Mathematiques avancees : Analyse
fonctionnelle
Annee 2009-2010
Angela Pasquale
Relectures et corrections par Philippe Bonneau
Laboratoire de Mathematiques et Applications (LMAM), Universite PaulVerlaine – Metz
E-mail address : [email protected]
Table des matieres
Introduction 51. Notations et rappels 6
Chapitre 1. Operateurs et formes lineaires 91. Operateurs lineaires bornes 92. Dual topologique d’un espace vectoriel norme 103. Topologies faibles 14
Chapitre 2. Operateurs compacts 171. Operateurs de Hilbert-Schmidt 19
Chapitre 3. Theorie spectrale des operateurs compacts autoadjoints sur un espace deHilbert 25
Bibliographie 29
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Introduction
L’analyse fonctionnelle est la partie de l’analyse qui etudie les espaces vectoriels de dimensioninfinie sur R ou sur C ainsi que les applications lineaires sur ces espaces. Ce qui distinguel’analyse fonctionnelle de l’algebre lineaire est le role important joue par la topologie. Surles espaces vectoriels de dimension finie toutes les normes sont equivalentes 1, donc ellesdefinissent la meme topologie. En outre, toute application lineaire est automatiquementcontinue. Dans le cas de dimension infinie les choses ne sont pas aussi simples.
Considerons par exemple l’espace C([0, 1]) des fonctions continues sur [0, 1] a valeurscomplexes, muni de la structure d’espace vectoriel complexe habituelle. Les normes
‖f‖1 :=
∫ 1
0
|f(x)| dx et ‖f‖∞ := supx∈[0,1]
|f(x)|
ne sont pas equivalentes sur C([0, 1]), mais on a l’inegalite ‖f‖1 ≤ ‖f‖∞ pour tout f ∈C([0, 1]). Pour montrer que ces deux normes ne sont pas equivalentes, on considere la suitede fonctions {fn} avec fn(x) := xn. Alors
‖fn‖1 =
∫ 1
0
xn dx =1
n+ 1→ 0 pour n→∞ ,
‖fn‖∞ = 1 pour tout n .
Ainsi la suite {fn} converge en vers 0 par rapport a ‖ · ‖1, mais elle ne converge pas uni-formement vers 0 sur l’intervalle [0, 1].
Si on considere maintenant l’espace X = C1([−1, 1]) des fonctions complexes de classeC1 sur [−1, 1], muni de la norme ‖f‖∞ = supx∈[−1,1] |f(x)|, alors l’application T : X → Cdefinie par T (f) = f ′(0) est C-lineaire, mais pas continue. En effet, soit {fn} la suite defonctions definies pour n ≥ 1 par
fn(x) =sin(n2x)
n.
Alors {fn} converge uniformement vers 0 sur [−1, 1], mais T (fn) = n converge vers∞ et pasvers T (0) = 0.
1. On rappelle que deux normes ‖ · ‖ et ‖ · ‖′ sur un espace vectoriel X sont equivalentes s’il existe deuxconstantes C > 0 et C ′ > 0 telles que pour tout x ∈ X on a
C‖x‖ ≤ ‖x‖′ ≤ C ′‖x‖ .
Cette condition est equivalente a la suivante : Toute suite {xn} in X converge vers x ∈ X pour ‖ · ‖ si etseulement si elle converge vers x pour ‖ · ‖′.
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1. Notations et rappels
Dans ce paragraphe nous commencons par introduire les notations qui seront employeesensuite et nous rappelons brievement les definitions d’espaces de Banach et de Hilbert.
Nous designerons par N, Z, R et C les ensembles usuels de nombres. Ainsi, R sera parexemple l’ensemble des nombres reels et C celui des nombres complexes. La partie reelle d’unnombre complexe z sera notee Re z ; la partie imaginaire de z sera notee Im z.
On considere dans ce qui suit des espaces vectoriels sur un corps K qui sera R ou C. SoitX un espace vectoriel sur K. Une norme sur X est application x 7→ ‖x‖ de X dans [0,∞[qui verifie les trois conditions suivantes :
(1) ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖ pour tout x, y ∈ X,
(2) ‖λx‖ = |λ| ‖x‖ pour tout x ∈ X et λ ∈ K,
(3) ‖x‖ = 0 si et seulement si x = 0.
Un espace vectoriel muni d’une norme est dit un espace vectoriel norme.
Exemple 1 (Exemples en dimension finie). Pour tout x = (x1, x2, ..., xn) ∈ Kn on pose :
(1) ‖x‖∞ := supi=1,...,n |xi| ,(2) ‖x‖p := (
∑ni=1 |xi|p)
1/p(pour p ≥ 1 ; pour p = 2, on retrouve la norme associee au
produit scalaire euclidien ou hermitien usuel).
Les applications ‖ · ‖∞ et ‖ · ‖p sont des normes sur Kn.
Exemple 2 (Exemples en dimension infinie). (1) Soit X un ensemble non vide,Mune tribu sur X (dont les elements sont appeles les ensembles mesurables) et enfinsoit µ une mesure sur M. Deux fonctions mesurables sur X a valeurs complexessont dites equivalentes (et par la suite identifiees) lorsque elles sont presque partoutegales. Pour 1 ≤ p < +∞, l’espace Lp(X,M, µ) est l’espace vectoriel des (classesd’equivalence des) fonctions f : X → C, definies et mesurables sur l’espace mesure(X,M, µ) et pour lesquelles
‖f‖p :=
[∫X
|f |p dµ]1/p
<∞ .
Ici ‖f‖p designe la norme Lp de f . Suivant le contexte, les symbolesM et µ peuventetre sous-entendus dans la notation Lp(X,M, µ) ; on ecrira dans ce cas Lp(X).
(2) Soit (X,M, µ) un espace mesure. On dit qu’un fonction mesurable f : X → Cest essentiellement bornee s’il existe un presque majorant de |f |, c’est-a-dire uneconstante C ≥ 0 telle que |f(x)| ≤ C pour presque tout element x ∈ X. Dansce cas, on definit la borne superieure essentielle sup ess|f | comme l’inf des presquemajorants. L’espace L∞(X,M, µ) est l’espace obtenu en considerant les (classesd’equivalence de) fonctions essentiellement bornees (la relation d’equivalence etantl’egalite presque partout). Il est muni de la norme ‖f‖∞ := sup ess|f |.
Un espace vectoriel norme est un espace metrique par rapport a la distance d(x, y) :=‖x− y‖. Une suite (xn) dans un espace metrique est dite suite de Cauchy si pour tout ε > 0il existe un N ∈ N tel que pour tout n,m > N on a d(xn, xm) < ε. Un espace metrique Xest dit complet si toute suite de Cauchy de X a une limite dans X. Un espace de Banachest un espace vectoriel norme complet pour la distance issue de sa norme.
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Exemple 3. Les espaces vectoriels normes des exemples 1 et 2 sont des espaces deBanach.
Pour λ ∈ K on definit λ comme le conjugue de λ si K = C et comme λ si K = R. Soit Xun espace vectoriel sur K. Un produit scalaire sur X est une application 〈·, ·〉 : X ×X → Kqui verifie les proprietes suivantes pour tout x, y, x′ ∈ X et λ, µ ∈ K :
(1) 〈λx+ µx′, y〉 = λ〈x, y〉+ µ〈x′, y〉 ,(2) 〈x, y〉 = 〈y, x〉(3) 〈x, x〉 ≥ 0 ,
(4) 〈x, x〉 = 0 si et seulement si x = 0 .
Un espace de Hilbert est un espace de Banach X dont la norme ‖ · ‖ decoule d’un produit
scalaire 〈·, ·〉 par la formule ‖x‖ =√〈x, x〉 pour tout x ∈ X.
Exemple 4. Les espaces de Banach des exemples 1 et 2 sont des espaces de Hilbert pourp = 2. Les produits scalaires sont
〈x, y〉 :=n∑j=1
xjyj ,
pour Kn, et
〈f, g〉 :=
∫X
f(x)g(x) dµ(x)
pour L2(X).
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CHAPITRE 1
Operateurs et formes lineaires
Ici commence reellement le sujet central de ce cours que l’on peut renommer “Introductiona la theorie des operateurs”.
Un magnifique expose des problemes de physique pouvant etre resolus (notamment) parles techniques exposees ci-dessous est donne dans [CH89] ([CH93] pour les germanophones).
Un expose classique et plus moderne restant proche des preoccupations physiques setrouve dans [RS80].
Une reference tres complete sur le sujet est [DS88].
Une bonne reference en francais est [Br83]. Il en existe de nombreuses autres (souventbonnes egalement).
Des references plus recentes peuvent etre [Fo99] et [Ru95]. La encore il en existe ungrand nombre, surement consultables avec profit.
1. Operateurs lineaires bornes
Soient X et Y deux espaces vectoriels normes. 1 Un operateur lineaire T : X → Y est ditborne s’il existe un reel C ≥ 0 tel que
‖Tx‖ ≤ C‖x‖pour tout x ∈ X. 2 Dans ce cas, on definit
‖T‖op := inf{C : ‖Tx‖ ≤ C‖x‖ pour tout x ∈ X}= sup{‖Tx‖ : ‖x‖ = 1}= sup{‖Tx‖ : ‖x‖ ≤ 1} (1)
= sup{‖Tx‖‖x‖
: x 6= 0}.
On a alors ‖Tx‖ ≤ ‖T‖op‖x‖ pour tout x ∈ X.
Exercice 1. Verifier les egalites dans la definition de ‖T‖op.
On note L(X, Y ) l’ensemble des operateurs lineaires bornes de X dans Y . On ecrira L(X)a la place de L(X,X). L’ensemble L(X, Y ) est un espace vectoriel sur K pour les lois :
(T + S)x := Tx+ Sx S, T ∈ L(X, Y ), x ∈ X(λT )x := λ(Tx) λ ∈ K, T ∈ L(X, Y ), x ∈ X .
1. Nous utilisons le meme symbole ‖ · ‖ pour noter la norme sur chacun des deux espaces vectoriels X etY .
2. On ecrira souvent Tx au lieu de T (x).
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En outre, l’application T 7→ ‖T‖op est une norme sur L(X, Y ), que l’on appelle la normed’operateurs.
Lemme 1. Si T : X → Y est une application lineaire, alors les affirmations suivantessont equivalentes :
(1) T ∈ L(X, Y ),
(2) L’ensemble {Tx : ‖x‖ ≤ 1} est borne dans Y ,
(3) T est continu en l’origine 0 de X,
(4) T est continu,
(5) T est lipschitzien (c’est-a-dire, il existe une constante C > 0 telle que pour toutx, y ∈ X on a ‖Tx− Ty‖ ≤ C‖x− y‖).
Preuve. Exercice.
Lemme 2. Si Y est un espace de Banach, alors il en est de meme pour (L(X, Y ), ‖ · ‖op).
Preuve. Soit {Tn} une suite de Cauchy de L(X, Y ). Si x ∈ X, alors {Tnx} est une suitede Cauchy de Y car ‖Tnx − Tmx‖ ≤ ‖Tn − Tm‖op‖x‖. On definit T : X → Y par Tx :=limn→∞ Tnx. Il est facile de verifier (exercice) que T est lineaire. Montrons maintenant queT est borne. Par hypothese, il existe N ∈ N tel que si n,m > N alors ‖Tn − Tm‖op < ε,d’ou |‖Tn‖op − ‖Tm‖op| < ε. La suite numerique {‖Tn‖op} est donc de Cauchy. Elle est enparticulier bornee, c’est-a-dire il existe C > 0 tel que ‖Tn‖op ≤ C pour tout n. On en deduitque ‖Tnx‖ ≤ C‖x‖. Par passage a la limite, on a donc ‖Tx‖ ≤ C‖x‖ pour tout x ∈ X. Resteencore a montrer que {Tn} converge vers T pour la norme d’operateur. Soit ε > 0. Pour toutx ∈ X et n,m ≥ N on a ‖Tnx− Tmx‖ ≤ ‖Tn − Tm‖op‖x‖ ≤ ε‖x‖. Fixons n ≥ N et faisonstendre m vers l’infini. On obtient ‖Tnx− Tx‖ ≤ ε‖x‖, d’ou ‖Tn − T‖op < ε pour n > N , cequi nous assure de la convergence cherchee.
Nous remarquons aussi que la composee S ◦ T de deux operateurs lineaires bornes S etT est un operateur lineaire borne.
Le theoreme suivant est un des resultats fondamentaux de la theorie des operateurlineaires sur les espaces de Banach.
Theoreme 1 (Theoreme de l’application ouverte). Soient X et Y deux espaces de Ba-nach et soit T : X → Y un operateur lineaire borne. Si T est surjectif, alors T est uneapplication ouverte, c’est-a-dire T (U) est un ouvert de Y pour tout ouvert U de X.
Preuve. Voir p.ex. [Br83], theoreme II.5.
Du theoreme 1 et du fait que l’inverse d’une application lineaire est lineaire, on deduitimmediatement le corollaire suivant.
Corollaire 1. Soient X et Y deux espaces de Banach et soit T : X → Y un operateurlineaire borne. Si T est bijectif, alors l’inverse T−1 de T est aussi borne.
2. Dual topologique d’un espace vectoriel norme
Soit X un espace vectoriel norme sur K, ou K = R ou C. Dans ce paragraphe, on etudieles formes lineaires sur X, c’est-a-dire les applications lineaires definies sur X a valeurs dansK.
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Si X est un espace vectoriel sur C, alors il est aussi un espace vectoriel sur R. Donc onpeut considerer soit les formes lineaires complexes X → C, soit les formes lineaires reellesX → R. La relation entre ces deux types de formes lineaires est donnee par le lemme suivant.
Lemme 3. Soit X un espace vectoriel sur C. Si f : X → C est une forme lineairecomplexe, alors u := Re f : X → R est une forme lineaire reelle telle que f(x) = u(x)−iu(ix)pour tout x ∈ X. Reciproquement, si u : X → R est une forme lineaire reelle, alors f : X →C defini par f(x) := u(x)− iu(ix) est une forme lineaire complexe.
Preuve. Exercice
Definition 1. L’espace L(X,K) des applications lineaires continues de X dans K s’ap-pelle l’espace dual topologique de X, note X ′.
On remarque que, si l’espace X est de dimension finie, alors son dual topologique coıncideavec le dual (algebrique) puisque dans ce cas toute forme lineaire est continue.
Pour f ∈ X ′ et x ∈ X on notera generalement 〈f, x〉 au lieu de f(x) (on dit que 〈·, ·〉 estle produit scalaire dans la dualite de X et X ′).
D’apres le lemme 2, le dual topologique X ′ de X muni de la norme d’operateurs est unespace de Banach. On parlera dans ce cas de norme duale sur X ′ ; elle sera notee ‖ · ‖′. Enoutre, X ′ muni de cette norme sera dit le dual fort de X. Explicitement, la norme duale def ∈ X ′ est donnee, d’apres (1), par
‖f‖′ = sup{|〈f, x〉| : ‖x‖ ≤ 1}.On remarque que sup{|〈f, x〉| : ‖x‖ ≤ 1} == sup{〈f, x〉 : ‖x‖ ≤ 1} si K = R.
Pour completer la relation entre formes lineaires reelles et complexes du lemme 3, ona le lemme suivant. On rappelle que la fonction “sgn” est definie pour y ∈ C \ {0} parsgn(y) := y/|y|.
Lemme 4. Soit X un espace vectoriel norme sur C, et soient f et u comme dans lelemme 3. Alors ‖f‖′ = ‖u‖′.
Preuve. L’inegalite |〈u, x〉| = |〈Re f, x〉| ≤ |〈f, x〉| entraıne que ‖u‖′ ≤ ‖f‖′. Reciproquement,
soit x ∈ X tel que 〈f, x〉 6= 0. On pose α := sgn 〈f, x〉. Alors |〈f, x〉| = α〈f, x〉 = 〈f, αx〉 =〈u, αx〉 (la derniere egalite etant due au fait que 〈f, αx〉 = |〈f, x〉| ∈ R). Donc |〈f, x〉| ≤‖u‖′‖x‖, ce qui entraıne que ‖f‖′ ≤ ‖u‖′.
La propriete suivante, que nous enoncons sans demonstration, est une consequence dutheoreme de Hahn-Banach sur le prolongement des formes lineaires definies sur des sous-espaces vectoriels d’un espace norme.
Proposition 1. Soit X un espace vectoriel norme et soit 0 6= x ∈ X. Alors existe uneforme lineaire f ∈ X ′ telle que ‖f‖′ = 1 et 〈f, x〉 = ‖x‖.
Preuve. Voir p.ex. [Fo99], Theorem 5.8 (b).
Corollaire 2. Les elements de X ′ separent les points de X.
Preuve. Si x 6= y, d’apres la proposition 1 il existe f ∈ X ′ tel que f 6= 0 et 〈f, x − y〉 =‖x− y‖ 6= 0. Donc 〈f, x〉 6= 〈f, y〉.
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Corollaire 3. Pour tout x ∈ X on a
‖x‖ = sup{|〈f, x〉| : f ∈ X ′, ‖f‖′ ≤ 1} .
Preuve. La proposition 1 montre qu’il existe f ∈ X ′ telle que ‖f‖′ = 1 et 〈f, x〉 = ‖x‖.D’autre part on a, pour tout f ∈ X ′ verifiant ‖f‖′ ≤ 1, que |〈f, x〉| ≤ ‖f‖′‖x‖ ≤ ‖x‖.
Le corollaire 3 nous permets de donner une autre description de la norme d’operateurs.
Corollaire 4. Soient X et Y deux espaces de Banach et soit T ∈ L(X, Y ). Alors
‖T‖op = sup{|〈f, Tx〉| : f ∈ Y ′, ‖f‖′ ≤ 1, x ∈ X, ‖x‖ ≤ 1} .
Preuve. En appliquant le corollaire 3 a Y on obtient
‖Tx‖ = sup{|〈f, Tx〉| : f ∈ Y ′, ‖f‖′ ≤ 1} ,
d’ou le resultat cherche car ‖T‖op = sup{‖Tx‖ : ‖x‖ ≤ 1} .
2.1. Dual topologique d’un espace de Hilbert. On supposera dans ce paragrapheque K = C. Des proprietes analogues sont valables pour le cas d’espaces de Hilbert sur R.Soit H un espace de Hilbert sur C. Pour tout y ∈ H on definit fy : H → C par fy(x) = 〈x, y〉.
Lemme 5. fy ∈ H ′ avec ‖fy‖ = ‖y‖.
Preuve. Ceci resulte de l’inegalite de Schwarz : |〈x, y〉| ≤ ‖x‖‖y‖ pour tout x, y ∈ H.
On rappelle que, si X et Y sont deux espaces vectoriels complexes, une applicationj : X → Y est dite antilineaire si, pour tous x, y ∈ X et tout λ ∈ C on a j(x+y) = j(x)+j(y)et j(λx) = λj(x). Une application (anti)lineaire T : X → Y est une isometrie si ‖Tx‖ = ‖x‖pour tout x ∈ X.
Theoreme 2 (Riesz-Frechet). L’application j : y 7→ fy est une isometrie antilineaire deH sur son dual topologique H ′.
Preuve. D’apres le lemme 5, il reste seulement de montrer que j est surjective. Tout d’abordj(0) = 0. Soit maintenant f ∈ H ′ une forme lineaire continue non nulle. L’hyperplan vectorielM d’equation 〈f, x〉 = 0 est ferme (M = f−1({0}) ⊂ X). La theorie de la projection sur unhyperplan ferme d’un espace de Hilbert montre qu’il existe un vecteur unitaire u orthogonala cet hyperplan et que de plus H = M ⊕ Cu. Tout vecteur x ∈ H s’ecrit alors de maniereunique x = 〈x, u〉u+ x′ avec x′ ∈M . Il en resulte que
〈f, x〉 = 〈x, u〉〈f, u〉+ 〈f, x′〉
= 〈x, 〈f, u〉u〉= f〈f,u〉u(x) ,
puisque 〈f, x′〉 = 0. Ainsi f = j(〈f, u〉u).
Corollaire 5. Soient H1 et H2 deux espaces de Hilbert et soit T ∈ L(H1, H2). Alors
‖T‖op = sup{|〈Tx, y〉| : x ∈ H1, ‖x‖ ≤ 1, y ∈ H2, ‖y‖ ≤ 1} .
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Preuve. D’apres le corollaire 4 et le theoreme 2, on a :
‖T‖op = sup{|〈fy, Tx〉| : y ∈ H2, ‖y‖ ≤ 1, x ∈ H1, ‖x‖ ≤ 1}= sup{|〈Tx, y〉| : y ∈ H2, ‖y‖ ≤ 1, x ∈ H1, ‖x‖ ≤ 1} .
2.2. Espace bidual. Soit X un espace de Banach et soit X ′ son dual topologique munide la norme duale ‖ · ‖′. On definit l’espace bidual X ′′ de X comme etant l’espace dual deX ′. Aussi X ′′ est muni de la norme duale, que l’on note ‖ · ‖′′ : donc
‖ξ‖′′ := sup{|〈ξ, f〉| : f ∈ X ′, ‖f‖′ ≤ 1} .
Il existe une application lineaire canonique J : X → X ′′ associant a x ∈ X la formelineaire Jx : X ′ → K definie par 〈Jx, f〉 := 〈f, x〉 pour toute forme lineaire f ∈ X ′. Cettedefinition entraıne que pour tout f ∈ X ′ on a |〈Jx, f〉| ≤ ‖f‖‖x‖, d’ou Jx ∈ X ′′ avec‖Jx‖′′ ≤ ‖x‖.
Lemme 6. L’application lineaire J : X → X ′′ est une isometrie de X sur un sous-espacede X ′′.
Preuve. On a pour tout x ∈ X :
‖Jx‖′′ = sup{|〈Jx, f〉| : f ∈ X ′, ‖f‖′ ≤ 1}= sup{|〈f, x〉| : f ∈ X ′, ‖f‖′ ≤ 1}
(corollaire 3) = ‖x‖ .
En general, l’application J n’est pas surjective.
Definition 2. Soit X un espace de Banach et soit J : X → X ′′ l’isometrie du lemme 6.On dit que X est reflexif si J est surjective.
Exemple 5 (Le dual de Lp). Soit (X,M, µ) un espace mesure et pour 1 ≤ p ≤ ∞ onconsidere l’espace Lp(X) = Lp(X,M, µ). On rappelle que deux exposants 1 ≤ p, q ≤ ∞ sontdits conjugues si 1/p+1/q = 1. L’inegalite de Holder montre que si p et q sont deux exposantsconjugues et si f ∈ Lp et g ∈ Lq, alors fg ∈ L1 et ‖fg‖1 ≤ ‖f‖p‖g‖q. Par consequent, toutelement g ∈ Lq definit un operateur lineaire borne φg sur Lp par
φg(f) :=
∫X
f(x)g(x) dµ(x) .
En outre, ‖φg‖op ≤ ‖g‖q. On peut montrer que pour 1 ≤ q < ∞ on a ‖φg‖op = ‖g‖q et quecette egalite est vraie aussi pour g =∞ lorsque la mesure µ est semi-finie (c’est-a-dire, pourtout E ∈ M avec µ(E) = ∞, il existe F ∈ M tel que F ⊂ E et 0 < µ(F ) < ∞). On peutaussi montrer que, si 1 < p < ∞, alors tout operateur lineaire borne sur Lp est de la formeφg pour une certaine fonction g ∈ Lq. Donc, pour 1 < p < ∞, l’espace dual de Lp est Lq.On en deduit aussi que pour 1 < p < ∞ l’espace Lp est reflexive. Pour les demonstrationsde ces resultats, nous referons le lecteur a [Fo99], §6.2.
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3. Topologies faibles
Soit X un ensemble et soit {Xα}(α∈A) une famille d’espaces topologiques. Pour chaque α ∈ Aon considere une application fα : X → Xα. La topologie faible induite par la famille {fα}est la topologie T la moins fine (c’est-a-dire avec le minimum d’ouverts) qui rende continuetoutes les applications fα ; elle est la topologie dont les elements d’une base d’ouverts sontles intersections finies d’ensembles de la forme f−1
α (Uα) ou α ∈ A et Uα est un ouvert de Xα.
Remarque 1. Si X est muni de la topologie discrete (dans laquelle tout sous-ensemblede X est ouvert), alors chaque fα est continue. C’est donc possible de chercher la topologiela plus faible induite par {fα}. Dans une topologie sur X pour laquelle fα est continue, pourtout ouvert Uα de Xα, l’ensemble f−1
α (Uα) doit necessairement etre ouvert dans X.La motivation pour chercher des topologies faibles est la suivante : si une topologie
possede moins d’ouverts, elle possede plus d’ensembles compacts.
3.1. La topologie faible σ(X,X ′). Soit X un espace vectoriel norme. La topologiefaible σ(X,X ′) sur X est la topologie faible induite par X ′ (on pose donc ci-dessus Xα = Kpour tout α ∈ A := X ′, et fα = α).
Remarque 2. La topologie sur X qui correspond a sa norme est aussi appelee la topologieforte de X. Comme tout f ∈ X ′ est une fonction continue sur X pour la topologie forte,tout ensemble f−1(U) avec U ouvert de K est un ouvert de X. Donc tout ouvert de X pourla topologie faible σ(X,X ′) est aussi ouvert de X pour la topologie forte.
Lemme 7. Une base de voisinages de x0 ∈ X pour la topologie faible σ(X,X ′) consisteen tous les ensembles de la forme
V (x0; f1, . . . , fn; ε) := {x ∈ X : |〈fj, x− x0〉| < ε pour tout j = 1, . . . , n}ou n ∈ N, fj ∈ X ′ et ε > 0.
Preuve. Exercice.
Remarque 3. On peut montrer que la topologie faible σ(X,X ′) est separee. Toute suiteconvergente par rapport a cette topologie a donc une limite unique.
Exercice 2. Montrer que la topologie faible σ(X,X ′) est separee.
On ecrit “xn → x faiblement” si la suite {xn} converge vers x pour la topologie faibleσ(X,X ′), et on ecrit “xn → x fortement” si ‖xn − x‖ → 0.
Lemme 8. (a) xn → x faiblement si et seulement si 〈f, xn〉 → 〈f, x〉 pour toutf ∈ X ′.
(b) Si xn → x fortement, alors xn → x faiblement.
Preuve. (a) resulte de la definition de topologie faible σ(X,X ′) et (b) resulte de (a) et del’inegalite |〈f, xn〉 − 〈f, x〉| ≤ ‖f‖‖xn − x‖.
Exercice 3. Montrer que la convergence faible n’implique pas la convergence forte.[Indication : On pourra considerer une suite orthonormee dans un espace de Hilbert dedimension infinie puis montrer qu’elle converge faiblement vers 0, mais pas fortement (enfait, que l’on ne peut en extraire aucune sous-suite fortement convergente).]
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3.2. Topologie faible-*.
Definition 3. Soit X un espace vectoriel norme. La topologie faible-*, designee aussipar topologie faible σ(X ′, X), est la topologie sur X ′ induite par la famille des applicationsJx pour x ∈ X.
Lemme 9. Une base de voisinages de f0 ∈ X ′ pour la topologie faible-* consiste en tousles ensembles de la forme
V (f0;x1, . . . , xn; ε) := {f ∈ X ′ : |〈f − f0, xj〉| < ε pour tout j = 1, . . . , n}ou n ∈ N, xj ∈ X et ε > 0.
Preuve. Exercice.
Lemme 10. La topologie faible-* est separee.
Preuve. Soient f, g ∈ X ′ avec f 6= g. Il existe alors x ∈ X tel que 〈f, x〉 6= 〈g, x〉. Donc|〈f − g, x〉| = 2α > 0 et les voisinages V (f ;x;α) de f et V (g;x;α) de g sont disjoints. Eneffet, si h ∈ V (f ;x;α) ∩ V (g;x;α), alors 2α = |〈f − g, x〉| ≤ |〈h− g, x〉|+ |〈h− f, x〉| < 2α.
On note fn∗→ f la convergence de la suite fn vers f dans X ′ pour la topologie faible-
*. On ecrit “fn → f faiblement” si la suite {fn} converge vers f pour la topologie faibleσ(X ′, X ′′), et on ecrit “fn → f fortement” si ‖fn − f‖′ → 0.
Lemme 11. (a) fn∗→ f si et seulement si 〈fn, x〉 → 〈f, x〉 pour tout x ∈ X.
(b) Si fn → f fortement, alors fn ⇀ f faiblement.
(c) Si fn ⇀ f faiblement, alors fn∗→ f .
Preuve. Exercice.
Theoreme 3 (Banach-Alaoglu). La boule unite fermee BX′ = {f ∈ X ′ : ‖f‖′ ≤ 1} estcompacte pour la topologie faible-*.
Preuve. On supposera dans cette preuve que K = C. Pour x ∈ X soit Dx := {z ∈ C :|z| ≤ ‖x‖} et soit D :=
∏x∈X Dx muni de la topologie produit. Puisque chaque Dx est un
ferme borne de C, donc compact, et puisque le produit de compacts est compact (theoremede Tychonov), l’espace D est compact. Les elements de D peuvent etre identifies avec lesfonctions ϕ : X → C telles que |ϕ(x)| ≤ ‖x‖ pour tout x ∈ X, et BX′ consiste en les elementsde D qui sont lineaires. Les topologies de BX′ induites respectivement par la topologie faible-* de X ′ et par la topologie produit de D coıncident d’apres le lemme 11,(a). Donc il suffitde montrer que BX′ est ferme dans D. Pour x ∈ X soit px : D → C la projection canoniquesur le facteur Dx suivie par l’inclusion de Dx dans C. Elle est continue d’apres la definitionde topologie produit. Pour tout x, y ∈ X et λ ∈ C, les applications ρx,y := px+y − px − py etρλ,x := pλx − λpx sont donc continues. On en deduit que
BX′ =(∩x,y∈Xρ−1
x,y(0))∩(∩x∈X,λ∈Cρ
−1x,λ(0)
)est ferme.
Remarque 4. La topologie faible sur X ′ coincide avec la topologie faible-* sur X ′ si etseulement si X est reflexif.
15
CHAPITRE 2
Operateurs compacts
Dans ce chapitre, X et Y sont des espaces de Banach. On note BX := {x ∈ X : ‖x‖ < 1}la boule unitaire ouverte de X.
Definition 4. Un operateur lineaire T : X → Y est dit compact si T (BX) est relati-
vement compact dans Y (c’est-a-dire l’adherence T (BX) de T (BX) est compacte). On noteK(X, Y ) l’ensemble des operateurs compacts de X dans Y .
Remarque 5. (1) Si T est un operateur compact alors T est borne car la norme de
Y est bornee sur le compact T (BX). Donc T ∈ L(X, Y ).
(2) Un operateur lineaire T est compact si et seulement si pour toute suite bornee{xn}n∈N de X, la suite des images {Txn}n∈N admet une sous-suite convergente.
(3) On rappelle qu’un ensemble A ⊂ Y est dit precompact si, pour tout ε > 0, on peutrecouvrir A par un nombre fini de boules ouvertes de rayon ε. Si Y est complet, laprecompacite de A implique la compacite de A (voir p.ex. [ST67], Theorem 1, p.40). Donc T ∈ L(X, Y ) est compact si et seulement si T (BX) est precompact.
On rappelle que si X et Y sont deux espaces topologiques et f : X → Y est uneapplication continue, alors f(A) ⊂ f(A) pour tout partie A de X. L’adherence A de A estle plus petit ferme qui contient A. Si donc A ⊂ B et B est ferme, alors A ⊂ B. Toute partiefermee d’un espace compact est compacte et, reciproquement, toute partie compacte d’unespace topologique separe est fermee. En outre, l’image continue d’un compact est compact.
Lemme 12. Si T : X → Y et S : Y → Z sont des applications lineaires bornees entreespaces de Banach et si S ou T est compact, alors la composee ST est un operateur compact.
Preuve. Supposons que T est compact. Alors S(T (BX)) est compact, donc ferme, et contient
(ST )(BX), d’ou (ST )(BX) ⊂ S(T (BX)). D’autre part, S(T (BX)) ⊂ (ST )(BX), d’ou (ST )(BX) =
S(T (BX)) est compact. Supposons maintenant que S est compact. Comme T est borne, il
existe R > 0 tel que T (BX) ⊂ RBY . Donc (S ◦ T )(BX) ⊂ RS(BY ) est compact.
Lemme 13 (Theoreme de Riesz). Pour un espace vectoriel norme X, les quatre proposi-tions suivantes sont equivalentes :
(a) X est de dimension finie.
(b) La boule unite fermee de X est compacte.
(c) Toute partie bornee de X est relativement compacte.
(d) X est localement compact (c’est-a-dire 0 admet un voisinage dont l’adherence estcompacte).
17
Preuve.Puisque BX est un voisinage de 0 et une partie de X est bornee si et seulement si elle
est contenue dans une boule rBX = {x ∈ X : ‖x‖ ≤ r}, les conditions (b), (c) et (d) sontequivalentes.
Si X est de dimension finie, d’apres le theoreme de Bolzano-Weierstrass, tout ferme borneest compact. Donc (a) entraıne (b).
Pour la reciproque, supposons que la boule unite fermee DX := BX = {x ∈ X :‖x‖ ≤ 1} de X est compacte. On pose B(x, r) := {y ∈ X : ‖x − y‖ < r}. CommeDX ⊂ ∪x∈DX
B(x, 1/2), il existe un recouvrement fini : DX ⊂ ∪nj=1B(xj, 1/2). Soit alorsV := V ect(x1, · · · , xn) et montrons que DX est inclus dans V . Pour x ∈ DX , il existe j ∈{1, . . . , n} tel que x ∈ B(xj, 1/2), d’ou x−xj ∈ B(0, 1/2) = 1/2BX . Donc DX ⊂ V +1/2BX .
Montrons maintenant que 1/2BX ⊂ V + 1/4BX . Si x ∈ 1/2BX , alors 2x ∈ BX ⊂ DX ,d’ou 2x = v + y ou v ∈ V et y ∈ 1/2BX . Alors x = v/2 + y/2 ∈ V + 1/4BX .
Par recurrence sur n, on a alors DX ⊂ V + 1/2nBX pour tout n ∈ N. Soit alors x ∈ DX .Pour tout n ∈ N, il existe xn ∈ V tel que x − xn ∈ 1/2nBX . Donc limn→∞ xn = x, etDX ⊂ V . Mais V est un espace vectoriel de dimension finie, donc est ferme. Alors BX ⊂ V ,donc X ⊂ V , ce qui prouve que X est de dimension finie.
Corollaire 6. L’application identite I sur un espace de Banach X est un operateurcompact si et seulement si X est de dimension finie.
Definition 5. Un operateur lineaire T : X → Y est de rang fini si la dimension de sonimage R(T ) est finie.
Corollaire 7. Un operateur lineaire de rang fini est un operateur compact.
Lemme 14. K(X, Y ) est un sous-espace vectoriel ferme de L(X, Y ).
Preuve. Il est clair que les combinaisons lineaires finies d’operateurs compacts sont compacts.Supposons donc que {Tn} ∈ K(X, Y ) est une suite d’operateurs compacts, T ∈ L(X, Y ) et‖Tn − T‖op → 0. Comme Y est un espace complet, pour montrer que T ∈ K(X, Y ), ilsuffit de montrer que, pour tout ε > 0, T (BX) peut etre recouvert par un nombre finide boules B(yj, ε) dans Y . Soit n ∈ N fixe tel que ‖Tn − T‖op ≤ ε/2. Comme Tn(BX) estrelativement compact, on peut determiner y1, . . . , ym ∈ Y tels que Tn(BX) ⊂ ∪mj=1B(yj, ε/2).Donc T (BX) ⊂ ∪mj=1B(yj, ε).
Corollaire 8. Soit {Tn} une suite d’operateurs lineaires de rang fini de X dans Y . SiT ∈ L(X, Y ) et ‖Tn − T‖op → 0, alors T ∈ K(X, Y ).
Le “probleme d’approximation” de Banach concerne la reciproque du corollaire 8, c’est-a-dire si tout operateur lineaire compact est la limite dans la norme d’operateurs d’une suited’operateurs lineaires de rang fini. En general, la reponse est negative ; la reponse est toutefoispositive sous des hypotheses additionnelles, par exemple si Y est un espace de Hilbert.
Theoreme 4. Si Y est un espace de Hilbert alors tout operateur compact T : X → Yest limite dans L(X, Y ) d’une suite d’operateurs de rang fini. (Autrement dit, les operateursde rangs finis forment un sous-espace dense de K(X, Y ))
18
Preuve. Soit T est un operateur compact. Puisque l’adherence de T (BX) est compacte, pourtout ε > 0 il existe un ensemble fini {y1, · · · , yn} dans Y tel que pour tout x ∈ BX il existej(x) tel que ‖Tx − yj(x)‖ ≤ ε. On considere alors la projection Pε sur le sous-espace dedimension finie Yε engendre par les yj. L’operateur Tε := Pε ◦ T est alors de rang fini et‖T − Tε‖op ≤ ε. En effet, si x ∈ BX , alors la projection Tεx = Pε(Tx) de Tx est l’elementde Yε de distance minimale avec Tx. Donc
‖Tx− Tεx‖ ≤ ‖Tx− yj(x)‖ ≤ ε .
Par continuite, ‖Tx− Tεx‖ ≤ ε pour tout x ∈ X avec ‖x‖ ≤ 1. Ainsi ‖Tε − T‖op ≤ ε.
1. Operateurs de Hilbert-Schmidt
Les operateurs de Hilbert-Schmidt forment une classe remarquable d’operateurs compactssur des espaces de Hilbert.
Dans toute cette section H, H1 et H2 designant des espaces de Hilbert sur C. On suppo-sera que tout espace de Hilbert est separable (d’ou, dans le cas de dimension infinie, toutebase est denombrable).
On rappelle la definition d’adjoint d’un operateur lineaire borne. Soit T ∈ L(H1, H2).Alors il existe un et un seul operateur lineaire borne T ∗ ∈ L(H2, H1) verifiant pour toutx ∈ H1, y ∈ H2 :
〈Tx, y〉 = 〈x, T ∗y〉 .L’operateur T ∗ est appele operateur adjoint de T , et l’on a ‖T‖op = ‖T ∗‖op. En effet, d’apresle corollaire 5 on a :
‖T‖op = sup{|〈Tx, y〉| : ‖x‖ ≤ 1, ‖y‖ ≤ 1}= sup{|〈x, T ∗y〉| : ‖x‖ ≤ 1, ‖y‖ ≤ 1}= ‖T ∗‖op .
En outre, si S, T ∈ L(H1, H2), alors (ST )∗ = T ∗S∗.
Definition 6. Soit T ∈ L(H1, H2). On dit que T est un operateur de Hilbert-Schmidts’il existe une base hilbertienne {en}∞n=1 de H1 telle que
∞∑n=1
‖Ten‖2 ≤ ∞ .
On note LHS(H1, H2) l’ensemble des operateurs de Hilbert-Schmidt de H1 dans H2.
Remarque 6. On remarque que la condition pour T ∈ L(H1, H2) d’etre un operateurde Hilbert-Schmidt revient au fait qu’il existe une base hilbertienne {en} telle que la suitenumerique {‖Ten‖} est dans l’espace de Hilbert `2(N).
Lemme 15. (a) Si T ∈ L(H1, H2) alors pour toutes bases hilbertiennes {en} de H1
et {fn} de H2, on a :∑n
‖Ten‖2 =∑n
∑m
|〈Ten, fm〉|2 =∑m
‖T ∗fm‖2 (2)
(b) Si T ∈ L(H1, H2) est de Hilbert-Schmidt, il en est de meme pour T ∗.
(c) La serie∑∞
n=1 ‖Ten‖2 converge pour toute base hilbertienne {en} de H1.
19
Preuve. L’egalite (2) est une consequence de l’egalite de Bessel et du fait qu’on peut ren-verser l’ordre des sommations car les sommants sont positifs ou nuls. (b) et (c) suiventimmediatement de (a).
D’apres le lemme 15, l’expression∑∞
n=1 ‖Ten‖2 ne depend pas du choix de la base etdepend uniquement de T . On pose
‖T‖HS :=
[∞∑n=1
‖Ten‖2]1/2
. (3)
On pose aussi
〈S, T 〉HS :=∞∑n=1
〈Sen, T en〉 . (4)
On a
|〈Ten, Sen〉| ≤ ‖Ten‖‖Sen‖ ≤‖Ten‖2 + ‖Sen‖2
2.
Par consequent, la suite {〈Ten, Sen〉} est bien sommable pour S, T ∈ LHS(H1, H2).
Exercice 4. Monter que, pour tout S, T ∈ LHS(H1, H2), le nombre 〈S, T 〉HS est independantdu choix de la base hilbertienne {en}.
Le lemme suivant montre notamment que LHS(H1, H2) est un sous-espace vectoriel deL(H1, H2).
Lemme 16. Avec la convention 0 · ∞ = 0, nous avons les proprietes suivantes pour toutS, T ∈ L(H1, H2) et tout λ ∈ C :
(a) ‖T + S‖HS ≤ ‖T‖HS + ‖S‖HS,
(b) ‖λT‖HS = |λ|‖T‖HS.
(c) ‖ST‖HS ≤ ‖S‖op‖T‖HS et ‖TS‖HS ≤ ‖T‖HS‖S‖op.
(d) ‖T‖op ≤ ‖T‖HS.
Preuve. Dans toutes les relations, si ‖T‖HS = +∞ (ou ‖S‖HS = +∞ dans la premiere),alors les relations sont clairement satisfaites. On suppose donc que nos operateurs sont tousd’image finie par ‖ · ‖HS.
D’apres la remarque 6, l’inegalite dans (a) correspond a l’inegalite de Minkowski pour`2(N).
L’egalite (b) est clairement vraie.Pour la base hilbertienne {en} de H1 on a∑
n
‖STen‖2 =∑n
‖S(Ten)‖2 ≤ ‖S‖2op
∑n
‖Ten‖2 ,
ce qui preuve la premiere inegalite de (c). Pour la deuxieme, on remarque que d’apres lelemme 15 on a
‖TS‖HS = ‖(TS)∗‖HS = ‖S∗T ∗‖HS ≤ ‖S∗‖op‖T ∗‖HS = ‖S‖op‖T‖HS .
20
Il nous reste a prouver la derniere inegalite. Soit x ∈ H1 avec ‖x‖ = 1. On considere unebase hilbertienne {en} pour H1 telle que e0 = x. Alors on a
‖Tx‖2 = ‖Te0‖2 ≤∑n
‖Ten‖2 = ‖T‖2HS.
Donc ‖T‖op = sup{‖Tx‖ : ‖x‖ = 1} ≤ ‖T‖HS.
Theoreme 5. (LHS(H1, H2), 〈·, ·〉HS) est un espace de Hilbert.
Preuve. D’apres le lemme 16, LHS(H1, H2) est un espace vectoriel sur C, sous-espace vectorielde L(H1, H2). Nous laissons au lecteur le soin de verifier que 〈·, ·〉HS est un produit scalairesur LHS(H1, H2). Supposons que {Tn} est une suite de Cauchy de LHS(H1, H2). D’apreslemme 16, (d), elle est aussi une suite de Cauchy de L(H1, H2), donc convergente : il existeT ∈ L(H1, H2) tel que ‖Tn − T‖op → 0. Soit {ej} une base hilbertienne de H1. Pour ε > 0il existe N ∈ N tel que ‖Tn − Tm‖HS < ε pour tout n,m ≥ N . Pour tout k ∈ N on a (pourn ≥ N fixe)
k∑j=1
‖(T − Tn)ej‖2 =k∑j=1
limm→∞
‖(Tm − Tn)ej‖2
= limm→∞
k∑j=1
‖(Tm − Tn)ej‖2
≤ ε2 ,
d’ou ‖T − Tn‖HS ≤ ε. Ceci montre que T ∈ LHS(H1, H2) et ‖T − Tn‖HS → 0.
Theoreme 6. (1) Tout operateur de rang fini est de Hilbert-Schmidt.
(2) T ∈ L(H1, H2) est de Hilbert-Schmidt si et seulement s’il existe une suite {Tn}d’operateurs de rangs finis telle que ‖Tn − T‖HS tend vers 0 quand n tend versl’infini. (Autrement dit, les operateurs de rangs finis forment un sous-espace densede LHS(H1, H2)).
Preuve. Si T est de rang fini alors on peut trouver une base hilbertienne {en} telle que{e1, · · · , ek} soit une base de ker(T )⊥ et {ek+1, · · · } soit une base de ker(T ). Dans cette baseon peut alors ecrire
‖T‖2HS =k∑
n=1
‖Ten‖2 < +∞.
Ainsi tout operateur de rang fini est de Hilbert-Schmidt.Soit maintenant T un operateur de Hilbert-Schmidt et soit {en} une base hilbertienne
de H1. Pour tout N ∈ N on definit l’operateur lineaire TN de rang fini par
TNen :=
{Ten si n ≤ N
0 sinon.
En calculant l’expression ‖TN − T‖HS dans la base {en}, on obtient
‖T − TN‖2HS =∑n>N
‖Ten‖2,
21
qui tend vers 0 lorsque N tend vers l’infini comme reste d’une serie convergente.
Corollaire 9. Tout operateur de Hilbert-Schmidt est un operateur compact. De plus,LHS(H1, H2) est dense dans K(H1, H2) pour la norme d’operateurs.
Preuve. C’est une consequence immediate du theoreme 6, du corollaire 8. et du theoreme 4.
1.1. Operateurs a noyau. Dans ce paragraphe nous donnons un exemple explicite etimportant d’operateurs de Hilbert-Schmidt. Soient I, J deux intervalles de R et soit K :I × J → C une fonction mesurable. Pour une fonction mesurable f : J → C on poseformellement
(TKf)(x) :=
∫J
K(x, y)f(y) dy, (5)
lorsque cela a un sens.
Proposition 2. Si K ∈ L2(I × J), alors K(x, ·) ∈ L2(J) pour presque tout x et, pourtout f ∈ L2(J), la fonction TKf est bien definie presque partout et est un element de L2(I).De plus, TK ∈ LHS
(L2(J), L2(I)
)et l’application K 7→ TK est une isometrie de L2(I × J)
sur LHS
(L2(J), L2(I)
).
Preuve. On remarque d’abord que pour tout g ∈ L2(I) on a
〈TKf, g〉 = 〈K, g ⊗ f〉 (6)
ou (g ⊗ f)(x, y) := g(x)f(y). Donc, si K = K ′ presque partout, alors TK = TK′ , d’ou ladefinition (5) n’est pas ambigue.
On a∫I
[∫J|K(x, y)|2 dy
]dx < ∞, d’ou
∫J|K(x, y)|2 dy < ∞ pour presque tout x.
D’apres l’inegalite de Schwarz, on a donc∣∣∣∣∫J
K(x, y)f(y) dy
∣∣∣∣ ≤ ‖K(x, ·)‖2‖f‖2
et
‖TKf‖22 =
∫I
|(TKf)(x)|2 dx
=
∫I
∣∣∣∣∫J
K(x, y)f(y) dy
∣∣∣∣2 dx≤ ‖f‖22
∫I
‖K(x, ·)‖22 dx
= ‖f‖22‖K‖22 .Ceci montre que lorsque f ∈ L2(J), la fonction TKf est bien definie presque partout etqu’elle est de carre integrable. TK est clairement une operateur lineaire, et le calcul ci-dessusmontre qu’il est borne et que ‖TK‖op ≤ ‖K‖2.
On rappelle que si I est un intervalle reel, alors L2(I) est un espace de Hilbert separable.Soient {en} et {fm} des bases hilbertiennes de L2(I) et L2(J) respectivement. En calculant‖TK‖HS, on obtient :
‖TK‖2HS =∑n
∑m
|〈TKen, fm〉|2.
22
D’apres (6) on a :〈TKen, fm〉 = 〈K, en,m〉 (7)
ou en,m := fm ⊗ en.On prouve maintenant que {en,m} est une base hilbertienne de L2(I × J). Pour montrer
qu’il s’agit d’un systeme orthonorme, on calcule
〈en,m, ep,q〉 =
∫I×J
fm(y)en(x)fq(y)ep(x) dx dy
= 〈fm, fq〉〈ep, en〉= δm,qδp,n.
Le systeme est complet, donc une base hilbertienne : en effet, si K ∈ L2(I×J) est orthogonala tout element en,m, alors le calcul ci-dessus montre que l’operateur TK associe a K est nulet donc que pour presque tout x
K(x, ·) =∑n
〈K(x, ·), en〉fn =∑e
TKen(x)en = 0 ,
ce qui entraıne K = 0.Puisque {en,m} est une base hilbertienne de L2(I × J), on deduit de (7) que
‖TK‖2HS =∑n
∑m
|〈TKen, fm〉|2 =∑n,m
|〈K, en,m〉|2 = ‖K‖22 .
Ceci prouve que TK ∈ LHS(H1, H2) et que ‖TK‖HS = ‖K‖2. Donc K 7→ TK est un isometriede L2(I × J) dans LHS(H1, H2).
On montre enfin que cette isometrie est surjective. Soit T ∈ LHS(H1, H2) dans l’orthogo-nal de {TK : K ∈ L2(I × J)}. Si K = en,m, alors, d’apres (5), on a(
Ten,mep)(x) = 〈en,m(x, ·), ep〉 = fm(x)δn,p
et donc0 = 〈T, Ten,m〉HS =
∑p
〈Tep, Ten,mep〉 = 〈Ten, fm〉
Puisque {fm} et {en} sont des bases hilbertiennes, on conclut que T = 0, d’ou K 7→ TK estune isometrie surjective.
23
CHAPITRE 3
Theorie spectrale des operateurs compacts autoadjoints sur unespace de Hilbert
Dans ce chapitre H designe un espace de Hilbert sur K ou K = R ou C.
Definition 7. Soit T ∈ L(H).Le spectre de T est l’ensemble σ(T ) des λ ∈ K tels que T − λI n’est pas bijectif sur H.L’ensemble resolvant de T est le complementaire ρ(T ) du spectre σ(T ).Le spectre ponctuel de T est le sous-ensemble σp(T ) des λ ∈ σ(T ) tels que ker(T − λI) 6=
{0}. Les elements de σp(T ) sont appeles les valeurs propres de T .On note Eλ(T ) := ker(T − λI). La dimension de Eλ(T ) s’appelle la multiplicite de la
valeur propre λ.
Remarque 7. Si λ ∈ ρ(T ), alors (T − λI)−1 ∈ L(H) d’apres le corollaire 1.
Remarque 8. En dimension finie, on a toujours σ(T ) = σp(T ) car une applicationlineaire injective est automatiquement bijective. En revanche, en dimension infinie, l’ensembleσp(T ) peut etre une sous-ensemble propre de σ(T ). Soit par exemple H = `2(N) l’espace deHilbert des suites numeriques de carre sommable et soit T : (x1, x2, . . . ) 7→ (0, x1, x2, . . . )l’operateur de shift. Alors T est injectif mais pas surjectif, d’ou 0 ∈ σ(T ) \ σp(T ).
Le theoreme suivant nous assure que pour les operateurs compacts on a σ(T ) − {0} ⊂σp(T ).
Theoreme 7 (Alternative de Fredholm). Soit T ∈ K(H). Si ker(I − T ) = {0}, alorsI − T est bijectif.
Preuve. Voir p.ex. [Br83], theoreme VI.6, c).
Proposition 3. Soit T ∈ K(H).
(a) Si H est de dimension infinie alors 0 ∈ σ(T ).
(b) Si 0 6= λ ∈ σ(T ), alors λ ∈ σp(T ).
Preuve. Supposons que 0 /∈ σ(T ). Alors T est inversible et son inverse T−1 est borne d’apresle corollaire 1. Donc I = TT−1 est compact grace au lemme 12 . Par consequent, H est dedimension finie d’apres le corollaire 6. Ceci prouve (a). Pour demontrer (b), supposons queλ 6= 0 est dans σ(T ). Alors l’operateur T
λ− I n’est pas inversible. D’apres l’alternative de
Fredholm, cet operateur n’est pas injectif et donc λ ∈ σp(T ).
Proposition 4. Soit T ∈ K(H) et soit 0 6= λ ∈ σ(T ). Alors Eλ(T ) est un sous-espacevectoriel non trivial de H et est de dimension finie.
Preuve. L’operateur T preserve le sous-espace propre Eλ(T ) et sa restriction a ce sous-espaceferme de H coıncide avec l’homothetie λI. D’autre part, la boule unite fermee D de Eλ(T )
25
est un ferme de la boule unite fermee de H. Il s’agit donc d’un ferme borne de H, d’ouT (D) est un compact de H. Or cette image est la boule fermee de rayon |λ| de Eλ(T ). Parconsequent, Eλ(T ) doit etre de dimension finie d’apres le lemme 13.
Definition 8. Soit T ∈ L(H). On dit que T est autoadjoint si T = T ∗, c’est-a-dire si
〈Tx, y〉 = 〈x, Ty〉pour tout x, y ∈ H.
Lemme 17. Soit T ∈ L(H) un operateur autoadjoint.
(a) Les valeurs propres de T sont reels.
(b) Si λ et µ sont des valeurs propres distinctes de T , alors les sous-espaces proprescorrespondants sont orthogonaux.
Preuve. Soit x 6= 0 un vecteur propre de T de valeur propre λ : Tx = λx. Alors
λ〈x, x〉 = 〈λx, x〉 = 〈Tx, u〉 = 〈x, Tx〉 = 〈x, λx〉 = λ〈x, x〉d’ou λ = λ est un reel. Pour (b), soient x et y vecteurs propres de λ et µ respectivement.Alors
λ〈x, y〉 = 〈Tx, y〉 = 〈x, Ty〉 = µ〈x, y〉 .Puisque λ 6= µ, on en deduit que 〈x, y〉 = 0.
Theoreme 8. Soit T ∈ L(H) un operateur autoadjoint compact. Alors, ou bien ‖T‖op,ou bien −‖T‖op est une valeur propre de T .
Preuve. Le theoreme etant trivialement vrai pour T = 0, on supposera dans la suite queT 6= 0.
D’apres le corollaire 5 on a
‖T‖op = sup{|〈Tx, x〉| : ‖x‖ ≤ 1} .Puisque les nombres 〈Tx, x〉 sont reels, on peut supposer, quitte a remplacer T par −T , que
‖T‖op = sup{〈Tx, x〉 : ‖x‖ ≤ 1} .Montrons que dans ce cas λ := ‖T‖op est une valeur propre de T . Soit {xn} une suite dansH telle que limn→∞〈Txn, xn〉 = λ et ‖xn‖ = 1 pour tout n. Puisque A est compact, enextrayant une sous-suite si necessaire, on peut supposer que {Txn} est convergente : soity = limn→∞ Txn. De
‖Txn − λxn‖2 = ‖Txn‖2 − 2λ〈Txn, xn〉+ λ2
on obtientlimn→∞
‖Txn − λxn‖2 = ‖y‖2 − 2λ2 + λ2 = ‖y‖2 − λ2 . (8)
Mais, puisque ‖Txn‖ ≤ ‖T‖op‖xn‖ = λ pour tout n, on a ‖y‖ = limn ‖Txn‖ ≤ λ. Donc,d’apres (8), limn→∞ ‖Txn − λxn‖2 = 0 et ‖y‖ = λ 6= 0. Pour ε > 0 soit N ∈ N tel que pourtout n ≥ N, ‖Txn− y‖ < ε et ‖Txn−λxn‖ < ε. Alors ‖y−λxn‖ < 2ε. Par consequent {xn}est une suite convergente et, si x = limn xn, alors Tx = y = λx. En particulier, x 6= 0 cary 6= 0, donc λ est une valeur propre de T .
26
Theoreme 9 (Theoreme spectral). Soit T un operateur autoadjoint compact.
(a) Les valeurs propres non-nulles de T forment une suite {λn} qui est finie ou qui tendvers 0. En outre, ‖T‖op = |λ1| ≥ |λ2| ≥ . . . est une suite decroissante.
(b) Soit En(T ) le sous-espace propre de valeur propre λn. Alors En(T ) est de dimensionfinie.
(c) Soit Pn l’operateur de projection sur En(T ). Alors
T =N∑n=1
λnPn
si le nombre N des valeurs propres non-nulles de T est fini, et sinon
T =∞∑n=1
λnPn .
(d) H = ker(T )⊕⊕
nEn(T ).
Preuve. D’apres le theoreme 8, T admets une valeur propre λ1 ∈ R telle que |λ1| = ‖T‖op,et d’apres la proposition 4, la multiplicite de chaque valeur propre non-nulle est finie.L’operateur T1 := T − λ1P1 est autoadjoint et compact. En outre ‖T1‖op ≤ ‖T‖op carT1 = T sur l’orthogonal de E1(T ) et T1 = 0 sur E1(T ). En iterant le procede, ou bien on
trouve un naturel N tel que TN = 0, et alors T =∑N
n=1 λnPn, ou bien la suite {λn} estinfinie. On montre que, dans ce cas, la suite converge vers 0. On remarque que la suite {|λn|}est decroissante par construction. Supposons que {λn} ne converge pas vers 0. Alors il existeα > 0 tel que |λn| ≥ α pour tout n. Soit xn ∈ En(T ) tel que ‖xn‖ = 1. Puisque T estcompact, la suite Txn admet une sous-suite convergente, ce qui est impossible car (d’apresl’orthogonalite des sous-espaces propres associes a valeurs propres differentes)
‖Txn − Txm‖2 = ‖λnxn − λmxm‖2 = λ2n + λ2
m ≥ 2α2 .
Par consequent, T =∑N
n=1 λnPn+TN+1 avec ‖TN+1‖op = |λN+1| → 0, d’ou T =∑∞
n=1 λnPn.La decomposition de H est une consequence directe de ce qui precede.
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