Ìàòåìàòèê-2 õè÷ýýëèéí àãóóëãà

1. Åðäèéí äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýë

1.1. Äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýëèéí òóõàé åðºíõèé îéëãîëò

1.2. Õÿëáàð òýãøèòãýë¿¿ä, õóâüñàã÷ íü ÿëãàãäàõ òýãøèòãýë, íýãýí òºðëèéí òýãøèòãýë

1.3. Íýãä¿ãýýð ýðýìáèéí øóãàìàí òýãøèòãýë, Áåðíóëëèéí òýãøèòãýë

1.4. Ðèêêàòûí òýãøèòãýë, á¿òýí äèôôåðåíöèàëò òýãøèòãýë

1.5. Äýýä ýðýìáèéí äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýë, ýðýìáèéã áóóðóóëæ áîäîõ òýãøèòãýë¿¿ä

1.6. Õî¸ðäóãààð ýðýìáèéí íýãýí òºðëèéí øóãàìàí äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýë

1.7. n ýðýìáèéí øóãàìàí äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýë

1.8. Òîãòìîë êîýôôèöèåíòòîé n ýðýìáèéí øóãàìàí äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýë

2. Ìàãàäëàëûí îíîë

2.1. ¯çýãäýë, ìàãàäëàëûí òîäîðõîéëîëò, êîìáèíàòîðèêèéí ýëåìåíò¿¿ä

2.2. ͺõöºëò ìàãàäëàë, ¿çýãäë¿¿äèéí ¿ë õàìààðàõ ÷àíàð, á¿òýí ìàãàäëàëûí òîìú¸î, Áàéåñûí òîìú¸î

2.3. ¯ë õàìààðàõ òóðøèëòûí äàðààëàë

2.4. Ñàíàìñàðã¿é õýìæèãäýõ¿¿í, ò¿¿íèé òàðõàëòûí õóóëü

2.5. Ñàíàìñàðã¿é âåêòîð õýìæèãäýõ¿¿í, ò¿¿íèé õàìòûí òàðõàëò

2.6. Ñàíàìñàðã¿é õýìæèãäýõ¿¿íèé òîîí ¿ç¿¿ëýëò¿¿ä

2.7. ¯¿ñãýã÷ áà õàðàêòåðèñòèê ôóíêö

2.8. Õÿçãààðûí òåîðåìóóä

3. Ìàòåìàòèê ñòàòèñòèê

3.1. Ñàíàìñàðã¿é ò¿¿âýð, ò¿¿íèé òàâèëò

3.2. Ò¿¿âðèéí òîîí ¿ç¿¿ëýëò¿¿ä,

3.3. Çàðèì ÷óõàë òàðõàëòóóä

3.4. Òàðõàëòûí ïàðàìåòðèéí ¿íýëýëò

3.5. Òàðõàëòûí õóóëèéí òóõàé òààìàãëàë øàëãàõ

3.6. Òàðõàëòóóä íýãýí òºðëèéí áàéõ òóõàé òààìàãëàë øàëãàõ

3.7. Õî¸ð õýìæýýñò ò¿¿âýð, ò¿¿âðèéí êîððåëÿöûí êîýôôèöèåíò, ðåãðåññ, õàìãèéí áàãà êâàäðàòûí àðãà

111

1.1. Äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýëèéí òóõàé åðºíõèé îéëãîëò

Åðºíõèé îéëãîëò.

• Äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýë: ¯ë õàìààðàõ õóâüñàã÷, ò¿¿íýýñ õàìààðàõ ¿ë ìýäýãäýõ ôóíêö, óã

ôóíêöèéí ÿíç á¿ðèéí ýðýìáèéí óëàìæëàëóóäûã àãóóëñàí òýãøèòãýë.

• ¯íäñýí àíãèëàë: Õóâüñàã÷èéí òîî ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧олоннэг

áîë ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

улажлалт тухайнердийн

äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýë.

• Òýãøèòãýëèéí ýðýìáý: ¿ë ìýäýãäýõ ôóíêöèéí óëàìæëàëûí õàìãèéí äýýä ýðýìáý.

• n ýðýìáèéí åðäèéí äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýëèéí åðºíõèé õýëáýð:

( )( ) 0,,,,, =′′′ nyyyyxF K (1) ýñâýë 0,,,,, 2

2=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛n

n

dxyd

dxyd

dxdyyxF K (2)

• Øèéä áóþó èíòåãðàë: îðëóóëàõàä àäèëòãàë áîëãîõ ôóíêö.

• Èíòåãðàë ìóðóé: Øèéäèéí ãðàôèê.

• Åðºíõèé øèéä: nCCC ,,, 21 K òîãòìîëóóäûí õóâüä [1]-èéã õàíãàõ ( )nCCCxy ,,,, 21 Kϕ= ôóíêö.

• Òóõàéí øèéä: nCCC ,,, 21 K òîãòìîëóóäûí òîäîðõîé ñîíãîëòîä õàðãàëçàõ øèéä.

112

Æèøýý 1. xy 2=′ , ( ) CxCxdxxyx

x+=+= ∫ 2

0

2 , 2xy = .

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

-4 -2 0 2 4

• Èíòåãðàë÷ëàõ: òýãøèòãýëèéã áîäîõ áóþó òýãøèòãýëèéí øèéä áîëîõ ôóíêöèéã îëîõ ¿éëäýë.

• Êâàäðàòóðààð èíòåãðàë÷ëàãäàõ: Èíòåãðàë÷ëàõ ¿éëäýë íü òºãñãºëºã òîîíû èíòåãðàë áîäîõ ðóó

øèëæèõ áàéõ.

113

Êîøèéí áîäëîãî

• Àíõíû íºõöºë: 00yy xx == (3) ýñâýë ( ) 00 yxy = .

• Êîøèéí áîäëîãî: Àíõíû íºõöëèéã õàíãàõ øèéäèéã îëîõ áîäëîãî.

Æèøýý 2. ( ) 002=

=′

yxy

êîøèéí áîäëîãûã áîä.

Áîäîëò: Åðºíõèé øèéä Cxy += 2 áà ( ) 0000 2 =⇒=+= CCy òóë ºãºãäñºí àíõíû íºõöëèéã

õàíãàõ òóõàéí øèéä 2xy = .

Çàõûí áîäëîãî

• Çàõûí íºõöºë: ⎩⎨⎧

=+′=+′

222

111

cybyacybya

• Çàõûí íºõöë¿¿äèéí àíãèëàë:

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

======

тохиолдолнхийерө000

21

21

21

ccbbaa

¿åä

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

III төрлийннэгэнIII

çàõûí íºõöºë.

• Çàõûí áîäëîãî: Çàõûí íºõöëèéã õàíãàõ øèéäèéã îëîõ áîäëîãî.

114

Íýãä¿ãýýð ýðýìáèéí äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýë

• Óëàìæëàëûíõàà õóâüä áîäîãäñîí òýãøèòãýë: ( ) 0,, =′yyxF ⇒ ( )yxfy ,=′ (4).

• ×èãëýë¿¿äèéí îðîí: ( )yxf , : 2RD ⊂ .

( ) DyxM ∈, : ( )yxfxytg ,)()( =′=α íýãæ âåêòîð.

ͺ㺺 òàëààñ ( )yxM , : ìóðóéí ø¿ðãýã÷èéí ºíöãèéí êîýôôèöèåíò

( )yxftg ,)( =α .

Èéìä ( )yxM , : ø¿ðãýã÷èéí ÷èãëýë áà îðîíãèéí ÷èãëýë äàâõàöíà.

Áóñàä òîõèîëäîëä äàâõöàõã¿é.

• Èçîêëèí: Öýã á¿ðèéí õóâüä äýýðõ ÷èãëýë¿¿ä äàâõöàæ áàéõ ìóðóéã [4]-èéí èçîêëèí ãýíý.

115

Äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýëýýð áîäîãäîõ áîäëîãûí æèøýý

Æèøýý 3. 200 ìåòð êóá ýçýëõ¿¿íòýé ºðººíèé àãààðûí 0.15 õóâèéã í¿¿ðñõ¿÷ëèéí õèé ( 2CO )

ýçýëæ áàéâ. Àãààð öýâýðø¿¿ëýã÷ ìèíóò òóòàìä 0.04 õóâèéí í¿¿ðñõ¿÷ëèéí õèéí àãóóëàìæòàé 20 ìåòð

êóá àãààðûã ºãäºã. ßìàð õóãàöààíû äàðàà ºðººíèé àãààð äàõü í¿¿ðñõ¿÷ëèéí õèéí õýìæýý õî¸ð

äàõèí áàãàñàõ âý? Í¿¿ðñõ¿÷ëèéí õèé ºðººíèé àãààðò æèãä òàðõàíà ãýæ ¿ç.

( )tx - ºðººíèé 1 ìåòð êóá àãààðò àãóóëàãäàõ í¿¿ðñõ¿÷ëèéí õèéí õýìæýý.

tΔ õóãàöààíû äàðààõ í¿¿ðñõ¿÷ëèéí õèéí õýìæýý ( ) ( ) ( ) tttxtxttx Δ⋅⋅+Δ⋅⋅−=Δ+ 04.01.01.0 .

( ) ( ) ( ) 04.01.01.0 ⋅+⋅−=Δ

−Δ+ txt

txttx ãýýä tΔ -ð¿¿ òýì¿¿ëñýí õÿçãààð øèëæâýë ( ) 04.01.01.0)( ⋅+⋅−=′ txtx .

Åðºíõèé øèéä 1004.0)(t

eCtx−

⋅+= .

Àíõíû íºõöºë 15.0)0( =x : 1011.004.0)(t

etx−

⋅+= .

215.0)( =tx ãýäãýýñ 11≈t ìèíóò.

121

1.2. Õÿëáàð òýãøèòãýë¿¿ä, õóâüñàã÷ íü ÿëãàãäàõ òýãøèòãýë, íýãýí òºðëèéí òýãøèòãýë

Õÿëáàð òýãøèòãýë¿¿ä

I. )(xfdxdy

= (1)

1. )(xf íü ),( ba çàâñàðò òàñðàëòã¿é ¿åä

• Åðºíõèé øèéä: Cdttfyx

x+= ∫

0

)( (2).

• Àíõíû íºõöºë ( ) 00 yxy = -èéã õàíãàõ òóõàéí øèéä: 00

)( ydttfyx

x+= ∫ (3).

2. )(xf íü ),( bac∈ öýãò òàñðàëòòàé áîëîâ÷ { }cbax \),(∈∀ öýãò òàñðàëòã¿é ¿åä

• Åðºíõèé øèéä:

1) { }cbax \),(∈ ¿åä 1 ä¿ãýýð òîõèîëäîë.

2) cx = ¿åä: )(

1xfdy

dx= . cx = øèéä.

1. Àíõíû íºõöºë ( ) 00 yxy = -èéã õàíãàõ òóõàéí øèéä:

122

1) { }cbax \),(∈ ¿åä 1 ä¿ãýýð òîõèîëäîë.

2) ±→ cx ¿åä 00

)( ydttfyx

x+= ∫ ºðãºòãºñºí èíòåãðàë.

a. Ñàðíèæ áàéâàë êîøèéí áîäëîãî öîð ãàíö øèéäòýé.

b. Íèéëæ áàéâàë òºãñãºëã¿é îëîí øèéäòýé.

II. )(yfdxdy

= (4)

1. )(yf íü [ ]ba, äýýð òàñðàëòã¿é áºãººä 0)( ≠yf :

• Åðºíõèé øèéä: Cdttfxy

y+= ∫

0

)( (5).

2. Àíõíû íºõöºë ( ) 00 xyx = -èéã õàíãàõ òóõàéí øèéä: 00

)( xdttfxy

y+= ∫ (6).

2. )(yf íü [ ]ba, äýýð òàñðàëòã¿é áîëîâ÷ 0)( =cf áàéã

• Åðºíõèé øèéä:

1) cy ≠ ¿åä 1 òîõèîëäîë.

2) cy→ ¿åä cy = øèéä áîëíî.

123

3. Àíõíû íºõöºë ( ) 00 yxy = -èéã õàíãàõ òóõàéí øèéä:

1) cy ≠ ¿åä 1 òîõèîëäîë.

2) cy→ ¿åä [6] íü ºðãºòãºñºí èíòåãðàë áîëîõ áà óã èíòåãðàë ñàðíèæ áàéâàë êîøèéí

áîäëîãî öîð ãàíö øèéäòýé..

Õóâüñàã÷ íü ÿëãàãäàõ òýãøèòãýë

• Õóâüñàã÷ íü ÿëãàãäàõ òýãøèòãýë: )()( ygxfy ⋅=′ (7) áóþó )()( ygxfdxdy

⋅= (8).

• Øèéä îðøèí áàéõ íºõöºë: ( ) [ ]( )baCxf ,∈ áà ( ) [ ]( )dcCyg ,∈ ìºí ( ) 0≠yg áàéâàë

( ) [ ] [ ]dcbayx ,,, 00 ×∈ öýãèéí õóâü äàõü êîøèéí áîäëîãî öîð ãàíö øèéäòýé.

• Åðºíõèé øèéä: Cdxxfygdydxxf

ygdy

+=⇒⋅= ∫∫ )()(

)()(

(9).

Æèøýý 1. 5.0)1(

2

==+′

yyyyx

êîøèéí áîäëîãûã áîä.

xdx

yydy

=−2 , C

xdx

yydy

+=− ∫∫ 2 , C

xdxdy

yy+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

− ∫∫1

11

, Cxyy

=−1

áóþó 1)1( =−Cxy .

1)11(5.0 =⋅−C , 1−=C . 1)1( =+ xy , 0=y .

124

Íýãýí òºðëèéí òýãøèòãýë

• Íýãýí òºðëèéí òýãøèòãëýë: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=′xyfy (10) áóþó ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=xyf

dxdy

(11)

• Øèéäèéã îëîõ:

Îðëóóëãà: zxy= (12)

Îðëóóëàõ: xzy = áà zxzy ′+=′ . )(zfzxz =′+

Îðëóóëãûí ¿ð ä¿í: xzzf

dxdz −

=)(

õóâüñàã÷ íü ÿëãàãäàõ òýãøèòãýë.

Áîäîëò: 0)( ≠− zzf : Cxzzf

dz+=

−∫ ln)(

. zzf −)(

1-èéí ýõ ôóíêö )(zΦ ãýå.

Åðºíõèé øèéä: Cxyx

+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Φ ln (13).

Øèéä îðøèí áàéõ íºõöºë: ( )uf íü bua << çàâñàðò

òîäîðõîéëîãäñîí áà ( ) 0≠− zzf áàéâàë 000 bxyax <<

¿åèéí ( ) 00 yxy = êîøèéí áîäëîãî öîð ãàíö øèéäòýé.

125

( ) 0=− zzf ¿åèéí øèéä: K,, 21 zz íü ( ) 0=− zzf òýãøèòãýëèéí øèéä¿¿ä ãýå. izz→ : ∫ − zzfdz)(

ºðãºòãºñºí èíòåãðàë ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧сарнижнийлж

áàéâàë êîøèéí áîäëîãî ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧олонганц

øèéäòýé.

• Íýãýí òºðëèéí òýãøèòãýëä øèëæäýã òýãøèòãýë¿¿ä: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++

=222

111

cybxacybxaf

dxdy

(14)

⎩⎨⎧

=++=++

00

222

111

cybxacybxa

(15) ñèñòåì òýãøèòãýë:

1. ( )00 , yx øèéäòýé:

Îðëóóëãà: ⎩⎨⎧

=−=−ηξ

0

0

yyxx

.

Îðëóóëàõ: dyddxd

==

ηξ

Îðëóóëãûí ¿ð ä¿í:

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++++++

=ξηϕ

ξηξ

η

ηξηξ

ηξηξ

ξη

22

11

22

11

2020222

1010111

ba

baf

babaf

cybxabacybxabaf

dd

(16).

126

2. Øèéäã¿é:

Áèåëýõ íºõöºë: øóëóóíóóä ïàðàëëåë º.õ kbb

aa

==2

1

2

1 áóþó 21

21

kbbkaa

==

Ýìõýòãýõ: ( ) ( )ybxa

cybxacybxakf

dxdy

22222

122 +=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++

= ϕ .

Îðëóóëãà: zybxa =+ 22 .

Îðëóóëãûí ¿ð ä¿í: ( ) 22 azbz +=′ ϕ (17).

Æèøýý 2. 2

122 ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−+

+=′

yxyy òýãøèòãýëèéã áîä.

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−+

+=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−+

+=′

12

122

2

yxyf

yxyy ,

⎩⎨⎧

=−+=+

0102

yxy

, ⎩⎨⎧

−==

23

yx

, ⎩⎨⎧

=+=−ηξ

23

yx

, 2

2 ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

=ηξ

ηξηdd

,

2

112 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=ηξξ

ηdd

, 2

12 ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=ηξ

ηξdd

, z=ηξ

, ( )215.0 zzz +=′⋅+η , ( )

Czz

dz+=

−+∫ ηln

15.0 2 ,

ηCzdz ln

12 2 =

+∫ , ηηξ Carctg ln2 = , 2

322 +

−

=+ yxarctg

Cey .

131

1.3. Íýãä¿ãýýð ýðýìáèéí øóãàìàí òýãøèòãýë, Áåðíóëëûí òýãøèòãýë

Íýãä¿ãýýð ýðýìáèéí øóãàìàí òýãøèòãýë

• Íýãä¿ãýýð ýðýìáèéí øóãàìàí òýãøèòãýë: ( ) ( )xqyxpy =+′ (1)

• Øèéä îðøèí áàéõ íºõöºë: ( )xp , ( )xq íü ( )ba, çàâñàðò òàñðàòã¿é áîë bxa << 0 áà ∞<<∞− 0y

íºõöºë äýõ ( ) 00 yxy = (2) êîøèéí áîäëîãî öîð ãàíö øèéäòýé.

• Øèéäèéã îëîõ:

1. Íýãýí òºðëèéí áàéõ ¿åèéí øèéä: ( ) 0=+′ yxpy (3) ( ) 0: ≠−= yyxpdxdy

, ( )dxxpydy

−= ,

( )∫−

=

x

xdttp

Cey 0 (4). 0=y øèéä.

2. Êîøèéí áîäëîãûí øèéä: [1] òýãøèòãýëèéí øèéäèéã ( )∫−

=

x

xdttp

exzxy 0)()( (5) õýëáýðýýð õàéÿ.

( )( )

∫+=∫x

x

dttp

dsesqyxz

s

x

0

00)( ,

( )( )

( )

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

∫+⋅=∫∫− x

x

dttpdttp

dsesqyexy

s

x

x

x

0

000)( (6).

132

3. Åðºíõèé øèéä: ( )

( )( )

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

∫+⋅=∫∫− x

x

dttpdttp

dsesqCexy

s

x

x

x

0

00)( (7).

Æèøýý 1. 012 =++′ xyyx òýãøèòãýëèéã áîä.

22 :01 xxyyx =++′ , 211x

yx

y −=+′ , x

xp 1)( = áà 21)(x

xq −= . ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

∫−⋅=∫∫− x

x

dtt

dtt dse

sCexy

s

x

x

x

0

00

1

2

11)( .

( )xCx

dss

Cx

xyx

xln111)(

0

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∫−= . xCxy ln−= .

Æèøýý 2. 23 yxyy−

=′ òýãøèòãýëèéã áîä.

23 yxy

dxdy

−= ,

dydx

yyx

=− 23

, yyxx

23 −=′ , yx

yx −=−′

3. ª.õ x õóâüñàã÷èéí õóâüä

yyp 3)( −= áà

yyq −=)( áàéõ íýãä¿ãýýð ýðýìáèéí øóãàìàí òýãøèòãýë.

23

33

0

00)( yCydsseCeyxy

y

dtt

dtt

s

y

y

y +=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

∫−⋅=∫−∫

, 23 yCyx += . 0=y .

133

Áåðíóëëûí òýãøèòãýë

• Áåðíóëëûí òýãøèòãýë: nyxqyxpy )()( =+′ (8)

• Áîäîõ:

1. 0=n ¿åä íýãä¿ãýýð ýðýìáèéí øóãàìàí òýãøèòãýë, )()( xqyxpy =+′ .

2. 1=n ¿åä õóâüñàã÷ íü ÿëãàãäàõ òýãøèòãýë, yxqyxpy )()( =+′ .

3. 1,0≠n ¿åä nyz −= 1 îðëóóëãààð øóãàìàí òýãøèòãýëä, )()1()()1( xqnzxpnz −=−+′ .

Æèøýý 3. dxxyxydy )( 2 += òýãøèòãýëèéã áîä.

yxy

dxdy 1

+= , 11 −=−′ yyx

y , 1−=n . 2yz = , 22=−′ z

xz , ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

xCxz 22 , xCxy 222 −= . ̺í 0=x

øèéä.

141

1.4. Ðèêêàòûí òýãøèòãýë, á¿òýí äèôôåðåíöèàëò òýãøèòãýë

Ðèêêàòûí òýãøèòãýë

• Ðèêêàòûí òýãøèòãýë: )()()( 2 xryxqyxpy ++=′ (1)

• p , q áà r íü ],[ ba õýð÷èì äýýð òàñðàëòã¿é ôóíêö¿¿ä áàéã.

• Áîäîõ:

0)( ≡xp áîë øóãàìàí òýãøèòãýë

0)( ≡xr áîë Áåðíóëëûí òýãøèòãýë

Åðºíõèé òîõèîëäîëä êâàäðàòóðààð áîäîãääîãã¿é.

• Áîäîãääîã çàðèì òîõèîëäîëäëóóä:

p , q áà r íü òîãòìîë áîë õóâüñàã÷ íü ÿëãàãäàõ òýãøèòãýë.

cxyb

xyay ++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=′

2

áóþó íýãýí òºðëèéí òýãøèòãýë.

)(1 xy øèéä ìýäýãäýæ áàéâàë zyy += 1 îðëóóëãààð Áåðíóëëûí òýãøèòãýëä øèëæèíý.

1y øèéä ìýäýãäýæ áàéâàë 1

1yy

u−

= îðëóóëãààð øóãàìàí òýãøèòãýëä øèëæèíý.

142

Æèøýý 1. 4222 =++′ yxxyyx òýãøèòãýëèéã Áåðíóëëûí òýãøèòãýëä øèëæ¿¿ë.

xy 2

1 = , zx

y +=2

, 05 222 =++′ zxxzzx . 25 zzx

z −=+′ áóþó 2=n , x

xp 5)( = , 1)( −=xq áàéõ Áåðíóëëûí

òýãøèòãýë.

Á¿òýí äèôôåðåíöèàëò òýãøèòãýë

• Á¿òýí äèôôåðåíöèàëò òýãøèòãýë: 0),(),( =+ dyyxNdxyxM (2) òýãøèòãýëèéí ç¿¿í òàë íü ),( yxF

ôóíêöèéí á¿òýí äèôôåðåíöèàë, º.õ ),(),(),( yxdFdyyxNdxyxM =+ , MxF=

∂∂

, NyF=

∂∂

.

• Á¿òýí äèôôåðåíöèàëò òýãøèòãýë ýñýõèéã øàëãàõ: xN

yM

∂∂

=∂∂

(3)

• Á¿òýí äèôôåðåíöèàëò òýãøèòãýëèéí åðºíõèé øèéäèéã îëîõ:

1. )())(,(),(),(0

ydttytMyxFyxMxF x

xϕ+=⇒=

∂∂

∫ (4)

2. ),()(),(0

yxNyMdtyy

FyxNxF x

x=′+

∂∂

=∂∂

⇒=∂∂

∫ ϕ . ∫∂∂

−=′x

xMdt

yyxNy

0

),()(ϕ (5).

3. [5]-ààñ )(yϕ ôóíêöûã îëæ [4]-ò îðëóóëñíààð ),( yxF á¿ðýí îëäîíî.

Òîäðóóëãà: [5] íü x õóâüñàã÷ààñ ¿ë õàìààðäàãã¿é.

143

• 00 )( yxy = (6) íºõöºë äýõ êîøèéí áîäëîãûí øèéä öîð ãàíö îðøèõ íºõöºë: ),( yxM , ),( yxN íü

},|),{( dycbxayxD <<<<= ìóæèä yM∂∂

, xN∂∂

íü ÿìàð íýãýí ìóæèä òàñðàëòã¿é, [3] íºõöºë

áèåëæ áàéõ.

Æèøýý 2. 0222

33

2

33=

−+

− dyxyxydx

yxyx

òýãøèòãýëèéã áîä.

2222yx

xy

yM

−−=∂∂

áà 2222yx

xy

xN

−−=∂∂

õî¸ð òýíö¿¿ [3] áèåëæ áàéíà.

yx

xy

xF 22

2

2+−=

∂∂

⇒ )()(2 22

22 y

yx

xyyxdx

yxdxyF ϕϕ ++=++−= ∫∫ ,

2

22yx

xy

yF

−=∂∂

⇒ 0)(2)(22

2

2

2=′⇒+=′+−=

∂∂ y

yx

xyy

yx

xy

xu ϕϕ ,

Cy =)(ϕ , Cyx

xyyxF ++=

22),( ,

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≠≠

=+00

,22

yx

Cyx

xy

- åðºíõèé øèéä. ̺í 0=x áà 0=y øèéä.

144

• [2] íü òýí äèôôåðåíöèàëò òýãøèòãýë áèø áàéõ ¿åä:

Áîäîõ àðãà: Á¿òòýí äèôôåðåíöèàëò òýãøèòãýëä øèëæ¿¿ëýõ.

Á¿òýí äèôôåðåíöèàëò òýãøèòãýëä øèëæ¿¿ëýõ: Òîäîðõîé ôóíêöýýð ¿ðæ¿¿ëýõ.

Èíòåãðàë÷ëàã÷ ¿ðæèãäýõ¿¿í: xN

yM

∂∂

≠∂∂

áà 0),( ≠yxμ : xN

yM

∂∂

=∂

∂ )()( μμ áóþó

μμμ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

=∂∂

−∂∂

yM

xNN

xMy

(7).

• Èíòåãðàë÷ëàã÷ ¿ðæèãäýõ¿¿íèéã îëîõ:

Îëîõ çàð÷èì: Òààìãààð õàéõ.

Çàðèì òóõàéí òîõèîëäîëä: Õÿëáàðààð õàéõ áîëîìæòîé:

1. )(xμμ = : )()()( x

NxN

yM

xx α

μμ

≡∂∂−

∂∂

=′

. ∫ ∫= dxxd )(αμμ

, ∫⋅= dxxeCx )()( αμ .

2. )(yμμ = : )()()( y

MyM

xN

yy β

μμ

≡∂∂−

∂∂

=′

. ∫= dyyey )()( βμ .

145

3. )(ωμμ = , ),( yxωω = : )()()( ωγωωωμ

ωμ≡

∂∂−

∂∂

∂∂−

∂∂

=′

xN

yM

yM

xN

áàéâàë çºâõºí ω -ýýñ õàìààðñàí

èíòåãðàë÷ëàã÷ ¿ðæèãäýõ¿¿í îëäîíî. ∫= ωωγωμ de )()( .

Æèøýý 3. 0)2()2( 3443 =−−− dxyxydyxxy á¿òýí äèôôåðåíöèàëò òýãøèòãýëä øèëæ¿¿ë.

432 yyxM −= , 432 xxyN −= .

( ) ( ) ( ) 2233

33

4343

33

)(11)(

)()(22

3)(6

22

)(6xyxyxyxyxy

xyxy

xxxy

yyyx

xy

xN

yM

yM

xN

==⇒′

=−=−=−−

−===

∂∂−−

∂∂−

−=

∂∂−

∂∂

∂∂−

∂∂

ωωμ

ωμωμωωωωω

0222

33

2

33=

−+

− dyxyxydx

yxyx

.

2222yx

xy

yM

−−=∂∂

áà 2222yx

xy

xN

−−=∂∂

õî¸ð òýíö¿¿ áàéãàà ó÷ðààñ á¿òýí äèôôåðåíöèàëò òýãøèòãýë.

151

1.5. Äýýä ýðýìáèéí äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýë, ýðýìáèéã áóóðóóëæ áîäîõ òýãøèòãýë¿¿ä

Äýýä ýðýìáèéí äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýë

• Åðºíõèé õýëáýð: ( )( ) 0,,,,, =′′′ nyyyyxF K (1).

• Àõëàõ ýðýìáèéíõýý óëàìæëàëûí õóâüä áîäîãäñîí òýãøèòãýë: ( ) ( )( )1,,,, −′= nn yyyxfy K (2).

• Àíõíû íºõöºë: ( ) 00 yxy = , ( ) '00 yxy =′ , . . . , ( )( ) ( )1

001 −− = nn yxy (3).

• Êîøèéí áîäëîãûí øèéä: ( )( )1,,,, −′ nyyyxf K íü { }nkbyybyyaxxG kk ,1,,, )(0

)(00 =≤−≤−≤−=

ìóæèéí öýã á¿ðèéí õóâüä

1) ( )( ) Myyyxf n ≤′ −1,,,, K

2) ( )1,,, −′ nyyy K õóâüñàã÷ á¿ðèéíõýý õóâüä Ëèïøèöèéí íºõöºë

( ) ( )( )yyLyxfyxf −⋅≤− μμ ,,,, -èéã õàíãàäàã áîë [2] [3] êîøèéí áîäëîãî

( ){ }⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ′=≤− n

GyyMbahxx ,,,max,min0 K ìóæèä öîð ãàíö øèéäòýé áà òýð íü n -ûã äóóñòàë

ýðýìáèéí òàñðàëòã¿é óëàìæëàëòàé.

152

• Êâàäðàòóðààð áîäîãäîõ õÿëáàð òîõèîëäëóóä:

1. ( ) 0, )( =nyxF

1) ( )xfy n =)( : ( ) ( ) ( )xPdxxfdxdxxy n

n

1−+= ∫∫∫ 4434421K

2) åðºíõèé òîõèîëäîëä: ( )( )⎭⎬⎫

==

tytx

n ψϕ

)( ïàðàìåòð îðóóëíà. ( )

( )⎭⎬⎫

Φ==

nCCtytx

,,, 1 K

ϕ.

2. ( ) 0, )1()( =−nn yyF

1) ( ) ( )( )1−= nn yfy : ( ) zy n =−1 îðëóóëãààð áîäíî. ( ) ( )11 ,Cxy n φ=−

2) åðºíõèé òîõèîëäîëä: ( )( )⎭⎬⎫

==

− tyty

n

n

ψϕ

)1(

)( ïàðàìåòð îðóóëáàë

( )( )

( )⎪⎭

⎪⎬⎫

Φ=

+′

= ∫nCCty

Cdtttx

,,, 1

1

Kϕψ

.

3. ( ) 0, )()( =−knn yyF

1) ( ) ( )( )knn yfy −= : ( ) zy kn =− îðëóóëãààð 1.-ä øèëæèíý.

2) åðºíõèé òîõèîëäîëä: ( )( )⎭⎬⎫

==

− tyty

kn

n

ψϕ

)(

)( ïàðàìåòð îðóóëæ 1.-ä øèëæ¿¿ëíý.

153

Ýðýìáèéã áóóðóóëæ áîäîõ òýãøèòãýë¿¿ä

1. ¯ë ìýäýãäýõ ôóíêö áîëîí ò¿¿íèé äàðààëñàí ýõíèé óëàìæëàëóóäûã àãóóëààã¿é òýãøèòãýë.

( ) 0,,, )()( =nk yyxF K zy k =)( .

Æèøýý 2: yxy ′′=′′′ 2 òýãøèòãýëèéã áîä.

zy =′′ , xzz 2=′ , 320

1

22

CxCxedtexCyxx

t ++⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−= ∫ .

2. ¯ë õàìààðàõ õóâüñàã÷èéã èë àãóóëààã¿é òýãøèòãýë.

( ) 0,,, )( =′ nyyyF K )(ypy =′ .

Æèøýý 3: ( ) 423 yyyy ′=′+′′ òýãøèòãýëèéí ýðýìáèéã áóóðóóë.

)(ypy =′ , py ′=′′ , ( ) 423 ppyp =⋅+′ .

3. ¯ë ìýäýãäýõ ôóíêö áîëîí ò¿¿íèé óëàìæëàëóóäûí õóâüä íýãýí òºðëèéí òýãøèòãýë.

( ) 0,,,, )( =′ nyyyxF K . ( ) ( ))()( ,,,,,,,, nmn yyyxFtytytytxF KK ′=⋅′⋅⋅ . yuy ⋅=′ .

4. ªðãºòãºñºí íýãýí òºðëèéí òýãøèòãýë.

( ) 0,,,, )( =′ nyyyxF K . ( ) ( ))()(1 ,,,,,,,, nmnnkkk yyyxFtytytytxtF KK ′=′⋅ −− . tex = áà tkeuy ⋅⋅= .

154

5. Òýãøèòãýëèéí ç¿¿í òàë íü ÿìàð íýãýí ôóíêöèéí á¿òýí óëàìæëàë áàéõ.

( ) ( ) 0,,,,,,,, )1()( =′Φ=′ −nn yyyxdxdyyyxF KK áàéõ òýãøèòãýëèéí ýðýìáý ( ) Cyyyx n =′Φ − )1(,,,, K ãýæ

íýãýýð áóóðíà.

6. Çàâñðûí èíòåãðàë.

( ) 0,,,, 1 =Φ nCCyx K (4)

( )( )

(5)

удаа ээр-г.м

0,,,,0,,,,

1

1

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫=Φ′=Φ

n

CCyxCCyx

n

n

M

K

K

[1] ãàð÷ áàéâàë åðºíõèé èíòåãðàë áîëíî.

( )( ) 0,,,,,,, 1 =′ + nkk CCyyyx KKφ (6). (7)

0

0

)()(

)1()(

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

=∂

∂++

∂∂

=∂∂

++′∂∂

+∂∂

−

−

−

−

+

nknk

kn

kn

kn

kk

yyx

yy

yyx

φφ

φφφ

K

M

K

[1] ãàð÷ áàéâàë

çàâñðûí èíòåãðàë.

Æèøýý 4: 2

1xeCy =′′ íü yxy ′′=′′′ 2 (Æèøýý 2) òýãøèòãýëèéí çàâñðûí èíòåãðàë áîëîõûã øàëãà.

161

1.6. Õî¸ðäóãààð ýðýìáèéí íýãýí òºðëèéí øóãàìàí äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýë

Åðºíõèé îéëãîëò

• Òýãøèòãýëèéí õýëáýð: 0)()( =+′+′′≡ yxqyxpyLy (1).

• Åðºíõèé òîõèîëäîëä êâàäðàòðóðààð áîäîãääîãã¿é.

• Áîäîõ àðãà çàìóóä:

1. Îðëóóëãà

2. Çýðãèéí öóâàà.

Îðëóóëãûí òóñëàìæòàéãààð õÿëáàð÷ëàõ

1. Íýãä¿ãýýð ýðýìáèéí óëàìæëàëûã àãóóëààã¿é òýãøèòãýëä øèëæ¿¿ëýõ.

)()( xzxy α= (2) îðëóóëãà õèéâýë 0)()(2)( =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′′

+′

⋅++′⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′

++′′ zxpxqzxpzαα

αα

αα

(3).

02)( =′

+ααxp íºõö뺺ñ

∫=− dxxpex

)(21

)(α .

Óëìààð 42

)(2ppqxI −

′−= áàéõ 0)( =+′′ zxIz (4) òýãøèòãýëä øèëæèíý.

162

Æèøýý 1: 0)( 222 =−+′+′′ ynxyxyx Áåññåëèéí òýãøèòãýëèéã ÿìàð íýãýí òóõàéí øèéäèéã îë.

xxdx

xx 1ln

21exp1

21exp)( =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∫−=α , xzy = , 2

2

222

2 25.0141

211)(

xn

xxxnxI −

+=−+−= ,

025.01 2

2=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −++′′ z

xnz . 5.0±=n : 0=+′′ zz òýãøèòãýë xz cos1 = áà xz sin2 = òóõàéí øèéä¿¿äòýé òóë

xxy cos

1 = áà xxy sin

2 = íü Áåññåëèéí òýãøèòãýëèéí øèéä¿¿ä áîëíî.

2. Òóõàéí øèéäèéí òóñëàìæòàéãààð íýãä¿ãýýð ýðýìáèéí íýãýí òºðëèéí øóãàìàí òýãøèòãýëä

øèëæ¿¿ëýõ.

∫= dxxuyy )(1 (5).

Æèøýý 2: 0ln2 =+′−′′ yyxxyx íýãä¿ãýýð ýðýìáèéí øóãàìàí òýãøèòãýëä øèëæ¿¿ë.

xy =1 , ∫= dxxuxy )( , 0ln121

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+′ u

xxu .

3. Òóõàéí øèéä ìýäýãäýæ áàéõ ¿åä Îñòðîãðàäñêèé-Ëèóâèëëûí òîìú¸îíû òóñëàìæòàéãààð áîäîõ.

1yy = , ∫−=′′

dxxpCeyyyy )(

1

1 .

163

Æèøýý 3: 0ln2 =+′−′′ yyxxyx (Æèøýý 1) òýãøèòãýëèéã áîä.

xy =1 , ∫

=′′

xxdx

Ceyyyy ln

1

1 , 211

21

11 lnyxC

yy

yyyyy

=′

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

′−′, 222

1lnln CxxCCdx

xxC

xy ++=+= ∫ ,

xCxCy 2)1(ln ++= .

4. Îðëóóëãûí òóñëàìæòàéãààð íýãä¿ãýýð ýðýìáèéí íýãýí òºðëèéí øóãàìàí òýãøèòãýëä

øèëæ¿¿ëýõ.

zyy ⋅=′ (6). )( 2zzyzyzyy +′=′+′=′′ . [1]-ä îðëóóëáàë )()(2 xqzxpzz −−−=′ Ðèêêàòûí òýãøèòãýë.

Çýðãèéí öóâààíû òóñëàìæòàéãààð èíòåãðàë÷ëàõ

1. [1] òýãøèòãýëèéí êîýôôèöèåíòóóä 0x öýãèéí îð÷èíä ãîëîìîðô áóþó íèéëäýã çýðãèéí öóâààíä

çàäàðäàã áàéã.

• ∑∞

=−=

00 )()(

n

kk xxpxp , ∑

∞

=−=

00 )()(

n

kk xxqxq (7) íèéëýëòèéí ìóæ íü ρ≤− 0xx áàéâàë

∑∞

=−=

00 )()(

n

kk xxaxy (8).

• [8] öóâààíû ka êîýôôèöèåíòóóäûã óëàìæëàëóóäûã íü [1]-ä îðëóóëæ )( 0xx − -ûí èæèë

çýðýãò¿¿äèéí ºìíºõ êîýôôèöèåíòóóäûã òýíö¿¿ëýõ çàìààð îëíî.

164

Æèøýý 4: 042 =−′+′′ yyxyx òýãøèòãýëèéí ÿìàð íýãýí òóõàéí øèéäèéã îë.

∑=

=n

k

kk xay

0, nxy = , 204: 2 =⇒=− nnxn , baxxy ++= 2 , 2xy = .

2. Êîýôôèöèåíòóóä ãîëîìîðô áèø º.õ 0xx = öýã íü [1]-èéí îíöãîé øèéä áàéâàë ýíý öýãèéí

îð÷èíä øèéä íü ãîëîìîðô áóñ áàéíà.

Æèøýý 5: 0)( 222 =−+′+′′ ynxyxyx (Æèøýý 1).

0=x îíöãîé öýã. 5.0±=n ¿åä ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−==

−K

!4!21cos 42

21

1xxx

xxy áà ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−== K

!5!31sin 42

21

2xxx

xxy .

• ∑∞

=−−=

000 )()()(

n

kk xxaxxxy α (9) 00 ≠c õýëáýðèéí öóâààã åðºíõèéëñºí çýðãèéí öóâàà ãýäýã.

• [1] íü 0xx = îíöãîé öýãèéí îð÷èíä [9] ìàÿãèéí øèéäòýé áàéõ õ¿ðýëöýýòýé íºõöºë íü

∑∞

=−

−=

00

0)(1)(

n

kk xxp

xxxp , ∑

∞

=−

−=

00

0)(1)(

n

kk xxq

xxxq (10) 02

120

20 ≠++ qqp áàéõ ÿâäàë þì.

• Øèéä îðøèí áàéõ ìóæ: [10] öóâààíóóä ρ≤− 0xx ìóæèä íèéëäýã áîë [9] ýíý ìóæèä íèéëíý.

• Øèéäèéã îëîõ: 1. òîõèîëäëûíõòîé àäèë. α -ûã α)( 0xx − çýðýãòèéí ºìíºõ êîýôôèöèåíò òýãòýé

òýíö¿¿ áóþó ( ) 0)1( 000 =++− qpc ααα íºõö뺺ñ îëíî.

171

1.7. n ýðýìáèéí øóãàìàí äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýë

Åðºíõèé îéëãîëò

• Òýãøèòãýëèéí õýëáýð: )()()()()( 1)1(

1)(

0 xfyxpyxpyxpyxp nnnn =+′+++ −− K . 0)(0 ≠xp áîë

)()()()( 1)1(

1)( xfyxpyxpyxpyLy nn

nn =+′+++≡ −− K (1).

• Øèéä îðøèí áàéõ íºõöºë: ( )],[)(),(,),(),( 21 baCxfxpxpxp n ∈K áîë ],[ :)(! 0 baxxy ∈∃ ,

)1(0

)1(00

000,,, −

=

−== =′=′= n

xxn

xxxx yyyyyy K (2) [1.5 ñýäýâ].

• L îïåðàòîðûí ÷àíàð: Øóãàìàí ÷àíàðòàé. ª.õ

1. 212121 )(:, LyLyyyLyy +=+∀

2. LyyLR ⋅=⋅∈∀ ααα )(: .

• [1] òýãøèòãýëèéí áóñàä ÷àíàðóóä:

1. )()( xzxy βα += îðëóóëãàä õýëáýðýý õàäãàëíà. Ýíä, z ¿ë ìýäýãäýõ ôóíêö

2. zxy )(α= îðëóóëãààð 1−n ä¿ãýýð ýðýìáèéí óëàìæëàëûã àãóóëààã¿é òýãøèòãýëä øèëæèíý

[1.6 ñýäýâ].

172

Íýãýí òºðëèéí òýãøèòãýëèéí øèéä

0=Ly (3).

• [3] òýãøèòãýëèéí ÷àíàðóóä:

1. 1,1 00

)1( −===

− nkyxx

k : 0≡y

2. )()( 21 xyixyy ⋅+= øèéä ⇒ )(1 xy áà )(2 xy øèéä

3. nyyy ,,, 21 K øèéä ⇒ nn yCyCyCy +++= K2211 øèéä. Åðºíõèé øèéä áîëîõ àëáàã¿é.

Æèøýý 1: 0=+′′= yyLy . шийд sincosшийд sinшийд cos

sincos 212

1 xCxCyxyxy

xixeeyey

xi

xixi+=⇒

⎭⎬⎫

==

⇒⎭⎬⎫

+=−=′′⇒=

⋅

⋅⋅

.

4. nn yCyCyCy +++= K2211 åðºíõèé øèéä ⇐ nyyy ,,, 21 K øèéä¿¿äèéí ¿íäñýí ñèñòåì

• Øèéä¿¿äèéí ¿íäñýí ñèñòåì:

[3] òýãøèòãýëèéí øóãàìàí õàìààðàëã¿é n øèðõýã øèéäèéã ýíý òýãøèòãýëèéí øèéä¿¿äèéí

¿íäñýí ñèñòåì ãýíý.

nyyy ,,, 21 K ),( bax∈ ôóíêö¿¿ä áà 01

2 >∑=

n

iiα áàéõ

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧∃∀

i

i

αα

-¿¿äèéí õóâüä

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

≠+++=+++

00

2211

2211

nn

nn

yyyyyy

αααααα

K

K áàéâàë óã ôóíêö¿¿äèéã

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

үй хамааралгшугаманай хамааралтшугаман

ãýíý.

173

Ôóíêö¿¿ä øóãàìàí õàìààðàëã¿é áàéõûã øàëãàõ: nyyy ,,, 21 K ôóíêö¿¿ä ),( ba çàâñàð äýýð

øóãàìàí õàìààðàëã¿é ⇔ ),( bax∈∀ : Âðîíñêèàí òýãýýñ ÿëãààòàé.

Âðîíñêèàí:

)1(1

)1(1

)1(1

21

21

)(

−−−

′′′=

nnn

n

n

yyy

yyyyyy

xW

L

MOMM

L

L

Æèøýý 2: xy cos1 = áà xy sin2 = [Æèøýý 1] øóãàìàí õàìààðàëòàé ýñýõèéã òîãòîî.

01sincoscossinsincos

)( 22 ≠=+=−

= xxxxxx

xW ó÷ðààñ øóãàìàí õàìààðàëã¿é.

Øèéä¿¿äèéí ¿íäñýí ñèñòåì îðøèí áàéõ íºõöºë: ( )),()(,),(),( 21 baCxpxpxp n ∈K .

Øèéä¿¿äèéí ¿íäñýí ñèñòåì ¿¿ñãýõ ôóíêö¿¿äèéí òîî: n -ýýñ èë¿¿ã¿é.

Æèøýý 3: xy cos1 = áà xy sin2 = [Æèøýý 1] øèéä øóãàìàí õàìààðàëã¿é [æèøýý 2] ó÷ðààñ

0=+′′= yyLy òýãøèòãýëèéí øèéä¿¿äèéí ¿íäñýí ñèñòåì áîëîõ áà óëìààð åðºíõèé øèéä íü

xCxCy sincos 21 += áîëíî.

174

Íýãýí òºðëèéí áóñ òýãøèòãýëèéí øèéä

[1] òýãøèòãýëèéã àâ÷ ¿çüå.

• Åðºíõèé øèéä: nnzCzCzCyy ++++= K22111 . Ýíä, nnzCzCzCz +++= K2211 íü 0=Lz -èéí

åðºíõèé øèéä, 1y íü [1]-èéí òóõàéí øèéä.

• Íýãýí òºðëèéí òýãøèòãýëä øèëæ¿¿ëýõ: zyy += 1 (4) îðëóóëãààð 0)(

)(

1

1 =⇒⎭⎬⎫

==+

LzxfLyxfLzLy

(5).

• Òóõàéí øèéäèéã îëîõ Òîãòìîëûã õóâüñãàõ àðãà: nn zxCzxCzxCy )()()( 2211 +++= K (7) õýëáýðýýð

õàéÿ. Òýãâýë

][

][][

)1()1(22

)1(11

)()(22

)(11

)(

22112211

22112211

−−− ′++′+′++++=

′′++′′+′′+′′++′′+′′=′′′++′+′+′++′+′=′

nnn

nnnnn

nnn

nnnn

nnnn

zCzCzCzCzCzCy

zCzCzCzCzCzCyzCzCzCzCzCzCy

KK

M

KK

KK

áà

)(])[(])[(][ 11)1()1(

111)1()1(

11)()(

11 xfzCzCxpzCzCxpzCzCzCzC nnnnnn

nnnn

nnnn

n ≡+++++++′++′+++ −−−− KKKKK

áóþó

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

=′++′=′++′

=′′++′′=′++′

−−

−−

)(0

00

)1()1(11

)2()2(11

11

11

xfzCzCzCzC

zCzCzCzC

nnn

n

nnn

n

nn

nn

K

K

M

K

K

(8) ãýæ )(xCi -¿¿äèéã ñîíãîñîí ãýå.

175

)(xCi′ -¿¿äèéã îëîõ: [8] ñèñòåìýýñ öîð ãàíö óòãàòàéãààð îëäîíî. )()()(xWxWxC i

i =′ , ni ,1= . Ýíä,

)(xW íü [8]-ûí ¿íäñýí ìàòðèöûí òîäîðõîéëîã÷, )(xWi - àëãåáðèéí ã¿éöýýëò.

)(xCi -¿¿äèéã îëîõ: ii

i CdxxWxWxC += ∫ )()()( , ni ,1=

Åðºíõèé øèéä: ∑ ∫∑==

+=n

i

ii

n

iii dx

xWxWzzCy

11 )()(

.

Æèøýý 4: xyy sin4=+′′ òýãøèòãýëèéã áîä.

0=+′′= yyLy -èéí åðºíõèé øèéä íü xCxCy sincos 21 += [Æèøýý 3]. xxCxxCy sin)(cos)( 21 += ,

⎭⎬⎫

=′+−⋅′=′+′

xxCxCxCxC

sin4cos)sin(0sincos

21

21 , ⎭⎬⎫

=′−=′

xCxC2sin2

)12(cos2

2

1 , ⎭⎬⎫

+−=+−=

22

11

2cos)(22sin)(CxxCCxxxC

, xxxCxCy cos2sincos 21 −+= .

181

1.8. Òîãòìîë êîýôôèöèåíòòîé n ýðýìáèéí øóãàìàí äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýë

Åðºíõèé îéëãîëò

• Åðºíõèé õýëáýð: )()1(1

)( xfyayayLy nnn =+++= − K (1). Ýíä, naa ,,1 K - òîãòìîë êîýôôèöèåíòóóä.

• Åðºíõèé øèéä: Õàðãàëçàõ íýãýí òºðëèéí òýãøèòãýëèéí øèéäèéã îëîõ ðóó øèëæèíý [1.7 ñýäýâ].

Íýãýí òºðëèéí òýãøèòãýë

0=Ly (2)

• Òóõàéí øèéä: xey λ= (3) õýëáýðýýð õàéÿ. Ýíä, λ - ¿ë ìýäýãäýõ òîãòìîë. xkk ey λλ=)( nk ,1= áà

0)()( 11

1 =++++= −−

nnnnxx aaaeeL λλλλλ .

• Õàðàêòåðèñòèê áóþó òîäîðõîéëîã÷ òýãøèòãýë: 0)()( 11

1 =++++= −−

nnnn

n aaaP λλλλ (4).

• Õàðàêòåðèñòèê òýãøèòãýëèéí ÿçãóóðóóä:

1. n øèðõýã ÿëãààòàé áîäèò ÿçãóóðòàé

nλλ ,,1 K . xieλ ni ,1= òóõàéí øèéä¿¿ä íü øóãàìàí õàìààðàëã¿é. Ó÷èð íü

182

0Вандермонд

111

)(

)1()1(2

)1(1

21),,(

)1()1(2

)1(1

21 1

21

21

21

≠===

−−−−−− nn

nn

nx

xnn

xnxn

xn

xx

xxx

n

n

n

n

e

eee

eeeeee

xW

λλλ

λλλ

λλλ

λλλ λλ

λλλ

λλλ

λλλ

L

MOMM

L

L

L

MOMM

L

L

K

∑=

=n

i

xi

ieCy1

λ (5) ôóíêö [2]-ûí åðºíõèé øèéä.

2. ßçãóóðóóä íü ÿëãààòàé áîëîâ÷ êîìïëåêñ øèéäòýé

iba +=λ iba −=λ . xibae )( + áà xibae )( − óëìààð bxeax cos áà bxeax sin øèéä áîëíî.

Åðºíõèé øèéä bxeCbxeCeCy axn

axn

n

i

xi

i sincos1

2

1++= −

−

=∑ λ .

3. Äàâõàðäñàí ÿçãóóðóóäòàé

R∈1λ ÿçãóóð k óäàà äàâõàðäñàí ãýå. xmex 1λ 1,0 −= km òóñ á¿ð øèéä áîëíî.

Åðºíõèé øèéä ∑∑=

−

+=+=k

i

xii

n

ki

xi exCeCy i

1

1

1

1λλ .

bia ⋅+=1λ áàéâàë bxex axm cos áà bxex axm sin 1,0 −= km òóñ á¿ðòýý øèéä áîëíî.

Æèøýý 1: 0=+′′ yy òýãøèòãýëèéã áîä.

xey ⋅= λ , 012 =+λ , i±=2,1λ , xixey ix sincos +== , xCxCy sincos 21 += .

183

Íýãýí òºðëèéí áóñ òýãøèòãýë

• Íýãýí òºðëèéí áóñ òýãøèòãýëä õàðãàëçàõ òóõàéí øèéäèéã îëîõ:

I. Òîãòìîëûã õóâüñãàõ àðãà

[1.7 ñýäýâ].

II. Òîäîðõîéã¿é êîýôôèöèåíòûí àðãà

a. )()( xPexf mx⋅= α (7) m

mm xpxppxP +++= K10)( õàðèí α äóðûí êîìïëåêñ òîî áàéã

1) α õàðàêòåðèñòèê òýãøèòãýëèéí ÿçãóóð áèø áàéâàë )(xQey mx⋅= α (8) õýëáýðýýð õàéíà. Ýíä,

mmm xqxqqxQ +++= K10)( . [8]-ã [1]-ä îðëóóëáàë == ⋅ ))(( xQeLLy m

xα

)()()( 10mx

mxx xeLqxeLqeLq ⋅⋅⋅ +++= ααα K . α -ûí çýðýãò¿¿äýýñ òîãòîõ îëîí ãèø¿¿íòèéã )(αp

ãýâýë ≡++++= ∑∑∑=

⋅−

=

⋅−

=

⋅⋅m

i

ximiimm

i

xiii

i

xiix expCqexpCqepCqpeqLy0

)(2

0

2)(22

1

0

)(110 )()()()( αααα αααα K

( )mmx xpxppe +++⋅ K10

α . [9] øóãàìàí

òýãøèòãýëèéí ñèñòåìýýñ mqqq ,,, 10 K íýã

óòãàòàé îëäîíî. (9)

)()()(

)()()(

111

0)(

100

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

==′+

=++′+

−−−

mmm

mmmm

mm

ppqxppqpqx

ppqpqpqx

ααα

αααMM

K

184

2) α õàðàêòåðèñòèê òýãøèòãýëèéí k óäàà äàâõàðäñàí ÿçãóóð áàéâàë )(xQexy mxk ⋅= α

õýëáýðòýéãýýð îëäîíî.

b. ( )xxQxxPexf mmx ββα sin)(cos)()( += ⋅ )(xPm áà )(xQm -ûí ÿäàæ íýã íü m çýðãèéí îëîí ãèø¿¿íò.

Êîìïëåêñ òîîíû ýêñïîíåíöèàë õýëáýðýýð xim

xim exQexPxf )()( )(~)(~)( βαβα −+ += .

1) βα i+ õàðàêòåðèñòèê òýãøèòãýëèéí ÿçãóóð áèø áàéâàë xim

xim exQexPxy )()( )(ˆ)(ˆ)( βαβα −+ +=

õýëáýðýýð õàéíà. Ýíä, )(ˆ xPm áà )(ˆ xQm -ûí ÿäàæ íýã íü m çýðãèéí îëîí ãèø¿¿íò.

2) βα i+ õàðàêòåðèñòèê òýãøèòãýëèéí k óäàà äàâõàðäñàí ÿçãóóð áàéõ òîõèîëäîëä

( )xim

xim

k exQexPxxy )()( )(ˆ)(ˆ)( βαβα −+ += õýëáýðòýéãýýð îëäîíî.

Æèøýý 2: xyy sin4=+′′ òýãøèòãýëèéã áîä.

0=+′′ yy : xCxCy sincos 21 += [Æèøýý 1], 121 sincos yxCxCy ++= , ?1 =y ,

xxf sin4)( = : b òîõèîëäîë: 0=α , 1=β , 0=m , 0)( =xPm , 4)( =xQm ,

110 λβα ==⋅+=⋅+ iii áà 1=k ( ) ( )xabixabxbeaexy ixix sin)(cos)(11 −++=+=⇒ − [2) òîõèîëäîë],

ababi =⇒=− 0)( , xaxy cos21 = , ?=a ,

( )xxxay sincos21 −=′ , ( )xxxay cossin221 +−=′′ , 1sin4sin4 −=⇒=−=+′′ axxayy , xxy cos21 −= ,

xxxCxCy cos2sincos 21 −+= .