El movimiento ondulatorio es la propagación de una onda por un medio. En este proceso se propaga energía de un lado a otro sin transferencia de materia.Una onda es una perturbación que viaja en el tiempo ya sea a través de un medio material o a través del espacio.El medio perturbado puede ser de naturaleza diversa como aire, agua, una cuerda, un trozo de metal o el vacío.
Movimiento Ondulatorio
Características
La longitud de onda es la distancia mínima entre dos puntos cualesquiera sobre una onda que se comportan idénticamente.
La frecuencia es la tasa de tiempo a la cual la perturbación se repite a sí misma,
Cresta
Valle v
Tipos de ondasUna onda viajera es una perturbación que se propaga a lo largo de un medio a una velocidad definida. Según el medio en el que se propagan se clasifican en:
Ondas MecánicasLas ondas mecánicas requieren de un medio elástico (sólido, líquido o gaseoso) para propagarse. Las partículas del medio oscilan alrededor de un punto fijo, por lo que no existe transporte de materia a través del medio. Dentro de las ondas mecánicas tenemos las ondas elásticas, las ondas sonoras y las ondas de gravedad. Ondas electromagnéticasLas ondas electromagnéticas no requieren de un medio para propagarse, por lo que se propagan a través del vacío. Esto se debe a que las ondas electromagnéticas son producidas por las oscilaciones de un campo eléctrico en relación con un campo magnético asociado
De acuerdo a las vibraciones de las partículas del medio con respecto a la dirección de propagación delas ondas, se clasifican en:
Onda transversal.
Una onda viajera que causa que las partículas del medio perturbado se muevan perpendicularmente al movimiento de la onda se conoce como onda transversal.
Onda longitudinal.
Una onda viajera que causa que las partículas del medio perturbado se muevan paralelas al movimiento de la onda se conoce como onda longitudinal.
Algunas ondas no son ni transversales ni longitudinales como las ondas en la superficie del agua. Éstas tienen componentes longitudinal y transversal.
Onda transversal
Onda longitudinal
Superposición e interferencia de ondas
El principio de superposición establece que:
Si dos o más ondas viajeras se mueven a través de un medio, la función de onda resultante en cualquier punto es la suma algebraica de las funciones de ondas individuales.
Las ondas que obedecen este principio son llamadas ondas lineales. Las que no lo cumples son ondas no lineales.
La combinación de ondas independientes en la misma región del espacio para producir una onda resultante se denomina interferencia.
La interferencia es constructiva si el desplazamiento es en la misma dirección y destructiva en caso contrario.
Reflexión y transmisión de ondasPulso incidente
Pulso reflejado
Reflexión de un pulso de onda viajera en el extremo fijo de una cuerda alargada.
El pulso reflejado se invierte, pero su forma permanece igual.
Pulso incidente
Pulso reflejado
Reflexión de un pulso de onda viajera en el extremo libre de una cuerda alargada.
El pulso reflejado no se invierte.
Pulso incidente
Pulso reflejadoPulso transmitido
Un pulso viaja hacia la derecha en una cuerda ligera unida a una cuerda pesada. Parte del pulso se refleja y parte del pulso se transmite a la cuerda más pesada.
Pulso incidente
Pulso reflejado Pulso transmitido
Un pulso viaja hacia la derecha en una cuerda pesada unida a una cuerda ligera. Parte del pulso se refleja y parte del pulso se transmite a la cuerda más ligera.
Los resultados anteriores pueden resumirse en lo siguiente:
Cuando un pulso de onda viaja de un medio A a un medio B y vA > vB (es decir, cuando B es más denso que A), el pulso se invierte en la reflexión.
Cuando un pulso de onda viaja de un medio A a un medio B y vA < vB (es decir, cuando A es más denso que B), el pulso no se invierte en la reflexión.
Ondas armónicas o senoidalesUna onda senoidal es aquella cuyo desplazamiento y en función de la posición está dado por:
xAy2sen
Esta sería una instantánea de la onda senoidal en t = 0.
La función para todo t es:
vtxAy2sen
El tiempo que tarda en recorrer una distancia de una longitud de onda recibe el nombre de periodo, T. La velocidad de onda, la longitud de onda y el periodo se relacionan por medio de
Tv
El número de onda angular k y la frecuencia angular se definen como:
2k f
T 22
Otras relaciones son:
Tf 1
kv fv
tkxAy sen
Si la fase inicial no es cero la onda senoidal se expresa por:
EjemploUna onda senoidal que viaja en la dirección de x positivas tiene una amplitud de 15cm, una longitud de onda de 40cm y una frecuencia de 8Hz. El desplazamiento en t = 0 y x = 0 en también 15cm. Encuentre a) el número de onda angular k, el periodo T, la frecuencia angula w y la rapidez de la onda. b) determine la constante de fase y escriba la expresión general para la onda.
TareaUn tren de onda senoidal se describe por
y = (0.25 m) sen (0.30x – 40t)
Donde x se mide en metros y t en segundos. Determine a) la amplitud, b) la frecuencia angular, c) el número angular de onda, d) la longitud de onda, e) la rapidez de la onda y f) la dirección del movimiento.
Tv
2k
T 2 T
f 1k
v fv
Ondas senoidales en cuerdasUn método para para producir un tren de pulsos de onda senoidales en una cuerda continua.
tkxAty
dtdyv
xy
cosconstante
tkxAty
dtdv
ax
yy
sen2
constante
)(sen tkxAy
La forma de la onda se puede expresar como:
El punto P se mueve solo en sentido vertical con una velocidad y una aceleración dada por:
Aa
Av
máxy
máxy
2
Los valores máximos son:
Energía transmitida por ondas senoidales en cuerdas
221 kyU
m
Onda senoidal que viaja en una cuerda. Cualquier segmento se mueve verticalmente y cada uno tiene la misma energía total.
x
m = x
La energía potencial elástica es
Usando la relación 2 = k/m 2221 ymU
Para una masa m: 2221 ymU
2221 yxU Dado que m = x
dxtkxsenAdU 22221
Si x →0
Sustituyendo y = sen(kx – t)
dxydU 2221
Integrando en t = 0 sobre una longitud de onda:
2241
041
2122
21
0
22221
0
22221
2 AkxsenxA
dxkxsenAdxkxsenAU
k
Similarmente se puede calcular la energía cinética:
22
41 AK
La energía total es:
22
21 AUKE
La potencia es:
vAT
AT
ATEP 22
2122
21
2221
La rapidez de transferencia de energía de cualquier onda senoidal es proporcional al cuadrado de la frecuencia angular y al cuadrado de la amplitud.
EjemploUna cuerda para la cual = 5 x 10–2kg/m se somete a una tensión de 80N ¿Cuánta potencia debe aplicarse a la cuerda para generar ondas senoidales a una frecuencia de 60Hz y una amplitud de 6cm?
Solución La velocidad de la onda en la cuerda es:
smmkg
NFv /40/105
802
13776022 sHzf
WP
smmsmkgP
vAP
512/40106377/105
2221221
2221
TareaUna cuerda tensada tiene una masa de 0.180kg y una longitud de 3.6m ¿Qué potencia debe proporcionarse para generar ondas seniodales con una amplitud de 0.100m y una longitud de onda de 0.300m y para que viaje a una rapidez de 30m/s?
Ecuación de onda
ABABy sensenFFsenFsenF
ABy FF tantan
ABy x
yxyFF
2
2
tyxmaF yy
2
2
2
2
xy
ty
F
2
2
22
2 1xy
vty
La fuerza resultante en la dirección y es:
Para ángulos pequeños se cumple:
O sea
La 2a. Ley de Newton:
x
xyxyty
FAB
2
2
De aquí obtenemos:
Por lo tanto
o
Si consideramos que la función de onda senoidal que satisface la ecuación de onda anterior mente encontrada es de la forma:
)(sen tkxAy
Entonces sus derivadas correspondientes son:
tkxAsenty
2
2
2
tkxAsenkxy
2
2
2
La sustitución de estas ecuaciones en la ecuación de onda
EjerciciosEjercicio 1: La elongación de una onda transversal armónica que se propaga en una cuerda se representa en el sistema S.I con la ecuación ………………………Calcular: (a) la amplitud, (b) la frecuencia angular, (c) la frecuencia en Hz, (d) el número de onda, (e) la longitud de onda, (f) la fase inicial, (g) la velocidad de vibración de un punto de la cuerda ubicado en x = 0;30 m en t = 0;60 s, (h) la aceleración de un punto en el instante en el cual se encuentra ubicado en la cresta.
Ejercicio 2: Para cierta onda transversal se observa que la distancia entre dos máximos consecutivos es de 1.20 m. También se observa que pasan ocho crestas por un punto dado a lo largo de la dirección de propagación cada 12.0 s. Calcular la rapidez de la onda.
).34
123(1.0 txseny
Ondas sonorasLas ondas sonoras son el ejemplo más importante de ondas longitudinales. Pueden viajar a través de cualquier medio material con una velocidad que depende de las propiedades del medio. Si se propaga en un medio elástico y continuo, las partículas en el medio vibran para producir una variación local de presión o densidad a lo largo de la dirección de movimiento de la onda. Estos cambios originan una serie de regiones de alta y baja presión llamadas condensaciones y rarefacciones, respectivamente.
Las variaciones de presión, humedad o temperatura del medio, producen el desplazamiento de las moléculas que lo forman. Cada molécula transmite la vibración a la de su vecina, provocando un movimiento en cadena. Esos movimientos coordinados de millones de moléculas producen las denominadas ondas sonoras, que producen en el oído humano una sensación descrita como sonido.
CATEGORÍAS DE ONDAS MECÁNICAS
2. Las ondas infrasónicas
3. Las ondas ultrasónicas1. Las ondas audibles
El sonido tiene un margen muy amplio de frecuencias, sin embargo se considera que el margen audible por el ser humano oscila, como máximo, entre 20 Hz y 20.000 Hz. Los sonidos cuyas frecuencias son inferiores a 20 Hz se denominan infrasonidos, y los de frecuencias superiores a 20.000 Hz, ultrasonidos. En ambos casos se trata de sonidos inaudibles por el ser humano.
ELEMENTOS O FACTORES PARA QUE EXISTA SONIDO
1. Una fuente de vibración mecánica, llamada fuente sonora
DIAPAZÓN PLATILLOS BATERÍA GUITARRA
CUALIDADES DEL SONIDOLas magnitudes que caracterizan la percepción y permiten distinguir entre los diferentes sonidos son las llamadas cualidades del sonido. Cualquier sonido sencillo, como una nota musical, puede describirse en su totalidad especificando tres características de su percepción:
Intensidad: Es una sensación asociada a la percepción del sonido por los humanos. La intensidad es la propiedad del sonido que hace que éste se capte como fuerte o como débil. Un sonido muy fuerte, produce dolor en los oídos pero sigue siendo audible.
Tono: Nos indica si un sonido es alto (violín) o bajo (tambor). El tono está asociado a la frecuencia, ya que cuanto menor sea la frecuencia, más bajo es el tono y viceversa. Por esto, se hace una clasificación de las frecuencias: Un sonido es grave si la frecuencia es baja, y es agudo si la frecuencia es elevada.
Timbre: Cuando escuchamos a la vez dos instrumentos que producen un sonido de igual intensidad y de igual tono, podemos diferenciar el uno del otro a través del timbre. Cuando los instrumentos reproducen una nota, a esta le acompañan sus armónicos, que son múltiplos de la frecuencia representada. Gracias a estos armónicos, es posible diferenciar los distintos instrumentos ya que cada uno tiene sus propios armónicos.
VELOCIDAD DE ONDAS SONORAS
La velocidad del sonido es la velocidad de propagación de las ondas sonoras. En la atmósfera terrestre es de 343 m/s (a 20 ºC de temperatura). La velocidad del sonido varía en función del medio en el que se trasmite.La velocidad de propagación de la onda sonora depende de las características del medio en el que se realiza dicha propagación y no de las características de la onda o de la fuerza que la genera. Su propagación en un medio puede servir para estudiar algunas propiedades de dicho medio de transmisión.
Velocidad del sonido en distintos medios (a 20º C)
Sustancia Densidad (kg · m-3) Velocidad (m /s)
AireEtanolBencenoAguaAluminioCobreVidrioHierro
1,20790870
1.0002.7008.9102.3007.900
3441.2001.3001.4985.0003.7505.1705.120
Bv
La velocidad de las ondas sonoras depende de la comprensibilidad y la inercia del medio. Si el medio tiene un módulo volumétrico B y una densidad de equilibrio ρ, la velocidad de las ondas sonoras en ese medio es:
De manera general, la velocidad de todas las ondas mecánicas se obtiene de una expresión de la forma
inercial propiedadelástica propiedadv
Pulso longitudinal a través de un medio compresible.
Módulo de compresibilidadEl módulo de compresibilidad (B) de un material mide su resistencia a la compresión uniforme y, por tanto, indica el aumento de presión requerido para causar una disminución unitaria de volumen dada.El módulo de compresibilidad se define según la ecuación:
donde P es la presión, V es el volumen, ∆P y ∆V denotan los cambios de la presión y de volumen, respectivamente. El módulo de compresibilidad tiene dimensiones de presión, por lo que se expresa en pascales (Pa) en el Sistema Internacional.El inverso del módulo de compresibilidad indica la comprensibilidad de un material y se denomina coeficiente de comprensibilidad.
VVP
VVAFB
Velocidad de ondas sonorasPulso longitudinal a través de un medio compresible.La velocidad de la ondas sonoras
depende de la compresibilidad y la inercia del medio. Si el medio tiene un módulo volumétrico B y una densidad de equilibrio , la velocidad de las ondas sonoras en ese medio es
Bv
De hecho, la velocidad de todas las ondas mecánicas se obtiene de una expresión de la forma general
inercial propiedadelástica propiedad
v
Ondas sonoras armónicasCuando un émbolo oscila senoidalmente, las regiones de condensación y rarefacción se establecen de forma continua.
La distancia entre dos condensaciones consecutivas es igual a la longitud de onda, .
A medida que esta ondas viajan por el tubo, cualquier volumen pequeño del medio se mueve con movimiento armónico simple paralelo a la dirección de la onda.
Si s(x, t) es el desplazamiento de un pequeño elemento de volumen medido a partir de su posición de equilibrio, podemos expresar esta función de desplazamiento armónico como
s(x, t) = smáx cos(k x – t)
donde smáx es el desplazamiento máximo medido a partir del equilibrio, k es el número de onda angular, y es la frecuencia angular del émbolo.
Onda longitudinal senoidal que se propaga en un tubo lleno de gas.
La fuente de la onda es el émbolo de la izquierda.
Onda de presiónOnda de desplazamiento
Onda de variación de presión
La variación de la presión del gas, P, medida desde su valor de equilibrio, también es periódica y está dada por
P = Pmáx sen(k x – t)
La amplitud de presión Pmáx es el cambio máximo en la presión a partir de su valor de equilibrio. La amplitud de presión es proporcional a la amplitud de desplazamiento, smáx:
Pmáx = v smáx
Donde smáx es la velocidad longitudinal máxima del medio frente al émbolo.
La variación de la presión en un gas es
VVBP
El volumen en un segmento del medio que tiene un espesor x en la dirección horizontal y un área de sección transversal A es V = Ax.
El cambio en el volumen V que acompaña al cambio de presión es igual a As, donde s es la diferencia entre el valor de s en x + x y el valor de s en x. Por tanto, podemos expresar P como
xsB
xs
AAB
VVBP
A medida que x se aproxima a cero, la proporción s/x se vuelve . En consecuencia
xsBP
x x + x
s s + s
A
Puesto que el módulo volumétrico esta dado por B = v2, la variación de la presión se reduce a
P = v2smáx k sen(k x – t)
Además, podemos escribir k = / v, consecuentemente, P puede expresarse como
P = v smáx sen(k x – t)
Tomando el valor máximo de cada lado
Pmáx = vsmáx
Si el desplazamiento es la función senoidal simple dada anteriormente, encontramos que
tkxksBstkxsx
BP máxmáx
encos
Intensidad de ondas sonoras armónicas
La energía promedio de la capa de aire en movimiento puede determinarse por:
E = ½ m( smáx)2 = ½ ( Ax) ( smáx)2
Donde Ax es el volumen de la capa. La tasa en el tiempo a la cual se transfiere la energía a cada capa es
2212
21
máxmáx sAvstxA
tEPotencia
tkxstkxst
txst
txv
sencos),(),( maxmax
kxsxA
kxsxAkxsmmvK22
max21
2max2
12max2
1221
sen
sensen
2
max41
0
22max2
1 sen sAdxkxsAdKK
Definimos la intensidad de una onda, o potencia por unidad de área, como la tasa a la cual la energía que es transportada por la onda fluye por un área unitaria A perpendicular a la dirección de propagación de la onda.
vsI máx2
21
áreaPotencia
Esto también puede escribirse en términos de la amplitud de presión como
vP
I máx
2
2 Pmáx = vsmáx
Dado el amplio rango de valores de intensidad, es conveniente utilizar una escala logarítmica, el nivel sonoro se define como
10 log(I / I0)
La constante I0 es la intensidad de referencia.
Avión de reacción 150
Perforadora de mano;ametralladora 130
Sirena; concierto de rock 120
Tren urbano; segadora eléctrica 100
Tráfico intenso 80
Aspiradora 70
Cenversación normal 50
Zumbido de un mosquito 40
Susurro 30
Murmullo de hoja 10
Umbral auditivo 0
Niveles sonoros de algunas fuentes
EjemploLos sonidos mas tenues que el oído humano puede detectar a una frecuencia de 1000Hz corresponden a una intensidad cercana a 10–12 W/m2(el llamado umbral auditivo). Los ruidos mas intenso que el oído puede tolerar corresponden a una aproximada de 1W/m2 (el umbral de dolor). Encuentre la amplitud de presión y de desplazamiento asociadas a estos límites. v = 343 m/s y = 1.2 kg/m3.
vP
I máx
2
2
Pmáx = vsmáx
Ondas esféricas y planas La intensidad de onda a una distancia r de la fuente es
24 rP
AP
I propro
Como Ppro es la misma en cualquier superficie esférica centrada en la fuente, vemos que las intensidades a las distancias r1 y r2 son
22
221
1 44 rP
Iyr
PI propro
En consecuencia, la proporción entre las intensidades sobre las dos superficies esféricas es 2
1
22
2
1
rr
II
Dado que I s2, entonces s 1/r. Por tanto podemos escribir
tkrsenrs
tx 0,
donde s0 es la amplitud de desplazamiento en t = 0.
Es útil representar las ondas esféricas mediante una serie de arcos circulares concéntricos con la fuente. Cada arco representa una superficie sobre la cual la fase de la onda es constante. Llamamos a dicha superficie de fase constante frente de onda.
Fuente
Frente de onda
Rayo
La distancia entre dos frentes de onda es igual a la longitud de onda, . Las líneas radiales que apuntan hacia fuera desde la fuente se conocen como rayos
A distancias de la fuente que son grandes si se les compara con la longitud de onda, podemos aproximar los frentes de onda por medio de planos paralelos. A este tipo de onda se le conoce como onda plana. Cualquier porción pequeña de una onda esférica alejada de la fuente puede considerarse como una onda plana.
La figura muestra una onda plana que se propaga a lo largo del eje x, lo cual significa que los frente de onda son paralelos al plano yz. En este caso la función de onda depende solo de x y de t y tiene la forma
(x, t) = A sen(kx –t)
Ejemplo Sea una fuente puntual de ondas sonoras con una salida de 80 W.
Encuentre la intensidad a 3m de la fuente.
Hallar la distancia a la cual el sonido se reduce a un nivel de 40dB
24 rP
AP
I propro
Tarea
Calcule el nivel sonoro en decibeles de una onda sonora que tenga una intensidad de 4 W/m2, 4 mW/m2 y 0.4 W/m2
10 log(I / I0)
Efecto Doppler
Se experimenta un efecto Doppler siempre que hay un movimiento relativo entre la fuente y el observador.
Cuando la fuente y el observador se mueven uno hacia otro la frecuencia que escucha el observador es más alta que la frecuencia de la fuente.
Cuando la fuente y el observador se alejan uno del otro, la frecuencia escuchada por el observador es más baja que la frecuencia de la fuente.
Cuando el observador se mueve hacia la fuente con velocidad v0, la velocidad de la onda es v’ = v + v0. La frecuencia es entonces
f ’ = v’ / = (v + v0) /
o
f ’ = f (1 + v0/v)
Si el observador se aleja de la fuente, la frecuencia es
f ’ = f (1 v0/v)
v
v0
v0 vv0
vv’v’
Cuando la fuente se mueve hacia el observador con velocidad vs, durante cada vibración la fuente se mueve una distancia vs T = vs /f. Y la longitud de onda se acorta en esa cantidad. Entonces
’ = vs /f
Entonces
f ’ = v / ’ = v /( vs /f ) = v /(v /f vs /f)
o
f ’ = f /(1 vs /v)
’
vs
Similarmente, si la fuente se aleja del observador se tiene que:
f ’ = f /(1 vs /v)
Los dos resultados se pueden resumir en
f ’ = f (v v0)/(v vs)
Los signos superiores se refieren al movimiento de uno hacia el otro, y los inferiores se refieren al movimiento de uno alejándose del otro.
Cuando vs excede la velocidad del sonido, se forma una onda de choque, como se muestra.
Frente de choque cónico
vt
01
2
S0 S1 S2
vS t
SN
Svv
sen
Ejemplo Un tren pasa una plataforma de pasajeros a una rapidez constante de 40.0 m/s. El silbato del tren suena a una frecuencia característica de 320 Hz. a) ¿Qué cambio en la frecuencia detecta una persona en la plataforma conforme el tren pasa? b) ¿Qué longitud de onda detecta una persona conforme el tren se aproxima?
f ’ = f (v v0)/(v vs)
v0 = 0
vs = 40 m/s
f = 320 Hz
f ’ = 320(343 0)/(342 – 40)
= 362
’ = 343/362 = 0.95 m
Tarea Una ambulancia emite un sonido de sirena de 450 Hz, encuentre
la frecuencia que escucha un oyente si
a) La ambulancia se mueve hacia él a 20 m/s
b) La ambulancia está en reposo y el oyente se mueva hacia ella a 20 m/s
c) La ambulancia se mueve hacia el a 10 m/s y el se mueve hacia la ambulancia a 10 m/s ambos respecto al piso.
d) La ambulancia se aleja a 10 m/s y el oyente está en reposo.
Superposición e interferencia de ondas senoidales
El principio de superposición nos indica que cuando dos o más ondas se mueven en el mismo medio lineal, el desplazamiento neto del medio en cualquier punto es igual a la suma algebraica de los desplazamientos causados por todas las ondas.
Podemos expresar las funciones de onda individuales como
y1 = A0 sen (kx - t) y2 = A0 sen (kx - t - )
En consecuencia, la función de la onda resultante y es
y = y1 + y2 = A0 [sen (kx - t) + sen (kx - t - )]
Esta puede rescribirse como
y = 2A0 cos ( / 2) sen (kx - t - / 2)]
Si la constante de fase es cero, entonces la amplitud resultante es 2A0. En este caso, se dice que las ondas estarán en fase, por lo que interferirán constructivamente.
En general, la interferencia constructiva ocurre cuando cos ( / 2) = 1, lo cual es equivalente a que = 0, 2, 4, ... rad.
Por otra parte, si es igual a rad, o a cualquier múltiplo impar de , entonces cos (/2) = 0 y la onda resultante tiene amplitud cero.
En este caso, las ondas interferirán destructivamente.
Interferencia de ondas sonorasDispositivo para producir interferencia en ondas sonoras.
Cuando la diferencia en las longitudes de las trayectorias r = r2 - r1 es cero o algún múltiplo de la longitud de onda , las dos ondas alcanzan el receptor y están en fase e interfieren constructivamente.
Si la longitud de r2 se ajusta de manera que la diferencia de trayectorias es /2, 3/2, ..., n/2 (para n impar), las dos ondas están exactamente 180º fuera de fase en el receptor y consecuentemente se cancelan entre sí.
La diferencia de trayectoria se puede expresar en función de la diferencia de fase como
2
r
Considere dos ondas senoidales en el mismo medio con la misma amplitud, frecuencia y longitud de onda pero viajando en direcciones opuestas. Sus funciones de onda pueden escribirse
y1 = A0 sen (kx - t) y2 = A0 sen (kx + t)
donde y1 representa la onda que viaja hacia la derecha y y2 representa la onda que viaja hacia la izquierda. La suma de las dos funciones produce la función de onda resultante y:
y = y1 + y2 = A0 sen (kx - t) + A0 sen (kx + t)
Esta expresión se reduce a:
y1 = (2A0 sen kx)cos t
que es la función de una onda estacionaria.
Superposición de dos ondas viajeras que produce una onda estacionaria.
La amplitud máxima tiene un valor 2A0. Dicho máximo ocurre cuando las coordenadas x satisfacen la condición sen kx = 1, o cuando
puesto que k = 2/, las posiciones de amplitud máxima, llamadas antinodos, son
Del mismo modo, la onda estacionaria tiene una amplitud mínima de cero cuando x satisface la ecuación sen kx = 0, o cuando
kx =, 2 , 3, ...
lo que produce
Estos puntos de amplitud cero se denominan nodos.
,...5,3,14
,...4
5,4
3,4
nnx
,...3,2,1,02
,...2
3,,2
nnx
,...2
5,2
3,2
kx
EjemploDos ondas senoidales se describen por las ecuaciones:
y
donde x, y1 y y2 están en metros y t en segundos, a) ¿Cuál es la amplitud de la onda resultante? b) ¿Cuál es la frecuencia de la onda resultante?
y = 2A0 cos ( / 2) sen (kx - t - / 2)]
y1 = (5m)sen[2(4.00x- 1. 2t)]
y2 = (5m)sen[2(4.00x- 0.25t)]
Cuando dos ondas que se propagan en sentidos opuestos interfieren, se produce una situación muy curiosa: la onda resultante tiene una amplitud que varía de punto a punto, pero cada uno de los puntos oscila con MAS, y en fase con los demás, dando lugar a lo que se conoce como ondas estacionarias.Las ondas estacionarias pueden observarse en una cuerda sujeta por ambos extremos en la que se produce una vibración. La onda que viaja hacia la derecha se encuentra con la que se refleja en el extremo fijo y se produce la interferencia de ambas.
Ondas estacionarias en una cuerda
Consideremos una cuerda de longitud L, sujeta por un extremo, sometida a una tensión (si no se ejerce tensión sobre la cuerda no habrá propagación de las ondas), en tanto que en el otro extremo la sometemos a un movimiento vibratorio, mediante un dispositivo llamado vibrador que produce un tren de ondas senoidales. Las ondas producida por el vibrador viajan por la cuerda y se reflejaban en el extremo opuesto produciendo ondas estacionarias siempre y cuando la tensión, la frecuencia y la longitud de la cuerda tengan valores apropiados.
Hay puntos del medio en los cuales las ondas se encontrarán en oposición de fase. La superposición de las ondas en esos puntos daría una vibración nula. Los llamaremos nodos de vibración, o simplemente, nodos. Escojamos como origen de abcisas uno de esos puntos y un origen de tiempos de modo que la ecuación de la elongación y1 , cuando la onda 1 este sola, queda de la siguiente forma:
Es decir, para
con lo cual para
En ese caso la ecuación de la elongación del punto O será la superposición de las elongaciones de las dos ondas y nos da una elongación y = 0, será un nodo de vibración.
y = A sen ( t + π / 2)]=A cos (t )
t=0 y1 = A t=0 y2 = -A
En un punto M, de abcisa x, encontraremos que la ecuación de los dos frentes de ondas sería:
y1 = A cos( t -kx)
y2 = A cos[t –k(-x)]=A cos( t +kx)Con lo cual la elongación del punto M sería:
y= y1 + y2 = A [cos( t -kx) + cos( t +kx)]
y= -2Asen [(t -kx + t +kx) / 2)]sen[( t -kx -t -kx) / 2]
y = -2Asen(t ) sen(-kx )
Pero sen(-kx )=-sen(kx )
Luego y = 2Asen(t ) sen(kx )
La ecuación anterior es la de un movimiento armónico simple.Todos los puntos de la cuerda estarán vibrando, salvo los nodos, sin que haya un desplazamiento de la fase. La amplitud del MAS en este caso es 2Asen(kx )
En la figura se representan dos ondas, 1 y 2, que se propagan en sentido opuesto y en el instante inicial, t = 0. En ese instante, las dos ondas están en oposición de fase en el punto 0, donde se produce un nodo.Como resultado de la superposición de las ondas 1 y 2 se obtiene la onda estacionaria 3, cuya amplitud es 2A.
Se llaman así a los puntos en los que la amplitud es cero. Se caracterizan porque en este caso sen kx = 0, lo cual se cumple cuando kx=nπ .
Como , se tiene entonces que , con n perteneciente a N.
Los sucesivos nodos de vibración se encontrarán a
Los nodos de vibración son equidistantes, dos nodos consecutivos distan media longitud de onda
Nodos
2k
2nx
...2
3,,2
,0
Son los puntos del medio donde la amplitud es máxima, es decir, 2Asen kx = ±1
Lo cual se cumple cuando
Como , entonces:
Y finalmente tenemos que:
2
12 nkx
Vientres
2
122 nx
2k
4
12 nx
Los sucesivos vientres se encontrarán a:
Los vientres son equidistantes, dos vientres consecutivos distan media longitud de onda. En consecuencia, la distancia entre un nodo y un vientre consecutivo es un cuarto de longitud de onda.
...4
7,4
5,4
3,4
De manera general, cuando una cuerda de longitud L, sujeta por un extremo, sometida a una tensión y por su otro extremo la sometemos a un movimiento vibratorio y vamos ajustando la tensión en el otro extremos, podemos conseguir los llamados modos normales de vibración de dicha cuerda. El primer modo normal, mostrado en la figura, tiene nodos en sus extremos y un antinodo a la mitad. Este modo normal, llamado modo fundamental, se presenta cuando la longitud de onda 1 es igual al doble de la longitud L de la cuerda. Los demás modos y la relación entre la longitud de onda se muestran en la figura:
En general, las longitudes de onda de los diversos modos normales pueden expresarse convenientemente como:
Donde el índice n se refiere al iésimo modo de vibración. La frecuencia natural de oscilación asociada a estos modos se obtiene de la relación:
Donde la velocidad de onda es la misma para todas las frecuencias. De esta forma tenemos que las frecuencias de los modos normales son
...3,2,12 nnL
n
vf
...3,2,12
nvLnvf
nn
Debido a que:
Donde F es la tensión en la cuerda y es su masa por unidad de longitud, también podemos expresar las frecuencias naturales de la cuerda tensada como:
La frecuencia mas baja, corresponde a n=1, es conocida como fundamental o la frecuencia fundamental , y esta dada por.
Fv
...3,2,122
nFLnv
Lnfn
F
Lf
21
1
1f
Ondas estacionarias en columnas de aireEl fenómeno de ondas estacionarias, también se puede apreciar en los llamados tubos sonoros abiertos y cerrados.Los tubos de caña o de otras plantas de tronco hueco, constituyeron los primeros instrumentos musicales. Emitían sonido soplando por un extremo. El aire contenido en el tubo entraba en vibración emitiendo un sonido.Las versiones modernas de estos instrumentos de viento son las flautas, las trompetas y los clarinetes, todos ellos desarrollados de forma que el intérprete produzca muchas notas dentro de una amplia gama de frecuencias acústicas.El órgano es un instrumento formado por muchos tubos en los que cada tubo da una sola nota.
Modos normales de vibración en tubos abiertos
En general, las longitudes de onda de los diversos modos normales en un tubo abierto por sus dos extremos pueden expresarse convenientemente de la siguiente forma:
La frecuencia natural de oscilación asociada a estos modos se obtiene de la relación:
De manera general se tiene que las frecuencias de los modos normales son
Con como la velocidad del sonido.
...3,2,12 nnL
n
svf
...3,2,12
nvLnvf s
n
sn
sv
Modos normales de vibración en tubos cerrados
En general, las longitudes de onda de los diversos modos normales en un tubo abierto por uno de sus extremos y cerrado por el otro pueden expresarse convenientemente de la siguiente forma:
La frecuencia natural de oscilación asociada a estos modos se obtiene de la relación:
De manera general se tiene que las frecuencias de los modos normales son
Con como la velocidad del sonido.
...3,2,1,012
4
nn
Ln
svf
...3,2,1,04
12 nvL
nvf sn
sn
sv
En general, las longitudes de onda de los diversos modos normales pueden expresarse convenientemente como:
Donde el índice n se refiere al iésimo modo de vibración. La frecuencia natural de oscilación asociada a estos modos se obtiene de la relación:
Donde la velocidad de onda es la misma para todas las frecuencias. De esta forma tenemos que las frecuencias de los modos normales son
...3,2,12 nnL
n
vf
...3,2,12
nvLnvf
nn
1. Una cuerda de 2 metros de longitud y masa 1 Kg está fija de ambos extremos. La tensión de la cuerda es de 20 N.
a) ¿ Cuáles son las frecuencias de los tres primeros modos de vibración?
b) Si en un punto ubicado a 0,4 m hay un nodo. ¿ En qué modo de vibración y con qué frecuencia está vibrando la cuerda?
2. Encontrar La frecuencia fundamental y los siguientes tres modos de vibración de una onda estacionaria sobre una cuerda de 3 metros de longitud y densidad lineal de masa de 9x10-3 Kg/m y que está sometida a una tensión de 20 N.
3. Se forma una onda estacionaria sobre una cuerda de 120 cm de largo fija de ambos extremos. Vibra en 4 segmentos cuando la frecuencia es de 120 Hz.
a) Determine la longitud de onda.b) Determine la frecuencia fundamental de vibración.
Ejercicios
Interferencia EspacialLas ondas sonoras, luminosas y las ondas en el agua, presentan patrones de interferencia en el espacio.
Si se tienen dos fuentes sonoras ligeramente espaciadas se produce interferencia como la de la figura.
P
PulsacionesLas pulsaciones se producen cuando se superponen dos ondas de frecuencias ligeramente diferentes.
Sean y1 = A0 cos 2f1t y y2 = A0 cos 2f2t, es fácil mostrar que
y = y1 + y2 = A0 cos 2f1t + A0 cos 2f2t =
2A0 cos 2f1 f2t cos 2f1 f2t
Resultante dos formas de onda senoidales de diferente frecuencia y la misma amplitud.
Note como varía la amplitud de la resultante.
Series de FourierEl teorema de Fourier establece que una función periódica y(t) puede escribirse como una suma de senos y cosenos de la forma:
n
nnnn tfBtfAty 2cos2sen
Síntesis de una onda cuadrada como suma de funciones seno.
Esta función solo utiliza funciones seno para su síntesis, es decir Bn = 0 para toda n.
