Memorias de Laboratorio Fisica (1)

8/10/2019 Memorias de Laboratorio Fisica (1)

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MEMORIAS DE LABORATORIO.

CURSO 2013/2014

Practicas de Fisica I

Alumno: Juan

Profesor. D. Agustin Bravo

Grupo 6F

Página 1 de 28



PRACTICA 1 MOVIMIENTO RECITILINEO UNIFORMEMENTE ACELERADO.

1.-OBJETIVO.

El movimiento rectilione uniformemente acelera establece la relacion entre una determinadadistancia recorrida y el tiempo invertido en recorrer esa distancia, la mas, acelaracion y fuerzasque intervienen en el proceso.

2.- ¿QUE VAMOS A HACER?

Vamos a comprobar en esta practica la primera ley de Newton en la que se indica que laFuerza aplicada sobre un cuerpo es igual al producto de su masa por la aceleración.

En las ecuaciones del movimiento es uniformemente acelerado lavelocidad es una función lineal del tiempo, pero no así la posición delmóvil. Por lo que solamente se puede aplicar el procedimiento de laregresión lineal a una tabla de datos tiempo-velocidad, pero la experiencianos suministra una tabla de datos tiempo-desplazamiento. Por tanto,tenemos que obtener una tabla tiempo-velocidad, a partir de una tabla dedatos tiempo-desplazamiento.

Si suponemos que el movimiento es uniformemente acelerado, vamos ademostrar que la velocidad media <v> del móvil entre losinstantes t 1 y t 2 es igual a la velocidad en el instante intermedio ( t 1+t 2)/2.En efecto,

Sea x1 la posición del móvil en el instante t 1

Sea x2 la posición del móvil en el instante t 2.

La velocidad media del móvil entre los instantes t 1 y t 2 es

<v>= x2− x1t 2− t 1

Podemos expresar la posición x2 en términos de la posición inicial x1 y dela velocidad inicial v1.

x2= x1+v1(t 2− t 1)+ 12a(t 2− t 1)2

La velocidad media vale entonces

<v>=v1+a(t 2− t 12)

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/cinematica/rectilineo/rectilineo/rectilineo_1.html





Que como podemos comprobar es la velocidad en el instante intermedioentre t 1 y t 2

<v>=v1+a(t 2+t 12− t 1)

La velocidad media en el intervalo comprendido entre el instante t 1 y t 2 esigual a la velocidad en el instante ( t 1+t 2)/2 intermedio en entre dichosinstantes.

Por tanto, para transformar una tabla tiempo-desplazamiento en otratiempo-velocidad, procedemos del siguiente modo:

En la tabla de desplazamientos calculamos la velocidad media entre losinstantes t 1 y t 2 mediante la fórmula<v>= x2− x1t 2− t 1

Dicha velocidad se la asignamos al instante ( t 1+t 2)/2 .

3.- ESQUEMA DE MONTAJE

El esquema que tulizaremos es el disponible en el laboratorio de Fisica dela UNED que es elque se muestra en la siguiente imagen:



El carril sobre el que se va a desplazar el carrito es un carril perforado conectado a unventilador que cuando es accionado insufla aire por el interior del carril. Este aire sale alexterior por los orificios del carril haciendo que el “carrito” se eleve micrometricamentehablando sobre el carril de tal manera que con esta accion reducimos el rozamiento del carritocon el carril hasta hacerlo aproximadamente cero, reproduciendo asi las condiciones idealesdel movimiento rectilineo uniformemente aceleardo.

En a fotografia podemos ver los diferentes elementos de los que esta compuesto el equipo.

4.-TOMA DE DATOS

Procedemos a montar el equipo

5.-GRAFICAS

6.-RESULTADOS

7.-COMENTARIOS Y CONCLUSIONE

Determinación de g mediante un péndulo simple.



FUNDAMENTO TEÓRICOEl péndulo simple está formado por una masam, suspendida de un punto fijoO por medio de un hilo inextensible de masa despreciable y longitudl, que oscilaalrededor de otro punto fijo en la misma vertical queO.Se trata de un sistema que transforma la energía potencial (relativa a su alturavertical) en energía cinética (relativa a su velocidad) y viceversa, debido a la acción dela fuerza gravitatoria “ mg” que ejerce la Tierra sobre la masam (másconcretamente, a la componente de esta fuerza perpendicular al hilo, también llamada

“restauradora” porque se dirige hacia la posición de equilibrio del péndulo; la otra componente, en la dirección del hilo, tiene igual módulo pero con sentido opuesto a latensión que el hilo produce sobre la masa, por lo que no interviene en el movimientodel péndulo). El movimiento oscilatorio resultante queda caracterizado por lossiguientes parámetros:Oscilación completa o ciclo: es el desplazamiento de la esfera desde uno de susextremos más alejados de la posición de equilibrio hasta su punto simétrico (pasandopor la posición de equilibrio) y desde este punto de nuevo hasta la posición inicial, es

decir, dos oscilaciones sencillas.Periodo: es el tiempo empleado por la esfera en realizar un ciclo u oscilación completa.Frecuencia: es el número de ciclos realizados en la unidad de tiempo.

Amplitud: es el máximo valor de la elongación o distancia hasta el punto de equilibrio,que depende del ángulo entre la vertical y el hilo.Para pequeñas amplitudes (sen ≈ ), el movimiento oscilatorio del péndulo esarmónico simple, y el periodo de oscilación T viene dado por la fórmula:gT 2 lEs decir, el tiempo de oscilación no depende ni de la masam (para amplitudes

pequeñas) ni de la amplitud inicial, por lo que puede calcularseg a partir de medidasde tiemposT y longitudesl:2

4 2

Tg lEl valor deg disminuye con la profundidad (hacia el interior de la Tierra) y con laaltura (hacia el espacio exterior) tomando su valor máximo para un radio igual alterrestre. En la superficie terrestre, g varía con la latitud (la tierra no es esférica sinoque posee una forma más irregular denominada geoide): el valor de g es menor en elecuador que en los polos (ge = 9,78049 m/s2; gp = 9,83221 m/s2). También g varíacon la altitud respecto al nivel del mar y con las anomalías de densidad de la cortezaterrestre.Página 3 de 28gMETODOLOGÍASe mide la longitudl del péndulo, esto es, desde el extremo fijoO al centro de masade la esfera.Se separa el péndulo de su posición de equilibrio alrededor de 15º y se deja oscilarlibremente, procurando que el movimiento se produzca en un plano. Después de tres ocuatro oscilaciones, se cronometra la duraciónt de 10 oscilacionescompletas (ida yvuelta). El periodo experimentalT vendrá dado por:10

T tSe realizarán 3 medidas det para diez longitudes diferentes, modificando la longitudl



del péndulo.Se anotan en la tabla las medidas obtenidas, expresando los valores det en segundos(s) y de l en metros (m).Una vez obtenidas las medidas se calculag según la fórmula:2

4 2 1TgLos datos obtenidos se comparan con lag teórica.lmgPágina 4 de 28Datos obtenidos en el experimentol(m)t(s) T=t/10(s) T² (s² )Promedio T ²(s² )

g=4 ² l/T²(m/s² )14,63 1,463 2,1400,528 14,69 1,469 2,15814,63 1,463 2,1402,146 9,703015,44 1,544 2,3840,570 15,40 1,540 2,37215,38 1,538 2,3652,374 9,471916,00 1,600 2,5600,617 15,82 1,582 2,50315,97 1,597 2,5502,538 9,5908

16,75 1,675 2,8060,699 16,78 1,678 2,81617,03 1,703 2,9002,841 9,708117,88 1,788 3,1970,777 17,90 1,790 3,20417,63 1,763 3,1083,170 9,671218,53 1,853 3,4340,845 18,69 1,869 3,49318,60 1,860 3,4603,462 9,629819,31 1,931 3,7290,917 19,66 1,966 3,86519,66 1,966 3,8653,820 9,472520,25 2,025 4,1010,997 20,31 2,031 4,12520,31 2,031 4,1254,117 9,556020,33 2,033 4,1331,069 20,78 2,078 4,31820,97 2,097 4,3974,283 9,849221,62 2,162 4,6741,140 21,62 2,162 4,67421,50 2,150 4,6234,657 9,6598Promedio de g = 9,6312ms -2

El error cometido en las mediciones nos da un resultado con una desviación del 1,7%aproximadamente.



Página 5 de 28y = 4,0484x0,00,51,01,52,02,53,03,54,04,55,00,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2Longitud (m)T2(s2)gT2

2 4

Una vez obtenida la gráfica y la pendiente de la recta con el valor deT2, calcularemosuna g con mayor aproximación:222

2 9 75164 04844 1 4 31416

, ms,( , )TgResultado más aproximado que el anteriormente calculado.Conclusiones:

Al haber realizado la medición de tan sólo 10 oscilaciones el error detectado es mayorque si hubiéramos realizado una medición de tiempo para 20 oscilaciones, además deluso de un cronómetro manual y dos personas para la toma de tiempos y control deoscilaciones todavía nos ha perjudicado aún más.Si hubiéramos utilizado por ejemplo un cronómetro controlado con una fotocélula elerror hubiera sido mínimo.De todas maneras, lo que se pretendía demostrar con la práctica es la relación queexiste entre el período de oscilación del péndulo y la aceleración por la fuerza de lagravedad y así ha quedado demostrado.Página 6 de 28

PRÁCTICA 21.-Determinación de la constante elástica de un muelle (K).a) Utilizando el método estático.b) Utilizando el método dinámico.FUNDAMENTO TEÓRICOLey de HookeLa ley de Hooke describe fenómenos elásticos como los que exhiben los resortes. Esta leyafirma que la deformación elástica que sufre un cuerpo es proporcional a la fuerza que producetal deformación, siempre y cuando no se sobrepase el límite de elasticidad. En esta práctica se



estudian simultáneamente la ley de Hooke y elmovimiento armónico simple . Se mide laconstante de fuerza de un resorte y se halla experimentalmente la relación funcional entre elperiodo de oscilación y la masa, en un sistema masa –resorte.La fuerza recuperadora del resorte es proporcional a la elongación y de signo contrario(lafuerza de deformación se ejerce hacia la derecha y la recuperadora hacia la izquierda). Laexpresión matemática para la ley de Hooke es:

F K lF y l son vectores de la misma dirección y sentido opuestoLa fuerza que ejerce para estirarlo es: F K lLa 2ª ley de Newton nos dice que toda aceleración tiene su origen en una fuerza. Esto loexpresamos con la conocida:

F m aEs obvio que la fuerza recuperadora del resorte es la que origina la aceleración del movimiento,lo que supone que ambas fuerzas, expresadas arriba, son iguales. Luego:

F K l F m a 2lIgualando obtenemos

m KLuego el periodo natural de oscilación estará dado por:

KT 2 mPágina 7 de 28Definición (MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE)Una partícula describe un Movimiento Armónico Simple (M.A.S.) cuando se mueve a lo largo deleje X, estando su posición x dada en función del tiempo t por la ecuación x=A·sen(ωt+φ )donde

A es la amplitud.la frecuencia angular.t+ φ la fase.φ la fase inicial.

Las características de un M.A.S. son:Como los valores máximo y mínimo de la función seno son +1 y -1, el movimiento se realiza enuna región del eje X comprendida entre -A y +A.La función seno es periódica y se repite cada 2 por tanto, el movimiento se repite cuando elargumento de la función seno se incrementa en 2 , es decir, cuando transcurre un tiempo Ttal que (t+T)+j= t+j+2 .mkTkT m2

2 2 2 4

METODOLOGÍAPesar el resorte y colgarlo de un soporte fijo.Determinación de K con el Método estáticoColgar masas de diferente valor en el extremo libre del resorte (por ejemplo 10g, 20g, etc.).Medir el alargamiento correspondiente a cada masa y anotarlo en una tabla de datos.Calcular la constante K y comparar el valor obtenido con la pendiente de la gráfica de la Fuerza



con respecto del alargamiento.Determinación de K con el Método dinámicoColgar del resorte masas de diferente valor y medir, para cada caso, el periodo de oscilación.Realizar, para ello, el siguiente procedimiento: una vez que la masa colgada haya alcanzado elequilibrio, tirar suavemente de ella hacia abajo y soltarla para que oscile verticalmente. Medir elPágina 8 de 28

tiempo t de unas 10 oscilaciones completas. A partir de este dato calcular el tiempo T de unaoscilación. Consignar los datos en una tabla.Con los datos obtenidos realizar una gráfica de T2 en función m. Determinar la relación entre Ty m.De la gráfica anterior obtenga los valores de la constante elástica k. Comparar los valoresobtenidos con ambos métodos.a) Determinación de la constante elástica del muelle por el Método estático.Datos obtenidos en el experimentoAceleración de la gravedadg=9,81m/s ²Longitud inicial lₒ=0,27m Masa (kg) F=mg (N) l (m) -lₒ) (m) (N/m)0,02 0,1962 0,31 0,04 4,91

0,03 0,2943 0,36 0,09 3,270,04 0,3924 0,39 0,12 3,270,05 0,4905 0,42 0,15 3,270,06 0,5886 0,45 0,18 3,270,07 0,6867 0,48 0,21 3,270,08 0,7848 0,51 0,24 3,270,10 0,981 0,57 0,3 3,270,11 1,0791 0,6 0,33 3,270,12 1,1772 0,628 0,358 3,29Promedio de K 3,27 (N/m)Para la gráfica decidimos eliminar el primer dato debido a su desviación con los demás, el cualnos provocará que el error de cálculo de la pendiente seamayor.Determinación de K método estáticoy = 3,2827x00,20,40,60,811,21,40 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4Dl (m)F=mg (N)l

K m g

l (m)Página 9 de 28b) Determinación de la constante elástica del muelle por el método dinámicoDatos obtenidos en el experimentommuelle 15,1 gMasacolgada(kg)t(s)10

T t T² PromedioT²colg ada



muelle

mm m

212

4 2

T K mm KT 2 4 2

8,91 0,89 0,79 2,86 13,790,05 8,88 0,89 0,79 2,88 13,709,06 0,91 0,820,80 0,062,77 14,269,53 0,95 0,91 2,94 13,440,06 9,19 0,92 0,84 3,16 12,509,53 0,95 0,91

0,89 0,072,94 13,4410,00 1,00 1,00 3,06 12,890,07 10,13 1,01 1,03 2,98 13,2310,12 1,01 1,021,02 0,082,99 13,2110,81 1,08 1,17 2,96 13,350,08 10,59 1,06 1,12 3,08 12,8110,53 1,05 1,111,13 0,093,12 12,6611,40 1,14 1,30 2,96 13,320,09 11,50 1,15 1,32 2,91 13,5610,82 1,08 1,171,26 0,103,29 12,0011,81 1,18 1,39 3,04 12,970,10 11,84 1,18 1,40 3,03 13,0311,88 1,19 1,411,40 0,113,01 13,1212,25 1,23 1,50 2,83 12,770,11 12,31 1,23 1,52 3,06 12,8912,22 1,22 1,491,50 0,123,11 12,7012,81 1,28 1,64 3,07 12,870,12 12,69 1,27 1,61 3,13 12,6312,63 1,26 1,601,62 0,13

3,16 12,5113,16 1,32 1,73 3,14 12,590,13 13,12 1,31 1,72 3,15 12,5113,22 1,32 1,751,73 0,143,11 12,7113,59 1,36 1,85 3,15 12,520,14 13,53 1,35 1,83 3,18 12,4113,69 1,37 1,871,85 0,153,11 12,70Promediom KT 2 4 2

12,97Promedio K 3,04 N/mPágina 10 de 28



Determinación K Método Dinámicoy = 11,887x0,000,200,400,60

0,801,001,201,401,601,802,000,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16m (kg)T2 (s2)El error en las mediciones con respecto de la gráfica es del 9% aproximadamente.Deberíamos haber realizado una medición de oscilaciones mucho mayor para evitar este error.Conclusiones

Ambos métodos son válidos para la determinación de la constante elástica del muelle, aunqueen el caso de nuestro experimento el error ha sido bastante alto (9%), debido a que lasmediciones de tiempo y nº de oscilaciones han sido realizadas de forma manual con dosoperadores, lo cual hace que el error de toma de tiempos y nº de oscilaciones sea mayor.m KT 2 4 2

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2.-Cálculo de la densidad de sólidos y líquidos.FUNDAMENTO TEÓRICOPuesto que el estudio de la mecánica de fluidos trata típicamente con un fluido en flujocontinuo con una pequeña cantidad de fluido en reposo, es más conveniente relacionar la masa

y el peso del fluido con un volumen dado del fluido. Así pues, la densidad de una sustanciahomogénea es la cantidad de masa por unidad de volumen de la sustancia.Por consiguiente, utilizando la letra griega ñ (rho) para la densidad.mV

Donde V es el volumen de la sustancia cuya masa es m. Las unidades de densidad sonkilogramos por metro cúbico en el sistema Internacional.Densidad Relativa

A menudo resulta conveniente indicar la densidad de una sustancia en términos de su relacióncon la densidad de un fluido común. Para sólidos y líquidos, el fluido de referencia es el aguapura a 4°C. A tal temperatura, el agua posee su densidad más grande. Por otro lado, en el caso

de los gases, el fluido de referencia es el aire.Entonces la densidad relativa puede definirse en las siguientes formas:4

srwa C

sasraire



En donde el subíndices se refiere a la sustancia cuya densidad relativa se está determinando yel subíndicew se refiere al agua. Las propiedades del agua a 4°C son constantes, y tienen losvalores:3

4 1000 kg / m wa ºC

Esta definición es válida, independientemente de la temperatura a la que se determinó ladensidad relativa.Sin embargo, las propiedades de los fluidos varían con la temperatura. En general, la densidad(y por lo tanto la densidad relativa) disminuye cuando aumenta la temperatura.Ley de HookeConsideremos un resorte hecho con hilo de sección circular enrollado en forma de hélicecilíndrica fijo en un extremo y el otro libre, tal como se muestra en la figura1.Figura 1. Cuerpo suspendido de un resorte utilizado para verificar la ley de HookePágina 12 de 28

Al aplicar al extremo libre una fuerza exterior como por ejemplo colocando una pesam, elresorte experimentara una deformación y. Se encuentra que la fuerza aplicada esdirectamente proporcional al desplazamiento o al cambio de longitud del resorte. Esto puedeexpresar en forma de ecuación.

F k y k ( y y0 )O en el caso de y0 = 0

F kyDondek es una constante de proporcionalidad comúnmente llamada “constante elástica o de fuerza” . Mientras mayor seak , más rígido o fuerte será el resorte. Las unidades dek sonnewton por metro (N/m).La relación F ky se mantiene sólo para los resortes ideales. Los resortes verdaderos seaproximan a esta relación lineal entre fuerza y deformación, siempre que no se sobrepase ellímite elástico, límite a partir del cual el resorte se deformará permanentemente.Por otro lado debe observarse que el resorte ejerce una fuerza igual y opuesta F k y ,cuando su longitud cambia en una cantidad y. El signo menos indica que la fuerza del resorteestá en la dirección opuesta al desplazamiento si el resorte se estira o comprime. Esta ecuaciónes una forma de lo que se conoce como “LEY DE HOOKE”. Flotación y principio de ArquímedesCuando un objeto se coloca en un fluido, puede hundirse o flotar. Esto se observacomúnmente con los líquidos, por ejemplo, los objetos que flotan o se hunden en el agua. Perolos mismos efectos ocurren con los gases.Las cosas flotan porque son ligeras o tienen la capacidad para flotar. Por ejemplo, si Ud.sumerge un corcho en el agua y lo suelta, el corcho subirá hasta a superficie y flotará en ella.De nuestro estudio de fuerzas, usted sabe que esta acción requiere de una fuerza neta haciaarriba sobre el cuerpo. Esto es, debe haber una fuerza hacia arriba que actúe sobre el cuerpo,mayor que la fuerza del peso que actúa hacia abajo. Las fuerzas son iguales cuando el cuerpoflota o se detiene en determinada profundidad y se queda estacionario. La fuerza hacia arribase denomina fuerza de flotación.Se puede observar cómo surge la fuerza de flotación, si se considera un cuerpo ligero que semantiene bajo la superficie de un fluido como se muestra en la Fig.2.Figura 2. Demostración de principio de ArquímedesLas presiones sobre las superficies del bloque son1 1 p gh f y 2 2 p gh f , en donde ñfesla densidad del fluido. De este modo, hay una diferencia de presiones,

p p p ( h h ) 1 2 2 1 , entre la parte superior e inferior del bloque, que originaunaPágina 13 de 28fuerza neta hacia arriba (la fuerza de flotación,b F

. Esta fuerza está equilibrada por el peso del



bloque.La fuerza de flotación neta en términos de la diferencia de presiones viene expresada por:2 F b p A p 1 A ( p) A f g (h2 h1) ADondeh2 y h1 son las profundidades de las caras inferior y superior del bloque y A es área delbloque. Debido a que el producto( h h )A 2 1 , es el volumen del bloque, y por tanto elvolumen de fluido desalojado por el bloque, V f , podemos escribir la ecuación en la formab f s F gVPero f s V es simplemente la masa del fluido desalojado por el bloque,mf . De este modo lafuerza de flotación se escribe.b f f f F m g gVLa ecuación expresa que la magnitud de la fuerza de flotación es igual al peso del fluidodesplazado por el bloque. Este resultado se conoce comoPrincipio de Arquímedes . El cualse enuncia en la siguiente forma.Todo cuerpo parcial o totalmente sumergido en un fluido experimenta un empuje hacia arribaigual al peso del fluido desplazado.METODOLOGÍADensidad de un sólido

Consideremos un resorte helicoidal de longitud L0 suspendido por uno de sus extremos y el otrolibre como se muestra en la Figura 3. Si en el extremo libre colocamos un cuerpo sólido demasa m y de densidad ñs, el resorte experimentará una deformación1 1 0 y L L .Figura 3. Bloque sólido suspendido de un resorte helicoidal en el airePuede observarse que sobre el bloque actúan la fuerza elástica1 F k y e , y el peso delsólidomsg. La ecuación de equilibrio en dirección vertical nos proporciona.1

0 ye s

s s

F F m gk y V g

1 0 ( ) s s k L L V gIntroduzcamos ahora al cuerpo sólido (sujeto al resorte) en un recipiente conteniendo agua, talcomo se muestra en la Fig.4. En estas condiciones el cuerpo estará sometido a las fuerzas: Elpeso( m g ) s , la fuerza elástica2 F k y e y al empuje hidrostático( F m g ) b fw .Página 14 de 28Figura 4. Bloque sólido suspendido de un resorte helicoidal y sumergido en agua

Aplicando la ecuación de equilibrio en la dirección vertical tenemos2

0 f s

Fyk y m g m g

k ( L2 L0 ) sV s g wV s gReemplazando la ecuación1 0 ( ) s s k L L V g en 2 0 ( ) s s w s k L L V g V gobtenemos,2 0 1 0 ( ) ( ) w s k L L k L L V g1 2 ( ) w s k L L V gDividiendo miembro a miembro las ecuaciones y simplificando se tiene1 01 2

sw



L L L L

Esta ecuación nos permite determinar la densidad de un sólido conocida la densidad del agua ymidiendo las longitudes no estirada del resorte (L0), la longitud del resorte estirada cuando seencuentra en el aire (L1) y la longitud del resorte estirada cuando se encuentra sumergidocompletamente el cuerpo sólido en el agua (L2).Calcularemos el volumen del sólido amorfo aplicando laley de Hooke, con los datos conocidosde la densidad del agua, la constante elástica del muelle calculada con el método estático en elapartado anterior de la práctica, tomando los datos de masa del sólido y del muelle y realizandolas mediciones de variación de longitud del muelle.Datos y resultado del experimentoMasa delsólidoMasa delmuelleDensidad delagua ( w)62,6g=0,0626kg 15,1g=0,0151kg 1000kg/m3

lmuelle vacío(L0)lmuelle con masacolgada (L1)lmuelle con masaen agua (L2)17cm=0,17m 43cm=0,43m 40,5cm=0,405mConstante elástica del muelle (N/m)3,27 N/mPágina 15 de 28

Cálculo de la densidad1 01 2

sw

L L L L

3

1 21 0 104000 43 0 4051000 0 43 017 kg / m

, , , , L L L L s w



Cálculo del volumen del sólido1 0 ( ) s s k L L V g1 0 8 33 10 6 3

10400 9 813 27 0 43 017 , m , , ( , , ) gV k( L L )

s s

De otra manera,1 2 8 33 10 6 3

1000 9 813 27 0 43 0 405 , m

, , ( , , ) gV k( L L )w

s

Utilizando ambas fórmulas para las dos densidades el resultado es el mismo.Cálculo de la densidad de un LíquidoSumergimos ahora al cuerpo de masam y densidad ρ s dentro de un recipiente conteniendo unlíquido (alcohol etílico) de densidad desconocida ρ x como se muestra en la Figura 5.Figura 5 Bloque sólido suspendido de un resorte helicoidal y sumergido en un fluido dedensidad x

Se observa que sobre el bloque actúa la fuerza elástica3 F k y e , el peso del cuerpom g s

, yla fuerza de empuje F m g b fx . La ecuación de equilibrio en la dirección vertical proporciona3 ,

0 f x s

Fyk y m g m g

3 0 ( ) s s x s k L L V g V g



Página 16 de 28Reemplazando y simplificando tenemosk ( L1 L3 ) xV s g1 21 3

L L

L Lw

x =ρ ρ Esta ecuación nos permite determinar la densidad de un líquido conocida la densidad del agua ymidiendo las longitud estirada del resorte (L1) en el aire, la longitud del resorte estirada cuandoel cuerpo se encuentra en el agua (L2) y la longitud del resorte estirada cuando se encuentrasumergido completamente el cuerpo sólido en el fluido de de densidad ñx (L3 ).Datos y resultados del experimentoMasa delsólidoMasa del

muelleDensidad delagua ( w)62,6g=0,0626kg 15,1g=0,0151kg 1000kg/m3

lmuelle vacío(L0)lmuelle con masacolgada (L1)lmuelle con masaen agua (L2)lmuelle con masaen alcohol (L3)17cm=0,17m 43cm=0,43m 40,5cm=0,405m 41,5cm=0,415mConstante elástica del muelle (N/m)3,27 N/m

Aplicando la fórmula,31 3

1 0 6000 43 0 4051000 0 43 0 415 kg / m

, , , , L L L L x w

Conociendo el volumen del sólido calculado anteriormente,36

1 3 6008 33 10 9 813 27 0 43 0 415 kg / m

, ,

, ( , , )V g



k( L L ) s

x

Observamos que ambos resultados son coincidentes.ConclusionesTanto la ley de Hooke como el principio de Arquímedes son métodos válidos para el cálculo dedensidades de sólidos y líquidos.En los resultados hemos observado coincidencia de valores utilizando distintas fórmulas decálculo.Página 17 de 28

PRÁCTICA 3Cálculo de momento de inercia, péndulo de torsión, teoremade SteinerFUNDAMENTO TEÓRICOEmpezaremos por recordar la 2ª Ley de Newton o ley fundamental de la dinámica.Segunda Ley de Newton (Ecuación fundamental de la dinámica):"La suma de todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo es igual al producto de sumasa por la aceleración que éste adquiere".

Σ F =ma Momento de una fuerza (M 0):Se denomina momento de una fuerza respecto de un punto, al producto vectorial del vectorposición r de la fuerza por el vector fuerza F.

M r F

= × 0

Por lo tanto el módulo de Mo es: M = F·sen = F·d 0 θ siendo d la distancia del origen a ladirección de la fuerza y r el vector de posición de donde se aplica la fuerza. Normalmente, comoes el caso típico de un tornillo o una palanca, la fuerza se aplica en el extremo de laherramienta así que el seno del ángulo entre la dirección de F y la dirección de r es 1 (porquees cero y sen 0=1) y entonces r=d.La conservación de la cantidad de movimiento o momento lineal tiene por equivalente laconservación del momento angular L

:ω

L = IEl vector momento angular, en general, no tiene la misma dirección que el vector velocidadangularω. Ambos vectores tienen la misma dirección si el eje de giro es un eje principal deinercia. Cuando un eje es de simetría entonces es eje principal de inercia y entonces un giroalrededor de ese eje conduce a un momento angular dirigido también a lo largo de ese eje.Página 18 de 28El muelle o resorte espiral es un sistema elástico que cumple la ley de Hooke. Cuando elsistema sufre un desplazamiento desde la posición de equilibrio, aparece un par recuperador

que tiende a llevarlo de nuevo a la posición inicial. Para pequeñas oscilaciones, se puedeconsiderar, aplicando la ley de Hooke, que el par recuperador es proporcional al ángulo girado:



Γ = Dθ donde D se denomina constante recuperadora del muelle espiral. El período de oscilación de unsistema físico sujeto al muelle espiral viene dado, para pequeñas oscilaciones, por la expresión:

D I

T = 2π

siendo I el momento de inercia del sistema respecto al eje de rotación. Una vez conocido elvalor de D, es fácil estimar el momento de inercia, I, de un sistema físico, con sólo medir elperíodo de las oscilaciones como se deduce de la ecuación.Teorema de SteinerEl teorema de Steiner se enuncia de la siguiente manera: el momento de inercia de un cuerporespecto de un eje cualquiera, es igual al momento de inercia respecto a un eje, paralelo aldado, que pase por su centro de masas, más el producto de la masa del cuerpo por el cuadradode la distancia que separa ambos ejes:

I = I + md 2 cm

siendo Icmel momento de inercia respecto al eje que pasa por el centro de masas, y d ladistancia entre ambos ejes.Sustituyendo en la expresión del período de oscilación el momento de inercia obtenemos,

D I mdT cm

+ 2

= 2 π elevando al cuadrado ambos términos

D( I md )T cm2

2 2 += 4 π 22 2

2 4+4= d

Dm

D I

Tcm π π

a) Péndulo de torsión, determinación de la constante elástica del muellePara la realización de la práctica montaremos un disco calibrado angularmente sobre el soportedel péndulo de torsión y mediremos la fuerza que ejerce el muelle sobre el dinamómetro.Confeccionaremos una tabla con las fuerzas ejercidas ycalcularemos el momento de inercia y la constante elásticadel muelle, con los resultados obtenidos confeccionaremosla tabla del momento de inercia con respecto al ángulogirado, cuya pendiente será el valor de la constanteelástica. Según: Δθ

Fr D = , 22

4= π



DT IPágina 19 de 28Datos obtenidos en el experimentoRadio del disco desde el punto de tiro del dinamómetro r=0,093m Ángulo

(rad)1º-F(N)2º-F(N)3º-F(N)Promedio Mₒ (N)θ

Fr D =(Nm/rad)Mₒ=F·r (Nm)1,5708 0,34 0,36 0,36 0,35 0,0209 0,032861,7453 0,40 0,43 0,42 0,42 0,0222 0,038751,9199 0,45 0,49 0,48 0,47 0,0229 0,044022,0944 0,49 0,52 0,52 0,51 0,0226 0,047432,2689 0,54 0,56 0,56 0,55 0,0227 0,051462,4435 0,58 0,58 0,62 0,59 0,0226 0,055182,6180 0,63 0,64 0,68 0,65 0,0231 0,060452,7925 0,68 0,70 0,74 0,71 0,0235 0,065722,9671 0,78 0,80 0,78 0,79 0,0247 0,073163,1416 0,84 0,84 0,84 0,84 0,0249 0,07812Promedio de D 0,0230(Nm/rad)Para disminuir el error se han realizado tres tandas de medición de fuerza F con 10 ángulosdistintos.Determinación constante elástica Dy = 0,0278x00,010,020,030,040,050,060,070,080,090,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50Ángulo q (rad)

Mo (Nm)Comparando el resultado de la grafica y el promedio de los datos de medición tenemos según lagráfica 0,0278 Nm/rad y 0,0230 Nm/rad. Los datos tienen un error entre sí del 17 %.Una vez obtenida la constante elástica (0,027 Nm/rad) calcularemos los momentos de inerciade varios sólidos, una varilla, un disco, una esfera y un cilindro macizo.θ

Fr D =Página 20 de 28Momento de inercia de la varillaGirando la varilla y soltándola tomaremos el tiempo que tarda en oscilar 10 veces, aplicaremosla fórmula de la ley de Hooke para calcular el momento de inercia y compararemos el resultadocon el obtenido con la fórmula del momento de inercia de la varilla.Datos obtenidos en el experimentoLongitud de la varilla l=0,61 m



Masa de la varilla m=0,1325 kgConstante elástica del resorte D=0,027 Nmnºoscilaciones(n)t (s) ntT =(s)Promediode T(s)2

121

I = ml(Nm)10 25,63 2,56310 25,65 2,56510 26,40 2,640

2,589 4,109·10-3Cálculo dependiendo de la constante D y delperíodo T4,492·10-34,499·10-322

4= π

DT I4,766·10-3Promedio de I 4,586·10-3

Como podemos observar el error entre el cálculo teórico y el cálculo con la constante y elperíodo es del 11%.Momento de inercia del discoGirando el disco y soltándolo tomaremos el tiempo que tarda en oscilar 20 veces, aplicaremos lafórmula de la ley de Hooke para calcular el momento de inercia y compararemos el resultadocon el obtenido con la fórmula del momento de inercia del disco.Datos obtenidos en el experimentoRadio del disco r=0,11 mMasa del disco m=0,3485 kgConstante elástica del resorte D=0,027 Nmnºoscilaciones(n)t (s) ntT =(s)Promediode T(s)2

21

I = mr(Nm)20 37,28 1,86420 37,25 1,86320 37,50 1,8751,867 2,108·10-3



Cálculo dependiendo de la constante D y delperíodo T2,376·10-32,372·10-322

4= π

DT I2,404·10-3Promedio de I 2,384·10-3

Como podemos observar el error entre el cálculo teórico y el cálculo con la constante y elperíodo es del 12%.Página 21 de 28Momento de inercia de la esferaGirando la esfera y soltándola tomaremos el tiempo que tarda en oscilar 20 veces, aplicaremosla fórmula de la ley de Hooke para calcular el momento de inercia y compararemos el resultadocon el obtenido con la fórmula del momento de inercia de la esfera.Datos obtenidos en el experimentoRadio de la esfera r=0,0725 mMasa de la esfera m=0,948 kgConstante elástica del resorte D=0,027 Nmnºoscilaciones(n)t (s) ntT =(s)Promediode T(s)252

I = mr(Nm)20 36,47 1,82420 36,34 1,81720 36,56 1,8281,823 1,993·10-3Cálculo dependiendo de la constante D y delperíodo T1,937·10-31,923·10-322

4= π

DT I1,946·10-3Promedio de I 1,936·10-3

Como podemos observar el error entre el cálculo teórico y el cálculo con la constante y elperíodo es del 3%.Momento de inercia del cilindroGirando el cilindro y soltándolo tomaremos el tiempo que tarda en oscilar 10 veces, aplicaremos

la fórmula de la ley de Hooke para calcular el momento de inercia y compararemos el resultadocon el obtenido con la fórmula del momento de inercia del cilindro.Datos obtenidos en el experimento



Radio de cilindro r=0,045 mMasa del cilindro m=0,440 kgConstante elástica del resorte D=0,023 Nmnºoscilaciones(n)t (s) n

tT =(s)Promediode T(s)2

21

I = mr(Nm)10 9,28 0,92810 9,16 0,91610 8,88 0,8880,911 4,455·10 -4Cálculo dependiendo de la constante D y delperíodo T5,890·10-45,738·10-422

4= π

DT I5,393·10-4

Promedio de I 5,674·10-4Como podemos observar el error entre el cálculo teórico y el cálculo con la constante y elperíodo es del 22%.Página 22 de 28Combinación de masas en la varillaPara la realización de la práctica se colocaran equidistantes dos pesas de igual masa en losextremos de la varilla y las iremos aproximando al eje de rotación para calcular los distintosmomentos de inercia del conjunto.Realizaremos igual que en los anteriores ejercicios varias tomas de tiempo de 5 oscilacionescompletas. Varilla con masas separadas 0,25 m del centroLongitud de la varilla l=0,61 mMasa de la varilla m=0,1325 kg

Constante elástica del muelle D=0,027 NmMasa de la pesa nº1 m1=0,236 kgMasa de la pesa nº2 m2=0,236 kgRadio de las pesas r =0,25 mnº oscilaciones (n) t (s) ntT =(s)Promediode T(s)5 36,00 7,205 37,22 7,445 36,82 7,367,3363,545·10-2



3,790·10-222

4= π

DT

I3,709·10-2Promedio de I 3,681·10-22

121

I = ml var illa (Nm)4,109·10-3

I = 2mr 2 masas (Nm) 2,950·10-2

2 + 2 2

121

I = I + I = m l m r total var illa masas v m 3,360·10-2

Se observa que los resultados del experimento utilizando los distintos métodos de cálculo sonsimilares, su error aproximado es del 9 %, probablemente debido al pequeño número deoscilaciones medidas y a la inexactitud que sucede al utilizar dos operadores para el conteo y latoma de tiempos.Página 23 de 28 Varilla con masas separadas 0,15 m del centroLongitud de la varilla l=0,61 mMasa de la varilla m=0,1325 kgConstante elástica del muelle D=0,023 NmMasa de la pesa nº1 m1=0,236 kgMasa de la pesa nº2 m2=0,236 kgRadio de las pesas r =0,15 mnº oscilaciones (n) t (s) n

tT =(s)Promediode T(s)5 23,44 4,6885 24,22 4,8445 24,16 4,8324,7881,280·10-21,367·10-222

4= π

DT I1,360·10-2Promedio de I 1,336·10-22

121


I = 2mr 2 masas (Nm)1,062·10-2

2 + 2 2

121



I = I + I = m l m r total var illa masas v m (Nm)1,472·10-2

Se observa que los resultados del experimento utilizando los distintos métodos de cálculo sonsimilares, su error aproximado es del 10 %, probablemente debido al pequeño número deoscilaciones medidas y a la inexactitud que sucede al utilizar dos operadores para el conteo y latoma de tiempos.Página 24 de 28

Varilla con masas separadas 0,05 m del centroLongitud de la varilla l=0,61 mMasa de la varilla m=0,1325 kgConstante elástica del muelle D=0,023 NmMasa de la pesa nº1 m1=0,236 kgMasa de la pesa nº2 m2=0,236 kgRadio de las pesas r =0,05 mnº oscilaciones (n) t (s) ntT =(s)Promediode T(s)

5 14,94 2,9885 14,59 2,9185 14,59 2,9182,9416,106·10-35,823·10-322

4= π

DT I5,823·10-3

Promedio de I 5,918·10-32

121


I = 2mr 2 masas (Nm) 1,180·10-3

2 + 2 2

121

I = I + I = m l m r total var illa masas v m 5,288·10-3

Se observa que los resultados del experimento utilizando los distintos métodos de cálculo son

similares, su error aproximado es del 11 %, probablemente debido al pequeño número deoscilaciones medidas y a la inexactitud que sucede al utilizar dos operadores para el conteo y latoma de tiempos.Página 25 de 28Teorema de Steiner o de los ejes paralelosPara el desarrollo de la práctica utilizaremos un disco con varios agujeros paralelos al ejedistanciados del mismo 2 cm; 4,3 cm; 6,3 cm y 8,9 cm.Con las mediciones realizadas en este experimento trataremos de demostrar el Teorema deSteiner o de los ejes paralelos.Iremos modificando la posición del eje de rotación a lasdistintas distancias a las que se encuentran los agujeros,controlaremos el tiempo de 10 oscilaciones y realizaremosla medida tres veces en cada eje.Con los datos obtenidos realizaremos las gráficas querelacionan el períodoT2 con el cuadrado de la distancia



entre ejes.Fórmulas para los cálculos2

21

I = mr cm Momento de inercia del centro de masas del disco

I = I + md 2 cm Teorema de SteinerCuadrado del período de oscilación con respecto al momento totalRadio del disco r=0,11 mMasa del disco m=0,210 kgConstante elástica del muelle D=0,027 Nmnº oscilaciones (n) t (s) ntT =(s)Promediode T(s)10 12,71 1,27110 12,53 1,25310 12,65 1,2651,263Momento de inercia del disco respecto centro de masas

I mr · , · , , · Nm cm

2 0 210 0 11 2 = 1 27010 -3

21=21=

, · NmT D , · ,

I -32222

= 10901041 263 0 027=4=π π

D( I md )T cm2

2 2 += 4 π Página 26 de 28Eje paralelo a 2 cmRadio del disco r=0,11 mMasa del disco m=0,210 kgDistancia entre eje y centro de masas d=0,043 mConstante elástica del muelle D=0,027 Nm



nº oscilaciones (n) t (s) ntT =(s)Promediode T

(s)10 13,19 1,31910 12,91 1,29110 13,06 1,3061,305Momento de inercia del disco respecto centro de masas

I I md , · , · , , · Nm cm

= + 2 = 1 27010 -3 + 0 2110 02 2 = 135410 -3

, · NmT D , · ,

I -322

22

= 11641041305 0 027=4=π π Eje paralelo a 4,3 cmRadio del disco r=0,11 mMasa del disco m=0,210 kgDistancia entre eje y centro de masas d=0,02 mConstante elástica del muelle D=0,027 Nmnº oscilaciones (n) t (s) ntT =(s)Promediode T(s)10 14,75 1,47510 14,90 1,49010 14,78 1,4781,481Momento de inercia del disco respecto centro de masas

I I md , · , · , , · Nm cm

= + 2 = 1 27010 -3 + 0 2110 043 2 = 166010 -3

, · NmT D , · ,

I -32222

= 15001041 481 0 027

=4



=π π Página 27 de 28Eje paralelo a 6,3 cmRadio del disco r=0,11 mMasa del disco m=0,210 kg

Distancia entre eje y centro de masas d=0,063 mConstante elástica del muelle D=0,027 Nmnº oscilaciones (n) t (s) ntT =(s)Promediode T(s)10 17,00 1,70010 17,25 1,72510 16,69 1,6691,698Momento de inercia del disco respecto centro de masas

I I md , · , · , , · Nm cm

= + 2 = 1 27010 -3 + 0 2110 063 2 = 210710 -3

, · NmT D , · ,

I -32222

= 19711041 698 0 027

=4=π π Eje paralelo a 8,9 cmRadio del disco r=0,11 mMasa del disco m=0,210 kgDistancia entre eje y centro de masas d=0,089 mConstante elástica del muelle D=0,027 Nmnº oscilaciones (n) t (s) ntT =(s)Promediode T(s)10 20,41 2,04110 20,56 2,05610 20,28 2,0282,042Momento de inercia del disco respecto centro de masas

I I md , · , · , , · Nm cm

= + 2 = 1 27010 -3 + 0 2110 089 2 = 2 94110 -3

, · NmT D , · ,

I -3222



2

= 2 8511042 042 0 027=4=π π Una vez obtenidos los resultados haremos la tabla comparativa.Posición del eje de rotación Datos teóricos Datos experimental esCentro de masas 1,270·10 -3 1,090·10 -3

2,0 cm 1,354·10 -3 1,164·10 -3

4,3 cm 1,660·10 -3 1,500·10 -3

6,3 cm 2,107 ·10 -3 1,971·10 -3

8,9 cm 2,941·10 -3 2,851·10 -3

Página 28 de 28Una vez finalizados los cálculos realizamos la gráfica para obtener las pendientes de los cálculosteóricos y experimentales según las fórmulas:

I = I + md 2 total cm

2 = 4 2 + 4 2 d 2

Dm

D IT π cm π Teorema de Steinery = 0,0009x + 9E-07R2 = 0,9851y = 0,0009x + 1E-06

R2

= 0,98810,00E+001,00E-062,00E-063,00E-064,00E-065,00E-066,00E-067,00E-068,00E-069,00E-061,00E-050,000 0,002 0,004 0,006 0,008 0,010d2 (m2)T2 (s2)TeóricosExperimentalesLineal (Experimentales)Lineal (Teóricos)ConclusiónObservamos que según el Teorema de Steiner, de manera que se aleja el eje de rotación delcentro de masas, aumenta proporcionalmente el momento de inercia.















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Memorias de Laboratorio Fisica (1)

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