1
Министерство транспорта Российской Федерации Федеральное агентство железнодорожного транспорта
ГОУ ВПО «Дальневосточный государственный университет путей сообщения»
Ю.Г.Плотников
Матрицы в строительной механике
Учебное пособие
Хабаровск Издательство ДВГУПС
2008
2
УДК 624.04(075. 8)
Рецензенты:
Кафедра «Механика деформируемого твердого тела» Тихоокеанского государственного университета
(заведующий кафедрой, кандидат технических наук, доцент А.А.Вайсфельд)
Доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой
«Механика деформируемого твердого тела» Дальневосточного государственного технического университета
К.П.Горбачев Плотников Ю.Г. Матрицы в строительной механике: учеб. пособие. – Хабаровск: Изд-во ДВГУПС, 2008. – 111 с: ил.
Учебное пособие соответствует ГОС ВПО направлений подготовки ди-пломированных специалистов: 270100 «Строительство», 270200 «Транс-портное строительство» специальностей: 270102 «Промышленное и граж-данское строительство»; 270201 «Мосты и транспортные тоннели» по дис-циплине «Строительная механика».
Учебное пособие содержит изложение материала о применении теории матриц в расчетах строительных конструкций. Приведены матричные ме-тоды определения перемещений, матричная форма метода сил и метода перемещений, матричный метод проф. А.Ф.Смирнова для определения критической нагрузки в теории устойчивости сооружений, матричные ме-тоды решения задач динамики сооружений. Завершает изложение приме-нение теории матриц в методе конечных элементов. Теоретический мате-риал сопровождается решением примеров.
Предназначено для студентов всех форм обучения.
z ГОУ ВПО «Дальневосточный государственный
Университет путей сообщения» (ДВГУПС), 2008
3
Введение Настоящее пособие включает разделы строительной механики, в кото-рых излагаются методы статического и динамического расчета сооруже-ний использующие матричные методы. Представленный материал соот-ветствует действующим в настоящее время учебным программам для строительных и транспортных специальностей. Развитие строительной механики в настоящее время связано с приме-нением в расчетах строительных конструкций мощных персональных ком-пьютеров (ПК). В связи с этим в теорию расчетов все шире внедряются, использующие удобные для реализации на ПК матричные методы. В настоящее время каждый инженер-расчетчик имеет в своем распоряжении мощный персональный компьютер, который может выполнить любой рас-чет по программам, написанным на основе методов строительной механи-ки. В свою очередь методы строительной механики требуют перед про-граммированием описания задачи в матричной форме, поскольку язык матричной алгебры оказался наиболее удобным для общения человека с электронно-вычислительной машиной. Студенты, обучающиеся на инженерно-строительных специальностях, по мере изучения различных дисциплин впервые встречаются с теорией матриц в курсе высшей математики, где им даются основные понятия мат-ричной алгебры. Там же показано применение теории матриц к решению систем линейных алгебраических уравнений. Это все, что дает курс выс-шей математики будущему инженеру строителю. Для изучения строитель-ной механики этих сведений, полученных на первом курсе обучения явно недостаточно. Поэтому в данном пособии в начале кратко изложен мате-риал матричной алгебры, известный из курса высшей математики, а имен-но сложение, умножение и обращение матриц. Далее излагаются понятия собственных чисел и собственных векторов матриц. Формулируется пол-ная проблема собственных значений матриц. Дается один из методов ре-шения этой проблемы – метод итераций. В пособии изложены следующие матричные методы: теория переме-щений, методы статического расчета: методы сил и перемещений, оп-ределение критической нагрузки при расчете на устойчивость, методы ди-намического расчета конструкций при действии гармонической и про-извольной нагрузки. Последний раздел посвящен использованию теории матриц в методе конечных элементов. Здесь также рассмотрено решение статических за-дач, задач устойчивости и динамики стержневых систем.
4
О Б О З Н А Ч Е Н И Я
)(A - амплитудно-частотная характеристика (АЧХ)
Г - матрица потерь системы (диссипативная матрица)
D - матрица податливости системы
ij - единичные перемещения (элементы матрицы податливости)
G - матрица податливости, используемая для перемножения эпюр
)(tk - импульсная переходная функция
)(t - обобщенная функция Дирака * - логарифмический декремент колебаний - коэффициент потерь материала системы
H - парциальная матрица
K - матрица жесткости системы
KG - матрица геометрической жесткости
ijr - единичные реакции (элементы матрицы жесткости)
L, l - матрица собственных значений, собственные значения
m, m - матрица масс системы и масса материальной точки - динамический коэффициент
p, p - диагональная матрица собственных частот и частота (соб-ственных) свободных колебаний
- техническая частота собственных колебаний системы в герцах
x, y, z - оси координат t - Время
Ф - матрица собственных векторов
i - собственные векторы
Y - матрица ортонормированных собственных векторов
i - ортонормированный собственный вектор
)(* Ф - передаточная функция
)( - фазово-частотная характеристика (ФЧХ)
- частота возмущения (частота вынужденных колебаний)
u, v, w, u, v, w - матрицы перемещений и перемещения по направлению x, y, z соответственно
wvu ,, - проекции скоростей точек на оси координат x, y, z
wvu ,, - проекции ускорений точек на оси координат x, y, z
Z - обобщенные перемещения
5
1. Краткие сведения из теории матриц Матрица – прямоугольная таблица размером m x n (m – количество
строк, n – количество столбцов). Порядок матриц определяется числами m и n. Если m = 1, n любое число имеем матрицу строку. Если m любое число, n = 1l – матрицу столбец. Иногда матрицу столбец называют вектором и
обозначают ,....., BA Если m = n матрица называется квадратной. Единич-
ная матрица – квадратная матрица, у которой на главной диагонали рас-положены элементы равные единице, а остальные элементы равны нулю.
;
......
...............
...............
......
......
21
22221
11211
mnmm
n
n
aaa
aaa
aаа
A ;
...
...
2
1
mb
b
b
B
;
1......00
...............
...............
0......00
0......01
E
nccc ......
21C ;
Выше приведены прямоугольная матрица А, матрица столбец (век-
тор) B
, единичная матрица - E; матрица строка С. Элемент матрицы А - аij есть число расположенное на пересечении i-
й строки и j – го столбца.
;iJ
aA j
bB
; .i
cC
Примеры некоторых числовых матриц приведены ниже
;123
312
A ;
884
973
062
951
B ;
4
6
5
D
.0123F
1.1. Действия над матрицами 1.1.1. Умножение матрицы на число Пусть А – матрица, – число. A;C .
ijijac
Элемент матрицы произведения С есть произведение элемента мат-рицы А на общий множитель .
6
Пример №1:
Дано: ;5 .210
012
A Найти .AC
Решение:
.1050
0510
210
0125
C
1.1.2. Сложение матриц
Если A и B – матрицы одного порядка m x n. Можно определить мат-рицу С как сумму матриц А и B:
B;AC .
ijiijijbac
Элемент матрицы суммы: С есть сумма элементов матриц А и B. При сложении матриц справедлив переместительный закон:
A + B = B +A. Пример №2:
Дано: ;012
432
A .
430
212
B Найти: B.AC
Решение:
.422
640
430
212
012
432
C
1.1.3. Произведение матриц
Если A порядка m x n и B порядка n x k, то матрица C порядка m x k есть произведение матриц A и B:
;BAC
n
jjkijik
bac1
.
Элемент матрицы произведения C равен сумме произведений элемен-тов i – й строки матрицы A на элементы k – го столбца матрицы B. При умножении матриц не справедлив переместительный закон:
.ABBA Пример №3:
Дано: ;
65
43
21
A .123
321
B Найти: ;BAC .ABD
7
Решение:
.
9213
529
125
16)3(526)2(536)1(5
14)3(324)2(334)1(3
12)3(122)2(132)1(1
123
321
65
43
21
C
.2014
2822
614223513213
6)3(4)2(2)1(5)3(3)2(1)1(
65
43
21
123
321
D
1.1.4. Транспонирование матриц
;TAB ;T
BA .AATT
Операция транспонирования матрицы есть замена строк ее столб-
цами и наоборот: .jiij
ab
Пример №4:
Дано: .135
642
A Найти: .T
AB
Решение:
.
16
34
52
TAB
1.1.5. Обращение матриц
Матрица B есть обратная по отношению к матрице А, если выполня-ются следующие зависимости
;AB1 ;BA
1 .EAAAA11
8
;det
1
*
nn
*
2n
*
1n
*
n2
*
22
*
12
*
n1
*
21
*
11
1
A......AA
...............
...............
A......AA
A......AA
AA Adet определитель матрицы А;
*
ijA алгебраическое дополнение элемента ij матрицы A.
.
......
..................
......
..................
......
......
)1(
21
21
222221
111211
mnmjmm
inijii
nj
nj
JI
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
*
ijA
Алгебраическое дополнение находится как определитель, составлен-ный из элементов матрицы A, в которой вычеркнуты i-я строка и j-й стол-бец. Знак алгебраического дополнения определяется знаком определи-теля, умноженным на (-1)
i+j. Мы привели здесь только один способ, который можно использовать для обращения матриц невысокого порядка. Другие способы обращения матриц не приводим, так как предполагаем, что для обращения матриц высокого порядка будет использоваться вычислительная техника. Пример №5:
Дано: .
831
362
124
A Найти: .1AB
Решение: Определитель матрицы А:
.130261560132394
)1632(1)1382(2)3386(436
121
83
122
83
364det
A
9
Алгебраические дополнения матрицы А:
.10212)1234(32
14)1(
;066163236
12)1(
;10212)2134(31
24)1(
;13316)1382(83
12)1(
;066613231
62)1(
;13316)3182(81
32)1(
;20424226462
24)1(
;31132118481
14)1(
;39948338683
36)1(
23
13
32
12
31
21
33
22
11
*
32
*
31
*
23
*
21
*
13
*
12
*
33
*
22
*
11
A
A
A
A
A
A
A
A
A
Обратная матрица:
.
20100
103113
01339
130
1
1AB
1.2. Собственные числа и собственные векторы матриц
.λA
(1.1)
Если для квадратной матрицы A можно найти вектор
и число ,
отвечающие выражению (1.1), то этот вектор и это число называются соб-ственным значением и собственным вектором матрицы A.
10
Решение (1.1) на первый взгляд несложно. В частности, из (1.1) сле-дует система линейных уравнений, коэффициенты которых выражаются
через элементы матрицы A и собственные числа :
.0 EA (1.2)
Система однородных линейных уравнений (1.2) имеет ненулевое ре-шение 0 в том случае, если определитель матрицы коэффициентов
равен нулю:
0 EA . (1.3)
Для матрицы A – порядка n уравнение (1.3) есть алгебраическое
уравнение степени n, решив которое можно найти n собственных чисел i
,
i=1,2,…..n, после их подстановки в (1.3) и решения n систем однородных линейных уравнений n – го порядка можно получить n – собственных век-
торов. Пример №6:
Дано: .87
78
A
Найти: собственные числа ,
i собственные векторы .
i
Решение: составим характеристическое уравнение (1.3):
,049)8(87
782
Корни этого уравнения есть собственные числа матрицы А: 15
1 ,
12 . Находим собственные векторы, подставив значение 15
1 в (1.2):
07)158(2111 ,
откуда 1/
1121 , из условия нормирования 12
21
2
11 находим 707.0
11 ,
707.021 . Аналогично находим компоненты второго собственного век-
тора, после подстановки в (1.2) 12 :
07)18(
2212 ,
11
откуда 1/2212
, из условия нормирования 12
22
2
12 находим
707.012
, 707.0`22 .
Таким образом, найдены матрицы собственных значений
10
015Λ ,
и собственных векторов
707.0707.0
707.0707.0Φ .
Из изложенного выше следует, что описанный метод хорош только для матриц невысокого порядка и приводит к существенным вычислитель-ным трудностям при больших n. Для матриц высокого порядка очень эффективен способ итераций, который состоит в следующем: задаются произвольным вектором
0 , за-
тем используют (1.1), проводя вычисления по схеме: ,
011 A
122 A ……… .
11 iiiA
(1.4)
до тех пор, пока в пределах требуемой точности 1i
, 1i
не совпадут с i
,
i .
В (1.4) i это не номер собственного значения, а номер приближения для одного и того же собственного числа. Процесс (1.4) довольно быстро сходится к большему по величине собственному числу и к соответствую-щему ему собственному вектору. Следовательно, методом итераций мож-но найти только старшее собственное число. Пример №7:
Дано: .
3746314
4668508
31504512
481216
A
Найти старшее собственное число соответствующий ему собствен-ный вектор.
Решение: зададим нормальный вектор:
0
1
0
0
0 после чего действуем
по (1.4). После первой итерации находим
30,49727550
80,73510291
10,54051685
60,08648269
92,504053965= .
0
1
0
0
3746314
4668508
31504512
481216
12
После второй итерации:
9139,568367
90,47629021
20,69111107
20,53274383
70,10815323
3746314
4668508
31504512
481216
30,49727550
80,73510291
10,54051685
60,08648269
.
…………………………………………………………………………………………
После четвертой итерации: 139.658735 ,
474980.0
690210.0
534312.0
111867.0
.
1.3. Полная проблема собственных значений. Метод итераций. Простота и легкость программирования метода итераций для опре-деления старшего собственного числа объясняет стремление применить этот метод к определению остальных собственных чисел, т.е. применить метод итераций к решению полной проблемы собственных значений. Равенство (1.1) записано для одного собственного числа. Матричный аналог этого равенства выглядит следующим образом:
ΛΦΦA , (1.5)
где Λ - диагональная матрица n – го порядка на главной диагонали кото-
рой расположены собственные числа. n21
......Φ матрица, составлен-
ная из собственных векторов, записанных по столбцам. Отметим очень важное свойство собственных векторов – свойство
ортогональности: 0k
T
i при ki . В матричной форме это условие за-
писывается так: ,ρΦΦ2T где 2
ρ - диагональная матрица. Обычно нор-
мируют собственные вектора: Е2ρ , тогда условие ортогональности
примет вид:
EΦΦT , (1.6)
где Е – единичная матрица. Из (1.6) следует, что для нормированных собственных векторов
,ΦΦ1T .ΦΦ
T (1.7)
а также
.1i
T
i (1.8)
13
В результате очередной итерации по формулам (1.4) получаем
,i
fA1i
(1.9)
где 1i
- нормированный , а i
f – ненормированный вектор. Находим нор-
мирующий множитель
i
T
iff 2 (1.10)
и затем нормированный вектор
.i
/fii
(1.11)
Отсюда имеем
.fii
i
(1.12)
Сравнивая с (1.4), замечаем, что нормирующий множитель после оче-редной итерации
i = i
. (1.13)
В (1.9) –(1.13) i – номер итерации, а не номер собственного числа. С учетом (1.7) выражение (1.5) можно записать в виде:
.ΦΛΦAT (1.14)
Переходя к векторной форме записи, получим:
.
...
...000
...............
0...00
0...00
0...00
...3
2
1
3
2
1
321
T
n
T
T
T
n
n
A
После перемножения матриц в правой части, имеем:
.................21
T
nn
T
22
T
11A
n (1.15)
Обозначим
T
ii1iiAA
i . (1.16)
14
Тогда T
nn
T
221A
n...........
2,
T
nn
T
332A
n...........
3, (1.17)
…………………………………………
T
nn1nA
n,
Применим к (1.17) метод итераций и найдем старшие собственные числа и собственные векторы матриц Ai . Здесь i – номер собственной формы. Предполагаем, что правые части (1.15), (1.17) записаны в порядке убывания собственных чисел. Тогда из Ai методом итераций находится
1i
и 1i
.
Таким образом, имеем следующую схему решения полной проблемы собственных значений матрицы A: а) методом итераций из A находим
1
1 , по формулам (1.9) – (1.13)
б) по (1.16) определяем A1,
в) методом итераций из A1 находим 2
и 2
,
г) по (1.16) определяем A2, и т.д. повторяем процесс, пока не найдем все n собственных чисел.
Пример №8. Найти все собственные векторы и собственные числа матрицы
.
3746314
4668508
31504512
481216
A
Применяем, описанный выше метод итераций к матрице А. Вычисления велись на ПК в программе Excel.
Находим 1 139.658735,
474979795.0
690210499.0
534312082.0
111867156.0
1 . По формуле (1.16) вычисляем
.
5,4921790,2148334,44363-3,42072-
0,2148331,4679011,50444-2,78331-
4,44363-1,50444-5,1289113,652322
3,42072-2,78331-3,65232214,25227
1
T
1T11AA
15
Применив метод итераций к А1, находим
2 = 18,03255539,
0,36473362-
0,17889447-
0,38148064
0,83032444
2 .
По формуле (1.16) вычисляем
.
3,0932970,96177-1,9346-2,040393
0,96177-0,8908010,27381-0,10475-
1,9346-0,27381-2,5046792,05954-
2,0403930,10475-2,05954-1,819933
2
T
2212AA
Применив метод итераций к А2, находим
3 = 6,577921363, .
0,63965279
0,0907676-
0,55996851-
0,51869146
3
.
По формуле (1.16) вычисляем
.
0,4019030,57986-0,4215112,040393
0,57986-0,8366070,60815-0,204941
0,4215110,60815-0,4420750,14898-
2,0403930,2049410,14898-0,050204
3
T
3323AA
Применив метод итераций к А3, находим
4 = 1,730788224, .
30,48187961
80,69524637-
40,50538927
0,17031205-
4
.
Применив еще раз формулу (1.16), находим
.
13-5,76E13-8,37E13-6,48E13-1,35E
13-8,37E12-1,23E13-9,48E13-1,97E
13-6,48E13-9,48E13-7,3E13-1,53E
13-1,35E13-1,97E13-1,53E14-3,38E
4
T
4434AA
16
Элементы матрицы А4 , которые должны бать равны нулю, позволяют оценить точность расчетов. Как видно, погрешность имеет порядок 10-12, что очень хорошо, если учесть значения элементов матрицы А3 , имею-щие порядок 10-0. 1.4. Функции матриц Из (1.14) с учетом (1.6) следует
T2TT2ΦΛΦΦΛΦΦΛΦA
T3TT23ΦΛΦΦΛΦΦΛΦA
……………………………………………………. (1.18) Tnn
ΦΛΦA
Пусть )(f – функция , допускающая разложение в ряд Маклорена,
тогда из (1.18) следует:
.ΦΛΦAT )()( ff (1.19)
Формула (1.19) дает определение функции, аргументом которой яв-ляется матрица А. Эту функцию несложно найти, зная собственные числа матрицы f(A), а это числа )(
if . Таким образом, формула (1.19) позволяет
построить алгебру матриц на основе обычной алгебры, заменяя любые алгебраические преобразования матриц, преобразованиями собственных чисел. В частности, можно записать:
,ΦΛΦAT11
,)sin()sin( TΦΛΦA (1.20)
T.ΦΛΦA )cos()cos(
На следующих страницах приведены примеры вычисления функций матрицы А.
Пример №9: Дано: .
3746314
4668508
31504512
481216
A В предыдущем при-
мере были найдены собственные числа и собственные векторы этой мат-рицы. Составим матрицы собственных векторов и собственных чисел:
,
0,481879610,639652790,36473362-0,4749798
0,6952464-0,0907676-0,17889447-0,6902105
0,505389270,55996851-0,381480640,53431208
0,1703121-0,518691460,830324440,11186716
Φ
17
.
1,73078822000
06,5779213600
0018,03255540
000139,658735
Λ
Найти: ).(),(, AAA1 CosSin
Решение:
.)()(,)()(, TTT11ΦΛΦAΦΛΦAΦΛΦA CosCosSinSin (1.21)
Элементарно просто находим:
,
0,57777144000
00,1520237100
000,055455260
0000,00716031
1Λ
,
0,98722857000
00,290487300
000,72909625-0
0000,98991538
)(
ΛSin
.
0,15931021-000
00,9568788500
000,684411180
0000,14165994
)(
ΛCos
И затем по (1.21) выполняем перемножения, получаем
,
0,205357150,19642857-0,080357140,01339286-
0,19642857-0,285714290,19642857-0,05357142
0,080357140,19642857-0,205357140,07589286-
0,01339286-0,053571420,07589286-0,09598214
1A
,
0,47443540,07065466-0,489051840,28876041
0,07065466-0,927840370,082707770,28795385
0,489051840,082707770,519749640,3411209-
0,288760410,287953850,3411209-0,38349041-
)(
ASin
.
0,477526270,088915030,4408146-0,13080518
0,088915030,020266930,110147090,15463887-
0,4408146-0,110147090,399395750,03895747-
0,130805180,15463887-0,03895747-0,72645081
)(
ACos
Легко проверить, что EAA1 , EAA )(sin)(cos 22 .
18
2. Матрицы в статике сооружений 2.1. Матричная форма определения перемещений Для определения перемещений применяется формула Мора:
lj j
ki
ikB
dSSS, (2.1)
где i
S - единичное внутреннее усилие по направлению искомого переме-
щения; k
S - внутреннее усилие от заданной нагрузки; J
B - жесткость попе-
речного сечения для данного вида деформаций. Для вычисления интеграла (2.1) используем формулу трапеций при аппроксимации подинтегральных функций прямыми линиями, или фор-
мулу Симпсона при аппроксимации i
S линейной функцией, а k
S квадрат-
ной параболой, j
B в обоих случаях считаем постоянной на всем участке.
Рассмотрим участок длиной jl ,
жесткостью j
B , внутренние усилия
на концах эпюры j
S равны a, b и c, d
на концах эпюры k
S , и e, f в середи-
нах участков тех же эпюр. Пере-множаем эпюры Mi и Mk по правилу Верещагина:
.226
3
1
3
25.0
3
2
3
15.0
bcadbdacB
l
cdbcdaB
l
j
j
j
j
ik
.4623
2
33
25.0
3
2
35.0
bdefacB
lbae
f
B
l
cdb
cda
B
l
j
j
j
j
j
j
ik
Учитываем, что .2
dcf
lj/3 lj/3 lj/3
lj
a b
c d
Bj
d/3
2c/3
2d/3
c/3
Рис.2.1. Умножение линейных участков эпюр.
Эп.Мi
Эп.Мk
b
lj/3 lj/3 lj/3
lj
a
c d
Bj
d/3
2c/3
2d/3
c/3
e
f
lj/2
Рис.2.2. Умножение параболической и
линейной эпюр
Эп.Мi
Эп.Мk
19
Полученные формулы легко записать в матричной форме:
.SGSkj
T
i
ik (2.2)
В формуле (2.2) обозначены:
21
12
6;;
j
j
B
l
d
c
b
ajki
GSS . (2.3)
для прямолинейных участков эпюр i
S и k
S и
;
b
e
a
iS ;
d
f
c
kS
100
040
001
6j
j
B
lj
G . (2.4)
для криволинейной эпюры k
S , которая аппроксимируется квадратной пара-
болой. В тех случаях, когда эпюра внутренних усилий имеет более сложный вид, например вид ломаной линии, состоящей из прямолинейных или кри-волинейных отрезков, выделяем отдельные отрезки эпюр, закон измене-ния усилия на которых одинаков. Всё это приводит к необходимости назначать отдельные участки на эпюрах. Назначают границы участков в начале и на конце эпюры, в точках появления или исчезновения нагрузок, в точках изменения закона жесткости и в точках перелома оси стержня. На границах участков в столбец выписывают значения внутренних усилий для прямолинейных участков. На криволинейных участках между гранич-ными значениями выписывают значение в середине участка. Если значе-ния на обоих эпюрах усилий, на двух соседних, примыкающих друг к другу участках одинаковы, то они записываются один раз. При этом значения в матрице податливости G, суммируются и записываются на главной диаго-нали матрицы с тем же номером, что и номер усилия на эпюрах. Пример №10: Дано:
Рама загружена, направлен-ной вниз, равномерно рас-пределенной нагрузкой q=1 кН/м, сосредоточенной силой F=6 кН и парой сил с момен-том m=6 кНм. Найти вертикальное переме-щение точки А, горизонталь-ные перемещения точек А, B, C и D, угол поворота сечения С.
A B C
E D
q=1кН/м m=6 кНм
F=6 кН
l=6 мl=6 м
h=
6 м
Рис.2.3. К примеру №10.
2EI 2EI
EI
EI
20
Решение: Строим эпюру изгибающих моментов MF от действия заданной нагрузки
(Рис.2.4.). Для определения перемещений задаем вспомогательные единичные на-гружения F1=1, F2=1, F3=1 и m=1 и строим единичные эпюры изгибающих моментов (Рис.2.5):
.M.,M.,M.,M.4321
ЭпЭпЭпЭп .
Составляем исходные матрицы. С этой целью разбиваем раму на участки: 1-й участок – консоль ригеля рамы, 2-й участок – ригель рамы между стойками, 3-й участок – левая стойка, 4-й участок – правая стойка рамы.
Рис.2.5. Единичные эпюры изгибающих моментов (к примеру №10)
Так как на консоли эпюра моментов криволинейна, берем ординаты в трех токах, кроме ординат на концах пишем ординату в середине участка. На остальных участках выписываем только ординаты на концах участков. Составляем исходные матрицы:
11 F6
1.МЭп
12 F6
6
2.МЭп (м)
13 F
6
6
6
6
3.МЭп (м)
m=1
1
4.МЭп
30
36 36
36
Эп.МF
(кНм)
9
Рис.2.4. Эпюра изгибающих
моментов к примеру №10
21
;
0
36
0
36
30
0
36
9
0
F
M ;
0000
0600
0000
0660
1600
0666
0006
0003
0000
M .
210000000
120000000
002100000
001200000
000015.0000
00005.01000
0000005.000
000000020
000000005.0
1
EJ
G
Перемножим матрицы:
.
36
72
36
72
30
15
18
18
0
1
0
36
0
36
30
0
36
9
0
210000000
120000000
002100000
001200000
000015.0000
00005.01000
0000005.000
000000020
000000005.0
1
EJEJ
FMG
EJ
T 1F
MGM .
30
54
522
72
1
36
72
36
72
30
15
18
18
0
000010000
060666000
000606000
000006630
EJ
вертикальное перемещение точки А, и горизонтальные перемещения точек A, B, и С:
;EJ
72 3мкНверт
A
;EJ
мкН522 3 гор
С
гор
B
гор
А
22
горизонтальное перемещение точки D:
;EJ
54 3мкНгор
D
угол поворота сечения C:
.EJ
30 2мкНC
Пример №11: Дано:
балка А – Е, загру-женная направлен-ной вниз равномер-но распределенной нагрузкой q=2 кН/м и двумя сосредото-ченными силами F1=10 кН и F2 =5 кН. Жесткость балки EJ постоянная. Найти: углы поворотов се-чений А и Е и вер-тикальные пере-мещения сечений С и E. Решение: (см. Рис.2.6) Строим эпюру из-гибающих момен-тов от заданной нагрузки Эп.MF. Выбираем вспомо-гательные состоя-ния балки, загрузив ее единичными моментами mA=1,
mE=1 для определения углов поворотов, и единичными силами FC=1 и FE=1. Строим эпюры изгибающих моментов Эп.MAM, Эп.MCF, Эп.MEF и Эп.MEM.
q
J=Const
F1 F2
6 м 2 м 4 м 2 м
AB C D E
mA=1
1FC=12
FE=12
10.5
1
0.5
mE=111
0.50.25
1015
1.50
0
3 м
0
Эп.Mm
(кНм)
Эп.MAF
Эп.MCF
(м)
Эп.MEF
(м)
Эп.MEM
I II III IV
Рис.2.6. К примеру №11
I=Const
23
Формируем матрицы изгибающих моментов M и F
M и матрицу по-
датливости G. Разбиваем балку на участки I. II, III, IV. На участке I, где эпюра изгибающих моментов криволинейна, введем дополнительное сече-ние посредине. На границах участков изгибающие моменты в конце пре-дыдущего равны моментам в начале следующего на всех эпюрах, поэтому
в матрицах M и F
M записываем их один раз. Введем основную длину l0 и
основную жесткость EI0. Вычислим коэффициенты: ,0
0
lEI
EIl
j
j
j
примем
l0=2 м, EI0=EI:
,32
61
EI
EI ,12
22
EI
EI ,22
43
EI
EI .12
24
EI
EI
Формируем матрицы ,MF
,M :G
;
0
10
0
15
5.1
0
FM ;
1000
1200
0000
5.0120
25.05.015.0
0001
M .
210000
162000
026100
001500
0000120
000003
6
2
EI
G
Перемножим матрицы:
;
10
60
35
75
18
0
3
1
0
10
0
15
5.1
0
210000
162000
026100
001500
0000120
000003
3
1
EIEI
FMG
.
37
54
132
9
3
1
10
60
35
75
18
0
1105.025.00
02015.00
000210
00005.01
3
1
EIEIF
MGM
Ответ:
;3 2
EI
мкНA
;
44 2
EI
мкНE
;
мкН18 3
EI
верт
C
.
3
37 3
EI
мкНверт
E
24
2.2. Метод сил
Канонические уравнения метода сил в матричной форме имеют вид 0,ΔXδ (2.5)
где δ матрица единичных перемещений ij
- перемещение по направле-
нию неизвестного Xi от действия неизвестных Xj = 1 , Δ матрица пере-
мещений по направлению неизвестных в основной системе от заданной нагрузки:
,MGMδT .MGMΔ
0
T (2.6)
В формулах (2.6) принято 0
M матрица изгибающих моментов в основной
системе метода сил, M матрица единичных изгибающих моментов от X=1, G – матрица податливости. Из (2.5), (2.6) находим неизвестные
.MGM)MGM(ΔδX0
T1T1
(2.7)
Расчетные изгибающие моменты определяются следующим образом
X,MMM0расч
или с учетом (2.7)
.MGM)MGM(MMM0
T1T
0расч (2.8)
Несложные преобразования приводят к формулам
;MUM0расч
(2.9) G,M)MGM(MEUT1T (2.10)
где U – матрица раскрытия статической неопределимости. Для проверок расчетов выполняемых по формулам (2.6) – (2.10) вы-полняются универсальные проверки коэффициентов канонических урав-нений
;MGMS
T
S
n
kiik
1,
.1
0
T
SMGM
n
ii
После определения Mрасч выполняется деформационная проверка
0.MGMрпач
T (2.11)
В случае выполнения проверки (2.11) с точностью не хуже 3% строим эпюру Q, используя дифференциальные зависимости при изгибе
;dz
dMQ
расч
что для случаев действия на участки рамы равномерно распределенной нагрузки интенсивности q приводит к простой формуле
,2
уч
левправуч
прав
левl
MMlqQ
(2.12)
где прав
левQ - значения перерезывающей силы на левом и на правом концах
25
участка, lуч- длина участка, Мправ, Млев изгибающие моменты на правом и ле-вом концах участка. После построения эпюры Qрасч вырезаем жесткие узлы рамы, показы-ваем внутренние и внешние силы, действующие на них, из уравнений равновесия узлов определяем нормальные силы на участках рамы, при-мыкающих к рассматриваемому узлу. Пример №12. Построить эпюры изгибающих моментов, перерезыва-ющих и нормальных сил для рамы, показанной на Рис.2.7. Количество не-известных n=3k-ш=3*2-4=2. Выбираем основную систему, отбросив две лишних связи, заменив их действие неизвестными X1, X2 (Рис.2.8).
q=2кН/м
F=8кН
m=6кНм
2EI
6 м 6 м
6 м
2EI
EI
EI
Рис.2.7. К примеру №12
X1
X2
Рис.2.8. Основная система
с лишними неизвестными
q=2кН/м
F=8кН
m=6кНм
EJ EJ
2EJ 2EJ
1512
66
18
18
Эп.MF
(кНм)
X1=1
6 6
6 6
Эп.M1 (м)
X2=16
6
6
Эп.M2 (м)
X1=1
6 6
6 6
Эп.MS (м)
X2=1
Рис.2.9. Грузовая, единичные и суммарная единичная эпюры изгибающих моментов
26
Строим эпюру изгибающих моментов в основной системе от задан-ной нагрузки: Эп.MF , и эпюры изгибающих моментов от X1=1, X2=1: Эп.М1 и Эп.М2. Строим суммарную единичную эпюру от совместного действия
X1=X2=1 (Рис.2.9). Составляем грузовую матрицу 0
M , единичные матрицы
M , S
M и матрицу податливости G:
;
18
18
6
6
12
15
0
0
0M ;
60
66
00
60
06
06
06
00
M .
21000000
12000000
0015.00000
005.010000
00005.0000
00000200
0000005.21
00000012
6
6
EI
G
Перемножим матрицы
;
186
1812
30
60
03
012
015
06
60
66
00
60
06
06
06
00
21000000
12000000
0015.00000
005.010000
00005.0000
00000200
0000005.21
00000012
MG
.252108
1082521
EIMGMδ
T .702
5401
EI0
TMGMΔ
Универсальные проверки:
;288
1, EI
n
kiik
;
12
6
3
6
3
12
15
6
1
6
0
0
6
6
6
6
0
21000000
12000000
0015.00000
005.010000
00005.0000
00000200
0000005.21
00000012
1
EIEI
SMG
27
.288
EJ
S
T
SMGM
;162
1 EI
n
ii
.162
EI
0
T
SMGM
выполнены, так как S
T
SMGM
n
kiik
1,
, 0
T
SMGM
n
ii
1
.
Определитель .)(
51840)108108252252(
)(
1det
22 EIEIδ
Алгебраические дополнения:
;252252)1(~ 11
11 EI 108)108()1(
~ 21
12 EI , 252252)1(
~ 22
22 EI .
Обратная матрица
252108
108252
51840
EI1δ .
Неизвестные
.2875.2
1625.1
702
5401
252108
108252
51840
EI
EIΔδX
1
Расчетная эпюра изгибающих моментов
6.975
8.025
5.025 2.7
7.725
6
4.275
Эп.Мрасч (кНм)
Рис.2.10. Расчетная эпюра изгибающих моментов к примеру №12
.
275.4
7.2
6
725.7
025.5
025.8
975.6
0
2875.2
1625.1
60
66
00
60
06
06
06
00
18
18
6
6
12
15
0
0
XMMM
0расч
28
Деформационная проверка
0
0
95.9495.94
025.137025.137
275.4
7.2
6
725.7
025.5
025.8
975.6
0
1818360000
61200312156расч
TMGM .
Используя (2.12), строим расчетную эпюру перерезывающих сил. Вырезаем жесткие узлы рамы, составляем уравнения равновесия для них, из которых определяем нормальные силы в элементах рамы. Строим рас-четную эпюру нормальных сил (Рис.2.11).
1.16
1.161.16
1.16
8
4 2.292.29
Эп.Qрасч (кН)
8
8
1.16 1.161.71
1.71
Эп.Nрасч (кН)
Рис.2.11. Расчетные эпюры перерезывающих Q и нормальных N сил С помощью построенных эпюр определяем реакции в заданной раме. Изображаем раму с внешними нагрузками и опорными реакциями (Рис.2.12). Составляем уравнения равновесия полученной системы сил.
q=2кН/м m=6кНм
F=8 кН
R1=1.16
R2=2.29
H3=1.16
V3=1.71
M3=4.28
A
Рис.2.12. Нагрузки и реакции. К примеру №12
Проверка выполнена.
29
;016.116.131
HRX
;029.271.1628623
RVqFY
;002.096.4898.481229.2628.4616.1671.1362616.1
6636623331
RmMHVqRmA
%.0408.098.48/10002.0
Уравнения равновесия выполняются с высокой точностью. 2.3. Метод перемещений Канонические уравнения метода перемещений
0RZr , (2.13)
где r - единичная матрица реакций, R - матрица реакций от заданной
нагрузки, Z – матрица неизвестных перемещений.
Одним из способов получения матриц, является способ вычисления коэффи-
циентов и свободных членов уравнения (2.13) перемножением эпюр:
MGMrT ; (2.14)
.MGMR*
0
T (2.15)
В выражениях (2.14), (2.15) M - матрица единичных эпюр изгибаю-щих моментов, столбцами этой матрицы являются ординаты единичных
эпюр изгибающих моментов, построенных с помощью таблиц реакций. *
0M
- грузовая матрица изгибающих моментов в любой основной системе ме-тода сил от действия заданной нагрузки. G - матрица податливости, сфор-мированная из блоков (2.3), (2.4). Решение уравнения (2.13) имеет вид
.*
0
T
S
1
S
T
S
1MGM)MGM(RrZ
(2.16)
Расчетная матрица изгибающих моментов вычисляется по формуле
.*
0MGM)MGM(MMZMMM
T1T
00расч (2.17)
В (2.17) 0
M - грузовая матрица изгибающих моментов в основной си-
стеме метода перемещений. Для проверок расчетов выполняемых по формулам (2.14) – (2.15)
выполняются универсальные проверки коэффициентов канонических
уравнений ;MGMS
T
S
n
kiik
r1,
,1
*
0
T
SMGM
n
ii
R
где S
M - суммарная единичная матрица-столбец, в которой выписаны ор-
динаты эпюры, построенной по таблице единичных реакций. После определения Mрасч выполняется деформационная проверка
0,MGMрпач
*T (2.18)
30
где *M - матрица единичных моментов, полученная в любой основной си-
стеме метода сил. В случае выполнения проверки (2.18) с точностью не хуже 3% строим эпюру Q, используя дифференциальные зависимости при изгибе
;dz
dMQ
расч
что для случаев действия на участки рамы равномерно распределенной нагрузки интенсивности q приводит к простой формуле
,2
уч
левправуч
прав
левl
MMlqQ
(2.19)
где прав
левQ - значения перерезывающей силы на левом и на правом концах
участка, lуч- длина участка, Мправ, Млев изгибающие моменты на правом и ле-
вом концах участка. После построения эпюры Qрасч вырезаем жесткие узлы рамы, показы-ваем внутренние и внешние силы, действующие на них, из уравнений равновесия узлов определяем нормальные силы на участках рамы, при-мыкающих к рассматриваемому узлу.
Пример №13. Построить эпюры изгибающих моментов, перерезы-вающих и нормальных сил для рамы, изображенной на Рис.2.14.
Степень кинематической неопределимости рамы n = nу + nл = 1+1=2.
q=2кН/м m=6кНм
F=2кН
EI=Const
6 м 6 м
6 м
Рис.2.14. К примеру №13
Z1
Z2
Рис.2.15. Основная система.
Основная система с неизвестными Z1 и Z2 изображена на Рис.2.15. Строим эпюры изгибающих моментов от заданной нагрузки в основ-
ной системе метода перемещений (Рис.2.16) и в основной системе метода сил (Рис.2.17)
31
36
6
42
6
30
9
Рис.7.4. Эпюра M*0
9
4.5 6
3
Рис.7.3. Эпюра M0 Используя таблицы реакций, строим единичные эпюры изгибающих
моментов (Рис.2.18, 2.19) и суммарную единичную эпюру (Рис.2.20).
Рис.7.6. Эпюра М2.
Z2=1
i
i
Z1=1
Рис.7.5. Эпюра М1.
3i
4i
3i
2i
Z1=1
Рис.7.7. Эпюра МS.
3i
5i
3i
3i
Z2=1
На Рис.2.18 – 2.20 L
EIi . Формируем матрицы
0M , *
0M , M , SM :
;
0
0
6
3
9
5.4
0
0
M
;
30
42
6
6
36
9
0
*
0M
;
i2i
i-4i-
00
03i-
03i
0i5.1
00
M
;
3
5
0
3
3
5.1
0
i
i
i
i
i
SM
Рис.2.16. Эпюра М0 Рис.2.16. Эпюра М0 Рис.2.17. Эпюра М*0
Рис.2.18. Эпюра М1
Рис.2.19. Эпюра М2
Рис.2.20. Эпюра Мs
32
.
2100000
1200000
0021000
0012000
0000100
0000040
0000001
6
1
i
G
Перемножим матрицы
;
10
1-6
03
06
03
06
00
6
1
i2i
i-4i-
00
03i-
03i
0i5.1
00
2100000
1200000
0021000
0012000
0000100
0000040
0000001
6
1
i
MG
;26
660
6
2
4
00
03
03
05.1
00
1100000
0636360
6
1
i
ii
ii
i
i
i
MGMrT
.2
6
30
42
6
6
36
9
0
1100000
0636360
6
1
*
0
TMGMR
Выполним универсальную проверку найденных коэффициентов:
33
;
1
7
3
6
3
6
0
6
1
3
5
0
3
3
5.1
0
2100000
1200000
0021000
0012000
0000100
0000040
0000001
6
1
i
i
i
i
i
iS
MG ;3
37i
S
T
SMGM .
3
37ir
ik
;8
30
42
6
6
36
9
0
17363606
1
*
0
T
SMGM .8
iR
Проверки единичных и грузовых коэффициентов выполняются, так
как ;ik
rS
T
SMGM .
iR*
0
T
SMGM
Обратная матрица единичных коэффициентов:
.606
62
14
1
i
1r
Вектор неизвестных:
.6
01
84
0
14
1
2
6
606
62
14
1
iiiRrZ
1
Расчетная эпюра изгибающих моментов:
.
6
6
6
3
9
5.4
0
6
01
i2i
i-4i-
00
03i-
03i
0i5.1
00
0
0
6
3
9
5.4
0
i
ZMMM0расч
Для выполнения деформационной проверки построим единичные эпюры изгибающих моментов в основной системе метода сил (Рис.2.21)
34
Рис.7.8. Эпюры М1*, М2*, от Х1=Х2=1 в основной системе метода сил.
X1=1 X2=16
6
6 6
6
6
Формируем матрицу *M , перемножаем матрицы:
;
66
66
00
60
06
03
00
*M ;
6
6
9
0
9
18
0
6
1
6
6
6
3
9
5.4
0
.
2100000
1200000
0021000
0012000
0000100
0000040
0000001
6
1
ii
расчMG
.0
0
66
1515
6
6
9
0
9
18
0
1101000
110015.001
iрасч
T*MGM
Погрешность расчета %.3%0 Строим расчетную эпюру изгибающих моментов
9
4.5 6
3
Рис.7.9. Эпюра Mрасч (кНм)
6
6
Рис.2.21. Эпюры М*1, М*2 от X1=X2=1 в основной системе метода сил
Рис.2.22. Эпюра Мрасч (кНм)
35
Используя (2.19), построим расчетную эпюру перерезывающих сил. Вырезаем жесткий узел рамы, составляем уравнения равновесия для не-го, из которых определяем нормальные силы в элементах рамы. Строим расчетную эпюру нормальных сил. Эпюры Qрасч и Nрасч показаны на Рис.2.23, 2.24.
Рис.7.10. Эпюра Qрасч (кН)
1.51.54.5
7.5
2
2
2 2
9
9
Рис.7.11. Эпюра Nрасч (кН) Используя эпюры внутренних усилий, находим реакции опорных свя-зей рамы. Выполняем статическую проверку, составив уравнения равно-весия:
q=2кН/м m=6кНм
F=2кН
R1=4.5кН R3=1.5кН
V2=9кН
H2=2кН
M2=6кНм
Рис.7.12. Реакции опор рамы.
k
0222
HFX ;
;05.19625.46321
RVqRY
.0484865.1666236265.4
663663221
RmMHqRmk
Проверка выполнена точно.
Рис.2.22. Эпюра Qрасч (кНм) Рис.2.22. Эпюра Qрасч (кНм) Рис.2.24. Эпюра Nрасч (кН)
Рис.2.22. Эпюра Qрасч (кНм) Рис.2.23. Эпюра Qрасч (кН)
Рис.2.25. Реакции опор рамы
36
3. Матрицы в теории устойчивости сооружений. Определение критических сил в рамах методом А.Ф.Смирнова.
Рассмотрим определение перемещений по формуле Мора в матрич-
ной форме в случае узлового нагружения рам сосредоточенными силами. Деформации такой рамы после потери устойчивости показаны на Рис.3.1:
P1 P2 P3
iP
Рис.8.1. Схема потери
устойчивости рамы
.pip
MGM*
i (3.1)
В формуле (3.1) j
M изгибающий момент от единичной силы,
направленной также как определяемое перемещение. G* – матрица по-датливости системы, вид которой рассмотрим позже. MP – матрица изги-бающих моментов от заданной нагрузки. При узловой передаче внешней нагрузки изгибающие моменты в элементах рамы будут выражены через параметр нагрузки и поперечные перемещения:
,ΔHUMUMp0P
ρ (3.2)
где - критический параметр, U – матрица раскрытия статической неопре-
делимости (2.10), Н – некоторая числовая матрица, Δ - вектор попереч-
ных перемещений точек рамы. После подстановки (3.2) в (3.1) получим выражение:
.ΔHUρGM*
i
ip
Выбрав в качестве точек «i» те же точки, что при построении мат-рицы Δ , окончательно получаем:
ΔHUGMρΔ* , (3.3)
где U - матрица раскрытия статической неопределимости (2.10):
GM)MGM(MEUT1T .
В формуле M - матрица изгибающих моментов от единичных зна-чений неизвестных Хi = 1 метода сил. G – матрица податливости, со-
стоящая из блоков .21
12
6
j
j
EJ
lj
G
Рис.3.1. Схема потери устойчивости рамы
37
В формуле (3.3) M - матрица изгибающих моментов от единичных сил, прикладываемых по направлению определяемых перемещений сис-темы.
Обозначим
H;UGMC* .
1
(3.4)
Подставим (3.4) в (3.3), получим Δ.ΔC (3.5)
Формула (3.5) показывает, что и Δ есть собственное значение и собственный вектор матрицы С.
Рассмотрим формирование матрицы податливости G*. Матрица по-
датливости всей системы формируется из матриц податливости отдель-ных участков и имеет следующую структуру
Gk – блок матрицы на k-ом участке. Вид матрицы Gk зависит от типа участка (какую деформацию он испытывает).
1)Участок, испытывающий только изгиб
Lк
Вк
G=
kk
kk
k
k
B
l
B
l
168
816
4821
12
60
0 , (3.6)
где : l0-длина любого участка ,принятого за основной, B0-жесткость любого участка ,принятого за основную.
k
k
kBl
Bl
0
0 ;
Рис.8.2. Матрица податливости
системы при ее расчете на
устойчивость.
G*=
G1
G2
Gk
….
Рис.3.2. Матрица податливости системы при ее расчете
на устойчивость
38
2)Участки, испытывающие деформацию сжатие с изгибом. Для та-кого участка вид матрицы Gk зависит от того на сколько панелей разбита его длина. а) Длина участка разбита на две панели:
kl -длина участка, il -длина панели
10
0
1Bl
Bli ; `
20
0
2Bl
Bli
.
14122
26)(2026
21214
48222
122121
111
0
0
B
lk
G (3.7)
б) Длина участка разбита на три панели:
10
0
1Bl
Bli ;
20
0
2Bl
Bli ;
30
0
3Bl
Bli
333
2323322
2122121
111
0
0
141220
6172029
2917206
021214
48
B
lk
G . (3.8)
в) Длина участка разбита на четыре и более панелей:
В этом случае общая длина сжато-изогнутого элемента компонуется из под-участков с двумя или тремя панелями.
В2В1
Li Li
Lк
В1 В2 В3
Li Li Li
Lк
a a b b
L1 L2
Lк
39
Соответственно компонуется матрица податливости (Рис.3.3).
Формирование матрицы H. Матрица H-числовая матрица размером (μ×m), преобразующая вектор
перемещений у в эпюру моментов грузового состояния.
уPHM0 ;
Для построения матрицы H необходимо определить изгибающие мо-менты во всех расчетных сечениях основной системы от узловых нагру-зок и построить эпюру М0
1
у12
3
Р аР
у24
5
6
7
у3
у4
у2
у1у3
у4
у2
Р аР
М2
М1
М3 М4
М5
М6
М7Эп. М0
Рис.3.4. Схема для построения матрицы H
Эпюра М0 строится со стороны растянутых волокон с учетом деформиро-ванного состояния системы.
21PyM , )(
122yyPM , 0
3M , 0
4M , )(
325yyPM ,
)(426
yyPM , 27
PyM
Gk
Gk+1
Рис.8.3. Схема объединения
соседних участков
Рис.3.3. Схема объединения соседних участков
40
.
000
00
00
0000
0000
0011
0010
4
3
2
1
y
y
y
y
0M
В матрицу H вписываются коэффициенты при перемещениях из каж-
дого уравнения. Пример №14. Найти критическую нагрузку для рамы, показанной на
Рис.3.5.
2F F
Рис.3.6. Форма потери
устойчивости рамы. Рис.3.5. К примеру №14
Для составления матрицы податливости разобьем раму на участки. На Рис.3.5. показаны сечения на границах участков. Коэффициенты, вхо-дящие в блоки матриц податливости G и G*, приведены ниже:
EIEIo
1
2
2 ; 9
2
2921
EI
EI ; 5.1
2
25.143
EI
EI ;
122
22765
EI
EI ; 5.1
2
25.198
EI
EI ; 1
22
22121110
EI
EI .
Матрица податливости G участвует в вычислениях матрицы U:
EJ EJ
2EJ2EJ
2F F
9 м 9 м
6 м
3 м
1 2 3 4
5
6
7
8
9
10
1112
13
14
15
16
1.5
1.5
2
2
2
41
16800000000000000
83280000000000000
08328000000000000
008401200000000000
0001248120000000000
000012240000000000
00000016800000000
00000083280000000
00000008328000000
000000008401200000
0000000001248120000
000000000012240000
0000000000001447200
0000000000007214400
0000000000000014472
0000000000000072144
48
1
EIG
Матрицу податливости G* формируем, используя (3.6) – (3.8)
141220000000000000
53771000000000000
17375000000000000
0212351830000000000
00066060000000000
000318210000000000
000000141220000000
00000053771000000
00000017375000000
0000000212351830000
00000000066060000
000000000318210000
0000000000001447200
0000000000007214400
0000000000000014472
0000000000000072144
48
1
EI
*G
Выберем основную систему и построим единичные эпюры М1 и М2
42
1
1
1
1 1
1
1
1m=1 m=1
Рис.3.7. Эпюра М2. Рис.3.8. Эпюра М1.
Составим матрицу TM :
048121518048121518181800
048121518048121518180180
18
1TM ;
По формуле (2.10) вычисляем матрицу U. Для составления матрицы Н покажем основную систему в деформи-рованном состоянии и вычислим изгибающие моменты в сечениях рамы
2F F
2F F
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2F1/9
2F1/9
Рис.3.9. Основная система в деформированном состоянии
104 3 FM ;
18
152 1206 FM ;
9
62 1307 FM ;
9
42 1408 FM ;
9
22 1509 FM ; 1011 3 FM ;
18
152 16012 FM ;
9
62 17013 FM ;
9
42 18014 FM ;
9
22 19015 FM .
001601005030201 MMMMMM
Формируем матрицу
ΔHFM0
,
где
43
000000000
2222444444.0888889.033333.166667.12
2444888889.0777778.166667.233333.34
2466333333.1666667.2456
2465.7666667.1333333.3525.65.7
2465.72465.79
000000000
000017284.012346.0074074.0037037.00
000012346.024691.0148148.0074074.00
0000074074.0148148.022222.011111.00
0000037037.0074074.011111.013888.00
000000000
2465.72465.79
000000000
000000000
000000000
M
Строим единичные эпюры для определения перемещений (Рис.3.10).
Формируем матрицу M :
000000000
1000000044444.0
0100000088889.0
0010000033333.1
0001000066667.1
000000003
000000000
0000200044444.0
0000020088889.0
0000002033333.1
0000000266667.1
000000000
000000003
000000000
000000000
000000000
H
44
F=1
7.5
0.13888...0.11111...
0.074074...
0.037037...
6.255
3.33333...
1.66666...
F=1
6
0.11111...
0.22222...
0.148148...
0.074074...
54
2.66666...
1.33333...
F=1
4
0.074074...
0.148148...
0.24691
0.12346...
3.33333...
2.66666...
1.77777...
0.88888...
F=1
2
0.037037...
0.074074...
0.12346
0.17284
1.66666...1.33333...
0.88888...
0.44444...
F=1
7.5
9
6
4
2
F=1 7.5
7.5
6
4
2
F=16
6
6
4
2
F=1
4
4
4
4
2
F=1
2
2
2
2
2
9
7.5
6
4
2
7.5
6
4
2
Рис.8.5. Единичные эпюры для
определения перемещений
Рис.3.10. Единичные эпюры для определения перемещений
45
Перемножаем матрицы по формуле (3.4), получаем
41.7083.8476.3257.11517.2735.5447.10286.15210.268
27.6753.15619.6062.23347.5393.10661.20175.30055.532
00.5101.15695.9865.35699.7798.15510.29471.43872.789
06.4311.14048.7394.42889.9378.18704.35412.52879.976
42.883.2899.1084.9439.3767.5988.9343.13757.251
78.1657.5779.2140.18943.5842.11658.18842.27554.503
05.2510.8622.3242.28356.7613.15779.28150.41432.756
11.3123.10751.3914.35310.9121.18408.34138.51406.948
97.3694.12703.4671.42106.10612.21233.39958.59650.1139
C .
Методом итераций находим старшее собственное число и собствен-
ный вектор этой матрицы:
2533 ; 133.0260.0374.0443.0111.0222.0331.0411.0487.0T ;
;48
F
EI
8.52
EIF
кр .
Для оценки точности расчета выберем другую основную систему, по-строим единичные эпюры от неизвестных метода сил
1
1
1
11
m=1m=1
Рис.3.11. Эпюра М2 Рис.3.12. Эпюра М1.
Составим матрицу M :
048121518048121518180180
000000000000018180
18
1TM .
По формуле (2.10) вычисляем матрицу U, используя прежнюю матрицу G.
46
Для составления матрицы Н покажем основную систему в деформи-рованном состоянии и вычислим изгибающие моменты в сечениях рамы
2F F
2F F
F1/9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Рис.3.13. Основная система №2 в деформированном состоянии
1023 FM ;
1053 FM ;
12066
52FM ;
13079
62FM ;
14089
42FM ;
15099
22FM ;
18
1516012
FM ;
9
617013
FM ;
9
418014
FM ;
9
219015
FM .
0016011040301 MMMMM
Формируем матрицу ΔHFM
0 ,
000000000
1000000022222.0
0100000044444.0
0010000066667.0
0001000083333.0
000000000
000000000
0000200022222.0
0000020044444.0
0000002066667.0
0000000283333.0
000000003
000000000
000000000
000000003
000000000
H
47
Строим единичные эпюры для определения перемещений (Рис.3.14).
F=1 7.56
4
2
9
9
F=17.5
7.5
6
4
2
7.5
F=1 6
6
6
4
2
6
2
F=1
2
2
2
2
2
F=1
4
4
4
4
2
4
F=1
7.5
0.13888...
0.11111...
0.074074...
0.037037...
6.25
5
7.5
3.33333...
1.66666...
F=1
6
0.11111...
0.22222...
0.148148...
0.074074...
5
4
6
1.33333...
2.66666...
F=1
4
0.074074...
0.148148...
0.24691
0.12346...
3.33333...2.66666...
1.77777...
0.88888...
4
F=1
2
0.037037...0.074074...
0.12346
0.17284
1.66666...
1.33333...
2
0.88888...
0.44444...
Рис.8.8. Единичные эпюры для
определения перемещений (2-й
вариант основной системы).
Рис3.14. Единичные эпюры для определения перемещений (2-й ва-риант основной системы)
48
Формируем матрицу M :
000000000
17284.012346.0074074.0037037.000000
12346.024691.014815.0074074.000000
074074.014815.022222.011111.000000
037037.0074074.011111.013888.000000
000000000
000000000
44444.088889.033333.166667.122222
88889.077778.166667.233333.324444
33333.166667.24524666
66667.133333.3525.62465.75.7
2465.72465.79
000000000
000000000
2465.72465.79
000000000
M
Перемножаем матрицы по формуле (3.4), находим
5.164.255.381.563.216.668.388.2149.234
7.243.494.776.1125.420.1333.771.4293.469
6.311.658.1155.1695.630.1990.1153.6420.703
2.373.759.1380.2100.790.2483.1426.8006.877
4.117.228.429.633.1456.1784.823.2563.218
3.225.449.832.1255.1430.3311.1725.5173.440
3.326.648.1216.1814.1158.3385.2487.7886.669
6.381.774.1459.2169.1028.3132.2102.9529.860
0.439.850.1627.2411.941.2969.1676.9565.1049
C
Методом итераций определяем старшее собственное число и собст-
венный вектор этой матрицы: 2628 ;
109.0218.0326.0405.0139.0270.0384.0447.0481.0T ;
;48
F
EJ
8.54
EJF
кр .
Отличие от предыдущего значения составляет 3.65%, что показывает достаточно хорошую точность расчета.
49
4. Матрицы в динамике сооружений
4.1. Динамический расчет систем со многими степенями свободы 4.1.1. Произвольная нагрузка
Решение задач динамики стержневых систем с конечным числом степе-ней свободы сводится к решению матричного уравнения:
(t)PvmvК , (4.1)
в котором К – матрица жесткости системы, m – матрица масс, Решение уравнения (4.1) будем искать в виде разложения:
(t)(t) aΦv , (4.2)
где Φ – некоторая квадратная матрица, )(ta
- вектор коэффициентов,
зависящих от времени.
После подстановки (4.2) в (4.1), умножения на ТΦ слева получаем
(t)PΦ(t)aΦmΦ(t)aΦKΦTTT
(4.3)
Обозначим ΦmΨ
0.5 (4.4) получим
(t).)((t)(t) PΨmaΨΨaΨmK)(mΨT0.5T0.5Т0.5T
Обозначим 0.5Т0.5
mmKmK
)( , тогда
(t))((t)(t) PΨmaΨΨaΨKΨT0.5T
m
T
. (4.5)
В качестве матрицы Ψ выберем матрицу нормированных собственных векторов матрицы Km. Тогда
Λ,ΨKΨm
T (4.6) Λ- матрица собственных значений матрицы Km,
EΨΨT , (4.7) Е – единичная матрица.
После подстановки (4.6) и (4.7) в (4.5) получаем векторное равенство:
,baΛa (t)(t)(t) (4.8) (t))((t) PΨmb
T0.5 . (4.9)
Из обыкновенных неоднородных дифференциальных уравнений (4.8) находим коэффициенты )(ta и согласно (4.2) решение поставленной за-
дачи:
(t)(t)(t) aΨmaΦv0.5
. (4.10)
Уравнение (4.8) представляет собой систему независимых линейных дифференциальных уравнений второго порядка:
),()()( 2 tbtaptaiiii
(4.11)
где i
p - собственная частота i–й формы колебаний. Для получения ре-
шения уравнения (4.11) при действии на систему произвольной нагрузки
)(tP достаточно знать импульсную переходную функцию (ИПФ), которая
50
представляет собой решение этого уравнения при )()( ttb , )(t – дель-
та-функция Дирака.
)()()(2
ttkptkiii
(4.12)
Решение уравнения (4.12) хорошо известно:
i
i
ip
t)(ptk
sin)( , (4.13)
тогда решение (4.11) при любом b(t), действующем при t > 0, имеет вид
t
i
i
i
idb
p
tpta
0
)()(sin
)(
,
или с учетом (4.9)
t
i
i
id
p
tpta
0
)()(sin
)(
PmψT
T
i
и в матричной форме
t
0
TT
iPmΨKa dτ(ττ)(t(t) )
.
Примем PP
T(t)t)( , тогда, обозначив
t
iidttTtkt
0
))()()( , (4.14)
PmΨΛaT
T
(t)(t)
. (4.15)
)(tΛ - диагональная матрица, элементами которой являются функции
(4.14). Из (4.10) определяем динамические перемещения
PmHmPmΨΛΨmvT
i
1TT
1
))(()(1
tti
n
, (4.16)
где T
iiiψψH - (4.17)
парциальная матрица. Формулы, полученные в этом разделе, относятся к случаю отсутствия диссипативных сил. В таких системах после исчезновения возмущающих нагрузок механическая энергия остается постоянной, вследствие чего ко-лебания с течением времени не затухают. Для учета диссипативных сил в уравнение движения (4.1) необходимо ввести дополнительное слагаемое, учитывающее силы неупругого сопро-тивления движению. Из-за многообразия сил сопротивления (внешнего трения сухого и вязкого, внутреннего трения в материале и т.п.), и пред-ставления их различными моделями неупругого сопротивления (ли-нейными и нелинейными, зависящими и независящими от частоты или амплитуды и т.д.) колебаний, невозможно однозначно ввести диссипатив-ное слагаемое в (4.1).
51
В настоящее время нормативными документами рекомендуется ис-пользовать физически реализуемые модели сопротивления. К этим мо-делям относятся: скорректированная модель Фохта (вязкого трения) и час-тотно-независимая модель внутреннего трения. Эти модели допускают разложение линейных операторов диссипативных сил по формам операторов упругих сил, в результате поиска решения (4.1) в виде такого разложения (4.10) приходим к решению системы неза-висимых линейных уравнений относительно коэффициентов a(t). Для решения динамической задачи при любом воздействии на систему достаточно получить импульсную переходную функцию для уравнения ти-па (4.11). Не приводя выкладок для разных моделей внутреннего сопротивления, запишем результат, используемый в инженерной практике:
i
i
iip
tptptk
)sin()
2exp()(
*
. (4.18)
Решение задачи представлено формулой (4.16), в которой вместо (4.13) используется импульсная переходная функция (4.18). 4.1.2. Гармоническая нагрузка
Рассмотрим колебания системы при действии на неё гармонической
нагрузки: ),sin()(0
tt PP )cos()(0
tt PP или )exp()(0
tit PP .
Функция нагрузки )sin()( ttf , )cos()( ttf или )exp()( titf . Ис-
пользуя формулы Эйлера:
i
xiixix
2
)exp()exp()sin(
,
2
)exp()exp()cos(
xiixix
,
достаточно рассмотреть случай )exp()(0
tit PP .
Для диссипативной системы уравнение движения системы с моде-лью внутреннего трения по скорректированному Фохту имеет вид:
(t)PvKvΓvm , (4.19)
где Γ - диссипативная матрица.
Подставив в (4.19) )exp( ti0
v(t)v , )exp()(0
tit PP , после со-
кращения на )exp( ti , получим:
0000
2PvKvΓvm i . (4.20)
Решение уравнения (4.20) ищем в виде разложения по собственным формам Φ матриц K , m:
00aΦv . (4.21)
После подстановки (4.21) в (4.20), умножения полученного на TΦ сле-
ва, с учетом выражений, определяющих собственные значения и соб-ственные векторы:
52
2TpKΦΦ , EmΦΦ
T , γpГΦΦT (4.22)
получаем 0
2bapaγpa
0
2
00 i , (4.23)
где 0
TPΦb
0. (4.24)
Система дифференциальных уравнений (4.23) в силу диагонально-сти матриц γp , , представляет собой систему независимых уравнений:
jjjjjjjbapapγiωaω
00
2
00
2 ,
из которых находим jjj
ba0
*
0)( ,
где 0
T
jP
jb
0, ))(exp()(
1)(
22
*
jj
jj
j iAppi
, (4.25)
)(* l
- передаточная функция, )(jA - амплитудно-частотные характери-
стики (АЧХ), )(j
- фазово-частотные характеристики (ФЧХ) для j-й фор-
мы: 22222 )1(
1)(
jjj
j
pA
, )
1()(
2
j
j
j arctg
,
j
jp
. (4.26)
После подстановки в (4.21) найденных выражений получим
0
T*
0PΦΦΦv )( ,
или 00 PDv )( , (4.27)
где 1/2
m
1/2mDmD
)()( (4.28)
- гармоническая матрица податливости,
n
jjj
1
* )()()( HΨΦΨDT*
m , (4.29)
ΦmΨ , TΨΨH jjj - парциальная матрица, )(*
j - передаточные
функции. Для консервативных систем передаточные функции величины действи-тельные, поэтому амплитуды
0v (4.27) величины действительные. Для дис-
сипативных систем передаточные функции (4.25) величины комплексные и )Im()Re( 000 vvv i - величина комплексная, )Re(
0v - действительная часть
0v , )Im( 0v - мнимая часть 0
v . Действительную амплитуду находим по фор-
муле: )Im(Re(22
00o vvv .
Для систем с редким спектром частот упростим вычисление амплитуд колебаний. При kp амплитудно-частотная характеристика (АЧХ)
2
1)(
k
kp
A
, 2
)(
k , 22
1)(
kj
jpp
A
, ,0)( j ; т.е. при 1
)(kA >> )(jA , 0
1/2
k
1/2
0 PmHmv
2
1
kp. (4.30)
53
Такие значения амплитуд принимаем для любых резонансных зон
kk pp 2.0 .
При других значениях
0
1/2
j
1/2
0 PmHmv
n
j jp122
1
. (4.31)
4.2. Определение внутренних усилий Внутренние усилия можно определить от действия на каждую массу
системы сил упругости: )()( tt vKF .
Силы упругости согласно уравнению движения (4.19)
)()()()( tttt RvmPF . (4.32)
Внутренние усилия определим по формуле
)()()( tttрасч vKLFLS SS , (4.33)
где SL - матрица влияния внутренних усилий:
S0
T
S0S
T
S LUGULLGLD , S0S LUL ,
SL - матрица влияния внутренних усилий, 0SL - матрица влияния внутрен-
них усилий, построенная в основной системе метода сил, U- матрица рас-крытия статической неопределимости (2.10). 4.3.1 Внутренние усилия при произвольном возмущении
При произвольной нагрузке )()( tft 0
PP перемещения определяются
по (4.16), тогда
0
1)()()( PmΨΛΨmPDv/2T1/2
0 ttt ,
матрица жесткости mΨpΨmmKmKT2
m , (4.34)
где 2p - диагональная матриц квадратов собственных частот (собственных
значений матрицы Km). После подстановки выражений для K и )(tv в (4.33) получим
0
1T2
SS PmΨΛpΨmLFLS
)()()( tttрасч , (4.35)
или 0
1n
1jjSрасч
PmHmLS
(t)λp(t)jj
2 , (4.36)
где
t
jjdftkt )()()( ; )sin()
2exp(
1)(
1
1
tptpp
tkjj
j
j
; (4.37)
41
2
1
jj
pp .
54
4.3.2 Внутренние усилия при гармонической нагрузке
При гармонической нагрузке )exp()( tit 0
PP амплитуды перемеще-
ний определяются по (4.27)
0
1*
0)()( PmΨΨmPDv
/2T1/2
0 . (4.38)
Амплитуды сил упругости 00
vKF .
Амплитуды внутренних усилий определим по формуле
000 vKLFLS SS расч .
После подстановки (4.34), (4.38) получаем
0
1T*2
S PmΨΦpΨmLS
)(0 расч , (4.39)
или 0
1
jS PmHmLS
n
jjjрасч p
1
*2
0 )( , (4.40)
где )(* j вычисляется по (4.25) для диссипативных с затуханием по
«скорректированному» Фохту систем. Для систем с редким спектром частот можно использовать формулы (4.30) и (4.31) при определении 0v , тогда
2/12
02
2
0 ))1
1()
1(( PmHmLPmHmLS
1
jS0
1
S
kj j
k
k
расч
при kk pp 2.0 , (4.41)
0
1
jS PmHmLS
n
j j
расч1
201
1
при kk pp 2.0 , (4.42)
где j
jp
.
55
4.3. Примеры динамического расчета конструкций
Рассмотрим применение полученных формул для расчета стержневых систем. Уравнение движения системы с конечным числом степеней свобо-ды имеет вид (4.19)
(t)PvKvΓvm ,
где v - обобщенные перемещения. Количество обобщенных перемещений равно числу степеней свободы системы. В реальных системах количество степеней свободы бесконечно большое число. Задача инженера-расчетчика состоит в том, чтобы из бесконечно большого количества вы-брать несколько определяющих перемещений, дающих наибольший вклад в результаты расчета, и принять их за обобщенные перемещения. Затем необходимо составить матрицу жесткости K или матрицу податливости D. Какую из этих матриц составлять определяют по характеру задачи. Дисси-пативную матрицу Г составляют в тех случаях, когда в системе присут-ствуют специальные демпферы, либо поглощение энергии при колебаниях определяется внешними факторами. Если поглощение энергии происхо-дит вследствие внутреннего трения в материале конструкции можно обой-тись без определения этой матрицы. Матрицу масс m составляют либо диагональной, заменяя распределенную массу системы сосредоточенны-ми массами в узлах системы, либо матрица m не диагональная, что проис-ходит при учете распределенной массы системы.
Пример 15. Динамический расчет рамы
Для заданной рамы (рис.4.1) требуется:
1. Определить частоты и формы собственных колебаний системы. По-перечные сечения элементов рамы из двутавра №33 (осевой мо-мент инерции сечения I=9840 cm4, модуль упругости
51014.2 E МПа, сосредоточенная масса m=1000 кг).
2. Построить эпюру изгибающих моментов от действия вибрационной нагрузки )sin()(
11tPtP при частоте вынужденных колебаний
2/)( 21 pp .
3. Найти максимальный изгибающий момент от импульсного воздейст-вия скнStStS 10 ,)()(
20202
Решение: Задача выполняет чисто учебную цель. Система имеет две степени свободы, определяющих положение двух сосредоточенных масс в плоскости рамы. Матрица масс системы принята диагональной, так как распределенную массу системы не учитываем. Составим исходные мат-рицы: матрицу податливости D и матрицу масс m.
56
1. Заданная си-стема один раз ста-тически неопре-делима. Для раскры-тия статической неопределимости в жесткий узел рамы введем шарнир. Не-известный изгибаю-щий момент обозна-чим X1. Построим единичную эпюру из-гибающих моментов от X1=1. (См. Рис.4.2.)
Составим матрицы:
21000
14100
01620
00282
00024
6
5.1
EJG
.
012102
1T
M .
По (2.10) вычислим матрицу, раскрывающую статическую не-
определимость системы: GM)MGM(MEUT1T .
Вычисляем 16151228
1
EJGM
T, 3 MGMδ
T,
3
11
δ .
00000
1615122
21230244
1615122
00000
48
1GMδM
T1 ,
480000
14215122
21218244
1615362
000048
48
1U .
3 м 3 м
1.5
м1.5
м
EJ=Constm1=0.5m
m2=m
P1(t)
S2(t)
Рис.3.14. Схема рамы с двумя степенями свободы
3 м 3 м
1.5
м1
.5 м
EJ=Const X=1
1
1
0.5
0.5
Эпюра M1
Рис.3.15. Единичная эпюра изгибающих моментов от X=1
Рис.4.1. Схема рамы с двумя степенями свободы
Рис.4.2.Единичная эпюра изгибающих моментов от X=1
57
По направлению колебаний масс в основной системе прикладываем единичные силы и строим эпюры изгибающих моментов от этих сил (Рис.4.3).
3 м 3 м
1.5
м1
.5 м
EJ=Const
3 м 3 м
EJ=Const
F2=1
F1=1
1.5
0.7
5
Эпюра M01 Эпюра M02
Рис.3.16. Эпюры изгибающих моментов от Fi=1
Составим матрицу
00
10
00
02
00
4
30
M . Вычислим матрицу 0
MUM :
00
2112
624
336
00
32
1
00
10
00
02
00
4
3
480000
14215122
21218244
1615362
000048
48
1M .
Матрица податливости MGMDT и масс m системы:
.20
01
2 ,
117108
108720
256
1
00
2112
624
336
00
21000
14100
01620
00282
00024
021630
01224360
324
12
m
EJ
EJ
m
D
Вычисляем матрицу mDmDm
:
Рис.4.3.Эпюры изгибающих моментов от Fi=1
58
45703.029831.0
29831.040625.1
20
01
117108
108720
20
01
512 EJ
m
EJ
mmD .
Методом итераций находим собственные значения 1
, ортонормаль-
ный собственный вектор 1
ψ и первую парциальную матрицу 1
H матрицы
45703.029831.0
29831.040625.11А :
492214.11 ,
276903.0
9609.01ψ ,
076675.026608.0
26608.0923325.01H
Первая собственная частота системы m
EJ
m
EJp 81862.0
1
1
.
Вычисляем матрицу 112 HAA 1 :
45703.029831.0
29831.040625.12А 492214.1
076675.026608.0
26608.0923325.0=
342614.009873.0
09873.0028452.0.
Методом итераций находим
371066.02 ,
9609.0
276903.02
ψ ,
923325.026608.0
26608.007675.02
H .
Вторая собственная частота системы m
EJ
m
EJp 64163.1
2
2
.
Частота вынужденных колебаний m
EJpp 23.12/)( 210 . Амплитуды
внутренних усилий находим по формуле (4.36):
0
1
jдинPmHmL
n
jjjM
pM1
*2 )( ,
где ML M , )(* j - передаточные функции, определяемые по (4.25) (за-
тухание не учитываем т.к. jj pp 2.0 ):
22
2
*
222
1
*
1
1)( ,
1)(
pp
После подстановки значений в (4.36) получим
2
2
2
2
111
0
1
0
1
1
дин
PmHmMPmHmMМ ,
59
где j
jp
0 , 5025.181862.0
23.11 , 7493.0
64163.1
23.12 ,
7952.01
12
1
, 2802.21
12
2
Далее находим
2
11
0
1
1 PmHm= 1
1
2992.0
73423.0
02
10
01
076675.026608.0
26608.092332.0
20
017952.0 P
P
2
2
0
1
PmHm1
1=
1
1
858.0
175.0
02
10
01
923325.026608.0
26608.007675.0
20
012802.2 P
P
2
11
0
1
1 PmHm+
2
2
0
1
PmHm1
1=
11572.1
55923.0P
)11
(2
2
2
2
1
0
1
0
1
1
дин
PmHmPmHmMM
11
0
9691.0
2024.0
7376.0
0
1572.1
55923.0
00
2112
624
336
00
32
1PP
дин
M .
3 м 3 м
1.5
м1
.5 м
EJ=Const
Эпюра Mдин
0.738P1
0.202P1
0.2
02
P1
0.9
69
P1
Рис.3.17. Эпюра амплитуд динамических изгибающих
моментов Рис.4.4. Эпюра амплитуд динамических
изгибающих моментов
60
Внутренние усилия от импульсного воздействия находим по формуле (4.36):
0
1n
1jjSДин PmHmLM
(t)λp(t) jj
2 , (*)
где МLM ,
t
jj dftkt )()()( .
Учтем затухание колебаний по «скорректированной» гипотезе Фохта:
)sin()2
exp(1
)( tptpp
tk jj
j
j
,
Нагрузка на систему мгновенный импульс
)()(22
tStS , )()( ttf ,
тогда
)sin()2
exp(1
)()()()( tptpp
tkdtkt jj
j
j
t
jj
,
в котором принято, что jj pp 1 для реальных конструкционных материа-
лов. Коэффициент потерь принимаем: 025.0 для расчета на прочность
металлических конструкций.
1
002
2
SS
0P .
После подстановки этих выражений в (*) получим
0
1
1jjДин PmHmM
2
)sin()2
exp( tptppM(t) jjj
,
или
0
11
PmHmmHmM ))sin()2
exp()sin()2
exp(( 22221111Дин
tptpptptppM
0
32214.0
13392.0
21526.0
0
1
0
2
10
01
076675.026608.0
26608.0923325.0
20
01
00
2112
624
336
00
322
2
01 SS
PmHmM1
,
61
0
23241.0
22767.0
16838.0
0
1
0
2
10
01
923325.026608.0
26608.007675.0
20
01
00
2112
624
336
00
322
2
02 SS
PmHmM1
После подстановки вычисленных выражений и m
EJp 81862.01 ,
m
EJp 64163.12 .
2 )),01.4sin()0501.0exp(
0
23241.0
22767.0
16838.0
0
005.2
)2sin()025.0exp(
0
32214.0
13392.0
21526.0
0
(81862.0
1
2
tpttt
ttm
EJS
ДинM
m
EJStM
2
max
Дин)( f(t),
f(t)=(0.26371 )2sin()025.0exp( tt +0.38146 ))01.4sin()0501.0exp( tt
Рис.4.5. График изменения максимального динамического момента от действия S2=10кН*сек
max
ДинM кНмSSm
EJS 6.8121026.8126.81
1000
10984014.256.056.0
22
3
2
.
)(tf
t
62
Пример 16. Динамический расчет фермы железнодорожного моста
m m m m m m m
P(t)
Рис.4.6. Расчетная схема мостовой фермы
60о
d=6мL=8d=48м
Мостовая ферма длиной 48 м имеет 8 панелей по 6 м, угол наклона раскоса к горизонтали 60о
. Площади элементов нижнего пояса и раскосов равны А = 100 см^2, площади элементов верхнего пояса равны 2А. Матери-
ал фермы сталь 3 с модулем упругости 5101.2 E Мпа. Масса фермы mферм=49680 кг. При движении состава по мостовой ферме действует им-пульсная динамическая нагрузка, возникающая в результате прохождения рельсовых стыков колесными парами. При длине рельса 25 м на ферме может располагаться один или два рельсовых стыка. Для упрощения рас-чета примем, что рельсовый стык расположен в середине длины мостовой фермы. Таким образом, нагрузка от колес P(t) проходящего по мосту со-става приложена в середине мостовой фермы. Приведем массу фермы к нижним узлам решетки. Расчетная схема мостовой фермы приведена на Рис.3.19. Таким образом имеем систему с 7 степенями свободы, загружен-ную нагрузкой P(t), приложенной к центральной массе. Требуется найти перемещение в середине пролета и наибольшие внутренние усилия в поя-сах фермы.
Перемещения находим по формуле (4.27), (4.29) :
0j PmHmv
1
1
1
))((n
j
j t , (*)
а внутренние усилия по формуле (4.36):
0
1n
1j
jрасч PmHmL
(t)λp(t)N jjN
2 , (**)
в которых: LN – матрица влияния внутренних усилий, m = mE - матрица
масс, E- единичная матрица, Hi – парциальная матрица, TS 0 0 0 0 0 00
P -
вектор амплитуд нагрузки, 2
jp - квадрат собственной частоты.
t
iidftkt )()()( .
63
Для составления матрицы влияния внутренних усилий Lm в нижние уз-лы фермы последовательно прикладываем силы Fj=1 (см. рис.3.21), нахо-дим внутренние усилия и записываем их значения в j -й столбец.
Fj=1
Рис.4.7. Загружение фермы нагрузками Fj=1 для составления матрицы LN
60о
d=6мL=8d=48м
1 2 j 71
2
3 5
6
4
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
-1,010363 -0,86603 -0,72169 -0,57735 -0,43301 -0,28868 -0,144338
0,505181 0,433013 0,360844 0,288675 0,216506 0,144338 0,072169
1,010363 0,866025 0,721688 0,57735 0,433013 0,288675 0,144338
-1,010363 -0,86603 -0,72169 -0,57735 -0,43301 -0,28868 -0,144338
0,144338 -0,86603 -0,72169 -0,57735 -0,43301 -0,28868 -0,144338
0,938194 1,299038 1,082532 0,866025 0,649519 0,433013 0,216506
-0,144338 0,866025 0,721688 0,57735 0,433013 0,288675 0,144338
-0,866025 -1,73205 -1,44338 -1,1547 -0,86603 -0,57735 -0,288675
0,144338 0,288675 -0,72169 -0,57735 -0,43301 -0,28868 -0,144338
0,793857 1,587713 1,80422 1,443376 1,082532 0,721688 0,360844
-0,144338 -0,28868 0,721688 0,57735 0,433013 0,288675 0,144338
-0,721688 -1,44338 -2,16506 -1,73205 -1,29904 -0,86603 -0,433013
0,144338 0,288675 0,433013 -0,57735 -0,43301 -0,28868 -0,144338
0,649519 1,299038 1,948557 2,020726 1,515544 1,010363 0,505181
-0,144338 -0,28868 -0,43301 0,57735 0,433013 0,288675 0,144338
-0,577350 -1,1547 -1,73205 -2,3094 -1,73205 -1,1547 -0,577350
0,144338 0,288675 0,433013 0,57735 -0,43301 -0,28868 -0,144338
0,505181 1,010363 1,515544 2,020726 1,948557 1,299038 0,649519
-0,144338 -0,28868 -0,43301 -0,57735 0,433013 0,288675 0,144338
-0,433013 -0,86603 -1,29904 -1,73205 -2,16506 -1,44338 -0,721688
0,144338 0,288675 0,433013 0,57735 0,721688 -0,28868 -0,144338
0,360844 0,721688 1,082532 1,443376 1,80422 1,587713 0,793857
-0,144338 -0,28868 -0,43301 -0,57735 -0,72169 0,288675 0,144338
-0,288675 -0,57735 -0,86603 -1,1547 -1,44338 -1,73205 -0,866025
0,144338 0,288675 0,433013 0,57735 0,721688 0,866025 -0,144338
0,216506 0,433013 0,649519 0,866025 1,082532 1,299038 0,938194
-0,144338 -0,28868 -0,43301 -0,57735 -0,72169 -0,86603 0,144338
-0,144338 -0,28868 -0,43301 -0,57735 -0,72169 -0,86603 -1,010363
0,144338 0,288675 0,433013 0,57735 0,721688 0,866025 1,010363
0,072169 0,144338 0,216506 0,288675 0,360844 0,433013 0,505182
-0,144338 -0,28868 -0,43301 -0,57735 -0,72169 -0,86603 -1,010363
Матрица G содержит ненулевые элементы на главной диагонали, т.е.
j
gG diag , EA
dg
j - для элементов нижнего пояса и раскосов,
EA
dg
j2
-
для элементов верхнего пояса.
LN =
64
Матрицу податливости системы находим по формуле (3.40). Для стати-чески определимой фермы U = E, получаем
6,416 8,75 9,583 9,167 7,75 5,583 2,917
8,75 16 17,917 17,333 14,75 10,667 5,583
9,583 17,917 23,75 23,5 20,25 14,75 7,75
9,167 17,333 23,5 26,667 23,5 17,333 9,167
7,75 14,75 20,25 23,5 23,75 17,917 9,583
5,583 10,667 14,75 17,333 17,917 16 8,75
2,917 5,583 7,75 9,167 9,583 8,75 6,417
EA
dN
T
NGLLD ,
где d = 6 м длина панели фермы, 5101.2 E МПа, A =100 см2 – площадь се-
чения раскоса.
Методом итераций находим собственные значения j
и собственные
векторы j
ψ матрицы DmDmDm
m :
EA
md101,6
1 ,
EA
md9,812
2 ,
EA
md3,202
3 ,
EA
md1,667
4 ,
EA
md1,105
5 ,
EA
md0,8550
6 ,
EA
md0,7415
7 ,
0,1913
0,3536
0,4619
0,5
0,4619
0,3536
0,1913
1ψ ,
0,3536-
0,5-
0,3536-
0
0,3536
0,5
0,3536
2ψ ,
0,4619
0,3536
0,1913-
0,5-
0,1913-
0,3536
0,4619
3ψ ,
0,5-
0
0,5
0
0,5-
0
0,5
4ψ ,
0,4619
0,3536-
0,1913-
0,5
0,1913-
0,3536-
0,4619
5ψ ,
0,3536-
0,5
0,3536-
0
0,3536
0,5-
0,3536
6ψ ,
0,1913
0,3536-
0,4619
0,5-
0,4619
0,3536-
0,1913
7ψ .
Собственные частоты j
jp
1 :
65
md
EAp 0,0992
1 ,
md
EAp 0,3192
2 ,
md
EA0,5588p
3 ,
md
EAp 0,7746
4 ,
md
EAp 0,9512
5 ,
md
EAp 1,0815
6 ,
md
EAp 1,1613
7 .
После подстановки значений: 241012 кН/см.E , 2100смA , смd 600 , кг/mm
ферм 62108 вычисляем технические собственные частоты
2
j
j
p : 75.3
1 гц, 07.12
2 гц, 13.21
3 гц, 28.29
4 гц, 96.35
5 гц,
88.406 гц, 9.43
7 гц.
Парциальные матрицы T
jjjψψH :
H1 =
H2 =
H3 =
H4 =
0,03661 0,06765 0,08839 0,09567 0,08839 0,06765 0,03661
0,06765 0,125 0,16332 0,17678 0,16332 0,125 0,06765
0,08839 0,1633 0,21339 0,23097 0,21339 0,16332 0,08839
0,09567 0,1768 0,23097 0,25 0,23097 0,17678 0,09567
0,08839 0,1633 0,21339 0,23097 0,21339 0,16332 0,08839
0,06765 0,125 0,16332 0,17678 0,16332 0,125 0,06765
0,03661 0,06765 0,08839 0,09567 0,08839 0,06765 0,03661
0,125 0,1768 0,125 0 -0,125 -0,1768 -0,125
0,1768 0,25 0,1768 0 -0,1768 -0,25 -0,1768
0,125 0,1768 0,125 0 -0,125 -0,1768 -0,125
0 0 0 0 0 0 0
-0,125 -0,1768 -0,125 0 0,125 0,1768 0,125
-0,1768 -0,25 -0,1768 0 0,1768 0,25 0,1768
-0,125 -0,1768 -0,125 0 0,125 0,1768 0,125
0,21339 0,16332 -0,0884 -0,23097 -0,0884 0,16332 0,21339
0,16332 0,125 -0,0676 -0,17678 -0,0676 0,125 0,16332
-0,0884 -0,0676 0,03661 0,09567 0,03661 -0,0676 -0,0884
-0,231 -0,1768 0,09567 0,25 0,09567 -0,1768 -0,231
-0,0884 -0,0676 0,03661 0,09567 0,03661 -0,0676 -0,0884
0,16332 0,125 -0,0676 -0,17678 -0,0676 0,125 0,16332
0,21339 0,16332 -0,0884 -0,23097 -0,0884 0,16332 0,21339
0,25 0 -0,25 0 0,25 0 -0,25
0 0 0 0 0 0 0
-0,25 0 0,25 0 -0,25 0 0,25
0 0 0 0 0 0 0
0,25 0 -0,25 0 0,25 0 -0,25
0 0 0 0 0 0 0
-0,25 0 0,25 0 -0,25 0 0,25
66
H5 =
H6 =
H7 =
После подстановки m , Hj и 0
P получается
0,09567-
0,17678
0,23097-
0,25
0,23097-
0,17678
0,09567-
)(
0,23097
0,17678-
0,09567-
0,25
0,09567-
0,17678-
0,23097
)(
0,23097-
0,17678-
0,09567
0,25
0,09567
0,17678-
0,23097-
)(
0,09567
0,17678
0,23097
0,25
0,23097
0,17678
0,09567
)(( 7
1
75
1
53
1
31
1
1 tptptptpm
Sv .
Максимальные вертикальные перемещения получаются для узла 4
нижнего пояса ))()()()((25.0 7
1
75
1
53
1
31
1
14 tptptptpm
Sv . (А)
Наиболее напряженными являются 14 и 16 стержни поясов фермы. При статической нагрузке стержень 14 растянут, а стержень 16 сжат. Динами-ческие, нормальные усилия в этих стержнях получаются из (**) , если в матрице (t)N расч оставить 14 и 16 строки. После перемножения получается
0,21339 -0,1633 -0,0884 0,23097 -0,0884 -0,1633 0,21339
-0,1633 0,125 0,06765 -0,17678 0,06765 0,125 -0,1633
-0,0884 0,06765 0,03661 -0,09567 0,03661 0,06765 -0,0884
0,23097 -0,1768 -0,0957 0,25 -0,0957 -0,1768 0,23097
-0,0884 0,06765 0,03661 -0,09567 0,03661 0,06765 -0,0884
-0,1633 0,125 0,06765 -0,17678 0,06765 0,125 -0,1633
0,21339 -0,1633 -0,0884 0,23097 -0,0884 -0,1633 0,21339
0,125 -0,1768 0,125 0 -0,125 0,17678 -0,125
-0,1768 0,25 -0,1768 0 0,1768 -0,25 0,1768
0,125 -0,1768 0,125 0 -0,125 0,17678 -0,125
0 0 0 0 0 0 0
-0,125 0,17678 -0,125 0 0,125 -0,1768 0,125
0,1768 -0,25 0,1768 0 -0,1768 0,25 -0,1768
-0,125 0,17678 -0,125 0 0,125 -0,1768 0,125
0,03661 -0,0676 0,08839 -0,09567 0,08839 -0,0676 0,03661
-0,0676 0,125 -0,1633 0,17678 -0,1633 0,125 -0,0676
0,08839 -0,1633 0,21339 -0,23097 0,21339 -0,1633 0,08839
-0,0957 0,17678 -0,231 0,25 -0,231 0,17678 -0,0957
0,08839 -0,1633 0,21339 -0,23097 0,21339 -0,1633 0,08839
-0,0676 0,125 -0,1633 0,17678 -0,1633 0,125 -0,0676
0,03661 -0,0676 0,08839 -0,09567 0,08839 -0,0676 0,03661
67
))(0,00286)(0,03222)(0,16165)(1,824( 77553311дин14 tptptptpSN , (Б)
))(0,07502)(0,1044)(0,2338)(1,8962( 77553311дин16 tptptptpSN . (В)
Для определения закона изменения нагрузки во времени )(f примем,
что все колесные пары передают одинаковое кратковременное воздей-ствие на стык при его прохождении. Будем считать это воздействие мгно-венным импульсом, величина которого равна S. На Рис.3.20. изображены два соседних четырехосных вагона.
14 м
2.5 м 6.2 мSS S S
Рис.4.8. Сцепка двух четырехосных вагонов
стык
Направление движения
1234
2.5 м
4 3 2 1
Из этого рисунка видно, что через стык прошли четыре оси первого ва-гона и от каждой оси был передан импульс S. В составе может быть при-мерно 50 вагонов, т.е. примерно 50 раз повторится воздействие группы импульсов S от колес на осях 1 – 4. Время, через которое повторяется это воздействие равно длине вагона деленной на его скорость. Обозначим это время через t . Нагрузка, передаваемая через рельсовый стык, когда че-рез него проходит 4-я полуось n-го вагона )()( tfStP , где
1
0
321 ))()()()(()(n
j
tjtttjtttjtttjttf , (Г)
)(t - дельта функция Дирака, tt 14
5.21
- время прохождения пути равного
расстоянию между 4-й и 3-й тележками, tt 14
7.82
время прохождения
пути равного расстоянию между 4-й и 2-й тележками, tt 14
2.113
- время
прохождения пути равного расстоянию между 4-й и 1-й тележками.
По формуле (3.69) находится матрица )(tΛ , элементы которой
0
1
1
)()(sin())(exp(
)(
dftpp
tpt
j
j
j
j, 4/1 2
1
jjpp .
После подстановки в это выражение f(t) из (Г) и интегрирования полу-чается
68
)(sin()(exp(
)(3
0
1
01
1
k
n
ikj
j
kj
jtittp
p
tittpt
,
0t =0. (Д)
Упростим полученную функцию, полагая n . Рассмотрим выраже-
ния
0
)sin()exp(j
yjxj и
0
)cos()exp(j
yjxj . В книге [2] даны формулы
(1.461)
))cos()((2
)sin()sin()exp(
0 yxch
yyixi
j
,
2
1
))cos()((2
)()cos()exp(
1
yxch
xshyixi
j
,
с помощью которых, получаем из (Д):
).))cos()((2
)sin()(cos(
)2
1
))cos()((2
)(()((sin(
))(exp()(
11
1
1
11
1
1
3
01
tptpch
tpttp
tptpch
tpshttp
p
ttpt
jj
j
kj
jj
j
kjk
j
kj
j
(Е)
При 0
.
)2
)sin(2
))22(cos()
))cos(1(2
)sin()(cos(
2
1))((sin(
1)(
3
0
3
01
k j
j
kj
j
j
kj
kjk
j
j
tpp
tttp
tp
tpttp
ttpp
t
Знаменатель полученного выражения может стать равным нулю и при этом )(t
j , то есть будем иметь случай резонанса. Таким образом, ре-
зонанс наступает при )2
)sin(
tpj
= 0 или
2
tpj
, =0,1,2,… Откуда
jjp
t
2,
где j
- собственная частота в герцах, t - время прохождения поездом
расстояния равного длине вагона. Это время есть отношение длины ваго-
на к скорости поезда поезда
агL
tv
в .
69
Отсюда
jваг
поезда
Lv , (Ж)
есть скорость поезда, при которой возникают резонансные колебания фермы моста.
Формула (Е) получена для случая бесконечно длинного состава n . Используя (Е), можно получить формулу для конечного n = 50:
)*50()()(50
ttttjjj
.
Логарифмический декремент колебаний примем по [1] 07.0* , тогда
07.0
Величина импульса S зависит от типа вагонов, от скорости движения
поезда, от неподрессоренной массы вагона и др. Например, в таблице 6.10 книги [1] дано значение cHS 520 для четырехосного вагона, дви-жущегося со скоростью 53.3 км/час по мосту с пролетом 45 м. В этой же
книге приведена формула mkSпоездапоезда
)v012.01(v ,
где k – некоторый коэффициент, m- неподрессоренная масса, поезда
v - ско-
рость поезда в м/сек. Используя эту формулу и данные S=520 H*сек, vпоез-
да=53.3 км/час, находим
)v00333.01(v864.11)6.3/3.53012.01(3.53
)6.3/v012.01(v520
поездапоезда
поездапоездаS
,
где поезда
v - скорость поезда в км/час.
В нашем случае пролет фермы 48 м. Скорость движения поезда, при кото-рой возникают резонансные колебания определим по формуле (Ж) для
гц75.31 , мL
ваг14 : часкмсекм
поезда/
189/
5.5275.314v
,
В таблице 3.1 приведены значения резонансных скоростей и соответ-ствующие им импульсы для =1,2,3,4,5,6
Таблица 3.1
1 2 3 4 5 6
поездаv (км/час) 189 94.5 63 47.25 37.8 31.6
S (Н*сек) 830 768 590 472 392 335
v4max (мм) 5.7 1.1 0.77 3.2
N14 (кН) 330 180
N16 (кН) 370 190
70
По формулам (Е), (А), (Б), (В) при вычисляем v4, N14, N16. Используем программный пакет Maple10. На Рис.3.22 – 3.26 приведены графики функ-ций v4, N14, N16. В таблице 3.1 приведены максимальные значения v4, N14, N16.
vпоезда = 94.5 км/час vпоезда = 63 км/час vпоезда = 47.25 км/час vпоезда = 37.8 км/час
Рис.4.9. Перемещения узла 4 при скорости поезда vпоезда
Рис.4.10. Внутренняя сила в 14 стержне Рис.4.11. Внутренняя сила в 16 стержне
при скорости поезда vпоезда = 94.5 км/час при скорости поезда vпоезда = 94.5 км/час
Рис.4.12. Внутренняя сила в 14 стержне Рис.4.13. Внутренняя сила в 16 стержне
при скорости поезда vпоезда = 37.8 км/час при скорости поезда vпоезда = 37.8 км/час
t
t (сек)
N14 (кН)
t (сек)
N16 (кН)
v4 (м) v4 (м) v4 (м) v4 (м)
t t t
N14 (кН) N16 (кН)
71
Перемещения и внутренние усилия от статического воздействия масс m=6210кг:
стстPDv ;
стNстPLN ; Tmg 1111111
стP .
Для получения v4ст достаточно умножить четвертую строку матрицы D
на вектор ст
P . После умножения получим v4ст=22.5мм. Для получения ст
N14
и ст
N16
достаточно умножить соответственно строки 14 и 16 на вектор ст
P .
После умножения получим кНN 1588ст14 , кНN 1639
ст16 .
Динамические коэффициенты по перемещениям
при скорости поезда 37.8 км/час 14.15.22
2.31 ,
при скорости поезда 94.5 км/час 25.15.22
7.51 .
Динамические коэффициенты по внутренним усилиям
при скорости поезда 37.8 км/час 11.11588
1801
14 , 12.1
1639
1901
16 ,
при скорости поезда 94.5 км/час 21.11588
3301
14 , 23.1
1639
3701
16 .
72
5. Матрицы и метод конечных элементов
Метод конечных элементов (МКЭ) и матричные методы расчета нераз-рывно связаны. Более того, МКЭ без матриц невозможно ни излагать, ни применять.
Изложим основы метода конечных элементов для плоских стержневых систем. При определении перемещений будем учитывать только изгиба-ющие моменты, перерезывающие силы не учитываем, нормальные силы учитываем только в расчетах устойчивости сооружений и в динамических задачах.
В общем случае уравнения движения стержневой системы записываем в матричной форме
PZ)Κ(KZГZm G , (5.1)
где Z - вектор обобщенных перемещений узлов системы, P - вектор узло-вых обобщенных нагрузок, K - матрица жесткости системы, KG - матрица геометрической жесткости, Г – диссипативная матрица, m – матрица масс. При статическом расчете из (5.1) имеем
PZK . (5.2) При расчетах на устойчивость
0Z)Κ(KG
. (5.3)
Конструкция разбивается на отдельные элементы. Точки соединения элементов называются узлами. Таким образом, узлы являются границами соседних элементов. Перемещения в пределах элемента выражаются че-
рез обобщенные перемещения Z на его границах. Элементы матрицы жесткости
ijrK
ijr - обобщенная сила упругости по направлению i - го
обобщенного перемещения от j
Z = 1.
5.1. Статический расчет стержневых систем Для примера составим уравнения (5.2) для одноэтажной рамы, изобра-
женной на Рис.5.1.
P
2L
L
4EI
EI EI
Рис.5.1б. Расчетная схема одноэтажной рамы.
Z1Z2 Z3
(1)
(2)
(3)
P
2L
L
4EI
EI EI
Рис.5.1а. Одноэтажная рама.
Разделим раму на отдельные элементы. В качестве конечных элементов
73
выберем стойки и ригель рамы. Таким образом, имеем три конечных эле-мента, соединенных в узлах, в которых сходится левая стойка с ригелем и ригель соединяется с правой стойкой. В качестве обобщенных перемеще-ний принимаем горизонтальное перемещение ригеля Z1, угол поворота ле-вого узла Z2 и угол поворота правого узла Z3.
Элементы матрицы жесткости стержневого элемента (см. Рис.5.2) вы-числяются (также как единичные реакции в методе перемещений) по фор-мулам:
dxxxxEIxEI
dxxMxMr
j
L
i
Lji
ij)()()(
)(
)()(
00
, (5.4)
где )(xi
, )(xi
- функции и их вторые производные по x, интерполирую-
щие перемещения точек в пределах конечного элемента. Зададим эти функции в виде полиномов Эрмита:
32
1231)(
L
x
L
xx ;
2
3 1)(
L
xxx ;
32
2 23)(
L
x
L
xx ;
1)(
2
4L
x
L
xx .
По смыслу аппроксимирующие функции i
есть перемещения точек оси
элемента при Zi=1, Zj=0 ji .
После подстановки (5.5), в (5.4) и вычислений находим узловые силы упругости равные узловым реакциям
yiR :
4
3
2
1
44434241
34333231
24232221
14131211
4
3
2
1
Z
Z
Z
Z
rrrr
rrrr
rrrr
rrrr
R
R
R
R
у
у
у
у
; (5.6)
где
22
22
3
233
3636
323
3636
2
LLLL
LL
LLLL
LL
L
EIrij , (5.7)
матрица жесткости стержневого элемента. В развернутой форме уравнение (5.2) имеет вид
(5.5) Z1 Z3
Z4Z2
EI=Const, m=Const
L
Рис.5.2. Стержневой конечный элемент
x
(R2 ) (R4 )
(R3 )(R1 )
74
,...
.............................................
,...
,...
2211
22222121
11212111
nnnnnn
nn
nn
PZrZrZr
PZrZrZr
PZrZrZr
(5.8)
Элементы матрицы жесткости конструкции rij могут быть вычислены сложением элементов матриц жесткости стержневых элементов в опреде-ленной последовательности. Такой метод называется прямым методом жесткостей. На рис.5.3 продемонстрирован этот метод для системы, при-веденной на рис.5.1.
2L
L(3)(1)
(2)
Z1=1
r11=r11(1)
+r11(3)
r21=r21(1)
r31=r21(3)
2L
L(3)(1)
(2)r12=r12
(1)
r22=r22(1)
+r22(2)
r32=r42(2)
Z2=1
2L
L(3)(1)
(2)r13=r12
(3)
r23=r24(2)
r33=r22(3)
+r44(2)
Z3=1
Рис.5.3. Вычисление элементов матрицы жесткости системы.
а) при Z1=1, б) при Z2=1, в) при Z3=1.
а)
б)
в)
75
На рис.5.3 показана основная система метода перемещений, дело в том, что в стержневой системе коэффициенты жесткости (элементы мат-рицы жесткости) равны реакциям во введенных связях основной системы метода перемещений. То есть коэффициенты жесткости можно опреде-лять так же, как единичные реакции в методе перемещений.
Для системы изображенной на рис.5.1 по формулам на рис.5.3 и по (5.7) получим
333
)3(
11
)1(
1111
241212
L
EI
L
EI
L
EIrrr ,
2
)1(
2121
6
L
EIrr ,
2
)3(
2131
6
L
EIrr ,
2
)1(
1212
6
L
EIrr ,
L
EI
L
EI
L
EIrrr
12
2
)4(4)(4)2(
22
)1(
2222 ,
L
EI
L
EIrr
4
2
)4(2)2(
4232 ,
2
)1(
1213
6
L
EIrr ,
L
EI
L
EIrr
4
2
)4(2)2(
2423 ,
L
EI
L
EI
L
EIrrr
12
2
)4(4)(4)2(
44
)3(
2233 .
Верхние индексы в круглых скобках указывают на номер элемента, например, )(к
ijr указывает на то, что ijr вычисляется по (5.7) для k – го эле-
мента. Таким образом, матрица жесткости для системы на рис.5.1:
22
22
3
623
263
33122
LLL
LLL
LL
L
EIr
ijК . (5.9)
Вектор узловых нагрузок для той же системы:
0
0
P
P .
Решение уравнения (5.2) имеет вид
PKZ1
Обратная матрица жесткости, называется матрицей податливости
208
21
208
5
52
208
5
208
21
52
525239
2 2
L
L
LLL
EI
L1KD .
Матрица обобщенных перемещений для системы на рис.5.1:
1
13
8
52
2
L
EI
PLPDZ .
76
Внутренние силы (изгибающие моменты) вычислим по формуле:
ZMMрасч
,
где М - единичная матрица, столбцы которой есть ординаты эпюр изги-
бающих моментов от Zi = 1, i = 1,2,3.
2L
L(3)(1)
(2) Z1=1
2L
L(3)(1)
(2)
Z2=1
2L
L(3)(1)
(2)
Z3=1
Эпюра М1
Эпюра М2
Эпюра М3
r31=6EI / L2
6EI / L2
6EI / L2
6EI / L2
r33=4EI / L
8EI / L
2EI / L
4EI / L
r44=8EI / L
4EI / L
4EI / L
2EI / L
Рис.5.4. Единичные эпюры метода перемещений
77
Составим единичную матрицу, выписав в столбцы ординаты эпюр M1, M2 и M3. Положительные знаки на эпюрах принимаем для ординат отло-
женных справа или снизу. Получим единичную матрицу M :
L
EI
L
EIL
EI
L
EIL
EI
L
EIL
EI
L
EIL
EI
L
EIL
EI
L
EI
20
6
40
6
840
480
046
026
2
2
2
2
М
Вычисляем расчетную эпюру изгибающих моментов:
7
6
6
6
6
7
261
13
8
52
20
6
40
6
840
480
046
026
2
2
2
2
2
PL
L
EI
PL
L
EI
L
EIL
EI
L
EIL
EI
L
EIL
EI
L
EIL
EI
L
EIL
EI
L
EI
ZMMрасч
.
На рис.5.5 показана расчетная эпюра изгибающих моментов в раме, изображенной на рис.5.1.
2L
L
P
Эпюра Мрасч (PL/26)
6
7 7
6
6
6
Рис.5.5 Эпюра Мрасч (PL/26)
78
Пример, приведенный выше (Рис.5.1), рассчитан с помощью программы Maple10. Расчет приведен ниже: > restart;
> K:=2*EI/L^3*<<12|3*L|3*L>,<3*L|6*L^2|2*L^2>,<3*L|2*L^2|6*L^2>>;
:= K
24 EI
L3
6 EI
L2
6 EI
L2
6 EI
L2
12 EI
L
4 EI
L
6 EI
L2
4 EI
L
12 EI
L
> PP:=<<P>,<0>,<0>>;
:= PP
P
0
0
> Z:=K^(-1).PP;
:= Z
2 L3 P
39 EI
L2 P
52 EI
L2 P
52 EI
> M:=<<-6*EI/L^2|-2*EI/L|0>,<6*EI/L^2|4*EI/L|0>,<0|-8*EI/L|-
4*EI/L>,<0|4*EI/L|8*EI/L>,<-6*EI/L^2|0|-
4*EI/L>,<6*EI/L^2|0|2*EI/L>>;
:= M
6 EI
L2
2 EI
L0
6 EI
L2
4 EI
L0
0 8 EI
L
4 EI
L
04 EI
L
8 EI
L
6 EI
L20
4 EI
L
6 EI
L20
2 EI
L
> MP:=M.Z;
:= MP
7 L P
26
3 L P
13
3 L P
13
3 L P
13
3 L P
13
7 L P
26
79
5.2. Расчеты стержневых систем на устойчивость При расчетах конструкций на устойчивость используем уравнение (5.3),
в котором матрица жесткости K определяется так же, как при статическом расчете, а матрица геометрической жесткости
GK вычисляется методом
сложения жесткостей отдельных элементов. Матрица геометрической жесткости для отдельного элемента (Рис.5.6)
4
3
2
1
44434241
34333231
24232221
14131211
4
3
2
1
Z
Z
Z
Z
rrrr
rrrr
rrrr
rrrr
R
R
R
R
GGGG
GGGG
GGGG
GGGG
G
G
G
G
,
где dxxxxNrj
L
iGij)()()(
0
(5.10)
- компонент матрицы геометри-ческой жесткости сжатого конечного элемента. Функции )(x
i определены
формулами (5.5). Вычисляя по (5.10), (5.5) при ConstNxN )( , получаем
22
22
433
336336
343
336336
30
LLLL
LL
LLLL
LL
L
Nr
Gij. (5.11)
геометрическую матрицу жесткости стержневого элемента. Рассмотрим стойки с различными закреплениями концов (Рис. 5.7).
EI=
Const
L
Рис.5.7. Стойки с различными закреплениями концов
x
N
EI=
Const
L
x
N
EI=
Const
L
x
N
EI=
Const
L
x
N
EI=
Const L
x
N
a) б) в) г) д)
На Рис.5.7a изображена стойка со свободным верхним концом. На рис.5.8
Z1 Z2
Z4Z3
EI=Const, m=Const
L
Рис.5.6. Сжатый стержневой конечный элемент
x
(R3G ) (R4G )
(R2G )(R1G )
N N
80
показана расчетная схема этой стойки, принятая в виде одного конечного элемента с двумя неизвестными перемещениями свободного конца: Z1 и Z2.
Матрица жесткости для стойки вы-числяется с помощью (5.7):
23 23
362
LL
L
L
EIK .
Матрица геометрической жесткости вычисляется по (5.11):
243
336
30 LL
L
L
NG
K .
После подстановки найденных зна-чений в (5.3) получаем
0)43
336
3023
362(
3
1
223
Z
Z
LL
L
L
N
LL
L
L
EI. (5.12)
После простых преобразований (5.12) приводится к виду
0)363
34
23
36
9
4(
2
22
ZEN
L
LL
LL
L
L
EI.
В том случае, когда 0Z , необходимо чтобы детерминант матрицы, стоящей в скобках, был равен нулю. Это приводит к решению уравнения:
0636
901523
LL
L,
где EI
LN
4
9 2 , (5.13)
или, раскрывая определитель, получаем квадратное уравнение:
0)540945()6315( 2222 LLL ,
корни которого равны 59.5
1 , 4.72
2 .
Из (5.13) находим наименьшую критическую силу
2221149.2
9
459.5
9
4
L
EI
L
EI
L
EIN .
Точное значение критической силы для этой стойки
22
2
1)2(
47.2)2( L
EI
L
EIN
.
Погрешность МКЭ составила 0.81%.
На рис.5.7б изображена стойка с плавающей заделкой на верхнем кон-це. На рис.5.9 показана расчетная схема этой стойки, принятая в виде од-
Z1
Z2
EI=Const
L
Рис.5.8. Стойка со свободным концом
x
N
81
ного конечного элемента с одним неизвестным поступательным переме-щением конца: Z1.
Матрица жесткости и мат-
рица геометрической жесткости для неё вычисляется с помо-щью (5.7), (5.11) :
62
3
L
EIK ,
3630
L
NG
K
После подстановки найден-ных значений в (5.3) получаем
0)3630
62
(13 Z
L
N
L
EI.
При 01Z , 036
306
23
L
N
L
EI,
откуда 21
10L
EIN .
Точное значение критической силы для этой стойки
22
2
187.9
L
EI
L
EIN
.
Погрешность МКЭ составила 1.3%. На рис.5.7в изображена стойка со связями, препятствующими переме-
щениям и повороту концевых сечений. На рис.5.10 показана расчетная
схема этой стойки, принятая в виде двух конечных элементов с одним неизвестным поступательным пе-ремещением середины стойки: Z1.
Матрица жесткости и матрица
геометрической жесткости для неё вычисляется с помощью выраже-ний(5.7), (5.11)
12)5.0(
266
)5.0(
233
)2(
11
)1(
3311L
EI
L
EIrrr K ,
72)5.0(30
3636)5.0(30
)2(
11
)1(
3311L
N
L
Nrrr
GGG
G
K .
Z1
EI=Const
L
x
N
Рис.5.9. Стойка с плавающей заделкой на конце.
EI=Const
L
x
N
Z1
Рис.5.10. Стойка с защемленными концами.
1 2
82
После подстановки найденных значений в (5.3) получаем
0)7230
12)5.0(
2(
2 Z
N
L
EI,
откуда находим при 0Z , 2
40
L
EIN . Точное значение критической си-
лы для этой стойки
22
2
48.39)5.0( L
EI
L
EIN
.
Погрешность МКЭ составила 1.3%. На рис.5.7г изображена стойка с жестко заделанным и шарнирно опер-тым концами.
На рис.5.11 показана расчетная схема этой стойки, принятая в виде двух ко-нечных элементов с тремя неизвест-ными: поступательным перемещением середины стойки Z1, углом поворота среднего сечения Z2 и углом поворота шарнирно опертого сечения Z3.
С помощью (5.7) вычисляются эле-менты матрицы жесткости:
)12()5.0(
2)66(
)5.0(
233
)2(
11
)1(
3311L
EI
L
EIrrr ,
0)2/32/3()5.0(
23
2
12
2
342112 LL
L
EIrrrr ,
)5.1()5.0(
2)2/3(
)5.0(
233
1
323113L
L
EIL
L
EIrrr ,
)()5.0(
2)2/2/(
)5.0(
2 2
3
22
3
)2(
22
)1(
4422L
L
EILL
L
EIrrr ,
)25.0()5.0(
2 2
3
)1(
243223L
L
EIrrr ,
)2/()5.0(
2 2
3
)1(
2233L
L
EIrr .
и с помощью (5.11) вычисляются элементы матрицы геометрической жест-кости:
)72()5.0(30
)3636()5.0(30
)2(
11
)1(
3311L
N
L
Nrrr GGG
,
0)2/32/3()5.0(30
2
12
2
342112
LLL
Nrrrr GGGG ,
Z3 EI=Const
L
x
N
Z1
Z2
1 2
Рис.5.11. Стойка с защемленным и
шарнирно опертым концами.
83
)2/3()5.0(30
)2/3()5.0(30
1
323113 LL
NL
L
Nrrr GGG
,
)2()5.0(30
)()5.0(30
222)2(
22
)1(
4422 LL
NLL
L
Nrrr GGG
,
)4/()5.0(30
)4/()5.0(30
22)1(
243223 LL
NL
L
Nrrr GGG
,
)()5.0(30
2)1(
2233 LL
Nrr GG
.
После подстановки найденных значений в (5.3) получаем
0Z
)
25.05.1
25.020
5.1072
305.025.0L5.1
25.00
5.1012
)5.0(
2(
22
22
22
22
2
LLL
LL
LN
LL
LL
L
L
EI
при 0Z , получим уравнение
0EKK
G
1 N , (5.14)
где
22
22
25.05.1
25.020
5.1072
30
1
LLL
LL
L
GK .
Раскрыв определитель (5.14), получим алгебраическое уравнение тре-тьего порядка, решив которое найдем корни Ni. Наименьший корень даст величину критической силы для стойки. Расчет проведем, используя программный пакет Maple: > restart;
> EI:=EI:L:=6.:
> with(LinearAlgebra):
> K:=2.*EI/((0.5*L)^2)*<<L^2/2|-1.5*L|L^2/4>,<-1.5*L|12|0>,<L^2/4|0|L^2>>;
:= K
4.000000000 EI 2.000000000 EI 2.000000000 EI
2.000000000 EI 2.666666667 EI 0.
2.000000000 EI 0. 8.000000000 EI
> KG:=1/30*<<L^2|-1.5*L|-L^2/4>,<-1.5*L|72|0>,<-L^2/4|0|2*L^2>>; KG :=
1.19999999987999994 -0.299999999969999984 -0.299999999969999984
-0.299999999969999984 2.39999999975999988 0.
-0.299999999969999984 0. 2.39999999975999988
> Sob_chisla:=Eigenvalues(K^(-1).KG);
:= Sob_chisla
0.1822572026
EI
0.4793514406
EI
1.738391356
EI
84
Наибольшее собственное число матрицы G
1KK : 1.738391356/EI равно
обратному значению критической силы для этой стойки:
.709.20
57524.021min
L
EIEINN
Точное значение критической силы для этой стойки
22
2
114.20
)7.0( L
EI
L
EIN
.
Погрешность МКЭ составила 0.191%. На рис.5.7д изображена шарнирно опертая стойка. На рис.5.12 показана
расчетная схема этой стойки, при-нятая в виде двух конечных эле-ментов с четырьмя неизвестными: углами поворотов шарнирно опер-тых сечений Z1 и Z4 , поступатель-ным перемещением середины стойки Z1 и углом поворота средне-го сечения Z2.
С помощью (5.7) вычисляются элементы матрицы жесткости:
)2/()5.0(
2 2
3
)1(
2211L
L
EIrr , )5.1(
)5.0(
2)5.1(
)5.0(
233
)1(
2312L
L
EIL
L
EIrr ,
)4/()5.0(
2 2
3
)1(
2413L
L
EIrr , 0
14r , )12(
)5.0(
2)66(
)5.0(
233
)2(
11
)1(
3322L
EI
L
EIrrr ,
0)5.15.1()5.0(
23
)2(
12
)1(
3423 LL
L
EIrrr , )5.1(
)5.0(
23
)2(
1424L
L
EIrr ,
)()5.0(
2)2/2/(
)5.0(
2 2
3
22
3
)2(
22
)1(
4433L
L
EILL
L
EIrrr , )4/(
)5.0(
2 2
3
)2(
2434L
L
EIrr ,
)2/()5.0(
2 2
3
)2(
4444L
L
EIrr ,
1221rr ,
1331rr ,
1441rr ,
2332rr ,
2442rr ,
3443rr .
и с помощью (5.11) вычисляются элементы матрицы геометрической жест-кости:
)()5.0(30
2)1(
G2211L
L
Nrr
G
, )5.1()5.0(30
)5.1()5.0(30
)1(
2312L
L
NL
L
Nrr
GG
,
)4/()5.0(30
2)1(
2413L
L
Nrr
GG
, 0
14
Gr ,
)72()5.0(30
)3636()5.0(30
)2(
11
)1(
3322L
N
L
Nrrr GGG
,
Z2
Z4 Z1 EI=Const
L
x
N
Рис.5.12. Стойка с шарнирно опертыми концами
21
Z3
85
0)5.15.1()5.0(30
)2(
12
)1(
3423
LL
L
Nrrr
GGG, )5.1(
)5.0(30
)2(
1424L
L
Nrr
GG
,
)2()5.0(
2)(
)5.0(30
2
3
22)2(
22
)1(
4433L
L
EILL
L
Nrrr
GGG
,
)4/()5.0(30
)4/()5.0(30
22)2(
2434L
L
NL
L
Nrr
GG
,
)2/()5.0(30
2)2(
4444L
L
Nrr
GG
, GG
rr1221
, GG
rr1331
, GG
rr1441
, GG
rr2332
, GG
rr2442
,
GG rr 3443 .
После подстановки найденных значений в (5.3) получаем
0Z
)
4/5.10
4/204/
5.10725.1
04/5.1
30
2/4/5.10
4/04/
5.10125.1
04/5.12/
)5.0(
2(
22
222
22
22
222
22
2
LLL
LLL
LL
LLL
N
LLL
LLL
LL
LLL
L
EI,
при 0Z , получим уравнение
0EKK
G
1 N , (5.14)
где
22
222
22
4/5.10
4/204/
5.10725.1
04/5.1
30
1
LLL
LLL
LL
LLL
GK .
Раскрыв определитель (5.14) получим алгебраическое уравнение чет-вертого порядка, решив которое найдем корни Ni. Наименьший корень даст величину критической силы для стойки. Расчет проведем, используя программный пакет Maple: > restart;
> EI:=EI:L:=6.:
> with(LinearAlgebra):
> K:=2.*EI/((0.5*L)^2)*<<L^2/2|-1.5*L|L^2/4|0>,<-1.5*L|12|0|1.5*L>,<L^2/4|0|L^2|L^2/4>,<0|1.5*L|L^2/4|L^2/2>>;
:= K
4.000000000 EI 2.000000000 EI 2.000000000 EI 0.
2.000000000 EI 2.666666667 EI 0. 2.000000000 EI
2.000000000 EI 0. 8.000000000 EI 2.000000000 EI
0. 2.000000000 EI 2.000000000 EI 4.000000000 EI
> KG:=1/30*<<L^2|-1.5*L|-L^2/4|0>,<-1.5*L|72|0|1.5*L>,<-L^2/4|0|2*L^2|-L^2/4>,<0|1.5*L|-L^2/4|L^2>>;
KG :=
, , ,1.19999999987999994 -0.299999999969999984 -0.299999999969999984 0.
, , ,-0.299999999969999984 2.39999999975999988 0. 0.299999999969999984
, , ,-0.299999999969999984 0. 2.39999999975999988 -0.299999999969999984
, , ,0. 0.299999999969999984 -0.299999999969999984 1.19999999987999994
86
> Sob_chisla:=Eigenvalues(K^(-1).KG);
:= Sob_chisla
0.1499999999
EI
0.2796706916
EI
0.7499999999
EI
3.620329309
EI
Наибольшее собственное число матрицы G
KK 1 : 3.620329309/EI равно
обратному значению критической силы для этой стойки:
.943846796.9
276217966.021min
L
EIEINN
Точное значение критической силы для этой стойки
22
2
18696044.9
L
EI
L
EIN
.
Погрешность МКЭ составила 0.752%. Мы провели расчеты всех вариантов стоек постоянной жесткости с различными закреплениями концов по МКЭ. Для стоек с одним подвижным концом стойка рассматривалась состоящей из одного конечного элемента, а для стоек с неподвижными концами – состоящей из двух конечных элементов. Сравнив результаты расчетов с точными решениями видим, что погрешность МКЭ для всех случаев меньше 1.5%. Определим критический параметр N для одноэтажной рамы, показанной
на рис.5.13. Рама имеет два жестких смещающихся в горизонтальном направлении узла. Расчетная схема принята в виде трех конечных элемен-тов (смотри рис.5.14): левая стойка, ригель и правая стойка. Неизвестными считаем: горизонтальное перемеще-ние ригеля Z1, угол поворота левого Z2 и угол поворота правого узла Z3.
С помощью (5.7) вычисляются элементы матрицы жесткости:
2L
L
4EI
EI EI
Рис.5.13. Рама со сжатыми стойками.
N2N
2L
L
4EI
EI
EI
Рис.5.14. Расчетная схема рамы со сжатыми стойками.
Z1
Z2 Z3
(1)
(2)
(3)
N2N
87
333
)3(
11
)1(
1111
241212
L
EI
L
EI
L
EIrrr ,
2
)1(
2121
6
L
EIrr ,
2
)3(
2131
6
L
EIrr ,
2
)1(
1212
6
L
EIrr ,
L
EI
L
EIL
L
EILrrr
12
)2(
)4()2(4)(43
2
3
2
)2(
22
)1(
2222 ,
L
EI
L
EIrr
4
2
)4(2)2(
4232 ,
2
)1(
1213
6
L
EIrr ,
L
EI
L
EIrr
4
2
)4(2)2(
2423 ,
L
EI
L
EI
L
EIrrr
12
2
)4(4)(4)2(
44
)3(
2233 .
и с помощью (5.11) вычисляются элементы матрицы геометрической жест-кости:
После подстановки найденных значений в (5.3) получаем
0Z
)
403
086
36108
30623
263
33122
(2
2
22
22
2
LL
LL
LLN
LLL
LLL
LL
L
EI,
при 0Z , получим уравнение
01
EKK
G
1
N, (5.15)
где
2
2
403
086
36108
30
1
LL
LL
LL
GK . (5.16)
Раскрыв определитель (5.15) получим алгебраическое уравнение треть-его порядка, решив которое найдем корни Ni. Наименьший корень даст ве-личину критического параметра для рамы на рис.5.13. Или можно найти
собственные числа: 321 ,1
,,jN
j
j , для матрицы
G
1KK . Наибольшее
собственное число даст величину обратную критическому параметру. Расчет проведем, используя программный пакет Maple:
> restart;
> EI:=EI:L:=6:
> with(LinearAlgebra):
> K:=2.*EI/L^2*<<12|3*L|3*L>,<3*L|6*L^2|2*L^2>,<3*L|2*L^2|6*L^2>>;
:= K
0.6666666667 EI 1.000000000 EI 1.000000000 EI
1.000000000 EI 12. EI 4. EI
1.000000000 EI 4. EI 12. EI
> KG:=1/30*<<108|6*L|3*L>,<6*L|8*L^2|0>,<3*L|0|4*L^2>>;
88
:= KG
18
5
6
5
3
5
6
5
48
50
3
50
24
5
> Sob_chisla:=Eigenvalues(K^(-1).KG);
:= Sob_chisla
0.3612656316
EI
0.9785941683
EI
6.344755585
EI
Наибольшее собственное число матрицы G
KK 1 : 6.344755585/EI равно
обратному значению критического параметра для этой рамы (рис.5.13):
.67397743.5
1576105.021min
L
EIEINN
5.3. Динамические расчеты стержневых систем
При расчетах конструкций на устойчивость используем уравнение (5.1),
в котором матрица жесткости K вычисляется так же как при статическом
расчете.
Матрица масс для отдельного ко-нечного элемента (Рис.5.15)
4
3
2
1
44434241
34333231
24232221
14131211
4
3
2
1
Z
Z
Z
Z
mmmm
mmmm
mmmm
mmmm
m
m
m
m
,
где dxxxxmm j
L
iij )()()(0
(5.16)
компонент матрицы масс конечного элемента. Функции )(xi
определены
формулами (5.5). Вычисляя по (5.16), (5.5), при Constmxm )( , получаем матрицу масс
стержневого конечного элемента:
22
22
422313
221561354
313422
135422156
420
LLLL
LL
LLLL
LL
mLmij . (5.17)
Z1 Z3
Z4Z2
EI=Const, m=Const
L
Рис.5.15. К определению матрицы масс
стержневого конечного элемента
x
(m2G ) (m4G )
(m3G )(m1G )
89
Для примера рассмотрим реше-ние динамического расчета одно-этажной рамы на действие гори-зонтального импульса S, прило-
женного в левом узле (рис.5.16). Расчетная схема принята в виде трех конечных элементов (смотри рис.5.17): левая стойка, ригель и правая стойка. Неизвестными счита-ем: горизонтальное перемещение ригеля Z1, угол поворота левого Z2 и угол поворота правого узла Z3 рамы.
С помощью (5.7), вычисляются элементы матрицы жесткости K. Эле-менты матрицы масс вычисляются с помощью (5.17):
При вычислении элемента m11 матрицы масс учтена масса ригеля рамы: mLLm 325.1
как масса тела, перемещаемого горизонтально.
mLmLmLmLmLmmm210
7863
420
156
420
15633
11
1
1111 ,
210
11
420
22 2
)1(
212112
mLLmLmmm
,
210
11
420
22 2
)3(
213113
mLLmLmmm
,
210
26
420
)2(4)2(5.1
420
4 222
)2(
22
)1(
2222
mLLLmLLmmmm
,
210
18
420
))2(3()2(5.1 22
)2(
243223
mLLLmmmm
,
210
26
420
)2(4)2(5.1
420
4 222
)2(
44
)3(
2233
mLLLmLLmmmm
.
Таким образом, матрица масс для системы показанной на рис.5.16:
22
22
261811
182611
1111786
210LLL
LLL
LLmL
m .
Матрица жесткости определяется формулой (5.9)
S
2L
L
4EI
EIEI
Рис.5.16. Импульсное воздействие на
узел одноэтажной рамы.
m
m
1.5m
2L
L
4EI
EI
EI
Рис.5.17. Расчетная схема рамы на импульсное
воздействие по методу конечных элементов
Z1
Z2 Z3
(1)
(2)
(3)
S
mm
1.5m
90
22
22
3
623
263
33122
LLL
LLL
LL
L
EIК .
Уравнение движения системы без учета затухания колебаний и внут-ренних сил статического сжатия получаем из (5.1):
)(tPZKZm . (5.18)
К решению уравнения (5.18) применим метод разложения по собствен-ным формам. Ищем
(t)(t) aΦZ , (5.19)
где Φ - матрица собственных векторов, отвечающая условию ортогональ-ности
ЕΦmΦT , (5.20)
)(ta - вектор коэффициентов, зависящих от времени. Отметим, что метод
разложения по собственным формам изложен в разделе 4. настоящего пособия. Здесь отличие состоит в том, что вместо вектора перемещений v
мы имеем дело с вектором обобщенными перемещениями Z и вместо диагональной матрицы масс m имеем недиагональную, симметричную матрицу m. Тем не менее, кратко изложим решение нашей задачи.
Подставим (5.19) в (5.18) и умножим результат на матрицу TΦ слева,
получим:
(t)(t)(t) PΦaΦKΦaΦmΦTTT ,
учитывая (5.20) и
ΛΦКΦT , (5.21)
где Λ - диагональная матрица собственных чисел, получаем
)()()( ttt baΛa , (5.22)
где )(t(t) PΦbT
Записав (5.22) в обычной, а не в матричной форме, получаем (t)b(t)aΛ(t)a
jjjj , , ...n, j 21 (5.23)
систему независимых обыкновенных дифференциальных уравнений отно-сительно коэффициентов )(ta
j.
Решение уравнения (5.23) для случая
)()( ttbj
(0 при 0
0 при )(
t
tt ,
-
1δ(τ)dτ ),
)(t - дельта-функция Дирака, имеет вид:
j
j
jp
tptk
)sin()( , t > 0 (5.24)
и называется импульсной переходной функцией (ИПФ) для консерватив-
ной системы, jj
p .
91
Решение уравнения (5.22) при произвольном bj(t) выражается интегра-лом Дюамеля:
t
jjjdbtkta
0
)()()( . (5.25)
В матричной форме выражение (5.25) примет вид:
0
TPΦ(t)a (t)λdiag
j, (5.26)
где )()( tft 0
PP , f(t) – функция времени,
t
j
j
jp
dftpdiagtdiag
0
)())(sin()(
- диагональная матрица. После подстановки (5.26) в (5.19) получаем
0
TPΦΦZ )(tdiag
j . (5.27)
Выражение (5.27) дает решение задачи, если известны матрицы соб-ственных векторов Ф и матрица собственных чисел Λ. Для их определе-ния служат уравнения (5.20) и (5.21). В разделе 1.3 предложен метод итераций для определения всех соб-ственных чисел и всех собственных векторов некоторой симметричной матрицы А. Проблема сводится к решению уравнений:
ΛΦAΦT , ЕΦΦ
T . (5.28) Приведем уравнения (5.20), (5.21) к виду (5.28)
EΨΨΦmmΦΦmΦTTT ,
ΛΨKΨΦmmKmmΦΦKΦm
T11
TT
,
где ΦmΨ , ΨmΦ1
, 11
mmKmK
. (5.29)
Полученные выражения имеют вид (5.28):
ΛΨKΨm
T , EΨΨT
и их можно решить методом итераций. Решение (5.27) преобразуем с помощью (5.29), получим:
0
1T
1
PmΨΨmZ
(t)λdiagj
.
Упростим полученное выражение. Рассмотрим произведение матриц:
n
1
T
jj
T
n
T
2
T
1
n21
Tψψ
ψ
...
ψ
ψ
ψ... ψ ψΨΨ (t)λ
(t)λ...
............
...(t)λ
...(t)λ
(t)λdiagj
n
j
00
00
00
2
1
.
Обозначим
j
T
jjHψψ , (5.30)
и назовем эту матрицу парциальная матрица собственных форм.
92
Решение (5.27) можно записать в виде:
0
1
j
1
PmHmZ
))((1
n
jt . (5.31)
Итак, необходимо найти все собственные числа и собственные векторы
матрицы 11
mmKmK
, но предварительно необходимо найти функцию
матрицы масс: 1
m
.
В разделе 1.4 функции матриц определены следующим образом:
TΦΛΦA )()( ff ,
где Ф – матрица собственных векторов и Λ - матрица собственных чисел матрицы A . В нашем случае роль А играет матрица m. Находим матрицу собственных чисел
mΛ , и матрицу собственных векто-
ров m
Φ матрицы m после чего вычисляем
T
mmmΦΛΦm
11
.
По формуле (5.29) вычисляем 11
mmKmK
и находим собственные
векторы j
ψ , собственные числа j
и парциальные матрицы T
jjjψψH .
Решение задачи выражается формулой (5.31)
0
1
j
1
PmHmZ
))((1
n
jt ,
или
0
111111
PmHmmHmmHmZ
))()()((332211
ttt .
j
j
j
j
jp
tpdτδ(τ)
p
τ))(t(p(t)λ
)sin(sin
0
, (5.32)
Обозначим 0
1
j
1
jPmHmzA
, тогда с учетом (5.32):
3
3
3
2
2
2
1
1
1
)sin(zA
)sin(zA
)sin(zA
p
tp
p
tp
p
tpZ .
Для определения расчетных изгибающих моментов воспользуемся еди-ничной матрицей изгибающих моментов (смотри стр.6), полученной от
1j
Z , j=1, 2, 3:
93
L
EI
L
EIL
EI
L
EIL
EI
L
EIL
EI
L
EIL
EI
L
EIL
EI
L
EI
20
6
40
6
840
480
046
026
2
2
2
2
М
Расчетные изгибающие моменты определяются как
ZMMрасч
.
Описанный выше расчет легко реализуется с помощью программного пакета Maple: > restart; Исходные данные: > mm:=200.:L:=3.:
> with(LinearAlgebra):
> m:=Matrix(3,3,mm*L/210*[[786,11*L,11*L],[11*L,26*L^2,-
18*L^2],[11*L,-18*L^2,26*L^2]],datatype=float[4]);
:= m
2245.71436 94.2857132 94.2857132
94.2857132 668.571411 -462.857147
94.2857132 -462.857147 668.571411
Вычисление собственных векторов матрицы m: > Fi:=Matrix(3,3,Eigenvectors(m,output=vectors),datatype=float[4]);
:= Fi
0.997888625 0.0649484992 -0.63538271910-10
0.0459255241 -0.705613792 -0.707106769
0.0459255241 -0.705613792 0.707106769
> LL:=Matrix(3,1,Eigenvectors(m,output=values),datatype=float[4]);
:= LL
2254.39282
197.035706
1131.42859
> lamb-daM:=Matrix(3,3,[[LL[1,1],0,0],[0,LL[2,1],0],[0,0,LL[3,1]]],datatype
=float[4]);
:= lambdaM
2254.39282 0. 0.
0. 197.035706 0.
0. 0. 1131.42859
Квадратный корень из матрицы собтвенных чисел матрицы m: > lamb-daM05:=Matrix(3,3,[[sqrt(lambdaM[1,1]),0,0],[0,sqrt(lambdaM[2,2]),0]
,[0,0,sqrt(lambdaM[3,3])]],datatype=float[4]);
94
:= lambdaM05
47.4804459 0. 0.
0. 14.0369406 0.
0. 0. 33.6367149
Квадратный корень из матрицы m: > m05:=Fi.lambdaM05.Transpose(Fi);
:= m05
47.33937164 1.532667645 1.532667641
1.532667645 23.90736434 -9.729349395
1.532667641 -9.729349395 23.90736434
Квадратный корень из обратной матрицы m: > m_05:=Matrix(3,3,m05^(-1),datatype=float[4]);
:= m_05
0.0212729741 -0.00229964475 -0.00229964475
-0.00229964475 0.0503791720 0.0206497535
-0.00229964475 0.0206497535 0.0503791720
Жесткость EI: > EI:=2.*10^11*5010.*10^(-8): Матрица жесткости рамы: > K:=Matrix(3,3,2*EI/(L^3)*[[12,3*L,3*L],[3*L,6*L^2,2*L^2],[3*L,2*L^2,
6*L^2]],datatype=float[4]);
:= K
0.8906667107 0.6680000107 0.6680000107
0.6680000107 0.40080000108 0.13360000108
0.6680000107 0.13360000108 0.40080000108
Матрица Km: > Km:=Matrix(3,3,m_05.K.m_05,datatype=float[4]);
:= Km
3288.68848 999.433655 999.433655
999.433655 144478.234 120862.078
999.433655 120862.078 144478.234
Матрица собственных векторов матрицы Km: > Fi:=Matrix(3,3,Eigenvectors(Km,output=vectors),datatype=float[4]);
:= Fi
-0.999985456 0.00539340638 0.
0.00381371449 0.707096517 -0.707106769
0.00381371449 0.707096517 0.707106769
Собственные числа матрицы Km: > LL:=Matrix(3,1,Eigenvectors(Km,output=values),datatype=float[4]);
:= LL
3281.06519
265347.938
23616.1563
Собственные частоты: > p1:=sqrt(LL[1,1])/(2*Pi);
:= p128.64029150
> p3:=sqrt(LL[2,1])/(2*Pi);
:= p3257.5596718
> p2:=sqrt(LL[3,1])/(2*Pi);
:= p276.83774510
Собственные векторы:
95
> Psi1:=Matrix(3,1,Fi.Matrix(3,1,[[1],[0],[0]],datatype=float[4]));
:= 1
-0.999985456
0.00381371449
0.00381371449
> Psi3:=Matrix(3,1,Fi.Matrix(3,1,[[0],[1],[0]],datatype=float[4]));
:=
0.00539340638
0.707096517
0.707096517
> Psi2:=Matrix(3,1,Fi.Matrix(3,1,[[0],[0],[1]],datatype=float[4]));
:= 2
0.
-0.707106769
0.707106769
Парциальные матрицы: > H1:=Matrix(3,3,Psi1.Transpose(Psi1),datatype=float[4]);
:= H1
0.999970913 -0.00381365907 -0.00381365907
-0.00381365907 0.0000145444183 0.0000145444183
-0.00381365907 0.0000145444183 0.0000145444183
> H2:=Matrix(3,3,Psi2.Transpose(Psi2),datatype=float[4]);
:= H2
0. 0. 0.
0. 0.499999970 -0.499999970
0. -0.499999970 0.499999970
> H3:=Matrix(3,3,Psi3.Transpose(Psi3),datatype=float[4]);
:= H3
0.0000290888329 0.00381365884 0.00381365884
0.00381365884 0.499985486 0.499985486
0.00381365884 0.499985486 0.499985486
Az1:=m_05.H1.m_05.Matrix(3,1,[[S0],[0],[0]]);
:= Az1
0.0004532728327S0
0.00005472637320S0
0.00005472637320S0
Az2:=m_05.H2.m_05.Matrix(3,1,[[S0],[0],[0]]);
:= Az2
0.
0.
0.
Az3:=m_05.H3.m_05.Matrix(3,1,[[S0],[0],[0]]);
:= Az3
0.984332769310-5 S0
0.0001575352160S0
0.0001575352160S0
Матрица изгибающих моментов от единичнх неизвестных Zi=1: > MM:=Matrix(6,3,[[6*EI/L^2,2*EI/L,0],[-6*EI/L^2,-4*EI/L,0],[0,-8*EI/L,-4*EI/L],[0,4*EI/L,8*EI/L],[-6*EI/L^2,0,-
4*EI/L],[6*EI/L^2,0,2*EI/L]]);
96
:= MM
0.6679999998107 0.6680000000107 0
-0.6679999998107 -0.1336000000108 0
0 -0.2672000000108 -0.1336000000108
0 0.1336000000108 0.2672000000108
-0.6679999998107 0 -0.1336000000108
0.6679999998107 0 0.6680000000107
Значение импульса Sо: > S0:=1;
:= S0 1
Перемещения > Z:=Az1*sin(2*Pi*p1*t)/(2*Pi*p1)+Az2*sin(2*Pi*p2*t)/(2*Pi*p2)+Az3*sin
(2*Pi*p3*t)/(2*Pi*p3);
:= Z
0.791320215010-5 ( )sin 57.28058300t 0.191088294710-7 ( )sin 515.1193436t
0.955408802510-6 ( )sin 57.28058300t 0.305822753410-6 ( )sin 515.1193436t
0.955408802510-6 ( )sin 57.28058300t 0.305822753410-6 ( )sin 515.1193436t
Матрица расчетных изгибающих моментов: > Mpac:=MM.Z;
:= Mpac
46.47805955 ( )sin 57.28058300t 1.915249012 ( )sin 515.1193436t
40.09592875 ( )sin 57.28058300t 3.958145004 ( )sin 515.1193436t
38.29278480 ( )sin 57.28058300t 12.25737596 ( )sin 515.1193436t
38.29278480 ( )sin 57.28058300t 12.25737596 ( )sin 515.1193436t
40.09592875 ( )sin 57.28058300t 3.958145004 ( )sin 515.1193436t
46.47805955 ( )sin 57.28058300t 1.915249012 ( )sin 515.1193436t
Графики изгибающих моментов в сечениях 2 и 3:
> plot(Mpac[2,1],t=0..0.5);
> plot(Mpac[3,1],t=0..0.5);
97
Итак, задача о действии горизонтального единичного импульса )(1)(
0ttSS на левый верхний узел одноэтажной рамы, решена. Но
при расчете мы пренебрегли диссипативными силами и сжатием стоек ра-мы. Для учета диссипативных сил в уравнение движения рамы введем
диссипативный член: ZГ , получим
PZKZГZm , (5.33) где Г – диссипативная матрица. Для того чтобы применить к уравнению (5.33) метод разложения по собственным формам необходимо, чтобы матрица Г имела те же самые собственные векторы Ψ , что и матрицы m и K, то есть матрица
11
mmKmK
. Это значит, что Г
TΛΨГΨ , где
ГΛ - диагональная
матрица. В качестве такой матрицы может быть принята любая функция матрицы Λ: )ΛΛ
Гf( . Поскольку собственные числа матрицы
mK пред-
ставляют собой квадраты собственных частот колебаний p, то )()( pΛΛ
Г f . Представим )( p в виде разложения в ряд Маклорена:
....!
)0(....
!2
)0()0()0()(
)(
n2pppp
n
n ,
Сохраним в этом разложении первый ненулевой член, т.е. примем pp )0()( .
Постоянную величину )0( обозначим , тогда
pp )( . (5.34)
Применим к уравнению (5.33) способ разложения по собственным фор-мам, ищем решение уравнения в виде:
(t)aΦZ . (5.35)
После подстановки (5.35) в (5.33), умножения слева на матрицу TΦ по-
лучим:
)()()()( tttt PΦaKΦΦaГΦΦamΦΦTTTT ,
но EmΦΦT ,
2TpΛKΦΦ , )(pΛГΦΦ
Г
T , и приняв по (5.34)
pp )( , получим )()()()( 2 ttptpt baaa , где )()( tt PΦbT . В обыч-
ном (не в матричном) виде уравнения выглядят так:
(t)b(t)ap(t)aγp(t)ajjjj
2 , ,...n, j 21 . (5.36)
Решение уравнения (5.36) выразим через интеграл Дюамеля
t
jjjdbtkta
0
)()()( ,
где )(tk импульсная переходная функция диссипативной системы или ре-
шение уравнения (5.36) при )(t(t)bj
. Это решение имеет вид
)sin()2
exp(1
)(1
1
tptp
ptk
j
j
j
j
, (5.37)
98
где 4
12
1
γpp
jj . При 1 , что справедливо для большинства кон-
струкционных материалов, можно считать jj
pp 1
и
)sin()2
exp(1
)( tptp
ptk
j
j
j
j
. (5.38)
Вычислив логарифмический декремент колебаний для функции (5.38), получим , то есть независящий от частоты p декремент колебаний.
Вычислим интеграл Дюамеля, используя (5.37) и тот факт, что нагрузка
на систему )()( tt 0
SP :
.)sin()2
exp(1
)()(sin())(2
exp(1
)(
0
T
0
T
0
T
SΦΛ(t)SΦ
SΦa
tptp
pdiag
dtptp
pdiagt
j
j
j
j
j
j
Функция )sin()2
exp(1
)( tptp
pt
j
j
j
j
.
Решение задачи дается формулой (5.35)
0
TSΦΦaΦZ )(tdiag(t)
j ,
то есть имеет и вид (5.27), в котором при вычислении функций )(tj
ис-
пользуется ИПФ для диссипативной системы (5.38). Найдем решение той же самой задачи о горизонтальном импульсном воздействии на узел одноэтажной рамы. Материал конструкции обладает коэффициентом потерь 0250. .
Расчет выполним, используя программу Maple: > restart; Исходные данные:
> S0:=1: mm:=200.:L:=3.: gam:=0.025:
> with(LinearAlgebra):
> m:=Matrix(3,3,mm*L/210*[[786,11*L,11*L],[11*L,26*L^2,-
18*L^2],[11*L,-18*L^2,26*L^2]],datatype=float[4]):
Вычисление собственных векторов матрицы m:
> Fi:=Matrix(3,3,Eigenvectors(m,output=vectors),datatype=float[4]):
Вычисление собственных чисел матрицы m: > LL:=Matrix(3,1,Eigenvectors(m,output=values),datatype=float[4:
Матрица собственных чисел матрицы m: > lamb-
daM:=Matrix(3,3,[[LL[1,1],0,0],[0,LL[2,1],0],[0,0,LL[3,1]]],datatype
=float[4]):
Квадратный корень из матрицы собтвенных чисел матрицы m:
99
>lamb-
daM05:=Matrix(3,3,[[sqrt(lambdaM[1,1]),0,0],[0,sqrt(lambdaM[2,2]),0]
,[0,0,sqrt(lambdaM[3,3])]],datatype=float[4]):
Квадратный корень из матрицы m:
> m05:=Fi.lambdaM05.Transpose(Fi):
Квадратный корень из обратной матрицы m-1:
m_05:=Matrix(3,3,m05^(-1),datatype=float[4]):
Жесткость EI:
> EI:=2.*10^11*5010.*10^(-8): Матрица жесткости рамы:
>
K:=Matrix(3,3,2*EI/(L^3)*[[12,3*L,3*L],[3*L,6*L^2,2*L^2],[3*L,2*L^2,
6*L^2]],datatype=float[4]):
Матрица Km:
> Km:=Matrix(3,3,m_05.K.m_05,datatype=float[4]):
Матрица собственных векторов матрицы Km:
> Fi:=Matrix(3,3,Eigenvectors(Km,output=vectors),datatype=float[4]):
Собственные числа матрицы Km: > LL:=Matrix(3,1,Eigenvectors(Km,output=values),datatype=float[4]):
Собственные частоты:
> p1:=sqrt(LL[1,1])/(2*Pi):
> p3:=sqrt(LL[2,1])/(2*Pi):
> p2:=sqrt(LL[3,1])/(2*Pi):
Собственные векторы:
> Psi1:=Matrix(3,1,Fi.Matrix(3,1,[[1],[0],[0]],datatype=float[4])):
> Psi3:=Matrix(3,1,Fi.Matrix(3,1,[[0],[1],[0]],datatype=float[4])):
> Psi2:=Matrix(3,1,Fi.Matrix(3,1,[[0],[0],[1]],datatype=float[4])):
Парциальные матрицы:
> H1:=Matrix(3,3,Psi1.Transpose(Psi1),datatype=float[4]):
> H2:=Matrix(3,3,Psi2.Transpose(Psi2),datatype=float[4]):
> H3:=Matrix(3,3,Psi3.Transpose(Psi3),datatype=float[4]):
Амплитуды форм колебаний неизвестных: > Az1:=m_05.H1.m_05.Matrix(3,1,[[S0],[0],[0]]):
> Az2:=m_05.H2.m_05.Matrix(3,1,[[S0],[0],[0]]):
> Az3:=m_05.H3.m_05.Matrix(3,1,[[S0],[0],[0]]):
Матрица изгибающих моментов от единичнх неизвестных Zi=1:
>MM:=Matrix(6,3,[[6*EI/L^2,2*EI/L,0],[-6*EI/L^2,-4*EI/L,0],[0,-
8*EI/L,-4*EI/L],[0,4*EI/L,8*EI/L],[-6*EI/L^2,0,-
4*EI/L],[6*EI/L^2,0,2*EI/L]]):
100
Перемещения:
>Z:=Az1*exp(-gam*Pi*p1*t)*sin(2*Pi*p1*t)/(2*Pi*p1)+Az2*exp(-
gam*Pi*p2*t)*sin(2*Pi*p2*t)/(2*Pi*p2)+Az3*exp(-
gam*Pi*p3*t)*sin(2*Pi*p3*t)/(2*Pi*p3):
Матрица расчетных изгибающих моментов: > Mpac:=MM.Z:
Графики изгибающих моментов в сечениях 2 и 3: > plot(Mpac,t=0..0.5);
> plot(Z,t=0..0.5);
При принятых предпосылках учета внутреннего трения, сложность ре-шение задач для диссипативной и консервативной систем практически не различима. Отличие лишь в виде импульсных переходных функций, ис-пользуемых в расчетах: по (5.24) - для консервативных и по (5.38) - для диссипативных систем. Предпосылки были сделаны для упрощения рас-чета, но многочисленные эксперименты с конструкционными материалами в лабораторных условиях и экспериментальные исследования строитель-ных конструкций, установили факт частотной независимости декремента колебаний. И именно в принятой для расчетов модели демпфирования ко-лебаний, прослеживается четкая частотная независимость декремента ко-лебаний ( const , ). Кроме того, факт учета именно частотно не-
зависимого внутреннего трения отражен в СНиПах.
101
Рассмотрим пример (Рис.5.19). В отличии от предыдущего примера, нагрузкой кроме горизонтального импульса, действующего на левый узел рамы, является вертикальная узловая сжимающая нагрузка в виде двух сил N. Силы примем достаточ-но большими, такими, что по срав-нению с ними массовую нагрузку можно не учитывать в статическом расчете. Примем величину этих сил равную значению критического па-раметра, полученного в примере
расчета этой же рамы на устойчивость (смотри рис.5.13). Итак, положим
2
7.5
L
EIN . В динамическом расчете будем учитывать геометрическую
жесткость при формировании исходного уравнения движения, т.е. исполь-зуем уравнение движения (5.1). Матрицы K, m, Г были рассмотрены в предыдущем примере. Получим матрицу геометрической жесткости KG. Матрица геометрической жесткости вычисляется так же как при статиче-ском расчете и расчете на устойчивость сложением жесткостей конечных элементов. Расчетная схема задачи приведена на рис.5.20.
Матрицу геометрической жестко-сти для рамы формируем с помо-щью (5.11):
22
22
433
336336
343
336336
30
LLLL
LL
LLLL
LL
L
Nr
Gij
Согласно рис.5.20 элементы матрицы геометрической жесткости получим в виде:
L
N
L
N
L
Nrrr
GG30
72
30
36
30
36)3(
11
)1(
1111G
,
L
NL
L
NLrr
GG30
3
30
3)1(
2121
,
L
LNrr
GG30
3)3(
2131 ,
L
NL
L
NLrr
GG30
3
30
3)1(
1212
,
L
NL
L
L
L
NLrrr
GGG30
4
230
)0()2(4
30
)(4 222
)2(
22
)1(
2222
,
0)2(30
)0(2
)2(
4232
L
Lrr
GG,
L
NLrr
GG30
)(3)3(
1213 , 0
)2(30
)0(2
)2(
2423
L
Lrr
GG,
L
NL
L
NL
L
NLrrr
GGG30
4
)2(30
0)(4
30
4 222
)2(
44
)3(
2233
.
2L
L
4EI
EI
EI
Рис.5.19. Рама со сжатыми стойками, при
действии горизонтального импульса.
Z3
NN1.5m
m
m
S
2L
L
4EI
EI
EI
Рис.5.20. Расчетная схема рамы со сжатыми
стойками при действии горизонтального
импульса.
Z1
Z2 Z3
(1)
(2)
(3)
NN1.5m
m
m
S
102
Матрица геометрической жесткости будет иметь вид:
2
2
403
043
3372
30LL
LL
LL
L
NKG . (5.39)
После подстановки принятого значения 2
7.5
L
EIN в (5.39) присваиваем
новое значение матрице жесткости:
GKK:K .
Далее решение задачи точно следует решению предыдущего примера. Расчет выполним на ПЭВМ, используя программный пакет Maple: > restart; Исходные данные:
> EI:=2.*10^11*5010.*10^(-8): S0:=1: mm:=200.: g:=9.81: L:=3.:
N:=5.67397743*EI/L^2: gam:=0.025:
> with(LinearAlgebra):
> m:=Matrix(3,3,mm*L/210*[[786,11*L,11*L],[11*L,26*L^2,-
18*L^2],[11*L,-18*L^2,26*L^2]],datatype=float[4]):
Вычисление собственных векторов матрицы m:
> Fi:=Matrix(3,3,Eigenvectors(m,output=vectors),datatype=float[4]):
Вычисление собственных чисел матрицы m: > LL:=Matrix(3,1,Eigenvectors(m,output=values),datatype=float[4]): Матрица собственных чисел матрицы m:
> lamb-daM:=Matrix(3,3,[[LL[1,1],0,0],[0,LL[2,1],0],[0,0,LL[3,1]]],datatype
=float[4]): Квадратный корень из матрицы собтвенных чисел матрицы m:
> lamb-daM05:=Matrix(3,3,[[sqrt(lambdaM[1,1]),0,0],[0,sqrt(lambdaM[2,2]),0]
,[0,0,sqrt(lambdaM[3,3])]],datatype=float[4]): Квадратный корень из матрицы m:
> m05:=Fi.lambdaM05.Transpose(Fi): Квадратный корень из обратной матрицы m-1:
> m_05:=Matrix(3,3,m05^(-1),datatype=float[4]):
Жесткость EI:
> EI:=2.*10^11*5010.*10^(-8): Матрица жесткости рамы:
> K:=Matrix(3,3,2*EI/(L^3)*[[12,3*L,3*L],[3*L,6*L^2,2*L^2],[3*L,2*L^2,
6*L^2]],datatype=float[4]);
:= K
0.8906667 107 0.6680000 107 0.6680000 107
0.6680000 107 0.40080000 108 0.13360000 108
0.6680000 107 0.13360000 108 0.40080000 108
Матрица геометрической жесткости:
> KG:=Matrix(3,3,N/(30*L)*[[72,3*L,3*L],[3*L,4*L^2,0],[3*L,0,4*L^2]],d
atatype=float[4]);
103
:= KG
0.505362250 107 631702.813 631702.813
631702.813 0.252681125 107 0.
631702.813 0. 0.252681125 107
> K:=K-KG;
:= K
0.3853044500 107 0.6048297188 107 0.6048297188 107
0.6048297188 107 0.3755318875 108 0.13360000 108
0.6048297188 107 0.13360000 108 0.3755318875 108
Матрица Km:
> Km:=Matrix(3,3,m_05.K.m_05,datatype=float[4]);
:= Km
1098.61206 698.208801 698.208801
698.208801 137167.219 115784.344
698.208801 115784.344 137167.219
Матрица собственных векторов матрицы Km:
> Fi:=Matrix(3,3,Eigenvectors(Km,output=vectors),datatype=float[4]);
:= Fi
-0.999992311 0.00392051646 0.160881117 10-10
0.00277222367 0.707101345 -0.707106769
0.00277222367 0.707101345 0.707106769
Собственные числа матрицы Km: > LL:=Matrix(3,1,Eigenvectors(Km,output=values),datatype=float[4]): Собственные частоты:
> p1:=sqrt(LL[1,1]); := p1 33.08686809
> p3:=sqrt(LL[2,1]); := p3 502.9467546
> p2:=sqrt(LL[3,1]); := p2 146.2288446
Собственные векторы:
> Psi1:=Matrix(3,1,Fi.Matrix(3,1,[[1],[0],[0]],datatype=float[4]));
:= 1
-0.999992311
0.00277222367
0.00277222367
> Psi3:=Matrix(3,1,Fi.Matrix(3,1,[[0],[1],[0]],datatype=float[4]));
:=
0.00392051646
0.707101345
0.707101345
> Psi2:=Matrix(3,1,Fi.Matrix(3,1,[[0],[0],[1]],datatype=float[4]));
:= 2
0.160881117 10-10
-0.707106769
0.707106769
104
Парциальные матрицы:
> H1:=Matrix(3,3,Psi1.Transpose(Psi1),datatype=float[4]):
> H2:=Matrix(3,3,Psi2.Transpose(Psi2),datatype=float[4]):
> H3:=Matrix(3,3,Psi3.Transpose(Psi3),datatype=float[4]): Амплитуды форм колебаний неизвестных: > Az1:=m_05.H1.m_05.Matrix(3,1,[[S0],[0],[0]]):
> Az2:=m_05.H2.m_05.Matrix(3,1,[[S0],[0],[0]]):
> Az3:=m_05.H3.m_05.Matrix(3,1,[[S0],[0],[0]]):
Матрица изгибающих моментов от единичных неизвестных Zi=1:
> MM:=Matrix(6,3,[[6*EI/L^2,2*EI/L,0],[-6*EI/L^2,-4*EI/L,0],[0,-8*EI/L,-4*EI/L],[0,4*EI/L,8*EI/L],[-6*EI/L^2,0,-
4*EI/L],[6*EI/L^2,0,2*EI/L]]): Перемещения
> Z:=Az1*exp(-gam*p1*t/2)*sin(p1*t)/(p1)+Az2*exp(-
gam*p2*t/2.)*sin(p2*t)/(p2)+Az3*exp(-gam*p3*t/2.)*sin(p3*t)/(p3): Матрица расчетных изгибающих моментов:
> Mpac:=MM.Z: Графики изгибающих моментов в сечениях рамы: > plot(Mpac,t=0..0.5);
Графики перемещений рамы: > plot(Z,t=0..0.5);
Сравним результаты расчета без учета и с учетом сжимающих сил. Для удобства анализа графики обобщенных перемещений и изгибающих мо-ментов приведены на рис.5.21 и 5.22. Из этих графиков видно, что пере-мещения и внутренние усилия при учете сжатия примерно в два раза вы-ше, чем аналогичные значения для рам без учета сжимающих сил. Прав-
105
да, сжатие стоек принято значительным: сравнимым по порядку с критиче-ским параметром для этой рамы. Собственные частоты для рам с учетом сжатия отличаются от соб-ственных частот рам без учета сжатия. Особенно сильно различаются низшие частоты, так первые частоты для рам без учета сжатия p1=57рад/сек и p1=33рад/сек для рам с учетом сжатия. Это говорит о том, что сжатием при расчете рам с сильно сжатыми элементами пренебрегать нельзя. То же самое можно сказать и о конструкциях с сильно растянуты-ми элементами. Мы рассмотрели нагрузку в виде мгновенного импульса. При этом воздей-ствии очень просто вычисляется интеграл Дюамеля. В других случаях вы-числение этого интеграла еще лет 10 – 15 назад могло поставить в тупик
Рис.5.21. Результаты расчета рамы без учета сжатия стоек
Рис.5.22. Результаты расчета рамы с сильно сжатыми стойками
многих расчетчиков, но в настоящее время при оснащении расчетчика со-временными ПК и программным обеспечением типа Maple, об этой про-блеме можно забыть и спокойно браться за динамический расчет на лю-бые воздействия. Учет поглощения энергии не в состоянии создать труд-ностей в расчете, поскольку, отпали трудности с вычислением интеграла Дюамеля и в расчетах строительных конструкций используется известная импульсная переходная функция, определяемая формулой (5.38). Еще раз запишем решение уравнения движения (5.1):
106
0
1
j
1
PmHmZ
))((1
n
jt .
Обозначим
n
jt
1
)(zj
AZ , (5.40)
где zj
A - амплитуда по формам колебаний:
0
1
j
1
zjPmHmA
. (5.41)
Формулу (5.41) мы уже использовали в программе расчета на импульс-ные воздействия. В расчетах приведенных ниже будем использовать и формулу (5.40), в которой вычисляем )(t
j через интеграл Дюамеля:
t
j
j
j
j f(τ(τ)τ))(t(pp
)τ)tpi
((t)λ
0
sin2
(exp
,
где f(t) – функция нагрузки, определяемая из выражения )()(0
tfPtP .
Для примера, рассмотрим расчет той же одноэтажной рамы, загружен-ной динамической нагрузкой, создаваемой электродвигателем с неуравно-вешенным ротором, например, электродвигателем вентилятора, установ-ленного на крыше здания, вблизи опорной стойки рамы. Расчетная схема показана на рис.5.23.
Нагрузка на раму принята в виде горизонтальной силы с
амплитудой 0
2
00emP , где m0
– неуравновешенная масса, e0 – эксцентриситет неуравнове-шенной массы, - круговая ча-стота вращения двигателя. Частоту вращения будем считать переменной, т.е. нагрузка не будет гармониче-ской. Примем следующий закон изменения нагрузки: в проме-
жутке времени 0
0 Tt частота вращения двигателя равномерно нараста-
ет p
0 ; в промежутке времени 00
2TtT частота вращения двигате-
ля остается постоянной, равной p
, где p
- рабочая частота вращения; и
в промежутке времени 00
32 TtT ча-
стота вращения двигателя равномер-но убывает 0
p.
График, зависимости угловой ско-рости вращения вала двигателя от
2T0T0 3T0
w
t
w= wр w= wр(3T
0-t)/T0
w=w рt/
T0
0
Рис.5.24. Закон изменения частоты вращения.
2L
L
4EI
EIEI
Рис.5.23. Воздействие неуравновешенной массы
на узел одноэтажной рамы.
m
m
1.5m
P=m0w2e0 sin(w t)
107
времени, приведен на рис.5.24. Закон изменения нагрузки при 00 Tt :
2
0
2
2
0
0
2
0sin t)/Tt(ω
T
eωmP(t)
р
р ,
при 00 2TtT :
t)(ωeωmP(t)рр
sin0
2
0 ,
при 00
32 TtT :
2
0002
0
0
2
033sin t)T())t)/TTt((ω
T
eωmP(t)
р
р .
Обозначим 0
2
00emP
р - амплитуду возмущающей силы в рабочем ре-
жиме, тогда )()(0
tfPtP , где:
2
0
2
2
0
sin1
t)/Tt(ωT
f(t)р
при 00 Tt ,
t)(ωf(t)р
sin при 00 2TtT ,
2
0002
0
33sin1
t)T())t)/TTt((ωT
f(t)р
при 00
32 TtT .
Проведем вычисления с помощью программного пакета Maple: при разгоне двигателя > restart;
Исходные данные: > S0:=1.: mm:=200.;L:=3.; P0:=3000.; T0:=1.; omega_r:=104.6; gam:=0.025;
> with(LinearAlgebra):
> m:=Matrix(3,3,mm*L/210*[[786,11*L,11*L],[11*L,26*L^2,-18*L^2],[11*L,-18*L^2,26*L^2]],datatype=float[4]);
:= m
2245.71436 94.2857132 94.2857132
94.2857132 668.571411 -462.857147
94.2857132 -462.857147 668.571411
Вычисление собственных векторов матрицы m:
> Fi:=Matrix(3,3,Eigenvectors(m,output=vectors),datatype=float[4]):
Вычисление собственных чисел матрицы m:
> LL:=Matrix(3,1,Eigenvectors(m,output=values),datatype=float[4]):
Матрица собственных чисел матрицы m: > lamb-
daM:=Matrix(3,3,[[LL[1,1],0,0],[0,LL[2,1],0],[0,0,LL[3,1]]],datatype
=float[4]):
Квадратный корень из матрицы собственных чисел матрицы m:
> lamb-
daM05:=Matrix(3,3,[[sqrt(lambdaM[1,1]),0,0],[0,sqrt(lambdaM[2,2]),0]
,[0,0,sqrt(lambdaM[3,3])]],datatype=float[4]):
108
Квадратный корень из матрицы m:
> m05:=Fi.lambdaM05.Transpose(Fi):
Квадратный корень из обратной матрицы m:
> m_05:=Matrix(3,3,m05^(-1),datatype=float[4]);
:= m_05
0.0212729741 -0.00229964475 -0.00229964475
-0.00229964475 0.0503791720 0.0206497535
-0.00229964475 0.0206497535 0.0503791720
Жесткость EI:
> EI:=2.*10^11*5010.*10^(-8):
Матрица жесткости рамы: > K:=Matrix(3,3,2*EI/(L^3)*[[12,3*L,3*L],[3*L,6*L^2,2*L^2],[3*L,2*L^2,
6*L^2]],datatype=float[4]);
:= K
0.8906667 107 0.6680000 107 0.6680000 107
0.6680000 107 0.40080000 108 0.13360000 108
0.6680000 107 0.13360000 108 0.40080000 108
Матрица Km:
> Km:=Matrix(3,3,m_05.K.m_05,datatype=float[4]);
:= Km
3288.68848 999.433655 999.433655
999.433655 144478.234 120862.078
999.433655 120862.078 144478.234
Матрица собственных векторов матрицы Km:
> Fi:=Matrix(3,3,Eigenvectors(Km,output=vectors),datatype=float[4]);
:= Fi
-0.999985456 0.00539340638 0.
0.00381371449 0.707096517 -0.707106769
0.00381371449 0.707096517 0.707106769
Собственные числа матрицы Km:
> LL:=Matrix(3,1,Eigenvectors(Km,output=values),datatype=float[4]);
:= LL
3281.06519
265347.938
23616.1563
Собственные частоты: > p1:=sqrt(LL[1,1]);
:= p1 57.28058301
> p3:=sqrt(LL[2,1]); := p3 515.1193435
> p2:=sqrt(LL[3,1]); := p2 153.6754902
Собственные векторы: > Psi1:=Matrix(3,1,Fi.Matrix(3,1,[[1],[0],[0]],datatype=float[4]));
109
:= 1
-0.999985456
0.00381371449
0.00381371449
> Psi3:=Matrix(3,1,Fi.Matrix(3,1,[[0],[1],[0]],datatype=float[4]));
:=
0.00539340638
0.707096517
0.707096517
> Psi2:=Matrix(3,1,Fi.Matrix(3,1,[[0],[0],[1]],datatype=float[4]));
:= 2
0.
-0.707106769
0.707106769
Парциальные матрицы: > H1:=Matrix(3,3,Psi1.Transpose(Psi1),datatype=float[4]);
:= H1
0.999970913 -0.00381365907 -0.00381365907
-0.00381365907 0.0000145444183 0.0000145444183
-0.00381365907 0.0000145444183 0.0000145444183
> H2:=Matrix(3,3,Psi2.Transpose(Psi2),datatype=float[4]);
:= H2
0. 0. 0.
0. 0.499999970 -0.499999970
0. -0.499999970 0.499999970
> H3:=Matrix(3,3,Psi3.Transpose(Psi3),datatype=float[4]);
:= H3
0.0000290888329 0.00381365884 0.00381365884
0.00381365884 0.499985486 0.499985486
0.00381365884 0.499985486 0.499985486
Амплитуды форм колебаний неизвестных: > Az1:=m_05.H1.m_05.Matrix(3,1,[[1.],[0],[0]]);
:= Az1
0.000453272832699999997
-0.0000547263732000000010
-0.0000547263732000000010
> Az2:=m_05.H2.m_05.Matrix(3,1,[[1.],[0],[0]]);
:= Az2
0.
0.
0.
> Az3:=m_05.H3.m_05.Matrix(3,1,[[1.],[0],[0]]);
:= Az3
0.984332769300000067 10-5
-0.000157535215999999994
-0.000157535215999999994
Интегралы Дюамеля )()( tLtjj
:
> L1(t):=P0/(p1*T0^2)*Int(exp(-gam*p1*(t-x)/2)*sin(p1*(t-
x))*sin(omega_r*x^2/T0)*x^2,x=0..t):
110
> L2(t):=P0/(p2*T0^2)*Int(exp(-gam*p2*(t-x)/2)*sin(p2*(t-
x))*sin(omega_r*x^2/T0)*x^2,x=0..t):
> L3(t):=P0/(p3*T0^2)*Int(exp(-gam*p3*(t-x)/2)*sin(p3*(t-
x))*sin(omega_r*x^2/T0)*x^2,x=0..t):
Матрица изгибающих моментов от единичных неизвестных Zi=1: > MM:=Matrix(6,3,[[6*EI/L^2,2*EI/L,0],[-6*EI/L^2,-4*EI/L,0],[0,-8*EI/L,-4*EI/L],[0,4*EI/L,8*EI/L],[-6*EI/L^2,0,-
4*EI/L],[6*EI/L^2,0,2*EI/L]]):
Перемещения: > Z:=Az1*L1(t)+Az2*L2(t)+Az3*L3(t):
Матрица расчетных изгибающих моментов: > Mpac:=MM.Z:
Графики изгибающих моментов в сечениях рамы Mpac: > plot(Mpac,t=0..T0);
График обобщенных перемещений Zi:
> plot(Z,t=0..T0);
111
при стационарном загружении > restart;
Исходные данные: > S0:=1.: mm:=200.: L:=3.: P0:=3000.: T0:=1.: omega_r:=104.6:
gam:=0.025:
> with(LinearAlgebra):
> m:=Matrix(3,3,mm*L/210*[[786,11*L,11*L],[11*L,26*L^2,-
18*L^2],[11*L,-18*L^2,26*L^2]],datatype=float[4]):
Вычисление собственных векторов матрицы m:
> Fi:=Matrix(3,3,Eigenvectors(m,output=vectors),datatype=float[4]):
Вычисление собственных чисел матрицы m:
> LL:=Matrix(3,1,Eigenvectors(m,output=values),datatype=float[4]):
Матрица собственных чисел матрицы m: > lamb-
daM:=Matrix(3,3,[[LL[1,1],0,0],[0,LL[2,1],0],[0,0,LL[3,1]]],datatype
=float[4]):
Квадратный корень из матрицы собтвенных чисел матрицы m:
> lamb-daM05:=Matrix(3,3,[[sqrt(lambdaM[1,1]),0,0],[0,sqrt(lambdaM[2,2]),0]
,[0,0,sqrt(lambdaM[3,3])]],datatype=float[4]):
Квадратный корень из матрицы m:
> m05:=Fi.lambdaM05.Transpose(Fi):
Квадратный корень из обратной матрицы m:
> m_05:=Matrix(3,3,m05^(-1),datatype=float[4]):
Жесткость EI:
> EI:=2.*10^11*5010.*10^(-8):
Матрица жесткости рамы: > K:=Matrix(3,3,2*EI/(L^3)*[[12,3*L,3*L],[3*L,6*L^2,2*L^2],[3*L,2*L^2,
6*L^2]],datatype=float[4]):
Матрица Km:
> Km:=Matrix(3,3,m_05.K.m_05,datatype=float[4]):
Матрица собственных векторов матрицы Km:
112
> Fi:=Matrix(3,3,Eigenvectors(Km,output=vectors),datatype=float[4]):
Собственные числа матрицы Km:
> LL:=Matrix(3,1,Eigenvectors(Km,output=values),datatype=float[4]):
Собственные частоты: > p1:=sqrt(LL[1,1]):
> p3:=sqrt(LL[2,1]):
> p2:=sqrt(LL[3,1]):
Собственные векторы: > Psi1:=Matrix(3,1,Fi.Matrix(3,1,[[1],[0],[0]],datatype=float[4])):
> Psi3:=Matrix(3,1,Fi.Matrix(3,1,[[0],[1],[0]],datatype=float[4])):
> Psi2:=Matrix(3,1,Fi.Matrix(3,1,[[0],[0],[1]],datatype=float[4])):
Парциальные матрицы: > H1:=Matrix(3,3,Psi1.Transpose(Psi1),datatype=float[4]):
> H2:=Matrix(3,3,Psi2.Transpose(Psi2),datatype=float[4]):
> H3:=Matrix(3,3,Psi3.Transpose(Psi3),datatype=float[4]):
Амплитуды форм колебаний неизвестных: > Az1:=m_05.H1.m_05.Matrix(3,1,[[1.],[0],[0]]):
> Az2:=m_05.H2.m_05.Matrix(3,1,[[1.],[0],[0]]):
> Az3:=m_05.H3.m_05.Matrix(3,1,[[1],[0],[0]]):
> L1(t):=P0/(p1*T0^2)*Int(exp(-gam*p1*(t-x)/2)*sin(p1*(t-
x))*sin(omega_r*x^2/T0)*x^2,x=0..T0)+P0/(p1)*Int(exp(-gam*p1*(t-
x)/2)*sin(p1*(t-x))*sin(omega_r*x),x=T0..t):
> L2(t):=P0/(p2*T0^2)*Int(exp(-gam*p2*(t-x)/2)*sin(p2*(t-
x))*sin(omega_r*x^2/T0)*x^2,x=0..T0)+P0/(p2)*Int(exp(-gam*p2*(t-
x)/2)*sin(p2*(t-x))*sin(omega_r*x),x=T0..t):
> L3(t):=P0/(p3*T0^2)*Int(exp(-gam*p3*(t-x)/2)*sin(p3*(t-
x))*sin(omega_r*x^2/T0)*x^2,x=0..T0)+P0/(p3)*Int(exp(-gam*p3*(t-
x)/2)*sin(p3*(t-x))*sin(omega_r*x),x=T0..t):
Матрица изгибающих моментов от единичнх неизвестных Zi=1: > MM:=Matrix(6,3,[[6*EI/L^2,2*EI/L,0],[-6*EI/L^2,-4*EI/L,0],[0,-
8*EI/L,-4*EI/L],[0,4*EI/L,8*EI/L],[-6*EI/L^2,0,-
4*EI/L],[6*EI/L^2,0,2*EI/L]]):
Перемещения: > Z:=Az1*L1(t)+Az2*L2(t)+Az3*L3(t):
Матрица расчетных изгибающих моментов: > Mpac:=MM.Z:
Графики изгибающих моментов в сечениях рамы Mpac: > plot(Mpac,t=T0..2*T0);
113
График обобщенных перемещений Zi:
> plot(Z,t=T0..2*T0);
при торможении двигателя > restart;
Исходные данные: > S0:=1.: mm:=200.: L:=3.: P0:=3000.: T0:=1.: omega_r:=104.6:
gam:=0.025:
> with(LinearAlgebra):
> m:=Matrix(3,3,mm*L/210*[[786,11*L,11*L],[11*L,26*L^2,-
18*L^2],[11*L,-18*L^2,26*L^2]],datatype=float[4]):
Вычисление собственных векторов матрицы m:
> Fi:=Matrix(3,3,Eigenvectors(m,output=vectors),datatype=float[4]):
Вычисление собственных чисел матрицы m:
> LL:=Matrix(3,1,Eigenvectors(m,output=values),datatype=float[4]):
Матрица собственных чисел матрицы m: > lamb-daM:=Matrix(3,3,[[LL[1,1],0,0],[0,LL[2,1],0],[0,0,LL[3,1]]],datatype
=float[4]):
Квадратный корень из матрицы собтвенных чисел матрицы m:
> lamb-
daM05:=Matrix(3,3,[[sqrt(lambdaM[1,1]),0,0],[0,sqrt(lambdaM[2,2]),0]
,[0,0,sqrt(lambdaM[3,3])]],datatype=float[4]):
Квадратный корень из матрицы m:
> m05:=Fi.lambdaM05.Transpose(Fi):
Квадратный корень из обратной матрицы m:
> m_05:=Matrix(3,3,m05^(-1),datatype=float[4]):
Жесткость EI:
> EI:=2.*10^11*5010.*10^(-8):
Матрица жесткости рамы: > K:=Matrix(3,3,2*EI/(L^3)*[[12,3*L,3*L],[3*L,6*L^2,2*L^2],[3*L,2*L^2,
6*L^2]],datatype=float[4]):
114
Матрица Km:
> Km:=Matrix(3,3,m_05.K.m_05,datatype=float[4]):
Матрица собственных векторов матрицы Km:
> Fi:=Matrix(3,3,Eigenvectors(Km,output=vectors),datatype=float[4]):
Собственные числа матрицы Km:
> LL:=Matrix(3,1,Eigenvectors(Km,output=values),datatype=float[4]):
Собственные частоты: > p1:=sqrt(LL[1,1]):
> p3:=sqrt(LL[2,1]):
> p2:=sqrt(LL[3,1]):
Собственные векторы: > Psi1:=Matrix(3,1,Fi.Matrix(3,1,[[1],[0],[0]],datatype=float[4])):
> Psi3:=Matrix(3,1,Fi.Matrix(3,1,[[0],[1],[0]],datatype=float[4])):
> Psi2:=Matrix(3,1,Fi.Matrix(3,1,[[0],[0],[1]],datatype=float[4])):
Парциальные матрицы: > H1:=Matrix(3,3,Psi1.Transpose(Psi1),datatype=float[4]):
> H2:=Matrix(3,3,Psi2.Transpose(Psi2),datatype=float[4]):
> H3:=Matrix(3,3,Psi3.Transpose(Psi3),datatype=float[4]):
Амплитуды форм колебаний неизвестных: > Az1:=m_05.H1.m_05.Matrix(3,1,[[1],[0],[0]]):
> Az2:=m_05.H2.m_05.Matrix(3,1,[[1],[0],[0]]):
> Az3:=m_05.H3.m_05.Matrix(3,1,[[1],[0],[0]]):
Интегралы Дюамеля )()( tLtjj
:
> L1(t):=P0/(p1*T0^2)*Int(exp(-gam*p1*(t-x)/2)*sin(p1*(t-x))*sin(omega_r*x^2/T0)*x^2,x=0..T0)+P0/(p1)*Int(exp(-gam*p1*(t-
x)/2)*sin(p1*(t-
x))*sin(omega_r*x),x=T0..2*T0)+P0/(p1*T0^2)*Int(exp(-gam*p1*(t-
x)/2)*sin(p1*(t-x))*sin(omega_r*x*(3*T0-x)/T0)*(3*T0-
x)^2,x=2*T0..t):
> L2(t):=P0/(p2*T0^2)*Int(exp(-gam*p2*(t-x)/2)*sin(p2*(t-
x))*sin(omega_r*x^2/T0)*x^2,x=0..T0)+P0/(p2)*Int(exp(-gam*p2*(t-
x)/2)*sin(p2*(t-
x))*sin(omega_r*x),x=T0..2*T0)+P0/(p2*T0^2)*Int(exp(-gam*p2*(t-
x)/2)*sin(p2*(t-x))*sin(omega_r*x*(3*T0-x)/T0)*(3*T0-
x)^2,x=2*T0..t):
> L3(t):=P0/(p3*T0^2)*Int(exp(-gam*p3*(t-x)/2)*sin(p3*(t-
x))*sin(omega_r*x^2/T0)*x^2,x=0..T0)+P0/(p3)*Int(exp(-gam*p3*(t-
x)/2)*sin(p3*(t-
x))*sin(omega_r*x),x=T0..2*T0)+P0/(p3*T0^2)*Int(exp(-gam*p3*(t-
x)/2)*sin(p3*(t-x))*sin(omega_r*x*(3*T0-x)/T0)*(3*T0-
x)^2,x=2*T0..t):
Матрица изгибающих моментов от единичных неизвестных Zi=1: > MM:=Matrix(6,3,[[6*EI/L^2,2*EI/L,0],[-6*EI/L^2,-4*EI/L,0],[0,-8*EI/L,-4*EI/L],[0,4*EI/L,8*EI/L],[-6*EI/L^2,0,-
4*EI/L],[6*EI/L^2,0,2*EI/L]]):
115
Перемещения: > Z:=Az1*L1(t)+Az2*L2(t)+Az3*L3(t):
Матрица расчетных изгибающих моментов: > Mpac:=MM.Z:
Графики изгибающих моментов в сечениях рамы Mpac: > plot(Mpac,t=2*T0..3*T0);
График обобщенных перемещений Zi: > plot(Z,t=2*T0..3*T0);
Для анализа результатов расчетов покажем все графики на одном рис.5.25
Изгибающие моменты в сечениях рамы
при разгоне двигателя в стационарном режиме работы при торможении двигателя
Перемещения узлов рамы
116
при разгоне двигателя в стационарном режиме работы при торможении двигателя
Рис.5.25. Результаты расчета рамы в переходных режимах работы
Из этих графиков видно, что наибольшие усилия и перемещения дости-гаются при переходе двигателя с режима разгона в стационарный режим и из стационарного режима в режим торможения. Именно и эти моменты внутренние усилия и перемещения достигают наибольших величин. Рассмотрим стационарные колебания конструкций под действием гар-монической нагрузки
)exp( ti(t) 0
PP . (5.42)
Стационарные колебания это колебания конструкций, происходящие в моменты времени после полного затухания свободных колебаний, то есть
силы )exp( ti0
P действуют очень долго и мы вправе искать решение урав-
нения (5.1) без учета свободных колебаний. Решение уравнения (5.1) при нагрузке (5.42) ищем в виде:
)exp t(i0
Z(t)Z . (5.43)
После подстановки (5.43) в (5.1) после сокращения )exp t(i на получим:
000PZKZГZm i
0
2 . (5.44)
К решению последнего уравнения применим метод разложения по соб-ственным формам. Решение ищем и виде:
00 aΦZ . (5.45)
После подстановки (5.45) в (5.44), умножения слева на ФТ получаем:
0
T
0
T
0
T
0
T2PΦaKФΦaГФΦiωamФΦω , (5.46)
но, если Ф есть собственные формы отвечающие зависимостям
,Φ,Φ 2T
0
TpΛKФ EamФ
а )()(Φ pΛΛГФГ
T f .
Для частотно-независимого демпфирования по (5.34) принимаем pp )( .
(5.47)
117
После подстановки (5.34) в (5.47), а затем в (5.46) получаем
0
T
0
2PΦapp ][ 2 i . (5.48)
Поскольку матрица частот диагональная, то матрицы ][ 2 2pp i и
обратная ей матрица тоже диагональные. Обозначим 12* ][)]([ 2
pp idiag (5.49)
и назовем её передаточной матрицей. Диагональные, ненулевые элемен-ты этой матрицы
22
* 1)(
jj
jppi
-
комплексные величины, представляющие собой передаточные функции по соответствующим формам. Из (5.48) с учетом (5.49) получаем
0
T
0PΦa )]([ * diag . (5.50)
После подстановки (5.50) в (5.45) находим:
0
T
0PΦΦZ )]([ * diag . (5.51)
Учитывая, что
n
j
*
jωΦdiag
1
11*
11* )ψψ)(()]([ mHmmmΦΦ
j
T
j
n
1j
T ,
n n
jj1 1
Z
*11
*
j0j0APmHmZ , (5.52)
где PmHmAjZj
11
-
амплитуды по формам. Для примера рассмотрим раму, показанную на рис.5.23, при действии горизонтальной, гармонической силы )exp()(
0tiPtP . Найдем амплитуды
перемещений узлов и амплитуды изгибающих моментов в сечениях 1 – 6, Расчет выполним, используя программный пакет Maple. > restart;
Исходные данные: mm - распределенная масса в H/м, L - размер в м (высота стойки),P0
- амплитуда нагрузки kH, gam - коэффициет потерь.
> mm:=200.: L:=3.: P0:=3000.: gam:=0.025:
> with(LinearAlgebra):
> m:=Matrix(3,3,mm*L/210*[[786,11*L,11*L],[11*L,26*L^2,-18*L^2],[11*L,-18*L^2,26*L^2]],datatype=float[4]):
Вычисление собственных векторов матрицы m:
> Fi:=Matrix(3,3,Eigenvectors(m,output=vectors),datatype=float[4]):
Вычисление собственных чисел матрицы m:
> LL:=Matrix(3,1,Eigenvectors(m,output=values),datatype=float[4]):
Матрица собственных чисел матрицы m: > lamb-
daM:=Matrix(3,3,[[LL[1,1],0,0],[0,LL[2,1],0],[0,0,LL[3,1]]],datatype
=float[4]):
118
Квадратный корень из матрицы собтвенных чисел матрицы m:
> lamb-daM05:=Matrix(3,3,[[sqrt(lambdaM[1,1]),0,0],[0,sqrt(lambdaM[2,2]),0]
,[0,0,sqrt(lambdaM[3,3])]],datatype=float[4]):
Квадратный корень из матрицы m:
> m05:=Fi.lambdaM05.Transpose(Fi):
Квадратный корень из обратной матрицы m:
> m_05:=Matrix(3,3,m05^(-1),datatype=float[4]):
Жесткость EI:
> EI:=2.*10^11*5010.*10^(-8):
Матрица жесткости рамы: > K:=Matrix(3,3,2*EI/(L^3)*[[12,3*L,3*L],[3*L,6*L^2,2*L^2],[3*L,2*L^2,
6*L^2]],datatype=float[4]):
Матрица Km:
> Km:=Matrix(3,3,m_05.K.m_05,datatype=float[4]):
Матрица собственных векторов матрицы Km:
> Fi:=Matrix(3,3,Eigenvectors(Km,output=vectors),datatype=float[4]):
Собственные числа матрицы Km:
> LL:=Matrix(3,1,Eigenvectors(Km,output=values),datatype=float[4]):
Собственные частоты: > p1:=sqrt(LL[1,1]):
> p3:=sqrt(LL[2,1]):
> p2:=sqrt(LL[3,1]):
Собственные векторы:
> Psi1:=Matrix(3,1,Fi.Matrix(3,1,[[1],[0],[0]],datatype=float[4])):
> Psi3:=Matrix(3,1,Fi.Matrix(3,1,[[0],[1],[0]],datatype=float[4])):
> Psi2:=Matrix(3,1,Fi.Matrix(3,1,[[0],[0],[1]],datatype=float[4])):
Парциальные матрицы: > H1:=Matrix(3,3,Psi1.Transpose(Psi1),datatype=float[4]):
> H2:=Matrix(3,3,Psi2.Transpose(Psi2),datatype=float[4]):
> H3:=Matrix(3,3,Psi3.Transpose(Psi3),datatype=float[4]):
Амплитуды форм колебаний неизвестных: > Az1:=m_05.H1.m_05.Matrix(3,1,[[P0],[0.],[0.]]):
> Az2:=m_05.H2.m_05.Matrix(3,1,[[P0],[0.],[0.]]):
> Az3:=m_05.H3.m_05.Matrix(3,1,[[P0],[0.],[0.]]):
> Fi1(omega):=1/(p1^2-omega^2+I*gam*p1*omega):
> Fi2(omega):=1/(p2^2-omega^2+I*gam*p2*omega):
> Fi3(omega):=1/(p3^2-omega^2+I*gam*p3*omega):
Матрица изгибающих моментов от единичнх неизвестных Zi=1:
119
> MM:=Matrix(6,3,[[6*EI/L^2,2*EI/L,0],[-6*EI/L^2,-4*EI/L,0],[0,-
8*EI/L,-4*EI/L],[0,4*EI/L,8*EI/L],[-6*EI/L^2,0,-
4*EI/L],[6*EI/L^2,0,2*EI/L]]):
Перемещения: > Z:=Az1*Fi1(omega)+Az2*Fi2(omega)+Az3*Fi3(omega):
Матрица расчетных изгибающих моментов: > Mpac:=MM.Z:
Графики изгибающих моментов в сечениях рамы Mpac: > M0pac:=Matrix(6,1,[[sqrt(Re(Mpac[1,1])^2+Im(Mpac[1,1])^2)],[sqrt(Re(
Mpac[2,1])^2+Im(Mpac[2,1])^2)],[sqrt(Re(Mpac[3,1])^2+Im(Mpac[3,1])^2
)],[sqrt(Re(Mpac[4,1])^2+Im(Mpac[4,1])^2)],[sqrt(Re(Mpac[5,1])^2+Im(
Mpac[5,1])^2)],[sqrt(Re(Mpac[6,1])^2+Im(Mpac[6,1])^2)]]);
> plot(sqrt(Re(Mpac[1,1])^2+Im(Mpac[1,1])^2),omega=0...1.2*p3);
> plot(sqrt(Re(Mpac[2,1])^2+Im(Mpac[2,1])^2),omega=0...1.2*p3);
> plot(sqrt(Re(Mpac[3,1])^2+Im(Mpac[3,1])^2),omega=0...1.2*p3);
120
График обобщенных перемещений Zi:
> plot(sqrt(Re(Z[1,1])^2+Im(Z[1,1])^2),omega=0..1.2*p3);
> plot(sqrt(Re(Z[2,1])^2+Im(Z[2,1])^2),omega=0...1.2*p3);
121
> plot(sqrt(Re(Z[3,1])^2+Im(Z[3,1])^2),omega=0...1.2*p3);
Амплитуды изгибающих моментов при первом резонансе: > omega:=p1;
:= 57.28058301
> M0pac;
97369.21436
83998.93336
80221.73404
80221.73404
83998.93336
97369.21436
По результатам расчета построим эпюру амплитуд изгибающих момен-тов при первом резонансе
1p (рис.5.26). Основное отличие динамиче-
ской эпюры изгибающих моментов от статической эпюры состоит в том, что изгибающие моменты в узлах рамы в стойках не равны изгибающим моментам в ригеле. Это связано с наличием узловых сил инерции, равно-действующая которых приводится к паре сил. Согласно принципу Далам-бера совокупность внутренних сил упругости и сил инерции, действующих на узел должна быть равна нулю. На рис.5.27 показаны графики амплитуд изгибающих моментов и графи-ки амплитуд перемещений в характерных точках рамы в зависимости от частоты колебаний.
122
Рис.5.26. Эпюра амплитуд изгибающих
моментов в раме при первом резонансе.
Эпюра M0pac
(Нм)
97369
83999 83999
80222
97369
80222
1
2
3 4
5
6
График амплитуд изгибающих моментов M0pac: стойка низ стойка верх ригель (левый узел)
График амплитуд обобщенных перемещений Zi: горизонтальное перемещение ригеля угол поворота узла
123
Рис.5.27. Результаты расчета рамы на гармоническое воздействие.
4. Учет внутреннего трения при колебаниях конструкций из разнород-ных материалов. В предыдущих разделах мы показали примеры расчета однородных конструкций выполненных из одного материала, то есть таких конструкций, у которых упругие и диссипативные характеристики постоянны и одинако-вы для всех элементов. В случаях, когда конструкция выполнена из эле-ментов, материал которых различен, упругие свойства (различные модули упругости) легко учитываются при формировании матрицы жесткости кон-струкции К. Диссипативные свойства конструкции учесть сложнее. Если для однородной конструкции при разложении уравнения движения по соб-ственным формам было установлено, что диссипативный член в уравне-нии движения можно заменить величиной p , в котором Const есть
коэффициент потерь материала конструкции. Напомним как была получе-на эта формула. Для учета диссипативных сил в уравнение движения рамы введем дис-
сипативный член: ZГ , получим
PZKZГZm , (5.33) где Г – диссипативная матрица. Для того чтобы применить к уравнению (5.33) метод разложения по собственным формам необходимо, чтобы матрица Г имела те же самые собственные векторы Ψ , что и матрицы m и K, то есть матрица
11
mmKmK
. Это значит, что Гm
TΛΨГΨ , где
ГΛ - диагональная
матрица. В качестве такой матрицы может быть принята любая функция матрицы Λ: )ΛΛ
Гf( . Поскольку собственные числа матрицы
mK пред-
ставляют собой квадраты собственных частот колебаний p, то )()( pΛΛ
Г f . Представим )( p в виде разложения в ряд Маклорена:
....!
)0(....
!2
)0()0()0()(
)(
n2pppp
n
n ,
Сохраним в этом разложении первый ненулевой член, т.е. примем pp )0()( .
Постоянную величину )0( обозначим , тогда
pp )( . (5.34)
Поскольку Λp , то Λp )( и m
T
mKΨΛΨΓ .
Таким образом, уравнение движения (5.33) для однородных систем (вы-полненных из одного материала) примет вид:
)(tPZKZmKmZm . (5.53)
124
Для неоднородных систем, используя соотношения линейной вязко-упругости для гармонических колебаний согласно принципу Больцмана Вольтера можно записать
)exp()exp()()exp()()exp(000
2 tititiiti 0
PZKZKZm , (5.54)
где )( ,)( KK - соответственно действительная и мнимая часть ком-
плексной жесткости, которую можно вычислить, если использовать ком-плексные модули упругости )()( EEi .
В работе [9] приводится значение коэффициента потерь
)
))(
(ωE
(ωEγ
j
j
j
, (5.55)
то есть, вместо )(j
E для каждого j-го элемента, можно подставлять
)()( jj
E .
Действительная часть комплексного модуля - медленно меняющаяся функция частоты и для частот учитываемых в практических расчетах кон-струкций можно принять
jjEE )( , (5.56)
тогда KK )( . Мнимая часть комплексной жесткости )(K вычисляется
с учетом (5.55), (5.56). Уравнение (5.54) можно записать в виде
0000PZKZKZm )(2 i , (5.57)
или 0000
PZKZKγZm )(2 i , (5.58)
где 1KKγ
)( . (5.59)
Определим функцию )(γ . Найдем собственные значения матрицы 1
KK :
][j
γdiag
γ
1T
γ)ΦKK(Φ ,
где ][j
diag - собственные числа и γ
Φ - собственные формы матрицы 1
KK . В качестве функции )(γ примем функцию, значения которой в
точках j
p равны )()()(jj
fp γγ .
Решение уравнения (5.58) ищем в виде разложения по собственным формам матрицы K:
00aΦZ , (5.60)
тогда
0
T
0
T
0
T
0
TPΦaKΦΦaKΦΦamΦΦ )(2 γfi .
Учитывая, что
EmΦΦT ,
2TpΛKΦΦ ,
00
TbPΦ ,
получим
00
2
0
2
0bapapa )(2 γfi . (5.61)
При значениях j
p (j=1,2,…n) получим систему уравнений:
125
jjjjjjjjbapapγfiap
00
2
0
2
0
2 )( , j=1,2,…n.
Последнее выражение можно переписать с учетом того, что jj
p :
jjjjjjjjjbapapγfia
00
2
00
2 )( , j=1,2,…n.
Возвращаясь к матричной записи, получим
0
T
0
2
00PΦapapa )(2 γfi .
С учетом того, что 2
m
TpΛΨKΨ , pΛΨKΨ
m
T , 11
mmKmK
, ΨΦm ,
получим в результате последовательных преобразований:
0
T
0m
T
0m
T
0
TPΦaΨKΨaΨKΨaΨΨ )(2 γfi ,
0
T
0
T
0m
T
0
TPΦaΦKΦaΦmKmΦamΦΦ )(2 γfi ,
0
T
0
T
0
T
0
TPΦZKΦZmKmΦZmΦ )(2 γfi .
После сокращения на TΦ и умножения на )exp( ti находим:
)exp()exp())(( 2 titiγfi 0000
PZKZmKmZm .
Так как
)exp()( ),exp()( ),exp()( ),exp()( 2 tittiittittit 0000
ZZZZZZPP
окончательно получим:
)()()()()( tttγft PZKZmKmZm . (5.62)
Формула (5.62) дает точные результаты в резонансных режимах коле-баний (при
jp ). В нерезонансных областях влияние затухания колеба-
ний незначительно, поэтому результаты, доставляемые этой формулой также можно считать практически точными. Функция затухания )(γf есть функция, аппроксимирующая собственные
значения матрицы 1KK
, в которой K формируется также как матрица жесткости K с заменой в ней упругих постоянных произведениями коэф-фициентов потерь на упругие постоянные материалов элементов.
Для примера рассмотрим ра-му, показанную на рис.5.28, при действии горизонтальной, гар-монической силы
)exp()(0
tiPtP .
Стойки рамы выполнены из предварительно напряженного железобетона, ригель стальной. Найдем амплитуды перемеще-ний узлов и амплитуды изгиба-ющих моментов в сечениях 1–6,
2L
L
4EI
EIEI
Рис.5.28. Воздействие неуравновешенной массы
на узел одноэтажной рамы.
m
m
1.5m
P=m0w2e0 sin(w t)
1
2 3
4
5
6
g ст
g ст
g р
126
Расчет выполним, используя программный пакет Maple. > restart;
Исходные данные: n - количество неизвестных, mm - распределенная масса в H/м, L - размер в м (высота стойки),P0 - амплитуда нагрузки kH, gammaст - коэффициент по-терь материала стойки, gammaр - коэффициент потерь материала ригеля, gamma1 - относительный коэффициент потерь при низких частотах колебаний (0 - 5 гц), gamma2 - относительный коэффициент потерь при высоких частотах колебаний ( >= 10
гц). > n1:=3: n:=3: mm:=200.: L:=3.: P0:=3000.: gamma2:=1.: gamma1:=1.:
gammaст:=0.025: gammaр:=0.01:
> with(LinearAlgebra):
> m:=Matrix(n,n,mm*L/210*[[786,11*L,11*L],[11*L,26*L^2,-
18*L^2],[11*L,-18*L^2,26*L^2]],datatype=float[4]):
Вычисление собственных векторов матрицы m:
> gam:=proc(omega)
> global gamma1,gamma2,n;
> gamma1+Heaviside(omega-10*evalf(Pi))*((gamma2-gamma1)*(omega-10.*evalf(Pi))/(10.*evalf(Pi)))-Heaviside(omega-
20.*evalf(Pi))*((gamma2-gamma1)*(omega-
20.*evalf(Pi))/(10.*evalf(Pi)));
> RETURN(%);
> end:
> plot(gam(x),x=0..100):
> sortirovka:=proc(Fi,sch)
> local i,j,k,bb,S: global n:
> for i from 1 by 1 to n-1 do
> for j from i+1 by 1 to n do
> if sch[j,1]<sch[i,1] then
> bb:=sch[j,1];
> sch[j,1]:=sch[i,1];
> sch[i,1]:=bb;
> for k from 1 to n do
> S[j]:=Fi[k,j];
> Fi[k,j]:=Fi[k,i];
> Fi[k,i]:=S[j];
> end do;
> else
> next;
> end if;
> end do;
> end do;
> end:
> Fi:=Matrix(n,n,3,Eigenvectors(m,output=vectors),datatype=float[4]):
Вычисление собственных чисел матрицы m:
> LL:=Matrix(n,1,Eigenvectors(m,output=values),datatype=float[4]):
Матрица собственных чисел матрицы m:
127
> lamb-
daM:=Matrix(n,n,[[LL[1,1],0,0],[0,LL[2,1],0],[0,0,LL[3,1]]],datatype
=float[4]):
Квадратный корень из матрицы собтвенных чисел матрицы m:
> lamb-daM05:=Matrix(n,n,[[sqrt(lambdaM[1,1]),0,0],[0,sqrt(lambdaM[2,2]),0]
,[0,0,sqrt(lambdaM[3,3])]],datatype=float[4]):
Квадратный корень из матрицы m:
> m05:=Fi.lambdaM05.Transpose(Fi):
Квадратный корень из обратной матрицы m:
> m_05:=Matrix(n,n,m05^(-1),datatype=float[4]):
Жесткость EI:
> EI:=2.*10^11*5010.*10^(-8):
Матрица жесткости рамы: > K:=Matrix(n,n,2*EI/(L^3)*[[12,3*L,3*L],[3*L,6*L^2,2*L^2],[3*L,2*L^2,
6*L^2]],datatype=float[4]):
Матрица Km:
> Km:=Matrix(n,n,m_05.K.m_05,datatype=float[4]):
Матрица собственных векторов матрицы Km:
> Fi:=Matrix(n,n,Eigenvectors(Km,output=vectors),datatype=float[4]):
Собственные числа матрицы Km:
> LL:=Matrix(n,1,Eigenvectors(Km,output=values),datatype=float[4]):
> sortirovka(Fi,LL):
Собственные частоты: > p1:=sqrt(LL[1,1]):
> pp1:=p1/(2.*evalf(Pi)):
> p2:=sqrt(LL[2,1]):
> pp2:=p2/(2.*evalf(Pi)):
> p3:=sqrt(LL[3,1]):
> pp3:=p3/(2.*evalf(Pi)):
> K2:=Matrix(n,n,EI/(L^3)*[[24*gammaст,6*L*gammaст,6*L*gammaст],[6*L*g
ammaст,4*L^2*gammaст+8*L^2*gammaр,4*L^2*gammaр],[6*L*gammaст,4*L^2*g
ammaр,4*L^2*gammaст+8*L^2*gammaр]],datatype=float[4]):
> K2m:=Matrix(n,n,m_05.K2.m_05,datatype=float[4]):
> K2mK_1m:=K2m.Km^(-1):
> vect:=Matrix(n,n,Eigenvectors(K2mK_1m,output=vectors),datatype=float
[4]):
> gammm:=Matrix(n,1,Eigenvectors(K2mK_1m,output=values),datatype=float
[4]):
> sortirovka(vect,gammm):
> vect:
> gammm:
> gam(p1):
> gam(p2):
> gam(p3):
128
Коэффициенты потерь по собственным формам: > gamm(1):=gammm[1,1]*gam(pp1);
:= ( )gamm 1 0.0111538460
> gamm(2):=gammm[2,1]*gam(pp2); := ( )gamm 2 0.0175000001
> gamm(3):=gammm[3,1]*gam(pp3); := ( )gamm 3 0.0250000004
Собственные векторы: > Psi1:=Matrix(n,1,Fi.Matrix(n,1,[[1],[0],[0]],datatype=float[4])):
> Psi3:=Matrix(n,1,Fi.Matrix(n,1,[[0],[1],[0]],datatype=float[4])):
> Psi2:=Matrix(n,1,Fi.Matrix(n,1,[[0],[0],[1]],datatype=float[4])):
Парциальные матрицы: > H1:=Matrix(n,n,Psi1.Transpose(Psi1),datatype=float[4]):
> H2:=Matrix(n,n,Psi2.Transpose(Psi2),datatype=float[4]):
> H3:=Matrix(n,n,Psi3.Transpose(Psi3),datatype=float[4]):
Амплитуды форм колебаний неизвестных: > Az1:=m_05.H1.m_05.Matrix(n,1,[[P0],[0.],[0.]]):
> Az2:=m_05.H2.m_05.Matrix(n,1,[[P0],[0.],[0.]]):
> Az3:=m_05.H3.m_05.Matrix(n,1,[[P0],[0.],[0.]]):
> Fi1(omega):=1/(p1^2-omega^2+I*gamm(1)*p1*omega):
> Fi2(omega):=1/(p2^2-omega^2+I*gamm(2)*p2*omega):
> Fi3(omega):=1/(p3^2-omega^2+I*gamm(3)*p3*omega):
Матрица изгибающих моментов от единичнх неизвестных Zi=1: > MM:=Matrix(2*n1,n,[[6*EI/L^2,2*EI/L,0],[-6*EI/L^2,-4*EI/L,0],[0,-8*EI/L,-4*EI/L],[0,4*EI/L,8*EI/L],[-6*EI/L^2,0,-
4*EI/L],[6*EI/L^2,0,2*EI/L]]):
Перемещения: > Z:=Az1*Fi1(omega)+Az2*Fi2(omega)+Az3*Fi3(omega):
Матрица расчетных изгибающих моментов: > Mpac:=MM.Z:
Графики изгибающих моментов в сечениях рамы Mpac: > M0pac:=Matrix(2*n1,1,[[sqrt(Re(Mpac[1,1])^2+Im(Mpac[1,1])^2)],[sqrt(
Re(Mpac[2,1])^2+Im(Mpac[2,1])^2)],[sqrt(Re(Mpac[3,1])^2+Im(Mpac[3,1]
)^2)],[sqrt(Re(Mpac[4,1])^2+Im(Mpac[4,1])^2)],[sqrt(Re(Mpac[5,1])^2+
Im(Mpac[5,1])^2)],[sqrt(Re(Mpac[6,1])^2+Im(Mpac[6,1])^2)]]):
> M0pac[2,1]-M0pac[3,1]:
> plot(sqrt(Re(Mpac[1,1])^2+Im(Mpac[1,1])^2),omega=0...1.2*p3);
129
> plot(sqrt(Re(Mpac[2,1])^2+Im(Mpac[2,1])^2),omega=0...1.2*p3);
> plot(sqrt(Re(Mpac[3,1])^2+Im(Mpac[3,1])^2),omega=0...1.2*p3);
График обобщенных перемещений Zi: > plot(sqrt(Re(Z[1,1])^2+Im(Z[1,1])^2),omega=0..1.2*p3);
130
> plot(sqrt(Re(Z[2,1])^2+Im(Z[2,1])^2),omega=0...1.2*p3);
> plot(sqrt(Re(Z[3,1])^2+Im(Z[3,1])^2),omega=0...1.2*p3);
131
> omega:=p1; := 57.28058301
> M0pac;
218240.3612
188271.5756
179816.2767
179816.2767
188271.5756
218240.3612
> omega:=p2;
> M0pac;
:= 153.6754902
7170.419245
14802.64555
45835.81750
45835.81750
14802.64555
7170.419245
> omega:=p3;
> M0pac; := 515.1193435
18.23292027
0.9948255926
103.4674582
103.4674582
0.9948255926
18.23292027
132
Рассмотрим раму, показанную на рис.5.29, при действии гори-зонтальной, гармонической силы
)exp()(0
tiPtP . Стойки рамы
выполнены из предварительно напряженного железобетона, ри-гель стальной. На ригеле установлен гаси-тель горизонтальных колебаний. Найдем амплитуды переме-
щений узлов и амплитуды изгибающих моментов в сечениях 1–6, Расчет выполним, используя программный пакет Maple. > restart;
Исходные данные: n1 - количество элементов, n - количество неизвестных, mm - рас-пределенная масса в H/м, L - размер в м (высота стойки), P0 - амплитуда нагрузки kH,
gammaст - коэффициент потерь материала стойки, gammaр - коэффициент потерь мате-риала ригеля, gammaгас - коэффициент потерь гасителя, mg - масса гасителя, gamma1 - относительный коэффициент потерь при низких частотах колебаний (0 - 5 гц), gamma2 - относительный коэффициент потерь при высоких частотах колебаний ( >= 10 гц). > n1:=3: n:=4: mm:=200.: L:=3.: P0:=3000.: gamma2:=1.: gamma1:=1.:
gammaст:=0.025: gammaр:=0.01: gammaгас:=0.1: mg:=125.:
> with(LinearAlgebra):
> m:=Matrix(n,n,mm*L/210*[[786,11*L,11*L,0],[11*L,26*L^2,-
18*L^2,0],[11*L,-
18*L^2,26*L^2,0],[0,0,0,mg*210/(mm*L)]],datatype=float[8]):
Процедура зависимости отношения коэффициентов потерь от частоты:
> gam:=proc(omega)
> global gamma1,gamma2:
>gamma1+Heaviside(omega-10*evalf(Pi))*((gamma2-gamma1)*(omega-10.*evalf(Pi))/(10.*evalf(Pi)))-Heaviside(omega-
20.*evalf(Pi))*((gamma2-gamma1)*(omega-
20.*evalf(Pi))/(10.*evalf(Pi))):
> RETURN(%):
> end:
> plot(gam(x),x=0..100):
Процедура сортировки по возрастанию: > sortirovka:=proc(Fi,sch)
> local i,j,k,bb,S: global n:
> for i from 1 by 1 to n-1 do
> for j from i+1 by 1 to n do
> if sch[j,1]<sch[i,1] then
> bb:=sch[j,1];
> sch[j,1]:=sch[i,1];
> sch[i,1]:=bb;
> for k from 1 to n do
2L
L
4EI
EIEI
Рис.5.29. Воздействие неуравновешенной массы
на узел одноэтажной рамы.
m
m
1.5m
P=m0w2e0 sin(w t)
1
2 3 4 5
6
g ст
g ст
g р mг
133
> S[j]:=Fi[k,j];
> Fi[k,j]:=Fi[k,i];
> Fi[k,i]:=S[j];
> end do;
> else
> next;
> end if;
> end do;
> end do;
> end:
Вычисление собственных векторов матрицы m:
> Fi:=Matrix(n,n,Eigenvectors(m,output=vectors),datatype=float[8]):
Вычисление собственных чисел матрицы m:
> LL:=Matrix(n,1,Eigenvectors(m,output=values),datatype=float[8]):
Матрица собственных чисел матрицы m: > lamb-
daM:=Matrix(n,n,[[LL[1,1],0,0,0],[0,LL[2,1],0,0],[0,0,LL[3,1],0],[0,
0,0,LL[4,1]]],datatype=float[8]):
Квадратный корень из матрицы собственных чисел матрицы m:
> lamb-daM05:=Matrix(n,n,[[sqrt(lambdaM[1,1]),0,0,0],[0,sqrt(lambdaM[2,2]),
0,0],[0,0,sqrt(lambdaM[3,3]),0],[0,0,0,sqrt(lambdaM[4,4])]],datatype
=float[8]):
Квадратный корень из матрицы m:
> m05:=Fi.lambdaM05.Transpose(Fi):
Квадратный корень из обратной матрицы m:
> m_05:=Matrix(n,n,m05^(-1),datatype=float[8]):
Жесткость EI и жесткость гасителя: > EI:=2.*10^11*5010.*10^(-8): kg:=3281.06519*mg:
Матрица жесткости рамы:
> K:=Matrix(n,n,2*EI/(L^3)*[[12+kg*L^3/(2*EI),3*L,3*L,-kg*L^3/(2*EI)],[3*L,6*L^2,2*L^2,0],[3*L,2*L^2,6*L^2,0],[-
kg*L^3/(2*EI),0,0,kg*L^3/(2*EI)]],datatype=float[8]):
Матрица Km:
> Km:=Matrix(n,n,m_05.K.m_05,datatype=float[8]):
Матрица собственных векторов матрицы Km:
> Fi:=Matrix(n,n,Eigenvectors(Km,output=vectors),datatype=float[8]):
Собственные числа матрицы Km:
> LL:=Matrix(n,1,Eigenvectors(Km,output=values),datatype=float[8]):
> sortirovka(Fi,LL):
> Km_05:=Fi.Matrix(n,n,[[sqrt(LL[1,1]),0,0,0],[0,sqrt(LL[2,1]),0,0],[0
,0,sqrt(LL[3,1]),0],[0,0,0,sqrt(LL[4,1])]]).Transpose(Fi):
Собственные частоты: > p1:=sqrt(LL[1,1]):
> pp1:=p1/(2.*evalf(Pi)); := pp1 8.095793100
> p2:=sqrt(LL[2,1]):
134
> pp2:=p2/(2.*evalf(Pi)); := pp2 10.26578944
> p3:=sqrt(LL[3,1]):
> pp3:=p3/(2.*evalf(Pi)); := pp3 24.45821665
> p4:=sqrt(LL[4,1]):
> pp4:=p4/(2.*evalf(Pi)); := pp4 81.98441440
Диссипативная матрица: > K2:=Matrix(n,n,EI/(L^3)*[[24*gammaст+gammaгас*kg*L^3/(EI),6*L*gammaс
т,6*L*gammaст,-
gam-
maгас*kg*L^3/(EI)],[6*L*gammaст,4*L^2*gammaст+8*L^2*gammaр,4*L^2*gam
maр,0],[6*L*gammaст,4*L^2*gammaр,4*L^2*gammaст+8*L^2*gammaр,0],[-
gammaгас*kg*L^3/(EI),0,0,gammaгас*kg*L^3/(EI)]],datatype=float[8]):
> K2m:=Matrix(n,n,m_05.K2.m_05,datatype=float[8]):
> K2mK_1m:=Km_05^(-1).K2m.Km_05^(-1):
> vect:=Matrix(n,n,Eigenvectors(K2mK_1m,output=vectors),datatype=float
[8]):
> fgam-ma:=Matrix(n,1,Eigenvectors(K2mK_1m,output=values),datatype=float[8]
):
> sortirovka(vect,fgamma):
> gam(p1):
> gam(p2):
> gam(p3):
> gam(p4):
Коэффициенты потерь по собственным формам: > gamm(1):=fgamma[1,1]*gam(p1);
:= ( )gamm 1 0.01115384615
> gamm(2):=fgamma[2,1]*gam(p2); := ( )gamm 2 0.01750000001
> gamm(3):=fgamma[3,1]*gam(p3); := ( )gamm 3 0.02500000001
> gamm(4):=fgamma[4,1]*gam(p4); := ( )gamm 4 0.1000000000
Собственные векторы: > Psi1:=Matrix(n,1,Fi.Matrix(n,1,[[1],[0],[0],[0]],datatype=float[8]))
:
> Psi2:=Matrix(n,1,Fi.Matrix(n,1,[[0],[1],[0],[0]],datatype=float[8]))
:
135
> Psi3:=Matrix(n,1,Fi.Matrix(n,1,[[0],[0],[1],[0]],datatype=float[8]))
:
> Psi4:=Matrix(n,1,Fi.Matrix(n,1,[[0],[0],[0],[1]],datatype=float[8]))
:
Парциальные матрицы: > H1:=Matrix(n,n,Psi1.Transpose(Psi1),datatype=float[8]):
> H2:=Matrix(n,n,Psi2.Transpose(Psi2),datatype=float[8]):
> H3:=Matrix(n,n,Psi3.Transpose(Psi3),datatype=float[8]):
> H4:=Matrix(n,n,Psi4.Transpose(Psi4),datatype=float[8]):
Амплитуды форм колебаний неизвестных: > Az1:=m_05.H1.m_05.Matrix(n,1,[[P0],[0.],[0.]]):
> Az2:=m_05.H2.m_05.Matrix(n,1,[[P0],[0.],[0.]]):
> Az3:=m_05.H3.m_05.Matrix(n,1,[[P0],[0.],[0.]]):
> Az4:=m_05.H4.m_05.Matrix(n,1,[[P0],[0.],[0.]]):
> Fii1(omega):=1/(p1^2-omega^2+I*gamm(1)*p1*omega):
> Fii2(omega):=1/(p2^2-omega^2+I*gamm(2)*p2*omega):
> Fii3(omega):=1/(p3^2-omega^2+I*gamm(3)*p3*omega):
> Fii4(omega):=1/(p4^2-omega^2+I*gamm(4)*p4*omega):
Матрица изгибающих моментов от единичнх неизвестных Zi=1: > MM:=Matrix(2*n1+1,n,[[6*EI/L^2,2*EI/L,0],[-6*EI/L^2,-4*EI/L,0],[0,-
8*EI/L,-4*EI/L],[0,4*EI/L,8*EI/L],[-6*EI/L^2,0,-
4*EI/L],[6*EI/L^2,0,2*EI/L],[-kg,0,0,kg]]):
Перемещения: > Z:=Az1*Fii1(omega)+Az2*Fii2(omega)+Az3*Fii3(omega)+Az4*Fii4(omega):
Матрица расчетных изгибающих моментов: > Mpac:=MM.Z:
Графики изгибающих моментов в сечениях рамы Mpac: > M0pac:=Matrix(2*n1+1,1,[[sqrt(Re(Mpac[1,1])^2+Im(Mpac[1,1])^2)],[sqr
t(Re(Mpac[2,1])^2+Im(Mpac[2,1])^2)],[sqrt(Re(Mpac[3,1])^2+Im(Mpac[3,
1])^2)],[sqrt(Re(Mpac[4,1])^2+Im(Mpac[4,1])^2)],[sqrt(Re(Mpac[5,1])^
2+Im(Mpac[5,1])^2)],[sqrt(Re(Mpac[6,1])^2+Im(Mpac[6,1])^2)],[sqrt(Re
(Mpac[7,1])^2+Im(Mpac[7,1])^2)]]):
> M0pac[2,1]-M0pac[3,1]:
> plot(sqrt(Re(Mpac[1,1])^2+Im(Mpac[1,1])^2),omega=0...1.2*p2);
136
> plot(sqrt(Re(Mpac[2,1])^2+Im(Mpac[2,1])^2),omega=0...1.2*p4):
> plot(sqrt(Re(Mpac[3,1])^2+Im(Mpac[3,1])^2),omega=0...1.2*p4):
> plot(sqrt(Re(Mpac[7,1])^2+Im(Mpac[7,1])^2),omega=0...1.2*p2);
График обобщенных перемещений Zi:
> plot(sqrt(Re(Z[1,1])^2+Im(Z[1,1])^2),omega=0...1.2*p2);
> plot(sqrt(Re(Z[2,1])^2+Im(Z[2,1])^2),omega=0...1.2*p4):
> plot(sqrt(Re(Z[3,1])^2+Im(Z[3,1])^2),omega=0...1.2*p4):
> plot(sqrt(Re(Z[4,1])^2+Im(Z[4,1])^2),omega=0...1.2*p2);
137
> omega:=sqrt(3281.06519);
:= 57.28058301
> M0pac;
609.0065030
525.5072004
500.9959160
500.9959160
525.5072004
609.0065030
2988.703283
> omega:=p1; := 50.86736825
> M0pac;
122037.1417
105135.7653
101408.2657
101408.2657
105135.7653
122037.1417
31768.15078
> omega:=p2:
> M0pac:
> omega:=p3:
> M0pac:
> omega:=p4:
> M0pac:
138
Контрольные вопросы
К разделу 1
1. Сформулируйте правила сложения, умножения, транспонирования, и обращения матриц.
2. Что такое собственное значение и собственный вектор матрицы. Сколь-ко собственных значений и собственных векторов имеет матрица.
3. Сформулируйте свойство собственных векторов. 4. Как можно определить собственное значение и собственный вектор
матрицы. 5. Сформулируйте полную проблему собственных значений матрицы. 6. Какими методами можно решить полную проблему собственных значе-
ний. К разделу 2.
1. Как записать формулу определения перемещений в матричной форме. 2. Как формируется матрица податливости системы. 3. Запишите матричный алгоритм метода сил. 4. Запишите в матричной форме формулы для определения коэффициен-
тов канонических уравнений метода сил. 5. Какая формула используется для деформационной проверки. 6. Запишите матричный алгоритм метода перемещений. 7. Запишите в матричной форме формулы для определения коэффициен-
тов канонических уравнений метода перемещений.
К разделу 3.
1. Сформулируйте матричный алгоритм определения критического пара-метра по методу проф. Смирнова.
2. Как формируется матрица податливости для сжатых элементов. 3. Как определяется критический параметр из матричного алгоритма.
К разделу 4.
1. Сформулируйте уравнение движения механической системы в матрич-ной форме.
2. В чем состоит метод разложения по собственным формам. 3. Собственные формы, каких матриц участвуют в разложении. 4. Как определяется парциальная матрица механической системы. 5. Сформулируйте в матричной форме решение задачи определения пе-
ремещений для произвольного силового воздействия. 6. Для чего используется интеграл Дюамеля.
139
7. Запишите формулы для импульсной переходной функции для консер-вативных систем и диссипативных систем с частотно-независимым демпфированием.
8. Сформулируйте в матричной форме решение задачи определения внутренних сил для произвольного силового воздействия.
9. Сформулируйте в матричной форме решение задачи определения пе-ремещений для гармонического воздействия.
10. Сформулируйте в матричной форме решение задачи определения внутренних сил для гармонического воздействия.
К разделу 5.
1. По каким формулам вычисляются элементы матрицы жесткости конеч-
ного элемента. 2. По каким формулам вычисляются элементы матрицы геометрической
жесткости конечного элемента. 3. По каким формулам вычисляются элементы матрицы масс конечного
элемента. 4. Сформулируйте метод разложения по собственным формам. 5. Собственные формы, какой матрицы участвуют в расчетах. 6. Как определяются функции матриц. 7. Сформулируйте в матричной форме решение задачи определения пе-
ремещений для произвольного силового воздействия. 8. Сформулируйте в матричной форме решение задачи определения
внутренних сил для произвольного силового воздействия. 9. Сформулируйте в матричной форме решение задачи определения пе-
ремещений для гармонического воздействия. 10. Сформулируйте в матричной форме решение задачи определения
внутренних сил для гармонического воздействия.
140
Заключение
В учебном пособии рассмотрено применение матричных методов расче-та в строительной механике стержневых систем. Показано решение задач статики сооружений, по методу сил, методу перемещений и по методу конечных элементов. Рассмотрены задачи устойчивости стержневых систем. Показано опре-деление критических параметров по методу проф. Смирнова и по методу конечных элементов. Основной объем занимают динамические задачи. Эти задачи рассмот-рены в разделах 4 и 5. В разделе 4 рассмотрена динамика многомассовых систем, а в разделе 5 динамика систем с распределенной массой и учетом сжимающих сил при колебаниях. Кроме того в разделе 5 используется функция матрицы масс при формирования матрицы, которая используется для определения собственных форм. В каждом разделе приведены примеры расчетов. Где это необходимо используется персональная ЭВМ для расчетов.
141
Список литературы:
1. Бондарь Н.Г. Динамика железнодорожных мостов. / Н.Г.Бондарь, И.И.Казей, Б.Ф.Лесохин, Ю.Г.Козьмин. – М., «Транспорт», 1965, -412с.
2. Градштейн И.С. Таблицы интегралов сумм, рядов и произведений / И.С.Градштейн, И.М.Рыжик И.М. – M.: «Наука», 1971. -1108с.
3. Клаф Р., Пензиен Дж. Динамика сооружений. Пер. с англ.-М.: Стройиз-дат, 1979.-320с.
4. Смирнов А.Ф. Устойчивость и колебания сооружений. – М.: Трансжел-дориздат, 1958. -572с.
5. Справочник по динамике сооружений. / Под ред. Б.Г. Корнеева, И.М. Рабиновича. – М.: Стройиздат, 1972. -511с.
6. Смирнов А.Ф. Строительная механика. Динамика и устойчивость соору-жений. / А.Ф. Смирнов, А.В. Александров, Б.Я. Лащеников, Н.Н. Шапош-ников; Под ред. А.Ф. Смирнова. – М.: Стройиздат. 1984. -416с.
7. Цейтлин А.И. Свободные колебания систем с частотно-независимым внутренним трением. / А.И. Цейтлин, Ю.Г. Плотников. – «Строительная механика и расчет сооружений», Науч.-техн. журнал Госстроя СССР, 1979, №1. – с.29 – 35.
8. Цейтлин А.И. Прикладные методы решения краевых задач строитель-ной механики – М.: Стройиздат, 1984. -334с.
9. Цейтлин А.И. Методы учета внутреннего трения в динамических расче-тахконструкций. / А.И. Цейтлин, А.А. Кусаинов. – Алма-Ата: «Наука» Ка-захской ССР. 1987. -236с.
142
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр. Введение…………………………………………………………………........ 3 ОБОЗНАЧЕНИЯ………………………………………………………………….. 4 1. Краткие сведения из теории матриц…………………………………... 5 1.1 Действия над матрицами…………………………………………….. 5 1.2. Собственные числа и собственные векторы матриц…………... 9 1.3. Полная проблема собственных значений. Метод итераций….. 12 1.4. Функции матриц………………………………………………………. 16 2. Матрицы в статике сооружений………………………………………… 18 2.1. Матричная форма определения перемещений…………………. 18 2.2. Метод сил……………………………………………………………… 24 2.3. Метод перемещений………………………………………………… 29 3. Матрицы в теории устойчивости сооружений………………………. Определение критических сил в рамах методом А.Ф.Смирнова….
36
4. Матрицы в динамике сооружений……………………………………… 49 4.1. Динамический расчет систем со многими степенями свободы 49 4.2. Определение внутренних усилий………………………………….. 53 4.3. Примеры динамического расчета конструкций………………….. 55
5. Матрицы и метод конечных элементов……………………………….. 72
5.1. Статический расчет стержневых систем…………………………. 72
5.2. Расчеты стержневых систем на устойчивость…………………... 79
5.3. Динамические расчеты стержневых систем............................... 88
5.4. Учет внутреннего трения при колебаниях конструкций из раз-нородных материалов……………………………………………………….
122
Контрольные вопросы………………………………………………………. 137
Заключение…………………………………………………………………… 139
Список литературы………………………………………………………….. 140
