Metrologia en La Calidad_jms

Curso Act. 2011 - Metrología en la Calidad ESMC UNJBG MSc. Ing. Jesús Medina Salas

UNIVERSIDAD NACIONAL JORGE BASADRE GROHMANNFacultad de Ingeniería

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA MECANICA

Por MSc. Ing: Jesús Medina SalasDocente de la ESMC de la UNJBG

Curso de Actualización 2011

TACNA –PERU

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METROLOGIA EN LA CALIDADMetrología de confiabilidad en el contexto de aseguramiento de la calidad industrial

PERFIL DE CURSO;PARA EL III CURSO DE ACTUALIZACIÓN EN ING. MECÁNICA

RESUMEN

Capítulo 1INTRODUCCIÓN

1.1 Situación actual de la garantía de calidad de metrología e industrial1.2 Propuesta del Curso1.3 Estructura del Curso

Capítulo 2LA METROLOGIA Y EL SISTEMA DE GARANTIA DE LA CALIDAD SEGUN LAS NORMAS ISO 9000

2.1 Conceptos2.1.1 Garantia de la Calidad2.1.2 Garantía de la Calidad Metrológica 2.1.3 Confiabilidad Metrológica

2.2 Las Normas de la Serie ISO 9000 2.2.1 Modelos de garantia de la calidad2.2.2 NBR ISO 9004/1994 Gestión de la calidad y elementos del sistema de la calidad

Parte 1: Directrices2.2.3 NBR ISO 9004/1993

Gestión de la calidad y elementos del sistema de la calidad Parte 4: Directrices para la mejoría de la calidad

2.2.4 NBR ISO 8402/1994 Gestión de la calidad y garantía de calidad:Terminologia

2.2.5 NBR ISO 10012-1/1993 Aseguramiento de la calidad requisitos para equipos de medición Parte 1: Sistema de metrología de comprobaciones para equipos de medición

2.2.6 NBR 10011/1993 Directrices para la auditoría de sistemas de calidad Parte 1: Auditoria

2.3 Un sistema de aseguramiento de calidad metrología (SGQM) segun las normas de la série ISO 9000

2.4 Requisitos metrológicos de las normas de la série ISO 9000

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Capítulo 3DIFICULTADES EN LA APLICACIÓN DE SISTEMAS DE GARANTÍA DE CALIDAD METROLOGÍA

3.1 Método de búsqueda: estudio de caso3.2 Los resultados del estudio de casos

3.2.1 Grandes dificultades en el proceso de certificación ISO 90003.2.2 Dificuldades relevantes en la implementación de los requisitos metrológicos de

la ISO 9000 y sus documentos complementarios 3.2.3 Selección de sistemas de medición crítica3.2.4 Método de cálculo de incerteza de medición en la calibración interna3.2.5 Metodologia para establecer el critério de aceptación del sistema o instrumento

de medición calibrado 3.2.6 Metodologias para determinación de los intervalos de calibración3.2.7 Herramientas estatísticas para auxiliar en la garantia da confiabilidad

metrológica en los processos de medición 3.2.8 Normalización de la terminología que se utiliza en la preparación de

documentos del sistema de calidad3.2.9 Necesidades de formación de metrología

3.3 Conclusiones del estudio de caso

Capítulo 4GARANTIA DE LA CALIDAD METROLÓGICA: ANÁLISIS DE PROBLEMASY PROPUESTAS DE SOLUCIONES

4.1 Cuestiones específicas4.1.1 Selección de sistemas de medición a los requisitos de precisión

4.1.1.1 Definición de la grandeza específica bajo medición (medición)4.1.1.2 La tolerancia de la proporción y la incertidumbre del procedimiento de

medición4.1.2 Evaluación de la incertidumbre del procedimiento de medición

4.1.2.1 Guía para expresar la incertidumbre de medición - "ISO-GUM"4.1.2.2 Guía de evaluación de incertidumbre de medición en la calibración del

sistema de medición y verificación de producto - ISO/TR 14253-24.1.3 El proceso de calibración

4.1.3.1 Incertidumbre de medición de calibración4.1.3.2 Certificado de calibración

4.1.4 Evaluación de la conformidad4.1.4.1 Instrumento de medición del cumplimiento de normas o sistema4.1.4.2 Grandeza de cumplimiento de la medida específica (medición)

4.2 Preguntas generales4.2.1 Los recursos humanos en metrología4.2.2 La elaboración de procedimientos

4.2.2.1 Aplicación de los resultados de calibración.4.2.2.2 Identificación del instrumento o calibrar el sistema de medición4.2.2.3 Selección de los instrumentos o el sistema de medición por defecto4.2.2.4 Experimento de planificación

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4.2.2.5 Aplicación de calibración4.2.2.6 Tratamiento de los datos recogidos4.2.2.7 Documentación formal de calibración

4.2.3 Intervalos de calibración

Capítulo 5PROPUESTA DE METODOLOGÍA PARA LA IMPLEMENTACIÓN DE SISTEMAS DE GARANTÍA DE CALIDAD METROLOGÍA

5.1 Objetivos do Guia para Confiabilidade Metrológica5.2 Características deseadas5.3 Temas de la Guía de metrología de confiabilidad

5.3.1 Formación del equipo de implementación5.3.2 Definición de cantidades significativas específicas5.3.3 Identificación de los instrumentos disponibles en la empresa de medición5.3.4 Documentación de la formación de consulta y referencia5.3.5 Definición de acogerse a la grandeza significativa de la tolerancia5.3.6 Selección de sistemas o de instrumentos de medición5.3.7 Definición del parámetro para la evaluación de la conformidad del instrumento o

del sistema de medición seleccionado5.3.8 Evaluación de la conformidad de sistemas de medición seleccionada5.3.9 Definición del método de calibración y ajuste inicial5.3.10 Actividades de independiente de la aplicación del sistema de aseguramiento de

la calidad metrología- SGQM

5.3.10.1 Elaboración de procedimientos documentados5.3.10.2 Herramientas para garantizar la metrología de fiabilidad

5.4 Guía de la propuesta para la confiabilidad de metrología en forma de hipertexto

BIBLIOGRÁFIA

[1] DEP. MECÁNICA – Tecnologia de Calidad Metrologia Dimensional - FONDEF – 1995- Rio de Janeiro, RJ.

[2] A ALBERTAZZI Y SOUSA,. - Fundamentos de Metrologia Científica & IndustrialUFSC, Florianopolis SC 10-2005,

[3] Prof. Carlos Alberto Flesch- RMetrologia e eletrônica básica para experimentação equipamentos de medição - Parte 1: Sistema de comprovação metrológica para equipamento de medição – UFSC 2003, Florianopolis, SC.

[4] Martín Blank. – Sistematización de las especificaciones metrológicas en sistemas automatizados de adquisición de se;alesModern Methods for Quality Control andImprovement - John Wiley & Sons, Inc., 1996, New York, USA.

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CAPITULO

METROLOGIA EN CONTROL DE LA CALIDAD

Una de las operaciones más importantes de la metrología industrial es el control de calidad. Cada producto1 debe atender plenamente las especificaciones técnicas definidas por los proyectistas de forma que puedan cumplir con calidad las funciones para los cuales fue diseñado. El control de calidad envuelve un conjunto de operaciones de medición, diseñado para asegurar que apenas los productos que atiendan plenamente las especificaciones técnicas hayan sido comercializados. La calidad de los productos o servicios es un requisito fundamental para la sobrevivencia de la cualquier empresa.

Entretanto queda una pregunta en el medio: ¿si no existen procesos de medición perfectos, como es posible asegurar que cierto producto está dentro de las especificaciones?. Es lo que tenemos que abordar ahora.

2.1.- Tolerancias. Normalmente, en el día a día el ser humano lidia con mucha naturalidad con imperfecciones de varios tipos: Las manzanas no son esférica y frecuentemente presentan pequeñas manchas en la cáscara, más pueden ser mucho más sabrosas. Al mirar de cerca y con mucha atención, es posible percibir pequeñas fallas en la pintura de un automóvil nuevo. Hay pequeños defectos en el estuque de las paredes una casa. El asfalto de las avenidas siempre presenta pequeñas ondulaciones, muchas veces no son perceptibles. Un microscopio puede revelar pequeñas fallas en el tejido de la ropa que usamos. Hasta una cierta cantidad de microorganismos es aceptable en el agua que bebemos. No es posible evitas esta imperfecciones. Ellas son naturales.

De la misma forma, cuando son fabricados productos, imperfecciones están presentes. El cuidado debe ser tomado para mantener las imperfecciones dentro de los límites tolerables, que no comprometan la función del producto. Por ejemplo, el diámetro de una manija de escoba, típicamente es de 22 mm. Entretanto, si una manija de escoba posee 23 mm de diámetro, para el consumidor final la función de “asegurar con firmeza es la conformidad” no será comprometida. Es igualmente confortable y aceptable barrer con una escoba con una manija de 21 o 23 mm de diámetro. No serian aceptables manijas con 5 mm o con 50 mm de diámetro, más cualquier diámetro dentro de la faja de (22 ± 1) mm constituye la tolerancia para el diámetro de la manija de la escoba, considerando apenas el punto de vista del consumidor final.

Tolerancia es la faja de variación aceptable para una característica de un producto, definido de forma da garantizar la calidad con que esta realiza una función para el cual fue diseñado.

________________________________1 El término “producto” esta aquí siendo usado de forma amplia para denominar componentes, subsistemas y sistemas completos.

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La definición de Tolerancia a ser cumplida por un producto debe ser hecha en base un análisis amplio. Aunque la tolerancia de la manija de escoba de (22 ± 1) sea aceptable del punto de vista del usuario final, ella es inaceptable para el producto cuando es llevado en cuanta que la manija de escoba debe ser montada de forma firme en la base de la escoba, sin holguras. Para cualquier manija de escoba encaja bien en cualquier base de escoba es necesario definir convenientemente las tolerancias para el diámetro de manija y del hueco de la base de escoba. Así, las tolerancias estrechas deben ser establecidas para estos diámetro de forma que la montaje siempre quede de la forma adecuada. Llevando una escoba en que la manija no se suelte con el uso y ninguna base de escoba presente fisuras.

Por otro lado, las tolerancias demasiada estrechas envuelven procesos de fabricación mucho más caras. Una producción de manijas de escoba con tolerancias en el diámetro de (22,000 ± 0,001) mm seria carísimo. Seria también no necesario, considerando la función. El perfeccionismo cuesta muy caro. Es necesario encontrar un buen equilibrio técnico – económico, los proyectistas entonces definen las mayores tolerancias posibles que, al mismo tiempo, preserven la calidad con que el producto realiza su función y envárate la producción. El equilibrio favorable da la relación costo – calidad debe ser siempre buscado.

Las tolerancias pueden ser establecidas por motivos comerciales. Por ejemplo, al comprar una bolsa de 500 g de café molido, el consumidor espera llevar para la casa 500 g de café molido. La máquina automática que llena el café no es perfecta. Puede producir bolsas con un poco más o un poco menos de 500 g. Es algo natural. Los órganos de control de fiscalización (INDECOPI y otros) establecen entonces un límite: por ejemplo, si el contenido de cada bolsa de café fuese mantenido dentro del límite (500 ± 10) g, la pequeña diferencia, una vez para más, otra vez para menos, será aceptable para el consumidor final y para el fabricante. Ninguna de las partes estaría siendo severamente afectada. Otro ejemplo es la tensión de la red de energía eléctrica cuando es mantenido, por ejemplo dentro del campo (220 ± 11) V para evitar problemas en los equipamientos eléctricos.

La faja de variación aceptable entallada en la tolerancia puede, o no, ser simétrica en torno del valor nominal. La especificación T = (220 ± 11) V es simétrica, como también T = 220 V ±10%, lo es; hay casos donde la faja de variación no debe ser simétrica. Por ejemplo, las tolerancias:

T1 = 220 V−10 %+5 %

T2 = 22V+0 ,00+0 ,20

no son simétricas, La tolerancia “T1” define como aceptable cualquier valor de tensión entre 220 V – 10% = 220 – 22V = 198 V y el límite superior de 220V + 5% = 220 + 11 V = 231 V. La tolerancia “T2” encima es muy común en diseños mecánicos donde, por convención, las dimensiones son todas expresadas en milímetros. La faja de variación aceptable inicia en 22,00 mm y esta limitada al valor máximo en 22.20 mm.

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Similarmente el resultado de una medición, la tolerancia también es una faja de valores. Cuando es simétrica, su notación se asemeja al resultado de una medición. Es importante no confundirlas. La cantidad que sigue al “±” da una tolerancia que define la faja de variación aceptable para una característica de un producto. En el resultado de la medición la incerteza de medición es la faja de dudas presente en la medición.

2.2.- Aspectos económicos del control de calidad. Las empresas son frecuentemente movidas por varios objetivos, dentro de ellos, el de mantenerse en el mercado, para el cual es necesario generar lucro. Las empresas dependen de la existencia de clientes dispuestos a comprar los productos o servicios ofrecidos, en ves de escoger los de la competencia. Para conquistar los clientes es necesario ofrecer productos o servicios con características competitivas en términos de calidad y costo, que muestren ventajas en relación con los concurrentes. Calidad y competitividad están fuertemente relacionadas. La competitividad de una empresa expresa su capacidad de sobrevivir y crecer en el mercado frente a la competencia.El éxito de una empresa depende de su capacidad en ofrecer al mercado productos y servicios que atiendan, o superen, las expectativas de los consumidores aun precio competitivo y muchas veces, que satisfagan condiciones impuesta por normas o barreras técnicas. Para coger una buena condición en el binomio costo – calidad, es necesario un esfuerzo en múltiples frentes que pasan por un proyecto adecuado, los medios y procedimientos de fabricación y de inspección conveniente dimensionados, la identificación y el acreditamiento de buenos proveedores, aspectos organizacionales internos bien implementados, acciones de relacionamiento con el mercado y la atención al cliente, dentro de otros.El esfuerzo por la calidad tiene un costo. La no calidad también cuesta muy caro. El punto óptimo de la política de calidad de una empresa debe ser encontrado entre los dos extremos formados por una postura perfeccionista y una postura completamente moderada en cuanto a la calidad.2.2.1.- Costos de no – calidad.-La calidad percibida por el cliente final en el producto o servicio es un ítem esencial para mantener al competitividad de la empresa frente a la competencia. Sin embargo, por mayor que sea el esfuerzo por la calidad, es prácticamente imposible garantizar que el 100% de las etapas de los procesos productivos, de los productos y servicios, ocurran con plena conformidad. En mayor o menor número, las no conformidades en procesos, productos y servicios ocurrirán y de varias formas, provocaran costos de no - calidad

Los costos ocurridos por fallas en los productos y procesos ocurridos internamente (dentro de la empresa) y externamente (ocurridas fuera de la empresa) son conocidos como costos de la no – calidad.

Son ejemplos de costos de la no – calidad.

El desperdicio de energía, materia prima y mano de obra, gastados con productos reprobados en el control de calidad.

Rechazos erróneos de productos de buena calidad, por errores de clasificación en el control de calidad.

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Aprobación errónea de productos fuera de las especificaciones por error de clasificación en el control de calidad que llegaron hasta el consumidor final.

Atrasos en la producción. Costos con retrabados de productos defectuosos o servicios mal efectuados. Indemnizaciones por perdidas y daños a personas y al medio ambiente. Rellamadas de productos para el cambio o concertaciones. Perdida de clientes por la ocurrencia, perjuicios en la imagen de la empresa.

Algunos de estos costos pueden reducir significativamente el margen de lucro de la empresa. Otros pueden surgir y ser fatales para la sobrevivencia de la empresa. No son raros los caso de rellamadas (llamada para el cambio sea gratuito) de los ítems de calidad, solo detectados después de la venta de un grande número de productos, o que pude costar mucho para la empresa. Indemnizaciones millonarias para clientes lesionados, o multas millonarias por daños al medio ambiente, pueden ser suficientes para “quebrar” una empresa.La construcción de una buena imagen requiere de una grande y persisten esfuerzo de la empresa. Son necesarios años de buenos servicios y mucha inversión en el maqueteó para formar en el consumidor una asociación entre las cualidades y la marca de una empresa. Por otro lado, la destrucción de esta imagen puede ocurrir con una velocidad extremadamente veloz, basta un descuido de la empresa con un aspecto de la calidad que sea impactante para el cliente. Un modelo de teléfono celular problemático, gasolina adulterada venda por un puesto de gasolina, la comida malograda en un restaurante, son algunos de los ejemplos que apartan a los consumidores de los establecimientos comerciales.2.2.2.- Costos de la calidad.- En los caminos para minimizar los problemas de la no calidad, empresas invierten en personas, equipamientos y métodos de trabajo, que lleven a una mejoría de la calidad de los productos. Son ejemplos:

Adquirir sistemas de producción nuevos, con mejor desempeño y automatizado. Implementar mas estaciones de inspección en varias fases del proceso. Adquirir sistemas de medición más sofisticados para el control de calidad. Calibrar más frecuentemente los sistemas de medición. Contratar personal más especializado o entrenar mejor al personal para las

operaciones de medición y control de calidad. Adecuar ambientes de medición, creando salas y laboratorios más protegidos de

influencias ambientales.Al hacer esta inversión la empresa está agregando nuevo costos al sistema de producción. Son los costo de calidad, que incluyen todos los costos relacionados a la evaluación e prevención de no conformidades.

Costos de calidad son los costos relacionados con la evaluación y prevención de no conformidades.

Son ejemplos de costos de calidad: Inversiones con la adquisición de nuevos sistemas de medición para el control de

calidad. Elevación de costos con inspecciones más frecuentes y demoradas. Inmovilización de capital con los equipamientos y salas de medición. Elevación de costos con la manutención y calibración de instrumentos.

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2.2.3.- Los costos totales de la calidad.- La suma de los costos de calidad con los costos de no calidad resulta en los costos totales de la calidad. La postura “relajada” cuando la calidad general expresivos gastos con la no calidad: desperdicios, retrabado, atrasos en la producción y los efectos indirectos relacionados a la degradación de la imagen de la empresa. Estos costos tienden a ser mayores cuando mayor fuere el “grado de relajamiento”. En esta condición, pequeñas inversiones en calidad tienden a reducir mucho los costos de la no calidad. En el otro extremo está la postura perfeccionista, que desea producir 100% de los productos dentro de las especificaciones, o que eleva sensiblemente los costos de la calidad sin una sensible reducción en los costos de al no calidad. Un equilibrio debe ser obtenido en una región que minimiza los costos totales de la calidad. La figura Nº 1 representa la compasión de los costos totales de la calidad. Nótese que el punto mínimo no esta en ninguno de los extremos. Es en esta condición, de mínimos costos, que las empresas desean trabajar

Figura Nº 1 Costos totales de la calidad calculada como la suma de los costos de la calidad con los costos de la no calidad.

Los costos de calidad engloban dos categorías: evaluación y prevención. Cada una de estas categorías proporciona ventajas diferentes en términos de reducción de problemas. Inversiones en evaluación (compra de nuevos equipos, aumento de la frecuencia de inspecciones, etc.) tienden a reducir rápidamente costos con fallas externas. Eso se explica por el hecho de que los productos malos son detectados de forma más eficiente dentro de la empresa y no va para el mercado. En el tanto, los costos con fallas internas no se alteran significativamente, si la inversión no fuere acompañada de la prevención de no conformidades.Si se invierte en la prevención de problemas (nuevos equipamientos, optimización del proceso, entrenamiento del personal, etc.) los costos con fallas externas reduciéndose a lo largo del tiempo, y también son reducidos los costos con fallas internas, pues los procesos

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quedaran más capaces de producir buenos productos. Aunque las inversiones en prevención no posean efectos tan inmediatos cuanto las inversiones en evaluaciones, promueven una reducción de costos bien mayor a largo plazo. Es el viejo dictado siempre valido: “es mejor prevenir de que remediar”.

2.3.- Aspectos técnicos del Control de calidad.- Hay dos clases principales de control de calidad practicados en la industria: control por variables y control por atributos. El control de calidad por variables compara numéricamente una variable cuantitativa, asociado a la característica de cualidad del producto a evaluar, con la tolerancia. Si estuviera dentro de la faja especificada por la tolerancia, el componente o sistema es aprobado. La obtención de la variable cuantitativa es normalmente el resultado de una operación de medición. El control de calidad de piezas cuyo diámetro debe estar dentro de la tolerancia (12,50 ± 0,05) mm, cuando realizado a partir de mediciones del diámetro, es un ejemplo de control de calidad por variables.

En el Control de calidad por variables el valor numérico de una variable del producto es comparado con los límites definidos por la tolerancia.

El control de calidad por atributos envuelve la verificación de una o más características del componente o del sistema esta presente o ausente. Por ejemplo, en la etapa final del control de calidad de una fábrica de refrigeradoras debe ser verificada la existencia de fallas perceptibles en la pintura. El resultado de una inspección visual será un “si” o un “no”. Este tipo de control es denominado de control de calidad por atributo. No envuelve valores numéricos, solo apenas valores lógicos (verdadero o falso).

En el control de calidad por atributos se verifica la presencia o ausencia de ciertas características del producto.

2.3.1.- Limites de Especificación e Intervalo de tolerancia. En el control de calidad por variables, la tolerancia representa la faja de valores aceptables. Sus límites extremos son denominados de Límites de Especificación: El Limite Inferior de la Especificación (LIE) y el Limite Superior de la Especificación (LSE). Cada componente, cuyas características estuvieron dentro de estos límites, debe ser aprobado por el control de calidad por estar en conformidad con las especificaciones. La faja delimitada por los limites de especificación es también denominado Zona de Conformidad.

Zona de conformidad es la faja de valores comprendida entre los límites de especificación, definidos por la tolerancia. Si la característica del producto evaluado estuviera dentro de la zona de conformidad, el producto es aprobado.

El valor numérico del intervalo calculado por la diferencia entre los límites superior e inferior de especificación es denominado del Intervalo de Tolerancia. La figura Nº 2 muestra estos tres parámetros para la tolerancia de (500 ± 10) g. La zona de conformidad está entre 490 g y 510 g.

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Figura Nº 2 Limite Inferior de la Especificación (LIE), Limite Superior de la Especificación (LSE) y el Intervalo de Tolerancia (IT) para la tolerancia de (500 ± 10) g.

2.3.2.- Limites de aceptación. Las decisiones en el control de calidad por variables son tomadas en base de los resultados de las mediciones de la (s) característica (s) de interés del producto. Sin embargo, a cualquier resultado de medición están asociadas las incertezas. Son necesarios algunos cuidados para evitar que la incerteza de medición del resultado pueda llevar a la toma de decisiones erradas en el control de calidad.Sea por ejemplo, la tolerancia de (500 ± 10) g que deba ser pesada para la cantidad efectiva de café en polvo que debe estar presente en cada bolsa producida. Para el control de calidad fue seleccionada una balanza capaz de medir la masa efectiva de café que tenga resultados con una incertidumbre de medición de 4 g. Suponga que la masa efectiva de una determinada bolsa de café fue medida, y fue se encontró el resultado de (493 ± 4) g. Para investigar si el posible afirmar que esta bolsa de café este en conformidad con la tolerancia, considere la representación gráfica de la Figura Nº 3. Note que la faja correspondiente al resultado de la medición esta buena parte dentro de la zona de conformidad, más hay una parte que ultrapasa el límite inferior del control. Como el valor verdadero de la masa efectiva de la bolsa de café puede ser cualquier valor dentro de la faja a la que corresponde el resultado de la medición, no es posible afirmar con seguridad si la bolsa medida está en conformidad con la tolerancia. En la duda, la bolsa de café debe ser rechazada por el control de calidad.

Figura Nº 3. Verificación si la bolsa de café con (493 ± 4) g guarda la tolerancia de (500 ± 10) g.

La masa efectiva de una segunda bolsa de café es medido. Y el resultado obtenido fue (502 ± 4) g. La figura Nº 4 deja claro que, en este caso, la tolerancia es cumplida con seguridad y

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la bolsa puede ser clasificada por el control de calidad como en conformidad con la tolerancia. Fue posible llegar a esta conclusión porque toda la faja correspondiente al resultado de la medición esta íntegramente dentro de la zona de conformidad.

Figura Nº 4. Verificación si la bolsa de café con (502 ± 4) g guarda la tolerancia de (500 ± 10) g.

El conjunto de valores del resultado base para los cuales todo el resultado de la medición permanece íntegramente dentro de la zona de conformidad es denominado de zona de aceptación. La figura Nº 5 representa la zona de aceptación. Sus límites son denominados de Limite Inferior de Aceptación (LIA) y el Limite Superior de Aceptación (LSA). Tomar en cuenta que la Zona de Aceptación es menor que la Zona de Conformidad de una cantidad igual a dos veces la incerteza de medición del resultado.

Figura Nº 5. Zona de conformidad para la tolerancia (500 ± 10) g usando un proceso de medición con incerteza del resultado de la medición de 4 g.

Zona de aceptación es la faja de valores dentro de la cual el resultado base debe encontrarse par que el producto sea aprobado en el control de calidad.

Los límites de la zona de aceptación son calculados a partir de los limites de especificación por:

LIA = LIE + IM (1)LSA = LSE – IM

Siendo:LIA Límite inferior de aceptaciónLIE Límite inferior de la especificaciónIM Incerteza de medición del resultado de medición

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LSA Límite superior de aceptaciónLSE Límite superior de la especificación.

Del punto de vista de la producción es interesante que la zona de aceptación se aproxime al máximo de la zona de conformidad. El número de piezas con clasificación dudosa seria menor, lo que reduciría la probabilidad de ser rechazado los componentes y sistemas que aún estén dentro de las especificaciones, ósea, reduciría los costos de la no cualidad. La receta para que esto sea la mejoría de la incerteza del proceso de medición, lo que hace que hayan costos adicionales: los costos de la calidad.

El punto de equilibrio que minimiza los costos totales de la calidad está entre los dos extremos: el perfeccionismo y el relajamiento. Su posición exacta depende de caso a caso. Entretanto, la experiencia muestra que, en buena parte de las situaciones de interés industrial, la condición de equilibrio es tocada cuando la incerteza del proceso de medición es de la orden de un décimo del intervalo de tolerancia, esto es:

IM =IT10 (2)

Siendo:IM Incerteza de medición del resultado del proceso de

mediciónIT intervalo de tolerancia (IT = LSE – LIE)

El valor calculado por la ecuación (2) debe ser considerado como orientativo. Hay situaciones donde el equilibrio que minimiza los costos totales de la calidad es encontrado con proporciones ligeramente superiores o inferiores a la dada por la ecuación (2)

Considerando que aún la tolerancia de (500 ± 10) g, la incerteza del proceso de medición recomendada para el control de calidad es calculada por la ecuación (2):

IM =IT10

=2010

= 2 g

La balanza a ser usada en el control de calidad debería permitir la determinación del resultado de la medición con incerteza de medición de 2 g. Si se esta condición fuese el caso, se calcula:

LIA = LIE + IM = 490 + 2 = 492 g

LSA = LSE – IM = 510 -2 = 508 g

La masa efectiva de cada bolsa es medida y su resultado base (RB) es obtenido. La condición de aceptación es la comparación del resultado base con los límites de aceptación:

Si LIA ≤ RB ≤ LSA el producto es aceptado.

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Si RB < LIA ó RB > LSA el producto es rechazado.

Esta condición está ilustrada en la Figura Nº 6. Fíjese que también en este caso, el tamaño de la zona de aceptación es menor que la zona de conformidad. Algunos componentes o sistemas aún estarán en la zona de dudas, más serán en proporción mucho menor que el esperado en el esquema de la figura Nº 5.

Figura Nº 6. Zona de Aceptación para la tolerancia (500 ± 10) g considerando al mejor relación costo – beneficio.

2.3.3.- Límites de rechazo. En el control de calidad los productos que no están dentro de la zona de aceptación son rechazados. Dentro de los rechazados hay algunos que claramente no están con las especificaciones. Otros permanecen suficientemente próximos de los límites de especificación de forma que aún existen dudas si estos atienden o no las especificaciones.Se define entonces los límites de rechazo, que establecen los límites para el resultado base fuera dos cuales no hay dudas sobre o no la conformidad de los componentes o sistemas. La Figura Nº 7 ilustra gráficamente la construcción de estos límites.

Figura Nº 7. Composición de las Zonas de Aceptación, rechazo y duda.

Los límites de rechazo definen fajas en las cuales no hay dudas que el producto no obedece a la tolerancia.

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Los limites de rechazo son calculados a partir de los límites de especificación por las siguientes ecuaciones:

LIR = LIE – IM (3)LSR = LSE + IM

Siendo: LIR Limite inferior de rechazoLIE Límite inferior de la especificaciónIM Incerteza de medición del resultado de la mediciónLSR Límite superior de rechazo.LSE Límite superior de la especificación

Para los productos, cuyos resultados base estuvieren dentro de los límites de rechazo, no resta dudas que estos no obedecen las tolerancias. Entretanto, debe quedar claro que solamente son aprobados los productos cuyo respectivo resultado base estuvieran dentro de la zona de aceptación.

2.3.4.- Zonas de duda.- Los productos cuyas mediciones llevasen a resultados base situados dentro de las zonas de duda, pueden o no obedecer las tolerancias. Como hay duda, no pueden ser aceptados por el control de calidad. En un proceso de fabricación bien balanceado, y sobre el control, el número de productos que resultan dentro de las fajas de duda es normalmente muy pequeño.

En procesos productivos críticos puede ser interesante volver a medir los productos que se situasen dentro de las zonas de duda. En estos casos, es necesario utilizar un proceso de medición que produzca resultados de medición de mejor calidad. Así, con la reducción de la incertezas o incertidumbre de la medición del resultado, las zonas de duda también reducirán de tamaño. Como consecuencia, algunos productos pueden cambiar y salir de las zonas de duda para la nueva zona de aceptación o de rechazo. Otros productos aún permanecerán dentro de la zona de duda. El uso de sistemas de medición de mejor calidad, ambientes más bien controlados y más estables, la corrección de los errores sistemáticos o la ejecución de mediciones repetidas, son recursos válidos para reducir la incerteza del proceso de medición.

Una práctica condenable, algunas veces erróneamente adoptada, es la medición repetida del producto que cayo en una de las fajas de duda, usando el mismo proceso de medición. Repeticiones son hecha hasta que por obre de la suerte, una de la mediciones cae dentro de los límites de aceptación, cuando el producto es probablemente aceptado. Esta práctica no pude ser hecha porque la probabilidad de acertar erróneamente un producto que no esta dentro de las especificaciones aumenta artificialmente para niveles inaceptables. Para reclasificar componentes que caen dentro de las fajas de duda es necesario utilizar otro proceso de medición que resulta en mejores incertezas.

2.4.- Control de calidad en un 100% y control de calidad por muestreo. Idealmente, toda la producción de una unidad, o de una industria, debe estar rigurosamente en conformidad con sus especificaciones. Hay una tendencia de que cada producto sea individualmente sometido al control de calidad y su conformidad certificada. Efectuase,

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entonces, un control de calidad de 100% de producción, las veces denominada de inspección 100% de la producción.

En el Control de calidad del 100% de la producción todos los ítems producidos son individualmente evaluados y su conformidad verificada.

Cuando la producción envuelve un volumen muy grande, y en función de las especificaciones del producto, la inspección en un 100% de la producción puede tornarse técnicamente y/o económicamente inviable. La inversión necesaria, los tiempos envueltos y el volumen de trabajo pueden ser prohibitivos.

Algunos procesos productivos son estables o suficientes de viabilización el control de calidad por muestreo. La distribución de la figura Nº 8 representa las características naturales de un proceso de fabricación de excelente capacidad. Los valores naturalmente obtenidos para el parámetro de interés se dispersan muy poco en torno del valor medio. La probabilidad es prácticamente cero de que los productos sean fabricados fuera de los límites de las especificaciones. En estos casos, no hay necesidad de aplicar el control de calidad en 100% de la producción.

Figura Nº 8. Proceso de Fabricación con elevada capacidad (Cp > 1,33).

La capacidad del proceso es un índice que permite evaluar su habilidad de naturalmente producir productos dentro de los límites de las especificaciones. Para el calculo, es

necesario estimar la media X¿

p y la desviación estándar del modelo natural del proceso, Sp. Siendo la distribución del proceso aproximadamente normal, hay una probabilidad de

99.7% de que las piezas producidas estén dentro de los límites dados por X¿

p – 3 sp y X¿

p

+ 3 sp. El índice de capacidad del proceso es calculado dividiendo el tamaño de la faja comprendida entre los límites de especificación por seis veces la desviación poblacional del modelo del proceso.

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C p=LSE - LIE6 s p (4)

Siendo:Cp es el índice de la capacidad del proceso.LIE y LSE son límites inferior y superior de la especificación a ser

atendida.sp es la estimación de la desviación estándar del modelo natural

del proceso.

El índice de capacidad Cp es un parámetro adimensional. Cuando su valor supera 1,33 dicese que el proceso es suficientemente capaz para operar sin control de calidad en 100% de la producción. La probabilidad de que las piezas sean producidas fuera de los límites de las especificaciones es tan pequeña que puede se despreciada.Por otro lado, no es prudente esperar que el proceso continué eternamente estable y bien estable. Variaciones naturales de las condiciones de operación, como las variaciones de temperatura, de las características de la materia prima, de mano de obra de los operadores, y la degradación natural de los medios de producción, como el desgaste de las herramientas y de las máquinas, pueden traer al proceso para una condición desfavorable, que lleve a la producción de un número acentuado de productos fuera de las especificaciones. La figura Nº 9 muestra una situación extrema. Aún la dispersión del proceso sea pequeña, el valor medio producido esta muy próximo del limite superior de las especificaciones, elevando la probabilidad de que un número grande de piezas inaceptables pueden ser producidas encima de los límites definidos por las especificaciones.

Figura Nº 9. Proceso con grande capacidad sin embargo con valor medio alejado del valor central de las especificaciones.

Sin embargo la condición de la situación ilustrada en la Figura Nº 9, sea inaceptable, el indicie de capacidad Cp calculado es superior a 1.33, indicando una condición favorable. Para cuantificar el desvió de la media del proceso en relación al valor medio de la faja de especificaciones, definiese otro índice de capacidad, el Cpk calculado por la siguiente expresión:

17


CPK= min (LSE - X¿

P

3 sP

, X¿

P - LIE

3 sP)

(5)Siendo:

CPK es el índice de capacidad del proceso para procesos no centrados.LIE y LSE son los límites inferior y superior de la especificación a ser atendida.

X¿

p es la media natural estimada del proceso.sP es la desviación estándar del modelo natural del proceso.

Si ambos los índices de capacidad CP y CPK superan el límite 1,33 el proceso es capaz y el control de calidad puede ser efectuado por muestreo.

La Figura Nº 10 ilustra un proceso cuyo índice CP es inferior a 1,00. En este caso, la dispersión natural del proceso es muy elevada. La probabilidad de que existan productos producidos fuera de los límites de las especificaciones es muy grande, tocado por niveles inaceptables. En estas condiciones, el control de calidad tiene que ser efectuado en 100% de la producción. Debe ser evaluado la viabilidad técnica y económica de invertir en el proceso para reducir esa variabilidad. La adquisición de nueva máquinas, la mejoría de las condiciones ambientales, de las herramientas, de la materia prima, el entrenamiento de operadores, son aspectos a considerar. Si las mejorías son suficientes no pueden ser efectuadas, no hay otra alternativa que no sea el control de la calidad en 100% de la producción.

Figura Nº 10. Proceso productivo con baja capacidad (CP < 1,00).

El control de calidad por muestreo envuelve un esquema estadísticamente bien planeado. Normalmente está asociado a las técnicas de control estadístico de procesos. En esencia son extraídas muestras de productos del proceso en una frecuencia bien establecido, que puede variar de pocas piezas por día, a varias piezas por hora. Sus parámetros de interés son medidos y estadísticamente avalados. Si el proceso productivo permanece estable, en un situación próxima a la de la figura Nº 8, la producción debe continuar sin intervención. En el momento en que son detectadas tendencia del proceso en si aproximado a la de la condición de la Figura Nº 9, una intervención debe ser efectuada en el proceso antes que las piezas estén fuera de las especificaciones puedan ser producidas.

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La estabilidad y las tendencias del proceso son normalmente detectadas a través de los tipos de gráficos denominados de gráficos de control: o gráfico de las medias y el grafico de las amplitudes. El grafico de las medias registra la historia evolutiva de las medias del proceso productivo a lo largo del tiempo. Si factores, como el desgaste de herramientas, la desregularización de las máquinas, efectos de las condiciones ambientales, que estuvieran afectando a las piezas producidas, estas causas provocaran alteraciones en los valores de las medias que serán detectadas en el gráfico de las medias. El grafico de las amplitudes miden, indirectamente, las variaciones del proceso. Súbitos aumentos de las variaciones del proceso indican la acción en una causa atípica que perturba el proceso. El factor que está causando debe ser identificado y corregido para evitar que productos vengan a ser producidos fuera de las especificaciones.

La forma como el control por muestreo hace semejanza a la de un malabarista – equilibrista. Que procura mantener el objeto equilibrado y hace sobre este cada vez que es percibida una tendencia de este en desequilibrio. Como el resultado, el objeto equilibrado no se cae.

2.5.- Posición del control de calidad. El control de calidad puede estar situado en varias posiciones dentro de un proceso productivo. Puede ser realizado apenas en el final del proceso productivo, entre las varias etapas de fabricación y dentro durante la operación fabril. La decisión sobre la mejor estrategia del control de calidad depende de las características del proceso productivo y posee gran impacto en el costo total de la calidad.En el pasado era muy frecuente localizar el control de calidad sólo al final del proceso productivo. La figura Nº 11 representa esta opción. El producto acabado es medido y comparado con los límites de aceptación. Si es aprobado, el producto es encaminado al cliente, si se rechaza, el producto chatarreado.

Figura Nº 11. Control de calidad en el final del proceso productivo.

Hay ventajas y desventajas en situar el control de calidad sólo al final del proceso productivo. Es común que esta estrategia de control de calidad envuelva la menor inversión inicial, una vez que apenas una estación de control de calidad es utilizada. El costo de la

19


calidad es menor, por otro lado aumentan los costos de la no calidad. Sin embargo algunos casos el producto rechazado pueda ser remanufacturado, o sea materia prima reaprovechada, en muchos otros, el producto rechazado es una perdida total. No solamente la materia prima inutilizada es perdida, más también todo el esfuerzo necesario al beneficiamento del producto, como la mano de obra, hora de maquina, desgaste de herramientas y otros insumos. Esta estrategia puede ser una buena opción para procesos altamente capaces y productos con bajo valor agregado por el proceso productivo.Además de separar los productos que son buenos de los malos que no se ajustan a las tolerancias, el control de calidad provee informaciones importantes para ajustar y mantener sobre el control el proceso productivo. Por ejemplo, si una máquina de ensacado de café produce embalajes con cantidades de café sistemáticamente por encima del valor especificado, esta información, detectada en el control de calidad, debe ser usada para regular la máquina para que la producción se regularice. Esta idea, valida para el producto acabado, también puede ser extendida para la varias operaciones intermedias de beneficiamiento dentro de un proceso productivo. Surge así el control de calida entre las etapas en un proceso productivo, esquematizado en la figura Nº 12.El control de calidad es efectuado entre cada etapa crítica del proceso productivo. El producto, aún no acabado, es sometido al control de calidad. Las características del producto beneficiados en la etapa inmediatamente anterior son medidas y comparadas con las tolerancias internas del proceso. Si es aprobado, el producto no acabado sigue en frente para las próximas etapas. Si es rechazado, es descartado, evitando los gastos que existirían con el procesamiento de las etapas posteriores del proceso productivo. Muy importante aún es la utilización de las informaciones obtenidas en el control de calidad en una etapa intermedia para detectar tendencias en el proceso productivo y tocar sobre los medios de producción, actuando sobre regulaciones y ajustes de las máquinas para evitar que los productos subsiguientes también estén fuera de las especificaciones. En esta modalidad, el control de calidad puede existir en la recepción de la materia prima, realimentado al proveedor en caso de existir no-conformidades. Puede también existir una etapa final del proceso productivo, aprobando o no el producto acabado.

20


Figura Nº 12. Control de calidad entre varias etapas del Proceso Productivo.El costo de la calidad puede elevarse considerablemente con la inversión necesaria para implantar las varias estaciones del control de calidad. En algunas plantas industriales, el control de calidad puede ser efectuado en una sala de medición, lejos de las máquinas productoras. Los productos deben ser transportados hasta el ambiente de medición, medidos y posteriormente transportados para la próxima etapa del proceso productivo. Esta estrategia es adecuada para el control de calidad por muestreo o cuando el volumen de producción es muy pequeño. En los demás casos es necesario efectuar el control de calidad junto al proceso productivo, el que puede envolver la adquisición o desenvolvimiento de sistemas y dispositivos de medición especializados.Los costos de la no-calidad son reducidos. El mejor control sobre las etapas del proceso productivo lleva a la reducción del número de productos acabados no conformes. La economía efectuada cuando evitase que un producto ya fuera de las especificaciones pase por las etapas posteriores de beneficialmente puede ser substancial. En el conjunto, las necesidades técnicas y las relaciones costo-beneficio deben ser analizadas para que sea tomada una decisión sobre cuales etapas del proceso productivo deben ser seguida de una operación de control de calidad y cual el tipo de inspección a ser practicado, envolviendo muestras o 100% de la producción.La medición dentro del proceso productivo es una alternativa muy atractiva. Algunas máquinas productoras son equipadas con sistemas de medición integrados, que permiten mediciones frecuentes durante el proceso productivo. La mediciones efectuadas son usadas para realimentar la propia máquina, contribuyendo fuertemente para mantener las características de interés del producto dentro de la faja de tolerancias. Algunos sistemas de medición operan de forma intermitente, esto es, periodos de fabricación son intercalados con momentos donde la fabricación es interrumpida para que el sistema de medición actué. Otros, pueden operar de forma simultánea con las operación de fabricación.La figura Nº 13 ilustra un ejemplo de medición continua dentro del proceso productivo. El eje representado en corte en la figura, esta siendo diseñado con el auxilio de un eje cilíndrico. El eje gira en el sentido anti-horario y el eje en el sentido horario. El material del eje es gradualmente removido por abrasión por el eje, reduciendo progresivamente su diámetro. El diámetro del eje es continuamente monitoreado por un par de sensores con contacto mecánico, proveídos de puntas de contacto especiales, fuertemente resistentes al desgaste. El valor del diámetro es medido y comparado con el valor mirado. El resultado de la comparación es analizado por el procesador del sistema que controla el avance del eje para aproximarse al diámetro del eje del valor deseado. El movimiento del eje debe ser proporcional a la diferencia entre el valor medido y el valor observado. Este sistema tiene la capacidad de automáticamente compensar el desgaste natural del eje, manteniendo las características de la pieza producida siempre estable. Estando el proceso de medición en buenas condiciones, con esta estrategia es posible producir con el rechazo cero.

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Figura Nº 13 Medición continua dentro del Proceso Productivo.Aún es pequeño el número de medios de producción que poseen sistemas de medición integrados, más hay una tendencia creciente. La inversión inicial es considerablemente mayor, Por otro lado, la operación automática dispensa el uso intensivo de mano de obra, o que reduce los costos de la calidad, y, al mismo tiempo, aumenta la confiabilidad del proceso, el que reduce los costos de la no-calidad. El balance de los costos totales de la calidad debe ser realizado y usado como parámetro para la toma de desición sobre la viabilidad en adoptar la estrategia de control de calidad dentro de los medios de producción.La decisión sobre la mejor estrategia de posición del control de calidad dentro de un proceso productivo es avalada por aspectos técnicos y económicos. Sea cual fuere la alternativa adoptada, no se puede abrir la mano de garantía que el producto atienda plenamente las especificaciones y tolerancias. La viabilidad técnica de realizar el control de calidad dentro de la unidad fabril puede ser un factor restrictivo que obstruya esta alternativa. Económicamente, los costos totales de la calidad deben ser comparativamente avalados en todas las configuraciones posibles. La inversión inicial, el costo operacional, la economía con la minimización de los rechazos y retrabados, deben ser cuidadosamente avalados.

2.6.- Aplicaciones en el control de calidad de la curva normal. Para definir el porcentaje de elementos que están comprendidos entre dos valores determinados se puede recurrir al cálculo. Sin embargo, esto en realidad no es necesario, dado que las áreas que quedan bajo la curva correspondiente a los valores de Z aparecen en la Tabla A, “áreas comprendidas

22


bajo la curva normal”, es una tabla de lectura a la izquierda, es decir, que las áreas dadas corresponden a la parte de la curva que va de –α a un valor determinado, Xi.El primer paso consiste en calcular el valor de Z utilizando la fórmula:

Z =X i−μ

σ 6Donde: Z = valor normal estándar.

Xi = valor individualμ = media.σ = desviación estándar de la población.

Luego, utilizando el valor Z obtenido, se encontrara en la tabla A el valor del área que está bajo la curva, a la izquierda de Xi. Por ejemplo, si el valor de Z es de -1.76, el correspondiente valor del área es de 0.0392. Dado que el área total bajo la curva es de 10000, el valor de 0.0392 del área se convierte al porcentaje d elementos que están bajo la curva tan sólo desplazando el punto decimal dos lugares a la derecha. Por tanto, 3.92% de los elementos tienen valor inferior al valor particular Xi.Suponiendo que los datos están distribuidos normalmente, se puede determinar el porcentaje de elementos de los datos que tienen un valor inferior a un valor inferior a un valor determinado, mayor que un valor dado, y comprendido entre dos valores. Si los valores son mayores y/o menores que las especificaciones se contará con una muy útil herramienta estadística. Los problemas resueltos Nº 3 al Nº6 mostraran la aplicación de está técnica. Siendo la Función de la densidad de probabilidad de la distribución N(μ,σ2)

P (a<z<b) = Φ (b - μ

σ ) - Φ

(a - μσ )

= Φ (i) - Φ (j) 7

2.7.- Distribución de la media de la muestra X¿

. Si una variable X¿

tiene una distribución normal con media μ y desviación estándar σ, la distribución de las medias de muestras aleatorias de tamaño n (pequeño) tomadas de esta población también es una distribución

normal con media μ pero con desviación estándar igual a σ/√n . En este caso la compilación resultante puede ser bimodal, aunque incluso aquí la distribución de la medias de la muestra tenderá a converger a una distribución normal con un valor medio en un punto. Como resultado de esta convergencia d la distribución de la media de la muestra a la distribución normal, se puede usar la ecuación siguiente para calcular las probabilidades respecto a la media de la muestra:

z =

x¿

- μσ√n 8

Por lo tanto, si se muestrea de un distribución normal con promedio μ y varianza σ2

entonces la distribución de X¿

es N(μ,σ2/n).

23


Como una ilustración de la ecuación (8), suponga que una medición tiene un valor medio de 0.500 pulg con una desviación estándar de 0.002 pulg. Si se toman muestras de tamaño 5 de esta población. ¿Cuál es la probabilidad que la media de la muestra sea mayor que 0.501 pulg?También se podría preguntar dentro de qué intervalo 95% de las medias de la muestra se puede esperar que caiga.

Para responder a la primera pregunta, usamos la ecuación (8)

z =

0 .501¿

- 0 .5000 . 002√5

= 1 .12

de la tabla A:

P (x¿

> 0.501) = 1 – Φ(1.12) = 1 – 0.8686 = 0.1314Aproximadamente 13% de las medias d el muestra tomadas de esta población se puede esperar que sea mayor que 0.501. Se espera que 100(1 – α)% de las medias de la muestra

caiga en el intervalo μ ± zα/2(σ/√n ). Este intervalo, por ejemplo, para α = 0.05 será 0.500 ±

1.96(0.002/√5 = 0.500 ± 0.0018. Es decir, 95% de las medias de las muestras de tamaño 5 se espera que estén en el intervalo 0.4982 a 0.5018 pulg. Recuerde que 95% de las mediciones individuales se esperará que estén en el intervalo.

μ ± zα/2 σ = 0.500 ± 1.96 (0.002) = 0.500 ± 0.0039 ó 0.4961 a 0.5039

2.8.- Intervalos de confianza para promedios. Se trata de determinar un intervalo en el

que se encuentre con alta probabilidad el promedio desconocido µ. Si X¿

es la media muestral de una muestra aleatoria de tamaño n de una población con varianza conocida σ2, un intervalo de confianza para µ del 100(1 – α) por ciento está dado por:

X¿

- z∞/2 σ/√n ≤ µ ≤ X¿

+ z∞/2 σ/√n 9

Donde z∞/2 es el punto de la distribución normal estándar que corresponde al porcentaje ∞/2.

Ejemplo ilustrativo.- Considérense los datos de conductividad térmica de una acero Armco, supóngase que se desea encontrar un intervalo de confianza 95% para conductividad térmica promedio de este material, y que se sabe que la desviación estándar de

conductividad térmica a 100 ºF y 550 W es σ = 0.30 Btu/hr-ft-ºF y su media muestral X¿

= 41.924 Btu/hr-ft-ºF de n=10 lecturas de medición. Si se supone que la conductividad térmica está distribuida de manera normal (o que satisfacen las condiciones del teorema central), entonces puede aplicarse la ecuación (9) para encontrar el intervalo de confianza. Un intervalo del 95% implica 1 - ∞ = 0.95 de modo que ∞ = 0.05. De la tabla A, entonces z∞/2 = z0.05/2= z0.025 = 1.96

El límite inferior de confianza es:

24


l = X¿

- z∞/2 σ/√n = 41.924 – 1.96(0.30) /√10 = 41.924 – 0.186 = 41.738

u = X¿

+ z∞/2 σ/√n = 41.924 + 1.96(0.30) /√10 = 41.924 + 0.186 = 42.110

Por lo tanto, el intervalo de confianza bilateral del 95% es:41.738 ≤ µ ≤ 42.110

2.9.- Determinación del tamaño de muestra: Si X¿

se utiliza como estimación de µ,

entonces puede tenerse una confianza del 100(1 – α) por ciento de que el error │ X¿

– µ│ no será mayor que una cantidad específica E cuando el tamaño de la muestra sea:

n =( zα /2 σ

E )2

10

Ejemplo ilustrativo.- Del ejemplo anterior, supóngase que se desea que el error en la estimación de la conductividad térmica promedio del acero Armco sea menor a 0.05 Btu/hr-ft-ºF, con una confianza del 95%. Puesto que σ = 10 Btu/hr-ft-ºF y z0.025 = 1.96, el tamaño requerido de la muestra puede obtenerse a partir de la ecuación (10), así:

n =( zα /2 σ

E )2

= ( 1.96 * 10

0 .05 )2

= 15 .37 ≃ 16

2.10.- Intervalo de confianza para la diferencia de dos medias, varianzas conocidas. Si

x¿

1 y x¿

2 son las medias de dos muestras aleatorias independientes de tamaños n1 y n2

tomadas de poblaciones que tienen varianzas conocidas σ 12 y σ 2

2respectivamente, entonces

un intervalo de confianza del 100(1 – α) por ciento para µ1 - µ2 es:

x¿

1 - x¿

2 - z∞/2 √ σ12

n1

+σ2

2

n2 ≤ µ1 - µ2 ≤ x¿

1 - x¿

2 + z∞/2 √ σ12

n1

+σ2

2

n2

Ejemplo ilustrativo.- Se llevan a cabo pruebas de resistencia a la tensión sobre 2 diferentes clases de largueros de aluminio utilizados en la fabricación de alas de aeroplanos comerciales. De la experiencia pasada con el proceso de fabricación de largueros y del procedimiento de prueba se supone que las desviaciones estándar de las resistencias a la tensión son conocidas. Los datos obtenidos aparecen en la Tabla 1. si µ1 y µ2 denotan los promedios verdaderos de las resistencias a la tensión para las dos clases de largueros, entonces puede encontrarse un intervalo de confianza del 90% para la diferencia de las medias µ1 - µ2 de la siguiente manera.

Clase Tamaño de Media muestral de la Desviación

25


dellarguero

la muestra resistencia a la tensión(kg/mm2)

estándar(kg/mm2)

1 n1 = 10 x¿

1 = 87.6σ1 = 1.0

2 n2 = 12 x¿

2 = 74.5σ2 = 1.0

Tabla 1 Resultado de la prueba de resistencia a la tensión para largueros de Al.

l = x¿

1 - x¿

2 - z∞/2 √ σ12

n1

+σ2

2

n2 = 87 . 6 - 74 . 5- 1.645 √ (1 . 0 )2

10+

(1 . 5 )2

12 = 13.1 - 0.88 = 12.22 kg/mm2.

u = x¿

1 - x¿

2 - z∞/2 √ σ12

n1

+σ2

2

n2 = 87 . 6 - 74. 5+ 1.645 √ (1 . 0 )2

10+

(1 . 5 )2

12 = 13.1 + 0.88 = 13.98 kg/mm2.

Por consiguiente el intervalo de confianza del 90% para la diferencia en la resistencia a la tensión promedio es:

12.22 kg/mm2 ≤ µ1 - µ2 ≤ 13.98 kg/mm2.

2.11.- Inferencias con pequeñas muestras y varianzas desconocidas. El uso de la teoría anterior requiere que se conozca σ. Si n es grande, se puede usar también esa teoría cuando no se conoce σ y puede ser reemplazada por s. Para muestras de tamaño n < 30. Llamadas muestras pequeñas, esta aproximación no es muy buena y va siendo tanto peor a medida que n disminuye; por lo tanto, no se puede tener mucha confianza en s como aproximación de σ.Cuando ocurre así, se puede probar el siguiente teorema:

“Si X¿

es la media de una muestra aleatoria de tamaño n tomada de una población normal con la media µ y varianza σ2, entonces:

t = x¿

- μs

√n 11es el valor de una variable aleatoria que tiene una distribución t-student de parámetro r = n – 1 grados de libertad”.

2.12.- Intervalo de confianza para la media de una distribución normal, varianza

desconocida. Si x¿

y s son la media y la desviación estándar de una muestra aleatoria tomada de una distribución normal con varianza σ2 desconocida, entonces un intervalo de confianza del 100(1 – α) por ciento para µ esta dado por:

26


x¿

- tα /2,n-1s

√n ¿¿

12

Donde t∞/2,n-1 es el punto crítico superior que corresponde al porcentaje ∞/2 de la distribución t (tabla C) con n- 1 grados de libertad.

Ejemplo ilustrativo: Una tela, filtro de lona, presenta las siguientes 20 mediciones del tiempo de combustión residual (en segundos) de especimenes tratados de la tela filtrante.

9.85 9.93 9.75 9.77 9.679.87 9.67 9.94 9.85 9.759.83 9.92 9.74 9.99 9.889.95 9.95 9.93 9.92 9.89

Se desea encontrar un intervalo de confianza del 95% para el tiempo de combustión residual promedio. Supóngase que el tiempo de combustión residual sigue una distribución normal.

La media y la desviación estándar son: x¿

= 9.8525, s = 0.0965.De la tabla C se tiene que t0.025,19 = 2.093. Los límites de confianza del 95% inferior y superior son:

l = x¿

- tα /2,n-1s

√n= 9. 8525 - 2 . 093

0 . 0965

√20= 9 .8073

u = x¿+ tα /2,n-1

s

√n= 9 . 8525 + 2. 093

0. 0965

√20= 9 . 8977

Por consiguiente, el intervalo de confianza del 95% es:9.8073 ≤ µ ≤ 9.8977

Por tanto, se tiene una confianza del 95% de que el tiempo de combustión residual promedio se encuentra entre 9.8073 y 9.8977.

2.13.- Intervalo de confianza para µ1 - µ2. Por consideraciones semejantes que las señaladas para grandes muestras, se puede demostrar que el intervalo que provee del 100(1 - ∞) por ciento de confianza para el intervalo de µ1 - µ2, tratándose ahora de pequeñas muestras es:

x¿

1 - x¿

2 - t∞/2,n1+n2-2 sp √ 1n1

+ 1n2 ≤ µ1 - µ2 ≤ x

¿

1 - x¿

2 + t∞/2,n1+n2-2 sp √ 1n1

+ 1n2

27


Donde: sp = √ (n1−1 ) s12+(n2−1 ) s2

2

(n1+ n2 - 2 ) es el estimador combinado de la desviación estándar común de la población y t∞/2,n1+n2-2 es el punto crítico superior que corresponde ∞/2 de la distribución t con n1+n2-2 grados de libertad.

Ejemplo ilustrativo: Se dio a conocer los resultados de un análisis del peso de calcio en cemento estándar y en cemento contaminado con plomo. Los niveles bajos de calcio indican que el mecanismo de hidratación del cemento queda bloqueado y esto permite que el agua ataque varias partes de una estructura de cemento. Al tomar diez muestras de

cemento estándar, se encontró que el peso promedio de calcio es x¿

1= 90.0 con una desviación estándar muestral s1 = 5.0; los resultados con 15 muestras de cemento

contaminado con plomo fueron x¿

2 = 87.0 y s2 = 4.0.Supóngase que el porcentaje de peso de calcio está distribuido de manera normal. Encuéntrese un intervalo de confianza del 95% para la diferencia entre medias µ1 - µ2 de los dos tipos de cemento. Por otra parte, supóngase que las dos poblaciones normales tienen la misma desviación estándar.El estimador combinado de la desviación estándar común se obtiene con la ecuación:

sp2=

(n1−1 ) s12+(n2−1 ) s2

2

(n1+ n2 - 2 )=

9 (5 .0 )2+1 4 ( 4 .0)2 10 + 15 - 2

= 19 . 52

Por tanto la estimación combinada de la desviación estándar es sp = √19 .52 = 4.4. Entonces el intervalo de confianza del 95% se obtiene con la ecuación:

x¿

1 - x¿

2 - t∞/2,n1+n2-2 sp √ 1n1

+ 1n2 ≤ µ1 - µ2 ≤ x

¿

1 - x¿

2 + t∞/2,n1+n2-2 sp √ 1n1

+ 1n2

Y después de sustituir los valores muestrales y utilizar t0.025,23 = 2.069

90 . 0¿

- 87 . 0- 2.069 (4.4)√ 110

+ 115 ≤ µ1 - µ2 ≤ 90 . 0

¿

- 87 . 0+ 2.069 (4.4)√ 110

+ 115

La expresión se reduce: -0.72 ≤ µ1 - µ2 ≤ 6.72Nótese que el intervalo de confianza del 95% incluye al cero; por consiguiente, para este nivel de confianza, no puede concluirse la existencia de una diferencia entre las medias. Dicho de otra manera, no hay evidencia alguna de que la contaminación del cemento por plomo tenga efecto sobre el peso promedio de calcio, en consecuencia, con un nivel de confianza del 95%, no es posible afirmar que la presencia del plomo afecte este aspecto del mecanismo de hidratación.

28


2.14.- Distribución χ2 JI-CUADRADA Al igual que el promedio es una variable aleatoria, la varianza es también una variable aleatoria con una distribución muestral. La distribución muestral teórica de s2 se encuentra ligada a una distribución gamma de parámetros ∞ = r/2 y β = 2, llamada Ji-cuadrado (χ2). Como s2 no puede ser negativa, es de esperar una distribución muestral que no sea normal. Concretando se tiene: “Si s2 es la varianza aleatoria de tamaño n tomada de una población normal, que tiene varianza σ2, entonces:

χ2 =

(n - 1 ) s2

σ 2

es el valor de una variable aleatoria que tiene distribución χ2 con parámetro r = n-1 llamado grados de libertad”. En la tabla B se anotan valores seleccionados de χ2 (∞;r), donde el área bajo la curva de la distribución χ2 (tomada a la derecha) es igual a ∞

2.15.- Intervalos de confianza para la varianza. Si s2 es la varianza muestral de una muestra aleatoria de n observaciones tomadas de una distribución normal con varianza desconocida σ2, entonces un intervalo de confianza de 100(1 - ∞) por ciento para σ2 es:

(n - 1 ) s2

χ α2

, n−1

2

≤ σ2 ≤

(n - 1) s2

χ 1−α2

, n−1

2

Donde χ α

2, n−1

2

y χ 1−α

2, n−1

2

son los puntos críticos superior e inferior que corresponden al porcentaje de ∞/2 de la distribución ji-cuadrada con n - 1 grados de libertad respectivamente.

Ejemplo ilustrativo: Un fabricante de detergente líquido esta interesado en la uniformidad de la máquina utilizada para llenar las botellas. De manera específica, es deseable que la desviación estándar σ del proceso de llenado sea menor que 0.5 onzas de líquido, de otro modo, existe un porcentaje mayor del deseable de botellas con un contenido menor de detergente. Supóngase que la distribución del volumen de llenado es aproximadamente normal. Al tomar una muestra aleatoria de 20 botellas, se obtiene una varianza muestral s2

=0.0153 (onzas de fluido)2. El intervalo superior de confianza del 95% se obtiene a partir de la ecuación

σ2 ≤

(n - 1) s2

χ0 .95 , 192

σ2 ≤

(19 ) 0 . 015310 .117

= 0. 0287 (onzas de líquido )2

La proposición anterior puede convertirse en un intervalo de confianza sobre la desviación estándar σ al obtener la raíz cuadrada de ambos miembros, lo que da como resultado:

σ ≤ 0.17

29


Por consiguiente, con un nivel de confianza del 95% los datos no apoyan la afirmación de que la desviación estándar del proceso es menor que 0.15 onzas de líquido.

2.16 Razón de dos varianzas de muestras. Supóngase ahora que se tiene dos

distribuciones normales independientes y se quiere comparar sus varianzas σ 12 y σ 2

2

definiendo un intervalo de confianza para la relación:

σ12

σ22

Esto es importante cuando se quiere determinar si dos muestras tienen varianzas iguales. Si esto ocurre, las dos muestras tendrán aproximadamente la misma varianza, lo cual significa que su razón será aproximadamente 1. Para determinar la razón de dos varianzas de muestras se utiliza el siguiente teorema:

“Si σ 12 y σ 2

2 son las varianzas de muestras aleatorias independientes de tamaños n1 y n2

respectivamente, tomadas de dos poblaciones normales que tienen la misma varianza σ2, entonces:

F = σ1

2

σ22

Es un valor F con r1 = n1-1 y r2 = n2-1 grados de libertad. Esta distribución aparece en la figura:

Figura 14. Distribución Fn2−1 , n1−1

Por consiguiente:

P( S1

2

S22

f 1- α2

, n2−1, n1−1≤

σ12

σ22 ¿

S12

S22 f α

2,n

2−1 ,n

1−1)

= 1 - ∞Ejemplo ilustrativo: Una compañía fabrica propulsores para uso en motores de turbina. Una de las operaciones consiste en esmerilar el terminado de una superficie particular con una aleación de titanio. Pueden emplearse dos procesos de esmerilado, y ambos pueden producir partes que tienen la misma rugosidad superficial promedio. Al ingeniero de manufactura le gustaría seleccionar el proceso que tenga la menor variabilidad en la rugosidad de la superficie. Para ello toma una muestra de n1 = 12 partes del primer proceso, la cual tiene una desviación estándar muestral s1 = 5.1 micropulgadas, y una muestra aleatoria de n2= 15 partes del segundo proceso, la cual tiene una desviación estándar muestras s2= 4.7 micropulgadas. Se desea encontrar un intervalo de confianza del 90% para

el cociente de las dos varianzas

σ12

σ22

.

30


Si se supone que los dos procesos son independientes y que la rugosidad de la superficie está distribuida de manera normal, entonces puede emplearse la ecuación anterior de la siguiente manera

S12

S22

f 0 .95 ,14 ,11≤σ1

2

σ22≤

S12

S22

f 0.05 ,14 ,11

(5 . 1 )2

(4 . 7 )20 .39 ≤

σ12

σ22≤

(5 .1 )2

(4 .7 )22 .74

0 .46 ≤σ 1

2

σ 22≤3 .23

2.17 Prueba de hipótesis. Muchos problemas de ingeniería, ciencia, y administración, requieren que se tome una decisión entre aceptar o rechazar una proposición sobre algún parámetro. Esta proposición recibe el nombre de hipótesis, y el procedimiento de toma de decisión sobre la hipótesis se conoce como prueba de hipótesis.

La inferencia estadística estudia los métodos que señalan como emplear datos obtenidos de muestras aleatorias para inducir, por generalización, características a las poblaciones de las que se ha obtenido las muestras. En la forma clásica de la inferencia estadística, estos métodos están divididos en dos amplias zonas:

- Estimación; y- Contraste de hipótesis o prueba de hipótesis.

La estimación se divide a su vez en: estimación puntual o de parámetros, y estimación de intervalos.Más recientemente, los métodos de inferencia estadística se han unificado bajo los conceptos generales de la teoría de la decisión, es decir, bajo los conceptos generales de la manera de tomas decisiones en condiciones de incertidumbre.Las pruebas de hipótesis estadística se encargan de analizar procedimientos para confirmar o rechazar hipótesis acerca de la distribución de variables aleatorias. Las hipótesis están confinadas a términos de parámetros de población. Esto es, hecha una determinada afirmación sobre una población (usualmente sobre su parámetro), deseamos saber si los resultados de una muestra contradicen o no tal afirmación. Por ejemplo dos hipótesis pueden especificar que el promedio de la tensión de ruptura de cierta aleación es mayor (no es mayor) que 2000 lb; o que la variabilidad de un proceso A es mayor (no es mayor) que aquella de un proceso B; o que la tensión de tracción de 5 diferentes probetas son las mismas (no son las mismas); etc.Ejemplo ilustrativo: Supóngase que se quiere determinar si ciertos cambios en un proceso productivo reducen el tiempo que le toma a un obrero completar una tarea de ensamblaje de un producto. Supóngase que en condiciones normales, en promedio, un trabajador emplea

31

DefiniciónUna hipótesis estadística es una proposición sobre los parámetros de una o más poblaciones.


30 minutos en completar la tarea de ensamblaje. También se sabe que ese tiempo promedio presenta variación, esto es, el tiempo de ensamblaje es una variable aleatoria que se puede representar por X. Más aún, existe suficiente información para asegurar que X esta normalmente distribuida y tiene promedio de µ = 30 y una desviación estándar de σ = 1. Esto implica que aproximadamente 95% de los tiempos de ensamblaje se encuentran entre 28 y 32 minutos.En este ejemplo se va a evaluar una hipótesis relacionada al parámetro µ con el supuesto de que σ = 1 aún después de los cambios efectuados. Luego de concretados los cambios, se plantean en realidad dos hipótesis:

La hipótesis de no cambio (hipótesis nula), que establece que µ sigue siendo 30 minutos; y

La hipótesis alternativa que sugiere que µ < 30 minutos.Para determinar la validez de una de estas hipótesis se procede a la recolección de información.Primeramente se elige aleatoriamente a un solo trabajador para evaluar el efecto de los cambios realizados. Se observa que este trabajador emplea 29 minutos en la tarea normal de ensamblaje. Con este dato, y teniendo en consideración que X proviene de N(30, 1) se evalúa:

P[ X≤ 29 ]=Φ(29-30

1 )= 0 .1587

es decir, hay 16% de probabilidades de que el tiempo de ensamblaje sea 29 minutos, siendo que X proviene de N(30, 1). Esto indica deque un tiempo de 29 min. no es un evento muy raro en esa distribución. Continuando la toma de datos se evalúa n = 5 trabajadores, para

los cuales X¿

= 29 min .Luego de tomar n = 25 trabajadores que presentan X¿

= 29 min .

Reiterando que X proviene de N(30, 1), la probabilidad de que X¿

= 29 min . es:

P

[ X≤ 29 ]=Φ(29-301

√25 )= P [ X¿ ≤ -5 ] = 0 . 0000003

Esto hace que para una N(30, 1), con n=25, X¿

= 29 min .es un evento extremadamente improbable. Ciertamente, esto quita consistencia a la hipótesis de que µ sigue siendo 30 minutos. Por ello se puede afirmar que, efectivamente, el tiempo de ensamblaje se ha reducido.

En términos técnicos, se dice que: los cambios efectuados en el proceso productivo originan una diferencia estadísticamente significativa en el tiempo de ensamblaje; o bien, que la diferencia en el tiempo de ensamblaje, 30 – 29 = 1 es estadísticamente significativa.

Es necesario aclarar que una diferencia estadísticamente significativa no siempre es de utilidad práctica; ya que por ejemplo, la reducción de 01 minuto en el promedio µ no podría representar ahorros importantes en el proceso productivo. La decisión final de adoptar los cambios concierne a una evaluación de estructura de costos, que estas técnicas estadísticas no pueden resolver.

32


2.17.1.- Definición de hipótesis. Para llegar a tomar decisiones, conviene hacer determinados supuestos o conjeturas acerca de las poblaciones que se estudian. Tales supuestos, que pueden o no ser ciertos, se denominan hipótesis estadísticas. Por ejemplo, si se quiere decidir si un procedimiento es mejor que otro, se formulan las hipótesis:

No hay diferencia estadística entre los dos procesos; y Si existe diferencia estadística entre los dos procesos.

La primera se define como la hipótesis de “no cambio” o hipótesis nula y se simboliza por H0. La segunda se denomina hipótesis alternativa y se simboliza por H1.

Por ejemplo, una empresa produce circuitos impresos con probabilidad histórica de producto fallado igual al 3%(P = 0.03). Un ingeniero de producción sugiere cambios en el proceso y asegura que tales cambios causarán una reducción de la probabilidad de falla; es decir, asegura que P<0.03. Por lo tanto, se deberá evaluar:

H0 : P = 0.03 (Hipótesis Nula)H1 : P < 0.03 (Hipótesis Alternativa)

2.17.2.- Tipos de errores. Definidas las hipótesis es posible cometer dos tipos de error. Se ilustra estos tipos de errores con el siguiente ejemplo.

Figura 15.- Grafica del criterio técnico para tomar decisiones con respecto a la pinturaUn fabricante de pintura asegura que un galón de pintura producida en su planta puede cubrir en promedio 400 pies cuadrados de superficie. Se toma una muestra de 36 galones y se observa que en promedio cubren 385ft2. Siendo que el promedio µ es desconocido, se establece el siguiente criterio técnico para tomar decisiones con respecto a esa pintura,

figura 15. Según esto, es importante hacer notar que x¿

puede exceder los 400 ft2 aunque

µ sea menor que 385 ft2 que x¿

sea menor que 835 ft2 y que µ exceda los 400 ft2. Esto ilustra el hecho d que los errores son inevitables cuando las decisiones se toman apoyándose en los resultados de muestras aleatorias. Consecuentemente, estos errores pueden ser de dos tipos diferentes y se describen esquemáticamente en el siguiente esquema:

Decisión µ se encuentra

en la zona deaceptación

µ se encuentraen la zona de

rechazoH0 falsa

33


H0 verdaderoSe acepta H0

la afirmaciónNo hayError

ErrorTIPO II

Se rechaza H0

la afirmaciónError

TIPO INo hayError

Nótese que si µ esta en el intervalo de indiferencia, no hay ningún error grave, cualquiera sea la decisión tomada.Para juzgar las ventajas de cualquier criterio de decisión, es esencial conocer las probabilidades de tener errores del Tipo I y del Tipo II. Estas probabilidades se denotan con ∞ y β respectivamente

∞ = P [error tipo I]β = P [error tipo II]

2.17.3.- Nivel de significación. La probabilidad máxima con la que en el ensayo de una hipótesis se pueda cometer un error del tipo I se llama nivel de significación. Esta probabilidad se denota por ∞ y su valor debe ser establecido antes de la evaluación de muestras.

Se acostumbra a fijar niveles de significación de 0.05 y 0.01, aunque se puede fijar otros valores. Si por ejemplo, se fija un nivel de significación del 0.05 (5%) al diseño de un ensayo de hipótesis entonces hay aproximadamente 5 ocasiones en 100 en que se rechazaría una hipótesis cuando debería ser aceptada. En otras palabras, se estaría 95% seguro de que se toma la decisión adecuada.

2.17.4.- Hipótesis referente a la media. Se trata de contrastar la hipótesis de la media de una población igual a un valor determinado frente a otra alternativa conveniente. Es decir, hay que contrastar:

H0 : µ = µ0x¿

es igual que µ0

Frente a una de las siguientes hipótesis:

H0 : µ < µ0 x¿

es significativamente menor que µ0

H0 : µ > µ0 x¿

es significativamente mayor que µ0

H0 : µ ≠ µ0 x¿

es significativamente diferente que µ0

Para efectuar una prueba con un nivel de significación ∞ se escoge una región crítica (es

decir una región de rechazo de H0) para que x¿

< c, tal que:

P[x¿

≤ c; µ = µ0] = ∞

Ya que bajo H0 x¿

es N(µ0, σ2/n ), la región crítica esta dada por:

34


X¿

−μ0

σ√n

≤ -z ( σ )

Donde z(∞) es el punto superior de porcentaje de N(0,1).La cantidad:

X¿

−μ0

σ√n

= Z

se denomina el estadístico estandarizado o tipificado. Si este estadístico es un valor menor de –z(∞), se rechaza H0 y se acepta H1. Por el contrario, si Z es mayo que –z(∞), se dice que no hay suficiente evidencia para rechazar H1, por lo que se acepta H0.En general, las regiones críticas para contrastar H0 : µ = µ0 se pueden expresar como se indica en la siguiente tabla:

Hipótesis alternativa,H1

Rechazar H0 : µ = µ0 SI

µ < µ0 Z < -z(∞)µ > µ0 Z > +z(∞)µ ≠ µ0 Z < -z(∞/2) ó Z < +z(∞/2)

Para entender la correcta orientación de la región crítica, la siguiente figura Nº16 es muy útil para el caso de H0 : µ = µ0 y H1 : µ < µ0

Figura Nº16 Ilustración gráfica de la prueba H0: µ = µ0 versus H1 : µ < µ0

En la figura Nº 16, c representa el valor crítico. La región a la derecha de este punto es la región de aceptación de H0 y la región a la izquierda de c es la de aceptación de H1. Obsérvese que esta prueba estadística alcanza cierta probabilidad de un error del tipo I.El punto c es tal que la probabilidad de rechazar H0 es ∞. El gráfico muestra que el valor crítico c debe ser menor que µ0 y es determinado por:

c =μ0 - [ z (α ) ] σ

√n

35


El valor de ∞ depende de cada aplicación. Un valor muy frecuentemente utilizado es α = 0.05. si altos costos están asociados a la evaluación, conviene utilizar valores más pequeños de α implica un valor alto de z(α) y la prueba se torna muy conservadora, tal que se rechaza H0 solo en casos muy extremos.Otra forma de conducir las pruebas de hipótesis es utilizando el concepto de valor de probabilidad o el valor ‘p’. Por ejemplo, en el caso de disminución de tiempos de

ensamblaje de un producto (antes visto), si x¿

= 29.68 para N(30, 1), se puede obtener un valor p, tal que:

P = P

[ X¿ ≤x¿ ]= P [Z ≤

x¿

- μ0

σ√n

]= P [Z ≤29 . 68 - 301

√34 ]=Φ (-1 . 866 )= 0 . 031

En este caso se rechaza H0 si el valor de p es menor que α = 0.05 (es decir para un nivel de significación de 0.05). Esto se ilustra en la figura Nº 17.

Figura Nº 17 Ilustración del valor de probabilidad o el valor ‘p’

Si ahora se trata de decidir si un procedimiento determinado ha producido un incremento en μ, se esta en la circunstancia de probar H0: μ = μ0 versus H1: μ > μ0. En este caso, se rechaza

H0 a favor de H1 cuando x¿

> c, como se ilustra en la Figura Nº 18.

36


Figura Nº 18 Ilustración grafica de la prueba H0: μ = μ0 versus H1: μ > μ0

Si se quiere probar a un nivel de significación α, se requiere que una probabilidad de falso rechazo de H0 sea α, es decir:

P [ X¿ ≥ c; μ=μ0]= P[Z =X¿−μ0

σ√n

≥c¿−μ0

σ√n

]=α

De modo que se rechaza H0 si el estadístico estandarizado:

X¿

−μ0

σ√n

≥ z (α )

ó equivalente

Valor p =

P [ X¿ ≥x¿

;μ=μ0 ]= 1-Φ[ X¿−μ0

σ√n

] Las pruebas H0: μ = μ0 versus H1: μ < µ0 y H0: μ = μ0 versus H1: μ > µ0 son llamadas pruebas a un solo nivel o de una cola. Hay ocasiones en que pruebas a dos lados son apropiadas, de modo que se contrasta H0: μ = μ0 versus H1: μ ≠ µ0. Esto se ilustra en la Figura Nº 19.

37


Figura Nº 19 Ilustración gráfica pruebas H0: μ = μ0 versus H1: μ ≠ µ0

En este caso, con un nivel de significación α, se rechaza H0 si:

|X¿

−μ0

σ√n

|≥ z ( α2 )

Valor p = 2P[Z >|

X¿−μ0

√n|]

2.17.5.- Hipótesis referente a medias de pequeñas muestras. Los anteriores conceptos asumen que se tiene una distribución N(0,1) con σ2 conocida. Si ahora la varianza σ2 es estimada por la varianza de muestra s2, la distribución de muestra:

t =x- μ¿

s√n

Es una distribución t con n-1 = r grados de libertad y los valores críticos z(α) deben ser reemplazados por t(α;n-1). Si acaso n es grande (por lo menos 30) se puede utilizar la tabla normal.Las regiones críticas resultantes se muestran en la tabla, en donde por ejemplo t(α;n-1) es el área a la derecha bajo la curva de distribución t con n-1 grados de libertad y es igual a α, figura Nº 20

38


Figura Nº 20 Ilustración gráfica de la prueba H0: μ = μ0 versus H1: μ > µ0 para muestras pequeñas

Hipótesis alternativaH1

Rechazar H0 : μ = μ0

Si:μ < µ0 t < -t(α,r)μ > µ0 t < +t(α,r)μ ≠ µ0 t < -t(α/2,r) ó t < +t(α/2,r)

2.17.6.- Hipótesis referente a dos medias. Una de las pruebas más importante que se hace en estadística es aquella para las que se compara dos métodos diferentes. Por ejemplo, si se han considerado dos tipos de cedro para ser usado en ciertas vigas de estructura metálica, se tomarán muestras y decidirá cual es mejor al comparar sus resistencias medias. Generalmente se compara las medias de dos distribuciones, de lo que resulta que se establecen las hipótesis nula y alternativa: H0: μ = μ0 versus H1: μ < µ0 ó H1: μ > µ0 ó H1: μ ≠ µ0

2.17.7.- Comparación de dos muestras independientes grandes. Consideremos dos muestras aleatorias cada una con una distribución independiente y con promedios μ1 y µ2,

varianzas σ 12=σ2

2 respectivamente y de tamaño n1 y n2, denotadas por: x1, x2, ,xn1 y : y1,

y2, ,yn2 y que son aproximadamente: N(μ1,

σ12

n1 ) y N(μ2,

σ22

n2 )

Se asume que σ 12 y σ 2

2

Bajo la hipótesis nula H0: μ = μ0 ó que μ - μ0 = 0, la variable aleatoria:

Z =

x¿

− y¿

√ σ12

n1

+σ 2

2

n2

Es N(0,1). Se rechaza H0 y se acepta H1 cuando Z ≥ z(α) a una prueba de nivel de significación α.

39


2.17.8.- Comparación con pequeñas muestras. Si las varianzas σ 12 y σ 2

2 son

desconocidas, estas pueden ser reemplazadas por las varianzas de muestra. S12 y S2

2. En este

caso se toma en consideración los grados de libertad r1 = n1–1 y r2 = n2–1 y bajo la hipótesis nula H0: µ = µ0, la variable aleatoria:

T =

x¿

− y¿

√ (n1 -1) Sx2+(n2 -1 ) S y

2

n1+ n2−2 ( 1n1

+ 1n2

)Tiene una distribución t Student t(α;n1+ n2 – 2). Si se rechaza H0: µ = µ0 y se acepta H1: µ > µ0, cuando T ≥ +t(α; n1+ n2 – 2) se obtiene una prueba con nivel de significación α. Similarmente, en una prueba H0: µ = µ0 versus H1: µ < µ0, se acepta H1 cuando T ≤ -t(α; n1+

n2 – 2). En una prueba H0: µ = µ0 versus H1: µ ≠ µ0, se acepta H1 cuando |T|≥(α;n1+ n2 – 2).

2.17.9.- Pruebas de comparación por pares. Hasta aquí se ha asumido que las observaciones provienen de dos grupos independientes entre si. En la mayoría de aplicaciones esto es válido, pero hay circunstancias en las que se debe asumir dependencia entre las observaciones. Por ejemplo, considérese una máquina que mide la dureza de un metal por la profundidad de la marca hecha por la puna de la máquina en la probeta a evaluar. Esta máquina dispone de dos puntas, diferentes la una de la otra, aún cuando la variabilidad de las dos parece ser la misma.

Si se desea evaluar si existe diferencia en las medidas de dureza de ambas puntas, se puede optar por ejemplo en tomar 20 probetas de metal y aleatoriamente escoger 10 probetas para cada una de las puntas. Este sencillo y lógico procedimiento pude tener desventajas. Supóngase que las 20 probetas fueron obtenidas de distintas existencias del mismo material, que podrían tener algunas diferencias físicas entre si, (por ejemplo, diferente dureza entre los distintos lotes). Esto contribuiría a incrementar el error experimental, variabilidad y haría más difícil detectar las diferencias entre ambas puntas.

Para salvar esta posibilidad de obtener una conclusión errónea, se puede optar por otro procedimiento. Si cada probeta es lo suficientemente grande, se puede utilizar cada una de las probetas para medir la dureza con las dos puntas. El orden y ubicación de medición se deberá ejecutar aleatoriamente. En este caso las mediciones están mutuamente relacionadas y se dice que hay dependencia entre las observaciones.

En tales situaciones, se analiza las diferencias Wi = Xi – Yi. Estas diferencias. W1 = X1 – Y1; W2 = X2 – Y2; Wn = Xn – Yn son muestras aleatorias de tamaño n provenientes de

una distribución con promedio µ1 - µ2 y varianza σ w2

. Las variables W1, W2, …,Wn son independientes (provienen de diferentes objejtos) Asumiendo que W es normal, se puede utilizar la prueba estadística:

T =

W¿

Sw

√n

40


Donde Sw es la desviación estándar de las diferencia, W. Una prueba de hipótesis por

ejemplo puede ser H0: µ = µ0 versus H1: µ > µ0, Se acepta H1 si

W¿

Sw

√n ≥ t(α; n–1) si n es suficientemente grande, se puede utilizar la distribución normal.

2.17.10.- Prueba para σ 12=σ2

2 . Sean Sx

2 y S y2

las respectivas varianzas de muestras de tamaños n1 y n2 se sabe que:

F =

Sx2

σ12

S y2

σ22

Tiene una distribución F con n1 y n2 grados de libertad.

Se rechaza H0 : σ 12=σ2

2 y se acepta H1 : σ 1

2>σ 22

si

Sx2

S y2

≥ F(α; n1 –1, n2–1).

2.18.- Problemas resueltos.Ejemplo 1: En un proceso productivo de resistencias eléctricas de 1500 Ω deben ser producidos dentro de la tolerancia de ± 5 %. Defina las características recomendadas para un ohmiómetro indicado para efectuar el control de calidad y defina los límites de aceptación que deben ser adoptados en el control de calidad.Solución:La tolerancia a ser obedecida en términos absolutos corresponde a:

T = (1500 ± 150) ΩEl intervalo de tolerancia es calculado por:

IT = LSE – LIE = 1650 – 1350 = 300 Ω

Es recomendable que la incerteza de medición del proceso de medición a ser usado seda de la orden de un décimo del intervalo de tolerancia. Por lo tanto:

IM = IT/10 = 300/10 = 30 ΩAsí, el ohmiómetro a ser usado debe permitir medir resistencia y producir un resultado con incerteza de medición de 30 Ω. Una buena alternativa es utilizar un ohmiómetro cuyo error máximo sea de esta orden, o que evitara la necesidad de efectuar cálculos adicionales para corregir los errores sistemáticos.Para estas condiciones los límites de aceptación son:

LIA = LIE + IM = 135º + 30 = 1380 Ω

LSA = LSE – IM = 1650 – 30 = 1620 Ω

41


La estrategia del control debe envolver la comparación del resultado en base con estos límites y:

Aprobar la resistencia si 1350 Ω ≤ 1620 Ω

Rechazar la resistencia si RB < 1380 Ω ó si RB > 1620 Ω

Ejemplo 2:Un radar del parque automotor debe ser regulado para automáticamente fotografiar y aplicar multas en automóviles que tengan velocidad encima de la velocidad máxima permitida en un trecho que es de 60 Km./h. Este tipo de radar mide la velocidad del automóvil con una incertidumbre no peor que 5 Km./h. Considérese aún que los velocímetros de los automóviles puedan presentar incertidumbres que lleguen al 10% del valor indicado en el máximo. ¿De que forma el radar debe ser regulado para aplicar multas?Solución:En función de la incertidumbre de ± 10 % del velocímetro es posible que un automóvil, cuyo velocímetro indique exactamente 60 Km./h, de hecho, transitando a 66 Km/h. El chofer no debería ser multado si la falla fuese apenas del velocímetro. Esto deberá ser el límite superior de la velocidad permisible par el trecho.A la vez, el radar mide velocidades de automóviles con incertidumbre de hasta 5 Km/h. Para afirmar con seguridad que la velocidad de un automóvil supera el límite superior de la velocidad permisible, es necesario adicionar el valor de la incertidumbre a este:

66 + 5 = 71 Km/hAsí, las multas deben ser aplicadas a los automóviles cuyo resultado base de la medición da velocidad por el radar superior a los 71 Km/h.

Ejemplo 3:El valor medio del peso de un marca determinada de cereal durante el año pasado fue de 0.297 kg (10.5 oz), su desviación estándar fue de 0.024 kg. Suponiendo que se tata de una distribución normal, calcule el porcentaje de datos que esta comprendido debajo del límite de especificación inferior de 0.274 kg.Solución:Puesto que la media y la desviación estándar se calcularon después de realizar una considerable cantidad de pruebas durante el año, se les considera cálculos validos de los valores de la población

Z =X i−μ

σZ =0 .274− 0 . 297

0 .024 = - 0 . 96

En la tabla A observamos que para Z = 0.96, área = 0.1685 ó 16.85%, por lo tanto, el 16.85% de los datos pesa menos de 0.274 kg.

42


Ejemplo 4:Usando los datos del problema anterior, calcule el porcentaje de datos comprendidos arriba de 0.347 kg.Solución:Dado que la tabla A es una tabla de lectura a la izquierda, para resolver este problema hay que usar la relación Area1 + Area2 = AreaT = 1.0000. Por tanto se calcula el Area2 y se le resta 1.0000 para obtener así el Area1.

Z =X i−μ

σZ =0 .347− 0 .297

0 .024 =+ 2. 08

En la tabla A se observa que si Z2 = +2.08, entonces Area2 = 0.9812, luegoArea1 = AreaT – Area2 = 1.0000 – 0.9812 = 0.0188

Por tanto, el 1.88% de los datos superan a 0.347 kg.

Ejemplo 5:Después de realizar una gran cantidad de pruebas en las líneas de voltaje de un área residencial se determino un valor medio de 118.5 V una desviación estándar de una población de 1.20 V. Calcule qué porcentaje de los datos está comprendida entre 116 y 120 V.Solución:Dado que la tabla A es una tabla de lectura a la izquierda, habrá que restar el área que está a la izquierda de 116 V del área que está a la izquierda de 120 V. La gráfica y cálculos siguientes muestran la técnica.

Z2=X i−μ

σZ2=

116− 118.51 .20

= - 2 .08

Z3=X i−μ

σZ3=

120− 118.51.20

=+ 1 . 25

43


En la tabla A se encuentra que si Z2 = -2.08, el Area2 = 0.0188;Z3 = +1.25, el Area3 = 0.8944;

Luego el Area1 = Area3 - Area2 = 0.8944 – 0.0188 = 0.8756 ó 87.56 % Por lo tanto, el 87.56% de los datos está comprendido entre 116 y 120V.

Ejemplo 6:Si lo que se desea es que el 12.1% del voltaje de línea esté por debajo de los 115 V, ¿cómo habrá que ajustar el voltaje medio? La dispersión es de σ = 1.20 V.Solución:Lo que se pide en este problema es lo opuesto de los anteriores. Primero se localiza en la tabla A el valor de 12.1% o 0.1210. Se obtiene el valor Z y utilizando la fórmula de Z, se despeja el voltaje medio. En la tabla A, con el area1 = 0.1210, se obtiene -1.17 como valor de Z

Zi=X i−X

¿

0

σ-1 . 17 =

115−X 0

¿

1 . 20, X0

¿

= 116. 4 V

Es decir, el voltaje medio debe centrarse a 116.4 V para que el 12.1% de los valores sea inferior a 115V.

2.19.- Problemas propuestos.

1.- Con la intención de efectuar el control de calidad del proceso productivo presentado en el ejemplo Nº 1, del ítem 1.5 disponemos de un ohmiómetro capaz de medir resistencias eléctricas del orden de 1500 Ω con repetividad de 15 Ω y para el cual debe ser aplicada una corrección de C = - 20 Ω. Responda:(a) ¿Este ohmiómetro puede ser usado para efectuar el control de calidad? ¿Es

necesario aplicar la corrección o esta puede ser ignorada?(b) Defina los límites de la zona de aceptación y el procedimiento a ser usado para

hacer el control de calidad de las resistencias.(c) ¿Una resistencia cuya indicación directa mostrada por el ohmiómetro fuese 1490 Ω

debería ser aprobado o rechazado?2.- Un fabricante de clavos debe garantizar que el diámetro de un cierto modelo de clavo

siempre este dentro de la tolerancia (3,20 ± 0,08) mm.(a) Especifique las características petrológicas de un sistema de medición apropiado

para verificar si los clavos atienden esta tolerancia.(b) Defina los límites de la zona de aceptación, rechazo y duda para este caso.

44


(c) Especifique detalladamente los pasos de un procedimiento a ser seguido por operación para verificarse si un dado clavo esta dentro de la tolerancia.

3.- Una rueda de un motor de reproductor de CDs debe poseer dimensiones dentro de la tolerancia de (15,00 ± 0,02) mm. Especifique las características necesarias a un proceso de medición adecuado para clasificar las piezas disponibles como dentro o fuera de la tolerancia (incertidumbre necesaria al proceso de medición, límites de control, limites de la zonas de aceptación, duda y rechazo y los procedimientos para hacer el control de calidad).

4.- Para controlar el contenido alcohólico de dos modalidades de vinos tinto que produce, una vitivinícola dispone de un medidor capaz de indicar el contenido volumétrico de alcohol en el vino con incertidumbre de 2 ml/l. La especificación del contenido alcohólico de vino A es de 100 130 ml/l y del vino B de 110 a 120 ml/l. Se pregunta ¿si este medidor es apropiado para medir el contenido alcohólico de los dos tipo de vinos producidos? Caso positivo, establezca los límites de aceptación. Caso negativo, indique que características serian necesarias al sistema de medición y , estas condiciones, ¿cuales deben ser los límites de control?

5.- Una empresa productor de latas de aceite vegetal fue multada porque el volumen de aceite constante en un de las latas retirada de un lote de producción fue medio como (880 ± 12) ml cuando la tolerancia para este tipo de embalaje es de 900 ml ± 1%. Se pregunta: ¿esta multa fue justa?, Justifique su respuesta.

6.- Un fabricante de cereales en paquetes tiene una etiqueta indicando el peso de 12 onzas de cereal por bolsa. Su distribución de pesos es N (12.2, 0.04). ¿Qué porcentaje de las bolsas tienen peso de cereal inferior a las 12 onzas?

7.- Supóngase que las especificaciones del diámetro de un eje de un motor son 0.25 ± 0.002 pulgadas. Si la producción de estos ejes esta distribuida normalmente con μ = 0.251 pulg y σ = 0.001 pulg. ¿Qué porcentaje de los ejes se encuentran dentro de las especificaciones?

8.- Si los diámetros de cojinetes de bolas se distribuyen normalmente con media 0.6140 pulgadas y desviación estándar 0.0025 pulgadas, determinar el porcentaje de cojinetes de bolas con diámetros:a) entre 0.610 y 0.618 pulgadas;b) mayor que 0.617 pulgadas;c) menor que 0.608 pulgadas.

9.- Una máquina llena bolsas con cemento a 100 libras. El peso que se pone en cada bolsa es una variable aleatoria con σ = 0.5 lb. El promedio de la distribución puede ser fijado por el operador. ¿A qué peso promedio debe ser fijada la máquina para que solo el 5% de las bolsas estén bajo el peso especificado?

10.- El peso promedio de cierta marca de carretillas es 31 Kg. Debido a la variabilidad de la materia prima y de las condiciones de producción, el peso de estas carretillas es una variable aleatoria. Si la distribución es normal con σ = 0.5 Kg.a) ¿cuál es la probabilidad de que una muestra de carretilla aleatoriamente seleccionada

pese más de 32.0 Kg?

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b) ¿cuál es la probabilidad de que una muestra de carretilla aleatoriamente seleccionada pese entre 30.0 y 30.5 Kg?

11.- La media de los diámetros interiores de una muestra de 200 arandelas (arandela = anillo metálico usado en las máquinas para evitar el roce entre 2 piezas) producidas por una máquina es de 0.502 pulgadas y la desviación estándar 0.005 pulgadas. El propósito para el que se destinan estas arandelas permite una tolerancia máxima en el diámetro de 0.496 a 0.508 pulgadas, de otro modo las arandelas tienen que desecharse. Determinar el porcentaje de arandelas de desecho producidas por la máquina, suponiendo que los diámetros se distribuyen normalmente.

12.- El espesor de placas metálicas es una variable de interés. Debido a muchos factores, tales como variaciones en las características del metal, diferentes operarios y diferentes máquinas, el espesor varía y puede ser considerado como una variable aleatoria con μ = 20 mm y σ = 0.04 mm. ¿Cuánto de placas de desecho se puede esperar si el espesor:a) Tiene que ser por lo menos 19.95 mm?b) Puede ser máximo 20.10 mm?c) Pueden diferir máximo 0.05 mm del objetivo de 20 mm?d) Como se establecerían los límites de tolerancia, (20 – c) y (20 + c), de tal modo que

se produzca un máximo de 5% de desechos?e) Asúmase que el promedio se ha desplazado a μ = 20.10 mm. Calcular el porcentaje

de placas metálicas que excedan los límites de tolerancia de la parte (d) de este problema.

13.- En una fábrica se llenan bolsas con 12 Kg de harina. Supóngase que la distribución del peso es N (12.2,0.04). Si X̄ es el promedio de peso de 4 bolsas seleccionadas al azar, evaluar P (X̄ < 12).

14.- Una muestra aleatoria de 36 muestras de N (μ, 25) tiene x̄ = 49.2. Encontrar un intervalo a 90% de confianza para μ.

15.- Las medidas de los diámetros de una muestra al azar de 200 cojinetes de bolas hechos por una determinada máquina durante una semana dieron un promedio de 0.824 pulgadas y una desviación estándar de 0.042 pulgadas. Hallar los límites de confianza para el diámetro medio de todos los cojinetes al:a) 95%; b) 99%.

16.- Una compañía tiene 500 cables. Un ensayo con 40 cables elegidos al azar dieron una media de resistencia a la rotura de 2400 lb y una desviación estándar de 150 lb. ¿Cuáles son los límites de confianza al 95% y 99% para estimar la media de la resistencia a la rotura de los 460 cables restantes?

17.- El promedio µ de resistencia a la rotura de cierto papel es de interés. De 22 muestras tomadas aleatoriamente se encontró x̄ = 2.4 libras.a) Si la desviación estándar de una observación individual se sabe que es σ = 0.2.

Encontrar al 95% de confianza el intervalo de confianza para μ.

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b) Si la desviación estándar σ es desconocida pero la desviación de muestra es s = 0.2, determine al 95% de confianza el intervalo para μ.

18.- Si una variable U tiene una distribución de t-student con r = 10, hallar la constante C, tal que:

a) P (U > C) = 0.05b) P (-C ≤ U ≤ C) = 0.98c) P (U ≥ C) = 0.9

19.- Una muestra de 12 medidas de resistencia a la rotura de hebras de algodón dio una media de 7.38 onzas y una desviación estándar de 1.24 onzas. Hallar los intervalos de confianza para la resistencia real al:a) 95%; b) 99%

20.- Cinco medidas del tiempo de una reacción química fueron registradas como 0.28, 0.30, 0.27, 0.33, 0.31 segundos. Hallar los límites de confianza para el tiempo real de reacción al:a) 95%; b) 99%.

21.- Hallar X12

y X 22

tales que el área bajo la distribución X2 (α, r) correspondiente a r = 20

entre X12

y X 22

sea 0.95 suponiendo iguales las áreas a la izquierda de X12

y a la

derecha de X 22

22.- Si la variable U se distribuye en X2 (α, r) con r = 7, hallar X12

y X 22

tales que:

a) P (U >X 22

) = 0.25

b) P (X12

≤ U ≤X 22

) = 0.90

c) P (U <X12

) = 0.9523.- La desviación estándar de la duración de 10 bombillas fabricadas por una compañía es

de 120 horas. Hallar los límites de confianza para la desviación estándar de todas las bombillas fabricadas por la compañía al:a) 95%; b) 99%Resolver este problema si para 25 bombillas se encuentra s = 120 horas.

24.- La efectividad de dos métodos de enseñanza son comparados. Una clase de 24 estudiantes es divida aleatoriamente en dos grupos y cada grupo recibe enseñanza según cada uno de los métodos. Al finalizar el semestre se observó lo siguiente:

n1 = 13; x̄ = 74.5; s12

= 82.6

n2 = 11; x̄ = 71.8; s22

= 112.6

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Asumir una distribución normal con σ 12=σ2

2. Calcular al 90% de confianza el

intervalo para σ 12 / σ2

2.

¿Hay diferencia significativa entre los dos métodos de enseñanza?

25.- Dos compuestos de caucho fueron probados para resistencia a la tracción. Se prepararon 14 muestras rectangulares, 7 para cada una de las muestras A y B. Durante la experimentación se observó que dos especimenes de b estuvieron defectuosos por lo que se les elimino de la prueba. La fuerza de tracción (en unidades de 100 psi) fue como sigue:

A = 32 30 33 32 29 34 32B = 33 35 36 37 35

Calcular al 90% de confianza el intervalo para σ 12 / σ2

2. Comente los resultados.

26.- Se desea contrastar la hipótesis μ = 0 frente a la alternativa μ>0 sobre la base de una muestra aleatoria de tamaño 9 obtenida de una población normal con σ2 = 1 a un nivel de significación de 0.05. Verificar cuál de las alternativas es la correcta.

27.- Se desea contrastar la hipótesis μ = 0 frente a la alternativa μ>0 sobre la base de una muestra aleatoria de tamaño 100 obtenida de una población normal con σ2 = 1. Si la hipótesis se debe rechazar cuando x̄ > 0.233, ¿cuál es el nivel de significación empleado.

28.- Queremos contrastar la hipótesis μ = 0 frente a la alternativa μ ≠ 0 sobre la base de una muestra aleatoria de tamaño 25 obtenida de una población normal con σ2 = 1. Si α = 0.05 hallar el conjunto de valores de x para los que la hipótesis debe aceptarse.

29.- La duración media de una muestra de 100 tubos fluorescentes producidos por una compañía resulta ser de 1,570 horas con una desviación estándar de 120 horas. Si el promedio histórico de los tubos producidos pro la compañía es de 1,600. Verificar si la duración de los tubos es inferior a 1,600 horas a un nivel de significación de 0.05.

30.- El tiempo para reparar desperfectos de máquinas fotocopiadoras tienen un promedio de 93 min. La compañía fabricante sostiene que con su nuevo modelo, aquellos tiempos serán inferiores. Para probar esto se evalúan 73 paradas por desperfectos y se observa un promedio de reparación de 88.8 minutos y una desviación estándar de 26.26 minutos. A un nivel de significación de 0.05 verificar la aseveración de la compañía.

31.- Se tomaron aleatoriamente 64 fusibles y fueron sometidos a un 20% de sobrecarga y el tiempo de falla fue registrado. Para esta muestra x̄ = 8.5 y s = 2.4. A un nivel de significación del 0.05 probar si μ > 8.0.

32.- En el pasado una máquina ha producido arandelas con un grosos de 0.05 pulgadas. Para determinar si la máquina sigue en buenas condiciones de producción, se toma una muestra de 10 arandelas que resultan tener un grosor medio de 0.053 pulgadas y una desviación estándar de 0.003 pulgadas. Ensayar la hipótesis de que la máquina este en buenas condiciones de producción a un nivel de significación del 0.05.

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33.- Un ensayo sobre la resistencia a la rotura de 6 cuerdas fabricadas por una compañía mostró una resistencia media de 7,750 lb. y una desviación estándar de 145 lb., mientras que el fabricante sostenía que la resistencia media de sus cuerdas era de 8,000 lb. Se puede admitir la afirmación del fabricante a un nivel de significación:a) del 0.05; y b) del 0.01?

34.- Un laboratorio de pruebas desea contrastar si el promedio de vida de cierta herramienta de corte es de 2,000 piezas, frente a la alternativa de que es menos de 2,000. ¿Qué conclusión se deberá obtener a un nivel de significación del 0.01, si 6 pruebas mostraron como vidas de las herramientas 2010, 1980, 1920, 2005, 1975, y 1950 piezas?

35.- Se afirma que la resistencia de un alambre eléctrico se puede reducir como mínimo en 0.05 ohms aleando el material. Se hacen 25 pruebas en alambre aleado y otras tantas en alambre sin aleación dando los siguientes resultados.

Media, ohms Desviación estándar, ohmsAlambre aleado 0.089 0.003Alambre sin aleación 0.141 0.002

Empleando un nivel de significación del 0.05 determinar si esa afirmación es cierta.

36.- Una compañía desea comparar las vidas de dos piedras abrasivas y encuentra que el promedio de vida de 10 piedras de la primera clase es de 58 piezas con una desviación estándar de 6 piezas; y que la vida promedio de 12 piedras de la segunda clase es de 66 piezas con una desviación estándar de 4 piezas. Contrastar la hipótesis de que no hay diferencia significativa entre los promedios de la vida de las dos piedras con un nivel de significación de 0.01.

37.- Dos productores de focos sostienen que sus productos son los de más larga duración. Se toma 100 focos de cada uno de estos fabricantes y son probados. Los resultados

obtenidos son x = 798 y y = 826 horas respectivamente con sx2

= 7982 s y2

= 9001. Probar si estos dos tipos de focos son diferentes en cuanto su duración a un nivel de significación del 0.005.

38.- Para evaluar el nivel de polución dentro de un hogar, se mide la cantidad de partículas sólidas suspendidas durante un período de 24 horas. Se toma muestras de hogares en donde no hay fumadores y en hogares en donde hay al menos un fumador. Siendo los

resultados n1 = 16 x = 67.1; sx2

= 7.82; n2 = 13 y = 132.3; s y2

= 24.12. Probar:

H0: σ 12=σ2

2contra H1: σ 1

2< σ 2

2 con α = 0.05.

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