Matris Ozdeger Ve Ozvektorlerinin Bazi Uygulamalari Some Applications of Matrixes Es Eigenvalues and...

7/30/2019 Matris Ozdeger Ve Ozvektorlerinin Bazi Uygulamalari Some Applications of Matrixes Es Eigenvalues and Matrixes E

1/61

ii

NDEK LER

SayfaSMGE LSTES .......................................................................................................................iii

EK L LSTES ........................................................................................................................ iv

NSZ....................................................................................................................................... v

ZET.........................................................................................................................................vi

ABSTRACT .............................................................................................................................vii

1. GR ....................................................................................................................... 1

2. ZDEER VE ZVEKTRLER .......................................................................... 2

2.1 Tan m....................................................................................................................... 22.2 zdeer Ve zvektrn Hesaplanmas ................................................................... 32.3 Kegenletirme Ve Benzer Matrisler..................................................................... 52.4 Simetrik Matrislerin Kegenletirilmesi ................................................................93. EYLEMSZLK TANSR.................................................................................17

3.1 Eylemsizlik Ve arp m Eylemsizlik Momentleri..................................................173.2 Bir Eksene Gre Eylemsizlik Momenti.................................................................193.3 Asal Eylemsizlik Eksenleri.................................................................................... 213.4 Eylemsizlik Momentlerinin Dnm-Tansr zellii ......................................233.5 Rijit Cismin Sabit Nokta Etraf nda Dnme Hareketi ............................................253.6 Doru Eksenli ubuklar n Eilmesi...................................................................... 284. GER LME TANSR.......................................................................................... 33

4.1 Kuvvet Ve Gerilme............................................................................................ 334.2 Bir Noktada n Normalli Yzey zerindeki Normal Gerilme................................ 354.3 Asal Gerilmeler, Gerilme Bileenlerinin Dnm Ve Tansr zellii.............385. EK L DETRME TANSR...................................................................... 41

5.1 ekil Deitirmenin Tan m ...................................................................................415.2 ekil Deitirmelerin Yer Deitirmeler Cinsindenfadesi..................................455.3 Herhangi Bir Dorultudaki Birim Boy Deiimi .................................................. 485.4 Asalekil Deitirmeler,ekil Deitirme Bileenlerinin Dnm Ve Tansr

zellii .................................................................................................................. 516. SONULAR..........................................................................................................53

KAYNAKLAR.........................................................................................................................54

ZGEM..............................................................................................................................55


2/61

iii

SMGE LSTES

I Eylemsizlik Momenti

Younluk

J Jakobi Matrisi

M Moment A sal H z

P Gerilme Vektr

H A sal Momentum

Normal Gerilme

ekil Deitirme Tansr


3/61

iv

EK L LSTES

ekil 2. 1 Matris ve zvektr likisi ......................................................................................2ekil 2. 2 Matris ve zvektrn Geometrik Yorumu .............................................................3ekil 3. 1 Ktle Eylemsizlik Momentleri .............................................................................. 17

ekil 3. 2 Alan Eylemsizlik Momentleri ...............................................................................19ekil 3. 3 Keyfi Bir Eksene Gre Eylemsizlik Momenti ...................................................... 19ekil 3. 4 Sabit Bir Nokta Etraf nda Dnme ......................................................................... 26ekil 3. 5 Eik Eilme...........................................................................................................30ekil 4. 1 Gerilme Vektr....................................................................................................33ekil 4. 2 Eksenli Gerilme Hali .......................................................................................34ekil 4. 3 Dik Kesit..........................................................................................................36

ekil 5. 1 Uzunluk Deiimi ................................................................................................. 41ekil 5. 2 A Deiimi .........................................................................................................42ekil 5. 3 ekil Deitirme Durumu......................................................................................44ekil 5. 4 ekil Deitirmelerin Yer Deitirmeler Cinsindenfadesi..................................45


4/61

v

NSZ

Bu al may haz rlamamda bana yard mc olan Say n Prof. Dr. Aye Soyuoka teekkr ederim.

Baz blmlerin haz rlanmas nda yard mc olan ve baz ekillerin AutoCAD te izimini yapandeerli arkada m inaat mhendisi Mesutimeke ve yard mlar ndan dolay Ar . Gr.Ramazan Tekercioluna teekkr ederim

Son olarak eitimimde hibir fedakrl ktan ka nmayan ve bana her zaman destek olan ailemesonsuz teekkrlerimi sunar m.

Rahmetli babam n aziz hat ras na

Aral k 2006 Hasan Hseyin Yurtcu


5/61

vi

ZET

zdeer ve zvektr problemleri birok mhendislik alan nda kar m za kar.

Bu tezde, zdeer ve zvektrleri uygulamada nemli olan baz matrisler ele al nm t r.Bunlar, ktle ve alan eylemsizlik, gerilme veekil deitirme tansrlerinin kartezyenkoordinatlardaki bileenlerinden oluan matrislerdir.

al mada ele al nan matrisler ve ilgili zdeer ve zvektr problemlerinin uygulamada nas lkar m za kt , bu zdeer ve zvektrlerin fiziksel anlamlar n n ne olduu ve bunlar nkullan m n n getirecei kolayl klardan baz lar gsterilmeye al lm t r.

Ayr ca, bu matrislerin, dnm ba nt lar elde edilmi ve kartezyen koordinatlarda tansr tan m na uyduu gsterilmitir.

Anahtar kelimeler: Simetrik matris, zdeer, zvektr, kuadratik form, eylemsizlik momenti, eilme, gerilme,ekil deitirme


6/61

vii

ABSTRACT

Eigenvalue and eigenvector problems arise in many engineering applications.

In this thesis, we consider some matrices which are important ones in applications. Theelements of these matrices consist of cartesian components of the mass and area inertiatensors, stress tensor and strain tensor.

We give the physical meanings and some facilities of eigenvalues and eigenvectors of thesematrices. Moreover we obtained the transformation equations of the mentioned matrices andwe showed that they are actually the tensor transformation relations.

Key words: Symmetric matrixes, eigenvalue, eigenvector, quadratic form, moment of inertia,flexure, stress, deformation.


7/61

1

1. GR

Son y llarda matris yntemleri zerinde yap lan al malar n fizik, mekanik, yneylem ve

ekonomi gibi uygulamal bilimlerde verimli bir ortam salamas , matrislerin zdeer vezvektrleri konusunun nemini art rm t r. Uygulamada kullan lan matrislerin simetrik matris olarak seilmesi ile simetrik matrislerin zelliklerinden dolay uygulamalar daha da

kullan l hale gelmitir.

zdeer ve zvektr ifadelerininngilizce kar l klar eigenvalue ve eigenvector dr. Eigen terimini ilk olarak David Hilbert ( 1862-1943 ) kullanm t r. Hilbert eigenfunktion ve

eigenwert ifadelerini ilk olarak integral denklemlerle ilgili bildirilerinde kullanm t r. Hilbertin k noktas homojen olmayan integral denklemlerin, bir parametresiyle matrissel

kar l n n ( ) I A x y = olmas idi. Hilbert bu eitliin s f rdan farkl homojen zm

iin deerlerine eigenwerte ad n vermitir ve deerleri A matrisinin karakteristik

kklerine kar gelmektedir. Eigenvektor kavram ise ilk olarak Courant ve Hilbert taraf ndansonlu boyut ifadesi a klan rken kullan lm t r.

John Von Neuman ( 1903-1957 ) bir eserinde 0 f art alt nda R f f = ifadesindeki y

eigenwerte, f yi ise eigenfunktion olarak adland rm t r. Bu yayg n bir kullan m halinegelmitir. 1946 da H.&B. Jeffreys in Methods of Mathematical Physics adl eserindezdeer kavram karakteristik deer ve gizli kk kavramlar yla e anlaml olarak ifadeedilmitir.

Bu tez al mas , giri ve sonula birlikte alt blmden olumaktad r. kinci blmdematrislerin zdeer ve zvektrleri hakk nda bilgiler verilmitir. nc blmde ktle vealan eylemsizlik tansrleri, drdnc blmde gerilme tansr, beinci blmde de ekil

deitirme tansr ele al nm t r. Son olarak alt nc blmde ise sonular zetlenmitir..


8/61

2

2. ZDEER VE ZVEKTRLER

2.1 Tan m

A , n n lik bir matris ve X s f r vektr olmamak zere; AX arp m X vektrnn bir kat ,yani,

AX= X (2.1)

ise, ya A n n zde eri ve X e A n n ya kar gelenzvektr denir.

AX ile X vektr aras nda genellikle geometrik bir iliki yoktur (ekil 2.1a). Baz durumlarda, s f r olmayan yle X vektrleri bulunabilir ki, X ile AX arp m birbirlerinin bir

kat olurlar (ekil 2.1b). Bu durumda X vektrne A matrisinin zvektr denir.

ekil 2. 1 Matris ve zvektr likisi

rnein X =12

vektr A=3 08 1

matrisinin zvektrdr. Burada X vektrne kar l k gelen

zdeer 3 tr. Yani,


9/61

3

AX =3 08 1

12

=36

= 3X

dir.

Geometrik yorum, n n deerlerine bal olarak ekil 2.2 de verilmektedir.

ekil 2. 2 Matris ve zvektrn Geometrik Yorumu

2.2 zdeer Ve zvektrn Hesaplanmas

A=

11 12 1

21 22 2

1 2

nn

n n nn

a a a

a a a

a a a

nxn tipinde bir matris olsun. O zaman, (2.1) denklemin I birim

matris olmak zere,

0 AX X

X AX

= =


10/61

4

( ) 0n I A X = (2.2)

eklinde yaz labilir. (2.2) ifadesi ( ) 0n A I X = eklinde de yaz labilir ve ( )n I A ifadesi

iin verilecek tan mlar ( )n A I ifadesi iin de dorudur.

( )n I A ifadesi matris formda,

11 12 1

21 22 2

1 2

nn

n

n n nn

a a a

a a a

I A

a a a

=

eklinde gsterilebilir. Bu matrisinin determinant na A matrisinin karakteristik polinomu

denir. (2.2) ifadesinin 0 X zm iin,

( ) det( ) 0n p I A = =

olmal d r. Buna A matrisininkarakteristik denklemi denir. Bu denklemin kkleri A matrisininzde erlerini verir. Bu zdeerler (2.2) ifadesinde yerine yaz l rsa bu zdeerlere kar gelen

zvektrler elde edilir.

det( )n I A ifadesini hesaplad m zda n. inci dereceden bir polinom elde ederiz. A

matrisinin karakteristik polinomunda n ,

11 22( )( ) ( )nna a a

arp m ndan elde edilir ve bylece n ifadesinin katsay s 1 olur. O zaman,

1 21 2 1det( ) ( )

n n nn n n I A p a a a a

= = + + + + +

ifadesini yazabiliriz. =0 al rsak, det ( ) = det( )n n I A A a = olur. Yani, ( 1) detnna A=

olur.


11/61

5

2.3 Kegenletirme Ve Benzer Matrisler

Tan m 2.1

P tekil olmayan bir matris olmak zere, B= 1 P AP eitlii ile birbirleri aras nda ilikikurulabilen A ve B matrislerine benzer matrisler denir.

Teorem 2.1

Benzer matrisler ayn zdeerlere sahiptir.

SPAT:

A ve B benzer matrisler olsun. O halde P tekil olmayan bir matris ( P 1 P = n I ) olmak zere

B= 1 P AP yaz labilir. A ve B matrislerinin karakteristik polinomlar olan ( ) ( ) A B p ve p n n

ayn olduu gsterilsin.

1

1 1 1

1

1

( ) det( ) det( )det( ) det( ( ) )det( )det( )det( )det( )det( )det( )det( )

( )

B n n

n n

n

n

n

A

p I B I P AP

P I P P AP P I A P

P I A P

P P I A

I A

p

= = = = = = = =

d r. ( ) ( ) A B p p = olduundan, A ve B ayn zdeerlere sahiptir.

Teorem 2.2

n n tipindeki bir A matrisinin bir D kegen matrisi ile benzer olmas iin gerek ve yeter


12/61

6

art, A matrisinin zvektrlerinin n R de bir baz oluturmas d r. Ayr ca, D matrisinin esaskegeni zerindeki elemanlar A matrisinin zdeerleridir.

Not: Eer bir A matrisi, bir kegen matrisi ile benzer ise A yak egenle tirilebilir matris

denir.

SPAT:

Eer n n tipindeki bir A matrisi bir D kegen matrisine benzer ise tekil olmayan (tersi

bulunan) bir P matrisi iin 1 P AP D = dir. imdi P matrisinin nas l bir yap da olduunuarat ral m. P PD= dir.

1

2

0 00 0

0 0 n

D

=

ve P nin j. stunu ( j = 1, 2, . . ., n ) j X olsun. AP nin j. stununun j AX ve PD nin j.

stununun j j X olduuna dikkat edelim. Bylece,

j j j AX X =

dir. Bunun anlam , A n n bir zdeerinin j ve buna kar l k gelen zvektrn j X olmas d r.

Tersine, n n tipindeki bir A matrisinin zdeerleri 1 2, , n ve bunlara kar l k gelen

zvektrler 1 2, , n X X X olmak zere 1 2, , n X X X ,n R de lineer ba ms z vektrler ise P yi,

j. stunu j X olacak ekilde seebiliriz. Rank P n= , dolay s yla P tekil deildir. Buna gre

AP nin j. stunu j AX eklindedir. j j j AX X = olduundan AP nin j.stunu j X olur. te

yandan PD nin j. stununda j j X olduu kolayca grlebilir. O halde , AP = PD veya1 P AP D = olur. Bunun anlam ise, A matrisinin kegenletirilebilir olmas d r.

Sonu olarak n n tipindeki bir A matrisininn tane zvektr 1 2, , n X X X ve bu


13/61

7

zvektrler n R de lineer ba ms z ise, j. stunu j X olan bir P matrisi yard m yla A matrisi

kegenletirilebilir. Yani P matrisi yard m yla 1 P AP D = olacak ekilde bir D matrisi eldeedilebilir.

Burada kegen matrisin esas kegeni zerindeki elemanlar A matrisinin zdeerleri olur.Bunlara kar l k gelen vektrler ise A matrisinin zvektrleridir. P nin stunlar n n s ras , Dmatrisinin esas kegeni zerindeki elemanlar n n s ras n belirler.

Teorem 2.3

Eer n n tipindeki bir A matrisinin karakteristik polinomunun kkleri reel ve hepsi birbirinden farkl ise A matrisi kegenletirilebilir bir matristir.

SPAT:

{ }1 2, , n , A matrisinin farkl zdeerlerinin cmlesi olsun. Bu deerlere kar l k gelen

zvektrlerin cmlesi de { }1 2, nS X X X = olsun. S nin n R iin bir baz olduu ispat etmek

isteniyor. Bunun iin S nin lineer ba ms z olduunu gstermek yeterlidir.

S nin lineer ba ml olduunu varsay ls n. Bu durumda bir j X vektr, S deki vektrlerin

birleimi olarak yaz labilir. { }1 1 2 1, jS X X X = cmlesinin lineer ba ms z olduu kabuledilsin. Aksi halde 1S cmlesinin vektrlerinden biri dierlerinin lineer birleimi olarak

yaz

labilir. 1S lineer ba

ms

zd

r dolay

s

yla j X ,

1 1 2 2 1 1 j j j X a X a X a X = + + + (2.3a)

eklinde yaz labilir. Buradan,

1 1 2 2 1 1

1 1 2 2 1 1

( )=

j j j

j j

AX A a X a X a X

a AX a AX a AX

= + + ++ + +

(2.3b)

ifadesi elde edilebilir. Buradan, j j j AX X = olduundan,


14/61

8

j j 1 1 1 2 2 2 1 1 1= j j j X a X a X a X + + + (2.3c)

elde edilir. (2.3a) denkleminin j ile arp lmas yla

j j 1 1 2 2 1 1= j j j j j X a X a X a X + + +

(2.3d)

olur. (2.3c) den (2.3d) nin kar lmas yla,

1 1 1 2 2 2 1 1 10 ( ) ( ) ( ) j j j j j ja X a X a X = + + +

bulunur. 1S lineer ba ms z olduundan,

1 1 2 2 1 1( ) 0, ( ) 0 , , ( ) 0 j j j j ja a a = = =

olur. lar farkl olduundan , 1 2 1( ) 0, ( ) 0 , , ( ) 0 j j j j olur.Buradan,

1 2 1 0 ja a a = = = =

bulunur.

Yani 0 j X = olmal d r. j X bir zvektr olduundan bu imkns zd r. O halde S lineer

ba ms zd r ve dolay s yla A kegenletirilebilirdir.

NOT: Teorem 2.3 n ispat ndan, u nemli sonu elde edilir: A,n n tipinde bir matris ve

1 2, , k A n n k tane farkl zdeeri ve bunlara kar l k gelen zvektrler de 1 2, k X X X

ise 1 2, k X X X lineer ba ms zd r.

A n n karakteristik polinomun tane arpan olarak yaz labilir. Bunlar n her biri 0

formundad r ve 0 karakteristik polinomun bir reel kkdr. Yani karakteristik polinom,

1 21 2( ) ( ) ( ) r

k k k r

eklinde yaz labilir. Burada 1 2, , r A n n farkl zdeerleri ve 1 2, r k k k toplamlar n

olan tamsay lard r. Bu ik tamsay s na i nin katl l denir. Buradan, "A n n karakteristik

polinomunun kklerinin hepsi reel ve her bir k katl zdeeri iin k tane lineer ba ms z

zvektr bulunabilirse A matrisi kegenletirilebilir bir matristir" sonucu ortaya kar.


15/61

9

2.4 Simetrik Matrislerin Kegenletirilmesi

Simetrik matrisler T A A= art n salarlar. Simetrik matrisler, genel matrislere gre dahakullan l d rlar ve birok uygulamada yer al rlar. Bu blmde simetrik matrislerin zellikleriincelenecektir.

Teorem 2.3 ten n tane farkl zdeeri olan bir n n tipindeki A matrisininkegenletirilebilir olduu biliniyor. Aksi halde A matrisi kegenletirilemeyebilir.

Simetrik matrisler ise her durumda kegenletirilebilir. Yani A matrisi bir simetrik matris ise1 P AP D = olacak ekilde tekil olmayan bir P matrisi vard r. Burada D bir kegen matrisdir.

Teorem 2.4

Bir reel simetrik matrisin karakteristik polinomunun btn kkleri reeldir

SPAT:

A matrisinin karakteristik polinomunun herhangi bir kk olsun. n n bir reel say

olduunu yani n n kompleks elenii olmak zere = olduu gsterilecektir.

AX X = ifadesinin iki yan soldan T X ile arp ls n,

T T

T

X A X X X

X X

==

(2.4)

olur. Her iki taraf n elenik transpozesi al n rsa,

T T T X A X X X =

veya

( )T T T X A X X X A reel ve A A oldu undan = =


16/61

10

( 2.4 ) ifadesi de kullan larak,

T T X X X X =

elde edilir. Dolay s yla,

( ) ( ) 0T X X =

bulunur. 0 X olduundan, 0T X X d r. Bylece 0 = veya = olur.

SONU 2.1

A bir simetrik matris ve A n n btn zdeerleri farkl ise A k egenle tirilebilir bir matristir.

SPAT:

A simetrik bir matris olduundan, karakteristik polinomunun btn kkleri reeldir.zdeerler farkl olduundan Teorem 2.3 ten A n n kegenletirilebilir olduu anla l r.

Teorem 2.5

A bir simetrik matris ise, A n n farkl zdeerlerine kar l k gelen zvektrleri birbirine diktir.

SPAT:

A n n 1 ve 2 farkl zdeerlerine kar l k gelen zvektrleri 1 X ve 2 X olsun.

1 1 1 AX X =

2 2 2 AX X =

dir. Yukar daki ilk denklem 2T X , ikincisi 1

T X ile soldan arp l rsa,


17/61

11

2 1 1 2 1T T X A X X X = (2.5a)

1 2 2 1 2T T X A X X X = (2.5b)

olur. (2.5b) nin her iki taraf

n

n transpozesi al

narak A n

n simetrik matris olduu gz nneal n rsa,

2 1 2 2 1T T X A X X X = (2.6)

Bulunur. (2.6) ifadesi (2.5a) ifadesinden kar l rsa,

1 2 2 10 ( )T X X =

olur. 1 2 olduundan 2 1 0T

X X = elde edilir.

A kegenletirebilen bir matris ise P tekil olmayan bir matris olmak zere 1 P A P kegen

matristir. Ayr ca P nin stunlar A matrisinin zvektrleridir. A simetrik ve zdeerleri farkl bir matris olmak zere A matrisinin zvektrlerinin dik cmlesi S ise A matrisinin bir

zvektrn, s f rdan farkl bir say ile arpt m zda yine A matrisinin bir zvektrolaca ndan S cmlesini normalize edebiliriz. Bu ortanormal cmle, A matrisinin

zvektrlerinden elde edilen cmle olarak { }1 2, , , nT X X X = eklinde yaz labilir. P nin j.

stunu j X zvektr olsun. Bu durumda P nin ne tr bir matris olduunu anlamak

mmkndr. P yi [ ]1 2, , , n P X X X = eklinde sat r matrisi olarak yazabiliriz. Buradan

1

2

T

T T

T n

X

X P

X

=

olur. Burada T i X , 1n tipindeki i X matrisinin ( vektr ) transpozesidir.

Buradan T P P matrisinin ( i,j ) bileeninin T i j X X olduu grlr. i=j iin 1T

i j X X = ve

i j iin 0T i j X X = olduundan T n P P I = . Yani 1T P P = olur.


18/61

12

Tan m 2.2

A bir reel kare matris olmak zere eer 1 T A A = ise A ya ortogonaldir denir. Buradan,T

n A A I = ise A n n ortogonal olduu sylenebilir.

Teorem 2.6

n n tipindeki bir A matrisinin ortogonal olmas iin gerek ve yeter art A n n stunvektrlerinin bir ortonormal baz oluturmas d r.

Teorem 2.7

A, n n tipinde bir simetrik matris ise 1 T P AP P AP D = = kegen matrisi olacak ekilde bir P ortogonal matrisi vard r. A n n zdeerleri D nin esas kegeni zerindeki elemanlard r.

RNEK 2.1

1 2 0 02 1 0 00 0 1 2

0 0 2 1

A

=

olsun. A n n karakteristik polinomunun

2 2( ) ( 1) ( 3) p = +

olduu bulunur. Buradan,

1 1 = , 2 1 = , 3 3 = ve 4 3 =


19/61

13

bulunur. imdi zvektrleri ve P ortogonal matrisini hesaplayal mn. Katl l (2) olan -1

zdeerine kar l k gelen zvektrler 4( 1 ) 0 I A X = homojen sisteminin zmleridir.

1

2

3

4

-2 -2 0 0 02 2 0 0 00 0 -2 -2 00 0 -2 -2 0

x

x

x

x

=

r ve s reel say lar olmak zere, btn vektrlerin cmlesi,

1 01 0

0 10 1

r

r r s

s

s

= +

eklindedir. Bylece -1 deerine kar gelen zvektrler,

1 01 0

ve0 10 1

olarak seilebilir. Bu iki vektrn dik olduu a kt r. Ortonormal baz arad m zdan, 1 ve 2

ye kar l k gelen zvektrler s ras yla,


20/61

14

1 2

1 02 0

-1 2 1ve =

20 -1 2

0

X X

=

eklinde al nabilir. Katl l iki olan 3 zdeerine kar l k gelen zvektrler 4(3 ) 0 I A X =

homojen sisteminin zmleridir.

1

2

3

4

2 -2 0 0 0-2 2 0 0 00 0 2 -2 00 0 -2 1 0

x

x

x

x

=

r ve s reel say lar olmak zere, btn vektrlerin cmlesi,

1 01 0

0 10 1

r

r r s

s

s

= +

eklindedir. Bylece 3 zdeerine kar l k gelen zvektrler,

1 01 0

ve0 10 1


21/61

15

olarak seilebilir. Bu iki dik vektrn normalize edilmesiyle3 ve 4 e kar l k gelen

zvektrler s ras yla,

3 4

1 02 01 2 1ve =

20 1

20

X X

=

bulunur. Farkl zdeerlere kar l k gelen zvektrler diktir ve bylece,{ }1 2 3 4, , , X X X X 4 R

iin bir ortonormal bazd r. P matrisi, j. stunu ( 1,2,3,4) j X j = olan matristir. Yani,

1 10 02 2

-1 10 02 2

1 10 02 2

-1 10 02 2

P

=

olur.

A , n n tipinde bir simetrik matris ise 1 P AP bir kegen matris olacak ekilde bir P

ortogonal matrisinin nas l bulunabilecei biliniyor. Tersine, 1 P AP D = bir kegen matrisi


22/61

16

olacak ekilde bulunabilecek P ortogonal matrisi iin bir A matrisi gz nne al ns n. A ne tr

bir matristir? 1 P AP D = olduundan 1 A PDP = dir. Ayn zamanda P ortogonal olduundan1 T P P = dir. Bylece,

( ) ( )T T T T T T T T A PDP P D P PDP A= = = =

olur, yani A matrisi simetrik bir matristir.

Birok uygulamada, sadece verilen bir A matrisine benzer olan D kegen matrisini bulmaya

ihtiya duyulur. Yani 1 P AP D = olacak ekilde zvektrlerin normalize edilmesiyle oluanP matrisini a ka bilme zorunluluu yoktur. D matrisi A matrisinin zdeerlerinin kegenmatris formunda yaz lmas yla elde edilebilir.

zdeer problemleri birok mhendislik ve matematik uygulamalar nda yer al r. Bunlar,aerodinamik, esneklik, nkleer fizik, mekanik, kimya mhendislii, biyoloji, diferansiyeldenklemler ve bunun gibi alanlard r. Uygulama problemlerindeki birok kegenletirilebilir matris simetriktir. Ya da karakteristik polinomunun btn kkleri reeldir.lerleyen blmlerde zellikle mekanik alan ndaki uygulamalar incelenecektir.


23/61

17

3. EYLEMSZLK TANSR

Bundan sonraki blmlerde mhendislik mekaniinde kar m za kan baz matrisler ele

al nacakt r. Bu matrislerin zdeer ve zvektrlerinin nemli anlamlar ve ilevleri vard r.Ayr ca, bu matrisler tansr dnm zellii gstermektedirler. Dolay s yla bu matrislerdengenellikle tansr diye sz edilir.

Bu blmde eylemsizlik tansr ele al nacakt r.

3.1 Eylemsizlik Ve arp m Eylemsizlik Momentleri

Eylemsizlik momentleri bir cismin, ya da bir dzlemsel yzeyin, belirli bir ynelim ve

balang noktas na sahip, verilen bir koordinat sistemine gre ktle ya da alan da l m n zel bir ekilde belirler.

ekil 3. 1 Ktle Eylemsizlik Momentleri


24/61

18

ekil 3.1 de gsterilen rijit cismi ele alal m. Cismin dnme hareketi incelenirken kar la lan,cismin hacmi zerinden al nan,

2 2 2( ) xx xm V

I r dm y z dv= = +

2 2 2( ) yy ym V

I r dm x z dv= = + (3.1)

2 2 2( ) zz z m V

I r dm x y dv= = +

integrallerine eksenlere gre ( s ras yla x,y,z) ktle eylemsizlik momentleri ,

xy yxV

yz zyV

xz zxV

I I xy dv

I I yz dv

I I xz dv

= =

= =

= =

(3.2)

integrallerine dektle arp m eylemsizlik momentleri ad verilir. Burada younluktur. Dik

dzlemlerden biri veya her ikisi ktlenin simetri eksenleri ise bu dzlemlere gre arp m

eylemsizlik momentleri s f r olur.

Benzer ekilde, rnein ubuklar n eilmesi ve dzlemsel yzeylere gelen ak kankuvvetlerinin incelenmesinde kar la lan,

2 2, , xx yy xy A A A

I y dA I x dA I xy dA= = = (3.3)

alan integrallerinin, ilk ikisi alan eylemsizlik momentleri , sonuncusu da alan arp m eylemsizlik momenti olarak adland r l r. ekil 3.2.


25/61

19

y

xy

x

dA

ekil 3. 2 Alan Eylemsizlik Momentleri

Alan, bir eksene gre simetrikse arp m eylemsizlik momenti s f rd r.

3.2 Bir Eksene Gre Eylemsizlik Momenti

ekil 3.3 teki cismi gz nne alal m. Cismin, O noktas ndan geen ve n birim vektrdorultusundaki bir eksene gre eylemsizlik momenti,

ekil 3. 3 Keyfi Bir Eksene Gre Eylemsizlik Momenti


26/61

20

2 2( )n

m V

I d dm d dv = = (3.4)

olarak tan mlan r. Cismin herhangi bir noktas n n O noktas na gre yer vektr r ise,grlebilecei gibi,

22d r n=

yaz labilir. Bu eitlikte,

, x y z r xi yj zk n n i n j n k = + + = + + (3.5)

olduu gz nnde tutulursa (3.4) ,

2 2 2( ) ( ) ( ) ( )n z y z z y x

V

I yn zn zn xn xn yn dv = + +

olur. Parantezler a l r ve koordinatlardan ba ms z olan , x y z n n ve n nin arp mlar

integrallerin d na kar l rsa,

2 2 2( ) 2 2 2n xx x yy y zz z xy x y yz y z xz x z I I n I n I n I n n I n n I n n= + + + + + (3.6)

ifadesi elde edilir. Bu ifade bir kuadratik formdur.

Buradan, bir dzlemsel alan n koordinat merkezinden geen ve n birim vektr

dorultusundaki eksene gre eylemsizlik momentinin,

2 2( )n xx x yy y xy x y I I n I n I n n= + + (3.7)

olaca sylenebilir.


27/61

21

3.3 Asal Eylemsizlik Eksenleri

Cismin eylemsizlik momentinin ekstremum deerler ald eksenlere asal eksenler , bu

eksenlere gre eylemsizlik momentlerine deasal eylemsizlik momentleri denir. Ayr ca, bueksenlere gre arp m eylemsizlik momentleri de s f rd r. Oxyz sisteminin O noktas ndan

geen ( , , ) x y z n n n n birim vektr dorultusundaki eksene gre eylemsizlik momentini veren

( ) ( )( , , )n n x y z I I n n n= fonksiyonunun ( Bkz.(3.6) ) ekstrem (u) deerler ald dorultular ve

bu ekstrem deerler bulunmak istenirse, , , x y z n n n bileenlerinin ba ms z olmad , yani,

2 2 2 1 x y z n n n+ + = olduu hat rlanmal d r. Bu durumda Lagrange arpan yntemi kullan larak

zme var labilir. Buna gre, I Lagrange arp m olmak zere,

2 2 2( )

2 2 2 2 2 2

( , , ) ( 1)

2 2 2 ( 1)n n x y z x y z

xx x yy y zz z xy x y yz y z xz x z x y z

G I n n n I n n n

I n I n I n I n n I n n I n n I n n n

= + + = + + + + + + +

denirse, ekstremum koullar ,

2 0

2 0

2 0

n n x

x x

n n y

y y

n n z

z z

G I In

n n

G I In

n n

G I In

n n

= = = = = =

(3.8)

olur. Buradan,

( ) 0( ) 0

( ) 0

xx x xy y xz z

xy x yy y yz z

xz x yz y zz z

I I n I n I n

I n I I n I n

I n I n I I n

+ + =+ + =+ + =

(3.9)


28/61

22

elde edilir. Bu, , , x y z n n n cinsinden homojen bir denklem sistemidir. Bu denklem sistemi

matris formda yaz l rsa,

( ) 0( ) 0

0( )

xx xy xz x

xy yy yz y

xz yz zz z

I I I I n

I I I I n

I I I I n

=

(3.10)

olur. Bu ifadenin ( ) 0n A I X = denklemi format nda olduu grlr. Dolay s yla, ( )n I

eylemsizlik momentinin ekstremum deer ald dorultular yani asal eksenler, (3.6)kuadratik formunun katsay lar matrisi olan, simetrik

xx xy xz

xy yy yz

xz yz zz

I I I

I I I I

I I I

=

(3.11)

matrisinin 1 2 3, , I I I zdeerlerine kar gelen(1) (2) (3), ,n n n zvektrleridir. Teorem 2.5 e gre

(1) (2) (3), ,n n n zvektrleri kar l kl olarak birbirlerine diktir. (3.9) denklemlerinin birincisini

xn , ikincisini yn ve ncsn z n ile arp p taraf tarafa toplarsak n I I = buluruz

Buna gre I matrisinin zdeerleri olan 1 2 3, I I ve I ,s ras yla, dorultular (1) (2) (3), ,n n n

vektrleri ile belirli 1 1 1 x y z eksenlerine gre asal eylemsizlik momentlerinden ibarettir. Bu

asal eylemsizlik momentinin biri cismin eylemsizlik momentinin maksimumu, bir dieriminimumudur.


29/61

23

3.4 Eylemsizlik Momentlerinin Dnm-Tansr zellii

Eylemsizlik momentleri kartezyen koordinatlarda tan mlanm t r. Dolay s yla bu kesimde

Oxyz ve O x y z gibi iki kartezyen koordinat sisteminin eksenlerine gre al nan eylemsizlik ve arp m eylemsizlik momentlerinin yer ald I ve I matrislerinin dnm ba nt s n eldeedeceiz. Bu amala, cismin n birim vektr ile verilen eksene gre eylemsizlik momentinin

Oxyz sistemindeki ifadesini veren (3.6) kuadratik formunu ele alal m. Bu form matrislerle,

( )

xx xy xz x

n x y z xy yy yz y

xz yz zz z

T

I I I n

I n n n I I I n

I I I n

n I n

=

=(3.12)

eklinde yaz labilir. Bir P noktas n n konum vektrnn Oxyz kartezyen sistemindeki

bileenleri ile bir O x y z deki bileenlerini birbirine balayan dnmn J Jacobi matrisinindorultu kosinslerinden oluup, ortogonal olduu 1( )T J J = kolayca grlebilir. Bu

dnm stun vektrlerle,

X J X =

eklinde yaz labilir. Benzer ekilde, n birim vektrnnOxyz deki bileenleri ( , , ) x y z n n n ile

O x y z deki ( , , ) x y z n n n bileenlerini balayan ba nt lar stun vektrler ve J nin

ortogonallii kullan larak,

, T n J n n J n= = (3.13)

dir. (3.12) ve (3.13) den


30/61

24

( )T T

n I n J I J n= (3.14)

olur. Dier taraftan ( )n I in O x y z koordinat sistemindeki ifadesi,

2 2 2( )

( )

2 2 2n xx x yy y zz z xy x y yz y z xz x z

xx xy xz x

n x y z xy yy yz y

z xz yz zz

T

I I n I n I n I n n I n n I n n

I I I n

I n n n I I I n

n I I I

n I n

= + + + + +

=

=

(3.15)

eklindedir. (3.14) ve (3.15) kar lat r lacak olursa,

T I J I J = (3.16)

elde edilir. Bu ise ikinci basamaktan kartezyen tansrler iin dnm ba nt s d r. Bunedenle I ya eylemsizlik tansr denilmektedir.

Buradan, bir kuadratik formun katsay lar matrisinin kartezyen tansr dnm kural nauyduu sonucu kar labilir.

( )O x y z tak m n n 1 1 1( )O x y z asal eksen tak m olarak al nmas halinde, P, ikinci blmde

sz edilen, yani, I n n zvektrlerini stun kabul eden ortogonal matris olmak zere,T J P = olacakt r. Bu durumda T I P I P = olur (3.16). Bu matrisin I n n zdeerlerinin yer

ald kegen matris olduu ikinci blmde a klanm t . Dolay s yla (3.6) kuadratik

formuyla verilen ( )n I , asal eksen tak m nda, 1 2 3( , , )n n n n vektrnn bu tak mdaki bileenleri

olmak zere,


31/61

25

2 2 2( ) 1 1 2 2 3 3n I I n I n I n= + + (3.17)

olacakt r. Dolay s yla, asal eksenlere gre eylemsizlik momentlerinin ( ekstrem deerler )

eylemsizlik tansrnn zdeerleri olan 1 2 3, , I I I olduu buradan da grlmektedir. Ayr ca

buradan bu eksenlere gre arp m eylemsizlik momentlerinin s f r olduu sylenebilir.

Bir noktadan geen asal eylemsizlik tak m n n pratik a dan en nemli zelii o noktada asaleksenlere gre arp m eylemsizlik momentlerinin s f r olmas d r.

(3.6) ve (3.7) kuadratik formlar kar lat r lacak olursa, kesim 3.3 ve bu kesimde ktleeylemsizlik momentleri ile ilgili olarak elde edilen sonular n, iki boyutta, alan eylemsizlik

momentleri iin de geerli olaca sylenebilir.

3.5 Rijit Cismin Sabit Nokta Etraf nda Dnme Hareketi

Ktle eylemsizlik momentleri ile rijit cismin bir nokta etraf ndaki dnme hareketinin

denklemleri elde edilirken kar la ld belirtilmiti. Burada k saca, bu denklemlerin eldeedilii verilecek ve asal eksenlerin yarar vurgulanacakt r. Rijit cismin bir nokta etraf ndakidnme hareketinin denklemleri M ve H, s ras yla, bu noktaya gre, kuvvetlerin toplam

momenti ve cismin a sal momentumu olmak zere,

d H M

d t = (3.18)

denklemlerinden elde edilir. Cismin toplam a sal momentumu tan m gerei,

( )m V

H r v dm r v dv = = (3.19)


32/61

26

dir, (ekil 3.4).

ekil 3. 4 Sabit Bir Nokta Etraf nda Dnme

Cismin anl k a sal h z vektr ise dm ktlesinin anl k h z n n,

v r = (3.20)

olaca kolayca grlebilir. (3.20), r, ve H vektrlerinin Oxyz dik koordinat sisteminde,

, , x y z x y z r xi yj zk i j k H H i H j H k = + + = + + = + + eklindeki bileenlerle ifadeleri

kullan l rsa, (3.19) dan

2 2

2 2

2 2

( )

( )

( )

x y z x y z m m m

x y z m m m

x y z m m m

H i H j H k y z dm xy dm xz dm i

xy dm x z dm yz dm j

zx dm yz dm x y dm k

+ + = +

+ + +

+ + +

(3.21)


33/61

27

bulunur. ntegral ifadelerinin eylemsizlik ve arp m eylemsizlik momentlerini gsterdii gznnde bulundurulursa,

x xx x xy y xz z

y yx x yy y yz z

z zx x zy y zz z

H I I I

H I I I

H I I I

= + += + += + +

(3.22)

elde edilir.

Bu denklemler asal eylemsizlik eksenleri seildiinde daha da basitleir. Bu eksenler

kullan ld nda, arp m eylemsizlik momentleri 0 xy yz zx I I I = = = olur.

, x xx y yy z zz I I I I ve I I = = = ile gsterilirse, a sal momentumun bileeni,

, , x x x y y y z z z H I H I H I = = =

olur. Ayr ca cisim asal eylemsizlik eksenlerinden biri boyunca ynelmi a sal h z yla

dnecek olursa, cismin, bu eksene gre eylemsizlik momenti I olmak zere, a sal

momentumun H I = olaca a kt r. Yani cismin a sal momentumu bu eksendorultusundad r.

Ayr ca, bir A vektrnn sabit (X,Y,Z) ve a sal h z ile hareketli (x,y,z) koordinat

sistemlerine gre deiim h zlar aras nda,

XYZ xyz

dA dA A

dt dt = +

(3.23)

ba nt s olduu bilinmektedir Bu durumda (3.18)

( ) xyz H H = + (3.24)

ekline gelir. xyz eksenleri cisim iinde sabit olacak ve cisimle birlikte hareket edecek ekilde


34/61

28

seilebilir. Bu durumda cismin, bu eksenlere gre eylemsizlik ve arp m eylemsizlik

momentleri hareket sresince sabit olaca ndan, bu vektrel denklem a sal momentum bileenleri iin (3.22) eitlikleri kullan larak,

2 2

2 2

( ) ( )

+ ( )+ ( )( ) ( )

+ ( )+ ( )(

x xx x yy zz y z xy y z x

yz y z xz z x y

y yy y zz xx z x yz z x y

zx z x xy x y z

y zz z

M I I I I

I I

M I I I I

I I

M I I

= +

= +

+=

2 2

) ( )

+ ( )+ ( )

xx yy x y zx x y z

xy x y yz y z x

I I

I I

+

+

(3.25)

eklinde skaler denklem haline getirilebilir. Cisimle birlikte hareket eden x.y ve z eksenleri

asal eylemsizlik eksenleri olarak seilirse, arp m eylemsizlik momentleri s f r ve xx x I I = vs.

olur ve denklem (3.25),

( )( )( )

x x x y z y z

y y y z x z x

z z z x y x y

M I I I

M I I I

M I I I

= = =

(3.26)

ekline dnr. (3.26) denklem tak m Euler hareket denklemleri olarak bilinir. Burada asaleylemsizlik eksenleri kullan ld nda (3.25) denklemlerinin ne kadar kullan labilir hale geldiigrlmektedir.

3.6 Doru Eksenli ubuklar n Eilmesi

Alan eylemsizlik momentleri ile ubuklar n eilmesinin incelenmesinde kar la ld


35/61

29

belirtilmiti. Bu k s mda dorusal ubuklar n basit eilme gerilmelerinin hesab k sacaverilecek ve alan eylemsizlik tansrnn zdeer ve zvektrlerinin ilevi vurgulanacakt r.

Basit mukavemet hallerinden biri, kesitte yaln z eilme momentinin bulunduu basit eilme

halidir. Eilme momenti genellikle kesme kuvvetiyle birlikte bulunmas

na ramen, baz

zelykleme hallerinde tek ba na da bulunabilir.

Bu k s mda, basit eilme denilen bu durumda gerilmelerin hesab incelenecektir. nce baz tan mlar verilecektir.

Eilmeden nce doru olan ve z ekseni ile ak an ubuk ekseninin, eilmeden sonra ald eri ekle elastik e ri, ubua tesir eden kuvvetlerin iinde bulunduu dzleme kuvvetler dzlemi denir. Kuvvetlerin iinde bulunduu dzlemle elastik eriyi iinde bulundurandzlem ak yorsa dz e ilmeden , aksi haldee ik e ilmeden sz edilir. Eilme halinde boydeiimine uramayan ubuk liflerini iinde bulunduran dzlemetarafs z dzlem , budzlemle ubuk en kesitinin ara kesitinetarafs z eksen denir.

Ayr ca, basit eilme halinde gerilme da l n tespit edebilmek iin aa daki kabuller yap l r:

Eilmeden nce ubuk eksenine dik olan dzlemler, eilmeden sonra da elastik eriye dik ve

dzlem kal rlar (Bernoulli-Navier Hipotezi).

Malzeme lineer elastiktir. Yani gerilme ileekil deitirme ilikileri dorusald r, E = dir (Hooke cismi).(Not: Gerilme veekil deitirme tan mlar 4. ve 5. blmlerde verilmitir.)

ekil 3.5 te simetrik olmayan herhangi bir ubuk kesiti grlmektedir. Bu ubuk, herhangi bir ekseni dorultusunda tesir eden M eilme momentinin etkisi alt nda olsun,


36/61

30

y

kuvvetler dzlemi

x

M

z

dAz

M

ekil 3. 5 Eik Eilme

Yukar da sz edilen kabullere dayanarak kesit zerinde al nacak bir dA alan eleman ndaki

normal gerilme,

yc xc ) y , x( f 21 z +== (3.27)

eklinde ifade edilebilir. Burada,c1 ve c2 tayin edilmesi gereken sabitlerdir. Kesite etkiyen bileke normal kuvvet N iin,

z

A

N dA =

Moment bileenleri x yve M iin,

x z y z A A

y dA M x dA = =


37/61

31

edeerlik denklemleri salanmal d r. Bunlara gre,

+=+== A A A A

z ydAc xdAcdA yc xcdA N 2121 )( (3.28)

+=+== A A A A

z x dA ycdA y xcdA y yc xcdA y M 2

2121 )( (3.29)

=+== A A A A

z y dA y xcdA xcdA x yc xcdA x M 22

121 )( (3.30)

yaz labilir. Basit eilme halinde N = 0 olacakt r. Bunun iin (3.28) ifadesindeki integrallerins f r olmas gerekir. xy eksen tak m a rl k merkezinden getiinden, bu art kendiliindensalan r ( Herhangi bir kesitin a rl k merkezine gre statik momentleri s f rd r ).

Blm (3.1) de verilen eylemsizlik momentleri tan mlar gereince (3.29) ve (3.30) ifadeleri,

1 2 x xy xc I c I = +

1 2 y y xyc I c I = +

eklini al rlar. Bu iki denklemdenc1 ve c2 elde edilip, bu deerler (3.27) de yerletirilirse,

2 2 x xy y x x y y xy z x y xy x y xy

M I M I M I M I x y I I I I I I

= + (3.31)

gerilme forml elde edilir. Bylece en genel eilme halinde normal gerilme ifadesi kart lm olur.

zel olarak x y eksen tak m n n, kesitin asal eylemsizlik tak m olmas halinde I xy= 0

olaca

ndan, normal gerilme iin,


38/61

32

x I

M y

I M

y

y

x

x z = (3.32)

bulunur. M vektrnn asal eksenlerden biri, rnein x dorultusunda ( y ekseni kuvvetler dzlemi iinde ) olmas halinde,

x z

x

M y

I =

olur. Bu durumda, gerilmeler y nin fonksiyonu olduundan, eilme dz eilme olur. Tarafs zeksen x eksenidir. Sonu olarak, kuvvetler dzlemi kesitin asal eksenlerinden birini ierirse,

eilme dier eksen etraf nda dz eilme olur.


39/61

33

4. GER LME TANSR

Bu kesimde ekil deitiren cisimler mekaniinde nemli yeri olan gerilme tansr ele

al nacak ve bu tansrn zdeer ve zvektrlerinin fiziksel kar l klar belirtilecektir.

4.1 Kuvvet Ve Gerilme

Bir cismin, zihnen dnlen eitli paralar aras ndaki etki ve tepkiye i kuvvet denir.Ay rma yzeyinin seilen taraf na gre, i kuvvet belirli bir yn kazan r. Seilen taraflarda

deiiklik yap l rsa i kuvvet de ynn deitirir.

kuvvetlerin esas zelliklerinden biri de, kesit yzeyi boyunca srekli bir tarzdada l olmalar d r. Yzeye da l i kuvvetin herhangi bir noktada da lma iddetini belirtmek iin, ocivarda birim alana isabet eden deerinin verilmi olmas gerekmektedir, buiddete gerilme denir.

ay rmayzeyi

I

F3F 4

A

FF1 2

B

(Kesit)

Fn

ekil 4. 1 Gerilme Vektr

ekil 4.1 de gsterilen kesitin B noktas civar nda al nan ile gsterilen alan eleman na

isabet eden i kuvvet tutar F ile gsterilirse, bu civarda gerilme vektr,


40/61

34

0lim A

F p

A = (4.1)

eklinde tan mlan r. Gerilme vektr genel olarak ay rma yzeyinin normalinden farkl dorultudad r.

Gerilme vektrnn ay rma yzeyinin normali dorultusundaki izdmne normal gerilme, ay rma yzeyi zerindeki bir dorultudaki izdmne o dorultudaki kayma gerilmesi ad verilir.

Nokta civar nda gz nne al nan bir kpn bir yznden dier yzne gerilmelerindeimesi ve ieride hacim kuvvetlerinin (atalet) bulunmas ihtimalleri mevcuttur. nce a, b,c boyutunda bir eleman dnlp sonra limite gidildiinde, bu terimlerin yksek mertebedenkk olduu, dolay s yla ihmal edilebilecei grlr.

ekil 4. 2 Eksenli Gerilme Hali


41/61

35

ekil 4.2 de normalleri x,y,z dorultular nda olan yzeylerdeki gerilmeler, seilen eksensistemindeki bileenleri ile gsterilmitir. Kar yzlerdeki gerilme bileenleri ters ynlerdeolacakt r.

Kayma gerilmelerindeki birinci indis gerilmelerin bulunduu yzn normalinin dorultusunu,ikincisi ise gerilmenin dorultusunu belirtir. Moment denge denklemlerinden,

zy yz zx xz yx xy === ,, (4.2)

olduu kolayca gsterilebilir.

4.2 Bir Noktada n Normalli Yzey zerindeki Normal Gerilme

Gerilmenin tan m nda bir A kesit alan eleman n n seilmesi ngrlmt. Buna gre bir noktadan geen, eitli dorultulu yzey elemanlar dnlebileceinden, ayn nokta iin her

defas nda baka bir gerilme bulunacakt r. K saca sylemek gerekirsen deitike p gerilme

vektr ona bal olarak deiecek demektir. Sz konusu nokta civar nda, kenarlar sonsuzkk bir drt yzlnn dengesi dnlerek bu iki vektr aras ndaki vektr fonksiyonu belirlenebilir.

Bu amala sz edilen nokta civar nda al nan ekil 4.3 teki drtyzly gz nne alal m.


42/61

36

n

zy zx

xy

xz

x

yyx

yz

z

O

ekil 4. 3 Dik Kesit

n birim vektrnn bileenleri s ras yla (nx, ny, nz) ve bu yzeydeki gerilme vektrnn

bileenleri de p x, p y , p z olsun. ekildeki cismin dengesinden, (x) ekseni dorultusunda

yaz lacak izdm denklemi,

oaboacobcabc p zx yx x x

++= ....

eklindedir. Halbuki eitli yzlerin alanlar aras nda,

abcnoababcnoacabcnobc z y x

=== .,.,.

ba nt lar mevcut olduundan, denge denklemi,

zx z yx y x x x nnn p ... ++= (4.3)

haline gelir. Benzer ekilde dier eksenler boyunca izdm denge denklemlerinden de,


43/61

37

zy z y y xy x y nnn p ... ++= (4.4)

z z yz y xz x z nnn p ... ++= (4.5)

elde edilir. (4.3), (4.4) ve (4.5) denklemleri, ( , , ) x y z p p p p gerilme vektr ile ( , , ) x y z n n n n

normal vektr aras ndaki lineer vektr fonksiyonunu tarif eden ifadelerdir. Bu vektr

fonksiyonunun,

x xy xz

yx y yz

zx zy z

(4.6)

ile verilen katsay lar matrisine gerilme tansr ad verilir.

Matris formda (4.3) ,(4.4), (4.5) ba nt lar ,

T p n = (4.7)

eklindedir. (4.2) simetri ba nt lar gz nnde bulundurulursa, gerilme tansrnn simetrik olduu grlr. Dolay s yla gerilme vektr iin (4.7) ifadesi,

p n = (4.8)

olarak yaz labilir. abc kesitindeki normal gerilme,

( ). . . .

n x x y y z z p n n p n p n p = = + +


44/61

38

eder ki (4.3), (4.4) ve (4.5) denklemleri yard m yla ( )n iin,

2 2 2( ) . . . 2. . 2. 2n x x y y z z x y xy x z xz y z yz n n n n n n n n n = + + + + + (4.9)

yada matris formda,

( )T

n n n = (4.10)

bulunur.

4.3 Asal Gerilmeler, Gerilme Bileenlerinin Dnm Ve Tansr zellii

Bir cismin bir noktas ndan geen ve birim normali ( , , ) x y z n n n n olan yzeydeki normal

gerilme (4.9) kuadratik formu ile verilmitir. Bu ifade ( )n I eylemsizlik momenti iin verilen

(3.6) ifadesinin benzeridir. Dolay s yla (3.6) ifadesi kullan larak, 3.3 ve 3.4 kesimlerinde elde

edilen sonular gerilmeler iin de kullan labilir.

rnein, normal gerilmelerin en byk ve en kk deerlerinin bulunmas

istenirse,2 2 2 1 x y z n n n+ + = koulu alt nda (4.9) da verilen,

2 2 2( ) . . . 2. . 2. 2n x x y y z z x y xy x z xz y z yz n n n n n n n n n = + + + + +

kuadratik formunun ekstremumu aranacakt r. 3. blmde elde edilen sonulara gre, ( )n nin


45/61

39

ekstremum olduu deerler (4.9) kuadratik formunun katsay lar matrisi olan,

x xy xz

xy y yz

xz yz z

=

simetrik matrisinin 1 2 3, , zdeerleridir. S ras yla bu zdeerlere kar gelen(1) (2) (3), ,n n n

zvektrleri de bu gerilmelerin dorultular n vermektedir. Bu ekstremum deerlere asal gerilmeler denmektedir. Bu deerlerden biri en byk, dieri en kk normal gerilmedir.

Yine O noktas nda bir Ox y z dik koordinat sistemindeekil 4.3 tekine benzer olarak al nan

bir drtyzlnn dik yzeylerine etkiyen gerilme bileenlerinden oluan,

x xy xz

xy y yz

xz yz z

=

matrisi ile matrisi aras ndaki dnm ba nt s , koordinat dnmnn Jacobi matrisi J

olmak zere,

T J J =

dir. Buradan, n n en az ndan kartezyen koordinatlarda tansr zellii gsterdii sonucu

kar. Gerilme bileenlerinin genel koordinatlarda da tansr zelliine sahip olduugsterilebilir.

Ayr ca gerilme tansrnn zvektr dorultular n n belirledii eksen sisteminde, 1 2 3( , , )n n n n

olmak zere,


46/61

40

2 2 2( ) 1 1 2 2 3 3n n n n = + +

dir. Yani normali zvektrler dorultusunda olan dzlemlerde (asal gerilme dzlemleri)kayma gerilmeleri s f rd r.


47/61

41

5. EK L DETRME TANSR

Bu blmde ekil deitiren cisimlerin incelenmesinde nemli bir byklk olanekil

deitirme tansr ele al nacakt r.

5.1 ekil Deitirmenin Tan m

ekil deitiren cisimler mekaniinde nemli bir kavram olanekil deitirme, dier nemli bir kavram olan gerilmeden soyutlanabilir ve ondan ba ms z olarak tan mlan p incelenebilir.

Bir cisminekil deitirmesinin biriuzunluk de i imi dieri a de i imi olan iki ana eleman vard r.

Bu incelemede deiimlerin ana byklkler yan nda ok kk, matematik deyimi ile sonsuzkk olduklar , kabul edilecektir. Bylece, bu deiimler sonlu byklklerin yan nda ihmaledilebilecekleri gibi deiimlerin kareleri ve daha yukar mertebe deerleri de kendileriyan nda ihmal edilecekler demektir.

Uzunluk deiimi: Ana elemanlardan uzunluk veya boy deiiminin tan mlanmas iin balang ta bir x dorultusu zerinde bulunan A ve B noktalar gz nne al ns n, ekil 5.1AB doru paras ekil deitirmeden sonra B A durumuna gelmi olsun.

C BA

A' B'

ekil 5. 1 Uzunluk Deiimi

imdi,


48/61

42

AB

AB B A xo

=

oran dnlsn. Bu oran x dorultusundaki AB doru paras n n ierisindeki birim boylardameydana gelen ortalama boy deiimini tan mlar. Eer yaln z A noktas nda ve xdorultusundaki boy deiimi tan mlanmak isteniyorsa B noktas A ya yaklat r larak limitegeilmelidir. Bylece A da x dorultusundaki birim boy deiimi,

AB

AB B A AB

x=

0lim (5.1)

eklinde tan mlanabilir. Herhangi bir noktada ve herhangi bir dorultudaki boy deiiminitan mlayan byle deerlere uzama oran veya birim boy de i imi adlar verilir.

A deiimi: ekil deitiren cisimler mekaniinde ve mukavemettedik a daki de i im, a deiimi birimi olarak kullan l r. Bu deiimi tan mlamak iin bir A noktas ndan geen birbirine dik x ve y dorultular ile tan mlanan bir dik a dnlsn,ekil 5.2.

A B x

yt

C

C'

A'nB'

ekil 5. 2 A Deiimi

Balang

ta x ve y dorultular

zerinde ve A ya yak

n bir konumda bulunan B ve C noktalar

ile A noktas , ekil deitirme sonucunda AveC B , konumlar na gelirler. Byleceekil 5.2


49/61

43

den de grlecei zere, balang ta 90o olan xAy a s nda = + kadarl k bir deiim

meydana gelir. Bu deer, ekil deitirmenin birinci mertebeden sonsuz kk bir deer olduu hakk nda daha nce yap lan varsay ma gre, ok kktr ve bunun radyan cinsindendeeri A daki x ve y dorultular ile tan mlanan dik a daki ortalama deiimi tan mlar. B veC noktalar A ya yaklat r larak limite geildiinde, A noktas ndaki xAy dik a s ndakideiim,

( )lim xy B AC A

= +

olarak tan mlan r

Bylece/2 radyanl k a daki deiimi yine radyan cinsinden tan mlayan xy ye A daki x, ydorultular na ait a de i im oran ya da kayma a s ad verilir.

Bu ekilde tan mlanan ekil deitirme elemanlar kat cismin belirli bir noktas nda, bunoktadan geen her dorultu ve tepesi bu noktada bulunan her dik a iin birbirlerinden

farkl d rlar. Bir noktadakiekil deitirmenin bilinmesi, somut olarak, bu noktadaki sonsuzkk bir hacim eleman n n ekil deitirmeden sonraki yeni biiminin bilinmesi anlam ndatarif edilebilir. Bu hacim eleman , kenarlar dx, dy, dz olan bir dikdrtgenler prizmas olarak

al n rsa, ekil 5.3a, bu sonsuz kk prizman n ekil deitirmi halinin, ekil 5.3b, bilinebilmesi iin her kenar n n yeni boyunun ve A kesindeki her a n n yeni deerinin

bilinmesi, yani, x, y, z dorultular ndaki x , y , z boy uzama oranlar ile xAy, xAz, yAz dik

a lar ndakiyx, xz, yz a deiimi oranlar n n bilinmesi gerekir.

Bylece A daki ekil deitirme halinin bilinmesi iin gerekli alt eleman,2 xy

xy

= v.b.

tan mlar ile simetrik bir matrisin elemanlar olarak,

x xy xz

xy y yz

xz yz z

=

(5.2)


50/61

44

eklinde gsterilebilir. Bu matris tansr dnm kural na da uyduundan, bu matris ekil

de i tirme tansr olarak adland r l r.

dx(1+ x)dy(1+ y)

y

y'

zz

z'

A

y dz(1+ z)

z

dx

y

dy

Adz

xx'xx

ekil 5. 3 ekil Deitirme Durumu

zel durum olarak, cisminekil deitirmesi esnas nda noktalar n yer deitirme vektrleridaima belirli bir dzleme paralel kal yorsa, bylesi ekil deitirme haline dzlemekildeitirme hali ad verilir. Dzlemekil deitirme halinde (5.2) ifadesi,

00

0 0 0

x xy

xy y

=

veya x xy

xy y

=

eklinde yaz labilir.


51/61

45

5.2 ekil Deitirmelerin Yer Deitirmeler Cinsinden fadesi

Burada geometrik gsterimlerde kolayl k salayaca iin, ifadeler, dzlemekil deitirme

durumu iin elde edilecektir. Cismin A noktas nda al nan ve boyutlar x, y olan bir ABCDdikdrtgeni,ekil deitirdikten sonra ' ' ' ' A B C D ekline dnecektir, ekil 5.4. ' AA yer

deitirmesinin x, y eksenleri dorultular ndaki bileenleri u ve v olsun,

ekil 5. 4 ekil Deitirmelerin Yer Deitirmeler Cinsindenfadesi

A noktas ndan x mesafedeki B noktas n n Bu yer deitirme bileeni,

B

uu u x

= +

olur. u haldex dorultusundakix birim uzamas ,


52/61

46

2 2

2 21' ' 1 1 x

u v x x

x x A B AB u v AB x x x

+ + = = = + +

olarak bulunur. xv

ve xu

deerleri sonsuz kk olduklar ndan, yksek mertebeden

terimler terk edilmek art yla,

xu

x = (5.3)

eklinde elde edilir. Benzer ekildey iin,

2 2

2 21' ' 1 1 y

v u y y y y A C AC v u

AC y y y

+ + = = = + +

yv

y = (5.4)

elde edilir. BAC dik a s nda meydana gelen a deiimi xy ise,

1 22 ' ' ' xy xy BAC B A C

= = = + (5.5)

olacakt r.


53/61

47

Dier taraftan B noktas n n Bv yer deitirme bileeni

B

vv v x

= +

olur. Buna gre1 a s ,

xu x

v

u x xu

xu

v x

x

vv

tg

+

=++

+

= 111

eklinde elde edilir. 1u x


54/61

48

eklinde bulunmu olur.

5.3 Herhangi Bir Dorultudaki Birim Boy Deiimi

Cismin bir noktas ndaki uzama oranlar n n bu noktadan geen her dorultuda farkl olduu

belirtilmiti Burada n birim vektr ile belirli bir dorultudaki ( )n uzama oran n n

( , , ) x y z n n n n ile ilikisi ekil 5.4 teki AD vektrnn deiimi incelenerek elde edilecektir.

Yine ekil deiimlerinin kk olduu varsay lacak ve koordinatlar n art m yerinediferansiyeli kullan lacakt r.

ekil 5.4 te D noktas n n yer deitirme vektr ' DD nn bileenleri,

D

D

u uu u du u dx dy

y

v vv v dv v dx dy

x y

= + = + +

= + = + +

(5.9)

eklinde yaz labilir. ekilden, ' ' ' ' A D A D D D A A =

olduu grlmektedir. Bu eitliin

sol taraf D d r = diferansiyel vektrndeki deiimi gstermektedir. Bu vektr matris

formda

u udu dx x y

dv v v dy x y

=

(5.10)

eklinde yazabiliriz. Bu eitlik, kare matris simetrik ve ters simetrik k s mlara ayr larak,


55/61

49

1 102 2

1 1 02 2

u u v u v x y x y xdu dx dx

dv dy dyu v v u v y x y y x

+ = + +

(5.11)

eklinde yaz labilir. Bu eitliin sa ndaki birinci terimdeki kare matris ekil deitirme

tansrdr. ( Bkz.(5.4)(5.8)(5.9) )

Ters simetrik olan ikinci terimdeki kare matris ile gsterilirse, (5.11) ifadesi matrislerle,

( )d dr dr dr = + (5.12)

olarak yaz labilir. Dier taraftan ds, dr vektrnn boyunu gstermek zere,

2 2( ) ( )d ds d d r =

dir. Buradan,

( ) . ( )ds d ds dr d d r = (5.13)

olur. Bu da, (5.12) kullan larak, matrislerle,

( ) T T ds d ds d r d r d r d r = + (5.14)

eklinde yaz labilir. matrisi ters simetrik olduundan, eitliin sa ndaki ikinci terim s f r olur. Dolay s yla,


56/61

50

( ) T ds d ds d r d r =

olur. Her iki taraf 2

ds ye blnp,dr

nds = olduu gz nne al

n

rsa,

( ) T d ds n nds

= (5.15)

olur. (5.15) in sol taraf n birim vektr dorultusundaki birim boyun deiimini

gstermektedir. Bu terim ( )n ile gsterilecek olursa,

( )T

n n n =

yani,

2 2( ) 2n xx x yy y xy x yn n n n = + +

bulur. Benzer ekilde, boyutluekil deitirme durumunda , ( )n nin,

2 2 2( ) 2 2 2n xx x yy y zz z xy x y yz y z xz x z n n n n n n n n n = + + + + + (5.16)

olaca a kt r. (5.16) ifadesi, katsay lar matrisi ekil de i tirme tansr olan bir kuadratik formdur.


57/61

51

5.4 Asal ekil Deitirmeler, ekil Deitirme Bileenlerinin Dnm Ve Tansrzellii

Cismin bir noktas ndaki uzama oranlar n n bu noktadan geen dorultuya bal l k s m 5.3te incelenmi ve ( , , ) x y z n n n n birim normali ile belirlenen dorultudaki uzama oran ( )n

(5.16) kuadratik formu ile verilmitir. Bu ifade (3.6) da ve (4.9) da verilen kuadratik formlar n benzeridir. (3.6) ifadesi kullan larak 3.3 ve 3.4 kesimlerinde kar lan sonular burada da

geerlidir.

rnein, uzama oran n n en byk ve en kk deerleri bulunmak istenirse2 2 2 1

x y z n n n+ + = koulu alt nda

2 2 2( ) 2 2 2n xx x yy y zz z xy x y yz y z xz x z n n n n n n n n n = + + + + +

Kuadratik formunun ekstremumu aranacakt r. Bu kuadratik formun katsay lar matrisi olan

x xy xz

xy y yz

xz yz z

=

(5.17)

matrisinin 1 2 3, , zdeerleri ( )n nin ekstremum deerleridir. Bu ekstremum deerlere asal

ekil de i tirmeler denmektedir. matrisinin 1 2 3, , zdeerlerine, s ras yla, kar gelen ve

birbirlerine dik olan (1) (2) (3), ,n n n zvektrleri asalekil deitirmelerin dorultular n (asal

eksenleri) belirtmektedir. Bu eksenlerde 1 2 3( , , )n n n n olmak zere,

2 2 2( ) 1 1 2 2 3 3n n n n = + +


58/61

52

dir. Yani bu eksen sisteminde kaymaekil deitirmeleri s f rd r. Ayr ca bir O x y z koordinat

sisteminde tan mlananekil deitirme elemanlar ndan oluan,

x xy xz

xy y yz

xz yz z

=

matrisi ile, Oxyz de (5.17) ile tan ml matrisi aras ndaki dnm ba nt s , koordinat

dnmnn Jacobi matrisi J olmak zere,

T J J =

dir. Buna gre ekil deitirme elemanlar ya da ekil deitirme bileenleri kartezyenkoordinatlarda, tansr dnm kural na uyar. ekil deitirme bileenlerinin de gerilme

bileenleri gibi genel koordinatlarda tansr zelliine sahip olduu sylenebilir.


59/61

53

6. SONULAR

Bu al mada matris zdeer ve zvektrlerin mekanikteki baz uygulamalar incelenmitir.Uygulamalarda kullan lan matrisler simetrik matrislerdir. al mada ele al nan matrislerle

ilgili zdeer ve zvektr problemlerinin uygulamada nas

l kar

m

za

kt

, bu zdeer vezvektrlerin fiziksel olarak anlamlar n n ne olduu ve bunlar n kullan m n n getireceikolayl klardan baz lar gsterilmeye al lm t r.


60/61

54

KAYNAKLAR

Anton H. ,Elementary Linear Algebra, John Wiley & Sons, Newyork Anton H.,Rorres C.,Elementary Linear Algebra-Applications Version, John Wiley & Sons, Newyork

Bakiolu M.,Kad olu N.,Engin H., Mukavemet Problemleri-Cilt1,Beta Yay nlar

Hibbeler R.C.,(2004) Mhendislik Mekanii/Dinamik, evirenler:Soyuok A., Soyuok .,Literatr Yay nlar

Hibbeler R.C., (2005), Mhendislik Mekanii/Statik, evirenler:Soyuok A., Soyuok .,Literatr Yay nlar

Hill D.R., (2002) ,Uygulamal Lineer Cebir ,eviri Editr Ak n ., Palme Yay nc l k

nan M, (1973), Cisimlerin Mukavemeti, Ofset Matbac l k

Johnson, Art., (1994), History of Mathematical Terms,Classic Math: History Topics for theClassroom,. Dale Seymour Publications,.

Kocatrk T.,(2000) , Mukavemet Ders Notlar

Kklce B., (2005), Kuadratik Say Cisimlerinde arpanlara Ay rma, deal S n f Grubu, ve LFonksiyonlar , YT Fen Bilimleri Enstits

Omurtag H.,M., (2005), Mukavemet, Birsen Yay nevi

zbek T., Mukavemet, Birsen Yay nevi

R zaolu E.,Snel N. ,(2002), Klasik Mekanik , Tokat

Soyuok Z., Soyuok A. (2003), Tansr Analizi ve Uygulamalar , YT Bas m-Yay n

uhubi E.S.,(1981) , Rijit Cisimler Dinamii , Fatih Yay nevi Matbaas ,stanbul

http://members.aol.com/jeff570/


61/61

55

ZGEM

Doum tarihi 02.11.1979

Doum yeri Afyon

Lise 1995-1998 Eskiehir Erturulgazi Lisesi

Lisans 1998-2003 Y ld z Teknik niversitesi Kimya-Metalurji Fak.Matematik Mhendislii Blm

Yksek Lisans 2003- Y ld z Teknik niversitesi Fen Bilimleri EnstitsMatematik Mh. Anabilim Dal , Matematik Mh.Program

al t kurum(lar)

2005-Devam ediyor YT Fen Bilimleri Enstits Arat rma Grevlisi

Date post:	04-Apr-2018
Category:	Documents
Upload:	aviatorfox
View:	226 times
Download:	0 times

Matris Ozdeger Ve Ozvektorlerinin Bazi Uygulamalari Some Applications of Matrixes Es Eigenvalues and...

Documents