Outil d'analyse fonctionnelle

ÉCOLE POLYTECHNIQUE –

Outil d’analyse fonctionnelle

David Renard

30 octobre 2017

David Renard Outil d’analyse fonctionnelle 30 octobre 2017 1 / 24

ÉCOLE POLYTECHNIQUE –

Cours 1 : Theoreme de Lax-Milgram-Formulation variationnelle


1 Les documents (poly actualise, feuille d’exercices, etc) sont disponibles a l’adresse suivante :

http ://www.cmls.polytechnique.fr/perso/renard/2017Shanghai.html

2 N’hesitez pas a me contacter pour toute question ou probleme, :[email protected]


Objectifs du cours

(i) Introduire des methodes d’etude d’equations aux derivees partielles et les appliquer sur desexemples assez simples provenant de problemes physiques, des sciences de l’ingenieur, del’economie, etc.

(ii) S’initier a quelques jolies theories mathematiques abstraites , dans le domaine de l’ana-lyse fonctionnelle (theorie de Lax-Milgram, theorie spectrale des operateurs auto-adjointscompacts, etc).


Le livre

Nous allons suivre pour ce cours une partie du livre ”Analyse numerique et optimisation”de Gregoire Allaire.

Voici les parties du livre que nous allons aborder :

Chapitre I, sections I1, I2, I3, I5.1

Chapitre III, en entier

Chapitre IV, sections IV1, IV2, IV3, IV4

Chapitre V, sections V1, V2

Chapitre VII, sections VII1, VII2, VII3.1, VII3

Chapitre VIII, sections VIII1, VIII2, VIII3, VIII4, VIII5, VIII6


Theoreme de Lax-Milgram

Nous decrivons une theorie abstraite qui nous permettra d’obtenir l’existence et l’unicite desolutions d’EDP dans certains espaces de Hilbert que nous introduirons la prochaine fois.On note V un espace de Hilbert reel de produit scalaire 〈, 〉 et de norme ‖ ‖. Soient a et Ltelles que :

1 L(·) est une forme lineaire continue sur V , c’est-a-dire que v 7→ L(v) est lineaire de V dansR et il existe C > 0 tel que

|L(v)| ≤ C‖v‖ pour tout v ∈ V ;

2 a(·, ·) est une forme bilineaire sur V , c’est-a-dire que w 7→ a(w , v) est une forme lineaire deV dans R pour tout v ∈ V , et v 7→ a(w , v) est une forme lineaire de V dans R pour toutw ∈ V ;

3 a(·, ·) est continue, c’est-a-dire qu’il existe M > 0 tel que

|a(w , v)| ≤ M‖w‖ ‖v‖ pour tout w , v ∈ V ; (1)

4 a(·, ·) est coercive, c’est-a-dire qu’il existe ν > 0 tel que

a(v , v) ≥ ν‖v‖2 pour tout v ∈ V . (2)David Renard Outil d’analyse fonctionnelle 30 octobre 2017 6 / 24


Nous considerons (formulation variationnelle) un probleme du type :

trouver u ∈ V tel que a(u, v) = L(v) pour tout v ∈ V . (3)

Comme nous le verrons, toutes les hypotheses ci-dessus sont necessaires pour pouvoirresoudre (3). En particulier, la coercivite de a(·, ·) est essentielle.



Theoreme (Lax-Milgram)

Soit V un espace de Hilbert reel, L(·) une forme lineaire continue sur V , a(·, ·) une formebilineaire continue coercive sur V . Alors la formulation variationnelle (3) admet une uniquesolution. De plus cette solution depend continument de la forme lineaire L.

Remarques : Si l’espace de Hilbert V est de dimension finie (ce qui n’est jamais le caspour les applications que nous visons), la demonstration est beaucoup plus simple. Endimension finie toutes les applications lineaires sont continues et l’injectivite d’un operateurest equivalent a son inversibilite.

Si V = RN , il s’agit de resoudre un probleme du type 〈Au, v〉 = 〈f , v〉 pour tout v ∈ RN .C’est un simple systeme lineaire Au = f .



Si la forme bilineaire a est symetrique, la quantite J(v) suivante s’interprete comme uneenergie,

J(v) =1

2a(v , v)− L(v), (v ∈ V ). (4)

Proposition

On se place sous les hypotheses du Theoreme de Lax-Milgram avec de plus a symetrique. Soitu ∈ V l’unique element tel que (∗) a(u, v) = L(v), (∀v ∈ V ). Alors u est aussi l’uniquepoint de minimum de l’energie, c’est-a-dire que J(u) = minv∈V J(v). Reciproquement, siu ∈ V est un point de minimum de l’energie J(v), alors u est la solution unique de (*).


Formule de Green

Ω est un ouvert de l’espace RN (borne ou non), dont le bord (ou la frontiere) est note ∂Ω.

Nous supposons aussi que Ω est un ouvert regulier de classe C 1. Un ouvert regulier est unouvert dont le bord est une hypersurface (une sous-variete de dimension N − 1) reguliere,et que cet ouvert est localement situe d’un seul cote de sa frontiere.

On definit alors la normale exterieure au bord ∂Ω comme etant le vecteur unite n =(ni )1≤i≤N normal en tout point a l’espace tangent de Ω et pointant vers l’exterieur de Ω.

Dans Ω ⊂ RN on note dx la mesure volumique, ou mesure de Lebesgue de dimension N.Sur ∂Ω, on note ds la mesure surfacique, ou mesure de Lebesgue de dimension N − 1 surla sous-variete ∂Ω.


Formule de Green

Theoreme (Formule de Green)

Soit Ω un ouvert regulier de classe C 1. Soit w une fonction de C 1(Ω) a support borne dans leferme Ω. Alors elle verifie la formule de Green∫

Ω

∂w

∂xi(x) dx =

∫∂Ω

w(x)ni (x) ds, (5)

ou ni est la i-eme composante de la normale exterieure unite de Ω.

Remarque : Si une fonction reguliere w a son support borne dans le ferme Ω alors elles’annule a l’infini si le ferme n’est pas borne. On dit aussi que la fonction w a un supportcompact dans Ω (attention : cela n’implique pas que w s’annule sur le bord ∂Ω).


La formule de Green

En particulier, l’hypothese a propos du support borne de la fonction w dans Ω est inutile sil’ouvert Ω est borne. Si Ω n’est pas borne, cette hypothese assure que les integrales dans(5) sont finies.

Nous avons fait appel a un certain nombres de notions de calcul differentiel que nous nedeveloppons pas (sous-varietes, espaces tangents, hypersurfaces, vecteur unitaire normal,mesure sur une sous-variete, etc).

En fait, pour ce cours, il n’y a pas besoin de connaıtre les definitions rigoureuses de cesobjets. Une idee intuitive de ceux-ci sera suffisante.


La formule de Green

Corollaire (Formule d’integration par parties)

Soit Ω un ouvert regulier de classe C 1. Soit u et v deux fonctions de C 1(Ω) a support bornedans le ferme Ω. Alors elles verifient la formule d’integration par parties∫

Ωu(x)

∂v

∂xi(x) dx = −

∫Ωv(x)

∂u

∂xi(x) dx +

∫∂Ω

u(x)v(x)ni (x) ds. (6)

Prendre w=uv dans le theoreme.


La formule de Green

Corollaire

Soit Ω un ouvert regulier de classe C 1. Soit u une fonction de C 2(Ω) et v une fonction deC 1(Ω), toutes deux a support borne dans le ferme Ω. Alors elles verifient la formuled’integration par parties∫

Ω∆u(x)v(x) dx = −

∫Ω∇u(x) · ∇v(x) dx +

∫∂Ω

∂u

∂n(x)v(x) ds, (7)

ou ∇u =

(∂u

∂xi

)1≤i≤N

est le vecteur gradient de u, et∂u

∂n= ∇u · n.


Formulation classique

L’exemple type d’equation aux derivees partielles de type elliptique sera le Laplacien pourlequel nous etudierons le probleme aux limites suivant :

−∆u = f dans Ωu = 0 sur ∂Ω.

(8)

ou nous imposons des conditions aux limites de Dirichlet. Dans (8), Ω est un ouvert del’espace RN , ∂Ω est son bord (ou frontiere), f est un second membre (une donnee duprobleme), et u est l’inconnue.

La formulation “classique” de (8) est de supposer suffisamment de regularite pour la solutionu afin que les equations de (8) aient un sens en tout point de Ω ou de ∂Ω.

Une solution classique (on parle aussi de solution forte) de (8) est une solution u ∈C 2(Ω) ∩ C (Ω).


Formulation classique

Sous la seule hypothese f ∈ C (Ω), il n’existe en general pas de solution de classe C 2 pour(8) si la dimension d’espace est plus grande que deux (N ≥ 2).

Il existe bien une solution, mais elle n’est pas toujours de classe C 2 (elle est un peu moinsreguliere sauf si la donnee f est plus reguliere que C (Ω)).

Dans la suite, pour etudier (8), nous remplacerons sa formulation classique par une formu-lation, dite variationnelle, beaucoup plus avantageuse.


Formulation variationnelle

Nous rappelons le systeme (8) −∆u = f dans Ωu = 0 sur ∂Ω.

Pour simplifier, nous supposons que l’ouvert Ω est borne et regulier, et que le secondmembre f de (8) est continu sur Ω.

Proposition

Soit u une fonction de C 2(Ω). Soit X :=φ ∈ C 1(Ω) tel que φ = 0 sur ∂Ω

.

Alors u est une solution du probleme aux limites (8) si et seulement si u appartient a X etverifie l’egalite∫

Ω∇u(x) · ∇v(x) dx =

∫Ωf (x)v(x) dx pour toute fonction v ∈ X . (9)



L’egalite (9) est appelee la formulation variationnelle du probleme aux limites (8).

Remarques : Un interet immediat de la formulation variationnelle (9) est qu’elle a unsens si la solution u est seulement une fonction de C 1(Ω), contrairement a la formulation“classique” (8) qui requiert que u appartienne a C 2(Ω). Il est plus simple de resoudre (9)que (8) puisqu’on est moins exigeant sur la regularite de la solution.

Dans la formulation variationnelle (9), la fonction v est appelee fonction test. La formula-tion variationnelle est aussi parfois appelee formulation faible du probleme aux limites (8).En mecanique, la formulation variationnelle est connue sous le nom de “principe des travauxvirtuels”. En physique, on parle aussi d’equation de bilan ou de formule de reciprocite.

Lorsqu’on prend v = u dans (9), on obtient une egalite d’energie, qui exprime generalementl’egalite entre une energie stockee dans le domaine Ω (le terme de gauche de (9)) et uneenergie potentielle associee a f (le terme de droite de (9)).



Remarque : On peut reecrire la formulation variationnelle (9) sous la forme : trouver u ∈ Xtel que

a(u, v) = L(v) pour toute fonction v ∈ X ,

avec

a(u, v) =

∫Ω∇u(x) · ∇v(x) dx

et

L(v) =

∫Ωf (x)v(x) dx ,

ou a(·, ·) est une forme bilineaire sur X et L(·) est une forme lineaire sur X .



L’idee principale de l’approche variationnelle est de montrer l’existence et l’unicite dela solution de la formulation variationnelle (9) grace a la theorie de Lax-Milgram, ce quientraınera le meme resultat pour l’equation (8) a cause de la Proposition.

Neanmoins cette theorie ne fonctionne que si l’espace dans lequel on cherche la solutionet dans lequel on prend les fonctions tests (dans les notations precedentes, l’espace X ) estun espace de Hilbert, ce qui n’est pas le cas pour X = v ∈ C 1(Ω), v = 0 sur ∂Ω munidu produit scalaire “naturel” pour ce probleme.

La principale difficulte dans l’application de l’approche variationnelle sera donc qu’il faudrautiliser un autre espace que X , a savoir l’espace de Sobolev H1

0 (Ω) qui est bien un espacede Hilbert.


Application au Laplacien

Essayons d’appliquer le Theoreme de Lax-Milgram a la formulation variationnelle (9) duLaplacien avec conditions aux limites de Dirichlet.

Celle-ci s’ecrit bien sous la forme

a(u, v) = L(v) pour toute fonction v ∈ X ,

avec

a(u, v) =

∫Ω∇u(x) · ∇v(x) dx

et

L(v) =

∫Ωf (x)v(x) dx ,

L’espace V (note precedemment X ) est

V =v ∈ C 1(Ω), v = 0 sur ∂Ω

. (10)



Comme produit scalaire sur V nous choisissons

〈w , v〉 =

∫Ω∇w(x) · ∇v(x) dx , (11)

qui a pour norme associee

‖v‖ =

(∫Ω|∇v(x)|2dx

)1/2

.

On verifie aisement que (11) definit un produit scalaire sur V .

La motivation du choix de (11) comme produit scalaire est bien sur le fait que la formebilineaire a(·, ·) est automatiquement coercive pour (11).



On verifie par ailleurs aisement que a est continue. Pour montrer que L est continue, il fautfaire appel a l’inegalite de Poincare. On a alors∣∣∣∣∫

Ωf (x)v(x) dx

∣∣∣∣ ≤ (∫Ω|f (x)|2dx

)1/2(∫Ω|v(x)|2dx

)1/2

≤ C‖v‖,

ou C est une constante qui depend de f mais pas de v .

Lemme (Inegalite de Poincare)

Soit Ω un ouvert de RN borne dans au moins une direction de l’espace. Il existe une constanteC > 0 telle que, pour toute fonction v ∈ C 1(Ω) qui s’annule sur le bord ∂Ω,∫

Ω|v(x)|2dx ≤ C

∫Ω|∇v(x)|2dx .



Toutes les hypotheses du Theoreme de Lax-Milgram semblent verifiees, et pourtant il enmanque une qui empeche son application : l’espace V n’est pas un espace de Hilbert car iln’est pas complet pour la norme induite par (11) ! L’obstruction ne vient pas tant du choixdu produit scalaire que de l’exigence de regularite C 1 des fonctions de l’espace V .

Une facon immediate, quoique peu explicite, de resoudre la difficulte est de remplacer Vpar V , sa completion pour le produit scalaire (11). A quoi peut bien ressembler l’espaceV ? : nous verrons que V est l’espace de Sobolev H1

0 (Ω).


Date post:	05-Jan-2017
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