Date post: | 13-Jun-2015 |
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IntroducciΓ³nConceptos BΓ‘sicos de A E
Arquitectura GISRepresentaciones geomΓ©tricas del AE
Medidas globalesEl Variograma
Un ejemplo
IntroducciΓ³n al AnΓ‘lisis EstadΓstico EspacialUna aplicaciΓ³n con el software R
Juan de JesΓΊs Sandoval
UNIVERSIDAD FEDERAL DE MINAS GERAISCEDEPLAR/UFMG
Doctorado en DemografΓaFac. de Ciencias EconΓ³micas
Lima, PerΓΊSeptiembre de 2012
Juan de JesΓΊs Sandoval IntroducciΓ³n al AnΓ‘lisis EstadΓstico Espacial
IntroducciΓ³nConceptos BΓ‘sicos de A E
Arquitectura GISRepresentaciones geomΓ©tricas del AE
Medidas globalesEl Variograma
Un ejemplo
Esquema
1 IntroducciΓ³n
2 Conceptos BΓ‘sicos de A E
3 Arquitectura GIS
4 Representaciones geomΓ©tricas del AE
5 Medidas globales
6 El Variograma
7 Un ejemplo
Juan de JesΓΊs Sandoval IntroducciΓ³n al AnΓ‘lisis EstadΓstico Espacial
IntroducciΓ³nConceptos BΓ‘sicos de A E
Arquitectura GISRepresentaciones geomΓ©tricas del AE
Medidas globalesEl Variograma
Un ejemplo
Que es un A E
Comprender la distribuciΓ³n de datos que vienen dedatos relacionados con el espacio es un gran reto hoydΓa para responder preguntas cientΓοΏ½cas en diversasΓ‘reas del conocimiento. Estos estudios se tornancada vez mas comunes debido a la disponibilidad defuentes de datos geogrΓ‘οΏ½cos, sistemas de informaciΓ³ngeogrΓ‘οΏ½co, software e interfaces amigables quepermiten la visualizaciΓ³n espacial de las mismas.
Juan de JesΓΊs Sandoval IntroducciΓ³n al AnΓ‘lisis EstadΓstico Espacial
IntroducciΓ³nConceptos BΓ‘sicos de A E
Arquitectura GISRepresentaciones geomΓ©tricas del AE
Medidas globalesEl Variograma
Un ejemplo
Utilidad del A E
Algunos interrogantes que busca resolver el uso del anΓ‘lisisespacial, apuntan a identiοΏ½car:
DistribuciΓ³n espacial de fenΓ³menos
Patrones espaciales
Asociaciones y concentraciΓ³n
EstimaciΓ³n o predicciΓ³n
ElecciΓ³n de variables
Juan de JesΓΊs Sandoval IntroducciΓ³n al AnΓ‘lisis EstadΓstico Espacial
IntroducciΓ³nConceptos BΓ‘sicos de A E
Arquitectura GISRepresentaciones geomΓ©tricas del AE
Medidas globalesEl Variograma
Un ejemplo
Dependencia Espacial
La primera ley dela geografΓa (Waldo Tobler) οΏ½Todas las cosas
son parecidas, pero las cosas mas prΓ³ximas se parecen mas que
las cosas mas distantesοΏ½
Noel Cressie οΏ½La dependencia espacial estΓ‘ presente en todas
las direcciones y se torna mas dΓ©bil a medida que aumenta la
dispersiΓ³n en la localizaciΓ³n de los datosοΏ½
Respecto a lo anterior, se puede aοΏ½rmar que la mayorΓa de los
eventos, sean de forma natural, epidemiolΓ³gicos o sociales, entre
otros, presentan entre si una relaciΓ³n que depende de la distancia.
Juan de JesΓΊs Sandoval IntroducciΓ³n al AnΓ‘lisis EstadΓstico Espacial
IntroducciΓ³nConceptos BΓ‘sicos de A E
Arquitectura GISRepresentaciones geomΓ©tricas del AE
Medidas globalesEl Variograma
Un ejemplo
Problema de las Unidades de ΓreaModificable
Problema prΓ‘ctico causado por la escala o la agrupaciΓ³n de los
datos.
Falacia ecolΓ³gica: inferencia causal inadecuada sobre
fenΓ³menos individuales con base en observaciones de grupos.
al cambiar de un sistema de zonas a los datos individuales, el
anΓ‘lisis estadΓstico da resultados diferentes.
Efecto de escala: al calcular una estadΓstica a diferentes
escalas, se obtengan resultados distintos
Efecto de la divisiΓ³n en zonas: al reagrupar los datos en
sistemas de zonas diferentes aunque a la misma escala, se
obtengan distintos valores para una misma estadΓstica.
Juan de JesΓΊs Sandoval IntroducciΓ³n al AnΓ‘lisis EstadΓstico Espacial
IntroducciΓ³nConceptos BΓ‘sicos de A E
Arquitectura GISRepresentaciones geomΓ©tricas del AE
Medidas globalesEl Variograma
Un ejemplo
Arquitectura GIS
Figura: Arquitectura de los sistemas de informaciΓ³n geogrΓ‘οΏ½co.Juan de JesΓΊs Sandoval IntroducciΓ³n al AnΓ‘lisis EstadΓstico Espacial
IntroducciΓ³nConceptos BΓ‘sicos de A E
Arquitectura GISRepresentaciones geomΓ©tricas del AE
Medidas globalesEl Variograma
Un ejemplo
Auto-correlaciΓ³n Espacial
La expresiΓ³n concepto de la dependencia espacial es la
auto-correlaciΓ³n espacial. Este tΓ©rmino proviene del concepto
estadΓstico de correlaciΓ³n, que sirve para medir la relaciΓ³n entre dos
variables aleatorias. La preposiciΓ³n οΏ½autoοΏ½ indica que la mediciΓ³n de
la correlaciΓ³n se hace con la misma variable aleatoria, medida en
distintos lugares en el espacio.
Los indicadores de auto correlaciΓ³n espacial son casos particulares
de un estadΓstico de productos cruzados del tipo:
Ξ(d) =nβ
i=1
nβj=1
wij(d)Οij (1)
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IntroducciΓ³nConceptos BΓ‘sicos de A E
Arquitectura GISRepresentaciones geomΓ©tricas del AE
Medidas globalesEl Variograma
Un ejemplo
Auto-correlaciΓ³n Espacial I
Una forma para medir la correlaciΓ³n es por medio del Γndice de
Moran. Este Γndice expresa la relaciΓ³n entre diferentes variables
aleatorias como producto de dos matrices. Dada una distancia d , el
valor wij establece una continuidad espacial entre las variables
aleatorias zi e zj , informando por ejemplo si son separadas a una
distancia menor de d , una matriz digamos Οij establece una medida
de correlaciΓ³n entre las variables como producto de estas (ver
ecuaciΓ³n 2):
I =
nβi=1
nβi=1
wij(zi β z)(zj β z)
nβi=1
(zi β z)2(2)
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IntroducciΓ³nConceptos BΓ‘sicos de A E
Arquitectura GISRepresentaciones geomΓ©tricas del AE
Medidas globalesEl Variograma
Un ejemplo
Auto-correlaciΓ³n Espacial II
Otro indicador para medir relaciΓ³n espacial es el variograma, que se
calcula como el cuadrado de la diferencia entre dos valores, como la
siguiente expresiΓ³n:
Ξ³Μ(d) =1
2N(d)
N(d)βi=1
[z(xi )β z(xi + d)]2 (3)
Donde N(d) es el numero de muestras separadas por una distancia
d . En ambos casos los valores de los indices deben ser comparados
con valores para los cuales se supone que no habrΓa auto correlaciΓ³n
espacial.
Juan de JesΓΊs Sandoval IntroducciΓ³n al AnΓ‘lisis EstadΓstico Espacial
IntroducciΓ³nConceptos BΓ‘sicos de A E
Arquitectura GISRepresentaciones geomΓ©tricas del AE
Medidas globalesEl Variograma
Un ejemplo
La hipΓ³tesis espacial
Valores signiοΏ½cativos de los indices de auto correlaciΓ³n espacial son
evidencia de dependencia espacial y estΓ‘n indicando que el supuesto
de que las muestras son independientes es invΓ‘lido, en este caso
segΓΊn los procedimientos de la inferencia estadΓstica. La hipΓ³tesis a
plantearse seria la siguiente:
Hiptesis :
H0 : No hay autocorrelaciΓ³n espacial
H1 : Si hay autocorrelaciΓ³n espacial
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Arquitectura GISRepresentaciones geomΓ©tricas del AE
Medidas globalesEl Variograma
Un ejemplo
Poligonal
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Arquitectura GISRepresentaciones geomΓ©tricas del AE
Medidas globalesEl Variograma
Un ejemplo
Grado regular
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Arquitectura GISRepresentaciones geomΓ©tricas del AE
Medidas globalesEl Variograma
Un ejemplo
Modelo Geo-relacional
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Arquitectura GISRepresentaciones geomΓ©tricas del AE
Medidas globalesEl Variograma
Un ejemplo
Medidas globales de la agrupaciΓ³n espacial
Estos mΓ©todos proporcionan un resumen estadΓstico ΓΊnico que
describe el grado de agrupamiento en la pauta asignada. El
valor de la estadΓstica indica si el patrΓ³n estΓ‘ agrupado, al
azar, o dispersos
La hipΓ³tesis nula es de aleatoriedad.MΓ©todos de datos de Γ‘rea
EstadΓstica join-countMoran IAjuste a la varianza heterogeneaGeary CGetis-Ord G
MΓ©todos de datos de puntos
AnΓ‘lisis cuadrΓ‘ticoAnΓ‘lisis del vecino mΓ‘s prΓ³ximoFunciΓ³n K de RipleyPatrones de punto bivariado
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Arquitectura GISRepresentaciones geomΓ©tricas del AE
Medidas globalesEl Variograma
Un ejemplo
El Variograma y Kriging
EstadΓstica espacial y geoestadΓstica se han desarrollado paradescribir y analizar la variaciΓ³n de los fenΓ³menos naturales yprovocados por el hombre, sobre o debajo de la superοΏ½cie de latierra. EstadΓstica espacial incluye cualquiera de las tΓ©cnicasformales de que las entidades de estudio que tienen un Γndiceespacial (Cressie 1993). La mayorΓa de las propiedadesespaciales varΓan de forma compleja que la variaciΓ³n no puedeser deοΏ½nido de manera determinista.
Juan de JesΓΊs Sandoval IntroducciΓ³n al AnΓ‘lisis EstadΓstico Espacial
IntroducciΓ³nConceptos BΓ‘sicos de A E
Arquitectura GISRepresentaciones geomΓ©tricas del AE
Medidas globalesEl Variograma
Un ejemplo
El Variograma y Kriging
Para hacer frente a esta incertidumbre espacial unenfoque diferente de los mΓ©todos tradicionalesdeterminista de anΓ‘lisis espacial se requiere que serbasado en un enfoque estocΓ‘stico o probabilista. Labase de la bioestadΓstica moderna para el tratamientode la variable de interΓ©s como una variable aleatoria.
Juan de JesΓΊs Sandoval IntroducciΓ³n al AnΓ‘lisis EstadΓstico Espacial
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Arquitectura GISRepresentaciones geomΓ©tricas del AE
Medidas globalesEl Variograma
Un ejemplo
El Variograma y Kriging
EstimaciΓ³n del variograma
MΓ©todo Matheron de momentos (MoM)
Metodo de mΓ‘xima verosimilitud residual (REML)
CaracterΓsticas del variograma
Continuidad
Creciente monΓ³tona
Umbral y rango
Efecto agujero y periodicidad
LΓmites
AnisotropΓa.
VariaciΓ³n anidada.
Juan de JesΓΊs Sandoval IntroducciΓ³n al AnΓ‘lisis EstadΓstico Espacial
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Arquitectura GISRepresentaciones geomΓ©tricas del AE
Medidas globalesEl Variograma
Un ejemplo
Un anΓ‘lisis espacial TMI Colombia
Para el anΓ‘lisis se tuvieron las siguientes variables: tasas demortalidad infantil (TMI) de Colombia aΓ±os 2005 - 2009, oΓndice de necesidades bΓ‘sicas insatisfechas (%), Γndice demiseria e Γndice de dependencia econΓ³mica (%) que fueronvalores que median de alguna forma la desigualdad social.Todos estos Γndices tuvieron variaciΓ³n o de 0β 100 y un valorpequeΓ±o dice que hay mayor carencia de algo.
Juan de JesΓΊs Sandoval IntroducciΓ³n al AnΓ‘lisis EstadΓstico Espacial
IntroducciΓ³nConceptos BΓ‘sicos de A E
Arquitectura GISRepresentaciones geomΓ©tricas del AE
Medidas globalesEl Variograma
Un ejemplo
Resumen estadΓstico
Tabla: Resumen estadΓstico de las principales variables del anΓ‘lisis de
correlaciΓ³n
Variables Media Mediana D.E AsimetrΓa Curtosis Min Max
TMI2005 36,13 33,7 14,48 1,44 3,43 9,46 116,69TMI2006 35,78 33,3 14,58 1,42 3,33 9,29 110,61TMI2007 35,17 32,9 14,41 1,38 3,10 8,92 106,30TMI2008 33,81 31,6 13,86 1,33 2,93 8,71 106,30TMI2009 33,14 31,0 13,59 1,33 2,90 8,49 106,30NBI (%) 44,18 41,8 20,41 0,68 0,15 5,23 100,00
Miseria (%) 19,50 14,3 18,65 2,36 7,16 0,23 100,00D.Econ (%) 20,73 17,8 15,40 3,60 15,94 1,60 100,00
Juan de JesΓΊs Sandoval IntroducciΓ³n al AnΓ‘lisis EstadΓstico Espacial
IntroducciΓ³nConceptos BΓ‘sicos de A E
Arquitectura GISRepresentaciones geomΓ©tricas del AE
Medidas globalesEl Variograma
Un ejemplo
AnΓ‘lisis exploratorio I
β ββ ββ β ββ β βββ βββ βββ β βββ ββ βββ ββ ββββ
20 40 60 80 100 120
TMI 2005
β ββ ββ β ββ β βββ βββ βββ β βββ ββ βββ ββ ββββ
20 40 60 80 100 120
TMI 2006
β ββ ββ β ββ β βββ βββ βββ β βββ ββββ ββ ββββ
20 40 60 80 100
TMI 2007
β ββ ββ β ββ β βββ βββ ββββ β βββ ββββ ββ ββββ β
20 40 60 80 100
TMI 2008
β ββ ββ β β β ββ β β ββββββ β βββ βββ ββ ββ ββββ β
20 40 60 80 100
TMI 2009
Figura: diagrama de cajas de las TMI a nivel nacional 2005-2009.Juan de JesΓΊs Sandoval IntroducciΓ³n al AnΓ‘lisis EstadΓstico Espacial
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Arquitectura GISRepresentaciones geomΓ©tricas del AE
Medidas globalesEl Variograma
Un ejemplo
AnΓ‘lisis exploratorio II
% das necessidades bΓ‘sicas insatisfeitas
dados$NBI
Fre
quen
cy
0 20 40 60 80 100
050
100
150
200
% da misΓ©ria
dados$Miseria
Fre
quen
cy
0 20 40 60 80 100
010
020
030
040
0
% fogueiros alta dependΓͺncia econΓ΄mica
dados$dep_econ
Fre
quen
cy
0 20 40 60 80 100
010
020
030
040
050
0
ββββββββββββββββββββββββββββ
20 40 60 80 100
% das necessidades bΓ‘sicas insatisfeitas
ββ ββββββ ββββ β ββ ββ βββββ ββββ βββββββββββββ β
0 20 40 60 80 100
% da misΓ©ria
β βββββββββ β βββ ββββββββββββββββ βββββ
0 20 40 60 80 100
% fogueiros alta dependΓͺncia econΓ΄mica
Figura: diagrama de cajas e histogramas de las variables explicativas.Juan de JesΓΊs Sandoval IntroducciΓ³n al AnΓ‘lisis EstadΓstico Espacial
IntroducciΓ³nConceptos BΓ‘sicos de A E
Arquitectura GISRepresentaciones geomΓ©tricas del AE
Medidas globalesEl Variograma
Un ejemplo
Nube de puntos Moran I
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
ββ
β
β
β
β
β
β
β
ββ
β
ββ
β
β
β
β
β
β
ββ
ββ
β
ββ
β
β
β
β
β
β
β
ββ
β
β
β
ββ
β ββ
βββ
ββ
β
β
β
β
ββ
β
ββ
β
β
β
β
β
β
ββ
β
β
β
β
ββ
β
ββ
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β
β
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β
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β
β
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β
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β
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β
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β
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β
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β
β
ββ
β
β
β
β
β β
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β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
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β
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β β
β
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β
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β
β
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β
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β β
β ββ
β
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β
β
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ββ β
ββ
β
β
β
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β
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β
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β
β
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β
β
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β
ββ β
β
β
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ββ
β β
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β
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β
ββ
β
β
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β
ββ
β
βββ
ββ
β
β
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βββ
ββ
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β
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β
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β
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β
β
β
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β β
ββ
β
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β
β
β
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β
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βββ
β
β
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β
β
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β
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β
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β
ββ
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β
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β
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β β β
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ββ
ββ
ββ
β
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β
ββ
ββ
ββ
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β
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β
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ββ
ββ
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β
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β ββ
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β
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β
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ββ
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β
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β
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β
β β
β
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ββ β
β
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β
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β
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β
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β
ββ
β
β
βββ
β
ββ
β
β
ββ
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β
β
β
βββ
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β
ββ
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β
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β
β
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β
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β
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β
β
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β
β
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β
β
ββ
βββ
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β
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β
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β
β
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β
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β
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β
ββ
β β
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β
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β
β
β
ββ
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
20 40 60 80 100 120
010
020
030
040
050
060
0
TMI 2005
Lag
espa
cial
βββ
10305
10367
10378
10420 10439
1047010480
1055910612
10653
10660
10681
10682
10684
10685
10690
10692
10698
10702
10703
10709
10710
10716
10728
10742
10743
10744
10745
10747
1074810749
10750
10753
10754
10755
10758
1075910762
1076410775
10868
10907
10908
10909
10910
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Figura: GrΓ‘οΏ½co dispersiΓ³n TMI nacional 2005-2009.Juan de JesΓΊs Sandoval IntroducciΓ³n al AnΓ‘lisis EstadΓstico Espacial
IntroducciΓ³nConceptos BΓ‘sicos de A E
Arquitectura GISRepresentaciones geomΓ©tricas del AE
Medidas globalesEl Variograma
Un ejemplo
Moran I para las TMI
Tabla: Estimativo de la correlaciΓ³n espacial con el estadΓstico de Moran
Moran I HipΓ³tesis est. dos colas
sample estimares:
deviance statistic Expec. Var Pr(> |t|)30.9407 0.5652 -0.00094 0.0003 2.2e-16
Juan de JesΓΊs Sandoval IntroducciΓ³n al AnΓ‘lisis EstadΓstico Espacial
IntroducciΓ³nConceptos BΓ‘sicos de A E
Arquitectura GISRepresentaciones geomΓ©tricas del AE
Medidas globalesEl Variograma
Un ejemplo
El modelo
yij = Ξ²0 +nβ
i=1
Ξ²jXij + Ξ΅ij (4)
Donde yij es la TMI del aΓ±o 2009 y Xij son las variables explicativas
del modelo linear, os valores Ξ²j son estimaciones de los efectos y Ξ΅ijes el error aleatorio, que en este caso tiene un supuesto de
distribuciΓ³n Gamma(Ξ±, ΞΈ).
Juan de JesΓΊs Sandoval IntroducciΓ³n al AnΓ‘lisis EstadΓstico Espacial
IntroducciΓ³nConceptos BΓ‘sicos de A E
Arquitectura GISRepresentaciones geomΓ©tricas del AE
Medidas globalesEl Variograma
Un ejemplo
Modelo en R
El modelo tenΓa un mejor ajuste fue οΏ½nalmente con su notaciΓ³n en
R:
Modelo em R para TMI2009
modf=glm(TMI2009 οΏ½
dif+NBI+Miseria+dep-econ+coordx + coordy , data =espacial , family = Gamma(link = βlogβ))
Juan de JesΓΊs Sandoval IntroducciΓ³n al AnΓ‘lisis EstadΓstico Espacial
IntroducciΓ³nConceptos BΓ‘sicos de A E
Arquitectura GISRepresentaciones geomΓ©tricas del AE
Medidas globalesEl Variograma
Un ejemplo
Resumen del modelo
Tabla: Resultados del modelo linear generalizado con residual de
distribuciΓ³n gamma
Estimate Std. Error t value Pr(> |t|)(Intercept) 4.1000 0.3311 12.38 0.0000
dif -0.0003 0.0038 -0.08 0.9340
NBI 0.0232 0.0009 24.87 0.0000
Miseria -0.0069 0.0015 -4.77 0.0000
dep_econ -0.0039 0.0010 -3.71 0.0002
coord_x 0.0178 0.0044 4.03 0.0001
coord_y -0.0237 0.0028 -8.41 0.0000
Juan de JesΓΊs Sandoval IntroducciΓ³n al AnΓ‘lisis EstadΓstico Espacial
IntroducciΓ³nConceptos BΓ‘sicos de A E
Arquitectura GISRepresentaciones geomΓ©tricas del AE
Medidas globalesEl Variograma
Un ejemplo
anΓ‘lisis residual
3.0 3.5 4.0
β1.
0β
0.5
0.0
0.5
1.0
Predicted values
Res
idua
ls
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Cook's distance
Residuals vs Leverage
10960
1106611153
Valores residuais
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β0.5 0.0 0.5 1.0
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ββ ββββββ β ββββ β ββββββ βββ β β
β0.5 0.0 0.5 1.0
Valores residuais
Residuos
Figura: GrΓ‘οΏ½co residual del modelo ajustado.Juan de JesΓΊs Sandoval IntroducciΓ³n al AnΓ‘lisis EstadΓstico Espacial
IntroducciΓ³nConceptos BΓ‘sicos de A E
Arquitectura GISRepresentaciones geomΓ©tricas del AE
Medidas globalesEl Variograma
Un ejemplo
Un ejemplo-variograma
En este caso (observe se la linea azul), Se ha hecho una modelaciΓ³n
de la varianza del modelo con la distribuciΓ³n exponencial οΏ½poweredοΏ½,
es decir, modelo con distribuciΓ³n exponencial potencial, como sigue:
f (|x |) =
0 si x = 0
1β exp(|x |a
)Ξ±si x 6= 0
Juan de JesΓΊs Sandoval IntroducciΓ³n al AnΓ‘lisis EstadΓstico Espacial
IntroducciΓ³nConceptos BΓ‘sicos de A E
Arquitectura GISRepresentaciones geomΓ©tricas del AE
Medidas globalesEl Variograma
Un ejemplo
Un ejemplo-variograma
Figura: Resultados do semivariograma para o analise residual no
modelo linear generalizado ajustado.Juan de JesΓΊs Sandoval IntroducciΓ³n al AnΓ‘lisis EstadΓstico Espacial
IntroducciΓ³nConceptos BΓ‘sicos de A E
Arquitectura GISRepresentaciones geomΓ©tricas del AE
Medidas globalesEl Variograma
Un ejemplo
Resultado del AE
Juan de JesΓΊs Sandoval IntroducciΓ³n al AnΓ‘lisis EstadΓstico Espacial
IntroducciΓ³nConceptos BΓ‘sicos de A E
Arquitectura GISRepresentaciones geomΓ©tricas del AE
Medidas globalesEl Variograma
Un ejemplo
Seguimiento en el tiempo TMI
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Variação nas TMI
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TMI Municipios da ColΓ΄mbia 2005
β80 β75 β70
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05
1015
Variação nas TMI
(9.29,27.3]
(27.3,38.8]
(38.8,52.9]
(52.9,73.7]
(73.7,117]
TMI Municipios da ColΓ΄mbia 2006
β80 β75 β70
β5
05
1015
Variação nas TMI
(8.92,26.9]
(26.9,38.6]
(38.6,52.4]
(52.4,72]
(72,111]
TMI Municipios da ColΓ΄mbia 2007
β80 β75 β70
β5
05
1015
Variação nas TMI
(8.71,25.4]
(25.4,36]
(36,48.5]
(48.5,67.7]
(67.7,106]
TMI Municipios da ColΓ΄mbia 2008
β80 β75 β70
β5
05
1015
Variação nas TMI
(8.49,24.9]
(24.9,35.1]
(35.1,47.2]
(47.2,66.8]
(66.8,106]
TMI Municipios da ColΓ΄mbia 2009
Distribuição Espacial das TMI 2005β2009, municΓpios na ColΓ΄mbia
Juan de JesΓΊs Sandoval IntroducciΓ³n al AnΓ‘lisis EstadΓstico Espacial
IntroducciΓ³nConceptos BΓ‘sicos de A E
Arquitectura GISRepresentaciones geomΓ©tricas del AE
Medidas globalesEl Variograma
Un ejemplo
Β½MUCHAS GRACIAS!
Juan de JesΓΊs Sandoval IntroducciΓ³n al AnΓ‘lisis EstadΓstico Espacial