+ All Categories
Home > Documents > Multifractional Brownian Motion: Definition and ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT...

Multifractional Brownian Motion: Definition and ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT...

Date post: 01-Dec-2018
Category:
Upload: lamtu
View: 224 times
Download: 0 times
Share this document with a friend
44
HAL Id: inria-00074045 https://hal.inria.fr/inria-00074045 Submitted on 24 May 2006 HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers. L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés. Multifractional Brownian Motion : Definition and Preliminary Results Romain-François Peltier, Jacques Lévy Véhel To cite this version: Romain-François Peltier, Jacques Lévy Véhel. Multifractional Brownian Motion : Definition and Preliminary Results. [Research Report] RR-2645, INRIA. 1995. <inria-00074045>
Transcript
Page 1: Multifractional Brownian Motion: Definition and ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Multifractional Brownian

HAL Id: inria-00074045https://hal.inria.fr/inria-00074045

Submitted on 24 May 2006

HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come fromteaching and research institutions in France orabroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, estdestinée au dépôt et à la diffusion de documentsscientifiques de niveau recherche, publiés ou non,émanant des établissements d’enseignement et derecherche français ou étrangers, des laboratoirespublics ou privés.

Multifractional Brownian Motion : Definition andPreliminary Results

Romain-François Peltier, Jacques Lévy Véhel

To cite this version:Romain-François Peltier, Jacques Lévy Véhel. Multifractional Brownian Motion : Definition andPreliminary Results. [Research Report] RR-2645, INRIA. 1995. <inria-00074045>

Page 2: Multifractional Brownian Motion: Definition and ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Multifractional Brownian

ISS

N 0

249-

6399

ap por t de r ech er ch e

INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE

Multifractional Brownian motion:definition and preliminary results

Romain Francois PELTIER, Jacques LEVY VEHEL

N˚ 2645Aout 1995

PROGRAMME 5

Unite de recherche INRIA Rocquencourt

Domaine de Voluceau, Rocquencourt, BP 105, 78153 LE CHESNAY Cedex (France)

Telephone : (33 1) 39 63 55 11 – Telecopie : (33 1) 39 63 53 30

Page 3: Multifractional Brownian Motion: Definition and ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Multifractional Brownian

������������ ���������� �������������� �������������! "�#%$ ���&���'���( )� "(* � # ��+���+�� ���,-� #/. ���&� .

021�354�687:9);<4=7?>@ 1A68B2C!D!EGF�HID!0KJ)L�4 @NMPO�Q B�E�DSR2T�RUDWVXD!E

Y�Z\[^]^Z�_a`�`�b�c!dfegZh_jilkmbn`�bnopkrq�sXt\iu]vo�_jw&xA_as�km[v`2_jk\iuyNs�bSbIk{z�Zm[NqAs�|Ik\i}y~s�bY�Z\[v�'bIk���Zh_j|Ik�_aw}bnt

��_az�z�[^Z+k�q�b?Zmbn|���bnZm|���b�oW���a�a�~c�d���[P�s�k!�<�^�^c!df�^�Wz=_a]vbnt

�����I���<���a�^��� b�]vbnoAbnZ�_aw}iu�Ib�k\��b�qAbI�Ao�i}k\i}[^o�[v��km��b�� Zh_a|hkmi}[^o=_aw�¡�Zm[<¢{o�i£_ao¤`�[vk\i}[^o¤[v�¥bI¦�z�[voAbnopk¨§k\[Wk\�Ab{|<_atmb�¢{��bnZmb?§-i}t�o�[¨w}[^o�]vbnZ�_S|n[^o�t\k�_aopk�x�©�s�k{_?� s�o�|Ikmi}[^oª[v�/k\��b{k\i}`ªb�i}o�qAbI¦«[a�/km��b�z�Zm[N|nbntmt<¬e¥�Ai}t!_jwuw}[<¢{t?sAtSk\[X`�[NqAbnw�o�[^o�t\k�_jk\i}[^o=_aZ+­¤|n[^opk\iuoNsA[vs�tWz�Zm[N|nbntmt\bnt<xP_joAq¤¢rb�t\�A[�¢®k\��_<k¨§�¯±°m²?_ao�q�r³�§�¯8°\²¥_jZmb�iuo�q�bnbnqªZmbntmz�bn|Ik\il´pbnwl­�k\��bSw}[~|<_jwgµW¶[^w}q�bnZ¥bh¦�z�[^o�bnopk�_ao�q2k\��b?w}[N|<_aw%©%[�¦2_ao�qUµ�_jsAt\qA[vZ\·q�iu`�bno�tmi}[^o�_<k�z%[viuopk�°h¬)�Gi}o=_aw}wl­px^¢rb{z�Zm[^z�[vtmb�_�tmi}`�s�w _<kmi}[^o�`�bIk\��[~q�_ao�q2_ao�bnt+kmi}`2_jk\i}[^o�z�Zm[~|nbIqAs�Zmb� [vZ?§�¯±°m²�� [vZ�[^s�Z�`�[~q�bnw�¬¸º¹~»�¼\½!¾ �v¿G�a� �£Zh_a|Ik\i}[^o=_aw)¡�Z\[<¢{oAi£_aoº`�[vk\i}[^o/xA�£Zh_a|hkh_jw&x/µW¶[^w}q�bnZ�bI¦�z�[voAbnopk�xPµ�_as�tmq�[^Z+·Àq�i}`�bnoAt\iu[vogxÁ _as�tmt\i _joXz�Zm[~|Ibntmt<x�|n[voNk\i}o~s�[^s�t�z�Zm[~|nbItmt<¬

 ÃWÄÅ+Æ&Ç<È ÄÅ{ÉgÊ}Æ&Ë&ÌnÍÎgÏhÐ{ÑhÒÔÓ{ÕaÖ±ÑIÓA×Ø ÏIÒÔÙ/Ú�Û+Ü Ý�ÒÔÛ+ÖpÞ<ßPÓjÒ ànÛ+Ö8Ù�Ò Ý�áÛGâjÛ�ÚpãGÎPä8å¥æ�ä=ç�ä èGÎgä±ãWÞjÛç£Ð�ÑIÒÔÜ\Þjé^Û+Ü Ý�ÒÔÛ+Ö&êPëvÏIÖ8Ñjì ÒÔÓjÖ8ÒÔÑjì ílÖîhÑ Ø+ï<ð Û\Ù%ñ�áÛà�ò{æSáÛ\ó<Û\ÜmÞaÛçuÐ�ÑIÒÔÜ\ÞIô£Ü àaêGëvÏIÖ±Ñaì ÒÔÓjÖ±ÒõÑjì ílÖ

Unite de recherche INRIA Rocquencourt

Domaine de Voluceau, Rocquencourt, BP 105, 78153 LE CHESNAY Cedex (France)

Telephone : (33 1) 39 63 55 11 – Telecopie : (33 1) 39 63 53 30

Page 4: Multifractional Brownian Motion: Definition and ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Multifractional Brownian

������� # � # ���5���A������� # � � ���&���'h�� ������������ ��� # "��#%$ ���&������ # �5� �#/. ���&�� P� . * � �# ��+���+�� ��� #/.

���¹ ��� �¹ ��� [^s�t�] bno� bnZh_jwui}tm[voAt¨w£_ºq� bI�Ao�i}k\i}[^o q�s `�[vs�´^bn`�bnoNk¨¡�Zm[<¢{o�iubnoÀ� Zh_j|Ik\iu[voAo=_ai}Zmbªq�b2z=_��Zh_j`��bIkmZ\b2§ _as |<_jt�[��s�§ o�� bnt\k�z�w}s�t�s�oAb2|n[^o�t\k�_aopkmbº`2_jiut!s�oAbX� [voA|Ik\i}[^o q�bXw�� i}oAq�bI¦ q�b2k\bn`�z�tq�sÀzAZ\[~|nbnt\tms�t<¬��bnw£_ªo�[^s�tWz�bnZ\`�bIk�q�b�`�[Nq� bnwui}tmbnZ�q�bnt!zAZ\[~|nbnt\tms�t�|n[^opkmi}oNsAt!o�[^o t\k�_jk\i}[^o�o�_ji}Zmbnt<x%bIko�[^s�t¥`�[voNk\Zm[voAt�yNs�b?§�¯±°m²)bIk���³º§�¯±°\²�tm[^opk�bno�bI·%bIkrZ\bntmz�bn|Ik\il´pbn`�bnopk�w�� bI¦~z%[vth_aopk�q�b?µW¶[^w}q�bnZ¥bIk¥w}bntq�iu`�bno�tmi}[^o�t�qAb!©�[a� �lk\bnt{bhk�q��õµ�_as�t\qA[vZ\·¤w}[~|�_aw}bnt�_jsUz�[viuopk�°I¬���o��=o/x�o�[^s�t�z�Zm[vz�[^tm[voAt�s�o�b�`� bIkm��[NqAbq�b�tmi}`«s�w£_jk\i}[^o�bIk{sAo�b�z�Zm[N|� bnq�sAZ\bSq�� bnt\k\iu`2_<kmi}[^oªq�b!§�¯±°\²rz�[^s�Z�o�[vk\Zmb�`�[Nq��bnw}b^¬� ¾ �j� ¼ ��� �¹ � `�[vs�´^bn`�bnoNkª¡�Zm[�¢�o�i}bno�� Zh_j|Ikmi}[^o�o=_ai}Zmb^x�� Z�_a|Ik�_aw}b^x�bI¦~z%[vth_joNk2q��ÔµW¶[^w}q�bnZ<x�q�i}`�bnoAt\iu[voq��õµ�_jsAt\qA[vZ\·�x�z�Zm[N|nbntmt\sAt Á _jsAt\tmi}bnogx~z�Zm[~|Ibntmtms�t�|n[^opkmi}oNsg¬

Page 5: Multifractional Brownian Motion: Definition and ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Multifractional Brownian

� ����������� ������������������������ ��"!����^¬$#"%'&�(*)�+�,�-*&/.0)1%

e¥�AbS�£Zh_a|Ik\i}[^o=_awG¡�Zm[�¢�o�i£_aoX`�[vk\i}[^o�¯±�8¡�`º²�[a��iuo�q�bI¦º§ ¯3254 §64 �<²¥¢�_at�q�bI�=o�bnqK©p­87K_ao�q�bnw �©�Zm[vk�_jo�q89�_ao � bntmtS¯m���^�;:p²r_atrk\�Ab!t\k\[N|h�=_jt\k\iu|?iuopk\bn]^Zh_jw�x�� [^Z{°�<=2>@?�¯±°m²�A �B�¯'§DC �FE^�^² G�HJIK'L8M ¯8°�³JNj²

? K'OQPQR ³ ¯\³SNj² ? K'OQPQR�TVUXW ¯YNj²'C H[ZI ¯8°�³JNj² ? K/O\PQR�U]W ¯^Nj²�_a`� ��bnZmb W qAbno�[akmbntS_ � i}bnoAbnZ�z�Zm[N|nbntmt�q�bI�=o�bnqU[^o�¯\³Sb=cdb ²�¬e¥�AbI­ t\�A[�¢rbnq km�=_jk�k\��iut¨z�Z\[~|nbnt\t«�=_at�t\bnw}� �8tmi}`�iuw£_jZW_ao�q t\k�_jk\i}[^o=_aZ+­ iuo�|nZmbn`�bnopk\t�_joAq |n[voNk\i}o~s�[^s�tth_j`�zAw}b�z=_jk\�At�¢{i}k\�¨z�Zm[v©�_j©Ai}w}i}k&­![^o�b^¬fe&k�`2_n­S©�brtm��[<¢{o2¯�t\bnbrb^¬ ]A¬g7U_ao�qAbnw}©�Zm[ak����ih;�¯\�<�v�g:^²Gz/¬a�~�vc^²k\��_<k{¢{ilk\�XzAZ\[^©=_a©�i}wuilk'­ª[vo�b^x�i}k\t�]^Zh_jz��U�=_at�µ�_as�tmq�[vZ\·�_joAqX©�[�¦Xq�iu`�bno�t\iu[vo2bnyNs�_jw�k\[2��³À§À¬eo�k\��i}t�z�_jz�bnZ<x�¢rb�q�bI�AoAb�km��b8jlk�m�V� n��\hpod�V�3qsr'h;�tu�\qsvwr*��hsrJj5qs����qsrÀ¯�`2¡�`X²¥¢{�Ai}|��¤]^bno�bnZh_jwui}�nbntk\�Ab¨�8¡�`-¢{ilk\�¤°�x M 2Xcdb ²�©p­Kt\sA©�t\k\ilk\s�k\i}oA]�k\[ªk\��b«z=_jZh_a`�bIk\bnZ?§�_2µW¶[vwuq�bnZ�� s�o�|Ik\iu[vo §�¯±°\²hx�tms�|��k\��_<k�2 45§�¯±°m²u4:�v¬� bª©�bnwui}bI´^b«k\��_<k¨k\�Ai}t!oAbh¢ z�Zm[N|nbntmt!q�[~bnt¨z�Zm[�´�i}q�bª_ºs�tmbI�£sAw�`�[~q�bnw�� [^Z«_2��[^t+k¨[a��|n[voNk\i}o~s�[^s�t

_ao�q¤o�[^o¤t\k�_jk\i}[^o=_aZ+­Ko=_jk\s�Zh_jw�t\iu]vo�_jwut�¬ye&k?i}t�¢¥bnw}w1z~o�[<¢{oKk\��_<kS�±¡�` � t�_aZmb¨t\bnwl� ��tmi}`�i}w _jZrz�Zm[N|nbntmtmbnt O x_aw}w}[<¢{iuo�]ªk\[X|n[voN´^bnoAi}bnopk\w}­�q�bntm|nZ\iu©�b�i}ZmZmbn]vsAw£_aZ�t\iu]vo�_jwut�¢{�Ai}|�� _jZmi}tmb¨i}o¤`2_aop­Kt\i}k\s=_jk\i}[^o�t«¯�t\bnb�b^¬ ]A¬7K_joAq�bnw}©AZ\[vk{�d�5h;¥¯\�<�v�g:p²+²�¬rµ{[<¢rbI´^bnZ<x�km��bºz�[^i}oNk&¢�i}tmbºi}ZmZmbI]^s�w _jZmilk'­ [a��_ao��8¡�`�iut�k\��bUt�_a`�bU_jwuw_aw}[^o�]¨ilk\trz�_<k\�g¬=e¥��iut�w£_at\k¥z�Zm[^z�bnZ+k'­�iutrt\[^`�bIk\i}`ªbIt)s�oAq�bntmi}Zh_j©�wub^xNtmi}o�|nbSilk¥Zmbnt\k\Zmi}|Ik\t�k\��b?�Abnw}q2[a��_jz �z�wui}|<_jk\i}[^o/¬A��[^Z�i}o�t\k�_ao�|nb^x��8¡�` �=_n´^bS� ZmbnyNs�bnoNk\wl­X©�bnbnoºs�tmbnq2� [vZ�t\­~oNk\��bntmi}�ni}oA]�_aZ+k\i}�A|ni£_aw%`ª[vs�oNk�_ai}o�t¯8tmbnb�b^¬ ]A¬�9�[vtmt¨��¬Ô��¬�¯\�<�g:^c^²+²�¬�|NsA|�� _X`�[Nq�bnwui}o�]U_at\tms�`�bntSkm�=_<kWk\��b�iuZ\Zmbn]^s�w£_aZmilk&­¤[v�{_º`�[^s�oNk�_jiuoi}t�bI´pbnZ+­~¢{��bnZmb�km��b!th_a`�b^¬Xe'k�_az�z�b<_aZ\t�km�=_<k�iuoUZmb<_jwuilk'­ªk\�Ai}tS_at\tms�`�z�k\i}[^oXi}t{k\[N[ªt+k\Zm[^o�]�©�bn|<_as�tmb!i}oz=_aZ\k\i}|nsAw£_jZ<x%[^o�b�qA[Nbnt!oA[akSk�_szvb�i}oNk\[K_a|n|n[vsAopk!bnZm[vtmi}[^o�zA��bno�[^`�bno=_�¬���[^o�tmbnyNs�bnoNk\wl­px/ilk�tm��[vsAw}q�©�b|n[^op´pbno�i}bnoNkWkm[UZmbnw£_j¦¤k\�Ab�|n[voAt+k\Zh_ai}oNkW[v�rt\k�_jk\iu[vo=_aZmilk'­ _ao�qÀ©�b�i}oAt+kmb<_jq _j©�wub�k\[K|n[voNk\Zm[vw)km��b�w}[~|<_jwi}ZmZmbn]vsAw£_aZ\i}k&­p¬aer��br`�[NqAbnw~zAZ\[^z�[^t\bnq«i}oWk\��iut�¢r[vZQz!tmbnbn`�tPk\[�©�b¥k\��b{t\iu`�z�w}bnt\kP]^bno�bnZh_jwui}�<_jk\i}[^o¨[a���8¡�`k\��_<k{�£sAwl�Awuw}trk\�Ai}t�ZmbnyNsAi}Zmbn`�bnopk�¬e¥�Ab?Zmbn`2_jiuo�q�bnZ¥[a�G[vsAZ�z=_az�bnZ�i}tr[^Zm]p_ao�i}�nbnqU_atr� [vwuw}[<¢{t<¬pe'o{|Nbn|Ik\i}[^oK�~x�¢¥bSq�bI�Ao�b?k\��b�zAZ\[~|nbnt\t{_at�_t\k\[~|��=_at+k\iu|�i}oNk\bn]^Z�_aw)_ao�q�¢¥b�tm��[<¢ k\��_<k!ilkSi}t?|n[^opkmi}o~s�[vsAtS¢{ilkm�¤z�Zm[v©=_a©�iuw}ilk'­U[^o�b^¬ � b�km��bno�zAZ\[<´pb_º��[^`�[akm[vzN­�z�Zm[^z�bnZ\k&­�[v�rk\�Ab��8¡�`K¬'eo}|~bn|Ik\i}[^o ��xg¢rb�t+kms�q�­�k\��b2w}[~|<_jw¥µW¶[^w}qAbIZWz�Zm[vz%bIZ\k\iubnt�_ao�qtm��[<¢ k\��_<k�¢�ilk\�¤zAZ\[^©=_a©�i}wuilk&­X[^o�b^x�k\��b«t�_a`�z�wub�z�Zm[N|nbntmt��=_at�_jk?b<_j|���z�[viuopk�° I <~2�w}[~|<_jw��Qq���hsr/���hsk]���pqs�V���s�Vj��dry�"�3qsrWbny~s=_jw�km[ª�{³À§ ZV� _ao�q���k]r/o���k*h;*�{�q;��p�d�l�\�d��qsr/��r*�%bnyNs�_jw�km[�§ ZV� ¯8tmbnb?q�bI� �o�i}k\i}[^o�t)i}o�|~bn|Ik\i}[^o��p²�¬ge'o�|Nbn|Ik\iu[vo��Axv¢rbrz�Zm[vz�[^tmb�_�tmi}`«s�w£_jk\i}[^o¨z�Zm[N|nbnq�sAZ\b{_ao�q�q�bntm|nZ\iu©�b{_?o=_<kms�Zh_jw`�bIk\�A[Nqª�£[^Z�bnt\k\i}`2_jk\iuo�]Wk\��bS� s�oA|hkmi}[^oU§�¯8°\²�¬ � b�|n[^o�|nw}sAq�b�km��i}t�tmbn|Ik\iu[vo2¢{i}k\�Xtm[v`�b�bI¦~z�bnZmi}`�bnoNk�_awZmbnt\sAwlk\t<¬

�~¬�� ����.0%'.�&/.0)1%�)1����,���&'.V�](*�/-�&'.V)1%'������(y)���%'.���%}��)�&'.V)1%¡�bI� [vZmb�i}oNk\Zm[Nq�sA|ni}o�]¨km��b�`2¡�`Kx^¢¥b�tmbIkrk\��b�� [^w}w}[<¢�i}o�]¨q�bI�AoAilk\iu[voU[a�)_�µW¶[^w}qAbIZ��£sAo�|Ik\iu[vo��

 X¹p¡w¢1£ � ££¾'¢¥¤�¦^§J¨¾ �±¿ ¹ �ª© � ¢ �a� £ ¾�¢ ¾ © ¹X«�¬�¾'¢g¹]¢ �5­¯®F°�����S¯�±�c Ug² ²8hsr'�U¯3³�c UX´ ²a�Q����v�q�j5�d�V�d��oª���yhpo\�d���¶µ·n"k]r/o�����qsr¹¸º�i±¼»½³¾�0��o\h;V��Q�JhXµW¶[^w}q�bnZ� s�o�|Ikmi}[^oº[a��bI¦�z�[voAbnopk ­J¿ 2]c�� n¯n�qs�l�\h�o"!�À�cQÁ�xa±Â�"k*o"!a�0!�hs� Up² ¯�À�c\ÁA²�4:��v��@!�hs�s�FÃ

U�´ ¯Y¸g¯�À�²"c�¸g¯�ÁA²+²uÄÆÅF` Ug² ¯�À�cQÁ�²3ÇÈ Ý8Ï�ë^Û ï<ð Ò Ý8ÛrÖ8Ò ÉhÏIÖ±Ï ð Ù\ÊvÝ�ó<Û\Ù�Û�éjÖ8Ï Ø Û+Ù�Ù�Û\ÙGÑhÖ8Û¥Ö8ÑhÝ8ójÛ+Ö�Ù�Û\Ü íõç£Ñ"Ë�ÓjÛ�Ý�ójÑhÓWÙ�Û+Ü íõç£Ù�ÒÔÐ�ÒÔÜÔÑIÖ^Êjë ð Ý)Ý8ójÒÔÙ)ÜÔÑhÙ8ÝGÝ�Û+Ö8Ð ÒÔÙ�Ð{ÏhÖ8ÛÌ ÒÔâjÛ+Ü ò ð Ù�Û\âpì

ä èGÎPä ã

Page 6: Multifractional Brownian Motion: Definition and ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Multifractional Brownian

��k�m�V� n"�Qhpo�����qsr'h;�t¶�Qqsvwr*��hsr�j�qs����qsr/�i�p���wr*�0����qsr hsr'�S���Q�� �0jl�0r/hs�����\�d�"k� ��� �

n�qs�@��qsj5� oQqsry�"�Yhsr*�1Å ¿ 2y� X¹p¡w¢1£ � ££¾'¢��Ʀ � ��u� £ ©&�j�=�a� £ ¾'¢ ������� ¾�½5¢1£ � ¢�� ¾ � ££¾'¢ ®F°�����G§ � M 2Xcdb ²i» ¯Y2Xc<�<²$�\�lh����q; �p���wn"k]r'od�V�3qsr�q n��Q���yqsr/��r*� ­J¿ 2*�/��qs��°u<}2��0!���n�q;0 qsvw�0r�$�\hsr��pqsj�n"k]r/o��V�3qsr��¶�p��r/qs�3�Q�a��� W ?S¯8°\²�qs� W ? ��¯±°m²Q���0��o\h;V��Q�ª�Q�Q�skyoQ�Q������������������� ���"!$#%�&��'(��!$)*#+����#�,!����"!$#Æv¯�0�V!@n�k]r'od�V��qsr/h;���hs�Qhsj5���Y����§�ÃW ? �I¯±°m²�A �B�¯'§ Z C �FE^�v²

G¯H IK'L M ¯8°�³JNj²

? � K'OQPQR ³ ¯\³SNj² ?-� K'OQPQR T0UXW ¯YNj²/C H ZI ¯±°�³[N<² ? � K'OQPQR UXW ¯YNj² _ cv¯!����Q� W �p�dr'qs�Y��� �V!��aqs�Q�s�0r/hs���ªt¶�Qqsvwry�3hsrJj5qs�V�3qsr}hsr/�a�0!����0r*�Y���g�Qhs�V��qsr[�0�l�3h/.g��r��VrJ�V!���j5�\h;r�10dkyhs�Q�����dry���F�e¥�Ai}t�o=_jk\sAZ�_aw�bI¦Nkmbno�tmi}[^o¤[a�)�8¡�` Zmbnt\sAwlk\t�iuoUtm[^`�b�t\bnoAt\b¨i}oÀ_32wu[vtmt54ª[v�)z�Zm[^z�bnZ+kmi}bntF�=k\��b¨i}o�|nZmb �

`�bnoNk\t�[v��`2¡�` i}oAq�bnbnqK_aZ\b�oA[voKt\k�_<kmi}[^o=_aZ+­U_joAqºkm��b!z�Zm[~|nbItmt�i}t{o�[�`�[vZmbSt\bnw}� ��tmi}`�i}w _jZ<¬�µ{[<¢rbh´pbnZ<x¢rb�tm��[<¢ k\�=_jk�k\�Ab�_atmt\s�`ªz�k\i}[^oWk\�=_jkr§ i}t�_�µW¶[^w}q�bnZ�� s�o�|Ik\iu[vo�bnopkh_jiuw}t)k\��b{|n[voNk\i}o~s�ilk'­«[v��k\��b�`2¡�`K¬� [vk\b?k\�=_jk�k\�Ai}t�|n[^o�q�i}k\i}[^oXi}t�_¨t\s76�|ni}bnoNk�[voAb^x~¢���i}|h�ª`�i}]^�pkr©�b?Zmbnw£_j¦�bIq2km[«iuo�|nw}s�qAb?`�[^Zmb{]^bno�bnZh_jw� s�o�|Ikmi}[^o�t<¬

¡�bI� [vZmb�z�Zm[<´~i}oA]¨k\��b�|n[^opkmi}oNsAilk'­2[v�Pkm��b�`2¡�`Kxv¢rb?Zmbn|<_aw}w/tm[v`�b�¢rbnw}w�z~o�[<¢{oXZ\bntms�w}k\tF�¯\�j²�8 ���a�;° �/�d�&9��p��r/qs�Y�ShS�Qhsr'�pqsj �shs���3hp�d �/n�q;V�qsvw�0r�@h;r;:�¯32]c=< R ²u�hsv¶��>�!���rSn�qs��hsry�@? ¿ 2v��$!�hs�s�BA^���Q� ���C������h"��qsk� �0�DA5E�F FEHG�����E EJI=GiÃ

K M L ± L M T A � M PQR BON MHP ORRQB�¯ OR ² < M ` ¯'�N¬m2^²

¯'�^²TS;Ug¹N¾ � ¹ WV ¸º¾ � ¾$X=¾ � ¾ZY �v� £ � ¹ � £ ¾'¢\[¯8tmbnb!b^¬ ]A¬ � [^o�]{����h;A¯\�<�;:pcv²rz/¬�c^]^²�¬�����S± Z c{°¶x`_¾�Q�{h ���3�yhs�\hp���� ���QqFo\�d�"��hsr/�{��d�a_ �Q��h��¯r*�0�Y�ª�0r*�Y�����;h;��@bVn��0!��d�\�{�\�g�0�"��"������od��m����qs�"�0���0�;��oQqsr*�"�3hsr*���dcw� e��-f �"k*o"!a�0!�hs�gK L ± Z P h ³{± Z L i ÄRfkj O P\l �V!���rtms�zZnm oHp�qr Z K o r s h

L ± Z ³{± o Lut1v o v³m³�³^»h/w I 2X`e¥��b«_atmt\s�`ªz�k\i}[^oº[v��t\bnz=_aZh_j©Ai}w}i}k&­X[a�)k\��b¨z�Zm[N|nbntmt�i}t?o�[akSt+kmZ\[^o�]Ax�©�bn|�_as�tmb¨il�g_ i}oAq�bnbnq¤i}t_«Zmb<_jwPi}opkmbIZ\´^_aw�k\��bnoKbI´^bnZ\­ºz�Zm[N|nbntmt{`2_n­ª©�bW_atmt\sA`�bnq2tmbnz=_aZh_j©�wub«¯8tmbnb!b^¬ ]A¬���q�wubnZ�¯m���g:~�j²z/¬/�jcv²h¬

¯&�p²TS;Ug¹N¾ � ¹ WV x<� ¾ ¹ ��� »}¬ � ¾*¬�¹ ��� »&[{¯8tmbnb�b^¬ ]A¬ � [^o�]{����h;A¯\�<�;:pcv²rz/¬/�n�^�N²�¬������y W Z c{z Z{| �Q��h$tu�\qsvwr*��hsraj5qs�V��qsr{hsr'�l��d� }P¯�~�c+°\²�hsr/����¯�~�c\°\²��\�@�Qhsr'�pqsj¥n"k]r/o��V�3qsry�� qs�0r*�� ��j5�Qhs�"k]�\h��d����0r ¯�~�c\°\²`A^vw�0�V!J�\�d�����Qo��l�YqTz �Vr�~ hsr'���V!��a�����Q�����gk*�8j5�\hs�"k]�Q�8�0r°�GÆhsr/���"k*o"! �V!�hs��n�qs�{hsr*� ¯��yc=�n²¹x e � R �k� 4��F��v¶��!�hs�s���+�t K�¯ L } Z L R ² U °[4 b hsr/�� �t K«¯ L � Z L R ² U °u4Æb �d>�!��dr

K MH �t } Z UXW ¯±°\²�` H �

t � Z UXW ¯±°\² T A H �t K«¯n} Z � Z ² U °�`

ÎgÎ Óg���=�H���

Page 7: Multifractional Brownian Motion: Definition and ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Multifractional Brownian

� ����������� ������������������������ ��"!���

� � ¾*¬�¾ � £ � ££¾'¢�� °�� �0�0!l���Qqp�\hp�d�V �V�V�aqsr/�"� W ? � ¯±°m²Q�)¯32 Ä °�4¥b ²@�0�$h�oQqsry���0r*k*qskX�¯n"k]r'od�V��qsr{q n�°F��D��!Z! ���

��[vZ{|n[voN´^bnoAi}bno�|nb^x�¢rb�i}opkmZ\[~q�s�|nb?k\��bS� [^w}w}[<¢�i}o�]�oA[ak�_jk\iu[vog¬��[vZ�b<_a|�� °º<¼2 tmbIk W ? � ¯±°\²=A O� ?-��� y� O ¯±°m²SC� R ¯8°\² | ¢{�AbnZ\b� O ¯±°\²ÆA � IK/L ¸g¯YNgc+°m² UXW ¯YNj²�x R ¯8°\²�A � ZI�� ¯^N;c\°\² U]W ¯YNj²�¬r��[vZ2b<_j|��~N�4 °Ix�w}bIk � ¯YNgc+°\²�A ¯±°�³~N<² ? � K��� _ao�q�� [^ZXb�_a|�� ° ¿ 2~xN@4=2�x�¸/¯YNgc\°\²wA � ¯YNgc+°m²g³ ¯\³SNj² ? � K��� ¬� b�z�Zm[�´pbSk\�=_jk� O ¯8°\²r_ao�q� R ¯8°\²{_jZmbS|n[voNk\i}o~s�[^s�t�� sAo�|Ik\i}[^o�t?_jk�_joN­ª°u<Æ2�¬��� ¹�¬�¤=¬ � b�tm��[<¢ km�=_jk�x�� [^Z�2 Ä °u4Æb x� O ¯±°\²r�=_at�_aw}`�[^t\k�_aw}w%z�_<km��t�|n[voNk\i}o~s�[^s�t�¬e'k�i}t�tmsZ6�|Iiubnopk�km[!tm��[<¢ k\��b�|n[voNk\i}o~s�i}k&­«[^o�b<_j|��ª|I[^`�z=_a|Ik�i}oNk\bnZ\´v_aw M �ycH� T�� M 2Xcdb ²P¢{ilkm���/³ ��4:�v¬��[vZ{k\�Ab�t�_sz^bS[v��oA[ak�_jk\iu[vo�_jwgtmiu`�z�w}iu|Ii}k&­pxp¢rbW_jtmtms�`�b?k\�=_jk �ªÄ °�4 °���ÄR�S_ao�q{2l4 § Z 4 § Z � 4 �vx_ao�q�¢¥b�tmbIkB: A! O ¯±°"�£²�³� O ¯±°m²�¬�: i}t¨_ Á _js�tmtmi£_ao�Zh_ao�q�[^` ´^_jZmi£_a©�wub^¬/e¥��bno ¢¥b5zNo�[<¢Wx�©N­¤k\��bi}tm[^`�bIk\Z\­�zAZ\[^z�bnZ\k&­px�k\�=_jk :$# :�¯32]c � IK'L ¯Y¸g¯YNgc+° � ²G³�¸/¯YNgc+°m²+² R U Nj²�¬%�bIk j O ¯'&�²¯A ¯'&�³JNj² ? � � K �� _ao�qOj R ¯'(A²wA ¯8°�³[Nj²*) K �� ³ ¯\³SNj²*) K �� ¬=e¥�Abno��¸g¯YNgc+° � ²G³J¸g¯YNgc+°\²wA M j O ¯±° � ²G³3j O ¯8°\² T C M j R ¯&§ Z � ²G³3j R ¯&§ Z ² T ¬� b�_az�z�w}­�k\�Ab�k\�Abn[vZmbn` [^o��AoAilk\b�iuo�|nZmbn`�bnopk\t)km[!km��b?�£sAo�|Ik\i}[^o�taj O ¯8�£[^Z�&�x M °�c\° � T ²�_joAq j R ¯8�£[^Z(�x M § Z+� ch§ Z T ²�¬ � b¨[v©�k�_ai}oUk\��bW� [vwuw}[<¢{i}oA]�i}o�bny~s=_aw}ilk'­�¯±¢¥bW�=_n´^b¨s�tmbnqUk\��bW� [vwuw}[<¢{i}oA]�[v©N´~iu[vsAt��±_a|Ik¯n�@C �I² R Ä �N¯n� R C � R ²+²��¯Y¸g¯YNgc+° � ²G³J¸g¯YNgc+°m²+² R Ä � M y^¯±° � ³¤°m² R ¯'§ Z � ³

�� ² R ¯-,�³JNj² R ? � � K/. | C ¯'�N¬u�<²

y^¯&§ Z+� ³À§ Z ² R10 w}[^]�¯8°�³JNj²m¯8°�³JNj²�2 K��� ³�w}[^]A¯\³SNj²m¯\³SNj²�2 K3��54 R | T c¢{i}k\�6,ax�¯±°dc+° � ²r_ao�q87�x¤¯'§ Z c�§ Z+� ²�¬� b�o�[<¢ |���bn|"zªk\��b:9?[^w}`�[^]v[^Zm[<´�|nZmilk\bnZmi}[^o�� [^Z1 O ¯8°\²�xg¯±°x M �ycH� T ²�¬ � b�z�Zm[N|nbnbnqºiuo2k\��Zmbnb�t+kmbnz�t��

; � b?�=_n´^bS� M ¯±° � ³ª°\² R ¯&§ Z � ³ OR ² R ¯',?³8Nj² R? � � K/. T Ä OR ¯±° � ³�°\² R ¯±°=³8Nj² R ? � � K�. x«km��bnZ\bI� [^Z\b�k\��bnZmb

bI¦~iut+kmt < O ¿ 2�t\sA|��2k\�=_jkH IK'L � M ¯±° � ³¤°\² R ¯&§ Z � ³

�� ² R ¯-,«³[N<² R ? � � K/. T0U N�Ä�< RO ¯±° � ³¤°\² R 4=b ` ¯'�N¬ �v²

; ¡�­2q�bI�=o�ilkmi}[^o2[v�Gk\��bS� s�oA|Ik\i}[^o¤§�¢¥b��=_n´pbSk\��b�iuo�bnyNs�_jw}i}k&­

¯&§ Z � ³ § Z ² R ÄÆÅ L ° � ³¤° L R Ç c Å ¿ 2]c ¯'�N¬õ�^²

¢{��iu|��X¢{iuw}w�©�b�sAt\bI� s�wPi}o2k\��b�tmbnyNsAbnw�¬

� bWo�[<¢ t\�A[�¢:km�=_<k{k\��b!�£[^w}wu[<¢{i}o�]¨iuo�bnyNs=_aw}i}k&­ª�A[vw}qAt��tms�zZnm 2

H[IK'L 0 wu[v]A¯±°�³JNj²m¯±°)³JNj²�2 K �� ³�wu[v]A¯m³�Nj²m¯m³SN<²"2 K �� 4 R U N�4 b=` ¯'�N¬ �N²

ä èGÎPä ã

Page 8: Multifractional Brownian Motion: Definition and ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Multifractional Brownian

��k�m�V� n"�Qhpo�����qsr'h;�t¶�Qqsvwr*��hsr�j�qs����qsr/�i�p���wr*�0����qsr hsr'�S���Q�� �0jl�0r/hs�����\�d�"k� ��� �e¥��b�µW¶[vwuq�bnZ��£sAo�|Ik\i}[^o2§ iut�|n[^opk\iuoNs�[^s�t�[^o M �*c=� T xjk\��bnZmbI� [vZmbrkm��bnZ\b{bI¦~i}t\k��ic��ªx�¯32]c��j²Ptms�|��k\�=_jk��£[^Z�_aop­2°ux M �yc=� T ¢rb��=_n´^bW§ Z x M �¯c�� T ¬

� e'oXkm��bS�AZmt\krzAw£_a|nb^x~¢rb?tm��[<¢ km�=_jk

tms�zZ m 2H IK'O 0 w}[^]A¯±°)³JNj²m¯±°�³�Nj²�2 K �� ³�wu[v]A¯m³SN<²�¯\³SNj²�2 K ���4 R U N�4 b=` ¯'�N¬ cv²

� b��=_n´pbHJIK/O 0 w}[^]A¯±°�³�Nj²m¯±°�³�Nj²�2 K �� ³Àw}[v]A¯m³SN<²�¯\³SNj²�2 K �� 4 R U NÄ � M

HJIK/O ¯8w}[^]A¯±°)³JNj²+² R ¯±°�³�N<² R 2 K'O U N�C

HJIK'O ¯8wu[v]A¯m³SN<²\² R ¯\³SNj² R 2 K/O U N TÄ � M

HJIK/O ¯8w}[^]A¯n��³�Nj²+² R ¯±°�³�N<² R 2 K/O U N�C

HJIK'O ¯8wu[v]A¯m³SN<²\² R ¯m³SN<² R���K/O U N TÄ �N¯8w}[^]A¯n�¯C �j²+² R ¯n��C �j² R� ³3�

�� C5� H IK'O ¯�w}[^]A¯\³SNj²+² R ¯\³SN<² R��XK'O U N�4¥b=c¢{��iu|��XbIoNk�_ai}w}t�¯'�~¬õc^²�¬

� e'oXkm��b�tmbn|I[^o�qUz�w£_a|nb^x�¢¥bSt\�A[�¢:km�=_<k

tms�zZnm 2H K'OK'L 0 w}[v]=¯±°�³JNj²m¯±°)³JNj²�2 K3�� ³Àw}[^]�¯\³SNj²m¯\³SNj²�2 K3�� 4 R U N@4 b ` ¯'�N¬õ�^²

��[^ZÆN 4 ³��^x�k\�Ab k\�AbI[^Zmbn` [^o �Ao�i}k\b i}oA|nZ\bn`�bnoNk\t _az�z�wui}bnq�km[ km��b � s�oA|Ik\i}[^o,�� ³�» wu[v]A¯-,�³JNj²m¯-,�³[Nj² 2 K �� ³�w}[^]A¯\³SNj²m¯\³SNj² 2 K �� q�bI�Ao�bnq�[vo M 2Xc\° T ¢{i}k\�K°�x M �*c=� T x]vi}´^bnt

0 w}[^]A¯±°)³JNj²m¯±°�³�Nj²�2 K �� ³�wu[v]A¯\³SNj²m¯m³SN<²"2 K ���4 R Ä� � M �¶C w}[^]A¯n��³[N<²�¯*7g³�� ² T ¯\³SNj²�2 K����� R

Ä���� R M �¶C�¯���³�� ² R ¯8w}[^]A¯n��³�Nj²+² R T ¯\³SNj² R�fK/. c

_joAqªkm��b�w£_at\k{`�bn`�©�bnZ�i}t{i}oNk\bn]vZh_a©�w}bS[voÀ¯\³Sb=c�³�� T ¬Ae¥��iutrz�Zm[�´pbnt!¯'�~¬Ô�^²h¬��[^`�©�iuo�i}o�]ª¯�N¬õc^²r_ao�q�¯'�~¬Ô�p²�xA¢¥bS[v©�kh_jiuo�¯'�~¬ �~²�¬

; ¡�­ª|n[v`«©�i}o�iuo�]Sk\�Ab�_a©�[<´^bSt+kh_<kmbI`ªbIoNk\t?¯'�X`}�j²�x%¯'�X`õ�v²hx�¯'�X`Ô�p²�_ao�q�¯'�X` �~²�xN¢rb�i}o��£bnZ¥k\��_<k{k\��bnZmbbI¦~iut+kmt�� O ¿ 2�tms�|��2k\��_<k��k� ?~¯n:¤²�Ä�� O L °"��³¤° L R Ç `��Z\[^` ¯'��`m2^²?¢¥b�]^bIk¨k\�=_jk!� [vZ«_aop­ c ¿ 2~x/km��bnZmbªbI¦~iut+kmt�� R ¿ 2ºtms�|��Àkm�=_jk(K«¯ L O ¯±° � ²�³ O ¯±°m² L i ²¶Ä�� R L °��p³K° L Ç i ¬AeG_fz~i}o�] c ¿ OÇ _ao�qXs�tmi}o�] 9?[^w}`�[^]v[^Zm[�´�|IZmilkmbnZ\iu[vogxp¢¥bS|n[v`�zAw}bIk\b|pk\bnz �^¬

��� ¹�¬ ��¬ � bh¦~k�x�� [vZ�2lÄ °¶4¥b x�¢¥bSt\�A[<¢ km�=_jk1 R ¯±°m²¥��_jt�_jwu`�[vt\k�_aw}w/z=_jk\�At�|n[voNk\i}o~s�[^s�t<¬��t¥_a©�[<´^b^xNi}k�i}t�tmsZ6�|ni}bnopk)k\[Wt\�A[�¢ km��b�|n[voNk\i}o~s�ilk'­�[^o�b<_j|��2|n[v`�z�_j|Ik�i}oNk\bnZ+´^_aw M �*c=� T � M 2Xcdb ²g¢�ilk\���³,�54:�^¬��[vZ{k\�Ab!th_fz^b�[a�)o�[vk�_<kmi}[^o=_awPtmi}`�zAw}i}|ni}k&­pxp¢rb�t\bIk ��Ä5°�4 ° � Ä �S_joAq�2�4 § Z 4 § Z � 4 �!_ao�qX¢�ilk\�k\�Ab�o�[vk�_<kmi}[^oº[a��|Nk\bnzÀ�^x�¢¥bW_at\tms�`�b�km�=_jk�§ Z x M �ic�� T � ¯32]c��j²"`��[vZ{|n[voN´^bnoAi}bno�|nb^x�¢rb�i}opkmZ\[~q�s�|nb?k\��bS� [^w}w}[<¢�i}o�]�oA[ak�_jk\iu[vo��: O A � Z �I M ¯±°"��³JNj²

? � � K �� ³ ¯±°���³[N<² ? � K �� T0UXW ¯YNj²��$: R A � Z �Z ¯±°"�A³JNj² ? � K �� U]W ¯^N<²��: . A � ZI M ¯±° � ³JNj²

? � K �� ³ ¯±°�³�Nj² ? � K �� T0U]W ¯^N<²�`� b��=_n´^bSk\�AbS�£[^w}wu[<¢{i}o�]«Z\bnw _<kmi}[vo@�

ÎgÎ Óg���=�H���

Page 9: Multifractional Brownian Motion: Definition and ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Multifractional Brownian

� ����������� ������������������������ ��"!���K�¯ L R ¯±° � ²G³ R ¯±°\² L R ²wA K�¯ L : O C : R C : . L R ²¶Ä ��¯nK«¯ L : O L R ²�C K«¯ L : R L R ²�C K�¯ L : . L R ²+²�¬� b�o�[<¢ |���bn|"zªk\��b:9?[^w}`�[^]v[^Zm[<´�|nZmilk\bnZmi}[^o�� [^Z1 R ¯8°\²�xA�£[^Z{°¶x M �*c=� T ¬

; � bWt\�A[<¢ km�=_jk�k\��bnZmb�bI¦~iut+kmt�Å O ¿ 2Wiuo�q�bnz�bno�qAbnopk�[a�G°r_ao�qX°"��tms�|��2k\��_<kK�¯ L : O L R ²�ÄÆÅ O L ° � ³�° L R Ç/` ¯'�N¬�]v²

¡�­ªk\�AbSk\��bn[^Z\bn` [voº�Ao�ilkmb�i}o�|nZmbn`�bnopk\t{_az�zAw}i}bnq2k\[«k\��bS� s�oA|Ik\i}[^o/x=q�bI�Ao�bnqU[vo M § Z c�§ Z � T xj � ³*» ¯8°���³�Nj² h K �� x�km��bnZ\b�bI¦�i}t\k\t3, o x�¯&§ Z c�§ Z+� ²)tms�|��ºk\�=_jk¯±°"�A³JNj² ? � � K �� ³5¯±°"��³JNj² ? � K �� A ¯&§ Z � ³À§ Z ²Nw}[^]A¯±°��A³JN<²�¯±°��=³JNj² ��� K �� ¬�{tmi}o�]�k\��b�i}tm[^`�bIk\Z\­�z�Zm[^z�bnZ+k'­px

K�¯ L : O L R ²iA H Z �I M ¯'§ Z+� ³ § Z ²Nw}[^]A¯±° � ³JNj²m¯±° � ³[Nj² ��� K �� T R U N ¯&_p²

A ¯'§ Z+� ³À§ Z ² R H[Z �I ¯8wu[v]A¯8° � ³JNj²+² R ¯8° � ³JNj² R ��� K'O U Ng`�{tmi}o�]�k\��bWµW¶[^w}q�bnZ{z�Zm[vz�bnZ\k&­ª[v�)§ Z x

¯&§ Z+� ³ § Z ² R ÄÆÅ R ¯±° � ³¤°\² R Ç�` ¯�©�²

��[vZ�284·N�4 ° � k\�Ab¨� s�o�|Ik\iu[vo , � ³�»f¯8w}[^]A¯±° � ³ÆNj²+² R ¯±° � ³ÆN<² R � K'O iut?|nw}b<_aZmwl­Uz�[^tmilk\i}´^b�_ao�q`�[^o�[akm[voAi}|?[^o M �ic�� T ¬e¥�~s�t��H Z �I ¯8w}[^]A¯±° � ³[Nj²+² R ¯±° � ³JNj² R ��� K'O U N�A H Z �I M ¯�w}[^] &%² R & R���K/O C ¯8w}[^] &�² R & R�fK'O T0U &

Ä H �I M ¯8wu[v] &�² R & R ��K'O C�¯�w}[^] &%² R & R fK/O T0U &84=b¢{��iu|��º|n[^`�©�iuo�bnq�¢{i}k\��¯&_p²r_ao�q�¯�©�²�­�i}bnw}q�t�¯'�~¬C]^²�¬

; � bWt\�A[<¢ km�=_jk�k\��bnZmb�bI¦~iut+kmt�Å R ¿ 2Wtms�|��ºk\�=_jkK�¯ L : R L R ²�ÄÆÅ R L ° � ³�° L R � ` ¯'�N¬m:^²

e'oAq�bnbnqº¢rb?��_I´pbK�¯ L : R L R ²iA H Z �Z ¯±° � ³JNj² R ? � K'O U N�A ¯±°"��³¤°\² R ?-�

�a§ Z c¢{��iu|��ºbnoNk�_jiuw}tS¯�N¬m:^²�¬

; � bWt\�A[<¢ km�=_jk�k\��bnZmb�bI¦~iut+kmt�Å . ¿ 2Wtms�|��ºk\�=_jkK�¯ L : . L R ²�ÄÆÅ . L ° � ³�° L ����� O m R��� ` ¯'�N¬õ�^²

ä èGÎPä ã

Page 10: Multifractional Brownian Motion: Definition and ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Multifractional Brownian

��k�m�V� n"�Qhpo�����qsr'h;�t¶�Qqsvwr*��hsr�j�qs����qsr/�i�p���wr*�0����qsr hsr'�S���Q�� �0jl�0r/hs�����\�d�"k� ��� �

%�bIk�� [vZ�|n[voN´pbIoAi}bno�|nb^x&j%¯^N<²�A ¯+¯±° � ³JNj² ? � K �� ³ ¯±°)³JNj² ? � K �� ² R x��£[^Z�2�Ä=N�4 °Ixg¬ � b��=_n´^bk\��b!� [vwuw}[<¢{i}oA]Wbny~s=_aw}ilkmi}bnt��HJZI j%¯^N<² U NSA HJZI ¯\¯±°�³�N<² ? � K �� ³ ¯±° � ³JNj² ? � K �� ² R U N

A HJZI ¯8°�³JNj² R ? � K'O C�¯±° � ³[Nj² R ? � K'O ³ �N¯+¯8°�³JNj² ?-� K �� ¯8° � ³JNj² ? � K �� U NA ° R ? ��a§ Z C ¯±°�� ² R ? �

�a§ Z ³ ¯8°���³¤°m² R ? ��v§ Z ³ � H ZI ¯+¯8°�³[Nj² ?-� K �� ¯8° � ³JNj² ?-� K �� U N;`

� bWt+kms�q�­�km��ZmbIb�|<_atmbnt����� �=� ¹J¤=¬�§ Z 4 OR ¬ � b��=_n´pb�k\�Ab?� [^w}wu[�¢�i}o�]¨i}oAbnyNs=_aw}i}k\i}bnt��H Z

I j%¯^N<² U N�Ä ° R ? ��v§ Z C ¯8°��u² R ? �

�v§ Z ³ ¯±°"��³�°m² R ? ��v§ Z ³ � H ZI ¯±° � ³JNj² R ? � K'O U NÄ ° R ? � ³ ¯8°��u² R ? �

�v§ Z C ¯±°���³�°m² R ? ��v§ ZÄ ¯±° � ³¤°\² R ? �

�v§ Z `e¥��bnZmbI� [vZmb�km��bnZmbSbI¦�i}t\k\t�Å . v O ¿ 2¨t\sA|��Xk\�=_jk

K�¯ L : . L R ²wA H ZI j�¯YNj² U N$Ä}Å . v O L ° � ³¤° L R�� `��� �=� ¹���¬�§ Z ¿ OR ¬H Z

I j%¯^Nj² U N�Ä ° R ? ��a§ Z C ¯±° � ² R ? �

�a§ Z ³ ¯±° � ³�°m² R ? ��v§ Z ³ � H ZI ¯±°�³[N<² R ?-� K'O U NÄ ¯±° � ² R ? � ³¤° R ?-�

�v§ Z ³ ¯±° � ³�°m² R ? ��v§ ZÄ ¯±° � ³¤°�CÀ°m² R ? � ³¤° R ? �

�a§ ZA ° R ? � M ¯\��C ¯±° � ³�°\² E<°\² R?-� ³�� T

�v§ Ze¥��bnZmbI� [vZmb�km��bnZmbSbI¦�i}t\k\t�Å . v R ¿ 2¨t\sA|��Xk\�=_jk

K�¯ L : . L R ²¯A H ZI j�¯YNj² U N�ÄÆÅ . v R L ° � ³�° L `��� �=� ¹��/¬�§ Z A OR ¬]eoXk\�Ai}t�|<_atmb«¯'�N¬õ�^²¥i}t�[^©p´�i}[^s�t<¬; ��[^`�©�iuo�i}o�]ª¯��`C]^²�x�¯��`m:^²�xg¯'�X`Ô�p²�x�¢¥b�[^©�k�_ai}o$��k\��bnZmb?bI¦�i}t\k\t � O ¿ 2¨tms�|��2km�=_jkK M ¯* R ¯±° � ²G³ R ¯8°\²+² R T Ä � O L ° � ³¤° L R������ OQPQR m Ç m � � `��Z\[^`�¯'�X` 2p²�¢rb�]vbIk�km�=_jk�� [vZ?_aop­ c ¿ 2�x�k\��bnZmb�bI¦~i}t\k\t�� R ¿ 2�tms�|��2k\�=_jkK�¯ L R ¯±° � ²)³ R ¯±°m² L i ²�Ä � R L ° � ³ ° L ���� OQPQR m Ç m � � i ¬%er��i}tSi}o�bny~s=_aw}ilk'­px=¢{��bno¤|n[^`�©�iuo�bnqº¢�ilk\�9?[vwu`�[v]^[^Z\[<´�|nZ\i}k\bnZmi}[^oº_ao�q c ¿ O

���� OQPQR m Ç m � � x�|n[^`�z�w}bIk\bnt�k\��b�z�Zm[~[a��[v��Y�Zm[^z�[vtmilkmi}[^oX��¬� |n[^o�tmbnyNsAbno�|nb�[a�Gk\�Ab?z�Zm[~[a�G[a�gkm��bSz�Zmbh´�i}[^s�trz�Zm[^z�[vtmilkmi}[^oªi}t¥k\�Ab�� [^w}w}[<¢{iuo�]¨[voAb^¬�%�bIk�s�tr|n[voAt\iuq�bnZk\�AbS�£sAo�|Ik\i}[^o��

>·��¯32]c��j²� M 2]c � T ³�»6e �¯'§8c+°\² � ³�» >@?S¯±°\²

ÎgÎ Óg���=�H���

Page 11: Multifractional Brownian Motion: Definition and ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Multifractional Brownian

: ����������� ������������������������ ��"!���� [vZ � ¿ 2�¬=e¥��b?� [vw}wu[<¢{i}oA]�Z\bntms�w}k¥bntmt\bnoNk\i£_aw}w}­ªz�Zm[�´pbntrkm��b�|n[voNk\i}o~s�ilk'­ª[v�¯>®¢!¬ Z<¬ k<¬�§�sAo�il� [^Z\`�w}­«i}o°I¬

S;Ug¹~¾ � ¹ � ° �����?¯3>�?!¯±°\²\² Z��yI �Q�8hsranQtuj q n5�0r/�p�\��§f¯32{4 §¼4-�j²��k>�!���r�n�qs�ªhsr*�8�Vry�Y���d�sh;M �*c=� T�� ¯32Xc<�<²lh;r'� � ¿ 28v��@!�hs�s��h; j5qs�"���"k]�Q�dm�

w}iu`h/w I t\sAzt�� ? m ? � � �r ? � K ? r s h

tms�zZ�p�� I1m � L > ? ¯8°\²�³¹> ? � ¯8°\² L A¥2X`�D��!Z! ��� � b�|n[vo�tmi}qAbnZ�km��b�z�Zm[N|nbntmt�q�bI�Ao�bnqU� [vZ{°<=2�©N­�� ? m ? � ¯±°m²�Aº> ? � ¯±°m²�³[> ? ¯±°m²�¢���i}|��

i}t{[v©N´~iu[vs�tmw}­ª|I[^oNk\i}o~s�[vsAt�¬ � b�tmbhk{� [vZ�b<_a|��K§6x M �*c=� T _jo�q�2 4�j84:�^x

< ? m ? � ¯8°\²�A� �D�^? M � ? m ? � ¯±°\² T c� h ¯&§¤²¯A t\s�zt�� ? � � �r ? � K ? r s h

tms�zZ�p�� I1m � L ��? m ? � ¯±°m² L c � h A tms�zt�� ? � � � h ¯&§¤²"c¸ ? ¯YNgc+°m²¯A ¯±°�³�Nj² ? K'OQPQR ³ ¯\³SNj² ? K'OQPQR c � ? ¯YNgc\°\²wA ¯8°�³JNj² ? K/O\PQR c�¨¯YNgc+°m²¯Aº¸ ? � ¯YNgc+°m²P³[¸ ? ¯^N;c\°\²¥_ao�q��¨¯YNgc\°\²wA � ? � ¯YNgc+°m²G³ � ? ¯YNgc+°m²"`

� bS¢{i}wuw%`2_szvb�sAt\b�[v�Gk\��bS� [^w}w}[<¢{iuo�]¨�A´^b�t\k\bnz�t<¬��� ¹�¬�¤=¬ � b�tm��[<¢ km�=_jk�k\��bnZmb�bI¦~iut+kmt�f ¿ 2�t\sA|��2k\�=_jk

tms�zZ�p�� I�m � �;� ?~¯�� ? m ? � ¯8°\²+²uÄ�f L § � ³À§ L R ` ¯'�N¬u��2p²� b��=_n´^b

�D�^?�¯�� ? m ? � ¯±°\²\²�A K M ¯Y> ? � ¯±°m²�³¹> ? ¯±°\²\² R TA K����� � IK'L ¸ ? � ¯YNgc+°m² U]W ¯^N<²�C � ZI�� ? � ¯YNgc+°m² UXW ¯YNj²B M § � C �FE^� T ³ � IK'L ¸ ? ¯^N;c\°\² U]W ¯^Nj²/C � ZI�� ? ¯YNgc+°\² UXW ¯YNj²B M § C �FE^� T � R���Ä ��K ���� � IK/L �¨¯^N;c\°\² U]W ¯YNj²�C � ZI �¨¯YNgc+°m² UXW ¯YNj²B M § � C �fEv� T � R �� C � B�¯&§ C �fEv�^²B�¯&§ � C �fEv�^² ³ � � R K«¯+¯3>�?W¯±°m²+² R ²Ä �¯3B M § � C �FE^� T ² R G H IK'L ¯��¨¯^N;c\°\²+² R U N�C H ZI ¯��¨¯YNgc+°m²+² R U N _ C�� � ? ° R ? B�¯&§ C �fEv�^²B�¯&§ � C �fEv�^² ³ � � R c

¢{�AbnZ\b � ? i}t{q�bI�Ao�bnqUi}o�7K_joAq�bnw}©�Zm[vk ����h;A¯\�<�v�g:p²¥zg¬��~�^cNx�©N­� ? A M B�¯&§6C �fE^�v² T K�R y � IK'L M ¯\�¨³~Nj²? P OQPQR ³ ¯\³SNj² ? P OQPQR T R U N�C OR ? | `�§ � ³�» B ? i}tX|nw}b<_aZ\w}­

|n[^opk\iuoNs�[^s�t<¬=e¥�AbIZmbI� [vZmbSk\�AbnZ\b�bI¦�i}t\k\t�f I ¿ 2�t\sA|��Xk\��_<k{�£[^Z�§8ch§8�/x M �ycH� T x�D� ?~¯�� ? m ? � ¯±°m²+²uÄ�f I � H IK'L ¯��¨¯YNgc+°m²+² R U N�C H ZI ¯��¨¯YNgc+°m²+² R U N�C B�¯&§DC �fE^�v²B�¯'§ � C �FE^�v² ³ � � R"! `� b�t+kms�q�­Xt\bnz=_aZh_<kmbnwl­�k\�Ab?km��ZmbnbSk\bnZ\`ªt¥[v�Gk\��bW_a©�[<´^b�iuo�bnyNs�_jwuilk&­

¯\�j²2e¥��bª� s�o�|Ik\iu[vo�B�¯�À�²��=_at¨|I[^oNk\i}o~s�[vsAt�q�bnZmil´^_jk\il´pbnt![v��_aw}w�[^Z\qAbIZmt�� [^Z À ¿ 2�¯8tmbnb2bv¬ ]�¬G�Gi �zN�Nk\bno�]^[vw�� k\t¨¯\���^�pcv²?¯Ve em²�z/¬/�/]N�j²�¬�e¥�~s�t<x�k\��b!k\��bn[^Z\bn`-[^oX�Ao�i}k\b!iuo�|nZmbn`�bnopk\trbnoNk�_jiuw}t{k\�=_jkk\��bnZmb�bI¦~iut+kmt�f O ¿ 2¨t\sA|��Xk\��_<k1�

f I B�¯&§DC �FE^�v²B�¯&§ � C �FE^�^² ³ � � R Ä�f O ¯&§ � ³À§¤² R ` ¯'�N¬u�v�j²

ä èGÎPä ã

Page 12: Multifractional Brownian Motion: Definition and ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Multifractional Brownian

��k�m�V� n"�Qhpo�����qsr'h;�t¶�Qqsvwr*��hsr�j�qs����qsr/�i�p���wr*�0����qsr hsr'�S���Q�� �0jl�0r/hs�����\�d�"k� ��� F

¯'�^² � b sAt\b _a]p_ai}ofk\��b k\�Abn[vZmbn` [vo �AoAilk\b i}o�|nZmbn`�bnopkmt _az�z�wui}bnq k\[ km��b � s�oA|Ik\i}[^o, � ³�» ¯±°�³[N<² � K'OQPQR x�� [vZ17¯x M §8c�§ � T ¬=e¥��bnZmb?bI¦�i}t\k\t 7 o5m Z x�¯&§8ch§ � ²�tms�|��2k\��_<kH[ZI ¯��¨¯YNgc\°\²+² R U N�A ¯'§ � ³ §K² R HJZI M w}[^]�¯8°�³JNj² T R ¯±°)³JNj² R 2 ���

� K'O U NÄ ¯'§ � ³ §K² R M

H OI M wu[v] & T R & R 2 ��� � K'O U & C H ����� � O m Z O M wu[v] & T R & R 2 ��� � K'O U & T

Ä ¯'§ � ³ §K² R MH OI M wu[v] & T R & R t K'O U & C H ������� O m Z

O M wu[v] & T R & R � K'O U & T `%�bIk f R A y � OI M wu[v] & T R & R t K/O U &lC � ����� � O m � O M wu[v] & T R & R � K'O U & | ¬=er��bno2¢¥b�]^bIk

tms�zZ�p�� I�m � G H ZI ¯��¨¯YNgc+°\²\² R U N]_�Ä�f R ¯&§ � ³ §¤² R ` ¯'�N¬u�<�^²

e¥��b�zAZ\[~[a��[v�Gk\��b�w£_at\k�i}o�bny~s=_jwuilk'­ªi}t�wu[vo�]^bnZ<¬ � b�t\zAw}ilk�i}kriuopk\[«k'¢¥[�|nw£_ai}`�t<¬¯&�p² � bWt\�A[<¢ km�=_jk�k\��bnZmb�bI¦~iut+kmt�f . ¿ 2�t\sA|��Xk\�=_jk

tms�zZ�p�� I1m � GwH[IK/L ¯��¨¯YNgc+°\²\² R U N _ Ä f . ¯&§ � ³À§¤² R ` ¯'�N¬u���p²

7K_fz~i}o�]�s�tmb�[v�Nk\�Ab)k\��bn[^ZmbI`:[^oS�Ao�i}k\b)i}o�|nZmbn`�bnopkmt�� [vZgk\��b�� s�o�|Ik\iu[vo 7 � ³�» ¯±°�³�N<² 2 K/OQPQR ³ ¯m³SN<² 2 K/OQPQR x� [vZ17¯x M §8c�§ � T x~k\��bnZmb�bI¦~i}t\k\t�7 o5m Z x¤¯'§8c�§ � ²�tms�|��Xkm�=_<kH IK'L ¯��¨¯YNgc+°m²+² R U NSA ¯&§ � ³À§¤² R H IK'L ¯8w}[^]A¯±°)³JNj²m¯±°�³�Nj²�2 ���

� K'OQPQR ³�w}[^]A¯\³SNj²m¯m³SN<²"2 ��� � K'OQPQR ² R U NÄ �N¯&§ � ³À§K² R H IK/L ¯�w}[^]A¯±°�³[N<²\² R ¯\¯±°�³[N<²"2 ���

� K'OQPQR ³ ¯\³SNj²�2 ��� � K'OQPQR ² R U N�C�p¯'§ � ³ §K² R HJIK'L ¯8wu[v]�¯±°�³JNj²G³�wu[v]A¯m³�Nj²\² R ¯\³SNj² R 2 ���

� K'OdU Ng`e&k�iut�km�Ns�t�bnoA[vs�]^�«k\[�z�Zm[<´^brkm�=_jk�km��b�k'¢¥[�iuopk\bn]^Zh_jwut�_a©�[<´^b{|�_ao�©�b�©�[^s�o�qAbnq«©N­¨|n[^o�t\k�_aopkmti}o�qAbnz�bno�q�bnoNk�[v�G°hx=§ _joAqU§8�8¬

; %�bIk{sAt�t\�A[<¢ �=Z\t\krk\�=_jk

tms�z? m ? ��p�� t m � tms�zZ�p � I�m � H[IK'L ¯8w}[^]A¯±°)³JNj²+² R ¯+¯±°)³JNj²�2 ��� � K'OQPQR ³ ¯\³SNj²�2 ��� � K/O\PQR ² R U N�4=b ` ¯&_p²� bº_jtmtms�`�b��AZmt\kWkm�=_jk � <��X_ao�q °ªx M �;c � T ¬ � b2sAt\bªk\��bªk\��bn[^Zmbn`�[^o �Ao�ilkmbi}o�|nZmbn`�bnopkmt�_az�z�wui}bnqÀkm[¤km��b2�£sAo�|Ik\iu[vo�, � ³�» ¯',U³ Nj² 2 ��� � K'OQPQR xG� [vZ ,ºx M 2Xc\° T _ao�q

ÎgÎ Óg���=�H���

Page 13: Multifractional Brownian Motion: Definition and ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Multifractional Brownian

�F2 ����������� ������������������������ ��"!���N�x�¯m³Sb=c"2p²�¬H IK'L ¯8wu[v]A¯±°�³[Nj²+² R ¯+¯±°)³JNj²�2 ���

� K/O\PQR ³ ¯\³SNj²�2 ��� � K'OQPQR ² R U NÄ H K'OK/L ¯�w}[^]A¯ �(³JNj²+² R ¯+¯±°)³JNj²�2 ��� � K/O\P"R ³ ¯m³SN<²"2 ��� � K'OQPQR ² R U N�CH IK'O ¯�w}[v]A¯ �(³JNj²+² R ¯\¯±°)³JN<²"2 ��� � K'OQPQR ³ ¯\³SNj²�2 ��� � K'OQPQR ² R U NÄ H K'OK/L ¯�w}[^]A¯ �(³JNj²+² R ° R ¯�7 o5m Z ³��FE^�^² R ¯', o=m Z ³�N<² R 2 ��� � K�. U N�CH IK'O �N¯8w}[^]A¯ �(³JNj²+² R ¯+¯8°�³JNj² R 2 ��� � K'O C ¯\³SNj² R 2 ��� � K'O ² U NÄ H K'OK/L ¯�w}[^]A¯ �(³JNj²+² R ¯ ��E^�^² R ¯\³SNj² R � K/.FU N�C5�N¯8wu[v]A¯\�¶C ��²+² R H IK'O ¯\¯\��³�N<² R t K'O C ¯\��³JNj² R � K/O C ¯ �-³[Nj² R t K'O C�¯ �(³JNj² R � K'O C�¯\³SNj² R t K/O C�¯\³SNj² R � K/O ² U N�4=b `

� b�o�[<¢ _at\tms�`�b�k\�=_jk � <:��_ao�qº°¶x M 2]c�� T x�[vZ �64 ��_ao�qX°ux M 2]c � T ¬H IK/L ¯8w}[^]A¯±°�³�Nj²+² R ¯+¯±°�³�Nj²�2 ���

� K'OQPQR ³ ¯\³SNj²�2 ��� � K/O\PQR ² R U NÄ H K'OK'L ¯8wu[v]A¯ �(³JN<²\² R ¯\¯±°�³[N<² 2 ��� � K'OQPQR ³ ¯\³SNj² 2 ��� � K/OQPQR ² R�U N�CH Z K/OK/O ¯8w}[^]A¯ �(³JNj²+² R ¯\¯±°�³JNj²�2 ��� � K'OQPQR ³5¯\³SNj²�2 ��� � K'OQPQR ² R U N�CH IZ K'O ¯8w}[^]A¯\³SNj²+² R ¯+¯±°)³JNj²�2 ���

� K/O\PQR ³5¯\³SNj²�2 ��� � K'OQPQR ² R U Ng`� ilk\�2k\�AbW_j©�[<´pb!o�[vk�_jk\iu[voX¢rb?]^bIkH�IK'L ¯8wu[v]A¯±°�³[Nj²+² R ¯+¯±°)³JNj² 2 ���

� K/O\PQR ³ ¯\³SNj² 2 ��� � K'OQPQR ² R�U NÄ H K'OK/L ¯�w}[^]A¯ �(³JNj²+² R ° R ¯�7 o5m Z ³��FE^�^² R ¯', o=m Z ³�N<² R 2 ��� � K�. U N�CH Z K'OK'O �N¯8w}[^]A¯ �(³JNj²+² R ¯+¯8°�³[Nj² R 2 ��� � K/O C�¯m³SN<² R 2 ��� � K/O ² U N�CH�IZ K'O �N¯8w}[^]A¯\³SNj²+² R ¯+¯±°)³JNj² R 2 ���

� K'O C�¯m³SN<² R 2 ��� � K/O ² U NÄ H K'OK/L ¯�w}[^]A¯ �(³JNj²+² R ¯ ��E^�^² R ¯\³SNj² R � K/. U N�C�p¯�w}[v]=¯\��C ��²\² R H[IK'O;M ¯\�r³[Nj² R t K'O C ¯m��³JNj² R � K/O C �N¯+¯m³�Nj² R t K'O C�¯\³SNj² R � K'O ² T0U N�CH IK'O �N¯8w}[^]A¯\³SNj²+² R ¯+¯m�{³JNj² R t K'O C�¯m��³JNj² R � K/O C �p¯\¯\³SNj² R t K/O C�¯\³SNj² R � K/O ²+² U N�4=b=c

¢{��iu|��XbIoAq�trkm��b�z�Zm[N[v��[a�¥¯&_p²�¬; � b�o�[<¢ tm��[<¢:k\�=_jk

tms�z? m ? ��p�� t m � tms�zZ�p�� I1m � y H[IK'L ¯�w}[^]A¯±°�³�N<²P³�wu[v]A¯m³SN<²\² R ¯m³SN<² R 2 ��� � K/O U N | 4=b=` ¯�©�²

ä èGÎPä ã

Page 14: Multifractional Brownian Motion: Definition and ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Multifractional Brownian

��k�m�V� n"�Qhpo�����qsr'h;�t¶�Qqsvwr*��hsr�j�qs����qsr/�i�p���wr*�0����qsr hsr'�S���Q�� �0jl�0r/hs�����\�d�"k� ��� E E

� b s�tmb km��b k\��bn[^ZmbI` [^o �=o�ilk\b iuo�|nZ\bn`�bnoNk\t�_jzAz�w}iubnq km[ k\�Ab � s�oA|Ik\i}[^o,�� ³�» wu[v]A¯-,�³JNj²�xA� [vZ3,8x M 2]c+° T _joAq�N@x�¯\³Sb=c�³�� T ¬H IK'L M wu[v]�¯±°)³JNj²G³�w}[^]A¯\³SNj² T R ¯m³SN<² R 2 ���

� K/O U NÄ H K'OK/L�M w}[^]A¯±°�³JNj²G³�wu[v]A¯\³SNj² T R ¯\³SNj² R � K'O U N�C

H IK/OsM w}[^]�¯8°�³JNj²G³�wu[v]A¯m³SN<² T R ¯\³SNj² R t K/O U NÄ H K'OK/L�M °\EN¯', o5m Z ³JNj² TVR ¯\³SNj² R � K/OdU N�C

H IK'OsM w}[^]�¯ �-³[N<²G³Àw}[^]�¯m³SN<² T0R ¯m³SN<² R t K'O�U N

Ä � R H K/OK'L ¯m³SN<² R � K/. U N�C H IK'O M w}[^]�¯ �(³JNj²G³�wu[v]A¯m³SN<² T R ¯\³SNj² R t K/O U N@4=b=c¢{��iu|��XbIoAq�trkm��b�z�Zm[N[v��[a�¥¯8©%²�¬

e¥��bnZmbI� [vZmb«¯'�~¬}�<�^²¥��[^w}q�t<¬�Piuo=_aw}wl­px=¯�N¬u��2p²�Z\bntms�w}k\t�� Zm[v` |n[^`�©�i}oAi}o�]�¯'�X`}�^�<²�x%¯'�X`}�j�v²¥_ao�q�¯'�X`}�<�^²h¬�er��bnZ\bI� [^Z\b�|pk\bnz���i}tr|n[^`�z�wub �k\bnqg¬

��� ¹�¬ ��¬ � bªZmbn|<_aw}w�km��b�� [^w}w}[<¢{iuo�]Xkm��bn[vZmbn` ¯8tmbnb2b^¬ ]�¬g�?q�w}bnZª¯\�<�v�g2p²Szg¬P�N�^²S¢{�Ai}|�� ¢{i}wuw�©�bªs�tmb �� s�w/i}o2km��b!tmbnyNsAbnw�¬����� !$� � ���w�����%y�± Z | Z�p^q �\��hªoQ��r*�3�d�Q�\���hsk]�"�"��hsr����Qq�oQ���"��vw�0�0!ª��hsj��' ���hs�V!����\qsk]r/�p�Q�ªhp� �����/�d�L L ± L L A t\sAzZ�p�q ± Z hsr'�D< Rq A tms�zZ�p^q K�¯�± RZ ²��d>�!��dr K L L ± L L 4=bÆ�¶hsr/�n�qs�lh;V & ¿ 2X�

y L-L�L ± L L ³3K L L ± L L\L ¿ & | Ä � K ���� � P� �� c ¯'�N¬u�I�~²

hsr/��n�q;�$h;0�& ¿ K L L ± L�L � y L L ± L L ¿ & | Ä �� K �� � K�� r r ² r r � � P� �� ` ¯'�N¬u�<c^²

� i}k\��k\��bS_atmt\sA`�z�k\iu[vo�[v�/k\�Ab�km��bn[vZmbn` _j©�[<´pb^xNw}bIk L�L L ± L L�L A tms�zZ�p^q L ± Z L ¬ge&k�� [^w}w}[<¢{t�� Z\[^` ¯'�~¬}�jcv²�k\�=_jk� [vZ?_aw}w & ¿ K L L ± L�L x

y L L L ± L�L L ¿ & | Ä �� K3�� � K�� r r ² r r � � P� �� ` ¯'�N¬u���p²

� bS¢{i}wuw%z�Zm[<´^b?k\��_<k

2lÄ t\sAzI s ? m ? � s O KBy tms�zZ�p�� I�m � ��? m ? � ¯±°m² | 4 b=` ¯'�N¬u��]^²� ? m ? � ¯32p²�A 2K­~iubnw}q�t¨km��bX�=Z\t\k«i}oAbnyNs=_aw}i}k&­p¬)eg[�z�Zm[<´pbªkm��bºtmbn|n[voAq i}oAbIy~s=_aw}ilk'­px�¢rbª¢�i}w}w¥s�tmb2k\��b_a©�[<´^b¨km��bn[^Z\bn`�¢{i}k\��_ A M 2]c � T _ao�q ± Z A � ? m ? � ¯±°\²h¬'eopkmbI]^Zh_<kmi}o�]U©p­¤z=_aZ+kmt�_ao�q�sAt\iuo�]¤¯'�N¬u���p²­�i}bnw}q�t��

K L L ± L�L A H LI ¨¯ L�L ± L L ¿ &�² U &Ä � H LI K��������� � � � � ! ��#" �� U &A:��< q H LK�� r r ² r r P� � K�$

�� U (Ä �% ��&-< q c

ÎgÎ Óg���=�H���

Page 15: Multifractional Brownian Motion: Definition and ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Multifractional Brownian

�j� ����������� ������������������������ ��"!���¢{�Ai}|��/x�|n[^`�©�iuo�bnq�¢�ilk\��¯'�~¬}�F2p²�x�­�i}bnw}qAt�¯8¢¥b�q�bnoA[ak\b��ªA:� % ��&g²"�

K L L ± L�L Ä�� % f L § � ³À§ L ` ¯'�N¬u��:p²e¥�Ai}t�iuo�bnyNs�_jwuilk&­ªbnoNk�_ai}w}t�¯'�N¬u��]^²�¬��� ¹�¬ �/¬ � ilkm� k\��bUo�[vk�_jk\i}[^o5qAbI�Ao�bnq _<k«k\��bº©�bn]^i}oAo�i}oA]�[v�{km��bºz�Zm[~[a��[v��e¥��bn[^Z\bn` �Ax�¢¥b2¢{iuw}wz�Zm[<´^bS� [^Z�_aop­�� ¿ 2¨k\�AbnZ\b�bI¦�i}t\k\t�� ¿ 2Wt\sA|��Xk\��_<k

,y � h <�� j | Ä � j K ����� � � ! �� ���� ¯'�N¬u���p²

��[^w}qAtr� [vZ�bI´pbIZ\­ � ¿ 2«_ao�q j84 �?¢{��bnZmb��ªA � % ��&)¬

|NbIk�2 4�§ 4 ��_ao�q wubIkT? ©%b�_jo i}oNk\bn]vbnZ<¬�%�bIk�� À��ÀqAbno�[vk\b¤km��b�iuopk\bn]^bnZXz=_aZ+kX[a�$À _joAq w}bIk§ M A���R�� ?��R � A M���� O "!

?��R ! ¯#� � ¯&§¤²�A 2Xc�� �%$�A-�gch�Xc�`�`F`�_ao�q&� � ¯&§¤²�t\�A[vs�wuq�oA[ak!©�b�iuq�bnopkmi}|<_aw}wl­ �� Zm[v` tm[^`�b'$ª[vo%²�¬=��[^Z�b<_a|��K§8ch§ � c{?;c+°)��¦~bnq/x�¢rb��=_n´^bW_aw}`�[^t\k¥tms�Zmbnwl­L > ? � ¯±°\²�³¹> ? ¯±°\² L Ä L > ? �� ¯±°m²G³J> ? � ¯±°m² L C L > ? � ¯±°m²G³J> ? �� ¯±°m² L C L > ? � ¯8°\²�³J> ? ¯8°\² LÄ L >@? �� ¯±°m²G³J>@? � ¯±°m² L C L(�)� I L > ? �� � ! � � ¯±°m²�³¹> ? �� � ! ¯±°\² L C

L(��� I L >�? � � ! � � ¯±°m²G³J>@? � � ! ¯±°\² LÄ t\sAzZ�p�� I�m � L >�? �� ¯±°\²�³¹>�? � ¯±°\² L C L(��� I tms�zZ�p�� I1m � L > ? �� � ! � � ¯8°\²�³J> ? �� � ! ¯±°m² L CL(��� I tms�zZ�p � I�m � L > ? � � ! � � ¯±°m²�³¹> ? � � ! ¯±°\² L `

e¥�AbnZ\bI� [^Z\b^x

tms�zZ�p�� I�m � L ��? m ? � ¯±°m² L Ä tms�zZnp�� I�m � L ��? � m ? �� ¯8°\² L C L(��� I t\sAzZnp�� I�m � L ��? � � ! � � m ? � � ! ¯±°\² L C L(��� I tms�zZ�p�� I1m � L �5? � � ! � � m ? � � ! ¯±°m² L `¯'�~¬õ�;2^²e¥�Ab�t\bny~s�bnwgiut�_aoK_jq�_jz�k�_<kmi}[^oU[v��k\�Ab�z�Zm[N[v�£t�[v��k\��b�wubn`�`2_!_ao�qUk\��bn[^ZmbI`-i}o �¥t<¶[^Zm]A¶[ª_joAqK� bI´ bntm�¯\�<�g:~�j²rz/¬��<� ��a��¬��Zm[v` |Nk\bnz¤�^x"��? �� m ? � ¯±°m²�� [vwuw}[<¢{t�_�oA[vZm`2_aw�w£_n¢ [v�g`�b<_jo��nbnZ\[«_ao�q�´^_aZmi£_joA|nb{wu[<¢¥bnZ�km�=_aoª[^Z�bnyNs�_jwk\[`f L § �M ³ § M L R ¬ � Zmilk\b+* A�� M ¬*e&k�i}t�b<_at\­Ukm[ªtm��[<¢ k\�=_jk�� tms�zI s�r ? � K ? r s h L § �M ³ § M L Ä j�C�* K'O ¬e¥�~s�t<x%� [^Z¨_aop­�tmsZ6�|ni}bnoNk\wl­�w _jZm]^b�z�[vtmi}k\il´pb &Px�À � _jo�q[2 4 j}4 �vxG_ao�q�� [^Z¨_aop­�i}oNk\bn]^bnZD?;c,$�x�¢rb�=_n´pb�©p­�¯'�~¬}���p²r_ao�q�¯'�~¬}�F:p²¥[v��|pk\bnz¤�X�

-../ ..0 tms�zt�� ? � m ? �� � �r ? �� K ? � r s h

t\sAzZ�p�� I�m � L ��? � m ? �� ¯±°m² L < ¯-& C1��² % f¨¯njlC2* K'O ²�3..4..5

Ä -../ ..0 t\sAzt�� ? � m ? �� � �r ? �� K ? � r s h

tms�zZ�p�� I1m � L � ? � m ? �� ¯±°\² L < & t\s�zZ�p�� I1m � < ? �� m ? � ¯±°m²�C K M tms�zZ�p�� I�m � � ? � m ? �� ¯±°m² T 3..4..5

Ä � K � �� ***j�C � `

ä èGÎPä ã

Page 16: Multifractional Brownian Motion: Definition and ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Multifractional Brownian

��k�m�V� n"�Qhpo�����qsr'h;�t¶�Qqsvwr*��hsr�j�qs����qsr/�i�p���wr*�0����qsr hsr'�S���Q�� �0jl�0r/hs�����\�d�"k� ��� E��

��oAq2tmi}oA|nb tms�zI s-r ? � K ? r s h L § �M=P � P O ³À§ �MHP � L Ä�� K M=P � P O � x�¢¥bS�=_n´^b

-../ ..0 tms�zt�� ? � m ? �� � �r ? �� K ? � r s h

tms�zZ�p�� I1m � L � ? �� � ! � � m ? �� � ! ¯±°m² L <:¯�À � C2��² % f� MHP � P O 3

..4..5 Ä �� K��

�!� � MHP � P O ctmi}o�|nb tms�zI s-r ? � K ? r s h L § MHP � P O ³ § MHP � L Ä � K MHP � P O � x�¢rb?��_I´pb�tmi}`�i}w _jZmwl­

-../ ..0 tms�zt�� ? � m ? �� � �r ? �� K ? � r s h

tms�zZ�p�� I1m � L �5? � � ! � � m ? � � ! ¯±°m² L <:¯�À � C2��² % f� MHP � P O 3

..4..5 Ä �� K��

�!� � MHP � P O `� ��bnoA|nb^xA©p­�¯'�~¬õ�;2^²�¢¥b?��_n´^b��

-../ ..0 t\sAzt�� ? m ? � � �r ? � K ? r s h

t\sAzZ�p�� I�m � L � ? m ? � ¯8°\² L <:¯-& C1��² % f�¯�j�C1* K'O ²�C5� L(��� I¯�À � C2��² % f� M=P � P O 3 ..4..5 ¯'�N¬ �N�j²

Ä � ***j�C � K � �� C �<� * L(�)� I � � K ��!� `

Y�s�kSÀ � A�� � $�C�& R _ao�q * tms�|��Uk\�=_jk�� * ¿ �aE j�< *Wx�¢���bnZmb � i}t?_¨z%[vtmilk\i}´^b�|n[^o�t\k�_aopk�km[�©�btmz�bn|nil�AbnqUw£_jk\bnZ�¬Ae¥�Abno

���%* L(��� I � � K�� �!"P"R �<� �j

L(��� I ¯�;Ej² � K � � PQR A� �j K � � PQR c

¢{�AbnZ\b � A ��� L(��� I ¯'�gE�j² �_ao�q

¯-& C1��² % f�¯njlC1* K'O ²�C � L(��� I¯�À � C2��² % f� M=P � P O

Ä ¯-& C �=² % f¨¯nj C1* K'O ²'C�� % f j�

�� L(��� I % �)$@C2�� � C�& L(�)� I�� � ��

Ä ¯-& C �=² % f¨¯nj C ��j�²�C � % f j

� M > C &�� TA j�� & M % f¨¯\�¶C �gE � C � �$E ��² T C % f¨¯ � C � ��E � C �s> E ��²�lc

¢{�AbnZ\b

> A L(��� I% �)$�C2�� � _ao�q ��A L(��� I

�� � `

ÎgÎ Óg���=�H���

Page 17: Multifractional Brownian Motion: Definition and ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Multifractional Brownian

�n� ����������� ������������������������ ��"!���%�bIk\k\i}oA]UoA[�¢ �JA � & M % f¨¯m��C5�gE �DC�� �$E ��² T C % f¨¯ � C � �*E � C5�;> E ��² � ¢¥b�]^bIkW©p­ ¯'�N¬ �N�j²k\��_<k

-../ ..0 t\sAzt�� ? m ? � � �r ? � K ? r s h

t\sAzZ�p � I�m � L ��? m ? � ¯±°m² L <�j � 3 ..4..5 Ä� �j ¯ ��E^�C �j² K/O K � � PQR C � �j K � � PQR

A �j K � � PQR M � �À¯ ��E^�uC �j² K'O C � � TÄ � j K fK � ��� � � P R � P � c¢{�AbnZ\b?k\��b�w _jt\k�i}o�bny~s=_aw}ilk'­ª� [^w}w}[<¢{t¥� Zm[v`

&aA �¨³ % f�¯ �lC � �*E � C �;> E ��²% f¨¯\��C5�;E � C � ��E ��² < ��³ % f��

� f=C2�"E^� <Æ2]c¢{�Ai}|��/xgiuo¤kms�Zmo/xgi}t!k\Zms�b�� [^Z¨i}o�t\k�_ao�|nb�� [vZ�_jwuw���< � � % f(_ao�q _joN­�]^il´pbno1� ¿ 2ºz�Z\[<´�i}q�bnq � i}tw£_aZm]vb{bno�[vsA]v�g¬Ner��i}t�zAZ\[<´pbnt{¯'�N¬u���p²G¢{i}k\� �a< � � % f�x^¢{��iuw}brilk�i}t)k\Zmil´�i£_aw}wl­�kmZ\sAbr� [vZ���x�¯32]ch� � % f!²�xtmi}o�|nb^x�iuoªkm��b�w£_jk+k\bnZ{|<_jtmb^x�k\�Ab�Z\iu]v�Nk��=_ao�qºtmi}q�b?[a�r¯�N¬u���p²�i}trw _jZm]vbnZ�k\�=_aoº[^o�bS� [vZ ��©�i}]«bno�[vsA]v�g¬��� ¹�¬ � ¬ � b�bno�q2k\�Ab!z�Zm[N[v�P[v�)e¥��bn[^Z\bn` �«©N­ªt\�A[�¢�i}o�]�k\�=_jk

w}i}`h/w I � h ³ % f��$jj � w}[^]A¯\�fE j�² Ä % ���$f _~¬ t�¬ ¯'�N¬ �v�^²

¢{�AbnZ\b��ªA `2_j¦$y % f c��fE % f | ¬e¥�Ab?z�Zm[~[a��i}t{t\iu`�i}w£_aZ)k\[«k\�=_jk{[v� % bI´N­ � t�k\��bn[^Z\bn` ¯8tmbnb�b^¬ ]A¬���tj¶[vZm]A¶[�_joAqº� bI´ bntm�«¯\�<�g:~�j²¥zg¬��a�p²�¬��[vZ{b<_j|�� � ¿ 2�x�¢¥bS�=_n´^b

� � h ³ % f��$jj � ��wu[v]�¯\�fE j�² < % ��f=C2� ! A� y � h <Rj�¯ % f���C % ��¯ % ��fÆC���² � w}[^]A¯\�FE�j�²\² | `

� b�_az�z�wl­¨i}o�bny~s=_aw}ilk'­�¯'�~¬}�<�p²P[v��|pkmbIzª��¢{ilk\���5A % f��wC % ��¯ % ��f�C ��² � wu[v]A¯\�fE�j=²)_ao�q�¢¥b�[^©�k�_ai}o y � h <�j � | Ä � j bI¦~z � ³ ��¯ % � f=C���² R

��f=C � wu[v]A¯\�fE�j=² !Ä1�\j c

¢{�Ai}|���iutGk\Zms�b{_at�tm[N[^o�_at � ¿ 2�i}t�tmsZ6�|ni}bnoNk\wl­!tm`2_jwuw=¯� � R � P � �R � P < �*C �g� [^Z �GtmsZ6�|ni}bnopkmwl­Wtm`2_aw}w ²h¬eG_szvbk_ ¿ �fE ��_ao�qXwubIk jªA j � A� K q ¬=e¥�AbnoX¢¥bS�=_n´pb

L(� � O � � h � ³ % f�� j �j � � ��w}[^]A¯\�fE j � ² < % � f=C�� ! Ä L(

� � O �� K q 4=b_ao�qXkm��bW¡�[vZmbnw � �r_aopk\bnwuw}i�w}bn`�`2_?i}`�zAw}i}bnt�k\�=_jk

w}iu`� w L � h � ³ % f�� j �j � � ��w}[^]�¯m�FE�j � ² Ä % � f=C2� _�¬ t<¬

ä èGÎPä ã

Page 18: Multifractional Brownian Motion: Definition and ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Multifractional Brownian

��k�m�V� n"�Qhpo�����qsr'h;�t¶�Qqsvwr*��hsr�j�qs����qsr/�i�p���wr*�0����qsr hsr'�S���Q�� �0jl�0r/hs�����\�d�"k� ��� E��%�bIk�s�trkh_fz^bDj � P O 4�j8Ä j � ¬=er��bno/x=_aw}`�[^t+krt\sAZ\bnw}­

w}iu`h/w I � h ³ % f �$jj � ��w}[^]�¯m�FE�j=² Ä wui}`

� w L � h � ³ % f��$j � P Oj � P O � ��w}[^]�¯m�FE�j � ²A wui}`� w L � � h � ³ % f��$j �j � � �{w}[v]A¯m�FE�j � ²

j �j � P O C% f��%¯�j � ³3j � P O ²j � P O � ��w}[^]A¯\�fE j � ²

!Ä % ��f=C � _�¬ t<¬

� [vZ?_aw}w � ¿ 2«_ao�qX¢���bno�|nbS¢¥bS�=_n´pb«¯'�~¬õ�v�^²�¬�º¾ � ¹ � i}o��8_a|Ik�x�¢¥bSz�Zm[<´^bnqU_!w}ilk\k\w}b�`ª[vZmb�k\�=_aoUe¥��bn[^Zmbn` �Ax�t\iuo�|nb�¢rb�[^©�k�_ai}o�bnqU_WZh_jk\b?[v�P|n[^op´pbnZ �]^bno�|nb^xAo=_a`�bnwl­ � h A��«¯nj�w}[^]A¯\�fE j�²+²¥� [vZ jª» 2 P ¬

��¬��w)�-��������)1�p+���(�(*)�y��(g&/.V� ��)1���[���eoXk\��iut�tmbn|Ik\i}[^o/x�¢¥b�|n[^o�tmi}qAbIZ�_joX`2¡�` tms�|��2k\�=_jk�km��bWµW¶[^w}q�bnZr� s�oA|Ik\i}[^oK§ ´^bnZmil�=bnt��2 4�§�¯±°\²u4 `�iuo=¯\�gc ­ ²)�£[^Z�b<_a|��U°¶<Æ2�¬|Niuo�|nb�`2¡�` i}t¥_�o�[^o�t+kh_<kmi}[^o=_jZ\­«zAZ\[~|nbnt\t<x^¢¥b?_jZmb�o�[vk�i}oNk\bnZ\bnt\k\bnq�iuo�[v©�k�_jiuo�i}oA]!]^w}[^©=_jw=z�Zm[^z�bnZ+kmi}bnt<x©�s�k�Z�_jk\�AbIZ�w}[N|<_aw=[vo�bnt<xpbnt\z�bn|ni _jwuwl­�|n[voA|nbIZmo�iuo�]�km��b?µW¶[vwuq�bnZ�bI¦~z�[^o�bnoNkr_<k�b<_a|���°u<Æ2�¬~��[^Z�k\��b�t�_sz^b[v��o�[akh_<kmi}[^o=_jw¥tmi}`�z�wui}|nilk'­px=wubIkWs�t!�£Zm[^` o�[<¢ [^o q�bnoA[ak\b2©p­ ¯Y³ Z ²?k\��b�Zmbnq�s�|nbnq `2¡�` ¯ W ?�¯8°\²+²�A¯ W ? ��¯±°m²+²�� [vZ{°u<Æ2~¬� � ¾*¬�¾ � £ � ££¾'¢�� ° >�!��d�\�{�\�g�0�"���ahª��qs���0�V�0�;��o\qsr*���0ryk*qsk]�Sn"k]r/o�����qsr=�p���¯r/�Q��n�qs�¨°a< 2��r°�� ³�» < Z ��"k*o"!a�0!yhs�'n�qs��hsry�S°�< 2 ³ Z P h ³¹³ Zj ? � �³m³�³^»h/w I :�¯Y2XcH< RZ ²�`

�D��!Z! ��� |Niuo�|nb�km��b�z�Zm[N|nbntmt«¯3³ Z ² Z��*I i}t Á _as�tmt\i _jogx%©p­¤km��b�k\��bn[^Zmbn`�[v� %�bI´~­ ¯8tmbnb«b^¬ ]�¬ Á Z\iu` �`�bIk+k?_joAq{|Nk\i}Zm�<_fz^bnZ!¯\���^�p�v²�zg¬}�/]v�^²�x�¢rb!zAZ\[<´pbSk\��bW|I[^op´pbnZm]vbnoA|Ib¨iuoºq�iut+k\Zmiu©�s�k\iu[voU©p­2tm��[<¢{iuo�]«k\��b� [vwuw}[<¢{iuo�]¨k'¢¥[�t+kh_<k\bn`�bnoNk\t<¬

¯\�j²TK�¯ ´ � ��� K ´ �h�� � ²�³m³�³^»h/w I 2~x¯'�^²TK 0 ´ � ��� K ´ �*� �h � � � 4 ³+³A³Y»h/w I < RZ ¬

¯\�j²2e¥��iut�t\k�_jk\bn`�bnopk�i}t{[v©N´~iu[vs�t<¬¯'�^²2¡�­?tmz�w}i}k+k\i}oA]¥k\��b)bI¦~z�bn|Ik�_jk\iu[voWi}opkm[rk\��Zmbnb)`�bn`�©�bnZmt�_ao�q�q�bnoA[ak\iuo�]�< RZ A �D� ? 0�� � � Z P h � K � � � Z �h�� � 4

¯±¢{�Ai}|��ºiut�i}oAq�bnz�bno�qAbIoNk{[v��j=²hx�¢¥bS�=_n´pbK ¯3³ Z P h ³J³ Z ² Rj R ? � � A K ¯ W ? � ��� ¯±°�C j�²P³ W ? � ¯±°�C j=²\² Rj R ? � � C < RZ C

� K ¯ W ? � ��� ¯±°�C j�²�³ W ? � ¯8°�C j=²+²�¯ W ? � ¯±°�C j�²�³ W ? � ¯±°\²\²j R ? � � `� bWt\�A[<¢ km�=_jk�k\��bSk'¢¥[�bI¦~z�bn|Ik�_jk\iu[voAt�kmbIoAq�t{k\[ª2~¬

ÎgÎ Óg���=�H���

Page 19: Multifractional Brownian Motion: Definition and ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Multifractional Brownian

�<� ����������� ������������������������ ��"!���; |NbIk+k\iuo�] � ¿ 2~x�¢rb�|nw£_ai}`º���V!����Q� �Q�;�V�"�V� ­ I ¿ 2���kyo�!��V!�hs�'n�qs�$�Qhpo"! j8x�¯Y2XcH�I²lhsr/�°¶x M 2]c=��³3j T ��v¶��!�hs�;�

K M W ? � ��� ¯8°�C j�²�³ W ? � ¯±°�C j=² T Rj R ? � � Ä ­ I j R Ç K�R ? � ` ¯&�~¬u�<²

� ilk\�2k\�Ab�o�[vk�_<kmi}[^oU[v�)e¥��bn[^ZmbI` ��_ao�qº©N­K¯'�N¬u��2p²�xA¢¥b��=_n´pbK«¯ M W ? � ��� ¯8°�C j�²�³ W ? �n¯±°�C j=² T R ²¯A �k� ?~¯�� ? � m ? � ��� ¯8°�C j�²+²ÄRf L § Z P h ³ § Z L R `

¡�­ªq�bI�Ao�i}k\i}[^oX[a��§ ¢¥b�]^bIk�¯&��¬}�j²�¬; � b��=_n´pbDK�¯+¯ W ? � ¯±°1C j�²�³ W ? � ¯8°\²+² R ²�A � ?-� j R ? � x�¢{�AbnZ\b!§ � ³�» � ? i}t�qAbh�=o�bnqi}o |pk\bnz5�![a��km��b¨z�Zm[N[v�)[v�re¥�Abn[vZmbn`(��¬�e¥�~s�t<x�©p­{|~|��p¢{_jZm��e'o�bny~s=_aw}ilk'­�_jo�q ¯&�~¬u�<²¢¥bS�=_n´^b

K ¯ W ? � ��� ¯±°�C j=²�³ W ?-�I¯±°1C j�²+²m¯ W ? �<¯±°�C j=²�³ W ? �I¯±°m²+²j R ? � �Ä K N¯ W ? � ��� ¯±°�C j�²G³ W ?-� ¯8°�C j�²+² R Q K5¯+¯ W ? � ¯±°�C j�²�³ W ? � ¯±°\²+² R ²

j R ? �Ä � ­ I ��? �5j�Ç K ? � ³�»¾2�_jt�j�» 2]c¢{��iu|��X|I[^`�z�wubIk\bnt¥k\��b�zAZ\[~[a��[v��¯�v²h¬

¯&�p²2eg[�bno�qUk\��b¨z�Zm[N[v��¢rb�t\�A[�¢ k\��_<k�°�� ³�» < Z iut{|n[^opkmi}oNsA[vsAt�¬ye&k?iut{tmsZ6�|ni}bnopk{k\[�z�Zm[<´^b!k\�=_jk°�� ³�» < RZ i}t{|n[voNk\i}o~s�[^s�t<¬�Pil¦X°S<~2�_ao�q�j ¿ 2�¬ %�bIk��º©�b!tms�|��¤k\�=_jk�°�C���<º2�¬ � b¨t\��_jwuwg|n[voAt\iuq�bnZ�k\�Ab!� s�oA|Ik\i}[^o§ � ��° � ³�» § Z K h ¬)§ � i}t�_�µW¶[vwuq�bnZ¨� s�o�|Ikmi}[^o ¢{ilkm� bI¦~z�[^o�bnoNk ­ ¬ %/bIk�� [vZ�|n[^op´pbIoAi}bno�|nb<��Z � R A �;� ? � � �� � Z � P h � K � � �� � Z � �h � �� � � ¯±¢{��iu|���iut?iuo�q�bnz�bnoAq�bnopk![v�dj�²�¬ � b��=_n´pb�k\�Ab�� [^w}w}[ �¢{iuo�]�bnyNs�_jwuilk\iubIt<¬

< RZ P�� ³,< RZ A K ¯ W ? � ��� ¯8°�C jlC��A²G³ W ? � ��� ¯±°�C��A²\² Rj R ? � ��� ³ ¯ W ? � ¯8°�C j�²G³ W ? � ¯±°\²\² Rj R ? � �A K ¯ W ?-� ��� ¯±°�C j�C��A²G³ W ? � ��� ¯8°�C��A²+² R ³ ¯ W ? � ¯±°�C j�²�³ W ? � ¯8°\²+² Rj R ? � ��� � ³K N ¯ W ? �n¯8°�C j�²G³ W ? ��¯±°\²\² R Q ¯ �j R ? � ��� ³ �j R ?-� ²A K 0 � � � ��� Z P h�P�� � K � � � ��� Z P�� � K � � � Z P h � P � � � Z �+� � � � ��� Z P h�P� � K � � � ��� Z P�� � P � � � Z P h � K � � � Z � �h � � � ��� 4³3< RZ j R ?-� ¯ �j R ? � ��� ³ �j R ?-� ²A K � � � �� � ��� Z � P�� � K � � � ��� Z P�� � K � � �� � Z � � P � � � Z �+� � � �� � Z � P�� � K � � � ��� Z P�� � P � � �� � Z � � K � � � Z �+�h � � � ��� �³3< RZ j R ?-� ¯ �j R ? � ��� ³ �j R ?-� ²"`¡�­�|N|h�p¢�_aZm�Seo�bnyNs�_jwuilk&­2¢¥b�[^©�k�_ai}o$�L < RZ P�� ³3< RZ L Ä �j R ? � ���

K 0 ¯ W ? �� � ��� ¯±° � C��A²G³ W ? � ��� ¯±°�C��A²P³ W ? �� � ¯8° � ²�C W ?-�I¯±°m²+² R 4

K 0 ¯ W ? �� � ¯±° � C��A²G³ W ? � ��� ¯±°�C��A²�C W ? �� � ¯8° � ²G³ W ? ��¯±°m²+² R 4 C L < RZ j R ? � ¯ �j R ? � ��� ³ �j R ? � ² L `

ä èGÎPä ã

Page 20: Multifractional Brownian Motion: Definition and ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Multifractional Brownian

��k�m�V� n"�Qhpo�����qsr'h;�t¶�Qqsvwr*��hsr�j�qs����qsr/�i�p���wr*�0����qsr hsr'�S���Q�� �0jl�0r/hs�����\�d�"k� ��� E �

�{tmi}o�]!¯'�~¬}�F2^²hx�k\�AbnZ\b�bI¦�i}t\k+f Z ¿ 2{_ao�qBf Z+� ¿ 2�t\sA|���k\��_<k��k� ?~¯�� ? m ? � ¯±°\²\²uÄ�f Z ¯&§ � ³�§K² R_joAq �D�^?~¯���? m ? � ¯±° � ²+²uÄ�f Z � ¯&§ � ³À§¤² R ¬=e¥�NsAt�xL < RZ P�� ³3< RZ L Ä �j R ? � ���

K 0 ¯ W ? �� � ��� ¯±° � C��A²G³ W ? �� � ¯±° � ²+² R 4 C K N+¯ W ?-� ��� ¯±°�C��A²g³ W ? �I¯±°m²+² R Q K 0 ¯ W ? �� � ¯±° � C��A²G³ W ? �� � ¯8° � ²\² R 4 C K 0 ¯ W ?-� ��� ¯±°�C��A²�C W ? �I¯±°m²G³ � W ? �� � ¯±° � ²\² R 4C L < RZ j R ?-� ¯ �j R ? � ��� ³ �j R ? � ² LÄ � % �j R ? � ��� < �Z � R L � L R ? �� � ��� C f Z+� ¯'§ �Z � P�� ³À§ �Z � ² R C < RZ L � L R ? � ��� C f Z ¯&§ Z P�� ³À§ Z ² R < �Z � R L � L R ? � � C � M K N¯ W ? � ��� ¯8°�C��=²P³ W ? � ¯±°\²\² R T Q C K 0 ¯'� W ? �� � ¯±° � ²G³ � W ? � ¯8°\²+² R 4 TC L < RZ j R ?-� ¯ �j R ? � ��� ³ �j R ? � ² LÄ � % �j R ? � ��� < �Z � R L � L R ? �� � ��� C f Z � L � L R Ç C < RZ � R ? � ��� C f Z L � L R Ç < �Z+� R � R ? � � C � < RZ � R ? � ��� C � f Z L � L R Ç C ��� M K 0 ¯ W ? �� � ¯8° � ²+² R 4 C K ¯m¯ W ? � ¯±°m²+² R ² T CL < RZ j R ?-� ¯ �j R ?-� ��� ³ �j R ? � ² L `|Ni}oA|nbÀk\�Ab��£sAo�|Ik\i}[^o�tK°�� ³*» § Z _jo�q ° � ³�» § �Z _jZmbÀ|n[voNk\i}o~s�[^s�t<x�¢rbÀ�=_n´^b�k\�AbnZ\bI� [^Z\bL < RZ P�� ³3< RZ L ³\³�³3»�1w I 2�¬

� b�|<_joºoA[<¢:qAbI�Ao�bSk\�Ab�t+kh_jo�q�_jZmqº`2¡�`¥� X¹p¡w¢1£ � ££¾'¢ � ¦ ���n� ¢ ¿/�A�a¿ � ��u� £ ©&�j�=�a� £ ¾'¢ ������� ¾�½5¢1£ � ¢�� ¾ � ££¾'¢ ®F°�����G¯Y³ Z ² Z��*I � �Q��hk��k� ��� n"�Qhpod�V��qsr/h;Xtu�Qqsv¯r*��hsr � qs�V��qsr�hsr/�$��d��°�� ³�» § Z �Q���0���¶���q; �p���in�kXr/o�����qsr/h;��h;�\hsj5�d�3���8q n��\�d��qsr/��r*� ­~¿ 2X���"k*o�!��V!�hs�in�qs��hsr*�¨°l<·2���2�4®§�¯8°\²�4 `�iuo=¯m�;c ­ ²��*>�!���r��V!����Q��\�g�0���V��h�k]r*� 0�k*�loQqsry���0r*k*qskX����qs�"�0���0�s�¶n"k]r'od�V��qsr�°�� ³�» < Z ��kyo�!��V!�hs���V!�����Qq�oQ������¯�� Z ² Z��yI � �p���¯r/�Q������ Z A ´ � � �0�$oQqsr*�V�Vryk*qsk]��hsr/� �s�d��� �¶���@�0!y��n�q;0 qsv¯�0r�S���Qq"���d�����

�k� ? � Z P h ³�� Zj ? � � ³\³A³Y»h�w I �g`>�!�����Qq�oQ�����S¯�� Z ² Z��*I � �0��oQh;0 �\���*�3hsr/�phs�Q�B��k� ��� n"�Qhpo�����qsr/h;*tu�Qqsv¯r*��hsr � qs�V�3qsr'�� b�Z\bn|<_aw}wP_Wwubn`�`2_?¢{�Ai}|��2¢{iuw}w%©%b?s�tmbI� s�wgiuo2k\��b�tmbnyNs�bnw�¯�t\bnbWYPbnw}k\i}bnZl�d�h;A¯m���^�j�~²+²h¬� ��bnoAbI´^bnZS±¾� M 2Xc<� T » e � i}t?_�|n[voNk\i}o~s�[^s�t�� s�o�|Ikmi}[^o/x=k\��bnZmb�bI¦~i}t\k\t?_�t\bny~s�bno�|nbl± � � M 2]c�� T » e �Sx�A �gch�Xc�` ` `A[v��z�[vw}­~]^[vo�_jwG� sAo�|Ik\i}[^o�tS¢{�Ai}|���|n[voN´^bnZm]^bIt�sAo�il� [^Z\`�w}­ªk\[a± [^o M 2]c�� T ¬'7X[^Zmbn[�´pbnZ<x%¢rb`2_n­X_ao�qºq�[�_jtmtms�`�b�km�=_jk�k\��bS´pbnZ\k\i}|nbnt�[a�Gk\�Ab!]^Z�_az��X[v��b<_j|h�8± � _aZ\b�[v�Gk\��b!�£[^Zm` yv¯ �

�cQ± � ¯ �� ²+²�x2 Ä � Ä | c=¢{ilkm��± � ¯32p²�A�± ¯32p²�¬�|NbIk+kmi}o�]� � m � A�± � N �

�-Q � [vZ$2 Ä � Ä ic=¢¥bW¢{iuw}wGtmbhk?�£[^Z|n[^op´pbno�i}bno�|nb�� � � A ¯�� O m � c�`F`�`�c� � m � ²�`Á il´pbnoK_Wz%[vw}­~]^[vo=_aw�� s�o�|Ikmi}[vo�± � _at�_a©�[<´^b^xA¢¥bSt\bIk�� [^Z�b<_a|�� {< �Nx

� � A �yK'O(� � O L � � P O m � ³�� � m � L ` ¯&�~¬ �v²

¥¹ �� ������± � M 2]c�� T »6e � �Q�Shlo\qsr*���0r*kyqsk]��n�kXr/o�����qsr5v¯�V�0!5�\q����s�0j5��r*�"��qsr �a��hsr/�@ ���g¯�± � ² � � OÎgÎ Óg���=�H���

Page 21: Multifractional Brownian Motion: Definition and ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Multifractional Brownian

�F: ����������� ������������������������ ��"!����Q�lh ���{0dk*��r/o\�lq nw��q;m�1��qsr/h;;n"k]r'od�V�3qsry��hs��hp�\qs�;��vi!���o�!�oQqsr*�s�����X���@kXr*� n�qs�dj �l�Yq�±Âqsr M 2Xc<� T �%>�!��n�q;V�qsvw�0r�l�Q�d�"k� ���S!�q; ��Ã

¯\�j²TbVn�9 �0�$o\qsr*�"�Yhsry�V���0!��dr �DA ���¯'�^²TbVn�9 �0��r'qsr oQqsry���3hsr*�0���V!���r � A �¶C wui}`

� w L w}[^] � �w}[^]A¯ X³��<² ` ¯&�~¬õ�^²

� b�Zmbn|<_jwuwakm��b��£[^w}wu[�¢�i}o�]rz�Zm[^z�bnZ+kmi}bnt/[v�Aµ?_js�tmq�[^Z\·Wq�iu`�bno�tmi}[^o/x�q�bno�[vk\bnq�©p­ U���� ? ¯8t\bnb)b^¬ ]A¬<�A_aw}|n[^o�bnZ¯\�<�^�;2p²rz/¬��a�p²��bVn � O c � R cF`�`�`@�0��h AQo\qsk]r*�Yhp�d���G5���50�k*��r/o\��q n����d�V�Q���V!���r

U���� ? � L�� � O � � ! A tms�zO � � s L U���� ? y � � | ` ¯&�~¬ �N²

��qs��hsr*�����d� � � b � � A {< �1GF�¯v��@!�hs�;�U���� ?*y � | Ä U����� y � | Ä U����� y � | c ¯&�~¬ cv²

¢{�AbnZ\b U���� � y � | ¯8Zmbntmz�bn|Ik\il´pbnwl­ U���� � y�� | ²�x�qAbno�[akmbnt�km��bXw}[<¢¥bnZ2¯�Z\bntmz�bn|Ik\i}´^bnwl­Àkm��bXs�z�z�bnZI²!©�[<¦q�iu`�bno�tmi}[^o�[a���¬=��[vZ{b�_a|��U° I <}2�_ao�q� ¿ 2�x�w}bIkr�£[^Z�|n[voN´^bnoAi}bno�|nb� ZV� ¯�=²�A `�i}or Z K Z0� r �� § Z x�� Z0� ¯�A²{A `2_<¦r Z K ZV� r �� § Z _ao�q � ZV� ¯�=²�A � ?^����j�yf³ Z c L °�³ ° I L Ä� | ¬re¥�Ab� [vwuw}[<¢{iuo�]�w}bn`�`2_�¢�i}w}w�©�b�s�tmbI� s�w�� [vZ�bnt\k�_j©Aw}i}tm��iuo�]Wk\��b�oAbh¦~k�z�Zm[vz�[^tmilk\iu[vo/¬

¥¹ ����'°�� �0�V!����Qqp�Qhp���Vm�0����qsr/�"�u�0!y�k�;�Qh"�*!{q n��0!�� j�t¶j�¯Y³ Z ² Z��*I �s���d� �¶�����V!��n�q;0 qsv¯�0r�$���Qq����d�����¶Ã�n�qs�lhsr*��° I <Æ2�hsr/�� ¿ 2����³�� ZV� ¯�=²¶Ä U���� ? y � Z0� ¯�=² | Ä U���� � y � Z0� ¯�=² | Ä U���� � y � ZV� ¯�=² | Ä �?³ � Z0� ¯�=²"`

¯&�~¬õ�^²

�D��!Z! ��� � bS�AZmt+k�zAZ\[<´pbSk\��b�w£_at\k�i}o�bny~s=_jwuilk'­ª[a�¥¯&��¬Ô�p²�¬��� ¹�¬ ¤A¬ � i}k\��[^s�k�w}[^tmt�[a��]^bno�bnZh_jwuilk&­pxA¢¥bW_at\tms�`�b�km�=_jk�° I A �fE^�Nx��A �fEv�~x=_joAqX� [vZ�b<_a|��Uiuopk\bn]^bnZ ¿ 2~x�¢rb�tmbhk

³ � m � A¥³ � � � [^Z � A¥2]c��gc�` ` ` c ¯` ¯&�~¬�]v²

� b�t\�A[�¢:km�=_<k�� [vZ{b<_j|���2 4�§ � 4 � Z0� ¯�A²hx�¢¥bS�=_n´^bw}iu`� w L �¯ X³ �j² ? � `2_<¦O � � � �yK'O ¯ L ³ � P O m � ³[³ � m � L ² � A 2 _~¬ t�¬ ¯&�~¬m:^²

� b�t+kh_jZ\k{©N­ª[v©At\bnZ\´~iuo�]¨k\��_<k<x�� [vZ?_aop­ � ¿ 2«_jo�q���<:�vx�k\�Ab�7U_aZQzv[<´ªeo�bny~s=_jwuilk'­2bnopkh_jiuw}trk\��_<k M ¯ 2³5�j²

? � `2_<¦O � � � �yK'O ¯ L ³ � P O m � ³¹³ � m � L ² ¿ � T Ä �yK'O(� � O M ¯ 2³��<²

? � L ³ � P O m � ³[³ � m � L ¿ � TÄ ¯ X³ �j²��� `2_j¦O � � � ��K/O K�¯\¯ X³��<² � ? � L ³ � P O m � ³[³ � m � L � ²"`

ä èGÎPä ã

Page 22: Multifractional Brownian Motion: Definition and ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Multifractional Brownian

��k�m�V� n"�Qhpo�����qsr'h;�t¶�Qqsvwr*��hsr�j�qs����qsr/�i�p���wr*�0����qsr hsr'�S���Q�� �0jl�0r/hs�����\�d�"k� ��� E�F

¡�­K¯&��¬}�j²r_ao�q�¯�N¬m2^²�x�km��bnZmbSbI¦�i}t\kae � ¿ 2�_jo�q e �� ¿ 2Wt\sA|��Xk\��_<k M ¯ 2³��<²

? � `2_j¦O � � � ��K/O ¯ L ³ � P O m � ³¹³ � m � L ² ¿ � TÄ ¯ X³ �j²+� ���� `2_<¦O � � � �yK'O K M ¯ X³5�<² � ? � L W ?�� � �� � � ¯� C �U³ � ²G³ W ?��� � � ¯

� C �º³ � ² L �

C ¯ X³ �j² � ? � L W ?��� � �

¯ � C �X³�� ²G³ W ?��� � � ¯

�X³�� ² L � T

Ä � �� � y e �¯ X³ �j² Ç K ? � � � K/O C e ��¯ X³ �j² � � � � K ? � � � K/O |

Ä � �� � ` e � C,e ��¯ X³��j² � � � � K ? � � � K'O `

¡�­ªtmbIk+k\iuo�] � ¿ R� � � � K ? � x%¯'�~¬m:^²��£[^w}wu[�¢�t�Zmb<_jqAi}wl­�� Z\[^` k\�Ab¨¡�[vZmbnw � �r_aopkmbnw}w}i�w}bn`�`2_�¬

��� ¹�¬ ��¬�¡�­8|Nk\bnzÀ�^x�¢¥b�b<_at\iuwl­�t\bnbSk\��_<k{�£[^Z�b<_j|���2 45§ � 4 � ZV� ¯�=²�¢rb?��_I´pbW_jwu`�[vt\krt\sAZ\bnw}­w}iu`� w L ¯ X³��j² ? � K'O �yK'O(

� � O L ³ � P O m � ³J³ � m � L A¥2]c¢{�Ai}|��ºbnoNk�_ai}w}t<x�¢�ilk\�ºk\��bWo�[akh_<kmi}[voK[v��k\�Ab¨_a©�[�´pb %/bn`�`2_�¢{��bnoK_az�z�wui}bnqXkm[�±6A~³«xAk\�=_jk�_aw}`�[^t+ktms�Zmbnwl­px~�£[^Z?_jwuw��t\s76�|ni}bnoNk\wl­2w£_jZm]^b

¯ X³5�<² ? � K/O � � Ä �g`� ��bnoA|nb^x�� [vZ�b<_a|���2�4 § � 4 � ZV� ¯�=²

��C w}i}`� w L w}[^] � �w}[^]A¯ X³��<² Ä �?³À§ � c

¢{�Ai}|��2­~iubnw}q�t U����� y � ZV� ¯�=² | Ä �?³ � Z0� ¯�=²�x=_joAqºbno�q�t�k\��b�z�Zm[~[a��[v�Pkm��b�w£_at+k�iuo�bnyNs�_jwuilk&­ª[v�r¯&��¬Ô�p²�¬%�bIk�s�t�oA[�¢ z�Zm[�´pb�km��bS�AZmt\kriuo�bnyNs�_jwuilk&­2[a�¥¯&��¬Ô�p²�¬��� ¹�¬ �/¬ � b�_atmt\sA`�b^x%_at!iuoJ|pkmbnz��vx/km�=_<k�° I A-�fEv�º_joAq�{A-�fEv�~¬ � b�tm��[<¢ km�=_jkSkm��bnZmb«bI¦�i}t\k\tÅ ¿ 2¨tms�|h�ªkm�=_jk�x�� [^Z�_aop­�°{_joAqOjX¢{��iu|��Xt�_jk\i}t\�£­ L °�³�° I L Ä X_ao�q L °�C j«³¤° I L Ä��x

< RZnm h AuK M ¯3³ Z P h ³¹³ Z ² R T <ÆÅF` j R��� � � ` ¯&�~¬õ�^²

� b?q�bnoA[akmb�©p­X§ � ³�» � ? km��b?|n[^opkmi}o~s�[vsAt�� s�oA|Ik\i}[^oXq�bI�Ao�bnqUi}o8|Nk\bnzÀ�?[v�gkm��b�z�Zm[N[v�P[v��er��bn[vZmbn`�Ax=_joAqº©p­ ­ I k\�AbS|n[^o�t\k�_aopk�q�bI�AoAbnqºi}o�¯&��¬}�j²�¬ � b�b<_jtmi}w}­ª�=_n´^b

< RZnm h AuK M ¯ W ? � ��� ¯±°�C j=²G³ W ? � ��� ¯±°m²�C W ? � ��� ¯8°\²�³ W ? � ¯±°m²+² R T< �'? � ��� L j L R ? � ��� ³ ��K M L ¯ W ? � ��� ¯8°�C j�²G³ W ? � ��� ¯±°m²+²m¯ W ? � ��� ¯8°\²�³ W ? ��¯±°m²+² L T< � ? � ��� L j L R ? � ��� ³ � K M ¯ W ? � ��� ¯±°�C j=²G³ W ? � ��� ¯±°m²+² R T `CK M ¯ W ? � ��� ¯8°\²�³ W ? �I¯±°\²\² R T c

_ao�qX�=o=_jwuwl­px

< RZnm h < ��? � ��� L j L R ?-� ��� ³ � ��? � ��� ­ I L j L ?-� ��� P Ç c ¯&�~¬u��2p²¢{�Ai}|��Xbnopkh_jiuw}tS¯'�~¬Ô�p²�¬��� ¹�¬ � ¬�|~bIk�� 4 N 4 �~¬ � b�tm��[<¢ km�=_jk?k\�AbnZ\b¨bI¦~iut\k\t@Å O ¿ 2�t\sA|��Uk\�=_jk?� [^Z�_aop­U°�_joAq�jU¢���i}|��th_<kmi}t\�u­ L °�³¤° I L Ä º_jo�q L °�C j�³¤° I L Ä

K M ¯ L ³ Z P h ³¹³ Z L R C j R ² K o PQR T ÄÆÅ O j OdK�� � � � K o ` ¯&�~¬u�v�j²

ÎgÎ Óg���=�H���

Page 23: Multifractional Brownian Motion: Definition and ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Multifractional Brownian

�;2 ����������� ������������������������ ��"!���� b��=_n´^b

K M ¯ L ³ Z P h ³¹³ Z L R C j R ² K o P"R�T A �& < Znm h H LI ¯�? R C j R ² K o PQR �À�� � ³d? R��< RZnm h � U ?

A �� &H LI ¯n< RZ m o & C j R ² K o PQR & K'OQPQR �À�� ³3&

� � U &Ä �

� &H h � � �� � �I ¯nj R ² K o PQR & K'OQPQR U &lC �

��&H Lh � � �� � �

¯n< RZnm h &�² K o PQR & K'OQPQR U &A �

& j OdK o < K'OZnm h C �&

�N{³ � j OdK o < K'OZnm hÄÆÅ O j O�K � � � � K o c©N­�|pkmbnzK�~¬��� ¹�¬ ��¬�e¥��b�bno�q¤[v��km��b¨z�Zm[N[v��� [vwuw}[<¢{t{k\��bW[vo�bWz�Zmbnt\bnoNk\bnq¤i}o¤�A_aw}|n[^o�bnZW¯m���^�;2p²�z/¬��<�^��� [^Z�|n[v` �z�s�k\i}oA]�k\�AbWµ�_jsAt\qA[vZ\·UqAi}`�bno�tmi}[^oª[v�)_�¡�Z\[<¢{oAi£_ao2`ª[ak\iu[vog¬ � bSk\��bnoº[^©�kh_jiuo��³ `2_<¦r Z K ZV� r �� § Z Ä U���� ? y � Z0� ¯�=² | Ä U����� y � Z0� ¯�A² | ¬� � ¾*¬�¾ � £ � ££¾'¢ � °�� �0�0! ���Qqp�Qhp���Vm�0���ªqsr/�"��n�qs�l�Qhpo"!8�0r*�Y�����;h; M �*c=� T � b � P ���0!�� �;�Qh"�*!�q nS�V!���j�t¶j¯3³ Z ² Z�p�� t m � �;���d� ���d�S�V!���n�q;0 qsv¯�0r�S���Qq"���d������ÃU���� ?*yf³ Z c+°�x M �*c=� T | A U����� yF³ Z c\°¶x M �*c=� T | A:��³�`�i}o&y<§ Z c+°¶x M �yc=� T | c�D��!Z! ��� %�bIk¥° I x M �ycH� T ©�b�t\sA|���k\�=_jk�§ Z0� A `�i}o�y<§ Z c+°¶x M �*c=� T | ¬ � b�|n[^o�tmi}q�bnZ)km��b�k&¢r[W�£[^w}wu[<¢{i}o�]tmbnyNs�bnoA|nbnt«[v�{i}oNk\bnZ\´^_jw}t«q�bI�Ao�bnqgxG�£[^Z�b<_a|�� < 2~x�©N­ K � A M ° I C � K ZV�R � � � c+° I C � K ZV�R � T _ao�q � � AM ° I ³ ZV� K tR � c\° I ³ ZV� K tR � � � T ¬ � b�b<_at\iuwl­��=_n´^b ���� �yI K � ! ������ �*I � � ! A M �yc=� T ³,yI° I | `�e'k¥� [^w}w}[<¢�t�� Z\[^`%�bn`�`X_D]�k\��_<k�x=[voºk\��b�[^o�b��=_ao�qgx��³ � ZV� P ���� � � �� � ¯ ��³�° I� � P R ²¶Ä U���� ? y � ZV� P ���� � � �� � ¯ �¥³�° I� � P R ² | A U���� ? yF³ Z c+°¶x`K � | Ä ��³ � ZV� P ���� � � �� � ¯ ��³�° I� � P R ²�c[^oXk\�Ab�[ak\�AbnZ��=_ao�q/x

��³ � ZV� P �� � � �� � ¯ ° I ³3�� � P R ²¶Ä U���� ? y � ZV� K��� � � �� � ¯ ° I ³,�

� � P R ² | A U���� ? yf³ Z c+°ux � � | Ä �?³ � Z0� P �� � � �� � ¯ ° I ³3�� � P R ²"`

e¥�Ai}t�bnoNk�_ai}w}t<x~©N­¤¯'�~¬ �N²

tms�z� �yI G ��³�� ZV� P ���� � � �� � ¯ ��³�° I� � P R ²�_}Ä U���� ?*yf³ Z c+°ux¤¯8° I cH� T | Ä tms�z

� �yI G �?³ � ZV� P ���� � � �� � ¯ �¥³¤° I� � P R ²F_ªc_ao�qºtmi}`�iuw£_aZ\w}­

t\sAz� �yI G ��³�� Z0� P �� � � �� � ¯ ° I ³,�

� � P R ²�_}Ä U���� ?*yf³ Z c+°ux M �yc\° I ² | Ä�t\s�z� �yI G �?³ � ZV� P �� � � �� � ¯ ° I ³3�� � P R ²F_ªc

_ao�qºsAt\iuo�]¨k\�Ab�|n[voNk\i}o~s�ilk'­2[v�Gk\��bS� s�o�|Ikmi}[vo¤§ Z x�¢rb�[v©�k�_ai}o��³ § ZV� Ä U���� ?*yf³ Z c\°�x M �ycH� T | A `2_j¦$y U���� ?S¯3³ Z c+°�x�¯±° I c=� T ²"c U���� ??¯3³ Z c+°�x�¯n�*c+° I ²+² | Ä ��³ § ZV� `�{tmi}oA] U����� yf³ Z c+°¶x M �ycH� T | A:��³�`�i}o�y<§ Z0��| _ao�q�¯&��¬õc^²�xAk\��b�q�bntmi}ZmbnqXZmbItms�w}kr�£[^w}wu[�¢�t�¬

ä èGÎPä ã

Page 24: Multifractional Brownian Motion: Definition and ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Multifractional Brownian

��k�m�V� n"�Qhpo�����qsr'h;�t¶�Qqsvwr*��hsr�j�qs����qsr/�i�p���wr*�0����qsr hsr'�S���Q�� �0jl�0r/hs�����\�d�"k� ��� �ZE

� b!o�bI¦~k{t\k\s�q�­2k\��b�µW¶[^w}q�bnZ�zAZ\[^z�bnZ\k&­X[a��km��b�`�s�w}k\il� Zh_j|Ikmi}[^o=_jwg¡�Zm[�¢�o�i£_aoX`�[akmi}[^o/¬ � bS�=Z\t\k{Zmbn|<_jwuwk\�AbS�£[^w}wu[�¢�i}o�]«q�bI�Ao�i}k\i}[^o�� X¹p¡w¢1£ � ££¾'¢��=¦^§J¨¾ �±¿ ¹ � ¹�«�¬)¾'¢g¹]¢ �s®F°µ �Q�Qh;pn"k]r/o�����qsra¸��0�S��hs���5�3q�!�hs�s� h��{�q;��p�d���Q�d��qsr/��r*�12 4�§ ZV� 4:�8hs���yqs�0ry�g° I � ��Ã

¯\�j²ln�qs�l���;���d���Q�\h; ���"k*o"!��V!�hs� ��4 § Z0� Ãw}iu`h/w I L ¸/¯±° I C j=²�³J¸g¯±° I ² LL j L � A¥2Xc

¯'�^²ln�qs�l���;���d���Q�\h; � ¿ § Z0� Ãwui}` tms�zh�w I

L ¸/¯±° I C j�²G³[¸g¯±° I ² LL j L � Aºb=`� � ¾*¬�¾ � £ � ££¾'¢~¤�� °�� �0�V! ���Qqp�Qhp���Vm�0�V��qsr/�"���0!��$���q; �p���l�\�d�yqsr'�dry�uhs���yqs�0r*�/° I <Æ2�q n$h5jlk]m��� n"�Qhpo ����qsr/h;*tu�\qsvwr*��hsr�j5qs�V��qsr��V��§ ZV� �

�D��!Z! ��� �%� ¹X¬�¤ °p� brtm��[<¢ km�=_<k�¢{ilkm�WzAZ\[^©=_a©�i}wuilk'­S[^o�b�� [^Z�b<_j|h� � ¿ 2{tms�|��Wkm�=_<k�2 4 ��4�§ Z0� �wui}`h/w I L ³ ZV� P h ³¹³ ZV� LL j L � A¥2X` ¯&�~¬u�<�^²

� b��=_n´^bL ³ ZV� P h ³[³ Z0� LL j L � A L W ?-� � ��� ¯8° I C j�²�³ W ? � � ¯±° I ² LL j L �

Ä L W ? � � ��� ¯8° I C j�²�³ W ? � � ¯±° I C j�² LL j L � C L W ? � � ¯±° I C j�²G³ W ? � � ¯±° I ² LL j L � `� b«tm��[<¢�k\��_<k!b<_a|���k\bnZm` [v��k\��b�Zmi}]^�pk�`�bn`�©�bnZ�[v��k\�Ab�_a©�[<´^b�iuo�bnyNs�_jwuilk&­Kk\bnoAq�t¨_aw}`�[^t\k?t\sAZ\bnw}­k\[82~¬ %�bIk M �*c=� T ©�b«_ao¤i}oNk\bnZ+´^_aw�tms�|��Kk\��_<k�° I x M �ycH� T � e � P _joAq¤w}bIk�°@x M �*c=� T ¬ � b¨|I[^o�tmi}qAbnZ�k\��bz�Zm[~|Ibntmt � I Aº2�_ao�q � h A � � � � ��� Z � K � � � � Z �r h r � q�bI�=o�bnq�_jwu`�[vt\k¥tms�Zmbnwl­2�£[^Z L j L tmsZ6�|ni}bnopkmwl­Xt\`2_aw}w&¬� s�ZW_ai}`�i}tSk\[Ut\�A[�¢®k\�=_jk�� [vZWb<_j|��[2�4 �}4®§ ZV� x%km��bnZmb«bI¦�i}t\k\t�Å � ¿ 22iuo�q�bnz�bnoAq�bnopk![v��°?tms�|��k\��_<k{�£[^Z�b<_j|���j/cHj � tmsZ6�|ni}bnopkmwl­ªtm`2_jwuw�xp¢rb?��_I´pb

K M ¯�� h ³ � h � ² R T ÄÆÅ � L j � ³ j L R Ç K � � ` ¯&�~¬u���p²

� ��� ¹�¤ � j � ¿ 2~¬� i}k\��[^s�k�w}[^t\tr[v�P]^bno�bnZh_jwuilk&­�¢rbS_at\tms�`�b�2 4 L j L 4Rj��8x�_ao�qX©p­K¯�N¬u��2p²�|n[v`�©Ai}o�bnq�¢�ilk\�2k\�Ab�µW¶[^w}q�bnZz�Zm[^z�bnZ+k'­ª[v�Pkm��b�� s�oA|hkmi}[^oK§Àx�k\��bnZmb�bI¦~i}t\k\tSÅ ¿ 2�i}oAq�bnz�bno�q�bnoNk{[v�G°¥tms�|��2k\�=_jkK M ¯�� h ³�� h � ² R T Ä ��K � ¯ W ? � � ��� � ¯±°\²�³ W ?-� � ��� ¯±°\²\² RL j � L R � � C � �L j � L � ³ �L j L � � R K N ¯ W ? � � ��� ¯±°\²�³ W ?-� � ¯8°\²+² R Q

Ä �;Å L j � ³ j L R ÇL j � L R � C �sÅ ¯ L j � L � ³ L j L � ² RL j$j � L R � L j L R ÇÄ � R � P O Å L j � ³,j L R Ç K � � C��sÅ L j L R Ç K � � �r³����

jj � ����� � R

Ä � R � P O Å L j � ³,j L R Ç K � � C ¯'�sÅwC�: � R ² L j � ³ j L R Ç K � � c¢{�Ai}|��KZmbItms�w}k\t�©N­2km��bW� [vwuw}[<¢{i}oA]��±_a|Ik\t���il�@j{x ¯\³�j � cHj � E^� T km��bno L j L Ä L j � ³,j L ��il� j x ¯nj � Ev�Xc=j � ²k\�Abno L j L R Ç K � � 0 ��³ �� hh � ��

� 4 R Ä L j � L R Ç K � � � � R ¯m�g³ hh � ² R Ä5��� R L j � ³Tj L R Ç K � � xa¢{�Ai}|��«­~i}bnwuq�t�¯&�~¬u���p²�¬� ��� ¹3� � j � 4Æ2~¬=er��b�z�Zm[N[v��]v[~bnt�_jwu[voA]�km��b�t�_a`�b�wui}o�b^¬

ÎgÎ Óg���=�H���

Page 25: Multifractional Brownian Motion: Definition and ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Multifractional Brownian

�^� ����������� ������������������������ ��"!���� b zNoA[�¢®k\�=_jk � h ³ � h � � [vwuw}[<¢{t!_�oA[vZm`2_awPw _n¢!¬/e¥�~s�t<x%|n[^`�©�i}oAi}o�]U¯'�~¬}�<�p²�x�¯'�N¬m2^²?_ao�q¤km��b 9?[^w �`�[^]v[^Zm[�´�|nZmilk\bnZmi}[^o2¢¥bS[v©�k�_jiuoXk\��_<k{k\��bW_a©�[<´^b!�AZ\t\k�`�bn`�©�bnZ)kmbIoAq�t?_jwu`�[vt\k¥tms�Zmbnwl­�km[52�¬%�bIk�s�t¨oA[�¢ t+kms�q�­�k\��b2t\bn|n[^o�q k\bnZm`K¬Pe¥��b�� Zh_j|Ik\iu[vo�_jw�¡�Z\[<¢{oAi£_ao `�[vk\i}[^oÀt�_jk\iut+�=bnt¨_Ut\k\[N|h�=_jt\k\iu|µW¶[^w}q�bnZ�|n[^o�q�i}k\i}[^o5¯8tmbnb�b^¬ ]A¬��?q�w}bnZ«¯\�<�g:~�j²?z/¬��;2p�v²�iuo�km��b�� [vwuw}[<¢{iuo�]Xt\bnoAt\bw�¯��qs���Qhpo"! � � 4 § Z0��V!����Q� �Q�;�0���V� � ¿ 28�"k*o"!��V!�hs��h; j5qs�"���"k]�Q�dm��Ã

tms�zZ��*I L W ? � � ¯8°�C j�²G³ W ? � � ¯±°m² L Ä � L j L � � c¢{�Ai}|��Xbno�q�t{k\�Ab�z�Zm[N[v�P[v��¯'�~¬u�<�^²�¬��� ¹�¬ � ° %�bIk�¯nj � ² � � O ©�bª_ªtmbnyNs�bno�|nb�tms�|h�¤k\��_<k w}i}`

� w L j � AD2�¬ � b�t\��[<¢®k\�=_jk!� [^Z�b<_j|�� � ¿ 2tms�|��Xkm�=_jk ­J¿ � ¿ § ZV� � L j � L �L ³ Z0� P h � ³¹³ ZV� L �³/³�³�»

� w L 2]` ¯&�~¬u�I�~²��[vZ{b<_j|��º° ¿ 2¨¢¥bS�=_n´pb^xAs�tmi}o�]X¯&��¬}��2p²r_ao�qºk\��b�7ºb<_jo89�_aw}s�b!e¥�AbI[^Zmbn` ¨¯ L j � L �L ³ Z0� P h � ³[³ ZV� L ¿ °m²�A ¨¯ L ³ ZV� P h � ³¹³ ZV� L 4 L j � L � E<°\²

Ä �� L ³ ZV� P h � ³¹³ Z0� L< Z � m h � 4 L j � L �° � ? � � ��� � L j � L R ? � � ��� � ³ � � � ?-� � ��� � ­ I L j L ? � � ��� � P Ç

��A���¯ L j � L � K ? � � K h � ²�³�» 2]c

_at�j � » 2�¬��� ¹�¬�� °�� b�z~o�[<¢ k\�=_jk�¯&��¬}�n�N²Gbnopkh_jiuw}t�k\�=_jk�k\��bnZmb�bI¦�i}t\k\t�_�tms�©At\bny~s�bno�|nbr¢���i}|��«|n[voN´^bnZm]^bIt�_aw}`�[^t+ktms�Zmbnwl­�k\[ª2�¯8tmbnb�b^¬ ]A¬�%�syza_a|nt!¯\���^�g:^²�zg¬��p�p²r_ao�qXkm�Ns�t<x�¢¥b���_I´pbW_aw}`�[^t+krt\sAZ\bnw}­

w}i}` tms�zh/w IL ³ Z �"P h ³J³ Z � LL j L � Aºb=`

�2¹ ������ ¤���eG_fz^b«§�¯8°\²A °{[^o M �*c=� T � ¯Y2Xc<�<²�¬ge¥��bnoKilk?iut{b<_at\­ºk\[2t\bnbWk\��_<kSk\��b«µW¶[^w}q�bnZ�`«s�wlkmi �� Zh_j|Ik�_aw/tmz�bn|Ik\Zms�` R [v�Pkm��b�_atmt\[~|ni£_jk\bnqº`2¡�`�i}t���¸/¯nc�²wA¥2W� [^Z�c¹x M �ycH� T �y¸g¯nc�²�A ³Sb [akm��bnZ+¢�i}tmb^¬7º[vZmb�]^bno�bnZh_jwgtmz�bn|Ik\Zh_�`2_n­ª©�b�[v©�k�_jiuo�bnqº©N­2s�tmi}oA]«`�[^Zmb�|n[v`�zAw}bI¦X§ �£sAo�|Ik\iu[vo�t<¬�er��i}t�k\[^z�i}|S¢{iuw}w©�b�q�bI´pbnw}[^z�bnqºiuoº_W�£[^Z\k\��|n[^`�i}o�]«z=_az�bnZ�¬

�rkXw£_at\k�x�¢rb¤bnt\k�_j©Aw}i}tm�:_ zAZ\[^z�bnZ\k&­ [v�!`�s�wlkmil� Zh_j|Ik\iu[vo�_jwS¡�Zm[<¢{o�i _jo `�[vk\i}[^o Zmbnw£_jk\bnq k\[ ilk\tX©�[<¦ �q�iu`�bno�tmi}[^o�[vZ�`�[^Zmb�z�Zmbn|ni}tmbnwl­?km[?i}k\tw7ºi}o�z^[<¢{tQzNi�|n[^opk\bnoNk�¯�t\bnb¥b^¬ ]�¬^�=_aw}|n[^o�bnZ¥¯\�<�v�g2p²Pzg¬j�~���;7K_jk+k\iuw£_¯\�<�^�^c^²Pzg¬J]v���£[^Z)q�bI�Ao�i}k\i}[^o�tI²�¬ � b�_at\tms�`�b�¢!¬ w�¬ [�¬ ]�¬<k\�=_jk¶2 4 ­ Ä:�v¬p�Gil¦!° I ¿ 2S_ao�qX��4�� 4 Ç?-� � ¬��[vZ�tmsZ6�|ni}bnoNk\wl­¤tm`2_jwuwg´^_aw}s�bnt�[v� ¿ 2�x�wubIk ���<¯±° I ²@A y^¯±°�c �S¯±°\²\²l��°$x M ° I ³ ;Ev�Xc+° I C�;E^� T | qAb �o�[vk\bntSk\�Ab�w}[~|<_jwG]^Z�_az���_aZm[vs�oAq¤° I ¿ 2ª[a��k\�Ab¨t+k�_ao�q�_jZmq�`«s�wlkmil� Z�_a|Ik\i}[^o=_awg`�[vk\iu[vo ¯��S¯8°\²+² Z��*I ¬���[^Z� A �w`�`�`+c~x�¢¥b�qAbIoA[akmb�©p­ Å � � � ¯±° I ²�_ao�q Å � � � ¯±° I ²�km��b�Zh_joAq�[v` ´^_jZmi£_a©�wubItSq�bI�=o�bnq _jwu`�[vt\k�t\sAZ\bnw}­©N­Å�� � � ¯±° I ²¯A�wui}`� w I �� R�K ? � � � : � ���� ¯����<¯±° I ²+² _joAq Å�� � � ¯±° I ²wA w}i}`� w I �� R�K ? � � � : � ���� ¯����<¯±° I ²+²�c� ÕaÏhÖ)Ý�ójÛ�â<Û��jÓjÒ Ý�ÒÔÏhÓjÙ¥ÑhÓjâ�éjÖ±ÏIé^Û+Ö Ý�ÒÔÛ+Ù¥Ï�ígÐ ð Ü Ý8Ò ílÖ±Ñ Ø Ý�ÑhÜ�Ù�é^Û Ø Ý8Ö8Ñ?Ù�Û\Ûrí ÏIÖ�ÒõÓ<Ù8Ý�ÑhÓ Ø ÛAÞ�ñ�áÛ+à�ò!æSáÛ+ójÛ\Ü Å+Ê���������� � � !�ç" ÜÔÙ�Û\Ó �#��� � �$!�ç�ÕaÑhÜ Ø ÏhÓjÛ+Ö ������� �%!=ç�&�Ö±Ï Ì Ó Å\Ê��$������� � � !

ä èGÎPä ã

Page 26: Multifractional Brownian Motion: Definition and ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Multifractional Brownian

��k�m�V� n"�Qhpo�����qsr'h;�t¶�Qqsvwr*��hsr�j�qs����qsr/�i�p���wr*�0����qsr hsr'�S���Q�� �0jl�0r/hs�����\�d�"k� ��� �J�

¢{�AbnZ\b;: � �� � ¯����<¯±° I ²+²¥i}t�Zmbnt\z%bn|hkmil´pbnwl­ª[^o�b�[a�Gk\�AbS�£[^w}wu[<¢{i}o�]X¯8tmbnbSb^¬ ]�¬=�=_aw}|n[^o�bnZS¯\�<�v�g2p²¥zg¬����j²��¯\�j²2��[vZ � A �^x�k\��b�o~s�`�©�bnZr[v�� � ��`�bnt\�2t\y~s=_aZ\bnt�k\�=_jk�iuopk\bnZmtmbn|Ik � � ¯±° I ²��¯'�^²2��[vZ � A �~x�k\��b�tm`2_jwuw}bnt\k�oNsA`�©�bnZr[a��tmyNs=_aZmbnt�[v�Gtmi}�nb � km�=_jk{|n[<´^bnZ ���<¯±° I ²��¯&�p²2��[vZ � A:��x�k\��b�tm`2_jwuw}bnt\k�oNsA`�©�bnZr[a��|nw}[^tmbnq2©�_jwuw}t�[v��q�i£_a`�bIk\bnZ � k\�=_jk{|n[<´^bnZ ���<¯±° I ²��¯8�~²2��[vZ � A �Ax�k\��b�tm`2_jwuw}bnt\k�oNsA`�©�bnZr[a��tmbIk\t�[v��q�i _j`�bIkmbIZ � km�=_jk�|n[<´pbnZ � � ¯±° I ²��¯'c^²2��[vZ � A:c~xNkm��b�w£_aZm]vbnt\k¥o~s�`�©�bnZ�[v�PqAi}t8�'[^i}oNk�©=_aw}w}t¥[a�Gq�i£_a`�bIk\bnZ � ¢{i}k\�ª|nbnoNk\Zmbnt¥iuo ���<¯±° I ²�¬

S;Ug¹~¾ � ¹ ¤*¤ ° >�!��d�\���\�g�0�"��� � ? � � ¿ 28�"k*o"!��V!�hs��v¶�@!�hs�s�$vw�0�V!$���Qqp�\hp�d�Vm�0�V�aqsr/�¯\�j² R

�ÄÆÅ O � A Å O � A � ?-� � �¯'�^² O� R � ÄÆÅ R � Ä Å R � Ä � ? � � �¯&�p²���qs� � A:�]c\�{hsr/�Wc�� O� R � ÄÆÅ � � Ä Å � � Ä � ? � � % ��`��qs��2 4�§ ZV� 4:�s�

� ? � � Ä ��% ��&w`�'k]�d�0!��d��j5qs�Q�"��� n��fEv�lÄ�§ ZV� 4:���0!��dr� ? � � Ä � �

&hsr/��� n2�4 § Z0� Ä:�FE^�8�V!���r� �

& Ä � ? � � `�D��!Z! ���

e¥�Ab�z�Zm[~[a��s�tmbntGk\��b¥� [^w}w}[<¢{iuo�]�k\�Abn[vZmbn`Kx�¢���i}|��¨z�Zm[<´~iuq�bnt)_{tmi}`�iuw£_aZ/Z\bntms�wlk�iuo!km��br|<_jtmbr[a�=� Zh_j|Ik\iu[vo�_jw¡�Zm[�¢�o�i£_aoª`�[vk\iu[vo�¯8tmbnbWYPbnwlkmi}bnZ���% bI´N­�9 bn��bnw�¯\�<�v�a�~²+²�¬�PiuZ\t\k�x�¢¥bKZ\bn|<_aw}w�tm[v`�bUo�[akh_<kmi}[^o/¬�%�bIk � A y^¯±°dc\± ? ¯±°m²+²��r°{x M 2]c�� T | q�bno�[vk\bKk\�Ab¤]vZh_az��5[v�¨_� Zh_j|Ik\iu[vo�_jwS¡�Zm[<¢{o�i _jo `�[vk\i}[^o/x�¢{ilkm���£Zh_a|Ik�_jw�¯&µ�_as�tmq�[^Z\· [^Zª©�[<¦A²�q�i}`�bnoAt\iu[vo N[A ��³:§À¬�%�bIk� s�Z\k\��bnZ < ¿ 2¨©�b�qAbI�Ao�bnq�_jt�k\��bWs�t\s�_jw/tm|<_aw}bS�8_j|Ik\[^Z<¬���[vZ � A �¯`F`�`mcNxA¢¥b�q�bno�[vk\b�©N­�� � � _joAq � � �k\�Ab�Z�_ao�q�[^` ´^_aZ\i _j©Aw}bnt�q�bI�=o�bnqK_aw}`�[^t+krtms�ZmbIw}­�©N­

� � � A®wui}`� w I o : � �� ¯��!² _joAq � � � A w}iu`� w I o : � �� ¯��!²"c¢{�AbnZ\b;: � �� ¯��!²�iutrZ\bntmz�bn|Ik\i}´^bnwl­X[^o�b�[a�Gk\�AbS�£[^w}wu[�¢�i}o�]�_jw}k\bnZ\o�_<kmil´^bSq�bI�=o�ilk\iu[voAt��

¯\�j²2��[vZ � A �^x�k\��b�o~s�`�©�bnZr[v�� �8`�bntm�ªtmyNs�_jZmbntrk\��_<k�i}opkmbnZ\tmbn|Ik � �¯'�^²2��[vZ � A �~x�k\��b�tm`2_jwuw}bnt\k�oNsA`�©�bnZr[a��tmyNs=_aZmbnt�[v�Gtmi}�nb �k\�=_jk�|n[<´pbnZ � �¯&�p²2��[vZ � A:��x�k\��b�tm`2_jwuw}bnt\k�oNsA`�©�bnZr[a��|nw}[^tmbnq2©�_jwuw}t�[v��q�i£_a`�bIk\bnZ �k\�=_jk�|n[�´pbnZ � �¯8�~²2��[vZ � A �Ax�k\��b�tm`2_jwuw}bnt\k�oNsA`�©�bnZr[a��tmbIk\t�[v��q�i _j`�bIkmbIZ �k\��_<k�|I[<´pbnZ � �¯'c^²2��[vZ � A c~x�k\��b�w _jZm]vbnt\k�oNsA`�©�bnZr[a��q�iut±�[^i}oNkr©�_jwuw}t�[v��q�i£_a`�bIk\bnZ �¢{ilkm�X|IbnoNk\Zmbnt{iuo ��¬

S;Ug¹~¾ � ¹ � V ��¹ �£� £ ¹ � ¼ �¹Y/»�� �¹ZUg¹ � ¦d¤�� � � ® [ � >�!����Q���\�g�0�"��� � ? ¿ 2��"k*o"!5�0!�hs�1v¶�!�hs�;��vw�0�V!���Qqp�Qhp���Vm�0���aqsr'�¯\�j² R

��� O � A � O � A � ? �

¯'�^² � R � Ä�� R � Ä � R � Ä � ? �¯&�p²���qs� � A:�]c\�{hsr/�Wc � R � Ä�� � � Ä � � � Ä � ? % �X`

ÎgÎ Óg���=�H���

Page 27: Multifractional Brownian Motion: Definition and ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Multifractional Brownian

�j� ����������� ������������������������ ��"!�����qs��2 4�§64:�s�

� ? Ä5�J< % ��&w`�'k]�d�0!��d��j5qs�Q�"��� n��fEv�lÄ�§64:���V!���r

� ?ºÄ � < �&hsr/��� n2�4 § Ä �fE^�a�0!��dr

��< �& Ä � ? `

��[vZ{|n[voN´^bnoAi}bno�|nb�km��b�z�Zm[N[v��[a�Gk\�Ai}trk\�Abn[vZmbn` i}t{Z\bn|<_aw}wubnq2iuoX� � � ��� ¡�¬� b�o�[<¢ `�[<´^b�k\[�km��b�z�Zm[N[v��[a�)e¥�Abn[vZmbn` �^�v¬

� Z\i}k\b �$A i� ¢{i}k\�2k\��b�|n[^o�q�i}k\i}[^o����C `2_j¦$y^�gc �

�p¯m��³À§ ZV� ² | 4Rc¹4 � ­§ ZV� ¯&�~¬u�<c^²

; ¯\�j²�i}t{bIy~s�i}´v_aw}bnoNkrk\[��wui}`� w I i RdK ? � � � : O ���� ¯���� � ¯8° I ²\²¯A � �

& `|NbIk{�£[^Z�|n[voN´^bno�iubno�|nb* � m � A � i � ? � � tms�z �3K'O � P%� � � � � o5m Z � �0P%� � � � ��¯±° I C °�³��fEp¯� � ²\²�³ �S¯8° I C N�³®�fEp¯'� � ²+²ª�£[^Zºb<_a|����Ä � Ä � i K � ��³ �^¬ * � m � E � i � ? � � _jZmb2k\�Abº`2_<¦�i}`�sA` [^t\|niuw}w£_jk\iu[vo�t«q�bI�Ao�bnq�[^o i}oNk\bnZ+´^_aw}t�|n[vZ �Zmbnt\z%[vo�qAi}o�]Skm[!km��b�t\sA©�q�il´�i}tmi}[^o�[a�/km��b�i}opkmbnZ+´^_aw M ° I ³¤�FEN¯'� � ²"c\° I CÀ�FEN¯'� � ² T i}o«k\iu`�b�t\k\bnz�t¥[a�/t\iu�nb�fE � i �N¬ � b�tm��[<¢:k\�=_jk�k\��bnZmb?bI¦�i}t\k\t � ? � � ¿ 2�tms�|��2k\�=_jk1�

wui}`� w L �� i K � ��³5� � �

�� � � K'O(� � O * � m � A � ? � � _�¬ t<¬ ¯&�~¬u���p²

� Z\i}k\b$> ? � ¯±°\²wA �S¯±°m²�� [^Z�_aop­�°u<Æ2�_joAq���� m � A � i � ? � � t\sAz ��K'O � P%� � � � � o5m Z � �0P�� � � � > ? � � ¯±° I Cº°�³��FEN¯'� � ²+²=³8> ?-� � ¯±° I C{N�³��fEp¯� � ²+²�� [^Z�b<_a|����Ä � Ä � i K � ��³ �^¬ � b���_I´pb

�� i K � ��³�� � ��� � � K'O(� � O * � m � A

� i � ?-� �� i K � ��³�� � ��� � � K'O(� � O t\sAz ��K'O � P%� � � � � o5m Z � �0P�� � � � yF>�?-� � ¯8° I CÀ°�³5�fEp¯� � ²\²P³J>�? � � ¯±° I C�N�³5�FEN¯'� � ²+²�C

�S¯8° I CÀ°�³5�FEN¯'� � ²+²G³¹>@? � � ¯±° I C °�³ �fEp¯'� � ²+²�C�>�? � � ¯±° I CÆNr³ �fEN¯'� � ²\²�³��S¯8° I C�N{³ �fEp¯'� � ²+² |Ä �� i K � ��³ � � �

�� � � K'O(� � O �

� m � C�� � i � ? � � t\sAz ��K/O � P�� � � � � Z � �0P%� � � � L �S¯8° I CÀ°�³��FEN¯'� � ²+²G³¹> ? � � ¯8° I CÀ°�³5�FEN¯'� � ²+² L� b�q�bnZmil´^b?� Z\[^`�¯�9!²�i}oX� � � ��� ¡ k\�=_jk��

wui}`� w L �� i K � ��³ � � �

�� � � K'O(� � O � � m � A � ? � � _�¬ t<¬ ¯&�~¬u��]^²

ä èGÎPä ã

Page 28: Multifractional Brownian Motion: Definition and ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Multifractional Brownian

��k�m�V� n"�Qhpo�����qsr'h;�t¶�Qqsvwr*��hsr�j�qs����qsr/�i�p���wr*�0����qsr hsr'�S���Q�� �0jl�0r/hs�����\�d�"k� ��� � �_at�tm[N[^oK_at�c ¿ ��C `2_<¦$yp�;c OR OdK ? � � � | ¬

¡�­U¯'�~¬õ�v�^²�[v�i|pk\bnzX�¨[a�Pk\��b�zAZ\[~[a�G[a�Ge¥�Abn[vZmbn` �W¢¥b�q�bnZmil´pb�k\��_<kr� [vZ{_aop­K��Ä � Ä � i K � �r³À�vx� i � ? � � tms�z ��K'O � P%� � � � � Z � �VP%� � � � L �S¯±° I C�°h³��fEp¯� � ²+²h³�> ? � � ¯±° I C�°h³��fEp¯� � ²\² L Ä �«¯ � i � ? � � K � wu[v] � ²"`e¥�~s�t<x�il���^§ Z0� 4:�?¢rb?��_I´pbW_jwu`�[vt\krt\sAZ\bnwl­��w}i}`� w L �� i K � ��³ � � �

�� � � K'O(� � O � i � ?-� � tms�z �3K'O � P%� � � � � Z � �0P%� � � � L �S¯±° I C�°I³��FEN¯'� � ²+²�³�> ?-� � ¯±° I C�°h³��fEp¯'� � ²+² L A¥2]c

¢{�Ai}|��/x�|n[^`�©�iuo�bnq�¢�ilk\��¯&��¬}�/]^²�xAbnoNk�_jiuw}t��wui}`� w L �� i K � ��³5� � �

�� � � K'O(� � O * � m � Ä � ? � � _�¬ t<¬ ¯&�~¬u��:p²

� b��=_n´^b

�� i K � ��³�� � ��� � � K'O(� � O * � m � < �� i K � �{³�� � �

�� � � K'O(� � O �

� m � C � i � ? � � iuo�� ��K/O � P%� � � � � o5m Z � �VP%� � � �y �S¯±° I CÀ°�³��FEN¯'� � ²+²G³¹>�? � � ¯8° I CÀ°�³5�FEN¯'� � ²+²�C�>@? � � ¯±° I CÆNr³5�fEN¯'� � ²\²G³��S¯±° I C�N�³5�FEN¯'� � ²+² |A �� i K � ��³ � � �

�� � � K'O(� � O �

� m � `¯&��¬}�/]^²�bnopk�_ai}wutrk\��_<k

wui}`� w L �� i K � ��³5� � �

�� � � K'O(� � O * � m � < � ? � � _�¬ t<¬

¢{�Ai}|��/x�|n[^`�©�iuo�bnq�¢�ilk\��¯&��¬}�F:p²�xAbno�qAtrk\�AbSzAZ\[~[a��[v�¥¯&��¬}���p²�¬e¥�Abªz�Zm[~[a�{[v��¯m�<²!iut¨|I[^`�z�wubIk\bnqÀ� [^w}w}[<¢{iuo�]Kk\�Abªth_j`�b�wui}o�b2_at¨i}oÆ|pkmbnz5cº[v��k\��b2z�Zm[N[v�{[v�!¯m�<²�i}oe¥�Abn[vZmbn` � ¯8��o�oAbI¦º¡�²�¬

; ¯'�^²r_ao�q�¯&�p²�¬�|NbIk{�£[^Z�|n[voN´^bnoAi}bno�|nb� � m � A � i � ? � ��� ¯��S¯±° I C � E � i �2³��fEN¯'� � ²\²�³ �S¯8° I C ¯ � ³��<²\E � i �X³��FEN¯'� � ²+²+²U� [vZ¤b<_a|����Ä � Ä � i K � ��³ �^¬ � � m � E � i � ? � � _jZmb2k\�Abºi}o�|nZmbn`�bnopkmt�|n[vZmZmbnt\z%[vo�qAi}o�]�k\[�k\�Abºtms�©�q�i}´~i}tmi}[^o [a�k\�Ab�i}opkmbnZ+´^_aw M ° I ³ �fEp¯� � ²�c+° I C �FEN¯'� � ² T i}o2k\iu`�b�t\k\bnz�t�[a��tmi}�nb«�FE � i �N¬ � b�t\�A[�¢:km�=_jk��

w}i}`� w L �� i K � ��³ � � �

�� � � K'O(� � O L � � m � L A �

& _�¬ t<¬ ¯&�~¬u���p²

� Z\i}k\b$>�? ��¯±°\²wA �S¯±°m²�� [^Z�_aop­�°u<Æ2�_joAq��W � m � A � i � ? � � ¯Y>�? � � ¯±° I C � E � i ��³ �fEN¯'� � ²\²/³ >�? � � ¯±° I C5¯ � ³ �<² E � i �r³ �fEp¯� � ²\²+²)�£[^Z�b<_a|����Ä � Ä � i K � ��³ �^¬�� i K � ��³�� � �

�� � � K'O(� � O L � � m � L A �� i K � ��³ � � �

�� � � K'O(� � O ¯ L � � m � L ³ L W � m � L ²�C �� i K � ��³�� � �

�� � � K'O(� � O L W � m � L `

ÎgÎ Óg���=�H���

Page 29: Multifractional Brownian Motion: Definition and ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Multifractional Brownian

�v� ����������� ������������������������ ��"!���; e'oU� � � �����Wx~¢¥b�tm��[<¢:k\�=_jk��

w}i}`� w L �� i K � ��³ � � �

�� � � K'O(� � O L W � m � L A �

& _�¬ t<¬ ¯&�~¬ �s2p²_jt�tm[N[^oU_jt c ¿ ��C `2_<¦$yp�gc O� O�K ? � � � | x�¢{��iu|��Xi}trkmZ\s�b?¢{�AbIoÀ¯&��¬}�jcv²¥��[vwuq�t<¬; � bWt\�A[<¢ km�=_jk

w}iu`� w L �� i K � ��³�� � �

�� � � K'O(� � O ¯ L � � m � L ³ L W � m � L ²¯A¥2 _�¬ t<¬ ¯&�~¬ �N�j²

�{tmi}oA]�¯'�~¬ 2p²�x~k\��bSo�[vk�_<kmi}[^oª[v��e¥�Abn[vZmbn` �«_ao�qK¯'�~¬}�j²�x~� [vZrb<_a|���� ¿ 2W_ao�q2� [vZrb<_a|�� ��<:��¢¥b?�=_n´^b

�� �������� i K � ��³ � � �

�� � � K'O(� � O ¯ L � � m � L ³ L W � m � L ² ������

¿ � �� Ä �� � `2_<¦O � � � � � � � � � K'O K L ¯ L � � m � L ³ L W � m � L ² � L

A � � P"R B�¯ � P OR ²� � B�¯ O R ² `2_j¦O � � � � � � � � � K'O M �k� ?~¯ � � m � ³ W � m � ² T � PQRA � � P"R B�¯ � P OR ²���;B�¯ O R ² `2_j¦O � � � � � � � � � K'O � i � � ? � � M �;�^?~¯Y> ? � � � ����� � ��� � � � � � � � ! ¯±° I C � E � i ��³ �FEN¯'� � ²+²�³¹> ? � � ¯±° I C � E � i �{³��fEp¯'� � ²+²³¹>�? � � � � � � � ! ��� � ��� � � � � � � � ! ¯±° I C�¯ � ³ �j² E � i ��³5�fEp¯� � ²\²�C�>�? � � ¯±° I C�¯ � ³��<² E � i ��³ �fEN¯'� � ²+² T � P"RÄ � � B�¯ � P OR ²� � B�¯ OR ² � i � � ? � � M `2_j¦O � � � � � � � � � K/O �k�^?�¯�� ? � � � ����� � � � � � � � � � � ! m ?-� � ¯±° I C � E � i �{³��FEN¯'� � ²+²+²C `2_<¦O � � � � � � � � � K'O �D� ?~¯�� ? � � � � � � � ! ��� � � � � � � � � � � ! m ?-� � ¯±° I C�¯ � ³��<² E � i ��³ �fEN¯'� � ²+²+² T � PQRÄ � � P O � ­ � PQRI B�¯ � P OR ²� � B�¯ O R ² � i � � ? � � `2_<¦I � � � � � � � K'O L � E � i ��³5�FEN¯'� � ² L Ç �Ä � � P O � ­ � PQRI B�¯ � P OR ²���sB�¯ O R ² � i � � ? � � K � Ç � `� ­ ³:¯nc ³ �/²§ ZV� i}t�z�[^tmilk\i}´^b2©p­ |I[^o�qAilk\iu[vo ¯&��¬}�jcv²h¬�|NbIk+kmi}o�] � ¿ O� Ç K i K � �V? � � x¥¯&�~¬ �N�j²�� [^w}w}[<¢{tZmb<_jqAi}wl­ª©N­�k\��bW¡�[^Z\bnw � ��_joNk\bnw}wui%w}bn`�`2_�¬e¥�Ab!bno�qU[a��km��b¨z�Zm[N[v�P� [^w}wu[�¢�t�km��b!th_j`ªb?w}iuo�bW_at�k\��bWz�Zm[N[v��[a��k\��bW|I[^ZmZ\bntmz�[^o�q�iuo�]�t+kh_<k\bn`�bnoNk�¯'�^²z�Zmbntmbnopk\bnqUi}oX� � � ��� ¡�¬

�2¹ ������ ���Ger��b�s�zAz�bnZ!©�[^s�o�q �£[^Z �Xi}o er��bn[vZmbn` �^�«�=_n´pb�km��b�� [vwuw}[<¢{i}oA]ºi}oNk\s�i}k\il´pb«iuopkmbIZmz�Zmb �k�_jk\iu[vo$�/_jtmtms�`�b�km�=_jkWµ ��_jt!_ªt\��_jZmz¤`2_j¦~iu`�s�`-_jk?° I ¬/er��bno/x%[^oÀ_aoN­Ktm`2_aw}wgoAbIiu]v�~©�[^s�Zm��[N[~q¤[a�° I x�km��b¨|n[voNk\Zmi}©�s�kmi}[^o�t{k\[�km��b!wu[N|<_awPiuZ\Zmbn]^s�w£_aZmilk&­�¢�i}w}w/©�bWq�[^`�i}o=_jk\bnqº©N­Xk\��b¨©�[<¦~bnt�¢���i}|��Uq�[�o�[vk|n[^opk�_ai}oª° I ¬Ner�Ns�t<xpk\[¨|n[^Z\Zmbn|Ik\w}­«bI´v_aw}s�_<kmb�k\��b�iuZ\Zmbn]^s�w£_aZ\i}k&­«_jZm[^s�o�qª° I xpk\�Ab�o�bni}]^�N©�[^s�Zm��[~[Nq�tm��[^s�w}qo�[vk«©�bXq�i}´~iuq�bnq i}opkm[ 2'km[N[À`2_aop­Z4U©�[<¦�bnt�¬)e¥��_<k«iut¨¢{�N­pxG�£[^Z���i}]^� ´v_aw}sAbnt�[a�S§�¯±°\²hx�km��bXZh_<k\b2[a�]^Z\[<¢�km�X[a��km��b�oNsA`�©�bnZr[a��©�[<¦~bnt{t\�A[vsAw}qX©�b�zvbnz�k�_at�t\`X_jw}w/_jt�z�[^t\tmi}©Aw}b^¬

ä èGÎPä ã

Page 30: Multifractional Brownian Motion: Definition and ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Multifractional Brownian

��k�m�V� n"�Qhpo�����qsr'h;�t¶�Qqsvwr*��hsr�j�qs����qsr/�i�p���wr*�0����qsr hsr'�S���Q�� �0jl�0r/hs�����\�d�"k� ��� � �

�A¬��y.0��,��;�]&'.V)1%������ �d&'.V��]&'.V)1%��� b�z�Zmbnt\bnoNk!i}o�k\��iut!tmbn|Ik\i}[^o _X`�bIk\��[~q¤� [^ZWtmi}`«s�w£_jk\i}oA]X_aoÀ`2¡�`K¬%er��i}t�`�bIk\�A[NqÀiutS©�_jtmbnq sAz�[voe¥�Abn[vZmbn` ���¢¥b�_jtmtms�`�bX]vi}´^bno _�� s�o�|Ik\iu[vo ° � ³�» §�¯±°\²ª_joAq:_ao i}oNk\bn]vbnZ`: Zmbnz�Zmbnt\bnoNk\i}oA]�k\��bq�bntmi}Zmbnq tmi}�nb¤[v��k\��b�t�_a`�z�wub^¬���[vZXb<_a|�� ´^_aw}s�b¤[v��§�¯ � E :¤²�xS�=Ä � Ä :�x{_jo �8¡�` > ? �0P� � [a�bI¦�z�[vo�bnoNkS§�¯ � E :K²�iut�]^bno�bnZh_<k\bnqg¬�e¥�Ab�`2¡�` W ? iutrk\�Abnoº[^©�k�_ai}o�bnqU©p­2tmbIk+kmi}o�]��

W ? ¯ �: ²wA¥> ? � ¯ �: ² ��Ä � Ä�:8`eoºz�Zh_j|Ikmi}|nb^x�_aop­X`�bIk\��[~qª`2_n­�©�b�s�tmbnq2�£[^Z�]^bno�bnZh_<kmi}o�]�b<_j|��2�8¡�`K¬�eo2k\��bS� [^w}w}[<¢{iuo�]�tmi}`�sAw£_jk\i}[^o�tk\�Ab{tm[!|<_aw}wubnq 2\��_ao�q�[^`D7Xiuq�z�[^i}oNk\t ��i}tmz�w£_a|nbn`�bnopk54?`�bIk\�A[Nqº¯8tmbnb�b^¬ ]A¬N¡r_aZ\oAt\wubI­��d��h; ²��=_n´^b�©�bnbnos�tmbnq/¬)��wlk\�A[vs�]^�5k\��iut«`�bIk\�A[Nq qA[Nbnt�o�[vk�]vi}´^bºbI¦A_j|IkªZmbntms�wlkmt�x�ilk�i}t«¢{i}qAbnwl­ sAt\bnq�©�bn|<_jsAt\bU[a�?i}k\ttmi}`�z�wui}|nilk'­p¬��oAo�bI¦!�5]^il´pbnt�_jo«_aw}]^[vZmilk\�A` � [^ZGk\�Ab¥tmi}`«s�w£_jk\i}[^o�[v�A`2¡�`:¢{�Ai}|��Wi}t)_ao�_aq=_az�k�_jk\iu[vo«[a��km��br`�bIk\��[~q�i7À��� z�Zmbntmbnopk\bnqUi}oU¡r_jZmo�tmw}bI­ ����h;A¯8z/¬':v�p²�¬� b?�=_n´pbS_aw}tm[Wz%bIZ\� [^Z\`�bnq�tm[v`ªb�bnt+kmi}`2_jk\i}[^o�t�[v�gk\�Ab�� s�oA|Ik\i}[^oU§�xN©�_jtmbnqªsAz�[vo2km��b�bnt\k\i}`2_jk\[^Z�z�Zmb �tmbnopk\bnqUi}oUYPbnwlkmi}bnZ ��% bI´~­ª9 bn��bnw�¯m���^�j�~²�¬ � b�Zmbn|<_jwuw�k\��b�`2_ai}o�Zmbnt\sAwlk�[a�Gk\�Ai}t�z�_jz�bnZ��%�bIk)¯�± ? ¯8°\²+² Znp�� I�m O ©%b�_¥t\k�_ao�q�_jZmqS� Z�_a|Ik\i}[^o=_awp¡�Zm[<¢{o�i _joS`�[akmi}[^oS_joAq(y�± � m � A=± ? N �

�-Q c"2lÄ � Ä |©�bSk\�Ab�t�_a`�z�wubnq�z�Zm[N|nbntmt�¬�%/bhk�� A �

X³5���K/O(� � O L ± � P O m � ³{± � m � L c

_ao�q

§ � A ³ w}[^]�� � � R � � �w}[^]A¯ X³��j² `e¥�Abno

wui}`� w L § � A § _�¬ t<¬

eoºkm��b�� [^w}w}[<¢{iuo�]Ax~¢rb�`2_szvbSo�[2_jk+k\bn`�z�k{k\[��s�t\k\il�£­ºZmi}]^[vZm[vsAt\w}­«km��b!sAt\b�[v��k\�Ai}t�bnt+kmi}`2_<km[vZ��£[^Z{k\��b� s�o�|Ikmi}[^o=_jwPz=_aZ�_a`�bIk\bnZ�§ [v�Gk\��b!`X¡�`K¬geo�t\k\b<_jqgx�¢¥br�s�t\k{]^il´pb�tm[v`�bSi}oNk\s�ilkmil´pb�_aZ\]^s�`�bnoNk\trkm[«bI¦ �z�w _jiuo2¢{�p­�km��i}t{`�bhkm��[NqXz�bnZ\� [vZm`�trZmb<_jtm[^o=_j©Awl­�¢rbIwuw�¬e¥�Ab�|n[^opk\iuoNs�i}k&­![v��§�¯±°\²gk\[^]vbIk\�AbnZG¢{ilkm��er��bn[^Z\bn` �{­~i}bnwuq�tPk\�=_jk�xj� [vZ�b�_a|��W° I x M 2]c�� T xnk\��bnZmb¥bI¦~i}t\k\t�_o�bniu]v�~©�[vsAZ\�A[N[~q�� [v��° I iuo¨¢{��iu|��¨¢¥br`2_n­!bnt\k\i}`2_jk\b�k\��b¥� s�o�|Ikmi}[voª§�¯±°m² 2m_jt)il�"4�ilk�¢¥bnZmb{_�|n[^o�t\k�_joNk§ ZV� [vo���¬�e¥�~s�t<x�¢¥bW¢{iuw}wG_atmt\sA`�bSk\�=_jk�k\�AbIZmb¨bI¦~iut+kmtS_jo¤[^z�kmi}`2_awgo�bniu]v�~©�[vsAZ\�A[N[NqU� [vZ?¢{�Ai}|��Uk\��bbnt\k\i}`2_jk\iu[vo�`�bIkm��[Nq2z�bnZ+� [^Z\`ªt�¢¥bnwuw�¬ � bS¢{i}wuw�o�[vkriuop´pbnt+kmi}]N_<kmb�k\�Ab?z�Zm[^©�w}bn` [v�gk\�Ab?q�bIkmbnZ\`�iuo=_jk\i}[^o[v�/k\��bS[vz�k\i}`2_aw=o�bni}]^�N©�[^s�Zm��[~[Nq/xA_joAq�¢{iuw}w=ZmbIt\k\Zmi}|Ik�[^s�Zmtmbnwl´pbItriuo�k\��b�tmbnyNsAbnw�k\[��£sAo�|Ik\iu[vo=_aw�bIt\k\iu`2_ �k\iu[voAtr¢{i}k\�U_W�A¦~bnqºiuopk\bnZ\´^_jw/wubno�]akm�/¬

%�bIk ©�bKkm��b�o~s�`�©�bnZ�[v�Wq�_<k�_ [v��_ th_j`�zAw}bº`2¡�`K¬ %�bIk��¥4 � 4 ©�bKk\�Ab¤w}bno�]vk\�:[v��k\��bo�bniu]v�~©�[vsAZ\�A[N[~q«s�tmbnq«�£[^Z�bnt\k\i}`2_jk\iuo�]�km��b{�£sAo�|Ik\iu[vo=_aw=z=_aZ�_a`�bIk\bnZ<¬ � br¢{i}wuw�bnt\k\i}`2_jk\b{§�¯±°m²�[vo�w}­¨�£[^Z°�i}o M �yE ¯c��{³ �*E T ¬ � ilkm��[vs�k�wu[vtmt�[v��]^bno�bnZh_jwuilk&­pxA¢¥bW_at\tms�`�b � A��E �Xk\[�©�b¨_aoºi}oNk\bn]^bIZ<¬%e¥��bno/x[^s�Z�bnt\k\iu`2_<k\[^Zr[v��§�¯ � EN¯ U³ �j²+²ri}t¥k\��bS� [^w}w}[<¢{iuo�]

�§�0P �yK'O � A ³ w}[^] M � &�E^� � � m � ¯ � ² Twu[v]A¯ º³5�j²

ÎgÎ Óg���=�H���

Page 31: Multifractional Brownian Motion: Definition and ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Multifractional Brownian

�;: ����������� ������������������������ ��"!���¢{�AbnZ\b

� � m � ¯ � ²�A �X³5� (� p�� �3K � PQR m � P�� PQR L ± � P O m � ³¹± � m � L `

� b��=_n´pb¥|n[^o�tmi}qAbnZ\bnq¨� [^s�Z)q�il·%bnZmbnopk)bh¦A_a`�z�w}bnt<x�¢���bnZ\b{§�¯±°m²PbI´p[vw}´^bnt�k\[<¢�_aZmq�t)t\i}k\s=_jk\i}[^o�t�[a�%iuo�|nZ\b<_��tmi}o�]�|n[^`�z�wubI¦~ilk'­p¬N�Gi}]^s�Z\b!��k\[¨�Wt\�A[�¢�k\�=_jk¥k\��b�`�bIk\�A[Nq�z�bnZ+� [^Zm`�t�Zmb<_jtm[^o=_a©�wl­�¢rbnw}w=|n[v`�z�_jZmbnq«�£[^Zi}oAt+kh_joA|nb?km[�km�=_jk{[a�)�Pw _joAq�Zmi}o¹�d�h;A¯m���^�v�ºx/�<�^�j�~²�¬

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 180000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000

��.��1,�(/��� ��|�_a`�z�w}bWz=_jk\�¤[v�r_jo¤`2¡�` ¯8wubI�uk<x [A �<�v�g:a�N²�¢�ilk\��_jo _aZ\|Ik�_ao�]^bnopk�£sAo�|Ik\iu[vo=_aw~z=_jZh_a`�bIk\bnZ�¯8Zmi}]^�pk�xIk\�AbI[^ZmbIk\i}|<_awp��qA[ak+kmbnq!w}iuo�b ��bnt\k\i}`2_jk\bnq@��|n[^opk\iuoNs�[^s�tw}i}oAb^x ��A ��2p�<�~²

eg[ iuopk\Zm[NqAs�|nb�_ z�[^t\tmi}©Aw}bº]^bno�bnZh_jwui}�<_<kmi}[^o [a�!`2¡�`KxGk\�Ab¤w£_at+k�k'¢¥[ bI¦A_j`�z�wubnt�q�b<_aw�¢{ilkm� _À|<_atmb¢{�AbnZ\b?k\��bS� s�oA|Ik\i}[^o=_awgz=_aZh_j`�bIk\bnZ�§�¯8°\²�iut�o�[vk{|n[^opk\iuoNs�[^s�t<¬

ä èGÎPä ã

Page 32: Multifractional Brownian Motion: Definition and ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Multifractional Brownian

��k�m�V� n"�Qhpo�����qsr'h;�t¶�Qqsvwr*��hsr�j�qs����qsr/�i�p���wr*�0����qsr hsr'�S���Q�� �0jl�0r/hs�����\�d�"k� ��� �JF

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 90000

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000

��.��1,�(/��� ��|�_a`�z�wub�z�_<k\�¨[v��_aoW`X¡�` ¯�w}bI�£k�x �A :��<�^�^²�¢{ilkm�¨_{w}iuo�b<_aZ/� s�o�|Ik\iu[vo�_jwz=_aZ�_a`�bIk\bnZ{¯8Zmi}]^�pk<xpk\��bn[^ZmbIk\i}|<_awp�Nq�[vk+kmbIqXwui}o�b �Nbnt\k\i}`2_jk\bnq@�N|n[^opk\iuoNsA[vs�trwui}o�b^x ��AcN�j�^²

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 180000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000

��.��1,�(/��� �$|�_j`�zAw}b�z=_jk\��[v��_jo«`2¡�`�¯8w}bI�£k�x��A �<�^�;:a�N²P¢{i}k\�«_�t\k\bnzW� s�o�|Ik\iu[vo�_jwz=_aZ�_a`�bIk\bnZS¯�Z\iu]v�Nk�x�k\��bn[^ZmbIk\i}|<_awX��qA[ak\k\bnqKw}i}oAb �Abnt\k\iu`2_<kmbnq�� |n[voNk\i}o~s�[^s�t�w}i}oAb^x ��A��2p�j�N²

ÎgÎ Óg���=�H���

Page 33: Multifractional Brownian Motion: Definition and ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Multifractional Brownian

�g2 ����������� ������������������������ ��"!���

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0 500 1000 1500 2000 25000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

0 500 1000 1500 2000 2500

��.��1,�(/��� �@|�_a`�z�w}b z=_jk\� [a� _jo `2¡�` ¯8wubI�uk<x A �s2a�p:p² ¢�ilk\� _��iuZ�_a|fA@2X`m:~� w � Z��� I v � ¯±°m²C�2]`õ�N� w � I v � ¯±°\²U¯�Z\iu]v�Nk�x�k\�AbI[^ZmbIk\i}|<_awp�rq�[vk+k\bnq:w}iuo�b �¥bnt\k\i �`2_<kmbnq�� |n[voNk\i}o~s�[^s�t�wui}o�b^x ��A �j��]^²

ä èGÎPä ã

Page 34: Multifractional Brownian Motion: Definition and ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Multifractional Brownian

��k�m�V� n"�Qhpo�����qsr'h;�t¶�Qqsvwr*��hsr�j�qs����qsr/�i�p���wr*�0����qsr hsr'�S���Q�� �0jl�0r/hs�����\�d�"k� ��� �E

� f ��: � W �%K � �kK � KD: _e¥�Ab�_as�k\��[^Zmt�¢r[vsAw}q�wui z^b�km[Sk\�=_ao�z¨z�Zm[a� bntmt\[^Zmt)¡�Zm[vo�i _<km[�¢�t\z~i=_ao�q ��bn��bns�´pbnw}t)� [vZ�k\�AbIiuZ�´^_aw}s=_a©�wub

|n[^`�`�bnopk\t¥[voUb<_jZmw}iubnZ�´pbnZmt\iu[voAt�[a�Gkm��i}t�z�_jz�bnZ<¬

�����]�y('��%�-/� �� ì�ãGâjÜÔÛ+Ö/Î�ì îjì���� Å��GÅ��hÈrÅ\Ê�� ��� à ��������È����uÅ � �IÆ ìaîhÏhójÓ��2ÒõÜÔÛò�ÑhÓjâSå�ÏhÓjÙ\Ê � ����� ì��ì�ãGâjÜÔÛ+Ö)Î)ì îjì�� �����vÊ����IÇ �\Ê�!�"�ªÊ#�%$&�"�vÊ��aÇ'�}Ê�)(�*IÊ8Å+È ��+ ���,� à Å�� �nÊuÅ-� � �Ì,�.�+Æ/�GÅ0�pÅ0��$�1� �IÇ�Æ'Æ�� ���%2&-���'ÅÆ'ÆÅ+Æ ìä-3Så^ì &�ÑhÖ8âjÏ ð Ö±çuÎgÒ Ø Ûç å�Û+Ö54aÒÔÓfÉ�ç ånÝ�Ö±Ñ Ì âjÛ+Ö8Ð�ÑhÓ�Ê ��� ��6 ì

7 ì &�ÑhÖ8ÓjÙ�ÜÔÛò83¨ì Õ�ì Ê,9�ÛàIÑhÓjÛò?Î�ì ñ=ì Ê:3?ÑIÓ<âjÛ+ÜÔëjÖ8Ï�Ý &Gì &�ì Ê^Ú�Û\Ò Ý�ÉIÛ+Ó);�ì ç " ìmÊNå�Ñ ð évÛ<9¥ì Êvæ�ÏIÙ�Ù�Î)ì Õ/ì�ì=��� Å?>��@�uÅ0���'Å?����,����+Ê �$���&È �BAnÅ+Æ ìaå�éjÖ±ÒõÓFÉIÛ+Ö±ç}æ�Û+Ö8ÜÔÑ�ÉsÊ � ���"� ì�jì &�Ö±Ï Ì ÓDC�ì Ê&3?Ò Ø ó<ÏIÓEC�ì Ê�Ú�ÛòjÖ±Ò!FÛ\Ö±Û?îjì " Ó�Ý�ójÛ?Ð ð Ü Ý�Ò ílÖ±Ñ Ø Ý�ÑhÜ�ÑhÓjÑhÜ òjÙ�ÒÔÙ�ÏhíGÐ{Û+ÑhÙ ð Ö8Û+Ù\ìHG �hÇ�����$�=����>^Ê �nÊJIK2 � �hÆ�I ÊÝ � �H�%!&Þ L�LH�NMOL �"6 Ê � ��� �<ì��ì1P%ÙBQÏIÖVÉ,QÏR3¨ì Ê�Î�áÛà%áÛ\Ù-S/ÚAì >^Ê��"�'A � ÌnÌ,��B*T�lÈ �nÊ�!�"�aÆK��O2&��VU ��U0� � �}Ê.� �����R>^Ê �nÊ�lÆÊ�!�+Æ ìmãXW�ÑIâ%áÛ\Ð�ÒÔÑIÒVY�ÒÔÑhâgáÏsÊ�& ð âjÑhé^Û+Ù8Ý\Ê���"� � ì�jì�ÕvÑhÜ Ø ÏIÓjÛ+ÖZY¥ì �[#�V�\Ê �$�:AnÅ��hÈ�Å+Ê.�� ìaîhÏIójÓ��2ÒÔÜÔÛ+ò{ÑhÓjâSå�ÏIÓ<Ù\ìmÊ � ���"6 ì

L�ì�ÕvÑhÜ Ø ÏIÓjÛ+Ö\Y¥ì îjì�]/ójÛ�Ð ð Ü Ý�Ò ílÖ±Ñ Ø Ý�ÑhÜ�Ù�évÛ Ø Ý8Ö ð Ð ÏhíGÙ8Ý�Ñ�Ý�ÒÔÙ8Ý�Ò Ø ÑIÜÔÜ ò!Ù�Û+Ü í çuÙ�ÒÔÐ�ÒÔÜõÑhÖ�Ð{Û+ÑhÙ ð Ö8Û+Ù\ìHG �hÇ�����$�1��� ��� Å��"8Å\Ê�!� �$�2&-�VU ��U@� � �}Ê� Ê[L � 7 !&Þ � � � MOL 6 ��Êvî ð Ü ò � ��� �aì

� ì�ÕAÜÔÑhÓjâjÖ±ÒÔÓªÚAì Ê&CGÏIÓ�×Ø ÑhÜ à:FÛ+Ù�ÚAì &�ÒÔÜÔÒÔÓjÛ+ÑIÖ�Ý�ÒÔÐ�Ûç£Ù Ø ÑIÜÔÛrÑhÓjÑhÜ òjÙ�ÒÔÙ�ÑIéjé<ÜõÒÔÛ+â«Ý8ϨÜÔÏ Ø ÑhÜ/Ù Ø ÑIÜÔÒÔÓfÉ�Û0^<é^ÏIÓ<Û\ÓIÝ8ÙrÛ+Ù8Ý�ÒÔÐ�ÑhÝ8ÒÔÏIÓNì2&-��A"8Å+Æ&Æ_�`�)a��IËhÅ�� Å+Ê������$� ��Æ��lÆ������ �+ÌnÌ�� �!� �nÊ�!�"�aÆBI��[��"�vÊ.�TbÅ08Å+Æ�I Ê ��� � 7 ì� ì�ÕAÜÔÑhÓjâjÖ±ÒÔÓrÚAì ÊVC�ÏhÓA×Ø ÑIÜ à:FÛ\Ù�ÚAì�ÕaÖ8ÏIÐ Ì Ñ+ànÛ+ÜÔÛ+Ý8ÙAÝ8Ï�Ý�ÒÔÐ�Ûç£Ù Ø ÑhÜõÛAÛ+ÓjÛ\ÖVÉhò�â<ÒõÙ8Ý8Ö8ÒÔë ð Ý�ÒÔÏIÓ<Ù\ì à Å��'Å0�^Ê � �IË �����&Å+Æc��ed �IËhÅ�� Å+Ê� ���$� ��Æ��lÆBIgf �����?f&Ih>�� � Ç<È ��ihÅ0 ���,�)� � Å0�,�DdSÅBU�U"I Ê�é<ÑdÉhÛ\Ù 7 6�� M 7"7 �fÊ ��� � �jì�@6 ì�ÕAÒjW�óIÝ�Û+ÓfÉhÏIÜ!k Ý8Ù=C¥ì 3¨ìH��� Å\�vÇ��,�$�IÈ�Å0�vÊ �$� ÆR�5�_l �nÊ � Å+È �nÊ�!� �$� � ���$� ��Æ�� ÆBI=m[��� Ç<ÈrÅN��I Ú�Û\ÖVÉIÑhÐ�ÏIÓ�Ú�Ö8Û+Ù�Ù\Ê � � �1�<ì��� ì�ÕAÒjW�óIÝ�Û+ÓfÉhÏIÜ!k Ý8Ù=C¥ì 3¨ìH��� Å\�vÇ��,�$�IÈ�Å0�vÊ �$� ÆR�5�_l �nÊ � Å+È �nÊ�!� �$� � ���$� ��Æ�� ÆBI=m[��� Ç<ÈrÅN���@I Ú�Û+Ö�ÉhÑIÐ�ÏIÓ�Ú�Ö8Û+Ù�Ù\Ê ��� �1�<ì� ��ì�ñ ð W�Ñ Ø ÙKnGì >vÊ!�B� � �IÆÊ�!�\���"�vË�Å@!AnÅ@���&Å ìnÎPÑ+ò<Ý8ójÛ+ÏIÓ�Û+â ðjØ Ñ�Ý�ÒÔÏIÓ Ø ÏIÐ�éjÑIÓIò�Ê ��� � � ì� 7 ì�ñ�áÛà�ò?æ?áÛ\ó<Û\Ü�îjì Êaæ�Ï�ô Ñ"W?Î)ì:3 ð Ü Ý8Ò ílÖ±Ñ Ø Ý�ÑhÜ�ÑIÓ<ÑIÜ ò<Ù�ÒõÙ�ÏhíZP%ó<Ï ï�ð ÛÝ Ø ÑhéjÑ Ø Ò Ý�ÒÔÛ+Ù\Þ<Ú�Ö8Û+ÜÔÒÔÐ�ÒõÓ<ÑIÖ ò�Ö8Û+Ù ð Ü Ý�Ù\ì >aÇ[UÈ<�}Ê}ÊuÅ��?Ê#�� �IË �"�:�&Å+ÆX�`� �+ÌnÌ�� �uÅ�� l �nÊ � Å+È �nÊ.�!�Æ Ê ��� � ��ì� �jì13?ÑIÓjâ<Û\ÜÔëjÖ±ÏhÝ &Gì &�ìc��� ÅN������\Ê �$���GÅ��hÈ�Å+Ê.������_o��nÊlÇ'8Å ì �¤ì ;�ì<ÕaÖ8Û+Û\Ð�ÑhÓ{ÑhÓjâpP%ÏhÐ{éjÑhÓIònì<èGÛ Ìrq ÏhÖ�WgÊ ���"� 7 ì� ��ì13?ÑhݱÝ�ÒÔÜÔÑ¥ÚAì �PÅ��hÈrÅ\Ê������_>^Å+Ê}Æ����,� l�Å �IÆ&Ç��ÅÆ_�`�)(%Ç � � �.��Å ���)>IÌ ���&Å+Æ ì[P%ÑIÐ�ëjÖ8ÒÔâfÉhÛGßGÓ<Ò ànÛ+Ö8Ù�Ò Ý£ò{Ú�Ö8Û+Ù�Ù\Ê � ��� �<ì� �jì13?ÑIÓjâ<Û\ÜÔëjÖ±ÏhÝ &�ì &Gì Ê�æ�ÑIÓ�èGÛ+Ù�Ù/îjì ��ìnÕvÖ±Ñ Ø Ý�ÒÔÏhÓjÑIÜ &%Ö8Ï Ì ÓjÒÔÑIÓ�Ð�ÏhÝ8ÒÔÏIÓjÙ\Êhí Ö8Ñ Ø Ý8ÒÔÏIÓjÑhÜhC�Ñ ð Ù�Ù�ÒÔÑIÓ{ÓjÏIÒÔÙ�Û+Ù�ÑIÓjâ�ÑhéjéjÜÔÒ Ø ÑhçÝ�ÒÔÏIÓ<Ù\ì > � � l à ÅËB�uÅ@atsVu Ê��jÞ ���H��M1� 7 LFÊ � � � � ì� L�ì " ÜÔÙ�Û+Óªñ�ì�ÎgÑIÓjâ<ÏIзÉhÛ+ÏIÐ�ÛÝ�Ö8Ò Ø ÑhÜõÜ òlÉIÖ8ÑhéjóªâjÒÔÖ8Û Ø Ý�Û+â2Ù�Û+Ü í çuÙ�ÒÔÐ�ÒÔÜÔÑIÖ�Ð ð Ü Ý�Ò ílÖ±Ñ Ø Ý8ÑIÜÔÙ\ì 2&�}ÊlÈ ��� à Å+ÆÅ ���� � ov�IÊ£ÅÆp��l �nÊ � Å+È �nÊ.�.�+Æ Ê � ��� �aìaånÛ\Ö±ÒÔÛ\Ù 7 6 L<ì�@� ì�ÚAÑhé^Ï ð ÜÔÒÔÙ/ã�ì 2&��VU ��U0� � �}Ê.�T+ à ���,���hÈwm �"�� ��U�� ÅÆ�+ ���,� >vÊ!�B� � �IÆ'Ê.�.�_2c����'Å+Æ&ÆÅ+Æ ì'3 Ø 9�Ö±Ñ Ì ç!;GÒÔÜÔÜ Ê � ����� ì��� ì�ÚAÛ+Ü Ý�ÒÔÛ+Ö�Î)ì Õ�ì Ê�ñGáÛà<ò¥æSáÛ+ójÛ\Ü^îjì<ãºÓjÛ Ì Ð�ÛÝ�ójÏ�ârílÏhÖ�Û+Ù8Ý�ÒÔÐ�ÑhÝ8ÒÔÓfÉ�Ý8ójÛ�éjÑIÖ±ÑIÐ�ÛÝ�Û+Ö�ÏhíNílÖ±Ñ Ø Ý�ÒÔÏhÓjÑIÜ�&�Ö±Ï Ì ÓjÒÔÑhÓ?Ð�Ï�Ý�ÒÔÏIÓpì>vÇ U+ÈR�}Ê}Ê£Å-��Ê!� xgÅ0����hÇ � � � ÊvèGÏ+ànÛ+Ð¥ëvÛ\Ö � ��� �aì� 6 ì%æ�ÏIÙ�Ù�Î�ì Õ�ì à ���,���hÈy�[����\Ê �$���@�"!AnÅ0��uÅÆ Ê Ø ójÑIé<Ý8Û+Ö�Õ ð ÓjâjÑhÐ{Û+ÓIÝ�ÑhÜ=ãGÜ ÉhÏIÖ±Ò Ý�ójÐ�ÙGílÏhÖRP%ÏhÐ{é ð Ý�Û+ÖRCGÖ8ÑhéjójÒ Ø Ù\ÊNéjÑ�ÉIÛ+Ù��6 ��M � 7 �<ì<Î)ì ã�ì'n�ÑIÖ8Ó<Ù�ójÑ Ì ì Ê � ��� �<ìaå�é<Ö8ÒÔÓfÉhÛ\Ö çuæ=Û\Ö±ÜÔÑdÉfÊ &�Û+Ö8ÜÔÒÔÓNì� � ìc�¨ÏhÓfÉznPì Ê';GÑhô£Û@W &Gì >vÊ!�B� � �hÆÊ�!�_2&-���'ÅÆ'ÆÅ+ÆX��)(&�'A"�`�pÅ&Å@���'A<>,��Æ'ÊuÅ+鴮 ìaå�éjÖ±ÒÔÓfÉIÛ+Ö çuæ=Û\Ö±ÜÔÑdÉfÊ ���"� �<ì

ÎgÎ Óg���=�H���

Page 35: Multifractional Brownian Motion: Definition and ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Multifractional Brownian

�p� ����������� ������������������������ ��"!���µ � � � 9 µ

��������� � ��� ��'(� A��'�Vj5h��p ���s�� �V�"� �;j5hf�0�;A GF�V���Q�\�HG>��0�� � �¶r'�1^�s�0j5�dry�"�3qsr'h; jlk�m�V� n��\hpod�3h;/j5qs����qsr����3h��"k*oQo\�d�"�"�0�;�$�Qhsr'�pqsj hp�p�s�0�V�3qsry�µ����;k]j5��r*�V� ������à �Q�Qh;1hs�d�Qhs��q n@�"��������������� �! "�#��C �j5h��p��d�s�d à j5h��g�0j5h;/r*k]j��Q����q nS�Q�\odk]���"��q;ry��"� �;j5hpà �Vry�V�V��h;*���3hsr/�phs�Q�ª�p�d����hs����qsr�;A GF��¯Y2 4 §�¯±°\²¶4:�<²�à �V�S�0!��¶n"k]r'od�V��qsr/h;���hs�Qhsj5���Y��� q n@j�t¶j���Q�Q�pà ���\�Q���sh;mk*��n�qs���Qhsr/�pqsj r*k]j5�\�d������r/���Qhs�Yqs�

�u�qp�Qh;m� �p�� �YhpÃwhs���Qhs��!�q;��s�0r�����3hsr/�phs�Q�ª�p�d����hs����qsr*�%$ ��*hs���3hp�d��d� �0�&���3�f�&'$Ã��0r*�3�����d��� ���;�d Ã��0r*�Y���X���!�Ã��Q�\h;9(����Ã��Q�Qh;1hs�d�\hs��q nS�"�&�����)���*�+� �! ,�-��C �

t.� �gb+���Ã0/¯��qsv¶����A �g�Vj5h��g ���;�d G��qs�@�3Ã1/ E5�3q�� �pq

b�r*�0� ��hsk]�"��A^���Q�Q�HG!�Ã0/u�;A^�324� G��qs���3Ã0/ E �Yq�j5h��g ���;�d1�pq�p�� �Yh5��� ��Ã0/*A^�"� �gj�h�6��yqsv��d��A=Ig� �;�V�+6Q!�G76"�10d����A=Ig� �1G76¶�10��d��A5E� ��qsv¶���/A �g� �86Q! ��GHG=G ��9�:'·�����9:�{I-��Ã0/ I9:�!�;��Ã1/�"� �gj5h<6 ��hskX���DA G'$Ã0/%��pÃ0/%'%2 ���d�s�d Ã0/ E� � b"�=�aA ���;�d 4SAlj5h��p��d�s�d G>'>������ ��Ã1/S� �Yq?� ^���g>8���@'A'>�

b"� A3µSt ��A ��3�CGf4B'@G >��(�9� 9(��� ��Ã1/ Ig� ��6�An9:����^�C�ED%9:�3�-D��C��G�9�(' �%�������� ��Ã1/ Il�Yq?� �g>8���~�>'>�

9:��� ��Ã0/@9:��� �ED��p�� �Yh5�3 ���s�� ��6 ��hsk]�"��A G ��9�(' �%���'$Ã0/F'�2 ��pÃ0/��,2 � ���s���Ã0/���d�s��9D E

�9�:' � � b"�=��7�3� ��Ã1/ 9(��� �

�9�(' �%����9�:'

ä èGÎPä ã

Page 36: Multifractional Brownian Motion: Definition and ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Multifractional Brownian

��k�m�V� n"�Qhpo�����qsr'h;�t¶�Qqsvwr*��hsr�j�qs����qsr/�i�p���wr*�0����qsr hsr'�S���Q�� �0jl�0r/hs�����\�d�"k� ��� � �

� :O:OK@± >�D��!Z! ��!�� ����� !$� � � � �

¯\�j² � bWt\zAw}ilk¥k\��b�zAZ\[~[a��iuopk\[¨�A´^b�t\k\bnz�t<¬��� ¹�¬ ¤ °

; � bXZmbn|<_jwuw�¯8tmbnbXb^¬ ]A¬)¡�iuw}w}iuo�]^t\wubI­ ¯\�<�v�g:^²Wz/¬%]v�^²�km�=_<k�il�ky W ¯YNj²"c�³Sb 4 N 4 b |q�bno�[vk\bnt?_ � iubno�bnZ�z�Zm[~|Ibntmt�bI¦~k\bno�q�bnqUk\[«k\�Ab�Z\b<_aw%wui}o�b^x�¢rb?�=_n´pb

���tms�zZ�p�� I�m O W ¯±°m²uÄ�c���A �% � &

H iI K �� � � U &�c cJ<Æ2]` ¯8��²

e¥�NsAt�x~¢¥b�b<_atmi}wl­ª[^©�k�_ai}o

K tms�zI � o5m Z � O L W ¯±°m²G³ W ¯YNj² L � A:� �& ` ¯&¡�²

; � b�ZmbI|<_aw}w¶|Nwubnz�i£_ao�� t�e'oAbnyNs=_aw}i}k&­ ¯8tmbnb�b^¬ ]A¬���qAw}bnZ¨¯m���^�;2p²?zg¬��N�p²�¬�bVnk9 hsr'� �¥hs�Q�hp� �S�Qqsk]r'�p�Q�f��oQ��r*�Y���Q�Q� ��hskX���"��hsrl���Qq�oQ���"���d�$qsr(_·�"k*o�!5�V!�hs� K«¯�± RZ ²wA K�¯3³ RZ ²in�qs�h;0p°ux`_@�¶hsr'�K�¯�± Z ³{± o ² R Ä�K�¯3³ Z ³J³ o ² R n�qs�$h;VyNgc\°�x _c

�0!��dr n�qs��h;0/�Q�\h;�� ��£t\sAzZ�p^q ± Z ¿ ���ªÄ ��£t\s�zZ�p�q ³ Z ¿ ���@c ¯ ��²

hsr'� �V!���ry�K��utms�zZ�p^q ± Z �ªÄ�K��utms�zZ�p^q ³ Z �@` ¯ �S²

; � bUZ\bn|<_aw}w{_�z�Zm[vz%[vtmilk\iu[vo [^o km��bº©�[<¦ qAi}`�bno�tmi}[^o [a��]^Z�_az��AtX¯8tmbnbºb^¬ ]�¬��A_aw}|n[^o�bnZ¯\�<�v�g2^²)z/¬=�I�N�p²�¬ Á il´pbno�_S� s�o�|Ik\iu[voa¸º_jo�qX_jo�i}oNk\bnZ+´^_aw M ° O c+° R T xv¢rbr¢{Zmilkmb *!� [^Z)k\��bj�h��g�0jlk]j �Qhsr���r[a��¸º[<´^bnZ?_aoXi}opkmbnZ+´^_aw�x

* M ° O c+° R T A t\sAzZ � s Znm � s Z � L ¸/¯±°m²G³J¸g¯'&%² L `�D��!��\!� �����"!$# �S�����S¸ � M 2]c�� T » b � �Q��o\qsr*���0ryk*qsk]�����/�d��2J4 4(�;��hsr'�����Q��0!��ª �\hs�"���0ry�Y�������D�;�Q�Qhs�Y���ª�V!�hsrÆqs���50�k*h;w�YqU�fE y�k>�!���ry��� n*: � �0�l�V!��5r*k]j5�\�d�aq n�10�k*hs�Q����q nS�V!�� �j5�d�Q!8�0!�hs�¶�0r*�3���d���Qo����;�Qh"�*!ª¸�� K'O�� K'O(

� � I * M � Fcn¯ � C �<² T Ä�: �SÄ ���uC K/O�� K'O(� � I * M � fcn¯ � C �<² T ` ¯���²

��� ¹�¬ � °%� b�tm��[<¢ km�=_jk{� [^Z�b<_a|���2 4�§64:�

< �& Ä�K«¯ * ²

� M 2]c�� T ²iA � ? Ä �J< % � &w` ¯'��²

��qs� OR Ä�§64 �;�� ?ºÄ ��< �

& ¯&���õ²

ÎgÎ Óg���=�H���

Page 37: Multifractional Brownian Motion: Definition and ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Multifractional Brownian

�a� ����������� ������������������������ ��"!���hsr/��n�qs��2 4�§6Ä OR �

��< �& Ä � ?$` ¯&�-4~²

e¥��b��AZmt\k/iuo�bnyNs�_jwuilk&­�[v��k\��b)�=Z\t\kPt\k�_jk\bn`�bnoNkPZmbnt\sAwlk\tg�£Zm[^`�¯�N¬m2^²P_ao�q�k\�Ab�� [^w}w}[<¢{iuo�]�[^©p´�i}[^s�ti}o�bny~s=_aw}ilk'­��

L ±ª?S¯\�j² L Ä�* ²� M 2]c�� T `

¯'�~¬}�n�N²¥­~iubnw}q�t¥k\��_<k � ? 4=b ¬e'oNk\bn]^Z�_jk\i}oA]�©p­ªz�_jZ\k\t?_joAqXs�tmi}o�]2¯�N¬u�<c^²�¢¥b���_I´pbw�K�¯ * ²

� M 2Xc<� T ²1A � K t\sAzI � Z � O ±�?S¯8°\² �Ä � H LI � K � � ��� � � � ! ��#" � U À�A �J< H LK � � P R� � K ��� U &

Ä5� < H� �

K � �� U &aA � < % � &wc¢{��iu|��º|n[^`�z�w}bIkmbnt�km��b�z�Zm[N[v��[a�¥¯&�)²�¬� bWo�[<¢ bnt+kh_j©�wui}tm�X©�[akm�ºi}oAbnyNs=_aw}i}k\i}bntri}o�¯&���õ²r_ao�q�¯&��4N²/�%�bIk� O m ?Z A O ±�?S¯8° �� � ²�_ao�q � R m ?Z A O ±�?!¯±° K �� � ²�©�b Á _jsAt\tmi£_ao�z�Zm[N|nbntmt\bnt�qAbh�=o�bnqZmbItmz�bn|Ik\i}´^bnw}­ª� [vZ�°ux M 2Xc<� T _ao�q2°¶x M �;cdb ²�¬ � b���_I´pbSk\��b�[^©p´�i}[^s�t�bnyNs=_aw}i}k\i}bnt��

tms�zI � Z � O �SO m ?Z A �< t\sAzI � Z � O ±�?!¯±°\²�_joAq tms�zO � Z s L �SR m ?Z A �< tms�zI � Z � O ±�?S¯8°\²"` ¯ Á ²

� bWb<_jtmi}w}­���_I´pbSk\�=_jk�� [vZ�b<_a|���2 Ä=N�Ä °uÄ:�¯�K M ¯��SO m

?Z ² R T A °¯A K M ¯�� O m ��Z ² R T_joAq

K M ¯�� O m?Z ³�� O m ?o ² R T A ¯±° �� � ³[N �� � ² R ? `

; e&�w2 4�§6Ä OR k\�AbnoOK M ¯�� O m?Z ³�� O m ?o ² R T < ¯8°�³[Nj²wA K M ¯ � O m ��Z ³�� O m ��o ² R T ¬

; e&� OR Ä § 4 ��k\�AbnoOK M ¯��SO m?Z ³�� O m ?o ² R T Ä ¯8°�³[Nj²wA K M ¯ � O m ��Z ³�� O m ��o ² R T ¬

��[^`�©�iuo�i}o�]�|Nw}bnzAi£_ao�� t�e'o�bny~s=_aw}ilk'­�¯ �S²P_az�z�wui}bnqSk\[ � O m ? _joAq � O m �� xN¯ Á ²P_joAq�¯'¡�²%¢rb�q�bnZmil´pbk\�=_jk1�

; il�i2 4�§6Ä OR k\��bnoOK���tms�zI � o5m Z � O L ± ? ¯±°\²�³{± ? ¯YNj² L �a< ��< R�; il� OR Ä5§ 4 �?k\��bnoOK � tms�zI � o5m Z � O L ±�?�¯±°\²�³{±�?!¯YNj² L � Ä ��< R� ¬e¥�~s�t<x�¢¥bS�Ao=_aw}w}­�[^©�kh_ji}oÀ¯&��� ²r_joAq�¯&�-4~²�¬

��� ¹�¬ � ° ��[^Zrk\�AbSth_szvb�[v��o�[vk�_<kmi}[^o=_awgtmi}`�z�wui}|nilk'­px^wubIk�� [vZ{b�_a|�� � <:�vx* � m �²�A ¯ X³��j² ? * ²

� M � Ep¯ º³ �<²�cn¯ � C �j² EN¯ U³ �<² T ¬ * � m �² � i}t�_?t+kh_<kmi}[vo�_jZ\­�z�Zm[N|nbntmt)¢{��[^tmbw£_n¢ i}t{i}o�q�bnz�bnoAq�bnopk�[a� �¬�¡�­8|pk\bnz��Nx$K�¯#* � m �²�²iA ��< R

�¬

� bWt\�A[<¢ km�=_jk�� [vZ�b<_j|h�À��Ä � 4 $�Ä º³ �^x~¢rb��=_n´pbf�� (=¯ * � m �²

�c)* � m �²

�²¯A ��¯ �L $!³ � L R O�K ?�� ²"` ¯&µ?²

ä èGÎPä ã

Page 38: Multifractional Brownian Motion: Definition and ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Multifractional Brownian

��k�m�V� n"�Qhpo�����qsr'h;�t¶�Qqsvwr*��hsr�j�qs����qsr/�i�p���wr*�0����qsr hsr'�S���Q�� �0jl�0r/hs�����\�d�"k� ��� � �%�bIk�� �O ©�b2km��bO< _jwu]vbn©�Zh_¤]vbno�bnZh_jk\bnq�©p­Ry�±�?S¯8°\²�³Æ±�?�¯^Nj² ��Ngc+°�x�� O

��K/O c R�yK'O�� | ¬ %�bIk�W¯±°dc"&�²�¯8Zmbntmz�bn|Ik\il´pbnwl­�� � ¯±°�c &%²\²¥©�b?k\��b�Zh_ao�q�[^` ´^_jZmi _j©�wub?qAbh�=o�bnqº©N­���W¯±°dc"&�²¯A < ±�?!¯±°m²P³ K�¯�±�?!¯±°\² �� � �O ²G³ ¯�±�?�¯-&%²G³ K�¯�±�?S¯'&�² �� � �O ²+² �D�^?~¯�±�?�¯\¯"$@C �^² EN¯ U³ �j²+²�³ ±�?S¯+¯"$$C �j² EN¯ U³ �j²+² �� � �O ²

¯&Z\bntmz�bn|Ik\il´pbnwl­� � ¯8°�c &%²wA K�¯�±�?S¯±°m² �� � �O ²G³,K«¯�±�?!¯'&�² �� � �O ²"`õ²

� bW�=_n´^bK«¯ tms�z! � �� � � s Znm � s ! � �� � �

�W¯8°�c"&�² �� � �O ²¯A K�¯#*@O m �²�²"`

¡�­J�F� ���*7K_jo�qAbnw}©�Zm[vk�¯\�<�v�g:p²¥zg¬��N�a��_ao�q Á Zmi}`�`�bIk����uhg=¯\�<�^�^�^²�z/¬=�g:j�«¢rbS��_n´^bw��D�^?~¯�±�?�¯\¯"$�C��v² EN¯ �³��<²\²�³±�?W¯+¯ $]C¨�j² EN¯ �³��<²+² �� � �O ²¯A < R

¯ º³ �<² R ? ¯\�^³ ��¯\¯ �L $ L R O�K ? � ² R ²\²_joAq

� � ¯±°dc"&�²�A���¯ �L $ L R OdK ?�� ²�� 4�¯±°�c &%²¢{��bnZmb� 4�¯±°�c &%²riut�_ Á _jsAt\tmi£_aoXZh_jo�qA[v` ´^_jZmi£_a©�wubS¢{ilk\�X`�b<_aoU_joAqº´^_aZ\i _joA|nb�©�[vsAo�q�bnqK©p­|n[voAt+kh_joNk\t�i}oAq�bnz�bno�qAbIoNk{[v� $=¬ � b��=_n´^bf�� (=¯#*@O m �²

�c * � P O m �²

�²¯A K M *�O m �² � * � P O m �²

�T ³5¯nK«¯ *@O m �²

�²+² R A K M *�O m �² � K«¯ * � P O m �²

� ��� �O ² T ³ ¯nK�¯#*@O m �² � ²+² R

A K �� * O m �²�K�¯ * � P O m �²

�³ t\s�z! � �� � � s Z m � s ! � �� � �

L �W¯±°dc"&�² L �� � �O ²��

Ä�K �� * O m �²�K�¯ * � P O m �²

�³ ¯#* � P O m �²

�³ t\sAz! � �� � � s Znm � s ! � �� � �

L � � ¯±°dc"&�² L ²�¯\��C ��¯+¯ �L $ L R OdK ?�� ² R ²+² �� � �O ²��

A K �� *�O m �²�

t\sAz! � �� � � s Z m � s ! � �� � �L � � ¯±°dc"&�² L ¯m��C�«¯+¯ �L $ L R O�K ?�� ² R ²\² �� A K M *@O m �² � �«¯

�L $ L R O�K ?�� ² tms�z! � �� � � s Znm � s ! � �� � �L � 4�¯8°�c"&�² L T

A���¯ �L $ L R OdK ?�� ²"c_joAqºtmi}`�i}w _jZmwl­¨¢rb?�=_n´pbDf�� (=¯#*@O m �²

�c * � P O m �²

�²�< �«¯3Å I ¯"$�²+²�xA¢{��iu|��2­~i}bnwuq�tS¯&µS²�¬��� ¹�¬ � ° %/bIk�¯�� �

�² � p � ©�b�_�tmbnyNs�bnoA|nb�q�bI�Ao�bnqU©p­ � �

�A � �� � � K � �� ��_joAq2 4�� � ? 45`�i}o�y ?O�K ? c OR O�K ? � | ©�bS��¦~bnqg¬ � b�tm��[<¢:k\�=_jk

w}iu`� w L : � � �� o �� A � ? ` ¯�e\²

; � �=� ¹¤§ A OR °� ilk\�2k\�Ab�o�[vk�_<kmi}[^oU[v��|pk\bnz��Nx=��Z\[^`�¯ ��²�¢rbS�AZmt\krqAbnZ\i}´^b?k\�=_jk

�X³5�

��K/O(� � O * � m �² � ÄR: � �Jm � o� Ä �

º³ ���K/O(� � O * � m �² � C OdK ?�

` ¯��p²��[^`�©�i}oAi}o�]2k\�Abªt\k\Zm[voA]Uw _n¢�[v�{w _jZm]^b�oNs�`«©�bnZ\t<x�¯&¡�²W_jo�q ¯��p²�x¥¯Vem²���[^w}q�t«_ao�qÀ¢rb�=_n´^b � �� A � < R

�¬

ÎgÎ Óg���=�H���

Page 39: Multifractional Brownian Motion: Definition and ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Multifractional Brownian

�^� ����������� ������������������������ ��"!���; � �=� ¹¤§��A OR °� b�tmz�w}i}k�km��b�z�Zm[N[v��[a�Gk\��iut�t\k�_jk\bn`�bnopk�i}opkm[¨k&¢r[«t\k\bnz�t<¬

���g� ¼ �I� ¹�¬¥¤�� � b�q�bno�[vk\b�©N­ & ��� ( � ¯8ZmbItmz/¬�& � # ( � ²Gkm��b��8_j|Ik¥k\�=_jk�& � E�( � » �

_jt » b � [vZXtm[v`�b � x-¯32]c�b ²º¯8Zmbnt\zg¬��£[^Z � A �j²º¬{e¥��Zm[vsA]v� bnwubn`�bnopk�_aZ\­_jo�_jw}­~tmi}t<xN¢rb?�=_n´pbw�/��qs�l�\h�o"!�À8xae ����v¶��!�h;�s�

� �

�(� � O

�� �

w}[^] � c

³Sb 4�Áª4:�;c � �

�(� � O

���� �

� � P � K/O c

Á ¿ �;c � �

�(� � O

�� � �

� � `

���g� ¼ �I� ¹�¬��@�<�Pil¦S_joN­ � ¿ 2�_ao�q�tmbIk � � A � O �� K'O L �� K/O�� � O ¯#* � m ��² � ³ K�¯#* � m ��²

�² L ¿ � � ¬

� b��=_n´pb

� � Ä �¯ � ��³��j² R � R K

�� L �� K'O(� � O ¯ * � m ��² � ³3K«¯ * � m ��²

�² L R ��

A �¯ � ��³��j² R � R y �� K'O(

� � O �k�^?�¯ * � m ��²�²�C5� (

O � � s � � �� K/O f�� (�¯ * � m ��² � c)* � m ��² � ² |A �¯ � �� ³��j² R � R yv¯ � �� ³5�j²*(��5C �

�� K�R(� � O ¯�� �� ³ � ³ �j²�f�� (�¯ * O m ��² � c * � P O m ��²

�² |

A ( �¯ � ��³��j² � R C �

¯�� ��³5�<² � R �� K�R(

� � O f�� (�¯ * O m ��²�c * � P O m ��²

�²G³ �

¯�� ��³5�<² R � R �� K'R(

� � O � f ��(=¯ * O m ��²�c)* � P O m ��²

�²�`

e'oU´~iubI¢ [v�¶|Nk\bnz ��¢rb![^©�k�_ai}o � � A ��¯� �� �� �� ²�C ��¯ O �� � � � � � � ! ²hxA¢���i}|��K|n[^`�©�iuo�bnq¢{ilkm�¤¯'µ?²�x�¯&�)²r_joAqXk\�Ab!¡�[^Zmbnw � ��_joNk\bnw}wui%wubn`�`2_~x^­~iubnw}q�t��w}i}`� w L �� �

�³ �

�� K'O(� � O * � m ��² � A � ? _�¬ t<¬ ¯*9!²

��[^`�©�i}oAi}o�]�¯*9!²r_ao�q�¯ �p²�¢¥bS[v©�k�_ai}o�¯�e\²�¬��� ¹�¬ � °�� bI¦Nk�x/¢rb«tm��[<¢®k\�=_jk�¯\�j²?�A[vwuq�tS� [vZ�_joN­ ¿ 2~¬G��[vZ�_joN­� ¿ 2~x/km��bnZmb«bI¦�i}t\k\t: O ¿ 2¨tms�|h�ªkm�=_jk�x�� [^Z{b<_a|�� ¿ : O x

L : � � �� o �� ³[Å O � L Ä� gEv�Xc ¯&_p²_joAqXk\�AbnZ\b�bI¦�i}t\k\t�_aoO: R ¿ 2¨tms�|��ºk\�=_jk�x�� [vZ�b<_a|�� ¿ : R x

L : � � �� o �� ³ : � � �� � � o �� � � L Ä� ;Ev�]` ¯�©�²� bW|n[voA|nw}s�q�b�©N­ªtm��[<¢{i}oA]¨k\�=_jk�k\�AbnZ\b�bI¦�i}t\k\t�_aoO: . ¿ 2Wtms�|��ºk\�=_jk�x�� [^Z�b<_a|�� ¿ : . x

: � � �� � � ¯ �� ³ �� � � ²¶Ä� gEa�]` ¯8|j²eg[«zAZ\[<´pbSk\��i}t{w£_at+k�iuo�bnyNs�_jw}i}k&­px�k\�AbS�£[^w}wu[�¢�i}o�]«_aZ\]^s�`�bnoNk\t�_aZmb?o�bnbnqAbIqg¬e¥��b{t+kms�q�­¨[a�=k\��b�´v_aZmi£_jk\i}[^o�t�[v��k\�Abr� s�o�|Ik\iu[vo�}g¯�=²wA ¯&§:³ A²�¯&§:³ �³ � � ? ¯\��³ A²�¯\��³«§¤²+²

ä èGÎPä ã

Page 40: Multifractional Brownian Motion: Definition and ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Multifractional Brownian

��k�m�V� n"�Qhpo�����qsr'h;�t¶�Qqsvwr*��hsr�j�qs����qsr/�i�p���wr*�0����qsr hsr'�S���Q�� �0jl�0r/hs�����\�d�"k� ��� � �

[vo _ o�bni}]^�N©�[^s�Zm��[~[Nq:[v��§ tm��[<¢{t2k\��_<kXk\�AbnZ\b�bI¦~iut+k\t��xrt\sA|�� km�=_<k{2~4� 4 § 4�C � � ? ¯\�g³ =²m¯m�g³2§K²h¬�µ{bno�|nb^xp©p­ %�bn`�`2_?�~¬}��_ao�q�q�bI�AoAilk\i}[^oU¯'�~¬ 2p²�x^k\��bnZmb�bI¦�i}t\k\t@: . ¿ 2tms�|��Xk\��_<k<x�� [vZ{b<_j|�� ¿ : . x~¢¥b���_I´pb

wu[v]A¯�: � � �� � � ²³ºw}[^]�¯ �� � � ² Ä ��³ /`e¥��bnZmbI� [vZmb^x�_at �» b x�¢¥bS�=_n´^b

: � � �� � � ¯ �� ³ �� � � ²¶Ä �� ³ �� � �¯ �� � � ² R�K # � �� K �� � � K/O � �� K �� � � � R�K � ¤¯ �

��³ § ³,� � ? ²A � O P � �� K �� � � � OdK � �¯ �

��³À§ ³3� � ? ²A � � � � � � �� � � � � ! � � ��� ! � � ���� � �

�¯ ���³ § ³3� � ? ²

A � ��� � � � �� � � � � ! � � ��� !� � �

�¯ ���³À§ ³,� � ? ²¥³�» 2]`

¢{��iu|��ºtmsZ6�|nbntr� [vZ{[vs�Z{o�bnbnq�t<¬¡�­ |n[v`�©Ai}o�iuo�]Uk\��bº_j©�[<´pbXt+kh_<k\bn`�bnoNk\t2¯'_^²�x¥¯�©�²¨_ao�q ¯8|j²�x�¢rbªtmbnb�km�=_jk�xG� [vZ�t\s76�|niubnopk\w}­tm`2_jwuw�´^_jwus�bnt�[a� ¿ 2~x^k\�AbnZ\b�bI¦~iut+kmt ¿ � �gÀ y�: O cH: R c=: . | xp� [^Z�¢{�Ai}|�� �� � � 4 l4 �� x_joAq/xL : �� o ³¹Å O � L Ä L : �� o �� ³¹Å O � L C L : �� o �� � � ³[Å O � LÄ L : � � �� o �� ³JÅ O � L C L : � � �� � � o �� ³JÅ O

� L C L : � � �� o �� � � ³JÅ O � L C L : � � �� � � o �� � � ³[Å O� L

Ä � L : � � �� o �� ³¹Å O � L C�� L : � � �� � � o �� � � ³¹Å O� L C : � � �� ¯ o �� ³ o �� � � ²�C : � � �� � � ¯ o �� ³ o �� � � ²Ä X`

¯'�^² ��� ¹�¬ ¤ ° %�bIk � � A � �� � � K � � ��©�b�_�tmbIy~s�bno�|nb tms�|�� k\��_<k 2 4 � ? 4`�i}o&y ?R OdK ?�� c .� OdK ?�� | ¬=��[vZ�b<_a|�� �< �«_joAq�2lÄ � Ä 2³5�^x�tmbIk�� � m � A=± ? ¯ �

��K/O ²�¬|NbIk ³ � m � A ¯ X³ �j² ? ¯�� � P O m � ³�� � m � ²�c 2 Ä � Ä º³ �;`%�bIk�± � � M 2Xc<� T » e ��x Af�;cI��cF` ` `�©�b _ tmbnyNs�bnoA|nbÀ[a�«z�[^wl­�]v[^o=_awS� s�o�|Ik\iu[voAtº¢���i}|��|n[voN´^bnZm]^bntXs�o�il� [^Z\`�w}­Àk\[J± ? [^o M 2Xc<� T t\sA|��5k\�=_jkªk\�Abº´pbnZ\k\i}|nbnt2[a�Sk\��bK]^Z�_az�� [v�Sb<_a|��± � _aZ\b«[a�¥k\��b�� [^Z\` y^¯ �

��K/O c\± � ¯ ���K/O ²+²hx�2 Ä �¼Ä K³ � | c/¢{i}k\�{± � ¯32^²�A ± ¯32p²�¬ %�bIk� � A �yK'O�

� � O L ± � ¯ � P O�yK'O ²=³�± � ¯ ��yK'O ² L A ��K/O�

� � O L � � P O m � ³�� � m � L ¬N��[^Z�b<_a|�� < �~xp¢¥b�q�bno�[vk\bS©p­: � m � k\�AbWo~s�`�©�bnZ�[v� ���`�bnt\�Ut\y~s=_aZ\bnt�km�=_<kSi}opkmbnZ\tmbn|Ik�k\��b¨]vZh_az���t�[v�w± � ¬ %�bIk � A O � ¬� bW�=_n´^bSkm��b�[v©N´~iu[vsAt�i}oAbIy~s=_aw}ilkmi}bnt� � Ä�: � � � m � � Ä ¯ � � C �j²"`

e¥��iutr­�i}bnw}q�t� � OdK ? � Ä�: � � � m � o � Ä ¯ � � C �j² OdK ? � c

ÎgÎ Óg���=�H���

Page 41: Multifractional Brownian Motion: Definition and ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Multifractional Brownian

�g: ����������� ������������������������ ��"!���[vZ�bny~s�il´^_aw}bnopkmwl­

�� � ³ � � K'O(� � O L ³ � m � L Ä�: � � � m � o � Ä �� � ³ �

� K'O(� � O L ³ � m � L C O�K ? � `

� bWt\�A[<¢:iuoUYPbnwlk\iubnZ�� % bI´~­ª9 bn�Abnw�¯\���^�a�N²¥k\�=_jk1�w}i}`� w L : � � � m � o � A < �

& ` ¯�%P²� bWZ\bn|<_aw}w�i}oX� � � ��� � k\��bWz�Zm[N[v�P[v�Gk\��i}t{Z\bntms�w}k�¬¯*%G²¥|n[^`�©�iuo�bnq�¢�ilk\��¯Vem²�xAbnoNk�_ai}w}t�k\��bS� [vwuw}[<¢{iuo�]�Zmbn`2_jZQzv_j©Aw}b�Z\bntms�w}k��

: � � � A ¯'��C �N¯\�<²\²�: � � � m � _�¬ t<¬ ¯37¤²��[vwuw}[<¢{i}oA]�k\��b¨th_j`�b�wui}o�b�[v�)zAZ\[~[a��[v�r¯\�j²�|pkmbnz�c~x�q�bno�[vk\i}oA]ª©N­�: � m � O\P � � km��b¨oNs�`«©�bnZ�[a����`�bnt\�2t\y~s=_aZ\bnt¥km�=_<k�iuopk\bnZmtmbn|Ik�k\�Ab?]^Z�_az��2[a�1± � O\P � � x~¢¥b���_I´pb?¢{��bnoªk\��bSz�[vtmilkmil´pb�Z\b<_aw k\bno�qAt�km[«�nbnZm[�

: � A ¯'�C �p¯\�j²+²�: � m � OQP � � _�¬ t<¬ ¯ � ²

��� ¹�¬ � ° ��bn|<_aw}w�k\�Ab�q�bI�=o�ilkmi}[vo:[v�B: O �� ¯��!²ª_ao�q : R �� ¯��!²h¬���[^ZU_jwuw@2~4 º4 �vxrt\bIkJA ���fE� �N¬ � ilkm�Kk\��b¨o�[vk�_jk\iu[vo¤[v� %/bn`�`2_«�~¬õ�~x=©N­º|���[~[vtmi}o�]�± A ± ? i}oUk\��i}t?w}bn`�`2_�x_joAq q�bI�=o�i}oA]�± � _a|n|n[vZmq�iuo�]^wl­px/¢¥b�qAbno�[vk\b�ZmbItmz�bn|Ik\i}´^bnw}­�©N­,: O� m � ¯��!²W_jo�q : R� m � ¯��!²?k\��boNsA`�©�bnZG[a� �8`�bntm�!tmyNs�_jZmbnt)_ao�q¨k\�Ab¥tm`2_aw}w}bnt\kgo~s�`�©�bnZG[a��tmyNs�_jZmbnt�[v�=tmi}�nb¥km�=_jk)i}oNk\bnZmt\bn|Ikk\��bW]vZh_az��X[a�i± � ¬ � bS¢{i}wuw%bnt\k�_a©�w}iut\�2km��bS� [vw}wu[<¢{i}o�]«i}o�bny~s=_aw}ilkmi}bnt

: O� ¯��!²u<�: R� ¯��!²u<�: R� m � ¯��!²�< �� : O� m � ¯��!²"` ¯ � ²

e¥��b«k&¢r[X�=Z\t\kSiuo�bnyNs�_jwuilk\iubnt?i}o ¯&��¬õ�^]v²S_aZmb�[v©N´~iu[vsAt�¬P��[vZSk\�Ab«w _jt\kSiuo�bnyNs�_jwuilk&­K¢rb�_atmt\s�`ªb¢{i}k\��[^s�k{wu[vtmt�[v��]vbno�bnZh_aw}ilk'­ªk\��_<k!¯ º³5�<²\Ev��x�e � ¬=��[vZ!�$Ä � Ä:¯ X³ �j² E^�NxA¢¥b�q�bno�[vk\bW©p­� � x�k\��b�]^Z�_az��X[v�¯± � q�bI�Ao�bnqK[^o M R ��K/O� c R � P O

�T ¬ � b��=_n´pbSk\��b�[^©p´�i}[^s�t�bnyNs=_aw}i}k&­

:�O m �� � ¯��!²wA ��K/O � P"R(� � O : O� � ¯�� � ²"`

� bStm��[<¢ i}o2��o�oAbI¦ �5k\�=_jkrk\��b�o~s�`�©�bnZd: � [v��_aop­�tmbIk¥[v�PtmyNs=_aZmbnt¥[v�gtmi}�nb S|n[<´pbnZ\iuo�] � �th_<k\iut+�=bntrk\�AbSiuo�bnyNs�_jwuilk&­: � < �

� : O� ¯�� � ²"` ¯&Y�²¡�­¤¯&Y�²hx�¢¥b��=_n´pb �yK'O � PQR(

� � O : � < �� : O� � ¯�� � ²"c

¢{��iu|��º|n[^`�z�w}bIkmbnt�km��b�z�Zm[N[v��[a�Gk\�Ab�i}o�bny~s=_jwuilk\iubntri}o�¯ � ²�¬��[^`�©�iuo�i}o�]ª¯ � ²r_ao�q�¯ � ²�xA¢¥bS[v©�kh_jiuo�¯'�^²�¬

¯&�p²2e¥��b�z�Zm[~[a�%[v�%km��b{�AZmt+k�iuo�bnyNs�_jwuilk&­�iut�[^©�k�_ai}oAbnq�©p­¨k\��b�th_j`�b{_aZm]vs�`�bnoNk\t�_jt)km��b�[vo�bnt�sAt\bnq� [vZ�¯'�^²�¬per��brw£_at+k)i}o�bny~s=_jwuilk'­�iut�i}oN´^[^wl´pbnq�©N­�k\��br�8_a|Ik�km�=_<k�hsry���10dk*hs�\��q n��"���F�� �0��o\q;�s���Q�Q����ah�od qs���\�a�Qh;0�q n��s��hsj5���Y��� % � ����

ä èGÎPä ã

Page 42: Multifractional Brownian Motion: Definition and ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Multifractional Brownian

��k�m�V� n"�Qhpo�����qsr'h;�t¶�Qqsvwr*��hsr�j�qs����qsr/�i�p���wr*�0����qsr hsr'�S���Q�� �0jl�0r/hs�����\�d�"k� ��� � F

� : :OK@± feoº´�i}bI¢ [v��z�Zm[<´~iuo�]º¯&Y�²�x=¢¥b�|n[^o�tmi}q�bnZ{k\�AZ\bnbW|<_jtmbnt�_at�t\�A[<¢{oKi}oK�Piu]vsAZ\b«�!©�bnw}[<¢!¬%e¥��bntmb�|<_jtmbnttm��[<¢5km��b{k&­�z�i}|<_aw�_jtmz�bn|Ik\t¥[a��k\�Ab{]^Zh_jz���[v�/± � [^o�k\��Zmbnb�|I[^o�tmbn|ns�k\i}´^b{k\iu`�bri}o�qAi}|nbnt�x^k\[^]^bIk\��bnZ�¢�ilk\�k\�Ab�|n[vZmZmbItmz�[^o�q�iuo�]�z�[^tmt\iu©�w}b�|n[<´pbnZ\iuo�]^t�©p­Xt\y~s=_aZ\bnt<¬

Figure 1

CASE 1 CASE 2 CASE 3

��wubI`�bnoNk�_aZ+­�©�s�k«wubno�]akm�p­ ]^bn[v`�bIkmZ\iu|�|n[vo�tmi}qAbnZ�_jk\iu[vo�t«_aw}wu[�¢ k\[¤th_n­�km�=_jkX¯&Y�²���[^w}q�t«i}o _aw}w¥|<_jtmbnt¯8|<_atmb��?iut�[^©p´�i}[^s�tmwl­�k\Z\sAb�_ao�qX|<_at\bS�¨Z\bnz�Zmbntmbnopk\t¥km��b�¢r[vZmt\k¥tmilkms=_<kmi}[^o�¢{�Ai}|��X|n[^Z\Zmbntmz�[voAq�t�km[¨k\��bw£_aZm]vbnt\kr´^_jZmi£_jk\i}[^oX©�bIk&¢rbnbno�: O� � ¯�� � ²r_ao�q�: � ²�¬

ÎgÎ Óg���=�H���

Page 43: Multifractional Brownian Motion: Definition and ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Multifractional Brownian

��2 ����������� ������������������������ ��"!���

� : :OK@± �%�bIk � � A�� �� � � K � � �U©�bº_KtmbnyNs�bnoA|nb2tms�|h� k\�=_jk�2[4 �d? 4 `�i}o�y ?R OdK ?�� c .� OdK ?�� | ¬)��[^Z�b<_a|�� < �¨_ao�q�2 Ä � Ä º³ �vx�tmbIk � � m � A=± ? ¯ �

�yK'O ²h¬|NbIk ³ � m � A ¯ X³��<² ? ¯ � � P O m � ³�� � m � ²"c 2lÄ � Ä X³��;`� b�t\�A[�¢:km�=_<kS_aw}`�[^t+k�tms�Zmbnwl­�¢rb��=_n´^bw�

�� � ³�� � K'O(� � O L ³ � m � L A < �

& `��� ¹�¬ ¤�� � b�q�bno�[vk\b�©N­ & � � ( � ¯�Z\bntmz/¬�& � # ( � ²?k\��b«�8_j|Ik¨k\�=_jk:& � E�( � » � _jt�=» bf�£[^Ztm[v`�b �ax�¯32]c�b5²r¯8Zmbntmz/¬N� [^Z �ªA �j²�¬Ae¥��Zm[vsA]v�2bnw}bn`�bnopkh_jZ\­�_ao=_awl­~tmi}t<xp¢rb��=_n´^bw�'��qs���Qhpo"! À�xªe ���v¶�@!�hs�s�

� �

�(� � O

�� �

w}[^] � c

³Sb 4�Á�4:�;c � �

�(� � O

���� �

� � P � K/O c

Á ¿ �;c � �

�(� � O

���� �

� � `

��� ¹�¬ �@�=e¥�Ab?� [^w}wu[�¢�i}o�]�Zmbntms�wlkr��w}[~q�t��$f�� (=¯ L ³ � m � L c L ³ � m � L ²�q�[~bnt{oA[ak�q�bnz�bno�qº[^o �x=_joAqf�� (=¯ L ³ � m � L c L ³ � m � L ²wA���¯ �L $!³ � L � OdK ?�� ²

_at L $!³ � L » b ¯8tmbnb %�bn`�`2_!��¬Ô��[a�)YPbnw}k\i}bnZ���% bI´N­�9 bn��bnw�¯\�<�^�j�~²¥�£[^Z{k\��b�z�Zm[~[a��²�¬��� ¹�¬ ������[^Z�b<_a|�� ��Ä � Ä��¢¥bWb<_jtmi}w}­º�=_n´^bBK�¯ L ³ � m � L ²¶A < R

�_joAq �D� ?~¯ L ³ � m � L ²�A (2¢���i}|��Ki}t

i}oAq�bnz�bno�qAbIoNk{[v� � _joAq �¬� b��=_n´^b

� � Ä �¯�� � ³5�<² R � R K � L � K'O(

� � O ¯ L ³ � m � L ³ K�¯ L ³ � m � L ² L R �A �¯�� � ³5�<² R � R y

� K'O(� � O �D�^?�¯ L ³ � m � L ²/C5� (

O � � s � � � K'O f�� (=¯ L ³ � m � L c L ³ � m � L ² |A �¯�� � ³5�<² R � R yv¯�� � ³ �<²�(�C �

� K'R(� � O ¯�� � ³ � ³5�j²�f�� (�¯ L ³ O m � L c L ³ � P O m � L ² |A (

¯�� � ³5�<² � R C �¯ � � ³5�j² � R

� K�R(� � O f�� (�¯ L ³ O m � L c L ³ � P O m � L ²G³ �

¯�� � ³��j² R � R � K�R(� � O � f�� (=¯ L ³ O m � L c L ³ � P O m � L ²"`eoX´~iubI¢ [a�¶|pk\bnzÀ�¨_ao�q{|pk\bnz¤�~x�¢rb�[v©�k�_ai}o � � A �«¯ � �� � � ²�C��¯ O � � � � � !�

²hx�¢{�Ai}|��X|n[^`�©�i}oAbnqª¢�ilk\�k\�AbW¡�[^Zmbnw � �r_aopk\bnwuw}i%wubn`�`2_~x^­�i}bnw}q�t�k\��b�Zmbntms�wlk�¬

ä èGÎPä ã

Page 44: Multifractional Brownian Motion: Definition and ... · ISSN 0249-6399 apport de recherche INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Multifractional Brownian

Unite de recherche INRIA Lorraine, Technopole de Nancy-Brabois, Campus scientifique,615 rue du Jardin Botanique, BP 101, 54600 VILLERS LES NANCY

Unite de recherche INRIA Rennes, Irisa, Campus universitaire de Beaulieu, 35042 RENNES CedexUnite de recherche INRIA Rhone-Alpes, 46 avenue Felix Viallet, 38031 GRENOBLE Cedex 1

Unite de recherche INRIA Rocquencourt, Domaine de Voluceau, Rocquencourt, BP 105, 78153 LE CHESNAY CedexUnite de recherche INRIA Sophia-Antipolis, 2004 route des Lucioles, BP 93, 06902 SOPHIA-ANTIPOLIS Cedex

Editeur

INRIA, Domaine de Voluceau, Rocquencourt, BP 105, 78153 LE CHESNAY Cedex (France)

ISSN 0249-6399


Recommended