MPSC Material

1

चला शिकया

bull दोन तरिकोणाचा कषरिफळाचष गणोततर bull परमाणाचष मलभत परमष

bull परमाणाचा मलभत परमषाचा वतास bull तरिकोणाचा कोन दभाजकाचा गणधमम

bull तीन समातर रषषा व छषतदका ाचामळष झालषला आतरछषदाचष गणोततर

bull तरिकोणाचा समरपतषचा कसोटा bull समरप तरिकोणाचा कषरिफळाचष गणधमम

उदाहरण D ABC चा BC हा पाा आहष व AD ही

उची आहष

D PQR चा QR हा पाा आहष व PS ही

उची आहष

A( D ABC) A( D PQR)

=

1

2 BC AD

1

2 acute QR acute PS

AP

B QD SC Rआकती 11 आकती 12

जरा आठवया

आपण गणोततर व परमाण ाचा अभास कला आहष a आतण b ा दोन सखाचष गणोततर mn

आहष हषच तवधान a आतण b ा दोन सखा mःn ा परमाणात आहषत असषही तलतहतात

ा सकलपनषसाठी आपण सामानपणष धन वासतव सखाचा तवचार करतो आपलाला हष माहीत आहष की रषषाखडाची लाबी आतण एखादा आकतीचष कषरिफळ ा धन वासतव सखा असतात

आपलाला तरिकोणाचा कषरिफळाचष सरि माहीत आहष

तरिकोणाचष कषरिफळ = 1

2 पाा acute उची

जाणन घऊया

दोन शरिकोणाचया करिफळाच गणोततर ( Ratio of areas of two triangles)

कोणताही दोन तरिकोणाचा कषरिफळाचष गणोततर काढ

1 समरपता

2

A(D ABC) A(D PQR)

= BC AD QR acute PS

ावरन दोन तरिकोणाचा कषरिफळाचष गणोततर हष ताचा पाा व सगत उची ाचा गणाकाराचा

गणोततराएवढष असतष

एका तरिकोणाचा पाा b1 व उची h1 आतण दसऱा तरिकोणाचा पाा b2 व उची h2 असषल तर ताचा

कषरिफळाचष गणोततर = b1 acute h1

b2 acute h2

ा दोन तरिकोणाचा सबधात काही अटी घालन पाह

अट 1 ः दोनही तरिकोणाची उची समान असषल तर -

A(D ABC) A(D PQR)

= BC acute hQR h

= BC QR

A(D ABC) A(D PQR)

= b1 b2

गणधमम ः समान उची असलषला तरिकोणाची कषरिफळष ताचा सगत पााचा परमाणात असतात

अट 2 ः दोनही तरिकोणाचा पाा समान असषल तर -

आकती 14आकती 13

A P

B QD SC R

h h

आकती 15

C

A D

P

Q B

h2

h1 A(D ABC) A(D APB)

= AB h1

AB h2

A(D ABC) A(D APB)

= h1

h2

गणधमम ः समान लाबीचा पााचा दोन तरिकोणाची कषरिफळष ताचा सगत उचीचा परमाणात असतात

3

कती ः

खालील ररकामा चौकटी ोग परकारष भरा

(i) (ii)

सोडवलली उदाहरण

उदा (1)

A( D ABC) A( D APQ)

=

= A(D LMN) A(D DMN)

=

आकती 16

A

B P QR C

आकती 17

(iii) तबद M हा रषख AB चा मधतबद आहष

रषख CM ही D ABC ची मधगा आहष

A(D AMC)A(D BMC)

=

= =

कारण तलहा आकती 18

C

A BM

शषजारील आकतीत

रषख AE ^ रषख BC रषख DF ^ रषषा BC

AE = 4 DF = 6 तर A( D ABC)A( D DBC) काढा

आकती 19

A

D

B E FC

उकल ः A( D ABC)A( D DBC)

= AEDF

पाा समान महणन कषरिफळष उचीचा परमाणात

= 4

6 = 2

3

D

P

L

M NQ

4

उकल ः D ABD D ADC D ABC ा ततनही

तरिकोणाचा A हा समाईक तशरोतबद आहष

व ताचा पाा एका रषषषत आहष महणन ा

तीनही तरिकोणाची उची समान आहष

BC = 15 DC = 6 BD = BC - DC = 15 - 6 = 9

A( D ABD)A( D ABC)

= BDBC

उची समान महणन कषरिफळष पााचा परमाणात

= 9

15 = 3

5

A( D ABD)A( D ADC)

= BDDC

= 9

6 = 3

2

उदा (3)

आकती 110

आकती 111

D CB P

A

उदा (2) D ABC चा BC बाजवर D तबद असा आहष की DC = 6 BC = 15

A(D ABD) A(D ABC) आतण A(D ABD) A(D ADC) काढा

A D

CB P

c ABCD हा समातरभज चौकोन आहष P हा

बाज BC वरील कोणताही एक तबद आहष तर समान

कषरिफळाचा तरिकोणाचा दोन जोडा शोधा

उकल ः c ABCD हा समातरभज चौकोन आहष

AD || BC व AB || DC

D ABC व D BDC तवचारात घा

हष तरिकोण दोन समातर रषषषमधष काढलष आहषत तामळष समातर रषषामधील अतर ही ता दोनही तरिकोणाची

उची होईल

D ABC व D BDC चा BC हा पाा समान असन उचीही समान आहष

महणन A(D ABC) = A(D BDC)

D ABC व D ABD चा AB हा पाा समान असन ताची उची सद धा समान आहष

A(D ABC) = A(D ABD)

5

उदा (4) शषजारील आकतीत D ABC चा AC ा बाजवर

D तबद असा आहष की AC = 16 DC = 9

BP ^ AC तर खालील गणोततरष काढा

i) A( D ABD)A( D ABC) ii)

A( D BDC)A( D ABC)

iii) A( D ABD)A( D BDC)

B

P

D

A

Cआकती 112

उकल ः D ABC चा बाज AC वर P व D तबद आहषत महणन D ABD D BDC D ABC D APB

ाचा B हा सामाईक तशरोतबद तवचारात घषतला तर ताचा AD DC AC AP ा बाज एका रषषषत

आहषत ा सवम तरिकोणाची उची समान आहष महणन ता तरिकोणाची कषरिफळष ताचा पााचा परमाणात

आहषत AC = 16 DC = 9

AD = 16 - 9 = 7

A( D ABD)A( D ABC)

= ADAC

= 7

16 (समान उचीचष तरिकोण)

A( D BDC)A( D ABC)

= DCAC

= 9

A( D ABD)A( D BDC)

= ADDC

= 7

ह लकात ठवया

bull दोन तरिकोणाचा कषरिफळाचष गणोततर हष ता तरिकोणाचा पाा व सगत उची ाचा गणाकाराचा

bull समान उचीचा तरिकोणाची कषरिफळष ताचा सगत पााचा परमाणात असतात

bull समान पााचा तरिकोणाची कषरिफळष ताचा सगत उचीचा परमाणात असतात

सरावसच 11

1 एका तरिकोणाचा पाा 9 आतण उची 5 आहष दसऱा तरिकोणाचा पाा 10 आतण उची 6 आहष तर ता

तरिकोणाचा कषरिफळाचष गणोततर काढा

6

2 तदलषला आकती 113 मध ष BC ^ AB

AD ^ AB BC = 4 AD = 8 तर

A( D ABC)A( D ADB)

काढा

4 शषजारील आकतीत AP ^ BC AD || BC

तर A(D ABC) ः A(D BCD) काढा

आकती 115

3 शषजारील आकती 114 मध ष रषख PS ^ रषख RQ

रषख QT ^ रषख PR जर RQ = 6 PS = 6

PR = 12 तर QT काढा

5 शषजारील आकतीत PQ ^ BC AD ^ BC

तर खालील गणोततरष तलहा

i) A( D PQB)A( D PBC)

ii) A( D PBC)A( D ABC)

iii) A( D ABC)A( D ADC) iv)

A( D ADC)A( D PQC) आकती 116

D

C

A B

आकती 113

आकती 114

P

Q

T

R S

P

A

B C

D

P

Q

A

B CD

7

परमाणाच मलभत परमय (Basic Proportionality Theorem)

परमय ः शरिकोणाचया एका बाजला समातर असणारी रषा तयाचया उरललया बाजना शभनन शबदत छदत असल तर ती रषा तया बाजना एकाच परमाणात शवभागत

पक ः D ABC मधष रषषा l || रषख BC आतण रषषा l ही बाज AB ला P मधष

व बाज AC ला Q मध ष छषदतष

साधय ः APPB

= AQQC

रचना ः रषख PC व रषख BQ काढा

शसदधता ः D APQ व D PQB हष समान उचीचष तरिकोण आहषत

A(D APQ)A(D PQB)

= APPB

(कषरिफळष पााचा परमाणात) (I)

तसषच A(D APQ)A(D PQC)

= AQQC

(कषरिफळष पााचा परमाणात) (II)

D PQB व D PQC ाचा रषख PQ हा समान पाा आहष रषख PQ || रषख BC महणन D PQB व D PQC ाची उची समान आहष A(D PQB) = A(D PQC) (III)

A(D APQ)A(D PQB)

= A(D APQ)A(D PQC)

[(I) (II) आतण (III)] वरन

APPB

= AQQC

[(I) व (II)] वरन

परमाणाचया मलभत परमयाचा वयतयास (converse of BPT)

परमय ः एखादी रषा जर शरिकोणाचया दोन भजाना शभनन शबदत छदन एकाच परमाणात शवभागत असल तर ती रषा उरललया बाजला समातर असत

आकती 118 मध ष जर रषषा l ही D ABC चा बाज AB आतण बाज AC ला अनकरमष P आतण Q

तबदत छषदतष आतण APPB

= AQQC

तर रषषा l || रषख BC

आकती 117

P Q

A

B C

l

8

ा परमषाची तसद धता अपरतक पद धतीनष

दषता षतष

कती ः

bull D ABC हा कोणताही एक तरिकोण काढा

bull तरिकोणाचा ETH B दभागा तो AC ला जषथष

छषदतो ताला D नाव दा

bull बाज मोजन तलहा

AB = सषमी BC = सषमी

AD = सषमी DC = सषमी

bull ABBC

व ADDC ही गणोततरष काढा

A

B C

D

आकती 119

पक ः D ABC चा ETH C चा दभाजक रषख AB ला E तबदत छषदतो

साधय ः AE

EB =

CA

CB

रचना ः तबद B मधन तकरण CE ला समातर रषषा काढा ती वाढवलषला AC ला तबद D मधष छषदतष

A B

C

D

E

आकती 120

आकती 118

A

B C

QP l

bull दोनही गणोततरष जवळ जवळ सारखी आहषत हष अनभवा

bull ाच तरिकोणाचष इतर कोन दभागा व वरीलपरमाणष गणोततरष काढा ती गणोततरषही समान षतात हष अनभवा

शरिकोणाचया कोनदभाजकाच परमय ( Theorem of an angle bisector of a triangle)

परमय ः शरिकोणाचया कोनाचा दभाजक तया कोनासमोरील बाजला उरललया बाजचया लाबीचया गणोततरात शवभागतो

9

P

A

B

CN

M

आकती 122

शसदधता ः तकरण CE || तकरण BD व रषषा AD ही छषतदका

ETH ACE ETH CDB (सगत कोन)(I)

आता BC ही छषतदका घषऊन

ETH ECB ETH CBD (वतकरम कोन)(II)

परत ETH ACE ETH ECB (पक)(III)

ETH CBD ETH CDB [तवधान (I) (II) आतण (III) वरन]

D CBD मधष बाज CB बाज CD (एकरप कोनासमोरील बाज)

CB = CD (IV)

आता D ABD मधष रषख EC || बाज BD (रचना)

AEEB

= ACCD

(परमाणाचष मलभत परमष)(V)

AEEB

= ACCB

[तवधान (IV) आतण (V) वरन]

(1) समान उचीचा तरिकोणाची कषरिफळष ताचा सगत पााचा परमाणात असतात

A

B CD

N

M

आकती 121

अशधक माशहतीसाठी ः

वरील परमषाची तसद धता दसऱा परकारष तमही तलहा

तासाठी आकती 121 मधष दाखवलापरमाणष D ABC काढा आतण DM ^ AB आतण DN ^ AC काढा

(2) कोनदभाजकावरील परतषक तबद हा कोनाचा भजापासन समदर असतो ा गणधमााचा उपोग करा

आतण

10

पक ः रषषा l || रषषा m || रषषा n

t1 व t2 ा ताचा छषतदका आहषत

t1 ही छषतदका ता रषषाना अनकरमष A B

C ा तबदत छषदतष t2 ही छषतदका ा रषषाना

अनकरमष P Q R ा तबदत छषदतष

साधय ः ABBC

= PQQR

P

Q

A l

B m

C n

D

t1

t2

R

आकती 124शसदधता ः रषख PC काढला हा रषषाखड रषषा m ला D तबदत छषदतो

D ACP मध ष BD || AP

ABBC

= PDDC

(I) (परमाणाचष मलभत परमष)

D CPR मधष DQ || CR

PDDC

= PQQR

(II) (परमाणाचष मलभत परमष)

ABBC

= PDDC

= PQQR

(I) व (II) वरन

शरिकोणाचया कोनदभाजकाचया परमयाचा वयतयास (Converse of angle bisector of triangle)

D ABC चा बाज BC वर जर तबद D असा असषल की ABAC

= BDDC

तर तकरण AD हा ETH BAC

चा दभाजक असतो

bull ABBC

व PQQR

ही गणोततरष काढा ती जवळपास सारखी आहषत ही अनभवा

कती ः

bull तीन समातर रषषा काढा

bull ताना l m n अशी नावष दा

bull t1 व t2 ा दोन छषतदका काढा

bull t1 ा छषतदकवरील आतरछषद AB व BC आहषत

bull t2 ा छषतदकवरील आतरछषद PQ व QR आहषत

P

Q

A lB m

C n

t1

R

t2

आकती 123

ABBC

= PQQR

परमय ः तीन समातर रषानी एका छशदकवर कललया आतरछदाच गणोततर ह तया रषानी दसऱया कोणतयाही छशदकवर कललया आतरछदाचया गणोततराएवढ असत

तीन समातर रषा व तयाचया छशदका याचा गणधमम (Property of three parallel lines and their transversal)

11

आकती 127

(1) परमाणाचष मलभत परमष

D ABC मधष जर B-P-A B-Q-C

आतण रषख PQ || रषख AC असषल

तर BPPA

= BQQC

(3) तरिकोणाचा कोनदभाजकाचष परमष

D ABC चा ETH ABC चा BD हा

दभाजक असषल आतण जर A-D-C

तर ABBC

= ADDC

(4) तीन समातर रषषा व ताचा छषतदका ाचा गणधमम जर रषषा AX || रषषा BY || रषषा CZ आतण

रषषा l व रषषा m ा छषतदका ताना अनकरमष

A B C व X Y Z मधष छषदत असतील

तर ABBC

= XYYZ

आकती 125

P

Q

A

B C

X Y

A lB

m

C

Z

A

B C

D

(2) परमाणाचा मलभत परमषाचा वतास

D PQR मधष जर P-S-Q P-T-R

आतण PSSQ

= PTTR

तर रषख ST || रषख QR

आकती 128

आकती 126

P

Q

TS

R

12

उदा (1) D ABC मधष DE || BC (आकती 129) जर DB = 54 सषमी AD = 18 सषमी

EC = 72 सषमी तर AE काढा

उकल ः D ABC मधष DE || BC

ADDB

= AEEC

(परमाणाचष मलभत परमष)

1 8

5 4

= AE

72

AE acute 54 = 18 acute 72

AE = 1 8 7 2

5 4

acute = 24

AE = 24 सषमी

उदा (2) D PQR मधष रषख RS हा ETH R चा दभाजक आहष (आकती 130) जर PR = 15 RQ = 20 PS = 12 तर SQ काढा

उकल ः D PRQ मधष रषख RS हा ETH R चा दभाजक आहष

PRRQ

= PSSQ

( कोनदभाजकाचा गणधमम)

15

20 =

12SQ

SQ = 12 acute 20

15 = 16

SQ = 16

P

Q

O O

R

S

कती ः तदलषला आकती 131 मध ष AB || CD || EF जर AC = 54 CE = 9 BD = 75 तर चौकटी ोग परकारष भरन DF काढा

उकल ः AB || CD || EF

AC = DF ( )

5 4

9

= DF DF =

A B

C D

E F

आकती 130

आकती 131

आकती 129

A

B C

D E

13

कती ः

D ABC मधष तकरण BD हा ETH ABC चा दभाजक

आहष A-D-C रषख DE || बाज BC A-E-B

तर तसदध करा की ABBC

= AEEB

आकती 133

आकती 132

आकती 134 आकती 135

A

B C

DE

आकती 136

P

Q R35 15

37

M

P

Q

R

M

36

4

9

10

2 जर D PQR मधष PM = 15 PQ = 25

PR = 20 NR = 8 तर रषषा NM ही बाज RQ

ला समातर आहष का कारण तलहा

P

QR

N M

P

Q

R6

8

10

7M

शसदधता ः D ABC मधष तकरण BD हा ETH B चा दभाजक आहष

ABBC

= ADDC

(कोन दभाजकाचष परमष) (I)

D ABC मधष DE || BC

AEEB

= ADDC

( ) (II)

AB

= EB

1 खाली काही तरिकोण आतण रषषाखडाचा लाबी तदला आहषत तावरन कोणता आकतीत तकरण PM हा ETH QPR चा दभाजक आहष तष ओळखा

(1) (2) (3)

14

3 D MNP चा ETH N चा NQ हा दभाजक आहष

जर MN = 5 PN = 7 MQ = 25 तर QP

काढा

6 आकती 140 मधष तदलषला मातहतीवरन QP

काढा

7 आकती 141 मध ष जर AB || CD || FE

तर x ची तकमत काढा व AE काढा

आकती 137

आकती 138

आकती 139

आकती 140

P Q

A

B C60deg

60deg

P

Q N

M

255

7

P Q

A B

CD

4 आकतीत काही कोनाची मापष तदली आहषत

तावरन दाखवा की APPB

= AQQC

5 समलब चौकोन ABCD मधष

बाज AB || बाज PQ || बाज DC जर AP = 15

PD = 12 QC = 14 तर BQ काढा

P

Q

N

M

40

25

14

Ax

B

C

D

E

F8

12

4

आकती 141

15

8 D LMN मधय किरण MT हा ETH LMN चा

दभाजि आहय

जर LM = 6 MN = 10 TN = 8 तर LT

िाढा

9 D ABC मधय रयख BD हा ETH ABC चा

दभाजि आहय जर AB = x BC = x + 5

AD = x ndash 2 DC = x + 2

तर x ची किमत िाढा

10 शयजारील आिती 144 मधय करििोणाचा

अतभाभागात X हा एि िोणताही किद आहय

किद X हा करििोणाचा कशरोकिदशी जोडला आहय

तसयच रयख PQ || रयख DE रयख QR || रयख EF

तर रयख PR || रयख DF हय कसदध िरणासाठी

खालील चौिटी पणभा िरा

P

X

QFE

D

R

आकती 142

T

L

NM

6

10

8

A

x

x - 2

x + 2

x + 5B C

D

आकती 143

आकती 144

सिदधता ः D XDE मधय PQ || DE

XP =

QE (I) (परमाणाचय मलभत परमय )

D XEF मधय QR || EF

= (II)

= किधान (I) ि (II) िरन

रयख PR || रयख DF (परमाणाचा मलभत परमयाचा वतास )

11laquo D ABC मधय AB = AC ETH B ि ETH C चय दभाजि िाज AC ि िाज AB ाना अनकरमय किद D ि

E मधय छयदतात तर कसदध िरा िी रयख ED || रयख BC

16

समरप शरिकोण (Similar triangles)

D ABC व D DEF मध ष जर ETH A ETH D ETH B ETH E ETH C ETH F

आतण ABDE

= BCEF

= ACDF

तर D ABC व D DEF हष तरिकोण समरप असतात आकती 145

A

B C

D

E F

आकती 146

P

A

QB RC

D ABC व D DEF समरप आहषत हष D ABC ~ D DEF असष तलतहतात

शरिकोणाचया समरपतचया कसोटा (Tests for similarity of triangles)

दोन तरिकोण समरप असणासाठी ताचा ततनही सगत बाज परमाणात असणष आतण ततनही सगत कोन एकरप

असणष आवशक असतष परत ा सहा अटीपकी तीन तवतशषट अटीची पतमता झालास उरलषला अटीची पतमता

आपोआप होतष महणजष दोन तरिकोण समरप होणासाठी तीनच तवतशषट अटी परषशा असतात ा तीन अटी तपासन

दोन तरिकोण समरप आहषत का हष ठरतवता षतष अशा परषशा अटीचा समह महणजषच समरपतषचा कसोटा होत महणन

दोन तरिकोण समरप आहषत का हष ठरवणासाठी ता तवतशषट अटी तपासणष परषसष असतष

समरपतची कोकोको कसोटी (AAA test for similarity of triangles)

दोन तरिकोणाचा तशरोतबदमधील तदलषला एकास एक सगतीनसार होणारष सगत कोन जर एकरप असतील तर

तष तरिकोण समरप असतात

D ABC व D PQR मध ष ABC laquo PQR ा सगतीत जर ETH A ETH P ETH B ETH Q ETH C ETH R तर D ABC ~ D PQR

17

कोकोको कसोटीची शसदधता

पक ः D ABC व D PQR मध ष ETH A ETH P ETH B ETH Q ETH C ETH R

साधय ः D ABC ~ D PQR

शसद धता ः D ABC हा D PQR पषका मोठा आहष असष मान मग AB वर तबद M AC वर तबद N असा घा

की AM = PQ आतण AN = PR तावरन D AMN D PQR हष दाखवा

तावरन MN || BC दाखवता षतष

आता परमाणाचष मलभत परमष वापरन AMMB

= ANNC

महणजषच MBAM

= NCAN

(वसत करन)

MB + AM

AM =

NC + AN AN

(ोग तकरा करन)

ABAM

= ACAN

ABPQ

= ACPR

ताचपरमाणष ABPQ

= BCQR

हष दाखतवता षईल

ABPQ

= BCQR

= ACPR

D ABC ~ D PQR

आकती 147

NM

P

Q

A

B C

R

समरप शरिकोणाची कोको कसोटी (AA test for similarity of triangles)

तशरोतबदचा एखादा एकास एक सगतीनसार एका तरिकोणाचष दोन कोन जर दसऱा तरिकोणाचा दोन सगत

कोनाशी एकरप असतील तर पतहला तरिकोणाचा उरलषला कोन हा दसऱा तरिकोणाचा उरलषला कोनाशी एकरप

असतो हष आपलाला माहीत आहष महणजषच एका तरिकोणाचष दोन कोन दसऱा तरिकोणाचा दोन सगत कोनाशी एकरप असतील तरीही ही अट दोन तरिकोण समरप होणासाठी परषशी असतष

ावरन एका तरिकोणाचष दोन कोन दसऱा तरिकोणाचा दोन कोनाशी एकरप असतील तर तष दोन तरिकोण समरप असतात

ा गणधमामला समरपतषची कोको कसोटी महणतात

18

समरपतची बाकोबा कसोटी (SAS test for similarity of triangles)

दोन तरिकोणाचा तशरोतबदचा एखादा एकास एक सगतीनसार ताचा सगत बाजचा दोन जोडा एकाच

परमाणात असतील आतण ता बाजनी समातवषट कलषलष कोन एकरप असतील तर तष दोन तरिकोण समरप असतात

आकती 149

आकती 150

उदाहरणारम जर D KLM व D RST मधष

ETH KLM ETH RST

KLRS

= LMST

तर D KLM ~ D RSTआकती 148

L SM1

T2

K15

3

R

समरपतची बाबाबा कसोटी ( SSS test for similarity of triangles )

दोन तरिकोणाचा तशरोतबदमधील एखादा एकास एक सगतीत जषवहा एका तरिकोणाचा ततनही बाज दसऱा

तरिकोणाचा ततनही बाजशी एकाच परमाणात असतात तषवहा तष तरिकोण समरप असतात

समरपतषचा ा गणधमामला बाबाबा कसोटी महणतात उदाहरणारम जर D PQR व D XYZ मधष जर

PQYZ

= QRXY

= PRXZ

तर D PQR ~ D ZYX

Z

L

M

X

Y N

Z

PX

Q

YR

उदा (1) D XYZ मधष ETH Y = 100deg ETH Z = 30deg D LMN मधष ETH M = 100deg ETH N = 30degतर D XYZ व D LMN हष समरप आहषत का

असतील तर कोणता कसोटीनसार

समरप शरिकोणाच गणधमम ः

(1) D ABC ~ D ABC - परावतमनता (Reflexivity)

(2) जर D ABC ~ D DEF तर D DEF ~ D ABC - समतमतता (Symmetry)

(3) जर D ABC ~ D DEF आतण D DEF ~ D GHI तर D ABC ~ D GHI - सकरामकता (Transitivity)

19

आकती 151

आकती 152

उकल ः D XYZ व D LMN मधष

ETH Y = 100deg ETH M = 100deg ETH Y ETH M

ETH Z = 30deg ETH N = 30deg ETH Z ETH N D XYZ ~ D LMN (कोको कसोटीनसार)

आतण ETH M ETH V (पक)

D PMN ~ D UVW (समरपतषची बाकोबा कसोटी)

20 Z 30

M

P

X

NY

14 21

N10M

P

U

WV

3

5

6

ETH Z ETH P तदलष आहष परत ETH Z व ETH P हष परमाणात असलषला बाजनी समातवषट कलषलष कोन

नाहीत

D XYZ व D MNP हष समरप आहषत असष महणता षणार नाही

उदा (2) आकती 151 मध ष तदलषला मातहतीवरन तरिकोण समरप आहषत का असतील तर कोणता कसोटीनसार

उकल ः D PMN व D UVW मधष

PMUV

= 6

3 = 2

1

MNVW

= 10

5 =

2

1

PMUV

= MNVW

उदा (3) आकती 152 मधष तदलषला मातहतीवरन तरिकोण समरप आहषत असष महणता षईल का महणता षत असषल तर कोणता

कसोटीनसार

उकल ः D XYZ व D MNP मधष

XYMN

= 14

21 = 2

3

YZNP

= 20

30 =

2

3

XYMN

= YZNP

20

उदा (4) शषजारील आकतीमधष BP ^ AC CQ ^ AB A ndash P- C A- Q- B तर D APB व D AQC समरप दाखवा उकल ः D APB व D AQC मधष ETH APB = deg (I) ETH AQC = deg (II) ETH APB ETH AQC (I) आतण (II) वरन

ETH PAB ETH QAC ( )

D APB ~ D AQC (कोको कसोटी)

उदा (5) जर चौकोन ABCD चष कणम Q तबदत छषदत असतील आतण 2QA = QC आतण 2QB = QD

तर DC = 2AB दाखवा

पक ः 2QA = QC

2QB = QD

साधय ः CD = 2AB

शसदधता ः 2QA = QC QAQC

= 1

2 (I)

2QB = QD QBQD

= 1

2 (II)

QAQC

= QBQD

D AQB व D CQD मधष

QAQC

=QBQD

(तसदध कलष)

ETH AQB ETH DQC (परसपर तवरधद कोन)

D AQB ~D CQD (समरपतषची बाकोबा कसोटी)

AQCQ

= QBQD

= ABCD

(सगत बाज परमाणात)

परत AQCQ

= 1

2 AB

CD =

1

2

2AB = CD

आकती 154D

Q

AB

C

P

Q

A

B C

आकती 153

21

आकती 155

2 आकती 156 मधील तरिकोण समरप आहषत का

3 आकती 157 मध ष दाखवलापरमाणष 8 मीटर व

4 मीटर उचीचष दोन खाब सपाट जतमनीवर उभष

आहषत समपरकाशानष लहान खाबाची सावली

6 मीटर पडतष तर ताच वषळी मोठा खाबाची

सावली तकती लाबीची असषल

आकती 156

आकती 157

4 D ABC मधष AP ^ BC BQ ^ AC

B- P-C A-Q - C तर

D CPA ~ D CQB दाखवा

जर AP = 7 BQ = 8 BC = 12

तर AC काढा

आकती 158P

Q

A

B C

D

E

A

B

C

75deg

10 L

NM

P

3

Q

5

4

6

8 R

1 आकती 155 मध ष ETH ABC = 75deg ETH EDC =75deg तर कोणतष दोन तरिकोण कोणता

कसोटीनसार समरप आहषत

ताची समरपता ोग एकास एक सगतीत तलहा

A

C4

x6

8

P

Q R B

22

5 आकतीत समलब चौकोन PQRS मधष

बाज PQ || बाज SR AR = 5AP

AS = 5AQ तर तसदध करा

SR = 5PQ

6 समलब चौकोन ABCD मध ष (आकती 160)

बाज AB || बाज DC कणम AC व कणम BD

हष परसपराना O तबदत छषदतात AB = 20

DC = 6 OB = 15 तर OD काढाआकती 160

आकती 159

7 c ABCD हा समातरभज चौकोन आहष

बाज BC वर E हा एक तबद आहष रषषा DE ही

तकरण AB ला T तबदत छषदतष

तर DE acute BE = CE acute TE दाखवा

8 आकतीत रषख AC व रषख BD परसपराना P तबदत

छषदतात आतण APCP

= BPDP

तर तसदध करा

D ABP ~ D CDP

S

P Q

A

R

D

O

AB

C

E

T

DA

BC

D

P

A

B

C

आकती 161

आकती 162

9 आकतीत D ABC मध ष बाज BC वर D हा

तबद असा आहष की ETH BAC = ETH ADC तर

तसदध करा CA2 = CB acute CD D

A

B C

आकती 163

23

पक ः D ABC ~ D PQR AD ^ BC PS ^ QR

साधय ः A(D ABC) A(D PQR)

= AB2

PQ2 =

BC2

QR2 = AC2

PR2

शसदधता ः A(D ABC) A(D PQR)

= BC AD QR acute PS

= BCQR

acute ADPS

(I)

D ABD व D PQS मधष ETH B = ETH Q (पक)

ETH ADB = ETH PSQ = 90deg कोको कसोटीनसार D ABD ~ D PQS

ADPS

= ABPQ

(II)

परत D ABC ~ D PQR

ABPQ

= BCQR

= ACPR

(III)

(II) व (III) वरन

A(D ABC) A(D PQR)

= BCQR

acute ADPS

= BCQR

acuteBCQR

= BC2

QR2 = AB2

PQ2 =

BC2

QR2

P

Q

A

B CD

RS

आकती 164

समरप शरिकोणाचया करिफळाच परमय (Theorem of areas of similar triangles)

परमय ः जर दोन शरिकोण समरप असतील तर तयाचया करिफळाच गणोततर ह तयाचया सगत भजाचया वगााचया

गणोततराएवढ असत

24

उदा (1) ः D ABC ~ D PQR A (D ABC) = 16 A (D PQR) = 25 तर ABPQ

ा गणोततराची तकमत काढाउकल ः DABC ~ D PQR

A(D ABC) A(D PQR)

= AB2

PQ2 (समरप तरिकोणाचा कषरिफळाचष गणोततर सगत बाजचा वगााचा गणोततराएवढष असतष)

16

25 = AB2

PQ2 ABPQ

= 4

5 (वगममळष घषऊन)

उदा (2) दोन समरप तरिकोणाचा सगत भजाचष गणोततर 2ः5 आहष लहान तरिकोणाचष कषरिफळ 64 चौसषमी असषल तर मोठा तरिकोणाचष कषरिफळ तकती

उकल ः D ABC ~ D PQR मान D ABC हा लहान तरिकोण व D PQR हा मोठा तरिकोण आहष असष मान

A(D ABC) A(D PQR)

= ( )

( )

2

5

2

2 = 4

25 (समरप तरिकोणाचा कषरिफळाची गणोततरष)

64

A(D PQR) = 4

25

4 acute A(D PQR) = 64 acute 25

A(D PQR) = 64 acute 25

4 = 400

मोठा तरिकोणाचष कषरिफळ = 400 चौसषमी

उदा (3) समलब चौकोन ABCD मधष बाज AB || बाज CD कणम AC व कणम BD हष एकमषकाना P मधष

छषदतात तर तसदध करा A(D APB) A(D CPD)

= AB2

CD2

उकल ः समलब चौकोन ABCD मधष बाज AB || बाज CD D APB व DCPD मधष ETHPAB ETHPCD (वतकरम कोन) ETHAPB ETHCPD (परसपर तवरदध कोन) DAPB ~ DCPD (कोको कसोटी)

A(D APB) A(D CPD)

= AB2

CD2 (समरप तरिकोणाचा कषरिफळाचष परमष)

आकती 165

P

AB

C D

25

1 दोन समरप तरिकोणाचा सगत बाजचष गणोततर 3 ः 5 आहष तर ताचा कषरिफळाचष गणोततर काढा

2 D ABC ~ D PQR आतण AB ः PQ = 2ः3 तर खालील चौकटी पणम करा

A(D ABC) A(D PQR)

= AB2

= 22

32 =

3 D ABC ~ D PQR A (D ABC) = 80 A(D PQR) = 125 तर खालील चौकटी पणम करा

A(D ABC) A(D )

= = ABPQ

=

4 D LMN ~ D PQR 9 acute A (DPQR ) = 16 acute A (DLMN) जर QR = 20 तर MN काढा

5 दोन समरप तरिकोणाची कषरिफळष 225 चौसषमी व 81 चौसषमी आहषत जर लहान तरिकोणाची एक बाज 12 सषमी

असषल तर मोठा तरिकोणाची सगत बाज काढा

6 D ABC व D DEF हष दोनही समभज तरिकोण आहषत A (DABC) ः A (D DEF) = 1 ः 2 असन

AB = 4 तर DE ची लाबी काढा

7 आकती 166 मधष रषख PQ || रषख DE A (D PQF) = 20 एकक जर PF = 2 DP आहष तर

A( c DPQE) काढणासाठी खालील कती पणम करा

A(D PQF) = 20 एकक PF = 2 DP DP = x मान PF = 2x

DF = DP + = + = 3x

D FDE व D FPQ मध ष

ETH FDE ETH (सगत कोन)

ETH FED ETH (सगत कोन)

D FDE ~ D FPQ (कोको कसोटी)

A(D FDE) A(D FPQ )

= =( )

( )

3

2

x

x = 9

4

A(D FDE) = 9

4 A( D FPQ ) = 9

4 acute =

A(c DPQE) = A( D FDE) - A( D FPQ)

= -

=

P

D

E FQआकती 166

12580

26

सकीणम परशनसगरह 1

1 खालील उपपरशनाची पामी उततरष तदली आहषत तापकी अचक पाम तनवडा

(1) जर D ABC व D PQR मधष एका एकास एक

सगतीत ABQR

=BCPR

=CAPQ

तर

खालीलपकी सत तवधान कोणतष

(A) D PQR ~ D ABC

(B) D PQR ~ D CAB

(C) D CBA ~ D PQR

(D) D BCA ~ D PQR

(2) जर D DEF व D PQR मधष ETH D ETH Q ETH R ETH E तर

खालीलपकी असत तवधान कोणतष

(A) EFPR

= DFPQ

(B) DEPQ

= EFRP

(C) DEQR

= DFPQ

(D) EFRP

= DEQR

(3) D ABC व D DEF मधष ETH B = ETH E

ETH F = ETHC आतण AB = 3 DE तर ता

दोन तरिकोणाबाबत सत तवधान कोणतष (A) तष एकरप नाहीत आतण समरपही नाहीत

(B) तष समरप अाहषत पण एकरप नाहीत

(C) तष एकरप आहषत आतण समरपही अाहषत

(D) वरीलपकी एकही तवधान सत नाही

(A) 2 2 (B) 4 (C) 8 (D) 4 2

(4) D ABC व D DEF हष दोनही समभज तरिकोण

आहषत A (D ABC) ः A (D DEF) = 1 ः 2

असन AB = 4 आहष तर DE ची लाबी

तकती

आकती 167

A

PR

Q

B C

आकती 168

D

E F P

Q

R

आकती 169

A

B C

D

E F

आकती 170

A

B C

D

E F

27

(5) आकती 171 मधष रषख XY || रषख BC तर खालील पकी कोणतष तवधान सत आहष

आकती 173

आकती 171

आकती 172

(A) ABAC =

AXAY (B)

AXXB =

AYAC

(C) AXYC =

AYXB (D)

ABYC =

ACXB

2 D ABC मध ष B - D ndash C आतण BD = 7 BC = 20 तर खालील गणोततरष काढा

(1) A(D ABD) A(D ADC)

(2) A(D ABD) A(D ABC)

(3) A(D ADC) A(D ABC)

3 समान उचीचा दोन तरिकोणाचा कषरिफळाचष गणोततर 2 ः 3 आहष लहान तरिकोणाचा पाा 6 सषमी असषल तर

मोठा तरिकोणाचा सगत पाा तकती असषल

4 आकती 173 मध ष ETHABC = ETHDCB = 90deg

AB = 6 DC = 8

तर A( D ABC) A( D DCB) = तकती

5 आकती 174 मधष PM = 10 सषमी

A(D PQS) = 100 चौसषमी

A(DQRS) = 110 चौसषमी

तर NR काढा

6 D MNT ~ D QRS तबद T पासन काढलषला तशरोलबाची लाबी 5 असन तबद S पासन काढलषला तशरोलबाची

लाबी 9 आहष तर A( D MNT) A( D QRS)

हष गणोततर काढा

A

B C

D

68

P

Q

R

N SM

A

B CD

आकती 174

A

B C

X Y

28

7 आकती 175 मधष A ndash D ndash C व B ndash E ndash C

रषख DE || बाज AB जर AD = 5

DC = 3 BC = 64 तर BE काढा

आकती 176

3

A

B C

D

x 64 - x

5

Eआकती 175

P

Q

AB

C

D

R

S

P

X

Q

Y

xxOO RM

8 आकती 176 मध ष रषख PA रषख QB रषख RC

व रषख SD हष रषषा AD ला लब आहषत AB = 60

BC = 70 CD = 80 PS = 280 तर PQ

QR RS काढा

9 D PQR मधष रषख PM ही मधगा आहष

ETHPMQ व ETHPMR चष दभाजक बाज PQ व

बाज PR ला अनकरमष X आतण Y तबदत छषदतात

तर तसदध करा XY || QR

तसद धतषतील ररकामा जागा भरन तसद धता पणम करा

D PMQ मध ष तकरण MX हा ETHPMQ चा दभाजक आहष

= (I) (कोनदभाजकाचष परमष)

D PMR मधष तकरण MY हा ETHPMR चा दभाजक आहष

= (II) (कोनदभाजकाचष परमष)

परत MPMQ

= MPMR

(M हा QR चा मध महणजषच MQ = MR)

PXXQ

= PYYR

XY || QR (परमाणाचा मलभत परमषाचा वतास)

आकती 177

29

P

A

B C

D

10laquo आकती 178 मधय D ABC चया ETH B व

ETH C चय दभयाजक एकमयकयानया X मधय

छयदतयात रयषया AX ही बयाज BC लया Y मधय

छयदतय जर AB = 5 AC = 4 BC = 6

तर AXXY ची ककमत कयाढया

आकती 179

11 c ABCD मधय रयख AD || रयख BC

करण AC आकर करण BD परसपरयानया कबद P

मधय छयदतयात तर दयाखवया की APPD

= PCBP

12 आकती 180 मधय XY || बयाज AC

जर 2AX = 3BX आकर XY = 9 तर

AC ची ककमत कयाढणयासयाठी खयालील कती परण करया

कती ः 2AX = 3BX AXBX

=

AX +BX

BX =

+ (ोग करिया करन)

ABBX

= (I)

D BCA ~ D BYX (समरपतयची कसोटी)

BABX

= ACXY

(समरप करिकोरयाचया सगत बयाज)

= AC9

AC = (I) वरन

X

Y

A

B Cआकती 180

13laquo D ABC मधय ETH A = 90deg c DEFG या चौरसयाचय

D व E हय किरोकबद बयाज BC वर आहयत कबद F हया

बयाज AC वर आकर कबद G हयाबयाज AB वर आहय तर

कसदध करया DE2 = BD acute EC (D GBD व D CFE

हय समरप दयाखवया GD = FE = DE याचया उपोग करया)

rrr

आकती 178

A

B C

X

Y

आकती 181E

F

A

B CD

G

30

bull पाथागोरसचष तरिकट bull समरपता आतण काटकोन तरिकोण bull भतमतीमधाचष परमष bull पाथागोरसचष परमषbull पाथागोरसचा परमषाचष उपोजन bull अपोलोतनसचष परमष

पायरागोरसच परमय ः काटकोन शरिकोणात कणामचा वगम हा इतर दोन बाजचया वगााचया बरजइतका असतो

D PQR मधष ETH PQR = 90deg l(PR)2 = l(PQ)2 + l(QR)2

हषच आपण PR2 = PQ2 + QR2 असष तलह

पायरागोरसच शरिकट ःनसतगमक सखाचा तरिकटामधष जर एका सखषचा वगम हा इतर दोन सखाचा वगााचा बषरजषइतका असषल तर

ताला पाथागोरसचष तरिकट महणतात

उदाहरणाथम ः ( 11 60 61 ) ा सखाचा तरिकटामध ष

112 = 121 602 = 3600 612 = 3721 आतण 121 + 3600 = 3721 ा तठकाणी मोठा सखषचा वगम हा इतर दोन सखाचा वगााचा बषरजषइतका आहष 11 60 61 हष पाथागोरसचष तरिकट आहष तसषच (3 4 5) (5 12 13) (8 15 17) (24 25 7) ही दषखील पाथागोरसची तरिकटष आहषत हष पडताळा पाथागोरसचा तरिकटातील सखा कोणताही करमानष तलतहता षतात

आकती 21P Q

R

D PQR चा PQ QR व PR ा बाजचा लाबी अनकरमष r p आतण q ा अकरानी दाखतवणाचाही सकत आहष तानसार आकती 21 चा सदभामत पाथागोरसचष परमष q2 = p2 + r2 असषही तलतहता षईल

2 पायरागोरसच परमय

31

अशधक माशहतीसाठी ःपायरागोरसची शरिकट शमळवणयाच सरि ः

जर a b c ा नसतगमक सखा असतील आतण a gt b तर [(a2 + b2)(a2 - b2)(2ab)] हष पाथागोरसचष तरिकट असतष (a2 + b2)2 = a4 + 2a2b2 + b4 (I) (a2 - b2)2 = a4 - 2a2b2 + b4 (II) (2ab)2 = 4a2b2 (III) (I) (II) व (III) वरन (a2 + b2)2 = (a2 - b2)2 + (2ab)2

[(a2 + b2) (a2 - b2) (2ab)] हष पाथागोरसचष तरिकट आहष हष तरिकट पाथागोरसची वषगवषगळी तरिकटष तमळवणासाठी सरि महणन वापरता षतष उदाहरणाथम a = 5 आतण b = 3 घषतलास a2 + b2 = 34 a2 - b2 = 16 आतण 2ab = 30 (34 16 30) हष पाथागोरसचष तरिकट आहष हष तमही पडताळन पाहा a आतण b साठी तवतवध नसतगमक सखा घषऊन सरिाचा आधारष पाथागोरसची 5 तरिकटष तार करा

मागील इततषत आपण 30deg- 60deg- 90deg आतण 45deg- 45deg- 90deg हष कोन असणाऱा काटकोन तरिकोणाचष गणधमम पातहलष आहषत (I) कोनाची माप 30deg-60deg-90deg असणाऱया शरिकोणाचा गणधमम काटकोन तरिकोणाचष लघकोन 30deg व 60deg असतील तर 30deg मापाचा कोनासमोरील बाज कणामचा

तनममी असतष व 60deg मापाचा कोनासमोरील बाज कणामचा 3

2 पट असतष

आकती 22 पाहा D LMN मधष ETH L = 30deg ETH N = 60deg ETH M = 90deg

30deg

60deg90degM

L

Nआकती 22

30deg कोनासमोरील बाज = MN = 1

2 acute LN

60deg कोनासमोरील बाज = LM = 3

2 acute LN

जर LN = 6 सषमी तर MN व LM काढ

MN = 1

2 acute LN LM = 3

2 acute LN

= 1

2 acute 6 = 3

2 acute 6

= 3 सषमी = 3 3 सषमी

32

(II) कोनाची माप 45deg-45deg-90deg असणाऱया शरिकोणाचा गणधमम काटकोन तरिकोणाचष लघकोन 45deg व 45deg मापाचष असतील तर काटकोन करणारी परतषक बाज ही कणामचा 1

आकती 23 पाहा D XYZ मधष

XY = 1

2 acute ZY

XZ = 1

2 acute ZY

जर ZY = 3 2 सषमी तर XY आतण XZ काढ

XY = XZ = 1

2 acute 3 2

XY = XZ = 3 सषमी

पाथागोरसचष परमष इतता 7 वी मध ष कषरिफळाचा सहायानष अभासलष आहष तामधष आपण चार काटकोन

तरिकोण व एक चौरस ाचा कषरिफळाचा उपोग कला होता ाच परमषाची तसदधता आपण थोडा वषगळा

परकारषही दषऊ शकतो

कती ः

आकतीत दाखवलापरमाणष दोन एकरप काटकोन तरिकोण घा ताचा कणााचा लाबीएवढा दोन भजा

असलषला एक समद तवभज काटकोन तरिकोण घा हष तीन काटकोन तरिकोण जोडन समलब चौकोन तार करा

समलब चौकोनाचष कषरिफळ = 1

2 acute (समातर बाजचा लाबीची बषरीज) acute उची ा सरिाचा उपोग करन

ताचष कषरिफळ ततनही तरिकोणाचा कषरिफळाचा बषरजषबरोबर तलहन पाथागोरसचष परमष तसदध करा

आकती 24

x

y

x

z

आकती 23

45deg

Z

X Y

33

शसदधता ः D ADB आतण D ABC मधष ETH DAB ETH BAC (सामाईक कोन) ETH ADB ETH ABC (90deg कोन) D ADB ~ D ABC (को को कसोटी)(I)

तसषच D BDC आतण D ABC मधषETH BCD ETH ACB (सामाईक कोन)ETH BDC ETH ABC (90deg कोन) D BDC ~ D ABC (को को कसोटी)(II)

आकती 26

आकती 25

A

B

D

C

acute

R

P Q

S

आता आपण पाथागोरसचा परमषाची तसद धता समरप तरिकोणाचा आधारष दषणार आहोतही तसदधता दषणासाठी आवशक असणारष काटकोन तरिकोणाचष समरपतषसबधीचष गणधमम अभास

समरपता आशण काटकोन शरिकोण (Similarity and right angled triangle)

परमय ः काटकोन शरिकोणात कणामवर टाकललया शिरोलबामळ ज शरिकोण तयार होतात त मळ काटकोन शरिकोणािी व परसपरािी समरप असतातपक ः D ABC मधष ETH ABC = 90deg रषख BD ^ रषख AC A-D-C साधय ः D ADB ~ D ABC D BDC ~ D ABC D ADB ~ D BDC

D ADB ~ D BDC तवधान (I) व (II) वरन (III) D ADB ~ D BDC ~ D ABC तवधान (I) (II) व (III) वरन सकरामकता

भशमतीमधयाच परमय (Theorem of geometric mean)

काटकोन शरिकोणात कणामवर काढलला शिरोलब तया शिरोलबामळ होणाऱया कणामचया दोन भागाचा भशमतीमधय असतो

शसदधता ः काटकोन तरिकोण PQR मध ष रषख QS ^ कणम PR D QSR ~ D PSQ (काटकोन तरिकोणाची समरपता)

QS

PS=

SR

SQ

QS

PS=

SR

QS

QS2 = PS acute SR तशरोलब QS हा रषख PS आतण रषख SR ाचा lsquoभतमतीमधrsquo आहष

34

आकती 27

A

B C

D

A

B C

P

Q R

पायरागोरसच परमय (Theorem of Pythagoras)

काटकोन शरिकोणात कणामचा वगम हा इतर दोन बाजचया वगााचया बरजइतका असतोपक ः D ABC मधष ETHABC = 90degसाधय ः AC2 = AB2 + BC2

रचना ः तबद B मधन बाज AC वर रषख BD लब काढला A-D-Cशसदधता ः काटकोन D ABC मधष रषख BD ^ कणम AC (रचना) D ABC ~ D ADB ~ D BDC (काटकोन तरिकोणाची समरपता) D ABC ~ D ADB तसषच D ABC ~ D BDC

ABAD

= BCDB

= ACAB

- सगतभजा ABBD

= BC

DC = ACBC

- सगतभजा

ABAD

= ACAB

BC

DC = ACBC

AB2 = AD acute AC (I) BC2 = DC acute AC (II) (I) व (II) ाची बषरीज करन AB2 + BC2 = AD acute AC + DC acute AC = AC (AD + DC) = AC acute AC (A-D-C) AB2 + BC2 = AC2

AC2 = AB2 + BC2

पायरागोरसचया परमयाचा वयतयास (Converse of Pythagorasrsquo theorem)

एखादा शरिकोणातील एका बाजचा वगम हा इतर दोन बाजचया वगााचया बरजइतका असल तर तो शरिकोण काटकोन शरिकोण असतोपक ः D ABC मधष AC2 = AB2 + BC2

साधय ः ETH ABC = 90deg

35

रचना ः D PQR असा काढा की AB = PQ BC = QR ETH PQR = 90deg शसदधता ः D PQR मधष ETH Q = 90deg PR2 = PQ2 + QR2 (पाथागोरसचा परमषावरन) = AB2 + BC2 (रचना) = AC2 (पक) PR2 = AC2 PR = AC D ABC D PQR (बाबाबा कसोटी) ETH ABC = ETH PQR = 90deg

(1) (a) समरपता आतण काटकोन तरिकोण

D PQR मध ष ETH Q = 90deg रषख QS ^ रषख PR षथष D PQR ~ D PSQ ~ D QSR अशा रीतीनष आकतीमधष तार होणारष सवम काटकोन तरिकोण परसपराशी समरप असतात

आकती 210

(b) भतमतीमधाचष परमष ः वरील आकतीत D PSQ ~ D QSR

QS2 = PS acute SR रषख QS हा रषख PS व रषख SR ा रषषाखडाचा भतमतीमध आहष

(2) पाथागोरसचष परमष ः काटकोन तरिकोणात कणामचा वगम हा इतर दोन बाजचा वगााचा बषरजषइतका असतो

(3) पाथागोरसचा परमषाचा वतास ः एखादा तरिकोणातील एका बाजचा वगम हा ता तरिकोणाचा उरलषला दोन बाजचा वगााचा बषरजषइतका असषल तर तो तरिकोण काटकोन तरिकोण असतो ातशवा आणखी एक गणधमम खप उपोगी आहष तोही लकात ठषवा(4) काटकोन तरिकोणात एक बाज कणामचा तनममी असषल तर ता बाजचा समोरील कोन 30deg असतो हा गणधमम 30deg-60deg-90deg परमषाचा वतास आहष

Q R

P

S

36

उदा (1) आकती 211 पाहा D ABC मधष ETH B= 90deg ETH A= 30deg AC=14 तर AB व BC काढा उकल ः D ABC मधष

ETHB = 90deg ETHA = 30deg ETHC = 60deg 30deg- 60deg- 90deg चा परमषानसार

BC = 1

2 acute AC AB = 3

2 acute AC

BC = 1

2 acute 14 AB = 3

2 acute 14

BC = 7 AB = 7 3

आकती 211

उदा (2) आकती 212 पाहा D ABC मधष रषख AD ^ रषख BC ETH C = 45deg BD = 5 आतण AC = 8 2 तर AD आतण BC काढाउकल ः D ADC मधष

उदा (3) आकती 213 मधष ETH PQR = 90deg रषख QN ^ रषख PR PN = 9 NR = 16 तर QN काढाउकल ः D PQR मध ष रषख QN ^ रषख PR QN2 = PN NR (भतमतीमधाचष परमष) QN = PN NRacute = 9 16acute

= 3 acute 4 = 12 आकती 213

A

B C

14

60deg

30deg

P 9

16

N

RQ

ETH ADC = 90deg ETH C = 45deg ETH DAC = 45deg

AD = DC = 1

2 8 2 (45deg-45deg-90deg चा परमषानसार)

DC = 8 AD = 8

BC = BD + DC

= 5 + 8

= 13आकती 212

CB

A

D

82

5

37

उदा (4) आकती 214 पाहा D PQR मध ष ETH PQR = 90deg रषख QS ^ रषख PR तर x y z चा तकमती काढा

उकल ः D PQR मधष ETH PQR = 90deg रषख QS ^ रषख PR

QS = PS SRacute (भतमतीमधाचष परमष)

= 10 8acute

= 5 2 8acute acute

= 5 16acute

= 4 5

x = 4 5 आकती 214RQ y

z

xS

8

10

P

ावरन x = 4 5 y = 12 z = 6 5

उदा (5) काटकोन तरिकोणात काटकोन करणाऱा बाज 9 सषमी व 12 सषमी आहषत तर ता तरिकोणाचा कणम काढाउकल ः D PQR मधष ETH Q = 90deg

D QSR मधष ETH QSR = 90deg QR2 = QS2 + SR2

= 4 52( ) + 82

= 16 acute 5 + 64 = 80 + 64 = 144 QR = 12

D PSQ मधष ETH QSP = 90deg PQ2 = QS2 + PS2

= 4 52( ) + 102

= 16 acute 5 + 100 = 80 + 100 = 180 = 36 acute 5 PQ = 6 5

PR2 = PQ2 + QR2 (पाथागोरसचा परमषानसार) = 92 + 122

= 81 + 144 PR2 = 225 PR = 15तरिकोणाचा कणम = 15 सषमी

आकती 215

P

Q R12

9

38

उदा (6) D LMN मधष l = 5 m = 13 n = 12 तर D LMN हा काटकोन तरिकोण आहष तकवा नाही तष ठरवा (l m n ा अनकरमष ETH L ETH M आतण ETH N ाचा समोरील बाज आहषत)

उकल ः l = 5 m = 13 n = 12 l2= 25 m2 = 169 n2 = 144 m2 = l2 + n2

पाथागोरसचा परमषाचा वतासानसार D LMN हा काटकोन तरिकोण आहष

उदा (7) आकती 216 पाहा D ABC मधष रषख AD ^ रषख BC तर तसदध करा ः AB2 + CD2 = BD2 + AC2

उकल ः पाथागोरसचा परमषानसार D ADC मध ष AC2 = AD2 + CD2 AD2 = AC2 - CD2 (I) D ADB मधष AB2 = AD2 + BD2 AD2 = AB2 - BD2 (II) AB2 - BD2 = AC2 - CD2 [(I) आतण (II) वरन] AB2 + CD2 = AC2 + BD2

1 खालील तरिकटापकी पाथागोरसची तरिकटष कोणती आहषत हष सकारण तलहा (1) (3 5 4) (2) (4 9 12) (3) (5 12 13) (4) (24 70 74) (5) (10 24 27) (6) (11 60 61)

आकती 217

आकती 218

2 आकती 217 मधष ETH MNP = 90deg रषख NQ ^ रषख MP MQ = 9 QP = 4 तर NQ काढा

P

Q M R

10

8

M

N P

Q

3 आकती 218 मध ष ETH QPR = 90deg रषख PM ^ रषख QR आतण Q-M-R PM = 10 QM = 8 ावरन QR काढा

आकती 216

C

AB

D

39

आकती 219

4 आकती 219 मधील D PSR मधष तदलषला मातहतीवरन RP आतण PS काढा

5 आकती 220 मधष तदलषला मातहतीवरन AB आतण BC काढणासाठी खालील कती पणम करा

AB = BC

ETH BAC =

AB = BC = acute AC

= acute 8

= acute 2 2

=

S

R

P

6

30deg

7 आकती 221 मध ष ETH DFE = 90deg रषख FG रषख ED जर GD = 8 FG = 12 तर (1) EG (2) FD आतण (3) EF काढा

D

FE

G 8

12

P

R M Q

आकती 221

आकती 222

6 एका चौरसाचा कणम 10 सषमी आहष तर ताचा बाजची लाबी व पररतमती काढा

8 एका आताची लाबी 35 सषमी व रदी 12 सषमी आहष तर ता आताचा कणामची लाबी काढा

9laquo आकती 222 मधष M हा बाज QR चा मधतबद आहष ETH PRQ = 90deg असषल तर तसदध करा PQ2 = 4PM2 - 3PR2

10laquo रसताचा दतफाम असलषला इमारतीचा तभती एकमषकीना समातर आहषत 58 मी लाबीचा तशडीचष एक टोक रसतावर ठषवलष असता ततचष वरचष टोक पतहला इमारतीचा 4 मीटर उच असलषला खखडकीपात टषकतष ताच तठकाणी तशडी ठषवन रसताचा दसऱा बाजस वळतवलास ततचष वरचष टोक दसऱा इमारतीचा 42 मीटर उच असलषला खखडकीपात षतष तर रसताची रदी काढा

आकती 220

A

CB

8

40

D ADB मधष पाथागोरसचा परमषानसारc2 = (a-x)2 + c2 = a2 - 2ax + x2 + (I)D ADC मध ष पाथागोरसचा परमषानसारb2 = p2 +

p2 = b2 - (II)आकती 223D

A

CxB

p

a - x

bc

(II) मधील p2 ची तकमत (I) मध ष ठषवन c2 = a2 - 2ax + x2 + b2 - x2

c2 = a2 + b2 - 2ax AB2 = BC2+ AC2 - 2BC acute DC

उदा(2) D ABC मधष ETH ACB हा तवशालकोन आहष रषख AD ^ रषख BC तर तसदध करा ः

AB2 = BC2 + AC2 + 2BC acute CD

समजा AD = p AC = b AB = c

BC = a DC = x मान

DB = a + x

D ADB मधष पाथागोरसचा परमषानसार

c2 = (a + x)2 + p2

c2 = a2 + 2ax + x2 + p2 (I)आकती 224

A

B

cb

x a

p

D C

पायरागोरसचया परमयाच उपयोजन

पाथागोरसचा परमषामधष काटकोन तरिकोणाचा कणम आतण काटकोन करणाऱा बाज ाचा परसपर सबध महणजषच काटकोनासमोरील बाज आतण इतर दोन बाजमधील सबध सातगतला आहष

तरिकोणातील लघकोनासमोरील बाजचा इतर दोन बाजशी असलषला सबध तसषच तवशालकोनासमोरील बाजचा इतर दोन बाजशी असलषला सबध पाथागोरसचा परमषानष ठरतवता षतोहष सबध खालील उदाहरणातन समजन घा

उदा(1) D ABC मधष ETH C हा लघकोन आहष रषख AD ^ रषख BC तर तसदध करा ः AB2 = BC2 + AC2 - 2BC acute DC तदलषला आकतीमधष AB = c AC = b AD = p BC = a DC = x मान BD = a - x

41

पक ः D ABC मधष M हा बाज BC चा मधतबद आहषसाधय ः AB2 + AC2 = 2AM2 + 2BM2

रचना ः रषख AD ^ रषख BC काढलाआकती 225

A

B CM D

शसद धता ः जर रषख AM हा रषख BC ला लब नसषल तर ETH AMB आतण ETH AMC ापकी एक तवशालकोन आतण दसरा लघकोन असतो आकतीमधष ETH AMB तवशालकोन आतण ETH AMC हा लघकोन आहष वरील उदाहरण (1) व उदाहरण (2) वरन AB2 = AM2 + MB2 + 2BM acute MD (I) आतण AC2 = AM2 + MC2 - 2MC acute MD AC2 = AM2 + MB2 - 2BM acute MD ( BM = MC) (II) (I) व (II) ाची बषरीज करन AB2 + AC2 = 2AM2 + 2BM2

जर रषख AM ^ बाज BC तर ा परमषाची तसद धता तमही तलहा ा उदाहरणावरन तरिकोणाचा बाज आतण मधगा ाचा परसपरसबध समजतो ालाच lsquoअपोलोतनसचष परमषrsquo महणतात

उदा(1) D PQR मधष रषख PM ही मधगा आहष PM = 9 आतण PQ2 + PR2 = 290 तर QR काढाउकल ः D PQR मधष रषख PM ही मधगा आहष M हा रषख QR चा मधतबद आहष

तसषच D ADC मधष b2 = x2 + p2 p2 = b2 - x2 (II) (I) मधष (II) मधील p2 ची तकमत घालन c2 = a2 + 2ax + x2 + b2 - x2

= a2 + 2ax + b2

AB2 = BC2+ AC2 + 2BC acute CD

अपोलोशनयसच परमय (Appolloniusrsquo Theorem)

D ABC मधय शबद M हा बाज BC चा मधयशबद असल तर AB2 + AC2 = 2AM2 + 2BM2

42

P

Q

9

RM

आकती 226

आकती 227

QM = MR = 1

2QR

PQ2 + PR2 = 2PM2 + 2QM2 (अपोलोतनसचा परमषानसार) 290 = 2 acute 92 + 2QM2

290 = 2 acute 81 + 2QM2

290 = 162 + 2QM2

2QM2 = 290 - 162 2QM2 = 128 QM2 = 64 QM = 8 QR = 2 acute QM = 2 acute 8 = 16

उदा(2) समभज चौकोनाचा बाजचा वगााची बषरीज ताचा कणााचा वगााचा बषरजषइतकी असतष हष तसदध करा

पक ः c PQRS हा समभज चौकोन असन कणम PR आतण SQ एकमषकाना T ा तबदत छषदतातसाधय ः PS2 + SR2 + QR2 + PQ2 = PR2 + QS2

P

Q

T

R

S

शसदधता ः समभज चौकोनाचष कणम परसपराना दभागतात अपोलोतनसचा परमषानसार PQ2 + PS2 = 2PT2 + 2QT2 (I) QR2 + SR2 = 2RT2 + 2QT2 (II) (I) व (II) ाची बषरीज करन PQ2 + PS2 + QR2 + SR2 = 2(PT2 + RT2) + 4QT2

PS2 + SR2 + QR2 + PQ2 = 2(PT2 + PT2) + 4QT2 (RT = PT) = 4PT2 + 4QT2

= (2PT)2 + (2QT)2

= PR2 + QS2

(हष उदाहरण पाथागोरसचा परमषाचा उपोग करनही सोडतवता षईल)

43

1 D PQR मधष तबद S हा बाज QR चा मधतबद आहष जर PQ = 11 PR = 17 PS = 13 असषल तर QR ची लाबी काढा2 D ABC मध ष AB = 10 AC = 7 BC = 9 तर तबद C मधन बाज AB वर काढलषला मधगषची लाबी तकती

3 आकती 228 मधष रषख PS ही D PQR ची मधगा आहष आतण PT ^ QR तर तसदध करा

(1) PR2 = PS2 + QR acute ST + QR2

2

(2) PQ2 = PS2 - QR acute ST + QR

2

4 आकती 229 मध ष D ABC चा बाज BC चा तबद M हा मधतबद आहष जर AB2 + AC2 = 290 सषमी AM = 8 सषमी तर BC काढा

5laquo आकती 230 मधष दाखतवलानसार T हा तबद आत PQRS चा अतभामगात आहष तर तसदध करा TS2 + TQ2 = TP2 + TR2

P

Q T RS

आकती 228A

B CMआकती 229

P Q

A BT

RSआकती 230

1 खालील बहपामी परशनाचा तदलषला उततरापकी अचक पाम तनवडा (1) खालीलपकी कोणतष पाथागोरसचष तरिकट आहष (A) (1 5 10) (B) (3 4 5) (C) (2 2 2) (D) (5 5 2) (2) काटकोन तरिकोणात काटकोन करणाऱा बाजचा वगााची बषरीज 169 असषल तर ताचा कणामची लाबी तकती (A) 15 (B) 13 (C) 5 (D) 12

(आकतीत दाखवलापरमाणष A-T-B असा रषख AB || बाज SR काढा)

44

(3) खालीलपकी कोणता तारखषतील सखा हष पाथागोरसचष तरिकट आहष (A) 150817 (B) 160816 (C) 3517 (D) 4915 (4) बाजचा लाबी a b c असलषला तरिकोणामध ष जर a2 + b2 = c2 असषल तर तो कोणता परकारचा तरिकोण असषल (A) तवशालकोन तरिकोण (B) लघकोन तरिकोण (C) काटकोन तरिकोण (D)समभज तरिकोण (5) एका चौरसाचा कणम 10 2 सषमी असलास ताची पररतमती असषल (A) 10 सषमी (B) 40 2 सषमी (C) 20 सषमी (D) 40 सषमी (6) एका काटकोन तरिकोणात कणामवरील तशरोलबामळष कणामचष 4 सषमी व 9 सषमी लाबीचष दोन भाग होतात तर ता तशरोलबाची लाबी तकती (A) 9 सषमी (B) 4 सषमी (C) 6 सषमी (D) 2 6 सषमी (7) काटकोन तरिकोणामधष काटकोन करणाऱा बाज 24 सषमी व 18 सषमी असतील तर ताचा कणामची लाबी असषल (A) 24 सषमी (B) 30 सषमी (C) 15 सषमी (D) 18 सषमी (8) D ABC मधष AB = 6 3 सषमी AC = 12 सषमी आतण BC = 6 सषमी तर ETH A चष माप तकती (A) 30deg (B) 60deg (C) 90deg (D) 45deg2 खालील उदाहरणष सोडवा

(1) एका समभज तरिकोणाची बाज 2a आहष तर ताची उची काढा

(2) 7 सषमी 24 सषमी 25 सषमी बाज असलषला तरिकोण काटकोन तरिकोण होईल का सकारण तलहा

(3) आताचा बाज 11 सषमी व 60 सषमी असतील तर ताचा कणामची लाबी काढा

(4) एका काटकोन तरिकोणामधष काटकोन करणाऱा बाज 9 सषमी व 12 सषमी आहषत तर ता तरिकोणाचा कणामची लाबी काढा

(5) समखविभज काटकोन तरिकोणाची बाज x आहष तर ताचा कणामची लाबी काढा

(6) D PQR मधष PQ = 8 QR = 5 PR = 3 तर D PQR हा काटकोन तरिकोण आहष का असलास ताचा कोणता कोन काटकोन आहष

3 D RST मधष ETH S = 90deg ETH T = 30deg RT = 12 सषमी तर RS व ST काढा

4 आताचष कषरिफळ 192 चौसषमी असन ताची लाबी 16 सषमी आहष तर आताचा कणामची लाबी काढा

5laquo एका समभज तरिकोणाची उची 3 सषमी आहष तर ता तरिकोणाचा बाजची लाबी व पररतमती काढा

6 D ABC मध ष रषख AP ही मधगा आहष जर BC = 18 AB2 + AC2 = 260 तर AP काढा

45

7laquo D ABC हया समभज करिकोर आहय पयाया BC वर P कबद असया आहय की PC = 1

3 BC जर AB = 6 सयमी

तर AP कयाढया

8 आकती 231 मधय M-Q-R-N कदलयलया मयाकहतीवरन कसदध करयाः PM = PN = 3 acute a

9 कसदध करयाः समयातरभज चौकोनयाचया करयााचया वगयााची बयरीज ही तया चौकोनयाचया बयाजचया वगयााचया बयरजयबरोबर असतय

10 पररयाली आकर परसयाद एकयाच कठकयारयावरन पवण आकर उततर कदियलया सयारखया वयगयानय कनघयालयदोन तयासयानतर तयाचयामधील अतर 15 2 ककमी असयल तर तयाचया तयािी वयग कयाढया

11laquo D ABC मधय ETH BAC = 90deg रयख BL व रयख CM या D ABC चया मधगया आहयत तर कसदध करया ः 4(BL2 + CM2) = 5 BC2

12 एकया समयातरभज चौकोनयाचया लगतचया दोन बयाजचया वगयााची बयरीज 130 सयमी असन तयाचया एकया करयाणची लयाबी 14 सयमी आहय तर तयाचया दसऱया करयाणची लयाबी ककती

13 D ABC मधय रयख AD ^ रयख BC आकर DB = 3CD तर कसदध करया ः 2AB2 = 2AC2 + BC2

आकती 232

A

B

C

M

L

आकती 233

A

BC D

14laquo समदविभज करिकोरयामधय एकरप बयाजची लयाबी 13 सयमी असन तयाचया पयाया 10 सयमी आहय तर तया करिकोरयाचया मधगयासपयातयापयासन पयायाचया समोरील किरोकबदपातचय अतर कयाढया

आकती 231

P

QM Naa

aRS

a a

46

15 समलब चौकोन ABCD मधषरषख AB || रषख DCरषख BD ^ रषख ADरषख AC ^ रषख BCजर AD = 15 BC = 15 आतण AB = 25असषल तर A(c ABCD) तकती

P

Q60deg 60deg

T RS

आकती 234

15 15

A B

CD

25

17laquo रषख PM ही D PQR ची मधगा आहष जर PQ = 40 PR = 42 आतण PM = 29 तर QR काढा

18 रषख AM ही D ABC ची मधगा आहष जर AB = 22 AC = 34 BC = 24 तर बाज AM चीलाबी काढा

ICT Tools or Links

इटरनषटवरन lsquoStory on the life of Pythagorasrsquo ची मातहती तमळवा Slide show तार करा

rrr

16laquo आकतीमधष D PQR हा समभज तरिकोण असन तबद S हा रषख QR वर अशा परकारष आहष की

QS = 1

3 QR तर तसदध करा9 PS2 = 7 PQ2

आकती 235

47

bull एका दोन तीन तबदतन जाणारी वतमळष bull वततछषतदका व सपतशमकाbull सपशमवतमळष bull वतमळकसbull अततलमखखत कोन व अतखातडत कस bull चकरी चौकोनbull सपतशमका छषतदका कोनाचष परमष bull जीवाचा छषदनाचष परमष

वतमळ ा आकतीसबधीचा कदर तरिजा वास जीवा अतभामग बाहयभाग ा सजाचा चागला पररच तमहाला झाला आहष एकरप वतमळष समकदरी वतमळष व छषदणारी वतमळष ा सजा आठवा

हा परशन सोडतवणासाठी उपोगी पडणारी परमषष आतण गणधमम आठवन तलहा(1) वतमळकदरातन जीवषवर काढलषला लब (2) (3) हष गणधमम वापरन परशन सोडवा

C

D EF

आकती 31

कती I ः सोबतचा आकतीत कदर C असलषला वतमळाची रषख DE ही जीवा आहष रषख CF ^ जीवा DE जर वतमळाचा वास 20 सषमी आतण DE = 16 सषमी असषल तर CF = तकती

इतता नववीत अभासलषलष जीवाचष गणधमम पढील कतीचा सहायानष आठवा

एकरप वतमळष समकदरी वतमळष छषदणारी वतमळष

3 वतमळ

48

कती II ः सोबतचा आकतीत कदर O असलषला वतमळाची रषख QR ही जीवा आहष तबद P हा जीवा QR चा मधतबद आहष जर QR = 24 OP = 10 तर वतमळाची तरिजा काढा

हा परशन सोडतवणासाठी उपोगी पडणारी परमषष तलहा(1) (2) ा परमषाचा उपोग करन उदाहरण सोडवा

कती III ः आकतीत वतमळकदर M आतण रषख AB हा वास आहष रषख MS ^ जीवा AD रषख MT ^ जीवा AC ETHDAB ETHCAB तर तसद ध करा जीवा AD जीवा AC हा परशन सोडतवणासाठी खालीलपकी कोणतष परमष वापराल (1) वतमळाचा दोन जीवा वतमळकदरापासन समदर असतील तर ता समान लाबीचा असतात(2) एकाच वतमळाचा एकरप जीवा वतमळकदरापासन समदर असतात ातशवा तरिकोणाचा एकरपतषची खालीलपकी कोणती कसोटी उपोगी पडषल (1) बाकोबा (2) कोबाको (3) बाबाबा (4) कोकोबा (5) कणमभजा ोग ती कसोटी आतण परमष वापरन तसद धता तलहा

एका दोन तीन शबदतन जाणारी वतमळ

सोबतचा आकतीत एका परतलात तबद A दाखतवला आहष कदरतबद P Q R असणारी तीनही वतमळष A ा तबदतन जातात तबद A मधन जाणारी आणखी तकती वतमळष असतील असष तमहाला वाटतष

तमचष उततर lsquoतकतीहीrsquo तकवा lsquoअसखrsquo असष असषल तर तष बरोबर आहष

एकाच तबदतन जाणारी असख वतमळष असतात

आकती 32

आकती 33

आकती 34

PQ R

O

A

T

D

B

C

SM

P

A

Q

R

49

सोबतचा आकतीतील A आतण B ा दोन तभनन तबदतन जाणारी तकती वतमळष असतील

A B C ा ततनही तबदतन जाणारी तकती वतमळष असतीलपढष तदलषला कतीतन काही उततर तमळतष का पाहा

कती I ः तबद A आतण तबद B ाना जोडणारा रषख AB काढा ा रषषाखडाची लबदभाजक रषषा l काढा रषषा l वरील तबद P हष कदर आतण PA तरिजा घषऊन वतमळ काढा हष वतमळ तबद B मधनही जातष हष पाहा ाचष कारण शोधा (लबदभाजक रषषषचा गणधमम आठवा)

रषषा l चा Q हा आणखी एक तबद घषऊन कदर Q आतण तरिजा QA घषऊन काढलषलष वतमळही तबद B मधन जाईल का तवचार करा तबद A आतण तबद B मधन जाणारी आणखी तकती वतमळष काढता षतील ताचा कदरतबदची सथानष कोठष असतील कती II ः नकरषषी तबद A B C काढा ा ततनही तबदतन जाणारष वतमळ काढणासाठी का करावष लागषल ा ततनही तबदतन जाणारष वतमळ काढा ाच तीन तबदतन जाणारष आणखी एक वतमळ काढता षईल का तवचार करा

कती III ः एकरषषी असलषलष D E F हष तबद काढा ा ततनही तबदतन जाणारष वतमळ काढणाचा परतन करा असष वतमळ काढता षत नसषल तर तष का काढता षत नाही ाचा तवचार करा

(1) एका तबदतन जाणारी असख वतमळष असतात(2) दोन तभनन तबदतन जाणारी असख वतमळष असतात(3) तीन नकरषषी तबदतन जाणारष एक आतण एकच वतमळ असतष(4) तीन एकरषषी तबदतन जाणारष एकही वतमळ नसतष

आकती 35

आकती 36

आकती 37

A

B

C

A B

C

PQ

A B

l

50

कदर O असलषलष एक परषसष मोठष वतमळ काढा ता वतमळाची रषख OP ही एक तरिजा काढा ा तरिजषला लब असणारी एक रषषा काढा ही रषषा आतण वतमळ ाचा छषदनतबदना A व B नावष दा कलपना करा की रषषा AB ही तबद O कडन तबद P कडष अशी सरकत आहष की ततची आधीची खसथती नवा खसथतीला समातर राहील महणजषच सरकलषली रषषा AB आतण तरिजा ातील कोन काटकोनच राहील

हष घडताना तबद A आतण B वतमळावरन परसपराचा जवळ जवळ षऊ लागतील सरतष शषवटी तष तबद P मधष सामावलष जातील

ा खसथतीत रषषा AB ची नवी खसथती ही वतमळाची सपतशमका होईल परत तरिजा OP आतण रषषा AB ची नवी खसथती ातील कोन मारि काटकोनच राहील

ावरन लकात षतष की वतमळाचा कोणताही तबदतन जाणारी सपतशमका तो तबद जोडणाऱा तरिजषला लब असतष हया गणधमामला lsquoसपतशमका - तरिजा परमषrsquo महणतात

आकतीमधष रषषा l व वतमळ ाचामधष एकही सामाईक तबद नाहीरषषा m व वतमळ ाचामधष तबद P हा एकच सामाईक तबद आहष षथष m ही वतमळाची सपतशमका आहष व तबद

P हा सपशमतबद आहष असष महणतातरषषा n व वतमळ ाना दोन सामाईक तबद आहषत Q व R हष रषषा व वतमळ ाचष छषदनतबद आहषत व रषषा n ही

वततछषतदका आहष असष महणतात

वतमळाचा सपतशमकचा एक महतवाचा गणधमम एका कतीतन समजन घा

कती ः

आकती 38

आकती 39

AR

B

l m n

CP

Q

A

P

OB

वततछशदका आशण सपशिमका (Secant and tangent)

51

शसद धता ः समजा रषषा l ही रषख OA ला लब नाही समजा तबद O मधन l वर OB हा लब टाकला साहतजकच तबद B हा तबद A पषका तभनन असला पातहजष (आकती 311 पाहा)

रषषा l वर तबद C असा घषता षईल की A-B-C आतण BA = BC

आता D OBC आतण D OBA ामध ष

रषख BC रषख BA (रचना)

सपशिमका - शरिजया परमय (Tangent theorem)

परमय ः वतमळाचया कोणतयाही शबदतन जाणारी सपशिमका तो शबद कदािी जोडणाऱया शरिजयला लब असत हष परमष अपरतक पद धतीनष तसद ध करता षतष

पक ः कदर O असलषला वतमळाला रषषा l ही तबद A मध ष सपशम करतष रषख OA ही तरिजा आहषसाधय ः रषषा l ^ तरिजा OA

ETH OBC ETHOBA (परत षक काटकोन)

रषख OB रषख OB

D OBC D OBA (बाकोबा कसोटी)

OC = OA परत रषख OA ही तरिजा आहष महणन

रषख OC ही सद धा तरिजा होईल

तबद C हा वतमळावर असषल

महणजष रषषा l ही वतमळाला A आतण C ा दोन तबदत छषदषल

हष तवधान पकाशी तवसगत आहष कारण रषषा l सपतशमका आहष

महणजष रषषा l वतमळाला एकाच तबदत छषदतष (पक)

रषषा l ही तरिजा OA ला लब नाही हष असत आहष

रषषा l ^ तरिजा OA

O A

l

आकती 310

आकती 311

ABC

O

l

52

आपण तशकलषला कोणता परमषाचा उपोग करन काटकोन तरिकोणात कणम ही सवामत मोठी बाज असतष हष तसद ध करता षईल

सपशिमका-शरिजया परमयाचा वयतयास (Converse of tangent theorem)

परमय ः वतमळाचया शरिजयचया बाहयटोकातन जाणारी आशण तया शरिजयला लब असणारी रषा तया वतमळाची सपशिमका असत

पक ः रषख MN ही कदर M असलषला वतमळाची तरिजा आहष तबद N मधन जाणारी रषषा l ही तरिजा MN ला लब आहषसाधय ः रषषा l ही ता वतमळाची सपतशमका आहषशसद धता ः रषषा l चा P हा N खषरीज दसरा कोणताही तबद घषतला रषख MP काढला

आता D MNP मधष ETH N हा काटकोन आहष रषख MP हा कणम आहष रषख MP gt रषख MN तबद P हा वतमळावर असणष शक नाही महणजष रषषा l चा N खषरीज इतर कोणताही तबद वतमळावर नाही रषषा l ही वतमळाला N ा एकाच तबदत छषदतष रषषा l ही ता वतमळाची सपतशमका आहष

चला चचाम करया

कदर A असणाऱा वतमळावरील B हा एक तबद तदला आहष ा वतमळाची तबद B मधन जाणारी सपतशमका काढावाची आहष

B ा तबदतन जाणाऱा असख रषषा असतात तापकी कोणती रषषा ा वतमळाची सपतशमका असषल ती कशी काढता षईल

तबद B मधन जाणाऱा एकापषका जासत सपतशमका अस शकतील का

आकती 312

आकती 314

M

आकती 313N P l

A B

C

D

A

BC

53

वतमळाचा बाहयभागातील D ा तबदतन जाणाऱा ता वतमळाचा सपतशमका अस शकतील का असलास अशा तकती सपतशमका असतील

चचचतन तमचा लकात आलषच असषल की आकतीत दाखवलापरमाणष वतमळाचा बाहयभागातन ता वतमळाला दोन सपतशमका काढता षतील

सोबतचा आकतीत रषषा DP आतण रषषा DQ ा सपतशमका कदर A असलषला वतमळाला तबद P आतण तबद Q मध ष सपशम करतात

रषख DP आतण रषख DQ ाना सपतशमकाखड महणतातआकती 315

उदा (1) तदलषला आकतीत कदर D असलषलष वतमळ ETHACB चा बाजना तबद A आतण B मधष सपशम करतष जर ETHACB = 52deg तर ETHADB चष माप काढाउकल ः चौकोनाचा चारही कोनाचा मापाची बषरीज 360deg असतष ETHACB + ETHCAD + ETHCBD + ETHADB = 360deg 52deg + 90deg + 90deg + ETHADB = 360deg सपतशमका-तरिजा परमष ETHADB + 232deg = 360deg ETHADB = 360deg - 232deg = 128deg

P

A

Q

D

P

A

Q

D

A

D

B

C

आकती 316

आकती 317

वतमळाचा अतभामगातील C ा तबदतन ता वतमळाला सपतशमका काढता षतील का

सपशिमकाखडाच परमय (Tangent segment theorem)

परमय ः वतमळाचया बाहयभागातील शबदपासन तया वतमळाला काढलल सपशिमकाखड एकरप असतात शषजारील आकतीचा आधारष पक आतण साध ठरवा तरिजा AP आतण AQ काढन ा परमषाची खाली तदलषली तसद धता ररकामा जागा भरन पणम करा

शसद धता ः D PAD आतण D QAD ामधष बाज PA (एकाच वतमळाचा तरिजा) बाज AD बाज AD ETHAPD = ETHAQD = 90deg (सपतशमकचष परमष) D PAD D QAD बाज DP बाज DQ

54

उदा (2) रषषा a आतण रषषा b हया कदर O असणाऱा वतमळाचा समातर सपतशमका वतमळाला अनकरमष तबद P व Q मधष सपशम करतात तर रषख PQ हा ता वतमळाचा वास आहष हष तसदध कराशसद धता ः तबद O मधन रषषा a ला समातर रषषा c काढा रषषा a c b ावर अनकरमष तबद T S R आकतीत दाखवलापरमाणष घा तरिजा OP आतण तरिजा OQ काढा आता ETHOPT = 90deg सपतशमका -तरिजा परमष ETHSOP = 90deg (अतककोन गणधमम) (I) आता रषषा a || रषषा c (रचना) रषषा a || रषषा b (पक) रषषा b || रषषा c आता ETHOQR = 90deg सपतशमका -तरिजा परमष ETHSOQ = 90deg(अतककोन गणधमम) (II) (I) व (II) वरन ETHSOP + ETHSOQ = 90deg + 90deg = 180deg तकरण OP आतण तकरण OQ हष तवरद ध तकरण आहषत तबद P O Q एकरषषी आहषत रषख PQ हा वतमळाचा वास आहष

आकती 318

P T

O S

Q R

a

b

c

पावसाळात थोडष पाणी साठलषला रसतावरन मोटार साकल जात असताना ततचा मागील चाकावरन उडणाऱा पाणाचा धारा तमही पातहला असतील ता धारा वतमळाचा सपतशमकापरमाणष तदसतात हष तमचा लकात आलष असषल ता धारा तशाच का असतात ाची मातहती तमचा तवजान तशककाकडन घा

तफरणाऱा भईचकरातन उडणाऱा तठणगा सरीला धार लावताना उडणाऱा तठणगा ाचष तनरीकण कराताही सपतशमकापरमाणषच तदसतात का

(1) सपतशमका-तरिजा परमष ः वतमळाचा कोणताही तबदतन जाणारी सपतशमका तो तबद कदराशी जोडणाऱा तरिज षला लब असतष (2) सपतशमका-तरिजा परमषाचा वतास ः वतमळाचा तरिजषचा बाहयटोकातन जाणारी आतण ता तरिजषला लब असणारी रषषा ता वतमळाची सपतशमका असतष (3) वतमळाचा बाहयभागातील तबदपासन ता वतमळाला काढलषलष सपतशमकाखड एकरप असतात

चाकाची धावणाची तदशा

दाखतवलापरमाणष घा तरिजा OP आतण तरिजा OQ काढा

55

1 सोबतचा आकतीत कदर C असलषला वतमळाची तरिजा 6 सषमी आहष रषषा AB ा वतमळाला तबद A मध ष सपशम करतष ा मातहतीवरन खालील परशनाची उततरष दा (1) ETHCAB चष माप तकती अश आहष का (2) तबद C हा रषषा AB पासन तकती अतरावर आहष का (3) जर d(AB)= 6 सषमी तर d(BC) काढा (4) ETHABC चष माप तकती अश आहष का

2 शषजारील आकतीत कदर O असलषला वतमळाचा बाहयभागातील R ा तबदपासन काढलषलष RM आतण RN हष सपतशमकाखड वतमळाला तबद M आतण N मध ष सपशम करतात जर OR = 10 सषमी व वतमळाची तरिजा 5 सषमी असषल तर -

M

N

O R

M

N

O R

आकती 320

आकती 321

A B

C

आकती 319

(1) परतषक सपतशमकाखडाची लाबी तकती (2) ETHMRO चष माप तकती (3) ETHMRN चष माप तकती

3 रषख RM आतण रषख RN हष कदर O असलषला वतमळाचष सपतशमकाखड आहषत तर रषख OR हा ETHMRN आतण ETHMON ा दोनही कोनाचा दभाजक आहष हष तसद ध करा

4 तरिजा 45 सषमी असलषला वतमळाचा दोन सपतशमका परसपराना समातर आहषत तर ता सपतशमकातील अतर तकती हष सकारण तलहा

ICT Tools or Links

सगणकावर तजओतजबा ा सॉफटवषअरचा साहायानष वतमळ व वतमळाचा बाहयभागातील तबदतन सपतशमका काढन सपतशमकाखड एकरप आहषत ाचा पडताळा घा

56

आकती 323

आकती 322

X Y Z

Y X Z

कती I ः आकती 322 मधष दाखवलापरमाणष X-Y-Z हष एकरषषी तबद काढा कदर X व तरिजा XY घषऊन वतमळ काढा कदर Z व तरिजा YZ घषऊन दसरष वतमळ काढा ही दोन वतमळष Y ा एकाच तबदत एकमषकाना छषदतात हष अनभवा तबद Y मधन रषख XZ ला लबरषषा काढा ही रषषा दोनही वतमळाची सामाईक सपतशमका आहष हष लकात घा

कती II ः आकती 323 मधष दाखवलापरमाणष Y-X-Z हष एकरषषी तबद काढा कदर Z आतण तरिजा ZY घषऊन वतमळ काढा कदर X आतण तरिजा XY घषऊन वतमळ काढा दोनही वतमळष Y ा एकाच तबदत छषदतात हष अनभवा तबद Y मधन रषख YZ ला लबरषषा काढा ही रषषा दोनही वतमळाची सामाईक सपतशमका आहष हष लकात घा

वरील कतीतन तमचा लकात आलष असषल की दोनही आकतातील वतमळष एकाच परतलात आहषत आतण एकमषकाना एकाच तबदत छषदतात अशा वतमळाना एकमषकाना सपशम करणारी वतमळष तकवा सपिमवतमळ महणतात

सपशमवतमळाची वाखा पढीलपरमाणष करता षतषएका परतलातील दोन वतमळष ताच परतलातील एका रषषषला एकाच तबदत छषदत असतील तर ताना सपशमवतमळष

महणतात ती रषषा दोनही वतमळाची सामाईक सपतशमका असतषदोनही वतमळष व रषषा ाचातील सामाईक तबदला सामाईक सपिमशबद महणतात

सपिम वतमळ (Touching circles)

57

आकती 324 मध ष कदर R व S असणारी वतमळष रषषा l ला T ा एकाच तबदत छषदतात महणन ती दोनही सपशमवतमळष असन रषषा l ही ताची सामाईक सपतशमका आहष हया आकतीतील वतमळष बाहयसपिशी आहषत

आकती 325 मधील वतमळष अतसपमिशी असन रषषा p ही ताची सामाईक सपतशमका आहष

शवचार करया

(1) आकती 324 मधील वतमळापरमाणष परसपराना सपशम करणाऱा वतमळाना बाहयसपशशी वतमळष का महणतात

(2) आकती 325 मधील वतमळापरमाणष एकमषकाना सपशम करणाऱा वतमळाना अतसपमशशी वतमळष का महणतात

(3) आकती 326 मध ष कदर A व B असणाऱा वतमळाचा तरिजा अनकरमष 3 सषमी व 4 सषमी असतील तर-

(i) आकती 326 (a) मधष d(AB) तकती असषल

(ii) आकती 326 (b) मधष d(AB) तकती असषल

आकती 324

R T S

l p

KN M

आकती 325

सपिमवतमळाच परमय (Theorem of touching circles)

परमय ः परसपराना सपिम करणाऱया वतमळाचा सपिमशबद तया वतमळाच कदशबद जोडणाऱया रषवर असतो

आकती 326

A C B

l

(a)

A

C

B

l

(b)

58

आकती 327

A

P R Q

B

आकती 328

A

l

B

CD

E

पक ः कदर A व B असणाऱा वतमळाचा सपशमतबद C आहषसाधय ः तबद C हा रषषा AB वर आहषशसद धता ः समजा रषषा l ही सपशमवतमळाची तबद C मधन जाणारी सामाईक सपतशमका आहष रषषा l ^ रषख AC रषषा l ^ रषख BC रषख AC व रषख BC हष रषषा l ला लब आहषत तबद C मधन रषषा l ला एकच लब रषषा काढता षतष C A B एकरषषी आहषत

(1) परसपराना सपशम करणाऱा वतमळाचा सपशमतबद ता वतमळाचष कदरतबद जोडणाऱा रषषषवर असतो (2) बाहयसपशशी वतमळाचा कदरातील अतर ताचा तरिजाचा बषरजषएवढष असतष (3) अतसपमशशी वतमळाचा कदरातील अतर ताचा तरिजातील फरकाएवढष असतष

सरावसच 321 दोन अतसपमशशी वतमळाचा तरिजा अनकरमष 35 सषमी व 48 सषमी आहषत तर ताचा कदरातील अतर तकती आहष2 बाहयसपशशी असलषला दोन वतमळाचा तरिजा अनकरमष 55 सषमी व 42 सषमी असतील तर ताचा कदरातील अतर तकती असषल3 तरिजा अनकरमष 4 सषमी आतण 28 सषमी असणारी (i) बाहयसपशशी (ii) अतसपमशशी वतमळष काढा4 आकती 327 मधष कदर P आतण Q असलषली वतमळष परसपराना तबद R मधष सपशम करतात तबद R मधन जाणारी रषषा ता वतमळाना अनकरमष तबद A व तबद B मध ष छषदतष तर -

(1) रषख AP || रषख BQ हष तसद ध करा (2) D APR ~ D RQB हष तसद ध करा (3) जर ETH PAR चष माप 35deg असषल तर ETH RQB चष माप ठरवा

5 आकती 328 मधष कदर A व B असणारी वतमळष परसपराना तबद E मध ष सपशम करतात रषषा l ही ताची सामाईक सपतशमका ताना अनकरमष C व D मध ष सपशम करतष जर वतमळाचा तरिजा अनकरमष 4 सषमी व 6 सषमी असतील तर रषख CD ची लाबी तकती असषल

59

वततछषतदकमळष वतमळाचष दोन भागात तवभाजन होतष ापकी कोणताही एक भाग आतण वततछषतदकचष वतमळावरील तबद ानी तमळन होणाऱा आकतीला वतमळकस महणतात

वतमळ आतण वततछषतदका ाचा छषदनतबदना कसाचष अततबद तकवा कसाची टोक महणतात

जा कोनाचा तशरोतबद वतमळकदरावर असतो ता कोनाला कदीय कोन महणतात

आकती 330 मध ष कदर O असलषलष वतमळ असन ETH AOB हा कदरी कोन आहष

वततछषतदकपरमाणषच कदरी काषनामळषसद धा वतमळाचष दोन कसात तवभाजन होतष

आकती 329

Y

kC

A BX

कसाच माप (Measure of an arc)काही वषळा दोन कसाची तलना करणाची गरज पडतष तासाठी कसाचा मापाची वाखा पढीलपरमाणष ठरवलषली

आहष

वतमळकस (Arc of a circle)

आकती 329 मधष वततछषतदका k मळष कदर C असलषला वतमळाचष AYB आतण AXB हष दोन कस तार झालष आहषत

वततछषतदकचा जा बाजला वतमळकदर असतष ता बाजचा कसाला शविालकस आतण तवरद ध बाजचा कसाला लघकस महणतात आकती 329 मधष कस AYB हा तवशालकस आतण कस AXB हा लघकस आहष एखादा वतमळकसाचष नाव तीन अकरष वापरन तलतहलानष तो नषमका समजतो परत काही सतदगधता तनमामण होत नसषल तर लघकसाचष नाव ताचष अततबद दशमवणाऱा दोन अकरानी तलतहतात उदाहरणाथम आकती 329 मधील कस AXB हा कस AB असाही तलतहतात

आपण कसाचष नाव तलतहणासाठी हीच पद धत वापरणार आहोत

कदीय कोन (Central angle)

आकती 330

P

Q

Oq B

A

तवशालवतमळकस

लघवतमळकस

60

आकती 331

A

F

B

40deg70deg

70deg

G

C

D

I

E

J

मापाचष कोन काढा ा कोनाचा मापापषका वषगळष माप असणारा ETH ICJ काढा

ETH DCE चा भजा आतील वतमळाला छषदलामळष तमळणाऱा कसाला AB नाव दा

कसाचा मापाचा वाखषवरन कस AB आतण कस DE ाची मापष समान आहषत हष लकात आलष का हष कस परसपराशी ततोतत जळतील का तनखशचतच नाही जळणार

आता C-DE C-FG आतण C-IJ ा वतमळपाकळा कापन वषगळा करा ता एकमषकीशी जळवन DEFG आतण IJ ापकी कोणतष कस परसपराशी जळतात हष पाहाा कतीवरन दोन कस एकरप होणासाठी lsquoताची मापष समान असणषrsquo परषसष नाही हष लकात आलष कादोन कस एकरप असणासाठी आणखी कोणती अट पणम होणष आवशक आहष असष तमहाला वाटतष

वरील कतीवरन लकात षतष की -दोन कसाचया शरिजया आशण तयाची माप समान असतात तवहा त दोन कस परसपरािी एकरप असतात lsquoकस DE व कस GF एकरप आहषतrsquo हष तचनहानष कस DE कस GF असष दशमवतात

(1) लघकसाचष माप ताचा सगत कदरी काषनाचा मापाएवढष असतष आकती 330 मधष कदरी ETH AOB चष माप q आहष महणन लघकस APB चष माप q हषच आहष(2) तवशालकसाचष माप = 360deg - सगत लघकसाचष माप आकती 330 मधष तवशालकस AQB चष माप = 360deg - कस APB चष माप = 360deg - q (3) अधमवतमळकसाचष माप महणजषच अधमवतमळाचष माप 180deg असतष(4) पणम वतमळाचष माप 360deg असतष

कसाची एकरपता (Congruence of arcs)

जषवहा दोन परतली आकता एकमषकीशी ततोतत जळतात तषवहा ता आकता एकमषकीशी एकरप आहषत असष महणतातएकरपतषचा ा सकलपनषचा आधारष समान मापाचष कोन एकरप असतात हष आपलाला माहीत आहष

ताचपरमाणष दोन कसाची मापष समान असतील तर तष दोन कस एकरप असतील काा परशनाचष उततर पढील कती करन शोधा

कती ःआकती 331 मधष दशमवलापरमाणष कदर C असणारी दोन वतमळष काढा ETH DCE आतण ETH FCG हष समान

61

परत कस ABC आतण कस BCE ामधष एकापषका अतधक तबद [कस BC चष सवम] सामाईक आहषत महणन कस ABC आतण कस BCE ाचा मापाची बषरीज कस ABE चा मापाएवढी नसतषपरमय ः एकाच वतमळाचया (शकवा एकरप वतमळाचया) एकरप कसाचया सगत जीवा एकरप असतात

आकती 332 मधष A B C D E हष एकाच वतमळाचष तबद आहषत ा तबदमळष अनषक कस तार झालष आहषत ापकी कस ABC आतण कस CDE ामधष C हा एक आतण एकच तबद सामाईक आहष महणन कस ABC आतण कस CDE ाचा मापाची बषरीज कस ACE चा मापाएवढी होतषm(कस ABC) + m(कस CDE) = m(कस ACE)

पक ः कदर B असलषला वतमळात कस APC कस DQEसाधय ः जीवा AC जीवा DEशसद धता ः (ररकामा जागा भरन तसद धता पणम करा) DABC आतण D DBE ामधष बाज AB बाज DB () बाज बाज () ETH ABC ETH DBE (एकरप कसाची वाखा) D ABC D DBE () जीवा AC जीवा DE ()

आकती 332

A

BC

D

E

P

Q

A

B

CD

E

आकती 333

परमय ः एकाच वतमळाचया (शकवा एकरप वतमळाचया) एकरप जीवाच सगत कस एकरप असतात

पक ः रषख PQ आतण रषख RS हया कदर O असलषला वतमळाचा एकरप जीवा आहषतसाधय ः कस PMQ कस RNS पढील तवचार लकात घषऊन तसद धता तलहा दोन कस एकरप असणासाठी ताचा तरिजा आतण मापष समान असावी लागतात कस PMQ आतण कस RNS हष एकाच वतमळाचष कस असलानष ताचा तरिजा समान

P

QM

NO

R

S

आकती 334

कसाचया मापाचया बरजचा गणधमम (Property of sum of measures of arcs)

62

A

B

C

O

आकती 335उकल ः (i) कसाची नावष - कस AB कस BC कस AC कस ABC कस ACB कस BAC (ii) कस ABC चष माप = कस AB चष माप + कस BC चष माप = 125deg + 110deg = 235deg कस AC चष माप = 360deg - कस ABC चष माप = 360deg - 235deg = 125deg ताचपरमाणष कस ACB चष माप = 360deg - 125deg = 235deg आतण कस BAC चष माप = 360deg - 110deg = 250deg

उदा (1) कदर O असलषला वतमळाचष A B C हष तीन तबद आहषत (i) ा तीन तबदमळष तार होणाऱा सवम कसाची नावष तलहा (ii) कस BC आतण कस AB ाची मापष अनकरमष 110deg आतण 125deg असतील तर रातहलषला सवम कसाची मापष तलहा

आहषत ता कसाची मापष महणजष ताचा सगत कदरी कोनाची मापष होत हष कदरी कोन तमळणासाठी तरिजा OP OQ OR आतण OS काढावा लागतील ता काढलावर तार होणारष D OPQ आतण D ORS हष एकरप आहषत ना वरील दोनही परमषष तमही एकरप वतमळासाठी तसद ध करा

bull वरील दोनपकी पतहला परमषात कस APC आतण कस DQE हष लघकस एकरप मानलष आहषत ताचष सगत तवशालकस एकरप माननही हष परमष तसद ध करता षईल काbull दसऱा परमषात एकरप जीवाचष सगत तवशालकसही एकरप होतात का जीवा PQ आतण जीवा RS हष वास असतानाही हष परमष सत असतष का

63

उदा (2) आकती 336 मध ष कदर T असलषला वतमळात आत PQRS अततलमखखत कला आहष तर दाखवा की - (i) कस PQ कस SR (ii) कस SPQ कस PQRउकल ः c PQRS हा आत आहष जीवा PQ जीवा SR (आताचा समख बाज) कस PQ कस SR (एकरप जीवाचष सगत कस) जीवा PS जीवा QR (आताचा समख बाज) कस SP कस QR (एकरप जीवाचष सगत कस)

PQ

T

RS

आकती 336

कस SP आतण कस QR ाची मापष समान आहषत आता कस SP आतण कस PQ ाचा मापाची बषरीज = कस PQ आतण कस QR ाचा मापाची बषरीज कस SPQ चष माप = कस PQR चष माप कस SPQ कस PQR

(1) जा कोनाचा तशरोतबद वतमळकदरावर असतो ता कोनाला कदरी कोन महणतात(2) कसाचा मापाची वाखा - (i) लघकसाचष माप ताचा सगत कदरी कोनाचा मापाएवढष असतष (ii) तवशालकसाचष माप = 360deg - सगत लघकसाचष माप (iii) अधमवतमळकसाचष माप 180deg असतष(3) दोन वतमळकसाचा तरिजा आतण मापष समान असतात तषवहा तष कस एकरप असतात(4) एकाच वतमळाचा कस ABC आतण कस CDE ामधष जषवहा C हा एकच तबद सामाईक असतो तषवहा m(कस ABC) + m(कस CDE) = m(कस ACE)(5) एकाच वतमळाचा (तकवा एकरप वतमळाचा) एकरप कसाचा सगत जीवा एकरप असतात(6) एकाच वतमळाचा (तकवा एकरप वतमळाचा) एकरप जीवाचष सगत कस एकरप असतात

आकती 337

G

EF

CD1 आकती 337 मध ष कदर C असलषला वतमळावर

G D E आतण F हष तबद आहषत ETH ECF चष माप 70deg आतण कस DGF चष माप 200deg असषल तर कस DE आतण कस DEF ाची मापष ठरवा

64

आकती 340

D

E

A B

CH

I

F

G

2laquo आकती 338 मध ष D QRS समभज आहष तर दाखवा की - (1) कस RS कस QS कस QR (2) कस QRS चष माप 240deg आहष

3 आकती 339 मधष जीवा AB जीवा CD तर तसद ध करा - कस AC कस BD

वतमळ आतण तबद वतमळ आतण रषषा (सपतशमका) ाचा परसपरसबध असणारष काही गणधमम आपण पातहलष आता वतमळ आतण कोन ासबधीचष काही गणधमम आपण पाह ातील काही गणधमम आधी कतीतन माहीत करन घषऊ

कती I ःकदर C असलषलष एक परषसष मोठष वतमळ काढा आकती 340 मधष दाखवलापरमाणष ताची जीवा AB

आकती 339

A

BC

D

काढा कदरी कोन ACB काढा जीवा AB मळष झालषला तवशालकसावर तबद D आतण लघकसावर तबद E हष कोणतषही तबद घा (1) ETHADB आतण ETHACB मोजा ताचा मापाची तलना करा(2) ETHADB आतण ETHAEB मोजा आलषला मापाची बषरीज करन पाहा

आकती 338

Q

R S

65

(3) कस ADB वर F G H असष आणखी काही तबद घाETHAFB ETHAGB ETHAHB ाची मापष मोजा ा मापाची ETHADB चा मापाशी आतण परसपराशी तलना करा(4) कसAEB वर I हा आणखी एक कोणताही तबद घा ETH AIB मोजन ताचा मापाची ETH AEB चा मापाशी तलना करा

ा कतीतन तमहाला आलषलष अनभव असष असतील -(1) ETH ACB चष माप ETH ADB चा मापाचा दपपट आहष(2) ETH ADB आतण ETH AEB ाचा मापाची बषरीज 180deg आहष(3) ETH AHB ETH ADB ETH AFB ETH AGB ा सवााची मापष समान आहषत(4) ETH AEB आतण ETH AIB ाची मापष समान आहषत

आकती 341

आकती 342 मध ष कदर C असलषलष एक वतमळ आहष ETH PDQ चा तशरोतबद D ा वतमळावर आहष कोनाचा भजा DP आतण DQ वतमळाला अनकरमष A आतण B मध ष छषदतात अशा कोनाला वतमळात तकवा कसात अततलमखखत कलषला कोन महणतात

आकती 342 मध ष ETH ADB हा कस ADB मधष अततलमखखत आहष

P QC

T

RS

कती II ः

आकती 341 मध ष दाखवलापरमाणष कदर C असलषलष परषसष मोठष वतमळ काढा रषख PQ हा ताचा काषणताही वास काढा ा वासामळष तार झालषला दोनही अधमवतमळावर RST असष काही तबद घा ETH PRQ ETH PSQ ETH PTQ मोजा ातील परतषक कोन काटकोन आहष हष अनभवा

आकती 342

A B

C

D

P Q

वरील कतीतन तमहाला आढळलषलष गणधमम महणजष वतमळ आतण कोन ासबधीची परमषष आहषता परमषाचा तसद धता आता आपण पाह तासाठी आधी काही सजाची ओळख करन घावी लागषल

अतशलमखखत कोन (Inscribed angle)

66

आकती 344

आकती 345

A

B

C

x2x

2xE

O

A

B C

D

xपक ः कदर O असलषला वतमळात ETHBAC हा कस BAC मध ष अततलमखखत कला आहष ता कोनामळष कस BDC अतखातडत झाला आहषसाधय ः ETHBAC = 1

2 m(कस BDC)

रचना ः तकरण AO काढला वतमळाला तो तबद E मध ष छषदतो तरिजा OC काढली

आकती 343 (i) (ii) (iii) (iv) (v) (vi)

आकती 344 मधील कस हा अतखातडत कस नाही कारण कोनाचा BC ा भजषवर कसाचा एकही अततबद नाही

परतषक आकतीतील ETH ABC चा अतभामगात षणाऱा वतमळकसाला ETH ABC नष अतखातडत कलषला कस महणतात अतखातडत कसाचष अततबद हष वतमळ आतण कोन ाचष छषदन तबद असतात कोनाचा परतषक बाजवर कसाचा एक अततबद असणष आवशक असतष

आकती 343 मधील (i) (ii) व (iii) ा आकतामधष कोनानी परतषकी एकच कस अखातडत कला आहष तर (iv) (v) व (vi) मध ष परतषक कोनानष दोन कस अतखातडत कलष आहषत

आकती (ii) व (v) मध ष कोनाची एक भजा आतण (vi) मध ष कोनाचा दोनही भजा वतमळाला सपशम करतात हषही लकात घा

A

B

CC

C

अतखाशडत कस (Intercepted arc)

पढील आकती 343 मधील (i) तष (vi) ा सवम आकताचष तनरीकण करा

अतशलमखखत कोनाच परमय (Inscribed angle theorem)

परमय ः वतमळात अतशलमखखत कललया कोनाच माप तयान अतखाशडत कललया कसाचया मापाचया शनमम असत

67

शसदधता ः D AOC मधष बाज OA बाज OC (एकाच वतमळाचा तरिजा) ETHOAC = ETHOCA (समखविभज तरिकोणाचष परमष) ETHOAC = ETHOCA = x मान (I) आता ETHEOC = ETHOAC + ETHOCA (तरिकोणाचा बाहयकोनाचष परमष) = xdeg + xdeg = 2xdeg परत ETHEOC हा कदरी कोन आहष m(कस EC) = 2xdeg (कसाचा मापाची वाखा) (II) (I) व (II) वरन ETHOAC = ETHEAC = 1

2 m(कस EC) (III)

ापरमाणषच तरिजा OB काढन ETHEAB = 1

2 m(कस BE) हष तसद ध करता षईल (IV)

ETHEAC + ETHEAB = 1

2 m(कस EC) + 1

2 m(कस BE) (III) व (IV) वरन

ETHBAC = 1

2 [m(कस EC) + m(कस BE)]

= 1

2 [m(कसBEC)] = 1

2 [m(कस BDC)] (V)

लकात घा की वतमळात अततलमखखत कलषला कोन आतण वतमळकदर ासबधी तीन शकता सभवतात वतमळकदर कोनाचा भजषवर असषल अतभामगात असषल तकवा बाहयभागात असषल ापकी पतहला दोन शकता (III) व (V) मध ष तसद ध झाला आता रातहलषली ततसरी शकता तवचारात घषऊ

आकती 346 मध षETHBAC = ETHBAE - ETHCAE

= 1

2 m(कस BCE) - 1

2 m(कस CE)

(III) वरन

= 1

2 [m(कस BCE) - m(कस CE)]

= 1

2 [m(कस BC)] (VI)

ा परमषाचष तवधान पढीलपरमाणष सद धा तलतहतातवतमळकसान वतमळाचया कोणतयाही शबदिी अतररत (subtended) कललया कोनाच माप तयाच कसान वतमळकदािी अतररत कललया कोनाचया मापाचया शनमम असता परमषाचा पढील उपपरमषाची तवधानषही ा पररभाषषत तलतहता षतील

आकती 346

A

BC

OE

68

आकती 349

AB

C

D

आकती 347 चा आधारष पक आतण साध तलहापढील परशनाचा तवचार करन तसद धता तलहा(1) ETH PQR नष कोणता कस अतखातडत कला आहष(2) ETH PSR नष कोणता कस अतखातडत कला आहष(3) अततलमखखत कोनाचष माप आतण तानष अतखातडत कलषला कसाचष माप ातील सबध कसा असतो

सोबतचा आकती 348 चा आधारष ा परमषाचष पक साध आतण तसद धता तलहा

आकती 347

आकती 348

पक ः c हा चकरी आहषसाधय ः ETH B + ETH D = + ETH C = 180deg

P

Q

C

T

R

S

A

B

C

X

M

2 अधमवतमळात अतशलमखखत झालला कोन काटकोन असतो

शसद धता ः ETH ADC हा अततलमखखत कोन असन तानष कस ABC अतखातडत कला आहष ETHADC = 1

2 (I)

तसषच हा अततलमखखत कोन असन तानष कस ADC अतखातडत कला आहष

अतशलमखखत कोनाचया परमयाची उपपरमय (Corollaries of inscribed angle theorem)

1 एकाच कसात अतशलमखखत झालल सवम कोन एकरप असतात

चकीय चौकोन (Cyclic quadrilateral)चौकोनाच चारही शिरोशबद एकाच वतमळावर असतील तर तया चौकोनाला चकीय चौकोन महणतात

चकीय चौकोनाच परमय (Theorem of cyclic quadrilateral)परमय ः चकीय चौकोनाच समख कोन परसपराच परककोन असतातपढष तदलषला तसद धतषतील ररकामा जागा भरन तसद धता पणम करा

69

= 1

2 m(कस ADC) (II)

ETHADC + = 1

2 + 1

2 m(कस ADC) [(I) व (II) वरन]

= 1

2 [ + m(कस ADC)]

= 1

2 acute 360deg [कस ABC आकर कस ADC कमळन परण

वतणळ होतय] =

तयाचपरमयारय ETHA + ETHC = हय कसद ध करतया यईल

चकरीय चौकोनाचया परमयाच उपपरमय (Corollary of cyclic quadrilateral theorem)

परमय ः चकरीय चौकोनाचा बाहयकोन तयाचया सलगन कोनाचया समख कोनाशी एकरप असतोया परमययाची कसद धतया तमही कलहया

विचार करया

वरील परमययात ETH B + ETH D = 180deg हय कसद ध कलयावर उरलयलया समख कोनयाचया मयापयाची बयरीजही 180deg आहय हय अन परकयारय कसद ध करतया यईल कया

चकरीय चौकोनाचया परमयाचा वयतयास (Converse of cyclic quadrilateral theorem)

परमय ः चाकोनाच समख कोन परक असतील तर तो चौकोन चकरीय असतो हय परमय अपरतकष पद धतीनय कसद ध करतया यतय तमही परतन करया

वरील वतयासयावरन आपलया असय लकषयात यतय की चौकोनयाचय समख कोन जर परक असतील तर तया चौकोनयाचय पररवतणळ असतय

परतयक करिकोरयाचय एक पररवतणळ असतय हय आपलयालया मयाहीत आहय परत परतयक चौकयायनयाचय पररवतणळ असतयच असय नयाही हय तमही अनभवया

कोरती अट परण झयाली असतया चौकोनयाचय पररवतणळ असतय महरजयच चौकोनयाचय किरोकबद एकयाच वतणळयावर असतयात हय वरील परमययानय आपलयालया समजतय

आरखी एकया वयगळया पररदसथितीत चयार नकरयषी कबद चरिी असतयात हय पढील परमययात सयाकगतलय आहय

70

परमय ः रषच दोन भिनन भिद तयया रषचयया एकयाच ियाजलया असणयाऱयया दोन भिनन भिदशी एकरप कोन भनशचत करत असतील तर त चयार भिद एकयाच वततळयावर असतयात

पकष ः बिदBवCहरषाADचाएकाचिाजला आहतETHABD ETHACDसयाधय ः बिदABCDएकाचवततळावरआहत (महणजचc ABCDचकरीआह) ाचीदखीलअपरतकषबिदधतादतात

xx

A

BC

Dआकती 350

L

N

35deg

M

आकती 351

भवचयार करयया

वरीलपरमकोणतापरमाचावतािआह

सोडवलली उदयाहरण उदया (1) आकती351मधजीवाLMजीवाLN ETH L = 35deg तर (i)m(किMN)=बकती (ii)m(किLN)=बकतीउकल ः (i)ETH L = 1

2 m(किMN)(अतबलतखखतकोनाचपरम)

35 = 1

2 m(किMN)

2 acute 35 = m(किMN)=70deg (ii)m(किMLN)=360deg - m(किMN)(किाचामापाचीवाखा) =360deg-70deg=290deg आताजीवाLMजीवाLN किLMकिLN परतm(किLM)+m(किLN)=m(किMLN)=290deg(किाचािरजचागणधमत)

m(किLM)=m(किLN)=290deg

2=145deg

बकवा(ii)जीवाLMजीवाLN ETH M = ETH N(िमदबवभजबरिकोणाचपरम ) 2 ETH M=180deg - 35deg=145deg

ETH M = 145deg

2

71

m(कस LN) = 2 acute ETH M (अततलमखखत कोनाचष परमष)

= 2 acute 145deg2

= 145deg

उदा (2) आकती 352 मध ष जीवा PQ आतण जीवा RS एकमषकीना तबद T मध ष छषदतात

(i) जर ETH STQ = 58deg आतण ETH PSR = 24deg तर m(कस SQ) काढा

(ii) ETH STQ = 1

2 [m(कस PR) + m(कस SQ)]

हष पडताळन पाहा(iii) जीवा PQ आतण जीवा RS ामधील कोनाचष माप कोणतषही असलष तरी

mETHSTQ = 1

2 [m(कस PR) + m(कस SQ)] हष तसद ध करा

(iv) ा उदाहरणात तसद ध होणारा गणधमम शबदात तलहा

उकलः (i) ETHSPQ = ETHSPT = 58deg - 24deg = 34deg (तरिकोणाचा बाहयकोनाचष परमष) m(कस QS) = 2 ETHSPQ = 2 acute 34deg = 68deg

(ii) m(कस PR) = 2 ETHPSR = 2 acute 24deg = 48deg आता 1

2 [m(कस PR) + m(कस SQ)] = 1

2 [48 + 68]

= 1

2 acute 116 = 58deg

= ETHSTQ

(iii) ा गणधमामचा तसद धतषतील ररकामा चौकटी भरन ती पणम करा ETHSTQ = ETHSPQ + (तरिकोणाचा बाहयकोनाचष परमष)

= 1

2 m(कस SQ) + (अततलमखखत कोनाचष परमष)

= 1

2 [ + ]

(iv) वतमळाचा जीवा एकमषकीना वतमळाचा अतभामगात छषदत असतील तर ता जीवामधील कोनाचष माप ता कोनानष अतखातडत कलषला कस आतण ताचा तवरद ध कोनानष अतखातडत कलषला कस ाचा मापाचा बषरजषचा तनममष असतष

आकती 352

P

Q

TR

S24deg

58deg

72

उदा (3) वतमळाचा जीवाना सामावणाऱा रषषा वतमळाचा बाहयभागात छषदत असतील तर ता रषषामधील कोनाचष माप ता कोनानष अतखातडत कलषला कसाचा मापाचा फरकाचा तनममष असतष हष तसदध करा

पक ः वतमळाचा जीवा AB आतण जीवा CD ता वतमळाचा बाहयभागात तबद E मधष छषदतात

साधय ः ETHAEC= 1

2[m(कस AC)-m(कस BD)]

रचना ः रषख AD काढला

शसद धता ः ा गणधमामची तसद धता वरील उदा (2) मधष तदलषला तसद धतषपरमाणषच दषता षतष तासाठी D AED चष कोन ता तरिकोणाचाबाहयकोन इतादी तवचारात घा आतण तसद धता तलहन काढा

आकती 353

E

A

B

C

D

(9) सोबतचा आकती 354 मध ष

(i) ETHAEC = 1

2 [m(कस AC) + m(कस DB)]

(ii) ETHCEB= 1

2 [m(कस AD) + m(कस CB)]

आकती 354

E

A

BC

D

(1) वतमळात अततलमखखत कलषला कोनाचष माप तानष अतखातडत कलषला कसाचा मापाचा तनममष असतष(2) वतमळाचा एकाच कसात अततलमखखत कलषलष कोन एकरप असतात(3) अधमवतमळात अततलमखखत कलषला कोन काटकोन असतो(4) चौकोनाचष चारही तशरोतबद एकाच वतमळावर असतील तर ता चौकोनाला चकरी चौकोन महणतात(5) चकरी चौकोनाचष समख कोन परक असतात(6) चकरी चौकोनाचा बाहयकोन ताचा सलगन-समख कोनाशी एकरप असतो(7) चौकोनाचष समख कोन परसपरपरक असतील तर तो चौकोन चकरी असतो(8) रषषषचष दोन तभनन तबद ता रषषषचा एकाच बाजला असणाऱा दोन तभनन तबदशी एकरप कोन तनखशचत करत असतील तर तष चार तबद एकाच वतमळावर असतात

73

ETHBED = 1

2 [m(कस BD) - m(कस AC)]

1 आकती 356 मधष कदर O असलषला वतमळाचा जीवा AB ची लाबी वतमळाचा तरिज षएवढी आहष तर (1) ETHAOB (2) ETHACB (3) कस AB आतण (4) कस ACB ाची मापष काढा

2 आकती 357 मधष c PQRS हा चकरी आहष बाज PQ बाज RQ ETHPSR = 110deg तर (1) ETHPQR = तकती (2) m(कस PQR) = तकती (3) m(कस QR) = तकती (4) ETHPRQ = तकती

3 चकरी c MRPN मध ष ETHR = (5x - 13)deg आतण ETHN = (4x + 4)deg तर ETHR आतण ETHN ाची मापष ठरवा

4 आकती 358 मध ष रषख RS हा कदर O असलषला वतमळाचा वास आहष तबद T हा वतमळाचा बाहय- भागातील तबद आहष तर दाखवा की ETHRTS हा लघकोन आहष

आकती 356

E

A

B

C

D

A B

C

O

आकती 357

P

Q

R

S

5 कोणताही आत हा चकरी चौकोन असतो हष तसद ध करा

O

T

R S

आकती 358

आकती 355

74

6 आकती 359 मध ष रषख YZ आतण रषख XT हष D WXY चष तशरोलब तबद P मध ष छषदतात तर तसद ध करा (1) c WZPT हा चकरी आहष (2) तबद X Z T Y एकाच वतमळावर आहषत

7 आकती 360 मध ष m(कस NS) = 125deg m(कस EF) = 37deg तर ETHNMS चष माप काढा

8 आकती 361 मधष जीवा AC आतण जीवा DE तबद B मध ष छषदतात जर ETHABE = 108deg आतण m(कस AE) = 95deg तर m(कस DC) काढा

कती ःएक परषसष मोठष वतमळ काढा आकती 362 मध ष दाखवलापरमाणष ा वतमळाची रषख AC ही एक जीवा

आकती 359

आकती 360

आकती 361

E

FM

N

S

EA

B

CD

P

W

Y

Z

T

X

काढा वतमळावर B हा कोणताही तबद घा ETHABC हा अततलमखखत कोन काढा ETHABC चष माप मोजा व नोदवन ठषवा

आता आकती 363 मध ष दाखवलापरमाणष ताच वतमळाची रषषा CD ही सपतशमका काढा ETHACD चष माप मोजा

आकती 362A

B

C

आकती 363

A

B

C

D

75

पक ः ETH ABC चा तशरोतबद कदर M असलषला वतमळावर आहष ताची भजा BC वतमळाला सपशम करतष आतण भजा BA वतमळाला तबद A मधष छषदतष कस ADB हा ETH ABC नष अतखातडत कला आहष

साधय ः ETH ABC = 1

2 m(कसADB)

शसद धता ः ा परमषाची तसद धता तीन शकता तवचारात घषऊन दावी लागषल (1) आकती 364 (i) परमाणष वतमळकदर M हष ETH ABC चा एका भजषवर असलास ETH ABC = ETH MBC = 90deg (सपतशमकचष परमष)(I) कस ADB हष अधमवतमळ आहष m(कस ADB) = 180deg (कसाचा मापाची वाखा)(II) (I) व (II) वरन ETH ABC = 1

2 m(कसADB)

(2) आकती 364 (ii) परमाणष कदर M हष ETH ABC चा बाहयभागात असलास तरिजा MA आतण तरिजा MB काढ आता ETH MBA = ETH MAB (समद तवभज तरिकोणाचष परमष) तसषच ETH MBC = 90deg (सपतशमकचष परमष) (I)

आकती 364

आकती 364(i)

M M MF

E

A

A A

B B BC C C

D DD

xy

x

(i) (ii) (iii)

M

A

B CD

ETHACD चष माप ETHABC चा मापाएवढषच आहष असष तमहाला आढळषलETHABC = 1

2 m(कस AC) हष तमहाला माहीत आहष

ावरन ETHACD चष माप सद धा (कस AC) चा मापाचा तनममष आहष हा तनषकषम तमळतोवतमळाचा सपतशमकचा हाही एक महतवाचा गणधमम आहष तो आपण आता तसद ध कर

सपशिमका-छशदका कोनाच परमय (Theorem of angle between tangent and secant)

परमय ः शिरोशबद वतमळावर असललया कोनाची एक भजा वतमळाची सपशिमका असल आशण दसरी भजा वतमळाला आणखी एका शबदत छदत असल तर तया कोनाच माप तयान अतखाशडत कललया कसाचया मापाचया शनमम असत

76

ETH MBA = ETH MAB = x ETH ABC = y मान ETH AMB = 180 - (x + x) = 180 - 2x ETH MBC = ETH MBA + ETH ABC = x + y x + y = 90deg 2x + 2y = 180deg D AMB मधष 2x + ETH AMB = 180deg 2x + 2y = 2x + ETH AMB 2y = ETH AMB

y = ETH ABC = 1

2ETH AMB = 1

2 m(कस ADB)

(3) ततसऱा शकतषबाबत खाली तदलषली तसद धता आकती 364 (iii) चा आधारष तमही पणम करा तकरण हा तकरण BC चा तवरद ध तकरण काढला

आता ETHABE = 1

2 m( ) (2) मध ष तसद ध

180 - = ETHABE (रषषी जोडीतील कोन)

180 - = 1

2 m(कस AFB)

= 1

2 [360 - m( )]

180 - ETHABC = 180 - 1

2 m(कस ADB)

-ETHABC = - 1

2 m( )

ETHABC = 1

2 m(कस ADB)

सपशिमका - छशदका कोनाचया परमयाच पयामयी शवधान

आकती 364(iii)

आकती 364(ii)

MA

B CDx

y

x

MF

E

A

B C

D

आकतीत AB ही वततछषतदका आतण BC सपतशमका आहष कस ADB हा ETH ABC नष अतखातडत कलषला कस आहष जीवा AB वतमळाचष दोन कसात तवभाजन करतष दोनही कस परसपराचष तवरद ध कस असतात आता कस ADB चा तवरद ध कसावर T तबद घषतला वरील परमषावरन

ETH ABC = 1

2 m (कस ADB) = ETH ATB

वतमळाची सपशिमका व सपिमशबदतन काढलली जीवा यातील कोन तया कोनान अतखाशडत कललया कसाचया शवरद ध कसात अतशलमखखत कललया कोनाएवढा असतो

आकती 365

A

B C

D

T

77

P

Q

U

T

O

R

S

पकष ः िदर P असलयला ितभाळाचा जीिा AB आकण जीिा CD ितभाळाचा अतभाभागात किद E मधय छयदतातिाधय ः AE acute EB = CE acute EDरचना ः रयख AC आकण रयख DB िाढलयसिद धता ः D CAE आकण D BDE मधय ETH AEC ETH DEB (किरद ध िोन) ETH CAE ETH BDE (एिाच ितभाळिसात अतकलभाखखत िोन) D CAE ~ D BDE (िो- िो समरपता िसोटी)

AE

DE=

CE

BE (समरप करििोणाचा सगत भजा)

AE acute EB = CE acute ED

P

E

A

BC

D

आकती 367

आकती 366

सिचार करया

आिती 367 मधय रयख AC आकण रयख DB िाढन आपण परमय कसद ध िलय ताऐिजी रयख AD आकण रयख CB िाढन हय परमय कसद ध िरता यईल िा

सपसशिका-छसदका कोनाचया परमयाचा वयतयािितभाळाचा जीियचा एिा अतकिदतन जाणारी एि रयषा िाढली असता ता रयषयनय ता जीियशी िलयला िोनाचय

माप ता िोनानय अतखखकडत िलयला िसाचा मापाचा कनममय असयल तर ती रयषा ता ितभाळाची सपकशभािा असतयआिती 366 मधय

जर ETH PQR = 1

2 m(िस PSQ) असयल

[कििा ETH PQT = 1

2 m(िस PUQ) असयल]

तर रयषा TR ही ितभाळाची सपकशभािा असतय ा वतास परमयाचा उपोग ितभाळाला सपकशभािा िाढणाचा एिा रचनयसाठी होतो ा परमयाची अपरतकष कसद धता दयता यतय

जीिाचया अतछछदनाच परमय (Theorem of internal division of chords)

एिाच ितभाळाचा दोन जीिा जयवहा ितभाळाचा अतभाभागात छयदतात तयवहा एिा जीियचा झालयला दोन भागाचा लािीचा गणािार हा दसऱा जीियचा दोन भागाचा लािीचा गणािाराएिढा असतो

78

अशधक माशहतीसाठीआकती 367 मधील AB ा जीवषचष तबद E मळष AE आतण EB हष दोन भाग झालष आहषत

रषख AE आतण रषख EB ा लगतचा बाज असणारा आत काढला तर AE acute EB हष ता आताचष कषरिफळ असषल तसषच CE acute ED हष जीवा CD चा दोन भागानी होणाऱा आताचष कषरिफळ असषल आपण AE acute EB = CE acute ED हष तसद ध कलष

महणन हष परमष वषगळा शबदात पढीलपरमाणषही माडतात एकाच वतमळाचा दोन जीवा वतमळाचा अतभामगात छषदत असतील तर एका जीवषचा दोन भागानी होणाऱा

आताचष कषरिफळ हष दसऱा जीवषचा दोन भागानी होणाऱा आताचा कषरिफळाएवढष असतष

परमषाचष वरील तवधान व आकतीचा आधारष पक व साध तमही ठरवारचना ः रषख AD आतण रषख BC काढलष ररकामा जागा भरन तसद धता पणम करा

शसद धता ः D ADE आतण D CBE मधष ETH AED (सामाईक कोन) ETH DAE ETH BCE ( ) D ADE ~ ( )

(AE) = (समरप तरिकोणाचा सगत बाज)

= CE acute ED

आकती 368

E

AB

C

D

जीवाचया बाहयछदनाच परमय (Theorem of external division of chords)

एकाच वतमळाचा AB आतण CD ा जीवाना सामावणाऱा वततछषतदका परसपराना वतमळाचा बाहयभागातील तबद E मध ष छषदत असतील तर AE acute EB = CE acute ED

79

(1) आकती 370 नसार AE acute EB = CE acute ED ा गणधमामला जीवा अतछचदनाचष परमष महणतात

आकती 369

परमषाचष वरील तवधान लकात घषऊन पक आतण साध ठरवारचना ः रषख TA आतण रषख TB काढलषशसद धता ः D EAT आतण D ETB मधष ETH AET ETH TEB (समाईक कोन) ETH ETA ETH EBT (सपतशमका-छषतदका परमष) D EAT ~ D ETB (को-को समरपता)

ET

EB=

EA

ET (समरप तरिकोणाचा सगत बाज)

EA acute EB = ET2

(2) आकती 371 नसार AE acute EB = CE acute ED ा गणधमामला जीवा बाहयछषदनाचष परमष महणतात

(3) आकती 372 नसार EA acute EB = ET2

ा गणधमामला सपतशमका-छषतदका रषषाखडाचष परमष महणतात

आकती 370

आकती 371

आकती 372

B

C D E

A

E

A

B

C

D

EA

B

T

A

B

E

T

सपशिमका छशदका रषाखडाच परमय (Tangent secant segments theorem)वतमळाचा बाहयभागातील E हया तबदतन काढलषली वततछषतदका वतमळाला तबद A व B मधष छषदत असषल

आतण ताच तबदतन जाणारी सपतशमका वतमळाला तबद T मध ष सपशम करत असषल तर EA acute EB = ET2

80

उदा (1) आकती 373 मधष रषख PS हा सपतशमकाखड आहष रषषा PR ही वततछषतदका आहष जर PQ = 36 QR = 64 तर PS काढा

उकल ः PS2 = PQ acute PR (सपतशमका छषतदका रषषाखडाचष परमष) = PQ acute (PQ + QR) = 36 acute [36 + 64] = 36 acute 10 = 36 PS = 6

आकती 374 मध ष जीवा MN आतण जीवा RS परसपराना तबद P मध ष छषदतात जर PR = 6 PS = 4 MN = 11 तर PN काढा

उकल ः जीवाचा अतछचदनाचा परमषावरन PN PM = PR PS (I) PN = x मान PM = 11 - x ा तकमती (I) मध ष माडन x (11 - x) = 6 acute 4 11x - x2 - 24 = 0 x2 - 11x + 24 = 0 (x - 3) (x - 8) = 0 x - 3 = 0 तकवा x - 8 = 0 x = 3 तकवा x = 8 PN = 3 तकवा PN = 8

आकती 373

आकती 374

P

Q

R

S

उदा (2)

S

M

P

N

R

81

उदा (3) आकती 375 मधष दोन वतमळष एकमषकाना तबद X व Y मध ष छषदतात रषषा XY वरील तबद M मधन काढलषला सपतशमका ता वतमळाना तबद P व Q मधष सपशम करतात तर तसद ध करा रषख PM रषख QM

शसद धता ः ररकामा जागा भरन तसद धता तलहा रषषा MX ही दोनही वतमळाची सामाईक आहष PM2 = MY MX (I) तसषच = (सपतशमका-छषतदका रषषाखडाचष परमष) (II) (I) व (II) वरन = QM2

PM =QM रषख PM रषख QM

आकती 376 मधष रषख PQ हा कदर O असलषला वतमळाचा वास आहष तबद R हा वतमळावरील कोणताही तबद आहष रषख RS ^ रषख PQ तर तसद ध करा - SR हा PS आतण SQ ाचा भतमतीमध आहष[महणजषच SR2 = PS acute SQ]

आकती 375

P QYM

X

आकती 376

उदा (4)

P

Q

T O

R

S

उकल ः पढष तदलषला पाऱानी तसद धता तलहा (1) तकरण RS काढा तो वतमळाला जा तबदत छषदषल ता तबदला T हष नाव दा (2) RS = TS दाखवा (3)जीवाचा अतछचदनाचष परमष वापरन समानता तलहा (4) RS = TS वापरन साध तसद ध करा

(1) वरील आकती 376 मध ष रषख PR आतण रषख RQ काढलास D PRQ कोणता परकारचा होईल(2) वरील उदा (4) मधष तसद ध कलषला गणधमम ाआधीही वषगळा रीतीनष तसद ध कला आहष का

82

सरावसच 35 1 आकती 377 मधष तबद Q हा सपशमतबद आहष जर PQ = 12 PR = 8 तर PS = तकती RS = तकती

2 आकती 378 मध ष जीवा MN आतण RS एकमषकीना तबद D मध ष छषदतात (1) जर RD = 15 DS = 4 MD = 8 तर DN = तकती (2) जर RS = 18 MD = 9 DN = 8 तर DS = तकती

3 आकती 379 मधष तबद B हा सपशमतबद आतण तबद O वतमळकदर आहष रषख OE ^ रषषा AD AB = 12 AC = 8 तर (1) AD (2) DC आतण (3) DE काढा

4 आकती 380 मध ष जर PQ = 6 QR = 10 PS = 8 तर TS = तकती

5 आकती 381 मध ष रषख EF हा वास आतण रषख DF हा सपतशमकाखड आहष वतमळाची तरिजा r आहष तर तसद ध करा - DE acute GE = 4r2

E

O A

B

CD

आकती 380

P

Q

R

S

आकती 381

M

ND

R

S

P

Q

T

R

S

H

G

FE

D

आकती 377

आकती 378

आकती 379

83

1 पढील परतषक उपपरशनासाठी चार पामी उततरष तदली आहषत तापकी अचक पाम तनवडा (1) तरिजा अनकरमष 55 सषमी आतण 33 सषमी असलषली दोन वतमळष परसपराना सपशम करतात ताचा कदरातील अतर तकती सषमी आहष (A) 44 (B) 88 (C) 22 (D) 88 तकवा 22 (2) परसपराना छषदणाऱा दोन वतमळापकी परतषक वतमळ दसऱा वतमळाचा कदरातन जातष जर ताचा कदरातील अतर 12 सषमी असषल तर परत षक वतमळाची तरिजा तकती सषमी आहष (A) 6 (B) 12 (C) 24 (D) सागता षणार नाही (3) lsquoएक वतमळ एका समातरभज चौकोनाचा सवम बाजना सपशम करतष तर तो समातरभज चौकोन असला पातहजषrsquo ा तवधानातील ररकामा जागी ोग शबद तलहा (A) आत (B) समभज चौकोन (C) चौरस (D) समलब चौकोन (4) एका वतमळाचा कदरापासन 125 सषमी अतरावरील एका तबदतन ता वतमळाला काढलषला सपतशमकाखडाची लाबी 12 सषमी आहष तर ता वतमळाचा वास तकती सषमी आहष (A) 25 (B) 24 (C) 7 (D) 14 (5) एकमषकाना बाहषरन सपशम करणाऱा दोन वतमळाना जासतीत जासत तकती सामाईक सपतशमका काढता षतील (A) एक (B) दोन (C) तीन (D) चार (6) कदर O असलषला वतमळाचा कस ACB मधष ETHACB अततलमखखत कला आहष जर mETHACB = 65deg तर m(कस ACB) = तकती (A) 65deg (B) 130deg (C) 295deg (D) 230deg (7) एका वतमळाचा जीवा AB आतण CD परसपराना वतमळाचा अतभामगात तबद E मध ष छषदतात जर (AE) = 56 (EB) = 10 (CE) = 8 तर (ED) = तकती (A) 7 (B) 8 (C) 112 (D) 9 (8) चकरी c ABCD मधष कोन ETH A चा मापाची दपपट ही ETHC चा मापाचा ततपपटी एवढी आहष तर ETHC चष माप तकती (A) 36 (B) 72 (C) 90 (D) 108 (9)laquo एकाच वतमळावर तबद A B C असष आहषत की m(कस AB) = m(कस BC) = 120deg दोनही कसात B तशवा एकही तबद सामाईक नाही तर D ABC कोणता परकारचा आहष (A) समभज तरिकोण (B) तवषमभज तरिकोण (C) काटकोन तरिकोण (D) समद तवभज तरिकोण

84

2 तबद O कदर असलषला वतमळाला रषषा l तबद P मधष सपशम करतष जर वतमळाची तरिजा 9 सषमी असषल तर खालील परशनाची उततरष तलहा (1) d(O P) = तकती का (2) जर d(O Q) = 8 सषमी असषल तर तबद Q चष सथान कोठष असषल (3) d(OR)=15 सषमी असषल तर तबद R ची तकती सथानष रषषा l वर असतील तष तबद P P तकती अतरावर असतील

(10) रषख XZ वास असलषला वतमळाचा अतभामगात Y हा एक तबद आहष तर खालीलपकी तकती तवधानष सत आहषत (i) ETHXYZ हा लघकोन असणष शक नाही (ii) ETHXYZ हा काटकोन असणष शक नाही (iii) ETHXYZ हा तवशालकोन आहष (iv) ETHXYZ चा मापासबधी तनखशचत तवधान करता षणार नाही (A) फकत एक (B) फकत दोन (C) फकत तीन (D) सवम

3 सोबतचा आकतीत तबद M वतमळकदर आतण रषख KL हा सपतशमकाखड आहष जर MK = 12 KL = 6 3 तर (1) वतमळाची तरिजा काढा (2) ETHK आतण ETHM ाची मापष ठरवा

4 आकती 384 मधष तबद O वतमळकदर आतण रषख AB व रषख AC हष सपतशमकाखड आहषत जर वतमळाची तरिजा r असषल आतण l(AB) = r असषल तर c ABOC हा चौरस होतो हष दाखवा

P

o

l

M

L

K

A

B

C

O

आकती 382

आकती 383

आकती 384

पासन

85

5 आिती 385 मधय समातरभज c ABCD हा िदर T असलयला ितभाळाभोिती पररकलखखत िला आहय (महणजय ता चौिोनाचा िाज ितभाळाला सपशभा िरतात) किद E F G आकण H हय सपशभाकिद आहयत जर AE = 45 आकण EB = 55 तर AD िाढा

6 आिती 386 मधय िदर N असलयलय ितभाळ िदर M असणाऱा ितभाळाला किद T मधय सपशभा िरतय मोठा ितभाळाची करिजा लहान ितभाळाला किद S मधय सपशभा िरतय जर मोठा ि लहान ितभाळाचा करिजा अनकरमय 9 सयमी ि 25 सयमी असतील तर खालील परशनाची उततरय शोधा आकण तािरन MS ः SR हय गणोततर िाढा (1) MT = किती (2) MN = किती (3) ETHNSM = किती

7 सोितचा आितीत िदर X आकण Y असलयली ितभाळय परसपराना किद Z मधय सपशभा िरतात किद Z मधन जाणारी िततछयकदिा ता ितभाळाना अनकरमय किद A ि किद B मधय छयदतय तर कसद ध िरा करिजा XA || करिजा YB खाली कदलयला कसद धतयतील ररिामा जागा भरन पणभा कसद धता कलहन िाढा

X Y

A

B

Z

आकती 387

आकती 385

आकती 386

MN

T

RS

रचना ः रयख XZ आकण िाढलयसिद धता ः सपशभाितभाळाचा परमयानसार किद X Z Y हय आहयत ETH XZA किरद ध िोन ETH XZA = ETH BZY = a मान (I) आता रयख XA रयख XZ () ETH XAZ = = a (समद किभज करििोणाचय परमय) (II) तसयच रयख YB () ETH BZY = = a () (III)

E

F

A B

CD G

HT

86

(I) (II) व (III) वरन ETH XAZ = तरिजा XA || तरिजा YB ()

XY

A

B

Z

P

Q

O

l

R S

P Q

A

BC

Tआकती 390

आकती 389

आकती 388

8 आकती 388 मध ष कदर X व Y असणारी अतसपमशशी वतमळष तबद Z मध ष सपशम करतात रषख BZ ही मोठा वतमळाची जीवा लहान वतमळाला तबद A मधष छषदतष तर तसद ध करा - रषख AX || रषख BY

9 शषजारील आकतीत रषषा l ही कदर O असलषला वतमळाला तबद P मध ष सपशम करतष तबद Q हा तरिजा OP चा मधतबद आहष तबद Q ला सामावणारी जीवा RS || रषषा l जर RS 12 सषमी असषल तर वतमळाची तरिजा काढा

10laquo आकती 390 मधष कदर C असलषला वतमळाचा रषख AB हा वास आहष वतमळाची सपतशमका PQ वतमळाला तबद T मधष सपशम करतष रषख AP रषषा PQ आतण रषख BQ रषषा PQ तर तसद ध करा - रषख CP रषख CQ

11laquo परतषकी 3 सषमी तरिजषची कदर A B व C असणारी तीन वतमळष अशी काढा की परतषक वतमळ इतर दोन वतमळाना सपशम करषल12laquo वतमळाचष कोणतषही तीन तबद एकरषषी नसतात हष तसद ध करा

87

13 आकती 391 मधष रषषा PR वतमळाला तबद Q मध ष सपशम करतष ा आकतीचा आधारष खालील परशनाची उततरष तलहा (1) ETH TAQ आतण ETH TSQ ाचा मापाची बषरीज तकती (2) ETH AQP शी एकरप असणारष कोन कोणतष (3) ETH QTS शी एकरप असणारष कोन कोणतष

14 सोबतचा आकतीत कदर O असलषला वतमळाचा रषख PQ आतण रषख RS ा एकरप जीवा आहषत जर ETH POR = 70deg आतण m(कस RS) = 80deg तर - (1) m(कस PR) तकती (2) m(कस QS) तकती (3) m(कस QSR) तकती

W

TZ

X

Y

आकती 392

आकती 393

P

Q

A

T

R

S

P

Q

O

R

S

आकती 391

(4) जर ETHTAS = 65deg तर ETHTQS आतण कस TS ाची मापष सागा (5) जर ETHAQP = 42deg आतण ETHSQR = 58deg तर ETHATS चष माप काढा

15 आकती 393 मधष m(कस WY) = 44deg m(कस ZX) = 68deg तर (1) ETHZTX चष माप ठरवा (2) WT = 48 TX = 80 YT = 64 तर TZ = तकती (3) WX = 25 YT = 8 YZ = 26 तर WT = तकती

88

16 आकती 394 मधष (1) m(कस CE) = 54deg m(कस BD) = 23deg तर ETHCAE = तकती (2) AB = 42 BC = 54 AE = 120 तर AD = तकती (3) AB = 36 AC = 90 AD = 54 तर AE = तकती

18 शषजारचा आकतीत तबद P हा सपशमतबद आहष (1) m(कस PR) = 140 ETH POR = 36deg तर m(कस PQ) = तकती (2) OP = 72 OQ = 32 OR = तकती QR = तकती (3) OP = 72 OR = 162 तर QR = तकती

A

B

C

DE

आकती 394

17 शषजारी तदलषला आकतीत जीवा EF || जीवा GH तर तसद ध करा जीवा EG जीवा FH पढष तदलषला तसद धतषतील ररकामा जागा भरा आतण तसद धता तलहातसद धता ः रषख GF काढला ETH EFG = ETH FGH (I) ETH EFG = (अततलमखखत कोनाचष परमष) (II) ETH FGH = (अततलमखखत कोनाचष परमष) (III) m (कस EG) = [(I) (II) व (III) वरन] जीवा EG जीवा FH ( )

19 सोबतचा आकतीत कदर C असलषषलष वतमळ कदर D असलषला वतमळाला तबद E मधष आतन सपशम करतष तबद D हा आतील वतमळावर आहष बाहषरील वतमळाची जीवा EB ही आतील वतमळाला तबद A मधष छषदतष तर तसद ध करा की रषख EA रषख AB

आकती 396

आकती 397

P

Q

R

O

E

A

B

CD

E F

G H

आकती 395

89

20 आकती 398 मधष रषख AB हा कदर O असलषला वतमळाचा वास आहष अततलमखखत कोन ACB चा दभाजक वतमळाला तबद D मधष छषदतो तर रषख AD रषख BD हष तसद ध करा पढष तदलषला तसद धतषतील ररकामा जागा भरन ती पणम करा आतण तलहा

21 सोबतचा आकतीत रषख MN ही कदर O असलषषला वतमळातील जीवा आहष MN = 25 जीवा MN वर तबद L असा आहष की ML = 9 आतण d(OL) = 5 तर ा वतमळाची तरिजा तकती असषल

OA B

C

D

तसद धता ः रषख OD काढला ETH ACB = (अधमवतमळात अततलमखखत कोन) ETH DCB = (रषख CD हा ETH C चा दभाजक) m(कस DB) = (अततलमखखत कोनाचष परमष) ETH DOB = (कसाचा मापाची वाखा) (I) रषख OA रषख OB (II) रषषा OD ही रषख AB ची रषषा आहष (I) व (II) वरन रषख AD रषख BD

आकती 399

M

N

L O

आकती 398

22laquo आकती 3100 मध ष दोन वतमळष परसपराना तबद S व R मधष छषदतात ताची रषषा PQ ही सामाईक सपतशमका ताना तबद P व Q मध ष सपशम करतष तर तसद ध करा - ETH PRQ + ETH PSQ = 180deg

आकती 3100

P Q

R

S

90

23laquoआकती 3101 मधय दोन वततळय एकमयकाना बिदMवNमधयछयदतातबिदMवNमधन काढलयलावततछयबदकाबिदRवSमधयआबि बिदPवQमधयछयदताततररयखPR|| रयखQS हयबिदधकरा

24laquoदोनवततळयपरसपरानाबिदAवEमधयछयदतात बिद E मधन काढलयली ताची िामाईक वततछयबदकावततळाना बिदBवDमधयछयदतय बिदBवDमधनकाढलयलासपबतकाएकमयकीना बिदCमधयछयदतातबिदधकराःc ABCDचकरीआहय

आकती 3101

PQ

M

N

RS

25laquo D ABCमधयरयखAD^िाजBCरयखBE^िाजACरयखCF^िाजAB बिदOहा बरोलििपातआहयतर बिदOहा DDEFचाअतमतधहोतोहयबिदधकरा

rrr

ICT Tools or Links

बजओजयबाचािहायानयबवबवधवततळयकाढातामधयजीवावसपबतकाकाढनगिधमततपािा

आकती 3103D

E

OF

A

B C

आकती 3102

A

B

C

ED

91

bull समरप तरिकोणाची रचना दोन समरप तरिकोणापकी एका तरिकोणाचा बाज आतण दसऱा तरिकोणाचा सगत बाज ाचष गणोततर तदलष असता दसरा तरिकोण काढणष (i) एकही तशरोतबद सामाईक नसताना (ii) एक तशरोतबद सामाईक असतानाbull वतमळाची सपतशमका काढणष वतमळाला वतमळावरील तबदतन सपतशमका काढणष (i) वतमळकदराचा उपोग करन (ii) वतमळकदराचा उपोग न करता वतमळाला ताचा बाहषरील तबदतन सपतशमका काढणष

खालील रचना आपण आधीचा इततामधष तशकलो आहोत ता रचनाची उजळणी कराbull तदलषला रषषषला ततचा बाहषरील तबदतन समातर रषषा काढणषbull तदलषला रषषाखडाचा लबदभाजक काढणषbull तरिकोणाचा बाज व कोन ापकी परषसष घटक तदलष असता तरिकोण काढणषbull तदलषला रषषाखडाचष तदलषला सखषएवढष समान भाग करणषbull तदलषला रषषाखडाचष तदलषला गणोततरात तवभाजन करणषbull तदलषला कोनाशी एकरप असलषला कोन काढणष

इतता नववीत तमही शाळषचा पररसराचा नकाशा तार करणाचा उपकरम कला आहष एखादी इमारत बाधणापवशी ता इमारतीचा आराखडा तार करतात शाळषचा पररसर आतण ताचा नकाशा इमारत आतण ततचा आराखडा परसपराशी समरप असतात भगोल वासतशासरि रिशासरि इ कषरिामध ष समरप आकता काढणाची गरज असतष तरिकोण ही सवाात साधी बतदसत आकती आहष महणन तदलषला तरिकोणाशी समरप तरिकोण कसा काढता षतो हष पाहा

4 भौशमशतक रचना

92

समरप शरिकोणाची रचना

एका तरिकोणाचा बाज तदला असता ताचाशी समरप असणारा आतण गणोततराची अट पणम करणारा तरिकोण काढणष

दोन समरप तरिकोणाचा सगत बाज एकाच परमाणात असतात आतण ताचष सगत कोन एकरप असतात ाचा उपोग करन तदलषला तरिकोणाशी समरप असणारा तरिकोण काढता षतो

उदा (1) D ABC ~ D PQR D ABC मधष AB = 54 सषमी BC = 42 सषमी AC = 60 सषमी ABः PQ = 3ः2 तर D ABC आतण D PQR काढा

परथम तदलषला मापाचा D ABC काढा

D ABC आतण D PQR समरप आहषत

ताचा सगत बाज एकाच परमाणात अाहषत

AB

PQ=

BC

QR=

AC

PR=

3

2 (I)

AB BC AC ा बाजचा लाबी माहीत असलानष वरील समीकरणावरन PQ QR PR ा बाजचा लाबी तमळतील समीकरण [I] वरन

54

PQ=

42

QR=

60

PR=

3

2

PQ = 36 सषमी QR = 28 सषमी आतण PR = 40 सषमी

आकती 41कची आकती

PQAB

C

R

93

ABAcentB = BC

BCcent = ACAcentCcent = 5

3

D ABC चा बाज D AcentBCcent चा सगत बाजपषका मोठा असणार रषख BC चष 5 समान भाग कलष तर तातील तीन भागाएवढी रषख BCcent ची लाबी असषल D ABC काढन रषख BC वरील तबद B पासन तीन भागाएवढा अतरावरील तबद हा तबद Ccent असला पातहजष तबद Ccent मधन रषख AC ला समातर काढलषली रषषा रषख BA ला जा तबदत छषदषल तो तबद Acent असषल

अशधक माशहतीसाठी काही वषळा तदलषला तरिकोणाशी समरप असणारा जो तरिकोण काढावाचा आहष ताचा बाज मोजपट टीनष

मोजन काढता षणासारखा नसतात अशावषळी तदलषला रषषाखडाचष lsquoतदलषला सखषएवढष भाग करणषrsquo ा रचनषचा उपोग करन तरिकोणाचा बाज काढता षतात

उदाहरणाथम बाज AB ची लाबी 11 6

3

सषमी असषल तर 116 सषमी लाबीचा रषषाखडाचष 3 समान भाग करन AB रषषाखड काढता षईल

कची आकतीआकती 43

A

Acent

B CCcent

आकती 42AB

C

42सषमी

54 सषमी

60सषमी

PQ

R

28सषमी

36 सषमी

40सषमी

D PQR चा सवम बाजचा लाबी माहीत झालानष आपण ता तरिकोणाची रचना कर

उदा (1) मधील रचनषत तदलषला व काढावाचा तरिकोणात सामाईक तशरोतबद नवहता एक तशरोतबद सामाईक असषल तर तरिकोण रचना पढील उदाहरणात दाखवलापरमाणष करणष सोीचष असतष

उदा(2) D ABC हा कोणताही एक तरिकोण काढा D ABC शी समरप असणारा D AcentBCcent असा काढा की AB ः AcentB = 5ः3शवशलषण ः B A Acent हष तसषच B C Ccent हष एकरषषी घषऊ D ABC ~ D AcentBCcent ETH ABC = ETHAcentBCcent

94

टीप ः BC चष पाच समान भाग करताना रषषा BC चा जा बाजला A आहष ताचा तवरद ध बाजला B मधन एक तकरण काढन असष भाग करणष सोीचष असतष ता तकरणावर BT1 = T1T2 = T2T3 = T3T4 = T4T5 असष समान भाग घा T5C जोडा व T1 T2 T3 T4 मधन

रषख T5C ला समातर रषषा काढा

समरप तरिकोण काढणासाठी सोबतचा आकतीत दाखवलापरमाणषही D AcentBCcent काढता षईल ा आकतीपरमाणष D AcentBCcent काढावाचा असषल तर रचनषचा पाऱात कोणता बदल करावा लागषल

आकती 46

A

Acent

B

C

Ccent

BAcentBA = BC

BC

cent = 3

5 महणजषच BA

BAcent = BCBCcent = 5

3 वसत तकरा करन

रचनचया पायऱयाः

(1) D ABC हा कोणताही एक तरिकोण काढा(2) रषख BC चष पाच समान भाग करा(3) तबद B पढील ततसऱा तबदस Ccent नाव दा BCcent = 3

5 BC

(4) आता Ccent मधन रषख CA ला समातर रषषा काढा ती रषख AB ला जषथष छषदतष ता तबदला Acent नाव दा(5) D ABC शी समरप असणारा D AcentBCcent हा इषट तरिकोण आहष

आकती 45

A

T1T2 T3

T4T5

B C

आकती 44

A

Acent

CCcentB

95

उदा(3) D ABC शी समरप असणारा D AcentBCcent असा काढा की AB ः AcentB = 5ः7

शवशलषण ः तबद B A Acent तसषच तबद B C Ccent एकरषषी घषऊ

D ABC ~ D AcentBCcent आतण AB ः AcentB = 5ः7

D ABC चा बाज D AcentBCcent चा सगत बाजपषका लहान असणार

तसषच ETHABC ETHAcentBCcent ा बाबी तवचारात घषऊन कची आकती काढ

आता BC

BCprime=

5

7

रषख BC चष 5 समान भाग कलष तर तातील एका भागाचा 7 पट रषख BCcent ची लाबी असषल

D ABC काढन रषख BC चष पाच समान भाग कर तबद Ccent हा तकरण BC वर B पासन सात भाग

अतरावर असषल

परमाणाचा मलभत परमषानसार तबद Ccent मधन बाज AC ला समातर रषषा काढली तर ती वाढवलषला

तकरण BA ला जा तबदत छषदतष तो Acent हा तबद असषल रषख AcentCcent काढन D AcentBCcent हा अपषतकत

तरिकोण तमळषल

रचनचया पायऱया ः

(1) D ABC हा कोणताही एक तरिकोण काढा

(2) रषख BC चष 5 समान भाग करा तकरण BC वर तबद Ccent असा घा की रषख BCcent ची लाबी रषख BC चा

एका भागाचा सात पट असषल

(3) रषख AC ला Ccent मधन समातर रषषा काढा ती रषषा तकरण BA ला जषथष छषदतष ता तबदला Acent हष नाव दा

D AcentBCcent हा D ABC शी समरप असलषला इषट तरिकोण आहष

A

Acent

BC Ccent

आकती 48

A

Acent

B C1 2 3 4 5 6 7

Ccent

96

आकती 49

समजा कदर C असलषला वतमळावरील P तबदतन जाणारी रषषा l ही सपतशमका काढाची आहषतरिजषचा बाहयटोकाशी काढलषली लबरषषा ही ता वतमळाची सपतशमका असतष ा गणधमामचा उपोग कर समजा तरिजा CP काढली तर रषख CP ^ रषषा l महणजष तरिजा CP ला तबद P मधन जाणारी लब रषषा काढली की ती अपषतकत सपतशमका होईल

P

l

C

रषषषवरील तदलषला तबदतन जाणाऱा ता रषषषला लब असणाऱा रषषषची रचना षथष करावी लागषलमहणन सोीसाठी तकरण CP काढन रषषा l ची रचना कर

रचनचया पायऱया ः(1) कदर C असलषलष एक वतमळ काढा तावर P हा एक तबद घा(2) तकरण CP काढा(3) तबद P मधन तकरण CX ला लब रषषा l काढा रषषा l ही P तबदतन जाणारी वतमळाची अपषतकत सपतशमका आहष आकती 410

P XC

l

1 D ABC ~ D LMN D ABC असा काढा की AB = 55 सषमी BC = 6 सषमी CA = 45 सषमी

आतण BC

MN = 5

4 तर D ABC व D LMN काढा

2 D PQR ~ D LTR D PQR मधष PQ = 42 सषमी QR = 54 सषमी PR = 48 सषमी

आतण PQ

LT = 3

4 तर D PQR व D LTR काढा

3 D RST ~ D XYZ D RST मधष RS = 45 सषमी ETH RST = 40deg ST = 57 सषमी

आतण RS

XY =

3

5 तर D RST व D XYZ काढा

4 D AMT ~ D AHE D AMT मधष AM = 63 सषमी ETH TAM = 50deg AT = 56 सषमी

आतण AM

AH = 7

5 तर D AHE काढा

शदललया वतमळाला तयावरील शबदतन सपशिमका काढण

(i) वतमळ कदाचा उपयोग करनशवशलषण ः

97

ii) वतमळ कदाचा उपयोग न करताउदाहरण ः कोणताही तरिजषचष एक वतमळ काढा तावर C हा कोणताही एक तबद घा वतमळ कदराचा उपोग न करता तबद C मधन जाणारी ता वतमळाची सपतशमका काढा

शवशलषणः समजा आकतीत दाखवलापरमाणष रषषा l ही तबद C मधन जाणारी सपतशमका आहष रषख CB ही जीवा आतण ETH CAB हा अततलमखखत कोन काढला सपतशमका - छषतदका कोनाचा परमषानसार ETHCAB ETHBCD सपतशमका छषतदका कोनाचा परमषाचा वतासानसार

जर ETHCAB ETHBCD तर रषषा l ही वतमळाची सपतशमका असतष महणन रषख CB ही वतमळाची जीवा आतण ETHCAB हा अततलमखखत कोन काढ ETHBCD ा कोनाची रचना अशी कर की ETHBCD ETHBAC रषषा CD ही तदलषला वतमळाचा तबद C मधन जाणारी ता वतमळाची सपतशमका असषल

आकती 411l

AB

C

D

(1) एक वतमळ काढा वतमळावर C हा कोणताही एक तबद घा(2) जीवा CB आतण अततलमखखत ETHCAB काढा(3) कपासमधष सोतसकर तरिजा घषऊन आतण तबद A कदर घषऊन ETHBAC चा भजाना तबद M व तबद N मधष छषदणारा कस काढा

(4) तीच तरिजा आतण कदर C घषऊन जीवा CB ला छषदणारा कस काढा छषदनतबदला R नाव दा(5) कपासमधष MN एवढी तरिजा घा कदर R घषऊन आधी काढलषला कसाला छषदणारा आणखी एक कस काढा ता छषदनतबदला D नाव दा रषषा CD काढारषषा CD ही वतमळाची सपतशमका आहष

(वरील आकतीत ETH MAN ETH BCD ाचष कारण धानात घा रषषाखड MN व रषषाखड RD काढलास बाबाबा कसोटीनसार D MAN D RCD ETH MAN ETH BCD)

आकती 412

ABM

C

ND

R

98

समजा आकतीत दाखवलापरमाणष कदर O असलषला वतमळाचा बाहयभागात तबद P आहषतबद P मधन काढलषला सपतशमका ा वतमळाला तबद A आतण तबद B मधष सपशम करतात तबद A आतण तबद B ाची वतमळावरील सथानष तनखशचत करता आली तर सपतशमका PA आतण PB काढता षतील कारण तरिजा OA आतण OB काढला तर तरिजा OA ^ रषषा PA आतण तरिजा OB ^ रषषा PB

D OAP व D OBP हष काटकोन तरिकोण असन OP ता दोनहीचा कणम आहष रषख OP वास असणारष वतमळ काढलष तर तष कदर O असणाऱा वतमळाला जा तबदत छषदषल तष A आतण B असतील कारण अधमवतमळात अततलमखखत कलषला कोन काटकोन असतो

रचनचया पायऱयाः(1) कदर O असलषलष कोणताही तरिज षचष एक वतमळ काढा(2) वतमळाचा बाहयभागात P हा एक तबद घा(3) रषख OP काढा रषख OP चा लबदभाजक काढन मधतबद M तमळवा(4) कदर M व तरिजा OM घषऊन वतमळ कस काढा(5) हा वतमळकस तदलषला वतमळाला A आतण B तबदत छषदताष(6) रषषा PA व रषषा PB काढा आकती 414

PM

A

B

O

आकती 413

PO

A

B

रषषा PA व रषषा PB हया वतमळाचा अपषतकत सपतशमका आहषत

1 कदर P व तरिजा 32 सषमी असलषला वतमळाला तावरील M तबदतन सपतशमका काढा2 27 सषमी तरिजा असलषलष वतमळ काढा ा वतमळाला तावरील तबदतन सपतशमका काढा3 36 सषमी तरिज षचष वतमळ काढा ा वतमळाला तावरील कोणताही तबदतन वतमळकदर तवचारात न घषता सपतशमका काढा4 33 सषमी तरिजषचष वतमळ काढातामधष 66 सषमी लाबीची जीवा PQ काढा तबद P व तबद Q मधन वतमळाला सपतशमका काढा सपतशमकाबाबत तमचष तनरीकण नोदवा

शदललया वतमळाला तयाबाहरील शदललया शबदतन सपशिमका काढण

शवशलषण ः

99

5 34 सषमी तरिजषचष वतमळ काढातामधष 57 सषमी लाबीची जीवा MN काढा तबद M व तबद N मधनवतमळाला सपतशमका काढा

6 P कदर व 34 सषमी तरिजा घषऊन एक वतमळ काढा वतमळ कदरापासन 55 सषमी अतरावर Q तबद घाQ तबदतन वतमळाला सपतशमका काढा

7 41 सषमी तरिजा घषऊन एक वतमळ काढा वतमळ कदरापासन 73 सषमी अतरावरील तबदतन सपतशमका काढा

1 ोग पाम तनवडा ः(1) वतमळावरील तदलषला तबदतन वतमळाला काढता षणाऱा सपतशमकाची सखा असतष

(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0(2) वतमळाबाहषरील तबदतन वतमळाला जासतीत जासत सपतशमका काढता षतात

(A) 2 (B) 1 (C) एक आतण एकच (D) 0(3) जर D ABC ~ D PQR AB

PQ= 7

5 तर

(A) D ABC मोठा असषल (B) D PQR मोठा असषल(C) दोनही तरिकोण समान असतील (D) तनखशचत सागता षणार नाही

2 कदर O असलषलष 35 सषमी तरिजषचष वतमळ काढा वतमळ कदरापासन 57 सषमी अतरावर तबद P घा P तबदमधनवतमळाची सपतशमका काढा

3 कोणतषही एक वतमळ काढा तावर A हा तबद घषऊन तामधन वतमळाची सपतशमका वतमळकदराचा उपोग न करताकाढा

4 64 सषमी वासाचष वतमळ काढा वतमळकदरापासन वासाएवढा अतरावर तबद R घा ा तबदतन वतमळाचासपतशमका काढा

5 कदर P असलषलष वतमळ काढा 100deg मापाचा एक लघकस AB काढा तबद A व तबद B मधन वतमळालासपतशमका काढा

6 कदर E असलषलष 34 सषमी तरिजषचष वतमळ काढा वतमळावर F तबद घा तबद A असा घा तक E-F-Aआतण FA = 41 सषमी तबद A मधन वतमळाला सपतशमका काढा

7 जर D ABC ~ D LBN D ABC मधष AB = 51 सषमी ETH B = 40deg BC = 48 सषमीAC

LN= 4

7 तर D ABC व D LBN काढा

8 D PYQ असा काढा की PY = 63 सषमी YQ = 72 सषमी PQ = 58 सषमी

D XYZ हा D PYQ शी समरप तरिकोण असा काढा की YZYQ

= 6

5

rrr

100

bull अतराचष सरि bull तवभाजनाचष सरि bull रषषषचा चढ

सखारषषषवरील दोन तबदतील अतर कसष काढतात हष आपलाला माहीत आहष

PQ आतण R तबदचष तनदचशक अनकरमष -1-5 आतण 4 आहषत तर रषख PQरषख QR ाची लाबी काढा

तबद A आतण B ाचष तनदचशक x1 आतण x2 असतील आतण x2 gt x1 असषल तर रषषाखड AB ची लाबी = d(AB) = x2 - x1 आकतीत दाखवलापरमाणष तबद PQ आतण R ाचष तनदचशक अनकरमष -1-5 आतण 4 आहषत d(P Q) = (-1)-(-5) = -1 + 5 = 4 आतण d(Q R) = 4 - (-5) = 4 + 5 = 9 हीच सकलपना वापरन आपण XY परतलातीलएकाच अकावर असणाऱा दोन तबदतील अतर काढ

(1) एकाच अकावरील दोन शबदतील अतर काढण एकाच अकावरील दोन तबद महणजष एकाच सखारषषषवरील दोन तबद होत X अकावरील तबदचष तनदचशक

(2 0) ( -5

2 0) (8 0) असष तर Y अकावरील तबदचष तनदचशक (0 1) (0

17

2) (0 -3) असष

असतात हष धानात घा X अकाचा ऋण तनदचशक दाखवणारा भाग तकरण OXcent आहष व Y अकाचा ऋण तनदचशक दाखवणारा भाग तकरण OYcent आहष

आकती 51

PQ-2 1 5-3 20-4 3

O-5 4

R-1

5 शनदछिक भशमती

101

i) X-अकावरील दोन तबदतील अतर काढणष ii) Y-अकावरील दोन तबदतील अतर काढणष

2) दोन शबदना जोडणारा XY परतलातील रषाखड एखादा अकाला समातर असल तर तया दोन शबदतील अतर काढण

i) आकतीत रषख AB हा X- अकाला समातर आहष महणन तबद A व तबद B चष y तनदचशक समान आहषत रषख AL आतण रषख BM हष X-अकावर लब काढा c ABML हा आत आहष AB = LM परत LM = x2 - x1 d(AB) = x2 - x1

ii) आकतीत रषख PQ हा Y- अकाला समातर आहष महणन तबद P व तबद Q चष x तनदचशक समान आहषत रषख PR आतण रषख QS हष Y-अकावर लब काढा c PQSR हा आत आहष PQ = RS परत RS = y2 - y1

d(PQ) = y2 - y1

वरील आकतीत A(x1 0 ) आतण B(x2 0) हष दोन तबद X- अकावर असष आहषत की x2 gt x1

d(A B) = x2 - x1

वरील आकतीत P(0 y1) आतण Q(0 y2) हष दोन तबद Y- अकावर असष आहषत की y2 gt y1

d(PQ) = y2 - y1

आकती 52

A (x1 0) B (x2 0)X` X

Y

Y`

O

आकती 53

(0 y2) Q

(0 y1) P

XX`

Y

Y`

O

A(x1 y1)

L(x1 0)

B(x2 y1)

M(x2 0)X` X

Y`

Y

O

P (x1 y2)(0 y2) R

Q (x1 y1)(0 y1) S

X` XY`

Y

O

102

कती ः आकतीमधष रषख AB || Y-अक आतण रषख CB || X-अक असन A C तबदचष तनदचशक तदलष आहषत AC काढणासाठी खालील चौकटी भरा D ABC हा काटकोन तरिकोण आहष पाथागोरसचा परमषावरन (AB)2 + (BC)2 = AB BC शोधणासाठी तबद B चष तनदचशक काढ

CB || X- अक B चा y तनदचशक =

BA || Y- अक B चा x तनदचशक =

AB = 3 - = BC = - = 4

AC2 = + = AC = 17

अतराच सरि(Distance formula)

आकती 57 मधष A(x1 y1) आतण B(x2 y2) हष XY परतलातील कोणतषही दोन तबद आहषत तबद B मधन BP हा X-अकावर लब काढा तसषच तबद A मधन AD हा रषख BP वर लब काढा

रषख BP हा Y-अकाला समातर आहष

तबद D चा x तनदचशक x2 आहष

रषख AD हा X-अकाला समातर आहष

तबद D चा y तनदचशक y1 आहष

AD = d(A D) = x2 - x1 BD = d(B D) = y2 - y1

D ABD ा काटकोन तरिकोणात AB = AD + BD2 2 2

= x x y y2 1

2

2 1

2minus( ) + minus( )

AB = x x y y2 1

2

2 1

या शनषकषामला अतराच सरि अस महणतात

आकती 56

XX`

B

Y

Y`

A(2 3)

C(-2 2)

4

1-1

3

-3 2

-2

2

-2 3

-3

1

-1 0

आकती 57

XP

X`

Y

Y`

A(x1 y1)

B(x2 y2)

D(x2 y1)

O

103

हष लकात घा की x x y y x x y y2 1

2

2 1

2

1 2

2

1 2

2minus( ) + minus( ) = minus( ) + minus( )

मागील कतीत आपण रषख AC ची लाबी काढणासाठी AB BC ा लाबी काढन पाथागोरसचष परमष वापरलष आता अतराचष सरि वापरन आपण ताच रषषाखडाचा लाबी काढ

A(2 3) आतण C(-2 2) हष तदलष आहष

A(x1 y1) आतण C(x2 y2) मान

x1 = 2 y1 = 3 x2 = -2 y2 = 2

AC = x x y y2 1

2

2 1

= minus minus( ) + minus( )2 2 2 32 2

= minus( ) + minus( )4 12 2

= 16 1+

= 17

रषख AB || Y-अक आतण रषख BC || X-अक तबद B चष तनदचशक (2 2) आहषत

AB = x x y y2 1

2

2 1

2minus( ) + minus( ) = 2 2 2 32 2minus( ) + minus( ) = 0 1+ = 1

BC = x x y y2 1

2

2 1

2minus( ) + minus( ) = minus minus( ) + minus( )2 2 2 22 2 = minus( ) +4 0

2 = 4

आकती 51 मधील P व Q ा तबदतील अतर (-1) - (-5) = 4 असष आपण काढलष होतष ताच तबदचष तनदचशक परतलात (-1 0) व (-5 0) हष असणार अतराचष वरील सरि वापरन P व Q मधील अतर तषवढषच षईल हष पडताळन पाहा

XX`

B

Y

Y`

A(2 3)

C(-2 2)

O

आकती 58

bull आरभतबद O चष तनदचशक (0 0) असतात महणन तबद P चष तनदचशक (x y) असतील तर d(O P) = x y2 2+

bull P(x1 y1) Q(x2 y2) हष दोन तबद XY परतलावर असतील तर

d(P Q) = x x y y2 1

2

2 1

महणजषच PQ2 = x x y y2 1

2

2 1

2minus( ) + minus( ) = x x y y1 2

2

1 2

104

सोडवलली उदाहरण उदा (1) P(-1 1) Q(5-7) ा दोन तबदतील अतर काढाउकल ः P(x1 y1) आतण Q(x2 y2) मान x1 = -1 y1 = 1 x2 = 5 y2 = -7

अतराचष सरिानसार d(P Q) = x x y y2 1

2

2 1

= 5 1 7 12 2

minus minus( ) + minus( ) minus

= 6 82 2( ) + minus( )

= 36 64+

d(P Q) = 100 = 10 तबद P आतण Q मधील अतर 10

उदा (2) A(-3 2) B(1 -2) आतण C(9 -10) हष तबद एकरषषी आहषत हष दाखवाउकल ः जर d(A B) d(B C) आतण d(A C) ापकी दोन अतराची बषरीज ततसऱा अतराएवढी असषल तरच तबद A B C एकरषषी असतील d(A B) d(B C) आतण d(A C) काढ तबद A चष तनदचशक तबद B चष तनदचशक अतराचष सरि (-3 2) (1 -2) d(AB) = x x y y2 1

2

2 1

2minus( ) + minus( ) (x1 y1) (x2 y2)

d(A B) = 1 3 2 22 2

minus minus( ) + minus( ) minus (अतराचा सरिावरन)

= 1 3 42 2+( ) + minus( )

= 16 16+

= 32 = 4 2 (I)

d(B C) = 9 1 10 22 2minus( ) + minus +( )

= 64 64+ = 8 2 (II)

आतण d(A C) = 9 3 10 22 2+( ) + minus minus( )

= 144 144+ = 12 2 (III)

4 2 + 8 2 = 12 2 (I) (II) आतण (III) वरन d(A B) + d(B C) = d(A C) A B C हष तबद एकरषषी आहषत

105

उदा (3) P(6 -6) Q(3 -7) आतण R(3 3) हष तबद एकरषषी आहषत का तष ठरवा

उकल ः PQ = 6 3 6 72 2minus( ) + minus +( ) (अतराचष सरि वापरन)

= 3 12 2( ) + ( ) = 10 (I)

QR = 3 3 7 32 2minus( ) + minus minus( )

= 0 102 2( ) + minus( ) = 100 (II)

PR = 3 6 3 62 2minus( ) + +( )

= minus( ) + ( )3 92 2 = 90 (III)

(I) (II) आतण (III) वरन 10 100 आतण 90 ापकी 100 ही सवाात मोठी सखा आहष

100( ) आतण 10 90+( ) ा सखा समान आहषत का तष पाह

ासाठी 1002( ) आतण 10 90

2

+( ) ाची तलना करा

तावरन तमचा लकात षईल 10 90+( ) gt 100( ) PQ + PR sup1 QR P(6 -6) Q(3 -7) आतण R(3 3) हष तबद एकरषषी नाहीत उदा (4) (1 7) (4 2) (-1 -1) आतण (-4 4) हष चौरसाचष तशरोतबद आहषत हष दाखवाउकल ः जषवहा चौकोनाचा सवम भजा समान लाबीचा आतण कणम समान लाबीचष असतात तषवहा तो चौकोन चौरस असतो सवम बाजचा लाबी व कणााचा लाबी अतराचा सरिावरन काढ समजा A(1 7) B(4 2) C(-1 -1) आतण D(-44) हष तदलषलष तबद आहषत

AB = 1 4 7 22 2minus( ) + minus( ) = 9 25+ = 34

BC = 4 1 2 12 2+( ) + +( ) = 25 9+ = 34

CD = minus +( ) + minus minus( )1 4 1 42 2

= 9 25+ = 34

DA = 1 4 7 42 2+( ) + minus( ) = 25 9+ = 34

AC = 1 1 7 12 2+( ) + +( ) = 4 64+ = 68

BD = 4 4 2 42 2+( ) + minus( ) = 64 4+ = 68

AB = BC = CD = DA आतण AC = BD

आकती 59

A

B

C

D

106

ावरन असष तदसतष की चौकोनाचा चारही बाजची लाबी समान आहष तसषच दोनही कणम AC व BD ाची लाबी समान आहषत (17) (42) (-1-1) आतण (-44) ा तशरोतबदनी तार झालषला चौकोन चौरस आहष

उदा (5) Y- अकावरील अशा तबदचष तनदचशक शोधा की जो M (-5-2)आतण N(32) पासन समान अतरावर आहष उकल ः समजा Y- अकावरील तबद P(0 y)हा तबद M व N पासन समान अतरावर आहष PM = PN PM2 = PN2

[0 -(-5)]2 + [y -(-2)]2 = (0 - 3)2 + (y - 2)2

25 + (y + 2)2 = 9 + y2 - 4y + 4 25 + y2 + 4y + 4 = 13 + y2 - 4y ` 8y = -16 y = -2 M (-5 -2) आतण N (3 2) ा तबदपासन समान अतरावर असणाऱा Y- अकावरील तबदचष तनदचशक (0 -2) आहषत

उदा (6) A(-3 -4) B(-5 0) C(3 0) हष D ABC चष तशरोतबद आहषत D ABC चा पररकदराचष तनदचशक शोधाउकल ः समजा तबद P(a b) हा D ABC चष पररकदर आहष P हा तबद A B C पासन समदर आहष PA2 = PB2 = PC2 (I) PA2 = PB2

(a + 3)2 + (b + 4)2 = (a + 5)2 + (b - 0)2

a2 + 6a + 9 + b2 + 8b + 16 = a2 + 10a + 25 +b2

-4a + 8b = 0 a - 2b = 0 (II) तसषच PA2 = PC2 (I) वरन (a + 3)2 + (b + 4)2 = (a - 3)2 + (b - 0)2

a2 + 6a + 9 + b2 + 8b + 16 = a2 - 6a + 9 + b2

12a + 8b = -16 3a + 2b = -4 (III) समीकरण (II) आतण (III) सोडवन a = -1 b = -

1

2

पररकदराचष तनदचशक (-1 -1

2) आहषत

P(ab)

A(-3-4)

B(-50)

C(30)

आकती 510

107

उदा (7) तबद (x y) हा (7 1) आतण (3 5) ाचापासन समदर असषल तर y = x-2 दाखवाउकल ः समजा P (x y) हा तबद A(7 1) आतण B(3 5) ाचापासन समदर आहष AP = BP AP2 = BP2

(x - 7)2 + (y - 1)2 = (x - 3)2 + (y - 5)2

x2 - 14x +49 + y2 - 2y + 1 = x2 - 6x + 9 + y2 - 10y +25 - 8x + 8y = -16 x - y = 2 y = x - 2

उदा (8) तबद A (2-2) आतण तबद B (-1 y) ातील अतर 5 आहष तर y ची तकमत काढा उकल ः AB2 = [(-1) - 2]2 + [y - (-2)]2 अतराचा सरिावरन 52 = (-3)2 + (y + 2)2

25 = 9 + (y + 2)2

16 = (y + 2)2

y + 2 = plusmn 16

y + 2 = plusmn 4 y = 4 - 2 तकवा y = -4 - 2 y = 2 तकवा y = -6 y ची तकमत 2 तकवा -6 आहष

1 खाली तदलषला तबदचा परतषक जोडीतील अतर काढा (1) A(2 3) B(4 1) (2) P(-5 7) Q(-1 3) (3) R(0 -3) S(0 5

2)

(4) L(5 -8) M(-7 -3) (5) T(-3 6) R(9 -10) (6) W( -7

2 4) X(11 4)

2 खालील तबद एकरषषी आहषत की नाहीत हष ठरवा (1) A(1 -3) B(2 -5) C(-4 7) (2) L(-2 3) M(1 -3) N(5 4) (3) R(0 3) D(2 1) S(3 -1) (4) P(-2 3) Q(1 2) R(4 1)3 X- अकावरील असा तबद शोधा की जो तबद A(-3 4) आतण B(1 -4) ाचापासन समदर आहष4 P(-2 2) Q(2 2) आतण R(2 7) हष काटकोन तरिकोणाचष तशरोतबद आहषत हष पडताळन पाहा

108

आकती 512

PA B6 10 आकतीत AP = 6 आतण PB = 10

AP

PB= =

6

10

3

5

हषच वषगळा शबदात lsquoतबद P हा रषख AB चष 3ः5 ा गणोततरात तवभाजन करतोrsquo असष महणतात जषवहा एखादा रषषाखडावरील तबद ताच रषषाखडाचष तदलषला गणोततरात तवभाजन करतो तषवहा ता तवभाजन करणाऱा तबदचष तनदचशक कसष काढतात तष पाह

5 P(2 -2) Q(7 3) R(11 -1) आतण S (6 -6) हष तशरोतबद असलषला चौकोन समातरभज आहष हष दाखवा6 A(-4 -7) B(-1 2) C(8 5) आतण D(5 -4) हष ABCD ा समभज चौकोनाचष तशरोतबद आहषत हष दाखवा7 जर तबद L(x 7) आतण M(1 15) ातील अतर 10 असषल तर x ची तकमत काढा8 A(1 2) B(1 6) C(1 + 2 3 4) हष समभज तरिकोणाचष तशरोतबद आहषत हष दाखवा

तीन समातर रषाचया आतरछदाचा गणधमम ः आकतीत रषषा l || रषषा m || रषषा n रषषा p व q ा छषतदका आहषत

AB

BC=

DE

EF

रषाखडाच शवभाजन (Division of a line segment)

आकती 511

mn

p q

lAB

C

DEF

109

शवभाजनाच सरि (Section formula)

आकती 513 मध ष XY परतलातील रषख AB वरील तबद P रषख AB चष m ः n ा गणोततरात तवभाजन करतो

तीन समातर रषषाचा आतरछषदाचा गणधमामनष APPB

= CQQD

= mn

आता CQ = x - x1 आतण QD = x2 - x (I) वरन

x x

m

n

minusminus

=1

2

n(x - x1) = m (x2 - x) nx - nx1 = mx2 - mx

mx + nx = mx2 + nx1

x(m + n) = mx2 + nx1

x = mx nx

m n2 1+

+ ाचपरमाणष तबद A P आतण B मधन Y- अकावर लब काढन वरील परमाणषच कती करन आपलाला

ymy ny

m n=

++

2 1 तमळषल

तबद A(x1 y1) आतण B(x2 y2) ाना जोडणाऱा रषख AB चष m ः n ा गणोततरात तवभाजन

करणाऱा तबदचष तनदचशक mx nx

m n

my ny

m n2 1 2 1++

++

असतात

आकती 513

XX`

Y

Y`

A (x1 y1

) P (x y) B(x2 y2)

D(x2 0)Q(x 0)C(x1 0)O

A(x1 y1) B(x2 y2) आतण P(x y) मान रषख AC रषख PQ आतण रषख BD हष X-अकावर लब रषषाखड काढलष C(x1 0) Q (x 0) आतण D (x2 0) CQ = x - x1

आतण QD = x2 - x

तसषच रषख AC || रषख PQ || रषख BD

(I)

110

x = mx nx

m n2 1+

+

= mx mx

m m2 1+

+ m = n

= m x x

m1 2

2

+( )

= x x1 2

2

+

y = my ny

m n2 1+

+

= my my

m m2 1+

+ m = n

= m y y

m1 2

2

+( )

= y y1 2

2

+

P ा मधतबदचष तनदचशक x x y y1 2 1 2

2 2

+ +

हष आहषत ालाच मधयशबदच सरि असष महणतात

आपण मागील इततषत दोन पररमष सखा a आतण b सखारषषषवर दाखवन ताना जोडणाऱा रषषाखडाचा

a + b2

हा मधतबद असतो हष दाखवलष होतष तो तनषकषम महणजष आता तमळालषला सरिाचा तवतशषट

परकार आहष हष लकात घा

सोडवलली उदाहरण उदा(1) जर A(35) आतण B(79) असन तबद Q रषख AB चष 2ः3 ा गणोततरात तवभाजन करत असषल तर Q तबदचष तनदचशक काढा उकल ः तदलषला उदाहरणात (x1 y1) = (3 5) आतण (x2 y2) = (7 9) मान तसषच m ः n = 2ः3 रषषाखडाचा तवभाजनाचा सरिानसार

x = mx nx

m n2 1+

+ = 2 7 3 3

2 3

23

5

times + times+

= ymy ny

m n=

++

2 1 = 2 9 3 5

2 3

33

5

times + times+

=

तबद Q चष तनदचशक 23

5

33

5

आकती 514

A (x1 y1) P (x y)

रषाखडाचया मधयशबदच सरि (Mid-point formula)

A(x1 y1) आतण B(x2 y2) हष दोन तबद असन तबद P(x y) हा रषख AB चा मधतबद असषल तर

m = n आता तवभाजन सरिानसार x व y चा तकमती तलह

B (x2 y2)

111

समजा A(x1 y1) B(x2 y2) C(x3 y3) हष D ABC चष तशरोतबद असन रषख AD ही D ABC ची मधगा आहष तबद G(x y) हा ता तरिकोणाचा मधगासपाततबद आहष तबद D हा रषख BC चा मधतबद आहष

उदा(2) A(-42) B(62) ा रषषाखडाचा तबद P हा मधतबद आहष तर P तबदचष तनदचशक काढाउकल ः

आकती 516

2

1

A(x1 y1)

C(x3 y3)

G(x y)

B(x2 y2) D

आकती 515

A (-42) B (62)P (x y)

(-4 2) = (x1 y1) (6 2) = (x2 y2) आतण तबद P चष तनदचशक (x y) मान

मधतबदचा सरिानसार

x = x x1 2

2

+ = minus +4 6

2 = 2

2 = 1

y = y y1 2

2

+ = 2 2

2

+ = 4

2 = 2

मधतबद P चष तनदचशक (12) षतील

आपलाला माहीत आहष की तरिकोणाचा मधगा एकसपाती असतातसपाततबद (centroid) मधगषचष 2ः1 ा गणोततरात तवभाजन करतो

मधयगासपातशबदच सरि (Centroid formula)

तरिकोणाचा ततनही तशरोतबदचष तनदचशक तदलष असता तवभाजन सरिाचा वापर करन मधगासपाततबदचष तनदचशक कसष काढता षतात तष आपण पाह

112

तबद D चष तनदचशक x = x x2 3

2

+ y = y y2 3

2

+ रषषाखडाचा मधतबदचा सरिानसार

तबद G(x y) हा D ABC चा मधगासपाततबद आहष AG ः GD = 2 ः 1 रषषाखडाचा तवभाजनसरिानसार

x = 2

21

2 1

2 31

x xx

+

+ times

+ = x x x2 3 1

3

+ + = x x x1 2 3

3

+ +

y = 2

21

2 1

2 31

y yy

+

+ times

+ = y y y2 3 1

3

+ + = y y y1 2 3

3

+ +

महणजषच तशरोतबद (x1 y1) (x2 y2) (x3 y3) असलषला तरिकोणाचा मधगासपाततबदचष तनदचशक

x x x y y y1 2 3 1 2 3

3 3

+ + + +

असतात

ालाच मधयगासपातशबदच सरि महणतात

bull तवभाजनाचष सरि

(x1 y1) आतण (x2 y2) ा दोन तभनन तबदना जोडणाऱा रषषाखडाचष m ः n ा गणोततरात तवभाजन

m n

my ny

m n2 1 2 1++

++

असतात

bull मधतबदचष सरि (x1 y1) आतण (x2 y2) ा दोन तभनन तबदना जोडणाऱा रषषाखडाचा मधतबदचष तनदचशक

x x y y1 2 1 2

2 2

+ +

असतात

bull मधगासपाततबदचष सरि (x1 y1) (x2 y2) आतण (x3 y3) हष तरिकोणाचा तशरोतबदचष तनदचशक असतील तर मधगासपाततबदचष

तनदचशक x x x y y y1 2 3 1 2 3

3 3

+ + + +

असतात

113

उदा (1) A(-74) आतण B(-6-5) असन तबद T हा रषख AB चष 7ः2 ा गणोततरात तवभाजन करतो तर T तबदचष तनदचशक काढाउकल ः समजा T चष तनदचशक (x y) आहषत रषषाखडाचा तवभाजनाचा सरिानसार

x = mx nx

m n2 1+

+ = 7 6 2 7

7 2

times minus( ) + times minus( )+

= - -42 14

9 = -56

9 y = my ny

m n2 1+

+ = 7 5 2 4

7 2

times minus( ) + times( )+

= minus +35 8

9 = -27

9 = -3

T तबदचष तनदचशक minusminus

56

93 षतील

उदा (2) तबद P(-4 6) हा A(-6 10) आतण B(r s) ाना जोडणाऱा रषषाखडाला 2ः1 ा गणोततरात तवभागतो तर तबद B चष तनदचशक काढा उकल ः रषषाखड तवभाजनाचा सरिानसार

-4 = 2 acute r + 1 acute (-6)

2 + 1

-4 = 2r - 6

3 -12 = 2r - 6 2r = -6 r = -3

6 = 2 acute s + 1 acute 10

2 + 1

6 = 2s + 10

3 18 = 2s + 10 2s = 8 s = 4

तबद B चष तनदचशक (-3 4) आहषत

उदा (3) A(155) B(920) आतण P(1115) असन A-P-B तर तबद P हा रषख AB चष कोणता गणोततरात तवभाजन करतो तष काढाउकल ः तबद P(1115) रषख AB चष m ः n ा गणोततरात तवभाजन करतो असष मान तवभाजनाचा सरिानसार

आकती 517

(-7 4)

7

2

(x y)(-6 -5)TB

A

114

x = mx nx

m n2 1+

+

11 = 9 15m n

m n

++

11m + 11n = 9m + 15n

2m = 4n

mn

= 4

2 = 2

1

तवभाजन गणोततर 2 ः 1 आहष

उदा (4) तबद A (2-2) आतण B(-74) ाना जोडणाऱा रषषाखडाचष तरिभाजन करणाऱा तबदचष तनदचशक काढा (रषषाखडावरील जष दोन तबद ता रषषाखडाचष तीन समान भाग करतात ता तबदना ता रषषाखडाचष तरिभाजक तबद महणतात)उकल ः समजा तबद P आतण Q हष तबद A आतण तबद B ाना जोडणाऱा रषषाखडाचष तरिभाजक तबद आहषत महणजषच तबद P आतण Q मळष रषख AB चष तीन समान भाग होतात AP = PQ = QB (I)

AP

PB = AP

PQ + QB = AP

AP + AP = AP

2AP = 1

2 (I) वरन

तबद P रषख AB चष 1ः2 ा गणोततरात तवभाजन करतो

ापरमाणष y - तनदचशकाचा तकमती घालन षणारष गणोततर तकती षतष तष काढा तमचा तनषकषम तलहा

P चा x तनदचशक = 1 7 2 2

1 2

times minus( ) + times+

= minus +7 4

3 = -3

3 = -1

P चा y तनदचशक = 1 4 2 2

1 2

times + times minus( )+

= 4 4

3

- = 0

3 = 0

तसषच Q तबद रषख AB चष 2ः1 ा गणोततरात तवभाजन करतो महणजष AQQB

= 2

1

Q चा x तनदचशक = 2 7 1 2

2 1

= minus +14 2

3 = -12

3 = -4

Q चा y तनदचशक = 2 4 1 2

2 1

times + timesminus+

= 8 2

3

- = 6

3 = 2

रषषाखडाचा तरिभाजक तबदचष तनदचशक (-1 0) (-4 2) आहषत

आकती 518

A P Q B

115

अशधक माशहतीसाठी ःA आतण B ा तबदना जोडणाऱा रषषाखडाचष बाहयतवभाजन कसष करतात पाहा A(-4 6) B(5 10) असष तबद असतील तर AB रषषाखडाचष 3ः1 ा गणोततरामध ष बाहयतवभाजन

करणाऱा तबद P चष तनदचशक कसष काढता षतात तष पाहा APPB

= 3

1 महणजष AP PB पषका मोठी असन A-B-P आहष

APPB

= 3

1 महणजषच AP = 3k BP = k तर AB = 2k

ABBP

= 2

1

आता तबद B हा रषषाखड AP चष 2 ः 1 ा गणोततरात तवभाजन करतो A व B चष तनदचशक तदलष असता P चष तनदचशक काढाला आपण तशकलो आहोत

1 जर P तबद हा A(-17) आतण B(4-3) ाना जोडणाऱा रषषाखडाचष 2 ः 3 ा गणोततरात तवभाजन करत असषल तर P तबदचष तनदचशक काढा2 खालील परत षक उदाहरणात रषख PQ चष a ः b ा गणोततरात तवभाजन करणाऱा A ा तबदचष तनदचशक काढा (1) P(-3 7) Q(1 -4) a ः b = 2 ः 1 (2) P(-2 -5) Q(4 3) a ः b = 3 ः 4 (3) P(2 6) Q(-4 1) a ः b = 1 ः 23 P-T-Q असन तबद T(-1 6) हा तबद P(-3 10) आतण तबद Q(6 -8) ाना जोडणाऱा रषषाखडाला कोणता गणोततरात तवभागतो4 रषख AB हा वतमळाचा वास असन तबद P हष कदर आहष A(2 -3)आतण P (-2 0) असलास B तबदचष तनदचशक काढा 5 तबद A(8 9) आतण B(1 2) ाना जोडणाऱा रषख AB चष P(k 7) हा तबद कोणता गणोततरात तवभाजन करतो तष काढा आतण k ची तकमत काढा6 (22 20) आतण (0 16) ाना जोडणाऱा रषषाखडाचा मधतबदचष तनदचशक काढा7 खाली तरिकोणाचष तशरोतबद तदलषलष आहषत परतषक तरिकोणाचा मधगासपाततबदचष तनदचशक काढा (1)(-7 6) (2 -2) (8 5) (2) (3 -5) (4 3) (11 -4) (3) (4 7) (8 4) (7 11)

आकती 519(-4 6)

(5 10)B

P

A

116

अापण सपाट जतमनीवर चालतो तषवहा शरम करावष लागत नाहीत चढावर चढताना थोडष शरम करावष लागतात माणसाला दम लाग शकतो चढाचा रसतावरन जाताना गरतवाकषमण बलाचा तवरद ध काम करावष लागतष हष आपण तवजानात पातहलष आहष

परतली तनदचशक भतमतीत रषषषचा चढ ही एक महतवाची सकलपना आहष खाली तदलषला कतीतन ही सकलपना समजन घषऊ

कती I ः सोबतचा आकतीत A(-2 -5) B(0-2) C(21) D(44) E(67) हष रषषा l चष तबद आहषत ा तनदचशकाचा वापर करन तार कलषला पढील सारणीचष तनरीकण करा

8 D ABC चा G हा मधगासपात आहष A B व G ाचष तनदचशक अनकरमष (-14 -19) (3 5) आतण (-4 -7) आहषत तर C तबदचष तनदचशक काढा 9 मधगासपात G (1 5) असलषला तरिकोणाचष A (h -6) B (2 3) आतण C (-6 k) तशरोतबद आहषत तर h आतण k ची तकमत काढा10 तबद A (2 7) आतण B(-4 -8) ाना जोडणाऱा रषख AB चष तरिभाजन करणाऱा तबदचष तनदचशक काढा11 A (-14 -10) B(6 -2) असलषला रषख AB चष चार एकरप रषषाखडात तवभाजन करणाऱा तबदचष तनदचशक काढा12 A (20 10) B(0 20) असलषला रषख AB चष पाच एकरप रषषाखडात तवभाजन करणाऱा तबदचष तनदचशक काढा

रषचा चढ (Slope of a line)

AB

C

D

El

X

Y

Xcent

Ycent

4

41

3(4 4)

(6 7)

(-2 -5)

-3 2

7

2(2 1)

-2 3

6

1

(0 -2)

-1

5

0

आकती 520

117

अ कर

पतहला तबद

दसरा तबद

पतहला तबदचष तनदचशक

(x1 y1)

दसऱा तबदचष तनदचशक

(x2 y2)

y y

x x2 1

2 1

--

1 C E (2 1) (6 7)7 1

6 2

--

= 6

4 = 3

2

2 A D (-2 -5) (4 4)4 5

4 2

minus minus( )minus minus( )

= 9

6 = 3

2

3 D A (4 4) (-2 -5)- -- -

5 4

2 4 = -

-9

6 = 3

2

4 B C -- -- --

5 C A -- -- --

6 A C -- -- --

सारणीतील उरलषला चौकटी भरन सारणी पणम करा ापरमाणष रषषा l वरील तबदचा आणखी काही जोडा

घा आतण परतषक जोडीसाठी y y

x x2 1

2 1

--

ा कतीतन लकात षतष की l रषषषचा (x1 y1) आतण (x2 y2) ा कोणताही दोन तबदसाठी y y

x x2 1

2 1

--

हष गणोततर खसथर आहष

रषषा l चष (x1 y1) आतण (x2 y2) हष कोणतषही दोन तबद असतील तर y y

x x2 1

2 1

--

हया खसथर गणोततराला रषषा l चा चढ महणतात

रषषषचा चढ सामानपणष m ा अकरानष दाखवतात

m = y y

x x2 1

2 1

--

118

(5) X- अकाचा धन तदशषशी तवशालकोन करणाऱा n ा रषषषचा चढ ऋण अाहष

X-अक Y-अक आशण अकाना समातर रषाच चढ आकती 522 मधष (x1 0) आतण (x2 0) हष X- अकाचष दोन तबद आहषत

X- अकाचा चढ = 0 - 0x2- x1

= 0

तसषच (0 y1) आतण (0 y2) हष Y- अकाचष दोन तबद आहषत

Y- अकाचा चढ = y2- y1

0 - 0 = y2- y1

0

परत 0 नष भागता षत नसलानष Y- अकाचा चढ ठरतवता षत नाही ापरमाणषच रषषा m सारखा X- अकाला समातर असलषला कोणताही रषषषचा चढ काढन पाहा तो शन षईल तसषच रषषा l सारखा Y- अकाला समातर असलषला रषषषचा चढ ठरतवता षत नाही असष तदसषल

रषचा चढ ndash शरिकोणशमतीतील गणोततर वापरन

आकती 523 मधष P(x1 y1) आतण Q (x2 y2) हष रषषा l वरील दोन तबद आहषत

रषषा l ही X अकाला T तबदत छषदतष

रषख QS ^ X- अक रषख PR ^ रषख QS रषख PR || रषख TS सगत कोन कसोटी

QR = y2 - y1 आतण PR = x2 - x1

कती II ः आकतीत रषषा l t आतण n व तावरील काही तबद तदलष आहषत तावरन ता रषषाचष चढ काढा तमचा लकात षईल की (1) रषषा l आतण रषषा t ाचष चढ धन आहषत (2) रषषा n चा चढ ऋण आहष (3) रषषा t चा चढ रषषा l चा चढापषका जासत आहष (4) X- अकाचा धन तदशषशी लघकोन करणाऱा l व t ा रषषाचष चढ धन अाहषत

आकती 521

t

n

l

A(40)B(61)

C(34)

D(-10)0 X

Y

आकती 522

(x2 0)(x1 0)

(0 y1)

(0 y2)

l

m

X

Y

0

119

दोन रषषाचा चढ समान असतो तषवहा ता रषषा X- अकाचा धन तदशषशी समान मापाचष कोन करतात ता दोन रषषा समातर असतात

समातर रषाचा चढ (Slope of parallel lines)कती ः

आकती 524 मध ष रषषा l आतण रषषा t ा दोनही रषषानी X- अकाचा धन तदशषशी कलषला कोन q आहष

QR

PR = tanq (II)

(I) व (II) वरन y y

x x2 1

2 1

--

= tanq

m = tanq

आता रषख PR || रषख TS छषतदका रषषा l ETHQPR = ETHQTS सगतकोन

ावरन रषषषनष X-अकाचा धन तदशषशी कलषला कोनाचष टन गणोततर महणजष ता रषषषचा चढ हो अशीही चढाची वाखा करता षतष

रषषा l || रषषा t सगत कोन कसोटीरषषा l वरील तबद A(-3 0) आतण तबद B(0 3)

तवचारात घा रषषा AB चा चढ काढारषषा AB चा चढ =

y y

x x2 1

2 1

--

=

-

- =

=

ाचपरमाणष रषषा t वरील सोतसकर तबद घषऊन ततचा चढ काढा

ावरन समातर रषषाचष चढ समान असतात ाचा पडताळा तमही घषऊ शकाल

QR

PR = y y

x x2 1

2 1

-- (I)

रषषा TQ ही X- अकाशी q कोन करतष

आकती 524

A XX`

B

Y

Y`

t

l

(03)

(-30)qq

0

आकती 523

X

Y

q

qT

R

S

Q(x 2 y 2

)

(x2- x1)P(x 1

y 1)

(y2- y1)

l

O

120

ा तठकाणी q = 45deg आहषचढ m = tanq हष वापरनही दोनही समातर रषषाचष चढ समान षतात हष पडताळन पाहाापरमाणष q = 30deg q = 60deg घषऊन समातर रषषाचष चढ समान असतात ाचा पडताळा घा

X- अकाचा तकवा X- अकाला समातर रषषषचा चढ शन असतोY- अकाचा तकवा Y- अकाला समातर रषषषचा चढ ठरतवता षत नाही

सोडवलली उदाहरण उदा (1) A (-3 5) आतण B (4 -1) ा तबदतन जाणाऱा रषषषचा चढ काढा उकल ः समजा x1 = -3 x2 = 4 y1 = 5 y2 = -1

रषषा AB चा चढ = y y

x x2 1

2 1

--

= minus minusminus minus( )1 5

4 3 = -6

7

उदा (2) P(-2 3) Q(1 2) R(4 1) हष तबद एकरषषी आहषत हष दाखवाउकल ः P(-2 3) Q(1 2) आतण R(4 1) हष तदलषलष तबद आहषत

रषषा PQ चा चढ = y y

x x2 1

2 1

--

= 2 3

1 2

minusminus minus( ) = -

1

3 रषषा QR चा चढ = y y

x x2 1

2 1

--

= 1 2

4 1

--

= -1

3

रषषा PQ आतण रषषा QR चा चढ समान आहष पण तबद Q दोनही रषषावर आहष तबद P Q R हष एकरषषी आहषत

उदा (3) जर P(k 0) आतण Q(-3 -2)हष दोन तबद जोडणाऱा रषषषचा चढ 2

7 असषल तर k ची तकमत

काढा उकल ः P(k 0) आतण Q(-3 -2) रषषा PQ चा चढ = - -

- -2 0

3 k = -

- -2

3 k

रषषा PQ चा चढ 2

7 तदला आहष

-- -

2

3 k = 2

7 k = 4

121

उदा (4) A (6 1) B (8 2) C (9 4) आतण D (7 3) हष c ABCD चष तशरोतबद असतील तर c ABCD समातरभज चौकोन आहष हष दाखवा

उकल ः तमहास माहीत आहष की रषषषचा चढ = y y

x x2 1

2 1

--

रषषा AB चा चढ = 2 1

8 6

--

= 1

2 (I)

रषषा BC चा चढ = 4 2

9 8

--

= 2 (II)

रषषा CD चा चढ = 3 4

7 9

--

= 1

2 (III)

रषषा DA चा चढ = 3 1

7 6

--

= 2 (IV)

रषषा AB चा चढ = रषषा CD चा चढ (I) व (III) वरन रषषा AB || रषषा CD रषषा BC चा चढ = रषषा DA चा चढ (II) व (IV) वरन रषषा BC || रषषा DA महणजषच चौकोनाचा समख भजाचा दोनही जोडा परसपराना समातर आहषत c ABCD समातरभज चौकोन आहष

1 रषषानी X-अकाचा धन तदशषशी कलषलष कोन तदलष आहषत तावरन ता रषषाचष चढ काढा (1) 45deg (2) 60deg (3) 90deg 2 खाली तदलषला तबदतन जाणाऱा रषषाचष चढ काढा (1) A (2 3) आतण B (4 7) (2) P (-3 1) आतण Q (5 -2) (3) C (5 -2) आतण D (7 3) (4) L (-2 -3) आतण M (-6 -8) (5) E(-4 -2) आतण F (6 3) (6) T (0 -3) आतण S (0 4)3 खालील तबद एकरषषी आहषत की नाहीत हष ठरवा (1) A(-1 -1) B(0 1) C(1 3) (2) D(-2 -3) E(1 0) F(2 1) (3) L(2 5) M(3 3) N(5 1) (4) P(2 -5) Q(1 -3) R(-2 3) (5) R(1 -4) S(-2 2) T(-3 4) (6) A(-4 4) K(-2 5

2) N(4 -2)

4 A (1 -1)B (0 4)C (-5 3) हष तरिकोणाचष तशरोतबद अाहषत तर परतषक बाजचा चढ काढा 5 A (-4 -7)B (-1 2) C (8 5) आतण D (5 -4) हष ABCD ा समातरभज चौकोनाचष तशरोतबद आहषत हष दाखवा

122

6 R(1 -1) आतण S (-2 k) असन RS ा रषषषचा चढ -2 असषल तर k ची तकमत काढा 7 B(k -5) आतण C (1 2) ा रषषषचा चढ 7 असषल तर k ची तकमत काढा8 P(2 4) Q (3 6) R(3 1) आतण S(5 k) असन रषषा PQ ही रषषा RS ला समातर आहष तर k ची तकमत काढा

1 ोग पाम तनवडन ररकामा जागा भरा

(1) रषख AB हा Y-अकाला समातर असन A तबदचष तनदचशक (13) आहषत तर B तबदचष तनदचशक अस शकतील (A)(31) (B)(53) (C)(30) (D)(1-3)

(2) खालीलपकी हा तबद X- अकावर आरभतबदचा उजवीकडष आहष (A)(-20) (B)(02) (C)(23) (D)(20)

(3) (-34) ा तबदचष आरभतबदपासन अतर आहष (A)7 (B) 1 (C) 5 (D)-5

(4) एका रषषषनष X- अकाचा धन तदशषशी 30deg चा कोन कला आहष महणन ता रषषषचा चढ आहष

(A) 1

2 (B) 3

2 (C) 1

3 (D) 3

2 खालील तबद एकरषषी आहषत की नाहीत तष ठरवा (1) A (02) B (1-05) C (2-3) (2) P (1 2) Q (2 8

5) R (3 6

5)

(3) L (12) M (53) N (86)

3 P (06) आतण Q (1220) ाना जोडणाऱा रषषाखडाचा मधतबदचष तनदचशक काढा

4 A (38) आतण B (-93) ा तबदना जोडणाऱा रषषाखडाला Y- अक कोणता गणोततरात तवभातजत करतो

5 X-अकावरील असा तबद शोधा की जो P(2-5) आतण Q(-29) पासन समदर असषल

6 खालील तबदतील अतरष काढा (1) A (a 0) B (0 a) (2) P (-6 -3) Q (-1 9) (3) R (-3a a) S (a -2a)

7 एका तरिकोणाचष तशरोतबद A (-31) B (0-2) आतण C (13) आहषत तर ता तरिकोणाचा पररकदराचष तनदचशक काढा

123

8 खालील तबदना जोडणारष रषषाखड तरिकोण तार कर शकतील का तरिकोण तार झालास ताचा बाजवरनहोणारा परकार सागा(1) L (64) M (-5-3) N (-68)(2) P (-2-6) Q (-4-2) R (-50)(3) A ( 2 2 ) B ( - 2 - 2 ) C ( - 6 6 )

9 जर P (-12-3) आतण Q (4 k) ा तबदतन जाणाऱा रषषषचा चढ 1

2 असषल तर k ची तकमत काढा

10 A(4 8) आतण B(5 5) ा तबदना जोडणारी रषषा C(24) आतण D(17) ा तबदना जोडणाऱा रषषषलासमातर आहष हष दाखवा

11 P(1-2) Q(52) R(3-1) S(-1-5) हष समातरभज चौकोनाचष तशरोतबद आहषत हष दाखवा

12 जर P(21) Q(-13) R(-5-3) आतण S(-2-5) तर c PQRS हा आत आहष हष दाखवा

13 A (-1 1) B (5 -3) आतण C (3 5) हष तशरोतबद असलषला तरिकोणाचा मधगाचा लाबी काढा

14laquo जर D (-7 6) E (8 5)आतण F (2 -2) हष तरिकोणाचा बाजचष मधतबद असतील तर ता तरिकोणाचामधगा सपाततबदचष तनदचशक काढा

15 A(4 -1) B(6 0) C(7 -2) आतण D(5 -3) हष चौरसाचष तशरोतबद आहषत हष दाखवा

16 A(7 1) B(3 5) आतण C(2 0) तशरोतबद असलषला तरिकोणाचा पररवतमळाचा कदराचष तनदचशक आतणपररवतमळाची तरिजा काढा

17 जर A(4-3) आतण B(85) तर रषख AB चष 3ः1 ा गणोततरात तवभाजन करणाऱा तबदचष तनदचशक काढा

18laquo A(-4 -2) B(-3 -7) C(3 -2) आतण D(2 3) हष तबद करमानष जोडलष तर तार होणाऱा ABCD ाचौकोनाचा परकार तलहा

19laquo रषख AB वरील तबद P Q R व S ाचामळष ता रषषाखडाचष पाच एकरप भाग होतात जर A-P-Q ndash R-S-B आतण Q(12 14) S(4 18) तर A P R आतण B चष तनदचशक काढा

20 P (6-6) Q (3-7) आतण R (33) ातन जाणाऱा वतमळाचा कदराचष तनदचशक काढा

21laquo समातरभज चौकोनाचा तीन तशरोतबदचष तनदचशक A (56) B (1-2) आतण C (3-2) असतील तर चौथा तबदचा तनदचशकाचा शक ता सवम जोडा काढा

22 A (17) B (63) C (0-3) आतण D (-33) हष तशरोतबद असलषला एक

चौकोन आहष ता चौकोनाचा परतषक कणामचा चढ काढा

rrr

124

जरा आठिया

1 सोितचा आितीिरन ररिामा जागा भरा

bull करििोणकमती गणोततरय bull करििोणकमती कनतसमानता

bull उननतिोन ि अिनत िोन bull उची ि अतरय ािरील उदाहरणय

sin q = cos q =

2 पढील गणोततरामधील सिध पणभा िरा

(i) sin

cos

qq

= (ii) sin q = cos (90 - )

(iii) cos q = sin (90 - ) (iv) tan q tan (90 - q) =

3 पढील समीिरण पणभा िराsin2 q + cos2 q =

4 पढील करििोणकमती गणोततराचा किमती कलहा

(i) sin30deg = 1(ii) cos30deg = (iii) tan30deg =

(iv) sin60deg = (v) cos45deg = (vi) tan45deg =

इतता नििीमधय आपण लघिोनाची िाही करििोणकमती गणोततरय अभासली आहयत ािषषी लघिोनाचीच आणखी िाही करििोणकमती गणोततरय आपण अभासणार आहोत

चला सकया

A

B Cq

आकती 61 tan q =

6 सरिकोणसमती

125

A

BC q

आकती 62

अाकती 62 मध ष

sinq = ABAC

cosecq = 1

sinq

= 1

ABAC

= ACAB

महणजषच cosecq = कणम

समख बाज

tanq = ABBC

cot q = 1

tanq

= 1

ABBC

cot q = BCAB

= लगतची बाज समख बाज

cosq = BCAC

secq = 1

cosq

= 1BCAC

= ACBC

महणजषच secq = कणम

लगतची बाज

tanq =sinqcosq

हष तमहाला माहीत आहष

cot q = 1

tanq

= 1sincos

qq

=cos qsin q

cot q = cos qsin q

कोसक सक आशण कॉट गणोततर (cosec sec and cot ratios)

कोनाचा साइन गणोततराचा वसत गणोततराला कोसीकट (cosecant) गणोततर महणतात

तष थोडकात cosec असष तलतहतात cosecq = 1

sinq

तसषच कोसाइन आतण टजट गणोततराचा वसत गणोततराना अनकरमष सीकट (secant) आतण कोटजट (cotangent) गणोततरष महणतात आतण ती थोडकात अनकरमष sec आतण cot अशी तलतहतात

secq = 1

cosq आतण cotq = 1

tanq

126

अशधक माशहतीसाठी

थोर भारती गतणती आमभट ाचा जनम इस 476 मध ष कसमपर षथष झाला हष सथान सधाचा तबहारमधील पाटणा ा शहराजवळ होतष तानी अकगतणत बीजगतणत आतण भतमती ा गतणताचा शाखात भरीव काम कलष lsquoआमभटीrsquo ा गथात अनषक गतणती तनषकषम तानी सरिरपात तलहन ठषवलष आहषत उदाहरणाथम (1) अकगतणती शरषढीतील n वष पद काढणाचष आतण पतहला n पदाचा बषरजषचष सरि(2) 2 ची तकमत काढणाचष सरि(3) p ा सखषची 31416 ही चार दशाश सथळापात बरोबर असषलली तकमत इतादी

खगोलशासरिाचा अभासात तानी तरिकोणतमतीचा वापर कला आतण जया गणोततर (sine ratio) ही सकलपना परथमच वापरली

जगातील गतणताचा ताचा काळातील जानाचा तवचार करता ताची गतणतातील कामतगरी उततग होती तामळष ताचा गथाचा परसार सपणम भारतात तसषच अरबसतानामाफफत रोपमधषही झाला होता

पथवी खसथर असन स म चदर व तारष तवतशषट करमानष पथवीभोवती तफरतात असषच ताकाळचा सवम तनरीककाचष मत होतष परत नावषतन जाणाऱाला काठावरील झाडष व वसत उलट तदशषला जात असलाचा भास होतो तसाच भास सम तारष इतादीबाबत पथवीवरील लोकाना होतो महणजष पथवी भरमण करतष असष आमभटीात तलतहलष आहष

19 एतपरल 1975 ा तदवशी भारतानष आपला पतहला उपगह अवकाशात परकषतपत कला ा उपगहाला lsquoआमभटrsquo हष नाव दषऊन दषशानष ा शरषषठ गतणतीचा थोतचत गौरवच कला

तरिकोणतमती गणोततरामधील परसपरसबध cosec sec आतण cot ा गणोततराचा वाखावरन

bull 1

sinq = cosec q sin q acute cosec q = 1

bull 1

cosq = sec q cos q acute sec q = 1

bull 1

tanq = cot q tan q acute cot q = 1

127

AB

C

q

आकती 63

0deg30deg45deg60deg आतण 90deg मापाचा कोनाचा तरिकोणतमती गणोततराची सारणी

तरिकोणतमती गणोततर

कोनाचष माप (q)

0deg 30deg 45deg 60deg 90deg

sin q 01

2

1

23

21

cos q 1 3

2

1

2

1

20

tan q 01

31 3 ठरवता षत नाही

cosec q

= 1sin q

ठरवता षत नाही 2 22

31

sec q

= 1cos q

12

cot q

= 1tan q

30

शरिकोणशमतीय शनतयसमानता (Trigonometrical identities)

सोबतचा आकती 63 मध ष D ABC ा काटकोन तरिकोणात ETHB= 90deg

(i) sinq = BCAC

(ii) cosq = ABAC

(iii) tanq = BCAB

(iv) cosecq = ACBC

(v) secq = ACAB

(vi) cotq = ABBC

तसषच पाथागोरसचा तसदधातानसार BC2 + AB2 = AC2 (I) समीकरण (I) चा दोनही बाजस AC2 नष भागन

BC2+ AB2

AC2 = AC2

AC2 BC2+ AB2

AC2

128

BC2

AC2 + AB2

AC2 = 1

BC

AC

AB

AC

+

=

2 2

1

(sinq)2 + (cosq)2 = 1 [(sinq)2 हष sin2q असष आतण (cosq)2 हष cos2q असष तलतहतात]

sin2 q + cos2 q = 1 (II) आता समीकरण (II) चा दोनही बाजस sin2q नष भागन

sin

cos

sin sin

2

2 2

1θθ

θθ θ

+ =

1 + cot2 q = cosec2 q (III) तसषच समीकरण (II) चा दोनही बाजस cos2q नष भागन

sin

cos

cos cos

2

2 2

1θθ

θθ θ

+ =

tan2 q + 1 = sec2 q 1 + tan2 q = sec2 q (IV) समीकरण (II) (III) व (IV) ा मलभत तरिकोणतमती तनतसमानता आहषत

उदा (1) जर sinq = 20

29 असषल तर cosq ची तकमत काढा

उकल ः रीत I आपणास माहीत आहष की sin2 q + cos2 q = 1

20

29

2

+ cos2 q = 1

400

841 + cos2 q = 1

cos2 q = 1 - 400

841

= 441

841

दोनही बाजची वगममळष घषऊन

cosq = 21

29

रीत II

sinq = 20

29

आकतीवरन sinq = ABAC

AB = 20k व AC = 29k BC = x मानपाथागोरसचा तसदधातानष AB2+ BC2 = AC2

(20k)2+ x2 = (29k)2

400k2+ x2 = 841k2

x2 = 841k2 - 400k2

= 441k2

x = 21k

cos q = BCAC

= 21k29k

= 2129

आकती 64

20k29k

A

B Cxq

129

उदा (2) जर secq = 25

7 तर tanq ची तकमत काढ़ा

उकल ः रीत I रीत II

5sinq = 12cosq

sin

cos

qq

= 12

5

tanq = 12

5 आपणास माहीत आहष की 1+ tan2q = sec2q

1+ 12

5

2

= sec2q

1 + 144

25 = sec2q

25 144

25

+ = sec2q

sec2q = 169

25

secq = 13

5

cosq = 5

13

आता sin2q + cos2q = 1

sin2q = 1 - cos2q

sin2q = 1 - 5

13

2

= 1 - 25

169

= 144

169

sinq = 12

13

cosecq = 13

12

आपणास माहीत आहष की 1+ tan2q = sec2q

1+ tan2q = 25

7

2

tan2q = 625

49 - 1

= 625 49

49

-

= 576

49

tanq = 24

7

उदा (3) जर 5sinq- 12cosq = 0 असषल तर secq आतण cosecq चा तकमत काढा उकल ः 5sinq- 12cosq = 0

आकतीवरन

sec q = PRPQ

PQ = 7k PR = 25k

पाथागोरसचा परमषानष

PQ2 + QR2 = PR2

(7k)2 + QR2 = (25k)2

QR2 = 625k2 - 49k2 = 576k2

QR = 24k

आता tan q = QRPQ

= 24k7k

= 247

आकती 65

7k

25k

PQ

R

x

q

130

उदा (4) cosq = 3

2 तर 1

1

minus+

sec

cosec

θθ

ची तकमत काढा

उदा (5) दाखवा की secx + tanx = 1

1

+minus

sin

x

उकल ः sec x + tan x = 1

cos

sin

cosx

x

x+

= 1+ sin

cos

x

= ( sin )

cos

1 2

2

+ x

x

= 1 1

1 2

+( ) +( )minus

sin sin

sin

x x

x

= ( sin )( sin )

( sin )( sin )

1 1

+ +minus +

x x

= 1

1

+minus

sin

x

cosq = 3

2 secq = 2

3 sin2q + cos2q = 1

sin2q + 3

2

= 1

sin2q = 1- 3

4 = 1

4

sinq = 1

2 cosecq = 2

1

minus+

sec

cosec

θθ

= 1

2

31 2

minus

+

=

3 2

33

-

= 3 2

3 3

-

cosq = 3

2

cos 30deg = 3

2 हष माहीत आहष

q = 30deg sec q = sec 30deg = 2

3

cosec q = cosec 30deg = 2

1

minus+

sec

cosec

θθ

= 1

2

31 2

minus

+

=

3 2

33

-

= 3 2

3 3

-

131

उदा (6) पढील समीकरणातन q चष तनरसन करा x = a cot q - b cosec q y = a cot q + b cosec qउकल ः x = a cot q - b cosec q (I) y = a cot q + b cosec q (II) समीकरण (I) व (II) ाची बषरीज करन x + y = 2a cot q

cot q = x + y

2a (III)

समीकरण (II) मधन (I) वजा करन y - x = 2b cosec q cosec q = y x

b

-2

(IV)

आता cosec2q - cot2q = 1

y x

b

y x

a

minus

+

2 2

= 1

y x

b

y x

a

minus( )minus

+( )4 42

2

= 1

तकवा y x

b

y x

a

minus

+

2 2

= 4

1 जर sinq = 7

25 तर cosq व tanq चा तकमती काढा

2 जर tanq = 3

4 तर secq व cosq चा तकमती काढा

3 जर cotq = 40

9 तर cosecq व sinq चा तकमती काढा

4 जर 5secq- 12cosecq = 0 असषल तर secq cosq व sinq चा तकमती शोधा

5 जर tanq = 1 तर sin cos

sec cosec

θ θθ θ

++

6 तसदध करा

(1) sin

cos

2 qq + cosq = secq

(2) cos2q(1 + tan2q) = 1

132

आकती 66

लब आहषत हष दाखवणासाठी आपण आकतीत लब रषषाखडाचा उपोग कर आपण तनरीककाची उची लकात घषणार नाही सामानपणष तनरीककाची दषटी तकततजसमातर आहष असष मान

(3) 1

1

minus+

sin

θθ

= secq - tanq

(4) ( secq - cosq)( cotq + tanq) = tanq secq

(5) cotq + tanq = cosecq secq

(6) 1

sec tanθ θminus = secq + tanq

(7) sec4q - cos4q = 1 - 2cos2q

(8) secq + tanq = cos

sin

θθ1minus

(9) जर tanq + 1

tanq = 2 तर दाखवा की tan2q + 1

tan2 q = 2

(10) tan

tan

cot

A

A1 12 2 2 2+( )

++( ) = sin A cos A

(11) sec4A (1 - sin4A) - 2tan2A = 1

(12) tan

sec

θθ minus1

= tan sec

tan sec

θ θθ θ+ ++ minus

1

शरिकोणशमतीच उपयोजन (Application of trigonometry)

बरषचदा आपलाला मनोऱाची इमारतीची तकवा झाडाची उची तसषच जहाजाचष दीपगहापासनचष अतर तकवा नदीचा पारिाची रदी इतादी जाणावी लागतात ही अतरष आपण परतकात मोज शकत नाही परत तरिकोणतमती गणोततराचा उपोग करन उची तकवा अतरष ठरव शकतो उची तकवा अतरष ठरतवणासाठी तदलषली मातहती दशमतवणारष कचष तचरि आपण आधी तार कर झाडष टषकडा मनोरष अशा वसत जतमनीला

133

परथम आपण काही सबतधत सजाचा अभास कर (i) दषीरषा (Line of vision) ः

तबद lsquoArsquo ा तठकाणी उभा असलषला तनरीकक तबद lsquoBrsquo कडष पाहत असषल तर रषषा AB ला दषटी रषषा महणतात

(ii) उननतकोन ( Angle of elevation) ः

जवहा आपण शकतीज समातर रषचया वरचया शदिला पाहतो तवहा होणारा कोन उननतकोन असतो जवहा आपण शकतीज समातर रषचया खालचया शदिला पाहतो तवहा होणारा कोन अवनतकोन असतो

सोडवलली उदाहरण उदा (1) एका झाडाचा बधापासन 10 मी अतरावर असणाऱा तनरीककास झाडाचा शडाकडष पाहताना 60degमापाचा उननत कोन करावा लागतो तर झाडाची उची तकती ( 3 = 173) उकल ः आकती 69 मध ष C तबदजवळ तनरीकक असन AB हष झाड आहष

AM ही तनरीककाची सामान दषटीरषषा तकततज - समातर आहष तनरीकण करणाचा तबद B हा A चा तलनषत अतधक उचीवर असषल तर AB ही दषटीरषषा रषषा AM शी जो कोन करतष तो उननत कोन असतो आकतीत ETH MAB हा उननत कोन आहष

तनरीकण करणाचा तबद C हा रषषा AM ा तकतीजसमातर रषषषचा खाली असषल तर AC ही दषटीरषषा रषषा AM शी अवनत कोन करतष आकतीत ETH MAC हा अवनत कोन आहष

AB = h = झाडाची उची तनरीककाचष झाडापासनचष अतर BC = 10 मी आतण उननत कोन (q)ETH BCA= 60deg आकतीवरन tanq =

AB BC

(I)

tan 60deg = 3 (II)

AB BC

= 3 (I) व (II) वरन

AB = BC 3 = 10 3

AB = 10 acute 173 = 173 मी झाडाची उची 173 मी आहष

60deg10 मी

A

BC

(iii) अवनत कोन ( Angle of depression) ः

आकती 67

आकती 69

तकततज समातर रषषा

B

MA

दषटी रषष

ा

उननत कोन

आकती 68

C

MA

दषटी रषषा

अवनत कोन

134

उदा (2) 40 मी उच इमारतीचा छतावरन ता इमारतीपासन काही मीटर अतरावर उभा कलला सककटरकड पाहताना 30deg मापाचा अवनतकोन होतो तर ती सककटर इमारतीपासन ककती दर उभी आह ( 3 = 173)उकल ः आकती 610 मध रख AB ही इमारत आह इमारती पासन lsquoxrsquo मी अतरावर lsquoCrsquo ा किकाणी

सककटर उभी आह आकतीत A ा किकाणी कनरीकषक आह

AM ही ककषतीज समातर रषा आह

ETH MAC हा अवनत कोन आह

ETH MAC व ETH ACB ह वयतकरम कोन

एकरप आहत ह लकषात घा

आकतीवरन tan30deg = AB BC

1

3 =

40x

x = 40 3

= 40 acute 173 = 69 20 मी ती सककटर इमारतीपासन 6920 मी अतरावर उभी आह

उदा (3) नदीचा पाताची रदी काढणासािी एका माणसान पाताचा एका कािावरन कवरदध कािावर असणाऱा मनोऱाचा वरचा टोकाकड पाकहल असता 61deg मापाचा उननतकोन होतो ताच रषत नदीचा पातापासन 50 मी अतर माग जाऊन पयनहा मनोऱाचा वरचा टोकाकड पाकहल असता 35deg मापाचा उननत कोन होतो

तर नदीपाताची रदी आकण मनोऱाची उची काढा ( tan61deg raquo 18 tan35deg raquo 07)

x

A

B C

M

30deg

40 मी

उकल ः रख AB पलतीरावरील मनोरा दाखवतो lsquoArsquo ह मनोऱाच टोक असन रख BC नदीचा पाताची रदी दाखवतो मनोऱाची उची h मी व नदी पाताची रदी x मी मान मान

आकतीवरन tan 61deg = h

x

आकती 610

A

B C 50 Dx

h

35deg61deg

आकती 611

135

18 = h

x h = 18 acute x 10h = 18x (I) 10 नष गणन काटकोन D ABD मधष

तसषच tan 35 = hx + 50

07 = h

x + 50 h = 07 (x + 50)

10h = 7 (x + 50) (II)

[(I) व (II) वरन]

18x = 7(x + 50)

18x = 7x + 350

11x = 350

x = 350

11 = 3182

आता h = 18x = 18 acute 3182

= 5728 मी

पारिाची रदी = 3182 मी मनोऱाची उची = 5728 मी

उदा (4) रोशनी घराचा दारात उभी होती घरापासन थोडा अतरावरील झाडाचा शडावर एक गरड बसलषला ततला तदसला तषवहा ततचा दषटीचा उननतकोन 61deg होता तो आणखी नीट तदसावा महणन ती घराचा 4 मीटर उचीवर असलषला गचीवर गषली तषथन पाहताना ततचा दषटीचा उननत कोन 52deg होता तर तो गरड जतमनीपासन

R

T

S

Q

P

44

x

y

52deg

29deg

38deg

61deg

आकती 612 तकती उचीवर होता (उततर जवळचा पणााकापात काढा) (tan 61deg = 180 tan 52deg = 128 tan 29deg = 055 tan 38deg = 078)

136

उकल ः समजा आकती 612 मधष PQ हष घर आतण SR हष झाड आहष गरडाचष सथान R पाशी आहषरषख QT ^ रषख RS काढला c TSPQ हा आत आहषSP = x मान TR = y मानआता D RSP मधष ETH PRS = 90deg - 61deg = 29deg तसषच D RTQ मधष ETH QRT = 90deg - 52deg = 38deg

tan ETH PRS = tan29deg = SPRS

055 = x

y + 4

x = 055(y + 4) (I)

तसषच tan ETH QRT = TQRT

tan 38deg = xy

[ SP = TQ = x]

078 = xy

x = 078y (II)

078y = 055(y + 4) (I) व (II) वरन

78y = 55(y + 4)

78y = 55y + 220

23y = 220

y = 9565 = 10 (जवळचा पणााकापात)

RS = y + 4 = 10 + 4 = 14

गरड जतमनीपासन 14 मीटर उचीवर होता

उदा (5) वादळामळष एक झाड मोडलष आतण झाडाचा शडा जतमनीवर टषकला मोडलषला भाग जतमनीशी 30deg चा कोन करतो झाडाचा शडा आतण बधा ामधील अतर 10 मी असलास झाडाची उची काढा

उकल ः समजा आकती 613 मध ष AB ा झाडाचा शडा lsquoArsquo आहष वादळामळष झाड lsquoCrsquo ा तठकाणी मोडलामळष D ा तठकाणी शडा टषकला ETH CDB = 30deg BD = 10 मी BC = x मी

CA= CD = y मी

137

काटकोन D CDB मधष

tan30deg = BCBD

1

3 = x

10

x = 10

3

y = 20

3

x + y = 10

3 + 20

3

= 30

3

x + y = 10 3

झाडाची उची 10 3 मी आहष

1 एक वकती एका चचमपासन 80 मी अतरावर उभी आहष ता वकतीनष चचमचा छताकडष पातहलष असता 45deg मापाचा उननत कोन होतो तर चचमची उची तकती

2 दीपगहावरन एका जहाजाकडष पाहताना 60deg मापाचा अवनत कोन होतो जर दीपगहाची उची 90 मी असषल तर तष जहाज दीपगहापासन तकती अतरावर आहष ( 3 =173)

3 12 मी रदीचा रसताचा दतफाम समोरासमोर दोन इमारती आहषत तापकी एकीची उची 10 मी असन ततचा छतावरन दसरीचा छताकडष पातहलष असता उननत कोन 60deg मापाचा होतो तर दसऱा इमारतीची उची तकती

4 18 मी व 7 मी उचीचष खाब जतमनीवर उभष आहषत ताचा वरचा टोकाना जोडणाऱा तारषची लाबी 22 मी आहष तर ता तारषनष तकतीज समातर पातळीशी कलषला कोनाचष माप काढा

5 वादळामळष एक झाड मोडलष आतण झाडाचा शडा जतमनीवर टषकला मोडलषला भाग जतमनीशी 60deg चा कोन करतो झाडाचा शडा आतण बधा ामधील अतर 20 मी असलास झाडाची उची काढा

6 एक पतग उडताना जतमनीपासन 60 मी लबउचीपात पोहचतो पतगाचा दोऱाचष टोक जतमनीवर बाधलष तषवहा जमीन व दोरा ाचा मधष 60deg मापाचा कोन तार होतो दोरा कोठषही वाकलषला नाही असष गहीत धरन दोऱाची लाबी काढा ( 3 =173)

A

B

C

Dआकती 613

138

1 तदलषला पााापकी परशनाचा उततराचा अचक पाम तनवडा

(1) sinq cosecq = तकती

(A) 1 (B) 0 (C) 1

2 (D) 2

(2) cosec45deg ची तकमत खालीलपकी कोणती

(A) 1

2 (B) 2 (C) 3

2 (D)

2

3

(3) 1 + tan2q = तकती

(A) cot2q (B) cosec2q (C) sec2q (D) tan2q

(4) जषवहा आपण तकतीजसमातर रषषषचा वरचा तदशषनष पाहतो तषवहा कोन होतो

(A)उननत कोन (B)अवनत कोन (C) शन (D)रषषी

2 जर sinq = 11

61 तर तनतसमानतषचा उपोग करन cosq ची तकमत काढा

3 जर tanq = 2 तर इतर तरिकोणतमती गणोततराचा तकमती काढा

4 जर secq = 13

12 तर इतर तरिकोणतमती गणोततराचा तकमती काढा

5 तसदध करा (1) secq (1 - sinq) (secq + tanq) = 1

(2) (secq + tanq) (1 - sinq) = cosq

(3) sec2q + cosec2q = sec2q acute cosec2q

(4) cot2q - tan2q = cosec2q - sec2q

(5) tan4q + tan2q = sec4q - sec2q

(6) 1

1

1minus+

+sin sinθ θ = 2 sec2q

(7) sec6x + tan6x = 1 + 3sec2x acute tan2x

(8) tan

sec

tan

θθ

θθ+

=minus

1

(9) tan

tan

3 1

1

θθminusminus = sec2q + tanq

139

(10) sin cos

sin cos sec tan

θ θθ θ θ θminus ++ minus

=minus

1

6 एक मलगा एका इमारतीपासन 48 मीटर अतरावर उभा आहष ता इमारतीचा वरचा टोकाकडष पाहताना तामलाला 30deg मापाचा उननतकोन करावा लागतो तर ता इमारतीची उची तकती

7 दीपगहावरन एका जहाजाकडष पाहताना तनरीककाला 30deg मापाचा अवनत कोन करावा लागतो जर दीपगहाचीउची 100 मी असषल तर तष जहाज दीपगहापासन तकती अतरावर आहष

8 15 मी रदीचा रसताचा दतफाम समोरासमोर दोन इमारती आहषत तापकी एकीची उची 12 मी असन ततचाछतावरन दसरीचा छताकडष पातहलष असता उननत कोन 30deg चा होतो तर ता इमारतीची उची तकती

9 अतगनशामकदलाचा वाहनावर बसवलषली तशडी जासतीत जासत 70deg मापाचा कोनातन उचलता षतष तावषळीततची अतधकात अतधक लाबी 20 मी असतषतशडीचष वाहनावरील टोक जतमनीपासन 2 मी उचीवर आहष तरतशडीचष दसरष टोक जतमनीपासन जासतीत जासत तकती उचीवर पोहोचवता षईल (sin70deg raquo 094)

10laquo आकाशात उडत असलषला तवमानाचा चालकानष तवमानतळावर तवमान उतरतवणास सरवात करताना 20deg मापाचा अवनत कोन कला तषवहा तवमानाचा सरासरी वषग ताशी 200 तकमी होता तष तवमान 54 सषकदात तवमान तळावर उतरलष तवमान तळावर उतरणास वळणाचा कणी तष तवमान जतमनीपासन तकती उचीवर होतष (sin20deg raquo 0342)

rrr

140

bull तवतवध घनाकतीचा पषठफळ व घनफळावर आधाररत सतमशर उदाहरणष

मागील इततामधष आपण काही तरितमती आकताचा पषठफळाचा व घनफळाचा अभास कलषला आहष तासाठी लागणारी सरिष आठव ा

कर तरितमती आकती सरिष1 इखषटकातचती उभा पषठाचष पषठफळ = 2h ( l + b )

एककण पषठफळ = 2 (lb + bh + hl )इखषटकातचतीचष घनफळ = lbh

2 घन

घनाचष उभष पषठफळ = 4l2

घनाचष एककण पषठफळ = 6l2

घनाचष घनफळ = l3

3 वतततचती

वतततचतीचष वकरपषठफळ = 2prhवतततचतीचष एककण पषठफळ = 2pr ( r + h )वतततचतीचष घनफळ = pr2h

4 शकक

शककची ततरकस उची (l) = h r2 2+

शककचष वकरपषठफळ = prl शककचष एककण पषठफळ = pr (r + l)

शककचष घनफळ = 1

3 acute pr2h

l

h

b

bull वतमळकस ndash वतमळकसाची लाबी bull वतमळ पाकळीचष कषरिफळbull वतमळखडाचष कषरिफळ

lh

h

r

7 महतवमापन

141

आकती 71

30 सषमी

20 सषमी20 सषमी

आकती 72

21 सषमी

10 सषमी

कर तरितमती आकती सरिष5 गोल

गोलाचष पषठफळ = 4 pr2

गोलाचष घनफळ = 4

3 pr3

6 अधमगोल

अधमगोलाचष वकरपषठफळ = 2pr2

भरीव अधमगोलाचष एककण पषठफळ = 3pr2

अधमगोलाचष घनफळ = 2

3 pr3

खालील उदाहरण सोडवा

उदा(1)

शषजारील आकतीत दाखवलापरमाणष एका वतततचतीचा आत एक गाषल आहष गाषल वतततचतीचा तळाला वरचा पषठभागाला आतण वकरपषठाला सपशम करतो वतततचततचा तळाची तरिजा r असषल तर

1 गोलाची तरिजा आतण वतततचतीची तरिजा ाचष गणोततर का आहष2 वतततचतीचष वकरपषठफळ आतण गोलाचष वकरपषठफळ ाचष गणोततर का आहष 3 वतततचतीचष घनफळ आतण गोलाचष घनफळ ाचष गणोततर का आहष

आकती 73

r

शषजारचा आकतीत 30 सषमी उची 20 सषमी लाबी व 20 सषमी रदीचा तषलाचा डबा आहष तात तकती लीटर तषल मावषल (1 लीटर = 1000 सषमी3)

बाजचा आकतीत तवदषकाची टोपी आतण टोपीची मापष दाखवली आहष ती टोपी तार करणासाठी तकती कापड लागषल

उदा(2)

142

वरील आकतात दाखवलापरमाणष एक चड आतण चडचा तरिज षएवढीच (r) तरिजा असलषलष एक चचपारि घा चचपारिाचा वासाएवढा (2r) लाबीची एक कागदी पट टी घा ततचा लाबीचष तीन समान भाग करणाऱा दोन रषघा पट टीवर काढा ती पट टी चचपारिाला ताचा तळापासन उभी तचकटवा चचपारिात कागदी पट टीचा खालन पतहला भागापात पाणी भरा नतर चड चचपारिात तळाला टषकपात सावकाश बसवा चचपारिातील पाणाची पातळी कठपात वाढली आहष हष पाहा

पाणाची पातळी कागदी पट टीचा पणम उचीपात आलषली तदसषला तनरीकणावरन चडचा घनफळाचष सरि कसष तमळतष हष समजन घाचचपारि वतततचती आकाराचष आहष महणन चचपारिाचा 2r एवढा उचीपातचा भागाचष घनफळ वतततचतीचा

घनफळाचा सरिानष तमळषल हष घनफळ V मान V = p acute r2 acute 2r = 2pr3

परत V = चडचष घनफळ + आधी भरलषला पाणाचष घनफळ = चडचष घनफळ +

1

3 acute 2pr3

चडचष घनफळ = V - 1

3 acute 2pr3

= 2pr3 - 2

3pr3

= 6pr3 - 2pr3

3 =

4pr3

3

गोलाचा घनफळाचष सरि V = 4

3pr3 असष तमळतष

(हया सरिाचा उपोग करन आकती 73 चा सदभामतील परशन करमाक 3 चष उततर आता तमही काढ शकाल)

कती ः

आकती 74

2r

r

143

उदा (1) एका वतततचती आकाराचा पाणाचा टाकीची तरिजा 28 मी आतण उची 35 मी आहष तर ता टाकीमध ष तकती लीटर पाणी मावषल एका वकतीला रोज सरासरी 70 लीटर पाणी लागतष तर पणम भरलषला टाकीतील पाणी रोज तकती वकतीना परषल (p = 22

7)

उकल ः तरिजा (r) = 28 मीटर उची ( h) = 35 मीटर p = 22

7 पाणाचा टाकीची धारकता = वतततचती आकाराचा टाकीचष घनफळ = pr2h

= 22

7 acute 28 acute 28 acute 35

= 8624 मी3 = 8624 acute 1000 लीटर ( 1मी3 = 1000 लीटर) = 8624000 लीटर टाकीमधष 86240 लीटर पाणी मावषल 70 लीटर पाणी रोज एका वकतीला परषसष असतष

पणम भरलषला टाकीतील पाणी 86240

70 = 1232 वकतीना परषल

उदा (2) 30 सषमी तरिजषचा एक भरीव गोल तवतळवन तापासन 10 सषमी तरिजा व 6 सषमी उची असणाऱा भरीव वतततचती तार कला तर तकती वतततचती तार होतील उकल ः गोलाची तरिजा r = 30 सषमी वतततचतीची तरिजा R = 10 सषमी वतततचतीची उची H = 6 सषमी समजा n वतततचती तार होतील गोलाचष घनफळ = n acute एका वतततचतीचष घनफळ

वतततचतीची सखा = n = गोलाचष घनफळ

एका वतततचतीचष घनफळ

=

( )

43

3

2

π

r

R H

=times( )times

43

30

10 6

3

2 =times times times

times times

43

30 30 30

10 10 6 = 60

एककण 60 वतततचती तार होतील

144

उदा (3) सकफसचा तबचा खालचा भाग वतततचती आकाराचा व ताचा वरचा भाग शककचा आकाराचा आहष तबचा तळाचा वास 48 मी असन वतततचती भागाची उची 15 मी आहष तबची एककण उची 33 मी असलास तबस लागणाऱा कापडाचष कषरिफळ व तबतील हवषचष घनफळ काढा उकल ः तबची एककण उची 33 मी आहष वतततचती भागाची उची = H मान H = 15 मी आहष शकाकती भागाची लब उची h = (33-15) = 18 मी राहील शककची ततरकस उची (l) = r h2 2+

= 24 182 2+

= 576 324+

= 900

l = 30 मी

सकफसचा तबस लागणारष कापड = वतततचती भागाचष वकरपषठफळ + शकाकती भागाचष वकरपषठफळ

= 2prH + prl

= pr (2H + l)

= 22

7 acute 24 (2 acute 15 + 30)

= 22

7 acute 24 acute 60

= 452571 चौमी

तबतील हवषचष घनफळ = वतततचती भागाचष घनफळ + शकाकती भागाचष घनफळ = pr2H + 1

3 pr2h

= pr2 H h+

1

3

= 22

7 acute 242 (15 + 1

3 acute 18)

= 22

7 acute 576 acute 21

= 38016 घमी तबस लागणारष कापड = 452571 चौमी तबतील हवषचष घनफळ = 38016 घमी

आकती 77

18 मी

24 मी

15 मी

145

14 तममी

1 एका शककचा तळाची तरिजा 15 सषमी असन ताची लब उची 5 सषमी आहष तर ता शककचष घनफळ काढा2 6 सषमी वास असलषला गोलाचष घनफळ काढा3 एका लबवतततचतीचा तळाची तरिजा 5 सषमी व उची 40 सषमी असषल तर ततचष एककण पषठफळ काढा4 एका गोलाची तरिजा 7 सषमी असषल तर ताचष वकरपषठफळ काढा5 धातचा एका इखषटकातचतीची लाबी रदी आतण उची अनकरमष 44 सषमी 21 सषमी आतण 12 सषमी आहष ती तवतळवन 24 सषमी उचीचा शकक तार कला तर शककचा तळाची तरिजा काढा

635 सषमी

10 सषमी

आकती 78पाणाचा शकाकती जग

10 सषमी

7 सषमी

आकती 79वतततचती आकाराचष भाडष

आकती 78 व 79 मधील भाडाची मापष पाहा तावरन वतततचती आकाराचा भाडात तकती जग भरन पाणी मावषल हष काढा

आकती 710

आकती 711

7 वतततचती व शकक समान तळाचष आहषत वतततचतीवर शकक ठषवला वतततचती भागाची उची 3 सषमी असन तळाचष कषरिफळ 100 चौसषमी आहष जर सपणम घनाकतीचष घनफळ 500 घसषमी असषल तर सपणम घनाकतीची उची काढा

8 शषजारील तचरिात तदलषला मातहतीवरन अधमगोल वतततचती व शककपासन तार झालषला खषळणाचष एककण पषठफळ काढा

9 आकती 712 मध ष वतततचती आकाराचा चपटा गोळाचष 10 सषमी लाबीचष एक वषषटन आहष एका गोळीची तरिजा 7 तममी आतण उची 5 तममी असलास अशा तकती गोळा ता वषषटनात मावतील

आकती 713

10 आकती 713 मध ष मलाचष एक खषळणष आहष तष एक अधमगोल व एक शकक ाचा सहायानष कलष आहष आकतीत दशमतवलषला मापावरन खषळणाचष घनफळ व पषठफळ काढा (p= 314 )

आकती 712

3 सषमी

4 सषमी

10 सषमी

146

11 आकतीत दाखतवलषला बीच बॉलचष पषठफळ व घनफळ काढा

शकक कापताना शकक कापलानतर वषगळष झालषलष दोन भाग

शककछषद पालथा ठषवलषला गलास

आपण पाणी तपणासाठी तनमळता पषलाचा (गलासचा) वापर करतो हया पषलाचा आकार तसषच तातील पाणाचा आकार हष शककछषदाचष आकार आहषत

आकती 717 आकती 718 आकती 719 आकती 720

आकती 716

शकाकतीभाग

शककछषद

आकतीमध ष एक शकक पालथा ठषवलषला दाखतवलषला आहष ा शककचा ताचा तळाला समातर असा छषद घषतला तामळष झालषला दोन भागापकी एका भागाचा आकार शककचाच आहष रातहलषला भागाला शककछषद (frustum) महणतात

शककपरमाणषच शककछषदाचषही पषठफळ व घनफळ काढता षतष तासाठी पढील सरिाचा वापर आपण करणार आहोत

आकती 715

14 सषमी

30सषमी

12 आकतीत दाखवलापरमाणष एका वतततचती आकाराचा गलासमध ष पाणी आहष व तामधष एक धातची 2 सषमी वासाची गोळी बडालषली आहष तर पाणाचष घनफळ काढा

िकछद (frustum of the cone )

आकती 714

42 सषमी

r1

hl

r2

147

h = शककछषदाची उची l = शककछषदाची ततरकस उची r1 व r2 = शककछषदाचा वतमळाकार बाजचा तरिजा ( r1 gt r2) शककछषदाची ततरकस उची = l = h r r2

1 2

2+ minus( ) शककछषदाचष वकरपषठफळ = pl ( r1 + r2 ) शककछषदाचष एककण पषठफळ = pl (r1 + r2) + pr1

2 + pr22

शककछषदाचष घनफळ = 1

3 ph (r1

2 + r22 + r1 acute r2)

सोडवलली उदाहरण उदा (1) एका शककछषदाचा आकाराचा बादलीची उची 28 सषमी आहष बादलीचा दोनही वतमळाकार बाजचा तरिजा 12 सषमी व 15 सषमी आहषत तर बादलीमध ष तकती लीटर पाणी मावषल ( p =

22

7)

उकल ः बादलीचा वतमळाकार बाजचा तरिजा r1 = 15 सषमी r2 = 12 सषमी बादलीची उची h = 28 सषमी बादलीची धारकता = शककछषदाचष घनफळ

= 1

3ph ( r1

2 + r22 + r1 acute r2)

= 1

3 acute 22

7 acute 28 (152 + 122 + 15 acute 12)

= 22 4

3

acute acute (225 + 144 + 180)

= 22 4

3

acute acute 549 = 88 acute 183 = 16104 सषमी3 = 16104 लीटर बादलीमधष 16104 लीटर पाणी मावषल

उदा (2) शककछषदाचा वतमळाकार भागाचा तरिजा 14 सषमी आतण 8 सषमी आहषत जर शककछषदाची उची 8 सषमी असषल तर पढील तकमती काढा ( p= 314 ) i) शककछषदाचष वकरपषठफळ ii ) शककछषदाचष एककण पषठफळ iii ) शककछषदाचष घनफळ उकल ः षथष तरिजा r1 = 14 सषमी r2 = 8 सषमी उची h = 8 सषमी

शककछषदाची ततरकस उची ll

l

===

h r r21 2

2

2 28 14 8

64 36

+ minus( )

+ minus( )+ = 10 सषमी

आकती 721

r2

r1

h l

आकती 722

28 सषमी

12 सषमी

15 सषमी

148

शककछषदाचष वकरपषठफळ = p(r1 + r2) l = 314 acute (14 + 8) acute 10 = 6908 चौसषमी शककछषदाचष एककण पषठफळ = p(r1 + r2)l + pr1

2 + pr22

= 314 acute 10 (14 + 8) + 314 acute 142 + 314 acute 82

= 6908 + 61544 + 20096 = 6908 + 8164 = 15072 चौसषमी शककछषदाचष घनफळ = 1

3 ph(r1

2 + r22 + r1 acute r2)

= 1

3 acute 314 acute 8 (142 + 82 + 14 acute 8)

= 311488 घसषमी

1 30 सषमी उची असलषला शककछषदाचा आकाराचा पाणाचा बादलीचा वतमळाकार बाजचा तरिजा 14 सषमी व 7 सषमी असलास बादलीमध ष तकती लीटर पाणी मावषल (1 लीटर = 1000 घसषमी)2 शककछषदाचा वतमळाकार भागाचा तरिजा 14 सषमी व 6 सषमी आहषत व ताची उची 6 सषमी असलास पढील तकमती काढा (p = 314) (1) शककछषदाचष वकरपषठफळ (2) शककछषदाचष एककण पषठफळ (3) शककछषदाचष घनफळ 3 आकती 723 मधष एका शककछषदाचा वतमळाकार पााचष परीघ अनकरमष 132 सषमी व 88 सषमी आहषत व उची 24 सषमी आहष तर ता शककछषदाचष वकरपषठफळ काढणासाठी खालील कती पणम करा (p = 22

7)

परीघ1 = 2pr1 = 132

r1 = 1322p

= सषमी

परीघ2 = 2pr2 = 88

r2 = 882p

= सषमी

आकती 723

r2

r1

24 सषमी शककछषदाची ततरकस उची = l

l = h r r21 2

2+ minus( )

l = 2 2

+

l = सषमी

149

आकतीमधील कदरी कोनामळष वतमळकषरिाचष दोन भागात

तवभाजन झालषलष आहष ा परत षक भागाला वतमळपाकळी

महणतात

वतमळाचा दोन तरिजा आतण ताची टोक जोडणाऱा

वतमळकसानष मामतदत कलषला भागास वतमळपाकळी

महणतात

आकतीमधष O ndashPMQ आतण O-PBQ ा दोन

वतमळपाकळा आहषत

qP

O

Q

B

M

आकती 725

शककछषदाचष वकरपषठफळ = p(r1+ r2)l

= p acute acute = चौसषमी

सोबतचा आकतीवरन सारणी पणम कराकसाचा परकार कसाचष नाव कसाचष मापलघवतमळकस कस AXB

कस AYB

वतमळपाकळी (Sector of a circle)

A

X

100degB

Y

Oआकती 724

लघ वतमळपाकळी (Minor sector) ः

दोन तरिजा व ताचा सगत लघकसानष मामतदत कलषला पाकळीस लघवतमळपाकळी असष महणतात

आकतीमध ष OndashPMQ ही लघवतमळपाकळी आहष

शविाल वतमळपाकळी (Major sector) ः

दोन तरिजा व सगत तवशालकसानष मामतदत कलषला पाकळीस तवशालवतमळपाकळी असष महणतात आकतीमधष

O-PBQ ही तवशालवतमळपाकळी आहष

150

आकती 726

q = 360deg

qr

A1 = pr2

q = 180deg

qr

A2 = 1

2 pr2

q = 90deg

qr

A3 = 1

4 pr2

q = 60deg

qr

A4 = 1

6 pr2

वतमळपाकळीच करिफळ (Area of a sector)

खालील आकतात दाखवलापरमाणष समान तरिजा असलषला वतमळाचा छाातकत भागाचा कषरिफळाचष तनरीकण करा व खालील सारणी पणम करा

वतमळाचा कदरी कोनाचष माप = 360deg = पणम कोन

वतमळाचा कदरी कोन = 360deg वतमळाचष कषरिफळ = pr2

वतमळ पाकळी

वतमळपाकळीचा कसाचष मापq

360वतमळ पाकळीचष कषरिफळ

AA1 360deg 360

3601= 1 acute pr2

A2 180deg 1

2

1

2 acute pr2

A3 90deg 1

4

1

4 acute pr2

A4 60deg

A q q360

q360

acute pr2

सारणीवरन लकात षतष की वतमळाचा कषरिफळास q360

नष गणलास कसाचष माप q असलषला वतमळपाकळीचष कषरिफळ तमळतष हष सरिरपात पढीलपरमाणष तलतहता षतष

वतमळपाकळीचष कषरिफळ (A) = q360

acute pr2

ा सरिावरन A

πθ

r 2 360= महणजषच

वतमळपाकळीचष कषरिफळ

वतमळाचष कषरिफळ = q

360

151

आकती 727

वतमळकसाची लाबी (Length of an arc)खाली दाखवलापरमाणष समान तरिजा असलषला वतमळाचा ठळक कलषला वतमळकसाचा लाबीचष तनरीकण

करा व खालील सारणी पणम करा

q = 360deg

l1 = 2pr

q = 180deg

l2 = 1

2 acute 2pr

q = 90deg

l3 = 1

4 acute 2pr

q = 60deg

l4 = 1

6 acute 2pr

q qq q

l1 l2l3

l4

वतमळाचा परीघ = 2prवतमळकसाची

लाबीवतमळकसाचष माप

(q)q

360वतमळकसाची लाबी

(l)

l1 360deg360

3601= 1 acute 2pr

l2 180deg180

360 = 1

2

1

2 acute 2pr

l3 90deg90

360 = 1

4

1

4 acute 2pr

l4 60deg

l qq

360

q360

acute 2pr

वरील आकतीबधावरन लकात षतष की वतमळाचा पररघाला q360

नष गणलास कसाचष माप q असलषला वतमळकसाची लाबी तमळतष हषच सरिरपात पढीलपरमाणष तलतहता षतष

वतमळकसाची लाबी (l) = q360

acute 2pr

ा सरिावरन

l

r2 360πθ

=

वतमळकसाची लाबी

परीघ = q

360

152

वतमळकसाची लाबी आशण वतमळपाकळीच करिफळ यातील सबध

वतमळपाकळीचष कषरिफळ A = q360

acute pr2 I

तसषच वतमळकसाची लाबी (l) = q360

acute 2pr

θ

π360 2=l

r II

A = lr

r2

2

ππtimes I व II वरन

A = 1

2 lr = lr

2

वतमळपाकळीचष कषरिफळ = वतमळकसाची लाबी acute तरिजा

2

तसषच A

π πθ

r

l

r2 2 360= =

उदा (1) 21 सषमी तरिजा असलषला वतमळपाकळीचा कोनाचष माप 150deg असलास वतमळपाकळीचष कषरिफळ व सगत वतमळकसाची लाबी काढा

A BO

21150deg

उकल ः षथष r = 21सषमी q = 150 p = 22

7 वतमळपाकळीचष कषरिफळ (A) = q

360 acute pr2

= 150

360

22

721 21acute acute acute

= 1155

2 सषमी2 = 5775 सषमी2

वतमळकसाची लाबी = l = q360

acute 2pr = 150

3602

22

721acute acute acute

= 55 सषमी

आकती 728

153

उदा (2) आकतीमधष वतमळाचष कदर P आतण वतमळाची तरिजा 6 सषमी आहष रषख QR ही वतमळाची सपतशमका आहष PR = 12 सषमी असलास छाातकत भागाचष कषरिफळ काढा ( 3 = 173)

उकल ः वतमळाचा सपशमतबदतन काढलषली तरिजा सपतशमकला लब असतष D PQR मधष ETH PQR = 90deg PQ = 6 सषमी PR = 12 सषमी PQ = PR

2

जर काटकोन तरिकोणाची एक बाज कणामचा तनममा लाबीची असषल तर ता बाजसमोरील कोनाचष माप 30deg असतष ETH R = 30deg आतण ETH P = 60deg 30deg-60deg-90deg परमषानष QR = 3

2 acute PR = 3

2 acute 12 = 6 3

QR = 6 3 सषमी A(D PQR) = 1

2 QR acute PQ

= 1

2 acute 6 3 acute 6

= 18 3 = 18 acute 173 = 3114 सषमी2

वतमळपाकळीचष कषरिफळ = q360

acute pr2

A(P-QAB) = 60

3603 14 62acute acute

= 1

63 14 6 6acute acute acute = 314 acute 6

= 1884 सषमी2 छाातकत भागाचष कषरिफळ = A(D PQR) - A(P-QAB) = 3114 - 1884 = 1230 सषमी2

छाातकत भागाचष कषरिफळ = 1230 सषमी2

P

QA

B 12

R6

आकती 729

154

उदा (3) तदलषला आकतीत ABCD ा चौरसाची परतषक बाज 7 सषमी आहष तबद D हष कदर मानन DA तरिज षनष काढलषली वतमळपाकळी D - AXC आहष तर छाातकत भागाचष कषरिफळ काढणासाठी ररकामा चौकटी भरन उदाहरण पणम करा

उकल ः चौरसाचष कषरिफळ = (सरि)

=

= 49 चौसषमी

वतमळपाकळी (D- AXC) चष कषरि = (सरि)

= 360

acute 22

7 acute

रषखातकत भागाचष कषरिफळ = चष कषरिफळ - चष कषरिफळ

= चौसषमी - चौसषमी

= चौसषमी

1 वतमळाची तरिजा 10 सषमी आहष वतमळकसाचष माप 54deg असलास ता कसानष मामतदत कलषला वतमळपाकळीचष कषरिफळ काढा (p =314 )

2 एका वतमळकसाचष माप 80deg आतण तरिजा 18 सषमी आहष तर ता वतमळकसाची लाबी शोधा (p =314 )

3 वतमळपाकळीची तरिजा 35 सषमी असन ततचा वतमळकसाची लाबी 22 सषमी आहष तर वतमळपाकळीचष कषरिफळ काढा

4 वतमळाची तरिजा 10 सषमी आहष ताचा एका वतमळपाकळीचष कषरिफळ 100 चौसषमी आहष तर ततचा सगत तवशाल वतमळपाकळीचष कषरिफळ काढा (p =314 )

5 15 सषमी तरिजा असलषला एका वतमळपाकळीचष कषरिफळ 30 चौसषमी असषल तर सबतधत वतमळकसाची लाबी काढा

X

A B

CD 7 सषमी

6 शषजारील आकतीत वतमळाची तरिजा 7 सषमी आहष आतण m(कस MBN)= 60deg तर (1) वतमळाचष कषरिफळ काढा (2) A(O - MBN) काढा (3) A(O - MCN) काढा

O

B

C

60deg

M N

आकती 730

आकती 731

155

7 34 सषमी तरिजा असलषला वतमळपाकळीची पररतमती 128 सषमी आहष तर वतमळपाकळीचष कषरिफळ काढा

8 आकतीमध ष तबद O हष वतमळपाकळीचष कदर आहष ETH ROQ = ETH MON = 60deg OR = 7 सषमी OM = 21 सषमी तर कस RXQ व कस MYN ची लाबी काढा (p = 22

7)

9 आकतीत A(P-ABC) = 154 चौसषमी आतण वतमळाची तरिजा 14 सषमी असषल तर (1) ETH APC चष माप काढा (2) कस ABC ची लाबी काढा

P

AB

C

P

A B C34 सषमी

X

Q

YO

RM

N

10 वतमळपाकळीची तरिजा 7 सषमी आहष जर वतमळपाकळीचा कसाची मापष पढीलपरमाणष असतील तर ता वतमळपाकळाची कषरिफळष काढा (1) 30deg (2) 210deg (3) 3 काटकोन 11 लघवतमळपाकळीचष कषरिफळ 385 चौसषमी व सगत कदरी कोनाचष माप 36deg असलास ता वतमळाची तरिजा काढा

12 आकतीत c PQRS हा आत असन PQ = 14 सषमी QR = 21 सषमी तर आकतीत दाखतवलषला x y आतण z

ा परत षक भागाचष कषरिफळ काढा

L

NM

13 D LMN हा समभज तरिकोण आहषLM = 14 सषमी तरिकोणाचा परतषक तशरोतबद कदरतबद मानन व 7 सषमी तरिजा घषऊन आकतीत दाखवलापरमाणष तीन वतमळपाकळा काढला तावरन (1) A (D LMN) = (2) एका वतमळपाकळीचष कषरिफळ काढा (3) तीन वतमळपाकळाचष एककण कषरिफळ काढा (4) रषखातकत भागाचष कषरिफळ काढा

आकती 732

आकती 733

आकती 734

आकती 735

आकती 736

P

Q

xy

z

R

S

A

B

156

वतमळखड PXQ चष कषरिफळ = वतमळपाकळी (O - PXQ) चष कषरिफळ - D OPQ चष कषरिफळ

= q360

acute pr2 - D OPQ चष कषरिफळ ---------- (I)

आकतीत D OPQ मधष रषख PT हा बाज OQ वर टाकलषला लब आहष

काटकोन D OTP मधष sin q = PT

OP

PX

Q

Y

O आकतीमधष PXQ हा लघवतमळखड आहष तर वतमळखड PYQ हा तवशालवतमळखड आहष

लघवतमळखडाचष कषरिफळ कसष काढता षईलवतमळकदर O पासन OP व OQ ा दोन तरिजा

काढ तमहाला वतमळपाकळी O-PXQ चष कषरिफळ काढता षतष तसषच D OPQ चष कषरिफळही काढता षतष वतमळपाकळीचा कषरिफळातन तरिकोणाचष कषरिफळ वजा कलष की वतमळखडाचष कषरिफळ तमळषल

आकती 739

आकती 738

P Q

rO

T

X

वतमळखड (segment of a circle)

वतमळखड महणजष जीवा व सगत वतमळकस ानी मामतदत कलषला भाग हो

लघवतमळखड ः जीवा व लघवतमळकस ानी मामतदत कलषला भागास लघवतमळखड महणतात आकतीत वतमळखड AXB हा लघवतमळखड आहष

शविालवतमळखड ः जीवा व तवशाल वतमळकस ानी मामतदत कलषला भागास तवशाल वतमळखड महणतात आकतीत वतमळखड AYB हा तवशाल वतमळखड आहष

अधमवतमळखड ः वासामळष तार होणाऱा वतमळखडाला अधमवतमळखड महणतात

वतमळखडाच करिफळ (Area of a Segment)

X

Y

A B

Oतवशाल

वतमळखड

लघवतमळखड

आकती 737

157

PT = OP acute sin q PT = r sin q ( OP = r) D OPQ चष कषरिफळ = 1

2 acute पाा acute उची

= 1

2 acute OQ acute PT

= 1

2 acute r acute r sin q

= 1

2 acute r2 sin q ---------------- (ii)

(I) व (II) वरन वतमळखड PXQ चष कषरिफळ = q

360 acute pr2 - 1

2 r2 sin q

= r2 pq360 - sinq

2

(आपण लघकोनाचीच साइन गणोततरष तशकलो आहोत महणन q हष माप 90deg तकवा तापषका कमी असतानाच हष सरि वापरता षईल हष लकात घा)

रीत I ः r = 12 q = 30deg p = 314 वतमळपाकळी O-AXB चष कषरिफळ = q

360 acute pr2

= 30

= 314 acute 12

उदा (1) आकतीत ETH AOB = 30deg OA = 12 सषमी तर लघवतमळखडाचष कषरिफळ काढा (p = 314 घा) P

X

12

A B

30deg

O

A(D OAB) = 1

2 r2 acute sin q

= 1

2 acute 122 acute sin 30

= 1

2 acute 144 acute 1

2

( sin 30 = 1

2)

आकती 740

158

वतमळखड AXB चष कषरिफळ = वतमळपाकळी (O - AXB) चष कषरिफळ - A(D OAB) = 3768 - 36 = 168 चौसषमी

रीत II ः वतमळखड AXB चष कषरिफळ = r2 pq

360 - sinq2

= 123 14 30

360

30

22 sintimes

minus

= 1443 14

12

1

2 2

minus

times

= 144

4

3 14

31

minus

= 363 14 3

3

minus

= 36

30 14acute = 12 acute 014

उदा (2) P कदर असलषला वतमळाची तरिजा 10 सषमी आहष जीवा AB नष वतमळकदराशी काटकोन कलषला असलास लघवतमळखडाचष व तवशालवतमळखडाचष कषरिफळ काढा (p = 314)उकल ः r = 10 सषमी q = 90 p = 314 वतमळपाकळीचष कषरि = q

360 acute pr2

= 90

360acute 314 acute 102

= 1

4 acute 314

A(DAPB) = 1

= 1

2 acute 10 acute 10

= 50 चौसषमी लघवतमळखडाचष कषरिफळ = वतमळपाकळीचष कषरिफळ - तरिकोणाचष कषरिफळ = 785 - 50 = 285 चासषमी

P

XA B

आकती 741

159

तवशालवतमळखडाचष कषरिफळ = वतमळाचष कषरिफळ - लघवतमळखडाचष कषरिफळ = 314 acute 102 - 285 = 314 - 285 = 2855 चासषमी

उदा (3) 14 सषमी तरिजा असलषला वतमळात एक ससम षट कोन अततलमखखत कलषला असलास षट कोनाचा बाहषरील व वतमळाचा आतील भागाचष कषरिफळ काढा (p = 22

7 3 = 1732)

उकल ः ससम षट कोनाची बाज = ससम षट कोनाचा पररवतमळाची तरिजा ससम षट कोनाची बाज = 14 सषमी ससम षट कोनाचष कषरिफळ = 6 acute 3

4 acute (बाज)2

= 6 acute 3

4 acute 142

वतमळाचष कषरिफळ = pr2

= 22

7 acute 14 acute 14

= 616 चौसषमी षट कोनाचा बाहषरील व वतमळाचा आतील भागाचष कषरिफळ = वतमळाचष कषरि - ससम षट कोनाचष कषरि = 616 - 509208 = 106792 चौसषमी

आकती 742

आकती 743

आकती 744

आकती 744 मध ष O हष वतमळकदर आहष m(कस PQR) = 60deg OP = 10 सषमी तर छाातकत भागाचष कषरिफळ काढा (p = 314 3 = 173)

P Q

O

R2

1 आकतीमधष A कदर असलषला वतमळात ETH ABC = 45deg AC = 7 2 सषमी तर वतमळखड BXC चष कषरिफळ काढा (p = 314 2 = 141)

X

A

B C

45deg7 2 7 2

160

3 A कदर असलषला वतमळात ETH PAR = 30deg AP = 75 तर वतमळखड PQR चष कषरिफळ काढा (p = 314)

कदर O असलषला वतमळात PQ ही जीवा आहष ETH POQ = 90deg आतण छाातकत भागाचष कषरिफळ 114 चौसषमी आहष तर वतमळाची तरिजा काढा (p = 314)

5 15 सषमी तरिजा असलषला वतमळाची PQ ही जीवा वतमळाचा कदराशी 60deg चा कोन करतष ता जीवषमळष झालषला तवशालवतमळखड आतण लघवतमळखड ाची कषरिफळष काढा (p = 314 3 = 173)

1 खाली शदललया पयामयामधन अचक पयामय शनवडा (1) जर वतमळाचा परीघ व वतमळाचष कषरिफळ ाचष गणोततर 2ः7 असषल तर वतमळाचा परीघ तकती

(A) 14p (B) 7p (C) 7p (D) 14p

(2) 44 सषमी लाबी असलषला वतमळकसाचष माप 160deg असषल तर ता वतमळाचा परीघ तकती (A) 66 सषमी (B) 44 सषमी (C) 160 सषमी (D) 99 सषमी

(3) कसाचष माप 90deg आतण तरिजा 7 सषमी असलषला वतमळपाकळीची पररतमती काढा (A) 44 सषमी (B) 25 सषमी (C) 36 सषमी (D) 56 सषमी

(4) तळाची तरिजा 7 सषमी व उची 24 सषमी असलषला शककचष वकरपषठफळ तकती (A) 440 सषमी2 (B) 550 सषमी2 (C) 330 सषमी2 (D) 110 सषमी2

(5) 5 सषमी तरिजषचा वतततचतीचष वकरपषठफळ 440 सषमी2 असलास ता वतततचतीची उची तकती (A) 44

p सषमी (B) 22p सषमी (C) 14 p सषमी (D) 22

p सषमी

(6) एक शकक तवतळवन ताचा तळाचा तरिज षएवढाच तरिजषची वतततचती तार कली जर वतततचतीची उची 5 सषमी असषल तर शककची उची तकती (A) 15 सषमी (B) 10 सषमी (C) 18 सषमी (D) 5 सषमी

PQ

A

R

P

QO

R

आकती 745

आकती 746

4

161

(7) 001 सषमी बाज असलषला घनाचष घनफळ तकती घसषमी (A) 1 (B) 0001 (C) 00001 (D) 0000001 (8) एक घनमीटर घनफळ असलषला घनाचा बाजची लाबी तकती (A) 1 सषमी (B) 10 सषमी (C) 100 सषमी (D) 1000 सषमी

2 एका शककछषदाचा आकाराचा कपडष धणाचा टबची उची 21 सषमी आहष टबचा दोनही वतमळाकार बाजचा तरिजा 20 सषमी व 15 सषमी आहषत तर टबमधष तकती लीटर पाणी मावषल (p = 22

7)

3laquo पलखसटकचा 1 सषमी तरिजषचा लहान गोळा तवतळवन वतततचती आकाराची नळी तार कली नळीची जाडी 2 सषमी उची 90 सषमी व बाहयतरिजा 30 सषमी असषल तर ता नळीसाठी तकती गोळा तवतळवला असतील

4 लाबी 16 सषमी रदी 11 सषमी व उची 10 सषमी असलषला धातचा इखषटकातचतीपासन जाची जाडी 2 तममी आहष व वास 2 सषमी आहष अशी काही नाणी तार कली तर तकती नाणी तार होतील

5 एका रोलरचा वास 120 सषमी आतण लाबी 84 सषमी आहष एक मदान एकदा सपाट करणासाठी रोलरचष 200 फरष पणम होतात तर 10 रपष परतत चौरस मीटर ा दरानष तष मदान सपाट करणाचा एककण खचम काढा

6 वास 12 सषमी व जाडी 001 मीटर असलषला एक धातचा पोकळ गोल आहष तर ता गोलाचा बाहषरील भागाचष पषठफळ काढा व धातची घनता 888 गलम परतत घनसतटमीटर असलास ता गोलाचष वसतमान काढा

7 एका लबवतततचतीचा आकाराचा बादलीचा तळाचा वास 28 सषमी व उची 20 सषमी आहष ही बादली वाळनष पणम भरली आहष ता बादलीतील वाळ जतमनीवर अशा रीतीनष ओतली की वाळचा शकक तार होईल वाळचा शककची उची 14 सषमी असषल तर शककचा तळाचष कषरिफळ काढा

8 एका धातचा गोळाची तरिजा 9 सषमी आहष तो गोल तवतळवन 4 तममी वासाची धातची तार काढली तर ता तारषची लाबी तकती मीटर असषल

9 6 सषमी तरिजा असलषला एका वतमळपाकळीचष कषरिफळ 15p सषमी2 आहष तर ता पाकळीचा कसाचष माप काढा व वतमळकसाची लाबी काढा

10

आकती 747

आकतीत P हा वतमळाचा कदर असन रषख AB ही जीवा आहष PA = 8 सषमी आतण जीवा AB वतमळकदरापासन 4 सषमी अतरावर असषल तर रषखातकत भागाचष कषरिफळ काढा (p = 314 3 = 173)A

P

B8 4

162

11 वरतळपाकळीA-PCQमधयc ABCDहा चौरसआहयC-BXD ापाकळीचीतरिजा 20 सयमी असयल रर रयखातकर भागाचय कयरिफळकाढणासाठीखालीलकरीकरा

उकल ः चौरसABCDचीबाज=वरतळपाकळीC-BXDचीतरिजा= सयमी

चौरसाचयकयरिफळ=बाज2=2= (I)

चौरसारीलरयखातकरभागाचयकयरिफळ =चौरसABCDचयकयरिफळ-वरतळपाकळीC-BXDचयकयरिफळ

= - θ360

acute pr2

= - 90360

acute 3141

acute 4001

= -314

=

मोठावरतळपाकळीचीतरिजा=चौरसABCDचाकरातचीलाबी

=20 2

मायठावरतळपाकळीरीलचौरसाबाहयरीलरयखातकरभागाचयकयरिफळ

=वरतळपाकळीA-PCQचयकयरिफळ-चौरसABCDचयकयरिफळ

=A(A-PCQ)-A(c ABCD)

= θπ

3602times times

r -

2

= 90360

acute314(20 2 )2-(20)2

= -

=

रयखातकरभागाचयएकरकयरिफळ=86+228=314चौसयमी

आकती 748A

P

B

Q

X

C

D

163

OआतरPकदरअसलयलीवरतळय तबदAमधयआरनसपरतकररारजरBQ=9DE=5ररवरतळाचातरिजारोधणासाठीखालीलकरीकरा

उकल ः मोठावरतळाचीतरिजाRमानलहानवरतळाचीतरिजाrमानOAOBOCआतरODामोठावरतळाचातरिजा

OA=OB=OC=OD=RPQ=PA=r

OQ=OB-BQ=

OE=OD-DE=

PकदरअसलयलावरतळारदोनजीवाचाआररतवभाजनाचागरधमातनसारOQacuteOA=OEacute OF

acute R= acute ( OE=OF)

R2-9R=R2-10R+25

R=

AQ=2r=AB-BQ

2r=50-9=41

r= =

rrr

आकती 749

APO

E

F

B Q

C

D5

9

12

164

उततरसचीपरकरण 1 समरपता

1 3

4 2 1

2 3 3 4 1ः1 5 (1) BQ

BC (2) PQ

AD (3)

BC

DC (4) DC AD

QC PQ

acuteacute

सरावसच 121 (1) दभाजक आहष (2) दभाजक नाही (3) दभाजक आहष

2 PN

NR=

PM

MQ=

3

2 महणन रषषा NM || बाज RQ 3 QP = 35 5 BQ = 175

6 QP = 224 7 x = 6 AE = 18 8 LT = 48 9 x = 10

10 पक XQ PD पक XRRF

= XQQE

परमाणाचष मलभत परमष XPPD

= XRRF

सरावसच 131 D ABC ~ D EDC कोको कसोटी 2 D PQR ~ D LMN बाबाबा समरपता कसोटीनसार3 12 मीटर 4 AC = 105 6 OD = 45

1 कषरिफळाचष गणोततर = 9 ः 25 2 PQ2 4

9 3 A(D PQR) 4

5

4 MN = 15 5 20 सषमी 6 4 2

7 PF x + 2x ETH FPQ ETH FQP DF

PF

2

2 20 45 45 - 20 25 चौरस एकक

1 (1) (B) (2) (B) (3) (B) (4) (D) (5) (A)

2 7

13 7

20 13

20 3 9 सषमी 4 3

4 5 11 सषमी 6 25

81 7 4

8 PQ = 80 QR = 280

3 RS = 320

3 9

PMMQ

= PXXQ

PMMR

= PYYR

10 AXXY

= 3

2 12 3

2 3 2

2

+ 5

3 को-को 5

3 15

परकरण 2 पायरागोरसच परमय

सरावसच 211 पाथागोरसची तरिकटष (1) (3) (4) (6) 2 NQ = 6 3 QR = 205

165

4 RP = 12 PS = 6 3 5 एिरप िोनासमोरील िाज 45deg 1

2 1

2 2

6 िाज = 5 2 सयमी पररकमती = 20 2 सयमी 7 (1) 18 (2) 4 13 (3) 6 13 8 37 सयमी 10 82 मी

िराििच 221 12 2 2 10 4 18 सयमी

िकीणशि परशनिगरह 21 (1) (B) (2) (B) (3) (A) (4) (C) (5) (D) (6) (C) (7) (B) (8) (A) 2 (1) a 3 (2) िाटिोन करििोण होईल (3) 61 सयमी (4) 15 सयमी (5) x 2 (6) ETH PRQ3 RS = 6 सयमी ST = 6 3 सयमी 4 20 सयमी 5 िाज = 2 सयमी पररकमती = 6 सयमी 6 7 7 AP = 2 7 सयमी 10 75 किमी तास 12 8 सयमी 14 8 सयमी15 192 चौरस एिि 17 58 18 26

परकरण 3 ितशिळ

िराििच 311 (1) 90deg सपकशभािा करिजा परमय (2) 6 सयमी िारण लिातर (3) 6 2 सयमी (4) 45deg2 (1) 5 3 सयमी (2) 30deg (3) 60deg 4 9 सयमी

िराििच 321 13 सयमी 2 97 सयमी 4 (3) 110deg 5 4 6 सयमी

िराििच 331 m(िस DE) = 90deg m(िस DEF) = 160deg

िराििच 341 (1) 60deg (2) 30deg (3) 60deg (4) 300deg 2 (1) 70deg (2) 220deg (3) 110deg (4) 55deg3 ETHR = 92deg ETHN = 88deg 7 44deg 8 121deg

िराििच 351 PS = 18 RS = 10 2 (1) 75 (2) 12 कििा 6 3 (1) 18 (2) 10 (3) 5 4 4

िकीणशि परशनिगरह 31 (1) D (2) B (3) B (4) C (5) B (6) D (7) A (8) B (9) A (10) C2 (1) 9 सयमी (2) ितभाळाचा अतभाभागात (3) 2 किद 12 सयमी 3 (1) 6 (2) ETHK = 30deg ETHM = 60deg 5 10 6 (1) 9 सयमी (2) 65 सयमी

166

(3) 90deg MS ः SR = 2 ः 1 9 4 3 सषमी 13 (1) 180deg (2) ETH AQP ETH ASQ ETH ATQ (3) ETH QTS ETH SQR ETH SAQ (4) 65deg 130deg (5) 100deg 14(1) 70deg (2) 130deg (3) 210deg 15 (1) 56deg (2) 6 (3) 16 तकवा 9 16 (1) 155deg (2) 336 (3) 6 18 (1) 68deg (2) OR = 162 QR = 13 (3) 13 21 13

परकरण 4 भौशमशतक रचना

सकीणम परशनसगरह 41 (1) C (2) A (3) A

परकरण 5 शनदछिक भशमती

सरावसच 511 (1) 2 2 (2) 4 2 (3) 11

2 (4) 13 (5) 20 (6) 29

2

2 (1) एकरषषी आहषत (2) एकरषषी नाहीत (3) एकरषषी नाहीत (4) एकरषषी आहषत

3 (-1 0) 7 7 तकवा -5

1 (1 3) 2 (1) minus minus

1

3

1

3 (2)

4

7

11

7minus

(3) 0

13

3

3 2ः7 4 (-6 3)

5 2ः5 k = 6 6 (11 18) 7 (1) (1 3) (2) (6 -2) (3) 19

3

22

3

8 (-1 -7) 9 h = 7 k = 18 10 (0 2) (-2 -3)

11 (-9 -8) (-4 -6) (1 -4) 12 (16 12) (12 14) (8 16) (4 18)

सरावसच 531 (1) 1 (2) 3 (3) चढ ठरवता षत नाही

2 (1) 2 (2) -3

8 (3)

5

2 (4)

5

4 (5) 1

2 (6) चढ ठरवता षत नाही

3 (1) एकरषषी आहषत (2) एकरषषी आहषत (3) एकरषषी नाहीत (4) एकरषषी आहषत (5) एकरषषी आहषत (6) एकरषषी आहषत

4 -5 1

5 -

2

3 6 k = 5 7 k = 0 8 k = 5

सकीणम परशनसगरह 51 (1) D (2) D (3) C (4) C 2 (1) एकरषषी आहषत (2) एकरषषी आहषत (3) एकरषषी नाहीत 3 (6 13) 4 3ः1

167

5 (-7 0) 6 (1) a 2 (2) 13 (3) 5a 7 minus

1

3

2

3

8 (1) हो तवषमभज तरिकोण (2) नाही (3) हो समभज तरिकोण 9 k = 5

13 5 2 13 37 14 (1 3) 16 25

6

13

6

तरिजा = 13 2

6 17 (7 3)

18 समातरभज चौकोन 19 A(20 10) P(16 12) R(8 16) B(0 20) 20 (3 -2)

21 (7 6) व (3 6) 22 10 व 0

परकरण 6 शरिकोणशमती

1 cosq = 24

25 tanq = 7

24 2 secq = 5

4 cosq = 4

5

3 cosecq = 41

9 sinq = 9

41 4 secq = 13

5 cosq = 5

13 sinq = 12

13

5 sin cos

sec cosec

θ θθ θ

++

= 1

2

सरावसच 621 चचमची उची 80 मीटर2 जहाजाचष दीपगहापासनचष अतर 5160 मीटर3 दसऱा इमारतीची उची (10 + 12 3 ) मीटर4 तारषनष तकततज समातर पातळीशी कलषला कोन 30deg5 झाडाची उची (40 + 20 3 ) मीटर6 पतगाचा दोऱाची लाबी 6920 मीटर

सकीणम परशनसगरह 61 (1) A (2) B (3) C (4) A

2 cos60 = 60

61 3 sinq = 2

5 cosq = 1

5 cosecq = 5

2 secq = 5 cotq = 1

2

4 sinq = 5

13 cosq = 12

13 cosecq = 13

5 tanq = 5

12 cotq = 12

5

6 इमारतीची उची 16 3 मीटर

7 जहाजाचष दीपगहापासन अतर 100 3

3 मीटर

8 इमारतीची उची (12 + 15 3 ) मीटर

9 तशडीचष दसरष टोक जतमनीपासन जासतीत जासत 2080 मीटर उच असषल

168

10 तवमान जतमनीपासन जासतीत जासत 1026 मीटर उचीवर होतष

परकरण 7 महतवमापन

सरावसच 711 1179 घसषमी 2 11304 घसषमी 3 1413 चौसषमी (p = 314 घषऊन) 4 616 चौसषमी5 21 सषमी 6 12 जग 7 5 सषमी 8 273p चौसषमी 9 20 गोळा 10 9420 घसषमी 10362 चौसषमी 11 553896 चौसषमी 3877272 घसषमी 12 146867p घसषमी

सरावसच 721 10780 लीटर 2 (1) 628 चौसषमी (2) 135648 चौसषमी (3) 198448 घसषमी

सरावसच 731 471 चौसषमी 2 2512 सषमी 3 385 चौसषमी 4 214 चौसषमी 5 4 सषमी6 (1) 154 चौसषमी (2) 257 चौसषमी (3) 1283 चौसषमी 7 102 चौसषमी 8 73 सषमी 22 सषमी 9 (1) 90deg (2) 22 सषमी 10(1) 1283 चौसषमी (2) 8983 चौसषमी (3) 1155 चौसषमी 11 35 सषमी 12 x = 154 चौसषमी y = 385 चौसषमी z = 1015 चौसषमी 13 (1) 8487 चौसषमी (2) 2567 चौसषमी (3) 7701 चौसषमी (4) 786 चौसषमी

सरावसच 741 372 चौसषमी 2 908 चौसषमी 3 065625 चौएकक 4 20 सषमी 5 2043 चौसषमी 68607 चौसषमी

सकीणम परशनसगरह 71 (1) A (2) D (3) B (4) B (5) A (6) A (7) D (8) C

2 2035 लीटर 3 7830 गोळा 4 2800 नाणी (p = 22

7 घषऊन) 5 6336 रपष

6 45216 चौसषमी 338594 गलम 7 2640 चौसषमी 8 108 मीटर

9 150deg 5p सषमी 10 3928 चौसषमी

rrr

C1
Title
Text
C2

2

A(D ABC) A(D PQR)

= BC AD QR acute PS

ावरन दोन तरिकोणाचा कषरिफळाचष गणोततर हष ताचा पाा व सगत उची ाचा गणाकाराचा

एका तरिकोणाचा पाा b1 व उची h1 आतण दसऱा तरिकोणाचा पाा b2 व उची h2 असषल तर ताचा

कषरिफळाचष गणोततर = b1 acute h1

b2 acute h2

ा दोन तरिकोणाचा सबधात काही अटी घालन पाह

अट 1 ः दोनही तरिकोणाची उची समान असषल तर -

A(D ABC) A(D PQR)

= BC acute hQR h

= BC QR

A(D ABC) A(D PQR)

= b1 b2

गणधमम ः समान उची असलषला तरिकोणाची कषरिफळष ताचा सगत पााचा परमाणात असतात

अट 2 ः दोनही तरिकोणाचा पाा समान असषल तर -

A P

B QD SC R

h h

आकती 15

C

A D

P

Q B

h2

h1 A(D ABC) A(D APB)

= AB h1

AB h2

A(D ABC) A(D APB)

= h1

h2

गणधमम ः समान लाबीचा पााचा दोन तरिकोणाची कषरिफळष ताचा सगत उचीचा परमाणात असतात

3

कती ः

(i) (ii)

उदा (1)

A( D ABC) A( D APQ)

=

= A(D LMN) A(D DMN)

=

आकती 16

A

B P QR C

आकती 17

A(D AMC)A(D BMC)

=

= =

C

A BM

आकती 19

A

D

B E FC

= AEDF

= 4

6 = 2

3

D

P

L

M NQ

4

BC = 15 DC = 6 BD = BC - DC = 15 - 6 = 9

A( D ABD)A( D ABC)

= BDBC

= 9

15 = 3

5

A( D ABD)A( D ADC)

= BDDC

= 9

6 = 3

2

उदा (3)

आकती 110

आकती 111

D CB P

A

A D

CB P

A(D ABC) = A(D ABD)

5

A( D BDC)A( D ABC)

B

P

D

A

Cआकती 112

AD = 16 - 9 = 7

A( D ABD)A( D ABC)

= ADAC

= 7

A( D BDC)A( D ABC)

= DCAC

= 9

A( D ABD)A( D BDC)

= ADDC

= 7

6

A( D ABC)A( D ADB)

काढा

आकती 115

D

C

A B

आकती 113

आकती 114

P

Q

T

R S

P

A

B C

D

P

Q

A

B CD

7

= AQQC

A(D APQ)A(D PQB)

= APPB

= AQQC

A(D APQ)A(D PQB)

= A(D APQ)A(D PQC)

APPB

= AQQC

आकती 117

P Q

A

B C

l

8

कती ः

bull ABBC

A

B C

D

आकती 119

साधय ः AE

EB =

CA

CB

A B

C

D

E

आकती 120

आकती 118

A

B C

QP l

9

P

A

B

CN

M

आकती 122

CB = CD (IV)

AEEB

= ACCD

AEEB

= ACCB

A

B CD

N

M

आकती 121

आतण

10

= PQQR

P

Q

A l

B m

C n

D

t1

t2

R

ABBC

= PDDC

PDDC

= PQQR

ABBC

= PDDC

= PQQR

= BDDC

bull ABBC

व PQQR

कती ः

P

Q

A lB m

C n

t1

R

t2

आकती 123

ABBC

= PQQR

11

आकती 127

तर BPPA

= BQQC

तर ABBC

= ADDC

तर ABBC

= XYYZ

आकती 125

P

Q

A

B C

X Y

A lB

m

C

Z

A

B C

D

आतण PSSQ

= PTTR

आकती 128

आकती 126

P

Q

TS

R

12

ADDB

= AEEC

1 8

5 4

= AE

72

AE = 1 8 7 2

5 4

acute = 24

PRRQ

= PSSQ

15

20 =

12SQ

SQ = 12 acute 20

15 = 16

SQ = 16

P

Q

O O

R

S

AC = DF ( )

5 4

9

= DF DF =

A B

C D

E F

आकती 130

आकती 131

आकती 129

A

B C

D E

13

कती ः

= AEEB

आकती 133

आकती 132

A

B C

DE

आकती 136

P

Q R35 15

37

M

P

Q

R

M

36

4

9

10

P

QR

N M

P

Q

R6

8

10

7M

ABBC

= ADDC

AEEB

= ADDC

( ) (II)

AB

= EB

(1) (2) (3)

14

काढा

आकती 137

आकती 138

आकती 139

आकती 140

P Q

A

B C60deg

60deg

P

Q N

M

255

7

P Q

A B

CD

= AQQC

P

Q

N

M

40

25

14

Ax

B

C

D

E

F8

12

4

आकती 141

15

िाढा

P

X

QFE

D

R

आकती 142

T

L

NM

6

10

8

A

x

x - 2

x + 2

x + 5B C

D

आकती 143

आकती 144

XP =

= (II)

16

आतण ABDE

= BCEF

= ACDF

A

B C

D

E F

आकती 146

P

A

QB RC

17

= ANNC

= NCAN

MB + AM

AM =

NC + AN AN

ABAM

= ACAN

ABPQ

= ACPR

= BCQR

ABPQ

= BCQR

= ACPR

D ABC ~ D PQR

आकती 147

NM

P

Q

A

B C

R

18

आकती 149

आकती 150

ETH KLM ETH RST

KLRS

= LMST

L SM1

T2

K15

3

R

PQYZ

= QRXY

= PRXZ

Z

L

M

X

Y N

Z

PX

Q

YR

19

आकती 151

आकती 152

20 Z 30

M

P

X

NY

14 21

N10M

P

U

WV

3

5

6

नाहीत

PMUV

= 6

3 = 2

1

MNVW

= 10

5 =

2

1

PMUV

= MNVW

XYMN

= 14

21 = 2

3

YZNP

= 20

30 =

2

3

XYMN

= YZNP

20

ETH PAB ETH QAC ( )

पक ः 2QA = QC

2QB = QD

= 1

2 (I)

2QB = QD QBQD

= 1

2 (II)

QAQC

= QBQD

QAQC

=QBQD

AQCQ

= QBQD

= ABCD

परत AQCQ

= 1

2 AB

CD =

1

2

2AB = CD

आकती 154D

Q

AB

C

P

Q

A

B C

आकती 153

21

आकती 155

आकती 156

आकती 157

जर AP = 7 BQ = 8 BC = 12

आकती 158P

Q

A

B C

D

E

A

B

C

75deg

10 L

NM

P

3

Q

5

4

6

8 R

A

C4

x6

8

P

Q R B

22

SR = 5PQ

आकती 159

= BPDP

D ABP ~ D CDP

S

P Q

A

R

D

O

AB

C

E

T

DA

BC

D

P

A

B

C

आकती 161

आकती 162

A

B C

आकती 163

23

= AB2

PQ2 =

BC2

QR2 = AC2

PR2

= BC AD QR acute PS

= BCQR

acute ADPS

(I)

ADPS

= ABPQ

(II)

ABPQ

= BCQR

= ACPR

(III)

A(D ABC) A(D PQR)

= BCQR

acute ADPS

= BCQR

acuteBCQR

= BC2

QR2 = AB2

PQ2 =

BC2

QR2

P

Q

A

B CD

RS

आकती 164

24

A(D ABC) A(D PQR)

= AB2

16

25 = AB2

PQ2 ABPQ

= 4

A(D ABC) A(D PQR)

= ( )

( )

2

5

2

2 = 4

64

A(D PQR) = 4

25

4 = 400

= AB2

CD2

A(D APB) A(D CPD)

= AB2

आकती 165

P

AB

C D

25

A(D ABC) A(D PQR)

= AB2

= 22

32 =

A(D ABC) A(D )

= = ABPQ

=

DF = DP + = + = 3x

A(D FDE) A(D FPQ )

= =( )

( )

3

2

x

x = 9

4

A(D FDE) = 9

4 A( D FPQ ) = 9

4 acute =

= -

=

P

D

12580

26

=BCPR

=CAPQ

तर

(A) D PQR ~ D ABC

(B) D PQR ~ D CAB

(C) D CBA ~ D PQR

(D) D BCA ~ D PQR

(A) EFPR

= DFPQ

(B) DEPQ

= EFRP

(C) DEQR

= DFPQ

(D) EFRP

= DEQR

(A) 2 2 (B) 4 (C) 8 (D) 4 2

तकती

आकती 167

A

PR

Q

B C

आकती 168

D

E F P

Q

R

आकती 169

A

B C

D

E F

आकती 170

A

B C

D

E F

27

आकती 173

आकती 171

आकती 172

(A) ABAC =

AXAY (B)

AXXB =

AYAC

(C) AXYC =

AYXB (D)

ABYC =

ACXB

AB = 6 DC = 8

A

B C

D

68

P

Q

R

N SM

A

B CD

आकती 174

A

B C

X Y

28

आकती 176

3

A

B C

D

x 64 - x

5

Eआकती 175

P

Q

AB

C

D

R

S

P

X

Q

Y

xxOO RM

BC = 70 CD = 80 PS = 280 तर PQ

QR RS काढा

परत MPMQ

= MPMR

PXXQ

= PYYR

आकती 177

29

P

A

B C

D

आकती 179

= PCBP

=

AX +BX

BX =

ABBX

= (I)

BABX

= ACXY

= AC9

AC = (I) वरन

X

Y

A

B Cआकती 180

rrr

आकती 178

A

B C

X

Y

आकती 181E

F

A

B CD

G

30

आकती 21P Q

R

31

30deg

60deg90degM

L

Nआकती 22

2 acute LN

MN = 1

2 acute LN LM = 3

2 acute LN

= 1

2 acute 6 = 3

2 acute 6

32

XY = 1

2 acute ZY

XZ = 1

2 acute ZY

XY = XZ = 1

2 acute 3 2

कती ः

आकती 24

x

y

x

z

आकती 23

45deg

Z

X Y

33

आकती 26

आकती 25

A

B

D

C

acute

R

P Q

S

QS

PS=

SR

SQ

QS

PS=

SR

QS

34

आकती 27

A

B C

D

A

B C

P

Q R

ABAD

= BCDB

= ACAB

= BC

DC = ACBC

ABAD

= ACAB

BC

DC = ACBC

AC2 = AB2 + BC2

35

आकती 210

Q R

P

S

36

BC = 1

2 acute AC AB = 3

2 acute AC

BC = 1

2 acute 14 AB = 3

2 acute 14

BC = 7 AB = 7 3

आकती 211

= 3 acute 4 = 12 आकती 213

A

B C

14

60deg

30deg

P 9

16

N

RQ

AD = DC = 1

DC = 8 AD = 8

BC = BD + DC

= 5 + 8

= 13आकती 212

CB

A

D

82

5

37

= 10 8acute

= 5 2 8acute acute

= 5 16acute

= 4 5

z

xS

8

10

P

ावरन x = 4 5 y = 12 z = 6 5

= 4 52( ) + 82

= 16 acute 5 + 64 = 80 + 64 = 144 QR = 12

= 4 52( ) + 102

= 16 acute 5 + 100 = 80 + 100 = 180 = 36 acute 5 PQ = 6 5

आकती 215

P

Q R12

9

38

उकल ः l = 5 m = 13 n = 12 l2= 25 m2 = 169 n2 = 144 m2 = l2 + n2

आकती 217

आकती 218

P

Q M R

10

8

M

N P

Q

आकती 216

C

AB

D

39

आकती 219

AB = BC

ETH BAC =

AB = BC = acute AC

= acute 8

= acute 2 2

=

S

R

P

6

30deg

D

FE

G 8

12

P

R M Q

आकती 221

आकती 222

आकती 220

A

CB

8

40

p2 = b2 - (II)आकती 223D

A

CxB

p

a - x

bc

DB = a + x

c2 = (a + x)2 + p2

c2 = a2 + 2ax + x2 + p2 (I)आकती 224

A

B

cb

x a

p

D C

41

A

B CM D

= a2 + 2ax + b2

42

P

Q

9

RM

आकती 226

आकती 227

QM = MR = 1

2QR

290 = 2 acute 81 + 2QM2

290 = 162 + 2QM2

P

Q

T

R

S

= (2PT)2 + (2QT)2

= PR2 + QS2

43

2

P

Q T RS

आकती 228A

P Q

A BT

RSआकती 230

44

45

आकती 232

A

B

C

M

L

आकती 233

A

BC D

आकती 231

P

QM Naa

aRS

a a

46

P

Q60deg 60deg

T RS

आकती 234

15 15

A B

CD

25

ICT Tools or Links

rrr

QS = 1

आकती 235

47

C

D EF

आकती 31

3 वतमळ

48

आकती 32

आकती 33

आकती 34

PQ R

O

A

T

D

B

C

SM

P

A

Q

R

49

आकती 35

आकती 36

आकती 37

A

B

C

A B

C

PQ

A B

l

50

कती ः

आकती 38

आकती 39

AR

B

l m n

CP

Q

A

P

OB

51

O A

l

आकती 310

आकती 311

ABC

O

l

52

आकती 312

आकती 314

M

A B

C

D

A

BC

53

P

A

Q

D

P

A

Q

D

A

D

B

C

आकती 316

आकती 317

54

आकती 318

P T

O S

Q R

a

b

c

55

M

N

O R

M

N

O R

आकती 320

आकती 321

A B

C

आकती 319

ICT Tools or Links

56

आकती 323

आकती 322

X Y Z

Y X Z

57

आकती 324

R T S

l p

KN M

आकती 325

आकती 326

A C B

l

(a)

A

C

B

l

(b)

58

आकती 327

A

P R Q

B

आकती 328

A

l

B

CD

E

59

आकती 329

Y

kC

A BX

आहष

आकती 330

P

Q

Oq B

A

60

आकती 331

A

F

B

40deg70deg

70deg

G

C

D

I

E

J

61

आकती 332

A

BC

D

E

P

Q

A

B

CD

E

आकती 333

P

QM

NO

R

S

आकती 334

62

A

B

C

O

63

PQ

T

RS

आकती 336

आकती 337

G

EF

64

आकती 340

D

E

A B

CH

I

F

G

आकती 339

A

BC

D

आकती 338

Q

R S

65

आकती 341

P QC

T

RS

कती II ः

आकती 342

A B

C

D

P Q

66

आकती 344

आकती 345

A

B

C

x2x

2xE

O

A

B C

D

2 m(कस BDC)

A

B

CC

C

67

ETHEAC + ETHEAB = 1

2 m(कस EC) + 1

ETHBAC = 1

= 1

2 [m(कसBEC)] = 1

= 1

2 m(कस BCE) - 1

2 m(कस CE)

(III) वरन

= 1

आकती 346

A

BC

OE

68

आकती 349

AB

C

D

आकती 347

आकती 348

P

Q

C

T

R

S

A

B

C

X

M

2 (I)

69

= 1

ETHADC + = 1

2 + 1

= 1

2 [ + m(कस ADC)]

= 1

70

xx

A

BC

Dआकती 350

L

N

35deg

M

आकती 351

35 = 1

2 m(किMN)

2=145deg

ETH M = 145deg

2

71

= 2 acute 145deg2

= 145deg

(ii) ETH STQ = 1

mETHSTQ = 1

2 [m(कस PR) + m(कस SQ)] = 1

2 [48 + 68]

= 1

2 acute 116 = 58deg

= ETHSTQ

= 1

2 [ + ]

आकती 352

P

Q

TR

S24deg

58deg

72

आकती 353

E

A

B

C

D

(i) ETHAEC = 1

(ii) ETHCEB= 1

आकती 354

E

A

BC

D

73

ETHBED = 1

आकती 356

E

A

B

C

D

A B

C

O

आकती 357

P

Q

R

S

O

T

R S

आकती 358

आकती 355

74

आकती 359

आकती 360

आकती 361

E

FM

N

S

EA

B

CD

P

W

Y

Z

T

X

आकती 362A

B

C

आकती 363

A

B

C

D

75

2 m(कसADB)

आकती 364

आकती 364(i)

M M MF

E

A

A A

B B BC C C

D DD

xy

x

(i) (ii) (iii)

M

A

B CD

76

y = ETH ABC = 1

2ETH AMB = 1

2 m(कस ADB)

2 m( ) (2) मध ष तसद ध

180 - = 1

2 m(कस AFB)

= 1

2 [360 - m( )]

180 - ETHABC = 180 - 1

2 m(कस ADB)

-ETHABC = - 1

2 m( )

ETHABC = 1

2 m(कस ADB)

MA

B CDx

y

x

MF

E

A

B C

D

ETH ABC = 1

आकती 365

A

B C

D

T

77

P

Q

U

T

O

R

S

AE

DE=

CE

P

E

A

BC

D

आकती 367

आकती 366

जर ETH PQR = 1

78

= CE acute ED

आकती 368

E

AB

C

D

79

आकती 369

ET

EB=

EA

EA acute EB = ET2

आकती 370

आकती 371

आकती 372

B

C D E

A

E

A

B

C

D

EA

B

T

A

B

E

T

80

आकती 373

आकती 374

P

Q

R

S

उदा (2)

S

M

P

N

R

81

आकती 375

P QYM

X

आकती 376

उदा (4)

P

Q

T O

R

S

82

E

O A

B

CD

आकती 380

P

Q

R

S

आकती 381

M

ND

R

S

P

Q

T

R

S

H

G

FE

D

आकती 377

आकती 378

आकती 379

83

84

P

o

l

M

L

K

A

B

C

O

आकती 382

आकती 383

आकती 384

पासन

85

X Y

A

B

Z

आकती 387

आकती 385

आकती 386

MN

T

RS

E

F

A B

CD G

HT

86

XY

A

B

Z

P

Q

O

l

R S

P Q

A

BC

Tआकती 390

आकती 389

आकती 388

87

W

TZ

X

Y

आकती 392

आकती 393

P

Q

A

T

R

S

P

Q

O

R

S

आकती 391

88

A

B

C

DE

आकती 394

आकती 396

आकती 397

P

Q

R

O

E

A

B

CD

E F

G H

आकती 395

89

OA B

C

D

आकती 399

M

N

L O

आकती 398

आकती 3100

P Q

R

S

90

आकती 3101

PQ

M

N

RS

rrr

ICT Tools or Links

आकती 3103D

E

OF

A

B C

आकती 3102

A

B

C

ED

91

92

AB

PQ=

BC

QR=

AC

PR=

3

2 (I)

54

PQ=

42

QR=

60

PR=

3

2

PQAB

C

R

93

ABAcentB = BC

3

A

Acent

B CCcent

आकती 42AB

C

42सषमी

54 सषमी

60सषमी

PQ

R

28सषमी

36 सषमी

40सषमी

94

आकती 46

A

Acent

B

C

Ccent

BAcentBA = BC

BC

cent = 3

5 BC

आकती 45

A

T1T2 T3

T4T5

B C

आकती 44

A

Acent

CCcentB

95

आता BC

BCprime=

5

7

A

Acent

BC Ccent

आकती 48

A

Acent

B C1 2 3 4 5 6 7

Ccent

96

आकती 49

P

l

C

P XC

l

आतण BC

MN = 5

आतण PQ

LT = 3

आतण RS

XY =

3

आतण AM

AH = 7

97

आकती 411l

AB

C

D

आकती 412

ABM

C

ND

R

98

PM

A

B

O

आकती 413

PO

A

B

99

PQ= 7

5 तर

LN= 4

= 6

5

rrr

100

(2 0) ( -5

17

2) (0 -3) असष

आकती 51

PQ-2 1 5-3 20-4 3

O-5 4

R-1

101

d(PQ) = y2 - y1

d(A B) = x2 - x1

d(PQ) = y2 - y1

आकती 52

A (x1 0) B (x2 0)X` X

Y

Y`

O

आकती 53

(0 y2) Q

(0 y1) P

XX`

Y

Y`

O

A(x1 y1)

L(x1 0)

B(x2 y1)

M(x2 0)X` X

Y`

Y

O

P (x1 y2)(0 y2) R

Q (x1 y1)(0 y1) S

X` XY`

Y

O

102

AB = 3 - = BC = - = 4

AC2 = + = AC = 17

AD = d(A D) = x2 - x1 BD = d(B D) = y2 - y1

= x x y y2 1

2

2 1

AB = x x y y2 1

2

2 1

आकती 56

XX`

B

Y

Y`

A(2 3)

C(-2 2)

4

1-1

3

-3 2

-2

2

-2 3

-3

1

-1 0

आकती 57

XP

X`

Y

Y`

A(x1 y1)

B(x2 y2)

D(x2 y1)

O

103

2

2 1

2

1 2

2

1 2

x1 = 2 y1 = 3 x2 = -2 y2 = 2

AC = x x y y2 1

2

2 1

= minus( ) + minus( )4 12 2

= 16 1+

= 17

AB = x x y y2 1

2

2 1

BC = x x y y2 1

2

2 1

2 = 4

XX`

B

Y

Y`

A(2 3)

C(-2 2)

O

आकती 58

d(P Q) = x x y y2 1

2

2 1

2

2 1

2

1 2

104

2

2 1

= 5 1 7 12 2

= 6 82 2( ) + minus( )

= 36 64+

2

2 1

2minus( ) + minus( ) (x1 y1) (x2 y2)

d(A B) = 1 3 2 22 2

= 1 3 42 2+( ) + minus( )

= 16 16+

= 32 = 4 2 (I)

d(B C) = 9 1 10 22 2minus( ) + minus +( )

= 64 64+ = 8 2 (II)

= 144 144+ = 12 2 (III)

105

= 3 12 2( ) + ( ) = 10 (I)

= 0 102 2( ) + minus( ) = 100 (II)

PR = 3 6 3 62 2minus( ) + +( )

= minus( ) + ( )3 92 2 = 90 (III)

ासाठी 1002( ) आतण 10 90

2

AB = 1 4 7 22 2minus( ) + minus( ) = 9 25+ = 34

BC = 4 1 2 12 2+( ) + +( ) = 25 9+ = 34

= 9 25+ = 34

DA = 1 4 7 42 2+( ) + minus( ) = 25 9+ = 34

AC = 1 1 7 12 2+( ) + +( ) = 4 64+ = 68

BD = 4 4 2 42 2+( ) + minus( ) = 64 4+ = 68

आकती 59

A

B

C

D

106

[0 -(-5)]2 + [y -(-2)]2 = (0 - 3)2 + (y - 2)2

(a + 3)2 + (b + 4)2 = (a + 5)2 + (b - 0)2

a2 + 6a + 9 + b2 + 8b + 16 = a2 + 10a + 25 +b2

a2 + 6a + 9 + b2 + 8b + 16 = a2 - 6a + 9 + b2

1

2

2) आहषत

P(ab)

A(-3-4)

B(-50)

C(30)

आकती 510

107

(x - 7)2 + (y - 1)2 = (x - 3)2 + (y - 5)2

x2 - 14x +49 + y2 - 2y + 1 = x2 - 6x + 9 + y2 - 10y +25 - 8x + 8y = -16 x - y = 2 y = x - 2

25 = 9 + (y + 2)2

16 = (y + 2)2

y + 2 = plusmn 16

2)

(4) L(5 -8) M(-7 -3) (5) T(-3 6) R(9 -10) (6) W( -7

2 4) X(11 4)

108

आकती 512

AP

PB= =

6

10

3

5

AB

BC=

DE

EF

आकती 511

mn

p q

lAB

C

DEF

109

= CQQD

= mn

x x

m

n

minusminus

=1

2

n(x - x1) = m (x2 - x) nx - nx1 = mx2 - mx

mx + nx = mx2 + nx1

x(m + n) = mx2 + nx1

x = mx nx

m n2 1+

ymy ny

m n=

++

2 1 तमळषल

m n

my ny

m n2 1 2 1++

++

असतात

आकती 513

XX`

Y

Y`

A (x1 y1

) P (x y) B(x2 y2)

D(x2 0)Q(x 0)C(x1 0)O

(I)

110

x = mx nx

m n2 1+

+

= mx mx

m m2 1+

+ m = n

= m x x

m1 2

2

+( )

= x x1 2

2

+

y = my ny

m n2 1+

+

= my my

m m2 1+

+ m = n

= m y y

m1 2

2

+( )

= y y1 2

2

+

2 2

+ +

a + b2

x = mx nx

m n2 1+

+ = 2 7 3 3

2 3

23

5

times + times+

= ymy ny

m n=

++

2 1 = 2 9 3 5

2 3

33

5

times + times+

=

5

33

5

आकती 514

A (x1 y1) P (x y)

B (x2 y2)

111

आकती 516

2

1

A(x1 y1)

C(x3 y3)

G(x y)

B(x2 y2) D

आकती 515

A (-42) B (62)P (x y)

x = x x1 2

2

+ = minus +4 6

2 = 2

2 = 1

y = y y1 2

2

+ = 2 2

2

+ = 4

2 = 2

112

2

+ y = y y2 3

2

x = 2

21

2 1

2 31

x xx

+

+ times

+ = x x x2 3 1

3

+ + = x x x1 2 3

3

+ +

y = 2

21

2 1

2 31

y yy

+

+ times

+ = y y y2 3 1

3

+ + = y y y1 2 3

3

+ +

x x x y y y1 2 3 1 2 3

3 3

+ + + +

असतात

m n

my ny

m n2 1 2 1++

++

असतात

x x y y1 2 1 2

2 2

+ +

असतात

3 3

+ + + +

असतात

113

x = mx nx

m n2 1+

+ = 7 6 2 7

7 2

= - -42 14

9 = -56

9 y = my ny

m n2 1+

+ = 7 5 2 4

7 2

= minus +35 8

9 = -27

9 = -3

56

93 षतील

-4 = 2 acute r + 1 acute (-6)

2 + 1

-4 = 2r - 6

3 -12 = 2r - 6 2r = -6 r = -3

2 + 1

6 = 2s + 10

3 18 = 2s + 10 2s = 8 s = 4

आकती 517

(-7 4)

7

2

(x y)(-6 -5)TB

A

114

x = mx nx

m n2 1+

+

11 = 9 15m n

m n

++

11m + 11n = 9m + 15n

2m = 4n

mn

= 4

2 = 2

1

AP

PB = AP

PQ + QB = AP

AP + AP = AP

2AP = 1

2 (I) वरन

1 2

= minus +7 4

3 = -3

3 = -1

1 2

= 4 4

3

- = 0

3 = 0

= 2

1

2 1

= minus +14 2

3 = -12

3 = -4

2 1

times + timesminus+

= 8 2

3

- = 6

3 = 2

आकती 518

A P Q B

115

= 3

APPB

= 3

ABBP

= 2

1

आकती 519(-4 6)

(5 10)B

P

A

116

AB

C

D

El

X

Y

Xcent

Ycent

4

41

3(4 4)

(6 7)

(-2 -5)

-3 2

7

2(2 1)

-2 3

6

1

(0 -2)

-1

5

0

आकती 520

117

अ कर

(x1 y1)

(x2 y2)

y y

x x2 1

2 1

--

1 C E (2 1) (6 7)7 1

6 2

--

= 6

4 = 3

2

2 A D (-2 -5) (4 4)4 5

4 2

= 9

6 = 3

2

3 D A (4 4) (-2 -5)- -- -

5 4

2 4 = -

-9

6 = 3

2

4 B C -- -- --

5 C A -- -- --

6 A C -- -- --

x x2 1

2 1

--

x x2 1

2 1

--

x x2 1

2 1

--

m = y y

x x2 1

2 1

--

118

= 0

0 - 0 = y2- y1

0

QR = y2 - y1 आतण PR = x2 - x1

आकती 521

t

n

l

A(40)B(61)

C(34)

D(-10)0 X

Y

आकती 522

(x2 0)(x1 0)

(0 y1)

(0 y2)

l

m

X

Y

0

119

QR

PR = tanq (II)

x x2 1

2 1

--

= tanq

m = tanq

y y

x x2 1

2 1

--

=

-

- =

=

QR

PR = y y

x x2 1

2 1

-- (I)

आकती 524

A XX`

B

Y

Y`

t

l

(03)

(-30)qq

0

आकती 523

X

Y

q

qT

R

S

Q(x 2 y 2

)

(x2- x1)P(x 1

y 1)

(y2- y1)

l

O

120

x x2 1

2 1

--

4 3 = -6

7

x x2 1

2 1

--

= 2 3

1 2

1

x x2 1

2 1

--

= 1 2

4 1

--

= -1

3

- -2 0

3 k = -

- -2

3 k

-- -

2

3 k = 2

7 k = 4

121

x x2 1

2 1

--

8 6

--

= 1

2 (I)

9 8

--

= 2 (II)

7 9

--

= 1

2 (III)

7 6

--

= 2 (IV)

2) N(4 -2)

122

(A) 1

2 (B) 3

2 (C) 1

3 (D) 3

5) R (3 6

5)

(3) L (12) M (53) N (86)

123

rrr

124

sin q = cos q =

(i) sin

cos

qq

= (ii) sin q = cos (90 - )

A

B Cq

125

A

BC q

आकती 62

sinq = ABAC

cosecq = 1

sinq

= 1

ABAC

= ACAB

समख बाज

tanq = ABBC

cot q = 1

tanq

= 1

ABBC

cot q = BCAB

cosq = BCAC

secq = 1

cosq

= 1BCAC

= ACBC

tanq =sinqcosq

cot q = 1

tanq

= 1sincos

qq

=cos qsin q

cot q = cos qsin q

sinq

secq = 1

tanq

126

bull 1

127

AB

C

q

आकती 63

sin q 01

2

1

23

21

cos q 1 3

2

1

2

1

20

tan q 01

cosec q

= 1sin q

31

sec q

= 1cos q

12

cot q

= 1tan q

30

(i) sinq = BCAC

(ii) cosq = ABAC

(iii) tanq = BCAB

(iv) cosecq = ACBC

(v) secq = ACAB

(vi) cotq = ABBC

BC2+ AB2

AC2 = AC2

AC2 BC2+ AB2

AC2

128

BC2

AC2 + AB2

AC2 = 1

BC

AC

AB

AC

+

=

2 2

1

sin

cos

sin sin

2

2 2

1θθ

θθ θ

+ =

sin

cos

cos cos

2

2 2

1θθ

θθ θ

+ =

20

29

2

+ cos2 q = 1

400

841 + cos2 q = 1

cos2 q = 1 - 400

841

= 441

841

cosq = 21

29

रीत II

sinq = 20

29

(20k)2+ x2 = (29k)2

400k2+ x2 = 841k2

x2 = 841k2 - 400k2

= 441k2

x = 21k

cos q = BCAC

= 21k29k

= 2129

आकती 64

20k29k

A

B Cxq

129

5sinq = 12cosq

sin

cos

qq

= 12

5

tanq = 12

1+ 12

5

2

= sec2q

1 + 144

25 = sec2q

25 144

25

+ = sec2q

sec2q = 169

25

secq = 13

5

cosq = 5

13

sin2q = 1 - cos2q

sin2q = 1 - 5

13

2

= 1 - 25

169

= 144

169

sinq = 12

13

cosecq = 13

12

1+ tan2q = 25

7

2

tan2q = 625

49 - 1

= 625 49

49

-

= 576

49

tanq = 24

7

sec q = PRPQ

PQ = 7k PR = 25k

PQ2 + QR2 = PR2

(7k)2 + QR2 = (25k)2

QR2 = 625k2 - 49k2 = 576k2

QR = 24k

= 24k7k

= 247

आकती 65

7k

25k

PQ

R

x

q

130

2 तर 1

1

minus+

sec

cosec

θθ

1

+minus

sin

x

cos

sin

cosx

x

x+

= 1+ sin

cos

x

= ( sin )

cos

1 2

2

+ x

x

= 1 1

1 2

+( ) +( )minus

sin sin

sin

x x

x

= ( sin )( sin )

( sin )( sin )

1 1

+ +minus +

x x

= 1

1

+minus

sin

x

cosq = 3

2 secq = 2

3 sin2q + cos2q = 1

sin2q + 3

2

= 1

sin2q = 1- 3

4 = 1

4

sinq = 1

2 cosecq = 2

1

minus+

sec

cosec

θθ

= 1

2

31 2

minus

+

=

3 2

33

-

= 3 2

3 3

-

cosq = 3

2

cos 30deg = 3

3

1

minus+

sec

cosec

θθ

= 1

2

31 2

minus

+

=

3 2

33

-

= 3 2

3 3

-

131

cot q = x + y

2a (III)

b

-2

(IV)

y x

b

y x

a

minus

+

2 2

= 1

y x

b

y x

a

minus( )minus

+( )4 42

2

= 1

तकवा y x

b

y x

a

minus

+

2 2

= 4

1 जर sinq = 7

2 जर tanq = 3

3 जर cotq = 40

sec cosec

θ θθ θ

++

(1) sin

cos

2 qq + cosq = secq

(2) cos2q(1 + tan2q) = 1

132

आकती 66

(3) 1

1

minus+

sin

θθ

= secq - tanq

(6) 1

sin

θθ1minus

(9) जर tanq + 1

tan2 q = 2

(10) tan

tan

cot

A

A1 12 2 2 2+( )

++( ) = sin A cos A

(11) sec4A (1 - sin4A) - 2tan2A = 1

(12) tan

sec

θθ minus1

= tan sec

tan sec

1

133

AB BC

(I)

tan 60deg = 3 (II)

AB BC

= 3 (I) व (II) वरन

AB = BC 3 = 10 3

60deg10 मी

A

BC

आकती 67

आकती 69

B

MA

ा

आकती 68

C

MA

134

1

3 =

40x

x = 40 3

x

A

B C

M

30deg

40 मी

x

आकती 610

A

B C 50 Dx

h

35deg61deg

आकती 611

135

18 = h

07 = h

x + 50 h = 07 (x + 50)

10h = 7 (x + 50) (II)

18x = 7(x + 50)

18x = 7x + 350

11x = 350

x = 350

11 = 3182

आता h = 18x = 18 acute 3182

= 5728 मी

R

T

S

Q

P

44

x

y

52deg

29deg

38deg

61deg

136

055 = x

y + 4

x = 055(y + 4) (I)

tan 38deg = xy

[ SP = TQ = x]

078 = xy

x = 078y (II)

078y = 055(y + 4) (I) व (II) वरन

78y = 55(y + 4)

78y = 55y + 220

23y = 220

RS = y + 4 = 10 + 4 = 14

CA= CD = y मी

137

tan30deg = BCBD

1

3 = x

10

x = 10

3

y = 20

3

x + y = 10

3 + 20

3

= 30

3

x + y = 10 3

A

B

C

Dआकती 613

138

(A) 1 (B) 0 (C) 1

2 (D) 2

(A) 1

2 (B) 2 (C) 3

2 (D)

2

3

2 जर sinq = 11

4 जर secq = 13

(6) 1

1

1minus+

(8) tan

sec

tan

θθ

θθ+

=minus

1

(9) tan

tan

3 1

1

139

(10) sin cos

sin cos sec tan

=minus

1

rrr

140

2 घन

4 शकक

3 acute pr2h

l

h

b

lh

h

r

141

आकती 71

30 सषमी

आकती 72

21 सषमी

10 सषमी

3 pr3

उदा(1)

आकती 73

r

उदा(2)

142

1

3 acute 2pr3

= 2pr3 - 2

3pr3

= 6pr3 - 2pr3

3 =

4pr3

3

कती ः

आकती 74

2r

r

143

7)

= 22

=

( )

43

3

2

π

r

R H

=times( )times

43

30

10 6

3

times times

43

30 30 30

10 10 6 = 60

144

= 24 182 2+

= 576 324+

= 900

l = 30 मी

= 2prH + prl

= pr (2H + l)

= 22

7 acute 24 (2 acute 15 + 30)

= 22

7 acute 24 acute 60

= 452571 चौमी

3 pr2h

= pr2 H h+

1

3

= 22

7 acute 242 (15 + 1

3 acute 18)

= 22

आकती 77

18 मी

24 मी

15 मी

145

14 तममी

635 सषमी

10 सषमी

7 सषमी

आकती 710

आकती 711

आकती 713

आकती 712

3 सषमी

4 सषमी

10 सषमी

146

आकती 716

शककछषद

आकती 715

14 सषमी

30सषमी

आकती 714

42 सषमी

r1

hl

r2

147

1 2

2 + pr22

3 ph (r1

2 + r22 + r1 acute r2)

22

7)

= 1

3ph ( r1

2 + r22 + r1 acute r2)

= 1

3 acute 22

7 acute 28 (152 + 122 + 15 acute 12)

= 22 4

3

acute acute (225 + 144 + 180)

= 22 4

3

l

===

h r r21 2

2

2 28 14 8

64 36

+ minus( )

आकती 721

r2

r1

h l

आकती 722

28 सषमी

12 सषमी

15 सषमी

148

2 + pr22

3 ph(r1

2 + r22 + r1 acute r2)

= 1

= 311488 घसषमी

7)

परीघ1 = 2pr1 = 132

r1 = 1322p

= सषमी

परीघ2 = 2pr2 = 88

r2 = 882p

= सषमी

आकती 723

r2

r1

l = h r r21 2

2+ minus( )

l = 2 2

+

l = सषमी

149

महणतात

qP

O

Q

B

M

आकती 725

कस AYB

A

X

100degB

Y

Oआकती 724

150

आकती 726

q = 360deg

qr

A1 = pr2

q = 180deg

qr

A2 = 1

2 pr2

q = 90deg

qr

A3 = 1

4 pr2

q = 60deg

qr

A4 = 1

6 pr2

AA1 360deg 360

3601= 1 acute pr2

A2 180deg 1

2

1

2 acute pr2

A3 90deg 1

4

1

4 acute pr2

A4 60deg

A q q360

q360

acute pr2

πθ

360

151

आकती 727

q = 360deg

l1 = 2pr

q = 180deg

l2 = 1

2 acute 2pr

q = 90deg

l3 = 1

4 acute 2pr

q = 60deg

l4 = 1

6 acute 2pr

q qq q

l1 l2l3

l4

(q)q

(l)

l1 360deg360

3601= 1 acute 2pr

l2 180deg180

360 = 1

2

1

2 acute 2pr

l3 90deg90

360 = 1

4

1

4 acute 2pr

l4 60deg

l qq

360

q360

acute 2pr

l

r2 360πθ

=

परीघ = q

360

152

acute pr2 I

acute 2pr

θ

π360 2=l

r II

A = lr

r2

2

A = 1

2 lr = lr

2

तसषच A

π πθ

r

l

r2 2 360= =

A BO

21150deg

360 acute pr2

= 150

360

22

= 1155

acute 2pr = 150

3602

22

= 55 सषमी

आकती 728

153

2

2 acute PR = 3

2 acute 12 = 6 3

2 QR acute PQ

= 1

2 acute 6 3 acute 6

= 18 3 = 18 acute 173 = 3114 सषमी2

acute pr2

A(P-QAB) = 60

= 1

P

QA

B 12

R6

आकती 729

154

=

= 360

acute 22

7 acute

X

A B

CD 7 सषमी

O

B

C

60deg

M N

आकती 730

आकती 731

155

7)

P

AB

C

P

X

Q

YO

RM

N

L

NM

आकती 732

आकती 733

आकती 734

आकती 735

आकती 736

P

Q

xy

z

R

S

A

B

156

= q360

OP

PX

Q

Y

आकती 739

आकती 738

P Q

rO

T

X

Y

A B

Oतवशाल

वतमळखड

आकती 737

157

= 1

2 acute OQ acute PT

= 1

2 acute r2 sin q ---------------- (ii)

360 acute pr2 - 1

2 r2 sin q

= r2 pq360 - sinq

2

360 acute pr2

= 30

= 314 acute 12

X

12

A B

30deg

O

A(D OAB) = 1

2 r2 acute sin q

= 1

2 acute 144 acute 1

2

( sin 30 = 1

2)

आकती 740

158

360 - sinq2

= 123 14 30

360

30

22 sintimes

minus

= 1443 14

12

1

2 2

minus

times

= 144

4

3 14

31

minus

= 363 14 3

3

minus

= 36

360 acute pr2

= 90

= 1

4 acute 314

A(DAPB) = 1

= 1

2 acute 10 acute 10

P

XA B

आकती 741

159

7 3 = 1732)

= 6 acute 3

4 acute 142

= 22

7 acute 14 acute 14

आकती 742

आकती 743

आकती 744

P Q

O

R2

X

A

B C

45deg7 2 7 2

160

(A) 14p (B) 7p (C) 7p (D) 14p

p सषमी

PQ

A

R

P

QO

R

आकती 745

आकती 746

4

161

7)

10

आकती 747

P

B8 4

162

= - θ360

acute pr2

= - 90360

acute 3141

acute 4001

= -314

=

=20 2

=A(A-PCQ)-A(c ABCD)

= θπ

3602times times

r -

2

= 90360

acute314(20 2 )2-(20)2

= -

=

आकती 748A

P

B

Q

X

C

D

163

OQ=OB-BQ=

OE=OD-DE=

R2-9R=R2-10R+25

R=

AQ=2r=AB-BQ

2r=50-9=41

r= =

rrr

आकती 749

APO

E

F

B Q

C

D5

9

12

164

1 3

4 2 1

2 3 3 4 1ः1 5 (1) BQ

BC (2) PQ

AD (3)

BC

DC (4) DC AD

QC PQ

acuteacute

2 PN

NR=

PM

MQ=

3

6 QP = 224 7 x = 6 AE = 18 8 LT = 48 9 x = 10

= XQQE

= XRRF

9 3 A(D PQR) 4

5

4 MN = 15 5 20 सषमी 6 4 2

PF

2

2 20 45 45 - 20 25 चौरस एकक

1 (1) (B) (2) (B) (3) (B) (4) (D) (5) (A)

2 7

13 7

20 13

20 3 9 सषमी 4 3

4 5 11 सषमी 6 25

81 7 4

8 PQ = 80 QR = 280

3 RS = 320

3 9

PMMQ

= PXXQ

PMMR

= PYYR

10 AXXY

= 3

2 12 3

2 3 2

2

+ 5

3 को-को 5

3 15

165

2 1

2 2

िराििच 221 12 2 2 10 4 18 सयमी

िराििच 351 PS = 18 RS = 10 2 (1) 75 (2) 12 कििा 6 3 (1) 18 (2) 10 (3) 5 4 4

166

सरावसच 511 (1) 2 2 (2) 4 2 (3) 11

2 (4) 13 (5) 20 (6) 29

2

3 (-1 0) 7 7 तकवा -5

1

3

1

3 (2)

4

7

11

7minus

(3) 0

13

3

3 2ः7 4 (-6 3)

5 2ः5 k = 6 6 (11 18) 7 (1) (1 3) (2) (6 -2) (3) 19

3

22

3

8 (-1 -7) 9 h = 7 k = 18 10 (0 2) (-2 -3)

11 (-9 -8) (-4 -6) (1 -4) 12 (16 12) (12 14) (8 16) (4 18)

2 (1) 2 (2) -3

8 (3)

5

2 (4)

5

4 (5) 1

4 -5 1

5 -

2

3 6 k = 5 7 k = 0 8 k = 5

167

5 (-7 0) 6 (1) a 2 (2) 13 (3) 5a 7 minus

1

3

2

3

13 5 2 13 37 14 (1 3) 16 25

6

13

6

6 17 (7 3)

21 (7 6) व (3 6) 22 10 व 0

1 cosq = 24

25 tanq = 7

24 2 secq = 5

4 cosq = 4

5

3 cosecq = 41

9 sinq = 9

41 4 secq = 13

5 cosq = 5

13 sinq = 12

13

5 sin cos

sec cosec

θ θθ θ

++

= 1

2

2 cos60 = 60

61 3 sinq = 2

5 cosq = 1

5 cosecq = 5

2 secq = 5 cotq = 1

2

4 sinq = 5

13 cosq = 12

13 cosecq = 13

5 tanq = 5

12 cotq = 12

5

3 मीटर

168

2 2035 लीटर 3 7830 गोळा 4 2800 नाणी (p = 22

7 घषऊन) 5 6336 रपष

rrr

C1
Title
Text
C2

3

कती ः

(i) (ii)

उदा (1)

A( D ABC) A( D APQ)

=

= A(D LMN) A(D DMN)

=

आकती 16

A

B P QR C

आकती 17

A(D AMC)A(D BMC)

=

= =

C

A BM

आकती 19

A

D

B E FC

= AEDF

= 4

6 = 2

3

D

P

L

M NQ

4

BC = 15 DC = 6 BD = BC - DC = 15 - 6 = 9

A( D ABD)A( D ABC)

= BDBC

= 9

15 = 3

5

A( D ABD)A( D ADC)

= BDDC

= 9

6 = 3

2

उदा (3)

आकती 110

आकती 111

D CB P

A

A D

CB P

A(D ABC) = A(D ABD)

5

A( D BDC)A( D ABC)

B

P

D

A

Cआकती 112

AD = 16 - 9 = 7

A( D ABD)A( D ABC)

= ADAC

= 7

A( D BDC)A( D ABC)

= DCAC

= 9

A( D ABD)A( D BDC)

= ADDC

= 7

6

A( D ABC)A( D ADB)

काढा

आकती 115

D

C

A B

आकती 113

आकती 114

P

Q

T

R S

P

A

B C

D

P

Q

A

B CD

7

= AQQC

A(D APQ)A(D PQB)

= APPB

= AQQC

A(D APQ)A(D PQB)

= A(D APQ)A(D PQC)

APPB

= AQQC

आकती 117

P Q

A

B C

l

8

कती ः

bull ABBC

A

B C

D

आकती 119

साधय ः AE

EB =

CA

CB

A B

C

D

E

आकती 120

आकती 118

A

B C

QP l

9

P

A

B

CN

M

आकती 122

CB = CD (IV)

AEEB

= ACCD

AEEB

= ACCB

A

B CD

N

M

आकती 121

आतण

10

= PQQR

P

Q

A l

B m

C n

D

t1

t2

R

ABBC

= PDDC

PDDC

= PQQR

ABBC

= PDDC

= PQQR

= BDDC

bull ABBC

व PQQR

कती ः

P

Q

A lB m

C n

t1

R

t2

आकती 123

ABBC

= PQQR

11

आकती 127

तर BPPA

= BQQC

तर ABBC

= ADDC

तर ABBC

= XYYZ

आकती 125

P

Q

A

B C

X Y

A lB

m

C

Z

A

B C

D

आतण PSSQ

= PTTR

आकती 128

आकती 126

P

Q

TS

R

12

ADDB

= AEEC

1 8

5 4

= AE

72

AE = 1 8 7 2

5 4

acute = 24

PRRQ

= PSSQ

15

20 =

12SQ

SQ = 12 acute 20

15 = 16

SQ = 16

P

Q

O O

R

S

AC = DF ( )

5 4

9

= DF DF =

A B

C D

E F

आकती 130

आकती 131

आकती 129

A

B C

D E

13

कती ः

= AEEB

आकती 133

आकती 132

A

B C

DE

आकती 136

P

Q R35 15

37

M

P

Q

R

M

36

4

9

10

P

QR

N M

P

Q

R6

8

10

7M

ABBC

= ADDC

AEEB

= ADDC

( ) (II)

AB

= EB

(1) (2) (3)

14

काढा

आकती 137

आकती 138

आकती 139

आकती 140

P Q

A

B C60deg

60deg

P

Q N

M

255

7

P Q

A B

CD

= AQQC

P

Q

N

M

40

25

14

Ax

B

C

D

E

F8

12

4

आकती 141

15

िाढा

P

X

QFE

D

R

आकती 142

T

L

NM

6

10

8

A

x

x - 2

x + 2

x + 5B C

D

आकती 143

आकती 144

XP =

= (II)

16

आतण ABDE

= BCEF

= ACDF

A

B C

D

E F

आकती 146

P

A

QB RC

17

= ANNC

= NCAN

MB + AM

AM =

NC + AN AN

ABAM

= ACAN

ABPQ

= ACPR

= BCQR

ABPQ

= BCQR

= ACPR

D ABC ~ D PQR

आकती 147

NM

P

Q

A

B C

R

18

आकती 149

आकती 150

ETH KLM ETH RST

KLRS

= LMST

L SM1

T2

K15

3

R

PQYZ

= QRXY

= PRXZ

Z

L

M

X

Y N

Z

PX

Q

YR

19

आकती 151

आकती 152

20 Z 30

M

P

X

NY

14 21

N10M

P

U

WV

3

5

6

नाहीत

PMUV

= 6

3 = 2

1

MNVW

= 10

5 =

2

1

PMUV

= MNVW

XYMN

= 14

21 = 2

3

YZNP

= 20

30 =

2

3

XYMN

= YZNP

20

ETH PAB ETH QAC ( )

पक ः 2QA = QC

2QB = QD

= 1

2 (I)

2QB = QD QBQD

= 1

2 (II)

QAQC

= QBQD

QAQC

=QBQD

AQCQ

= QBQD

= ABCD

परत AQCQ

= 1

2 AB

CD =

1

2

2AB = CD

आकती 154D

Q

AB

C

P

Q

A

B C

आकती 153

21

आकती 155

आकती 156

आकती 157

जर AP = 7 BQ = 8 BC = 12

आकती 158P

Q

A

B C

D

E

A

B

C

75deg

10 L

NM

P

3

Q

5

4

6

8 R

A

C4

x6

8

P

Q R B

22

SR = 5PQ

आकती 159

= BPDP

D ABP ~ D CDP

S

P Q

A

R

D

O

AB

C

E

T

DA

BC

D

P

A

B

C

आकती 161

आकती 162

A

B C

आकती 163

23

= AB2

PQ2 =

BC2

QR2 = AC2

PR2

= BC AD QR acute PS

= BCQR

acute ADPS

(I)

ADPS

= ABPQ

(II)

ABPQ

= BCQR

= ACPR

(III)

A(D ABC) A(D PQR)

= BCQR

acute ADPS

= BCQR

acuteBCQR

= BC2

QR2 = AB2

PQ2 =

BC2

QR2

P

Q

A

B CD

RS

आकती 164

24

A(D ABC) A(D PQR)

= AB2

16

25 = AB2

PQ2 ABPQ

= 4

A(D ABC) A(D PQR)

= ( )

( )

2

5

2

2 = 4

64

A(D PQR) = 4

25

4 = 400

= AB2

CD2

A(D APB) A(D CPD)

= AB2

आकती 165

P

AB

C D

25

A(D ABC) A(D PQR)

= AB2

= 22

32 =

A(D ABC) A(D )

= = ABPQ

=

DF = DP + = + = 3x

A(D FDE) A(D FPQ )

= =( )

( )

3

2

x

x = 9

4

A(D FDE) = 9

4 A( D FPQ ) = 9

4 acute =

= -

=

P

D

12580

26

=BCPR

=CAPQ

तर

(A) D PQR ~ D ABC

(B) D PQR ~ D CAB

(C) D CBA ~ D PQR

(D) D BCA ~ D PQR

(A) EFPR

= DFPQ

(B) DEPQ

= EFRP

(C) DEQR

= DFPQ

(D) EFRP

= DEQR

(A) 2 2 (B) 4 (C) 8 (D) 4 2

तकती

आकती 167

A

PR

Q

B C

आकती 168

D

E F P

Q

R

आकती 169

A

B C

D

E F

आकती 170

A

B C

D

E F

27

आकती 173

आकती 171

आकती 172

(A) ABAC =

AXAY (B)

AXXB =

AYAC

(C) AXYC =

AYXB (D)

ABYC =

ACXB

AB = 6 DC = 8

A

B C

D

68

P

Q

R

N SM

A

B CD

आकती 174

A

B C

X Y

28

आकती 176

3

A

B C

D

x 64 - x

5

Eआकती 175

P

Q

AB

C

D

R

S

P

X

Q

Y

xxOO RM

BC = 70 CD = 80 PS = 280 तर PQ

QR RS काढा

परत MPMQ

= MPMR

PXXQ

= PYYR

आकती 177

29

P

A

B C

D

आकती 179

= PCBP

=

AX +BX

BX =

ABBX

= (I)

BABX

= ACXY

= AC9

AC = (I) वरन

X

Y

A

B Cआकती 180

rrr

आकती 178

A

B C

X

Y

आकती 181E

F

A

B CD

G

30

आकती 21P Q

R

31

30deg

60deg90degM

L

Nआकती 22

2 acute LN

MN = 1

2 acute LN LM = 3

2 acute LN

= 1

2 acute 6 = 3

2 acute 6

32

XY = 1

2 acute ZY

XZ = 1

2 acute ZY

XY = XZ = 1

2 acute 3 2

कती ः

आकती 24

x

y

x

z

आकती 23

45deg

Z

X Y

33

आकती 26

आकती 25

A

B

D

C

acute

R

P Q

S

QS

PS=

SR

SQ

QS

PS=

SR

QS

34

आकती 27

A

B C

D

A

B C

P

Q R

ABAD

= BCDB

= ACAB

= BC

DC = ACBC

ABAD

= ACAB

BC

DC = ACBC

AC2 = AB2 + BC2

35

आकती 210

Q R

P

S

36

BC = 1

2 acute AC AB = 3

2 acute AC

BC = 1

2 acute 14 AB = 3

2 acute 14

BC = 7 AB = 7 3

आकती 211

= 3 acute 4 = 12 आकती 213

A

B C

14

60deg

30deg

P 9

16

N

RQ

AD = DC = 1

DC = 8 AD = 8

BC = BD + DC

= 5 + 8

= 13आकती 212

CB

A

D

82

5

37

= 10 8acute

= 5 2 8acute acute

= 5 16acute

= 4 5

z

xS

8

10

P

ावरन x = 4 5 y = 12 z = 6 5

= 4 52( ) + 82

= 16 acute 5 + 64 = 80 + 64 = 144 QR = 12

= 4 52( ) + 102

= 16 acute 5 + 100 = 80 + 100 = 180 = 36 acute 5 PQ = 6 5

आकती 215

P

Q R12

9

38

उकल ः l = 5 m = 13 n = 12 l2= 25 m2 = 169 n2 = 144 m2 = l2 + n2

आकती 217

आकती 218

P

Q M R

10

8

M

N P

Q

आकती 216

C

AB

D

39

आकती 219

AB = BC

ETH BAC =

AB = BC = acute AC

= acute 8

= acute 2 2

=

S

R

P

6

30deg

D

FE

G 8

12

P

R M Q

आकती 221

आकती 222

आकती 220

A

CB

8

40

p2 = b2 - (II)आकती 223D

A

CxB

p

a - x

bc

DB = a + x

c2 = (a + x)2 + p2

c2 = a2 + 2ax + x2 + p2 (I)आकती 224

A

B

cb

x a

p

D C

41

A

B CM D

= a2 + 2ax + b2

42

P

Q

9

RM

आकती 226

आकती 227

QM = MR = 1

2QR

290 = 2 acute 81 + 2QM2

290 = 162 + 2QM2

P

Q

T

R

S

= (2PT)2 + (2QT)2

= PR2 + QS2

43

2

P

Q T RS

आकती 228A

P Q

A BT

RSआकती 230

44

45

आकती 232

A

B

C

M

L

आकती 233

A

BC D

आकती 231

P

QM Naa

aRS

a a

46

P

Q60deg 60deg

T RS

आकती 234

15 15

A B

CD

25

ICT Tools or Links

rrr

QS = 1

आकती 235

47

C

D EF

आकती 31

3 वतमळ

48

आकती 32

आकती 33

आकती 34

PQ R

O

A

T

D

B

C

SM

P

A

Q

R

49

आकती 35

आकती 36

आकती 37

A

B

C

A B

C

PQ

A B

l

50

कती ः

आकती 38

आकती 39

AR

B

l m n

CP

Q

A

P

OB

51

O A

l

आकती 310

आकती 311

ABC

O

l

52

आकती 312

आकती 314

M

A B

C

D

A

BC

53

P

A

Q

D

P

A

Q

D

A

D

B

C

आकती 316

आकती 317

54

आकती 318

P T

O S

Q R

a

b

c

55

M

N

O R

M

N

O R

आकती 320

आकती 321

A B

C

आकती 319

ICT Tools or Links

56

आकती 323

आकती 322

X Y Z

Y X Z

57

आकती 324

R T S

l p

KN M

आकती 325

आकती 326

A C B

l

(a)

A

C

B

l

(b)

58

आकती 327

A

P R Q

B

आकती 328

A

l

B

CD

E

59

आकती 329

Y

kC

A BX

आहष

आकती 330

P

Q

Oq B

A

60

आकती 331

A

F

B

40deg70deg

70deg

G

C

D

I

E

J

61

आकती 332

A

BC

D

E

P

Q

A

B

CD

E

आकती 333

P

QM

NO

R

S

आकती 334

62

A

B

C

O

63

PQ

T

RS

आकती 336

आकती 337

G

EF

64

आकती 340

D

E

A B

CH

I

F

G

आकती 339

A

BC

D

आकती 338

Q

R S

65

आकती 341

P QC

T

RS

कती II ः

आकती 342

A B

C

D

P Q

66

आकती 344

आकती 345

A

B

C

x2x

2xE

O

A

B C

D

2 m(कस BDC)

A

B

CC

C

67

ETHEAC + ETHEAB = 1

2 m(कस EC) + 1

ETHBAC = 1

= 1

2 [m(कसBEC)] = 1

= 1

2 m(कस BCE) - 1

2 m(कस CE)

(III) वरन

= 1

आकती 346

A

BC

OE

68

आकती 349

AB

C

D

आकती 347

आकती 348

P

Q

C

T

R

S

A

B

C

X

M

2 (I)

69

= 1

ETHADC + = 1

2 + 1

= 1

2 [ + m(कस ADC)]

= 1

70

xx

A

BC

Dआकती 350

L

N

35deg

M

आकती 351

35 = 1

2 m(किMN)

2=145deg

ETH M = 145deg

2

71

= 2 acute 145deg2

= 145deg

(ii) ETH STQ = 1

mETHSTQ = 1

2 [m(कस PR) + m(कस SQ)] = 1

2 [48 + 68]

= 1

2 acute 116 = 58deg

= ETHSTQ

= 1

2 [ + ]

आकती 352

P

Q

TR

S24deg

58deg

72

आकती 353

E

A

B

C

D

(i) ETHAEC = 1

(ii) ETHCEB= 1

आकती 354

E

A

BC

D

73

ETHBED = 1

आकती 356

E

A

B

C

D

A B

C

O

आकती 357

P

Q

R

S

O

T

R S

आकती 358

आकती 355

74

आकती 359

आकती 360

आकती 361

E

FM

N

S

EA

B

CD

P

W

Y

Z

T

X

आकती 362A

B

C

आकती 363

A

B

C

D

75

2 m(कसADB)

आकती 364

आकती 364(i)

M M MF

E

A

A A

B B BC C C

D DD

xy

x

(i) (ii) (iii)

M

A

B CD

76

y = ETH ABC = 1

2ETH AMB = 1

2 m(कस ADB)

2 m( ) (2) मध ष तसद ध

180 - = 1

2 m(कस AFB)

= 1

2 [360 - m( )]

180 - ETHABC = 180 - 1

2 m(कस ADB)

-ETHABC = - 1

2 m( )

ETHABC = 1

2 m(कस ADB)

MA

B CDx

y

x

MF

E

A

B C

D

ETH ABC = 1

आकती 365

A

B C

D

T

77

P

Q

U

T

O

R

S

AE

DE=

CE

P

E

A

BC

D

आकती 367

आकती 366

जर ETH PQR = 1

78

= CE acute ED

आकती 368

E

AB

C

D

79

आकती 369

ET

EB=

EA

EA acute EB = ET2

आकती 370

आकती 371

आकती 372

B

C D E

A

E

A

B

C

D

EA

B

T

A

B

E

T

80

आकती 373

आकती 374

P

Q

R

S

उदा (2)

S

M

P

N

R

81

आकती 375

P QYM

X

आकती 376

उदा (4)

P

Q

T O

R

S

82

E

O A

B

CD

आकती 380

P

Q

R

S

आकती 381

M

ND

R

S

P

Q

T

R

S

H

G

FE

D

आकती 377

आकती 378

आकती 379

83

84

P

o

l

M

L

K

A

B

C

O

आकती 382

आकती 383

आकती 384

पासन

85

X Y

A

B

Z

आकती 387

आकती 385

आकती 386

MN

T

RS

E

F

A B

CD G

HT

86

XY

A

B

Z

P

Q

O

l

R S

P Q

A

BC

Tआकती 390

आकती 389

आकती 388

87

W

TZ

X

Y

आकती 392

आकती 393

P

Q

A

T

R

S

P

Q

O

R

S

आकती 391

88

A

B

C

DE

आकती 394

आकती 396

आकती 397

P

Q

R

O

E

A

B

CD

E F

G H

आकती 395

89

OA B

C

D

आकती 399

M

N

L O

आकती 398

आकती 3100

P Q

R

S

90

आकती 3101

PQ

M

N

RS

rrr

ICT Tools or Links

आकती 3103D

E

OF

A

B C

आकती 3102

A

B

C

ED

91

92

AB

PQ=

BC

QR=

AC

PR=

3

2 (I)

54

PQ=

42

QR=

60

PR=

3

2

PQAB

C

R

93

ABAcentB = BC

3

A

Acent

B CCcent

आकती 42AB

C

42सषमी

54 सषमी

60सषमी

PQ

R

28सषमी

36 सषमी

40सषमी

94

आकती 46

A

Acent

B

C

Ccent

BAcentBA = BC

BC

cent = 3

5 BC

आकती 45

A

T1T2 T3

T4T5

B C

आकती 44

A

Acent

CCcentB

95

आता BC

BCprime=

5

7

A

Acent

BC Ccent

आकती 48

A

Acent

B C1 2 3 4 5 6 7

Ccent

96

आकती 49

P

l

C

P XC

l

आतण BC

MN = 5

आतण PQ

LT = 3

आतण RS

XY =

3

आतण AM

AH = 7

97

आकती 411l

AB

C

D

आकती 412

ABM

C

ND

R

98

PM

A

B

O

आकती 413

PO

A

B

99

PQ= 7

5 तर

LN= 4

= 6

5

rrr

100

(2 0) ( -5

17

2) (0 -3) असष

आकती 51

PQ-2 1 5-3 20-4 3

O-5 4

R-1

101

d(PQ) = y2 - y1

d(A B) = x2 - x1

d(PQ) = y2 - y1

आकती 52

A (x1 0) B (x2 0)X` X

Y

Y`

O

आकती 53

(0 y2) Q

(0 y1) P

XX`

Y

Y`

O

A(x1 y1)

L(x1 0)

B(x2 y1)

M(x2 0)X` X

Y`

Y

O

P (x1 y2)(0 y2) R

Q (x1 y1)(0 y1) S

X` XY`

Y

O

102

AB = 3 - = BC = - = 4

AC2 = + = AC = 17

AD = d(A D) = x2 - x1 BD = d(B D) = y2 - y1

= x x y y2 1

2

2 1

AB = x x y y2 1

2

2 1

आकती 56

XX`

B

Y

Y`

A(2 3)

C(-2 2)

4

1-1

3

-3 2

-2

2

-2 3

-3

1

-1 0

आकती 57

XP

X`

Y

Y`

A(x1 y1)

B(x2 y2)

D(x2 y1)

O

103

2

2 1

2

1 2

2

1 2

x1 = 2 y1 = 3 x2 = -2 y2 = 2

AC = x x y y2 1

2

2 1

= minus( ) + minus( )4 12 2

= 16 1+

= 17

AB = x x y y2 1

2

2 1

BC = x x y y2 1

2

2 1

2 = 4

XX`

B

Y

Y`

A(2 3)

C(-2 2)

O

आकती 58

d(P Q) = x x y y2 1

2

2 1

2

2 1

2

1 2

104

2

2 1

= 5 1 7 12 2

= 6 82 2( ) + minus( )

= 36 64+

2

2 1

2minus( ) + minus( ) (x1 y1) (x2 y2)

d(A B) = 1 3 2 22 2

= 1 3 42 2+( ) + minus( )

= 16 16+

= 32 = 4 2 (I)

d(B C) = 9 1 10 22 2minus( ) + minus +( )

= 64 64+ = 8 2 (II)

= 144 144+ = 12 2 (III)

105

= 3 12 2( ) + ( ) = 10 (I)

= 0 102 2( ) + minus( ) = 100 (II)

PR = 3 6 3 62 2minus( ) + +( )

= minus( ) + ( )3 92 2 = 90 (III)

ासाठी 1002( ) आतण 10 90

2

AB = 1 4 7 22 2minus( ) + minus( ) = 9 25+ = 34

BC = 4 1 2 12 2+( ) + +( ) = 25 9+ = 34

= 9 25+ = 34

DA = 1 4 7 42 2+( ) + minus( ) = 25 9+ = 34

AC = 1 1 7 12 2+( ) + +( ) = 4 64+ = 68

BD = 4 4 2 42 2+( ) + minus( ) = 64 4+ = 68

आकती 59

A

B

C

D

106

[0 -(-5)]2 + [y -(-2)]2 = (0 - 3)2 + (y - 2)2

(a + 3)2 + (b + 4)2 = (a + 5)2 + (b - 0)2

a2 + 6a + 9 + b2 + 8b + 16 = a2 + 10a + 25 +b2

a2 + 6a + 9 + b2 + 8b + 16 = a2 - 6a + 9 + b2

1

2

2) आहषत

P(ab)

A(-3-4)

B(-50)

C(30)

आकती 510

107

(x - 7)2 + (y - 1)2 = (x - 3)2 + (y - 5)2

x2 - 14x +49 + y2 - 2y + 1 = x2 - 6x + 9 + y2 - 10y +25 - 8x + 8y = -16 x - y = 2 y = x - 2

25 = 9 + (y + 2)2

16 = (y + 2)2

y + 2 = plusmn 16

2)

(4) L(5 -8) M(-7 -3) (5) T(-3 6) R(9 -10) (6) W( -7

2 4) X(11 4)

108

आकती 512

AP

PB= =

6

10

3

5

AB

BC=

DE

EF

आकती 511

mn

p q

lAB

C

DEF

109

= CQQD

= mn

x x

m

n

minusminus

=1

2

n(x - x1) = m (x2 - x) nx - nx1 = mx2 - mx

mx + nx = mx2 + nx1

x(m + n) = mx2 + nx1

x = mx nx

m n2 1+

ymy ny

m n=

++

2 1 तमळषल

m n

my ny

m n2 1 2 1++

++

असतात

आकती 513

XX`

Y

Y`

A (x1 y1

) P (x y) B(x2 y2)

D(x2 0)Q(x 0)C(x1 0)O

(I)

110

x = mx nx

m n2 1+

+

= mx mx

m m2 1+

+ m = n

= m x x

m1 2

2

+( )

= x x1 2

2

+

y = my ny

m n2 1+

+

= my my

m m2 1+

+ m = n

= m y y

m1 2

2

+( )

= y y1 2

2

+

2 2

+ +

a + b2

x = mx nx

m n2 1+

+ = 2 7 3 3

2 3

23

5

times + times+

= ymy ny

m n=

++

2 1 = 2 9 3 5

2 3

33

5

times + times+

=

5

33

5

आकती 514

A (x1 y1) P (x y)

B (x2 y2)

111

आकती 516

2

1

A(x1 y1)

C(x3 y3)

G(x y)

B(x2 y2) D

आकती 515

A (-42) B (62)P (x y)

x = x x1 2

2

+ = minus +4 6

2 = 2

2 = 1

y = y y1 2

2

+ = 2 2

2

+ = 4

2 = 2

112

2

+ y = y y2 3

2

x = 2

21

2 1

2 31

x xx

+

+ times

+ = x x x2 3 1

3

+ + = x x x1 2 3

3

+ +

y = 2

21

2 1

2 31

y yy

+

+ times

+ = y y y2 3 1

3

+ + = y y y1 2 3

3

+ +

x x x y y y1 2 3 1 2 3

3 3

+ + + +

असतात

m n

my ny

m n2 1 2 1++

++

असतात

x x y y1 2 1 2

2 2

+ +

असतात

3 3

+ + + +

असतात

113

x = mx nx

m n2 1+

+ = 7 6 2 7

7 2

= - -42 14

9 = -56

9 y = my ny

m n2 1+

+ = 7 5 2 4

7 2

= minus +35 8

9 = -27

9 = -3

56

93 षतील

-4 = 2 acute r + 1 acute (-6)

2 + 1

-4 = 2r - 6

3 -12 = 2r - 6 2r = -6 r = -3

2 + 1

6 = 2s + 10

3 18 = 2s + 10 2s = 8 s = 4

आकती 517

(-7 4)

7

2

(x y)(-6 -5)TB

A

114

x = mx nx

m n2 1+

+

11 = 9 15m n

m n

++

11m + 11n = 9m + 15n

2m = 4n

mn

= 4

2 = 2

1

AP

PB = AP

PQ + QB = AP

AP + AP = AP

2AP = 1

2 (I) वरन

1 2

= minus +7 4

3 = -3

3 = -1

1 2

= 4 4

3

- = 0

3 = 0

= 2

1

2 1

= minus +14 2

3 = -12

3 = -4

2 1

times + timesminus+

= 8 2

3

- = 6

3 = 2

आकती 518

A P Q B

115

= 3

APPB

= 3

ABBP

= 2

1

आकती 519(-4 6)

(5 10)B

P

A

116

AB

C

D

El

X

Y

Xcent

Ycent

4

41

3(4 4)

(6 7)

(-2 -5)

-3 2

7

2(2 1)

-2 3

6

1

(0 -2)

-1

5

0

आकती 520

117

अ कर

(x1 y1)

(x2 y2)

y y

x x2 1

2 1

--

1 C E (2 1) (6 7)7 1

6 2

--

= 6

4 = 3

2

2 A D (-2 -5) (4 4)4 5

4 2

= 9

6 = 3

2

3 D A (4 4) (-2 -5)- -- -

5 4

2 4 = -

-9

6 = 3

2

4 B C -- -- --

5 C A -- -- --

6 A C -- -- --

x x2 1

2 1

--

x x2 1

2 1

--

x x2 1

2 1

--

m = y y

x x2 1

2 1

--

118

= 0

0 - 0 = y2- y1

0

QR = y2 - y1 आतण PR = x2 - x1

आकती 521

t

n

l

A(40)B(61)

C(34)

D(-10)0 X

Y

आकती 522

(x2 0)(x1 0)

(0 y1)

(0 y2)

l

m

X

Y

0

119

QR

PR = tanq (II)

x x2 1

2 1

--

= tanq

m = tanq

y y

x x2 1

2 1

--

=

-

- =

=

QR

PR = y y

x x2 1

2 1

-- (I)

आकती 524

A XX`

B

Y

Y`

t

l

(03)

(-30)qq

0

आकती 523

X

Y

q

qT

R

S

Q(x 2 y 2

)

(x2- x1)P(x 1

y 1)

(y2- y1)

l

O

120

x x2 1

2 1

--

4 3 = -6

7

x x2 1

2 1

--

= 2 3

1 2

1

x x2 1

2 1

--

= 1 2

4 1

--

= -1

3

- -2 0

3 k = -

- -2

3 k

-- -

2

3 k = 2

7 k = 4

121

x x2 1

2 1

--

8 6

--

= 1

2 (I)

9 8

--

= 2 (II)

7 9

--

= 1

2 (III)

7 6

--

= 2 (IV)

2) N(4 -2)

122

(A) 1

2 (B) 3

2 (C) 1

3 (D) 3

5) R (3 6

5)

(3) L (12) M (53) N (86)

123

rrr

124

sin q = cos q =

(i) sin

cos

qq

= (ii) sin q = cos (90 - )

A

B Cq

125

A

BC q

आकती 62

sinq = ABAC

cosecq = 1

sinq

= 1

ABAC

= ACAB

समख बाज

tanq = ABBC

cot q = 1

tanq

= 1

ABBC

cot q = BCAB

cosq = BCAC

secq = 1

cosq

= 1BCAC

= ACBC

tanq =sinqcosq

cot q = 1

tanq

= 1sincos

qq

=cos qsin q

cot q = cos qsin q

sinq

secq = 1

tanq

126

bull 1

127

AB

C

q

आकती 63

sin q 01

2

1

23

21

cos q 1 3

2

1

2

1

20

tan q 01

cosec q

= 1sin q

31

sec q

= 1cos q

12

cot q

= 1tan q

30

(i) sinq = BCAC

(ii) cosq = ABAC

(iii) tanq = BCAB

(iv) cosecq = ACBC

(v) secq = ACAB

(vi) cotq = ABBC

BC2+ AB2

AC2 = AC2

AC2 BC2+ AB2

AC2

128

BC2

AC2 + AB2

AC2 = 1

BC

AC

AB

AC

+

=

2 2

1

sin

cos

sin sin

2

2 2

1θθ

θθ θ

+ =

sin

cos

cos cos

2

2 2

1θθ

θθ θ

+ =

20

29

2

+ cos2 q = 1

400

841 + cos2 q = 1

cos2 q = 1 - 400

841

= 441

841

cosq = 21

29

रीत II

sinq = 20

29

(20k)2+ x2 = (29k)2

400k2+ x2 = 841k2

x2 = 841k2 - 400k2

= 441k2

x = 21k

cos q = BCAC

= 21k29k

= 2129

आकती 64

20k29k

A

B Cxq

129

5sinq = 12cosq

sin

cos

qq

= 12

5

tanq = 12

1+ 12

5

2

= sec2q

1 + 144

25 = sec2q

25 144

25

+ = sec2q

sec2q = 169

25

secq = 13

5

cosq = 5

13

sin2q = 1 - cos2q

sin2q = 1 - 5

13

2

= 1 - 25

169

= 144

169

sinq = 12

13

cosecq = 13

12

1+ tan2q = 25

7

2

tan2q = 625

49 - 1

= 625 49

49

-

= 576

49

tanq = 24

7

sec q = PRPQ

PQ = 7k PR = 25k

PQ2 + QR2 = PR2

(7k)2 + QR2 = (25k)2

QR2 = 625k2 - 49k2 = 576k2

QR = 24k

= 24k7k

= 247

आकती 65

7k

25k

PQ

R

x

q

130

2 तर 1

1

minus+

sec

cosec

θθ

1

+minus

sin

x

cos

sin

cosx

x

x+

= 1+ sin

cos

x

= ( sin )

cos

1 2

2

+ x

x

= 1 1

1 2

+( ) +( )minus

sin sin

sin

x x

x

= ( sin )( sin )

( sin )( sin )

1 1

+ +minus +

x x

= 1

1

+minus

sin

x

cosq = 3

2 secq = 2

3 sin2q + cos2q = 1

sin2q + 3

2

= 1

sin2q = 1- 3

4 = 1

4

sinq = 1

2 cosecq = 2

1

minus+

sec

cosec

θθ

= 1

2

31 2

minus

+

=

3 2

33

-

= 3 2

3 3

-

cosq = 3

2

cos 30deg = 3

3

1

minus+

sec

cosec

θθ

= 1

2

31 2

minus

+

=

3 2

33

-

= 3 2

3 3

-

131

cot q = x + y

2a (III)

b

-2

(IV)

y x

b

y x

a

minus

+

2 2

= 1

y x

b

y x

a

minus( )minus

+( )4 42

2

= 1

तकवा y x

b

y x

a

minus

+

2 2

= 4

1 जर sinq = 7

2 जर tanq = 3

3 जर cotq = 40

sec cosec

θ θθ θ

++

(1) sin

cos

2 qq + cosq = secq

(2) cos2q(1 + tan2q) = 1

132

आकती 66

(3) 1

1

minus+

sin

θθ

= secq - tanq

(6) 1

sin

θθ1minus

(9) जर tanq + 1

tan2 q = 2

(10) tan

tan

cot

A

A1 12 2 2 2+( )

++( ) = sin A cos A

(11) sec4A (1 - sin4A) - 2tan2A = 1

(12) tan

sec

θθ minus1

= tan sec

tan sec

1

133

AB BC

(I)

tan 60deg = 3 (II)

AB BC

= 3 (I) व (II) वरन

AB = BC 3 = 10 3

60deg10 मी

A

BC

आकती 67

आकती 69

B

MA

ा

आकती 68

C

MA

134

1

3 =

40x

x = 40 3

x

A

B C

M

30deg

40 मी

x

आकती 610

A

B C 50 Dx

h

35deg61deg

आकती 611

135

18 = h

07 = h

x + 50 h = 07 (x + 50)

10h = 7 (x + 50) (II)

18x = 7(x + 50)

18x = 7x + 350

11x = 350

x = 350

11 = 3182

आता h = 18x = 18 acute 3182

= 5728 मी

R

T

S

Q

P

44

x

y

52deg

29deg

38deg

61deg

136

055 = x

y + 4

x = 055(y + 4) (I)

tan 38deg = xy

[ SP = TQ = x]

078 = xy

x = 078y (II)

078y = 055(y + 4) (I) व (II) वरन

78y = 55(y + 4)

78y = 55y + 220

23y = 220

RS = y + 4 = 10 + 4 = 14

CA= CD = y मी

137

tan30deg = BCBD

1

3 = x

10

x = 10

3

y = 20

3

x + y = 10

3 + 20

3

= 30

3

x + y = 10 3

A

B

C

Dआकती 613

138

(A) 1 (B) 0 (C) 1

2 (D) 2

(A) 1

2 (B) 2 (C) 3

2 (D)

2

3

2 जर sinq = 11

4 जर secq = 13

(6) 1

1

1minus+

(8) tan

sec

tan

θθ

θθ+

=minus

1

(9) tan

tan

3 1

1

139

(10) sin cos

sin cos sec tan

=minus

1

rrr

140

2 घन

4 शकक

3 acute pr2h

l

h

b

lh

h

r

141

आकती 71

30 सषमी

आकती 72

21 सषमी

10 सषमी

3 pr3

उदा(1)

आकती 73

r

उदा(2)

142

1

3 acute 2pr3

= 2pr3 - 2

3pr3

= 6pr3 - 2pr3

3 =

4pr3

3

कती ः

आकती 74

2r

r

143

7)

= 22

=

( )

43

3

2

π

r

R H

=times( )times

43

30

10 6

3

times times

43

30 30 30

10 10 6 = 60

144

= 24 182 2+

= 576 324+

= 900

l = 30 मी

= 2prH + prl

= pr (2H + l)

= 22

7 acute 24 (2 acute 15 + 30)

= 22

7 acute 24 acute 60

= 452571 चौमी

3 pr2h

= pr2 H h+

1

3

= 22

7 acute 242 (15 + 1

3 acute 18)

= 22

आकती 77

18 मी

24 मी

15 मी

145

14 तममी

635 सषमी

10 सषमी

7 सषमी

आकती 710

आकती 711

आकती 713

आकती 712

3 सषमी

4 सषमी

10 सषमी

146

आकती 716

शककछषद

आकती 715

14 सषमी

30सषमी

आकती 714

42 सषमी

r1

hl

r2

147

1 2

2 + pr22

3 ph (r1

2 + r22 + r1 acute r2)

22

7)

= 1

3ph ( r1

2 + r22 + r1 acute r2)

= 1

3 acute 22

7 acute 28 (152 + 122 + 15 acute 12)

= 22 4

3

acute acute (225 + 144 + 180)

= 22 4

3

l

===

h r r21 2

2

2 28 14 8

64 36

+ minus( )

आकती 721

r2

r1

h l

आकती 722

28 सषमी

12 सषमी

15 सषमी

148

2 + pr22

3 ph(r1

2 + r22 + r1 acute r2)

= 1

= 311488 घसषमी

7)

परीघ1 = 2pr1 = 132

r1 = 1322p

= सषमी

परीघ2 = 2pr2 = 88

r2 = 882p

= सषमी

आकती 723

r2

r1

l = h r r21 2

2+ minus( )

l = 2 2

+

l = सषमी

149

महणतात

qP

O

Q

B

M

आकती 725

कस AYB

A

X

100degB

Y

Oआकती 724

150

आकती 726

q = 360deg

qr

A1 = pr2

q = 180deg

qr

A2 = 1

2 pr2

q = 90deg

qr

A3 = 1

4 pr2

q = 60deg

qr

A4 = 1

6 pr2

AA1 360deg 360

3601= 1 acute pr2

A2 180deg 1

2

1

2 acute pr2

A3 90deg 1

4

1

4 acute pr2

A4 60deg

A q q360

q360

acute pr2

πθ

360

151

आकती 727

q = 360deg

l1 = 2pr

q = 180deg

l2 = 1

2 acute 2pr

q = 90deg

l3 = 1

4 acute 2pr

q = 60deg

l4 = 1

6 acute 2pr

q qq q

l1 l2l3

l4

(q)q

(l)

l1 360deg360

3601= 1 acute 2pr

l2 180deg180

360 = 1

2

1

2 acute 2pr

l3 90deg90

360 = 1

4

1

4 acute 2pr

l4 60deg

l qq

360

q360

acute 2pr

l

r2 360πθ

=

परीघ = q

360

152

acute pr2 I

acute 2pr

θ

π360 2=l

r II

A = lr

r2

2

A = 1

2 lr = lr

2

तसषच A

π πθ

r

l

r2 2 360= =

A BO

21150deg

360 acute pr2

= 150

360

22

= 1155

acute 2pr = 150

3602

22

= 55 सषमी

आकती 728

153

2

2 acute PR = 3

2 acute 12 = 6 3

2 QR acute PQ

= 1

2 acute 6 3 acute 6

= 18 3 = 18 acute 173 = 3114 सषमी2

acute pr2

A(P-QAB) = 60

= 1

P

QA

B 12

R6

आकती 729

154

=

= 360

acute 22

7 acute

X

A B

CD 7 सषमी

O

B

C

60deg

M N

आकती 730

आकती 731

155

7)

P

AB

C

P

X

Q

YO

RM

N

L

NM

आकती 732

आकती 733

आकती 734

आकती 735

आकती 736

P

Q

xy

z

R

S

A

B

156

= q360

OP

PX

Q

Y

आकती 739

आकती 738

P Q

rO

T

X

Y

A B

Oतवशाल

वतमळखड

आकती 737

157

= 1

2 acute OQ acute PT

= 1

2 acute r2 sin q ---------------- (ii)

360 acute pr2 - 1

2 r2 sin q

= r2 pq360 - sinq

2

360 acute pr2

= 30

= 314 acute 12

X

12

A B

30deg

O

A(D OAB) = 1

2 r2 acute sin q

= 1

2 acute 144 acute 1

2

( sin 30 = 1

2)

आकती 740

158

360 - sinq2

= 123 14 30

360

30

22 sintimes

minus

= 1443 14

12

1

2 2

minus

times

= 144

4

3 14

31

minus

= 363 14 3

3

minus

= 36

360 acute pr2

= 90

= 1

4 acute 314

A(DAPB) = 1

= 1

2 acute 10 acute 10

P

XA B

आकती 741

159

7 3 = 1732)

= 6 acute 3

4 acute 142

= 22

7 acute 14 acute 14

आकती 742

आकती 743

आकती 744

P Q

O

R2

X

A

B C

45deg7 2 7 2

160

(A) 14p (B) 7p (C) 7p (D) 14p

p सषमी

PQ

A

R

P

QO

R

आकती 745

आकती 746

4

161

7)

10

आकती 747

P

B8 4

162

= - θ360

acute pr2

= - 90360

acute 3141

acute 4001

= -314

=

=20 2

=A(A-PCQ)-A(c ABCD)

= θπ

3602times times

r -

2

= 90360

acute314(20 2 )2-(20)2

= -

=

आकती 748A

P

B

Q

X

C

D

163

OQ=OB-BQ=

OE=OD-DE=

R2-9R=R2-10R+25

R=

AQ=2r=AB-BQ

2r=50-9=41

r= =

rrr

आकती 749

APO

E

F

B Q

C

D5

9

12

164

1 3

4 2 1

2 3 3 4 1ः1 5 (1) BQ

BC (2) PQ

AD (3)

BC

DC (4) DC AD

QC PQ

acuteacute

2 PN

NR=

PM

MQ=

3

6 QP = 224 7 x = 6 AE = 18 8 LT = 48 9 x = 10

= XQQE

= XRRF

9 3 A(D PQR) 4

5

4 MN = 15 5 20 सषमी 6 4 2

PF

2

2 20 45 45 - 20 25 चौरस एकक

1 (1) (B) (2) (B) (3) (B) (4) (D) (5) (A)

2 7

13 7

20 13

20 3 9 सषमी 4 3

4 5 11 सषमी 6 25

81 7 4

8 PQ = 80 QR = 280

3 RS = 320

3 9

PMMQ

= PXXQ

PMMR

= PYYR

10 AXXY

= 3

2 12 3

2 3 2

2

+ 5

3 को-को 5

3 15

165

2 1

2 2

िराििच 221 12 2 2 10 4 18 सयमी

िराििच 351 PS = 18 RS = 10 2 (1) 75 (2) 12 कििा 6 3 (1) 18 (2) 10 (3) 5 4 4

166

सरावसच 511 (1) 2 2 (2) 4 2 (3) 11

2 (4) 13 (5) 20 (6) 29

2

3 (-1 0) 7 7 तकवा -5

1

3

1

3 (2)

4

7

11

7minus

(3) 0

13

3

3 2ः7 4 (-6 3)

5 2ः5 k = 6 6 (11 18) 7 (1) (1 3) (2) (6 -2) (3) 19

3

22

3

8 (-1 -7) 9 h = 7 k = 18 10 (0 2) (-2 -3)

11 (-9 -8) (-4 -6) (1 -4) 12 (16 12) (12 14) (8 16) (4 18)

2 (1) 2 (2) -3

8 (3)

5

2 (4)

5

4 (5) 1

4 -5 1

5 -

2

3 6 k = 5 7 k = 0 8 k = 5

167

5 (-7 0) 6 (1) a 2 (2) 13 (3) 5a 7 minus

1

3

2

3

13 5 2 13 37 14 (1 3) 16 25

6

13

6

6 17 (7 3)

21 (7 6) व (3 6) 22 10 व 0

1 cosq = 24

25 tanq = 7

24 2 secq = 5

4 cosq = 4

5

3 cosecq = 41

9 sinq = 9

41 4 secq = 13

5 cosq = 5

13 sinq = 12

13

5 sin cos

sec cosec

θ θθ θ

++

= 1

2

2 cos60 = 60

61 3 sinq = 2

5 cosq = 1

5 cosecq = 5

2 secq = 5 cotq = 1

2

4 sinq = 5

13 cosq = 12

13 cosecq = 13

5 tanq = 5

12 cotq = 12

5

3 मीटर

168

2 2035 लीटर 3 7830 गोळा 4 2800 नाणी (p = 22

7 घषऊन) 5 6336 रपष

rrr

C1
Title
Text
C2

4

BC = 15 DC = 6 BD = BC - DC = 15 - 6 = 9

A( D ABD)A( D ABC)

= BDBC

= 9

15 = 3

5

A( D ABD)A( D ADC)

= BDDC

= 9

6 = 3

2

उदा (3)

आकती 110

आकती 111

D CB P

A

A D

CB P

A(D ABC) = A(D ABD)

5

A( D BDC)A( D ABC)

B

P

D

A

Cआकती 112

AD = 16 - 9 = 7

A( D ABD)A( D ABC)

= ADAC

= 7

A( D BDC)A( D ABC)

= DCAC

= 9

A( D ABD)A( D BDC)

= ADDC

= 7

6

A( D ABC)A( D ADB)

काढा

आकती 115

D

C

A B

आकती 113

आकती 114

P

Q

T

R S

P

A

B C

D

P

Q

A

B CD

7

= AQQC

A(D APQ)A(D PQB)

= APPB

= AQQC

A(D APQ)A(D PQB)

= A(D APQ)A(D PQC)

APPB

= AQQC

आकती 117

P Q

A

B C

l

8

कती ः

bull ABBC

A

B C

D

आकती 119

साधय ः AE

EB =

CA

CB

A B

C

D

E

आकती 120

आकती 118

A

B C

QP l

9

P

A

B

CN

M

आकती 122

CB = CD (IV)

AEEB

= ACCD

AEEB

= ACCB

A

B CD

N

M

आकती 121

आतण

10

= PQQR

P

Q

A l

B m

C n

D

t1

t2

R

ABBC

= PDDC

PDDC

= PQQR

ABBC

= PDDC

= PQQR

= BDDC

bull ABBC

व PQQR

कती ः

P

Q

A lB m

C n

t1

R

t2

आकती 123

ABBC

= PQQR

11

आकती 127

तर BPPA

= BQQC

तर ABBC

= ADDC

तर ABBC

= XYYZ

आकती 125

P

Q

A

B C

X Y

A lB

m

C

Z

A

B C

D

आतण PSSQ

= PTTR

आकती 128

आकती 126

P

Q

TS

R

12

ADDB

= AEEC

1 8

5 4

= AE

72

AE = 1 8 7 2

5 4

acute = 24

PRRQ

= PSSQ

15

20 =

12SQ

SQ = 12 acute 20

15 = 16

SQ = 16

P

Q

O O

R

S

AC = DF ( )

5 4

9

= DF DF =

A B

C D

E F

आकती 130

आकती 131

आकती 129

A

B C

D E

13

कती ः

= AEEB

आकती 133

आकती 132

A

B C

DE

आकती 136

P

Q R35 15

37

M

P

Q

R

M

36

4

9

10

P

QR

N M

P

Q

R6

8

10

7M

ABBC

= ADDC

AEEB

= ADDC

( ) (II)

AB

= EB

(1) (2) (3)

14

काढा

आकती 137

आकती 138

आकती 139

आकती 140

P Q

A

B C60deg

60deg

P

Q N

M

255

7

P Q

A B

CD

= AQQC

P

Q

N

M

40

25

14

Ax

B

C

D

E

F8

12

4

आकती 141

15

िाढा

P

X

QFE

D

R

आकती 142

T

L

NM

6

10

8

A

x

x - 2

x + 2

x + 5B C

D

आकती 143

आकती 144

XP =

= (II)

16

आतण ABDE

= BCEF

= ACDF

A

B C

D

E F

आकती 146

P

A

QB RC

17

= ANNC

= NCAN

MB + AM

AM =

NC + AN AN

ABAM

= ACAN

ABPQ

= ACPR

= BCQR

ABPQ

= BCQR

= ACPR

D ABC ~ D PQR

आकती 147

NM

P

Q

A

B C

R

18

आकती 149

आकती 150

ETH KLM ETH RST

KLRS

= LMST

L SM1

T2

K15

3

R

PQYZ

= QRXY

= PRXZ

Z

L

M

X

Y N

Z

PX

Q

YR

19

आकती 151

आकती 152

20 Z 30

M

P

X

NY

14 21

N10M

P

U

WV

3

5

6

नाहीत

PMUV

= 6

3 = 2

1

MNVW

= 10

5 =

2

1

PMUV

= MNVW

XYMN

= 14

21 = 2

3

YZNP

= 20

30 =

2

3

XYMN

= YZNP

20

ETH PAB ETH QAC ( )

पक ः 2QA = QC

2QB = QD

= 1

2 (I)

2QB = QD QBQD

= 1

2 (II)

QAQC

= QBQD

QAQC

=QBQD

AQCQ

= QBQD

= ABCD

परत AQCQ

= 1

2 AB

CD =

1

2

2AB = CD

आकती 154D

Q

AB

C

P

Q

A

B C

आकती 153

21

आकती 155

आकती 156

आकती 157

जर AP = 7 BQ = 8 BC = 12

आकती 158P

Q

A

B C

D

E

A

B

C

75deg

10 L

NM

P

3

Q

5

4

6

8 R

A

C4

x6

8

P

Q R B

22

SR = 5PQ

आकती 159

= BPDP

D ABP ~ D CDP

S

P Q

A

R

D

O

AB

C

E

T

DA

BC

D

P

A

B

C

आकती 161

आकती 162

A

B C

आकती 163

23

= AB2

PQ2 =

BC2

QR2 = AC2

PR2

= BC AD QR acute PS

= BCQR

acute ADPS

(I)

ADPS

= ABPQ

(II)

ABPQ

= BCQR

= ACPR

(III)

A(D ABC) A(D PQR)

= BCQR

acute ADPS

= BCQR

acuteBCQR

= BC2

QR2 = AB2

PQ2 =

BC2

QR2

P

Q

A

B CD

RS

आकती 164

24

A(D ABC) A(D PQR)

= AB2

16

25 = AB2

PQ2 ABPQ

= 4

A(D ABC) A(D PQR)

= ( )

( )

2

5

2

2 = 4

64

A(D PQR) = 4

25

4 = 400

= AB2

CD2

A(D APB) A(D CPD)

= AB2

आकती 165

P

AB

C D

25

A(D ABC) A(D PQR)

= AB2

= 22

32 =

A(D ABC) A(D )

= = ABPQ

=

DF = DP + = + = 3x

A(D FDE) A(D FPQ )

= =( )

( )

3

2

x

x = 9

4

A(D FDE) = 9

4 A( D FPQ ) = 9

4 acute =

= -

=

P

D

12580

26

=BCPR

=CAPQ

तर

(A) D PQR ~ D ABC

(B) D PQR ~ D CAB

(C) D CBA ~ D PQR

(D) D BCA ~ D PQR

(A) EFPR

= DFPQ

(B) DEPQ

= EFRP

(C) DEQR

= DFPQ

(D) EFRP

= DEQR

(A) 2 2 (B) 4 (C) 8 (D) 4 2

तकती

आकती 167

A

PR

Q

B C

आकती 168

D

E F P

Q

R

आकती 169

A

B C

D

E F

आकती 170

A

B C

D

E F

27

आकती 173

आकती 171

आकती 172

(A) ABAC =

AXAY (B)

AXXB =

AYAC

(C) AXYC =

AYXB (D)

ABYC =

ACXB

AB = 6 DC = 8

A

B C

D

68

P

Q

R

N SM

A

B CD

आकती 174

A

B C

X Y

28

आकती 176

3

A

B C

D

x 64 - x

5

Eआकती 175

P

Q

AB

C

D

R

S

P

X

Q

Y

xxOO RM

BC = 70 CD = 80 PS = 280 तर PQ

QR RS काढा

परत MPMQ

= MPMR

PXXQ

= PYYR

आकती 177

29

P

A

B C

D

आकती 179

= PCBP

=

AX +BX

BX =

ABBX

= (I)

BABX

= ACXY

= AC9

AC = (I) वरन

X

Y

A

B Cआकती 180

rrr

आकती 178

A

B C

X

Y

आकती 181E

F

A

B CD

G

30

आकती 21P Q

R

31

30deg

60deg90degM

L

Nआकती 22

2 acute LN

MN = 1

2 acute LN LM = 3

2 acute LN

= 1

2 acute 6 = 3

2 acute 6

32

XY = 1

2 acute ZY

XZ = 1

2 acute ZY

XY = XZ = 1

2 acute 3 2

कती ः

आकती 24

x

y

x

z

आकती 23

45deg

Z

X Y

33

आकती 26

आकती 25

A

B

D

C

acute

R

P Q

S

QS

PS=

SR

SQ

QS

PS=

SR

QS

34

आकती 27

A

B C

D

A

B C

P

Q R

ABAD

= BCDB

= ACAB

= BC

DC = ACBC

ABAD

= ACAB

BC

DC = ACBC

AC2 = AB2 + BC2

35

आकती 210

Q R

P

S

36

BC = 1

2 acute AC AB = 3

2 acute AC

BC = 1

2 acute 14 AB = 3

2 acute 14

BC = 7 AB = 7 3

आकती 211

= 3 acute 4 = 12 आकती 213

A

B C

14

60deg

30deg

P 9

16

N

RQ

AD = DC = 1

DC = 8 AD = 8

BC = BD + DC

= 5 + 8

= 13आकती 212

CB

A

D

82

5

37

= 10 8acute

= 5 2 8acute acute

= 5 16acute

= 4 5

z

xS

8

10

P

ावरन x = 4 5 y = 12 z = 6 5

= 4 52( ) + 82

= 16 acute 5 + 64 = 80 + 64 = 144 QR = 12

= 4 52( ) + 102

= 16 acute 5 + 100 = 80 + 100 = 180 = 36 acute 5 PQ = 6 5

आकती 215

P

Q R12

9

38

उकल ः l = 5 m = 13 n = 12 l2= 25 m2 = 169 n2 = 144 m2 = l2 + n2

आकती 217

आकती 218

P

Q M R

10

8

M

N P

Q

आकती 216

C

AB

D

39

आकती 219

AB = BC

ETH BAC =

AB = BC = acute AC

= acute 8

= acute 2 2

=

S

R

P

6

30deg

D

FE

G 8

12

P

R M Q

आकती 221

आकती 222

आकती 220

A

CB

8

40

p2 = b2 - (II)आकती 223D

A

CxB

p

a - x

bc

DB = a + x

c2 = (a + x)2 + p2

c2 = a2 + 2ax + x2 + p2 (I)आकती 224

A

B

cb

x a

p

D C

41

A

B CM D

= a2 + 2ax + b2

42

P

Q

9

RM

आकती 226

आकती 227

QM = MR = 1

2QR

290 = 2 acute 81 + 2QM2

290 = 162 + 2QM2

P

Q

T

R

S

= (2PT)2 + (2QT)2

= PR2 + QS2

43

2

P

Q T RS

आकती 228A

P Q

A BT

RSआकती 230

44

45

आकती 232

A

B

C

M

L

आकती 233

A

BC D

आकती 231

P

QM Naa

aRS

a a

46

P

Q60deg 60deg

T RS

आकती 234

15 15

A B

CD

25

ICT Tools or Links

rrr

QS = 1

आकती 235

47

C

D EF

आकती 31

3 वतमळ

48

आकती 32

आकती 33

आकती 34

PQ R

O

A

T

D

B

C

SM

P

A

Q

R

49

आकती 35

आकती 36

आकती 37

A

B

C

A B

C

PQ

A B

l

50

कती ः

आकती 38

आकती 39

AR

B

l m n

CP

Q

A

P

OB

51

O A

l

आकती 310

आकती 311

ABC

O

l

52

आकती 312

आकती 314

M

A B

C

D

A

BC

53

P

A

Q

D

P

A

Q

D

A

D

B

C

आकती 316

आकती 317

54

आकती 318

P T

O S

Q R

a

b

c

55

M

N

O R

M

N

O R

आकती 320

आकती 321

A B

C

आकती 319

ICT Tools or Links

56

आकती 323

आकती 322

X Y Z

Y X Z

57

आकती 324

R T S

l p

KN M

आकती 325

आकती 326

A C B

l

(a)

A

C

B

l

(b)

58

आकती 327

A

P R Q

B

आकती 328

A

l

B

CD

E

59

आकती 329

Y

kC

A BX

आहष

आकती 330

P

Q

Oq B

A

60

आकती 331

A

F

B

40deg70deg

70deg

G

C

D

I

E

J

61

आकती 332

A

BC

D

E

P

Q

A

B

CD

E

आकती 333

P

QM

NO

R

S

आकती 334

62

A

B

C

O

63

PQ

T

RS

आकती 336

आकती 337

G

EF

64

आकती 340

D

E

A B

CH

I

F

G

आकती 339

A

BC

D

आकती 338

Q

R S

65

आकती 341

P QC

T

RS

कती II ः

आकती 342

A B

C

D

P Q

66

आकती 344

आकती 345

A

B

C

x2x

2xE

O

A

B C

D

2 m(कस BDC)

A

B

CC

C

67

ETHEAC + ETHEAB = 1

2 m(कस EC) + 1

ETHBAC = 1

= 1

2 [m(कसBEC)] = 1

= 1

2 m(कस BCE) - 1

2 m(कस CE)

(III) वरन

= 1

आकती 346

A

BC

OE

68

आकती 349

AB

C

D

आकती 347

आकती 348

P

Q

C

T

R

S

A

B

C

X

M

2 (I)

69

= 1

ETHADC + = 1

2 + 1

= 1

2 [ + m(कस ADC)]

= 1

70

xx

A

BC

Dआकती 350

L

N

35deg

M

आकती 351

35 = 1

2 m(किMN)

2=145deg

ETH M = 145deg

2

71

= 2 acute 145deg2

= 145deg

(ii) ETH STQ = 1

mETHSTQ = 1

2 [m(कस PR) + m(कस SQ)] = 1

2 [48 + 68]

= 1

2 acute 116 = 58deg

= ETHSTQ

= 1

2 [ + ]

आकती 352

P

Q

TR

S24deg

58deg

72

आकती 353

E

A

B

C

D

(i) ETHAEC = 1

(ii) ETHCEB= 1

आकती 354

E

A

BC

D

73

ETHBED = 1

आकती 356

E

A

B

C

D

A B

C

O

आकती 357

P

Q

R

S

O

T

R S

आकती 358

आकती 355

74

आकती 359

आकती 360

आकती 361

E

FM

N

S

EA

B

CD

P

W

Y

Z

T

X

आकती 362A

B

C

आकती 363

A

B

C

D

75

2 m(कसADB)

आकती 364

आकती 364(i)

M M MF

E

A

A A

B B BC C C

D DD

xy

x

(i) (ii) (iii)

M

A

B CD

76

y = ETH ABC = 1

2ETH AMB = 1

2 m(कस ADB)

2 m( ) (2) मध ष तसद ध

180 - = 1

2 m(कस AFB)

= 1

2 [360 - m( )]

180 - ETHABC = 180 - 1

2 m(कस ADB)

-ETHABC = - 1

2 m( )

ETHABC = 1

2 m(कस ADB)

MA

B CDx

y

x

MF

E

A

B C

D

ETH ABC = 1

आकती 365

A

B C

D

T

77

P

Q

U

T

O

R

S

AE

DE=

CE

P

E

A

BC

D

आकती 367

आकती 366

जर ETH PQR = 1

78

= CE acute ED

आकती 368

E

AB

C

D

79

आकती 369

ET

EB=

EA

EA acute EB = ET2

आकती 370

आकती 371

आकती 372

B

C D E

A

E

A

B

C

D

EA

B

T

A

B

E

T

80

आकती 373

आकती 374

P

Q

R

S

उदा (2)

S

M

P

N

R

81

आकती 375

P QYM

X

आकती 376

उदा (4)

P

Q

T O

R

S

82

E

O A

B

CD

आकती 380

P

Q

R

S

आकती 381

M

ND

R

S

P

Q

T

R

S

H

G

FE

D

आकती 377

आकती 378

आकती 379

83

84

P

o

l

M

L

K

A

B

C

O

आकती 382

आकती 383

आकती 384

पासन

85

X Y

A

B

Z

आकती 387

आकती 385

आकती 386

MN

T

RS

E

F

A B

CD G

HT

86

XY

A

B

Z

P

Q

O

l

R S

P Q

A

BC

Tआकती 390

आकती 389

आकती 388

87

W

TZ

X

Y

आकती 392

आकती 393

P

Q

A

T

R

S

P

Q

O

R

S

आकती 391

88

A

B

C

DE

आकती 394

आकती 396

आकती 397

P

Q

R

O

E

A

B

CD

E F

G H

आकती 395

89

OA B

C

D

आकती 399

M

N

L O

आकती 398

आकती 3100

P Q

R

S

90

आकती 3101

PQ

M

N

RS

rrr

ICT Tools or Links

आकती 3103D

E

OF

A

B C

आकती 3102

A

B

C

ED

91

92

AB

PQ=

BC

QR=

AC

PR=

3

2 (I)

54

PQ=

42

QR=

60

PR=

3

2

PQAB

C

R

93

ABAcentB = BC

3

A

Acent

B CCcent

आकती 42AB

C

42सषमी

54 सषमी

60सषमी

PQ

R

28सषमी

36 सषमी

40सषमी

94

आकती 46

A

Acent

B

C

Ccent

BAcentBA = BC

BC

cent = 3

5 BC

आकती 45

A

T1T2 T3

T4T5

B C

आकती 44

A

Acent

CCcentB

95

आता BC

BCprime=

5

7

A

Acent

BC Ccent

आकती 48

A

Acent

B C1 2 3 4 5 6 7

Ccent

96

आकती 49

P

l

C

P XC

l

आतण BC

MN = 5

आतण PQ

LT = 3

आतण RS

XY =

3

आतण AM

AH = 7

97

आकती 411l

AB

C

D

आकती 412

ABM

C

ND

R

98

PM

A

B

O

आकती 413

PO

A

B

99

PQ= 7

5 तर

LN= 4

= 6

5

rrr

100

(2 0) ( -5

17

2) (0 -3) असष

आकती 51

PQ-2 1 5-3 20-4 3

O-5 4

R-1

101

d(PQ) = y2 - y1

d(A B) = x2 - x1

d(PQ) = y2 - y1

आकती 52

A (x1 0) B (x2 0)X` X

Y

Y`

O

आकती 53

(0 y2) Q

(0 y1) P

XX`

Y

Y`

O

A(x1 y1)

L(x1 0)

B(x2 y1)

M(x2 0)X` X

Y`

Y

O

P (x1 y2)(0 y2) R

Q (x1 y1)(0 y1) S

X` XY`

Y

O

102

AB = 3 - = BC = - = 4

AC2 = + = AC = 17

AD = d(A D) = x2 - x1 BD = d(B D) = y2 - y1

= x x y y2 1

2

2 1

AB = x x y y2 1

2

2 1

आकती 56

XX`

B

Y

Y`

A(2 3)

C(-2 2)

4

1-1

3

-3 2

-2

2

-2 3

-3

1

-1 0

आकती 57

XP

X`

Y

Y`

A(x1 y1)

B(x2 y2)

D(x2 y1)

O

103

2

2 1

2

1 2

2

1 2

x1 = 2 y1 = 3 x2 = -2 y2 = 2

AC = x x y y2 1

2

2 1

= minus( ) + minus( )4 12 2

= 16 1+

= 17

AB = x x y y2 1

2

2 1

BC = x x y y2 1

2

2 1

2 = 4

XX`

B

Y

Y`

A(2 3)

C(-2 2)

O

आकती 58

d(P Q) = x x y y2 1

2

2 1

2

2 1

2

1 2

104

2

2 1

= 5 1 7 12 2

= 6 82 2( ) + minus( )

= 36 64+

2

2 1

2minus( ) + minus( ) (x1 y1) (x2 y2)

d(A B) = 1 3 2 22 2

= 1 3 42 2+( ) + minus( )

= 16 16+

= 32 = 4 2 (I)

d(B C) = 9 1 10 22 2minus( ) + minus +( )

= 64 64+ = 8 2 (II)

= 144 144+ = 12 2 (III)

105

= 3 12 2( ) + ( ) = 10 (I)

= 0 102 2( ) + minus( ) = 100 (II)

PR = 3 6 3 62 2minus( ) + +( )

= minus( ) + ( )3 92 2 = 90 (III)

ासाठी 1002( ) आतण 10 90

2

AB = 1 4 7 22 2minus( ) + minus( ) = 9 25+ = 34

BC = 4 1 2 12 2+( ) + +( ) = 25 9+ = 34

= 9 25+ = 34

DA = 1 4 7 42 2+( ) + minus( ) = 25 9+ = 34

AC = 1 1 7 12 2+( ) + +( ) = 4 64+ = 68

BD = 4 4 2 42 2+( ) + minus( ) = 64 4+ = 68

आकती 59

A

B

C

D

106

[0 -(-5)]2 + [y -(-2)]2 = (0 - 3)2 + (y - 2)2

(a + 3)2 + (b + 4)2 = (a + 5)2 + (b - 0)2

a2 + 6a + 9 + b2 + 8b + 16 = a2 + 10a + 25 +b2

a2 + 6a + 9 + b2 + 8b + 16 = a2 - 6a + 9 + b2

1

2

2) आहषत

P(ab)

A(-3-4)

B(-50)

C(30)

आकती 510

107

(x - 7)2 + (y - 1)2 = (x - 3)2 + (y - 5)2

x2 - 14x +49 + y2 - 2y + 1 = x2 - 6x + 9 + y2 - 10y +25 - 8x + 8y = -16 x - y = 2 y = x - 2

25 = 9 + (y + 2)2

16 = (y + 2)2

y + 2 = plusmn 16

2)

(4) L(5 -8) M(-7 -3) (5) T(-3 6) R(9 -10) (6) W( -7

2 4) X(11 4)

108

आकती 512

AP

PB= =

6

10

3

5

AB

BC=

DE

EF

आकती 511

mn

p q

lAB

C

DEF

109

= CQQD

= mn

x x

m

n

minusminus

=1

2

n(x - x1) = m (x2 - x) nx - nx1 = mx2 - mx

mx + nx = mx2 + nx1

x(m + n) = mx2 + nx1

x = mx nx

m n2 1+

ymy ny

m n=

++

2 1 तमळषल

m n

my ny

m n2 1 2 1++

++

असतात

आकती 513

XX`

Y

Y`

A (x1 y1

) P (x y) B(x2 y2)

D(x2 0)Q(x 0)C(x1 0)O

(I)

110

x = mx nx

m n2 1+

+

= mx mx

m m2 1+

+ m = n

= m x x

m1 2

2

+( )

= x x1 2

2

+

y = my ny

m n2 1+

+

= my my

m m2 1+

+ m = n

= m y y

m1 2

2

+( )

= y y1 2

2

+

2 2

+ +

a + b2

x = mx nx

m n2 1+

+ = 2 7 3 3

2 3

23

5

times + times+

= ymy ny

m n=

++

2 1 = 2 9 3 5

2 3

33

5

times + times+

=

5

33

5

आकती 514

A (x1 y1) P (x y)

B (x2 y2)

111

आकती 516

2

1

A(x1 y1)

C(x3 y3)

G(x y)

B(x2 y2) D

आकती 515

A (-42) B (62)P (x y)

x = x x1 2

2

+ = minus +4 6

2 = 2

2 = 1

y = y y1 2

2

+ = 2 2

2

+ = 4

2 = 2

112

2

+ y = y y2 3

2

x = 2

21

2 1

2 31

x xx

+

+ times

+ = x x x2 3 1

3

+ + = x x x1 2 3

3

+ +

y = 2

21

2 1

2 31

y yy

+

+ times

+ = y y y2 3 1

3

+ + = y y y1 2 3

3

+ +

x x x y y y1 2 3 1 2 3

3 3

+ + + +

असतात

m n

my ny

m n2 1 2 1++

++

असतात

x x y y1 2 1 2

2 2

+ +

असतात

3 3

+ + + +

असतात

113

x = mx nx

m n2 1+

+ = 7 6 2 7

7 2

= - -42 14

9 = -56

9 y = my ny

m n2 1+

+ = 7 5 2 4

7 2

= minus +35 8

9 = -27

9 = -3

56

93 षतील

-4 = 2 acute r + 1 acute (-6)

2 + 1

-4 = 2r - 6

3 -12 = 2r - 6 2r = -6 r = -3

2 + 1

6 = 2s + 10

3 18 = 2s + 10 2s = 8 s = 4

आकती 517

(-7 4)

7

2

(x y)(-6 -5)TB

A

114

x = mx nx

m n2 1+

+

11 = 9 15m n

m n

++

11m + 11n = 9m + 15n

2m = 4n

mn

= 4

2 = 2

1

AP

PB = AP

PQ + QB = AP

AP + AP = AP

2AP = 1

2 (I) वरन

1 2

= minus +7 4

3 = -3

3 = -1

1 2

= 4 4

3

- = 0

3 = 0

= 2

1

2 1

= minus +14 2

3 = -12

3 = -4

2 1

times + timesminus+

= 8 2

3

- = 6

3 = 2

आकती 518

A P Q B

115

= 3

APPB

= 3

ABBP

= 2

1

आकती 519(-4 6)

(5 10)B

P

A

116

AB

C

D

El

X

Y

Xcent

Ycent

4

41

3(4 4)

(6 7)

(-2 -5)

-3 2

7

2(2 1)

-2 3

6

1

(0 -2)

-1

5

0

आकती 520

117

अ कर

(x1 y1)

(x2 y2)

y y

x x2 1

2 1

--

1 C E (2 1) (6 7)7 1

6 2

--

= 6

4 = 3

2

2 A D (-2 -5) (4 4)4 5

4 2

= 9

6 = 3

2

3 D A (4 4) (-2 -5)- -- -

5 4

2 4 = -

-9

6 = 3

2

4 B C -- -- --

5 C A -- -- --

6 A C -- -- --

x x2 1

2 1

--

x x2 1

2 1

--

x x2 1

2 1

--

m = y y

x x2 1

2 1

--

118

= 0

0 - 0 = y2- y1

0

QR = y2 - y1 आतण PR = x2 - x1

आकती 521

t

n

l

A(40)B(61)

C(34)

D(-10)0 X

Y

आकती 522

(x2 0)(x1 0)

(0 y1)

(0 y2)

l

m

X

Y

0

119

QR

PR = tanq (II)

x x2 1

2 1

--

= tanq

m = tanq

y y

x x2 1

2 1

--

=

-

- =

=

QR

PR = y y

x x2 1

2 1

-- (I)

आकती 524

A XX`

B

Y

Y`

t

l

(03)

(-30)qq

0

आकती 523

X

Y

q

qT

R

S

Q(x 2 y 2

)

(x2- x1)P(x 1

y 1)

(y2- y1)

l

O

120

x x2 1

2 1

--

4 3 = -6

7

x x2 1

2 1

--

= 2 3

1 2

1

x x2 1

2 1

--

= 1 2

4 1

--

= -1

3

- -2 0

3 k = -

- -2

3 k

-- -

2

3 k = 2

7 k = 4

121

x x2 1

2 1

--

8 6

--

= 1

2 (I)

9 8

--

= 2 (II)

7 9

--

= 1

2 (III)

7 6

--

= 2 (IV)

2) N(4 -2)

122

(A) 1

2 (B) 3

2 (C) 1

3 (D) 3

5) R (3 6

5)

(3) L (12) M (53) N (86)

123

rrr

124

sin q = cos q =

(i) sin

cos

qq

= (ii) sin q = cos (90 - )

A

B Cq

125

A

BC q

आकती 62

sinq = ABAC

cosecq = 1

sinq

= 1

ABAC

= ACAB

समख बाज

tanq = ABBC

cot q = 1

tanq

= 1

ABBC

cot q = BCAB

cosq = BCAC

secq = 1

cosq

= 1BCAC

= ACBC

tanq =sinqcosq

cot q = 1

tanq

= 1sincos

qq

=cos qsin q

cot q = cos qsin q

sinq

secq = 1

tanq

126

bull 1

127

AB

C

q

आकती 63

sin q 01

2

1

23

21

cos q 1 3

2

1

2

1

20

tan q 01

cosec q

= 1sin q

31

sec q

= 1cos q

12

cot q

= 1tan q

30

(i) sinq = BCAC

(ii) cosq = ABAC

(iii) tanq = BCAB

(iv) cosecq = ACBC

(v) secq = ACAB

(vi) cotq = ABBC

BC2+ AB2

AC2 = AC2

AC2 BC2+ AB2

AC2

128

BC2

AC2 + AB2

AC2 = 1

BC

AC

AB

AC

+

=

2 2

1

sin

cos

sin sin

2

2 2

1θθ

θθ θ

+ =

sin

cos

cos cos

2

2 2

1θθ

θθ θ

+ =

20

29

2

+ cos2 q = 1

400

841 + cos2 q = 1

cos2 q = 1 - 400

841

= 441

841

cosq = 21

29

रीत II

sinq = 20

29

(20k)2+ x2 = (29k)2

400k2+ x2 = 841k2

x2 = 841k2 - 400k2

= 441k2

x = 21k

cos q = BCAC

= 21k29k

= 2129

आकती 64

20k29k

A

B Cxq

129

5sinq = 12cosq

sin

cos

qq

= 12

5

tanq = 12

1+ 12

5

2

= sec2q

1 + 144

25 = sec2q

25 144

25

+ = sec2q

sec2q = 169

25

secq = 13

5

cosq = 5

13

sin2q = 1 - cos2q

sin2q = 1 - 5

13

2

= 1 - 25

169

= 144

169

sinq = 12

13

cosecq = 13

12

1+ tan2q = 25

7

2

tan2q = 625

49 - 1

= 625 49

49

-

= 576

49

tanq = 24

7

sec q = PRPQ

PQ = 7k PR = 25k

PQ2 + QR2 = PR2

(7k)2 + QR2 = (25k)2

QR2 = 625k2 - 49k2 = 576k2

QR = 24k

= 24k7k

= 247

आकती 65

7k

25k

PQ

R

x

q

130

2 तर 1

1

minus+

sec

cosec

θθ

1

+minus

sin

x

cos

sin

cosx

x

x+

= 1+ sin

cos

x

= ( sin )

cos

1 2

2

+ x

x

= 1 1

1 2

+( ) +( )minus

sin sin

sin

x x

x

= ( sin )( sin )

( sin )( sin )

1 1

+ +minus +

x x

= 1

1

+minus

sin

x

cosq = 3

2 secq = 2

3 sin2q + cos2q = 1

sin2q + 3

2

= 1

sin2q = 1- 3

4 = 1

4

sinq = 1

2 cosecq = 2

1

minus+

sec

cosec

θθ

= 1

2

31 2

minus

+

=

3 2

33

-

= 3 2

3 3

-

cosq = 3

2

cos 30deg = 3

3

1

minus+

sec

cosec

θθ

= 1

2

31 2

minus

+

=

3 2

33

-

= 3 2

3 3

-

131

cot q = x + y

2a (III)

b

-2

(IV)

y x

b

y x

a

minus

+

2 2

= 1

y x

b

y x

a

minus( )minus

+( )4 42

2

= 1

तकवा y x

b

y x

a

minus

+

2 2

= 4

1 जर sinq = 7

2 जर tanq = 3

3 जर cotq = 40

sec cosec

θ θθ θ

++

(1) sin

cos

2 qq + cosq = secq

(2) cos2q(1 + tan2q) = 1

132

आकती 66

(3) 1

1

minus+

sin

θθ

= secq - tanq

(6) 1

sin

θθ1minus

(9) जर tanq + 1

tan2 q = 2

(10) tan

tan

cot

A

A1 12 2 2 2+( )

++( ) = sin A cos A

(11) sec4A (1 - sin4A) - 2tan2A = 1

(12) tan

sec

θθ minus1

= tan sec

tan sec

1

133

AB BC

(I)

tan 60deg = 3 (II)

AB BC

= 3 (I) व (II) वरन

AB = BC 3 = 10 3

60deg10 मी

A

BC

आकती 67

आकती 69

B

MA

ा

आकती 68

C

MA

134

1

3 =

40x

x = 40 3

x

A

B C

M

30deg

40 मी

x

आकती 610

A

B C 50 Dx

h

35deg61deg

आकती 611

135

18 = h

07 = h

x + 50 h = 07 (x + 50)

10h = 7 (x + 50) (II)

18x = 7(x + 50)

18x = 7x + 350

11x = 350

x = 350

11 = 3182

आता h = 18x = 18 acute 3182

= 5728 मी

R

T

S

Q

P

44

x

y

52deg

29deg

38deg

61deg

136

055 = x

y + 4

x = 055(y + 4) (I)

tan 38deg = xy

[ SP = TQ = x]

078 = xy

x = 078y (II)

078y = 055(y + 4) (I) व (II) वरन

78y = 55(y + 4)

78y = 55y + 220

23y = 220

RS = y + 4 = 10 + 4 = 14

CA= CD = y मी

137

tan30deg = BCBD

1

3 = x

10

x = 10

3

y = 20

3

x + y = 10

3 + 20

3

= 30

3

x + y = 10 3

A

B

C

Dआकती 613

138

(A) 1 (B) 0 (C) 1

2 (D) 2

(A) 1

2 (B) 2 (C) 3

2 (D)

2

3

2 जर sinq = 11

4 जर secq = 13

(6) 1

1

1minus+

(8) tan

sec

tan

θθ

θθ+

=minus

1

(9) tan

tan

3 1

1

139

(10) sin cos

sin cos sec tan

=minus

1

rrr

140

2 घन

4 शकक

3 acute pr2h

l

h

b

lh

h

r

141

आकती 71

30 सषमी

आकती 72

21 सषमी

10 सषमी

3 pr3

उदा(1)

आकती 73

r

उदा(2)

142

1

3 acute 2pr3

= 2pr3 - 2

3pr3

= 6pr3 - 2pr3

3 =

4pr3

3

कती ः

आकती 74

2r

r

143

7)

= 22

=

( )

43

3

2

π

r

R H

=times( )times

43

30

10 6

3

times times

43

30 30 30

10 10 6 = 60

144

= 24 182 2+

= 576 324+

= 900

l = 30 मी

= 2prH + prl

= pr (2H + l)

= 22

7 acute 24 (2 acute 15 + 30)

= 22

7 acute 24 acute 60

= 452571 चौमी

3 pr2h

= pr2 H h+

1

3

= 22

7 acute 242 (15 + 1

3 acute 18)

= 22

आकती 77

18 मी

24 मी

15 मी

145

14 तममी

635 सषमी

10 सषमी

7 सषमी

आकती 710

आकती 711

आकती 713

आकती 712

3 सषमी

4 सषमी

10 सषमी

146

आकती 716

शककछषद

आकती 715

14 सषमी

30सषमी

आकती 714

42 सषमी

r1

hl

r2

147

1 2

2 + pr22

3 ph (r1

2 + r22 + r1 acute r2)

22

7)

= 1

3ph ( r1

2 + r22 + r1 acute r2)

= 1

3 acute 22

7 acute 28 (152 + 122 + 15 acute 12)

= 22 4

3

acute acute (225 + 144 + 180)

= 22 4

3

l

===

h r r21 2

2

2 28 14 8

64 36

+ minus( )

आकती 721

r2

r1

h l

आकती 722

28 सषमी

12 सषमी

15 सषमी

148

2 + pr22

3 ph(r1

2 + r22 + r1 acute r2)

= 1

= 311488 घसषमी

7)

परीघ1 = 2pr1 = 132

r1 = 1322p

= सषमी

परीघ2 = 2pr2 = 88

r2 = 882p

= सषमी

आकती 723

r2

r1

l = h r r21 2

2+ minus( )

l = 2 2

+

l = सषमी

149

महणतात

qP

O

Q

B

M

आकती 725

कस AYB

A

X

100degB

Y

Oआकती 724

150

आकती 726

q = 360deg

qr

A1 = pr2

q = 180deg

qr

A2 = 1

2 pr2

q = 90deg

qr

A3 = 1

4 pr2

q = 60deg

qr

A4 = 1

6 pr2

AA1 360deg 360

3601= 1 acute pr2

A2 180deg 1

2

1

2 acute pr2

A3 90deg 1

4

1

4 acute pr2

A4 60deg

A q q360

q360

acute pr2

πθ

360

151

आकती 727

q = 360deg

l1 = 2pr

q = 180deg

l2 = 1

2 acute 2pr

q = 90deg

l3 = 1

4 acute 2pr

q = 60deg

l4 = 1

6 acute 2pr

q qq q

l1 l2l3

l4

(q)q

(l)

l1 360deg360

3601= 1 acute 2pr

l2 180deg180

360 = 1

2

1

2 acute 2pr

l3 90deg90

360 = 1

4

1

4 acute 2pr

l4 60deg

l qq

360

q360

acute 2pr

l

r2 360πθ

=

परीघ = q

360

152

acute pr2 I

acute 2pr

θ

π360 2=l

r II

A = lr

r2

2

A = 1

2 lr = lr

2

तसषच A

π πθ

r

l

r2 2 360= =

A BO

21150deg

360 acute pr2

= 150

360

22

= 1155

acute 2pr = 150

3602

22

= 55 सषमी

आकती 728

153

2

2 acute PR = 3

2 acute 12 = 6 3

2 QR acute PQ

= 1

2 acute 6 3 acute 6

= 18 3 = 18 acute 173 = 3114 सषमी2

acute pr2

A(P-QAB) = 60

= 1

P

QA

B 12

R6

आकती 729

154

=

= 360

acute 22

7 acute

X

A B

CD 7 सषमी

O

B

C

60deg

M N

आकती 730

आकती 731

155

7)

P

AB

C

P

X

Q

YO

RM

N

L

NM

आकती 732

आकती 733

आकती 734

आकती 735

आकती 736

P

Q

xy

z

R

S

A

B

156

= q360

OP

PX

Q

Y

आकती 739

आकती 738

P Q

rO

T

X

Y

A B

Oतवशाल

वतमळखड

आकती 737

157

= 1

2 acute OQ acute PT

= 1

2 acute r2 sin q ---------------- (ii)

360 acute pr2 - 1

2 r2 sin q

= r2 pq360 - sinq

2

360 acute pr2

= 30

= 314 acute 12

X

12

A B

30deg

O

A(D OAB) = 1

2 r2 acute sin q

= 1

2 acute 144 acute 1

2

( sin 30 = 1

2)

आकती 740

158

360 - sinq2

= 123 14 30

360

30

22 sintimes

minus

= 1443 14

12

1

2 2

minus

times

= 144

4

3 14

31

minus

= 363 14 3

3

minus

= 36

360 acute pr2

= 90

= 1

4 acute 314

A(DAPB) = 1

= 1

2 acute 10 acute 10

P

XA B

आकती 741

159

7 3 = 1732)

= 6 acute 3

4 acute 142

= 22

7 acute 14 acute 14

आकती 742

आकती 743

आकती 744

P Q

O

R2

X

A

B C

45deg7 2 7 2

160

(A) 14p (B) 7p (C) 7p (D) 14p

p सषमी

PQ

A

R

P

QO

R

आकती 745

आकती 746

4

161

7)

10

आकती 747

P

B8 4

162

= - θ360

acute pr2

= - 90360

acute 3141

acute 4001

= -314

=

=20 2

=A(A-PCQ)-A(c ABCD)

= θπ

3602times times

r -

2

= 90360

acute314(20 2 )2-(20)2

= -

=

आकती 748A

P

B

Q

X

C

D

163

OQ=OB-BQ=

OE=OD-DE=

R2-9R=R2-10R+25

R=

AQ=2r=AB-BQ

2r=50-9=41

r= =

rrr

आकती 749

APO

E

F

B Q

C

D5

9

12

164

1 3

4 2 1

2 3 3 4 1ः1 5 (1) BQ

BC (2) PQ

AD (3)

BC

DC (4) DC AD

QC PQ

acuteacute

2 PN

NR=

PM

MQ=

3

6 QP = 224 7 x = 6 AE = 18 8 LT = 48 9 x = 10

= XQQE

= XRRF

9 3 A(D PQR) 4

5

4 MN = 15 5 20 सषमी 6 4 2

PF

2

2 20 45 45 - 20 25 चौरस एकक

1 (1) (B) (2) (B) (3) (B) (4) (D) (5) (A)

2 7

13 7

20 13

20 3 9 सषमी 4 3

4 5 11 सषमी 6 25

81 7 4

8 PQ = 80 QR = 280

3 RS = 320

3 9

PMMQ

= PXXQ

PMMR

= PYYR

10 AXXY

= 3

2 12 3

2 3 2

2

+ 5

3 को-को 5

3 15

165

2 1

2 2

िराििच 221 12 2 2 10 4 18 सयमी

िराििच 351 PS = 18 RS = 10 2 (1) 75 (2) 12 कििा 6 3 (1) 18 (2) 10 (3) 5 4 4

166

सरावसच 511 (1) 2 2 (2) 4 2 (3) 11

2 (4) 13 (5) 20 (6) 29

2

3 (-1 0) 7 7 तकवा -5

1

3

1

3 (2)

4

7

11

7minus

(3) 0

13

3

3 2ः7 4 (-6 3)

5 2ः5 k = 6 6 (11 18) 7 (1) (1 3) (2) (6 -2) (3) 19

3

22

3

8 (-1 -7) 9 h = 7 k = 18 10 (0 2) (-2 -3)

11 (-9 -8) (-4 -6) (1 -4) 12 (16 12) (12 14) (8 16) (4 18)

2 (1) 2 (2) -3

8 (3)

5

2 (4)

5

4 (5) 1

4 -5 1

5 -

2

3 6 k = 5 7 k = 0 8 k = 5

167

5 (-7 0) 6 (1) a 2 (2) 13 (3) 5a 7 minus

1

3

2

3

13 5 2 13 37 14 (1 3) 16 25

6

13

6

6 17 (7 3)

21 (7 6) व (3 6) 22 10 व 0

1 cosq = 24

25 tanq = 7

24 2 secq = 5

4 cosq = 4

5

3 cosecq = 41

9 sinq = 9

41 4 secq = 13

5 cosq = 5

13 sinq = 12

13

5 sin cos

sec cosec

θ θθ θ

++

= 1

2

2 cos60 = 60

61 3 sinq = 2

5 cosq = 1

5 cosecq = 5

2 secq = 5 cotq = 1

2

4 sinq = 5

13 cosq = 12

13 cosecq = 13

5 tanq = 5

12 cotq = 12

5

3 मीटर

168

2 2035 लीटर 3 7830 गोळा 4 2800 नाणी (p = 22

7 घषऊन) 5 6336 रपष

rrr

C1
Title
Text
C2

5

A( D BDC)A( D ABC)

B

P

D

A

Cआकती 112

AD = 16 - 9 = 7

A( D ABD)A( D ABC)

= ADAC

= 7

A( D BDC)A( D ABC)

= DCAC

= 9

A( D ABD)A( D BDC)

= ADDC

= 7

6

A( D ABC)A( D ADB)

काढा

आकती 115

D

C

A B

आकती 113

आकती 114

P

Q

T

R S

P

A

B C

D

P

Q

A

B CD

7

= AQQC

A(D APQ)A(D PQB)

= APPB

= AQQC

A(D APQ)A(D PQB)

= A(D APQ)A(D PQC)

APPB

= AQQC

आकती 117

P Q

A

B C

l

8

कती ः

bull ABBC

A

B C

D

आकती 119

साधय ः AE

EB =

CA

CB

A B

C

D

E

आकती 120

आकती 118

A

B C

QP l

9

P

A

B

CN

M

आकती 122

CB = CD (IV)

AEEB

= ACCD

AEEB

= ACCB

A

B CD

N

M

आकती 121

आतण

10

= PQQR

P

Q

A l

B m

C n

D

t1

t2

R

ABBC

= PDDC

PDDC

= PQQR

ABBC

= PDDC

= PQQR

= BDDC

bull ABBC

व PQQR

कती ः

P

Q

A lB m

C n

t1

R

t2

आकती 123

ABBC

= PQQR

11

आकती 127

तर BPPA

= BQQC

तर ABBC

= ADDC

तर ABBC

= XYYZ

आकती 125

P

Q

A

B C

X Y

A lB

m

C

Z

A

B C

D

आतण PSSQ

= PTTR

आकती 128

आकती 126

P

Q

TS

R

12

ADDB

= AEEC

1 8

5 4

= AE

72

AE = 1 8 7 2

5 4

acute = 24

PRRQ

= PSSQ

15

20 =

12SQ

SQ = 12 acute 20

15 = 16

SQ = 16

P

Q

O O

R

S

AC = DF ( )

5 4

9

= DF DF =

A B

C D

E F

आकती 130

आकती 131

आकती 129

A

B C

D E

13

कती ः

= AEEB

आकती 133

आकती 132

A

B C

DE

आकती 136

P

Q R35 15

37

M

P

Q

R

M

36

4

9

10

P

QR

N M

P

Q

R6

8

10

7M

ABBC

= ADDC

AEEB

= ADDC

( ) (II)

AB

= EB

(1) (2) (3)

14

काढा

आकती 137

आकती 138

आकती 139

आकती 140

P Q

A

B C60deg

60deg

P

Q N

M

255

7

P Q

A B

CD

= AQQC

P

Q

N

M

40

25

14

Ax

B

C

D

E

F8

12

4

आकती 141

15

िाढा

P

X

QFE

D

R

आकती 142

T

L

NM

6

10

8

A

x

x - 2

x + 2

x + 5B C

D

आकती 143

आकती 144

XP =

= (II)

16

आतण ABDE

= BCEF

= ACDF

A

B C

D

E F

आकती 146

P

A

QB RC

17

= ANNC

= NCAN

MB + AM

AM =

NC + AN AN

ABAM

= ACAN

ABPQ

= ACPR

= BCQR

ABPQ

= BCQR

= ACPR

D ABC ~ D PQR

आकती 147

NM

P

Q

A

B C

R

18

आकती 149

आकती 150

ETH KLM ETH RST

KLRS

= LMST

L SM1

T2

K15

3

R

PQYZ

= QRXY

= PRXZ

Z

L

M

X

Y N

Z

PX

Q

YR

19

आकती 151

आकती 152

20 Z 30

M

P

X

NY

14 21

N10M

P

U

WV

3

5

6

नाहीत

PMUV

= 6

3 = 2

1

MNVW

= 10

5 =

2

1

PMUV

= MNVW

XYMN

= 14

21 = 2

3

YZNP

= 20

30 =

2

3

XYMN

= YZNP

20

ETH PAB ETH QAC ( )

पक ः 2QA = QC

2QB = QD

= 1

2 (I)

2QB = QD QBQD

= 1

2 (II)

QAQC

= QBQD

QAQC

=QBQD

AQCQ

= QBQD

= ABCD

परत AQCQ

= 1

2 AB

CD =

1

2

2AB = CD

आकती 154D

Q

AB

C

P

Q

A

B C

आकती 153

21

आकती 155

आकती 156

आकती 157

जर AP = 7 BQ = 8 BC = 12

आकती 158P

Q

A

B C

D

E

A

B

C

75deg

10 L

NM

P

3

Q

5

4

6

8 R

A

C4

x6

8

P

Q R B

22

SR = 5PQ

आकती 159

= BPDP

D ABP ~ D CDP

S

P Q

A

R

D

O

AB

C

E

T

DA

BC

D

P

A

B

C

आकती 161

आकती 162

A

B C

आकती 163

23

= AB2

PQ2 =

BC2

QR2 = AC2

PR2

= BC AD QR acute PS

= BCQR

acute ADPS

(I)

ADPS

= ABPQ

(II)

ABPQ

= BCQR

= ACPR

(III)

A(D ABC) A(D PQR)

= BCQR

acute ADPS

= BCQR

acuteBCQR

= BC2

QR2 = AB2

PQ2 =

BC2

QR2

P

Q

A

B CD

RS

आकती 164

24

A(D ABC) A(D PQR)

= AB2

16

25 = AB2

PQ2 ABPQ

= 4

A(D ABC) A(D PQR)

= ( )

( )

2

5

2

2 = 4

64

A(D PQR) = 4

25

4 = 400

= AB2

CD2

A(D APB) A(D CPD)

= AB2

आकती 165

P

AB

C D

25

A(D ABC) A(D PQR)

= AB2

= 22

32 =

A(D ABC) A(D )

= = ABPQ

=

DF = DP + = + = 3x

A(D FDE) A(D FPQ )

= =( )

( )

3

2

x

x = 9

4

A(D FDE) = 9

4 A( D FPQ ) = 9

4 acute =

= -

=

P

D

12580

26

=BCPR

=CAPQ

तर

(A) D PQR ~ D ABC

(B) D PQR ~ D CAB

(C) D CBA ~ D PQR

(D) D BCA ~ D PQR

(A) EFPR

= DFPQ

(B) DEPQ

= EFRP

(C) DEQR

= DFPQ

(D) EFRP

= DEQR

(A) 2 2 (B) 4 (C) 8 (D) 4 2

तकती

आकती 167

A

PR

Q

B C

आकती 168

D

E F P

Q

R

आकती 169

A

B C

D

E F

आकती 170

A

B C

D

E F

27

आकती 173

आकती 171

आकती 172

(A) ABAC =

AXAY (B)

AXXB =

AYAC

(C) AXYC =

AYXB (D)

ABYC =

ACXB

AB = 6 DC = 8

A

B C

D

68

P

Q

R

N SM

A

B CD

आकती 174

A

B C

X Y

28

आकती 176

3

A

B C

D

x 64 - x

5

Eआकती 175

P

Q

AB

C

D

R

S

P

X

Q

Y

xxOO RM

BC = 70 CD = 80 PS = 280 तर PQ

QR RS काढा

परत MPMQ

= MPMR

PXXQ

= PYYR

आकती 177

29

P

A

B C

D

आकती 179

= PCBP

=

AX +BX

BX =

ABBX

= (I)

BABX

= ACXY

= AC9

AC = (I) वरन

X

Y

A

B Cआकती 180

rrr

आकती 178

A

B C

X

Y

आकती 181E

F

A

B CD

G

30

आकती 21P Q

R

31

30deg

60deg90degM

L

Nआकती 22

2 acute LN

MN = 1

2 acute LN LM = 3

2 acute LN

= 1

2 acute 6 = 3

2 acute 6

32

XY = 1

2 acute ZY

XZ = 1

2 acute ZY

XY = XZ = 1

2 acute 3 2

कती ः

आकती 24

x

y

x

z

आकती 23

45deg

Z

X Y

33

आकती 26

आकती 25

A

B

D

C

acute

R

P Q

S

QS

PS=

SR

SQ

QS

PS=

SR

QS

34

आकती 27

A

B C

D

A

B C

P

Q R

ABAD

= BCDB

= ACAB

= BC

DC = ACBC

ABAD

= ACAB

BC

DC = ACBC

AC2 = AB2 + BC2

35

आकती 210

Q R

P

S

36

BC = 1

2 acute AC AB = 3

2 acute AC

BC = 1

2 acute 14 AB = 3

2 acute 14

BC = 7 AB = 7 3

आकती 211

= 3 acute 4 = 12 आकती 213

A

B C

14

60deg

30deg

P 9

16

N

RQ

AD = DC = 1

DC = 8 AD = 8

BC = BD + DC

= 5 + 8

= 13आकती 212

CB

A

D

82

5

37

= 10 8acute

= 5 2 8acute acute

= 5 16acute

= 4 5

z

xS

8

10

P

ावरन x = 4 5 y = 12 z = 6 5

= 4 52( ) + 82

= 16 acute 5 + 64 = 80 + 64 = 144 QR = 12

= 4 52( ) + 102

= 16 acute 5 + 100 = 80 + 100 = 180 = 36 acute 5 PQ = 6 5

आकती 215

P

Q R12

9

38

उकल ः l = 5 m = 13 n = 12 l2= 25 m2 = 169 n2 = 144 m2 = l2 + n2

आकती 217

आकती 218

P

Q M R

10

8

M

N P

Q

आकती 216

C

AB

D

39

आकती 219

AB = BC

ETH BAC =

AB = BC = acute AC

= acute 8

= acute 2 2

=

S

R

P

6

30deg

D

FE

G 8

12

P

R M Q

आकती 221

आकती 222

आकती 220

A

CB

8

40

p2 = b2 - (II)आकती 223D

A

CxB

p

a - x

bc

DB = a + x

c2 = (a + x)2 + p2

c2 = a2 + 2ax + x2 + p2 (I)आकती 224

A

B

cb

x a

p

D C

41

A

B CM D

= a2 + 2ax + b2

42

P

Q

9

RM

आकती 226

आकती 227

QM = MR = 1

2QR

290 = 2 acute 81 + 2QM2

290 = 162 + 2QM2

P

Q

T

R

S

= (2PT)2 + (2QT)2

= PR2 + QS2

43

2

P

Q T RS

आकती 228A

P Q

A BT

RSआकती 230

44

45

आकती 232

A

B

C

M

L

आकती 233

A

BC D

आकती 231

P

QM Naa

aRS

a a

46

P

Q60deg 60deg

T RS

आकती 234

15 15

A B

CD

25

ICT Tools or Links

rrr

QS = 1

आकती 235

47

C

D EF

आकती 31

3 वतमळ

48

आकती 32

आकती 33

आकती 34

PQ R

O

A

T

D

B

C

SM

P

A

Q

R

49

आकती 35

आकती 36

आकती 37

A

B

C

A B

C

PQ

A B

l

50

कती ः

आकती 38

आकती 39

AR

B

l m n

CP

Q

A

P

OB

51

O A

l

आकती 310

आकती 311

ABC

O

l

52

आकती 312

आकती 314

M

A B

C

D

A

BC

53

P

A

Q

D

P

A

Q

D

A

D

B

C

आकती 316

आकती 317

54

आकती 318

P T

O S

Q R

a

b

c

55

M

N

O R

M

N

O R

आकती 320

आकती 321

A B

C

आकती 319

ICT Tools or Links

56

आकती 323

आकती 322

X Y Z

Y X Z

57

आकती 324

R T S

l p

KN M

आकती 325

आकती 326

A C B

l

(a)

A

C

B

l

(b)

58

आकती 327

A

P R Q

B

आकती 328

A

l

B

CD

E

59

आकती 329

Y

kC

A BX

आहष

आकती 330

P

Q

Oq B

A

60

आकती 331

A

F

B

40deg70deg

70deg

G

C

D

I

E

J

61

आकती 332

A

BC

D

E

P

Q

A

B

CD

E

आकती 333

P

QM

NO

R

S

आकती 334

62

A

B

C

O

63

PQ

T

RS

आकती 336

आकती 337

G

EF

64

आकती 340

D

E

A B

CH

I

F

G

आकती 339

A

BC

D

आकती 338

Q

R S

65

आकती 341

P QC

T

RS

कती II ः

आकती 342

A B

C

D

P Q

66

आकती 344

आकती 345

A

B

C

x2x

2xE

O

A

B C

D

2 m(कस BDC)

A

B

CC

C

67

ETHEAC + ETHEAB = 1

2 m(कस EC) + 1

ETHBAC = 1

= 1

2 [m(कसBEC)] = 1

= 1

2 m(कस BCE) - 1

2 m(कस CE)

(III) वरन

= 1

आकती 346

A

BC

OE

68

आकती 349

AB

C

D

आकती 347

आकती 348

P

Q

C

T

R

S

A

B

C

X

M

2 (I)

69

= 1

ETHADC + = 1

2 + 1

= 1

2 [ + m(कस ADC)]

= 1

70

xx

A

BC

Dआकती 350

L

N

35deg

M

आकती 351

35 = 1

2 m(किMN)

2=145deg

ETH M = 145deg

2

71

= 2 acute 145deg2

= 145deg

(ii) ETH STQ = 1

mETHSTQ = 1

2 [m(कस PR) + m(कस SQ)] = 1

2 [48 + 68]

= 1

2 acute 116 = 58deg

= ETHSTQ

= 1

2 [ + ]

आकती 352

P

Q

TR

S24deg

58deg

72

आकती 353

E

A

B

C

D

(i) ETHAEC = 1

(ii) ETHCEB= 1

आकती 354

E

A

BC

D

73

ETHBED = 1

आकती 356

E

A

B

C

D

A B

C

O

आकती 357

P

Q

R

S

O

T

R S

आकती 358

आकती 355

74

आकती 359

आकती 360

आकती 361

E

FM

N

S

EA

B

CD

P

W

Y

Z

T

X

आकती 362A

B

C

आकती 363

A

B

C

D

75

2 m(कसADB)

आकती 364

आकती 364(i)

M M MF

E

A

A A

B B BC C C

D DD

xy

x

(i) (ii) (iii)

M

A

B CD

76

y = ETH ABC = 1

2ETH AMB = 1

2 m(कस ADB)

2 m( ) (2) मध ष तसद ध

180 - = 1

2 m(कस AFB)

= 1

2 [360 - m( )]

180 - ETHABC = 180 - 1

2 m(कस ADB)

-ETHABC = - 1

2 m( )

ETHABC = 1

2 m(कस ADB)

MA

B CDx

y

x

MF

E

A

B C

D

ETH ABC = 1

आकती 365

A

B C

D

T

77

P

Q

U

T

O

R

S

AE

DE=

CE

P

E

A

BC

D

आकती 367

आकती 366

जर ETH PQR = 1

78

= CE acute ED

आकती 368

E

AB

C

D

79

आकती 369

ET

EB=

EA

EA acute EB = ET2

आकती 370

आकती 371

आकती 372

B

C D E

A

E

A

B

C

D

EA

B

T

A

B

E

T

80

आकती 373

आकती 374

P

Q

R

S

उदा (2)

S

M

P

N

R

81

आकती 375

P QYM

X

आकती 376

उदा (4)

P

Q

T O

R

S

82

E

O A

B

CD

आकती 380

P

Q

R

S

आकती 381

M

ND

R

S

P

Q

T

R

S

H

G

FE

D

आकती 377

आकती 378

आकती 379

83

84

P

o

l

M

L

K

A

B

C

O

आकती 382

आकती 383

आकती 384

पासन

85

X Y

A

B

Z

आकती 387

आकती 385

आकती 386

MN

T

RS

E

F

A B

CD G

HT

86

XY

A

B

Z

P

Q

O

l

R S

P Q

A

BC

Tआकती 390

आकती 389

आकती 388

87

W

TZ

X

Y

आकती 392

आकती 393

P

Q

A

T

R

S

P

Q

O

R

S

आकती 391

88

A

B

C

DE

आकती 394

आकती 396

आकती 397

P

Q

R

O

E

A

B

CD

E F

G H

आकती 395

89

OA B

C

D

आकती 399

M

N

L O

आकती 398

आकती 3100

P Q

R

S

90

आकती 3101

PQ

M

N

RS

rrr

ICT Tools or Links

आकती 3103D

E

OF

A

B C

आकती 3102

A

B

C

ED

91

92

AB

PQ=

BC

QR=

AC

PR=

3

2 (I)

54

PQ=

42

QR=

60

PR=

3

2

PQAB

C

R

93

ABAcentB = BC

3

A

Acent

B CCcent

आकती 42AB

C

42सषमी

54 सषमी

60सषमी

PQ

R

28सषमी

36 सषमी

40सषमी

94

आकती 46

A

Acent

B

C

Ccent

BAcentBA = BC

BC

cent = 3

5 BC

आकती 45

A

T1T2 T3

T4T5

B C

आकती 44

A

Acent

CCcentB

95

आता BC

BCprime=

5

7

A

Acent

BC Ccent

आकती 48

A

Acent

B C1 2 3 4 5 6 7

Ccent

96

आकती 49

P

l

C

P XC

l

आतण BC

MN = 5

आतण PQ

LT = 3

आतण RS

XY =

3

आतण AM

AH = 7

97

आकती 411l

AB

C

D

आकती 412

ABM

C

ND

R

98

PM

A

B

O

आकती 413

PO

A

B

99

PQ= 7

5 तर

LN= 4

= 6

5

rrr

100

(2 0) ( -5

17

2) (0 -3) असष

आकती 51

PQ-2 1 5-3 20-4 3

O-5 4

R-1

101

d(PQ) = y2 - y1

d(A B) = x2 - x1

d(PQ) = y2 - y1

आकती 52

A (x1 0) B (x2 0)X` X

Y

Y`

O

आकती 53

(0 y2) Q

(0 y1) P

XX`

Y

Y`

O

A(x1 y1)

L(x1 0)

B(x2 y1)

M(x2 0)X` X

Y`

Y

O

P (x1 y2)(0 y2) R

Q (x1 y1)(0 y1) S

X` XY`

Y

O

102

AB = 3 - = BC = - = 4

AC2 = + = AC = 17

AD = d(A D) = x2 - x1 BD = d(B D) = y2 - y1

= x x y y2 1

2

2 1

AB = x x y y2 1

2

2 1

आकती 56

XX`

B

Y

Y`

A(2 3)

C(-2 2)

4

1-1

3

-3 2

-2

2

-2 3

-3

1

-1 0

आकती 57

XP

X`

Y

Y`

A(x1 y1)

B(x2 y2)

D(x2 y1)

O

103

2

2 1

2

1 2

2

1 2

x1 = 2 y1 = 3 x2 = -2 y2 = 2

AC = x x y y2 1

2

2 1

= minus( ) + minus( )4 12 2

= 16 1+

= 17

AB = x x y y2 1

2

2 1

BC = x x y y2 1

2

2 1

2 = 4

XX`

B

Y

Y`

A(2 3)

C(-2 2)

O

आकती 58

d(P Q) = x x y y2 1

2

2 1

2

2 1

2

1 2

104

2

2 1

= 5 1 7 12 2

= 6 82 2( ) + minus( )

= 36 64+

2

2 1

2minus( ) + minus( ) (x1 y1) (x2 y2)

d(A B) = 1 3 2 22 2

= 1 3 42 2+( ) + minus( )

= 16 16+

= 32 = 4 2 (I)

d(B C) = 9 1 10 22 2minus( ) + minus +( )

= 64 64+ = 8 2 (II)

= 144 144+ = 12 2 (III)

105

= 3 12 2( ) + ( ) = 10 (I)

= 0 102 2( ) + minus( ) = 100 (II)

PR = 3 6 3 62 2minus( ) + +( )

= minus( ) + ( )3 92 2 = 90 (III)

ासाठी 1002( ) आतण 10 90

2

AB = 1 4 7 22 2minus( ) + minus( ) = 9 25+ = 34

BC = 4 1 2 12 2+( ) + +( ) = 25 9+ = 34

= 9 25+ = 34

DA = 1 4 7 42 2+( ) + minus( ) = 25 9+ = 34

AC = 1 1 7 12 2+( ) + +( ) = 4 64+ = 68

BD = 4 4 2 42 2+( ) + minus( ) = 64 4+ = 68

आकती 59

A

B

C

D

106

[0 -(-5)]2 + [y -(-2)]2 = (0 - 3)2 + (y - 2)2

(a + 3)2 + (b + 4)2 = (a + 5)2 + (b - 0)2

a2 + 6a + 9 + b2 + 8b + 16 = a2 + 10a + 25 +b2

a2 + 6a + 9 + b2 + 8b + 16 = a2 - 6a + 9 + b2

1

2

2) आहषत

P(ab)

A(-3-4)

B(-50)

C(30)

आकती 510

107

(x - 7)2 + (y - 1)2 = (x - 3)2 + (y - 5)2

x2 - 14x +49 + y2 - 2y + 1 = x2 - 6x + 9 + y2 - 10y +25 - 8x + 8y = -16 x - y = 2 y = x - 2

25 = 9 + (y + 2)2

16 = (y + 2)2

y + 2 = plusmn 16

2)

(4) L(5 -8) M(-7 -3) (5) T(-3 6) R(9 -10) (6) W( -7

2 4) X(11 4)

108

आकती 512

AP

PB= =

6

10

3

5

AB

BC=

DE

EF

आकती 511

mn

p q

lAB

C

DEF

109

= CQQD

= mn

x x

m

n

minusminus

=1

2

n(x - x1) = m (x2 - x) nx - nx1 = mx2 - mx

mx + nx = mx2 + nx1

x(m + n) = mx2 + nx1

x = mx nx

m n2 1+

ymy ny

m n=

++

2 1 तमळषल

m n

my ny

m n2 1 2 1++

++

असतात

आकती 513

XX`

Y

Y`

A (x1 y1

) P (x y) B(x2 y2)

D(x2 0)Q(x 0)C(x1 0)O

(I)

110

x = mx nx

m n2 1+

+

= mx mx

m m2 1+

+ m = n

= m x x

m1 2

2

+( )

= x x1 2

2

+

y = my ny

m n2 1+

+

= my my

m m2 1+

+ m = n

= m y y

m1 2

2

+( )

= y y1 2

2

+

2 2

+ +

a + b2

x = mx nx

m n2 1+

+ = 2 7 3 3

2 3

23

5

times + times+

= ymy ny

m n=

++

2 1 = 2 9 3 5

2 3

33

5

times + times+

=

5

33

5

आकती 514

A (x1 y1) P (x y)

B (x2 y2)

111

आकती 516

2

1

A(x1 y1)

C(x3 y3)

G(x y)

B(x2 y2) D

आकती 515

A (-42) B (62)P (x y)

x = x x1 2

2

+ = minus +4 6

2 = 2

2 = 1

y = y y1 2

2

+ = 2 2

2

+ = 4

2 = 2

112

2

+ y = y y2 3

2

x = 2

21

2 1

2 31

x xx

+

+ times

+ = x x x2 3 1

3

+ + = x x x1 2 3

3

+ +

y = 2

21

2 1

2 31

y yy

+

+ times

+ = y y y2 3 1

3

+ + = y y y1 2 3

3

+ +

x x x y y y1 2 3 1 2 3

3 3

+ + + +

असतात

m n

my ny

m n2 1 2 1++

++

असतात

x x y y1 2 1 2

2 2

+ +

असतात

3 3

+ + + +

असतात

113

x = mx nx

m n2 1+

+ = 7 6 2 7

7 2

= - -42 14

9 = -56

9 y = my ny

m n2 1+

+ = 7 5 2 4

7 2

= minus +35 8

9 = -27

9 = -3

56

93 षतील

-4 = 2 acute r + 1 acute (-6)

2 + 1

-4 = 2r - 6

3 -12 = 2r - 6 2r = -6 r = -3

2 + 1

6 = 2s + 10

3 18 = 2s + 10 2s = 8 s = 4

आकती 517

(-7 4)

7

2

(x y)(-6 -5)TB

A

114

x = mx nx

m n2 1+

+

11 = 9 15m n

m n

++

11m + 11n = 9m + 15n

2m = 4n

mn

= 4

2 = 2

1

AP

PB = AP

PQ + QB = AP

AP + AP = AP

2AP = 1

2 (I) वरन

1 2

= minus +7 4

3 = -3

3 = -1

1 2

= 4 4

3

- = 0

3 = 0

= 2

1

2 1

= minus +14 2

3 = -12

3 = -4

2 1

times + timesminus+

= 8 2

3

- = 6

3 = 2

आकती 518

A P Q B

115

= 3

APPB

= 3

ABBP

= 2

1

आकती 519(-4 6)

(5 10)B

P

A

116

AB

C

D

El

X

Y

Xcent

Ycent

4

41

3(4 4)

(6 7)

(-2 -5)

-3 2

7

2(2 1)

-2 3

6

1

(0 -2)

-1

5

0

आकती 520

117

अ कर

(x1 y1)

(x2 y2)

y y

x x2 1

2 1

--

1 C E (2 1) (6 7)7 1

6 2

--

= 6

4 = 3

2

2 A D (-2 -5) (4 4)4 5

4 2

= 9

6 = 3

2

3 D A (4 4) (-2 -5)- -- -

5 4

2 4 = -

-9

6 = 3

2

4 B C -- -- --

5 C A -- -- --

6 A C -- -- --

x x2 1

2 1

--

x x2 1

2 1

--

x x2 1

2 1

--

m = y y

x x2 1

2 1

--

118

= 0

0 - 0 = y2- y1

0

QR = y2 - y1 आतण PR = x2 - x1

आकती 521

t

n

l

A(40)B(61)

C(34)

D(-10)0 X

Y

आकती 522

(x2 0)(x1 0)

(0 y1)

(0 y2)

l

m

X

Y

0

119

QR

PR = tanq (II)

x x2 1

2 1

--

= tanq

m = tanq

y y

x x2 1

2 1

--

=

-

- =

=

QR

PR = y y

x x2 1

2 1

-- (I)

आकती 524

A XX`

B

Y

Y`

t

l

(03)

(-30)qq

0

आकती 523

X

Y

q

qT

R

S

Q(x 2 y 2

)

(x2- x1)P(x 1

y 1)

(y2- y1)

l

O

120

x x2 1

2 1

--

4 3 = -6

7

x x2 1

2 1

--

= 2 3

1 2

1

x x2 1

2 1

--

= 1 2

4 1

--

= -1

3

- -2 0

3 k = -

- -2

3 k

-- -

2

3 k = 2

7 k = 4

121

x x2 1

2 1

--

8 6

--

= 1

2 (I)

9 8

--

= 2 (II)

7 9

--

= 1

2 (III)

7 6

--

= 2 (IV)

2) N(4 -2)

122

(A) 1

2 (B) 3

2 (C) 1

3 (D) 3

5) R (3 6

5)

(3) L (12) M (53) N (86)

123

rrr

124

sin q = cos q =

(i) sin

cos

qq

= (ii) sin q = cos (90 - )

A

B Cq

125

A

BC q

आकती 62

sinq = ABAC

cosecq = 1

sinq

= 1

ABAC

= ACAB

समख बाज

tanq = ABBC

cot q = 1

tanq

= 1

ABBC

cot q = BCAB

cosq = BCAC

secq = 1

cosq

= 1BCAC

= ACBC

tanq =sinqcosq

cot q = 1

tanq

= 1sincos

qq

=cos qsin q

cot q = cos qsin q

sinq

secq = 1

tanq

126

bull 1

127

AB

C

q

आकती 63

sin q 01

2

1

23

21

cos q 1 3

2

1

2

1

20

tan q 01

cosec q

= 1sin q

31

sec q

= 1cos q

12

cot q

= 1tan q

30

(i) sinq = BCAC

(ii) cosq = ABAC

(iii) tanq = BCAB

(iv) cosecq = ACBC

(v) secq = ACAB

(vi) cotq = ABBC

BC2+ AB2

AC2 = AC2

AC2 BC2+ AB2

AC2

128

BC2

AC2 + AB2

AC2 = 1

BC

AC

AB

AC

+

=

2 2

1

sin

cos

sin sin

2

2 2

1θθ

θθ θ

+ =

sin

cos

cos cos

2

2 2

1θθ

θθ θ

+ =

20

29

2

+ cos2 q = 1

400

841 + cos2 q = 1

cos2 q = 1 - 400

841

= 441

841

cosq = 21

29

रीत II

sinq = 20

29

(20k)2+ x2 = (29k)2

400k2+ x2 = 841k2

x2 = 841k2 - 400k2

= 441k2

x = 21k

cos q = BCAC

= 21k29k

= 2129

आकती 64

20k29k

A

B Cxq

129

5sinq = 12cosq

sin

cos

qq

= 12

5

tanq = 12

1+ 12

5

2

= sec2q

1 + 144

25 = sec2q

25 144

25

+ = sec2q

sec2q = 169

25

secq = 13

5

cosq = 5

13

sin2q = 1 - cos2q

sin2q = 1 - 5

13

2

= 1 - 25

169

= 144

169

sinq = 12

13

cosecq = 13

12

1+ tan2q = 25

7

2

tan2q = 625

49 - 1

= 625 49

49

-

= 576

49

tanq = 24

7

sec q = PRPQ

PQ = 7k PR = 25k

PQ2 + QR2 = PR2

(7k)2 + QR2 = (25k)2

QR2 = 625k2 - 49k2 = 576k2

QR = 24k

= 24k7k

= 247

आकती 65

7k

25k

PQ

R

x

q

130

2 तर 1

1

minus+

sec

cosec

θθ

1

+minus

sin

x

cos

sin

cosx

x

x+

= 1+ sin

cos

x

= ( sin )

cos

1 2

2

+ x

x

= 1 1

1 2

+( ) +( )minus

sin sin

sin

x x

x

= ( sin )( sin )

( sin )( sin )

1 1

+ +minus +

x x

= 1

1

+minus

sin

x

cosq = 3

2 secq = 2

3 sin2q + cos2q = 1

sin2q + 3

2

= 1

sin2q = 1- 3

4 = 1

4

sinq = 1

2 cosecq = 2

1

minus+

sec

cosec

θθ

= 1

2

31 2

minus

+

=

3 2

33

-

= 3 2

3 3

-

cosq = 3

2

cos 30deg = 3

3

1

minus+

sec

cosec

θθ

= 1

2

31 2

minus

+

=

3 2

33

-

= 3 2

3 3

-

131

cot q = x + y

2a (III)

b

-2

(IV)

y x

b

y x

a

minus

+

2 2

= 1

y x

b

y x

a

minus( )minus

+( )4 42

2

= 1

तकवा y x

b

y x

a

minus

+

2 2

= 4

1 जर sinq = 7

2 जर tanq = 3

3 जर cotq = 40

sec cosec

θ θθ θ

++

(1) sin

cos

2 qq + cosq = secq

(2) cos2q(1 + tan2q) = 1

132

आकती 66

(3) 1

1

minus+

sin

θθ

= secq - tanq

(6) 1

sin

θθ1minus

(9) जर tanq + 1

tan2 q = 2

(10) tan

tan

cot

A

A1 12 2 2 2+( )

++( ) = sin A cos A

(11) sec4A (1 - sin4A) - 2tan2A = 1

(12) tan

sec

θθ minus1

= tan sec

tan sec

1

133

AB BC

(I)

tan 60deg = 3 (II)

AB BC

= 3 (I) व (II) वरन

AB = BC 3 = 10 3

60deg10 मी

A

BC

आकती 67

आकती 69

B

MA

ा

आकती 68

C

MA

134

1

3 =

40x

x = 40 3

x

A

B C

M

30deg

40 मी

x

आकती 610

A

B C 50 Dx

h

35deg61deg

आकती 611

135

18 = h

07 = h

x + 50 h = 07 (x + 50)

10h = 7 (x + 50) (II)

18x = 7(x + 50)

18x = 7x + 350

11x = 350

x = 350

11 = 3182

आता h = 18x = 18 acute 3182

= 5728 मी

R

T

S

Q

P

44

x

y

52deg

29deg

38deg

61deg

136

055 = x

y + 4

x = 055(y + 4) (I)

tan 38deg = xy

[ SP = TQ = x]

078 = xy

x = 078y (II)

078y = 055(y + 4) (I) व (II) वरन

78y = 55(y + 4)

78y = 55y + 220

23y = 220

RS = y + 4 = 10 + 4 = 14

CA= CD = y मी

137

tan30deg = BCBD

1

3 = x

10

x = 10

3

y = 20

3

x + y = 10

3 + 20

3

= 30

3

x + y = 10 3

A

B

C

Dआकती 613

138

(A) 1 (B) 0 (C) 1

2 (D) 2

(A) 1

2 (B) 2 (C) 3

2 (D)

2

3

2 जर sinq = 11

4 जर secq = 13

(6) 1

1

1minus+

(8) tan

sec

tan

θθ

θθ+

=minus

1

(9) tan

tan

3 1

1

139

(10) sin cos

sin cos sec tan

=minus

1

rrr

140

2 घन

4 शकक

3 acute pr2h

l

h

b

lh

h

r

141

आकती 71

30 सषमी

आकती 72

21 सषमी

10 सषमी

3 pr3

उदा(1)

आकती 73

r

उदा(2)

142

1

3 acute 2pr3

= 2pr3 - 2

3pr3

= 6pr3 - 2pr3

3 =

4pr3

3

कती ः

आकती 74

2r

r

143

7)

= 22

=

( )

43

3

2

π

r

R H

=times( )times

43

30

10 6

3

times times

43

30 30 30

10 10 6 = 60

144

= 24 182 2+

= 576 324+

= 900

l = 30 मी

= 2prH + prl

= pr (2H + l)

= 22

7 acute 24 (2 acute 15 + 30)

= 22

7 acute 24 acute 60

= 452571 चौमी

3 pr2h

= pr2 H h+

1

3

= 22

7 acute 242 (15 + 1

3 acute 18)

= 22

आकती 77

18 मी

24 मी

15 मी

145

14 तममी

635 सषमी

10 सषमी

7 सषमी

आकती 710

आकती 711

आकती 713

आकती 712

3 सषमी

4 सषमी

10 सषमी

146

आकती 716

शककछषद

आकती 715

14 सषमी

30सषमी

आकती 714

42 सषमी

r1

hl

r2

147

1 2

2 + pr22

3 ph (r1

2 + r22 + r1 acute r2)

22

7)

= 1

3ph ( r1

2 + r22 + r1 acute r2)

= 1

3 acute 22

7 acute 28 (152 + 122 + 15 acute 12)

= 22 4

3

acute acute (225 + 144 + 180)

= 22 4

3

l

===

h r r21 2

2

2 28 14 8

64 36

+ minus( )

आकती 721

r2

r1

h l

आकती 722

28 सषमी

12 सषमी

15 सषमी

148

2 + pr22

3 ph(r1

2 + r22 + r1 acute r2)

= 1

= 311488 घसषमी

7)

परीघ1 = 2pr1 = 132

r1 = 1322p

= सषमी

परीघ2 = 2pr2 = 88

r2 = 882p

= सषमी

आकती 723

r2

r1

l = h r r21 2

2+ minus( )

l = 2 2

+

l = सषमी

149

महणतात

qP

O

Q

B

M

आकती 725

कस AYB

A

X

100degB

Y

Oआकती 724

150

आकती 726

q = 360deg

qr

A1 = pr2

q = 180deg

qr

A2 = 1

2 pr2

q = 90deg

qr

A3 = 1

4 pr2

q = 60deg

qr

A4 = 1

6 pr2

AA1 360deg 360

3601= 1 acute pr2

A2 180deg 1

2

1

2 acute pr2

A3 90deg 1

4

1

4 acute pr2

A4 60deg

A q q360

q360

acute pr2

πθ

360

151

आकती 727

q = 360deg

l1 = 2pr

q = 180deg

l2 = 1

2 acute 2pr

q = 90deg

l3 = 1

4 acute 2pr

q = 60deg

l4 = 1

6 acute 2pr

q qq q

l1 l2l3

l4

(q)q

(l)

l1 360deg360

3601= 1 acute 2pr

l2 180deg180

360 = 1

2

1

2 acute 2pr

l3 90deg90

360 = 1

4

1

4 acute 2pr

l4 60deg

l qq

360

q360

acute 2pr

l

r2 360πθ

=

परीघ = q

360

152

acute pr2 I

acute 2pr

θ

π360 2=l

r II

A = lr

r2

2

A = 1

2 lr = lr

2

तसषच A

π πθ

r

l

r2 2 360= =

A BO

21150deg

360 acute pr2

= 150

360

22

= 1155

acute 2pr = 150

3602

22

= 55 सषमी

आकती 728

153

2

2 acute PR = 3

2 acute 12 = 6 3

2 QR acute PQ

= 1

2 acute 6 3 acute 6

= 18 3 = 18 acute 173 = 3114 सषमी2

acute pr2

A(P-QAB) = 60

= 1

P

QA

B 12

R6

आकती 729

154

=

= 360

acute 22

7 acute

X

A B

CD 7 सषमी

O

B

C

60deg

M N

आकती 730

आकती 731

155

7)

P

AB

C

P

X

Q

YO

RM

N

L

NM

आकती 732

आकती 733

आकती 734

आकती 735

आकती 736

P

Q

xy

z

R

S

A

B

156

= q360

OP

PX

Q

Y

आकती 739

आकती 738

P Q

rO

T

X

Y

A B

Oतवशाल

वतमळखड

आकती 737

157

= 1

2 acute OQ acute PT

= 1

2 acute r2 sin q ---------------- (ii)

360 acute pr2 - 1

2 r2 sin q

= r2 pq360 - sinq

2

360 acute pr2

= 30

= 314 acute 12

X

12

A B

30deg

O

A(D OAB) = 1

2 r2 acute sin q

= 1

2 acute 144 acute 1

2

( sin 30 = 1

2)

आकती 740

158

360 - sinq2

= 123 14 30

360

30

22 sintimes

minus

= 1443 14

12

1

2 2

minus

times

= 144

4

3 14

31

minus

= 363 14 3

3

minus

= 36

360 acute pr2

= 90

= 1

4 acute 314

A(DAPB) = 1

= 1

2 acute 10 acute 10

P

XA B

आकती 741

159

7 3 = 1732)

= 6 acute 3

4 acute 142

= 22

7 acute 14 acute 14

आकती 742

आकती 743

आकती 744

P Q

O

R2

X

A

B C

45deg7 2 7 2

160

(A) 14p (B) 7p (C) 7p (D) 14p

p सषमी

PQ

A

R

P

QO

R

आकती 745

आकती 746

4

161

7)

10

आकती 747

P

B8 4

162

= - θ360

acute pr2

= - 90360

acute 3141

acute 4001

= -314

=

=20 2

=A(A-PCQ)-A(c ABCD)

= θπ

3602times times

r -

2

= 90360

acute314(20 2 )2-(20)2

= -

=

आकती 748A

P

B

Q

X

C

D

163

OQ=OB-BQ=

OE=OD-DE=

R2-9R=R2-10R+25

R=

AQ=2r=AB-BQ

2r=50-9=41

r= =

rrr

आकती 749

APO

E

F

B Q

C

D5

9

12

164

1 3

4 2 1

2 3 3 4 1ः1 5 (1) BQ

BC (2) PQ

AD (3)

BC

DC (4) DC AD

QC PQ

acuteacute

2 PN

NR=

PM

MQ=

3

6 QP = 224 7 x = 6 AE = 18 8 LT = 48 9 x = 10

= XQQE

= XRRF

9 3 A(D PQR) 4

5

4 MN = 15 5 20 सषमी 6 4 2

PF

2

2 20 45 45 - 20 25 चौरस एकक

1 (1) (B) (2) (B) (3) (B) (4) (D) (5) (A)

2 7

13 7

20 13

20 3 9 सषमी 4 3

4 5 11 सषमी 6 25

81 7 4

8 PQ = 80 QR = 280

3 RS = 320

3 9

PMMQ

= PXXQ

PMMR

= PYYR

10 AXXY

= 3

2 12 3

2 3 2

2

+ 5

3 को-को 5

3 15

165

2 1

2 2

िराििच 221 12 2 2 10 4 18 सयमी

िराििच 351 PS = 18 RS = 10 2 (1) 75 (2) 12 कििा 6 3 (1) 18 (2) 10 (3) 5 4 4

166

सरावसच 511 (1) 2 2 (2) 4 2 (3) 11

2 (4) 13 (5) 20 (6) 29

2

3 (-1 0) 7 7 तकवा -5

1

3

1

3 (2)

4

7

11

7minus

(3) 0

13

3

3 2ः7 4 (-6 3)

5 2ः5 k = 6 6 (11 18) 7 (1) (1 3) (2) (6 -2) (3) 19

3

22

3

8 (-1 -7) 9 h = 7 k = 18 10 (0 2) (-2 -3)

11 (-9 -8) (-4 -6) (1 -4) 12 (16 12) (12 14) (8 16) (4 18)

2 (1) 2 (2) -3

8 (3)

5

2 (4)

5

4 (5) 1

4 -5 1

5 -

2

3 6 k = 5 7 k = 0 8 k = 5

167

5 (-7 0) 6 (1) a 2 (2) 13 (3) 5a 7 minus

1

3

2

3

13 5 2 13 37 14 (1 3) 16 25

6

13

6

6 17 (7 3)

21 (7 6) व (3 6) 22 10 व 0

1 cosq = 24

25 tanq = 7

24 2 secq = 5

4 cosq = 4

5

3 cosecq = 41

9 sinq = 9

41 4 secq = 13

5 cosq = 5

13 sinq = 12

13

5 sin cos

sec cosec

θ θθ θ

++

= 1

2

2 cos60 = 60

61 3 sinq = 2

5 cosq = 1

5 cosecq = 5

2 secq = 5 cotq = 1

2

4 sinq = 5

13 cosq = 12

13 cosecq = 13

5 tanq = 5

12 cotq = 12

5

3 मीटर

168

2 2035 लीटर 3 7830 गोळा 4 2800 नाणी (p = 22

7 घषऊन) 5 6336 रपष

rrr

C1
Title
Text
C2

6

A( D ABC)A( D ADB)

काढा

आकती 115

D

C

A B

आकती 113

आकती 114

P

Q

T

R S

P

A

B C

D

P

Q

A

B CD

7

= AQQC

A(D APQ)A(D PQB)

= APPB

= AQQC

A(D APQ)A(D PQB)

= A(D APQ)A(D PQC)

APPB

= AQQC

आकती 117

P Q

A

B C

l

8

कती ः

bull ABBC

A

B C

D

आकती 119

साधय ः AE

EB =

CA

CB

A B

C

D

E

आकती 120

आकती 118

A

B C

QP l

9

P

A

B

CN

M

आकती 122

CB = CD (IV)

AEEB

= ACCD

AEEB

= ACCB

A

B CD

N

M

आकती 121

आतण

10

= PQQR

P

Q

A l

B m

C n

D

t1

t2

R

ABBC

= PDDC

PDDC

= PQQR

ABBC

= PDDC

= PQQR

= BDDC

bull ABBC

व PQQR

कती ः

P

Q

A lB m

C n

t1

R

t2

आकती 123

ABBC

= PQQR

11

आकती 127

तर BPPA

= BQQC

तर ABBC

= ADDC

तर ABBC

= XYYZ

आकती 125

P

Q

A

B C

X Y

A lB

m

C

Z

A

B C

D

आतण PSSQ

= PTTR

आकती 128

आकती 126

P

Q

TS

R

12

ADDB

= AEEC

1 8

5 4

= AE

72

AE = 1 8 7 2

5 4

acute = 24

PRRQ

= PSSQ

15

20 =

12SQ

SQ = 12 acute 20

15 = 16

SQ = 16

P

Q

O O

R

S

AC = DF ( )

5 4

9

= DF DF =

A B

C D

E F

आकती 130

आकती 131

आकती 129

A

B C

D E

13

कती ः

= AEEB

आकती 133

आकती 132

A

B C

DE

आकती 136

P

Q R35 15

37

M

P

Q

R

M

36

4

9

10

P

QR

N M

P

Q

R6

8

10

7M

ABBC

= ADDC

AEEB

= ADDC

( ) (II)

AB

= EB

(1) (2) (3)

14

काढा

आकती 137

आकती 138

आकती 139

आकती 140

P Q

A

B C60deg

60deg

P

Q N

M

255

7

P Q

A B

CD

= AQQC

P

Q

N

M

40

25

14

Ax

B

C

D

E

F8

12

4

आकती 141

15

िाढा

P

X

QFE

D

R

आकती 142

T

L

NM

6

10

8

A

x

x - 2

x + 2

x + 5B C

D

आकती 143

आकती 144

XP =

= (II)

16

आतण ABDE

= BCEF

= ACDF

A

B C

D

E F

आकती 146

P

A

QB RC

17

= ANNC

= NCAN

MB + AM

AM =

NC + AN AN

ABAM

= ACAN

ABPQ

= ACPR

= BCQR

ABPQ

= BCQR

= ACPR

D ABC ~ D PQR

आकती 147

NM

P

Q

A

B C

R

18

आकती 149

आकती 150

ETH KLM ETH RST

KLRS

= LMST

L SM1

T2

K15

3

R

PQYZ

= QRXY

= PRXZ

Z

L

M

X

Y N

Z

PX

Q

YR

19

आकती 151

आकती 152

20 Z 30

M

P

X

NY

14 21

N10M

P

U

WV

3

5

6

नाहीत

PMUV

= 6

3 = 2

1

MNVW

= 10

5 =

2

1

PMUV

= MNVW

XYMN

= 14

21 = 2

3

YZNP

= 20

30 =

2

3

XYMN

= YZNP

20

ETH PAB ETH QAC ( )

पक ः 2QA = QC

2QB = QD

= 1

2 (I)

2QB = QD QBQD

= 1

2 (II)

QAQC

= QBQD

QAQC

=QBQD

AQCQ

= QBQD

= ABCD

परत AQCQ

= 1

2 AB

CD =

1

2

2AB = CD

आकती 154D

Q

AB

C

P

Q

A

B C

आकती 153

21

आकती 155

आकती 156

आकती 157

जर AP = 7 BQ = 8 BC = 12

आकती 158P

Q

A

B C

D

E

A

B

C

75deg

10 L

NM

P

3

Q

5

4

6

8 R

A

C4

x6

8

P

Q R B

22

SR = 5PQ

आकती 159

= BPDP

D ABP ~ D CDP

S

P Q

A

R

D

O

AB

C

E

T

DA

BC

D

P

A

B

C

आकती 161

आकती 162

A

B C

आकती 163

23

= AB2

PQ2 =

BC2

QR2 = AC2

PR2

= BC AD QR acute PS

= BCQR

acute ADPS

(I)

ADPS

= ABPQ

(II)

ABPQ

= BCQR

= ACPR

(III)

A(D ABC) A(D PQR)

= BCQR

acute ADPS

= BCQR

acuteBCQR

= BC2

QR2 = AB2

PQ2 =

BC2

QR2

P

Q

A

B CD

RS

आकती 164

24

A(D ABC) A(D PQR)

= AB2

16

25 = AB2

PQ2 ABPQ

= 4

A(D ABC) A(D PQR)

= ( )

( )

2

5

2

2 = 4

64

A(D PQR) = 4

25

4 = 400

= AB2

CD2

A(D APB) A(D CPD)

= AB2

आकती 165

P

AB

C D

25

A(D ABC) A(D PQR)

= AB2

= 22

32 =

A(D ABC) A(D )

= = ABPQ

=

DF = DP + = + = 3x

A(D FDE) A(D FPQ )

= =( )

( )

3

2

x

x = 9

4

A(D FDE) = 9

4 A( D FPQ ) = 9

4 acute =

= -

=

P

D

12580

26

=BCPR

=CAPQ

तर

(A) D PQR ~ D ABC

(B) D PQR ~ D CAB

(C) D CBA ~ D PQR

(D) D BCA ~ D PQR

(A) EFPR

= DFPQ

(B) DEPQ

= EFRP

(C) DEQR

= DFPQ

(D) EFRP

= DEQR

(A) 2 2 (B) 4 (C) 8 (D) 4 2

तकती

आकती 167

A

PR

Q

B C

आकती 168

D

E F P

Q

R

आकती 169

A

B C

D

E F

आकती 170

A

B C

D

E F

27

आकती 173

आकती 171

आकती 172

(A) ABAC =

AXAY (B)

AXXB =

AYAC

(C) AXYC =

AYXB (D)

ABYC =

ACXB

AB = 6 DC = 8

A

B C

D

68

P

Q

R

N SM

A

B CD

आकती 174

A

B C

X Y

28

आकती 176

3

A

B C

D

x 64 - x

5

Eआकती 175

P

Q

AB

C

D

R

S

P

X

Q

Y

xxOO RM

BC = 70 CD = 80 PS = 280 तर PQ

QR RS काढा

परत MPMQ

= MPMR

PXXQ

= PYYR

आकती 177

29

P

A

B C

D

आकती 179

= PCBP

=

AX +BX

BX =

ABBX

= (I)

BABX

= ACXY

= AC9

AC = (I) वरन

X

Y

A

B Cआकती 180

rrr

आकती 178

A

B C

X

Y

आकती 181E

F

A

B CD

G

30

आकती 21P Q

R

31

30deg

60deg90degM

L

Nआकती 22

2 acute LN

MN = 1

2 acute LN LM = 3

2 acute LN

= 1

2 acute 6 = 3

2 acute 6

32

XY = 1

2 acute ZY

XZ = 1

2 acute ZY

XY = XZ = 1

2 acute 3 2

कती ः

आकती 24

x

y

x

z

आकती 23

45deg

Z

X Y

33

आकती 26

आकती 25

A

B

D

C

acute

R

P Q

S

QS

PS=

SR

SQ

QS

PS=

SR

QS

34

आकती 27

A

B C

D

A

B C

P

Q R

ABAD

= BCDB

= ACAB

= BC

DC = ACBC

ABAD

= ACAB

BC

DC = ACBC

AC2 = AB2 + BC2

35

आकती 210

Q R

P

S

36

BC = 1

2 acute AC AB = 3

2 acute AC

BC = 1

2 acute 14 AB = 3

2 acute 14

BC = 7 AB = 7 3

आकती 211

= 3 acute 4 = 12 आकती 213

A

B C

14

60deg

30deg

P 9

16

N

RQ

AD = DC = 1

DC = 8 AD = 8

BC = BD + DC

= 5 + 8

= 13आकती 212

CB

A

D

82

5

37

= 10 8acute

= 5 2 8acute acute

= 5 16acute

= 4 5

z

xS

8

10

P

ावरन x = 4 5 y = 12 z = 6 5

= 4 52( ) + 82

= 16 acute 5 + 64 = 80 + 64 = 144 QR = 12

= 4 52( ) + 102

= 16 acute 5 + 100 = 80 + 100 = 180 = 36 acute 5 PQ = 6 5

आकती 215

P

Q R12

9

38

उकल ः l = 5 m = 13 n = 12 l2= 25 m2 = 169 n2 = 144 m2 = l2 + n2

आकती 217

आकती 218

P

Q M R

10

8

M

N P

Q

आकती 216

C

AB

D

39

आकती 219

AB = BC

ETH BAC =

AB = BC = acute AC

= acute 8

= acute 2 2

=

S

R

P

6

30deg

D

FE

G 8

12

P

R M Q

आकती 221

आकती 222

आकती 220

A

CB

8

40

p2 = b2 - (II)आकती 223D

A

CxB

p

a - x

bc

DB = a + x

c2 = (a + x)2 + p2

c2 = a2 + 2ax + x2 + p2 (I)आकती 224

A

B

cb

x a

p

D C

41

A

B CM D

= a2 + 2ax + b2

42

P

Q

9

RM

आकती 226

आकती 227

QM = MR = 1

2QR

290 = 2 acute 81 + 2QM2

290 = 162 + 2QM2

P

Q

T

R

S

= (2PT)2 + (2QT)2

= PR2 + QS2

43

2

P

Q T RS

आकती 228A

P Q

A BT

RSआकती 230

44

45

आकती 232

A

B

C

M

L

आकती 233

A

BC D

आकती 231

P

QM Naa

aRS

a a

46

P

Q60deg 60deg

T RS

आकती 234

15 15

A B

CD

25

ICT Tools or Links

rrr

QS = 1

आकती 235

47

C

D EF

आकती 31

3 वतमळ

48

आकती 32

आकती 33

आकती 34

PQ R

O

A

T

D

B

C

SM

P

A

Q

R

49

आकती 35

आकती 36

आकती 37

A

B

C

A B

C

PQ

A B

l

50

कती ः

आकती 38

आकती 39

AR

B

l m n

CP

Q

A

P

OB

51

O A

l

आकती 310

आकती 311

ABC

O

l

52

आकती 312

आकती 314

M

A B

C

D

A

BC

53

P

A

Q

D

P

A

Q

D

A

D

B

C

आकती 316

आकती 317

54

आकती 318

P T

O S

Q R

a

b

c

55

M

N

O R

M

N

O R

आकती 320

आकती 321

A B

C

आकती 319

ICT Tools or Links

56

आकती 323

आकती 322

X Y Z

Y X Z

57

आकती 324

R T S

l p

KN M

आकती 325

आकती 326

A C B

l

(a)

A

C

B

l

(b)

58

आकती 327

A

P R Q

B

आकती 328

A

l

B

CD

E

59

आकती 329

Y

kC

A BX

आहष

आकती 330

P

Q

Oq B

A

60

आकती 331

A

F

B

40deg70deg

70deg

G

C

D

I

E

J

61

आकती 332

A

BC

D

E

P

Q

A

B

CD

E

आकती 333

P

QM

NO

R

S

आकती 334

62

A

B

C

O

63

PQ

T

RS

आकती 336

आकती 337

G

EF

64

आकती 340

D

E

A B

CH

I

F

G

आकती 339

A

BC

D

आकती 338

Q

R S

65

आकती 341

P QC

T

RS

कती II ः

आकती 342

A B

C

D

P Q

66

आकती 344

आकती 345

A

B

C

x2x

2xE

O

A

B C

D

2 m(कस BDC)

A

B

CC

C

67

ETHEAC + ETHEAB = 1

2 m(कस EC) + 1

ETHBAC = 1

= 1

2 [m(कसBEC)] = 1

= 1

2 m(कस BCE) - 1

2 m(कस CE)

(III) वरन

= 1

आकती 346

A

BC

OE

68

आकती 349

AB

C

D

आकती 347

आकती 348

P

Q

C

T

R

S

A

B

C

X

M

2 (I)

69

= 1

ETHADC + = 1

2 + 1

= 1

2 [ + m(कस ADC)]

= 1

70

xx

A

BC

Dआकती 350

L

N

35deg

M

आकती 351

35 = 1

2 m(किMN)

2=145deg

ETH M = 145deg

2

71

= 2 acute 145deg2

= 145deg

(ii) ETH STQ = 1

mETHSTQ = 1

2 [m(कस PR) + m(कस SQ)] = 1

2 [48 + 68]

= 1

2 acute 116 = 58deg

= ETHSTQ

= 1

2 [ + ]

आकती 352

P

Q

TR

S24deg

58deg

72

आकती 353

E

A

B

C

D

(i) ETHAEC = 1

(ii) ETHCEB= 1

आकती 354

E

A

BC

D

73

ETHBED = 1

आकती 356

E

A

B

C

D

A B

C

O

आकती 357

P

Q

R

S

O

T

R S

आकती 358

आकती 355

74

आकती 359

आकती 360

आकती 361

E

FM

N

S

EA

B

CD

P

W

Y

Z

T

X

आकती 362A

B

C

आकती 363

A

B

C

D

75

2 m(कसADB)

आकती 364

आकती 364(i)

M M MF

E

A

A A

B B BC C C

D DD

xy

x

(i) (ii) (iii)

M

A

B CD

76

y = ETH ABC = 1

2ETH AMB = 1

2 m(कस ADB)

2 m( ) (2) मध ष तसद ध

180 - = 1

2 m(कस AFB)

= 1

2 [360 - m( )]

180 - ETHABC = 180 - 1

2 m(कस ADB)

-ETHABC = - 1

2 m( )

ETHABC = 1

2 m(कस ADB)

MA

B CDx

y

x

MF

E

A

B C

D

ETH ABC = 1

आकती 365

A

B C

D

T

77

P

Q

U

T

O

R

S

AE

DE=

CE

P

E

A

BC

D

आकती 367

आकती 366

जर ETH PQR = 1

78

= CE acute ED

आकती 368

E

AB

C

D

79

आकती 369

ET

EB=

EA

EA acute EB = ET2

आकती 370

आकती 371

आकती 372

B

C D E

A

E

A

B

C

D

EA

B

T

A

B

E

T

80

आकती 373

आकती 374

P

Q

R

S

उदा (2)

S

M

P

N

R

81

आकती 375

P QYM

X

आकती 376

उदा (4)

P

Q

T O

R

S

82

E

O A

B

CD

आकती 380

P

Q

R

S

आकती 381

M

ND

R

S

P

Q

T

R

S

H

G

FE

D

आकती 377

आकती 378

आकती 379

83

84

P

o

l

M

L

K

A

B

C

O

आकती 382

आकती 383

आकती 384

पासन

85

X Y

A

B

Z

आकती 387

आकती 385

आकती 386

MN

T

RS

E

F

A B

CD G

HT

86

XY

A

B

Z

P

Q

O

l

R S

P Q

A

BC

Tआकती 390

आकती 389

आकती 388

87

W

TZ

X

Y

आकती 392

आकती 393

P

Q

A

T

R

S

P

Q

O

R

S

आकती 391

88

A

B

C

DE

आकती 394

आकती 396

आकती 397

P

Q

R

O

E

A

B

CD

E F

G H

आकती 395

89

OA B

C

D

आकती 399

M

N

L O

आकती 398

आकती 3100

P Q

R

S

90

आकती 3101

PQ

M

N

RS

rrr

ICT Tools or Links

आकती 3103D

E

OF

A

B C

आकती 3102

A

B

C

ED

91

92

AB

PQ=

BC

QR=

AC

PR=

3

2 (I)

54

PQ=

42

QR=

60

PR=

3

2

PQAB

C

R

93

ABAcentB = BC

3

A

Acent

B CCcent

आकती 42AB

C

42सषमी

54 सषमी

60सषमी

PQ

R

28सषमी

36 सषमी

40सषमी

94

आकती 46

A

Acent

B

C

Ccent

BAcentBA = BC

BC

cent = 3

5 BC

आकती 45

A

T1T2 T3

T4T5

B C

आकती 44

A

Acent

CCcentB

95

आता BC

BCprime=

5

7

A

Acent

BC Ccent

आकती 48

A

Acent

B C1 2 3 4 5 6 7

Ccent

96

आकती 49

P

l

C

P XC

l

आतण BC

MN = 5

आतण PQ

LT = 3

आतण RS

XY =

3

आतण AM

AH = 7

97

आकती 411l

AB

C

D

आकती 412

ABM

C

ND

R

98

PM

A

B

O

आकती 413

PO

A

B

99

PQ= 7

5 तर

LN= 4

= 6

5

rrr

100

(2 0) ( -5

17

2) (0 -3) असष

आकती 51

PQ-2 1 5-3 20-4 3

O-5 4

R-1

101

d(PQ) = y2 - y1

d(A B) = x2 - x1

d(PQ) = y2 - y1

आकती 52

A (x1 0) B (x2 0)X` X

Y

Y`

O

आकती 53

(0 y2) Q

(0 y1) P

XX`

Y

Y`

O

A(x1 y1)

L(x1 0)

B(x2 y1)

M(x2 0)X` X

Y`

Y

O

P (x1 y2)(0 y2) R

Q (x1 y1)(0 y1) S

X` XY`

Y

O

102

AB = 3 - = BC = - = 4

AC2 = + = AC = 17

AD = d(A D) = x2 - x1 BD = d(B D) = y2 - y1

= x x y y2 1

2

2 1

AB = x x y y2 1

2

2 1

आकती 56

XX`

B

Y

Y`

A(2 3)

C(-2 2)

4

1-1

3

-3 2

-2

2

-2 3

-3

1

-1 0

आकती 57

XP

X`

Y

Y`

A(x1 y1)

B(x2 y2)

D(x2 y1)

O

103

2

2 1

2

1 2

2

1 2

x1 = 2 y1 = 3 x2 = -2 y2 = 2

AC = x x y y2 1

2

2 1

= minus( ) + minus( )4 12 2

= 16 1+

= 17

AB = x x y y2 1

2

2 1

BC = x x y y2 1

2

2 1

2 = 4

XX`

B

Y

Y`

A(2 3)

C(-2 2)

O

आकती 58

d(P Q) = x x y y2 1

2

2 1

2

2 1

2

1 2

104

2

2 1

= 5 1 7 12 2

= 6 82 2( ) + minus( )

= 36 64+

2

2 1

2minus( ) + minus( ) (x1 y1) (x2 y2)

d(A B) = 1 3 2 22 2

= 1 3 42 2+( ) + minus( )

= 16 16+

= 32 = 4 2 (I)

d(B C) = 9 1 10 22 2minus( ) + minus +( )

= 64 64+ = 8 2 (II)

= 144 144+ = 12 2 (III)

105

= 3 12 2( ) + ( ) = 10 (I)

= 0 102 2( ) + minus( ) = 100 (II)

PR = 3 6 3 62 2minus( ) + +( )

= minus( ) + ( )3 92 2 = 90 (III)

ासाठी 1002( ) आतण 10 90

2

AB = 1 4 7 22 2minus( ) + minus( ) = 9 25+ = 34

BC = 4 1 2 12 2+( ) + +( ) = 25 9+ = 34

= 9 25+ = 34

DA = 1 4 7 42 2+( ) + minus( ) = 25 9+ = 34

AC = 1 1 7 12 2+( ) + +( ) = 4 64+ = 68

BD = 4 4 2 42 2+( ) + minus( ) = 64 4+ = 68

आकती 59

A

B

C

D

106

[0 -(-5)]2 + [y -(-2)]2 = (0 - 3)2 + (y - 2)2

(a + 3)2 + (b + 4)2 = (a + 5)2 + (b - 0)2

a2 + 6a + 9 + b2 + 8b + 16 = a2 + 10a + 25 +b2

a2 + 6a + 9 + b2 + 8b + 16 = a2 - 6a + 9 + b2

1

2

2) आहषत

P(ab)

A(-3-4)

B(-50)

C(30)

आकती 510

107

(x - 7)2 + (y - 1)2 = (x - 3)2 + (y - 5)2

x2 - 14x +49 + y2 - 2y + 1 = x2 - 6x + 9 + y2 - 10y +25 - 8x + 8y = -16 x - y = 2 y = x - 2

25 = 9 + (y + 2)2

16 = (y + 2)2

y + 2 = plusmn 16

2)

(4) L(5 -8) M(-7 -3) (5) T(-3 6) R(9 -10) (6) W( -7

2 4) X(11 4)

108

आकती 512

AP

PB= =

6

10

3

5

AB

BC=

DE

EF

आकती 511

mn

p q

lAB

C

DEF

109

= CQQD

= mn

x x

m

n

minusminus

=1

2

n(x - x1) = m (x2 - x) nx - nx1 = mx2 - mx

mx + nx = mx2 + nx1

x(m + n) = mx2 + nx1

x = mx nx

m n2 1+

ymy ny

m n=

++

2 1 तमळषल

m n

my ny

m n2 1 2 1++

++

असतात

आकती 513

XX`

Y

Y`

A (x1 y1

) P (x y) B(x2 y2)

D(x2 0)Q(x 0)C(x1 0)O

(I)

110

x = mx nx

m n2 1+

+

= mx mx

m m2 1+

+ m = n

= m x x

m1 2

2

+( )

= x x1 2

2

+

y = my ny

m n2 1+

+

= my my

m m2 1+

+ m = n

= m y y

m1 2

2

+( )

= y y1 2

2

+

2 2

+ +

a + b2

x = mx nx

m n2 1+

+ = 2 7 3 3

2 3

23

5

times + times+

= ymy ny

m n=

++

2 1 = 2 9 3 5

2 3

33

5

times + times+

=

5

33

5

आकती 514

A (x1 y1) P (x y)

B (x2 y2)

111

आकती 516

2

1

A(x1 y1)

C(x3 y3)

G(x y)

B(x2 y2) D

आकती 515

A (-42) B (62)P (x y)

x = x x1 2

2

+ = minus +4 6

2 = 2

2 = 1

y = y y1 2

2

+ = 2 2

2

+ = 4

2 = 2

112

2

+ y = y y2 3

2

x = 2

21

2 1

2 31

x xx

+

+ times

+ = x x x2 3 1

3

+ + = x x x1 2 3

3

+ +

y = 2

21

2 1

2 31

y yy

+

+ times

+ = y y y2 3 1

3

+ + = y y y1 2 3

3

+ +

x x x y y y1 2 3 1 2 3

3 3

+ + + +

असतात

m n

my ny

m n2 1 2 1++

++

असतात

x x y y1 2 1 2

2 2

+ +

असतात

3 3

+ + + +

असतात

113

x = mx nx

m n2 1+

+ = 7 6 2 7

7 2

= - -42 14

9 = -56

9 y = my ny

m n2 1+

+ = 7 5 2 4

7 2

= minus +35 8

9 = -27

9 = -3

56

93 षतील

-4 = 2 acute r + 1 acute (-6)

2 + 1

-4 = 2r - 6

3 -12 = 2r - 6 2r = -6 r = -3

2 + 1

6 = 2s + 10

3 18 = 2s + 10 2s = 8 s = 4

आकती 517

(-7 4)

7

2

(x y)(-6 -5)TB

A

114

x = mx nx

m n2 1+

+

11 = 9 15m n

m n

++

11m + 11n = 9m + 15n

2m = 4n

mn

= 4

2 = 2

1

AP

PB = AP

PQ + QB = AP

AP + AP = AP

2AP = 1

2 (I) वरन

1 2

= minus +7 4

3 = -3

3 = -1

1 2

= 4 4

3

- = 0

3 = 0

= 2

1

2 1

= minus +14 2

3 = -12

3 = -4

2 1

times + timesminus+

= 8 2

3

- = 6

3 = 2

आकती 518

A P Q B

115

= 3

APPB

= 3

ABBP

= 2

1

आकती 519(-4 6)

(5 10)B

P

A

116

AB

C

D

El

X

Y

Xcent

Ycent

4

41

3(4 4)

(6 7)

(-2 -5)

-3 2

7

2(2 1)

-2 3

6

1

(0 -2)

-1

5

0

आकती 520

117

अ कर

(x1 y1)

(x2 y2)

y y

x x2 1

2 1

--

1 C E (2 1) (6 7)7 1

6 2

--

= 6

4 = 3

2

2 A D (-2 -5) (4 4)4 5

4 2

= 9

6 = 3

2

3 D A (4 4) (-2 -5)- -- -

5 4

2 4 = -

-9

6 = 3

2

4 B C -- -- --

5 C A -- -- --

6 A C -- -- --

x x2 1

2 1

--

x x2 1

2 1

--

x x2 1

2 1

--

m = y y

x x2 1

2 1

--

118

= 0

0 - 0 = y2- y1

0

QR = y2 - y1 आतण PR = x2 - x1

आकती 521

t

n

l

A(40)B(61)

C(34)

D(-10)0 X

Y

आकती 522

(x2 0)(x1 0)

(0 y1)

(0 y2)

l

m

X

Y

0

119

QR

PR = tanq (II)

x x2 1

2 1

--

= tanq

m = tanq

y y

x x2 1

2 1

--

=

-

- =

=

QR

PR = y y

x x2 1

2 1

-- (I)

आकती 524

A XX`

B

Y

Y`

t

l

(03)

(-30)qq

0

आकती 523

X

Y

q

qT

R

S

Q(x 2 y 2

)

(x2- x1)P(x 1

y 1)

(y2- y1)

l

O

120

x x2 1

2 1

--

4 3 = -6

7

x x2 1

2 1

--

= 2 3

1 2

1

x x2 1

2 1

--

= 1 2

4 1

--

= -1

3

- -2 0

3 k = -

- -2

3 k

-- -

2

3 k = 2

7 k = 4

121

x x2 1

2 1

--

8 6

--

= 1

2 (I)

9 8

--

= 2 (II)

7 9

--

= 1

2 (III)

7 6

--

= 2 (IV)

2) N(4 -2)

122

(A) 1

2 (B) 3

2 (C) 1

3 (D) 3

5) R (3 6

5)

(3) L (12) M (53) N (86)

123

rrr

124

sin q = cos q =

(i) sin

cos

qq

= (ii) sin q = cos (90 - )

A

B Cq

125

A

BC q

आकती 62

sinq = ABAC

cosecq = 1

sinq

= 1

ABAC

= ACAB

समख बाज

tanq = ABBC

cot q = 1

tanq

= 1

ABBC

cot q = BCAB

cosq = BCAC

secq = 1

cosq

= 1BCAC

= ACBC

tanq =sinqcosq

cot q = 1

tanq

= 1sincos

qq

=cos qsin q

cot q = cos qsin q

sinq

secq = 1

tanq

126

bull 1

127

AB

C

q

आकती 63

sin q 01

2

1

23

21

cos q 1 3

2

1

2

1

20

tan q 01

cosec q

= 1sin q

31

sec q

= 1cos q

12

cot q

= 1tan q

30

(i) sinq = BCAC

(ii) cosq = ABAC

(iii) tanq = BCAB

(iv) cosecq = ACBC

(v) secq = ACAB

(vi) cotq = ABBC

BC2+ AB2

AC2 = AC2

AC2 BC2+ AB2

AC2

128

BC2

AC2 + AB2

AC2 = 1

BC

AC

AB

AC

+

=

2 2

1

sin

cos

sin sin

2

2 2

1θθ

θθ θ

+ =

sin

cos

cos cos

2

2 2

1θθ

θθ θ

+ =

20

29

2

+ cos2 q = 1

400

841 + cos2 q = 1

cos2 q = 1 - 400

841

= 441

841

cosq = 21

29

रीत II

sinq = 20

29

(20k)2+ x2 = (29k)2

400k2+ x2 = 841k2

x2 = 841k2 - 400k2

= 441k2

x = 21k

cos q = BCAC

= 21k29k

= 2129

आकती 64

20k29k

A

B Cxq

129

5sinq = 12cosq

sin

cos

qq

= 12

5

tanq = 12

1+ 12

5

2

= sec2q

1 + 144

25 = sec2q

25 144

25

+ = sec2q

sec2q = 169

25

secq = 13

5

cosq = 5

13

sin2q = 1 - cos2q

sin2q = 1 - 5

13

2

= 1 - 25

169

= 144

169

sinq = 12

13

cosecq = 13

12

1+ tan2q = 25

7

2

tan2q = 625

49 - 1

= 625 49

49

-

= 576

49

tanq = 24

7

sec q = PRPQ

PQ = 7k PR = 25k

PQ2 + QR2 = PR2

(7k)2 + QR2 = (25k)2

QR2 = 625k2 - 49k2 = 576k2

QR = 24k

= 24k7k

= 247

आकती 65

7k

25k

PQ

R

x

q

130

2 तर 1

1

minus+

sec

cosec

θθ

1

+minus

sin

x

cos

sin

cosx

x

x+

= 1+ sin

cos

x

= ( sin )

cos

1 2

2

+ x

x

= 1 1

1 2

+( ) +( )minus

sin sin

sin

x x

x

= ( sin )( sin )

( sin )( sin )

1 1

+ +minus +

x x

= 1

1

+minus

sin

x

cosq = 3

2 secq = 2

3 sin2q + cos2q = 1

sin2q + 3

2

= 1

sin2q = 1- 3

4 = 1

4

sinq = 1

2 cosecq = 2

1

minus+

sec

cosec

θθ

= 1

2

31 2

minus

+

=

3 2

33

-

= 3 2

3 3

-

cosq = 3

2

cos 30deg = 3

3

1

minus+

sec

cosec

θθ

= 1

2

31 2

minus

+

=

3 2

33

-

= 3 2

3 3

-

131

cot q = x + y

2a (III)

b

-2

(IV)

y x

b

y x

a

minus

+

2 2

= 1

y x

b

y x

a

minus( )minus

+( )4 42

2

= 1

तकवा y x

b

y x

a

minus

+

2 2

= 4

1 जर sinq = 7

2 जर tanq = 3

3 जर cotq = 40

sec cosec

θ θθ θ

++

(1) sin

cos

2 qq + cosq = secq

(2) cos2q(1 + tan2q) = 1

132

आकती 66

(3) 1

1

minus+

sin

θθ

= secq - tanq

(6) 1

sin

θθ1minus

(9) जर tanq + 1

tan2 q = 2

(10) tan

tan

cot

A

A1 12 2 2 2+( )

++( ) = sin A cos A

(11) sec4A (1 - sin4A) - 2tan2A = 1

(12) tan

sec

θθ minus1

= tan sec

tan sec

1

133

AB BC

(I)

tan 60deg = 3 (II)

AB BC

= 3 (I) व (II) वरन

AB = BC 3 = 10 3

60deg10 मी

A

BC

आकती 67

आकती 69

B

MA

ा

आकती 68

C

MA

134

1

3 =

40x

x = 40 3

x

A

B C

M

30deg

40 मी

x

आकती 610

A

B C 50 Dx

h

35deg61deg

आकती 611

135

18 = h

07 = h

x + 50 h = 07 (x + 50)

10h = 7 (x + 50) (II)

18x = 7(x + 50)

18x = 7x + 350

11x = 350

x = 350

11 = 3182

आता h = 18x = 18 acute 3182

= 5728 मी

R

T

S

Q

P

44

x

y

52deg

29deg

38deg

61deg

136

055 = x

y + 4

x = 055(y + 4) (I)

tan 38deg = xy

[ SP = TQ = x]

078 = xy

x = 078y (II)

078y = 055(y + 4) (I) व (II) वरन

78y = 55(y + 4)

78y = 55y + 220

23y = 220

RS = y + 4 = 10 + 4 = 14

CA= CD = y मी

137

tan30deg = BCBD

1

3 = x

10

x = 10

3

y = 20

3

x + y = 10

3 + 20

3

= 30

3

x + y = 10 3

A

B

C

Dआकती 613

138

(A) 1 (B) 0 (C) 1

2 (D) 2

(A) 1

2 (B) 2 (C) 3

2 (D)

2

3

2 जर sinq = 11

4 जर secq = 13

(6) 1

1

1minus+

(8) tan

sec

tan

θθ

θθ+

=minus

1

(9) tan

tan

3 1

1

139

(10) sin cos

sin cos sec tan

=minus

1

rrr

140

2 घन

4 शकक

3 acute pr2h

l

h

b

lh

h

r

141

आकती 71

30 सषमी

आकती 72

21 सषमी

10 सषमी

3 pr3

उदा(1)

आकती 73

r

उदा(2)

142

1

3 acute 2pr3

= 2pr3 - 2

3pr3

= 6pr3 - 2pr3

3 =

4pr3

3

कती ः

आकती 74

2r

r

143

7)

= 22

=

( )

43

3

2

π

r

R H

=times( )times

43

30

10 6

3

times times

43

30 30 30

10 10 6 = 60

144

= 24 182 2+

= 576 324+

= 900

l = 30 मी

= 2prH + prl

= pr (2H + l)

= 22

7 acute 24 (2 acute 15 + 30)

= 22

7 acute 24 acute 60

= 452571 चौमी

3 pr2h

= pr2 H h+

1

3

= 22

7 acute 242 (15 + 1

3 acute 18)

= 22

आकती 77

18 मी

24 मी

15 मी

145

14 तममी

635 सषमी

10 सषमी

7 सषमी

आकती 710

आकती 711

आकती 713

आकती 712

3 सषमी

4 सषमी

10 सषमी

146

आकती 716

शककछषद

आकती 715

14 सषमी

30सषमी

आकती 714

42 सषमी

r1

hl

r2

147

1 2

2 + pr22

3 ph (r1

2 + r22 + r1 acute r2)

22

7)

= 1

3ph ( r1

2 + r22 + r1 acute r2)

= 1

3 acute 22

7 acute 28 (152 + 122 + 15 acute 12)

= 22 4

3

acute acute (225 + 144 + 180)

= 22 4

3

l

===

h r r21 2

2

2 28 14 8

64 36

+ minus( )

आकती 721

r2

r1

h l

आकती 722

28 सषमी

12 सषमी

15 सषमी

148

2 + pr22

3 ph(r1

2 + r22 + r1 acute r2)

= 1

= 311488 घसषमी

7)

परीघ1 = 2pr1 = 132

r1 = 1322p

= सषमी

परीघ2 = 2pr2 = 88

r2 = 882p

= सषमी

आकती 723

r2

r1

l = h r r21 2

2+ minus( )

l = 2 2

+

l = सषमी

149

महणतात

qP

O

Q

B

M

आकती 725

कस AYB

A

X

100degB

Y

Oआकती 724

150

आकती 726

q = 360deg

qr

A1 = pr2

q = 180deg

qr

A2 = 1

2 pr2

q = 90deg

qr

A3 = 1

4 pr2

q = 60deg

qr

A4 = 1

6 pr2

AA1 360deg 360

3601= 1 acute pr2

A2 180deg 1

2

1

2 acute pr2

A3 90deg 1

4

1

4 acute pr2

A4 60deg

A q q360

q360

acute pr2

πθ

360

151

आकती 727

q = 360deg

l1 = 2pr

q = 180deg

l2 = 1

2 acute 2pr

q = 90deg

l3 = 1

4 acute 2pr

q = 60deg

l4 = 1

6 acute 2pr

q qq q

l1 l2l3

l4

(q)q

(l)

l1 360deg360

3601= 1 acute 2pr

l2 180deg180

360 = 1

2

1

2 acute 2pr

l3 90deg90

360 = 1

4

1

4 acute 2pr

l4 60deg

l qq

360

q360

acute 2pr

l

r2 360πθ

=

परीघ = q

360

152

acute pr2 I

acute 2pr

θ

π360 2=l

r II

A = lr

r2

2

A = 1

2 lr = lr

2

तसषच A

π πθ

r

l

r2 2 360= =

A BO

21150deg

360 acute pr2

= 150

360

22

= 1155

acute 2pr = 150

3602

22

= 55 सषमी

आकती 728

153

2

2 acute PR = 3

2 acute 12 = 6 3

2 QR acute PQ

= 1

2 acute 6 3 acute 6

= 18 3 = 18 acute 173 = 3114 सषमी2

acute pr2

A(P-QAB) = 60

= 1

P

QA

B 12

R6

आकती 729

154

=

= 360

acute 22

7 acute

X

A B

CD 7 सषमी

O

B

C

60deg

M N

आकती 730

आकती 731

155

7)

P

AB

C

P

X

Q

YO

RM

N

L

NM

आकती 732

आकती 733

आकती 734

आकती 735

आकती 736

P

Q

xy

z

R

S

A

B

156

= q360

OP

PX

Q

Y

आकती 739

आकती 738

P Q

rO

T

X

Y

A B

Oतवशाल

वतमळखड

आकती 737

157

= 1

2 acute OQ acute PT

= 1

2 acute r2 sin q ---------------- (ii)

360 acute pr2 - 1

2 r2 sin q

= r2 pq360 - sinq

2

360 acute pr2

= 30

= 314 acute 12

X

12

A B

30deg

O

A(D OAB) = 1

2 r2 acute sin q

= 1

2 acute 144 acute 1

2

( sin 30 = 1

2)

आकती 740

158

360 - sinq2

= 123 14 30

360

30

22 sintimes

minus

= 1443 14

12

1

2 2

minus

times

= 144

4

3 14

31

minus

= 363 14 3

3

minus

= 36

360 acute pr2

= 90

= 1

4 acute 314

A(DAPB) = 1

= 1

2 acute 10 acute 10

P

XA B

आकती 741

159

7 3 = 1732)

= 6 acute 3

4 acute 142

= 22

7 acute 14 acute 14

आकती 742

आकती 743

आकती 744

P Q

O

R2

X

A

B C

45deg7 2 7 2

160

(A) 14p (B) 7p (C) 7p (D) 14p

p सषमी

PQ

A

R

P

QO

R

आकती 745

आकती 746

4

161

7)

10

आकती 747

P

B8 4

162

= - θ360

acute pr2

= - 90360

acute 3141

acute 4001

= -314

=

=20 2

=A(A-PCQ)-A(c ABCD)

= θπ

3602times times

r -

2

= 90360

acute314(20 2 )2-(20)2

= -

=

आकती 748A

P

B

Q

X

C

D

163

OQ=OB-BQ=

OE=OD-DE=

R2-9R=R2-10R+25

R=

AQ=2r=AB-BQ

2r=50-9=41

r= =

rrr

आकती 749

APO

E

F

B Q

C

D5

9

12

164

1 3

4 2 1

2 3 3 4 1ः1 5 (1) BQ

BC (2) PQ

AD (3)

BC

DC (4) DC AD

QC PQ

acuteacute

2 PN

NR=

PM

MQ=

3

6 QP = 224 7 x = 6 AE = 18 8 LT = 48 9 x = 10

= XQQE

= XRRF

9 3 A(D PQR) 4

5

4 MN = 15 5 20 सषमी 6 4 2

PF

2

2 20 45 45 - 20 25 चौरस एकक

1 (1) (B) (2) (B) (3) (B) (4) (D) (5) (A)

2 7

13 7

20 13

20 3 9 सषमी 4 3

4 5 11 सषमी 6 25

81 7 4

8 PQ = 80 QR = 280

3 RS = 320

3 9

PMMQ

= PXXQ

PMMR

= PYYR

10 AXXY

= 3

2 12 3

2 3 2

2

+ 5

3 को-को 5

3 15

165

2 1

2 2

िराििच 221 12 2 2 10 4 18 सयमी

िराििच 351 PS = 18 RS = 10 2 (1) 75 (2) 12 कििा 6 3 (1) 18 (2) 10 (3) 5 4 4

166

सरावसच 511 (1) 2 2 (2) 4 2 (3) 11

2 (4) 13 (5) 20 (6) 29

2

3 (-1 0) 7 7 तकवा -5

1

3

1

3 (2)

4

7

11

7minus

(3) 0

13

3

3 2ः7 4 (-6 3)

5 2ः5 k = 6 6 (11 18) 7 (1) (1 3) (2) (6 -2) (3) 19

3

22

3

8 (-1 -7) 9 h = 7 k = 18 10 (0 2) (-2 -3)

11 (-9 -8) (-4 -6) (1 -4) 12 (16 12) (12 14) (8 16) (4 18)

2 (1) 2 (2) -3

8 (3)

5

2 (4)

5

4 (5) 1

4 -5 1

5 -

2

3 6 k = 5 7 k = 0 8 k = 5

167

5 (-7 0) 6 (1) a 2 (2) 13 (3) 5a 7 minus

1

3

2

3

13 5 2 13 37 14 (1 3) 16 25

6

13

6

6 17 (7 3)

21 (7 6) व (3 6) 22 10 व 0

1 cosq = 24

25 tanq = 7

24 2 secq = 5

4 cosq = 4

5

3 cosecq = 41

9 sinq = 9

41 4 secq = 13

5 cosq = 5

13 sinq = 12

13

5 sin cos

sec cosec

θ θθ θ

++

= 1

2

2 cos60 = 60

61 3 sinq = 2

5 cosq = 1

5 cosecq = 5

2 secq = 5 cotq = 1

2

4 sinq = 5

13 cosq = 12

13 cosecq = 13

5 tanq = 5

12 cotq = 12

5

3 मीटर

168

2 2035 लीटर 3 7830 गोळा 4 2800 नाणी (p = 22

7 घषऊन) 5 6336 रपष

rrr

C1
Title
Text
C2

Date post:	12-Nov-2021
Category:	Documents
Upload:	others
View:	9 times
Download:	0 times

MPSC Material

Documents