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Actividades Actividades Matemática Matemática 6 Primaria QuipuMatic QuipuMatic
ActividadesActividades
MatemáticaMatemática6
Primaria
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6. Lee la situación y responde las preguntas.
Los recuadros muestran los resultados obtenidos de los partidos 1; 2 y 3 en las elecciones distritales de una localidad.
7. Resuelve los siguientes problemas.
a) Chacra y Mar es una playa ubicada en el norte chico de Lima. Este verano fueron 754 960 campistas; es decir, 12 320 personas más que el año pasado. ¿Cuántos campistas fueron el año pasado?
b) Andrés y su esposa encontraron dos tipos de vivienda con las condiciones que ellos buscaban. Si una les costaba S/1 100 684, y la otra, S/213 457 más, ¿cuál era el precio de la segunda vivienda?
Partido 1
1 978 456 votos
Partido 2
1 984 657 votos
Partido 3
1 654 638 votos
a) ¿Cuántos votos hubo en total entre los partidos 1 y 2?
b) ¿Cuántas personas más votaron por el partido 1 que por el 3?
Rpta.: Rpta.:
Rpta.: Rpta.:
Resolución: Resolución:
5. Coloca verdadero (V) o falso (F) según corresponda.
a) 40 000 + 37 000 = 77 000 ( )
c) 1 243 000 + 3 121 = 1 246 213 ( )
b) 528 342 – 314 000 = 214 000 ( )
d) 9 428 300 – 428 300 = 9 000 000 ( )
Estructura
Tu libro de Actividades Matemática 6 está organizado en ocho unidades. Cada una de ellas te ayudará a construir conocimientos matemáticos a partir de situaciones reales o la manipulación de
material concreto. La propuesta pedagógica se enfoca en la resolución de problemas y en el logro de las competencias y capacidades
matemáticas planteadas en cada tema.
UNIDAD
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Observamos y calculamos áreas
Competencias Capacidades
Resuelve problemas de cantidad
• Traduce cantidades a expresiones numéricas.• Comunica su comprensión sobre los números y las operaciones.• Usa estrategias y procedimientos de estimación y cálculo.• Argumenta afirmaciones sobre las relaciones numéricas y las operaciones.
Resuelve problemas de regularidad, equivalencia
y cambio
• Traduce datos y condiciones a expresiones algebraicas.• Comunica su comprensión sobre las relaciones algebraicas.• Usa estrategias y procedimientos para encontrar reglas generales.• Argumenta afirmaciones sobre relaciones de cambio y equivalencia.
Resuelve problemas de forma, movimiento
y localización
• Modela objetos con formas geométricas y sus transformaciones.• Comunica su comprensión sobre las formas y relaciones geométricas.• Usa estrategias y procedimientos para orientarse en el espacio.• Argumenta afirmaciones sobre relaciones geométricas.
Resuelve problemas de gestión de datos e incertidumbre
• Representa datos con gráficos y medidas estadísticas o probabilísticas.• Comunica la comprensión de los conceptos estadísticos y probabilísticos.• Usa estrategias y procedimientos para recopilar y procesar datos.• Sustenta conclusiones o decisiones en base a información obtenida.
Estándares de aprendizaje
Apertura de la unidad
Páginas de desarrollo
Título y número de la unidad
Se presenta una imagen atractiva y
cercana a tu realidad, que te motivará al
estudio matemático y despertará tu interés
por el contenido del tema.
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Adición y sustracción de números enteros
1. Efectúa las adiciones de sumandos con signos iguales.
2. Desarrolla las adiciones de sumandos con signos diferentes.
3. Realiza las siguientes operaciones con ayuda de la recta numérica.
Aplicamos lo aprendido
a) (–50) + (–10) =
c) (+72) + (+24) =
e) (–140) + (–150) =
b) (–16) + (–24) =
d) (+64) + (+23) =
f) (–130) + (–232) =
a) (+13) + (–17) =
c) (–98) + (+18) =
e) (+60) + (–25) =
b) (–84) + (+24) =
d) (+28) + (–20) =
f) (+80) + (–50) =
4. Resta los siguientes números con los métodos estudiados.
a) (–17) – (+30) =
c) (+15) – (–14) =
e) (+35) – (–25) =
b) (+24) – (+16) =
d) (– 46) – (–22) =
f) (–58) – (+12) =
a) (+7) + (–13) =
c) (–9) – (–5) =
b) (+14) – (+15) =
–11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 – 4 –3 –2 –1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10 +11
–11 –10 –9 – 8 –7 – 6 –5 – 4 –3 –2 –1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10 +11
–1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10 +11 +12 +13 +14 +15
Enfoque por competenciasCompetencias y capacidades
que trabajarás en cada unidad.
Desarrollarás actividades para
consolidar lo aprendido en tu libro de Teoría.
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UNIDAD 4
Seguimos practicando
1. Anota los divisores de los siguientes números.
2. Relaciona con una línea cada conjunto de números con su respectiva característica.
a) D(65) = { }
c) D(78) = { }
b) D(84) = { }
d) D(90) = { }
5 - 15 - 25 - 40 - 55 - 85 - 95
1 - 2 - 3 - 4 - 6 - 8 - 12 - 24
25 - 75 - 125 - 150 - 200 - 250
13 - 26 - 39 - 65 - 78 - 91 - 130
Múltiplos de 13
Múltiplos de 5
Divisores de 24
Múltiplos de 25
3. Observa la descomposición en factores primos de los números y completa la cantidad de sus divisores.
4. Responde las siguientes preguntas.
a) 189 = 33 × 7 CD(189) =
b) 126 = 2 × 32 × 7 CD(126) =
c) 8 228 = 22 × 112 × 17 CD(8 228) =
a) ¿Cuántos divisores menos tiene el número 135 que 260?
b) ¿Cuál es la suma de los divisores del número 1 200?
Rpta.: Rpta.:
Resolución: Resolución:
Resolverás problemas
matemáticos aplicando un
procedimiento.
En la sección Seguimos
practicando se proponen ejercicios que resolverás de
manera autónoma.
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Asumimos el reto
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1. Escribe los seis primeros múltiplos de cada número.
2. Anota los divisores de los siguientes números.
NIVEL 1 NIVEL 2 NIVEL 3
a) °95 = { }
c) °82 = { }
b) °74 = { }
d) °69 = { }
3. Realiza la descomposición de cada número en sus factores primos y determina la cantidad total de sus divisores.
4. Desarrolla los siguientes ejercicios.
a) Si se sabe que el número (7 × 11n + 1 × 22) tiene 20 divisores más que 77, ¿cuál es el valor de «n»?
b) Si la suma de los divisores del número N = 22 × 32k + 2 es 847, ¿cuál es el valor que tiene «k»?
a) 2 450 b) 968
a) D(45) = { }
c) D(32) = { }
b) D(39) = { }
d) D(64) = { }
Rpta.: Rpta.:
Asumimos el reto
Razonamiento Matemático Repaso y evaluación
Asumimos el reto
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1. Efectúa las siguientes operaciones.
NIVEL 1 NIVEL 2 NIVEL 3
2. Observa los precios en cada imagen y colorea la respuesta correcta.
a) ¿Cuánto cuestan en total el avión y el crucero?
b) ¿Cuánto más cuesta el avión que el crucero?
3. Lee la situación y responde las preguntas.
El consumo de agua anual de una localidad A es de 145 246 L; de una localidad B, 24 562 L más que en A; y de una localidad C, 10 479 L menos que en B.
a) ¿Cuántos litros de agua consumen al año los pobladores de la localidad B?
b) ¿Cuántos litros de agua consumen al año los pobladores de la localidad C?
a) 3 7 1 6 7 8 9 +
3 1 5 1 3 7 2
b) 7 1 6 3 7 0 1 –
2 3 2 4 6 4
$82 700 300
$2 900 730 más
$86 700 540
$8 100 300 más
$82 300 300
$2 300 300 más
$44 500 420 $42 200 120
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UNIDAD 3
115
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
Operadores matemáticos
Luis creó un programa en su computadora que le permite, con tan solo ingresar los valores de los dos números «a» y «b», obtener el resultado del siguiente operador:
a * b = a2 + b2 + a × b
¿Qué resultado se obtendrá al ingresar los valores de a = 10 y b = 6?
Construye tus aprendizajes
Operador matemático
Es un símbolo o figura que se usa para representar una operación matemática. Estos se relacionan mediante una ley de formación que hace que su valor adquiera un significado matemático.
Ejemplos:
• Analizamos el operador matemático de la situación inicial.
Lee y observa
a * b = a2 + b2 + a × b
Hallamos el valor de la operación si tomamos los valores a = 10 y b = 6.
a * b = a2 + b2 + a × b = 102 + 62 + 10 × 6 = 100 + 36 + 60 a * b = 196
† 7 8 9
7 8 9 7
8 9 8 7
9 8 7 9
& 1 3 5
1 5 3 1
3 3 1 5
5 1 5 3
Para calcular 8 † 9, ubicamos la intersección de la fila y columna de los números 8 y 9, respectivamente, como se observa en la tabla.
Por lo tanto, 8 † 9 = 7
Ubicamos la intersección de la fila y columna de los números 1 y 3, respectivamente, como se observa en la tabla.
Por lo tanto, 1 & 3 = 3
• En el conjunto M = {7; 8; 9}, se define la operación † mediante la siguiente tabla.
• Calculamos 1 & 3 en la tabla si & está definido en el conjunto L = {1; 3; 5}.
Operador matemático Regla de correspondencia
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a) b)
c) d)
1. Halla el valor de «x» en las siguientes distribuciones gráficas.
2. Encuentra el valor de las incógnitas en las siguientes distribuciones numéricas.
Razona y resuelve
1 4 1
2 11 3 3 22 2 5 x 2
5 4 4
a) 12 15 18
3 4 5
6 7 x
b) 24 5 6
48 4 16
90 y 15
c) 8 32 12
12 15 24
a 72 41
d) 80 70 90
16 5 15
4 13 b
e) 24 20 16
41 30 19
16 c 34
f) 44 36 62
4 9 2
2 1 d
2 1 2
9 10 2 4 7 2 8 x 2
4 1 3
3
25 5
6
12 3
2
21 715 24 x
8
3 1
16
2 3
x
2 4
Presenta un taller de ejercicios
dosificados en tres niveles de
dificultad: básico, intermedio y
avanzado.
Muestra un texto motivador que
despertará tu interés por el nuevo tema de Razonamiento
Matemático.
Realizarás actividades que ponen a prueba tu capacidad de análisis,
atención y razonamiento.
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14. Realiza las siguientes conversiones.
15. Completa la tabla con las equivalencias indicadas.
16. Escribe la unidad correcta para que se cumplan las igualdades.
17. Resuelve los siguientes problemas. a) Ana quiere pintar el baúl que se muestra en la imagen. Si se sabe que con una lata de pintura
puede pintar 155 dm2, ¿cuántas latas necesitará para pintar todo el baúl?
a) 7 km2 = 70 000
c) 0,0001 km2 = 100
b) 30 000 dm2 = 3
d) 1 016 mm2 = 0,1016
a) 0,005 dm2 a mm2 =
b) 3,25 km2 a dm2 =
c) 652 000 cm2 a dam2 =
d) 0,056 hm2 a dm2 =
dam2 m2 dm2 cm2
0,1
dam2 m2 dm2 cm2
5 259
b) Una agencia inmobiliaria ofrece lotes de terrenos. El terreno total consta de 10 lotes iguales, como se muestra en la imagen. Si este tiene una extensión de 0,4 ha, ¿cuánto es el precio de un lote si el precio por m2 es de S/1 600?
Rpta.:
Rpta.:
Resolución:
Resolución:
2,5 m
1 m
150 cm
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UNIDAD 4
Unidades de superficie Áreas de figuras planas
Gráfico de líneas
Múltiplos y submúltiplos del metro cuadrado
Área del sector circular
Área de la corona circular
Área del trapecio circular
Fórmulas de conversión
Unidades de superficie agrarias
Submúltiplos
Decímetrocuadrado
Centímetrocuadrado
Milímetrocuadrado
dm2 cm2 mm2
Múltiplos Unidad básica
Kilómetrocuadrado
Hectómetrocuadrado
Decámetrocuadrado
Metrocuadrado
km2 hm2 dam2 m2
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
× 100
÷ 100
× 100
÷ 100
× 100
÷ 100
× 100
÷ 100
× 100
÷ 100
× 100
÷ 100
Medidas agrarias Abreviatura Equivalencia Valor
en m2
Hectárea ha 1 ha = 1 hm2 10 000 m2
Área a 1 a = 1 dam2 100 m2
Centiárea ca 1 ca = 1 m2 1 m2
Área = πθr2
360°
r
r
θ L
Donde: θ = Ángulo en sexagesimales
Área = π(R2 – r2)
Donde: R = radio mayor ∧ r = radio menor
rR
Área = πθ(R2 – r2)360°
Donde: R = radio mayorr = radio menorθ = ángulo en sexagesimales
rR
θ
Not
aCalificaciones de Ángela
BimestreMatemática Comunicación
18
15
12
9
6
3
01.er 2.o 3.er 4.o X
YCalificaciones de Ángela
Bimestre Matemática Comunicación
1.er bimestre 12 18
2.o bimestre 15 12
3.er bimestre 12 15
4.o bimestre 18 9
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Recordamoslo aprendido
Fracciones
Conversión de número mixto a fracción
Conversión de fracción a número mixto
Fracciones equivalentes
AdiciónHomogéneas Heterogéneas
SustracciónHomogéneas Heterogéneas
Con el método del MCM
Multiplicación y división de fracciones
Adición y sustracción de fracciones
Multiplicación
Unidades de masa
114
11= 2
34 4
2 3=
4 × 2 + 3=
114 4 4
a + c = a + cb b b
a – c = a – cb b b
a + c = a × d + b × cb d b × d
a – c = a × d – b × cb d b × d
1 1 43 2
Por amplificación Por simplificación× 4
× 4
1 = 42 8
÷ 6
÷ 6
12 = 218 3
Como el MCM(3; 4; 6) es 12, tenemos:1 + 2 + 2 =3 4 6
(4) × 1 + (3) × 2 + (2) × 212
= 14 = 712 6
Con fracciones mixtas
∧
Con fracciones mixtas
División
a × c = a × cb d b × d
a × c = a × c = a × cd 1 d 1 × d
2 3 × 8 = 11 × 8 = 11 × 8 = 114 6 4 6 4 × 6 3
a ÷ c = a × d = a × db d b c b × c
1 2 ÷ 2 = 6 ÷ 2 = 6 × 5 = 154 5 4 5 4 2 4
Unidades Símbolos Equivalencias
Megagramo (tonelada) Mg 1 000 000 g
Kilogramo kg 1 000 g
Hectogramo hg 100 g
Decagramo dag 10 g
Gramo g 1 g
Decigramo dg 0,1 g
Centigramo cg 0,01 g
Miligramo mg 0,001 g
Con estos problemas por niveles podrás reforzar y
ampliar los temas tratados en cada unidad.
Plantea un organizador visual que te servirá
como estrategia para repasar el aprendizaje
logrado en cada unidad.
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Evaluación1. Simboliza cada proposición compuesta.
2. Completa la tabla de verdad y determina si la matriz principal es una tautología o una contingencia.
3. Halla los valores de «x» y expresa por extensión los conjuntos.
4. Observa el diagrama de Venn y escribe verdadero (V) o falso (F) según corresponda.
a) No es cierto que Liz estudia Contabilidad y que María estudia Biología.
b) 9 es un número mayor que 2, pero menor que 25.
c) Si Mateo entrena bien, entonces ganará la competencia.
p q (p → ~q) ∧ q
V V
V F
F V
F F
a) A = {x2 + 2/x ∈ ∧ 0 ≤ x ≤ 6}
x:
A = { }
b) B = {10x + 10/x ∈ ∧ 2 < x < 10}
x:
B = { }
a) M ⊂ Q ( )
c) {2; 3} ⊄ M ( )
e) 7 ∈ Q ( )
g) N ⊂ P ( )
i) 2 ∈ N ( )
b) ø ⊂ P ( )
d) 5 ∉ Q ( )
f) {7} ⊂ N ( )
h) {11; 13} ⊂ P ( )
j) 29 ∈ P ( )
QM PN
.5
.3
.31 .29 .23 .17
.2 .7.11
.13
Presenta actividades de evaluación con las que verificarás lo aprendido
en cada unidad.
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Unidad Título y contenido Páginas
1
Formamos nuevos conjuntos• Proposiciones lógicas y tablas de verdad• Teoría de conjuntos• Clases de conjuntos y conjuntos especiales• Operaciones con conjuntos• Problemas y situaciones con conjuntos• Elementos básicos de la geometría: segmentos y ángulos• Introducción a la estadística Asumimos el reto Razonamiento Matemático: Sucesiones / SeriesRecordamos lo aprendidoEvaluación y metacognición
67-910-1213-1516-1819-2122-2425-2728-3435-3940-4142-45
2
Operamos con números grandes• Producto cartesiano y relaciones binarias• Sistema de numeración decimal• Sistema de numeración no decimal• Polígonos• Triángulos• Cuadriláteros• Tabla de frecuenciasAsumimos el reto Razonamiento Matemático: Distribuciones gráficas / Conteo de figurasRecordamos lo aprendidoEvaluación y metacognición
4647-4950-5253-5556-5859-6162-6465-6768-7477-7980-8182-85
3
Utilizamos la circunferencia• Adición y sustracción de números naturales• Multiplicación y división de números naturales• Potenciación y radicación de números naturales• Operaciones combinadas• Unidades de longitud• Propiedades en la circunferencia• Gráfico de barras Asumimos el reto Razonamiento Matemático: Operadores matemáticos / Cortes y estacasRecordamos lo aprendidoEvaluación y metacognición
8687-8990-9293-9596-9899-101102-104105-107108-114115-119120-121122-125
4
Observamos y calculamos áreas• Múltiplos y divisores de un número natural• Criterios de divisibilidad• Mínimo común múltiplo y máximo común divisor• Ecuaciones e inecuaciones de primer grado• Unidades de superficie• Áreas de figuras planas• Gráfico de líneasAsumimos el reto Razonamiento Matemático: Ordenamiento lineal / Ordenamiento circularRecordamos lo aprendidoEvaluación y metacognición
126127-129130-132133-135136-138139-141142-144145-147148-154155-159160-161162-165
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Unidad Título y contenido Páginas
5
Convertimos unidades de tiempo• Fracciones• Adición y sustracción de fracciones• Multiplicación y división de fracciones• Potenciación y radicación de fracciones• Unidades de masa• Unidades de tiempo• Gráfico circular Asumimos el reto Razonamiento Matemático: Criptoaritmética / Cuatro operaciones Recordamos lo aprendidoEvaluación y metacognición
166167-169170-172173-175176-178179-181182-184185-187188-194195-199200-201202-205
6
Organizamos pictogramas• Números decimales• Adición y sustracción de números decimales• Multiplicación y división de números decimales• Expresiones algebraicas: monomios y polinomios• Unidades de volumen y capacidad• Poliedros y cuerpos redondos• Pictogramas Asumimos el reto Razonamiento Matemático: Planteo de ecuaciones / Relaciones de parentesco Recordamos lo aprendidoEvaluación y metacognición
206207-209210-212213-215216-218219-221222-224225-227228-234235-239240-241242-245
7
Operamos con números enteros• Números enteros (ℤ)• Adición y sustracción de números enteros• Multiplicación y división de números enteros• División de polinomios• Productos notables• Nociones básicas de trigonometría• Medidas de tendencia central Asumimos el reto Razonamiento Matemático: Relaciones de tiempo / Problemas sobre edadesRecordamos lo aprendidoEvaluación y metacognición
246247-249250-252253-255256-358259-261262-264265-267268-274275-279280-281282-285
8
Identificamos razones y proporciones• Razones y proporciones• Magnitudes proporcionales• Regla de tres simple y compuesta• Porcentajes e interés simple• Razones trigonométricas de ángulos agudos• Ángulos de elevación y depresión• Probabilidades Asumimos el reto Razonamiento Matemático: Áreas de regiones sombreadas / Ordenamiento en tablas de doble entradaRecordamos lo aprendidoEvaluación y metacogniciónAnexo (troqueles)
286287-289290-292293-295296-298299-301302-304305-307308-314315-319320-321322-325326-330
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Formamos nuevos conjuntos
Competencias Capacidades
Resuelve problemas de cantidad
• Traduce cantidades a expresiones numéricas.• Comunica su comprensión sobre los números y las operaciones.• Usa estrategias y procedimientos de estimación y cálculo.• Argumenta afirmaciones sobre las relaciones numéricas y las operaciones.
Resuelve problemas de regularidad, equivalencia
y cambio
• Traduce datos y condiciones a expresiones algebraicas.• Comunica su comprensión sobre las relaciones algebraicas.• Usa estrategias y procedimientos para encontrar reglas generales.• Argumenta afirmaciones sobre relaciones de cambio y equivalencia.
Resuelve problemas de forma, movimiento
y localización
• Modela objetos con formas geométricas y sus transformaciones.• Comunica su comprensión sobre las formas y relaciones geométricas.• Usa estrategias y procedimientos para orientarse en el espacio.• Argumenta afirmaciones sobre relaciones geométricas.
Resuelve problemas de gestión de datos
e incertidumbre
• Representa datos con gráficos y medidas estadísticas o probabilísticas.• Comunica la comprensión de los conceptos estadísticos y probabilísticos.• Usa estrategias y procedimientos para recopilar y procesar datos.• Sustenta conclusiones o decisiones en base a información obtenida.
Estándares de aprendizaje
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Proposiciones lógicas y tablas de verdad
Aplicamos lo aprendido
1. Escribe cuatro proposiciones lógicas simples a partir de la imagen.
2. Lee los enunciados y subraya las proposiciones lógicas.
3. Identifica y escribe la clase a la que pertenecen las siguientes proposiciones.
4. Simboliza cada proposición compuesta.
5. Pinta la expresión simbólica del enunciado. Andrea viajó a Chachapoyas, pero no alcanzó a visitar el parque natural de la ciudad, entonces
se instaló en una comunidad nativa.
a)
b)
c)
d)
a) ¿En qué año se proclamó la independencia del Perú?
b) Miguel Grau es conocido como el Caballero de los Mares.
c) 22 + 8 + 7 + 16 + 4 + 8 + 5 + 2 = 54
a) Jonás ingresó a la Universidad Nacional de Ingeniería.
b) Paola aprobará el examen si y solo si estudia.
c) No es cierto que Katia viajará a Pucallpa.
a) Es falso que –8 sea un número natural o que 4 sea un número primo.
b) Chancay se encuentra al norte de Lima, además es un distrito de Huaral.
c) 25 es múltiplo de 5 y de 1, por lo tanto, es un divisor de 100.
(p ∧ q) ∨ r (p → q) ∧ r (p ∧ ~q) → r (p ∨ q) → r
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6. Halla el valor de verdad de las proposiciones si v(p) = V, v(q) = F y v(r) = V.
7. Calcula el valor de verdad de «p», «q» y «r» en cada caso.
8. Completa las tablas de verdad y determina si las matrices principales son tautologías o contingencias.
a) [(p ∧ q) → r] ∨ p b) (p ⟷ q) ∨ (~r ∨ q)
a) v[(p ∧ q) → r] = F b) v[(p → q) ∨ r] = F
a) (p ⟷ q) ∨ ~q
b) (~p → q) ∨ (q ∧ p)
p q (p ↔ q) ∨ ~q
V V
V F
F V
F F
p q (~p → q) ∨ (q ∧ p)
V V
V F
F V
F F
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UNIDAD 1
Seguimos practicando
1. Determina el valor de verdad de cada proposición lógica simple.
2. Escribe la negación de las siguientes proposiciones.
3. Simboliza cada proposición compuesta y halla su valor de verdad.
4. Halla el valor de verdad de las proposiciones si v(p) = F, v(q) = V y v(r) = F.
5. Completa la tabla y encuentra el valor de verdad de la matriz principal.
p q ~p ↔ (q ∧ p)
a) p: Trujillo es la capital de la eterna primavera. V(p) =
b) q: El Perú limita por el sur con Ecuador. V(q) =
c) r: El nevado Huascarán se ubica en Lima. V(r) =
d) s: 45 es múltiplo de 3. V(s) =
a) La esposa de Iván es enfermera.
b) Adolfo jugará en la selección de fútbol de su colegio.
a) 7 es divisor de 35, sin embargo 16 es múltiplo de 5.
b) 72 ÷ 8 = 9 si y solo si 9 × 8 = 72
a) (p ∧ r) ∨ q b) p ⟷ (q ∨ r) c) (p → q) ∧ r
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Teoría de conjuntos
1. Observa los diagramas de Venn y sigue las indicaciones.
2. Determina por extensión los siguientes conjuntos.
Aplicamos lo aprendido
a) Calcula n(A) + n(B) × n(C). b) Halla [n(E) – n(F)] × n(G).
a) B = {xx – 1/x ∈ ∧ 1 ≤ x ≤ 3} b) C = {x3 + 5/x ∈ ∧ 2 ≤ x < 5}
c) G = x x x+ 5
210 14/ � � � �
���
���
∈ d) H = 23
3 6x x x/ � � � ����
���
∈
.0
.2.3
.12
.20
.4
.0
.24
.15 .21 .42.35.14
.11.6
.8
.6.4 .10.20 .9
.11
.13
.7.17
.1.5
A EBF
G
C
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UNIDAD 1
3. Expresa por comprensión los siguientes conjuntos.
4. Colorea la determinación por extensión de cada conjunto.
a) E = {0; 7; 14; 21; 28; 35; …} b) F = {2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19}
a) A = {1; 4; 9; 16; 25; 36; 49} b) B = {10; 15; 20; 25; 30; 35}
A = {2x/x ∈ ∧ 1 ≤ x < 7} B = {5x/x ∈ ∧ 1 < x < 8}
A = {x2/x ∈ ∧ 1 ≤ x ≤ 7} B = {5x/x ∈ x ∧ 2 < x < 7}
5. Observa los conjuntos y completa con ∈ o ∉ según corresponda.M = {a, b, {{c}}, d, {e}, f, g} N = {m, n, {{l}}, o, p, {q}, r, {s}, t}
a) {{c}} M
e) m N
i) {a} M
b) {l} N
f) t N
j) {q} N
c) {f, g} M
g) b M
k) {{s}} N
d) {e} M
h) g M
l) r N
6. Escribe verdadero (V) o falso (F) según los siguientes conjuntos.
A = {2; 4; 6; 8; 12} B = {3; 6; 9; 12; 15; 18} C = {3; 9; 12; 18}
7. Coloca ⊂ o ⊄ según el diagrama de Venn.
a) C ⊂ B ( )
d) A ⊄ C ( )
b) {4; 6} ⊂ A ( )
e) {3; 6} ⊄ B ( )
c) {9} ⊄ C ( )
f) {12; 15} ⊂ B ( )
a) D C
c) G D
e) {{3}} E
g) {10} C
i) C G
b) ø E
d) {{5}} G
f) {0} D
h) {4} E
j) {1; 9} C
.2
.1
.4.11
.9.8 .3
.15
.13
.{5}.6
.10
.0
.7G
C
DE
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1. Completa los valores de «x» y expresa por extensión los siguientes conjuntos.
2. Delínea la representación por comprensión de cada conjunto.
3. Observa el diagrama de Venn y completa los espacios con los conjuntos correspondientes.
4. Halla el cardinal de cada conjunto.
Seguimos practicando
a) B = {x + 1/x ∈ ∧ 12 ≤ x ≤ 17}
x:
B = { }
b) C = {7x/x ∈ ∧ 5 < x ≤ 11}
x:
C = { }
c) M = {2x – 1/x ∈ ∧ 20 ≤ x ≤ 25}
x:
M = { }
d) N = {3x + 5/x ∈ ∧ 0 < x < 8}
x:
N = { }
a) E = {2; 4; 6; 8; 10; 12; 14} b) F = {3; 5; 7; 9; 11; 13; 15}
c) G = {5; 10; 15; 20; 25; 30} d) H = {1; 2; 3; 6; 9; 18}
E = {x/x ∈ , x es par ∧ 0 < x < 16}
G = {x/x ∈ , x es °5 ∧ 0 ≤ x ≤ 30}
F = {x/x ∈ , x es impar ∧ x < 16}
H = {x/x ∈ ∧ x es un divisor de 18}
E = {2x/x ∈ ∧ 1 ≤ x ≤ 8}
G = {x/x ∈ , x es °5 ∧ 0 < x ≤30}
F = {2x + 1/x ∈ ∧ 0 < x ≤ 7}
H = {3x/x ∈ ∧ 1 ≤ x ≤ 6}
a) B ⊂
c) {2; 6} ⊄
e) {50} ∈
g) {10} ⊂
i) 8 ∈
b) ø ⊂
d) {5} ∉
f) {0} ⊂
h) 5 ∉
j) {0; 5} ⊂ .{200}.{50}
.150 .100
.250
.25
.30.15
.5
.0.2
.6 .8.4
.12
.16
.14.10
NA C
B
a) H = {0; 4; 8; 37; 23; 62 + 1; 24 – 16}
H = { } n(H) =
b) K = {1; 5; 90; 51 × 1; 33 – 22; 9; 32}
K = { } n(K) =
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Clases de conjuntos y conjuntos especiales
1. Observa el diagrama de Venn y clasifica los conjuntos.
Aplicamos lo aprendido
a) B es un conjunto .
b) A es un conjunto .
c) D es un conjunto .
d) E es un conjunto .
𝕌
.14 .13
.15 .17
.11
.12
.18
.16.1
.2.3
.6.7
.4.5
.8 .9
CAB
D E
2. Calcula los valores de «x» y determina los conjuntos por extensión. Luego, escribe la clase a la que pertenecen.
a) S = {x + 3/x ∈ ∧ x > 2}
x:
S = { }
S es un conjunto .
b) T = {10x/x ∈ ∧ 2 < x < 9}
x:
T = { }
T es un conjunto .
c) V = {x3 + 1/x ∈ ∧ 7 < x < 8}
x:
V = { }
V es un conjunto .
d) W = {x4/x ∈ ∧ 0 < x < 2}
x:
W = { }
W es un conjunto .
3. Desarrolla cada ejercicio si los conjuntos son unitarios.
a) Calcula a + b + c en el siguiente conjunto: A = {5a + 8; 23; b – 9; 2c + 1}.
b) Halla x + y + z en el siguiente conjunto: B = {36; 2x + 6; y + 20; 5z + 6}.
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4. Determina el valor natural de «a» y «b» en cada caso si los conjuntos son iguales.
5. Halla el conjunto potencia de cada conjunto.
6. Calcula el n[P(C)] y el n[P(D)] según corresponda.
7. Desarrolla los siguientes ejercicios.
a) A = {2a – 4; 16} ∧ B = {5b + 1; 50} b) C = {a3; 26} ∧ D = {b2 + 1; 64}
a) A = {2x + 1/x ∈ ∧ 10 < x < 13} b) B = {3x/x ∈ ∧ 0 < x < 4}
a) C = {x/x es un divisor de 18} b) D = {x/x ∈ ∧ 0 < x < 6}
a) Si n[P(A)] = 16, ¿cuál es el valor de n(A)? b) Si n[P(B)] = 64, ¿cuál es el valor de n(B) + 1?
c) E = {100; 5a + 5} ∧ F = {35; 25b} d) G = {20; b4 + 1} ∧ H = {a + 1; 2}
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1. Relaciona con una línea cada tipo de conjunto según corresponda.
Seguimos practicando
a) Si A = {3a; 27} y B = {25; b + 5} son conjuntos unitarios, calcula el valor de a + b.
b) Si M = {4x + 2; 42} y N = {10; 5y – 3} son conjuntos iguales, halla el valor de x + y.
Conjuntos diferentes
Conjuntos iguales
Conjuntos disjuntos
S = {5; 7; 9} ∧ T = {8 × 2; 5 + 1; 32 + 1}
O = {4; 36; 15} ∧ P = {62; 5 + 10; 2}
M = {1; 2; 5; 6} ∧ N = {6; 22 + 1; 20; 21}
2. Lee cada situación y sigue las indicaciones.
3. Determina el conjunto potencia de cada conjunto.
4. Observa el diagrama de Venn y calcula las operaciones indicadas.
a) H = {vocales de la palabra amor} b) L = {x/x ∈ ∧ 0 ≤ x ≤ 2}
a) n[P(A)] + n[P(B)]
b) n[P(C)] × n[P(D)]
c) n[P(A)] – n[P(D)]
𝕌
.14 .8.22 .36
.38
.16
.20.12 .10
.32
.26 .28
.30 .40.2
.6
A DB C
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Operaciones con conjuntos
2. Ubica los elementos de los conjuntos en los diagramas y halla las operaciones indicadas.
1. Observa los diagramas de Venn y calcula las operaciones indicadas.
3. Halla el complemento de cada conjunto según el siguiente diagrama.
Aplicamos lo aprendido
a) L = {2x/x ∈ ∧ 3 ≤ x ≤ 7} M = {10; 12; 14; 16; 18}
b) P = {x/x es una vocal} Q = {a, b, c, d, e, f, i}
L
A
M
NL
B
C
PQ
M
• L ∩ M = { }
• L ∪ M = { }
• L – M = { }
• L ∆ M = { }
• A ∩ B = { }
• A ∩ C = { }
• A ∪ B = { }
• C ∪ B = { }
• Q ∩ P = { }
• Q ∪ P = { }
• Q – P = { }
• Q ∆ P = { }
• M ∩ N = { }
• N ∩ L = { }
• N ∪ M = { }
• M ∪ L = { }
a) b).1
.10 .11
.2
.3.7
.8 .12
.22.26
.28
.14
.18.10 .16
.5
.6.4 .8
A B.17 .11
.13
.7
.9.1 .5
.3.15 .15
𝕌a) Ac = { }
b) Bc = { }
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4. Delínea la operación que representa las partes sombreadas.
5. Colorea la región correspondiente a cada operación.
6. Ubica los elementos en los diagramas de Venn y halla las operaciones indicadas.
M
P CQ D
R E
RN Q
P S
• (A ∩ B) – C = { }
• B – (A ∩ C) = { }
• (A ∆ B) – C = { }
• (E ∩ F ∩ G) ∪ F = { }
• (E ∪ F) ∩ G = { }
• (F ∪ G) ∆ E) = { }
a)
a) (Q ∪ R)c b) (C ∩ D ∩ E)c
b)
(M – N) ∪ P
(M ∩ N) ∪ P
(Q ∪ S) ∩ R
(Q – R) ∪ S
(M ∪ N) ∩ P
(N – P) ∪ M
(Q ∩ S) ∪ R
(Q ∩ S) – R
𝕌 𝕌
a) A = {2; 3; 4; 7; 10} B = {1; 2; 3; 9} C = {1; 2; 4; 5; 6}
b) E = {0; 2; 4; 8; 9} F = {0; 4; 6; 7} G = {0; 5; 6; 8}
A EB F
C G
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1. Representa los conjuntos en diagramas de Venn y halla las operaciones indicadas.
2. Observa los diagramas y calcula las operaciones indicadas.
3. Determina los cardinales según el siguiente diagrama.
Seguimos practicando
a) M = {x/x ∈ ∧ 4 < x < 9} N = {x/x ∈ ∧ 0 < x ≤ 4} 𝕌 = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11}
b) O = {x/x ∈ ∧ 7 ≤ x ≤ 11} P = {x/x ∈ ∧ 10 ≤ x ≤ 13}
𝕌 = {6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14}
𝕌
𝕌 𝕌
𝕌
• (M ∩ N) = { }
• (M – N) = { }
• (A ∪ B ∪ C)c = { }
• (A ∩ B) ∪ A = { }
• (B ∆ C) ∩ A = { }
• (J ∪ L) ∩ K = { }
• (K ∩ L) ∪ J = { }
• (J ∆ L) – K = { }
• (O ∆ P) = { }
• (O ∪ P)c = { }
a) b)A
L NM
B
C
J L
K.1
.4
.8.16 .14
.21 .15
.5.10
.7
.35
.12.1 .2 .20
.30.25
.0
.4
.10
.9.2
.3
.7.13
.12
.8
.b
.c
.a
.d
.j
.k.e
.f .h
.i.g.5
𝕌a) n[L ∪ M ∪ N] =
b) n[(L ∪ M)c] =
c) n[((M ∆ N) ∪ L)c] =
d) n[(L – M) ∪ (M ∩ N)] =
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2. Responde las preguntas según los datos. En el gráfico se representa a las personas que prefieren la salsa (S), la balada (B) o la cumbia (C)
como género musical favorito.
Problemas y situaciones con conjuntos
1. Lee la situación y colorea según las indicaciones. Los alumnos de sexto grado deben realizar carteles por el Día Internacional de los Derechos
Humanos. Entre ellos se encuentran alumnos que dibujan (D) y que pintan (P). Se sabe que algunos pertenecen a ambos grupos, y que otros no pertenecen a ninguno.
Aplicamos lo aprendido
𝕌
𝕌
𝕌
𝕌
S B
C
D
D
D
D
P
P
P
P
6 4
510
12
9
7
a) ¿Cuántas personas prefieren salsa?
b) ¿Cuántas personas prefieren salsa y cumbia?
c) ¿Cuántas personas prefieren los tres géneros?
Alumnos que solo pintan o solo dibujan
Alumnos que dibujan y pintan
Alumnos que no dibujan ni pintan
Alumnos que dibujan o pintan
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3. Lee los problemas y resuélvelos con los diagramas de Lewis Carroll.
4. Resuelve los problemas mediante diagramas de Venn.
5. Responde las preguntas de acuerdo con los problemas anteriores.
a) En el salón de Jaime hay 30 alumnos, incluyéndolo a él. Si del total, 10 son niñas, 8 usan lentes y 13 niños no usan lentes, ¿cuántos niños usan lentes?
b) Una empresa tiene 20 empleados de 25 y 26 años. Si 12 de ellos tienen 25 años; 5 mujeres, 26 y en total hay 6 hombres, ¿cuántas mujeres tienen 25 años?
a) En una reunión de 38 profesores, se observó que 24 de ellos enseñan en Surco; 20, en Los Olivos; y 14, en Breña. Además, 10 enseñan en Surco y Los Olivos; 7, en Los Olivos y Breña; y 9, en Surco y Breña. Si 4 enseñan en los tres distritos y 2 en ninguno de ellos, ¿cuántos enseñan solo en Breña?
b) De un grupo de niños, se observó que 16 de ellos hablan quechua; 20, aimara; y 13, castellano. Además, 6 hablan quechua y aimara; 5, aimara y castellano; 3, quechua y castellano; y 1, las tres lenguas. Si todos hablan al menos una lengua, ¿cuántos no hablan quechua?
TOTAL
Rpta.: Rpta.:
TOTAL
Rpta.: Rpta.:
Resolución: Resolución:𝕌 𝕌
a) ¿Cuántos profesores enseñan solo en Surco?
b) ¿Cuántos niños hablan solo aimara?
c) ¿Cuántos niños hablan solo castellano o solo quechua?
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4. Responde las preguntas de acuerdo con los problemas anteriores.
1. Observa el diagrama que muestra la preferencia de un grupo de niños por los siguientes juguetes: avión (A), barco (B) y carro (C). Luego, responde las preguntas.
2. Resuelve los siguientes problemas mediante diagramas de Venn.
Seguimos practicando
a) En un grupo de amigos se observó que a 21 de ellos les gusta la comedia; a 25, el drama; y a 18, el terror. Además, 10 prefieren el drama y el terror; 14, el drama y la comedia; 11, la comedia y el terror; y 6, los tres géneros. Si 3 de ellos no prefieren ninguno de los tres géneros, ¿cuántos amigos hay en el grupo?
b) Se realizó una encuesta a un grupo de 45 jóvenes y se apreció que 15 de ellos tienen casa propia y 19, automóvil. Si, además, 17 trabajan; 8 trabajan y tienen automóvil; 6 trabajan y tienen casa; 7 tienen automóvil y casa; y 5 trabajan, y tienen casa y automóvil, ¿cuántos no tienen ninguna de las características mencionadas?
Rpta.: Rpta.:
Resolución: Resolución:
a) ¿Cuántos niños prefieren solo avión?
b) ¿Cuántos niños prefieren barco?
c) ¿Cuántos niños no prefieren ninguno de los tres
juguetes?
𝕌A B
C
10 7
61
5 9
8 4
𝕌 𝕌
a) ¿A cuántas personas les gusta solo el drama?
b) ¿Cuántas personas solo tienen casa propia?
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caliz
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n
Geo
met
ríaElementos básicos de la geometría: segmentos y ángulos
1. Escribe el nombre de cada clase de ángulo.
2. Halla el complemento y suplemento de cada ángulo.
3. Observa los gráficos y sigue las indicaciones.
Aplicamos lo aprendido
a) 90°
c) 10°
b) 180°
d) 120°
a) C(30°) =
c) S(150°) =
e) C(82°) =
g) S(90°) =
b) S(20°) =
d) C(15°) =
f) S(173°) =
h) C(64°) =
a) Si B es punto medio de AC, halla la medida del segmento AB en centímetros.
b) Si BD = 3AB, calcula la medida del segmento BC.
c) Halla la medida de BC si se sabe que AD = 20 cm y AC = BD = 13 cm.
d) Si AD = 35 cm y CD = 2AB, halla la medida del segmento AB.
5x – 3 2x + 33 9 cm 2x + 4 3x – 2A
A
A
A
B
B
C
C
D
D
B
B C
C
D14 cm
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UNIDAD 1
4. Calcula el valor de «x» en cada caso si se tienen los siguientes datos.
a) m∡BOC = 90° b) m∡AOD = 150°
c) m∡COD = 2m∡AOB d) OD es bisectriz del ∡COE.
68° xA O
B C
D
x – αx + α
xD
CBA
O
A
B
C
DA
B
CD
EO
Ox
x n130°120°
150°
5. Encuentra el valor de las incógnitas en cada gráfico si L1 // L2.
a) b)
L1
L1
L2
L2
3x – 10°
2x40°
β
20°
10°
30°
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1. Lee las situaciones y responde las preguntas.
2. Halla el valor de «x» en cada caso.
3. Determina el valor de «x» si se tienen los siguientes datos.
Seguimos practicando
a) Los ángulos (4x + 17°) y (6x + 23°) son complementarios. ¿Cuánto mide cada uno?
b) Si el suplemento del ángulo (3x – 30°) es 60°, ¿cuánto medirá el ángulo «x»?
a) b)
20 cm28 cm 20 cm
a a a ab8 cm
bx xA BO C A B C D E F
a) L1 // L2 b) OM es bisectriz del ∡BOC.L1
L2
3xx
20°4x
5x
BA
M
C
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tadí
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a
Introducción a la estadística
1. Escribe la variable que representa cada gráfico.
2. Colorea la variable cuantitativa.
3. Delínea la variable cualitativa.
4. Observa las variables e indica si son cualitativas o cuantitativas.
Aplicamos lo aprendido
a) b)
Profesión preferida
Número de aves en un lugar
Nacionalidad de una persona
Preferencia por los deportes
Color de ojos de un grupo de niños
Sueldo de los trabajadores
Número de celulares vendidos
Cantidad de niños de sexto grado
El número de goles marcados por tu equipo favorito
La cantidad de alumnos de un instituto
Preferencia por los cursos de tus compañeros
Lugar de nacimiento de un grupo de alumnos
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cert
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bre
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5. Lee las variables cuantitativas e indica si son discretas o continuas.
6. Lee las situaciones y reconoce los elementos de la estadística.
El número de departamentos vendidos por una empresa
La temperatura registrada cada día en una ciudad
El número de hijos de los padres de familia de un colegio
La cantidad de kilogramos de fruta que se vendió en un mercado
La cantidad de vendedores ambulantes que hay en el Centro de Lima
a) Una empresa desea saber cuál es el candidato favorito de los habitantes de Lima para las próximas elecciones municipales. Por ello, realizó una encuesta a 8 000 pobladores de todos los distritos de Lima, con lo cual pudo obtener dicha información.
• Población:
• Muestra:
• Variable:
• Clase de variable:
b) Juan y Marcos cursan el sexto grado y desean averiguar la edad promedio de los alumnos que conforman la selección de fútbol de su institución educativa. Por ello, preguntaron a 10 de los 16 integrantes que conformaban el equipo, con lo cual pudieron deducir la información requerida.
• Población:
• Muestra:
• Variable:
• Clase de variable:
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1.Clasificalas variables cuantitativas en discretas o continuas.
2.Identificay escribe la clase de variable cualitativa a la que pertenece cada enunciado.
Seguimos practicando
La cantidad de litros de agua que contiene un depósito
El grado militar de un miembro del ejército
El número de libros en un estante de una librería
El día de la semana favorito de una persona
El total de puntos obtenidos al lanzar un dado
El lugar de nacimiento de los niños de un colegio
El deporte favorito de los alumnos de sexto grado
3. Lee la situación y reconoce los elementos de la estadística. Un ingeniero agrónomo realizó una encuesta a todos los agricultores de la provincia de Cañete,
con la finalidad de saber el producto que más siembran durante el verano. Para ello, visitó a 1 200 agricultores de los distintos distritos que conforman dicha provincia.
a) Población:
b) Muestra:
c) Variable:
d) Clase de variable:
Asumimos el reto
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1. Identifica y escribe la clase a la que pertenecen las siguientes proposiciones.
NIVEL 1 NIVEL 2 NIVEL 3
a) Iván es literato y Luis, matemático.
b) Angie estudia diseño, además trabaja por las tardes.
c) Kaori viaja a Piura dos veces al año.
d) Si 52 = 25, por consiguiente 25 5=
e) La suma de cifras de 642 es 12, luego 642 es °3.
f) Trescientos doce es un número par.
2. Simboliza cada proposición compuesta y halla su valor de verdad.
3. Completa la tabla de verdad e indica si la matriz principal es una tautología o una contingencia.
a) 100 es un divisor de 1 000 y múltiplo de 10.
e) 6 es múltiplo de 3 o es múltiplo de 2.
b) 6 divide a 12 si y solo si 12 = 5 × 2.
f) Si 14 + 3 = 17, entonces 17 – 3 = 14.
c) 48 es °2 y es °3, por lo tanto es °6. d) No es cierto que 20 × 3 = 100.
p q (~q ∨ (q → p)
La matriz principal es una .
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4. Observa los diagramas de Venn y sigue las indicaciones.
a) Calcula n(M) × n(N) × n(P). b) Halla n(G) + n(F) + n(H).
5. Halla los valores de «x» y determina los conjuntos por extensión.
6. Determina los conjuntos por comprensión.
a) A = {5x/x ∈ ∧ 1 ≤ x ≤ 7}
x:
A = { }
b) B = {x – 8/x ∈ ∧ 8 < x < 16}
x:
B = { }
a) P = {3; 6; 9; 12; 15; 18; 21}
P = { }
b) Q = {1; 8; 27; 64; 125}
Q = { }
c) C = x x x es impar x��
���
���
� �1
213/ , ∈
x:
C = { }
d) D = 48 1 8x
x x es par x/ ,����
���
� � � ∈
x:
D = { }
7. Coloca ⊂ o ⊄ según el diagrama de Venn.
.Luis.Angie
.Susan.Iván
.Liz
.Ana
.Flor.Alan
.Kaori .Nancy
.Katia
.María
M HN
G
P
F.20.35
.42
.21.49
.56
.15 .14 .0.7.18
.84
.91.4
.5
a) {i, j} D
c) C B
e) ø C
g) {a} A
i) B A
b) {{n}} A
d) {m, e} C
f) ø A
h) B D
j) {{p}, {n}} A
AB
CD.c
.b
.f .e
.g .h .j
.k
.l.i.m
.d .a
.{o} .{p} .{n}
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8. Calcula los valores de «x» y determina los conjuntos por extensión. Luego, escribe la clase a la que pertenecen.
9. Desarrolla los siguientes ejercicios.
a) Si H = {9m; 81} y K = {72; 12n} son conjuntos unitarios, determina m + n.
b) Si R = {p + 1; 17} y T = {14; 3q – 1} son conjuntos iguales, calcula p – q.
a) A = {x3/x ∈ , x es impar ∧ 2 < x < 8}
b) B = {4x – 7/x ∈ , x es par ∧ 0 < x < 9}
10. Halla el conjunto potencia de cada conjunto.
a) M = {x2/x ∈ ∧ 8 ≤ x ≤ 12}
x:
M = { }
M es un conjunto .
b) N = {2x/x ∈ , x es par ∧ x ≥ 10}
x:
N = { }
N es un conjunto .
c) O = {x/x ∈ , es par ∧ 0< x < 2}
x:
O = { }
O es un conjunto .
d) P = {8x + 4/x ∈ ∧ 9 < x ≤ 10}
x:
P = { }
P es un conjunto .
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11. Colorea la región correspondiente a cada operación.
a) b)
12. Observa los diagramas y calcula las operaciones indicadas.
a) A = {0; 1; 2; 6; 8} B = {0; 1; 3; 5}
C = {x/x ∈ ∧ 1 ≤ x < 5}
b) E = {a, m, o, r} F = {r, e, j, a} G = {x/x es una vocal}
13. Representa los conjuntos en diagramas de Venn y halla las operaciones indicadas.
a) (P ∪ R)c b) (S ∆ T)c
𝕌 𝕌P
J DL CKE
TQ SR
.12.16 .14
.18
.20.22
.8
.11
.15.13
.17.3 .5
.7.9
.1.6
.10
• (J ∪ L) ∩ K = { }
• K – (J ∪ L) = { }
• (J ∆ K) – L = { }
• (A ∩ B) ∪ (B ∩ C) = { }
• (A ∪ B ∪ C) – C = { }
• (B ∆ C) ∪ C = { }
• C ∩ D ∩ E = { }
• E – (D ∪ C) = { }
• (D ∆ E) – C = { }
• (E ∩ F ∩ G) ∪ F = { }
• G – (E ∩ G) = { }
• (E ∆ G) ∩ F = { }
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14. Observa los diagramas según la situación y escribe las preferencias que representan. Los profesores de una institución educativa respondieron algunas preguntas realizadas por los
alumnos sobre sus preferencias por la lectura. Algunos mencionaron los cuentos (C); otros, las novelas (N); y otros más, las historietas (H).
15. Resuelve los problemas mediante diagramas de Venn.
16. Lee el problema y resuélvelo con los diagramas de Venn.
a) De todos los alumnos de sexto grado de una institución educativa, se observó que 60 estudiantes tocan el violín; y 65, la flauta. Si 32 tocan solo violín, y 5 no tocan ningún instrumento, ¿cuántos tocan solo flauta? y ¿cuántos tocan los dos instrumentos?
b) En una empresa de seguros de vida hay 12 trabajadores, entre estadísticos, informáticos y matemáticos. Si 6 de ellos estudiaron Estadística; 5, Informática; y 3, ambas carreras, ¿cuántos trabajadores estudiaron Matemática? y ¿cuántos estudiaron solo Informática?
a) b)C CN N
H H
Se observó que, de un grupo de estudiantes, 21 de ellos usan tablet para buscar información; 24, celular; y 15, laptop. Además, 3 usan tablet y celular; 6, tablet y laptop; 7, celular y laptop; y 1, los tres equipos. Si todos usan al menos uno de los aparatos dados, ¿cuántos estudiantes usan solo tablet, solo celular o solo laptop?
Rpta.: Rpta.:
Rpta.:
Resolución: Resolución:
Resolución:
𝕌 𝕌 =
𝕌
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a) b)
17. Observa los gráficos y sigue las indicaciones.
a) Halla la medida del segmento BF. b) Calcula la medida del segmento BE.
18. Halla el valor de «x» en cada caso.
19. Calcula el valor de «x» en cada caso si L1 // L2.
22 m 24 m
6 m b b 8 m8 m a a 4aA A B C D EE B C F D
A
A
B
4x + 10°5x + 20°
6x
C
Dx – 20° xx – 30°
BO O
C
a) b) L1
L1
L2
L2
130°
2x
7x
20°70°
2x 3x80° 60°
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20. Lee las variables e indica si son cualitativas o cuantitativas.
21. Colorea según las indicaciones.
22. Lee la situación y reconoce los elementos de la estadística.
El grupo sanguíneo de un grupo de personas
La cantidad de hermanos que tiene cada niño de un colegio
El color de cabello de las niñas de una localidad
El equipo de fútbol favorito de los habitantes de Lima
La cantidad de minerales que exporta el Perú en un año
Los meses del año de etapa escolar
El número de hombres en una empresa
El lugar favorito de los niños
La masa de una torta de cumpleaños
El gentilicio de un grupo de abuelos
Cantidad de profesores en un colegio
a) Variables cualitativas ordinales
b) Variables cuantitativas continuas
Luis desea saber de qué carrera es la mayor cantidad de profesionales que trabajan en las compañías de seguros y riesgo bancario de la ciudad de Lima. Para ello, realizó una encuesta a 3 000 trabajadores de las distintas empresas de ese rubro, y obtuvo como mayor número de profesionales a los matemáticos.
a) Población:
b) Muestra:
c) Variable:
d) Clase de variable:
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RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
Sucesiones
Hugo es un gran deportista calificado que entrena cada semana de la siguiente manera: el primer día corre 1 km; el segundo día, 3 km; el tercer día, 7 km; el cuarto día, 13 km; y así, sucesivamente. ¿Cuántos kilómetros correrá el quinto día?
Construye tus aprendizajes
1. Sucesión numérica Es un conjunto ordenado de números que presenta un patrón o regla de formación, que está determinado por las operaciones aritméticas.Ejemplo: Analizamos la situación inicial y ordenamos los kilómetros que corre Hugo cada día.
Lee y observa
1 km 3 km 7 km 13 km ?
1.er día
+ 2
+ 2 + 2 + 2
+ 4 + 6 + 8
2.o día 3.er día 4.o día 5.o día
Por lo tanto, el quinto día correrá 13 + 8 = 21 km.
2. Sucesión literal Es un conjunto ordenado con las letras del abecedario que presentan un patrón o regla de formación, donde cada letra tiene una correspondencia numérica.Ejemplos:
B
NÑ
Y
CDE
DE
P
W
GH
GHI
RS
U
JKL
KLMN
U
S
NÑ
A; C; F; J; O
M; O; Q; T; V
Z; X; V; T; R
B; F; I; M; O
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1. Encuentra el término que continúa en las sucesiones numéricas.
2. Calcula la suma de los dos términos que siguen en cada sucesión.
3. Encuentra el término que sigue en las sucesiones literales.
Razona y resuelve
a) 1; 2; 6; 24; 120; … b) 0; 5; 11; 18; 26; …
a) 4; 5; 8; 7; 24; 9; 96; 11; … b) 48; 8; 42; 6; 37; 4; 33; 2; …
a) E; H; L; Ñ; R; … b) Z; T; O; K; H; …
c) 102; 92; 84; 78; 74; … d) 144; 80; 48; 32; 24; …
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Series
Tatiana desea sumar la cantidad de pelotas que se usaron para el entrenamiento de fútbol, que están ordenadas como se ve en la imagen. ¿De qué manera podrá hallar la cantidad de pelotas rápidamente? ¿Cuántas contó?
Construye tus aprendizajes
1. SerieUna serie es la suma de todos los términos que intervienen en una sucesión. Entre estos tenemos:
Lee y observa
a) Serie aritmética Los sumandos son los términos de una sucesión aritmética.
b) Serie geométrica Los sumandos son términos de una sucesión geométrica.
an = a1 + (n – 1)r an = a1 × rn – 1Sa a
nn=+( )1
2× S
a rr
n
= 1 11
� ��( )
Donde: a1: primer términoan: último término
n: número de términosr: razón
S: suma de términos
2. Sumas notables Algunas de las sumas notables que se obtienen al aplicar las propiedades anteriores son:
• Suma de los números consecutivos: 1 + 2 + 3 + … + n = n n( )+12
• Suma de los números impares: 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n2
• Suma de los números pares: 2 + 4 + 6 + … + 2n = n(n + 1)
Ejemplo:
Observamos la situación inicial.La serie será: S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 S =
6 62
1( )+ = 21
Por lo tanto, Tatiana contó 21 pelotas.
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1. Calcula el 25.o término en cada serie.
2. Determina el valor de la serie en cada caso.
3. Halla la suma de los 12 primeros términos de S.
a) 8 + 13 + 18 + 22 + 27 + … b) 4 + 11 + 18 + 25 + 32 + …
a) S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 10 b) R = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 12
c) E = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + … + 18 d) H = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + … + 17
a) S = 1 + 4 + 7 + 10 + … b) S = 5 + 7 + 9 + 11 + …
Razona y resuelve
Raz
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1. Encuentra el término que continúa en las sucesiones numéricas.
2. Halla el valor de la serie en cada caso.
Sigue practicando
a) 720; 120; 24; 6; 2; … b) 1; 7; 10; 70; 73; …
a) M = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + … + 96
b) S = 9 + 10 + 11 + 12 + … + 75 c) T = 7 + 9 + 11 + 13 + … + 85
c) 24; 12; 36; 18; 54; … d) 47; 40; 45; 38; 43; …
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40
Recordamoslo aprendido
Proposiciones lógicas y tablas de verdad
Conjunción (∧) Disyunción (∨)
Condicional (→) Bicondicional (⟷)
RepresentaciónDiagramas de Venn Mediante llaves
Negación (~)
Clases de conjuntos y conjuntos especiales
Teoría de conjuntos
p q p ∧ qV V VV F FF V FF F F
p q p ∨ qV V VV F VF V VF F F
p q p → qV V VV F FF V VF F V
p q p ⟷ qV V VV F FF V FF F V
p ~pV FF V
.10 .20.30
BB = {10; 20; 30}
DeterminaciónExtensiónA = {2; 4; 6; 8; 10; 12; 14}ComprensiónA = {x/x ∈ , x es par ∧ 0 < x < 16}
Pertenencia (∈) e inclusión (⊂)
ao
ie u
RV • b ∉ V
• o ∉ V • {a, o} ⊂ R
• e ∈ V • g ∉ V • V ⊂ R
CardinalCantidad de elementos de un conjuntoS = {do, re, mi, fa, sol, la, si} n(S) = 7
Conjuntos igualesA = {x/x ∈ , x es impar ∧ 0 < x < 8} y B = {2x + 1/x ∈ ∧ 0 ≤ x < 4} Luego: A = {1; 3; 5; 7} y B = {1; 3; 5; 7}Entonces: A = B
Conjuntos disjuntosA = {1; 3; 5; 7; 9; 11}B = {0; 2; 4; 6; 8; 10}Entonces, A y B son disjuntos.
Conjuntos diferentesA = {x/x ∈ , x es par ∧ 3 < x < 10} y B = {3; 4; 6; 8}Luego: A = {4; 6; 8}Entonces: A ≠ B
Conjunto potencia Si A = {2; 4; 6}, entonces:P(A) = {{2}, {4}, {6}, {2; 4}, {2; 6}, {4; 6}, {2; 4; 6}, ø}P(A) es el conjunto potencia de A.
No tienen elementos en común.
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UNIDAD 1
Problemas y situaciones con conjuntos
Introducción a la estadística
Población
Variable
Muestra
Cualitativa
Cuantitativa
Frecuencia Encuesta
Unión
C ∪ D
Operaciones con conjuntos
C DIntersección
C ∩ D
C D
Diferencia
C – D
C DD. simétrica
C ∆ D
C D
Complemento
Ac = 𝕌 – A
𝕌 A
Problemas con tres conjuntos
Diagrama de Lewis Carroll
No prefieren avión. Prefieren los tres juguetes.
A: Niños que prefieren un avión
B: Niños que prefieren un barco
C: Niños que prefieren un carro
A AB B
C C
𝕌 𝕌
Hombres Mujeres TOTAL
Usan lentes a b a + b
No usan lentes c d c + d
TOTAL a + c b + d a + b + c + d
Ordinal
Nominal
Discreta
Continua
Elementos básicos de la geometría: segmentos y ángulos
Ángulos complementarios
Ángulos formados por dos rectas paralelas y una secante
Ángulos suplementarios
Sus medidas suman 90°.Notación: C(α) = 90° – α
Sus medidas suman 180°.Notación: S(α) = 180° – α
α + β = 90°
α + β = 180°
En la figura L1 // L2
En la figura L1 // L2
En la figura L1 // L2
L1
L2
x
α
β
L1
L2
x
y
α
β
θ
L1
L2α
ωφ
β
θ
x = α + β
x + y = α + β + θ
φ + ω + θ + β + α = 180°
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Evaluación1. Simboliza cada proposición compuesta.
2. Completa la tabla de verdad y determina si la matriz principal es una tautología o una contingencia.
3. Halla los valores de «x» y expresa por extensión los conjuntos.
4. Observa el diagrama de Venn y escribe verdadero (V) o falso (F) según corresponda.
a) No es cierto que Liz estudia Contabilidad y que María estudia Biología.
b) 9 es un número mayor que 2, pero menor que 25.
c) Si Mateo entrena bien, entonces ganará la competencia.
p q (p → ~q) ∧ q
V V
V F
F V
F F
a) A = {x2 + 2/x ∈ ∧ 0 ≤ x ≤ 6}
x:
A = { }
b) B = {10x + 10/x ∈ ∧ 2 < x < 10}
x:
B = { }
a) M ⊂ Q ( )
c) {2; 3} ⊄ M ( )
e) 7 ∈ Q ( )
g) N ⊂ P ( )
i) 2 ∈ N ( )
b) ø ⊂ P ( )
d) 5 ∉ Q ( )
f) {7} ⊂ N ( )
h) {11; 13} ⊂ P ( )
j) 29 ∈ P ( )
QM PN
.5
.3
.31 .29 .23 .17
.2 .7.11
.13
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5. Relaciona con una flecha según corresponda.
6. Desarrolla los siguientes ejercicios.
7. Ubica los elementos de los conjuntos en los diagramas y halla las operaciones indicadas.
a) Si K = {9a; 81} y M = {17; b + 7} son conjuntos unitarios, calcula a × b.
b) Si C = {4m + 1; 41} y D = {9; 4n + 1} son conjuntos iguales, halla m + n.
Conjuntos diferentes
Conjuntos iguales
Conjuntos disjuntos
S = {11; 22; 25} ∧ T = {25; 52 + 1; 112}
A = {0; 8; 11} ∧ B = {23; 10 – 1; 23 – 1}
P = {0; 4; 6} ∧ Q = {23 – 2; 32 – 9; 22}
a) A = {x/x ∈ , x es par ∧ 2 ≤ x ≤ 10} ∧ B = {4; 5; 6; 7; 9}
b) P = {1; 2; 4; 25; 36; 100}, Q = {0; 1; 2; 4; 16; 49} ∧ R = {0; 2; 4; 81; 100}
• A ∩ B = { }
• A ∪ B = { }
• A – B = { }
• A ∆ B = { }
• P ∩ Q ∩ R = { }
• (R ∪ Q) ∩ P = { }
• (P ∩ Q) – R = { }
• (R ∆ Q) – Q = { }
A B
𝕌
R
P Q
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8. Representa los datos del problema en el diagrama y responde las preguntas. En un instituto de idiomas, se observó que del total de alumnos, 105 estudian inglés (I); 65,
francés (F); 102, alemán (A); 27, alemán y francés; 33, francés e inglés; 40, alemán e inglés; y 15, los tres idiomas. Además, en dicho instituto solo enseñan estos tres idiomas.
9. Halla el valor de «x» en cada caso.
a) ¿Cuántos alumnos estudian solo inglés?
b) ¿Cuántos alumnos tiene el instituto?
c) ¿Cuántos alumnos estudian solo alemán o solo
francés?
d) ¿Cuántos alumnos estudian solo francés?
I = F =
A =
a) b)L1
L2
100°
110°2x
A O
BC
D
Ex x
x
10. Lee la situación e identifica los elementos de la estadística.Mónica realizó una encuesta a los alumnos de la institución educativa Mariano Melgar para conocer sus cursos favoritos. Para ello, entrevistó a 200 alumnos de los 600 que conformaban el colegio.
• Población:
• Muestra:
• Variable:
• Clase de variable:
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Marco con un aspa (X) la alternativa que corresponda a mi participación en clase.
METACOGNICIÓN
Preguntas Sí No
1 ¿Logré desarrollar las actividades fácilmente?
2 ¿Tuve dificultades en algunos de los temas?
3 ¿Pude superar dichas dificultades?
4 ¿Hice preguntas cuando tenía dudas?
5 ¿Puedo aplicar en otras situaciones lo aprendido en clase?
6 ¿Puedo explicar lo aprendido con mis propias palabras?
11. Encuentra el término que continúa en las sucesiones numéricas.
12. Determina el valor de la serie en cada caso.
a) 5; 15; 20; 60; 65; … b) 25; 100; 50; 200; 100; …
a) S = 1 + 2 + 3 + 4 + … + 100 b) P = 5 + 7 + 9 + 11 + ... + 31
c) R = 2 + 4 + 6 + 8 + … + 110
