Memoria de practicas física-Uned 2011

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PRÁCTICAS FÍSICA I CURSO 2010-2011

Grado en Ingeniería Mecánica

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PRÁCTICA 1

Determinación de g mediante un péndulo simple.

FUNDAMENTO TEÓRICO El péndulo simple está formado por una masa m, suspendida de un punto fijo

O por medio de un hilo inextensible de masa despreciable y longitud l, que oscila alrededor de otro punto fijo en la misma vertical que O. Se trata de un sistema que transforma la energía potencial (relativa a su altura vertical) en energía cinética (relativa a su velocidad) y viceversa, debido a la acción de la fuerza gravitatoria “mg” que ejerce la Tierra sobre la masa m (más concretamente, a la componente de esta fuerza perpendicular al hilo, también llamada “restauradora” porque se dirige hacia la posición de equilibrio del péndulo; la otra componente, en la dirección del hilo, tiene igual módulo pero con sentido opuesto a la tensión que el hilo produce sobre la masa, por lo que no interviene en el movimiento del péndulo). El movimiento oscilatorio resultante queda caracterizado por los siguientes parámetros: Oscilación completa o ciclo: es el desplazamiento de la esfera desde uno de sus extremos más alejados de la posición de equilibrio hasta su punto simétrico (pasando por la posición de equilibrio) y desde este punto de nuevo hasta la posición inicial, es decir, dos oscilaciones sencillas. Periodo: es el tiempo empleado por la esfera en realizar un ciclo u oscilación completa. Frecuencia: es el número de ciclos realizados en la unidad de tiempo. Amplitud: es el máximo valor de la elongación o distancia hasta el punto de equilibrio, que depende del ángulo α entre la vertical y el hilo. Para pequeñas amplitudes (senα≈α), el movimiento oscilatorio del péndulo es armónico simple, y el periodo de oscilación T viene dado por la fórmula:

glT 2

Es decir, el tiempo de oscilación no depende ni de la masa m (para amplitudes pequeñas) ni de la amplitud inicial, por lo que puede calcularse g a partir de medidas de tiempos T y longitudes l:

224Tlg

El valor de g disminuye con la profundidad (hacia el interior de la Tierra) y con la altura (hacia el espacio exterior) tomando su valor máximo para un radio igual al terrestre. En la superficie terrestre, g varía con la latitud (la tierra no es esférica sino que posee una forma más irregular denominada geoide): el valor de g es menor en el ecuador que en los polos (ge = 9,78049 m/s2; gp = 9,83221 m/s2). También g varía con la altitud respecto al nivel del mar y con las anomalías de densidad de la corteza terrestre.

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g

METODOLOGÍA Se mide la longitud l del péndulo, esto es, desde el extremo fijo O al centro de masa de la esfera. Se separa el péndulo de su posición de equilibrio alrededor de 15º y se deja oscilar libremente, procurando que el movimiento se produzca en un plano. Después de tres o cuatro oscilaciones, se cronometra la duración t de 10 oscilaciones completas (ida y vuelta). El periodo experimental T vendrá dado por:

10tT

Se realizarán 3 medidas de t para diez longitudes diferentes, modificando la longitud l del péndulo. Se anotan en la tabla las medidas obtenidas, expresando los valores de t en segundos (s) y de l en metros (m). Una vez obtenidas las medidas se calcula g según la fórmula:

22 14T

g

Los datos obtenidos se comparan con la g teórica.

l

mg

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Datos obtenidos en el experimento

l(m) t(s) T=t/10(s) T²(s²) Promedio T²

(s²) g=4²l/T²

(m/s²)

14,63 1,463 2,140 14,69 1,469 2,158 0,528 14,63 1,463 2,140

2,146 9,7030

15,44 1,544 2,384 15,40 1,540 2,372 0,570 15,38 1,538 2,365

2,374 9,4719

16,00 1,600 2,560 15,82 1,582 2,503 0,617 15,97 1,597 2,550

2,538 9,5908

16,75 1,675 2,806 16,78 1,678 2,816 0,699 17,03 1,703 2,900

2,841 9,7081

17,88 1,788 3,197 17,90 1,790 3,204 0,777 17,63 1,763 3,108

3,170 9,6712

18,53 1,853 3,434 18,69 1,869 3,493 0,845 18,60 1,860 3,460

3,462 9,6298

19,31 1,931 3,729 19,66 1,966 3,865 0,917 19,66 1,966 3,865

3,820 9,4725

20,25 2,025 4,101 20,31 2,031 4,125 0,997 20,31 2,031 4,125

4,117 9,5560

20,33 2,033 4,133 20,78 2,078 4,318 1,069 20,97 2,097 4,397

4,283 9,8492

21,62 2,162 4,674 21,62 2,162 4,674 1,140 21,50 2,150 4,623

4,657 9,6598

Promedio de g= 9,6312ms-2

El error cometido en las mediciones nos da un resultado con una desviación del 1,7% aproximadamente.

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y = 4,0484x

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,54,0

4,5

5,0

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2

Longitud (m)

T2(s2)

gT

22 4

Una vez obtenida la gráfica y la pendiente de la recta con el valor de T2, calcularemos una g con mayor aproximación:

22

22 75169

0484414163414

ms ,

,),(

Tg

Resultado más aproximado que el anteriormente calculado. Conclusiones: Al haber realizado la medición de tan sólo 10 oscilaciones el error detectado es mayor que si hubiéramos realizado una medición de tiempo para 20 oscilaciones, además del uso de un cronómetro manual y dos personas para la toma de tiempos y control de oscilaciones todavía nos ha perjudicado aún más. Si hubiéramos utilizado por ejemplo un cronómetro controlado con una fotocélula el error hubiera sido mínimo. De todas maneras, lo que se pretendía demostrar con la práctica es la relación que existe entre el período de oscilación del péndulo y la aceleración por la fuerza de la gravedad y así ha quedado demostrado.

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PRÁCTICA 2 1.-Determinación de la constante elástica de un muelle (K).

a) Utilizando el método estático. b) Utilizando el método dinámico.

FUNDAMENTO TEÓRICO

Ley de Hooke La ley de Hooke describe fenómenos elásticos como los que exhiben los resortes. Esta ley afirma que la deformación elástica que sufre un cuerpo es proporcional a la fuerza que produce tal deformación, siempre y cuando no se sobrepase el límite de elasticidad. En esta práctica se estudian simultáneamente la ley de Hooke y el movimiento armónico simple. Se mide la constante de fuerza de un resorte y se halla experimentalmente la relación funcional entre el periodo de oscilación y la masa, en un sistema masa –resorte. La fuerza recuperadora del resorte es proporcional a la elongación y de signo contrario (la fuerza de deformación se ejerce hacia la derecha y la recuperadora hacia la izquierda). La expresión matemática para la ley de Hooke es:

lKF F y l son vectores de la misma dirección y sentido opuesto La fuerza que ejerce para estirarlo es: lKF La 2ª ley de Newton nos dice que toda aceleración tiene su origen en una fuerza. Esto lo expresamos con la conocida:

amF Es obvio que la fuerza recuperadora del resorte es la que origina la aceleración del movimiento, lo que supone que ambas fuerzas, expresadas arriba, son iguales. Luego:

lKF

lamF 2 Igualando obtenemos

mK

Luego el periodo natural de oscilación estará dado por:

KmT 2

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Definición (MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE) Una partícula describe un Movimiento Armónico Simple (M.A.S.) cuando se mueve a lo largo del eje X, estando su posición x dada en función del tiempo t por la ecuación x=A·sen(ωt+φ)

donde A es la amplitud. la frecuencia angular. t+ φ la fase. φ la fase inicial. Las características de un M.A.S. son: Como los valores máximo y mínimo de la función seno son +1 y -1, el movimiento se realiza en una región del eje X comprendida entre -A y +A. La función seno es periódica y se repite cada 2 por tanto, el movimiento se repite cuando el argumento de la función seno se incrementa en 2 , es decir, cuando transcurre un tiempo T tal que (t+T)+j= t+j+2 .

mk

TkmT

22 422

METODOLOGÍA Pesar el resorte y colgarlo de un soporte fijo. Determinación de K con el Método estático Colgar masas de diferente valor en el extremo libre del resorte (por ejemplo 10g, 20g, etc.). Medir el alargamiento correspondiente a cada masa y anotarlo en una tabla de datos. Calcular la constante K y comparar el valor obtenido con la pendiente de la gráfica de la Fuerza con respecto del alargamiento. Determinación de K con el Método dinámico Colgar del resorte masas de diferente valor y medir, para cada caso, el periodo de oscilación. Realizar, para ello, el siguiente procedimiento: una vez que la masa colgada haya alcanzado el equilibrio, tirar suavemente de ella hacia abajo y soltarla para que oscile verticalmente. Medir el

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tiempo t de unas 10 oscilaciones completas. A partir de este dato calcular el tiempo T de una oscilación. Consignar los datos en una tabla. Con los datos obtenidos realizar una gráfica de T2 en función m. Determinar la relación entre T y m. De la gráfica anterior obtenga los valores de la constante elástica k. Comparar los valores obtenidos con ambos métodos.

a) Determinación de la constante elástica del muelle por el Método estático.


Aceleración de la gravedad g=9,81m/s²

Longitud inicial lₒ=0,27m

Masa (kg) F=mg (N) l (m) l=(l-lₒ) (m) K=mg/l (N/m) 0,02 0,1962 0,31 0,04 4,91 0,03 0,2943 0,36 0,09 3,27 0,04 0,3924 0,39 0,12 3,27 0,05 0,4905 0,42 0,15 3,27 0,06 0,5886 0,45 0,18 3,27 0,07 0,6867 0,48 0,21 3,27 0,08 0,7848 0,51 0,24 3,27 0,10 0,981 0,57 0,3 3,27 0,11 1,0791 0,6 0,33 3,27 0,12 1,1772 0,628 0,358 3,29

Promedio de K 3,27 (N/m)

Para la gráfica decidimos eliminar el primer dato debido a su desviación con los demás, el cual nos provocará que el error de cálculo de la pendiente sea mayor.

Determinación de K método estático

y = 3,2827x

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4

Dl (m)

F=mg (N)

lgmK

l (m)

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b) Determinación de la constante elástica del muelle por el método dinámico


mmuelle 15,1 g

Masa colgada

(kg) t(s)

10tT T² Promedio

T² adalgco

muelle

mmm

2

1

2

24T

mK Km

T 22 4

8,91 0,89 0,79 2,86 13,79

8,88 0,89 0,79 2,88 13,70 0,05 9,06 0,91 0,82

0,80 0,06

2,77 14,26

9,53 0,95 0,91 2,94 13,44

9,19 0,92 0,84 3,16 12,50 0,06 9,53 0,95 0,91

0,89 0,07

2,94 13,44

10,00 1,00 1,00 3,06 12,89

10,13 1,01 1,03 2,98 13,23 0,07 10,12 1,01 1,02

1,02 0,08

2,99 13,21

10,81 1,08 1,17 2,96 13,35

10,59 1,06 1,12 3,08 12,81 0,08 10,53 1,05 1,11

1,13 0,09

3,12 12,66

11,40 1,14 1,30 2,96 13,32

11,50 1,15 1,32 2,91 13,56 0,09 10,82 1,08 1,17

1,26 0,10

3,29 12,00

11,81 1,18 1,39 3,04 12,97

11,84 1,18 1,40 3,03 13,03 0,10 11,88 1,19 1,41

1,40 0,11

3,01 13,12

12,25 1,23 1,50 2,83 12,77

12,31 1,23 1,52 3,06 12,89 0,11 12,22 1,22 1,49

1,50 0,12

3,11 12,70

12,81 1,28 1,64 3,07 12,87

12,69 1,27 1,61 3,13 12,63 0,12 12,63 1,26 1,60

1,62 0,13

3,16 12,51

13,16 1,32 1,73 3,14 12,59

13,12 1,31 1,72 3,15 12,51 0,13 13,22 1,32 1,75

1,73 0,14

3,11 12,71

13,59 1,36 1,85 3,15 12,52

13,53 1,35 1,83 3,18 12,41 0,14 13,69 1,37 1,87

1,85 0,15

3,11 12,70

Promedio Km

T 22 4 12,97

Promedio K 3,04 N/m

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Determinación K Método Dinámico

y = 11,887x

0,000,200,400,600,801,001,201,401,601,802,00

0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16

m (kg)

T2 (s2)

El error en las mediciones con respecto de la gráfica es del 9% aproximadamente. Deberíamos haber realizado una medición de oscilaciones mucho mayor para evitar este error.

Conclusiones Ambos métodos son válidos para la determinación de la constante elástica del muelle, aunque en el caso de nuestro experimento el error ha sido bastante alto (9%), debido a que las mediciones de tiempo y nº de oscilaciones han sido realizadas de forma manual con dos operadores, lo cual hace que el error de toma de tiempos y nº de oscilaciones sea mayor.

KmT 22 4

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2.-Cálculo de la densidad de sólidos y líquidos.

FUNDAMENTO TEÓRICO Puesto que el estudio de la mecánica de fluidos trata típicamente con un fluido en flujo continuo con una pequeña cantidad de fluido en reposo, es más conveniente relacionar la masa y el peso del fluido con un volumen dado del fluido. Así pues, la densidad de una sustancia homogénea es la cantidad de masa por unidad de volumen de la sustancia. Por consiguiente, utilizando la letra griega ρ (rho) para la densidad.

mV

Donde V es el volumen de la sustancia cuya masa es m. Las unidades de densidad son kilogramos por metro cúbico en el sistema Internacional. Densidad Relativa A menudo resulta conveniente indicar la densidad de una sustancia en términos de su relación con la densidad de un fluido común. Para sólidos y líquidos, el fluido de referencia es el agua pura a 4°C. A tal temperatura, el agua posee su densidad más grande. Por otro lado, en el caso de los gases, el fluido de referencia es el aire. Entonces la densidad relativa puede definirse en las siguientes formas:

4

sr

wa C

sasr

aire

En donde el subíndice s se refiere a la sustancia cuya densidad relativa se está determinando y el subíndice w se refiere al agua. Las propiedades del agua a 4°C son constantes, y tienen los valores:

34 1000 m/kgCºwa

Esta definición es válida, independientemente de la temperatura a la que se determinó la densidad relativa. Sin embargo, las propiedades de los fluidos varían con la temperatura. En general, la densidad (y por lo tanto la densidad relativa) disminuye cuando aumenta la temperatura. Ley de Hooke

Consideremos un resorte hecho con hilo de sección circular enrollado en forma de hélice cilíndrica fijo en un extremo y el otro libre, tal como se muestra en la figura1.

Figura 1. Cuerpo suspendido de un resorte utilizado para verificar la ley de Hooke

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Al aplicar al extremo libre una fuerza exterior como por ejemplo colocando una pesa m, el resorte experimentara una deformación y. Se encuentra que la fuerza aplicada es directamente proporcional al desplazamiento o al cambio de longitud del resorte. Esto puede expresar en forma de ecuación.

0( )F k y k y y

O en el caso de y0 = 0 F ky

Donde k es una constante de proporcionalidad comúnmente llamada “constante elástica o de fuerza”. Mientras mayor sea k, más rígido o fuerte será el resorte. Las unidades de k son newton por metro (N/m). La relación F ky se mantiene sólo para los resortes ideales. Los resortes verdaderos se aproximan a esta relación lineal entre fuerza y deformación, siempre que no se sobrepase el límite elástico, límite a partir del cual el resorte se deformará permanentemente. Por otro lado debe observarse que el resorte ejerce una fuerza igual y opuesta ykF , cuando su longitud cambia en una cantidad y. El signo menos indica que la fuerza del resorte está en la dirección opuesta al desplazamiento si el resorte se estira o comprime. Esta ecuación es una forma de lo que se conoce como “LEY DE HOOKE”. Flotación y principio de Arquímedes

Cuando un objeto se coloca en un fluido, puede hundirse o flotar. Esto se observa comúnmente con los líquidos, por ejemplo, los objetos que flotan o se hunden en el agua. Pero los mismos efectos ocurren con los gases. Las cosas flotan porque son ligeras o tienen la capacidad para flotar. Por ejemplo, si Ud. sumerge un corcho en el agua y lo suelta, el corcho subirá hasta a superficie y flotará en ella. De nuestro estudio de fuerzas, usted sabe que esta acción requiere de una fuerza neta hacia arriba sobre el cuerpo. Esto es, debe haber una fuerza hacia arriba que actúe sobre el cuerpo, mayor que la fuerza del peso que actúa hacia abajo. Las fuerzas son iguales cuando el cuerpo flota o se detiene en determinada profundidad y se queda estacionario. La fuerza hacia arriba se denomina fuerza de flotación. Se puede observar cómo surge la fuerza de flotación, si se considera un cuerpo ligero que se mantiene bajo la superficie de un fluido como se muestra en la Fig.2.

Figura 2. Demostración de principio de Arquímedes

Las presiones sobre las superficies del bloque son 11 ghp f y 22 ghp f , en donde ρf es

la densidad del fluido. De este modo, hay una diferencia de presiones, )hh(ppp 1221 , entre la parte superior e inferior del bloque, que origina una

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fuerza neta hacia arriba (la fuerza de flotación, bF

. Esta fuerza está equilibrada por el peso del

bloque. La fuerza de flotación neta en términos de la diferencia de presiones viene expresada por:

2 1 2 1( ) ( )b fF p A p A p A g h h A

Donde h2 y h1 son las profundidades de las caras inferior y superior del bloque y A es área del bloque. Debido a que el producto A)hh( 12 , es el volumen del bloque, y por tanto el volumen de fluido desalojado por el bloque, Vf, podemos escribir la ecuación en la forma

b f sF gV

Pero f sV es simplemente la masa del fluido desalojado por el bloque, mf. De este modo la

fuerza de flotación se escribe.

b f f fF m g gV

La ecuación expresa que la magnitud de la fuerza de flotación es igual al peso del fluido desplazado por el bloque. Este resultado se conoce como Principio de Arquímedes. El cual se enuncia en la siguiente forma. Todo cuerpo parcial o totalmente sumergido en un fluido experimenta un empuje hacia arriba igual al peso del fluido desplazado.

METODOLOGÍA Densidad de un sólido

Consideremos un resorte helicoidal de longitud L0 suspendido por uno de sus extremos y el otro libre como se muestra en la Figura 3. Si en el extremo libre colocamos un cuerpo sólido de masa m y de densidad ρs, el resorte experimentará una deformación 1 1 0y L L .

Figura 3. Bloque sólido suspendido de un resorte helicoidal en el aire

Puede observarse que sobre el bloque actúan la fuerza elástica 1ykFe , y el peso del sólido

msg. La ecuación de equilibrio en dirección vertical nos proporciona.

1

0y

e s

s s

FF m g

k y V g

1 0( ) s sk L L V g

Introduzcamos ahora al cuerpo sólido (sujeto al resorte) en un recipiente conteniendo agua, tal como se muestra en la Fig.4. En estas condiciones el cuerpo estará sometido a las fuerzas: El peso )gm( s , la fuerza elástica 2ykFe y al empuje hidrostático )gmF( fwb .

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Figura 4. Bloque sólido suspendido de un resorte helicoidal y sumergido en agua

Aplicando la ecuación de equilibrio en la dirección vertical tenemos

2

0

f s

Fyk y m g m g

2 0( ) s s w sk L L V g V g

Reemplazando la ecuación 1 0( ) s sk L L V g en 2 0( ) s s w sk L L V g V g obtenemos,

2 0 1 0( ) ( ) w sk L L k L L V g

1 2( ) w sk L L V g

Dividiendo miembro a miembro las ecuaciones y simplificando se tiene

1 0

1 2

s

w

L LL L

Esta ecuación nos permite determinar la densidad de un sólido conocida la densidad del agua y midiendo las longitudes no estirada del resorte (L0), la longitud del resorte estirada cuando se encuentra en el aire (L1) y la longitud del resorte estirada cuando se encuentra sumergido completamente el cuerpo sólido en el agua (L2). Calcularemos el volumen del sólido amorfo aplicando la ley de Hooke, con los datos conocidos de la densidad del agua, la constante elástica del muelle calculada con el método estático en el apartado anterior de la práctica, tomando los datos de masa del sólido y del muelle y realizando las mediciones de variación de longitud del muelle.

Datos y resultado del experimento

Masa del sólido

Masa del muelle

Densidad del

agua (w) 62,6g=0,0626kg 15,1g=0,0151kg 1000kg/m3

lmuelle vacío

(L0) lmuelle con masa colgada (L1)

lmuelle con masa en agua (L2)

17cm=0,17m 43cm=0,43m 40,5cm=0,405m

Constante elástica del muelle (N/m)

3,27 N/m

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Cálculo de la densidad

1 0

1 2

s

w

L LL L

3

21

01 1040040504301704301000 m/kg

,,,,

LLLL

ws

Cálculo del volumen del sólido

1 0( ) s sk L L V g

3601 1033881910400

170430273 m,,

),,(,g

)LL(kVs

s

De otra manera,

3621 103388191000

4050430273 m,,

),,(,g

)LL(kVw

s

Utilizando ambas fórmulas para las dos densidades el resultado es el mismo. Cálculo de la densidad de un Líquido Sumergimos ahora al cuerpo de masa m y densidad ρs dentro de un recipiente conteniendo un líquido (alcohol etílico) de densidad desconocida ρx como se muestra en la Figura 5.

Figura 5 Bloque sólido suspendido de un resorte helicoidal y sumergido en un fluido de densidad x

Se observa que sobre el bloque actúa la fuerza elástica 3ykFe , el peso del cuerpo gms , y

la fuerza de empuje gmF fxb . La ecuación de equilibrio en la dirección vertical proporciona

3 ,

0

f x s

Fyk y m g m g

3 0( ) s s x sk L L V g V g

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Reemplazando y simplificando tenemos

1 3( ) x sk L L V g

21

31

LLLL

w

x =ρρ

Esta ecuación nos permite determinar la densidad de un líquido conocida la densidad del agua y midiendo las longitud estirada del resorte (L1) en el aire, la longitud del resorte estirada cuando el cuerpo se encuentra en el agua (L2) y la longitud del resorte estirada cuando se encuentra sumergido completamente el cuerpo sólido en el fluido de de densidad ρx (L3 ).

Datos y resultados del experimento

Masa del sólido

Masa del muelle

Densidad del

agua (w) 62,6g=0,0626kg 15,1g=0,0151kg 1000kg/m3

lmuelle vacío

(L0) lmuelle con masa colgada (L1)

lmuelle con masa en agua (L2)

lmuelle con masa en alcohol (L3)

17cm=0,17m 43cm=0,43m 40,5cm=0,405m 41,5cm=0,415m

Constante elástica del muelle (N/m)

3,27 N/m

Aplicando la fórmula, 3

31

01 600405043041504301000 m/kg,,,,

LLLL

wx

Conociendo el volumen del sólido calculado anteriormente,

3

631 600

819103384150430273 m/kg,,

),,(,gV

)LL(k

sx

Observamos que ambos resultados son coincidentes. Conclusiones Tanto la ley de Hooke como el principio de Arquímedes son métodos válidos para el cálculo de densidades de sólidos y líquidos. En los resultados hemos observado coincidencia de valores utilizando distintas fórmulas de cálculo.

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PRÁCTICA 3 Cálculo de momento de inercia, péndulo de torsión, teorema de Steiner

FUNDAMENTO TEÓRICO

Empezaremos por recordar la 2ª Ley de Newton o ley fundamental de la dinámica. Segunda Ley de Newton (Ecuación fundamental de la dinámica):

"La suma de todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo es igual al producto de su masa por la aceleración que éste adquiere".

∑ = amF

Momento de una fuerza (M0): Se denomina momento de una fuerza respecto de un punto, al producto vectorial del vector posición r de la fuerza por el vector fuerza F.

FrM

×=0

Por lo tanto el módulo de Mo es: d·Fsen·FM ==0 θ siendo d la distancia del origen a la

dirección de la fuerza y r el vector de posición de donde se aplica la fuerza. Normalmente, como es el caso típico de un tornillo o una palanca, la fuerza se aplica en el extremo de la herramienta así que el seno del ángulo entre la dirección de F y la dirección de r es 1 (porque es cero y sen 0=1) y entonces r=d.

La conservación de la cantidad de movimiento o momento lineal tiene por equivalente la

conservación del momento angular L

:

ω

IL =

El vector momento angular, en general, no tiene la misma dirección que el vector velocidad angular ω

. Ambos vectores tienen la misma dirección si el eje de giro es un eje principal de

inercia. Cuando un eje es de simetría entonces es eje principal de inercia y entonces un giro alrededor de ese eje conduce a un momento angular dirigido también a lo largo de ese eje.

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El muelle o resorte espiral es un sistema elástico que cumple la ley de Hooke. Cuando el sistema sufre un desplazamiento desde la posición de equilibrio, aparece un par recuperador que tiende a llevarlo de nuevo a la posición inicial. Para pequeñas oscilaciones, se puede considerar, aplicando la ley de Hooke, que el par recuperador es proporcional al ángulo girado:

θΓ D=

donde D se denomina constante recuperadora del muelle espiral. El período de oscilación de un sistema físico sujeto al muelle espiral viene dado, para pequeñas oscilaciones, por la expresión:

DI

T π2=

siendo I el momento de inercia del sistema respecto al eje de rotación. Una vez conocido el valor de D, es fácil estimar el momento de inercia, I, de un sistema físico, con sólo medir el período de las oscilaciones como se deduce de la ecuación.

Teorema de Steiner El teorema de Steiner se enuncia de la siguiente manera: el momento de inercia de un cuerpo respecto de un eje cualquiera, es igual al momento de inercia respecto a un eje, paralelo al dado, que pase por su centro de masas, más el producto de la masa del cuerpo por el cuadrado de la distancia que separa ambos ejes:

2+= mdII cm

siendo Icm el momento de inercia respecto al eje que pasa por el centro de masas, y d la distancia entre ambos ejes. Sustituyendo en la expresión del período de oscilación el momento de inercia obtenemos,

DmdI

T cm2+

2= π

elevando al cuadrado ambos términos

D)mdI(

T cm2

22 +4= π

222

2 4+

4= d

Dm

DI

T cm ππ

a) Péndulo de torsión, determinación de la constante elástica del muelle

Para la realización de la práctica montaremos un disco calibrado angularmente sobre el soporte del péndulo de torsión y mediremos la fuerza que ejerce el muelle sobre el dinamómetro.

Confeccionaremos una tabla con las fuerzas ejercidas y calcularemos el momento de inercia y la constante elástica del muelle, con los resultados obtenidos confeccionaremos la tabla del momento de inercia con respecto al ángulo girado, cuya pendiente será el valor de la constante

elástica. Según: θΔ

FrD = , 2

2

4=

πDT

I

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Radio del disco desde el punto de tiro del dinamómetro r=0,093m

Ángulo (rad)

1º-F (N)

2º-F (N)

3º-F (N)

Promedio Mₒ (N) θ

FrD =

(Nm/rad)

Mₒ=F·r (Nm)

1,5708 0,34 0,36 0,36 0,35 0,0209 0,03286 1,7453 0,40 0,43 0,42 0,42 0,0222 0,03875 1,9199 0,45 0,49 0,48 0,47 0,0229 0,04402 2,0944 0,49 0,52 0,52 0,51 0,0226 0,04743 2,2689 0,54 0,56 0,56 0,55 0,0227 0,05146 2,4435 0,58 0,58 0,62 0,59 0,0226 0,05518 2,6180 0,63 0,64 0,68 0,65 0,0231 0,06045 2,7925 0,68 0,70 0,74 0,71 0,0235 0,06572 2,9671 0,78 0,80 0,78 0,79 0,0247 0,07316 3,1416 0,84 0,84 0,84 0,84 0,0249 0,07812

Promedio de D 0,0230(Nm/rad) Para disminuir el error se han realizado tres tandas de medición de fuerza F con 10 ángulos distintos.

Determinación constante elástica D

y = 0,0278x

00,010,020,030,040,050,060,070,080,09

0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50

Ángulo q (rad)

Mo (Nm)

Comparando el resultado de la grafica y el promedio de los datos de medición tenemos según la gráfica 0,0278 Nm/rad y 0,0230 Nm/rad. Los datos tienen un error entre sí del 17 %. Una vez obtenida la constante elástica (0,027 Nm/rad) calcularemos los momentos de inercia de varios sólidos, una varilla, un disco, una esfera y un cilindro macizo.

θFr

D =

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Momento de inercia de la varilla Girando la varilla y soltándola tomaremos el tiempo que tarda en oscilar 10 veces, aplicaremos la fórmula de la ley de Hooke para calcular el momento de inercia y compararemos el resultado con el obtenido con la fórmula del momento de inercia de la varilla.

Datos obtenidos en el experimento Longitud de la varilla l=0,61 m

Masa de la varilla m=0,1325 kg

Constante elástica del resorte D=0,027 Nm

nº oscilaciones

(n) t (s) n

tT =

(s)

Promedio de T (s)

2

121

= mlI

(Nm)

10 25,63 2,563 10 25,65 2,565 10 26,40 2,640

2,589 4,109·10-3

Cálculo dependiendo de la constante D y del período T

4,492·10-3

4,499·10-3 2

2

4=

πDT

I 4,766·10-3

Promedio de I 4,586·10-3

Como podemos observar el error entre el cálculo teórico y el cálculo con la constante y el período es del 11%. Momento de inercia del disco Girando el disco y soltándolo tomaremos el tiempo que tarda en oscilar 20 veces, aplicaremos la fórmula de la ley de Hooke para calcular el momento de inercia y compararemos el resultado con el obtenido con la fórmula del momento de inercia del disco.

Datos obtenidos en el experimento Radio del disco r=0,11 m

Masa del disco m=0,3485 kg

Constante elástica del resorte D=0,027 Nm

nº

oscilaciones (n)

t (s) nt

T =

(s)

Promedio de T (s)

2

21

= mrI

(Nm) 20 37,28 1,864 20 37,25 1,863 20 37,50 1,875

1,867 2,108·10-3


2,376·10-3

2,372·10-3 2

2

4=

πDT

I 2,404·10-3


Como podemos observar el error entre el cálculo teórico y el cálculo con la constante y el período es del 12%.

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Momento de inercia de la esfera

Girando la esfera y soltándola tomaremos el tiempo que tarda en oscilar 20 veces, aplicaremos la fórmula de la ley de Hooke para calcular el momento de inercia y compararemos el resultado con el obtenido con la fórmula del momento de inercia de la esfera.

Datos obtenidos en el experimento Radio de la esfera r=0,0725 m Masa de la esfera m=0,948 kg Constante elástica del resorte D=0,027 Nm

nº

oscilaciones (n)

t (s) nt

T =

(s)

Promedio de T (s)

2

52

= mrI

(Nm) 20 36,47 1,824 20 36,34 1,817 20 36,56 1,828

1,823 1,993·10-3


1,937·10-3

1,923·10-3 2

2

4=

πDT

I 1,946·10-3


Como podemos observar el error entre el cálculo teórico y el cálculo con la constante y el período es del 3%. Momento de inercia del cilindro

Girando el cilindro y soltándolo tomaremos el tiempo que tarda en oscilar 10 veces, aplicaremos la fórmula de la ley de Hooke para calcular el momento de inercia y compararemos el resultado con el obtenido con la fórmula del momento de inercia del cilindro.

Datos obtenidos en el experimento Radio de cilindro r=0,045 m Masa del cilindro m=0,440 kg Constante elástica del resorte D=0,023 Nm

nº

oscilaciones (n)

t (s) nt

T =

(s)

Promedio de T (s)

2

21

= mrI

(Nm) 10 9,28 0,928 10 9,16 0,916 10 8,88 0,888

0,911 4,455·10-4


5,890·10-4

5,738·10-4 2

2

4=

πDT

I 5,393·10-4


Como podemos observar el error entre el cálculo teórico y el cálculo con la constante y el período es del 22%.

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Combinación de masas en la varilla

Para la realización de la práctica se colocaran equidistantes dos pesas de igual masa en los extremos de la varilla y las iremos aproximando al eje de rotación para calcular los distintos momentos de inercia del conjunto. Realizaremos igual que en los anteriores ejercicios varias tomas de tiempo de 5 oscilaciones completas. Varilla con masas separadas 0,25 m del centro

Longitud de la varilla l=0,61 m


Constante elástica del muelle D=0,027 Nm

Masa de la pesa nº1 m1=0,236 kg


Radio de las pesas r =0,25 m

nº oscilaciones (n) t (s) nt

T =

(s)

Promedio de T (s)

5 36,00 7,20 5 37,22 7,44 5 36,82 7,36

7,336

3,545·10-2

3,790·10-2 2

2

4=

πDT

I 3,709·10-2


2

121

= mlI illavar (Nm) 4,109·10-3

22= mrImasas (Nm) 2,950·10-2

22 2+121

=+= rmlmIII mvmasasillavartotal 3,360·10-2

Se observa que los resultados del experimento utilizando los distintos métodos de cálculo son similares, su error aproximado es del 9 %, probablemente debido al pequeño número de oscilaciones medidas y a la inexactitud que sucede al utilizar dos operadores para el conteo y la toma de tiempos.

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Varilla con masas separadas 0,15 m del centro








T =

(s)

Promedio de T (s)

5 23,44 4,688 5 24,22 4,844 5 24,16 4,832

4,788

1,280·10-2

1,367·10-2 2

2

4=

πDT

I 1,360·10-2


2

121


22= mrImasas (Nm) 1,062·10-2

22 2+121

=+= rmlmIII mvmasasillavartotal (Nm) 1,472·10-2


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Varilla con masas separadas 0,05 m del centro








T =

(s)

Promedio de T (s)

5 14,94 2,988 5 14,59 2,918 5 14,59 2,918

2,941

6,106·10-3

5,823·10-3 2

2

4=

πDT

I 5,823·10-3


2

121


22= mrImasas (Nm) 1,180·10-3

22 2+121

=+= rmlmIII mvmasasillavartotal 5,288·10-3


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Teorema de Steiner o de los ejes paralelos Para el desarrollo de la práctica utilizaremos un disco con varios agujeros paralelos al eje distanciados del mismo 2 cm; 4,3 cm; 6,3 cm y 8,9 cm. Con las mediciones realizadas en este experimento trataremos de demostrar el Teorema de Steiner o de los ejes paralelos.

Iremos modificando la posición del eje de rotación a las distintas distancias a las que se encuentran los agujeros, controlaremos el tiempo de 10 oscilaciones y realizaremos la medida tres veces en cada eje. Con los datos obtenidos realizaremos las gráficas que relacionan el período T2 con el cuadrado de la distancia entre ejes.

Fórmulas para los cálculos

2

21

= mrIcm Momento de inercia del centro de masas del disco

2+= mdII cm Teorema de Steiner

Cuadrado del período de oscilación con respecto al momento total

Radio del disco r=0,11 m




T =

(s)

Promedio de T (s)

10 12,71 1,271 10 12,53 1,253 10 12,65 1,265

1,263

Momento de inercia del disco respecto centro de masas

Nm·,,·,·mrI cm3-22 102701=1102100

21

=21

=

Nm·,,·,DT

I -32

2

2

2

100901=4

02702631=

4=

ππ

D)mdI(

T cm2

22 +4= π

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Eje paralelo a 2 cm Radio del disco r=0,11 m


Distancia entre eje y centro de masas d=0,043 m



T =

(s)

Promedio de T (s)

10 13,19 1,319 10 12,91 1,291 10 13,06 1,306

1,305


Nm·,,·,·,mdII cm3-23-2 103541=0202110+102701=+=

Nm·,,·,DT

I -32

2

2

2

101641=4

02703051=

4=

ππ

Eje paralelo a 4,3 cm Radio del disco r=0,11 m





T =

(s)

Promedio de T (s)

10 14,75 1,475 10 14,90 1,490 10 14,78 1,478

1,481


Nm·,,·,·,mdII cm3-23-2 106601=04302110+102701=+=

Nm·,,·,DT

I -32

2

2

2

105001=4

02704811=

4=

ππ

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T =

(s)

Promedio de T (s)

10 17,00 1,700 10 17,25 1,725 10 16,69 1,669

1,698


Nm·,,·,·,mdII cm3- 23-2 101072=06302110+102701=+=

Nm·,,·,DT

I -32

2

2

2

109711=4

02706981=

4=

ππ






T =

(s)

Promedio de T (s)

10 20,41 2,041 10 20,56 2,056 10 20,28 2,028

2,042


Nm·,,·,·,mdII cm3- 23-2 109412=08902110+102701=+=

Nm·,,·,DT

I -32

2

2

2

108512=4

02700422=

4=

ππ

Una vez obtenidos los resultados haremos la tabla comparativa.

Posición del eje de rotación Datos teóricos Datos experimentales Centro de masas 1,270·10-3 1,090·10-3

2,0 cm 1,354·10-3 1,164·10-3

4,3 cm 1,660·10-3 1,500·10-3

6,3 cm 2,107 ·10-3 1,971·10-3

8,9 cm 2,941·10-3 2,851·10-3

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Una vez finalizados los cálculos realizamos la gráfica para obtener las pendientes de los cálculos teóricos y experimentales según las fórmulas:

2+= mdII cmtotal

2222 4+4= dDm

DI

T cm ππ

Teorema de Steiner

y = 0,0009x + 9E-07R2 = 0,9851

y = 0,0009x + 1E-06R2 = 0,9881

0,00E+001,00E-062,00E-063,00E-064,00E-065,00E-066,00E-067,00E-068,00E-069,00E-061,00E-05

0,000 0,002 0,004 0,006 0,008 0,010

d2 (m2)

T2 (s2)

TeóricosExperimentalesLineal (Experimentales)Lineal (Teóricos)

Conclusión Observamos que según el Teorema de Steiner, de manera que se aleja el eje de rotación del centro de masas, aumenta proporcionalmente el momento de inercia.

Date post:	30-Jun-2015
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Memoria de practicas física-Uned 2011

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