza para datos agrupados

c) La desviación típica o standard

d) El coeficiente de variación para datos agrupados siguientes.

1) Tabla de datos observados sobre puntajes

375 354 376 387 444 411 424 360 282 500

416 358 317 363 365 241 404 422 241 288

328 263 402 254 362 424 440 317 299 279

408 348 315 385 481 500 438 310 482 446

333 382 300 347 421 368 365 387 358 440

294 390 249 418 315 243 273 379 359 263

385 481 279 408 317 299 424 440 254 362

402 288 328 422 241 291 404 363 365 358

317 500 416 360 282 411 424 387 444 354

376 375 420 289 252 405 359 252 399 269

405 359 252 399 269 416 358 317 363 365

387 444 411 424 360 424 440 317 299 279

2) Tabla de datos observados sobre edades

31 28 32 35 33 32 31 28 32 33 32

28 22 29 29 33 35 28 22 29 33 35

22 28 29 29 33 35 28 22 29 33 35

27 21 33 29 25 24 27 21 33 25 24

21 27 33 29 25 24 27 21 33 25 24

21 22 33 30 27 26 21 22 33 27 26

22 21 33 30 27 26 21 22 33 27 26

23 24 20 25 26 32 23 24 20 26 32

23 24 20 25 26 32 23 24 20 26 32

24 20 32 32 29 21 24 20 32 29 21

24 20 32 32 29 21 24 20 32 29 21

31 28 32 35 33 32 31 28 32 33 32

28 31 32 35 33 32 31 28 32 33 32

28 22 29 29 33 35 28 22 29 33 35

29 22 28 29 33 35 28 22 29 33 35

27 21 33 29 25 24 27 21 33 25 24

33 32 31 28 26 32 23 24 20 26 32

Página 131 de 176

3) A continuación se registra los puntajes de conjunto de personas obtenidos con base a 100 puntos.

38 51 32 65 25 28 34 12 29 43

71 62 50 37 18 24 19 47 81 53

16 62 50 37 14 17 75 94 16 25

55 38 46 16 72 64 61 33 59 21

13 92 37 43 58 52 88 27 74 66

63 28 36 19 56 84 38 16 42 50

38 46 16 72 64 61 33 59 68 77

98 51 62 13 17 43 47 54 58 26

12 42 34 68 77 45 60 31 72 23

18 22 70 34 15 59 20 68 55 49

33 52 14 40 38 54 50 11 41 76


13 15 24 28 33 35 38 42 23 38 36 34 29 25 17 17 34 36 39 44

31 26 20 11 13 22 27 47 39 37 34 32 35 28 38 41 48 15 32 13

35 38 42 23 38 36 17 34 24 28 33 35 38 42 23 38 36 34 29 25

17 17 34 36 39 44 31 26 20 11 13 22 27 47 39 37 34 32 35 28

38 41 47 39 37 34 32 35 28 38 41 48 15 32 13 35 34 29 25 17

36 39 44 31 26 20 31 26 20 11 13 22 27 47 39 17 34 36 39 44

36 34 29 25 17 17 34 36 39 44 13 15 24 28 33 35 38 42 23 38


175 156 172 159 161 185 186 192 179 163 164 170 164 167 168 174 172 168 176

167 169 182 170 169 167 170 162 172 171 174 171 155 171 171 170 157 170 173

174 168 166 172 172 158 159 163 163 168 174 175 150 154 175 160 175 177 178

169 165 180 166 184 183 174 173 162 185 189 169 173 171 173 174 168 166 172

158 159 163 163 175 177 178 180 169 165 172 158 164 167 168 174 172 168 176

170 164 167 168 174 172 168 176 166 170 175 156 172 159 161 185 186 192 179


87 105 88 103 114 125 108 107 118 114 129 100 106 113 105 111 94 115 89 82

141 92 132 112 97 135 101 104 130 99 114 91 145 95 101 115 104 87 108 115

103 132 110 113 102 109 124 98 140 107 93 108 122 117 114 141 116 108 102 101

118 138 99 105 112 94 96 132 118 123 108 131 127 100 91 114 125 108 107 118

130 99 114 91 145 95 101 115 104 87 108 115 103 132 110 87 105 88 103 114

123 108 131 127 100 91 114 125 108 107 118 123 87 105 88 103 114 125 108 107

114 91 145 95 101 115 104 87 108 115 87 105 88 103 114 125 108 107 94 96


375 354 376 387 444 411 424 360 282 500

416 358 317 363 365 241 404 422 241 288

328 263 402 254 362 424 440 317 299 279

408 348 315 385 481 500 438 310 482 446

333 382 300 347 421 368 365 387 358 440

294 390 249 418 315 230 273 379 359 263

385 481 279 408 317 299 424 440 254 362

402 288 328 422 241 291 404 363 365 358

411 424 360 282 500 328 263 402 254 362

317 500 416 360 282 411 424 387 444 354

376 375 420 289 252 405 359 252 399 269

405 359 252 399 269 416 358 317 363 365

387 444 411 424 360 424 440 317 299 279

Página 132 de 176


31 28 32 35 33 20 32 31 28 32 33 32

28 22 29 29 33 32 35 28 22 29 33 35

28 22 29 29 33 32 35 28 22 29 33 35

27 21 33 29 25 32 24 27 21 33 25 24

27 21 33 29 25 32 24 27 21 33 25 24

21 22 18 30 27 29 26 21 22 33 27 26

21 22 33 30 27 29 26 21 22 33 27 26

23 24 20 25 26 33 32 23 24 20 26 32

23 24 20 25 26 31 32 23 24 20 26 32

24 20 32 32 29 20 21 24 20 32 29 21

24 20 32 32 29 20 21 24 20 32 29 21

31 28 32 35 33 28 32 31 28 32 33 32

31 28 32 35 33 28 32 31 28 32 33 32

28 22 29 29 33 22 35 28 22 29 33 35

28 22 29 29 33 22 35 28 22 29 33 35

27 21 33 29 25 21 24 27 21 33 25 24

33 32 31 28 26 24 32 23 24 20 26 32

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6. PROBABILIDADES Y TECNICAS DE CONTAR

El concepto de probabilidad nace con el deseo del hombre de conocer con certeza los eventos

venideros. Es por ello que el estudio de las probabilidades surge como una herramienta utilizada por los nobles para ganar en los juegos y pasatiempos de la época. El desarrollo de estas herramientas fue asignado a los matemáticos de la corte.

Con el tiempo estas técnicas matemáticas se perfeccionaron y utilizaron en otras actividades

muy diferentes para las que fueron creadas. Actualmente con avance de la computación se han desarrollado programas para el estudio de las probabilidades disminuyendo considerablemente el margen de error en el cálculo.

La estadística y las probabilidades desempeñan un papel fundamental en el desarrollo de

problemas que están relacionados con la enumeración de experimentos, pruebas, sucesos y datos. Entre las diferentes maneras que existen para ordenar y contar están: principio fundamental del conteo, factorial, variaciones, permutaciones y combinaciones.

LEY DE LA MULTIPLICACION.

Este método que consiste en descomponer un experimento en otros simples y multiplicar el número de posibilidades de cada uno de éstos para calcular las posibilidades totales.

Este principio se enuncia de la siguiente manera: Sí un suceso puede realizarse de n1 maneras diferentes, un segundo suceso puede realizarse de n2 maneras diferentes, un tercer suceso puede realizarse de n3 maneras diferentes y así sucesivamente hasta llegar al último; el

número de maneras que los sucesos se pueden ordenar es equivalente al producto, así: n1*n2*n3*.... = n; Total de ordenaciones.

EJEMPLO. Para formar una junta directiva hay 3 candidatos para presidente, 2 para tesorero y 2 para secretarias; los tres cargos podrán ocuparse de: 3*2*2 = 12 maneras u

ordenaciones diferentes. Para determinar el número de ternas se procede a formar el árbol de ordenaciones, así:

P1

T1 S1 El conjunto solución

S = {P1T1S1, P1T1S2, P1T2S1, P1T2S2, P2T1S1, P2T1S2, P2T2S1, P2T2S2, P3T1S1,

P3T1S2, P3T2S1, P3T2S2}

S2

T2 S1

S2

P2

T1 S1

S2

T2 S1

S2

P3

T1 S1

S2

T2 S1

S2

FIGURA 1

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NOTACIÓN FACTORIAL

La notación factorial n!; significa el producto ordenado de enteros positivos desde n hasta 1 o desde 1 hasta n; que se lee; n factorial y se puede escribir de la siguiente manera:

n! = n*(n -1)*(n - 2)*(n -3)*...*3*2*1, Además:0! = 1 y 1! = 1, por definición.

EJEMPLO. Se desea hallar la factorial de 1, 2, 3, 4, 5 y 6 se tiene:

FACTORIAL

0! = 0

1! = 1

2! = 2 * 1 = 2

3! = 3 * 2 * 1 = 6

4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24

5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120

6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1= 720

De acuerdo al concepto de factorial se puede resolver diferentes problemas, así: Un estudiante desea saber de cuantas formas puede ordenar libros de: biología, uno de química y uno de

física en el estante de su biblioteca; para resolver éste problema el estudiante procede a desarrollar de dos maneras una gráfica y otra analítica. Para el primer caso ver Figura 2, 3 y 4

B

Q

F

B

Q

F

Q

B

F

F

B

Q

Q F

B F Q

B F

Q F B

B Q

F Q B

FIGURA 2 FIGURA 3 FIGURA 4

Las figuras anteriores tienen la siguiente explicación:

En primer lugar, el estudiante hace un gráfico ubicando y ordenando B, Q, F de arriba hacia abajo, todos a partir de un punto de origen, ver Figura 2. S1 = {B, Q, F}

Luego hace un nuevo gráfico ubicando a lado y lado de B, Q, F los restantes libros para cada uno de ellos haciendo un segundo ordenamiento de dos libros que corresponde a cada ramificación, ver Figura 3. S2 = {BQ, BF, QB, QF, FB, FQ}

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Por último, en la Figura 4 y en cada ramificación de la Figura 3 ubica el tercer libro para

completar el tercer orden que corresponde a la igualdad de ramificaciones, así. S3 = N = {BQF, BFQ, QBF, QFB, FBQ, FQB} o sea:N = 6 maneras de ordenar

Analíticamente para n = 3 se tiene: 3! = 3*2*1 = 6, Maneras diferentes de ordenar libros.

VARIACIONES

Según algunos autores, variación es la enumeración de una cantidad de elementos o sucesos

en un orden determinado; tomados de r en r de un conjunto formado por n elementos o sucesos. Además, para que haya variaciones algunos matemáticos consideran que debe cumplir la relación de que r<n. En una variación, se puede repetir los elementos que conforman

los diferentes subconjuntos y no importa el orden en cada uno de ellos. Las variaciones también son llamadas pruebas con sustitución; debido a que, en cada, ordenamiento de tamaño r se extrae un elemento del conjunto y se lo devuelve a dicho conjunto una vez hecho

su respectivo análisis; así, hasta terminar. Para hallar el número de variaciones en forma analítica se utiliza.

r)!-(n

n! nVr =

Dónde:

nVr = Símbolo para una variación.

n = Número total de elementos o sucesos de un conjunto.

r = Tamaño de la muestra o pruebas ordenadas.

! = Símbolo que identifica la factorial.

n r nVr

6 1 6

6 2 30

6 3 120

6 4 360

6 5 720

6 6 720

EJEMPLO. Un profesor tiene 10 estudiantes y quiere formar grupos de 4 estudiantes. ¿De

cuántas maneras podrá organizar? En este caso se tiene n = 10 y r = 4 que reemplazando en su fórmula se tiene:

4)!- (10

10!=V410 = 5040

123456

1345678910

!6

!10

*****

********

El resultado anterior de 5040 está expresando un número grande de grupos y cada uno con 4 estudiantes que se forman a partir de 10 estudiantes.

Si los valores de n son pequeños se halla las variaciones gráfica y analíticamente. Suponiendo un grupo de 4 estudiantes Alejandra, Beatriz y Diana solicitan reingreso a la universidad y

tienen que presentar entrevista; ellas piensan que pueden ser llamadas individualmente o en grupos de dos y resuelven analítica y gráficamente, ver Figura 5. El conjunto solución S según la Figura 5 equivale:

S = {A, B, C, D} = 4 formas de 1 en 1, que va desde el origen a la columna 1.

Página 136 de 176

S1 = {AB,AC,AD,BA,BC,BD,CA,CB,CD,DA,DB,DC}

S1 = 12 formas de 2 en 2, que va desde la columna 1 a 2

0 r=1 r=2 S1

A B =AB C =AC

D =AD B A =BA

C =BC

D =BD

C A =CA B =CB D =CD

D A =DA

B =DB

C =DC

FIGURA 5 representación gráfica

EJEMPLO. Analíticamente se puede hallar utilizando la fórmula que identifica la variación.

Para n = 4 y r = 1

14V = 4123

1234

!3

!4

)!14(

!4

**

***

4V1 = 4 formas de 1 en 1

Para n = 4 y r = 2

24V = 1212

1234

2

!4

)!24(

!4

*

***

4V2 = 12 formas de 2 en 2

PERMUTACIONES

La permutación es la enumeración de cierto número de elementos o sucesos en donde entran

todos los elementos o sucesos de un conjunto dado. Una permutación es un caso particular de las variaciones donde r = n; su expresión matemática es la siguiente:

!!0

!

n)!-(n

n!nVn n

n nPn = n! n! = n(n - 1)(n - 2)(n - 3)...1

Las permutaciones son un caso particular de las variaciones, se cumple para n = r. Debido a esto, algunos matemáticos no hacen diferencia entre estos dos conceptos; simplemente utilizan permutaciones para hallar el ordenamiento cuando, r menor o igual a n.

EJEMPLO. Considerando el grupo de estudiantes: Alejandra, Beatriz, Carolina y Diana se

puede hallar las permutaciones de 4 en 4 gráfica y analíticamente; esto se encuentra en la Figura 6. En forma analítica para n = 4 y r = 4 es.

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nPn = 4P4 = 4*3*2*1 nPn = 24

0 1 2 3 4

A

B C D D C

C B D

D B D B C

C B

B

A C D D C

C A D

D A D A C

C A

C

A B D D B

B A D

D A D A B

B A

D

A B C C B

B A C

C A C A B

B A

FIGURA 6 representaciones para 4P4

Indica 24 formas de ordenar de 4 en 4. En forma gráfica ver Figura 6 y su proceso es:

Tomando de izquierda a derecha, desde la columna 0 hasta 1, las variaciones tomadas de 1 en 1, son: S1 = {A, B, C, D}

Tomando de izquierda a derecha por cada ramificación hasta la columna 2, están las variaciones tomadas de 2 en 2, ellas son: S2 = {............................

Tomando de izquierda a derecha por cada ramificación hasta la columna 3, están las variaciones tomadas de 3 en 3, ellas son: S3 = {............................

Tomando de izquierda a derecha por cada ramificación hasta la columna 4, están las permutaciones tomadas de 4 en 4, ellas son: S4 = {............................

COMBINACIONES

Se denomina combinación a una ordenación o enumeración de; cierto número de elementos o sucesos tomados de r en r de un conjunto de n elementos, sin repetición de ellos en más de un ordenamiento. En las combinaciones se cumple que: r siempre es menor o igual a n, r n sus expresiones matemáticas para el cálculo son:

Página 138 de 176

!)!(

!nCr

rrn

n=

!)!(

!

rrn

nn

r

Tomando el caso de las cuatro estudiantes que solicitan el reingreso a la universidad; se procede a encontrar las combinaciones; su proceso es similar al de variaciones y

permutaciones, la diferencia consiste en que no deben aparecer nombres repetidos en cada ordenamiento. El procedimiento gráfico está en la Figura 7.

0 1 2 3 4 A B C D

D C D

D

B C D D

C

D

FIGURA 7 diagrama combinatorio

En una variación y permutación se tiene en cuenta el orden. Los siguientes ordenamientos son diferentes: AB BA; AC CA; AD DA; BC CB; BD DB; CD DC

Aprendamos algo nuevo

En cambio, para las combinaciones los anteriores ordenamientos son equivalentes, por lo tanto, uno de ellos debe aparecer una sola vez en un ordenamiento.

Según la Figura 7 y las columnas 0 y 1 están las combinaciones de 1 en 1son:

S1 = {A, B, C, D}

Según la Figura 7 las columnas 1 y 2 se encuentra las combinaciones de 2 en 2, que son:

S2 = {AB, AC, AD, BC, BD, CD}

Según la Figura 7 las columnas 1, 2 y 3 se encuentra las combinaciones de 3 en 3, que son:

S3 = {ABC, ABD, ACD, BCD}

Según la Figura 7 las columnas 1, 2, 3 y 4 las combinaciones de 4 en 4, son:

S4={ABCD}

El proceso para hallar cada una de las combinaciones de acuerdo a la Figura 7 y en otros casos es el siguiente:

Tomar un punto de partida

A la derecha del punto de partida formar la columna 1 con los elementos dados, constituyendo combinaciones de 1 en 1.

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A la derecha de la columna 1 se forma una segunda columna con los elementos restantes de cada uno de ellos, o sea sin repetición, constituyendo combinaciones de 2 en 2

A la derecha de la columna 2 se forma una tercera columna con los elementos restantes

de las columnas 1 y 2 de acuerdo a su ramificación, dando como resultado combinaciones de 3 en 3.

EJEMPLO. Analíticamente se hace mediante fórmulas, así:

14 C = 4123

1234

!1!3

!4

!1)!14(

!4

**

***

*

24 C = 61212

1234

!2!2

!4

!2)!24(

!4

***

***

*

34 C = 41231

1234

!3!1

!4

!3)!34(

!4

***

***

*

44 C = 112341

1234

!4!0

!4

!4)!44(

!4

****

***

*

Cuando el número de elementos es muy grande, se dificulta hallar el número de combinaciones gráficamente, entonces se procede a resolver analíticamente.


1) Tú puedes desarrollar las inquietudes de:

Un estudiante desea organizar un derrotero de exámenes con las asignaturas de física,

química, biología y estadística; además desea saber de cuantas maneras puede hacer, identificando el primero, segundo, tercero y cuarto examen.

Otro estudiante realiza el mismo ejercicio utilizando asignaturas de física, química, biología, estadística, matemáticas y español.

2) Tú puedes ordenar los elementos de laboratorio de química: una pipeta, un tubo de ensayo, un beaker y una probeta de: 1 en 1, 2 en 2, 3 en 3 y 4 en 4; analítica y gráficamente.

3) Tú puedes hallar el número de variaciones de 3 en 3 de las cuatro estudiantes del caso anterior; gráfica y analíticamente.

4) . Tú puedes hallar los diferentes ordenamientos gráfica y analíticamente con los colores siguientes: rojo, naranja, amarillo, verde y azul de acuerdo a: 5V1, 5C1; 5V2, 5C2; 5V3, 5C3;

5V4. 5C4; 5P5. 5C5

CONCEPTO CLÁSICO DE PROBABILIDAD.

Clásicamente una probabilidad se puede definir como una relación entre un evento A que tiene

n resultados (muestras) de un total de N casos igualmente posibles pertenecientes al espacio muestral S (población) o evento seguro, se escribe:

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N(S)

n(A) P(A)

Dónde:

P(A)=Probabilidad de que suceda el evento A.

n(A)=Número de elementos del evento A.

N(S)=Número de elementos del evento seguro S.

Según el concepto clásico de probabilidad se considera que todos los eventos elementales de S tienen igual posibilidad o probabilidad de ser seleccionados.

EJEMPLO. Considerando un experimento que consiste en contestar 3 preguntas con V si la afirmación es correcta y con F si la afirmación es falsa. Para este caso se puede tomar las siguientes condiciones:

Identificar el espacio muestral S o evento seguro.

El evento A de contestar dos preguntas verdaderas.

El evento B de contestar por lo menos una verdadera

El evento C de contestar y que sean verdaderas.

El evento AB

El evento AB

El evento AC

0 1ª OPCIÓN 2ª OPCIÓN 3ª OPCIÓN

F

F F

V V F

V

V

F F V

V F

V FIGURA 8 diagrama de árbol

Una forma de solucionar es elaborando el diagrama de árbol, que está en la Figura 8.

Según la Figura 8 puede encontrar:

Evento seguro S = {FFF, FFV, FVF, FVV, VFF, VFV, VVF, VVV}

Evento A = {FVV, VFV, VVF}

Evento B = {FFV, FVF, FVV, VFF, VFV, VVF, VVV}

Evento C = {VVV}

Evento AB = {FFV, FVF, FVV, VFF, VFV, VVF, VVV}

Evento AB = {FVV, VFV, VVF}

Tomando el espacio muestral del caso anterior que está conformado de 8 elementos, o sea N=8

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S = {FFF, FFV, FVF, FVV, VFF, VFV, VVF, VVV}, o sea N=8

Para calcular la probabilidad del evento A que consiste en contestar dos preguntas verdaderas; donde A está conformado por 3 elementos, o sea:

A = {FVV, VFV, VVF}, para n=3

N(S)

n(A) P(A) = %5.37374.0

8

3

Hallar la probabilidad del evento B de contestar por lo menos una pregunta verdadera será:

N(S)

n(A) P(A) = %5.87875.0

8

7

La probabilidad del evento C de contestar 3 preguntas verdaderas es:

N(S)

n(A) P(A) = %5.12125.0

8

1

La probabilidad del evento D de contestar solo una pregunta verdadera será:

N(S)

n(A) P(A) = %5.37374.0

8

3


1) Considerando un experimento que consiste en contestar 3 preguntas con V si la afirmación

es correcta y con F si la afirmación es falsa. Para este caso se puede tomar las siguientes condiciones:

Diagrama de árbol

0 1ª Opción 2ª Opción 3ª Opción

F

F F

V V F

V

V

F F V

V F

V

Identificar el espacio muestral S o evento seguro.

El evento A de contestar dos preguntas verdaderas.

El evento B de contestar por lo menos una verdadera

El evento C de contestar y que todas sean verdaderas.

El evento AB

El evento AB

Hallar la probabilidad del evento A de contestar dos preguntas verdaderas.

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Hallar la probabilidad del evento B de contestar por lo menos una verdadera

Hallar la probabilidad del evento C de contestar y que todas sean verdaderas.

Hallar la probabilidad del evento AB

Hallar la probabilidad del evento AB

2) Otro estudiante responde al azar a 4 preguntas del mismo tipo anterior.

a) Escriba el espacio muestral.

b) Hallar el evento y la probabilidad de contestar 4 preguntas verdaderas

c) Hallar el evento y la probabilidad de contestar 3 preguntas verdaderas

d) Hallar el evento y la probabilidad de contestar 2 preguntas verdaderas

e) Hallar el evento y la probabilidad de contestar 1 preguntas verdaderas

3) Tú puedes resolver la siguiente inquietud; sea S el espacio muestral conformado por los números de 1 al 20 que pertenecen a las fichas de una determinada rifa.

S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}. Hallar las probabilidades de

sacar un número:

Par.

Impar.

Primo

Múltiplo de tres.

Múltiplo de cuatro.

Múltiplo de cinco.

Múltiplo de seis.

Múltiplo de siete.

Múltiplo de ocho.

Múltiplo de diez.

4) Se hace girar la flecha y se observa sobre qué número se detiene. Calcula las probabilidades de los siguientes sucesos

a) Obtener un numero par

b) Obtener un numero primo

c) Obtener 5 o mas

d) Que no salga el 7

5) En un centro escolar hay 1000 alumnos y alumnas repartidos así:

Se elige al azar uno de ellos. Calcula la probabilidad de que:

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CHICOS CHICAS

USAN GAFAS 147 135

NO USAN GAFAS 368 350

a) Sea chico

b) Sea chica

c) Use gafas

d) No use gafas

e) Sea una chica con gafas

6) En una empresa hay 200 empleados, 100 hombres y 100 mujeres. Los fumadores son 40 hombres y 35 mujeres. Si elegimos un empleado al azar, calcula la probabilidad de que sea

a) Hombre y no fume.

b) Una mujer y no fume

c) Un hombre y fume

d) Una mujer y fume

7) En una bolsa hay bolas de colores, pero no sabemos cuántas ni qué colores tienen. En 100 extracciones (devolviendo la bola cada vez) hemos obtenido bola blanca en 41 ocasiones, bola negra en 19, bola verde en 18 y bola azul en 22. Al hacer una nueva extracción, qué probabilidad asignarías a:

a) Sacar bola blanca.

b) Sacar bola negra.

c) Sacar bola verde.

d) Sacar bola azul.

Ahora, si hay 22 bolas:

• El 41% son blancas; ¿cuantas bolas blancas hay?

• El 19% son negras; ¿cuantas bolas negras hay?

• El 18% son verdes; ¿cuantas bolas verdes hay?

• El 22% son azules; ¿cuantas bolas azules hay?

8) En una bolsa tenemos tres bolas marcadas con los números 1, 2 y 3, respectivamente. Extraemos una bola, anotamos su número y la devolvemos a la bolsa. Extraemos otra bola, observamos su número y lo sumamos al anterior.

¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea 4?

9) Ana lanza un dado y su hermana Eva lo lanza después.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que la puntuación de Eva sea superior a la de Ana?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que la puntuación de Ana sea superior a la de Eva?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que la puntuación de Eva y Ana sean iguales?

d) ¿Cuál es la probabilidad de obtener en los dos la misma puntuación?

e) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 6 en los dos?

f) ¿Cuál es la probabilidad de obtener en las dos mayores puntuaciones?

g) ¿Cuál es la probabilidad de obtener en las dos menores puntuaciones?

h) Hallar la probabilidad que al sumar dos números obtenidos en sus lanzamientos sea: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.

1 2 3

1

2

3

HOMBRES MUJERES

FUMADORES 40 35

NO FUMADORES 60 65

Página 144 de 176

ANA EVA

1 2 3 4 5 6

1 1, 1 1, 2 1, 3 1, 4 1, 5 1, 6

2 2, 1 2 , 2 2, 3 2, 4 2, 5 2, 6

3 3, 1 3, 2 3, 3 3 , 4 3, 5 3, 6

4 4, 1 4, 2 4, 3 4, 4 4, 5 4, 6

5 5, 1 5, 2 5, 3 5, 4 5, 5 5, 6

6 6, 1 6, 2 6, 3 6, 4 6, 5 6, 6

10) Martha tiene en su maleta de viaje 3 blusas de colores: blanco, azul y amarillo; y 4 faldas de colores: verde, rosado, beige y negra. ¿De cuantas maneras diferentes puede hacerlo? Martha tiene:

a) 3 opciones de escoger blusas

b) 4 opciones de escoger faldas

Aplicando la técnica de la multiplicación se tendrán las siguientes posibilidades: 3 * 4 = 12 alternativas posibles:

Blusa blanca

Falda verde Falda rosada

Falda beige Falda negra

Blusa azul

Falda verde Falda rosada Falda beige

Falda negra

Blusa amarilla

Falda verde

Falda rosada Falda beige Falda negra

Es un método gráfico para mostrar la secuencia o posibilidades que puede ocurrir un evento, contando las ramas finales.

11) Al lanzar 3 monedas o lanzar tres veces una moneda.

PRIMER LANZAMIENTO

SEGUNDO

LANZAMIENTO

TERCER LANZAMIENTO

RESULTADOS

C C

C CCC (1) S CCS (2)

S C CSC (3)

S CSS (4)

S

C

C SCC (5) S SCS (6)

S

C SSC (7) S SSS (8)

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12) En una heladería hay 3 clases de jugos, 2 clases de empanadas y 4 clases de dulces. ¿Cuál es el número de posibilidades que una persona puede elegir?

M

P

Q R S

T

H

Q R

S T

G

P

Q

R S T

H

Q R S

T

C

P

Q R

S T

H

Q

R S

T

13) En un recipiente se tienen 10 bolas azules y 5 rojas y en un segundo recipiente se tienen 8

bolas blancas y 12 rojas. ¿Cuál es la probabilidad de sacar bolas rojas, si extraemos una de cada recipiente?

14) Se compraron 30 lápices de diferentes colores: 12 azules, 8 amarillo y 10 verdes. ¿Cuál es la probabilidad de extraer un lápiz de color:

a) Azul

b) Azul o amarillo.

c) Amarillo o verde.

15) A un cargo se presentan 16 candidatos de diferentes profesiones: 6 Economistas, 4 Administradores, 2 Contadores y 4 Ingenieros Industriales. ¿Cuál es la probabilidad de que el cargo sea ocupado por:

a) Un Economista,

b) Un Administrador,

c) Un contador,

d) ¿Un Ingeniero industrial?

16) Se tiene una urna con 20 bolas de plástico distribuidas en los siguientes colores: 5 amarillas, 8 negras y 7 rojas. Extraiga una bola, teniendo el cuidado de revolverlas antes de extraerla. Cuál es la probabilidad de que la bola seleccionada.

Página 146 de 176

a) Sea negra.

b) No sea amarilla.

c) Sea roja

d) Sea amarilla o negra.

17) Una urna tiene ocho bolas rojas, 5 amarilla y siete verdes. Se extrae una bola al azar, calcular la probabilidad de que:

a) Sea roja.

b) Sea verde.

c) Sea amarilla.

d) No sea roja.

e) No sea amarilla.

18) En una clase hay 10 alumnas rubias, 20 morenas, cinco alumnos rubios y 10 morenos. Un día asisten 44 alumnos, encontrar la probabilidad de que el alumno que falta:

a) Sea hombre.

b) Sea mujer morena.

c) Sea hombre o mujer.

19) Un grupo de hombres y mujeres que asistieron a una cena pidieron postre o café según la tabla. Si elegimos al azar a un asistente, calcula la probabilidad de que:

a) Sea mujer y haya pedido postre.

b) Sea hombre y haya pedido café.

c) Sea mujer y haya pedido café

d) Se hombre y haya pedido postre.

Hombre Mujer

Postre 20 8

Café 15 13

20) Se saca una bolita al azar de una urna que contiene 7 bolitas amarillas, 3 azules y 5 rojas. Cuál es la probabilidad de obtener

a) una bolita amarilla?

b) una bolita azul?

c) una bolita que no sea azul?

d) una bolita verde?

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7. DISTRIBUCION DE PROBABILIDADES ESPECIALES

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Esta distribución también se conoce como distribución de Bernoulli, en honor del matemático

suizo Jacob Bernoulli quien fue que la dedujo. Esta distribución se utiliza para tamaños de pruebas, experimentos o muestras menores de 50 debido a que si el número de muestras es mayor o muy grande los resultados no pueden ser los esperados, entonces se utiliza la

distribución normal. Sea S un espacio muestral en donde se pueden presentar pruebas repetidas e independientes o que es lo mismo decir pruebas con reemplazamiento, entonces se tiene dos resultados posibles llamados éxito E y fracaso F.

PROBABILIDAD DE ÉXITO PROBABILIDAD DEL FRACASO

P(E) = p P(F) = q

Como las pruebas para un éxito y un fracaso son independientes, lo cual implica que no importa las veces que se repita un experimento y sus probabilidades siempre serán las mismas. En una distribución Binomial se pueden presentar diferentes características entre ellas están:

La existencia de dos resultados en cada prueba.

En cada prueba tanto el éxito y fracaso son iguales de seleccionar.

El experimento consta de (n) pruebas con reemplazamiento.

La variable K representa al número de éxitos en (n) pruebas.

EJEMPLO. Si se toma una muestra de 29 estudiantes del tercer semestre de los cuales 8 son

mujeres y 21 hombres, llamando éxito a la probabilidad de seleccionar una mujer y fracaso al seleccionar un hombre en un experimento con reemplazamiento, las probabilidades de éxito y fracaso serán:

n(E)=número de mujeres. Éxito.

n(f) = número de hombres, Fracaso

n(S) = total de estudiantes.

P(E)=p =29

8

)(

)(

Sn

En = 0.276 = 27.6%. El 27.6% indica la probabilidad de seleccionar una mujer.

P(F)=q = 29

21

)(

)(

Sn

Fn= 0.724 = 72.4%. El 72.4% indica la probabilidad de seleccionar un

hombre.

Este resultado también se puede hallar mediante:

P(F) = 1 - p

P(F) = 1 - 0.276 = 72.4%

P(F) = 72.4%

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De esto se puede deducir que la suma de las dos probabilidades siempre es igual a la unidad.

De acuerdo a las condiciones anteriores la distribución Binomial para obtener K éxitos en n pruebas, matemáticamente se escribe de la siguiente forma:

P(K) =

n

k

pk qn-K =n

k

pK (1 - p)n-K

B(K; n, p) =

n

k

pK qn-K =

n

k

pK (1 - p)n-K

Dónde:

n = Número de pruebas con repetición.

K = Variable para cada éxito en cada prueba.

P(K) = Probabilidad de K éxitos en n pruebas.

B = Hace referencia al binomio con los parámetros n y p

Tomando los 29 estudiantes de los cuales 8 son mujeres y 21 hombres con sus probabilidades de 0.276 y 0.724 respectivamente, hallar las probabilidades de seleccionar:

a) 5 (K) mujeres en 6 (n) pruebas.

b) 3 (K) mujeres en 4 (n) pruebas.

c) 6 (K) mujeres en 7 (n) pruebas.

d) 8 (K) mujeres en 10 (n) pruebas.

e) 8 (K) mujeres en 15 (n) pruebas.

Para solucionar éste problema se utiliza una de las expresiones escritas anteriormente y reemplazando cada uno de los datos de acuerdo a las condiciones exigidas.

B(k; n, p) =

n

k

pK * qn-K

B(5; 6, 0.276) =

6

5

(0.276)5 (0.724)6-5 = 6(0.0016)(0.724) = 0.0069 = 0.69%

B(3; 4, 0.276) =

4

3

(0.276)3 (0.724)4-3 = 4(0.0210)(0.724) = 0.0608 = 6.08%

B(6; 7, 0.276) =

7

6

(0.276)6 (0.724)7-6 = 7(0.00044)(0.724) = 0.0022 = 0.22%

B(8; 10, 0.276) =

10

8

(0.276)8(0.724)10-8 =45(0.00003)(0.52) = 0.0007 = 0.07%

B(8; 15, 0.276) =

15

8

(0.276)8(0.724)15-8=64(0.00003)(0.0104) = 0.02015 = 2.015%

Los resultados anteriores se pueden analizar, para el quinto caso indica que la probabilidad de obtener 8 (k) mujeres en 15 (n) pruebas con p = 0.276, es igual a la probabilidad de 2.015%.

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LA TABLA BINOMIAL.

La tabla que se utiliza en éste tema está identificada con la letra B, ver Anexo, además está

compuesta para diversos valores de K según sea los de n. En éste caso se ha tomado para n = 20 y su aplicación se extiende a diferentes casos. La tabla Binomial se aplica a valores individuales que están o no en la tabla que está conformada por filas y columnas, un modelo

se presenta en la Tabla 1. Para hallar la probabilidad de elegir diferentes éxitos utilizando la tabla de probabilidad B. Cuando la probabilidad del éxito es de: p = 0.05

n = 1 y K = 1,

n = 2 y K = 0, 1, 2

TABLA 1 BINOMIAL

PROBABILIDAD P

n K 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45

1 0 0.9500 0.9000 0.8500 0.8000 0.7500 0.7000 0.6500 0.6000 0.5500

1 0.0500

2 0 0.9025

1 0.0925 0.4550

2 0.0025

En el primer caso se busca en columna n = 1, en la segunda K=1, en la intersección de la fila K = 1 con la columna p = 0.05 se encuentra el valor de la probabilidad deseada.

B(K; n, p) = B(1; 1, 0.05) = 0.0500 = 5.0%

P(K) = P(1) = 5.0%

En la primera columna se busca n = 2, en la segunda k=0, en la intersección de la fila k = 0 con la columna p = 0.05 se encuentra el valor de la probabilidad deseada.

B(K; n, p) = B(0;2, 0.05) = 0.9025 = 90.25%

P(K) = P(0) = 90.25%

Para n = 2, K = 1 y p = 0.05 será:

B(K; n, p) = B(1; 2, 0.05) = 0.0925 = 9.25%

P(K) = P(1) = 9.25%

Para n = 2, K = 2 y p = 0.05 será:

B(K; n, p) = B(2; 2, 0.05) = 0.0025 = 0.25%

P(K) = P(2) = 0.25%

De ésta manera se puede encontrar probabilidades para diferentes valores de n, K y p;

identificando en primer lugar n luego K y con ésta la intersección del valor de p. En la tabla para la distribución Binomial B la probabilidad p va desde 0.05 hasta 0.5, ver Anexo 1;


Hallar la probabilidad Binomial utilizando el proceso matemático.

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a) P(2; 8, 0.4)

b) P(3; 5, 0.15)

c) P(4; 8; 0.45)

d) P(12; 18, 0.35)

e) P(3; 10, 0.65)

f) P(10; 16, 0.8)

g) P(8; 15, 0.25

h) P(2; 6, 0.4)

i) P(4; 6, 0.25)

j) P(3; 10, 0.35)

k) P(15; 17, 0.45)

l) P(8; 15, 0.75)

m) P(4; 8, 0.45)

n) P(5; 8, 0.35)

o) P(3; 6, 0.3)

p) P(6; 10, 0.45)

q) P(8; 15 0.25)

r) P(4; 8, 0.55)

s) P(12; 14, 0.6)

t) P(3; 10, 0.35)

u) P(6; 7, 0.45)

v) P(8; 10, 0.45)

w) P(5; 12, 0.5)

DISTRIBUCIÓN DE POISSON

Es una función de distribución de probabilidades K derivada de la distribución Binomial cuando cumple las siguientes condiciones:

El número de pruebas n aumenta considerablemente.

La probabilidad del éxito p se aproxima a cero.

La probabilidad del fracaso q = 1 - p se aproxima a la unidad.

La distribución de Poisson fue elaborada por un matemático francés de apellido Poisson, con

el propósito de aplicar a diferentes procesos físicos en donde se considera el tiempo como variable fundamental de todo evento o suceso. Para hallar la probabilidad de K éxitos o cambios se utiliza la expresión matemática:

P(K; μ) = eK!K!

* e

*

KK

Dónde:

K = Variable aleatoria de éxitos.

μ = Valor esperado que es función del tiempo.

e = 2.718282.., una constante.

P(K; μ) = Función de probabilidad para cada valor de K.

Algunos autores recomiendan utilizar la distribución de Poisson cuando el producto de las observaciones n por la probabilidad de éxito p, es menor o igual que 5 y otros a 7, o sea: n*p

5 o n*p 7, según esto n debe ser grande y p se debe aproximar a cero, cumpliendo así con la condición específica para la distribución de Poisson.

EJEMPLO. En una fábrica de lapiceros se ha encontrado que de cada cien dos son defectuosos (éxito). Hallar la probabilidad, K=0, 2 y 4 lapiceros defectuosos (fracaso) en una muestra de 200.

p =100

2= 0.02

p = 0.02

q = 0.98

μ = n*p = 200*0.02 = 4,

Para: K = 0, 2, 4

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P(K; μ) = eK!K!

* e

*

KK

Para K = 0 y μ = 4 se obtiene:

P(0; 4) = (2.718282)-4 1

1 = 0.0183 = 1.83%. P(0; 4) = 1.83%


P(2; 4) = (2.718282)-4

2

16 = 0.1465 = 14.65%. P(2; 4) = 14.65%


P(4; 4) = (2.718282)-4

24

256 = 0.1954 = 19.54%. P(4; 4) = 19.54%

USO DE LA TABLA.DE POISSON

Mediante el uso de la tabla P se puede hallar la probabilidad para cada valor de K una vez conocido el valor de la media (μ). El valor de la media está ubicado en la parte superior horizontal y los de K verticalmente, la intersección de los dos valores determina el valor de la

probabilidad, ver Anexo 2. Sea K=0, 2, 4 y la media μ=4. Mediante el uso de la tabla P las probabilidades correspondientes son:

P(0; 4) = 0.0183 = 1.83%

P(2; 4) = 0.1465 = 14.65%

P(4; 4) = 0.1954 = 19.54%

Según los resultados anteriores una probabilidad se puede hallar mediante dos procesos, sea con la fórmula o con la tabla P y sus valores son iguales. En algunos problemas la media o

valor esperado μ no es fácil encontrar multiplicando n*p, debido a que se desconoce un elemento de ellos, a cambio de éstos se encuentra otros que mediante ciertos procesos permiten calcular la media para luego encontrar las probabilidades deseadas.

EJEMPLO. Suponiendo que en una fábrica de maletines se ha examinado una población de

N=410 unidades, encontrándose diferentes defectos que en la Tabla 2 están representados por Ki. En la columna dos en 310 maletines hay cero defectuosos, 53 tienen un defecto, etc.

El valor esperado o promedio será:

μ =

N

NK ii*

410

190= 0.4634 = 0.46; μ = 0.46

Con éste resultado y los de Ki podemos calcular sus probabilidades correspondientes, éstos resultados están en la Tabla .2 cuarta columna, los resultados de la sexta columna permiten

comprobar si el cálculo es el correcto. Completar la siguiente tabla y encontrar el valor promedio o valor esperado.

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TABLA 2 DEFECTOS Y PROCESOS

DEFECTOS MALETÍN PRODUCTO PROBABILIDAD PROBABILIDAD PRODUCTO

KI NI KI*NI P(K; N) P(K; N) % N*P

0 310 0 0,756 75,6 310

1 53 53 0,129 12,9 53

2 20 40 0,049 4,9 20

3 15 45 0,037 3,7 15

4 8 32 0,020 2,0 8

5 4 20 0,010 1,0 4

SUMA 410 190 1,00 100,0 410

TABLA 3 COMPLETAR LA TABLA

PARTES INCOMPLETAS

ESTUDIANTES PRODUCTOI PROBABILIDAD PROBABILIDAD PRODUCTO

KI NI KI*NI P(K; N) P(K; N) % N*P

0 400 0

1 120 120

2 56 112

3 12 36

4 8 32

5 4 20

SUMA 600 320


1) Se realiza una prueba en donde se debe contestar 5 preguntas, con un SI cuando la respuesta es correcta y con un NO, cuando la respuesta es incorrecta. Hallar el espacio muestral o población correspondiente; para hallar la probabilidad de contestar:

a) Correctamente una pregunta

b) Correctamente dos preguntas

c) Correctamente tres preguntas

d) correctamente cuatro preguntas

e) Correctamente cinco preguntas

2) En entidad educativa de preescolar está conformada por un total de 50 estudiantes distribuidos de la siguiente manera 20 son niños y 30 niñas; considerando las niñas son el éxito y fracaso a la selección de niños: hallar probabilidades para las siguientes escogencias.

a) 10 niñas en 12 pruebas

b) 8 niñas en 11 pruebas

c) 6 niñas en 10 pruebas

d) 4 niñas en 9 pruebas

e) 2 niñas en 8 pruebas

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Además, hallar la:

a) Media para la distribución binomial µ

b) Varianza s2, para la distribución binomial

c) Desviación estándar para la distribución binomial

3) En una bolsa en donde se encuentran 45 bolas distribuidas así, 25 blancas (éxito) y 20 rojas (fracaso) y se desea seleccionar grupos de la siguiente manera.

a) 3 blancas en 5 pruebas con repetición

b) 4 blancas en 7 pruebas con repetición

c) 5 blancas en 9 pruebas con repetición

d) 6 blancas en 11 pruebas con repetición

e) 7 blancas en 15 pruebas con repetición

Además, hallar la:

a) media para la distribución binomial µ

b) varianza S2, para la distribución binomial

c) desviación estándar para la distribución binomial

En de la distribución Binomial. Se considera como propiedades a: media, Varianza y desviación típica.

Media E(X) = np Varianza S2 = npq

Desviación típica S = npq

4) En una fábrica de maletines se encontró que de cada 100 maletines 5 tienen algunos defectos, si se toma una muestra de 180 maletines; hallar la probabilidad para los siguientes casos:

a) Escoger un maletín defectuoso

b) Escoger dos maletines defectuosos

c) Escoger tres maletines defectuosos

d) Escoger cuatro maletines defectuosos

e) Escoger cinco maletines defectuosos

5) En una fábrica de lapiceros se ha encontrado que de cada cien dos son defectuosos. Hallar la probabilidad, K=1, 3 y 5 lapiceros defectuosos en una muestra de 200.

p =100

2= 0.02

q = 0.98

μ = n*p = 200*0.02 = 4

En la distribución de Poisson, la Varianza es equivalente al valor de la media o valor esperado:

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E(K) = μ = np Media Var(K) = μ Varianza

σ = Desviación típica

DISTRIBUCIÓN NORMAL

La distribución Normal fue introducida por Gauss en relación con la teoría de errores de

medidas físicas, de allí, que su gráfica también lleva el nombre de campana de Gauss. La distribución Normal es una distribución continua más importante y utilizada en diferentes trabajos estadísticos. Se utiliza la distribución Normal y no la distribución Binomial o de Poisson

cuando el número de pruebas n se hace muy grande y las probabilidades del éxito y fracaso están girando a 0.5, o sea que ninguna de ellas se aproxima a cero. Esta distribución está expresada mediante la fórmula:

f(X) = 2

1*

2

/)(2

1 X

e

Dónde: f(X) = función de probabilidad a calcular. σ = Desviación típica, constante.

X = Variable aleatoria continua. μ = Media o valor esperado, constante. e = 2.718282..., constante. π = 3.141592..., constante.

En la solución de un determinado problema a excepción de X las demás letras son constantes; o sea que f(X) es función únicamente de X. Al dar valores a X se encuentra los de f(X) que al ser llevadas al plano cartesiano se obtiene una gráfica llamada curva normal o campana de

Gauss. Esta gráfica presenta unas características que se describen a continuación y están en la Figura 1

Tiene simetría con relación al eje vertical.

Cada parte de simetría es una probabilidad de 0.5 o 50%.

El área total bajo la curva es igual a 1 o 100%.

Tanto la media, mediana y moda tienen el mismo valor.

La curva se extiende asintóticamente en dos direcciones.

0.5

Área

0.5

Área

FIGURA 1 área bajo la curva

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Si a la media (μ) se le suma o resta uno, dos o tres veces la desviación típica (σ), éstos intervalos determinan ciertos porcentajes de datos de estudio, ver Figura 2

Analizando la Figura 2 se puede concluir:

La probabilidad de encontrar datos entre más o menos una desviación típica es del 68.27%,

μ - 1σ <--- 68.27% ---> μ + 1σ

La probabilidad de encontrar datos entre más o menos dos desviaciones típicas es del 95.45%,

μ - 2σ <--- 95.45% ---> μ + 2σ

La probabilidad de encontrar datos entre más o menos tres desviaciones típicas es del 99.73%,

μ - 3σ <--- 99.75% ---> μ + 3σ

El valor restante al 99.75% equivalente a 0.25% corresponde a los extremos llamados colas.

99.75%

95.45%

68.27%

DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTANDARIZADA.

Cuando a la variable aleatoria X que pertenece a la distribución f(X), se desea expresar en unidades de la desviación típica, se denomina distribución Normal estandarizada, y se expresada mediante la siguiente expresión.

Z =

X

Dónde:

Z = Nueva variable, variable tipificada.

X = Variable aleatoria.

μ = Media aritmética, constante.

σ = Desviación típica, constante.

-3σ -2σ -1σ μ 1σ 2σ 3σ X

FIGURA 2 intervalos y desviación típica

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f(Z)

En adelante todos los cálculos sobre probabilidades en la distribución Normal se realizará con

la variable tipificada Z para hallar el área bajo la curva utilizando la tabla Normal, y luego hacer sus interpretaciones físicas. Al realizar una gráfica de f(X) con base a la variable tipificada Z se obtiene la Figura 3. La Figura 3 describe unas propiedades que son:

El valor de la media es igual cero μ = 0.

El valor de la desviación típica es igual a la unidad.

f(Z) es eje de simetría y la gráfica toma dos partes una positiva y otra negativa.

USO DE LA TABLA Y ÁREA BAJO LA CURVA NORMAL.

Una vez hecho el cambio de escala en el eje horizontal mediante la variable Z, se puede

calcular las probabilidades utilizando la tabla N para la curva Normal estandarizada identificada por N, ver Anexo.

EJEMPLO. Analizar el siguiente caso sobre la población de una institución con 101 estudiantes que obtuvieron en una asignatura promedio de 7.07 con una desviación típica de 12. Se considera que los datos se distribuyen normalmente, hallar la probabilidad y el número de estudiantes.

a) P(X<6)

b) P(6 X 8)

c) P(X>8)

d) P(X = 7.03)

e) P(4 X 7)

f) P(7.5 X 9.5)

g) P(5 X)

Para dar solución se utiliza la expresión para la variable tipificada o normalizada Z, siguiendo los pasos:

Hallar el valor correspondiente a Z.

Ubicar el valor de Z en la curva Normal estandarizada.

Identificar el área de probabilidad bajo la curva Normal.

-3σ -2σ -1σ μ 1σ 2σ 3σ X

-3 -2 -1 0 1 2 3 Z

FIGURA 3 Variable tipificada Z

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Utilizando la tabla N hallar el área de probabilidad.

Verificar si el área es menor o igual que la unidad.

Para el cálculo de datos en un intervalo se multiplica su probabilidad por el total de elementos.

A) PROBABILIDAD DE PUNTAJES MENORES QUE 6. P(X<6)=?, X=6, μ=7.07, σ=1.12

Como P(X < 6) no incluye a 6, puede ser X = 5.99. Z =.

96.012.1

08.1

12.1

07.799.5

XZ

Llevar Z a la gráfica Normal estandarizada, ver Figura 4. Una vez ubicado el valor de Z se puede hallar el área correspondiente a ésta área utilizando la tabla. Existen tablas para valores de Z que van desde el centro hasta los extremos y otras en sentido contrario, en Este caso se

utiliza el primer caso. Esta tabla sólo contiene valores positivos, debido a que no hay área negativa y además el valor de Z negativo por simetría corresponde al valor de Z positivo.

El área correspondiente para Z=-0.96 en la tabla N, Z estará entre 0 y 0.96, esto por simetría. Para utilizar la tabla N en éste caso y en otros se toma la primera columna hasta llegar a 0.9 a

partir de éste valor se desplaza por la fila hacia la derecha hasta llegar a la columna identificada por 6, en la intersección de ésta fila y columna se encuentra un valor que corresponde al área entre 0 y 0.96 equivalente a 0.3315, que en forma de probabilidad se escribe: A1 = P(0Z0.96) = 0.3315

El área de probabilidad es: P(Z -0.96) o P(0.96 Z), o sea el área que se encuentra a la izquierda de -0.96 o a la derecha de 0.96, esto por simetría. Además, el área de probabilidad no es la encontrada, el área verdadera está identificada con la letra A y no A1, ver Figura 4.

A partir de cero hacia la izquierda o derecha en una curva Normal el área es 0.5, el área de probabilidad A, será: A = 0.5 - A1 = 0.5 - 0.3315 = 0.1685

A = 0.1685 se llama área de probabilidad buscada.

P(X < 6) = 0.1685 = 16.85%

-0.96 0.96 Z

FIGURA 4 Ubicación de Z

A1 0.3315

A1 0.3315

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El resultado anterior indica que el 16.85% obtuvieron puntaje menor que 6, no aprobaron la

materia. Para identificar cuantos estudiantes obtuvieron un puntaje menor que 6, se multiplica la probabilidad o área A por el total de estudiantes N = 101

Número de Estudiantes: n1 = A*N = 0.1685*101 = 17.02 = 17

B) PARA LA PROBABILIDAD P(6 X8),

Se procede de la misma forma con: X= 6, μ=7.07, σ=1.12

Z1 =

12.1

07.1

12.1

07.76

X -0.95 Z1 = -0.95

Z2 =

12.1

93.0

12.1

07.78

X 0.83 Z2 = 0.83

Ubicando los valores de Z1 y Z2 se tiene, ver Figura 5

Utilizando la tabla N para los valores de Z1 y Z2 será:

A1 = P(0 Z 0.95) = 0.3289

A2 = P(0 Z 0.83) = 0.2967

El área de probabilidad A según la Figura 5 será la suma de A1 y A2:

A = A1 + A2 = 0.3289 + 0.2967 = 0.6256

P(6 X 8) = 0.6256 = 62.56%

Esto indica que el 62.56% tienen puntaje entre 6 y 8.

Para hallar el número de estudiantes: n2 = N*A = 101*0.6256 = 63.18 = 63

El resultado anterior indica que 63 estudiantes obtuvieron un puntaje entre 6 y 8.

C) LA PROBABILIDAD PARA P(X>8) X=8.01, μ=7.07, σ=1.12

Z =

12.1

94.0

12.1

07.701.8

X 0.84

Ubicando el valor de Z en, ver la Figura .6

A1 A2

-0.95 0.83 Z

FIGURA 5 Ubicación de Z1 y Z

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En la tabla N se encuentra el área A1, para

el área A se obtiene restando de 0.5 el área A1.

A1 = P(0 Z 0.84) = 0.2996

El área A de probabilidad será:

A = 0.5 - A1 = 0.5 - 0.2996 = 0.2004

P(X > 8) = 0.2004 = 20.04%

El 20.04% de los estudiantes obtuvieron un puntaje mayor que 8.

Para el número de estudiantes: n3 = N*A = 101*0.2004 = 20.24 = 20

El resultado indica los estudiantes que obtuvieron puntaje mayor que 8.

Como la población N es de 101 estudiantes, entonces la suma de n1, n2 y n3 debe igual a N, así: N = n1 + n2 + n3 = 17 + 63 + 20 = 100

Hay un faltante de un estudiante, debido a los decimales que no se han tenido en cuenta en los tres casos.

D) PROBABILIDAD P(X=7.03) cuando X = 7.03, μ = 7.07, σ = 1.12

Exactamente X se encontrará entre: X1 = 7.02 y X2 = 7.04

Z1 =

12.1

05.0

12.1

07.702.71

X-0.04

Z2 =

12.1

04.0

12.1

07.704.72

X -0.03

Representando los valores de Z1 y Z2 en la Figura 7

A1 A

0 0.84 Z


A

-0.04 -0.03 Z

FIGURA 7 Ubicación de Z1 y Z2

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A1 = P(0 Z1 0.04) = 0.0160

A2 = P(0 Z2 <+ 0.03) = 0.0120

A = A1 - A2 = 0.0160 - 0.0120 = 0.004

P(X = 7.07) = 0.004 = 0.4%

Para hallar el número de estudiantes: n4 = N*A = 101*0.004 = 0.404 = 0

Exactamente cero estudiantes tienen ese puntaje.

E) PROBABILIDAD PARA P(4 X 7) X1 = 4, X2 = 7, μ = 7.07, σ = 1.12

Z1 =

12.1

07.3

12.1

07.741

X -0.274

Z2 =

12.1

07.0

12.1

07.772

X -0.06

Ubicando los valores de Z1 y Z2 se tiene la Figura 8

A1 = P(0 Z1 2.74) = 0.4969

A2 = P(0 Z2 0.06) = 0.0239

A = A1 - A2 = 0.4969 - 0.0239 = 0.473

P(4 X 7) = 0.473 = 47.3%

Para el número de estudiantes: n5 = N*A = 101*0.473 = 47.77 = 48, n5 = 48

F) PROBABILIDAD P(7.5 X 9.5) X1 = 7.5, X2 = 9.5, μ = 7.07, σ = 1.12

Z1 =

12.1

43.0

12.1

07.75.71

X 0.38

Z2 =

12.1

43.2

12.1

07.75.92

X 2.17

Ubicando los valores de Z1 y Z2 se tiene la Figura 9

-2.70 -0.06 Z


A

Área

Prob

Página 161 de 176

A1 = P(0 Z1 0.38) = 0.1480

A2 = P(0 Z2 2.17) = 0.4850

A = A1 - A2 = 0.4850 - 0.1480 = 0.3370

P(7.5 X 9.5) = 0.3370 = 33.7%

Para el número de estudiantes: n6 = N*A = 101*0.337 = 34, n6 = 34

G) PROBABILIDAD P(5 X) X = 5 μ = 7.07 σ = 1.12

Z =

12.1

07.2

12.1

07.75

X -1.85

Ubicando el valor de Z en la Figura 10

A1 = P(0 Z 1.85) = 0.4678

A = A1 + 0.5 = 0.4678 + 0.5 = 0.9678

P(5 X) = 0.9678 = 96.78%

Para el número de estudiantes: n7 = N*A = 101*0.9678 = 98

n7 = 98, Valor indica que, 98 estudiantes con ese puntaje mayor o igual a 5

RELACION ENTRE DISTRIBUCIONES ESPECIALES

Para determinar la relación o acercamiento que existe entre las distribuciones Binomial, Poisson y Normal se puede hacer mediante un caso utilizando sus correspondientes tablas

0.38 2.17 Z


A

Área proba.

A1

-1.85 Z


0.5

Página 162 de 176

para cada distribución. Suponiendo que un estudiante contesta 3 preguntas erróneamente

(éxito) de un total de 15 en una primera prueba. Si el mismo estudiante en una segunda prueba se propone contestar 2 erróneas de un total de 20, hallar su probabilidad.

P(E) = 15

3 0.2 = 20% probabilidad de éxito

P(F) = 15

12 0.8 = 80% probabilidad de fracaso.

μ = n*p = 20*0.2 = 4, valor esperado.

K = 2 y n = 20 en la segunda prueba.

Para las probabilidades utilizando los resultados anteriores en cada una de las distribuciones será:

a) En la distribución Binomial: P(K; n, p) = P(2; 20, 0.2) = 0.1369 = 13.69%

b) En la distribución de Poisson: P(K; μ) = P(2; 4) = 0.1465 = 14.65%

c) En la distribución Normal: P(X 2) = ?

Z =

92.1

2

79.1

42

X -1.12 Z = -1.12

Ubicando el valor de Z en la Figura 11, se tiene:

A1 = P(0 Z 1.12) = 0.3686

A = 0.5 - 0.3686 = 0.1314 = 13.14%

P(X 2) = 13.14%


1) Hallar las probabilidades y el número de estudiantes cuando la media es de 7.10 y la desviación típica de 1.2 en una muestra de 145 en los intervalos:

a) P(8 X)

b) P(6 X)

c) P(X 5.5)

d) P(5 X 8)

e) P(7 X)

f) P(X 6.5)

g) P(X 5)

h) P(8 X)

i) P(X 4)

A A1

-1.12 0

FIGURA 11 ubicación de Z

Página 163 de 176

2) Una población normal tiene una media de 80 una desviación estándar de 14

a) Calcule la probabilidad de un valor localizado entre 75 y 90 P(75 ≤ X ≤ 90)

b) Calcule la probabilidad de un valor de 75 ó menor. P(X ≤ 75)

c) Calcule la probabilidad de un valor localizado entre 55 y 70. P(55 ≤ X ≤ 70)

3) Los montos de dinero que se piden en las solicitudes de préstamos en un BANCO tiene

una distribución normal, una media de $70.000 y una desviación estándar de $20.000. Esta mañana se recibió una solicitud de préstamo. ¿Cuál es la probabilidad de que:

a) ¿El monto solicitado sea de $80.000 o superior? P(X ≥ 80.000)

b) ¿El monto solicitado oscile entre $65.000 y $80.000? P(65.000 ≤ X ≤ 80.000)

c) El monto solicitado sea de $65.000 o superior. P(X ≥ 65.000)

4) Entre las ciudades de Estados Unidos con una población de más de 250.000 habitantes El tiempo de viaje más largo pertenece a la ciudad de Nueva York, donde el tiempo medio es

de 38.3 minutos. Suponga que la distribución de los tiempos de viaje en la ciudad de Nueva York tiene una distribución de probabilidad normal y la desviación estándar es de 7.5 minutos.

a) ¿Qué porcentaje de viajes consumen menos de 30 minutos?. P( X ≤ 30)

b) ¿Qué porcentaje de viajes consumen entre 30 y 35 minutos? P(30 ≤ X ≤ 35

c) ¿Qué porcentaje de viajes consumen entre 30 y 40 minutos? P(30 ≤ X ≤ 40

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BIBLIOGRAFIA

BARBANCHO, Alfonso G. Estadística elemental moderna: Barcelona, Ediciones Ariel, 1978.

BRIONES, Guillermo. Métodos y técnicas de investigación para las ciencias sociales: Editorial Trillas, México D. F., 1986.

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DEPARTAMENTO ADMINISTRATIVO NACIONAL DE ESTADISTICA "DANE". Colombia estadística municipal: Vol II, Bogotá 1987.

JIMENEZ, D. Germán D. Bioestadística: Bogotá, USTA, 1988.

MARTINEZ, Bencardio Ciro. Estadística comercial: Bogotá, Editorial Norma, 1981.

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YAMANE, Taro. Estadística: México, Editorial Harla, 1981.

Página 165 de 176

ANEXO: TABLA PROBABILIDADES BINOMIALES

P

n K 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50

1 0 0,9500 0,9000 0,8500 0,8000 0,7500 0,7000 0,6500 0,6000 0,5500 0,5000

1 0,0500 0,1000 0,1500 0,2000 0,2500 0,3000 0,3500 0,4000 0,4500 0,5000

2 0 0,9025 0,8100 0,7225 0,6400 0,5625 0,4900 0,4225 0,3600 0,3025 0,2500

1 0,0950 0,1800 0,2550 0,3200 0,3750 0,4200 0,4550 0,4800 0,4950 0,5000

2 0,0025 0,0100 0,0225 0,0400 0,0625 0,0900 0,1225 0,1600 0,2025 0,2500

3 0 0,8574 0,7290 0,6141 0,5120 0,4219 0,3430 0,2746 0,2160 0,1664 0,1250

1 0,1354 0,2430 0,3251 0,3840 0,4219 0,4410 0,4436 0,4320 0,4084 0,3750

2 0,0071 0,0270 0,0574 0,0960 0,1406 0,1890 0,2389 0,2880 0,3341 0,3750

3 0,0001 0,0010 0,0034 0,0080 0,0156 0,0270 0,0429 0,0640 0,0911 0,1250

4 0 0,8145 0,6561 0,5220 0,4096 0,3164 0,2401 0,1785 0,1296 0,0915 0,0625

1 0,1715 0,2916 0,3685 0,4096 0,4219 0,4116 0,3845 0,3456 0,2995 0,2500

2 0,0135 0,0486 0,0975 0,1536 0,2109 0,2646 0,3105 0,3456 0,3675 0,3750

3 0,0005 0,0036 0,0115 0,0256 0,0469 0,0756 0,1115 0,1536 0,2005 0,2500

4 0,0000 0,0001 0,0005 0,0016 0,0039 0,0081 0,0150 0,0256 0,0410 0,0625

5 0 0,7738 0,5905 0,4437 0,3277 0,2373 0,1681 0,1160 0,0778 0,0503 0,0312

1 0,2036 0,3280 0,3915 0,4096 0,3955 0,3602 0,3124 0,2592 0,2059 0,1562

2 0,0214 0,0729 0,1382 0,2048 0,2637 0,3087 0,3364 0,3456 0,3369 0,3125

3 0,0011 0,0081 0,0244 0,0512 0,0879 0,1323 0,1811 0,2304 0,2757 0,3125

4 0,0000 0,0004 0,0022 0,0064 0,0146 0,0284 0,0488 0,0768 0,1128 0,1562

5 0,0000 0,0000 0,0001 0,0003 0,0010 0,0024 0,0053 0,0102 0,0185 0,0312

6 0 0,7351 0,5314 0,3771 0,2621 0,1780 0,1176 0,0754 0,0467 0,0277 0,0156

1 0,2321 0,3514 0,3993 0,3932 0,3560 0,3025 0,2437 0,1866 0,1359 0,0938

2 0,0305 0,0984 0,1762 0,2458 0,2966 0,3241 0,3280 0,3110 0,2780 0,2344

3 0,0021 0,0146 0,0415 0,0819 0,1318 0,1852 0,2355 0,2765 0,3032 0,3125

4 0,0001 0,0012 0,0055 0,0154 0,0330 0,0595 0,0951 0,1382 0,1861 0,2344

5 0,0000 0,0001 0,0004 0,0015 0,0044 0,0102 0,0205 0,0369 0,0609 0,0938

6 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0002 0,0007 0,0018 0,0041 0,0083 0,0516

7 0 0,6983 0,4783 0,3206 0,2097 0,1335 0,0824 0,0490 0,0280 0,0152 0,0078

1 0,2573 0,3720 0,3960 0,3670 0,3115 0,2471 0,1848 0,1306 0,0872 0,0574

2 0,0406 0,1240 0,2097 0,2753 0,3115 0,3177 0,2985 0,2613 0,2140 0,1641

3 0,0036 0,0230 0,0617 0,1147 0,1730 0,2269 0,2679 0,2903 0,2918 0,2734

4 0,0002 0,0026 0,0109 0,0287 0,0577 0,0972 0,1442 0,1935 0,2388 0,2734

5 0,0009 0,0002 0,0012 0,0043 0,0115 0,0250 0,0466 0,0774 0,1172 0,1641

6 0,0000 0,0000 0,0001 0,0004 0,0013 0,0036 0,0084 0,0172 0,0320 0,0547

7 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0002 0,0006 0,0016 0,0037 0,0078

8 0 0,6634 0,4305 0,2725 0,1678 0,1001 0,0576 0,0319 0,0168 0,0084 0,0039

1 0,2793 0,3826 0,3847 0,3355 0,2670 0,1977 0,1373 0,0896 0,0548 0,0312

Página 166 de 176

2 0,0515 0,1488 0,2376 0,2936 0,3115 0,2965 0,2587 0,2090 0,1569 0,1094

3 0,0054 0,0331 0,0839 0,1468 0,2076 0,2541 0,2786 0,2087 0,2568 0,2188

4 0,0004 0,0046 0,0815 0,0459 0,0865 0,1361 0,1875 0,2322 0,2627 0,2734

5 0,0000 0,0004 0,0026 0,0092 0,0231 0,0467 0,0808 0,1239 0,1719 0,2188

6 0,0000 0,0000 0,0002 0,0011 0,0038 0,0100 0,0217 0,0413 0,0703 0,1094

7 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0004 0,0012 0,0033 0,0079 0,0164 0,0312

8 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0002 0,0007 0,0017 0,0039

9 0 0,6302 0,3874 0,2316 0,1342 0,0751 0,0404 0,0207 0,0101 0,0046 0,0020

1 0,2985 0,3874 0,3679 0,3020 0,2253 0,1556 0,1004 0,0605 0,0339 0,0176

2 0,0629 0,1722 0,2597 0,3020 0,3003 0,2668 0,2162 0,1612 0,1110 0,0703

3 0,0077 0,0446 0,1069 0,1762 0,2336 0,2668 0,2716 0,2508 0,2119 0,1641

4 0,0006 0,0074 0,0283 0,0661 0,1168 0,1715 0,2194 0,2508 0,2600 0,2461

5 0,0000 0,0008 0,0050 0,0165 0,0389 0,0735 0,1181 0,1672 0,2128 0,2461

6 0,0000 0,0001 0,0006 0,0028 0,0087 0,0210 0,0424 0,0743 0,1160 0,1641

7 0,0000 0,0000 0,0000 0,0003 0,0012 0,0039 0,0098 0,0212 0,0407 0,0703

8 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0004 0,0013 0,0035 0,0083 0,0716

9 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0003 0,0008 0,0020

10 0 0,5987 0,3487 0,1969 0,1074 0,0563 0,0282 0,0135 0,0060 0,0025 0,0010

1 0,3151 0,3847 0,3474 0,2684 0,1877 0,1211 0,0725 0,0403 0,0207 0,0098

2 0,0746 0,1937 0,2759 0,3020 0,2816 0,2335 0,1757 0,1209 0,0763 0,0439

3 0,0105 0,0574 0,1298 0,2013 0,2503 0,2668 0,2522 0,2150 0,1665 0,1172

4 0,0010 0,0112 0,0401 0,0881 0,1460 0,2001 0,2377 0,2508 0,2384 0,2051

5 0,0001 0,0015 0,0085 0,0264 0,0584 0,1029 0,1536 0,2007 0,2340 0,2461

6 0,0000 0,0001 0,0012 0,0055 0,0162 0,0368 0,0689 0,1115 0,1596 0,2051

7 0,0000 0,0000 0,0001 0,0008 0,0031 0,0090 0,0212 0,0425 0,0746 0,1172

8 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0004 0,0014 0,0043 0,0106 0,0229 0,0439

9 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0005 0,0016 0,0042 0,0098

10 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0003 0,0010

11 0 0,5688 0,3138 0,1673 0,0859 0,0422 0,0198 0,0088 0,0036 0,0014 0,0005

1 0,3293 0,3835 0,3248 0,2362 0,1549 0,0932 0,0518 0,0266 0,0125 0,0054

2 0,0867 0,2131 0,2866 0,2953 0,2581 0,1998 0,1395 0,0887 0,0513 0,0269

3 0,0137 0,0710 0,1517 0,2215 0,2581 0,2568 0,2254 0,1774 0,1259 0,0806

4 0,0014 0,0158 0,0536 0,1107 0,1721 0,2201 0,2428 0,2365 0,2060 0,1611

5 0,0001 0,0025 0,0132 0,0388 0,0803 0,1321 0,1830 0,2207 0,2360 0,2256

6 0,0000 0,0003 0,0023 0,0097 0,0268 0,0566 0,0985 0,1471 0,1931 0,2256

7 0,0000 0,0000 0,0003 0,0017 0,0064 0,0173 0,0379 0,0701 0,1128 0,1611

8 0,0000 0,0000 0,0000 0,0002 0,0011 0,0037 0,0102 0,0234 0,0462 0,0806

9 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0005 0,0018 0,0052 0,0126 0,0269

10 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0002 0,0007 0,0021 0,0054

11 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0002 0,0005

12 0 0,5404 0,2824 0,1422 0,0687 0,0317 0,0138 0,0057 0,0022 0,0008 0,0002

1 0,3413 0,3766 0,3012 0,2062 0,1267 0,0712 0,0368 0,0174 0,0075 0,0029

2 0,0988 0,2301 0,2924 0,2835 0,2323 0,1678 0,1088 0,0639 0,0339 0,0161

3 0,0173 0,0852 0,1720 0,2362 0,2581 0,2397 0,1954 0,1419 0,0923 0,0537

Página 167 de 176

4 0,0021 0,0213 0,0683 0,1329 0,1936 0,2311 0,2367 0,2128 0,1700 0,1208

5 0,0002 0,0038 0,0193 0,0532 0,1032 0,1585 0,2039 0,2270 0,2225 0,1934

6 0,0000 0,0005 0,0040 0,0155 0,0401 0,0792 0,1281 0,1766 0,2124 0,2256

7 0,0000 0,0000 0,0006 0,0033 0,0115 0,0291 0,0591 0,1009 0,1489 0,1934

8 0,0000 0,0000 0,0001 0,0005 0,0024 0,0078 0,0199 0,0420 0,0762 0,1208

9 0,0000 0,0000 0,0001 0,0001 0,0004 0,0015 0,0048 0,0125 0,0277 0,0537

10 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0002 0,0008 0,0025 0,0068 0,0161

11 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0003 0,0010 0,0029

12 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0002

13 0 0,5133 0,2542 0,1209 0,0550 0,0238 0,0097 0,0037 0,0013 0,0004 0,0001

1 0,3512 0,3672 0,2774 0,1787 0,1029 0,0540 0,0259 0,0113 0,0045 0,0016

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5 0,0003 0,0055 0,0266 0,0691 0,1258 0,1803 0,2154 0,2214 0,1989 0,1571

6 0,0000 0,0088 0,0063 0,0230 0,0559 0,1030 0,1546 0,1968 0,2169 0,2095

7 0,0000 0,0001 0,0011 0,0058 0,0186 0,0442 0,0833 0,1312 0,1775 0,2095

8 0,0000 0,0000 0,0001 0,0011 0,0047 0,0142 0,0336 0,0656 0,1089 0,1571

9 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0009 0,0034 0,0101 0,0243 0,0495 0,0873

10 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0006 0,0022 0,0065 0,0162 0,0349

11 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0003 0,0012 0,0036 0,0095

12 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0005 0,0016

13 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001

14 0 0,4877 0,2288 0,1028 0,0440 0,0178 0,0068 0,0024 0,0008 0,0002 0,0001

1 0,3593 0,3559 0,2539 0,1539 0,0832 0,0407 0,0181 0,0073 0,0027 0,0009

2 0,1229 0,2570 0,2912 0,2501 0,1802 0,1134 0,0634 0,0317 0,0141 0,0056

3 0,0259 0,1142 0,2056 0,2501 0,2402 0,1934 0,1366 0,0845 0,0462 0,0222

4 0,0037 0,0348 0,0998 0,1720 0,2202 0,2290 0,2022 0,1549 0,1040 0,0611

5 0,0004 0,0078 0,0352 0,0860 0,1468 0,1963 0,2178 0,2066 0,1701 0,1222

6 0,0000 0,0013 0,0093 0,0322 0,0734 0,1262 0,1759 0,2066 0,2088 0,1833

7 0,0000 0,0002 0,0019 0,0092 0,0280 0,0618 0,1082 0,1574 0,1952 0,2095

8 0,0000 0,0000 0,0003 0,0020 0,0082 0,0232 0,0510 0,0918 0,1398 0,1833

9 0,0000 0,0000 0,0000 0,0003 0,0018 0,0066 0,0183 0,0408 0,0762 0,1222

10 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0003 0,0014 0,0049 0,0136 0,0312 0,0611

11 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0002 0,0010 0,0033 0,0093 0,0222

12 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0005 0,0019 0,0056

13 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0002 0,0009

14 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001

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6 0,0000 0,0019 0,0132 0,0430 0,0917 0,1472 0,1906 0,2066 0,1914 0,1527

Página 168 de 176

7 0,0000 0,0003 0,0030 0,0138 0,0393 0,0811 0,1319 0,1771 0,2013 0,1964

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9 0,0000 0,0000 0,0001 0,0007 0,0034 0,0116 0,0298 0,0612 0,1048 0,1527

10 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0007 0,0030 0,0096 0,0245 0,0515 0,0916

11 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0006 0,0024 0,0074 0,0191 0,0417

12 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0004 0,0016 0,0052 0,0139

13 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0003 0,0010 0,0032

14 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0005

15 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

16 0 0,4401 0,1853 0,0743 0,0281 0,0100 0,0033 0,0010 0,0003 0,0001 0,0000

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6 0,0001 0,0028 0,0180 0,0550 0,1101 0,1649 0,1982 0,1983 0,1684 0,1222

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9 0,0000 0,0000 0,0001 0,0012 0,0058 0,0185 0,0442 0,0840 0,1318 0,1746

10 0,0000 0,0000 0,0000 0,0002 0,0014 0,0056 0,0167 0,0392 0,0755 0,1222

11 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0002 0,0013 0,0049 0,0142 0,0037 0,0667

12 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0002 0,0011 0,0040 0,0115 0,0278

13 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0002 0,0008 0,0029 0,0085

14 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0005 0,0018

15 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0002

16 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

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2 0,1575 0,2800 0,2673 0,1914 0,1136 0,0581 0,0260 0,0102 0,0035 0,0010

3 0,0415 0,1556 0,2359 0,2393 0,1893 0,1245 0,0701 0,0341 0,0144 0,0052

4 0,0076 0,0605 0,1457 0,2093 0,2209 0,1868 0,1320 0,0796 0,0411 0,0182

5 0,0010 0,0175 0,0668 0,1361 0,1914 0,2081 0,1849 0,1379 0,0875 0,0472

6 0,0001 0,0039 0,0236 0,0680 0,1276 0,1784 0,1991 0,1839 0,1432 0,0944

7 0,0000 0,0007 0,0065 0,0267 0,0068 0,1201 0,1685 0,1927 0,1841 0,1484

8 0,0000 0,0001 0,0014 0,0084 0,0279 0,0644 0,1134 0,1606 0,1883 0,1855

9 0,0000 0,0000 0,0003 0,0021 0,0093 0,0276 0,0611 0,1070 0,1540 0,1855

10 0,0000 0,0000 0,0000 0,0004 0,0025 0,0095 0,0263 0,0571 0,1008 0,1484

11 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0005 0,0026 0,0090 0,0242 0,0525 0,0944

12 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0006 0,0024 0,0021 0,0215 0,0472

13 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0005 0,0021 0,0068 0,0182

14 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0004 0,0016 0,0052

15 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0003 0,0010

16 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001

17 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

18 0 0,3972 0,1501 0,0536 0,0180 0,0056 0,0016 0,0004 0,0001 0,0000 0,0000

Página 169 de 176

1 0,3763 0,3002 0,1704 0,0811 0,0338 0,0126 0,0042 0,0012 0,0003 0,0001

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6 0,0003 0,0052 0,0301 0,0816 0,1436 0,1873 0,1941 0,1655 0,1181 0,0708

7 0,0000 0,0010 0,0091 0,0350 0,0820 0,1376 0,1792 0,1892 0,1657 0,1214

8 0,0000 0,0002 0,0022 0,0120 0,0376 0,0811 0,1327 0,1734 0,1864 0,1669

9 0,0000 0,0000 0,0004 0,0033 0,0139 0,0386 0,0794 0,1284 0,1694 0,1855

10 0,0000 0,0000 0,0001 0,0003 0,0042 0,0149 0,0385 0,0771 0,1248 0,1669

11 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0010 0,0046 0,0151 0,0374 0,0742 0,1214

12 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0002 0,0012 0,0047 0,0145 0,0354 0,0708

13 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0002 0,0012 0,0044 0,0134 0,0327

14 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0002 0,0011 0,0039 0,0117

15 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0002 0,0009 0,0031

16 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0006

17 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001

18 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

19 0 0,3774 0,1351 0,0456 0,0144 0,0042 0,0011 0,0003 0,0001 0,0000 0,0000

1 0,3774 0,2852 0,1529 0,0585 0,0268 0,0093 0,0029 0,0008 0,0002 0,0000

2 0,1787 0,2852 0,2428 0,1540 0,0803 0,0358 0,0138 0,0046 0,0013 0,0003

3 0,0533 0,1796 0,2428 0,2182 0,1517 0,0869 0,0422 0,0175 0,0062 0,0018

4 0,0112 0,0798 0,1714 0,2182 0,2023 0,1491 0,0909 0,0467 0,0203 0,0074

5 0,0018 0,0266 0,0907 0,1636 0,2023 0,1916 0,1468 0,0933 0,0497 0,0222

6 0,0002 0,0069 0,0374 0,0955 0,1574 0,1916 0,1844 0,1451 0,0949 0,0518

7 0,0000 0,0014 0,0122 0,0443 0,0974 0,1525 0,1844 0,1797 0,1443 0,0961

8 0,0000 0,0002 0,0032 0,0166 0,0487 0,0981 0,1489 0,1797 0,1771 0,1442

9 0,0000 0,0000 0,0007 0,0051 0,0198 0,0514 0,0980 0,1464 0,1771 0,1762

10 0,0000 0,0000 0,0001 0,0013 0,0066 0,0220 0,0528 0,0976 0,1449 0,1762

11 0,0000 0,0000 0,0000 0,0003 0,0018 0,0077 0,0233 0,0532 0,0970 0,1442

12 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0004 0,0022 0,0083 0,0237 0,0529 0,0961

13 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0005 0,0024 0,0085 0,0233 0,0518

14 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0006 0,0024 0,0082 0,0222

15 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0005 0,0022 0,0074

16 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0005 0,0018

17 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0003

18 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

19 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

20 0 0,3585 0,1216 0,0388 0,0115 0,0032 0,0008 0,0002 0,0000 0,0000 0,0000

1 0,3774 0,2702 0,1368 0,0576 0,0211 0,0068 0,0020 0,0005 0,0001 0,0000

2 0,1887 0,2852 0,2293 0,1369 0,0669 0,0278 0,0100 0,0031 0,0008 0,0002

3 0,0596 0,1901 0,2428 0,2054 0,1339 0,0716 0,0323 0,0123 0,0040 0,0011

4 0,0133 0,0898 0,1821 0,2182 0,1897 0,1304 0,0738 0,0350 0,0139 0,0046

5 0,0022 0,0319 0,1028 0,1746 0,2023 0,1789 0,1272 0,0746 0,0365 0,0148

6 0,0003 0,0089 0,0454 0,1091 0,1686 0,1916 0,1712 0,1244 0,0746 0,0370

7 0,0000 0,0020 0,0160 0,0545 0,1124 0,1643 0,1844 0,1659 0,1221 0,0739

Página 170 de 176

8 0,0000 0,0004 0,0046 0,0222 0,0609 0,1144 0,1614 0,1797 0,1623 0,1201

9 0,0000 0,0001 0,0011 0,0074 0,0271 0,0654 0,1158 0,1597 0,1771 0,1602

10 0,0000 0,0000 0,0002 0,0020 0,0099 0,0308 0,0686 0,1171 0,1593 0,1762

11 0,0000 0,0000 0,0000 0,0005 0,0030 0,0120 0,0336 0,0710 0,1185 0,1602

12 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0008 0,0039 0,0136 0,0355 0,0727 0,1201

13 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0002 0,0010 0,0045 0,0146 0,0366 0,0739

14 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0002 0,0012 0,0049 0,0150 0,0370

15 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0003 0,0013 0,0049 0,0148

16 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0003 0,0013 0,0046

17 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0002 0,0011

18 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0002

19 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

20 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

Página 171 de 176

ANEXO: TABLA PROBABILIDADESDE POISSON

µ

K 0,005 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0 0,9950 0,9990 0,9802 0,9704 0,9608 0,9512 0,9418 0,9324 0,9231 0,9139

1 0,0050 0,0099 0,0192 0,0291 0,0384 0,0476 0,0565 0,0653 0,0738 0,0823

2 0,0000 0,0000 0,0002 0,0004 0,0008 0,0012 0,0017 0,0023 0,0030 0,0037

3 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0001 0,0001

µ

K 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

0 0,9048 0,8187 0,7408 0,6703 0,6065 0,5488 0,4966 0,4493 0,4066 0,3679

1 0,0905 0,1637 0,2222 0,2681 0,3033 0,3293 0,3476 0,3593 0,3659 0,3679

2 0,0045 0,0164 0,0333 0,0536 0,0758 0,0988 0,1217 0,1438 0,1647 0,1839

3 0,0002 0,0011 0,0033 0,0072 0,0126 0,0198 0,0284 0,0383 0,0494 0,0613

4 0,0000 0,0001 0,0002 0,0007 0,0016 0,0030 0,0050 0,0077 0,0111 0,0153

5 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0002 0,0004 0,0007 0,0012 0,0020 0,0031

6 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0002 0,0003 0,0005

7 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001

µ

K 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0

0 0,3329 0,3012 0,2725 0,2466 0,2231 0,2019 0,1827 0,1653 0,1496 0,1353

1 0,3662 0,3614 0,3543 0,3452 0,3347 0,3230 0,3106 0,2975 0,2842 0,2707

2 0,2014 0,2169 0,2303 0,2417 0,2510 0,2584 0,2640 0,2678 0,2700 0,2707

3 0,0738 0,0867 0,0998 0,1128 0,1255 0,1378 0,1496 0,1607 0,1710 0,1804

4 0,0203 0,0260 0,0324 0,0395 0,0471 0,0551 0,0636 0,0723 0,0812 0,0902

5 0,0045 0,0062 0,0084 0,0111 0,0141 0,0176 0,0216 0,0260 0,0309 0,0361

6 0,0008 0,0012 0,0018 0,0026 0,0035 0,0047 0,0061 0,0078 0,0098 0,0120

7 0,0001 0,0002 0,0003 0,0005 0,0008 0,0011 0,0015 0,0020 0,0027 0,0034

8 0,0000 0,0000 0,0001 0,0001 0,0001 0,0002 0,0003 0,0005 0,0006 0,0009

9 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0001 0,0001 0,0002

µ

K 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0

0 0,1225 0,1108 0,1003 0,9070 0,0821 0,0743 0,0672 0,0608 0,0550 0,0498

1 0,2572 0,2438 0,2306 0,2177 0,2052 0,1931 0,1815 0,1703 0,1596 0,1494

2 0,2700 0,2681 0,2652 0,2613 0,2565 0,2510 0,2450 0,2383 0,2314 0,2240

3 0,1890 0,1996 0,2033 0,2090 0,2138 0,2176 0,2205 0,2225 0,2237 0,2240

4 0,0992 0,1082 0,1169 0,1254 0,1336 0,1414 0,1488 0,1557 0,1622 0,1680

5 0,0417 0,0476 0,0538 0,0602 0,0668 0,0735 0,0804 0,0872 0,0940 0,1008

6 0,0146 0,0174 0,0206 0,0241 0,0278 0,0319 0,0362 0,0407 0,0455 0,0504

7 0,0044 0,0055 0,0068 0,0083 0,0099 0,0118 0,0139 0,0163 0,0188 0,0216

8 0,0011 0,0015 0,0019 0,0025 0,0031 0,0038 0,0047 0,0057 0,0068 0,0081

9 0,0003 0,0004 0,0005 0,0007 0,0009 0,0011 0,0014 0,0018 0,0022 0,0027

10 0,0001 0,0001 0,0001 0,0002 0,0002 0,0003 0,0004 0,0005 0,0006 0,0008

11 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0001 0,0001 0,0002 0,0002

12 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001

µ

K 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4,0

Página 172 de 176

0 0,0450 0,0408 0,0369 0,0334 0,0302 0,0273 0,0247 0,0224 0,0202 0,0183

1 0,1397 0,1304 0,1217 0,1135 0,1057 0,0984 0,0915 0,0850 0,0789 0,0183

2 0,2165 0,2087 0,2008 0,1929 0,1815 0,1771 0,1692 0,1615 0,1539 0,1465

3 0,2237 0,2226 0,2209 0,2186 0,2158 0,2125 0,2087 0,2046 0,2001 0,1954

4 0,1734 0,1781 0,1823 0,1858 0,1888 0,1912 0,1931 0,1944 0,1915 0,1954

5 0,1075 0,1140 0,1203 0,1264 0,1322 0,1377 0,1429 0,1477 0,1522 0,1563

6 0,0555 0,0608 0,0662 0,0716 0,0771 0,0826 0,0881 0,0936 0,0989 0,1042

7 0,0246 0,0278 0,0312 0,0348 0,0385 0,0425 0,0466 0,0508 0,0551 0,0595

8 0,0095 0,0111 0,0129 0,0148 0,0169 0,0191 0,0215 0,0241 0,0269 0,0298

9 0,0033 0,0040 0,0047 0,0056 0,0066 0,0076 0,0089 0,0102 0,0116 0,0132

10 0,0010 0,0013 0,0016 0,0019 0,0023 0,0028 0,0033 0,0039 0,0045 0,0053

11 0,0003 0,0004 0,0005 0,0006 0,0007 0,0009 0,0011 0,0013 0,0016 0,0019

12 0,0001 0,0001 0,0001 0,0002 0,0002 0,0003 0,0003 0,0004 0,0005 0,0006

13 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0002 0,0002

14 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001

µ

K 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 4,7 4,8 4,9 5,0

0 0,0166 0,0150 0,0136 0,0123 0,0111 0,0101 0,0091 0,0082 0,0074 0,6700

1 0,6790 0,0630 0,0583 0,0540 0,0500 0,0462 0,0427 0,0395 0,0365 0,0337

2 0,1393 0,1323 0,1254 0,1188 0,1125 0,1063 0,1005 0,0948 0,0894 0,0842

3 0,1904 0,1852 0,1798 0,1743 0,1687 0,1631 0,1574 0,1517 0,1460 0,1404

4 0,1951 0,1944 0,1933 0,1917 0,1898 0,1875 0,1849 0,1820 0,1789 0,1755

5 0,1600 0,1633 0,1662 0,1687 0,1708 0,1725 0,1738 0,1747 0,1753 0,1755

6 0,1093 0,1143 0,1191 0,1237 0,1281 0,1323 0,1362 0,1398 0,1432 0,1462

7 0,0640 0,0686 0,0732 0,0778 0,0824 0,0869 0,0914 0,0959 0,1002 0,1044

8 0,0328 0,0360 0,0393 0,0428 0,0463 0,0500 0,0537 0,0575 0,0614 0,0653

9 0,0150 0,0168 0,0188 0,0209 0,0232 0,0255 0,0280 0,0307 0,0334 0,0363

10 0,0061 0,0071 0,0081 0,0092 0,0104 0,0118 0,0132 0,0147 0,0164 0,0181

11 0,0023 0,0027 0,0032 0,0037 0,0043 0,0049 0,0056 0,0064 0,0073 0,0082

12 0,0008 0,0009 0,0011 0,0014 0,0016 0,0019 0,0022 0,0026 0,0030 0,0034

13 0,0002 0,0003 0,0004 0,0005 0,0006 0,0007 0,0008 0,0009 0,0011 0,0013

14 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0002 0,0002 0,0003 0,0003 0,0004 0,0005

15 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0002

µ

K 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 5,7 5,8 5,9 6,0

0 0,0061 0,0055 0,0050 0,0045 0,0041 0,0037 0,0033 0,0030 0,0027 0,0025

1 0,0311 0,0287 0,0265 0,0244 0,0225 0,0207 0,0191 0,0176 0,0162 0,0149

2 0,0793 0,0746 0,0701 0,0659 0,0618 0,0580 0,0544 0,0509 0,0477 0,0446

3 0,1348 0,1293 0,1239 0,1185 0,1133 0,1082 0,1033 0,0985 0,0938 0,0892

4 0,1719 0,1681 0,1641 0,1600 0,1558 0,1515 0,1472 0,1428 0,1383 0,1339

5 0,1753 0,1748 0,1740 0,1728 0,1714 0,1697 0,1678 0,1656 0,1632 0,1606

6 0,1490 0,1515 0,1537 0,1555 0,1571 0,1584 0,1594 0,1601 0,1605 0,1606

7 0,1086 0,1125 0,1163 0,1200 0,1234 0,1267 0,1298 0,1326 0,1353 0,1377

8 0,0692 0,0731 0,0771 0,0810 0,0849 0,0887 0,0925 0,0962 0,0998 0,1033

9 0,0392 0,0423 0,0454 0,0486 0,0519 0,0552 0,0586 0,0620 0,0654 0,0688

10 0,0200 0,0220 0,0241 0,0262 0,0285 0,0309 0,0334 0,0359 0,0386 0,0143

11 0,0093 0,0104 0,0116 0,0129 0,0143 0,0157 0,0173 0,0190 0,0207 0,0225

12 0,0039 0,0045 0,0051 0,0058 0,0065 0,0073 0,0082 0,0092 0,0102 0,0113

Página 173 de 176

13 0,0015 0,0018 0,0021 0,0024 0,0028 0,0032 0,0036 0,0041 0,0046 0,0052

14 0,0006 0,0007 0,0008 0,0009 0,0011 0,0013 0,0015 0,0017 0,0019 0,0022

15 0,0002 0,0002 0,0003 0,0003 0,0004 0,0005 0,0006 0,0007 0,0008 0,0009

16 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0002 0,0002 0,0002 0,0003 0,0003

17 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001

µ

K 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6 6,7 6,8 6,9 7,0

0 0,0022 0,0020 0,0018 0,0017 0,0015 0,0014 0,0012 0,0011 0,0010 0,0009

1 0,0137 0,0126 0,0116 0,0106 0,0098 0,0090 0,0082 0,0076 0,0070 0,0064

2 0,0417 0,0390 0,0364 0,0340 0,0318 0,0296 0,0276 0,0258 0,0240 0,0223

3 0,8480 0,0806 0,0765 0,0726 0,0688 0,0652 0,0617 0,0584 0,0552 0,0521

4 0,1294 0,1249 0,1205 0,1162 0,1118 0,1076 0,1034 0,0992 0,0952 0,0912

5 0,1579 0,1549 0,1519 0,1487 0,1454 0,1420 0,1385 0,1349 0,1314 0,1277

6 0,1605 0,1601 0,1595 0,1586 0,1575 0,1562 0,1546 0,1529 0,1511 0,1490

7 0,1399 0,1418 0,1435 0,1450 0,1462 0,1472 0,1480 0,1486 0,1489 0,1490

8 0,1066 0,1099 0,1130 0,1160 0,1188 0,1215 0,1240 0,1263 0,1284 0,1304

9 0,0723 0,0757 0,0791 0,0825 0,0858 0,0891 0,0923 0,0954 0,0985 0,1014

10 0,0441 0,0469 0,0498 0,0528 0,0558 0,0588 0,0618 0,0649 0,0679 0,0071

11 0,0241 0,0265 0,0285 0,0307 0,0330 0,0353 0,0377 0,0401 0,0426 0,0452

12 0,0124 0,0137 0,0150 0,0164 0,0179 0,0194 0,0210 0,0227 0,0245 0,0264

13 0,0058 0,0065 0,0073 0,0081 0,0089 0,0098 0,0108 0,0119 0,0130 0,1420

14 0,0025 0,0029 0,0033 0,0037 0,0041 0,0046 0,0052 0,0058 0,0064 0,0071

15 0,0010 0,0012 0,0014 0,0016 0,0018 0,0020 0,0023 0,0026 0,0029 0,0033

16 0,0004 0,0005 0,0005 0,0006 0,0007 0,0008 0,0010 0,0011 0,0013 0,0014

17 0,0001 0,0002 0,0002 0,0002 0,0003 0,0003 0,0004 0,0004 0,0005 0,0006

18 0,0000 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0002 0,0002 0,0002

19 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001

µ

K 7,1 7,2 7,3 7,4 7,5 7,6 7,7 7,8 7,9 8,0

0 0,0008 0,0007 0,0007 0,0006 0,0005 0,0006 0,0005 0,0004 0,0004 0,0003

1 0,0059 0,0054 0,0049 0,0045 0,0041 0,0038 0,0035 0,0032 0,0029 0,0027

2 0,0208 0,0194 0,0180 0,0167 0,0156 0,0145 0,0134 0,0125 0,0116 0,0107

3 0,0492 0,0464 0,0438 0,0413 0,0389 0,0366 0,0345 0,0324 0,0305 0,0286

4 0,8740 0,0836 0,0799 0,0764 0,0729 0,0696 0,0663 0,0632 0,0602 0,0573

5 0,1241 0,1204 0,1167 0,1130 0,1094 0,1057 0,1021 0,0986 0,0951 0,0916

6 0,1468 0,1445 0,1420 0,1394 0,1367 0,1339 0,1311 0,1282 0,1252 0,1221

7 0,1489 0,1486 0,1481 0,1474 0,1465 0,1454 0,1442 0,1428 0,1413 0,1396

8 0,1321 0,1337 0,1351 0,1363 0,1373 0,1382 0,1388 0,1392 0,1395 0,1396

9 0,1042 0,1070 0,1096 0,1121 0,1144 0,1167 0,1187 0,1207 0,1224 0,1241

10 0,0740 0,0770 0,0800 0,0829 0,0858 0,0887 0,0914 0,0941 0,0967 0,0993

11 0,0478 0,0504 0,0531 0,0558 0,0585 0,0613 0,0640 0,0667 0,0695 0,0722

12 0,0283 0,0303 0,0232 0,0344 0,0366 0,0388 0,0411 0,0434 0,0457 0,0481

13 0,0154 0,0168 0,0182 0,0196 0,0211 0,0227 0,0243 0,0260 0,0278 0,0296

14 0,0078 0,0086 0,0095 0,0104 0,0113 0,0123 0,0134 0,0145 0,1570 0,0169

15 0,0037 0,0041 0,0046 0,0051 0,0057 0,0062 0,0069 0,0075 0,0083 0,0090

16 0,0016 0,0019 0,0021 0,0024 0,0026 0,0030 0,0033 0,0037 0,0041 0,0045

17 0,0007 0,0008 0,0009 0,0010 0,0012 0,0013 0,0015 0,0017 0,0019 0,0021

18 0,0003 0,0003 0,0004 0,0004 0,0005 0,0006 0,0006 0,0007 0,0008 0,0009

Página 174 de 176

19 0,0001 0,0001 0,0001 0,0002 0,0002 0,0002 0,0003 0,0003 0,0003 0,0004

20 0,0000 0,0000 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0002

21 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0001

Página 175 de 176

ANEXO: TABLA NORMAL (N), AREA BAJO LA CURVA NORMAL DE (0 a Z)

Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359

0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0754

0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141

0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517

0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879

0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224

0,6 0,2258 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2518 0,2549

0,7 0,2580 0,2612 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852

0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2996 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133

0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3440 0,3365 0,3389

1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621

1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3770 0,3770 0,3770

1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0.3997 0,4015

1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4134 0,4147 0,4162 0,4177

1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319

1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441

1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545

1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633

1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706

1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767

2,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817

2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857

2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4775 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890

2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916

2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936

2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952

2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964

2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974

2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981

2,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986

3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990

3,1 0,4990 0,4991 0,4991 0,4991 0,4992 0,4992 0,4992 0,4992 0,4993 0,4993

3,2 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,4995

3,3 0,4995 0,4995 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4997

3,4 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4998

3,5 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998

3,6 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999

3,7 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999

3,8 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999

3,9 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000

Página 176 de 176

ANEXO. TABLA DE NUMEROS ALEATORIOS (NA)

23 15 75 48 59 01 83 72 59 93 76 24 97 08 86 95 23 03 67 44 64 75 58 38 85 84 12 22

05 54 55 50 43 10 53 74 35 08 90 61 18 37 44 10 96 22 13 43 10 30 25 22 89 77 43 63

14 87 16 03 50 32 40 43 62 23 50 05 10 03 22 11 54 38 08 34 71 01 79 84 95 51 30 85

38 97 76 49 51 94 05 17 58 53 78 80 59 01 94 32 42 87 16 95 60 01 25 56 05 88 41 03

97 31 26 17 18 99 75 53 08 70 94 25 12 58 41 54 88 21 05 13 37 33 09 46 56 49 16 14

11 74 26 93 81 44 33 93 08 72 32 79 73 31 18 22 64 70 68 50 47 86 98 70 01 31 59 11

43 36 12 88 59 11 01 64 56 23 93 00 90 04 99 43 64 07 40 36 38 04 04 27 37 64 16 78

93 80 62 04 78 38 26 80 44 91 55 75 11 89 32 58 47 55 25 71 73 50 83 09 08 83 05 48

49 54 01 31 81 08 42 98 41 87 69 53 82 96 61 77 73 80 95 27 32 62 34 64 74 94 06 10

36 76 87 26 33 37 94 82 15 69 41 95 96 86 70 45 27 48 38 80 97 59 19 95 49 36 36 03

07 09 25 23 92 24 62 71 26 07 06 55 84 53 44 67 33 84 53 20 74 01 23 19 55 59 79 09

43 31 00 10 81 44 86 38 03 07 52 55 51 61 48 89 74 29 46 47 56 75 42 64 57 13 35 10

61 57 09 63 60 06 17 36 37 75 63 14 89 51 23 35 01 74 69 93 49 80 04 99 08 54 83 12

31 35 28 37 99 10 77 91 89 41 31 57 97 64 48 62 58 48 69 19 43 58 48 96 47 24 87 85

57 04 88 65 26 27 79 59 36 82 90 52 95 65 46 35 06 53 22 54 16 65 37 96 64 60 32 57

09 24 34 42 00 68 72 10 71 37 30 72 97 57 56 09 29 82 76 50 48 50 26 90 55 65 32 25

97 95 53 50 18 40 89 48 83 29 52 23 08 25 21 22 53 26 15 87 96 76 55 46 92 36 31 68

93 73 25 95 70 43 78 19 88 85 56 67 16 68 26 95 99 64 45 69 38 92 36 15 50 80 35 78

72 62 11 12 25 00 92 26 82 64 35 66 65 94 34 71 68 75 18 67 77 92 82 80 65 25 58 60

97 83 98 54 74 33 05 59 17 18 45 47 35 41 44 22 03 42 30 00 94 03 68 59 78 02 31 80

89 16 09 71 92 22 23 29 06 37 35 05 54 44 89 88 43 81 63 61 47 46 06 04 79 56 13 04

25 96 68 82 20 62 87 17 92 65 02 82 35 28 62 84 91 95 48 83 47 85 65 60 88 51 99 28

81 44 33 17 19 05 04 95 48 06 74 69 00 75 67 65 01 71 65 45 57 61 63 46 43 92 29 86

11 32 25 49 31 42 36 23 43 86 08 62 49 76 67 42 24 52 32 45 08 30 09 27 04 66 75 26

59 20 17 69 61 56 55 95 04 59 59 47 44 30 38 11 24 90 67 07 32 82 33 28 03 74 66 59

10 28 87 53 76 56 91 49 48 79 79 65 59 01 69 78 80 00 36 66 28 02 48 27 45 55 44 46

55 36 50 90 22 73 60 62 61 28 22 34 69 16 12 12 95 78 39 32 34 93 24 88 43 87 06 19

36 66 93 02 95 56 46 04 53 36 43 24 20 62 83 73 19 32 35 64 39 69 51 06 62 99 29 61

29 75 95 32 05 77 34 61 82 66 22 42 40 15 96 74 90 75 89 50 14 90 96 63 36 74 69 09

01 35 74 28 36 36 73 05 88 72 29 87 48 31 44 68 02 37 31 25 29 63 67 62 30 48 29 63

83 52 23 81 66 40 94 17 84 23 44 41 24 63 33 99 22 81 28 55 87 51 07 30 10 70 60 21

86 19 61 87 71 02 64 18 50 64 65 79 64 81 70 44 99 41 05 41 05 31 87 43 12 15 96 23

23 04 84 17 14 37 28 51 67 27 55 80 03 68 99 28 24 39 40 64 41 71 70 13 46 31 82 88

20 18 10 37 57 65 15 62 98 69 07 56 66 10 57 18 87 91 07 54 22 22 20 13 89 22 10 23

62 65 78 77 47 33 51 27 23 02 13 92 44 13 96 51 04 00 59 98 18 63 91 82 90 32 94 01

24 23 63 01 26 11 06 50 98 54 63 80 66 50 85 67 50 45 40 64 52 28 41 53 25 44 41 25

Date post:	23-Feb-2020
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M ater i al comp i l ado con f i nes...Página 7 de 176 1) ESTADISTICA I CONCEPTO. La estadística...

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