1

Chuyªn ®Ò: Hµm SỐ TrÞnh Xu©n T×nh

VÊn ®Ò 1:Hµm sè ®ång biÕn,hµm sè nghÞch biÕn A- tãm t¾t lý thuyÕt: */ §Þnh lý 1:(DÊu hiÖu cña tÝnh ®¬n ®iÖu) Cho hµm sè y f (x)= cã ®¹o hµm trªn (a;b)

a/ NÕu hµm sè f (x) t¨ng trªn (a;b) th× /f (x) 0 x (a;b)≥ ∀ ∈

b/ NÕu hµm sè f (x) gi¶m trªn (a;b) th× ( )/f (x) 0 x a;b≤ ∀ ∈

*/ §Þnh lý 2:(DÊu hiÖu ®ñ cña tÝnh ®¬n ®iÖu) Cho hµm sè y f (x)= x¸c ®Þnh trªn (a;b)

a/ NÕu ( )/f (x) 0 x a;b≥ ∀ ∈ §¼ng thøc x¶y ra t¹i mét sè h÷u h¹n ®iÓm thuéc (a;b) th× f (x)

t¨ng trªn (a;b)

b/ NÕu ( )/f (x) 0 x a;b≤ ∀ ∈ §¼ng thøc x¶y ra t¹i mét sè h÷u h¹n ®iÓm thuéc (a;b) th× f (x)

gi¶m trªn (a;b)

*/ Cho hµm sè y f (x)= x¸c ®Þnh trªn (a;b) vµ ( )0x a;b∈ .§iÓm 0x ®−îc gäi lµ ®iÓm tíi h¹n

cña hµm sè nÕu t¹i ®ã /f (x) kh«ng x¸c ®Þnh hoÆc b»ng 0

B- Ph−¬ng ph¸p gi¶i to¸n D¹ng 1: t×m c¸c kho¶ng ®¬n ®iÖu cña hµm sè Ph−¬ng ph¸p: B1: T×m c¸c ®iÓm tíi h¹n

B2:LËp b¶ng xÐt dÊu /f (x) trong c¸c kho¶ng x/® bëi c¸c®iÓm tíi h¹n

B3: Tõ ®ã suy ra chiÒu biÕn thiªn VD1: XÐt chiÒu biÕn thiªn cña c¸c hµm sè”

1-(§37) 2

x 3y

x 1

+=

+ 2-(§3)

2y x x x 1= + − + 3-(§7) 2

x 1y

x x 1

+=

− +

VD2: Tuú theo m kh¶o s¸t sù biÕn thiªn cña c¸c hs sau:

1-(§84) 3y 4x (a 3) ax= + + + 2-(§101)

2

x my

x 1

+=

+ 3-(§47)

3y 4x mx= +

4- (§12) ( )nny x c x= + − trong ®ã c 0.n 1> >

D¹ng 2: T×m §K cña tham sè ®Ó hµm sè ®¬n ®iÖu trªn kho¶ng cho tr−íc: Ph−¬ng ph¸p :Sö dông ®Þnh lý 2: VD1:T×m §K cña tham sè m ®Ó c¸c hs sau ®ång biÕn trªn kho¶ng ®· chØ ra:

2

1-(§62) 3 21 1

y mx (m 1)x 3(m 2)x3 3

= − − + − + trªn [ )2;+∞

2-(§79) 3 21

y x (m 1)x (m 3)x 43

= − + − + + − trªn ( )0;3

3-(§73) 2y x (m x) m= − − trªn( )1;2 4-(§148)

2x mx 1y

x 1

+ −=

− trªn ( ) ( );1 1;−∞ ∪ +∞

5- 3

2x 1 3y (sin m cosm)x (sin 2m)x 1

3 2 4= − + + +

6-(§HSPHN KA-2000) 2 2x (m 1)x 4m 4m 2

yx (m 1)

− + + − −=

− − trªn (0; )+∞

VD2: T×m §K cña tham sè m ®Ó c¸c hs sau nghÞch biÕn trªn kho¶ng ®· chØ ra:

1-(§82)( )22x 1 m x 1 m

yx m

+ − + +=

− + trªn ( )2;+∞ 2-(§135)

2 2x 2mx 3my

2m x

− +=

−/ ( )1: +∞

3-(§50) 2mx 6x 2

yx 2

+ −=

+ trªn [ )1;+∞ 4-(§13) y (m 3)x (2m 1)cos x= − − + trªn R

D¹ng 3: Sö dông tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè ®Ó gi¶i PT,BPT vµ HÖ PT: Ph−¬ng ph¸p:Sö dông c¸c ®Þnh lý sau:

§Þnh lý 1:Hµm sè f (x) liªn tôc vµ ®¬n ®iÖu trªn [ ]a;b th× [ ]2 2x , x a;b∀ ∈ mµ

( ) ( )1 2 1 2f x f x x x= ⇔ =

§Þnh lý 2: Hµm sè f (x) liªn tôc vµ ®¬n ®iÖu trªn [ ]a;b ( ) ( )&f a f b 0< th× pt f (x) 0= cã

nghiÖm duy nhÊt trªn(a;b)

§Þnh lý 3: Hµm sè f (x) liªn tôc vµ ®¬n ®iÖu t¨ng (gi¶m) trªn [ ]a;b cßn hµm sè g(x) liªn tôc vµ

®¬n ®iÖu gi¶m(t¨ng) trªn [ ]a;b khi ®ã nÕu pt f (x) g(x)= cã nghiÖm trªn[ ]a;b th× nghiÖm ®ã lµ

duy nhÊt

Chó ý : Khi gÆp hÖ cã d¹ng:f (x) f (y)(1)

g(x, y) 0(2)

=

= ta cã thÓ t×m lêi gi¶i theo mét trong hai h−íng sau:

H−íng 1:Pt (1) f (x) f (y) 0⇔ − = (3) t×m c¸ch ®−a (3) vÒ d¹ng tÝch.

H−íng 2:XÐt hµm sè y f (t)= ta th−êng gÆp hs liªn tôc trªn TX§ cña nã.

NÕu hs y f (t)= ®¬n ®iÖu th× tõ (1) x y⇒ = .

3

NÕu hs y f (t)= cã mét cùc trÞ t¹i t a= th× nã thay ®æi chiÒu biÕn thiªn mét lÇn khi qua a. Tõ (1)

x y= hoÆc x, y n»m vÒ hai phÝa cña a .

1-(§HC§ KD-2004) CMR PT sau cã ®óng mét nghiÖm: 5 2x x 2x 1 0− − − =

2-T×m nghiÖm ©m cña pt: 6 5x 2x 3 0− − =

3-CMR pt sau cã ®óng mét nghiÖm x 1 xx (x 1)+ = +

4-CMR PT:2x x 12 x 1 36+ + + = v« nghiÖm trªn [ ]1;0−

5-(§131) CMR nÕu n lµ sè t− nhiªn ch½n vµ a 3> th× pt sau v« nghiÖm

n 2 n 1 n 2(n 1)x 3(n 2)x a 0+ + ++ − + + =

6-(§HC§KB-2007) CMR: m 0∀ > pt sau lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt 2x 2x 8 m(x 2)+ − = −

7-(§HQGHN-Ng©n hµng KD-2000) 24x 1 4x 1 1− + − =

8-(§H N«ng nghiÖp-1999) 2x 2x 5 x 1 2− + + − =

9-Gpt: x x 5 x 7 x 16 14+ − + + + + =

10-Gpt 3x 1 x 4x 5− = − − +

11-(§HCDKA-2007) T×m m ®Ó pt sau cã nghiÖm 4 23 x 1 m x 1 2 x 1− + + = −

12- T×m m ®Ó pt sau cã nghiÖm 4 2x 1 4m x 3x 2 (m 3) x 2 0− + − + + + − =

13-(§HC§ KA-2003) Gi¶i hÖ pt

3

1 1x y

x y

2y x 1

− = − = +

14-(§HC§KB-2006)CMR a 0∀ > hÖ pt sau cã nghiÖm duy nhÊt:

x ye e ln(1 x) ln(1 y)

y x a

− = + − +− =

15-T×m x, y 0;2

π ∈

tho¶ 1/ cot x cot y x y

5x 8y 2

− = −

+ = π 2/

tan x tan y x y

tan x tan y 2

− = −

+ =

16-Gi¶i c¸c hÖ sau: 1/ x y cot x cot y

cos x cos y 1

− = −

+ = 2/

x y sin x sin y

sin x sin y 2

− = −

+ =

4

3/

x y

3

2 2

e e x y

xlog log 4y 10

2

− = −

+ =

4/2 2

ln(1 x) ln(1 y) x y

2x 5xy y 0

+ − + = −

− + = 5 x 1

x y y

ln x ln y x y

2 3 36

++

− = − =

17-CMR hÖ sau cã nghiÖm duy nhÊt ,t×m nghiÖm ®ã:

2

2

12x y

y

12y x

x

= + = +

18-T×m m ®Ó hÖ sau cã nghiÖm x 1 3 y m

y 1 3 x m

+ + − =

− + − =

19-(§H An ninh-2000) 1/ 27x 7 7x 6 2 49x 7x 42 181 14x+ + − + + − < −

2/ 2x x 7 2 x 7x 35 2x+ + + + < −

3-/2x 2 x 5 2 x 7x 10 5 2x+ + + + + + < −

D¹ng 4:Chøng minh bÊt ®¼ng thøc:

1-CMR 3x

x sin x x x 06

− < < ∀ >

2-CMR:

3x1

2sin x tan x 22 2 2+

+ > Víi x 0;2

π ∈

3-CMR : sin x tan x x 12 2 2 ++ > Víi x 0;

2

π ∈

4-(§HSPHN 2-1999) Cho tam gi¸c nhän ABC .CMR:

( ) ( ) ( )2SinB 2SinC 2SinASinA SinB SinC 2+ + >

5-(§H An ninh-2000) Cho n lµ sè nguyªn vµ n 3.≥ CMR ( )nn 1n n 1+ ≥ +

6-(§H Má-2000) Cho ABC� cã 00 A B C 90< ≤ ≤ < CMR:

2cos3C 4cos2C 1

2cosC

− +≥

7-(§H Hµng h¶i -1999) CMR:cos sin 1α+α α > víi 0 2< α < π

8-Cho ABC� nhän CMR:sinA sinB sinC tan A tan B tanC 2+ + + + + > π

5

9-(§72) Cho 0 b a< < CMR a b a a b

lna b b

− −< <

10-(§H L©m nghiÖp -2000)cho 7 7x 0; CMR tan x cot x tan x cot x

2

π ∈ + ≥ +

VÊn ®Ò 2:Cùc ®¹i ,cùc tiÓu cña hµm sè: A- tãm t¾t lý thuyÕt: Mét sè chó ý quan träng:

1*/Hµm sè d¹ng:3 2y ax bx cx d,(a 0)= + + + ≠ cã ®å thÞ lµ (C)

1-§K cÇn vµ ®ñ ®Ó ( C ) vµ trôc hoµnh cã ba giao ®iÓm ph©n biÖt lµ hµm sè cã hai ®iÓ cùc trÞ n»m vÒ

hai phÝa cña trôc hoµnh,tøc lµ ( )( )cd cty y 0<

2-Hµm sè ®¹t cùc trÞ t¹i 0x th× gi¸ trÞ cùc trÞ ( ) ( )0 0 0y y x r x , r(x) kx e= = = + lµ phÇn d− cña

phÐp chia y(x) cho /y (x)

2*/Hµm sè u(x)

yv(x)

= nÕu ®¹t cùc trÞ t¹i ®iÓm 0x th× gi¸ trÞ cùc trÞ /

00 0 / 0

u (x )y y(x )

v (x )= =

B- Ph−¬ng ph¸p gi¶i to¸n: D¹ng 1:T×m cùc trÞ cña hµm sè b»ng dÊu hiÖu I: C¸c b−íc gi¶i:(SGK)

VD1:Cho hµm sè :3 2y 2x 3x 1= − +

a. t×m c¸c kho¶ng t¨ng ,gi¶m ,cùc trÞ cña hµm sè.

b. BiÖn luËn theo m sè nghiÖm pt:3 22x 3x m 0− − =

VD2:Cho hµm sè:4 2y x 2x 1= − +

a. t×m c¸c kho¶ng t¨ng ,gi¶m ,cùc trÞ cña hµm sè.

b. BiÖn luËn theo m sè nghiÖm thuéc ( 2;2)− cña pt:4 2x 2x m 0− + =

VD3:Cho hµm sè:x 1

yx 1

+=

−

a. t×m c¸c kho¶ng t¨ng ,gi¶m ,cùc trÞ (nÕu cã) cña hµm sè.

b. BiÖn luËn theo m dÊu c¸c nghiÖm (nÕu cã) cña pt x 1

2mx 1

+=

−

VD4:Cho hµm sè:2x 4x 4

y1 x

− +=

−

a. t×m c¸c kho¶ng t¨ng ,gi¶m ,cùc trÞ cña hµm sè.

6

b. CMR m 0∀ < pt:2x (4 m)x 4 m 0− − + − =

VD5:T×m c¸c ®iÓm cùc trÞ cña hµm sè:2n 2 n 2 2x x x

y 20072n 2 n 2 2

+ +

= − + ++ +

D¹ng 2:T×m cùc trÞ cña hµm sè b»ng dÊu hiÖu II: C¸c b−íc gi¶i:(SGK) VDT×m c¸c ®iÓm cùc trÞ cña hµm sè:

1/ (§88)1

y cos x cos2x2

= + 2/ 2y 2x 3x 5= − + + 3/(§14)

2y 2x 3 x 1= − + +

4/ (§11) 2x 3

y 3sin x cos x2

+= + + 5/

xy e cos x= 6/ cos2x

y cos x 12

= + +

D¹ng 3:T×m cùc trÞ cña hµm sè cã chøa tham sè: Chó ý: cã thÓ dïng dÊu hiÖu I hoÆc II:

VD1:cho hµm sè:3 2y x mx 4= − + − víi mçi gi¸ trÞ cña m t×m ®iÓm cùc ®¹i ,cùc tiÓu cña hµm sè

VD2:Cho m +∈� ,hly t×m cùc trÞ cña hµm sè :m 2y x .(4 x)= −

VD3: Víi mçi gi¸ trÞ cña m t×m ®iÓm cùc ®¹i ,cùc tiÓu cña hµm sè:

a.2x 2x m

yx 3

− +=

− b.

1y x 3 m

x m= + − +

+ c.

2 2 2x m(m 1)x m 1y

x m

+ − − +=

−

D¹ng 4:T×m §K ®Ó hµm sè cã cùc trÞ: Ph−¬ng ph¸p:B1:TX§

B2:TÝnh ®¹o hµm/y

B3:Lùa trän mét trong hai h−íng

H−íng 1:NÕu xÐt ®−îc dÊu /y th× sö dông dÊu hiÖu I víi lËp luËn hs cã k cùc trÞ

/pty 0⇔ = cã k

nghiÖm pb vµ ®æi dÊu qua c¸c nghiÖm ®ã.

H−íng 2:Kh«ng xÐt ®−îc dÊu /y hoÆc bµi to¸n yªu cÇu cô thÓ vÒ cùc ®¹i hoÆc cùc tiÓu th× dïng dÊu

hiÖu II b»ng viÖc tÝnh thªm "y .khi ®ã :

1.Hµm sè ®¹t cùc tiÓu t¹i 0x §K lµ :

0

0

''

0

x D

x

y (x ) 0

∈ >

lµ ®iÓm tíi h¹n

7

2. Hµm sè ®¹t cùc ®¹i t¹i 0x §K lµ:

( )

0

0

''

0

x D

x

y x 0

∈ <

lµ ®iÓm tíi h¹n

1-(§H HuÕ1998) Cho hµm sè 3 2y x 3mx (m 1)x 2= − + − +

a. CMR hs cã cùc trÞ m∀ b. x¸c ®Þnh m ®Ó hs cã cùc tiÓu t¹i x 2=

2-(Dù bÞ 2 KB-2002) X¸c ®Þnh m®Ó hµm sè3y (x m) 3x= − − ®¹t cùc tiÓu t¹i x 0=

3-(TNTHPT-2005) X¸c ®Þnh m®Ó hµm sè 3 2 2y x 3mx (m 1)x 2= − + − + ®¹t cùc ®¹i t¹i x 2=

4-(§H Má-1997) X¸c ®Þnh m®Ó hµm sè3 2y (m 2)x 3x mx 5= + + + − cã cùc ®¹i vµ cùc tiÓu

6-(§H BK-2000) X¸c ®Þnh m®Ó hµm sè 3 2y mx 3mx (m 1)x 1= + − − − kh«mg cã cùc trÞ

7-(§H KiÕn tróc-1999) Cho hµm sè:4 2y kx (k 1)x 1 2k= + − + − X¸c ®Þnh k ®Ó ®ths chØ cã mét

cùc trÞ.

8-(§HKB-2002) Ch o hµm sè 4 2 2y mx (m 9)x 10= + − + .t×m m ®Ó hµm sè cã 3 ®iÓm cùc trÞ

9-(§H C§-1999) X¸c ®Þnh m®Ó hµm sè 2x 2mx m

yx m

+ −=

+ cã cùc trÞ

10-(§HXD-1997) X¸c ®Þnh m®Ó hµm sè 2 2mx (2 m )x 2m 1

yx m

+ − − −=

− cã cùc trÞ

11-Cho hµm sè:2x mx 1

yx m

+ +=

+ x¸c ®Þnh m ®Ó

a. hµm sè sã cùc tiÓu trong (0;m) b.hµm sè ®¹t cùc ®¹i t¹i x 2=

D¹ng 5: T×m §K ®Ó c¸c ®iÓm cùc trÞ tho¶ m·n mét §K cho tr−íc: A--T×m §K ®Ó c¸c ®iÓm cùc ®¹i,cùc tiÓu n»m vÒ hai phÝa mét ®−êng th¼ng cho tr−íc:

1-(§H An ninh KD-1999) Cho hµm sè 3 2 2y x 3mx (m 2m 3)x 4= − + + − + T×m tÊt c¶ c¸c gi¸

tri cña m ®Ó ®ths cã ®iÓm cùc ®¹i vµ cùc tiÓu ë vÒ hai phÝa cña trôc tung.

2-(§HQG KD-1999) Cho hs 2x x m

yx 1

+ +=

+ T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ tri cña m ®Ó ®ths cã ®iÓm cùc ®¹i

vµ cùc tiÓu ë vÒ hai phÝa cña trôc tung.

8

3-(§Ò dù bÞ KD -2005) Cho hs 2 2x 2mx 1 3m

yx m

+ + −=

− T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ tri cña m ®Ó ®ths cã

®iÓm cùc ®¹i vµ cùc tiÓu ë vÒ hai phÝa cña trôc tung.

4-(§H An ninh KA-1999) Cho hs 2x mx m 8

yx 1

+ − +=

− T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ tri cña m ®Ó ®ths cã

®iÓm cùc ®¹i vµ cùc tiÓu ë vÒ hai phÝa cña ®t 9x 7y 1 0− − =

5-Cho hs 2x (3m 1)x 4m

y2x 1

− + +=

− T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ tri cña m ®Ó ®ths cã

®iÓm cùc ®¹i vµ cùc tiÓu ë vÒ hai phÝa cña ®t x y 1 0+ + =

6-Cho hs 2mx 3mx 2m 1

yx 1

+ + +=

−x¸c ®Þnh m ®Ó hs cã cùc ®¹i ,cùc tiÓu vµ hai ®iÓm ®ã n»m vÒ

hai phÝa cña trôc hoµnh

7-Cho hs 3 2y x 3x 2= − + x¸c ®Þnh m ®Ó hs cã cùc ®¹i ,cùc tiÓu vµ hai ®iÓm ®ã n»m vÒ hai phÝa

kh¸c nhau cña ®−êng trßn ( ) 2 2 2C x y 2mx 4my 5m 1 0+ − − + − =

B- T×m §K ®Ó gi¸ trÞ cùc ®¹i,gi¸ trÞ cùc tiÓu cïng dÊu,tr¸i dÊu:

1-(HVQHQT-2000) Cho hs3 2y 4x mx 3x m= − − + CMR hµm sè lu«n cã cùc ®¹i vµ cùc

tiÓu,®ångthêi CMR hoµnh ®é cña ®iÓm cùc ®¹i vµ hoµnh ®é ®iÓm cùc tiÓu cña hs lu«n lu«n tr¸i dÊu

2-(§H C«ng ®oµn -1997) Cho hs 2x mx m

y (m 0)x m

− += ≠

−

a.T×m m ®Ó hµm sè cã cùc ®¹ivµ cùctiÓu b.T×m m ®Ó gi¸ trÞ cùc ®¹i vµ cùctiÓu tr¸i dÊu nhau

3-(§H CÇn th¬ -1999) Cho hs 2 2x (2m 3)x m 4m

yx m

+ + + +=

+T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó hs

cã hai cùc trÞ vµ hai cùc trÞ nµy tr¸i dÊu

4-(Cao ®¼ng BÕn tre-2005) Cho hs 2mx (2 4m)x 4m 1

yx 1

+ − + +=

−T×m m ®Ó hs cã cùc trÞ vµ hai

gi¸ trÞ cùc trÞ tr¸i dÊu C-Kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm cùc trÞ,kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm cùc trÞ ®Õn mét ®−êng th¼ng.

1-(§H Thuû lîi -1998) Ch hs 2x mx m

yx 1

− +=

− CMR hs lu«n cã cùc trÞ vµ kho¶ng c¸ch gi÷a c¸c

®iÓm cùc trÞ kh«ng ®æi

9

2-(HVKT QS-2001) T×m m ®Ó hs 3 21

y x mx x m 13

= − − + + cã kho¶ng c¸ch gi÷a c¸c ®iÓm cùc

trÞ lµ nhá nhÊt

3-(Dù bÞ 1 KD-2002)Cho hs 2x mx

y1 x

+=

− T×m m ®Ó hs cã cùc ®¹i,cùc tiÓu,Víi gi¸ trÞ nµo cña m,

th× kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm cùc trÞ cña ®å thÞ b»ng 10

4-(Dù bÞ 2 KA-2003) Cho hs 2 2x (2m 1)x m m 4

y2(x m)

+ + + + +=

+ T×m m ®Ó hs cã cùc vµ tÝnh

kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm cùc trÞ cña ®å thÞ hµm sè

5-(§HC§KB-2005) Gäi ( )mC lµ ®å thÞ hs 2x (m 1)x m 1

y (*)x 1

+ + + +=

+

CMR m∀ ®å thÞ ( )mC lu«n lu«n cã ®iÓm cùc ®¹i, ®iÓm cùc tiÓu vµ kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm ®ã

b»ng 20

6-(§HQG-1997)Víi nh÷ng gi¸ trÞ nµo cña a th× ®å thÞ hs 3 2y 2x ax 12x 13= + − − cã ®iÓm cùc

®¹i vµ ®iÓm cùc tiÓu vµ c¸c ®iÓm nµy c¸ch ®Òu trôc tung

7-(§HSPKA-2001) cho hs 2x 2mx 2

yx 1

+ +=

+ T×m m ®Ó ®å thÞ hs cã ®iÓm cùc ®¹i vµ ®iÓm cùc tiÓu

vµ kho¶ng c¸ch tõ hai ®iÓm ®ã ®Õn ®−êng th¼ng x y 2 0+ + = b»ng nhau

8-(§HC§KA-2005) Gäi ( )mC lµ ®å thÞ hs 1

y mxx

= + (*) T×m m ®Ó hs(*) cã cùc trÞ vµ kho¶ng

c¸ch tõ ®iÓm cùc tiÓu cña ( )mC ®Õn tiÖm cËn xiªn cña ( )mC b»ng 1

2

D-C¸c bµi to¸n liªn quan ®Õn gi¸ trÞ cùc ®¹i ,cùc tiÓu vµ hoµnh ®é c¸c ®iÓm cùc trÞ

1-(§HQGKA-1999) cho hs 2 2x (m 1)x m 4m 2

yx 1

− + − + −=

− T×m m ®Ó hs cã cùc trÞ vµ tÝch gi¸

trÞ cùc ®¹i vµ cùc tiÓu ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt

2-Cho hs 2x (m 1)x m 1

y (*)x 1

− + + +=

− CMR hs lu«n cã cùc trÞ m∀ T×m m ®Ó ( )2cd cty 2y=

3-Ch hs 22x 3x m 2

yx 2

+ + −=

+Chøng tá r»ng nÕu hs ®¹t cùc ®¹i t¹i 1x vµ cùc tiÓu t¹i 2x th× ta cã

10

1 2 1 2y(x ) y(x ) 4 x x− = −

4-Cho hs 2x mx 1

yx 1

+ −=

− x¸c ®Þnh m ®Ó max miny y 4− <

5-Cho hs 22x 3x m

yx m

− +=

− x¸c ®Þnh m ®Ó hs cã cùc ®¹i cùc tiÓu vµ max miny y 8− >

6- Cho hs 2x 3x m

yx 4

− + +=

− x¸c ®Þnh m ®Ó hs cã cùc ®¹i cùc tiÓu vµ max miny y 4− =

7-(§62) T×m m ®Ó hs 3 21 1

y mx (m 1)x 3(m 2)x3 3

= − − + − + cã cùc ®¹i vµ cùc tiÓu ®ång thêi

hoµnh ®é c¸c ®iÓm cùc ®¹i vµ cùc tiÓu 1 2x ,x tho¶ mln 1 2x 2x 1+ =

8-(C§SP Sãc tr¨ng KA-2005) Cho hs 2x (m 1)x 2

yx 1

+ − +=

− x¸c ®Þnh m ®Ó hs cã cùc trÞ

t¹i 1 2x ,x sao cho 1 2x .x 3= −

9-(§H Y Th¸i b×nh -1997) Cho hs 2 2 2x m x 2m 5m 2

yx

+ + − += víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hs cã

cùc tiÓu n»m trong kho¶ng 0 x 2m< <

10-(C§YT Thanh ho¸-2005) Cho hs 2 3 2(m 1)x 2mx (m m 2)

yx m

+ − − − −=

− T×m m ®Ó hs cã

hoµnh ®é c¸c ®iÓm cùc trÞ thuéc (0;2) E- Mét sè c¸c bµi to¸n kh¸c

1-Cho hs 3 2 3y x 3mx 4m= − + t×m m ®Ó c¸c ®iÓm cùc ®¹i vµ cùc tiÓu cña ®å trÞ hs ®èi xøng

nhau qua ®−êng th¼ngy x=

2- Cho hs 3 2y 2x 3(2m 1)x 6m(m 1)x 1= − + + + + t×m m ®Ó c¸c ®iÓm cùc ®¹i vµ cùc tiÓu cña

®å trÞ hs ®èi xøng nhau qua ®−êng th¼ng y x 2= +

3-Cho hs 3 2 2y x 3x m x m= − + + t×m m ®Ó c¸c ®iÓm cùc ®¹i vµ cùc tiÓu cña ®å trÞ hs ®èi xøng

nhau qua ®−êng th¼ng x 2y 5− =

4-(HVQHQT-1997)Cho hs 4 2 4y x 2mx 2m m= − + + T×m m ®Ó hs cã c¸c ®iÓm cùc ®¹i,cùc tiÓu

lËp thµnh mét tamgi¸c ®Òu

11

5-(§HC§KA-2007)Cho hs 2 2x 2(m 1)x m 4m

yx 2

+ + + +=

+ (1) T×m m ®Ó hs (1) cã cùc ®¹i vµ cùc

tiÓu,®ång thêi c¸c ®iÓm cùc ®¹i vµ cùc tiÓu cña ®å thÞ cïng víi gèc to¹ ®é O t¹o thµnh mét tam gi¸c vu«ng t¹i O

6-Cho hs 2 2 3mx (m 1)x 4m m

yx m

+ + + +=

+ T×m m ®Ó hs cã mét ®iÓm cùc trÞ thuéc gãc phÇn t−

thø (II) ,mét ®iÓm cùc trÞ thuéc gãc phÇn t− thø (IV)

7-Cho hs 2mx 3mx 2m 1

yx 1

+ + +=

− T×m m ®Ó hs cã mét ®iÓm cùc trÞ thuéc gãc phÇn t− thø (II)

mét ®iÓm cùc trÞ thuéc gãc phÇn t− thø (IV)

8-Cho hs 2x (2m 3)x 3m 5

yx 1

+ − + +=

−vµ ®iÓm P(2; 1)− t×m m ®Ó hs cã cùc ®¹i vµ cùc tiÓu ®ång

thêi c¸c ®iÓm cùc trÞ cña ®å thÞ cïng víi ®iÓm P t¹o thµnh mét tam gi¸c nhän®Ønh P D¹ng 6:Ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm cùc trÞ cña ®å thÞ hµm sè. A-LËp Ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm cùc trÞ cña ®å thÞ hµm sè Ph−¬ng ph¸p: H−íng 1:NÕu to¹ ®é c¸c ®iÓm cùc trÞ lµ c¸c sè nguyªn hoÆc c¸c sè h÷u tØ th× pt ®−êng th¼ng ®−îc x¸c ®Þnh b»ng ph−¬ng ph¸p th«ng th−êng H−íng 2: :NÕu to¹ ®é c¸c ®iÓm cùc trÞ lµ c¸c sè v« tØ hoÆc cã chøa tham sèth× pt ®−êng th¼ng ®I qua hai ®iÓm cùc trÞ ®−îc x¸c ®Þnh nh− sau:

To¹ ®é c¸c ®iÓm cùc trÞ lµ nghiÖm cña hÖ pt:

/y 0

y f (x)

=

=

Chó ý:* §èi víi hs 3 2y ax bx cx d,(a 0)= + + + ≠ th× ta cã

/y y p(x) r(x)= + th× pt ®−êng

th¼ng ®i qua hai ®iÓm cùc trÞ lµ:y r(x)=

**§èi víi hs u(x)

yv(x)

= pt ®t ®i qua hai ®iÓm cùc trÞ lµ /

/

u (x)y

v (x)=

1-(HVKT MËt m· -1999) Cho hs 3 2 2y x 3(m 1)x 2(m 7m 2)x 2m(m 2)= − + + + + − + T×m

m ®Ó hs cã cùc ®¹i ,cùc tiÓu vµ viÕt pt ®−êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm cùc trÞ ®ã

2-(§HTCKT-1996) Cho hs 3 2y x mx 7x 3= + + + T×m m ®Ó hs cã cùc ®¹i ,cùc tiÓu vµ viÕt pt

®−êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm cùc trÞ ®ã

3-(§H-KA-2002) Cho hs 3 2 2 3 2y x 3mx 3(1 m )x m m= − + + − + − viÕt pt ®−êng th¼ng ®i qua

hai ®iÓm cùc trÞ cña ®å thÞ hs.

12

4-(§HTCKT-1999)Cho hs 2 2

m

x mx my (C )

x m

− + −=

− T×m m ®Ó hs cã cùc ®¹i ,cùc tiÓu vµ viÕt pt

®−êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm cùc trÞ ®ã B-LËp pt parapol ®i qua c¸c ®iÓm cùc trÞ vµ tho¶ m·m tÝnh ch©t (T) nµo ®ã

1-(§H Th¸i nguyªn KA+B-2000)Cho hs 31 2

y x x3 3

= − + lËp pt parapol ®i qua c¸c ®iÓm cùc trÞ

cña ®å thÞ vµ tiÕp xóc víi ®t 4

y3

=

2-Cho hs 3 2y x 2x x 16= + − + lËp pt parapol ®i qua c¸c ®iÓm cùc trÞ cña ®å thÞ vµ tiÕp xóc víi ®t

(d) : x 2y 1 0− + =

3-Cho hs 3 21

y x 2x x3

= − + lËp pt parapol ®i qua c¸c ®iÓm cùc trÞ cña ®å thÞ vµ tiÕp xóc víi ®t

(d) : 2x y 0− =

4-Cho hs 4 2y x 2(m 1)x 1= + + +

a. T×m m ®Ó hs cã cùc ®¹i ,cùc tiÓu b.x¸c ®Þnh pt ®−êng cong ®i qua c¸c ®iÓm cùc trÞ cña ®t hs

5-(§H An ninh KA-1999)Cho hs 2x x 9

yx 1

− +=

− lËp pt parapol ®i qua c¸c ®iÓm cùc trÞ cña ®å thÞ vµ

tiÕp xóc víi ®t (d) : 2x y 10 0− − =

6-Cho hs 2x 2x 4

yx 1

+ +=

+ lËp pt parapol ®i qua c¸c ®iÓm cùc trÞ cña ®å thÞ vµ tiÕp xóc víi ®t

(d) : x y 2 0+ − =

7-(§H An ninh KA-1998)Cho hs 2x

yx 1

=−

lËp pt parapol ®i qua c¸c ®iÓm cùc trÞ cña ®å thÞ vµ tiÕp

xóc víi ®t 1

y2

−=

C- x¸c ®Þnh §K cña tham sè ®Ó ®−êng th¼ng ®i qua c¸c ®iÓm cùc trÞ tho¶ m·n tÝnh chÊt (T) nµo ®ã

1-Cho hs 2x 2mx m

yx m

− +=

+ X¸c ®Þnh m ®Ó ®−êng th¼ng ®i qua c¸c ®iÓm cùc ®¹i,cùc tiÓu cña ®ths

t¹o víi c¸c trôc to¹ ®é mét tam gi¸c cã diÖn tÝch b»ng 1

13

2-Cho hs 2x mx 1

yx m

+ +=

+ X¸c ®Þnh m ®Ó ®−êng th¼ng ®i qua c¸c ®iÓm cùc ®¹i,cùc tiÓu cña ®ths t¹o

víi c¸c trôc to¹ ®é mét tam gi¸c cã diÖn tÝch b»ng 1

3-Cho hs 2x mx m 8

yx 1

+ − +=

− X¸c ®Þnh m ®Ó ®−êng th¼ng ®i qua c¸c ®iÓm cùc ®¹i,cùc tiÓu cña

®ths t¹o víi c¸c trôc to¹ ®é mét tam gi¸c c©n

4-Cho hs 2x mx 2

ymx 1

+ −=

− X¸c ®Þnh m ®Ó ®−êng th¼ng ®i qua c¸c ®iÓm cùc ®¹i,cùc tiÓu cña ®ths

vu«ng gãc víi ®−êng th¼ng x 2y 3 0+ − =

5-Cho hs 2 2 3mx (m 1)x 4m m

yx m

+ + + +=

+ X¸c ®Þnh m ®Ó ®−êng th¼ng ®i qua c¸c ®iÓm cùc

®¹i,cùc tiÓu cña®ths tiÕp xóc víi ®−êng trßn 2 2(x 1) (y 1) 5− + + =

D¹ng 7: Quü tÝch c¸c ®iÓm cùc trÞ:

1-(§H §µ n½ng-2000) Cho hs 2x mx m 1

yx 1

+ − −=

+ t×m m ®Ó hs cã cùc trÞ. X¸c ®Þnh tËp hîp c¸c

®iÓm cùc trÞ ®ã

2-(§H Ngo¹i th−¬ng -1998) Cho hs 3 2 2 3y x 3mx 3(m 1)x m 3m= + + − + − CMR víi mäi m hs

lu«n cã cùc ®¹i vµ cùc tiÓu; ®ång thêi c¸c ®iÓm cùc ®¹i vµ c¸c ®iÓm cùc tiÓu lu«n ch¹y trªn hai ®−êng th¼ng cè ®Þnh

3-Cho hs 2x 3x m

yx 2

− +=

− t×m m ®Ó hs cã cùc trÞ. X¸c ®Þnh tËp hîp c¸c ®iÓm cùc trÞ ®ã

VÊn ®Ò 3:Gi¸ trÞ lín nhÊt,gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè A-Tãm t¾t lý thuyÕt (SGK) B-ph−¬ng ph¸p gi¶i to¸n: D¹ng 1:Ph−¬ng ph¸p kh¶o s¸t trùc tiÕp: Ph−¬ng ph¸p: B1:MiÒn x¸c ®Þnh

B2:TÝnh ®¹o hµm /y ,råi gi¶i pt

/y 0=

B3:LËp b¶ng biÕn thiªn KÕt luËn vÒ GTLN.GTNN cña hµm sè

14

1--(§HC§KB-2006) T×m GTNN cña ( ) ( )2 22 2A x 1 y x 1 y y 2= − + + + + + −

2-(§HC§ KB-2003) T×m GTLN ,GTNN cña 2y x 4 x= + −

3-(§HC§ KD-2003) T×m GTLN,GTNN cña 2

x 1y

x 1

+=

+ trªn [ ]1;2−

4-(§HC§KB-2004) T×m GTLN,GTNN cña 2ln x

yx

= trªn 31;e

5-(§HXD HN -2001) Cho [ ]x, y.z 0;1∈ &x y z 3 2+ + = . T×m GTNN cña

( )2 2 2A cos x y z= + +

6-(§11) T×m GTLN,GTNN cña hµm sè:y x 2 4 x= − + −

7-X¸c ®Þnh a ®Ó hs 2 2y 4x 4ax a 2a= − + − trªn ®o¹n [ ]2;0− b»ng 2

8-(§HKTQD-2000) T×m GTLN cña hµm sè 2x

f (x) sin x2

= + trªn ®o¹n ;2 2

−π π

9-Mét nhµ m¸ycÇn s¶n xuÊt mét bÓ n−íc b»ng t«n cã d¹ng h×nh hép ch÷ nhËt ®¸y lµ h×nh vu«ng,kh«ng

n¾p cã thÓ tÝch 34m .Hly tÝnh kÝch th−íc cña bÓ n−íc sao cho tèn Ýt vËt liÖu nhÊt

10-(§H Ngo¹i th−¬ng-1999) Cho x, y thay ®æi tho¶ mln ®iÒu kiÖn x 0, y 0& x y 1≥ ≥ + = T×n

GTLN,GTNN cña biÓu thøc x yP 3 9= +

D¹ng 2:Ph−¬ng ph¸p kh¶o s¸t gi¸n tiÕp: Ph−¬ng ph¸p: B1:BiÕn ®æi hµm sè ban ®Çu vÒ d¹ng míi ®Ó x¸c ®Þnh Èn phô:y F( (x))= ϕ

B2:§Æt t (x)= ϕ ,ta cã : §K cña t lµ tD vµ hs trë thµnh y F(t)=

B3:T×m GTLN,GTNN cña hs y F(t)= trªn tD

1-(TNTHPT-2002) T×m GTLN,GTNN cña hµm sè f (x) 2 cos2x 4sin x= + trªn 0;2

π

2-(TNTHPT-2004) T×m GTLN,GTNN cña hµm sè:34

y 2sin x sin x3

= − trªn [ ]0;π

3-T×m GTLN,GTNN cña hs

22cos x cos x 1y

cos x 1

+ +=

+

15

4- T×m GTLN,GTNN cña hs 2 2

2x 4xy sin cos 1

1 x 1 x= + +

+ +

5-(HVQH Quèc tÕ -1999) Cho x 0, y 0& x y 1≥ ≥ + = T×m GTNN cña

x y

Py 1 x 1

= ++ +

6-(§H Ngo¹i Th−¬ng-1996)

Cho 3

a,b,c 0 & a b c2

> + + ≤ T×m GTNN cña 1 1 1

S a b ca b c

= + + + + +

7-(§HC§KA-2006) cho hai sè thùc x 0, y 0≠ ≠ tho¶ mln ( ) 2 2x y xy x y xy+ = + − .T×m

GTLN cña biÓu thøc 3 3

1 1A

x y= + HD

21 1

Ax y

= +

®Æt x ty=

8- Cho x 0, y 0≠ ≠ tho¶ mln 2 2 2 2x y x y y x+ = + T×m GTLN,GTNN cña

2 1A

x y= +

9-(§HTCKT-2000)T×m GTLN.GTNN cña 8 4y 2sin x cos 2x= +

10-T×m GTLN,GTNN cña biÓu thøc 2 2

2 2

x xy yA

x xy y

− +=

+ + víi

2 2x, y & x y 0∈ + >�

11-(§22)T×m GTLN cña 2

2

1y lg x

lg x 2= +

+

VÊn ®Ò 4: XÐt tÝnh låi,lâm vµ ®iÓm uèn cña ®å thÞ A-Tãm t¾t lý thuyÕt(SGK ) B-ph−¬ng ph¸p gi¶i to¸n: D¹ng1:XÐt tÝnh låi,lâm vµ t×m ®iÓm uèn cña ®å thÞ. Ph−¬ng ph¸p : B1:T×m miÒn x¸c ®Þnh D

B2:TÝnh / //y , y råi gpt

//y 0=

B3:LËp b¶ng xÐt dÊu //y tõ ®ã ®−a ra lêi kÕt luËn

VD1: T×m c¸c kho¶ng låi,lâm vµ ®iÓm uèn cña ®å thÞ hµm sè:

1/ 3 2y x 3x 9x 5= − − + 2/

4 2y x 6x 1= − − 3/3y x= 4-

3xy xe−=

VD2:(§HC§KD-2004) Cho hs 3 2y x 3mx 9x 1= − + + T×m m ®Ó ®iÓm uèn cña ®ths thuéc ®−êng

th¼ng y x 1= +

16

D¹ng 2:§iÒu kiÖn ®Ó ®å thÞ hµm sè cã ®iÓm uèn: Ph−¬ng ph¸p:

B1: Ta cã:TX§,tÝnh / //y , y råi thiÕt lËp pt

//y 0=

B2:Víi c¸c yªu cÇu:

a. Hµm sè nhËn ®iÓm 0 0U(x , y ) lµm ®iÓm uèn0

0 0

x D

y(x ) y

∈⇔

=& qua 0x th×

//y ®æi dÊu

b. Hµm sè cã ®iÓm uèn 0x D⇔ ∃ ∈ sao cho

//

0

//

y (x ) 0

y k

=

∃ vµ qua ®iÓm ®ã

//y ®æi dÊu

c. Hµm sè cã k ®iÓm uãn k⇔ ∃ ®iÓm ph©n biÖt thuéc D sao cho

//

//

y 0

y k

=

∃ vµ qua c¸c®iÓm ®ã

//y

®æi dÊu

VD1: Cho hs 3 2y ax bx 3bx 5= + + + x¸c ®Þnh a,b ®Ó U(1, 6)− lµm ®iÓm uèn cña ®å thÞ

VD2:Cho hs x 3y e mx 2mx 2007= + + + t×m m ®Ó hs cã ®iÓm uèn

VD3:Cho hs 3 2y ax bx x 1= + + + x¸c ®Þnh a,b ®Ó U(1, 2)− lµm ®iÓm uèn cña ®å thÞ

D¹ng3:Chøng minh ®å thÞ hµm sè cã ba ®iÓm uèn th¼ng hµng: Ph−¬ng ph¸p:

B1:T×m TX§,tÝnh / //y , y råi thiÕt lËp pt

//y 0 g(x) 0= ⇔ =

B2:Chøng minh ®å thÞ hs cã ba ®iÓm uèn 1 2 3U ,U ,U 1 2 3x ,x , x⇔ ∃ ph©n biÖt sao cho qua ®ã //y

®æi dÊu B3: Chøng minh ba ®iÓm uèn tr¼ng hµng VD1 CMR mçi ®å thÞ hs sau ®©y cã ba ®iÓm uèn th¼ng hµng.

1/ 2

2x 1y

x x 1

+=

− + 2/

2

x 1y

x 2x 2

−=

− + 3/

2

x 1y

x 3x 3

−=

− + 4/

2

xy

x 1=

+

5/ 2

x 1y

x 1

+=

+ 6/

4

4xy

x 1=

+

D¹ng 4: TÝnh ®èi xøng cña ®iÓm uèn.

Bµi to¸n tæng qu¸t: CMR nÕu ®ths 3 2y ax bx cx d= + + + c¾t trôc hoµnh t¹i ba ®iÓm c¸ch ®Òu

nhau th× ®iÓm uèn n»m trªn ox

VD1Cho hs 3 2 2y x 3mx 2m(m 4)x 9m 4= − + − + − t×m m®Ó ®ths c¾tox t¹i ba®iÓmc¸ch®Òu nhau

VD2:Cho hs 2y (x 2)(x mx 1)= − − − t×m m®Ó ®ths c¾tox t¹i ba ®iÓm c¸ch ®Òu nhau

17

VD3(C§C«ng nghiÖp I-2007) Cho hÖ pt

3 3x y m(x y)

x y 2

+ = +− =

T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó hÖ cã

3 nghiÖm ph©n biÖt ( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3x ;y , x ; y , x ; y sao cho 1 2 3x , x , x lËp thµnh mét cÊp sè céng

VD4 : T×n m ®Ó ®ths 3 2y x (m 3)x (2 3m)x 2m= − + + + − c¾t trôc hoµnh t¹i 3 ®iÓm ph©n biÖt cã

hoµnh ®é lËp thµnh mét cÊp sè céng D¹ng 5: HÖ sè gãc cña tiÕp tuyÕn tai ®iÓm uèn:

Bµi to¸n: CMR tiÕp tuyÕn t¹i ®iÓm uèn cña ®ths 3 2y ax bx cx d= + + + (a 0)≠ cã hÖ sè gãc nhá

nhÊt nÕu a 0> vµ hÖ sè gãc lín nhÊt nÕu a 0< trong c¸c tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ

VD1(§HC§ KB -2004) Cho hµm sè 3 21

y x 2x 3x3

= − + ViÕt pt tiÕp tuyÕn cña ®ths t¹i ®iÓm uèn vµ

CMR tiÕp tuyÕn ®ã cã hÖ sè gãc nhá nhÊt.

VD2:Cho hs3 2y 2x 3x 1= + − T×m trªn ®ths ®iÓm mµ t¹i ®ã hÖsè gãccña tiÕptuyÕn ®¹t gi¸ trÞ nhØ nhÊt

VD3:(§HKTQD-1998) CMR trong mäi tiÕp ruyÕn cña ®å thÞ hµm sè 3 2y x 3x 9x 3= + − + th× tiÕp

tuyÕn t¹i ®iÓm uèn cã hÖ sè gãc nhá nhÊt VÊn ®Ò 5: TiÖm cËn cña ®å thÞ : A-Tãm t¾t lý thuyÕt (SGK) B-Ph−¬ng ph¸p gj¶i to¸n. D¹ng 1:T×m c¸c ®−êng tiÖm cËn: VÝ dô: T×m c¸c tiÖm cËn cña ®−êng cong:

1-(§100) 2

x 2y

x 4x m

+=

− + 2-(§70)

3

2

mx 1y

x 3x 2

−=

− + 3-(§53)

2y x 4x 2x 1= + + +

4-2y 2x 3 x 1= − + + 5-

2 xy x 4x 3

2= − + − 6-

2

x 3y

x 1

+=

+

7-(§H X©y dùng-1999) T×m c¸c ®−êng tiÖm cËn cña ®ths 2

2

xy

x 1=

−

8-(§92) Cho hµm sè 2 3 2(m 1)x 2mx (m m 2)

y (m 1)x m

+ − − − −= ≠ −

− X¸c ®Þnh tiÖm cËn xiªn

cña ®ths

9-(§64) Cho hs 2 2x cos x sin cos sin

y ( k )x cos

α + + α α + α= α ≠ π

+ α ViÕt pt tiÖm cËn xiªn cña ®ths

18

D¹ng 2:T×m §K cña tham sè ®Ó tiÖm cËn cña ®å thÞ hµm sè tho¶ m·n tÝnh chÊt (T):

1-(§8) Cho hµm sè 2x x a

yx a

− + +=

+T×m a ®Ó tiÖm cËn xiªn ®i qua ( )2;0

2-(§148) T×m m ®Ó tiÖm cËn xiªn cña ®å thÞ hµm sè 2x mx 1

yx 1

+ −=

− T¹o víi c¸c trôc to¹ ®é mét

tam gi¸c cã diÖn tÝch b»ng 8

3-Cho hµm sè 2 2 2mx (m m 1)x m m 2

y (m 0)x m

− + − + − += ≠

−

a. ViÕt pt tiÖm cËn xiªn cña ®ths.

b. CMR kho¶ng c¸ch tõ gèc to¹ ®é ®Õn tiÖm cËn xiªn kh«ng v−ît qu¸ 2

4-(§51) Cho hs 2x cos 2x sin 1

yx 2

α + α +=

−

a. ViÕt pt tiÖm cËn xiªn cña ®ths, tÝnh kho¶ng c¸ch tõ gèc to¹ ®é ®Õn tiÖm cËn xiªn b.T×m α ®Ó kho¶ng c¸ch ®ã lín nhÊt

5-(C§ C«ng nghiÖp I-2007) Cho hs 2x mx 2m 1

ymx 1

− + −=

− x¸c ®Þnh m ®Ó tiÖm cËn xiªn cña ®å thÞ

hs ®i qua gèc to¹ ®é vµ hµm sè cã cùc trÞ

6-(§75) Cho hs 22x 3x m

yx m

− +=

− T×m m ®Ó ®ths kh«ng cã tiÖm cËn ®øng

D¹ng3:T×m ®iÓm trªn ®å thi saochokho¶ngc¸ch tõ ®ã®Õn ®−êng iÖm cËn tho¶m·n tÝnh chÊt (T)

1-(HVQHQT-1999) Cho hs x 2

yx 3

+=

− T×m trªn ®ths ®iÓm M sao cho kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm M ®Õn

®−êng tiÖm c©n ®øng b»ng kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm M ®Õn tiÖm cËn ngang

2-(§HQG TPHCM-2000) Cho hs 2x x 1

yx 1

− +=

− T×m tÊt c¶ nh÷ng ®iÓm M trªn ®å thÞ sao cho tæng

kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn hai ®−êng tiÖm cËn lµ nhá nhÊt

3- Cho hs 2x 3x 4

yx 1

− +=

− CMR tÝch kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm M bÊt kú trªn ®å thÞ ®Õn hai ®−êng tiÖm

cËn cña ®å thÞ cã gi¸ trÞ kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ cña ®iÓm M VÊn ®Ò 6: Bµi to¸n giao ®iÓm vµ bµi to¸n tiÕp xóc: A-Bµi to¸n giao ®iÓm:

19

Gs hs /y f (x)(C) & y g(x)(C )= = ®iÓm ( )0 0 0M x ;y lµ giao ®iÓm cña

( ) ( )/C & C ⇔ ( )0 0x ;y lµ nghiÖm cña hÖ pt y f (x)

y g(x)

=

= Do ®ã ®Ó t×m hoµnh ®é giao ®iÓm cña hai

®−êng ta gi¶i pt f (x) g(x)= . NÕu 0 1x ,x ...,lµ nghiÖm pt th× ( )0 0 0M x ;y , 1 1 1M (x ;y )….lµv c¸c

giao ®iÓm cña /(C) & (C )

1-(§HC§K D-2006) Cho hs 3y x 3x 2= − + .Gäi d lµ ®−êng th¼ng ®i qua A(3;20) vµ cã hÖ sè

gãc lµ m. T×m m ®Ó ®−êng th¼ng d c¾t ®ths t¹i 3 ®iÓm ph©n biÖt

2-(§65) Cho hs 3 2y x 3x mx 1= + + + T×m m ®Ó ®t y 1= c¾t ®ths t¹i 3 ®iÓm ph©n biÖt

3-(§H Thuû s¶n-2001) Cho hs 2y (x 1) (x 2)= + − vµ ®t ∆ ®I qua M(2;0) vµ cã hÖ sè gãc k.

T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña k ®Ó ®t ∆ c¾t ®ths t¹i 3 ®iÓm ph©n biÖt

4-(§HC§KD-2003) Cho hs 2x 2x 4

yx 2

− +=

− T×m m ®Ó ®−êng th¼ng md : y mx 2 2m= + − c¾t

®ths t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt

5-(§HC§KA-2003) Cho hs 2mx x m

yx 1

+ +=

− T×m m ®Ó ®ths c¾t trôc hoµnh t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt

vµ hai ®iÓm ®ã cã hoµnh ®é d−¬ng

6-(§HC§KA-2004) Cho hs 2x 3x 3

y2(x 1)

− + −=

− T×m m ®Ó ®t y m= c¾t ®ths t¹i A,B& AB 1=

7-Cho hs 2x 2x 3

yx 1

− +=

+ T×m m ®Ó ®t y 2x m= − + c¾t ®ths t¹i A,B&AB 2<

8-(§148) Cho hs 2x mx 1

yx 1

+ + −=

− T×m m ®Ó ®t y m= c¾t ®ths t¹i A,Bsao cho OA OB⊥

9-(§34) Cho hs 2x 4x 3

yx 2

+ +=

+ T×m k ®Ó ®t y kx 1= + c¾t ®ths t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt.

B- Bµi to¸n tiÕp xóc: MÖnh ®Ò: hai ®å thÞ hµm sè y f (x) & y g(x)= = tiÕp xóc nhau khi vµ chØ khi hÖ sau cã nghiÖm

/ /

f (x) g(x)

f (x) g (x)

=

= nghiÖm cña hÖ chÝnh lµ hoµnh ®é tiÕp ®iÓm

D¹ng 1: Chøng minh hai ®å thÞ tiÕp xóc nhau:

20

1-CMR hai ®å thi sau tiÕp xóc nhau 3 2y x 3x 1& y 9x 6= − + = +

1--CMR hai ®å thi sau tiÕp xóc nhau 2 2y x 4x 1& y 3x 4x 1= − + = − + −

D¹ng 2:T×m §K cña tham sè ®Ó hai ®å thÞ tiÕp xóc nhau:

1-(§HXD-1998) T×m m ®Ó ®ths 3 2y x mx 9x 9m= + − − tiÕp xóc víi trôc hoµnh

2-(§HKTQD-1996) T×m a ®Ó ®ths 3 2 2y x ax (2a 7a 7)x 2(a 1)(2a 3)= − − − + + − − tiÕp xóc

víi trôc hoµnh

3- T×m m ®Ó ®ths 3y x 1 m(x 1)= − + − tiÕp xóc víi trôc hoµnh

4-(§H An ninh TPHCM-1999) Cho hs 3 2y 2x 3(m 3)x 18mx 8= − + + − T×m m ®Ó ®ths tiÕp

xóc víi trôc hoµnh

5-Cho hs 2 2y (x 1) (x 1)= + − t×m b ®Ó ®ths tiÕp xóc víi

2(P)y 2x b= +

6-(§HC§-KD-2002) Cho hs 2(2m 1)x m

yx 1

− −=

− T×m m ®Ó ®ths tiÕp xóc víi ®t y x=

7-Cho hs 2(m 1)(x 2x) m 4

ymx m

− − + +=

+ T×m m ®Ó ®ths tiÕp xóc víi ®t y 1=

8-(§1) T×m a ®Ó ®ths 2x x 1

yx 1

− +=

− T×m a ®Ó ®ths tiÕp xóc víi

2y x a= +

9-T×m m ®Ó tiÖm cËn xiªn cña ®ths 2mx (2m 1)x m 2

yx 1

+ − + +=

− tiÕp xóc víi

2(P)y x 9= −

D¹ng 3:Hä ®å thÞ tiÕp xóc víi mét ®å thÞ cè ®Þnh d¹ng 1: "CMR ®ths tiÕp xóc víi mét ®å thÞ cè ®Þnh cã d¹ng cho s½n"

1- Cho hs 2 2y x (2m 1)x m 1= + + + − CMR ®ths tiÕp xóc víi mét ®−êng th¼ng cè ®Þnh

2-(§143) CMR ®å thÞ hs m(x 1) x 2

ym(x 1) 1

− + + +=

+ − lu«n tiÕp xóc víi mét ®−êng th¼ng cè ®Þnh

3-(§67) CMR ®å thÞ hs 2(3m 1)x m m

yx m

+ − +=

+ lu«n tiÕp xóc víi hai ®−êng th¼ng cè ®Þnh

4- CMR ®å thÞ hs (1 m)x m

yx m

+ +=

+ ( )m 0≠ lu«n tiÕp xóc víi mét ®−êng th¼ng cè ®Þnh

5-Cho hs 22x (1 m)x 1 m

yx m

+ − + +=

− CMR víi m 1≠ − ®ths lu«ntiÕp xócvíi mét®t cè ®Þnh

21

6-(§H Vinh 2000) CMR tiÖm cËn xiªn cña ®ths 2(m 2)x (3 4m)x 2m

yx m

+ + − −=

− lu«ntiÕp

xócvíi mét parapol cè ®Þnh

6-(§92) CMR tiÖm cËn xiªn cña ®ths 2 3 2(m 1)x 2mx (m m 2)

yx m

+ − − − −=

− lu«ntiÕp xócvíi mét

parapol cè ®Þnh D¹ng 4:Hä ®å thÞ tiÕp xóc víi mét ®å thÞ cè ®Þnh d¹ng 2: "CMR ®ths tiÕp xóc víi mét ®å thÞ cè ®Þnh kh«ng cã d¹ng cho s½n" Ph−¬ng ph¸p :

B1:X¸c ®Þnh d¹ng cña y g(x)= b»ng c¸ch khö hÖ

y f (x,m)

df0

dm

=

=

suy ra y g(x)=

B2:CM y f (x,m)= tiÕp xóc víi y g(x)= víi mäi gi¸ trÞ cña tham sè

1- Cho hs 2 2y 2x (2m 1)x m 4m= + − + + CMR ®ths lu«n tiÕp xóc víi mét ®−êng cè ®Þnh

2- Cho hs 2

3 2 my x 4x mx

2= + + + CMR ®ths lu«n tiÕp xóc víi mét ®−êng cè ®Þnh

3-(§19)Cho hä ®tD : x cos ysin 2cos 1 0α α + α + α + = CMR Dα lu«n tiÕp xóc víi mét ®−êngcè

®Þnh 4-(§57) Cho hä ®t D : (x 1)cos (y 1)sin 4 0α − α + − α − = CMR Dα lu«n tiÕp xóc víi mét

®−êng cè ®Þnh B-TiÕp tuyÕn cña ®å thÞ : D¹ng 1: lËp pt tiÕp tuyÕn biÕt tiÕp ®iÓm:

Cho hs y f (x)= tiÕp tuyÕn t¹i 0 0M(x ;y ) thuéc ®å thi cã pt d¹ng : /

0 0 0y y f (x )(x x )− = −

1-(TNTHPT-2006) Cho hs 3 2y x 6x 9x= − + viÕt pt tiÕp tuyÕn cña ®ths t¹i ®iÓm uèn

2-Cho hs 3 2y x x x 1= − − + viÕt pt tiÕp tuyÕn cña ®ths t¹i c¸c giao ®iÓm cña nã víi trôc hoµnh

3-Cho hs 2x ax 1

yx 1

+ −=

− viÕt pt tiÕp tuyÕn cña ®ths t¹i c¸c giao ®iÓm cña nã víi trôc tung

4-(HV HC-2001) Cho hs 2x mx m

yx 2

+ +=

+.T×m m ®Ó ®ths c¾t trôc hoµnh t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt vµ

tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ t¹i hai ®iÓm ®ã vu«ng gãc víi nhau D¹ng 2:LËp pt TiÕp tuyÕn ®I qua mét ®iÓm :

22

LËp pt tiÕp tuyÕn víi ®ths y f (x)= ®i qua ®iÓm 0 0A(x ; y )

B1: §−êng th¼ng (d) ®i qua 0 0A(x ; y ) cã hÖ sè gãc k cã d¹ng 0 0y k(x x ) y= − +

B2 :(d) tiÕp xóc víi ®ths ⇔ hÖ sau cã nghiÖm 0 0

/

f (x) k(x x ) y

f (x) k

= − +

=k⇒ ⇒ tiÕp tuyÕn

1-(§H An ninh-1998) ViÕt pt tiÕp tuyÕn kÎ tõ ®iÓm A( 1;2)− tíi ®ths 3y x 3x= −

2-(§HCÇnth¬ -1998)ViÕt pt tiÕp tuyÕn cña ®ths 3 2y x 3x 2= − + biÕt nã ®i qua A( 1; 2)− −

3-(§HNgo¹ing÷ -1998)ViÕt pt tiÕp tuyÕn cña®ths3 21

y x 2x 3x3

= − + biÕt nã ®i quaA(4 9;4 3)

4-(TNTHPT-2004) ViÕt pt tiÕp tuyÕn cña®ths 3 21

y x x3

= − biÕt tiÕp tuyÕn ®i qua A(3;0)

5-(§HC¶nh s¸t 2000)ViÕt pt tiÕp tuyÕn cña®ths 4 21 3

y x 3x2 2

= − + biÕt nã®i qua A(0;3 2)

6-(TNTHPT-2005) ViÕt pt tiÕp tuyÕn cña®ths 2x 1

yx 1

+=

+ biÕt tiÕp tuyÕn ®i qua A( 1;3)−

7-CMR kh«ng cã tiÕp tuyÕn nµo cña ®ths x

yx 1

=+

®i qua giao ®iÓm hai ®−êng tiÖm cËn

8-(§H BK-1996) Cho hs 1

y xx 1

= ++

CMR qua ®iÓm A(1; 1)− bao giê còng kÎ ®−îc hai tiÕp

tuyÕn víi ®ths vµ hai tiÕp tuyÕn ®ã vu«ng gãc víi nhau

9-(§H D−îc-1999) cho hs 2x 2x 2

yx 1

+ +=

+ CMR qua ®iÓm A(1;0) bao giê còng kÎ ®−îc hai tiÕp

tuyÕn víi ®ths vµ hai tiÕp tuyÕn ®ã vu«ng gãc víi nhau

10-Cho hs 22x mx m

yx 1

+ +=

+X¸c ®Þnh m sao cho qua A(0;1) kh«ng cã ®−êng th¼ng nµo tiÕp xóc

víi ®ths

11-(§HSP2-1998) T×m sè tiÕp tuyÕn cã thÓ cã víi ®ths 2x x 1

yx 1

+ +=

+®i qua mçi ®iÓm cña ®å thÞ

12-(§H Ngo¹i th−¬ng 1996) LÊy mét ®iÓm bÊt kú thuéc ®ths 3 2y x 3x 2= − + . Cã bao nhiªu tiÕp

tuyÕn cña ®ths ®i qua ®iÓm ®ã

23

D¹ng 3: LËp pt tiÕp tuyÕn cña ®ths khi biÕt hÖ sè gãc: LËp pt tiÕp tuyÕn víi ®ths y f (x)= biÕt hÖ sè gãc cña tiÕp tuyÕn b»ng k

C¸nh gi¶i: B1: TÝnh ®¹o hµm / /y f (x)=

B2: Hoµnh ®é tiÕp ®iÓm lµ nghiÖm pt /

0f (x) k x= ⇒

B3:Khi ®ã pt tiÕp tuyÕn cã d¹ng /

0 0 0y y f (x )(x x )− = −

1-Cho hs 3 2y x 3x 2= − + ViÕt pttt cña ®ths biÕt tiÕp tuyÕn vu«ng gãc víi ®t:3x 5y 4 0− − =

2-Cho hs 4 2y x x 2= + − ViÕt pttt cña ®ths biÕt tiÕp tuyÕn song song víi ®t:6x y 1 0+ − =

3-(C§SPHN) Cho hs 3x 5

yx 3

+=

+ ViÕt pttt cña ®ths biÕt tiÕp tuyÕn vu«ng gãc víi ®t:x y 1 0+ − =

4-(§HKTQD-2001) T×m to¹ ®é c¸c giao ®iÓm cña c¸c tiÕp tuyÕn cña ®ths x 1

yx 3

+=

−víi trôc

hoµnh,biÕt biÕt tiÕp tuyÕn vu«ng gãc víi ®t: y x 2001= +

5-(HVBCVT-2000) Cho hs 2x x 1

yx 1

− −=

+ ViÕt pttt cña ®ths biÕt tiÕp tuyÕn song song víi

®t:y x= −

D¹ng 4: T×m ®iÓm thuéc ®å thÞ hµm sè sao cho tiÕp tuyÕn t¹i ®iÓm ®ã th¶ m·n ®k (T) cho tr−íc

B1: XÐt hs vµ tÝnh / /y f (x)=

B2 §iÓm M (C) M(a;f (a))∈ ⇒ pttt t¹i M cã d¹ng ( )/y f (a)(x a) f a= − +

B3: Sö dông §K (T) ta x¸c ®Þnh ®−îc a vµ suy ra ®iÓm M

1-(§HC§KD-2005) Cho hs 3 21 m 1

y x x3 2 3

= − + .Gäi M lµ ®iÓm thuéc ®ths vµ cã hoµnh ®é

b»ng 1− .T×m m ®Ó tiÕp tuyÕn cña ®ths t¹i M song song víi ®t 5x y 0− =

2-(§H C«ng ®oµn-2001) Cho h s 3 2y 2x 3x 12x 1= + − − .T×m ®iÓm M thuéc ®ths sao cho tiÕp

tuyÕn cña ®ths t¹i M ®i qua gèc to¹ ®é

3-(§H §µ n½ng-1999) Cho hs 4 2y x 6x 5= − + . Cho ®iÓm M trªn ®ths cã hoµnh ®é Mx a= .T×m

a ®Ó tiÕp tuyÕn cña ®ths tai M c¾t l¹i ®å thÞ hµm sè t¹i hai ®iÓm kh¸c M

4-(HVBCVT-1999) Cho hs x 1

yx 1

+=

− T×m tÊt c¶ c¸c ®iÓm thuéc ®ths sao cho tiÕp tuyÕn t¹i ®ã lËp

víi hai ®−êng tiÖm cËn mét tam gi¸c cã chu vi nhá nhÊt

24

5-(§HQG-2000) Cho hs 1

y x 1x 1

= + +−

T×m tÊt c¶ c¸c ®iÓm thuéc ®ths cã hoµnh ®é lín h¬n 1sao

cho tiÕp tuyÕn t¹i ®ã lËp víi hai ®−êng tiÖm cËn mét tam gi¸c cã chu vi nhá nhÊt

6-(§HQG-1998) T×m c¸c ®iÓm M trªn ®ths 2x x 2

yx 2

+ −=

− sao cho tiÕp tuyÕn t¹i ®ã c¾t c¸c trôc to¹

®é t¹i A,B T¹o thµnh tam gi¸c vu«ng c©n OAB(O lµ gèc to¹ ®é)

7-(§HTCKT-2000) Cho hs 2x 2x 2

yx 1

+ +=

+ T×m tÊt c¶ c¸c ®iÓm thuéc ®ths sao cho tiÕp tuyÕn t¹i

®ã vu«ng gãc víi ®−êng tiÖm cËn xiªn cña nã

8-(§H An ninh-2001) Cho hs 2x 2x 1

yx 1

+ +=

−T×m trªn ®ths c¸c ®iÓm A ®Ó tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ t¹i

A Vu«ng gãc víi ®−êng th¼ng ®i qua A vµ t©m ®èi xøng cña ®å thÞ

9-Cho hs 1

y xx 1

= ++

(C) T×m c¸c cÆp ®iÓm trªn (C) mµ c¸c tiÕp tuyÕn t¹i ®ã song song víi nhau

D¹ng 5:T×m ®iÓm kÎ ®−îc k tiÕp tuyÕn tíi ®å thÞ : Cho hs y f (x)= (C) . T×m ®iÓm A tho¶ mln tÝnh chÊt (T) ®Ó tõ ®ã kÎ ®−îc k tiÕp tuyÕn tíi ®å thÞ (C )

B1:T×m ®iÓm A tho¶ mln tÝnh chÊt (T) ,gi¶ sö 0 0A(x ; y )

B2:Ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ®i qua 0 0A(x ; y ) víi hÖ sè gãc k cã d¹ng (d): 0 0y k(x x ) y= − + B3

B3: (d) tiÕp xóc (C ) ⇔ hÖ sau cã nghiÖm

0 0

/

f (x) k(x x ) y

f (x) k

= − +

=

/

0 0f (x) f (x)(x x ) y⇒ = − + (*)

B4: Khi ®ã sè nghiÖm ph©n biÖt cña (*) lµ sè tiÕp tuyÕn kÎ ®−îc tõ .A tíi (C ). Do ®ã ®Ó tõ A kÎ ®−îc k tiÕp tuyÕn tíi (C )⇔ (*) cã k nghiÖm ph©n biÖt⇒®iÓm A (nÕu cã)

1-(HVCN BCVT-1999) Cho hs 3 2y x 3x 2= − + − T×m c¸c®iÓm trªn ®ths mµ qua ®ã kή−îc®óng

mét tiÕp tuyÕn víi ®å thÞ 2-(§H Ngo¹i th−¬ng) T×m ®iÓm A trªn trôc hoµnh sao cho qua A chØ vÏ ®−îc duy nhÊt mét tiÕp tuyÕn

víi ®ths 2x x 2

yx 1

+ +=

−

3-(§HQG-1998) T×m ®iÓm A trªn trôc tung sao cho qua A chØ vÏ ®−îc duy nhÊt mét tiÕp tuyÕn víi

®ths x 1

yx 1

+=

−

25

4-(§HQG TPHCM-99) T×m nh÷ng ®iÓm trªn ®−êng th¼ng y 1= sao cho tõ M cã thÓ kÎ ®−îc ®óng

mét tiÕp tuyÕn víi ®ths 22x x

yx 1

+=

+

5-(§HQG-HV ng©n hµng 2001) T×m trªn ®t y 4= tÊt c¶ c¸c ®iÓm mµ tõ mçi ®iÓm ®ã cã thÓ kÎ tíi

®ths 2x

yx 1

=−

hai tiÕp tuyÕn lËp víi nhau mét gãc 045

6-(Bé quèc phßng KA-2002) Cho hs 2x 3

yx 1

+=

−T×m trªn ®t y 4= c¸c ®iÓm tõ ®ã kÎ ®−îc ®óng hai

ttiÕp tuyÕn ®Õn ®ths

7-(§H LuËt TPHCM-2001) Cho hs x 2

yx 1

+=

− cho A(0;a) x¸c ®Þnh a ®Ó tõ A kÎ ®−îc hai tt ®Õn

®ths sao cho hai tiÕp ®iÓm n»m vÒ hai phÝa trôc hoµnh

8-(§H N«ng nghiÖp-2000) Cho hs 2x x 1

yx 1

+ +=

+ T×m trªn trôc tung c¸c ®iÓm tõ ®ã kÎ ®−îc ®óng

hai tiÕp tuyÕn ®Õn ®ths

9-Cho hs 22x x 1

yx 1

+ +=

+ T×m nh÷ng trªn trôc tung c¸c ®iÓm tõ ®ã kÎ ®−îc ®óng hai tiÕp tuyÕn ®Õn

®ths vµ hai tt ®ã vu«ng gãc víi nhau

10-(HVNH-1999) T×m trªn ®t y 2= nh÷ng ®iÓm tõ ®ã kÎ ®−îc 3 tiÕp tuyÕn ®Õn ®ths 3y x 3x= −

11-(§HSP-1999) T×m trªn trôc hoµnh nh÷ng ®iÓm tõ ®ã kÎ ®−îc 3 tiÕp tuyÕn ®Õn ®ths 3y x 3x 2= − + +

12-(§h Y D−îc TPHCM-1998) Cho hs 4 2y x 2x 1= − + − T×m trªn trôc tung nh÷ng ®iÓm tõ ®ã

kÎ ®−îc 3 tiÕp tuyÕn ®Õn ®ths

13-(§H LuËt 1996 -§H thuû lîi 2000) Cho hs 1

y x 2x 1

= + ++

T×m trªn trôc tung nh÷ng ®iÓm tõ

®ã kÎ ®−îc Ýt nhÊt 1 tiÕp tuyÕn ®Õn ®ths

14- Cho hs 2x

yx 1

=−

T×m tËp hîp c¸c ®iÓm trong mÆt ph¼ng to¹ ®é sao cho tõ ®ã cã thÓ kÎ ®−îc hai

tiÕp tuyÕn vu«ng gãc víi nhau tíi ®ths

26

15-(§H Y D−îc TPHCM-1999) Cho hs 2x 1

yx

+= T×m tËp hîp c¸c ®iÓm trong mÆt ph¼ng to¹ ®é

sao cho tõ ®ã cã thÓ kÎ ®−îc hai tiÕp tuyÕn vu«ng gãc víi nhau tíi ®ths

16-(§H Ngo¹i th−¬ng KD-2000) Cho hs 3 2y x 6x 9x 1= − + − tõ mét ®iÓm bÊt kú trªn ®t x 2=

ta cã thÓ kÎ ®−îc bao nhiªu tiÕp tuyÕn ®Õn ®ths D¹ng 6: TÝnh chÊt ®Æc tr−ng cña hµn h÷u tØ:

VD1:Cho hs x 1

yx 1

+=

−

a. CMR tiÕp tuyÕn t¹i ®iÓm S bÊt kú trªn ®ths c¾t hai®−êngtiÖm cËn t¹i P,Q th× S lµtrung ®iÓm cña PQ CMR diÖn tÝch tam gi¸c IPQ kh«ng ®æi (I lµ giao ®iÓm hai ®−êng tiÖm cËn)

VD2:Cho hs 2x 2x 2

yx 1

+ +=

+ gäi I lµ t©m ®èi xøng cña ®ths.M lµ mét ®iÓm trªn ®ths,tiÕp tuyÕn t¹i

M c¾t hai ®−êng tiÖm cËn tai A,B a.CMR M lµ trung ®iÓm AB b. CMR tam gi¸c IAB cã diÖn tÝch kh«ng phô thuéc M TrÞmh Xu©n T×nh

27