Modulo de Valor Absoluto Recta Numerica

VALOR ABSOLUTO EN LA RECTA NUMRICA Documento Preliminar

Concepto de valor absoluto: El Valor Absoluto se define como la distancia entre dos nmeros reales en la recta numrica. Con el objeto de afianzar el concepto de valor absoluto, es necesario ligarlo a su interpretacin geomtrica en la recta numrica. Para realizar este trabajo usted deber estudiar previamente la seccin 6.2 del libro Preclculo Una Nueva Visin, G.Mora M.M.Rey B.C. Robles, Editorial Escuela Colombiana de Ingeniera, Edicin Preliminar Tercera Versin y hacer los ejercicios de la seccin 6.1 Ejemplo Adicional 1 Comparar las distancias entre un nmero real cualquiera y los puntos 6 y 4 Al observar la recta numrica se tiene que los puntos 6 y 4 la dividen en tres grandes intervalos ( , 6 ) , [ 6, 4] y ( 4, )( , 6 )-12 -10 -8 -6 -4 -2

[ 6 , 4 ]0 2 4 6

( 4, )8 10 12

x ( , 6 ) se tiene:

x [ 6, 4 ] se tiene:a.

x ( 4, ) se tiene:

La distancia de cualquier punto x al punto 6 es menor que su distancia a 4, lo que en trminos de valor absoluto se puede expresar as: x ( 6 ) < x 4 x+6 < x4

El punto medio entre 6 y 4 es 1, por lo tanto al ubicar el punto x en 1 la distancia entre 6 y x es igual que la distancia entre x y 4, lo que puede escribirse en trminos de valor absoluto como: x ( 6 ) = x 4 x+6 = x4

La distancia de cualquier punto x al punto 6 es mayor que su distancia a 4, lo que en trminos de valor absoluto se puede expresar as: x ( 6 ) > x 4 x+6 > x4

b.

Si x est ms cerca de 6 que de 4, se tiene:x ( 6 ) < x 4 x+6 < x4

c.

Si x est ms lejos de 6 que de 4, se tiene:x ( 6 ) > x 4 x+6 > x4

Ejemplo adicional 2 Comparar las distancias entre un nmero real cualquiera y los puntos 3 y 5. Observando la recta numrica se tiene:

29/08/05

1


(; 5 )-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2

(5; 3 )-1 0 1 2 3 4

(3; )5 6

El punto medio entre (5; 3 ) es el La distancia de cualquier x ( ; 5 ) al punto 5 es menor que la distancia al punto 3. Este hecho se puede expresar en trminos de valor absoluto as: punto 1 y la distancia de este punto a 5 y a 3 es igual, lo que en trminos de valor absoluto puede escribirse como:

1 ( 5 ) = 1 3

5 x < x 3x ( 5 ) < x 3

Los x (5; 1) estn ms cerca de 5 que de 3, lo qu en trminos de valor absoluto puede escribirse: x ( 5 ) < x 3 Los x (1; 3 ) estn ms cerca de 3 que de 5, lo qu en trminos de valor absoluto es. x ( 5 ) > x 3

La distancia de cualquier x (3; ) al punto 5 es mayor que la distancia al punto 3, lo que escrito en trmino de valor absoluto es: x ( 5 ) > x 3

expresiones que son equivalentes

EJERCICIOS1. Exprese en trminos de distancia las siguientes expresiones:

a. d. g.

832

b. e. h.

4+5x3

c. f. i.

6x3 x+5

1 x

7,5 x

2. Expresar en trminos de Valor Absoluto los puntos sobre la recta numrica : a. Que se encuentran a 2 unidades del b. Que se encuentran a menos de 3 origen unidades de 5 c. Que se encuentran a menos de 4 d. Que se encuentran a ms de 3 unidades unidades de 2 de 5 e. Que se encuentran a ms de 2 unidades f. Cuya doble distancia a 2 es mayor que 3 de 1 3. Escriba los siguientes enunciados en trminos de valor absoluto: a. La distancia entre dos nmeros x e y es igual a 3 b. El doble de la distancia que hay entre un nmero x y el punto 2 es igual a 5 4. Cual es el mnimo valor que puede tomar la expresin:

a.

x2

b.

x+3

5. Diga si es falso o verdadero 5 ( 3 ) = 3 ( 5 ) a.

29/08/05

2


b. c. d. e. f. g. h. i. j. k. l. m. n.

10 + ( 14 ) = 10 + 14 3 + 8 3 + 8

( 2 x 1) 3x =0 x = y

=2 x 2

3 = 3

es equivalente a decir que significa que yx 4 8. Completar las siguientes afirmaciones.: a. Si x es negativo, entonces x = ________________. El valor absoluto de un nmero es la distancia al _________________ en la recta numrica. 9. Explique porqu 2 es el nico valor que satisface x 2 0b.

10. Exprese en palabras el significado de:a.

x +3 >

1 2

b.

5 x 1 < 2

c.

0< x 2 xy =3

1.f La distancia entre un real x y 3 1.h La distancia entre 7,5 y un real x 2.c 2.d

2.b 2.f 3.b

x 5 < 32x 2 > 3

x +2 < 4

x 5 > 3

2x +2 =5

4.c 0 5.a 5.e 5.i 5.m 6.a 6.e Verdadero Verdadero Falso Falsom+2 =5 xy =3

4.d 0 5.b 5.f 5.j 5.n 6.b 6.f Falso Verdadero Verdadero Falsox 3 < 52x +2 =5

5.c Verdadero 5.g Verdadero 5.k Verdadero 6.c 6.g

5.d Verdadero 5.h Falso 5.l Falso 6.d

q 1 > 2 x+y

x+3 < 7

7. Los puntos sobre la recta numrica cuya distancia a 3 es mayor de 4 unidades. 8.a .x 8.b origen

9. Como el valor absoluto es una distancia solo puede tomar como valor el cero o un nmero positivo, por lo tanto el nico valor de x que satisface es x = 2 10.a Los puntos sobre la recta numrica tales que su distancia a 3 es mayor de media unidad 10.bLos puntos sobre la recta numrica tales que cinco veces la distancia a 1 es menor de 2 unidades. 10.c Los puntos sobre la recta numrica tales que su distancia al origen es positiva y menor que cinco.

SOLUCIN DE ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTOEstudiar previamente la SECCIN 6.3 DE PRECLCULO UNA NUEVA VISIN y realizar los ejercicios de la seccin 6.2 EJEMPLO ADICIONAL 3 Utilizando la interpretacin geomtrica en la recta numrica encuentre el conjunto solucin dex 3 = 4

En ste caso x 3 significa la distancia entre x y 3, por lo cual el punto con respecto al que se va a medir es decir el punto de referencia es 3 .

29/08/05

4


Al ubicar 3 en la recta numrica, sta se divide en dos intervalos: ( ,3 ) y [ 3, ) ( ,3 ) [ 3, )-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

x ( ,3 ) x < 3

3> x

x [ 3, ) x 3 3 x

Como 3 > x la distancia de x a 3 es 3 x (el Como x 3 la distancia de x a 3 es x 3 (el nmero mayor menos el nmero menor), de nmero mayor menos el nmero menor), de donde: donde:x 3 = 3 x x 3 = x 3

Reemplazando lo anterior en la ecuacin original Reemplazando lo anterior en la ecuacin original se tiene: se tiene:x 3 = 4 3 x = 4 x = 1 x = 1 x 3 = 4 x 3= 4 x = 7

La solucin en ste intervalo ser: ( ,3 ) { 1} = { 1}

La solucin en ste intervalo ser: [ 3, ) { 7} = { 7}

El conjunto solucin de x 3 = 4 ser por lo tanto x { 1} { 7} x { 1, 7} { x x = 1 x = 7} El conjunto solucin se representa grficamente as:-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

EJEMPLO ADICIONAL 4 Utilizando la interpretacin geomtrica en la recta numrica encuentre el conjunto solucin de2x + 4 = 11 4

Para solucionar sta ecuacin en primer lugar hay que identificar el punto de referencia con respecto al cual se est midiendo la distancia desde un punto x en la recta. Para leer 2x + 4 en trminos de distancia hay que recordar que la distancia entre dos puntos en la recta numrica es la diferencia entre el mayor y el menor, lo cual lleva a escribir la ecuacin como una diferencia 2x ( 4 ) =11 , por lo tanto 2x ( 4 ) significa la distancia entre el doble de x y 4

4, pero nuestro objetivo inmediato es encontrar el punto de referencia, lo cual genera la necesidad de solucionar la siguiente ecuacin:2x + 4 = 0 x = 2

Por lo tanto el punto de referencia es 2 ( , 2 )-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1

[ 2 , )2 3

x ( , 2 ) x < 2 2x < 4

4 > 2x

x [ 2, ) x 2 2x 4

Como 4 > 2x la distancia de 2x a 4 es 4 2x Como 2x 4 la distancia de 2x a 4 es (el nmero mayor menos el nmero menor), de 2x ( 4 ) (el nmero mayor menos el nmero donde: menor), de donde:2x + 4 = 4 2x 2x + 4 = 2x + 4

Reemplazando lo anterior en la ecuacin original Reemplazando lo anterior en la ecuacin original se tiene: se tiene:

29/08/05

5


2x + 4 =

11 11 27 27 4 2x = 2x = x= 4 4 4 8

2x + 4 =

11 11 5 5 2x + 4 = 2x = x = 4 4 4 8

La solucin en ste intervalo ser:

27 27 = ( , 2 ) 8 8

{ }{ } { }{ }-4

La solucin en ste intervalo ser:

[ 2 , )

5 5 { 8 } = { 8 }

El conjunto solucin de 2x + 4 =x 27 5 27 5 x , 8 8 8 8

{

} {

11 es por lo tanto 4 27 5 x x= x= 8 8

}

El conjunto solucin se representa grficamente as: 278-3 -2 -1

58

0

EJEMPLO ADICIONAL 5 Utilizando la misma metodologa que en los ejemplos anteriores a continuacin se solucionar la ecuacin 3x 9 = 2x + 1 + x 10 En ste caso existen dos puntos de inters que servirn para solucionar la ecuacin:3x 9 = 0 x = 3 , 1 2 -3 -2 -1

y 1 ,3 2

2x + 1 = 0 x =

1 2

La recta queda entonces dividida en tres grandes intervalos:

( 3, )

12

0

1

2

3

4

5

6

1 x , 2 3x 9 = 9 3x y 2x + 1 = 1 2x 3x 9 = 2x + 1 + x 10 9 3x = 1 2x + x 10 2x = 20 x = 10

1 x ,3 2 3x 9 = 9 3x y 2x + 1 = 2x ( 1) = 2x + 1 3x 9 = 2x + 1 + x 10 9 3x = 2x + 1+ x 10 6x = 18 x = 3

x ( 3, ) : 3x 9 = 3x 9 y 2x + 1 = 2x ( 1) = 2x + 1

Por lo tanto:

Por lo tanto:

3x 9 = 2x + 1 + x 10 3x 9 = 2x + 1+ x 10 0=0

Por lo tanto:

La solucin en ste intervalo La solucin en ste intervalo La solucin en ste intervalo es: es: es: 1 , 1 ,3 { 3} = { 3} ( 3, ) = ( 3, ) {10} = 2 2

El conjunto solucin de 3x 9 = 2x + 1 + x 10 es: x { 3} ( 3, ) x [ 3, ) { x x 3}

EJERCICIOS

29/08/05

6


Encontrar la solucin de:a. d. g. j.

3 x 2 =5

b. e. h. k. n.

5 x =3 x +1 = 2 x

2 x 5 = 4 3 5 x =4

c. f. i. l.

5 2x = 4 2x 1 3 =5

x

2

= x

x2 4 = 4

( x 3 )( x + 2) = 62x 4 x 2 20 +1= 2x 5 2x 5

x = 2x 1 x 1

5x =x x 4

m.

x +2 = 1 x +2

RESPUESTASa. d. g. j.

1 11 3 3 2 1 2 3 4 0 1 26 2

b. e. h.

No hay solucin1 0 9 1

c. f. i.

9 1 2 2 5 30 2 2

1

k.

No hay solucinl.

n.

m.

(,2 ) (2,0)

3 29 2

SOLUCIN DE INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTOSECCIN 6.4 DE PRECLCULO UNA NUEVA VISIN HASTA EJEM 21 EJEMPLO ADICIONAL 6 Encontrar el conjunto solucin de x 3 2 Sobre la recta numrica determinamos el punto de referencia es decir x 3 = 0 x = 3 , ubicado este punto sobre la recta numrica encontramos dos intervalos ( ; 3 ) y (3 ; )

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

29/08/05

7


En ste intervalo x 3 < 0 por lo tanto:

En ste intervalo x 3 > 0 por lo cual

x 3 = 3 xLo que nos lleva a decir que x ( ; 3 ) se tiene.

x 3 = x 3 , por lo tanto se tiene.

x3 2

x5

3 x 2 x 1 x 1

Dada la condicin de x ( ; 3 ) , el conjunto solucin es:

Dada l a condicin x (3; ) , el conjunto solucin es:

( ,1]

( 3; ) [5, ) = [5, )

C.S.: ( ,1 5, ) EJEMPLO ADICIONAL 7 Encontrar el conjunto solucin de x + 3 4 Haciendo anlisis sobre la recta numrica.se determina el valor de x donde x + 3 = 0 ubicado este punto sobre la recta numrica encontramos dos intervalos ( ; 3 ) y (3 ; )x = 3,

] [

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

En ste intervalo x + 3 > 0 por lo tanto: x + 3 = x + 3 Lo que nos lleva a decir que x ( ; 3 ) se tiene: x + 3 4 x 1 x 1 Dada la condicin de x ( ; 3 ) , el conjunto solucin es: ( ; 3 ) [1; ) = [1; 3 )

En ste intervalo x + 3 < 0 por lo cual x + 3 = ( x + 3 ) , por lo tanto se tiene. ( x + 3 ) 4 x + 3 4

x 7 x 7 , x (3; ) , por lo tanto el conjunto solucin es: (3; ) ( ; 7 ] = [3; 7 ]

C.S.: [1; 3 ) [3; 7 ] = [1; 7 ] Trabajo previo SECCIN 6.4 DE PRECLCULO UNA NUEVA VISIN DESDE EJEM 22 HASTA 24 EJEMPLO ADICIONAL 8 Encontrar el conjunto solucin de 2 x 3 > 3 x En este caso no se puede hacer uso del teorema 7 puesto que 3 x no es un real positivo para todo valor de x. Qu podemos hacer para resolverlo? Haciendo un anlisis sobre la recta numrica.Primero se determina el punto donde 2 x 3 = 0 , lo que permite establecer dos intervalos

29/08/05

8


; 3 23/2 -2 -1 0 1 2 3 4

3 ; 2 5

x ; 3 se tiene que 2 x 3 < 0 , por 2 lo tanto 2 x 3 = (2 x 3 )

x 3 ; se tiene que 2 x 3 > 0 , por lo 2 tanto 2 x 3 = 2 x 3

Por lo que la situacin planteada equivale a resolver: (2 x 3 ) > 3 x 2x + 3 > 3x 5 x > 3

Por lo que la situacin planteada equivale a resolver: 2 x 3 > 3 x x < 3

2x 3 > 3x x > 3 x 2 3 x 3 Haciendo un anlisis sobre la recta numrica. Primero determinamos los puntos divisorios es decir aquellos puntos donde 2 x 1 = 0 y 2 3 x = 0 , al resolver estas ecuaciones se tiene que: 3 3 y x = 2 , lo que permite establecer tres intervalos x = 2 3 , 2 32/3 0 1

2; 3 3 23/2

3 ; 2

2

En este intervalo 2 x 1 < 0 por lo 3 tanto 2 x 1 = 2 x 1 y 3 3 2 3 x > 0 por lo tanto 2 3x = 2 3x

En este intervalo En este intervalo 2 x 1 > 0 por 3 2 x 1 < 0 por lo 3 lo tanto 2 x 1 = 2 x 1 y 3 3 tanto 2 x 1 = 2 x 1 2 3 x < 0 por lo tanto 3 2 3 x = (2 3 x ) 3 y 2 3 x < 0 por lo tanto 2 3 x = (2 3 x ) De lo anterior el problema planteado 2 x 1 > 2 3x 3 De lo anterior el problema planteado 2 x 1 > 2 3 x se 3 convierte en

De lo anterior el problema planteado 2 x 1 > 2 3 x se 3 convierte en

29/08/05

9


se convierte en 2 x 1 > (2 3 x ) 3 2 x 1 > (2 3 x 3 2 x 3 x > 2 + 1 2 x 1 < (2 3 x ) 3 3 7 x > 1 2 x + 3x < 2 + 1 3 3 x 2 3 x 3 2 x 1 < 2 + 3 x 3 2 x 3 x < 2 + 1 3 7 x < 1 x > 3 3 7

El conjunto solucin de 2 x 1 > 2 3 x puede darse utilizando diferentes notaciones: 3 En notacin de intervalos: 3 ; 2 2 ; 9 3 ; 9 2 7 3 3 11 7 11 3 En notacin de inecuacin compuesta 3 < x < 2 2 < x < 9 7 3 3 11 En representacin grfica:

{ }

3/7 0

2/3

9/11 1

EJEMPLO ADICIONAL 10 Encontrar el conjunto solucin de 2 x 6 4 4 x Usando propiedades del valor absoluto se tiene:2x 6 4 4x 2 x 3 4 1 x x 3 2 1 x x 3 2 x 1

Lo que en trminos de distancia significa los nmeros reales cuya distancia a 3 es mayor o igual al doble de la distancia a 1

0

1

2

3

En este intervalo x 3 < 0 y x 1< 0 Por lo tanto

En este intervalo x 3 < 0 y x 1> 0 Por lo tanto

En este intervalo x 3 > 0 y x 1> 0 Por lo tanto

29/08/05

10


x 3 2 x 1 x 3 2( x 1)

x 3 2 x 1 x + 3 2x 2 3 x 5

x 5 3

x 3 2 x 1 x 3 2x 2 x 2x 2 + 3 x 1

( x 3 ) 2( x 1) x 2x 3 2 x 1 x 1

( x 3 ) 2( x 1)

C.S. ( ;1] [1; ) = [1;1]

C.S.

C.S. [3 ; ) ( ; 1] =

[1; 3 ] ; 5 = 1; 5 3 3 5 = 1; 5 C.S. [ 1;1] 1; 3 3El conjunto solucin representado en la recta numrica es:5/3 -1 0 1 2 3

EJERCICIOS1.

Encontrar la solucin de las siguientes inecuaciones:

a. d. g. j.

7 3x > 2 2x 3 > 4 3< x +5 x 1 2 x 5,1 x 7 > 4x + 7 1 4x + 7 + x 2 > 2

b.

3x 4 2 0

c. f.

x+4 =2

y

2x 3 >

4 3

e. h.

2 x 1 2 3x 3 = 5 x +1 4 3 x + 1 > 1,73x + 3 5x > 4 8 x 2x + 1 2x + 1 3 + x 3

x

2 2 3

yy

x >2 x 1 > 1

i. l. o. r. u.

x ( x + 3) 5 21 x + 2 21 >0 x 3 3x 5 < 1 4x 2x 3 7 x + 1

y

2 x 2

k.

x 1 1x +1 4 y x 1 > 1

2x + 3 < 2

3 xx 1 2 y 2 x 2

2 x 8 = 121 x + 2 2

y

x-2 < 8

h. k. n.

i. l.

3x 5 x + 4 2

x ( x + 3) 5 2

6 4

1 1 1

4.

A partir de su representacin en la recta numrica determine los valores que satisfacen la situacin planteada. Indique la solucin grficamente, en notacin de intervalo y en notacin de desigualdad, y, exprese en palabras la situacin.xa.

2 2 3

b.

3< x +5

c.

x 3 =5

y

x >2

5. 6. 7. 8.

Escriba en notacin de intervalo Los valores de x que cumplen con Los valores de x que cumplen con Completar Si a > 0 , entonces, Sib 2

x= x x< x

a.

a = b =

b. c. d.

, entonces,

La distancia entre 9 y 5 es: El conjunto de todos los reales tales que

x 2 = 2x

es

9. X -5 -1

Complete la tabla siguiente: y 53 2 x y xy x y x y x y x+y x + y

29/08/05

13


10. Simplifique x y y x 11. Cada desigualdad de la izquierda tiene como conjunto solucin una de las expresiones de la derecha. Determinar los pares correspondientes, en la siguiente tabla.a1 a2 a3a4 a5

3 2x < 1 2 ( 1 x ) > 2 x 5 3 x 20 > 35 3 67 < 2x 5 5 x +1 > x 5

b1b2

5 x < 5x 5

b. e. h. k. n. q.

4 x (x 1) 42x 2 3x 2 3 14 + 6 x 4 x 2 4 x 2 6 3x +4 2 3x 1 3 2x 4 x +2

(x )

x + 1 > 2

d. g. j. m. p.

x 2 6 x + 10 < 2 4 x 2 + 4 x 11 9 2 x 4 x 2 3x 1 19 3 x x 2 + 3x + 2 4 7x 2 > 5x + 1 3 x +7 5 > 10 x 1 17

(x 2)

x + 1 > 2

RESPUESTAS1. 3. a.

m = 4

y

n=6

2.

p

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Modulo de Valor Absoluto Recta Numerica

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