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INTRODUCCIN

La idea bsica de las series de Fourier es que toda funcin peridica de periodo T puede ser

expresada como una suma trigonomtrica de senos y cosenos del mismo periodo T. El

problema aparece naturalmente en astronoma, de hecho Neugebauer (1952) descubri que

los babilonios utilizaron una forma primitiva de las series de Fourier en la prediccin de

ciertos eventos celestiales.

La historia moderna de las series de Fourier comenz con D'Alembert (1747) y su tratado

de las oscilaciones de las cuerdas del violn.

Las series e integrales de Fourier constituyen un tema clsico del Anlisis Matemtico.

Desde su aparicin en el siglo XVIII en el estudio de las vibraciones de una cuerda, las

series de Fourier se han convertido en un instrumento indispensable en el anlisis de ciertos

fenmenos peridicos de la Fsica y la Ingeniera. La idea fundamental se basa en

aproximar la funcin, no por una serie de potencias (desarrollo de Taylor), sino por una

serie de funciones peridicas (senos y cosenos).

En el presente trabajo consideraremos que las funciones con las que se trabaja son Riemann

integrables en el intervalo correspondiente (bastar, por ejemplo, suponer que son continuassalvo en un nmero finito de puntos donde presentan discontinuidades de salto).

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OBJETIVOS

Objetivo general:

Aprender a resolver Ecuaciones Diferenciales usando las Series de Fourier.

Objetivos especficos

Aprender el concepto de funciones ortogonales y reconocer cuando dos funciones sonortogonales.

Comprender las Series de Fourier desde lo ms bsico. Analizar problemas clsicos sobre series de Fourier de senos y cosenos.

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MARCO TERICO

Series de Fourier

Funciones Ortogonales

Definicin .1. El producto escalar de dos funciones f1 y f2 definidas en un intervalo [a, b]es el nmero:

Entonces la norma que induce este producto escalar de una funcin f definida en el

intervalo [a, b] es el nmero:

f= Definicin 2.Dos funciones f1 y f2 son ortogonales en el intervalo [a, b] si:

Por ejemplo, las funciones f1(x) = y f2(x) = son ortogonales en el intervalo [1, 1]puesto que:

Definicin 3.Se dice que un conjunto de funciones es ortogonal en el intervalo[a, b] si:

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Si es un conjunto ortogonal de funciones en el intervalo [a, b] con la propiedad

de que n= 1 para cualquier n, entonces se dice que es un conjunto ortonormalen el intervalo [a, b].

Nota: A diferencia del anlisis vectorial, en donde la palabra orotogonal es sinnimo deperpendicularidad, en el presente contexto el trmino ortogonal y la definicin 2 no

tienen significado geomtrico.

Ejemplos

Ejemplo 1.- El conjunto es ortogonal en el intervalo .Solucin

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Ejemplo 2.-Demuestre que el conjunto es ortogonal en elintervalo .

Ejemplo 3.- Determine las normas de cda funcin en el conjunto ortogonal del ejemploanterior.

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Series de Fourier

El conjunto

Es ortogonal en [-p, p].

Sea f una funcin que admite un desarrollo en serie del conjunto anterior, es decir:

Donde los coeficientes a0, a1, a2, . . . , b1, b2, . . . se determinan del modo que se coment

anteriormente, excepto en el caso de a0 en el que, por conveniencia en la notacin, se

escribea0/2.

Entonces:

La serie:

Se llama serie de Fourier de f, y los nmeros reales an y bn, coeficientes de Fourier.

Nota: Esta serie no converge para cualquier f. Habr que imponer condiciones quegaranticen la convergencia de la serie de Fourier de una funcin dada.

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Ejemplos

Ejemplo 1.- Calcular la serie de Fourier de la funcin:

Series de Fourier en senos y cosenos

Tipos de Simetra

Par: si f(x) = f(-x)

Impar: si f(-x) = -f(x)

Serie de Four ier en Cosenos

Una serie de Fourier en cosenos no es ms que extraer una funcin definida en intervalos

como una funcin par.

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Serie de Four ier en Senos

Es extender el comportamiento de una funcin definida en medio de intervalos como a unafuncin impar

Ejemplo #01

Determinar si f(x) = x^2 es funcin par o impar.

f(-x) = (-x^2)

f(-x) = (x^2)

f(-x) = f(x) la funcin es par

Ejemplo #02

Determinar si f(x) = x^3 es funcin par o impar.

f(-x) = (-x^3)

f(-x) = -x^3

f(-x) = -f(x) la funcin es impar

Ejemplo #03

Determinar si f(x) = sen(x) es funcin par o impar.

f(-x) = sen(-x)

f(-x) = -sen(x)

f(-x) = -f(x) la funcin es impar

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Serie de Fourier de Cosenos " f(x) Funcin Par

Suponga que se tiene una funcin f(x) definida en el intervalo [0,L]. Primero se mostrarcmo construir la serie de cosenos. Como se tiene inters en los valores de la serie slo en

el intervalo [0, L], se puede definir f(x) de cualquier manera fuera de este intervalo. Con el

fin de obtener una serie solo con trminos de cosenos, se definir una extensin peridica

par de f(x).

La serie de Fourier de una funcin par en el intervalo (-p, p) es la serie de cosenos

Una funcin se puede decir que es par, s cuando tomamos un perodo de la funcin, y lo

giramos sobre el eje Y, este coincide exactamente con otro perodo de la funcin.

Serie de Fourier de Senos " f(x) Funcin Impar

La serie de Fourier de una funcin impar en el intervalo (-p,p) es la serie de senos.

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Caso 1 de Funcin par e Impar

Caso 2 de Funcin Par y Par

Propiedades Funciones Pares e Impares

1) El producto de dos funciones pares es par.

2) El producto de dos funciones impares es par.

3) El producto de una funcin impar y una funcin par es impar

4) La suma o diferencia de dos funciones pares es par.

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5) La suma o diferencia de dos funciones impares es impar.

6) Si f es par.

7) Si f es impar.

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EJERCICIOS

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CONCLUSIONES

La integral impropia que aparece en estos coeficientes (conocida como la transformada deFourier), resulta ser de gran importancia en el anlisis de Fourier y en las mltiples

aplicaciones de esta rama de la ciencia. Solo por mencionar algunas, digamos que la

transformada de Fourier se aplica en el estudio de seales y sistemas, as como en ptica;

aparece en los aparatos sofisticados modernos como los que se usan para tomar una

tomografa, tambin surge en las tcnicas analticas como la resonancia magntica nuclear,

y en general, en todo tipo de instrumentacin cientfica que se use para el anlisis y la

presentacin de datos.

La ortogonalidad de las funciones en el tema tratado no posee interpretacin geomtricacomo los vectores en el que significa perpendicularidad.

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BIBLIOGRAFA

R.rodriguez-del-Rio. Matemticas en el Aula de informtica, pp.145-210. E. Espinoza-Ramos. Anlisis Matemtico IV, pp 708-720 http://deymerg.files.wordpress.com/2011/07/capitulo-10.pdf http://www.emis.de/journals/DM/v5/art6.pdf http://www.uhu.es/07021/ficheros/Temas/ampte8.pdf http://www.ma.uva.es/~antonio/Teleco/Apun_Mat2/Tema-13.pdf http://www.dma.uvigo.es/~aurea/Transparencias_tema2.pdf

http://deymerg.files.wordpress.com/2011/07/capitulo-10.pdfhttp://deymerg.files.wordpress.com/2011/07/capitulo-10.pdfhttp://www.emis.de/journals/DM/v5/art6.pdfhttp://www.emis.de/journals/DM/v5/art6.pdfhttp://www.uhu.es/07021/ficheros/Temas/ampte8.pdfhttp://www.uhu.es/07021/ficheros/Temas/ampte8.pdfhttp://www.ma.uva.es/~antonio/Teleco/Apun_Mat2/Tema-13.pdfhttp://www.ma.uva.es/~antonio/Teleco/Apun_Mat2/Tema-13.pdfhttp://www.dma.uvigo.es/~aurea/Transparencias_tema2.pdfhttp://www.dma.uvigo.es/~aurea/Transparencias_tema2.pdfhttp://www.dma.uvigo.es/~aurea/Transparencias_tema2.pdfhttp://www.ma.uva.es/~antonio/Teleco/Apun_Mat2/Tema-13.pdfhttp://www.uhu.es/07021/ficheros/Temas/ampte8.pdfhttp://www.emis.de/journals/DM/v5/art6.pdfhttp://deymerg.files.wordpress.com/2011/07/capitulo-10.pdf