Date post: | 22-Dec-2015 |
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Capítulo 1 MATRICES Y DETERMINANTES
INTRODUCCION.- Generalmente todo proceso viene de la transformación de una variable.
ENTRADA X Y SALIDA
Por ejemplo:
Materia prima (X) Producto (q)
q= α x α= factor de proceso
t x t= tiempo x=v t
x= distancia v= Factor de proceso
Pero generalmente se tiene más de una variable de entrada y en la salida puede existir más de
dos salidas.
Por ejemplo:
Costo Materia Prima
Costo transformación qA
Costo Administrativo qB
Ganancia qC
Materia Prima
TABLA MULTIVARIABLE
Matriz de Costos
Productos Costo Materia Prima Costo transformación Costo Administrativo Ganancia
qA 200 300 60 80
qB 150 120 60 40
qC 80 70 60 30
*Bs/Unidad
PROCESO
PROCESO
PROCESO
PROCESO
Matriz de Salarios
Salario Ejecutivos Operativos Administrativos Obreros Servicios
A 6000 4500 2800 2000 1800
B 5000 4300 2800 1950 1800
*Salario Promedio/Empleado
Definición.- Una matriz se define como un ordenamiento rectangular de elementos dispuestos
en filas y columnas.
Nomenclatura.- Para matrices utilizamos letras mayúsculas con dos subíndices con un signo de
multiplicación.
Amxn Indica la cantidad de columnas mxn= Orden de la matriz
Indica la cantidad de filas
Los elementos se simbolizan
ai j Indica la columna a la que pertenece el elemento
Indica la fila a la que pertenece el elemento
Entonces:
Amxn= [ai j]; Amxn= (ai j)
� Solo se puede usar “[]” y “()”
� No se puede usar “||” o “{}”
� “||” es para determinantes
� “{}” se usa para conjuntos
Por ejemplo:
A2x4=�6000 4500 2800 18005000 4300 2800 1800
Ejemplo: En la matriz
A= � 2 �1 5 7 24 �3 �6 9 8�7 2 10 12 �13�
Se pide:
a) Su orden
b) Indicar los elementos: A13 , A2 2, A3 4
Solución:
a) A3x5
b) A1 3= 5; A2 2= -3; A3 4= 12;
Generación de matrices.- Algunas matrices y sus elementos responden a reglas de recurrencia
o asignaciones condicionales por lo cual es sencillo generarlas.
Por ejemplo: Hallar
A4x4= [ai j� �����!�!��! ] Solución:
A4x4= a1 1 a1 2 a1 3 a1 4
a2 1 a2 2 a2 3 a2 4
a3 1 a3 2 a3 3 a3 4
a4 1 a4 2 a4 3 a4 4
a1 1� �����!�!��! � 2
a2 1� �����!�!��! � 3
a3 1� �����!�!��! � 4
a1 1� �����!�!��! � 5
a1 2� �����!�!��! � 3
a2 2� �����!�!��! � 6
a3 2� �����!�!��! � 10
a1 2� �����!�!��! � 15
a1 3� �����!�!��! � 4
a2 3� �����!�!��! � 10
a3 3� �����!�!��! � 20
a1 3� �����!�!��! � 35
a1 4� �����!�!��! � 5
a2 4� �����!�!��! � 15
a3 4� �����!�!��! � 35
a1 4� �����!�!��! � 70
Rpta.- A4x4=�2 3 4 53 6 10 154 10 20 355 15 35 70�
Ejemplo: Hallar
B3x4= [bi j ={ 1 �� � � 0 �� � ! �1 �� � " ]
B3x4= b1 1 b1 2 b1 3 b1 4
b2 1 b2 2 b2 3 b2 4
b3 1 b3 2 b3 3 b3 4
Respuesta: B3x4=� 1 0 0 0�1 1 0 0�1 �1 1 0� Operaciones Matriciales
Producto Escalar.- Sea una matriz Amxn = [ai j] y “k” un escalar no nulo # |R
Se define
kAmxn=[k ai j]
Ejemplo: Sea
A3x2=� 2 �5�3 46 7 � Hallar:
a) 3A
b) -2A
Solución:
a) 3A=3 � 2 �5�3 46 7 �=& 3�2� 3��5�3��3� 3�4�3�6� 3�7� '=� 6 �15�9 1218 21 � b) -2A=� �4 106 �8�12 �14�
Suma de Matrices.-
Sean dos matrices Amxn y Bpxq se dice que son conformables para la suma si se verifica
Amxn + Bpxq = Cmxn
En ese sentido
Amxn + Bmxn = Cmxn
[ai j + bi j]=[ci j]
Por ejemplo: Sean las matrices
A3x3=� 2 �5 7�3 6 48 �9 10� y B3x3=�7 �5 �73 5 �89 �10 �11�
Hallar A+B
A+B=& 2 ( 7 �5 ( ��5� 7 ( ��7��3 ( 3 6 ( 5 4 ( ��8�8 ( 9 �9 ( ��10� 10 ( ��11�'
A+B=� 9 �10 00 11 �417 �19 �1�
Propiedades.- Sean A, B y C matrices conformables
i) A+B= B+A
ii) (A+B)+C= A+(B+C)
iii) Amxn+ Ømxn= Amxn
Matriz Nula
Ømxn =[Øi j=0]
Ømxn =�0 0 00 0 00 0 0�
iv) Amxn+(- Amxn)= Ømxn
Inverso Aditivo
(- Amxn)= [(-1) ai j]
Entonces
A-B= A+(-B)
v) k(A+B)= kA+kB
Ejemplo: Hallar una matriz X, si satisface la ecuación:
2(A+B-X+C)=3X+2D-2E+3ª
Donde:
A=�2 �13 4 ; B=�1 33 1; C=�2 00 �3; D=��5 4�3 1; E=��1 11 �1
Solución:
2(A+B-X+C)=3X+2D-2E+3A
2A+2B-2X+2C= 3X+2D-2E+3ª
-A+2B+2C-2D+2E=5X
5X=� �2 �13 4 +2�1 33 1+2�2 00 �3-2��5 4�3 1 ( 2 ��1 11 �1
5X=��2 1�3 �4+�2 66 2+�4 00 �6 ( �10 �86 �2 ( ��2 22 �2
5X=�12 111 �12 //�)
X=&��) �)��) *��) '
Producto de Matrices.- Sean dos matrices Amxn y Bpxq se dice que son conformables para el
producto si se verifica que:
Amxn* Bpxq= Cmxq
=
Por ejemplo:
a) A3x4* B4x2= C3x2
=
b) A4x2* B3x4 El producto no esta definido
+
La definición nos dice:
Si Amxn= [ai j]
Bpxq= [bj k]
Entonces:
Cmxq= A*B= [ci k]
Los elementos
Por ejemplo: Hallar A*B si:
A3x3 =� 2 �1 4�3 5 �26 7 �8�; B3x2 =�2 �57 64 3 �
Solución:
A3x3* B3x2= C3x2
=
C3x2= c1 1 c1 2
c2 1 c2 2
c3 1 c3 2
C1 1= ∑ ���-� a1 j*bj 1=a1 1*b1 1+a1 2*b2 1+a1 3*b3 1 C1 1=2(2)+(-1)7+4(4)= 13
C1 2= ∑ ���-� a1 j*bj 2=a1 1*b1 2+a1 2*b2 2+a1 3*b3 2 C1 2=2(-5)+(-1)6+4(3)= -4
C2 1= ∑ ���-� a2 j*bj 1=a2 1*b1 1+a2 2*b2 1+a2 3*b3 1 C2 1=(-3)2+5(7)+(-2)4= 21
C2 2= ∑ ���-� a2 j*bj 2=a2 1*b1 2+a2 2*b2 2+a2 3*b3 2 C2 2=(-3)(-5)+5(6)+(-2)3= 39
C3 1= ∑ ���-� a3 j*bj 1=a3 1*b1 1+a3 2*b2 1+a3 3*b3 1 C3 1=6(2)+7(7)+(-8)4= 29
C3 2= ∑ ���-� a3 j*bj 2=a3 1*b1 2+a3 2*b2 2+a3 3*b3 2 C3 2=6(-5)+7(6)+(-8)3= -12
C= A*B=�13 �421 3929 �12� Primera Regla Practica
Dibujar el sistema:
- III Cuadrante.- Matriz A
- I Cuadrante.- Matriz B
- IV Cuadrante.- Matriz A*B
Ejemplo
�2 �57 64 3 �
� 2 �1 4�3 5 �26 7 �8�
�2�2� ( ��1��7� ( 4�4� �10 � 6 ( 12�6 ( 35 � 8 15 ( 30 � 612 ( 49 � 32 �30 ( 42 � 24�
A*B=�13 �421 3929 �12�
Segunda Regla Practica
- Fila por columna y se suma mentalmente
A*B=� 2 �1 4�3 5 �26 7 �8� �2 �57 64 3 �=�13 �421 3929 �12�
Propiedades.- Sean A, B, C matrices conformables
i) A*B+B*A
ii) (A*B)*C=A*(B*C)
iii) Amxn*Inxn= Amxn Matriz Identidad
(Siempre es cuadrada)
La matriz identidad se genera por:
Inxn=.1 si � � 0 si � + 1
I3x3= �1 0 00 1 00 0 1� I2x2=�1 00 1
iv) Amxn* A-1nxm = Imxm
A-1nxm * Amxn= Inxm Pseudoinversas
Solo si la matriz es cuadrada
Anxn* A-1nxn = Inxn
Matriz Inversa
A-1nxn * Anxn= Inxn
v) A*(B+C)= A*B+A*C Premultiplica
(B+C)*A= B*A+C*A Postmultiplica
Ejemplo
Si se cumple
�2 b 1 da �2 c 1*�1 1 2 03 0 1 20 3 0 00 0 1 1� =A
Donde:
A= �11 5 a 0�5 7 1 �b
Hallar:
E= a+b+c+d
Solución:
Multiplicando
�2 b 1 da �2 c 1*�1 1 2 03 0 1 20 3 0 00 0 1 1� =A
.62 ( 3b7 62 ( 37 64 ( b ( d7 62b ( d76a � 67 6a ( 3c7 62a � 2 ( 17 6�4 ( 171
.62 ( 3b7 5 64 ( b ( d7 62b ( d76a � 67 6a ( 3c7 62a � 17 �3 1=�11 5 a 0�5 7 1 �6
2+3b=11
b=3
E=a+b+c+d=1+3+2-6
E=0
2b+d=0
-6=d
4+3-6=a
1=a
a+3c=7
1+3c=7
3c=6
c=2
Nota.- Potencia de matrices
An= A*A*A*A…*A
n veces
Matriz Traspuesta.- Sea Amxn = [Ai j] se define “At” como:
Atnxm= [Ai j]
Por ejemplo: Hallar At si A3x2= � 3 �5�6 73 4 �
At2x3=� 3 �6 3�5 7 4
Propiedades
i) (At) t= A
ii) (kA)t= kAt
iii) (A+B)t= At+Bt
iv) (A*B)t= Bt*At
v) (A-1)t= (At)-1
Diagonal Principal
En toda matriz cuadrada Anxn= [ai j], la diagonal principal son los elementos “ai i”
Ejemplo: En
A4x4= � 5 6 �7 01 �8 9 �12 3 4 0�1 3 6 �9�
Indicar la diagonal principal
Solución
A1 1=5; A2 2=-8; A3 3=4; A4 4=-9;
Traza de una Matriz
Se define la traza de una matriz
Anxn= [ai j] como:
tr(Anxn)= ∑ 89�-� i i
En el anterior ejemplo
i) tr(Anxn)= tr(Atnxn)
ii) tr(kAnxn)= ktr(Anxn)
iii) tr(A+B)= tr(A)+ tr(B)
Matrices Especiales.- Es un conjunto de matrices que responden a ciertas
características peculiares, estas son:
Matriz Evolutiva
A2
nxn= Inxn
Matriz Idempotente
A2
nxn= Anxn
Matriz Nilpotente
Aknxn= 0nxn
K= Indice de nilpotencia
Matriz Periodica
Ak+1
nxn= Anxn
K= Periodo de una matriz
Matriz Triangular Superior
Anxn=.ai j si i < j0 si i = j1
Por ejemplo
A3x3= �2 �5 30 1 �30 0 �2� Debajo de la diagonal principal es cero
Matriz triangular inferior
Bnxn=. 0 si i ! bi j si i = j1
Por ejemplo
B3x3= � 2 0 0�1 1 00 2 �1� Encima de la diagonal principal es cero
Teorema.- Toda matriz cuadrada Anxn se puede expresar como el producto de una matriz
triangular inferior por una matriz triangular superior.
Lnxn= Triangulo Inferior
*L= Lower
Unxn= Triangulo Superior
*U= Upper
Anxn= Lnxn*Unxn Factorización L.U.
Matriz Simetrica
A3x3t= Anxn
Por ejemplo
A3x3= � 2 �1 4�1 0 34 3 6�
At= � 2 �1 4�1 0 34 3 6�
Matriz Antisimetrica
Anxn= -Anxnt
Por ejemplo
B3x3= � 0 �1 5�1 0 �4�5 4 0 �
Bt= � 0 1 �5�1 0 45 �4 0 � -B
t= � 0 �1 5�1 0 �4�5 4 0 �
Teorema.- En toda matriz anti simétrica Anxn se verifica que:
ai i= 0
Demostrando
Anxn= -Atnxn
[ai j]= -[aj i]
En la diagonal principal i=j
ai i= - ai i
2ai i= 0
ai i= 0
Teorema.- Toda matriz cuadrada se puede expresar como la suma de una matriz simetrica y
otra antisimetrica.
Anxn= Snxn+Hnxn
S= St ^ H= -H
t
Para hallar una expresión de S y H tenemos:
A y At
A + At analizamos
i) (A + At)= (A + A
t)
t
A + At= A
t + (A
t)
t
A + At= A
t + A
A + At= A + A
t Es simétrica
Tambien analizamos
A - At
(A - At)= -(A - A
t)
t
A - At= -( A
t – (A
t)
t)
A - At= -( A
t – A)
A - At= -A
t + A
A - At= A – A
t Es anti simétrica
> Anxn= �� (A + A
t) +
�� (A - At)
S H
Ejemplo: Expresar
B4x4� � 2 �1 5 73 6 �1 8�4 �1 0 56 2 �1 6�
Como la suma de una matriz simetrica y otra antisimetrica
Solución
B� � 2 �1 5 73 6 �1 8�4 �1 0 56 2 �1 6� ^ Bt= � 2 3 �4 6�1 6 �1 25 �1 0 �17 8 5 6 �
S= �� (B+ Bt
)=
?@@@@A
2 1 �� ���1 6 �1 5�� �1 0 2��� 3 2 6 BCCCCD; H=
�� (A+ At)=
?@@@@A
0 �2 E� ��2 0 0 3*E� 0 0 3*�� �3 �3 0BCCCCD
Matriz Hermitica
Anxn= (Ānxn)t
Siendo Anxn # Cnxn y Ā se lee A conjugada
Ejemplo
A2x2= � 2 2 ( i2 � i �1
Ā= � 2 2 � i2 ( i �1 Āt= � 2 2 ( i2 � i �1
Matriz Antihermitica
Anxn= -(Ānxn)t
Ejemplo
A2x2= � i 3i3i �3i
Ā= � �i �3i�3i 3i Āt=� �i �3i�3i 3i
- Āt=� i 3i3i �3i Toda matriz cuadrada compleja Anxn se puede expresar como la suma de una matriz
hermitica y otra anti hermitica.
Matriz Escalonada
Emxn= �1 y / o 0 si i � je ij si i ! 0 si i " �
E3x4= �1 2 �1 00 1 2 50 0 0 2�
Matriz Escalonada Reducida
Fmxn= �1 y / o 0 si i � j0 si i " 0 si i ! � Diagonal
F3x4= �1 0 0 �10 1 0 30 0 1 �2�
Matriz Normal
Nmxn = .1 si i � j0 si i + j1
Por ejemplo
N3x4= �1 0 0 00 1 0 00 0 1 0�
Teorema.- Toda matriz Amxn se puede transformar en una matriz escalonada,
escalonada reducida o normal.
Matriz Diagonal
Dmxn= .d ii si i � j0 si i + j1
Por ejemplo
D4x4= �2 0 0 00 �1 0 00 0 5 00 0 0 6�
Propiedad
(Dnxn)k= (di i)
k si i=j
0 si i+j
Por ejemplo
(D4x4)100
= 2100
0 0 0
0 (-1100
) 0 0
0 0 5100
0
0 0 0 6100
Matriz Ortogonal
(Anxn)-1
= (Anxn)t
Operaciones Elementales
Son cambios que se realizan en las filas y/o columnas de una matriz con el objetivo de
encontrar una matriz equivalente, estas operaciones son:
i) Intercambio dos filas o columnas
fi ---> i-esima fila
fj ---> j-esima fila
ci ---> i-esima columna
cj ---> j-esima columna
fi <---> fj o ci <---> cj
Por ejemplo
En A=�2 �5 31 2 �1
Realizar: c2 <---> c1
Solución
�2 �5 31 2 �1 � ��5 2 32 1 �1
c2 <-> c1
ii) Multiplicar por un escalar a una fila o columna
kfi <-> kci
El valor de k+0 ��5 2 32 1 �1� ��5 2 3�4 �2 2
f2 *(-2)
iii) Sumar una fila o columna a otra
fi + fj � fj o ci + cj � cj
iv) Sumar el múltiplo de una fila o columna a otra
kfi + fj � fj’ o kci + cj � cj’
��5 2 3�4 �2 2� ��9 0 5�4 �2 �2� ��1 4 1�4 �2 2
f2 + f1 (-2)f2 + f1� f1’
Ejemplo: En una matriz
A= � 2 �5 6 3�4 3 2 15 7 �1 3�
Se realizan las siguientes operaciones elementales
i) f1<-> f2
ii) f2(��)
iii) f3+ f1 -> f1’
iv) f1(2)+ f3 -> f3’
Hallar la matriz equivalente
Solución
� 2 �5 6 3�4 3 2 15 7 �1 3� ���4 3 2 12 �5 6 35 7 �1 3� �&�4 3 2 11 � )� 3 ��5 7 �1 3'�&1 10 1 41 � )� 3 ��5 7 �1 3'
f1<-> f2 f2(��) f3+ f1 -> f1’ f1(2)+ f3 -> f3’
�&1 10 1 41 � )� 3 ��5 7 �1 3' = B
Metodo del pivote.- Es una secuencua de pasos que permite transformar cualquier matriz en una matriz
escalonada, escalonada reducidad o normal, a partir de operaciones elementales.
1º Paso.- Encontrar un 1 principal en la primera columna y llevar a la posición 1-1
2º Paso.- Convertir en “0” los elementos restantes de la columna del 1 principal
3º Paso.- Encontrar un segundo 1 principal en la segunda columna pero en la primera fila y llevarlo a la
posición 2-2. Luego hacer que los elementos restantes de su columna se hagan “0”
4º Paso.- Aplicar los anteriores pasos a todas las columnas.
Ejemplo
Transformar la matriz A= � 2 �5 6 3�4 3 2 15 7 �1 3� a su forma escalonada, escalonada reducida o normal.
Solución
a) Escalonada
� 2 �5 6 3�4 3 2 15 7 �1 3� ��2 �5 6 31 10 1 45 7 �1 3� ��1 10 1 42 �5 6 35 7 �1 3���1 10 1 40 �25 4 �50 �43 �6 �17�
f3+ f2 -> f2’ f1<-> f2 -2f1+ f2 -> f2’ -2f2+ f3 -> f3’
-5f1+ f3 -> f2’
��1 10 1 40 �25 4 �50 7 �14 �7���1 10 1 40 3 �52 �330 7 �14 �7 ���1 10 1 40 3 �52 �330 1 90 59 �
f3(4)+ f2 -> f2’ f3(-2)+ f3 -> f3’ f2<-> f3
��1 10 1 40 1 90 590 3 �52 �33� ��1 10 1 40 1 90 590 0 �322 �210��&1 10 1 40 1 90 590 0 1 �J)�K�'
f2(-3)+ f3 -> f3’ f3(-� ����) Forma Escalonada
f3(-1) + f1 -> f1’
f3(-1) + f2 -> f2’
b) Escalonada Reducida
?@@@A1 10 0 )�E�K�0 1 90 � )E)�K�0 0 1 �J)�K� BCC
CD�
?@@@A1 0 0 K�L)�K�0 1 0 � )E)�K�0 0 1 �J)�K� BCC
CD
f2(-10)+ f1 -> f3’ Escalonada Reducida
c) Normal
?@@@A1 0 0 K�L)�K�0 1 0 � )E)�K�0 0 1 � �J)�K�BCC
CD��1 0 0 00 1 0 00 0 1 0�
C1 (*K�L)�K� ) + C4 � C4’
C2 ()�)�K�) + C4 � C4’
C3 (*�J)�K� ) + C4 � C4’
Matrices Elementales.- Son aquellas que se forman cuando se realiza una operación
elemental a la matriz identidad conformable con la matriz original.
Amxn Columnas Operaciones elementales columnas Inxn
Filas Operaciones elementales filas Imxm
Por lo tanto:
Emxm= Matrices elementales de filas
Fnxn= Matrices elementales de columnas
Entonces es posible buscar una relación funcional entre:
Amxn; Bmxn; Emxm; Fnxn
Por lo tanto
Emxm* Amxn* Fnxn= Bmxn
Pero se realizan varias operaciones fundamentales
Ek*…*E2*E1* Amxn*F1*F2*F3*…*Fj= Bmxn
Filas Columnas
Pmxm*Amxn*Qnxn= Bmxn Equivalencia de matrices
Ejemplo:
Hallar las matrices elementales que transforman A en B y luego verificar la
equivalencia.
A=�2 �1 3 43 2 1 �15 1 4 3 � B=�1 0 0 50 1 0 70 0 0 0�
Solución
�2 �1 3 43 2 1 �15 1 4 3 � ���1 �3 2 53 2 1 �15 1 4 3 � ���1 �3 2 50 �7 7 140 �14 14 28�
f2(-1)+ f1 -> f1’ f1(3)+ f2 -> f2’ f1(-1)
f2(5)+ f3 -> f3’ f2(-2)+ f3 -> f3’
��1 3 �2 �50 �7 7 140 0 0 0 ���1 3 �2 �50 1 �1 �20 0 0 0 ���1 0 1 10 1 �1 �20 0 0 0 �
f2(*�M ) f2(-3)+ f1 -> f1’ C1(-1)+ C3 -> C3’
C1(4)+ C4 -> C4’
��1 0 1 10 1 �1 �20 0 0 0 � = B
C2 + C3 -> C3’
C2(9)+ C4 -> C4’
Filas
I3x3=�1 0 00 1 00 0 1�
E7=�1 �3 00 1 00 0 1� ; E6= &1 0 00 *�M 00 0 1'; E5=�1 0 00 1 00 �2 1�; E4=��1 0 00 1 00 0 1�; E3=�1 0 00 1 05 0 1�;
E2=�1 0 03 1 00 0 1� ; E1= �1 �1 00 1 00 0 1�
Columnas
I4x4=
F1=�1 0 �1 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1�; F2=�1 0 0 40 1 0 00 0 1 00 0 0 1�; F3=�1 0 0 00 1 1 00 0 1 00 0 0 1�; F4=�1 0 0 00 1 0 90 0 1 00 0 0 1�
La equivalencia
(E7*E6)*(E5*E4)*(E3*E2)*E1*A*(F1*F2)*(F3*F4)
�1 �M 00 *�M 00 0 1� ��1 0 00 1 00 �2 1� �1 0 03 1 05 0 1� �1 �1 00 1 00 0 1�= P
��1 �M 00 *�M 00 �2 1� �1 �1 03 �2 05 �5 1�= P
�1 0 �1 40 1 0 00 0 1 00 0 0 1� �1 0 0 40 1 1 90 0 1 00 0 0 1�= Q
�1 0 �1 40 1 1 90 0 1 00 0 0 1�= Q
� �M �M 0*�M �M 0�1 �1 1� �2 �1 3 43 2 1 �15 1 4 3 �* Q =B
P A
�1 0 1 10 1 �1 �20 0 0 0 � �1 0 �1 40 1 1 90 0 1 00 0 0 1�= B
�1 0 0 50 1 0 70 0 0 0�= B lo que queda verificado