[Project#05:Lid Driven 

Cavity]

[MAE]

[542] [Engineering Applications of Computational Fluid Dynamics] 

[ 3rdApril2011]

By Mandeep Singh 

Person # 3721 2672 

2 | P a g e  

 

  

Contents1  Introduction ................................................................................................................................... 3 

1.1  Streamfunction ...................................................................................................................... 3 

1.2  Vorticity .................................................................................................................................. 3 

2  Problem definition / Problem statement ...................................................................................... 3 

3  Method of Solution : ...................................................................................................................... 5 

4  Discussion of results ....................................................................................................................... 7 

4.1  Plots for vorticity and convergence of the solution for various mesh sizes .......................... 7 

4.2  Plots for the Iteration for PSOR iteration as a function of time for various relaxation factor

  9 

4.3  Contour plots for the Stream function and Vector plots for the velocities for different 

Reynolds number ............................................................................................................................. 14 

5  Summary and Conclusion ............................................................................................................ 21 

6  Appendix ...................................................................................................................................... 22 

6.1  Matlab Codes written for solving the iterations .................................................................. 22 

6.2  Boundary Condition Calculations for vorticity ..................................................................... 27 

6.2.1  Boundary 1 (Left Hand Side) ........................................................................................ 27 

6.2.2  Boundary 2 (Right Hand Side) ...................................................................................... 28 

6.2.3  Boundary 4 (Top edge) ................................................................................................. 28 

6.2.4  Boundary 3 (Bottom edge) ........................................................................................... 29 

7  References ................................................................................................................................... 30 

 

3 | P a g e  

 

1 Introduction 

This project deals with the solution of vorticity, stream function and velocity fields in 

a  laminar  incompressible  flow. Navier  Stokes  equations  are  used  to  calculate  the 

solution of equations. First we will understand the terms vorticity , stream function. 

1.1 Streamfunction 

The streamfunction represents the two dimensional position representation flow which can 

be utilized to calculate the stream lines or the trajectories of the steady state flow. The first 

derivative  of  the  stream  function  give  the  fluild  parcels’s  velocity  and  second  derivative 

gives  the  accelerations.    A  continuous  interconnected  stream  function  gives  the 

stereamlines  for  a  given  snapshot  in  time.  Understanding  the  location  of  streamlines  is 

critical  in  studying  the  flow pattern  for engineering application. The  streamfunction  for a 

given domain can be solved by the streamfunction equation for one  instance  in time  if the 

initial position and magnitude of vorticity is known. 

1.2 VorticityVorticity is a physical quantity in fluid dynamics in general for a fluid parcel gives a measure 

of  its  localized  rotation. Numerically  vorticity  is defined  as  the divergence of  the  velocity 

field �× �.  If  the vorticity  is known everywhere  in  the  flow the stream  function(and hence 

the velocity components) is determined by solving a Poisson equation. 

2 Problemdefinition/Problemstatement 

In this project we are given a  lid driven square cavity  in which the fluid flows over the top 

edge with a velocity  (u = 1)  in x‐direction. On  rest of  the boundaries u = 0. The  lid driven 

cavity has the non‐dimensional length of 1 x 1. Also given that the velocity component v = 0 , 

stream function  0  on all boundaries. The scheme of the project is shown in fig. 1. 

4 | P a g e  

 

Figure 1 (Lid Driven Cavity) 

We need to solve the given system for the vorticity, stream function and velocity fields. The 

convergence criteria  for  the stream  function  for all the cases  is given by ε = 1 x 10‐10. The 

following cases needs to be analyzed for this project  

Table 1(Cases to be evaluated) 

S. No  Condition to Explore  Parameter given 

1  Plot ω a  function of time at X = 0.5 and Y = 0 for grid size 5 x 5, 9 x 9, 17 x 17 

Relaxation Factor = 1 for all cases. Re =10 

2  Plot number of PSOR iteration as  a  function of time for grid size 5 x 5, 9 x 9, 17 x 17, Determining Optimum Relaxation Factor for the grid refinement and estimating the relaxation factor for 35 x 35 

Varying Relaxation Factor = 1.0  to 1.5 for all cases.Re=10 

3  Contour Plot of stream function and vector plot of velocities at t = 2 for grid size 17x17 

Cases for Re=100 , 1000 , 10000 , 50000 

 

5 | P a g e  

 

3 MethodofSolution: 

The driven cavity problem  is a classical problem  that has wall boundaries surrounding  the 

entire computational region.  

 In this problem we will utilize the Neumann and Dirichlet’s boundary conditions to start our 

iteration. Whole  system  is  divided  into  grid  of  different  sizes  as  required.  The  problem 

assume incompressible viscous flow in the cavity is driven by the uniform translation of the 

moving  upper  lid. We  utilized  the  vorticity‐stream  function method  to  solve  the  driven 

cavity problem. 

First we calculated plugged the boundary conditions to our system. 

For the Left , right , top and bottom boundary v = 0 ,  0 . For top boundary u = 1 and for 

rest of the boundaries u = 0. The value of    is evaluated   over the stationary walls using 

yu

 and x

v

 which yields the value of   )(xf    and      )(yf   which can 

only be satisfied for  0 cconst  

Then  we  calculate  the  vorticity  for  the  boundaries  and  for  the  inner  nodes.  For  the 

boundaries , vorticity  ω  can be defined as  

For Left and right boundaries  

2

2

x 

For Top and bottom boundaries  

2

2

y 

We utilized the Taylors series formulation ( See Appendix for detail) to approximate the 

vorticity on the boundaries.  

For the inner nodes vorticity is given by relation 

6 | P a g e  

 

2

1,,1,

2

,1,,11,1,,1,11,

22

Re22 yx

t

y

uu

x

uut

nji

nji

nji

nji

nji

nji

nji

nji

nji

njin

ijn

ji

 

For the Stream function the values are evaluated using Gauss‐ Seidel algorithm – Point 

successive over relaxation (PSOR).  

Gauss Seidel algorithm using PSOR method for the stream function is given as  

2,

11,1,

21,1,12

1, )(

)1(2)1( xk

jik

jik

jik

jik

jikij

kji

              (2) 

Here the function (Stream function  )  is calculated for the  iteration K+1 and  is computed 

will we get the convergence,   is the relaxation parameter which converges the solution at 

a faster rate hence increasing the computation efficiency. We have used Gauss‐Seidel PSOR 

method with five point grid. The grid used is shown in the figure 2 below 

 

Figure 2(Grid Point arrangement for Gauss‐Seidel algorithm ‐ PSOR) 

 

Also note  that  the  grid  arrangement  shown  above  implies  that  the  corner nodes  are not 

required  in the boundary conditions to calculate the values of the  inner nodes.  In case we 

want  to  consider  to  calculate  the  corner node values  , we need  to apply  the ghost point 

method.  

The overall solution procedure for the given system can be summarized as  

1. Specify the geometry and the properties like Reynolds number, length, width , grid size 

etc 

7 | P a g e  

 

2. Specify the initial conditions 

3. Determine  t  (non – dimensional)  

Now  t     is calculated using the stability conditions similar to what applies  in the FTCS 

method for the courant number c. 

Here  t    = min (convection time ct  , diffusion time dt ) 

Now for the convection time step

)Re(

222 vu

t

 

Now for the diffusion time step

22

112

Re

yx

td

 

 

 

 

4. Now we solve for the vorticity 1

,nji       

5. Solve for stream function  1,nji  

6. Solve for    1,njiu and  1

,njiv         

7. Repeat step 3 – 6 until desired time or steady state is achieved. 

We can also calculate the pressure in the post processing using the Navier‐Stokes equation 

for momentum . 

 

 

4 Discussionofresults

4.1 Plotsforvorticityandconvergenceofthesolutionforvariousmeshsizes

 

Here we plotted the vorticity  ω  as a function of time at X = 0.5 and Y = 0  for the maximum 

non‐dimensional time of  2.0. Here we have used the Relaxation factor to be 1.0.  

8 | P a g e  

 

 

Figure 3 (Plot for comparison of the Vorticity as a function of time t for various mesh sizes at location X = 0.5 and Y = 0) 

We can observe  form  the plot  that  the value of vorticity   ω   has  increases by refining  the 

mesh size. There is a significant improvement in the vorticity when we change the mesh size 

from 5 x 5 to 9 x 9.  

The value of  final vorticity after  time 2  is 0.62 compared  to 0.68 when  the grid  is  refined 

from 5 x 5 to 9 x 9. Hence there is a change of approximately 32 % in the value of vorticity. 

When we refine the mesh from 9 x 9 to 17 x 17, we observe a change in the value of 0.68 to 

0.7 which is a change of 3.5% in the value of vorticity. 

 

Since  for  these  iterations, we  used  the  relaxation  factor  to  be  1.0,  the  grid  refinement 

increases the computational time of the solution.  

Table 2(Table Showing the Computational Time for the various mesh sizes) 

S. No  Grid Size  Computational time for Re = 10 , Relaxation Factor = 1.0 

1  5 x 5  0.055439 seconds 

9 | P a g e  

 

2  9 x 9  1.216796 seconds 

3  17 x 17  66.039699 seconds 

 

Here by estimating the time for the computation we can see that the convergence time for 

the grid size 5 x 5 comes out  the  least  i.e., 0.05 s and  for 17 x 17,  it comes out  to be  the 

highest  i.e., 1 min 6s which  is almost  . Though  these values depend on  the processor and 

ram , but gives us the brief estimation of the performance of the convergence time for the 

various mesh  grid  sizes.Hence we  observed  that  the  convergence  occurs  by  refining  the 

mesh size but the time for the convergence increases since by increasing the mesh size , we 

have to calculate the convergence at more nodes. Also the accuracy increases upto certain 

level of mesh size. 

The  computational  time  is  represented by  the  area of  the plot  in  the  following  chart  for 

comparison 

 

Figure 4 (Time estimation for the various grid sizes) 

 

4.2 Plots for the Iteration for PSOR iteration as a function of time for

variousrelaxationfactor

 

10 | P a g e  

 

In this case we changed the value of the relaxation factor for the various grid sizes i.e., 5x5, 

9x9,  17x17. We  are  required  to  find  the  optimum  value  of  the  relaxation  factor  for  the 

various grids. 

For 5x5 grid size , we obtain the following plot for PSOR iterations as a function of time 

 

Figure 5 ( Figure showing the PSOR iterations for Stream function as a function of time for various relaxation factors for Grid size 5x5) 

For 5 x 5 grid size , we can see that the value of the relaxation factor comes out to be 1.2 . 

We varied the value of relaxation factor from 1 to 1.5 . 

 

 

Now for the grid size 9 x 9, we get the following fig 6.  

11 | P a g e  

 

 

Figure 6(Figure showing the PSOR iterations for Stream function as a function of time for various relaxation factors for Grid size 9x9) 

 

Here we can see that in the beginning the relaxation factor for the grid size comes out to be 

1.5 in the beginning but at the time approaches the value of 2 the optimum relaxation factor 

comes out to be 1.4 becomes optimum  in the end which gives us the minimum number of 

iterations  (18) compared to 22  iteration. Since  if we consider the weighted average of the 

values of iteration , we can see that the optimum value of the relaxation factor comes out to 

be 1.5 

 

Now for the grid size of 17 x 17 we evaluated the following plot  

12 | P a g e  

 

 

Figure 7(Figure showing the PSOR iterations for Stream function as a function of time for various relaxation factors for Grid size 17x17) 

 

Hence for the grid size of 17 x 17, we can observe the value of relaxation factor comes out 

to be 1.7 

Hence we observed that the relaxation factor for the grid sizes 5x5, 9x9, 17x17 are 1.2 , 1.5, 

1.7 respectively. We utilized extrapolation for the relaxation factor we obtained the value of 

the relaxation factor for the grid size 35 x 35 to be 1.9 

 

 

13 | P a g e  

 

 

Figure 8(Relaxation Factor Extrapolation for estimating at grid size 35x35) 

 

As the grid size is refined, the trend shows that the optimum value of the relaxation factor 

increases. The value of the relaxation factor for the grid size 35 x 35 comes out to be 1.9. 

since  the grid  is refined  ,  the number of computations per  loop  increases which results  in 

increase in the relaxation factor.  

Hence since as the grid was refined we observed more time is required  for the computation 

hence by extrapolating we can approximate the relaxation factor the value for 35 x 35 grid, 

which can really be helpful for any study to know the approximate value of the relaxation 

factor before hand and hence reducing the computational time and cost. 

Hence we observed that the optimum value of the relaxation factor  increases as we refine 

the grid. As far as the trend for the number of PSOR iterations /time step are concerned , we 

see that for a given relaxation factor , at the time t approaches 2 , the number of iterations 

required for the convergence decreases. Also as we increase the relaxation factor upto the 

optimum  value  the  iteration  per  unit  time  decreases  and  the  iterations  again  increases 

beyond the optimum relaxation factor. This  increases the computational time and cost. As 

the grid  is refined we require more  iterations for getting the convergence  in more number 

of nodes. Hence to converge the solution we have to increase the relaxation parameter. 

14 | P a g e  

 

 

4.3 Contour plots for the Stream function and Vector plots for the

velocitiesfordifferentReynoldsnumber

For the case 3 , we are required to plot the contour for the stream function and the vector 

plot  of  velocities  at  t  =  2.0  for  different  values  of  the  Reynolds  number  i.e.,  100,  1000, 

10,000 and 50,000. 

For higher Re values the primary vortex shifts more to the centre.  For the grid size of 17 x 

17, Re = 100 , 1000 , 10000, 50000, and Relaxation factor = 1.5, the computation time is = 14 

seconds, 1.5 min  , 13 min  , 1 hr respectively which depend on the computer configuration 

These  values  gives  us  approximation  and  tells  the  advantage  PSOR  which  provide  the 

relaxation parameter   

Figure 9 and 10 shows the contour and velocity plots for the Reynolds number 100. Here we 

can see the primary vortex shifted towards right.The center of the vortex comes at around 

0.65 in the X direction and 0.8 in the Y‐direction. 

15 | P a g e  

 

 

Figure 9(Figure showing the stream function contour for the Grid size of 17x17 for the Reynolds number 100) 

The velocity vector plots shows the vector component of the instantaneous velocities of the 

resultant  of  u  and  v  velocities.  The  vector  plot  shows  the  velocity  direction  and we  can 

clearly see the  circulation area near the top of the plot. This area is more clearly visualized 

using the stream function in the contour plot. 

16 | P a g e  

 

 

Figure 10(Figure showing the vector plot for the Grid size of 17x17 for the Reynolds number 100) 

For the Reynolds number of 1000 we can see that the primary vortex shifts to the right. Also the 

center of the rotation has shifted by 0.1 up and is at 0.9 compared to 0.8 as in the previous case.  

 

Figure 11(Figure showing the stream function contour for the Grid size of 17x17 for the Reynolds number 1000) 

17 | P a g e  

 

 

Figure 12(Figure showing the vector plot for the Grid size of 17x17 for the Reynolds number 100) 

 

Fig.  12  shows  the  velocity  plot  for  the  Reynolds  number  1000  and we  can  see  that  the 

velocity components vortex have  shifted  towards  the  right. At  the  top  the velocity vector 

component have only the u component since v = 0 at the top hence the velocity vector has 

the  dimensionless  magnitude  of  1.  Also  the  center  of  rotation  has  shifted  to  the  up 

compared to the case where Reynolds number was 100.  

18 | P a g e  

 

 

Figure 13(Figure showing the stream function contour for the Grid size of 17x17 for the Reynolds number 10,000) 

 

Figure 14(Figure showing the vector plot for the Grid size of 17x17 for the Reynolds number 10,000) 

19 | P a g e  

 

Figure 13 and 14 shows  the variation  in  the streamfunction and  the velocity vector at  the 

top. The center of the primary vortex has shifted to the center again.  In this case we have 

changed the Reynolds number to 10000. That means now it is a turbulence model and this is 

what the change  in the solution. The time step  is reduced drastically for the high values of 

the Reynolds number. May be because of the high speed due to the change in the speed of 

the fluid , our method is unable to map the velocities properly for the given grid size. Hence 

we may require to refine our mesh for the proper convergence of the solution. 

Similarly we can observe that the primary vortex formed comes to the center of the cavity 

and  it seems  like our scheme does not work  for very high Reynolds number  for  the given 

size of the grid. Fig 16 shows the velocity vector plot showing the vortex at the center. And 

the values of the velocities are too less compared to 1 at the top hence the velocity vector 

arrows appear very small. 

 

Figure 15(Figure showing the stream function contour for the Grid size of 17x17 for the Reynolds number 50,000) 

 

20 | P a g e  

 

 

Figure 16(Figure showing the vector plot for the Grid size of 17x17 for the Reynolds number 50,000) 

 

 

So we have observed that the stream lines shiftes to the right and the center od the vorticity 

liftes up when we changes the Reynolds number for 100 to 1000.  This shift occurs since the 

Re is proportional to the velocity but our velocity is constant at the top and u becomes more 

prone than v. We have also assumed the flow to be incompressible hence there is no rate of 

change in density. And we know that Re also depends on the viscosity and the dependency 

of time step on Reynolds number is bringing this change in the solution. When we increases 

the Re to 10000 or 50000, we can see the system becomes turbulent. Hence we may require 

to  use  the  turbulence  model  turbulence models are used to solve for the mean flow

behaviour and calculate the statistics of the fluctuations. Hence our Solution seems to be

unrealistic at and beyong 10000 Re 

     

21 | P a g e  

 

5 SummaryandConclusion 

In this project we studied  lid driven cavity base model for the varying grid size  , relaxation 

factor and Reynolds number. Here we have observed that by varying the size of the grid the 

computational time increases and out convergence time increases since we have to find the 

convergence at more nodes. The results accuracy  is enhanced by  increasing the size of the 

mesh but beyond cetain mesh size the variation  in accuracy  is not phenomenal and  it  just 

adds computational time and cost to the solution convergence. The computational cost can 

be reduced by using the optimal value of the relaxation parameter. Also we have seen that 

the  relaxation parameter  increases by  increasing  the mesh size. This happens because we 

have more nodes to solve but due to refining of the mesh size we are able to use increases 

relaxation parameter. We estimated the value of the relaxation parameter for the 35 x 35 

grid using the value of the previous mesh size which can reduce our computational time and 

cost using such analogies. We also observed that by  increasing the Reynolds number from 

100  to  1000,  the  center  of  primary  vortex  shifts  towards  the  right  but  at  high  Reynolds 

number  like 10000, our model no  longer  looks physically realistic. This may be because we 

may need turbulent model scheme to solve such high Reynold number.   

 

22 | P a g e  

 

6 Appendix

6.1 MatlabCodeswrittenforsolvingtheiterations 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Name : Mandeep Singh % % Project 5 (Lid Driven Cavity) % % Assigned: 04/19/11 Due: 05/03/11 % % MAE 542 Engineering Applications of Computational Fluid Dynamics % % The standard setup solves a lid driven cavity problem % % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %------------------------------------------------------------------% %% clear all clc %% Given % on the right, left and bottom of the lid driven cavity % u = v = psi(stream function) = 0 % On the top this cavity u = 1 ; v = psi(stream function) = 0 %% ----------------------------------------------------------------------- %% INPUT tic Re = 50000; % Reynolds Number eps=10^-10; % Covergence criteria om= 1.5; % Omega the Relaxation Factor tot = 2 ; % Total Time % dimension Lx = 1; % Length in X-dir. Ly = 1; % Length in Y-dir. % Mesh Size nx=17; %Space steps number in x-direction ny=17; %Space steps number in y-direction dx= Lx/(nx-1); dy= Ly/(ny-1); b=dx/dy; % Beta for PSOR % Velocity over the surface u=zeros(nx,ny); v=zeros(nx,ny); psi=zeros(nx,ny); o=zeros(nx,ny);

23 | P a g e  

 

% Left Boundary v(:,1)=0; u(:,1)=0; psi(:,1)=0; % Right Boundary v(:,ny)=0; u(:,ny)=0; psi(:,ny)=0; % Bottom Boundary v(nx,:)=0; u(nx,:)=0; psi(nx,:)=0; % Top Boundary v(1,:)=0; u(1,:)=1; psi(1,:)=0; psiKP1=zeros(nx,ny); counter = 0; factorial = 1; y=0; while counter <= 2 % Calculating the time period y=y+1; for i=1:nx for j=1:ny dtc(i,j)=2/(Re*(u(i,j)^2+v(i,j)^2)); end end dtd=Re/(2*((1/dx^2)+(1/dy^2))); dt=min(dtd,(min(dtc))); dt = min(dt); counter=counter+dt; p(y)=counter; for i=1:nx for j=1:ny %For Calculating the omega Vorticity if j==1 % Left BC o(i,1)=2*(psi(i,1)-psi(i,2))/(dy^2); o1=o; elseif j==ny % Right BC o(i,ny)=2*(psi(i,ny)-psi(i,ny-1))/(dy^2); o1=o;

24 | P a g e  

 

elseif i==nx % Bottom BC o(nx,j)=2*(psi(nx,j)-psi(nx-1,j))/(dx^2); o1=o ; elseif i==1 % Top Boundary o(1,j)=2*((psi(1,j)-psi(2,j))/(dx^2)-((1/dx))); o1=o; end end end for i=2:nx-1 for j=2:ny-1 o1(i,j)=o(i,j)+dt*(((u(i,j+1)*o(i,j+1)-u(i,j-1)*o(i,j-1))/(2*dy))+... ((v(i+1,j)*o(i+1,j)-v(i-1,j)*o(i-1,j))/(2*dx)))+... ((dt/Re)*(((o(i,j+1)-2*o(i,j)+o(i,j-1))/(dy^2))+... ((o(i+1,j)-2*o(i,j)+o(i-1,j))/(dx^2)))); end end o=o1; for i= 1:y JP(y)=o1(nx,(ny+1)/2); end for kl=1:100000 psiold=psi; for i=2:nx-1 for j=2:ny-1 psi(i,j)=((1-om)*psi(i,j))+(om*(1/(2*(1+b^2))))*(psi(i,j+1)+psi(i,j-1)+... (b^2)*(psi(i+1,j)+psi(i-1,j))+o1(i,j)*dy^2); % IN THE ABOVE LINE o(i,j) is the source term end end m=0; for i=2:nx-1 for j=2:ny-1 error(i,j)=(psi(i,j)-psiold(i,j))^2; m=m+error(i,j); end end jp3=sqrt(m); jp=jp3; if(jp3 < 10^-10) break;

25 | P a g e  

 

end end JP2(y)=kl; for i=2:nx-1 for j=2:ny-1 u(i,j)=-(psi(i+1,j)-psi(i-1,j))/(2*dy); v(i,j)=(psi(i,j+1)-psi(i,j-1))/(2*dx); end end end toc psifinter = flipud(psi); psifinal = fliplr(psifinter); U = fliplr(u); you = flipud(U); V = fliplr(v); vee = flipud(V); x=linspace(0,1,nx); y=linspace(0,1,ny); quiver(x,y,you,vee);figure(gcf) ylabel({'y-axis'}); xlabel({'x-axis'}); title({'Vector Plot for the Stream Function for Re = 10000, Grid Size 17 x 17, \Omega 1.5'}); figure (2) contourf(x,y,psifinal,'DisplayName','psi');figure(gcf) ylabel({'y-axis'}); xlabel({'x-axis'}); title({'Contour Plot for the Stream Function for Re = 10000, Grid Size 17 x 17, \Omega 1.5'}); % figure (1) % plot(p,JP,'-ro') % hold on % xlabel('time','fontWeight','bold','fontSize',10); % ylabel('\omega - vorticity','fontWeight','bold','fontSize',10); % title('\omega as a function of time for Re = 10',... % 'fontWeight',... % 'bold','fontsize',10); % grid on %

26 | P a g e  

 

% figure (2) % plot(p,JP2,'-b') % hold on % xlabel('time - t','fontWeight','bold','fontSize',10); % ylabel('Iterations','fontWeight','bold','fontSize',10); % title('\Omega - Number of iterations as a function of time for Re = 10 , Grid Size 17 x 17',... % 'fontWeight',... % 'bold','fontsize',10); % grid on  

 

27 | P a g e  

 

   

6.2 BoundaryConditionCalculationsforvorticityWe utilize the Taylor series expansion for calculating the value of vorticity at the boundaries 

of the cavity 

6.2.1 Boundary1(LeftHandSide) 

For the left hand side wall of the cavity, 

 

 Figure 17 

 For approximating the stream function on the second node in the x‐direction, we used taylor series expansion which yield the expression 

 

)(2

32

,2

2

,,1,2 x

x

xx

xjiji

jj

 

 But from definition and boundary condition we know that, 

For  the left boundary0

,

vx ji

,  

Also  ji

jix ,

,

2

2

       

Hence using these values in the taylor series expansion, we get  

2

,2,1,

)(2

xjj

ji

 

28 | P a g e  

 

  

6.2.2 Boundary2(RightHandSide)Similar  to  the  left  boundary  condition  , we  calculate  the  right  side  baoundary  condition 

using the Taylor series expansion 

 Figure 18 

    The stream function for the second last node on the right hand side can be written using the Taylor series expansion  

)(2

32

,2

2

,,1,1 x

x

xx

xjNXjNX

jNXjNX

 

Now from definition and boundary conditions 

  

For  the Right hand side boundary 0

,

vx ji

, Also  ji

jix ,

,

2

2

       

By using the above relation in the Taylor series expansion oof the stream function , we get the following relation for vorticity 

 

2

,1,,

)(2

xjNXjNX

ji

  

6.2.3 Boundary4(Topedge) 

29 | P a g e  

 

 Figure 19 

Using the Taylor series expansion as done before, we get  

)(2

32

,2

2

,

,1, yy

yy

yNYiNYi

NYiNYi

 

 

For  the Top boundary 1

,

uy

ji

, Also  NYi

jiy ,

,

2

2

       

 Hence we obtain the relation given below for the vorticity to be 

 

y

u

yNYiNYi

ji 2

1,,,

)(2

 

 

6.2.4 Boundary3(Bottomedge) 

 

 

Figure 20 

Similarly for the bottom boundary conditions and Taylor series expansion we can obtain the vorticity 

to be 

2

2,1,,

)(2

yii

ji

 

30 | P a g e  

 

 

7 References1.  Lecture notes by Prof. Desjardin 

2. Hoffman & Chian, Computational Fluid Dynamics Vol‐I