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MarrMAflcA
PnoeLEME DE CONCURS
CmsrLE 1L-L?
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EDUCATTONAL
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Cuprins
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MOTTO:Crede in tine!
1. Sa se calctleze:
Enunturi
,:mZ**(+)2. Sa se calculeze:
3. Sa se calculeze:n .ti
Lt:I*!1r, *r11r,,q'
4. SA se arate cdin MBC asculitunghic este valabilS rela,tia:
cosl + cosB + cos C + ln(A+ l)(B + 1)(C + l) < r + 3 .
5. fie x,!,2 e (1, oo). SI se arate cd,dacd,x t y + ,= 3n, atunci:
x* +yY +z'>8I.
6. Sa se demonstreze cd: zot4l2 a2zotlfi .'o'lli +z'o'ili .
7. Sa se calculeze:
{-7k3 +k2 +3k+llim )
---. .;-;;-k=t n"+k+5
8. Sa se arate cddacd. x,y,z. (ni) , atunci:
I(tg, + 2sinx) > 3(x + y + z) .
cyc
"l[,.;] -.1*L: lim
CLASELE 11-12
9. Si se ararc
10. Se se araie
11. Sa se
12. Sa se arate
13. Se se arate
14. S[ se arate
15. Se se arate
15. Se se
17. Sa se
CLASELE L1-12
9. SA se arate cdin orice triunghi asculitunghic ABC este valabilS relafia:
C (n+B-C\cos I + 4cos B + 4sin- < gcos[-.J .
10. Sa se arate cd dacd x, y, z e (0, o) qi "r +y + z : l,atunci:
*o + yo * ro *!-=lttr -x)' + (l- y)o + (1 - z)al.27 8-'
11. Se se demonstreze cd dacdx,y, z e {--'r.,0), atunci:
I I I ^l I I
h(l-r) + l"(11, " l"(1-r) "-, -r-;
12. Sa se arate ce $) x, y, z e (0, 1),
g'*) +ef*'+e'*'I 1
(1-x)(l-y) (1--r'[1-z) (t- z)(t-x)
13. Sa se arate cd dacd a, b, c e (0, co), atunci:la
Ia, <: *lI-L.fr 2fi zJa
14. SA se arate cd dacd x, y, z e (0, oo), atunci:I
)tr*l)';' 'r*1 ,">fi15. SAse arate cddacdx,!,2 e (0, co); x *y * z=l,a1;'tnci
}rn -2"["''>+z1,E>0.
15. Sa se demonstreze cd:
ln23 + kt2 4+ ln25 + -19 rn : m s < a r,(:' . 5' ; ln 3' h 44 h 55 .
17. Sa se calculeze:
L:n^, 2-414 =.;:;L'r-,([*{.6'
7
h
ine!
U
8
18. se se calculeze:
l, - llmJ,-tht.<14t.....<fi.
;-; (n+l)t19. Sa se arate c[:
I 1 t-., *1*...*1.,ei* rgg *...*rBtO 2 g
20. Se se calculeze:
L: timlf f-i-)."t'*17-,r )
21. rie A,B e Mr(C); det(-2A+ B) : 0; det(2A+ B) : 0 . 56 se calctileze:
4 detA + detB.
22. Sese demonstreze cd:
I I I 1 I 1 / ' *1_,,rr).r+-+->:+ _ + _,unde y:H[t *r*... n )Tt e y 3 2 n+y+e-S'
23. Sese arate cddacdx,!,2 e (0, oo); x +! * z=l,attrrci:I
Z;rz'- l) > ln2 '
24. Sa se calculeze:/ | \I , arctg--l
I,=lgl "-Z--'+l" -l. i't arctg ' )
25. r'ie t* : tiy,,{@ - n); k e N-. sd se calculeze:
timL.k+a 11
PRoBLEME DE coNCURs
,f,,,
27. Se se
28. se se
29. Se se
unde n e N';
30. Se se ca
31. Sa se
32. Sa se arate
33. Se se arate
DE CONCURS Cuseu L1-12
26. Se se demonstreze cL:
27. Se se arate c6:
28. Sa se calculeze:
ti-i"o.l .t-tn+*-k-r k 12
9
2(rctg n - arctg e) < ln n - l.
29. Se se calculeze:
n'
['.])*.]'-unde n e N-; a1, a2, ..., an e (0,oo) fixate.
30. Sa se calculeze:
L:fim(t-f-i 1 =.f ' =).;$[f eil' {r,ek+t)z frtzt +D')'
31. Sa se calculeze:
L:tim f t
'-*r.r. j.n i' j'
32. Se se arate cI in oripe triunghi este valabil[ relafia:
7a + e? yb + "o'
y" + ""' 1 > e'o .
33. Se se arate cd dacd a, b, c e IR, atunci:
aeo +beb +ce' +6 h2.e" +eb +e"
( m" t 4OOn 1 4ooh r\
Tl(x+a,)'*",L:lim
xJ@
50
1.
PRoBLEME DE coNcuRs
Solulii
lnlnrEts :_ctq--cts-2"2.3 2 "2.3 "3
lnlnln7te y
":T"ts z,
"-rds-23lnlnlnTtg 23 3:T"tg z, 3-7"t9,2, 3
lnlnln-to-: -Cto---Ctg-z',"2n.3 2' "2'.3 2n' -2n'.3-1 1 ( n ) t n nL7tel,,," ): T"te z, 3- "tsT
. cos Tl- E
z: lima . 2"'3 -"trn+a )n Il 3
2".3It
- rE 2,.3 3 J3L: ftuncos .," , .liq .a- ;-Tn+@ L .J n+* r^i., " J
3..63.6Z:cosO.l'--Tt3n3
2. Fie *rl[,.;]-,1
r32
Ip(x)dx
f :(0,
cosl-
f :(t,a
lftlE DE CONCURS CLASELE 11-12 51
n+l:lim 4 :l'
h+@ n
4
1
(2' +l)(2*t +1) 2' +I 2'*t +1
L:n^f(J--rll =u(t I )r I I
,'-,,\2'+l 2"' +1/,*[r- *lrt):]-;:t'
4.Fie f : (0,0o) -+ IR;/(x) : cosx -x+ln(x+ 1)
.f'(x) :sinx-, *-!: sinx --! -< 0, (V)x. [0. i']x+l x+l L 2)t- *\
/descrescltoarepe I O.* I = fUl< "f(0) : t.
I 2)Analog: f(B)<l;f(C)<1
f(A)+ f(B)+ f(c)<3cosA- A+ln(A+ 1) + cosB - B + ln(B + l) + cosC - C +ln(C + 1) < 3
cosl +cosB+ cosC+ ln(A+I)(B +1)(C+1) < 3 + (A+ B + C) : 3 * n.
5. Fie / : (1,oo) -+ IR; /(x) : x. ; f' (x) : x' (l+ ln :c)
f"(x): x' '(x + xlnx + 1) > o' /convex[.Din inegalitatea Jensen:
,(r{tJ=}trr,r + ru)+ r(,))I
f(n) <, (x' + y' + z')
x* + y' + z" )3n" >3'33 :81.
5. Fie /: (0,0o) -+ R;/(x) :'o':l;1 2014
f'(-r\: ' -Y 2ors
2015
f"(x):-?:,t! -t;l .o=/ convexd.2015
Din teorema Lagrangepentruf : [5, 6] -+ R qi/: [2, 4] -+ R
(!)c, e (5,6);f'(cr): f(Q-[6)
^.,
52 PRoBLEME DE coNcuRs
(3)c, e Q,4);f'(cr): f(4)- fQ)4-2
2<cr<4<5<cr<6f"(x)< 0 = ;f' descrescdtoare
czlct= f'(cr)< f'("r)
f(6)- f(s).f$)- f(c')2
,ro'4[6 _2ror1l, <201:14 _zot1fi
'o'ili +r'o';16 .zot1l4 +z'o'ili .
7. Fie a,:lk=l
b,:fk=l
"r:fk:r
Rezulti
8. Folosim inegalitatea:
7k3 +k2 +3k +1
na +k+57k3 +k2 +3k+1
na +n+57k3 +k2 +3k+l
4n
,(
b,3 ao { c,
lim b, = lim"^ :1 .n)q " n>@ " 4
fima,:1.n+@ +
3x < tgx+ 2sin.r; (V)x e [-;)
3y<tgx+2smy3z<tgz*2slaz
3(x + y + z).2(E* * Zsinx) .
e. Fie ,'(0, ;)-R;,f(x):cos.r;/'(r) :-sitx;.f"(r):-cosx<0 , de unde /
concavd* (''l) ( t+zn\ (zrt+2.8)\
"o,[ , ):*"(29#D):
CLASELE 11-
10. Fie /:Din inegali
4x
tt.Fie f :
l
I
t1
i
i
I
i
I{II
I
1
IIIII
Iil
I
I
RI*^*)-r1
+jI
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I
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jI
(-{
;
:
:
i
l
:
I
i
I
I
i,i
I
I
I
III
DE CONCURS
de unde /
$
Clasrlr 11-12 53
r.2. A! B +2.1. B + A
+1, . A+22))(l+2)2
*2.w"(!:4
Jensen.B
A+B2
1.2 + cosA+ 4cos,B
(l+2)2
, *,(4#) - o*,(#) * "o,.a
+ 4 cos B
cosl + 4cosB * +*"( t!) =
r"or[ n * '-
t']\z/----\ t )
cos r + 4cosB. o*.[f) = r*'(-+=)
cosl + 4cos,B + +so.9= r*r[-*l) .
10. Fie ,f ' Rl + JR;/(x) : xo ; f"(x):12x2, O; (V), > 0, deci/este convex6.
Din inegalitatea Popoviciu:
xo + yo + zo + r(.?.)' . r((ry)r . (+)r .(T; )
*o*yo+za+, l= r(tr-rf *0-iln *(l-z)')8l \16 t6 t6)*o *yo *ro *L=]lft -*)o +(t-y)o +(t-z)41.
x-lf'(x): I * ' .: r
=<0x-l (x-l)' (x-l)'sup/(x): lS: lrgf @): 0 = "f (x)>0
x e (-0o,0)
ln(l -.r) , --:I-;1V)x e (-o,0)x-l1 .r:1ln(1- x) x
T
54 PRoBLEME DE CONCURS
Analog:
ln(1- x) ln(l- Y) ln(r- z)
12. Fie /: [0,1) -+ IR;/(x) : x + ln(1- x)
Analog:
1* t .1x ln(l- x)
t* 1 .tY ln(l-Y)t* 1 .,z ln(I- z)
1 * 1 * 1 .r_t_t_r.xyz
'f'(x):1-+:-L as' l-x l-xmad@):,f(0) : 0 = f (x) <0;(V)x e (0,1)re[0,])
I < -ln(l--r) = r' 6l = ""'-J_' l-x 7-x
"r. |
-g,+/.--f-t-"1-, 11-
rxl- /)
(t- y)(t- z)
"'*' a I
(r- z)(L- x)
e,*f +e!*'+e"*'1 *-l-+--+ ..(1 - x)(l - y) (t - y)(r - z) (1 - z)(I - x)
13. Folosim inegalitatea:lj
x* 1l + -i;(V)x > 02''lx
13qa lllv
2Ja
Irj .:*lYl.Lt
^Ll I
ryc L cyc lA
14. Folosim inegalitatea:
CLASELE 11-12
15. Fie /:R.Fie^iltdf
16. Fie /: (
Rezultd /(5)ln inegalitatea
Inegalitatea se