MS-2 Curs Camp Probabilitate I

EvenimenteOperatii cu evenimente

Câmp finit de probabilitateConditionare si independenta

Câmp de probabilitate – I

Câmp finit de probabilitate – I




1 Evenimente

2 Operatii cu evenimente

3 Câmp finit de probabilitate

4 Conditionare si independenta




Evenimente




Teoria probabilitatilor studiaza legile dupa care evolueazafenomenele aleatoare. Cel mai simplu exemplu de fenomenaleator este dat de experinta care consta în aruncarea unui zaromogen pe o suprafata plana. Aceasta experienta se poaterepeta de un numar oarecare de ori. Fiecare repetare aexperientei se numeste proba.În experienta considerata se obtin urmatoarele cazuri posibile

E = {e1, e2, · · · , e6}

unde prin evenimentul elementar ei , i = 1, · · · , 6 întelegem cala o aruncare se obtine fata cu numarul i .Prin eveniment se întelege orice rezultat al unei experiente,rezultat despre care putem spune ca s-a realizat sau nu s-arealizat în cadrul experientei respective.




Evenimentul sigur este evenimentul care se produce cucertitudine la efectuarea oricarei probe si se noteaza E .

Evenimentul imposibil este evenimentul care nu se producela efectuarea unei probe si se noteaza ∅.

Evenimentul elementar este acel eveniment care are unsingur caz favorabil. Prin abuz de limbaj vom numi la fel sielementele multimii E .

Multimea tuturor evenimentelor legate de o experienta cu unnumar finit sau infinit de cazuri posibile se identifica cu familiatuturor submultimilor (partilor) multimii E , notata K = P(E). Încontextul analogiei dintre evenimente si multimi vom întelegeevenimentul sigur ca fiind multimea tuturor evenimentelorelementare, E , iar orice alt eveniment (compus) apare ca fiindsubmultime a lui E .




Exemplu

La aruncarea simultana a doua zaruri sunt 36 de cazuri posibile

E = {(ei , ej ), i , j = 1, · · · , 6}.

"Obtinerea unei duble" are 6 cazuri favorabile

A1 = { (e1, e1), (e2, e2), (e3, e3), (e4, e4), (e5, e5), (e6, e6) },

iar evenimentul "suma punctelor egala cu 6" are 5 cazurifavorabile

A2 = { (e1, e5), (e2, e4), (e3, e3), (e4, e2), (e5, e1) }.




Exemplu

Daca trebuie sa transmitem 3 semnale diferite pe un canal, iartransmisia se poate face într-o ordine aleatoare, atunci avem 6!moduri, iar multimea E este multimea tuturor tripletelorordonate (permutari), care se pot forma cu elementele multimii{1, 2, 3}.Daca trebuie sa transmitem 3 semnale diferite pe 3 canale detransmisie în mod aleator, atunci avem 33 cazuri posibile




Definitia 1.1

Daca A este un eveniment, A se numeste eveniment contrarsi este acel eveniment care se realizeaza atunci cândevenimentul A nu se produce.

A = E \ A = CEA.




Definitia 1.2

Fiind date doua evenimente A, B legate de o experienta,spunem ca A implica B si notam aceasta prin A ⊆ B, dacarealizarea lui A atrage dupa sine realizarea lui B.

Aceasta înseamna ca multimea cazurilor favorabile lui A esteinclusa în multimea cazurilor favorabile lui B.

Definitia 1.3

Doua evenimente A, B legate de o experienta se numescechivalente (coincid) si notam aceasta prin A = B, daca ele serealizeaza simultan, A ⊆ B si B ⊆ A.




Operatii cu evenimente




Intersectia

Definitia 2.1

Date A si B doua evenimente, numim intersectia lor,evenimentul notat A ∩ B care se realizeaza atunci când A si Bse produc simultan.

A ∩ B = { e ∈ E ; e ∈ A si e ∈ B }.

Daca A ∩ B = ∅ atunci spunem ca evenimentele suntincompatibile. În acest caz realizarea simultana aevenimentelor A si B este imposibila.




Generalizare: (Ai )i∈I , I ⊆ N,⋂i∈I

Ai = { e ∈ E ; e ∈ Ai , i ∈ I }

se realizeaza atunci când toate evenimentele Ai se produc.

Proprietati:

(i) A ∩ B = B ∩ A (comutativitate);

(ii) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) (asociativitate);

(iii) daca A ⊆ B atunci A ∩ B = A(evident A ∩ A = A, A ∩ E = A, A

⋂∅ = ∅);

(iv ) A ∩ A = ∅.




Generalizare: (Ai )i∈I , I ⊆ N,⋂i∈I

Ai = { e ∈ E ; e ∈ Ai , i ∈ I }

se realizeaza atunci când toate evenimentele Ai se produc.

Proprietati:

(i) A ∩ B = B ∩ A (comutativitate);

(ii) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) (asociativitate);

(iii) daca A ⊆ B atunci A ∩ B = A(evident A ∩ A = A, A ∩ E = A, A

⋂∅ = ∅);

(iv ) A ∩ A = ∅.




Reuniunea

Definitia 2.2

Date A si B doua evenimente, numim reuniunea lor,evenimentul notat A ∪ B care se realizeaza atunci când celputin unul dintre evenimentele A sau B se produce.

A ∪ B = { e ∈ E ; e ∈ A sau e ∈ B }.




Generalizare: (Ai )i∈I , I ⊆ N, evenimentul⋃i∈I

Ai = { e ∈ E ; ∃ i ∈ I, e ∈ Ai }

se realizeaza atunci când cel putin unul dintre evenimentele Aise realizeaza.

Proprietati:

(i) A ∪ B = B ∪ A (comutativitate);

(ii) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (asociativitate);

(iii) daca A ⊆ B atunci A ∪ B = B(evident A ∪ A = A, A ∪ E = E , A ∪ ∅ = A);

(iv ) A ∪ A = E .




Generalizare: (Ai )i∈I , I ⊆ N, evenimentul⋃i∈I

Ai = { e ∈ E ; ∃ i ∈ I, e ∈ Ai }

se realizeaza atunci când cel putin unul dintre evenimentele Aise realizeaza.

Proprietati:

(i) A ∪ B = B ∪ A (comutativitate);

(ii) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (asociativitate);

(iii) daca A ⊆ B atunci A ∪ B = B(evident A ∪ A = A, A ∪ E = E , A ∪ ∅ = A);

(iv ) A ∪ A = E .




(i) (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)

(distributivitatea intersectiei fata de reuniune);

(ii) (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)

(distributivitatea reuniunii fata de intersectie);

(iii) A ∩ B = A ∪ B; A ∪ B = A ∩ B

(relatiile lui de Morgan).

⋃i∈I

Ai =⋂i∈I

Ai si⋂i∈I

Ai =⋃i∈I

Ai .




(i) (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)

(distributivitatea intersectiei fata de reuniune);

(ii) (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)

(distributivitatea reuniunii fata de intersectie);

(iii) A ∩ B = A ∪ B; A ∪ B = A ∩ B

(relatiile lui de Morgan).

⋃i∈I

Ai =⋂i∈I

Ai si⋂i∈I

Ai =⋃i∈I

Ai .




Diferenta

Definitia 2.3

Se numeste diferenta evenimentelor A si B, evenimentul notatA \ B care se realizeaza atunci când se produce A si nu serealizeaza evenimentul B.

A \ B = { e ∈ E ; e ∈ A si e < B }.




Daca A, B, C, D ∈ K atunci au loc urmatoarele proprietati:

(i) A \ B = A ∩ B;(ii) A \ B = A \ (A ∩ B);(iii) A \ B = (A ∪ B) \ B;(iv ) (A \ B) ∩ (B \ A) = ∅;(v∗) A = (A \ B) ∪ (A ∩ B) si (A \ B) ∩ (A ∩ B) = ∅;(vi∗) A ∪ B = A ∪ [B \ (A ∩ B)] si A ∩ [B \ (A ∩ B)] = ∅;(vii) A ∩ (B \ C) = (A ∩ B) \ (A ∩ C);(viii) (A \ B) ∩ (C \ D) = (A ∩ C) \ (B ∪ D).




Daca A, B, C, D ∈ K atunci au loc urmatoarele proprietati:

(i) A \ B = A ∩ B;(ii) A \ B = A \ (A ∩ B);(iii) A \ B = (A ∪ B) \ B;(iv ) (A \ B) ∩ (B \ A) = ∅;(v∗) A = (A \ B) ∪ (A ∩ B) si (A \ B) ∩ (A ∩ B) = ∅;(vi∗) A ∪ B = A ∪ [B \ (A ∩ B)] si A ∩ [B \ (A ∩ B)] = ∅;(vii) A ∩ (B \ C) = (A ∩ B) \ (A ∩ C);(viii) (A \ B) ∩ (C \ D) = (A ∩ C) \ (B ∪ D).




Exemplu

Daca A, B, C sunt 3 evenimente atunci:1. faptul ca toate trei se realizeaza se exprima prin A ∩ B ∩ C.2. cel putin unul se realizeaza înseamna A ∪ B ∪ C.3. A sau B se realizeaza si C nu are loc se exprima prin(A ∪ B) ∩ C.4. exact un eveniment se realizeaza înseamna(A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C).




Câmp finit de probabilitate




Probabilitate în sens clasic

Definitia 3.1

Numim probabilitate în sens clasic functia

P : K→ [ 0, 1 ]

definita prin

P(A) =nr . cazurilor favorabile

nr . cazuri posibile=

kn

(3.1)




Functia de probabilitate

Definitia 3.2

Numim probabilitate pe un câmp finit de evenimente (E ,K), ofunctie P : K→ [ 0, 1 ] care satisface axiomele:

P(A) ∈ [ 0, 1 ], ∀A ∈ K; (3.2)

P(E) = 1; (3.3)

P(A ∪ B) = P(A) + P(B), ∀A, B ∈ K, A ∩ B = ∅. (3.4)

Tripletul (E ,K, P) se numeste câmp finit de probabilitate.




Formule de calcul într-un câmp de probabilitate

Propozitia 3.1

Fie (E ,K, P) un câmp de probabilitate. Au loc relatiile:

P(∅) = 0; (3.5)

P(A) = 1− P(A), ∀ A ∈ K; (3.6)

P

( n⋃i=1

Ai

)=

n∑i=1

P(Ai ), ∀ Ai ∈ K, Ai ∩ Aj = ∅, i , j (3.7)




Probabilitatea unei diferente

Propozitie. Daca A, B ∈ K atunci:

P(A \ B) = P(A)− P(A ∩ B). (3.8)

Demonstratie. A = (A \ B) ∪ (A ∩ B) cu (A \ B) ∩ (A ∩ B) = ∅,aplicam axioma (3.4) si deducem

P(A) = P(A \ B) + P(A ∩ B)

Consecinta. Daca A, B ∈ K atunci:

A ⊆ B ⇒ P(A) ≤ P(B)

Demonstratie. Daca A ⊆ B, avem A = A ∩ B si atunciP(B \ A) = P(B)− P(A) iar P(B \ A) ≥ 0.




Probabilitatea unei diferente


P(A \ B) = P(A)− P(A ∩ B). (3.8)

Demonstratie. A = (A \ B) ∪ (A ∩ B) cu (A \ B) ∩ (A ∩ B) = ∅,aplicam axioma (3.4) si deducem

P(A) = P(A \ B) + P(A ∩ B)

Consecinta. Daca A, B ∈ K atunci:

A ⊆ B ⇒ P(A) ≤ P(B)

Demonstratie. Daca A ⊆ B, avem A = A ∩ B si atunciP(B \ A) = P(B)− P(A) iar P(B \ A) ≥ 0.




Probabilitatea unei reuniuni


P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B). (3.9)

Demonstratie. A ∪ B = A ∪ [B \ (A ∩ B)] cu A ∩ [B \ (A ∩ B)] = ∅.Din (3.4) si (3.8) rezulta:P(A∪B) = P(A) + P (B \ (A ∩ B)) = P(A) + P(B)−P(B ∩ (A∩B))= P(A) + P(B)− P(A ∩ B).Generalizare. Daca Ai ∈ K, i ∈ {1, 2, . . . , n} atunci:

P(n⋃

i=1

Ai ) =n∑

i=1

P(Ai )−∑

1≤i<j=n

P(Ai∩Aj )+∑

1≤i<j<k≤n

P(Ai∩Aj∩Ak )+

+ . . . + (−1)n−1P(n⋂

i=1

Ai ) (3.10)




Probabilitatea unei reuniuni


P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B). (3.9)

Demonstratie. A ∪ B = A ∪ [B \ (A ∩ B)] cu A ∩ [B \ (A ∩ B)] = ∅.Din (3.4) si (3.8) rezulta:P(A∪B) = P(A) + P (B \ (A ∩ B)) = P(A) + P(B)−P(B ∩ (A∩B))= P(A) + P(B)− P(A ∩ B).Generalizare. Daca Ai ∈ K, i ∈ {1, 2, . . . , n} atunci:

P(n⋃

i=1

Ai ) =n∑

i=1

P(Ai )−∑

1≤i<j=n

P(Ai∩Aj )+∑

1≤i<j<k≤n

P(Ai∩Aj∩Ak )+

+ . . . + (−1)n−1P(n⋂

i=1

Ai ) (3.10)




Exemplu

Rezistorii circuitului din figura (1) Ri , i = 1, 4 functioneazaindependent si au aceleasi sanse de a se defecta. Sa secalculeze probabiliatea ca prin circuit sa circule curentul.

Figure:

A = (R1 ∪ R2 ∪ R3) ∩ R4 = (R1 ∩ R4) ∪ (R2 ∩ R4) ∪ (R3 ∩ R4).Numarul cazurilor posibile este 24 , deorece orice rezistorpoate fi în doua situatii, independent de celelalte. Doi rezistorifunctioneaza în 22 cazuri favorabile, trei rezistori în 2 cazurifavorabile, iar toate patru într-un singur caz.




Exemplu

Rezistorii circuitului din figura (1) Ri , i = 1, 4 functioneazaindependent si au aceleasi sanse de a se defecta. Sa secalculeze probabiliatea ca prin circuit sa circule curentul.

Figure:

A = (R1 ∪ R2 ∪ R3) ∩ R4 = (R1 ∩ R4) ∪ (R2 ∩ R4) ∪ (R3 ∩ R4).Numarul cazurilor posibile este 24 , deorece orice rezistorpoate fi în doua situatii, independent de celelalte. Doi rezistorifunctioneaza în 22 cazuri favorabile, trei rezistori în 2 cazurifavorabile, iar toate patru într-un singur caz.




Inegalitatea lui Boole.

Propozitie.Daca Ai ∈ K, i ∈ {1, 2, . . . , n} atunci are loc urmatoareainegalitate:

P

( n⋂i=1

Ai

)≥

n∑k=1

P(Ai )− (n − 1). (3.11)




Exemplu

Un dispozitiv corespunde cerintelor daca satisface proprietatilea, b, c. Într-un lot de dispozitive 95% satisfac proprietatea a,90% dispozitive satisfac b iar 92% de dispozitive verificaproprietatea c. Sa se determine o limita inferioara aprobabilitatii ca, alegând la întâmplare un dispozitiv, acesta sacorespunda cerintelor.

P(A ∩ B ∩ C) ≥ P(A) + P(B) + P(C)− (3− 1)

= 0, 95 + 0, 90 + 0, 92− 2 = 0, 77.




Conditionare si independenta




Probabilitate conditionata

Definitia 4.1

Daca A ∈ K, satisface P(A) , 0, atunci probabilitatea derealizare a evenimentului B în ipoteza ca evenimentul A s-arealizat, se numeste probabilitatea lui B, conditionata de A sieste definita prin:

P(B|A) = PA(B) =P(B ∩ A)

P(A). (4.1)




Propozitia 4.1

Daca A ∈ K si P(A) , 0 atunci probabilitatea conditionata de Asatisface axiomele probabilitatii.

1) P(B|A) ∈ [ 0, 1 ], ∀ B ∈ K;

2) P(E |A) = 1;

3) P(B ∪ C|A) = P(B|A) + P(C|A), ∀ B, C ∈ K, B ∩ C = ∅.




Exemplu

O urna contine 6 bile albe si 4 bile negre. Extragem o bila siconstatam ca este alba. Mai extragem o bila. Cu ceprobabilitate a doua este tot alba? Vom considera situatiile:a. prima bila este repusa;b. prima bila nu este repusa.

A ="prima bila este alba" si B ="a doua bila este alba".Daca suntem în cazul a., faptul ca s-a produs A nu influenteaza

realizarea evenimentului B. Atunci P(B) =610

.

Daca suntem în situatia b., atunci A conditioneaza pe B si prin

urmare vorbim despre P(B|A) =59

.




Probabilitatea intersectiei

Daca A, B ∈ K atunci, din (4.1) deducem

P(A ∩ B) = P(A) · P(B|A), daca P(A) , 0; (4.2)

P(A ∩ B) = P(B) · P(A|B), daca P(B) , 0. (4.3)




Evenimente independente

Definitia 4.2

Evenimentele A si B se numesc independente daca are loc

P(A ∩ B) = P(A) · P(B). (4.4)

Propozitia 4.2

Daca A, B ∈ K si P(A) · P(B) , 0, atunci urmatoarele afirmatiisunt echivalente:(i) A, B sunt independente;(ii) P(A|B) = P(A);(iii) P(B|A) = P(B).




Evenimente independente

Propozitia 4.3

Fie A, B doua evenimente arbitrare. Urmatoarele afirmatii suntechivalente.(i) A, B sunt independente;(ii) A, B sunt independente;(iii) A, B sunt independente;(iv ) A, B sunt independente.




Probabilitatea unei intersectii–generalizare

P

( n⋂i=1

Ai

)=

= P(A1) ·P(A2|A1) ·P(A3|A1∩A2) . . . ·P(An|A1∩A2∩ . . .∩An−1).(4.5)




Exemplu

Un lot de 100 de diode contine 5% rebuturi. Se face umatorulcontrol de calitate: se aleg (fara repunere) 5 diode si daca celputin una este defecta, lotul se respinge. Sa calculamprobabilitatea de a respinge lotul.

Ai ="la extragerea i se obtine o dioda rebut". Lotul este respins

daca se realizeaza evenimentul5⋃

i=1

Ai .

P

( 5⋃i=1

Ai

)= 1− P

5⋃i=1

Ai

= 1− P

( 5⋂i=1

Ai

)= 1− P(A1) · P(A2|A1) · P(A3|A1 ∩ A2) · P(A4|A1 ∩ A2 ∩ A3)·

P(A5|A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4) = = 1− 95100· 94

99· 93

98· 92

97· 91

96.




Definitia 4.3

Evenimentele Ai ∈ K, i ∈ {1, 2, . . . , n}, se numesc globalindependente daca pentru orice I ⊆ {1, 2, . . . , n} are loc

P

⋂i∈I

Ai

=∏i∈I

P(Ai ). (4.6)

Daca trei evenimente sunt independente doua câte doua nurezulta ca ele sunt independente în totalitatea lor (global).




Exemplul lui S. N. Bernstein

Consideram un tetraedru omogen cu fetele colorate astfel: ofata este alba, o fata este neagra, o fata este rosie iar a patrafata este colorata în toate cele trei culori.Aruncând tetraedrul pe o masa el se aseaza pe una din fete.Ne intereseaza probabilitatea aparitiei fiecarei culori siindependenta evenimentelor corespunzatoare.




A1 evenimentul care consta în aparitia culorii albe,A2 evenimentul care consta în aparitia culorii negre,A3 evenimentul care consta în aparitia culorii rosii.

P(A1) = P(A2) = P(A3) =12

deoarece pentru fiecare culoare sunt patru cazuri posibile sidoua favorabile (fata cu culoarea respectiva si fata cu cele treiculori).

P(A1 ∩ A2) = P(A1 ∩ A3) = P(A2 ∩ A3) =14

,

P(A1 ∩ A2) = P(A1) · P(A2),

P(A1 ∩ A2 ∩ A3) =14, P(A1) · P(A2) · P(A3) =

18

.


Date post:	14-Jul-2016
Category:	Documents
Upload:	todirica-laurentiu
View:	228 times
Download:	4 times

MS-2 Curs Camp Probabilitate I

Documents