ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

TEMA : MOVIMIENTO PARABÓLICO

CURSO : FISÍCA I

DOCENTE : LIC. FREDDI ROLAND RODRIGUEZ ORDOÑEZ

INTEGRANTES : OLIVERA GUEVARA, EDUAR

TARRILLO NAVARRO, BRIGGITTE

CICLO : II

TURNO : NOCHE

Jaén – Perú

2015

UNIVERSIDAD

PARTICULAR DE CHICLAYO

INDICE

INTRODUCCION

El presente trabajo se refiere al tema del movimiento parabólico, la

principal característica es explicar o dar a conocer todo lo relacionado con el

movimiento parabólico, con el fin de explicar con exactitud en qué consisten las

teorías, y dar ejemplos para explicar dicha teoría, relacionados con situaciones

de la vida personal. A continuación daremos una idea de que se trata este

movimiento:

El movimiento parabólico es de caída libre en un marco de referencia

móvil. Sin tener en cuenta la resistencia del aire, la componente horizontal de la

velocidad de un proyectil permanece constante, mientras su componente

vertical independientemente está sujeta a una aceleración constante hacia

abajo.

MOVIMIENTO PARABOLICO

Concepto

(Serway, 1985)

El movimiento es la acción y efecto de mover. Este verbo (mover), por su

parte, refiere a hacer que un cuerpo abandone el lugar que ocupa y pase a

ocupar otro, o a agitar una parte del cuerpo o una cosa. El movimiento, por lo

tanto, puede ser el estado de un cuerpo mientras cambia de lugar o de

posición.

(Serway, 1985)

Movimiento parabólico, del latín parabolĭcus, es aquello perteneciente o

relativo a la parábola. Una parábola es, para la matemática, el lugar geométrico

de los puntos de un plano que son equidistantes de una recta y de un punto

fijo, resultante de cortar un cono circular recto por un plano paralelo a una

generatriz.

(Serway, 1985)

Un movimiento parabólico, por lo tanto, es el que realiza un cuerpo cuya

trayectoria traza una parábola. Esta trayectoria se corresponde con el

movimiento ideal de un objeto que está sujeto a un campo gravitatorio uniforme

y que se mueve sin que el medio le oponga resistencia.

(Serway, 1985)

Se puede entender al movimiento parabólico como una composición

formada por dos movimientos rectilíneos, uno uniforme horizontal y otro

uniformemente acelerado vertical.

Fundamentos teóricos

(Alonso, 1998)

Se denomina proyectil a cualquier objeto al que se comunica una

velocidad inicial y luego sigue una trayectoria determinada por la fuerza

gravitatoria que actúa sobre él y por la fuerza de rozamiento con la atmosfera.

Este comportamiento se aplica a una bala disparada por una escopeta, una

bomba abandonada desde un avión o una pelota de futbol pateada.

(Alonso, 1998)

En el caso ideal que el rozamiento sea despreciable y para la trayectoria

de corto alcance, la única fuerza que actúa sobre el proyectiles el peso,

considerado constante en magnitud y dirección. En virtud de la segunda Ley de

Newton.

(Alonso, 1998)

Esto es la componente horizontal de la aceleración es nula y la vertical

está dirigida hacia abajo y es igual a la de un cuerpo en caída libre. Puesto que

la aceleración nula significa velocidad constante, el movimiento puede

considerarse como combinación de un movimiento horizontal uniforme y de

otro vertical, uniformemente acelerado.

La velocidad en el origen está representado por el vector V0 denominado

velocidad inicial o de salida del proyectil. ∅ Es el angulo que forma con la

horizontal. Dado que la componente de la velocidad es constante en cualquier

instante “t” tendremos:

VX = V0.COS∅ (1)

Como la aceleración vertical es ay = -g, la componente vertical de la

velocidad en el instante vertical será:

Vy = V0.sen∅ - gt (2)

El vector velocidad es tangente a la trayectoria de modo que su dirección

es la de una tangente en cada punto.

Las coordenadas del proyectil en cualquier instante t se obtienen

integrando las ecuaciones (1) y (2), determinándose las expresiones:

X = (V0.COS∅ ¿ t (3)

Y = (V0.sen∅ ¿ t−( 12 )g t 2 (4)

La ecuación de la trayectoria del proyectil se obtiene al combinar las

ecuaciones (3) y (4), eliminando t en ambas expresiones en la ecuación (4).

Y = (tan∅ ¿ x− gx2

2V 02cos2

Tipos de movimiento parabólico

Movimiento semiparabólico

(Alonso, 1998)

El movimiento de parábola o semiparabólico (lanzamiento horizontal) se

puede considerar como la composición de un avance horizontal rectilíneo

uniforme y la caída libre de un cuerpo en reposo.

El movimiento semiparabolico es el movimiento horizontal que realizan

diferentes objetos, el ejemplo más claro de este movimiento es el lanzamiento

de un proyectil, parte con una velocidad 0.

Movimiento parabólico completo

(Alonso, 1998)

El movimiento parabólico completo se puede considerar como la

composición de un avance horizontal rectilíneo uniforme y un lanzamiento

vertical hacia arriba, que es un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado

hacia abajo (MRUA) por la acción de la gravedad.

En condiciones ideales de resistencia al avance nulo y campo

gravitatorio uniforme, lo anterior implica que:

Un cuerpo que se deja caer libremente y otro que es lanzado

horizontalmente desde la misma altura tardan lo mismo en llegar al suelo.

La independencia de la masa en la caída libre y el lanzamiento vertical

es igual de válida en los movimientos parabólicos.

Un cuerpo lanzado verticalmente hacia arriba y otro parabólicamente

completo que alcance la misma altura tarda lo mismo en caer.

Ecuaciones del movimiento parabólico

Hay dos ecuaciones que rigen el movimiento parabólico:

1. V0 = V0 .COS∅ i + V0.sen∅ j

2. a = - g j

Donde:

V0 Es el módulo de la velocidad inicial.

∅ Es el Angulo de la velocidad inicial sobre la horizontal.

g Es la aceleración de la gravedad.

La velocidad inicial se compone en dos partes:

V0 .COS∅que se denomina componente horizontal de la velocidad inicial.

En lo sucesivo V0 x

V0.sen∅ que se denomina componente vertical de la velocidad inicial.

En lo sucesivo V0 y

Se puede expresar la velocidad inicial de este modo:

V0 = V0x i + V0y j

Será la que se utilice, excepto en los casos en los que deba tenerse en

cuenta el ángulo de la velocidad inicial.

Ecuación de la aceleración

La única aceleración que interviene en este movimiento es la de la

gravedad, que corresponde a la ecuación:

a = - g j

Que es vertical y hacia abajo.

Ecuación de la velocidad

La velocidad de un cuerpo que sigue una trayectoria parabólica se

puede obtener integrando la siguiente ecuación:

a = d vdt

= - g j

Vo = V0x i + V0y j

Partiendo del valor de la aceleración de la gravedad, y de la definición de

aceleración alcanzamos la solución de este modo:

1. a = - g j

2. a = d vdt

Tenemos que:

d vdt

= - g j

Ordenando términos:

dv = - g j dt

Integrando:

∫v o

v

dv=∫o

t

−g j dt

Extrayendo términos constante de la integral:

∫vo

v

dv=−g j∫o

t

dt

Realizando la integral:

V – Vo = - g j t

Ordenando

V = - g j t + vo

Sustituyendo vo, por su valor:

V = -g j t + V0x i + V0y j

Ordenando:

V = V0x i + (-g j + V0y) j

Esta ecuación determina la velocidad del móvil en función del tiempo, la

componente horizontal no varía, mientras que la componente vertical sí

depende del tiempo y de la aceleración de la gravedad.

Ecuación de la posición

Partiendo de la ecuación que establece la velocidad del móvil con

relación al tiempo y de la definición de velocidad, la posición pude ser

encontrada integrando la siguiente ecuación diferencial

V = drdt

=¿V0x i + (V0y - g t) j

r (vo) = xo i + yo j

Partiendo del valor de la velocidad y de la definición de velocidad,

calculamos el vector de posición así.

Ejercicios:

1.-

Desde un piso horizontal, un proyectil es lanzado con una velocidad inicial de 10 m/s formando 30º con la horizontal. Si consideramos que la aceleración de la gravedad es 10 m/s2. Calcular:

El tiempo que tarda en llegar al piso.

La máxima altura que alcanza.

¿A qué distancia del punto de lanzamiento choca con el piso?

Solución:

Datos: vo = 10 m/s; θ = 30º

Aplicamos la ecuación: tTOTAL=

2vo senθ

g

Reemplazamos datos: tTOTAL=

2(10 )sen30 º10

Luego: tTOTAL= 1 s

Para calcular la máxima altura, utilizamos la ecuación: HMÁX = v

2o sen2θ2g

Reemplazamos datos: HMÁX = 10

2 sen2 30º2(10)

Luego: HMÁX = 1 ,25 m

Para calcular el alcance horizontal, utilizamos la ecuación: L= v

2o sen2θg

Reemplazamos datos: L=

102 sen2(30 º )10

L= 10 sen60 º =10 · √32 → L= 5 √3 m

2.-

Se lanza un objeto con una velocidad de 50 m/s formando 37º con la horizontal.

Si consideramos que la aceleración de la gravedad es 10 m/s2, determinar la

altura que alcanza el objeto a los dos segundos del lanzamiento.

Solución:

Datos: vo= 50 m/s; θ=37º; t = 2 s

50 m/s

37º 50 se

n37º

h

t= 2 s

d

Para calcular la altura utilizamos la componente vertical, es decir:

v i=50 sen37 º=50 ·35=30 m /s

Utilizamos la ecuación: h=v i t +

12gt 2

h=30(2) + 12(−10)(2 )2

→ h=40 m

En el ejemplo anterior si queremos determinar la distancia horizontal “d”,

debemos utilizar la componente horizontal:

vx=50 ·cos37 º=50 ·45=40 m /s

37º

50 m/s

50 cos37º

d

Luego utilizamos la ecuación del MRU: d = vxt

Entonces: d = (40 m/s)(2 s) → d = 80 m

Desde una altura de 5 m, se lanza una esfera con una velocidad horizontal de 6

m/s. Calcular:

el tiempo que tarda en llegar al piso.

La distancia horizontal “d”

6 m/s

5 m

d

a) Para calcular el tiempo utilizamos los siguientes datos:

Altura: h = 5 m

Velocidad inicial vertical: vi = 0

Usemos la ecuación: h=v i t+

12gt2

Reemplazamos los datos: 5=(0 )t+1

2(10 )t2

Luego: 5 = 5 t2 → t= 1 s

b) Para calcular la distancia horizontal utilizamos los siguientes datos:

El tiempo que tarda en llegar al piso: t = 1 s

La velocidad horizontal: v = 6 m/s

Utilizamos la ecuación: d = vt

Reemplazamos datos: d = (6 m/s)(1 s)

Finalmente: d= 6 m

3.-

Un proyectil es lanzado con una velocidad inicial de 10 m/s, que hace un

ángulo de 60º con la horizontal contra un plano inclinado que forma 30º con la

horizontal. Calcule el alcance (en m) sobre el plano inclinado.(considere: g= 10

m/s2)

Solucion:

4.-

En un partido de fútbol, un futbolista comunica a una pelota la velocidad de 10

m/s con un ángulo de 37º con la horizontal. Si se encuentra en ese instante a 8

m de distancia del arco contrario, ¿hay posibilidades de gol?. La altura del arco

es de 2,5 m. (g= 10 m/s2)

A) La pelota sale fuera del arco

B) Faltan datos.

C) Sí, hay gol

D) Choca en el madero superior.

E) La pelota no llega al arco

Solución:

5:

Hallar a qué velocidad hay que realizar un tiro parabólico para que llegue a una

altura máxima de 100 m si el ángulo de tiro es de 30o.

Solución:

6.-

Si un cuerpo recorre una circunferencia de 5 m de radio con la velocidad

constante de 10 vueltas por minuto, ¿cuál es el valor del periodo, la frecuencia,

la velocidad lineal, la velocidad angular y la aceleración normal? Solución:

7:

Qué velocidad angular, expresada en radianes por segundo, ha de tener una

centrifugadora, Para que en un punto situado a 10 cm del eje de giro produzca

una aceleración normal 100 veces mayor que la de la gravedad

Solución: