3-1

계측 시스템의 시간에 의존하는 거동 : 입력신호에 대한 시스템 응답

Chosun University

제3장 계측 시스템의 거동3.1 서론

3-2

동적계측

- 동적신호

: 신호크기, 주파수 또는 파형들이 입력 신호를 재구성하는데 필요

Chosun University

3.2 계측 시스템에 대한 일반적인 모델

3-3

계측 시스템 모델 : n차 일반 선형 상미분 방정식, 기진력 함수 F(t):m차

- 예제 3.1 참조

- 계측 시스템 : 0차, 1차, 2차 선형 상미분 방정식으로 모델화

Chosun University

,.......)(

)(.......

01

1

1

011

1

1

xbdt

xdbdt

xdbtF

tFyadtdya

dtyda

dtyda

m

m

mm

m

m

n

n

nn

n

n

nm

3-4

0차 시스템 (Zero-Order systems)

여기서

K는 시스템의 정적감도(Static Sensitivity) 또는 정상이득 (Steady gain)

K의 결정방법 : 보정곡선의 기울기

예) 압력게이지 (예제3.2)

1차 시스템 (First-order Systems) : 체온계(온도계), RC회로(filter)

- 일반적으로 관성력은 무시할 수 있으나 저장 혹은 방출 능력을 지니고있는 시스템

: 시간상수 (time constant)

0( )F t b x

Chosun University

3.3 일반 시스템 모델의 특수한 경우

0 ( ),a y F t

1 0

1 0

( ),a y a y F ta a

0

1Ka

( )y y KF t

( ),y KF t

3-5

- 계단 입력 함수 (Step Function Input)

Chosun University

( ) 0( )

AU tAU t A

00

tt

3-6

일 때

초기조건

(3.5)

시간응답 정상응답 순간응답

(time response) (steady response) (transient response)

식(3.5)로 부터

: 오차율(error fraction)

(표3.1참조)

: 90%까지 응답하기에 걸린 시간 : 시스템의 상승시간 (rise time)

Chosun University

( ) ( )F t AU t

0)0( yy teKAyKAty )()( 0

KAyt ,

0

( )( ) ty t yt ey y

( ) ( )y y KAU t KF t

3-7 Chosun University

3-8 Chosun University

3-9

결정

① 계단 함수를 입력하여 시스템의 응답을 기록함

② t = 0 부터 정상응답이 얻어질 때까지 기록

③ 그림 3.8

o 장점

- 쉬운 경향파악

- 를 결정하는 과정에서 개 개의 데이터 점에서의 오차를 최소화 하는 방향으로 데이터 사용

- T=1.0 과 0.386 되는 점 등을 정확하게 결정할 필요가 없음

Chosun University

1ln t Y mX B m

3-10

예제 3.3

구형태의 온도계가 초기에 를 가리키고 있었는데 에서 액체에 갑자기 노출되었다고 가정하자. 온도계의 출력응답을 모사하는 단순 모델을 유도하라.

※ 문제를 단순화하기 위하여 다음을 가정한다.

1. 설치영향은 없다(전도와 방사 효과를 무시한다.).

2. 감지기 질량은 오직 구 내의 액체 질량이다.

3. 구 내에서의 온도는 일정하다(집중 질량).

4. 온도계의 눈금은 온도를 나타내도록 보정되어 있다.

Chosun University

)()( 0 tUTTtF

C35C20

,37 CT ,20)0( CT

3-11

Sol)

: 대류를 통한 에너지 교환율

여기서 : 온도계내의 액체의 질량

: Specific heat of liquid within thermometer

: 구와 환경사이의 대류 열전달 계수

: 온도계의 표면적

Chosun University

h

m

Q hA T

( ) ( ) ,( ) ( )

( ) ( ) (0) (0) ( ) ( )

v

v s

v s s s

dE QdtdE t dt mc dT t dt

dT tmc hA T T tdt

dT tmc hA T t T hA T T U t hA F tdt

sA

vc

3-12 Chosun University

0( ) ( )

,

( ) [ (0) ] 37 17 [ ]

v

s

v

st t

tmc dT t T t ThA dt

mchA

T t T T T e e C

1s

s

hAkhA

3-13

- 사인 함수 입력 (Sine Function Input)

주기적인 신호 : 진동 구조물, 차량의 현가 장치, 펌프의 왕복운동, 환경온도

일반해 :

: 정상응답의 진폭

: 위상각

주파수 응답(frequency response)

: w를 가지는 주기적인 입력에 대한 시스템의 정상응답 (그림 3.11참조)

시간지연 : 출력과 입력신호 사이의 시간지연 (음수값)

Chosun University

2 1 2

1

( ) ( )sin[ ( )]

( )[1 ( ) ]

( ) tan

ty t Ce B tKAB

1

1

( )sin sin[ ] sin[ ]

( )

t t t

sin ,y y KA t

0)0( yy

3-14 Chosun University

3-15

1차 시스템의 진폭비 (그림 3.12 3.13 참조)

동적오차 (dynamic error) :

1차 시스템에 대한 주파수 대역 (frequency bandwidth)

이 주파수 대역에서 는 –3dB 이상 떨어지지 않는다

(예제 3.6)

Chosun University

2 1 2

1( )[1 ( ) ]

BMKA

( ) ( ) 1M

( ) 0.707,M

( )M

1( ) tan

20log ( )dB M

3-16 Chosun University

3-17 Chosun University

3-18

2차 시스템 (Second-order Systems)

- 관성항 포함, 가속도계, 마이크

여기서 시스템의 고유 진동수 (natural freq)

시스템의 감쇄율 (damping ratio)

일반해 :

Chosun University

2 1 0

2

( )1 2 ( )n n

a y a y a y F t

y y y KF t

)()()( tytyty ph

0 2

11 2

0 22( )

n a a

aa a

3-19

o Homogeneous Solution (순수해),

① (Underdamped System Solution)

② (Critically damped System Solution)

③ (Overdamped System Solution)

Chosun University

tcety )(

22

1 2 1 0,n n

1 21 2

1( ) t t

hy t C e C e

1 21 2

1( ) t t

hy t C e C te

2

0 1

( ) sin( 1 )nw th ny t Ce t

21,2 1n n

3-20

계단함수 입력 (Step Function Input)

①

②

③

Chosun University

( ) ( ),F t AU t

2 21 22

0 1

( ) sin 1 cos 11

ntn ny t KA KAe t t

1( ) (1 ) nt

ny t KA KA t e

2 22 21 1

2 2

1

1 1( )

2 1 2 1n nt t

y t KA KA e e

(0) (0) 0y y

3-21 Chosun University

3-22

- (그림 3.14 참조)

: 감쇠 주파수

(ringing frequency)

o 상승시간 (rise time) : 계단 입력 KA의 90% 도달시간

o 정착시간 (settling time), 응답시간 (response time)

: KA의 10 % 이내에 응답이 들어올 때까지의 걸린 시간

- (예제 3.7, 그림 3.15참조)

o , tr, ts 결정 : 부족 감쇠계와 관련있는 감쇠 주파수의 실험적인 결정은계단 입력을 2차 계측 시스템에 적용하고 시간응답을 기록하여 수행한다

Chosun University

21d n 2 ,d

d

T

0 1,

3-23 Chosun University

3-24

사인 함수 입력 (Sine Function Input)

정상응답

2차 시스템에 대한 진폭비 M(w)

Chosun University

( ) sinF t A t

2 22 1 2

1( ){[1 ] 2 }n n

BMKA

( ) ( )sin ( )steadyy t B t

2 22 1 2

sin ( )( )

{[1 ] 2 }h

n n

KA ty t y

1

2

2( ) tan1

n

n

3-25 Chosun University

3-26 Chosun University

3-27

o 공진 대역 (Resonance band)

: 공진 주파수

o 전달 대역 (Transmission band) :

o 필터 대역 (Filter band) :

- 예제 3.9

Chosun University

( ) 3M dB

3 ( ) 3dB M dB

21 2 ,R n ( ) 3M dB

3-28

- 1차 계측 시스템

( : 시스템 초기함수)

Chosun University

3.4 전달 함수(Transfer Functions)

0

( )

1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1

1( )11( ) ( )

1i

yY s K F s Y s KG s F s Q s G ss s

G ss

G s i M ei

)(sQ

3-29

- 2차 시스템

Chosun University

002 2 2 2

1( ) ( )(1 ) (2 ) 1 (1 ) (2 ) 1n n n n

s y yY s KF ss s s s

2 2

1( )(1 ) (2 ) 1n n

G ss s

( )2 2

1( ) ( )( ) 2 1

i

n n

G s i M ei i

)()()()()( sGsQsFsKGsY

3-30 Chosun University

3-31

- 계측된 신호

: 위상변동이 주파수에 선형적으로 비례한다고 가정

Let

(예제 3.11 참조)

Chosun University

3.5 위상각의 선형성 (Phase Linearity)

( ) sin( ) sin(2 2 ) ...v t t t

( )( ) sin sin2 ...

tv t

3-32

- 중첩의 원리 적용

정상응답의 조합

여기서

(예제 3.12 참조)

Chosun University

3.6 다함수 입력 (Multi-Function Inputs)

01

( )sin ( )i i in

KA B t

01

( ) ( sin )i ii

F t A A t

( ) ( )i i iB KA M

3-33

연성계 : 계측 시스템이 둘 이상의 장비를 포함할 경우

Chosun University

3.7 연성계 (Coupled Systems)

3-34

전체 전달함수

정적 감도 :

전체 시스템 진폭비 :

전체 위상각 변동 :

Chosun University

1 2

1 1 2 2

[ ( ) ( ) ... ( )]1 2 1 2

( ) ( ) ( )... ( )

( ) ( .... ) [ ( ) ( ).... ( )] H

H H

iH H

KG s K G s K G s K G ss iKG i K K K M M M e

1 2( ) ( ) ( ).... ( )HM M M M

1 2 3... HK K K K K

1 2( ) ( ) ( ) .... ( )H