Non-life underwriting risk

Arcavacata (CS), 18 maggio 18 Agostino Tripodi

1

Agenda

2

Aspetti generali

Il modulo non-life premium&reserve

Il modulo lapse

Il modulo CAT

Undertaking Specific Parameters

Aspetti generali

3

Riferimenti

4

Direttiva 2009/138

Regolamento delegato 2015/35 UE

Regolamento IVASS n.11 del 22 dicembre 2015

The underlying assumptions in the standard formula

for the Solvency Capital Requirement calculation https://eiopa.europa.eu/Publications/Standards/EIOPA-14-

322_Underlying_Assumptions.pdf

Struttura solvency 2

5

Il calcolo del Solvency Capital

Requirement (SCR) segue un

approccio modulare gerarchico.

Quindi viene calcolato l’SCR di ogni

modulo elementare (cfr. figura),

successivamente i singoli SCR sono

aggregati (non sommati!) , mediante

una struttura di aggregazione di tipo

Varianza-Covarianza.

L’aggregazione consente all’impresa

di beneficiare degli effetti di

diversificazione.

Composizione BSCR - 2016

6

Life Non-Life Composite

Market risk 77,9% 21,5% 45,0% Counterparty default risk 4,1% 8,8% 6,3% Life underwriting risk 17,9% 0,0% 6,1% Health underwriting risk 0,1% 15,8% 4,0% Non-life underwriting risk 0,0% 53,9% 38,7% Basic Solvency Capital Requirement (not diversified) 100,0% 100,0% 100,0% Diversification 13,8% 23,6% 27,1%

77,9%

4,1%

17,9% 0,1% 0,0%

Life

Mkt

Default

Life

Health

Non-Life

21,5%

8,8% 0,0%

15,8%

53,9%

Non-Life

Mkt

Default

Life

Health

Non-Life

45,0%

6,3% 6,1% 4,0%

38,7%

Composite

Mkt

Default

Life

Health

Non-Life

Nota: Imprese 2016 che calcolano il BSCR con standard formula o USP

Losses vs Liability distribution

7

Losses (S): esborso complessivo dei 12 mesi successivi, incluse le

terminal provision (riserve a fine anno)

Liability (L): perdita subita dall’assicuratore nell’orizzonte temporale di

12 mesi

come sono legate tra di loro S ed L ?

Premium Risk 𝐿 = 𝑆 − 𝑃

Reserve Risk 𝐿 = 𝑅1 + 𝐶 − 𝑅0

sinistri

premi

Riserva sx a

fine anno Pagementi per sx

nell’anno

Riserva sx ad

inizio anno

Osservazione: È usuale rappresentare il reserve risk anche come

Claims Development Result (CDR), in tale caso si ha 𝐶𝐷𝑅 = −𝐿

8 Media Quantile 99.5%

SCR

Misura di rischio (art. 104 direttiva 2009/138)

Il Solvency Capital Requirement è calcolato

utilizzato una misura di rischio di tipo Value

at Risk - VaR .

Nella formula standard, nell’ambito dei

moduli non-life premium&reserve (NL-pr) e

health NSLT premium&reserve (HL-pr), si

ipotizza che le perdite seguano una

distribuzione log-normale e si utilizza una

sua approssimazione per la definizione del

VaR.

Distribuzione Losses (one-year)

Osservazione 1: si presuppone che la perdita media

(eventualmente nulla) sia coperta dalle technical provision (riserve

tecniche), mentre la perdita inattesa sia coperta invece dall’SCR.

Osservazione 2: In piena conformità alla richiesta normativa, nei

modelli interni bisogna utilizzare la v.a. Liability, in quanto anche i

premi (dei successivi 12 mesi) sono aleatori e quindi il VaR è

diverso.

L’approssimazione log-normale

9

Sia 𝑌 la variabile aleatoria che descrive le Losses nell’orizzonte temporale di un anno e si ipotizzi segua una

distribuzione log-normale di parametri 𝜇 e 𝜎2 (ovvero il suo logaritmo si distribuisce come una normale di

parametri 𝜇 e 𝜎2). Si ha quindi:

Valore atteso 𝐸 𝑌 = 𝑒𝜇+𝜎2

2 ;

Quantile 𝑄𝜀 = 𝑒𝜇+𝑧𝜀𝜎 dove 𝑧𝜀 è il quantile di una normale standard

𝑒𝜇+𝑧𝜀𝜎 − 𝑒𝜇+𝜎2

2 = 𝑒𝜇+𝜎2

2𝑒𝜇+𝑧𝜀𝜎

𝑒𝜇+𝜎2

2

− 1 = 𝐸 𝑌 𝑒𝑧𝜀𝜎−𝜎2

2 − 1 ≈ 3𝜎𝐸(𝑌) VaR

Coincidono per

𝜎 = 13,95%

𝑧𝜀 ≈ 2,58

La struttura di aggregazione

10

La struttura di aggregazione sottesa alla standard formula è di tipo Var-Cov, ovvero si aggregano gli

SCR di 2 (o più) differenti rischi come fossero delle varianze.

2 rischi: 𝑆𝐶𝑅 = 𝑆𝐶𝑅12 + 𝑆𝐶𝑅2

2 + 2 ∙ 𝝆 ∙ 𝑆𝐶𝑅1𝑆𝐶𝑅2

n rischi: 𝑆𝐶𝑅 = 𝑆𝐶𝑅𝑖2 + 2 𝝆𝒊𝒋𝑆𝐶𝑅𝑖𝑆𝐶𝑅𝑗

𝑛𝑗=𝑖+1

𝑛−1𝑖=1

𝑛𝑖=1

𝝆 è il coefficiente di correlazione lineare tra due rischi, più precisamente la correlazione lineare tra le

variabili aleatorie che rappresentano la perdita relativa a due differenti rischi.

Aggregazione: interpretazione geometrica

11

Ricordando il teorema di Carnot (o teorema del coseno):

𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2cos (𝛼) ∙ 𝑎𝑏

quindi 𝝆 = −𝐜𝐨𝐬 (𝜶)

𝑆𝐶𝑅 = 𝑆𝐶𝑅12 + 𝑆𝐶𝑅2

2 − 2 ∙ 𝒄𝒐𝒔(𝜶) ∙ 𝑆𝐶𝑅1𝑆𝐶𝑅2

𝛼 𝑆𝐶𝑅2

𝑆𝐶𝑅1

𝑆𝐶𝑅

𝛼

𝑆𝐶𝑅2

𝑆𝐶𝑅1

𝑆𝐶𝑅

𝛼 𝑆𝐶𝑅2

𝑆𝐶𝑅1

𝑆𝐶𝑅

Correlazione

positiva

Correlazione

nulla

Correlazione

negativa

Il non-life risk module

12

L’SCR relativo al modulo rischio non-life (detto underwriting risk) si compone dei seguenti tre sottomoduli:

1. Non-life Premium&Reserve: relativo alle perdite derivanti dal rischio di tariffazione (Premium) e quindi

derivanti dal rischio che il costo dei sinistri, dei successivi 12 mesi, sia superiore alle riserve premi (best-

estimate) ed alle perdite derivanti dal rischio di riservazione (Reserve) e cioè dal rischio che la riserva

sinistri accantonata a fine anno non sia sufficiente a pagare i sinistri dei successivi 12 mesi ed a

finanziare la costituzione della riserva sinistri a fine anno.

2. CAT: relativo alle perdite derivanti dal verificarsi di eventi catastrofali di eccezionale gravità.

3. Lapse: relativo alle perdite derivanti dalla estinzione anticipata dei contratti;

P+R CAT Lapse

Premium&Reserve 100% 25% 0%

CAT 25% 100% 0%

Lapse 0% 0% 100%

Premium&Reserve 4.000

CAT 500

Lapse 100

Diversification -445,48

NL - Underwriting 4.154,52

𝑁𝐿 = 4.0002 + 5002 + 1002 + 2 ∙ 0,25 ∙ 4.000 ∙ 500 = 4.154,52

Matrice di correlazione

Modulo non-life Premium&Reserve (P&R)

13

Regolamento Delegato 2015/35 – Sezione 2 – Artt. 114-117

Non-life Premium&Reserve

14

𝑆𝐶𝑅𝑃+𝑅 = 3 ∙ 𝜎𝑃𝑅 ∙ 𝑉 Dove:

𝑉 = 𝑉𝑠12𝑠=1 è la misura complessiva del volume premi e riserve di tutti i segmenti di attività come

definiti nell’allegato II al Regolamento Delegato 2015/35 UE (allegato XIV per i segmenti Health);

𝜎𝑃𝑅 è la volatilità aggregata per premi e riserve e per tutti i segmenti di attività, il cui dettaglio di

calcolo è definito nelle slide successive.

Art 115 – Regolamento Delegato 2015/35

I volumi

15

La misura di volume è definita all’art. 116 del Regolamento Delegato 2015/35 UE e si ottiene come somma tra il volume Premi ed il volume Riserve, tenuto conto di un indicatore di diversificazione geografica:

𝑉𝑠 = 𝑉𝑃𝑟𝑒𝑚𝑖,𝑠 + 𝑉𝑟𝑒𝑠,𝑠 ∙ 0,75 + 0,25 ∙ 𝐷𝐼𝑉𝑠 dove 𝑠 indica il segmento

𝑉𝑃𝑟𝑒𝑚𝑖,𝑠 = max 𝑃𝑠; 𝑃𝑙𝑎𝑠𝑡,𝑠 + 𝐹𝑃𝑒𝑥𝑖𝑠𝑖𝑠𝑡𝑖𝑛𝑔,𝑠 + 𝐹𝑃𝑓𝑢𝑡𝑢𝑟𝑒,𝑠

𝑃𝑠: premi di competenza stimati per i successivi 12 mesi;

𝑃𝑙𝑎𝑠𝑡,𝑠: premi di competenza osservati nei 12 mesi precedenti;

𝐹𝑃𝑒𝑥𝑖𝑠𝑖𝑠𝑡𝑖𝑛𝑔,𝑠 : premi da acquisire nei successivi 12 mesi relativamente a contratti esistenti;

𝐹𝑃𝑓𝑢𝑡𝑢𝑟𝑒,𝑠: premi da acquisire nei successivi 12 mesi relativamente a contratti futuri.

𝑉𝑟𝑒𝑠,𝑠 è la best-estimate dei sinistri del segmento s;

Volumi

Segmento di attività (Annex II –

Regolamento Delegato) 𝑉𝑃𝑟𝑒𝑚𝑖,𝑠 𝑉𝑟𝑒𝑠,𝑠 DIV 𝑉𝑠

Motor vehicle liability 19.219.907 20.944.711 1 40.164.618

Motor other classes 4.561.689 705.912 1 5.267.601

MAT 324.580 336.948 1 661.528

Fire and other property damage 14.549.863 4.228.618 1 18.778.481

Third-party liability 10.284.548 20.993.196 1 31.277.744

Credit and suretyship 749.648 1.347.563 1 2.097.211

Legal expenses 292.392 425.016 1 717.408

Assistance 719.064 133.860 1 852.924

Miscellaneous 119.991 62.494 1 182.485

NP reinsurance - property - - 1 -

NP reinsurance - casualty - - 1 -

NP reinsurance - MAT - - 1 -

Totale 50.821.683 49.178.317 100.000.000

Le volatilità:

16

Formula Standard

𝑵𝑷𝒔 Segment 𝝈𝑷,𝒔

GROSS

𝝈𝑷,𝒔 NET

𝝈𝑹,𝒔 Sigma reserve

Motor vehicle liability 10,00% 8,00% 9,00% 80,00%

Motor other classes 8,00% 8,00% 8,00% 100,00%

MAT 15,00% 15,00% 11,00% 100,00%

Fire and other property damage 8,00% 6,40% 10,00% 80,00%

Third-party liability 14,00% 11,20% 11,00% 80,00%

Credit and suretyship 12,00% 12,00% 19,00% 100,00%

Legal expenses 7,00% 7,00% 12,00% 100,00%

Assistance 9,00% 9,00% 20,00% 100,00%

Miscellaneous 13,00% 13,00% 20,00% 100,00%

NP reinsurance - property 17,00% 17,00% 20,00% 100,00%

NP reinsurance - casualty 17,00% 17,00% 20,00% 100,00%

NP reinsurance - MAT 17,00% 17,00% 20,00% 100,00%

𝜎𝑠 =𝝈𝑷,𝒔𝑉𝑃𝑟𝑒𝑚𝑖,𝑠

2+ 𝝈𝑹,𝒔𝑉𝑅𝑒𝑠,𝑠

2+ 2 ∙ 0,5 ∙ 𝝈𝑷,𝒔𝑉𝑃𝑟𝑒𝑚𝑖,𝑠𝝈𝑹,𝒔𝑉𝑅𝑒𝑠,𝑠

𝑉𝑃𝑟𝑒𝑚𝑖,𝑠 + 𝑉𝑅𝑒𝑠,𝑠

Volatilità per singolo segmento: Art 117, co. 2 – Regolamento Delegato 2015/35

Allegato II – Regolamento Delegato 2015/35

Osservazione: le volatilità per i segmenti Health-NSLT sono riportate nell’allegato XIV

La volatilità aggregata

17

Esercizio studenti: Utilizzando i volumi della slide 15 e le volatilità

della formula standard riportate nella slide 16, provare che la volatilità

aggregata 𝜎𝑃𝑅 del modulo non-life P&R è pari a 6,14%

𝜎𝑃𝑅 = 𝜎𝑠𝑉𝑠

2 + 2 𝝆𝒔𝒌 𝜎𝑠𝑉𝑠 𝜎𝑘𝑉𝑘𝑛𝑘=𝑠+1

𝑛−1𝑠=1

𝑛𝑠=1

𝑉

MTPL Other Marine Fire GTPL Credit Legal

Assistanc

e Losses NP_RC

NP_Marin

e NP_NRC

MTPL 100% 50% 50% 25% 50% 25% 50% 25% 50% 25% 25% 25%

Other 50% 100% 25% 25% 25% 25% 50% 50% 50% 25% 25% 25%

Marine 50% 25% 100% 25% 25% 25% 25% 50% 50% 25% 50% 25%

Fire 25% 25% 25% 100% 25% 25% 25% 50% 50% 25% 50% 50%

GTPL 50% 25% 25% 25% 100% 50% 50% 25% 50% 50% 25% 25%

Credit 25% 25% 25% 25% 50% 100% 50% 25% 50% 50% 25% 25%

Legal 50% 50% 25% 25% 50% 50% 100% 25% 50% 50% 25% 25%

Assistance 25% 50% 50% 50% 25% 25% 25% 100% 50% 25% 25% 50%

Losses 50% 50% 50% 50% 50% 50% 50% 50% 100% 25% 50% 25%

NP_RC 25% 25% 25% 25% 50% 50% 50% 25% 25% 100% 25% 25%

NP_Marine 25% 25% 50% 50% 25% 25% 25% 25% 50% 25% 100% 25%

NP_NRC 25% 25% 25% 50% 25% 25% 25% 50% 25% 25% 25% 100%

Matrice di correlazione

Volatilità per il rischio di tariffazione e di riservazione: Art 117, co. 1 – Regolamento Delegato 2015/35

18

All Gruppo A Gruppo B

Non-life premium and reserve risk 87,8% 92,7% 81,7% CAT 10,2% 7,0% 14,1% Lapse 2,1% 0,3% 4,2%

Total not diversified 100,0% 100,0% 100,0%

Diversification 8,5% 5,2% 12,5%

Gruppo A: Imprese con

Volume Premi e Riserve

MTPL+OMI maggiore del 60%

sul totale.

Gruppo B: Tutte le altre

All Gruppo A Gruppo B

Non-life premium and reserve risk 18,1% 17,2% 19,6%

CAT 2,1% 1,3% 3,4%

Lapse 0,4% 0,1% 1,0%

Total not diversified 20,7% 18,6% 24,0%

Total non-life underwriting risk 18,9% 17,6% 21,0%

Volatilità aggregata 6,05% 5,74% 6,53%

Composizione SCR Non-Life

Incidenza sul Volume Premi e Riserve

87,8%

10,2% 2,1%

All

Non-life premiumand reserve risk

CAT

Lapse

92,7%

7,0% 0,3%

Gruppo A

Non-life premiumand reserve risk

CAT

Lapse

81,7%

14,1% 4,2%

Gruppo B

Non-life premiumand reserve risk

CAT

Lapse

Modulo Lapse

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Regolamento Delegato 2015/35 – Sezione 2 – Art. 118

Rischio lapse

20

Il rischio di estinzione anticipata è relativo alla perdita derivante dall’abbandono contrattuale, ovvero dal mancato guadagno. In formula standard, come descritto nell’art. 118 del regolamento 2015/35, si calcola ipotizzando che il 40% degli assicurati abbandonino il contratto. Lo shock del 40% si applica solo ai contratti per i quali ci si attende un profitto.

The capital charge for non-life lapse risk is instead calculated in a way that it would cover a loss in basic own funds that would result from a discontinuance of 40% of the policies where the discontinuance would result in an increase in technical provisions without risk margin. Undertakings that write furthermore reinsurance have to calculate a capital charge for policies that cover business to be written in the future in a way that the capital charge would cover a loss in basic own funds that would result from a decrease of 40% in the number of those future contracts used in the calculation of technical provisions.

Modulo CAT risk

21

Regolamento Delegato 2015/35 – Sezione 2 – Artt. 119-135

Rischio catastrofale

22

Il rischio catastrofale riguarda le possibili perdite derivanti dal

verificarsi di eventi di eccezionale gravità. Si fa riferimento a: NAT-CAT: Catastrofi naturali (tempesta, terremoto, alluvione, grandine, cedimento);

NP-Property: rischio catastrofe per la riassicurazione non proporzionale danni ai beni;

Man-Made CAT: rischio catastrofe provocata da attività umane

Other-CAT : altre catastrofi

𝑆𝐶𝑅𝐶𝐴𝑇 = 𝑆𝐶𝑅𝑛𝑎𝑡𝐶𝐴𝑇 + 𝑆𝐶𝑅𝑁𝑃𝑝𝑟𝑜𝑝2

+ 𝑆𝐶𝑅𝑚𝑚𝐶𝐴𝑇2 + 𝑆𝐶𝑅𝐶𝐴𝑇𝑜𝑡ℎ𝑒𝑟

2

Dalla formula dell’ 𝑆𝐶𝑅𝐶𝐴𝑇 si evince che è ipotizzata una correlazione pari al

100% tra NAT-CAT e ìd NP-Property; 0% tra tutte le altre coppie di rischi.

23

Undertaking Specific Parameters

Undertaking specific parameters

24

Ai sensi dell’art. 104 della direttiva 2009/138 alcuni parametri della standard formula

possono essere sostituiti con parametri calibrati su dati interna dell’impresa.

Quando si possono utilizzare ?

a) Dietro presentazione di istanza da parte della Compagnia e successiva

autorizzazione da parte dell’autorità di vigilanza (in Italia l’IVASS).

b) Su espressa richiesta dell’autorità di vigilanza, quando quest’ultima è in grado di

dimostrare che le ipotesi sottese alla formula standard si discostano

significativamente dalla formula standard (cfr. art. 110 direttiva 2009/138)

Quali parametri si possono sostituire? (cfr. art. 218 Regolamento 2015/35)

a) Deviazione standard del Non-Life Premium Risk;

b) Deviazione standard del Non-Life Reserve Risk;

c) NP-factor per la riduzione della deviazione standard del Non-Life Premium Risk;

d) Deviazione standard del Revision Risk (sottomodulo del Life) .

Osservazione: i parametri alle lettere c) e d) non sono trattati in queste slide.

Undertaking specific parameters

25

𝝈𝒔 =𝝈𝑷,𝒔𝑉𝑃𝑟𝑒𝑚𝑖,𝑠

2+ 𝝈𝑹,𝒔𝑉𝑅𝑒𝑠,𝑠

2+ 2 ∙ 0,5 ∙ 𝝈𝑷,𝒔𝑉𝑃𝑟𝑒𝑚𝑖,𝑠𝝈𝑹,𝒔𝑉𝑅𝑒𝑠,𝑠

𝑉𝑃𝑟𝑒𝑚𝑖,𝑠 + 𝑉𝑅𝑒𝑠,𝑠

𝝈𝑷𝑹 = 𝝈𝒔𝑉𝑠

2 + 2 𝝆𝒔𝒌 𝝈𝒔𝑉𝑠 𝝈𝒌𝑉𝑘𝑛𝑘=𝑠+1

𝑛−1𝑠=1

𝑛𝑠=1

𝑉

Le volatilità in verde sono i parametri che vengono sostituiti, quelle in

arancione ed in rosso cambiano di conseguenza

Undertaking specific parameters

26

𝜎𝑟𝑒𝑠,𝑠,𝑈𝑆𝑃 = 𝑐 ∙ 𝜎 + 1 − 𝑐 𝜎𝑟𝑒𝑠,𝑠

Metodo 1 Metodo 2

Premium Risk

Reserve Risk

𝜎𝑗,𝑠,𝑈𝑆𝑃 = 𝑐 ∙ 𝜎 𝛿 , 𝛾 𝑇 + 1

𝑇 − 1+ 1 − 𝑐 𝜎𝑗,𝑠

Credibility factor dipendente da T Parametro standard-formula

Parametro calibrato sui dati dell’impresa

T ampiezza temporale della serie storica

Metodo 1 – Premium & Reserve Risk

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𝑡

(esercizio) Premium Risk Reserve Risk

𝑌𝑡 Costo Ultimo EC Costo ultimo t-1 -

EP

𝑋𝑡 Premi di competenza Costo ultimo t - EP

Le assunzioni sottostanti il modello:

1. 𝐸 𝑌𝑡 = 𝛽 ∙ 𝑥𝑡

2. 𝑉𝑎𝑟 𝑌𝑡 = 𝜎2 1 − 𝛿 𝑥 𝑥𝑡 + 𝛿𝑥2

3. 𝑌𝑡~𝐿𝑜𝑔𝑁[𝜇𝑡 , 𝜔𝑡]

Le ipotesi da verificare richieste dalla normativa (Allegato XVII, Regolamento 2015/35)

Per approfondimenti si consiglia:

On the USP Calculation Under Solvency II and its Approximation with a Closed Form Formula.

Cerchiara, R.R., De Marco V., Siegenthanler, F.. Bullettin Francais D’Actuariat

Metodo 1 – esempio MTPL

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𝜎 𝛿 , 𝛾 = 4,97%

𝜎𝑈𝑆𝑃 = 4,97% 11/9

𝟓,𝟒𝟗%

∙ 74% + 8% ∙ 26% = 6,15%

Anno Premi (x) Sinistri (y) Loss Ratio

2008 810 638 78,77%

2009 1.340 1.145 85,45%

2010 1.960 1.530 78,06%

2011 2.190 1.713 78,22%

2012 2.280 1.706 74,82%

2013 2.640 2.027 76,78%

2014 2.710 2.243 82,77%

2015 2.720 2.048 75,29%

2016 2.790 2.506 89,82%

2017 3.470 2.505 72,19%

Loss Ratio

Semplice Weighted (x)

Media 79,22% 78,83% Dev.ST 5,06% 5,43%

«Certe coincidenze esistono solo nei libri e nei film.

Nella realtà no, oppure non sono coincidenze»

Roberto Costantini, Alle radici del male

𝛿 = 1

𝛾 = −2,769285

𝜎 𝛿 , 𝛾 ∙ 𝑒−𝛾 = 𝟕𝟗, 𝟐𝟏%

Metodo 2

29

Il metodo 2 si basa sul modello di Merz-Wutrich (2008) mediante il quale è possibile stimare,

con formula chiusa, la volatilità della perdita ad 1 anno (one year) che è equivalente a

calcolarla sulla v.a. Claims Development Result (CDR) . Il modello utilizza come dati di input

il classico triangolo di run-off

Reg.to delegato 2016/467 UE – Allegato I (quella nell’allegato XVII Reg.to è sbagliata!)

Per approfondimenti:

• Merz. M. e Wüthrich M. (2008), Modelling the claims development result for solvency purposes,CAS E-Forum, Fall, 542-568.

• Cavastracci S. (2015) , Dal chain ladder al modello di Merz e Wüthrich: derivazione completa del modello di volatilità della riserva

sinistri in un orizzonte annuale. Quaderno IVASS n. 3

• Cavastracci S. Tripodi A. (2017), Modello overdispersed Poisson: formula chiusa per la stima GLM della volatilità one year della

riserva sinistri. Quaderno IVASS n. 9

30

Grazie per l’attenzione