©Û¼PÒ G-9 P-III T/maths 9 I… · 6 C»Á\¨ £õh¡À C»Á\¨ £õh¡À 7 21.1 ax b GßÝ®...

$Page 1: ©Û¼PÒ G-9 P-III T/maths 9 I… · 6 C»Á\¨ £õh¡À C»Á\¨ £õh¡À 7 21.1 ax b GßÝ® ÁiÁzvÀ Aø©¢u \©Û¼PÒ Cµsk ¦zuP[PÎß Âø» ¹. 40 C¾® AvP©õÚx. J¸$
C»Á\¨ £õh¡ÀPB C»Á\¨ £õh¡À 1

\©Û¼PÒ21

C»[øP°ß ]÷µèh ¤µø\ GßÖ P¸u¨£k® J¸Á›ß Á¯x 55 Á¸h©õP÷Áõ

AÀ»x Av¾® AvP©õP ÇUP ÷Ásk® GÚ HØÖUöPõÒÍ¨£mkÒÍx.

GÚ÷Á ]÷µèh ¤µø\ J¸Á›ß Á¯øu t GÚU öPõshõÀ AuøÚ

t 55 GßÝ® \©Û¼°ÚõÀ SÔzxU Põmh»õ®. C[÷P t Cß ö£Ö©õÚ®

G¨÷£õx® 55 I Âh AvP©õP ÇUS® Gß£x Cuß ö£õ¸ÍõS®.

CÆÁõÓõÚ \©Û¼PÒ öuõhº£õP }[PÒ uµ® 8 CÀ PØÓ Âh¯[PøÍ {øÚÄ

Tº÷Áõ®.

x > 3 Gß£x J¸ \©Û¼¯õS®. x GkUPUTi¯ ö£Ö©õÚ[PÒ

G¨÷£õx® 3 C¾® AvP©õP ÇUS® Gß£x Cuß ö£õ¸ÍõS®.

Ç¢u÷£õx® x 3 GÚU SÔUP¨£mhõÀ x GkUPUTi¯ ö£Ö©õÚ[PÒ 3

AÀ»x Av¾® AvP® Gß£x P¸u¨£kQßÓx.

AÆÁõ÷Ó x < 3 Gß£x x GkUPUTi¯ ö£Ö©õÚ[PÒ 3 C¾® SøÓÄ GÚÄ®

x 3 Gß£x x GkUPUTi¯ ö£Ö©õÚ[PÒ 3 AÀ»x Av¾® SøÓÄ GÚÄ®

P¸u¨£kQßÓx.

Euõµn©õP x > 3 GßÝ® \©Û¼°ß {øÓöÁs wºÄz öuõøh¯õÚx 3 C¾®

AvP©õÚ \P» {øÓöÁsPøÍ²® öPõsh öuõøh¯õS®. Ca\©Û¼°ß

wºÄz öuõøh {4, 5, 6, ... } BS®.

\P» wºÄPøÍ²® öuõøh¯õPU Põs¤¨£x PouzvÀ •UQ¯ Âh¯©õP

Ç¨¤Ý® {øÓöÁs wºÄPøÍ GÊx®÷£õx wºÄPøÍ ©õzvµ® GÊvU

Põmh»õ®.

Euõµn©õP x > 3 GßÝ® \©Û¼°ß {øÓöÁs wºÄz öuõøhø¯ 4, 5, 6, ... GÚU TÓ»õ®.

C¨£õhzøuU PØ£uß ‰»® }[PÒ

² x ± a b ÁiÁzvÀ Aø©¢u \©Û¼PøÍz wº¨£uØS®

² ax b ÁiÁzvÀ Aø©¢u \©Û¼PøÍz wº¨£uØS®

² \©Û¼ JßÔß {øÓöÁs wºÄPøÍU Põs£uØS®

² \©Û¼ JßÔß wºÄPøÍ Gs ÷Põk JßÔß «x ÁøPSÔ¨£uØS®

÷uøÁ¯õÚ BØÓÀPøÍ¨ ö£ÖÃºPÒ.

C»Á\¨ £õh¡À2 C»Á\¨ £õh¡À 3

Am\µ® Ah[S® \©Û¼ JßÔÀ Am\µ® GkUPUTi¯ GÀ»õ¨ ö£Ö©õÚ[

PÐ® Ah[S® öuõøh Aa\©Û¼°ß wºÄz öuõøh¯õS®. \©Û¼ JßÔß

wºÄz öuõøhø¯²® AzwºÄPøÍ Gs ÷Põk JßÔÀ SÔUS® Âuzøu²®

¤ßÁ¸® Euõµn[PÎß ‰»® «sk® {øÚÄTº÷Áõ®.

Euõµn® 1

x > 3 GßÝ® \©Û¼°ß

(i) {øÓöÁs wºÄz öuõøhø¯ GÊxP.

(ii) {øÓöÁs wºÄPøÍ Gs÷PõmiÀ SÔzxU PõmkP.

(i) {4, 5, 6, 7, 8, ...}

(ii) – 1 0 1 52 63 74 8

Euõµn® 2

x 1 GßÝ® \©Û¼°ß

(i) {øÓöÁs wºÄz öuõøhø¯ GÊxP.

(ii) {øÓöÁs wºÄz öuõøhø¯ Gs ÷PõmiÀ SÔzxU PõmkP.

(i) {..., – 3, – 2, – 1, 0, 1}

(ii) – 3 – 2 –1 30 1 2

Euõµn® 3

x > – 3 12

GßÝ® \©Û¼°ß wºÄz öuõøhø¯ Gs ÷PõmiÀ SÔzxU PõmkP.

– 4 – 3 – 2 2– 1 30 41 5

Euõµn® 4

x – 2 GßÝ® \©Û¼°ß wºÄz öuõøhø¯ Gs ÷PõmiÀ SÔzxU PõmkP.

– 4 – 3 – 2 2– 1 30 41 5

Euõµn® 5

– 3 < x 3 12

GßÝ® \©Û¼°ß wºÄz öuõøhø¯ Gs ÷PõmiÀ SÔzxU

PõmkP.

– 4 – 3 – 2 2– 1 30 41 5

•ßÚº PØÓÁØøÓ ÷©¾® EÖv¨£kzxÁØSz uµ¨£mkÒÍ «mhØ £°Ø]°À

Dk£kP.

C»Á\¨ £õh¡À2 C»Á\¨ £õh¡À 3

«mhØ £°Ø]

1. ¤ßÁ¸® JÆöÁõ¸ \©Û¼°Úx® {øÓöÁs wºÄz öuõøhø¯

Gs÷PõmiÀ SÔzxU PõmkP.

(i) x > 2 (ii) x – 1 (iii) x < 4 (iv) x – 21 (v) x > 1 122. Gs ÷PõkPÎß «x SÔUP¨£mi¸US® wºÄPÐUS›¯ \©Û¼PøÍ

GÊxP.

– 3 – 2 2– 1 30 1

– 3 – 2 2– 1 30 1

– 3

– 3

– 2

– 2

2

2

– 1

– 1

3

3

0

0

1

1

(i)

(iii)

(ii)

(iv)

3. ¤ßÁ¸® \©Û¼PÎß wºÄPøÍ Gs ÷PõkPÎÀ SÔzxU PõmkP.

(i) – 1 < x < 2 (ii) – 2 x < 3 (iii) – 3 < x 1

(iv) x < – 1 E® x 2 E® (v) x – 3 E® x > 0 E®

21.1 x + a b GßÝ® ÁiÁzvÀ Aø©¢u \©Û¼PÒ

SÔzuöÁõ¸ £õ»zxUS A¸QÀ ö£õ¸zu¨£mi¸¢u £»øP°À CÆÁõÖ

GÊu¨£mi¸¢ux.

""C¨£õ»zvß FhõP 10 öuõßPÎ¾® SøÓ¢u voøÁ÷¯ öPõsk

ö\À»»õ®.'' 4 öuõß voøÁU öPõsh ö»õÔ JßÔÀ ö£õ¸ÒPÒ

HØÓ¨£mk, C¨£õ»zøuU Ph¢x ö\À» ÷Ásk® GÚU öPõÒ÷Áõ®.

ö»õÔ°À HØÓ¨£mh ö£õ¸ÒPÎß voÄ x öuõßPÒ GÚU öPõshõÀ

x + 4 < 10 BP Ç¢uõÀ ©mk÷© ö»õÔ £õxPõ¨£õP¨ £õ»zøuU Ph¢x

ö\À¾®. AuõÁx ö£õ¸ÒPÐhß ö»õÔ°ß voÄ x + 4 < 10 GßÝ®

\©Û¼ø¯z v¸¨v ö\úõÀ ©mk÷© ö»õÔ £õxPõ¨£õP¨ £õ»zøuU

PhUPUTi¯uõP ÇUS®.

x + 4 < 10 GßÝ® \©Û¼ø¯z wºzx¨ £õ»zøuU Ph¢x ö\À»UTi¯ÁõÖ

ö»õÔ°À HØÓUTi¯ ö£õ¸ÒPÎß ªPU Ti¯ voøÁU Põn»õ®.

\©Û¼U SÔ±miß J¸ £UPzvÀ x AÀ»x öPõkUP¨£mh ©õÔ¼ ©mk®

ÇUS® ÂuzvÀ \©Û¼ JßøÓ¨ ö£ØÖUöPõÒÁ÷u \©Û¼°ß wºøÁU

Põs£uõS®.

\©Û¼PøÍz wºUS® •øÓ¯õÚx ö£¸®£õ¾® \©ß£õk JßøÓz wºUS®

•øÓUS JzxÒÍx.

Euõµn©õP ÷©÷» öPõkUP¨£mh x + 4 < 10 GßÝ® \©Û¼°ß Ç

£UP[PÎ¼¸¢x® 4 IU PÈUP»õ®. AuØ÷PØ£

x + 4 – 4 < 10 – 4

C»Á\¨ £õh¡À4 C»Á\¨ £õh¡À 5

CuøÚa _¸US®÷£õx

x < 6 GÚ¨ ö£Ó¨£k®.

AuõÁx HØÓUTi¯ ö£õ¸ÒPÎß voÄ 6 öuõßPÎ¾® SøÓÁõP ÇzuÀ

÷Ásk®.

Euõµn® 1

x + 2 < 7 GßÝ® \©Û¼ø¯z wºzx, {øÓöÁs wºÄPøÍ Gs÷PõmiÀ

SÔUP.

x + 2 < 7 x + 2 – 2 < 7 – 2 (Ç £UP[PÎ¼¸¢x® 2 IU PÈUS®÷£õx)

x < 5 x Cß {øÓöÁs wºÄPÒ

–1 3 40 1 2

Euõµn® 2

x – 3 1 GßÝ® \©Û¼ø¯z wºzx wºÄPøÍ Gs÷PõmiÀ SÔUP.

x – 3 1 x – 3 + 3 1 + 3 (Ç £UP[PÐhÝ® 3 IU Tmk®÷£õx) x 4 CzwºÄPøÍ Gs÷PõmiÀ SÔ¨÷£õ®.

–1 3 4 5 6 70 1 2

C[S 4 CØSa \©ÚõÚ AÀ»x 4 C¾® ö£›¯ GsPÒ wºÄPÍõPU SÔUP¨

£mkÒÍÚ. CzwºÄPÐÒ {øÓöÁsPÒ ©mk©À»õ©À 4.5, 5.02 ÷£õßÓ

GÀ»õ GsPÐ® Ah[SQßÓÚ Gß£øuU PÁÚzvØöPõÒÍ ÷Ásk®.

Euõµn® 3

ø£ JßÔÀ ChUTi¯ AvP£m\z voÄ 6 Q÷»õQµõ® BS®. Áº]Û

JÆöÁõßÖ® 1 Q÷»õQµõ® Ãu® voÄÒÍ x GsoUøP¯õÚ A›]¨

ø£UöPØÖPøÍ²® JÆöÁõßÖ® 1 Q÷»õQµõ® Ãu® voÄÒÍ 2 ø£UöPØÖa

^Ûø¯²® A¨ø£°À CmhõÒ.

CzuµÄPøÍ x + 2 6 GßÝ® \©Û¼°ß ‰»® SÔUP»õ®.

(i) Ca\©Û¼ø¯z wºUP.

(ii) Áº]Û¨ ø£°À ChUTi¯ AvTi¯ A›]¨ ø£UöPØÖPÎß GsoUøP

GÆÁÍÄ?

C»Á\¨ £õh¡À4 C»Á\¨ £õh¡À 5

(i) x + 2 6 x + 2 – 2 6 – 2

x 4

(ii) ... ø£°À ChUTi¯ AvTi¯ A›]¨ ø£UöPØÖPÎß GsoUøP 4

BS®.

£°Ø] 21.1

1. ¤ßÁ¸® JÆöÁõ¸ \©Û¼ø¯²® wºzx AÁØÔß {øÓöÁs wºÄz

öuõøhPøÍ²® GÊxP.

(i) x + 3 > 5 (ii) x – 4 < 1 (iii) x – 7 – 6 (iv) 2 + x – 4 (v) 7 + x > 5

2. ¤ßÁ¸® JÆöÁõ¸ \©Û¼ø¯²® wºzx, AÁØÔß {øÓ öÁs wºÄz

öuõøhPøÍ Gs ÷PõkPÎÀ SÔzxU PõmkP.

(i) x + 1 > 3 (ii) x – 3 1 (iii) 6 + x 2 (iv) x – 7 < – 7 (v) x + 5 > – 1

3. ›èª 60 ¹£õ´ øÁzv¸UQÓõº. AÁº ¹. x Âø»²ÒÍ J¸ ¦zuPzøu²®

¹.10 Âø»²ÒÍ ÷£Úõ JßøÓ²® Áõ[SQÓõº. AÁº Áõ[Q¯ ö£õ¸ÒPÎß

ö£Ö©õÚzøu x + 10 60 GßÝ® \©Û¼°ß ‰»® SÔzxUPõmh»õ®.

Aa\©Û¼ø¯z wºzx J¸ ¦zuPzvß ªPUTi¯ Âø» GÆÁÍÁõP

ÇUS® GÚU PõsP.

4. Áõß JßÔÀ ö\À»zuUP ªPUTi¯ £¯oPÎß GsoUøP 15 BS®.

SÔzu Kº ChzvÀ 3 £¯oPÐ® CßÝ÷©õº ChzvÀ x £¯oPÐ®

AÆÁõÛÀ HÔÚº. CzuPÁÀPøÍ x + 3 15 GßÝ® \©Û¼°ÚõÀ

SÔUP»õ®.

(i) Ca\©Û¼ø¯z wºUP.

(ii) Cµshõ® u›¨¤hzvÀ ÁõÛÀ HÓUTi¯ £¯oPÎß

GsoUøPø¯U Põmk® wºÄz öuõøhø¯ GÊxP.

(iii) Cµshõ® u›¨¤hzvÀ HÓUTi¯ AvP£m\¨ £¯oPÎß GsoUøP

GÆÁÍÄ?

5' µõPÁß, öµâÚõ BQ÷¯õ›ß Á¯xPÎß TmkzöuõøP 30 AÀ»x 30 C¾®

SøÓÁõS®. µõPÁß 14 Á¯xøh¯ÁµõÁõº. öµâÚõÂß Á¯x x Á¸h[PÒ

GÚU öPõshõÀ, CzuPÁÀPøÍ x + 14 30 GßÝ® \©Û¼°ÚõÀ

SÔUP»õ®. Ca\©Û¼ø¯z wº¨£uß ‰»® öµâÚõÂß AvP£m\ Á¯x

GÆÁÍÁõP ÇUS® GÚU PõsP

C»Á\¨ £õh¡À6 C»Á\¨ £õh¡À 7

21.1 ax b GßÝ® ÁiÁzvÀ Aø©¢u \©Û¼PÒ

Cµsk ¦zuP[PÎß Âø» ¹. 40 C¾® AvP©õÚx. J¸ ¦zuPzvß Âø»ø¯

¹. x GÚU öPõsk x Iz öuõhº¦£kzv 2x > 40 GßÝ® \©Û¼ø¯ GÊu»õ®.

Aa\©Û¼ø¯z wº¨£uß ‰»® J¸ ¦zuPzvß Âø»¯õP Aø©¯UTi¯

ö£Ö©õÚ[PøÍU Põn»õ®. CÆÁõÓõÚ \©Û¼PøÍz wº¨£zvÀ \©Û¼PÒ

£ØÔ |õ® AÔ¯÷Ási¯ ]» Â÷\h £s¦PÒ EÒÍÚ. •u¼À AÁØøÓ¨

£ØÔ Bµõ´÷Áõ®.

¤ßÁ¸® \©Û¼PøÍ ÷|õUS÷Áõ®.

(i) 3 < 4 GßÝ® \©Û¼ Esø©¯õÚx.

2 3 < 2 4 (Ç £UP[PøÍ²® CµshõÀ ö£¸USÁuß ‰»®) 6 < 8 \©Û¼²® Esø©¯õS®.

(ii) 8 > 6 \©Û¼ Esø©¯õÚx.

82 > 62 (Ç £UP[PøÍ²® 2 BÀ ÁS¨£uß ‰»®)

4 < 3 GßÝ® \©Û¼²® Esø©¯õÚx.

\©Û¼ JßÔß Ç £UP[PøÍ²® J÷µ ÷|º GsoÚõÀ ö£¸USÁuõÀ

AÀ»x ÁS¨£uõÀ ö£Ó¨£k® \©Û¼°À ©õØÓ® HØ£hõx.

(iii) 2 < 3 \©Û¼ Esø©¯õÚx

2 – 2 < 3 – 2 (Ç £UP[PøÍ²® – 2 BÀ ö£¸USÁuß ‰»®)

– 4 < – 6 GßÝ® \©Û¼ ö£Ó¨£k®. Cx ¤øÇ¯õÚx.

BÚõÀ – 4 > – 6 Gß£÷u Esø©¯õS®.

(iv) 9 > 6 \©Û¼ Esø©¯õÚx

9

–3 > 6–3 (Ç £UP[PøÍ²® – 3 BÀ ÁS¨£uß ‰»®)

ö£Ó¨£k®. – 3 > – 2 GßÝ® \©Û¼ ö£Ó¨£k®. Cx ¤øÇ¯õÚx.

BÚõÀ – 3 < – 2 \©Û¼÷¯ Esø©¯õÚx. BP÷Á CÁØÔ¼¸¢x |õ® J¸

•iÄUS Áµ»õ®.

\©Û¼ JßÔß Ç £UP[PøÍ²® ©øÓ Gs JßÔÚõÀ ö£¸USÁuõÀ

AÀ»x ÁS¨£uõÀ ö£Ó¨£k® \©Û¼°À ©õØÓ® HØ£k®. AuõÁx >

GßÝ® SÔ±k < BPÄ® ≤ GßÝ® SÔ±k ≥ BPÄ® ©õØÓ©øh²®.

CzuPÁÀPøÍU PÁÛzx ÷©¾ÒÍ ÂuzvÀ \©Û¼ JßøÓz wºUS®

Âuzøu¨ ¤ßÁ¸® Euõµn[PøÍU öPõsk ÷|õUS÷Áõ®.

C»Á\¨ £õh¡À6 C»Á\¨ £õh¡À 7

Euõµn® 1

2 x < 12 GßÝ® \©Û¼ø¯z wºzx Auß wºÄPøÍ Gs÷Põk JßÔÀ SÔzxU

PõmkP.

2 x < 12

2x2 < 12

2 ^Ç £UP[PøÍ²® 2 BÀ ÁS¨£uõÀ&

x < 6

–1 3 4 5 6 70 1 2

Euõµn® 2

3x 12 GßÝ® \©Û¼ø¯z wºUP.

3x 12

3x3 12

3

x 4Euõµn® 3

– 5x 15 GßÝ® \©Û¼ø¯z wºUP.

– 5x 15

– 5x– 5 15

– 5 ^©øÓö¯snõÀ ÁSUS®÷£õx \©Û¼ ©õÖ®&

x – 3 Euõµn® 4

x3 < 2 GßÝ® \©Û¼ø¯z wºUP.

x3 3 < 2 3 ^Ç £UP[PøÍ²® 3 BÀ ö£¸USÁuõÀ&

x < 6 Euõµn® 5

– 2x5 > 6 GßÝ® \©Û¼ø¯z wºUP.

– 2x5 > 6

– 2x5 5 > 6 5 ^Ç £UP[PøÍ²® 5 BÀ ö£¸USÁuõÀ&

– 2x > 30 – 2x

–2 < 30–2 ^Ç £UP[PøÍ²® – 2 BÀ ÁS¨£uõÀ \©Û¼ ©õÖQÓx.&

x < – 15

C»Á\¨ £õh¡À8 C»Á\¨ £õh¡À PB

£°Ø] 21.2

1. ¤ßÁ¸® JÆöÁõ¸ \©Û¼ø¯²® wºzx {øÓöÁs wºÄPøÍ GÊxP.

(i) 2x > 6 (ii) 3x 12 (iii) – 5x 10 (iv) – 7 x < – 35 (v) –2x > – 5 (vi) x2 1 (vii) x4 – 2 (viii) – 2x

3 < 4

2. ¤ßÁ¸® JÆöÁõ¸ \©Û¼ø¯²® wºzx, ö£Ó¨£mh wºÄPøÍ Gs ÷Põk

JßÔÀ SÔUP.

(i) 4x > 8 (ii) 7x 21 (iii) – 3x 3 (iv) – 2x < – 6 (v) x3 1 (vi) x6 < – 16 (vii) 2x

3 4 (viii) – 3x5 < – 16

3. 2 ©õ®£Ç[PÎß Âø» ¹. 50 CØSa \©©õÚx AÀ»x SøÓÁõÚuõS®

AÀ»x SøÓÁõÚuõS®. 1 ©õ®£Çzvß Âø» ¹. x GÛß CzuµøÁ

2x 50 GÚU SÔUP»õ®. Ca\©Û¼ø¯z wºzx J¸ ©õ®£Çzvß Âø»¯õP

ÇUPUTi¯ AvP£m\ Âø» GÆÁÍÄ GÚU PõsP.

4. SÔzuöÁõ¸ ªß E¯ºzv°À öPõsk ö\À»UTi¯ AvP£m\z voÄ

520 Q÷»õQµõ® BS®. JÆöÁõ¸Á¸® x kg Ãu® voÄÒÍ 8 ©ÛuºPÒ

C¢u ªß E¯ºzv ‰»® ÷©÷» öPõsk ö\À»¨£mhÚº. CzuPÁÀPøÍ

8x 520 GßÝ® \©Û¼°ÚõÀ SÔUP»õ®. AuøÚz wºzx ªß E¯ºzv°À

öPõsk ö\À»¨£mh J¸ ©ÛuÛß Av²¯º voÁõP Aø©¯UTi¯

ö£Ö©õÚzøuU PõsP.

(i) ußÛh® ÇUS® £n® AÝåÛh® ÇUS® £nzvß |õßS

©h[øP ÂhU SøÓÁõS® GÚ¨ £«»õ TÖQÓõº. £«»õÂh® 68 ¹£õ´ EÒÍx. AÝåÛh® ÇUS® £n® ¹. x GÛß, CzuµÄPøÍ

4x > 68 GßÝ® \©Û¼°ÚõÀ SÔUP»õ®. Ca\©Û¼ø¯z wºzx

AÝåÛh® ÇUS® £nzøuU PõsP.

(ii) AÝåÛh® 5 ¹£õ´ |õn¯[PÒ ©mk÷© Ç¨¤ß AÁ›h®

ÇUPzuUP Ti¯£m\¨ £nzöuõøP GÆÁÍÄ?

.

ö£õÈ¨¦

² \©Û¼ JßÔß Ç £UP[PøÍ²® J÷µ ÷|º GsoÚõÀ ö£¸US®

÷£õx AÀ»x ÁSUS®÷£õx \©Û¼ ©õØÓ©øh¯õx.

² \©Û¼ JßÔß Ç £UP[PøÍ²® ©øÓ Gs JßÔÚõÀ ö£¸USÁuõÀ

AÀ»x ÁS¨£uõÀ ö£Ó¨£k® \©Û¼°À ©õØÓ® HØ£k®. AuõÁx >

GßÝ® SÔ±k < BPÄ® ≤ GßÝ® SÔ±k ≥ BPÄ® ©õØÓ©øh²®.

5.


öuõøhPÒ22


² •iÄÒÍ öuõøh, •iÂ¼z öuõøh BQ¯ÁØøÓ AÔ¢xöPõÒÁuØS®

² uµ¨£mkÒÍ J¸ öuõøh°ß öuõøh¨ ¤›ÄPøÍ GÊxÁuØS®

² \©Á¾z öuõøh, \© öuõøh, ‰mhØÓ öuõøh, AQ»z öuõøh

BQ¯ÁØøÓ AÔ¢x öPõÒÁuØS®

² öuõøhPÒ Cµsiß CøhöÁmkz öuõøhø¯²® JßÔ¨¦z

öuõøhø¯²® AÔ¢xöPõÒÁuØS®

² J¸ öuõøh°ß {µ¨¤z öuõøhø¯ AÔ¢xöPõÒÁuØS®

² öÁß Á›¨£hzvÀ öuõøh¨ ¤µ÷u\[PøÍU SÔ¨£uØS®


öuõøh°ß AÔ•P®

{a\¯©õP AÔ¢x öPõÒÍUTi¯ÁØÔøÚU öPõsh J¸ Tmh® J¸ öuõøh

GÚ •ßÚº PØÖÒÏºPÒ. J¸ öuõøhø¯a \õº¢uøÁ Azöuõøh°ß ‰»P[PÒ

GÚ¨£k®. ‰»P[PøÍ ÂÁ›¨£uØPõPa \[Q¼ Aøh¨¦ £¯ß£kzu¨£k®. a Gß£x J¸ öuõøh A Cß ‰»P©õ°ß Ax a A GÚ GÊu¨£k®.

÷©¾® öuõøh A C¾ÒÍ ‰»P[PÎß GsoUøP¯õÚx n(A) Cß ‰»®

ÁøPSÔUP¨£k®.

öuõøhPøÍ ÁøPSÔzuÀ öuõhº£õP •ßÚº PØÓÁØøÓ {øÚÄTº÷Áõ®.

² {a\¯©õP Áøµ¯ÖUPzuUP J¸ ö£õx¨ £s¤ß ‰»® ÂÁ›zuÀ.

² Auß ‰»P[PøÍa \[Q¼ Aøh¨¤ÝÒ÷Í GÊxuÀ

² öÁß Á›¨£hzvÀ ‰»® SÔzuÀ

Euõµn©õP 0 CØS® 10 CØS® Cøh°¾ÒÍ GÀ»õ Cµmøh GsPøÍ²®

÷©ØSÔzu ‰ßÖ •øÓPÎ¾® PõmhUTi¯ Âuzøu •øÓ÷¯ PÁÚzvÀ

öPõÒ÷Áõ®. Czöuõøhø¯ A GÚ¨ ö£¯›k÷Áõ®. A¨÷£õx

1. A = {0 CØS® 10 CØS® Cøh°¾ÒÍ Cµmøh GsPÒ} 2. A = {2, 4, 6, 8}

3. A 4

2 86

C»Á\¨ £õh¡À10 C»Á\¨ £õh¡À 11

‰»P[PÒ AØÓ öuõøh `Û¯z öuõøh AÀ»x öÁÖ¢ öuõøh GÚ¨£k®.

`Û¯z öuõøh¯õÚx { } AÀ»x O Cß ‰»® ÁøPSÔUP¨£k®. J¸

`Û¯z öuõøh°ß ‰»P[PÎß GsoUøP 0 GÚU P¸u¨£k®. AuõÁx A J¸ `Û¯z öuõøh¯õ°ß, n(A) = 0 BS®.

Euõµn©õP

P = {5 CØS® 10 CØS® Cøh°¾ÒÍ Cµmøh •ußø© GsPÒ } B°ß,

5 CØS® 10 CØSªøh°À Cµmøh •ußø© GsPÒ CÀø» Gß£uõÀ

P = O E® n(P) = 0 E® BS®.

}[PÒ •ßÚº PØÓÁØøÓ «m£uØPõP¨ ¤ßÁ¸® «mhØ £°Ø]°À Dk£kP.

«mhØ £°Ø]

1. R÷Ç uµ¨£mkÒÍ JÆöÁõ¸ Tmh•® öuõøh¯õS©õ GÚz wº©õÛUP.

(i) 0 CØS® 30 CØS® Cøh°¾ÒÍ |õßQß ©h[SPÒ

(ii) C»[øP°ß ©õÁmh[PÒ

(iii) PouzvÀ vÓø©²ÒÍ ©õnÁºPÒ

(iv) •U÷Põo GsPÒ

(v) ªP¨ ö£›¯ 10 {øÓöÁsPÒ.

2. R÷Ç uµ¨£mkÒÍ JÆöÁõ¸ öuõøh°Úx® ‰»P[PøÍ²® GÊv

AÁØÔß ‰»P[PÎß GsoUøPø¯²® PõsP.

(i) A = {0 C¼¸¢x 20 Áøµ²ÒÍ 5 Cß ©h[SPÒ} (ii) B = {—RECONCILIATION˜ GßÝ® ö\õÀ¼¾ÒÍ GÊzxUPÒ}

(iii) C = {2 CØS® 13 CØS® Cøh°¾ÒÍ •ußø© GsPÒ} (iv) D = {Ç •ußø© GsPÎß ö£¸UP©õP GÊuUTi¯ 0 CØS®

20 CØS® Cøh°¾ÒÍ {øÓöÁsPÒ}

3. E = {5 CØS® 10 CØS® Cøh°¾ÒÍ •Ê GsPÒ} CzöuõøhU÷PØ£, (i) E Cß ‰»P[PøÍ GÊxP.

(ii) n(E) IU PõsP.

4. `Û¯z öuõøhUS 3 Euõµn[PÒ u¸P. AøÁ ̀ Û¯zöuõøh BÁuØS›¯

£sø£z öuÎÁõPz u¸P.

C»Á\¨ £õh¡À10 C»Á\¨ £õh¡À 11

22.1 •iÄÒÍ öuõøhPÒ, •iÂ¼z öuõøhPÒ, \© öuõøhPÒ,

\©Á¾z öuõøhPÒ

² •iÄÒÍ öuõøhPÐ® •iÂ¼z öuõøhPÐ®

‰»P[PøÍ EÖv¯õP AÔ¢x öPõÒÍUTi¯ ö£õx¨ £s¦ JßÔß ‰»®

GÊu¨£mkÒÍ Cµsk öuõøhPÒ R÷Ç uµ¨£mkÒÍÚ.

A = {0 CØS® 20 CØS® Cøh°¾ÒÍ 3 Cß ©h[SPÒ}B = {5 Cß ©h[SPÒ}CÆöÁõÆöÁõ¸ öuõøh°Úx® ‰»P[PøÍ²® \[Q¼ Aøh¨¤ÝÒ÷Í

GÊx÷Áõ®.

A = {3, 6, 9, 12, 15, 18} B = {5, 10, 15, 20, ...}

÷©÷» uµ¨£mkÒÍ öuõøh A Cß ‰»P[PÎß GsoUøP 6 BS®.

CuØ÷PØ£ Cuß ‰»P[PÎß GsoUøPø¯ EÖv¯õÚ Kº GsoÚõÀ

SÔ¨¤h •i²®. CÆÁõÖ ‰»P[PÎß GsoUøPø¯ EÖv¯õPU TÓ

•i²©õ°ß AÆÁõÓõÚ öuõøhPÒ •iÄÒÍ öuõøhPÒ GÚ¨£k®.

÷©÷»²ÒÍ öuõøh B CÀ ‰»P[PÎß GsoUøPø¯ EÖv¯õPU

TÓ•i¯õx. AuõÁx Cuß ‰»P[PÎß GsoUøP GÀø»¯ØÓuõS®.

öuõøh B Cß ‰»P[PøÍ GÊx®÷£õx CÖv°À ‰ßÖ SØÖUPøÍ

CkÁuß ‰»® Auß ‰»P[PÒ GÀø»¯ØÓÚ Gß£x Põmh¨£kQßÓx.

CÆÁõÖ ‰»P[PÎß GsoUøPø¯ EÖv¯õPU TÓ•i¯õu öuõøhPÒ

•iÂ¼z öuõøhPÒ GÚ¨£k®.

Euõµn® 1

R÷Ç uµ¨£mkÒÍ JÆöÁõ¸ öuõøh°Úx® ‰»P[PøÍ GÊv, AøÁ

•iÄÒÍ öuõøh¯õ, •iÂ¼z öuõøh¯õ GÚ GÊxP.

(i) P = {30 C¾® SøÓ¢u 6 Cß ©h[SPÒ}(ii) Q = {£À÷PõoPÒ}

(i) P = {6, 12, 18, 24} n(P) = 4(ii) Q = {•U÷Põn®, |õØ£UPÀ, I[÷Põo, AÖ÷Põo....}

öuõøh P Cß ‰»P[PÎß GsoUøP •iÄÒÍuõøP¯õÀ P J¸ •iÄÒÍ

öuõøh¯õS®.

öuõøh Q Cß ‰»P[PÎß GsoUøP •iÂÀ»õux BøP¯õÀ Q J¸

•iÂ¼z öuõøh BS®.

C»Á\¨ £õh¡À12 C»Á\¨ £õh¡À 13

² \© öuõøhPÒ

R÷Ç uµ¨£mkÒÍ Cµsk öuõøhPøÍ²® PÁÚzvÀ öPõÒP.

A = {0 CØS® 10 CØS® Cøh°¾ÒÍ Cµmøh GsPÒ}

B = {48268 GßÝ® GsoÀ Aø©¢xÒÍ C»UP[PÒ} ÷©ØSÔzu Cµsk öuõøhPÎÚx® ‰»P[PøÍ CÆÁõÖ GÊu»õ®.

A = {2, 4, 6, 8}B = {2, 4, 6, 8}

A, B BQ¯ Cµsk öuõøhPÐ® JßÖUöPõßÖ Âzv¯õ\©õÚ Cµsk

•øÓPÎÀ TÓ¨£mi¸¨¤Ý® AÁØøÓ ‰»P[PÐhß GÊx®÷£õx

CµskUS® J÷µ öuõøh÷¯ ö£Ó¨£kQßÓx. \©ÚõÚ ‰»P[PøÍU

öPõskÒÍ öuõøhPÒ \©öuõøhPÒ GÚ¨£k®. CuØ÷PØ£ A, B BQ¯Ú

Cµsk® \© öuõøhPÍõS®. A, B BQ¯ Ç öuõøhPÐ® \©Úõ°ß Ax A = B GÚ GÊu¨£k®.

² \©Á¾z öuõøhPÒ

A, B BQ¯ Cµsk öuõøhPÎß ‰»P[PÎß GsoUøP \©ÚõP Ç¨¤ß,

AuõÁx n(A) = n(B) B°ß A¨÷£õx A, B BQ¯ öuõøhPÒ \©Á¾z

öuõøhPÒ GÚ¨£k®. A, B BQ¯ öuõøhPÒ \©Á¾z öuõøhPÍõ°ß Ax A~B GÚ ÁøPSÔUP¨£k®.

Euõµn® 2

X = {0 CØS® 10 CØS® Cøh°¾ÒÍ JØøÓ GsPÒ}Y = {B[Q» A›a_Ái°À E°º GÊzxPÒ}

CzöuõøhPÎß ‰»P[PøÍ GÊv, AøÁ \©Á¾z öuõøhPÒ GÚU PõmkP.

X = {1, 3, 5, 7, 9} n(X) = 5 Y = {a, e, i, o, u} n(Y) = 5

n(X) = n(Y) BøP¯õÀ X, Y BQ¯Ú \©Á¾z öuõøhPÍõS®.

SÔ¨¦

\©öuõøha ÷\õiPÒ GÀ»õ® \©Á¾z öuõøhPÍõPÄ® Põn¨£k®.

BÚõÀ \©Á¾z öuõøha ÷\õiPÒ GÀ»õ® \© öuõøhPÒ BPU Põn¨£h

©õmhõx.

C»Á\¨ £õh¡À12 C»Á\¨ £õh¡À 13

£°Ø] 22.1

1. R÷Ç uµ¨£mkÒÍ öuõøhPÎ¼¸¢x •iÄÒÍ öuõøh, •iÂ¼z öuõøh

BQ¯ÁØøÓ ÷ÁÓõUQ GÊxP.

(i) A = {0 C¼¸¢x 50 Áøµ²ÒÍ 5 Cß ©h[SPÒ} (ii) B = {{øÓöÁsPÒ}

(iii) C = {0, 1 BQ¯ÁØøÓ ©õzvµ® £¯ß£kzv GÊuUTi¯ GsPÒ}(iv) D = {25265 GßÝ® GsoÀ Aø©¢xÒÍ C»UP[PÒ}(v) E = {•ußø© Gs AÀ»õu ÷|º {øÓöÁsPÒ}

2. R÷Ç uµ¨£mkÒÍ JÆöÁõ¸ öuõøh°Úx® ‰»P[PøÍ GÊv, Av¼¸¢x

\©öuõøha ÷\õiPøÍ²® \©Á¾z öuõøha ÷\õiPøÍ²® öu›¢x

GÊxP.

P = {10 C¾® SøÓ¢u 3 Cß ÷|º ©h[SPÒ} Q = {vPv GßÝ® ö\õÀ¼À Aø©¢xÒÍ GÊzxPÒ}R = {0 C¼¸¢x 10 Áøµ²ÒÍ JØøÓ GsPÒ}S = {3693 GßÝ® GsoÀ Aø©¢xÒÍ C»UP[PÒ}T = {B[Q» A›a_Ái°À EÒÍ E°öµÊzxPÒ}V = {—PÚÄ'' GßÝ® ö\õÀ¼À Aø©¢xÒÍ GÊzxPÒ}

3. •iÄÒÍ öuõøhPÐUS ‰ßÖ Euõµn[PøÍ GÊxP.

4. •iÂ¼z öuõøhPÐUS ‰ßÖ Euõµn[PøÍ GÊxP.

5. {2, 3 } GßÝ® öuõøhUS ‰ßÖ \©öuõøhPøÍ GÊxP.

22.2 öuõøh¨ ¤›Ä® AQ»z öuõøh²®

² öuõøh¨ ¤›Ä

A, B BQ¯ Cµsk öuõøhPøÍU P¸zvÀ öPõÒÐ®÷£õx öuõøh B Cß

GÀ»õ ‰»P[PÐ® öuõøh A CÀ Ah[Q°¸¨¤ß, A¨÷£õx öuõøh B

BÚx öuõøh A Cß öuõøh¨ ¤›Ä GÚ¨£k®.

Euõµn©õP ‰»P[PÐhß uµ¨£mkÒÍ ¤ßÁ¸® Cµsk öuõøhPøÍ²®

P¸x÷Áõ®.

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} B = {2, 4, 6}

C[S öuõøh B Cß GÀ»õ ‰»P[PÐ® öuõøh A CÀ Ah[SÁuõÀ öuõøh B BÚx öuõøh A Cß öuõøh¨ ¤›Ä BS®. Cx B ∩ A GÚ AÀ»x A

∩

B GÚU SÔUP¨£k®.

B ∩ A Gß£x ""B öuõøh¨ ¤›Ä A Cß'' GÚ Áõ]UP¨£k®.

C»Á\¨ £õh¡À14 C»Á\¨ £õh¡À 15

C¨÷£õx C = {2, 4, 7} CÀ Põn¨£k® GÀ»õ ‰»P[PÐ® A CÀ

Põn¨£hÂÀø». BP÷Á C BÚx A Cß J¸ öuõøh¨ ¤›Ä AÀ».

Cx C ⊄ A GÚU SÔUP¨£k®.

Euõµn® 1

R÷Ç uµ¨£mkÒÍ JÆöÁõ¸ öuõøh°Úx® ‰»P[PøÍ GÊxÁuß ‰»®

öuõøh¨ ¤›øÁU PõsP.

P = {0 CØS® 20CØS® Cøh°À EÒÍ 6 Cß ©h[SPÒ }Q = {0 CØS® 20 CØS® Cøh°À EÒÍ 3 Cß ©h[SPÒ}

P = {6, 12, 18}Q = {3, 6, 9, 12, 15, 18}

öuõøh P Cß GÀ»õ ‰»P[PÐ® Q CÀ Ah[Q²ÒÍuõÀ P ∩Q BS®.

Euõµn® 2

X = {1, 2} Cß GÀ»õz öuõøh¨ ¤›ÄPøÍ²® GÊxP.

{1}, {2} BQ¯Ú X Cß Cµsk öuõøh¨ ¤›ÄPÍõS® Gß£x ªPz

öuÎÁõÚuõS®. ÷©¾® {1, 2} GßÝ® öuõøh²® Auß J¸ öuõøh¨

¤›ÁõQßÓx Gß£øu AÁuõÛUP.

SÔ¨¦

A, B Gß£Ú \© öuõøhPÍõP Ç¨¤ß A BÚx B Cß öuõøh¨

¤›ÁõPÄ® B BÚx A Cß öuõøh¨ ¤›ÁõPÄ® Aø©QßÓx. ÷©¾®

`Û¯z öuõøh²® G¢uöÁõ¸ öuõøh°Úx® öuõøh¤›ÁõP Aø©²®.

öuõøh JßÔØS `Û¯z öuõøh²® \© öuõøh²® G¨÷£õx® öuõøh¨

¤›ÄPÒ BÁuõÀ {}, {1, 2} BQ¯ÚÄ® ÷©ØSÔzu öuõøh X Cß öuõøh¨

¤›ÄPÍõS®.

CuØ÷PØ£, ÷©ØSÔzu öuõøh X CØSz öuõøh¨ ¤›ÄPÒ 4 EÒÍxhß,

AøÁ { }, {1}, {2}, {1, 2} BQ¯ÚÁõS®.

Euõµn® 3

Y = {3, 5, 7} GßÝ® öuõøh°ß GÀ»õz öuõøh¨ ¤›ÄPøÍ²® GÊxP.

{ }, {3}, {5}, {7}, {3, 5}, {3, 7}, {5, 7}, {3, 5, 7} BP÷Á CzöuõøhUS 8 öuõøh¨ ¤›ÄPÒ Esk.

C»Á\¨ £õh¡À14 C»Á\¨ £õh¡À 15

² AQ»z öuõøh

E©x £õh\õø»°¾ÒÍ ©õnÁºPÒ £ØÔa ö\´¯¨£mh Kº B´ÂÀ A¨£õh

\õø»°ß ©õnÁºPÒ GßÓ öuõøhUS¨ £À÷ÁÖ öuõøh¨ ¤›ÄPøÍU

PÁÚzvÀ GkzxU öPõÒÍ»õ®. Euõµn©õP,

{uµ® 9 Cß ©õnÁºPÒ} {©õnÂPÒ}{CÆÁõsiÀ P.ö£õ.u. \õ. uµ¨ £Ÿmø\USz ÷uõØÖ® ©õnÁºPÒ} BQ¯øÁ AÁØÔÀ ]»ÁõS®.

C[S ÷©÷» PÁÚzvÀ öPõÒÍ¨£k® GÀ»õ ‰»P[PøÍ²® EÒÍhUQ¯

öuõøh, E©x £õh\õø»°¾ÒÍ GÀ»õ ©õnÁºPÒ GßÝ® öuõøh¯õS®.

Czöuõøh¯õÚx CUPØÓ¾US›¯ AQ»z öuõøh¯õS®. CÛ, Cß÷Úõº

EuõµnzøuU PÁÛ¨÷£õ®.

Cµmøh GsPÒ, JØøÓ GsPÒ, •U÷Põo GsPÒ, •ußø© GsPÒ BQ¯Ú

£ØÔ¯ PØÓ¼À CzöuõøhPÒ ¯õÁØøÓ²® {øÓöÁs öuõøh°ß öuõøh¨

¤›ÄPÍõPU P¸u»õ®.

BP÷Á uµ¨£mkÒÍ öuõøh¨ ¤›ÄPøÍU öPõskÒÍ öuõøh

AzöuõøhPÎß AQ»z öuõøh GÚ¨£k®. AQ»z öuõøh ε Cß ‰»®

ÁøPSÔUP¨£k®.

Cß÷Úõº Euõµn©õP, \xµ•Q ÁiÁzv»õÚ J¸ uõ¯UPmøh°À 1, 2, 3, 4, 5, 6 BQ¯ GsPÒ GÊu¨£mkÒÍÚ. Czuõ¯UPmøhø¯ J¸ uhøÁ

E¸mk®÷£õx QøhUPzuUP DmkPÒ 1, 2, 3, 4, 5, 6 BS®. GÚ÷Á, Czuõ¯U

Pmøhø¯ E¸mk®÷£õx QøhUS® ÷£ÖPÎß öuõøh {1, 2, 3, 4, 5, 6} BS®.

Czöuõøh¯õÚx J¸ uõ¯UPmøhø¯ E¸mk®÷£õx ö£Ó¨£k® ÷£ÖPÎß

AQ»z öuõøh¯õS®. CuøÚ ε = {1, 2, 3, 4, 5, 6} GÚ GÊvU Põmh»õ®.

CÆÁQ»z öuõøh°ß ]» öuõøh¨ ¤›ÄPøÍ¨ ¤ßÁ¸©õÖ Põmh»õ®.

A = {JØøÓ Gs JßÖ QøhzuÀ} A = {1, 3, 5}B = {4C¾® Ti¯ J¸ ö£Ö©õÚ® QøhzuÀ}B = {5, 6}C = {Kº Cµmøh •ußø© Gs QøhzuÀ}C = {2}

Euõµn® 1

A = {2, 4, 6, 8} GßÝ® öuõøhUPõÚ Kº AQ»z öuõøhø¯ GÊxP.

ε = {1 CØS® 10 CØS® Cøh°¾ÒÍ GsPÒ}

C»Á\¨ £õh¡À16 C»Á\¨ £õh¡À 17

£°Ø] 22.2

1. A = {2, 5, 8, 10, 13} GßÝ® öuõøh°ß GøÁ÷¯Ý® 8 öuõøh¨ ¤›ÄPøÍ

GÊxP.

2. R÷Ç uµ¨£mkÒÍ JÆöÁõ¸ TØÖ® \›¯õÚuõ GÚU TÖP.

(i) {1, 2, 3 } ∩ {5BÀ ÁS£k® GsPÒ } (ii) {4, 9, 16 } ∩ {\xµ GsPÒ}

(iii) {E¸øÍ} ∩ {£À÷PõoPÒ} (iv) {]Á¨¦} ∩ {ÁõÚÂÀ¼¾ÒÍ {Ó[PÒ} (v) {2x − 1 = 7Cß wºÄ} ∩ {Cµmøh GsPÒ}

3. A = {a, e, i, o, u}CØS AQ»z öuõøh JßÖ GÊxP.

4. R÷Ç uµ¨£mkÒÍ JÆÁõ¸ £Sv°¾® EÒÍ öuõøh¨ ¤›ÄPÎß Tmh®

Kº AQ»z öuõøh°ß öuõøh¨ ¤›ÁõP Aø©²©õ°ß, AÆÁQ»z

öuõøhø¯ GÊxP.

(i) {5, 10, 15, 20, 25}, {10, 100, 100, ...}(ii) {GÊzuÔÄ 90% C¾® Ti¯ |õkPÒ}, {J¸ \•zvµzvÚõÀ

GÀø»¨£hõu |õkPÒ}(iii) {áÚÁ›, ©õºa, ÷©, JPìm}, {31 |õmPøÍU öPõsh ©õu[PÒ},

{E©x Sk®£zvÀ EÒÍ J¸Á›ß ¤Ó¢u |õÒ Aø©²® ©õu®}

öÁß Á›¨£h[PÒ

J¸ öuõøhø¯ öÁß Á›¨£hzvÀ SÔUS® •øÓø¯ •ßøÚ¯ ÁS¨¦PÎÀ

PØÖÒÏºPÒ. C[S öuõøhPÒ ‰i¯ E¸Á[PÎß ‰»® SÔUP¨£k®.

öÁß Á›¨£h[PøÍ Áøµ²®÷£õx AQ»z öuõøh J¸ ö\ÆÁPzvÝÒ÷Í

¤ßÁ¸©õÖ SÔzxU Põmh¨£k®.

ε

AQ»z öuõøh°ß öuõøh¨ ¤›ÄPÒ ÁøÍ¢u ÷Põmi»õÚ ‰i¯

E¸UPÎÚõÀ (Ámh®, }ÒÁmh® ÷£õßÓøÁ) Põmh¨£k®.

C»Á\¨ £õh¡À16 C»Á\¨ £õh¡À 17

J¸ öuõøh¨ ¤›Ähß Ti¯ AQ»z öuõøh JßÔß öÁß Á›¨£h® R÷Ç

Põmh¨£mkÒÍx.

A

ε

Euõµn® 1

ε ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } A ={2, 4, 6 }

A

ε

2

6

22.3 öuõøhPÎß CøhöÁmk® JßÔ¨¦®

² öuõøhPÎß CøhöÁmk

Cµsk AÀ»x CµskUS ÷©Ø£mh öuõøhPøÍU P¸x®÷£õx AÁØÔß

ö£õx ‰»P[PøÍU öPõsh öuõøh CøhöÁmkz öuõøh GÚ¨£k®.

A, B GßÝ® Cµsk öuõøhPÎß CøhöÁmkz öuõøh¯õÚx A∩B CÚõÀ

ÁøPSÔUP¨£k®.

CuøÚ Kº Euõµnzvß ‰»® £õº¨÷£õ®.

A ={1, 2, 3, 4, 5, 7}

B ={2, 5, 6, 7}

∴ A, B BQ¯ öuõøhPÎß ö£õx ‰»P[PÒ {2, 5, 7} BS®.

∴ A∩B = {2, 5, 7}GÚU SÔUP¨£k®.

CøhöÁmkz öuõøh²® J¸ öuõøh¯õS®. BP÷Á CuøÚ²® |õ®

öuõøhPøÍ ÁøPSÔUS® •øÓ°À GÊu»õ®.

Euõµn©õP ÷©÷» EÒÍ öuõøhPøÍU P¸xP.

1

4

3 7

5

C»Á\¨ £õh¡À18 C»Á\¨ £õh¡À 19

² A∩B GßÝ® öuõøh {A C¾® B C¾® Põn¨£k® ‰»P[PÒ }² A∩B = {2, 5, 7}² öÁß Á›¨£h®

C[÷P |õ® •u¼À öuõøh A IU SÔ¨÷£õ®.

A

ε

1 2

734 5

ε

B3

14

25 67

A

2, 5, 7 GßÝ® ‰»P[PÒ B C¾®

Põn¨£kQßÓÚ. BÚõÀ öuõøh°À J¸

‰»P® J¸ uhøÁ ©mk÷© GÊu¨£kÁuõÀ B BÚx A Ehß öuõhº¦ØÖ E¸ÂÀ

Põmh¨£mhx ÷£õßÖ Áøµ¯¨£k®.

∴ BP÷Á A∩B GßÝ® öuõøhUS›¯ öuõøh¨ ¤µ÷u\® ¤ßÁ¸©õÓõS®.

ε

BA

A∩B÷©¾® ]» Euõµn[PÎß ‰»® CøhöÁmkz öuõøhPøÍU Põs÷£õ®.

Euõµn® 1

P ={2, 3, 5, 7} Q ={3, 5} P ∩ Q = {3, 5} = QC[÷P öuõøh Q BÚx öuõøh P Cß öuõøh¨ ¤›ÁõS®. P ∩ Q = Q BP

Aø©QßÓx. CuøÚ öÁß Á›¨£hzvÀ SÔzuõÀ

P

Q

ε

3 5 2 7

Q

P ∩ Q = Q

P

ε

A∩B

C»Á\¨ £õh¡À18 C»Á\¨ £õh¡À 19

Euõµn® 2

X ={3, 5}Y ={ 15 Cß •ußø©U PõµoPÒ} Y ={3, 5}X ∩ Y = {3, 5}

ε

YX3

5

X ∩ Y = X = Y

C[S X E® Y E® \©öuõøhPÒ BS®.

Euõµn® 3

A ={1, 3, 5, 7 }B ={2, 4, 6, 8} C[÷P A CØS® B CØS® ö£õxÁõÚ ‰»P[PÒ GøÁ²® CÀø». BP÷Á A∩B `Û¯z öuõøh BS®. AuõÁx A∩B = { } BS®.

Cøu öÁß Á›¨£hzvß ‰»® SÔzuõÀ

A 6375

1 2 48

B

ε

A∩B = { }CÆÁõÓõÚ \¢uº¨£zvÀ A E® B E® ‰mhØÓ öuõøhPÒ GÚ¨£k®.

² öuõøhPÎß JßÔ¨¦

Cµsk AÀ»x CµskUS ÷©Ø£mh öuõøhPøÍU P¸x®÷£õx

AzöuõøhPÎÀ Põn¨£k® GÀ»õ ‰»P[PøÍ²® öPõsh öuõøh

JßÔ¨¦z öuõøh GÚ¨£k®.

A, B BQ¯ Cµsk öuõøhPøÍ²® P¸x®÷£õx A, B BQ¯ÁØÔß JßÔ¨¦z

öuõøh¯õÚx A

∩

B CÚõÀ ÁøPSÔUP¨£k®.

CuøÚ Kº Euõµnzvß ‰»® £õº¨÷£õ®.

A ={1, 3, 5, 7, 8}B ={2, 3, 4, 6, 7, 8}

A

∩

B ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} BS®.

C»Á\¨ £õh¡À20 C»Á\¨ £õh¡À 21

JßÔ¨¦z öuõøh²® J¸ öuõøh¯õS®. BP÷Á CuøÚ²® |õ® öuõøhPøÍ

ÁøPSÔUS® ÁøP°À GÊu»õ®. Euõµn©õP ÷©÷» £õºzu öuõøhPøÍU

P¸x÷Áõ®.

A

∩

B ={A CÀ AÀ»x B CÀ Põn¨£k® ‰»P[PÒ }A

∩

B ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

ε

BA157

24

83

6

C[÷P A CÀ Põn¨£k® ‰»P[PÒ AÀ»x B

CÀ Põn¨£k® ‰»P[PÒ öPõsh öuõøh

BøP¯õÀ A, B CÚõÀ Põmh¨£k® •Ê¨

¤µ÷u\zøu²® A

∩

B SÔUS®. ÷©¾® ]»

Euõµn[PÎß ‰»® JßÔ¨¦z öuõøhø¯

£õº¨÷£õ®.

Euõµn® 4

P ={2, 3, 5, 7}Q ={3, 5}P

∩

Q ={2, 3, 5, 7} = P

C[÷P Q BÚx öuõøh P Cß öuõøh¨ ¤›ÁõS®. A¨÷£õx JßÔ¨£õÚx

ö£›¯ öuõøh¯õÚ P CØS® \©ÚõQßÓx. CuøÚ öÁß Á›¨£hzvÀ

SÔzuõÀ

P

Q

ε

3 5 2 7

Euõµn® 5

X ={3, 5}Y ={15 Cß •ußø©U PõµoPÒ} = {3, 5}X

∩

Y = {3, 5} = X = Yε

QP 3 5

X

∩

Y = X = Y

C[÷P öuõøh X E® öuõøh Y E® \© öuõøhPÒ

BS®. BP÷Á JßÔ¨¦z öuõøh²® AÁØÖUSa

\©©õÚ öuõøh¯õP Aø©QßÓx.

A

∩

B

P

∩

Q = P

C»Á\¨ £õh¡À20 C»Á\¨ £õh¡À 21

SÔ¨¦

\© öuõøhPÒ Cµsiß CøhöÁmkz öuõøh²® JßÔ¨¦z öuõøh²®

uµ¨£mh öuõøhPÐUSa \©ÚõÚ öuõøhPÍõS®.

Euõµn® 6

A ={1, 3, 5, 7 }B ={2, 4, 6, 8} A

∩

B ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}Cøu öÁß Á›¨£hzvÀ SÔzuÀ

A 6375

1 2 48

B

ε

A

∩

B

Euõµn® 7

R÷Ç uµ¨£mkÒÍ öÁß Á›¨£hzv¼¸¢x ÂÚõUPÐUS Âøh GÊxP. ε

95

8

BA6

10

13

42

7

(i) öuõøh A Cß ‰»P[PøÍ GÊxP.

(ii) öuõøh B Cß ‰»P[PøÍ GÊxP.

(iii) AQ»z öuõøh°ß ‰»P[PøÍ GÊxP.

(iv) A∩B Cß ‰»P[PøÍ GÊxP.

(v) A

∩

B Cß ‰»P[PøÍ GÊxP.

(i) A = {2, 4, 6, 10 } (ii) B ={2, 4, 1, 3, 7}(iii) ε ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }(iv) A∩B = {2, 4} (v) A

∩

B = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 10 }

C»Á\¨ £õh¡À22 C»Á\¨ £õh¡À 23

Euõµn® 8

ÁS¨¦ JßÔÀ EÒÍ ©õnÁºPÎ¼¸¢x ¤ßÁ¸® öuõøhPÒ öu›Ä

ö\´¯¨£mhÚ.

A ={Pµ¨£¢øu ÂøÍ¯õk® ©õnÁºPÒ}B ={QÔöPØøÓ ÂøÍ¯õk® ©õnÁºPÒ}A∩B I²® A

∩

B I²® u¸P.

A∩B ={Pµ¨£¢øu²® QÔöPØøÓ²® ÂøÍ¯õk® ©õnÁºPÒ}A

∩

B ={Pµ¨£¢øu AÀ»x QÔöPØøÓ ÂøÍ¯õk® ©õnÁºPÒ}

£°Ø] 22.4

1. P, Q, R öuõøhPÒ

P ={1, 3, 6, 8, 10, 13} Q ={1, 6, 7, 8} R ={2, 3, 9, 10, 12}GÚz uµ¨£mkÒÍÚ. R÷Ç uµ¨£mkÒÍ JÆöÁõ¸ öuõøhø¯²® ‰»P[

PÐhß GÊxP.

(i) P∩Q (ii) P∩R (iii) Q∩R (iv) P ∩Q (v) P ∩R (vi) Q ∩R

2. A ={1C¼¸¢x 12 Áøµ²ÒÍ Gsq® GsPÒ} B ={10 C¾® SøÓ¢u •ußø© GsPÒ} C ={12 Cß PõµoPÒ} GÚz uµ¨£mkÒÍÚ.

(i) ÷©ØSÔzu JÆöÁõ¸ öuõøhø¯²® ‰»P[PÐhß GÊxP.

(ii) R÷Ç uµ¨£mkÒÍ JÆÁõ¸ öuõøhø¯²® ‰»P[PÐhß GÊxP.

a. A∩B b. A∩C c. B∩C d. A ∩B e. A ∩C f. B ∩C

3. R÷Ç uµ¨£mkÒÍ öÁß Á›¨£hzøuU P¸xP.

ε

B6

6

29

A357

48

1

R÷Ç uµ¨£mkÒÍ JÆÁõ¸ öuõøhø¯²® ‰»P[PÐhß GÊxP.

(i) A (ii) B

(iii) A ∩B (iv) A∩B

C»Á\¨ £õh¡À22 C»Á\¨ £õh¡À 23

22.1 öuõøh JßÔß {µ¨¤

Kº AQ»z öuõøh°¾ÒÍ öuõøh¨ ¤›Ä A IU P¸x÷Áõ®. A Ia

\õµõu AQ»z öuõøh°ÝÒ÷Í EÒÍ GÀ»õ ‰»P[PøÍ²® EÒÍhUQ¯

öuõøh¯õÚx öuõøh A Cß {µ¨¤z öuõøh GÚ¨£k®.

Euõµn©õPU R÷Ç EÒÍ öuõøhPøÍU P¸x÷Áõ®.

ε ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} A ={2, 4, 6 } GÚU öPõÒÐ®÷£õx öuõøh A Ia \õµõu, AQ»z öuõøh°ÝÒ÷Í EÒÍ

Gg]¯ ‰»P[PÒ R÷Ç uµ¨£mkÒÍÚ.

{1, 3, 5, 7 }Cx öuõøh A Cß {µ¨¤z öuõøh¯õS®. öuõøh A Cß {µ¨¤¯õÚx A

Cß ‰»® ÁøPSÔUP¨£k®. AuøÚ

A = {1, 3, 5, 7 } GÚ GÊu»õ®.

Euõµn® 1

R÷Ç uµ¨£mkÒÍ AQ»z öuõøh (ε), Auß öuõøh¨¤›Ä B BQ¯ÁØøÓU

P¸vz öuõøh B I ‰»P[PÐhß GÊxP.

ε ={5, 10, 15, 20, 25, 30, 35} B ={10, 20, 30 }

B = {5, 15, 25, 35}

Euõµn® 2

ε ={£ÓøÁPÒ}

P ={Tk Pmk® £ÓøÁPÒ} B°ß P I ÂÁ›UP.

P = {Tk Pmhõu £ÓøÁPÒ}

CÛ öuõøhPÎß {µ¨¤ø¯ öÁß Á›¨£hzvß ‰»® Põmk® •øÓø¯U

PÁÛ¨÷£õ®.

A Gß£x Kº AQ»z öuõøh°ß (ε) J¸ öuõøh¨ ¤›Áõ°ß, AuøÚ J¸

öÁß Á›¨£hzvÀ CÆÁõÖ Põmh»õ®.

A

ε

A

C»Á\¨ £õh¡À24 C»Á\¨ £õh¡À 25

A Gß£xq A Ia \õµõu ε Cß Gg]¯ ‰»P[PÒ BøP¯õÀ öuõøh A Iz uÂµ

Gg]¯ ¤µ÷u\® A Ia \õº¢uuõS®.

Euõµn® 3

öÁß Á›¨£hzvØ÷PØ£U R÷Ç uµ¨£mkÒÍÁØøÓU PõsP.

ε

Q2 6

47P 5

10

1812

1520

(i) P (ii) Q

(iii) (P∩Q) (iv) (P ∩Q)

(i) P = {2, 6, 15, 18, 20} (ii) Q = {2, 4, 6, 7, 12, 18} (iii) (P∩Q)= {5, 10} (iv) (P ∩Q)= {4, 5, 7, 12, 15, 20, 10}

£°Ø] 22.5

1. ε ={©õ¼Û, «µõ, ûõ, µõáõ, ¤µ¦} A ={©õ¼Û, µõáõ} B ={«µõ, ûõ, ¤µ¦} C ={©õ¼Û, ûõ, µõáõ}

CuØ÷PØ£ R÷Ç uµ¨£mkÒÍ JÆöÁõ¸ öuõøhø¯²® ‰»P[PÐhß GÊxP.

(i) A (ii) B (iii) C (iv) A∩C

2. ε ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, P ={1, 3, 5, 7, 9, 10}, Q ={2, 4, 5, 7, 8} B°ß ε, P, Q BQ¯ÁØøÓ J¸ öÁß Á›¨£hzvÀ SÔzx Av¼¸¢x R÷Ç

uµ¨£mkÒÍ JÆöÁõ¸ öuõøhø¯²® ‰»P[PÐhß GÊxP.

(i) P (ii) Q (iii) P∩Q (iv) P

∩

Q

C»Á\¨ £õh¡À24 C»Á\¨ £õh¡À 25

3. uµ¨£mkÒÍ öÁß Á›¨£hzv¼¸¢x R÷Ç uµ¨£mkÒÍ öuõøhø¯

‰»P[PÐhß GÊxP. ε

Y

13

20

28X

71421

10

17115 9

(i) X (ii) Y (iii) X∩Y (iv) X ∩Y (v) X (vi) Y

£»ÂÚ¨ £°Ø]

1. R÷Ç uµ¨£mkÒÍ uµÄPøÍ öÁß Á›¨£hzvÀ SÔUP.

ε ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, } ε

QP P ={2, 4, 6} Q ={1, 5, 8}

R÷Ç uµ¨£mkÒÍ uµÄPøÍ öÁß Á›¨£hzvÀ SÔUP.

a. P∩Q b. P

∩

Q c. P d. Q

2. R÷Ç uµ¨£mkÒÍ öuõøhPøÍ uµ¨£mkÒÍ öÁß Á›¨£hzøu¨

¤µvö\´x SÔUP.

ε ={2, 3, 4, 5, 7, 8, 10, 12 } Y

ε

X 410

P ={2, 4, 10} Q ={3, 4, 8, 10}


3. uµ¨£mkÒÍ öÁß Á›¨£hzøu¨ £¯ß£kzv R÷Ç²ÒÍ ÂÚõUPÐUS

Âøh¯ÎUP.

ε

B A1

37

2 48

65

R÷Ç uµ¨£mkÒÍ öuõøhPÎß ‰»P[PøÍ GÊxP.

(i) A (ii) B (iii) ε (iv) A∩B (v) A

∩

B (vi) A

ö£õÈ¨¦

² ‰»P[PÎß GsoUøPø¯ EÖv¯õPU TÓUTi¯ öuõøhPÒ

•iÄÒÍ öuõøhPÍõS®.

² ‰»P[PÎß GsoUøPø¯ EÖv¯õPU TÓ•i¯õu öuõøhPÒ

•iÂÀ öuõøhPÍõS®.

² \©ÚõÚ ‰»P[PøÍU öPõsh öuõøhPÒ \© öuõøhPÒ

GÚ¨£k®.

² ‰»P[PÎß GsoUøP \©ÚõÚ öuõøhPÒ \©Á¾z öuõøhPÒ

GÚ¨£k®.

² ¯õuõ°Ýö©õ¸ \¢uº¨£zvÀ PÁÚzvÀ öPõÒÍ¨£k® GÀ»õ

‰»P[PøÍ²® EÒÍhUQ¯ öuõøh AQ»z öuõøh GÚ¨£k®.

² Cµsk AÀ»x CµskUS ÷©Ø£mh öuõøhPÎß ö£õxÁõÚ

‰»P[PøÍU öPõsh öuõøh CøhöÁmkz öuõøh GÚ¨£k®.

² Cµsk AÀ»x CµskUS ÷©Ø£mh öuõøhPÎß GÀ»õ

‰»P[PøÍ²® öPõsh öuõøh JßÔ¨¦z öuõøh GÚ¨£k®.


£µ¨£ÍÄ23


² Kº CønPµzvß £µ¨£ÍøÁU Põs£uØS®

² J¸ \›ÁPzvß £µ¨£ÍøÁU Põs£uØS®

² J¸ Ámhzvß £µ¨£ÍøÁU Põs£uØS®


£µ¨£ÍÄ

J¸ ÷©Ø£µ¨¦ £µ®¤²ÒÍ AÍøÁU SÔ¨¤k® J¸ Po¯©õP¨ £µ¨£ÍøÁ

AÔ•P¨£kzu»õ®. CuØ÷PØ£ uµ® 7, uµ® 8 BQ¯ÁØÔÀ }[PÒ £µ¨£ÍÄ

öuõhº£õPU PØÓÁØøÓ «sk® {øÚÄTº÷Áõ®.

a A»SPÒ

b A»SPÒ

}Í® a A»SPÐ® AP»® b A»SPÐ® EÒÍ

ö\ÆÁP ÁiÁzv»õÚ Kº Ah›ß £µ¨£ÍøÁ A

\xµ A»SPÒ GÚU SÔUS®÷£õx A = a × b \xµ

A»SPÒ BS®.

a A»SPÒ

a A»SPÒ J¸ £UPzvß }Í® a A»SPøÍ Eøh¯ \xµ

ÁiÁzv»õÚ Kº Ah›ß £µ¨£ÍøÁ A \xµ

A»SPÒ GÚU öPõÒÐ®÷£õx A = a2 \xµ

A»SPÒ BS®.

a A»SPÒ

h A»SPÒ

Ai°ß }Í® a A»SPÐ® AuØöPõzu ö\[Szx

E¯µ® h A»SPÐ® EÒÍ J¸ •U÷Põn Ah›ß

£µ¨£ÍøÁ A \xµ A»SPÒ GÚU SÔUS®÷£õx

A = 12 × a × h \xµ A»SPÒ BS®.

}[PÒ PØÖÒÍ CÆÂh¯[PøÍ ÷©¾® EÖv¨£kzvU öPõÒÁuØPõPU R÷Ç

uµ¨£mkÒÍ «mhØ £°Ø]°À Dk£kP.

C»Á\¨ £õh¡À28 C»Á\¨ £õh¡À 29

«mhØ £°Ø]

1. R÷Ç uµ¨£mkÒÍ JÆöÁõ¸ uÍÄ¸ÂÚx® £µ¨£ÍøÁU PõsP.

8 cm

6 cm

(iv)

5 cm 6 cm

4 cm

10 cm

5 cm

9 cm

3 cm

7 cm 10 cm

4 cm

3 cm

(i) (ii) (iii)

(v) (vi)

2. E¸ÂÀ uµ¨£mkÒÍ •U÷Põo°À 12 cm

5 cm 10 cm

h

12 cm

AiUS›¯ ö\[Szx¯µ® 5 cm E® 10 cm AiU

S›¯ ö\[Szx¯µ® h cm E® BS®.

(i) •U÷Põo°ß £µ¨£ÍøÁU PõsP.

(ii) h Cß ö£Ö©õÚzøuU PõsP.

3. (a) 12 cm £UP•ÒÍ J¸ \©£UP •U÷Põo ÁiÁzv»õÚ Ah›ß _ØÓÍÄ

¯õx? (b) Ca_ØÓÍÄUSa \©ÚõÚ _ØÓÍÄ Eøh¯ \xµ ÁiÁzv»õÚ Kº Ah›ß

(i) J¸ £UPzvß }Í® ¯õx?

(ii) \xµ ÁiÁzv»õÚ Ah›ß £µ¨£ÍøÁU PõsP.

C»Á\¨ £õh¡À28 C»Á\¨ £õh¡À 29

Kº CønPµzvß £µ¨£ÍÄ

Gvº¨ £UP[PÒ \©õ¢uµ©õPÄÒÍ J¸ |õØ£UPÀ CønPµ® GÚ¨£k®. ÷©¾®,

Kº CønPµzvÀ Gvº¨ £UP[PÒ \©ÚõS® GÚ |õ® uµ® 8 CÀ PØÖÒ÷Íõ®.

CuØ÷PØ£, R÷Ç uµ¨£mkÒÍ E¸ÂÀ CønPµ® PQRS CÀ

PQ SR , PS QR BS®.

PQ = SR , PS = QR BS®.

23.1 Kº CønPµzvß Ai²® ö\[Szx E¯µ•®

D

A B

C

E¸ÂÀ uµ¨£mkÒÍ CønPµzvÀ G¢uöÁõ¸ £UPzøu²® Auß Ai¯õPU

öPõÒÍ»õ®. JÆ÷Áõº AiUS® JzuuõP CønPµzvß ö\[Szx¯µ®

Áøµ¯ÖUP¨£k® •øÓ R÷Ç ÂÁ›UP¨£mkÒÍx.

D

A B

CX

Y

P

Q

CønPµzvß Ai¯õP AB IU öPõÒÐ®÷£õx Ai AB E® AuØS Gvº¨

£UP©õQ¯ DC E® JßÖUöPõßÖ \©õ¢uµ©õÚøÁ BS®. C¢u Ç

÷|º÷PõkPÐUQøh°¾ÒÍ ö\[Szx¯µ® E¸ÄU÷PØ£ XY BS®. XY

Gß£x Ai AB CØS Jzu ö\[Szx¯µ® BS®. ÷©¾®, Ai¯õP BC IU

öPõÒÐ®÷£õx® BC, AD BQ¯ \©õ¢uµ ÷PõkPÐUQøh°¾ÒÍ ö\[Szxz

yµ® E¸Âß£i PQ BS®. PQ Gß£x Ai BC CØS Jzu ö\[Szx¯µ®

BS®.

S

P Q

R

C»Á\¨ £õh¡À30 C»Á\¨ £õh¡À 31

Kº CønPµzvß £µ¨£ÍøÁU Põs£uØPõÚ J¸ `zvµzøu E¸ÁõUS®

•øÓø¯U R÷Ç uµ¨£mkÒÍ ö\¯Ø£õmiÞhõP¨ ¦›¢xöPõÒ÷Áõ®.

ö\¯Ø£õk 1

£i 1: E[PÐøh¯ £°Ø]¨ ¦zuPzvß \xµU÷Põmkz uõÒ JßÔÀ

÷|ºÂÎ®ø£²® ‰ø»©mhzøu²® £¯ß£kzvU R÷Ç E¸ÂÀ

Põmi¯ÁõÓõÚ CønPµ® JßøÓ Áøµ²[PÒ.

£i 2: ÷ÁöÓõ¸ \xµU ÷Põmkz uõÎÀ A÷u AÍÄÒÍ CßÝö©õ¸

CønPµzøu Áøµ¢x CønPµ Ahøµ öÁmi ÷ÁÓõUSP.

£i 3: E¸Â¾ÒÍ {ÇØÓ¨£mh ö\[÷Põn •U÷Põn¨ £Svø¯ öÁmi

÷ÁÓõUSP.

B

C

A

D

a a

£i 4: öÁmiö¯kzu •U÷Põn ÁiÁ¨ £Svø¯ E¸Â¾ÒÍÁõÖ

øÁzx¨ £°Ø]¨ ¦zuPzvÀ JmkP. C¨÷£õx }[PÒ E¸ (ii) CÀ

Põmh¨£mhÁõÓõÚ J¸ ö\ÆÁPzøu¨ ö£ØÔ¸¨¥ºPÒ.

£i 5: C¨÷£õx }[PÒ ö£ØÓ ö\ÆPzvß £µ¨£ÍøÁ a, h BQ¯ÁØÔß

\õº¤À PõsP.

B

C

A

D

CønPµzvß £µ¨£ÍÄ® ö\ÆÁPzvß £µ¨£ÍÄ® JßÖUöPõßÖ \©ÚõÚøÁ

Gß£øu¨ ¦›¢v¸¨¥ºPÒ.

CønPµ® ABCD Cß £µ¨£ÍÄ = ö\ÆÁPzvß £µ¨£ÍÄ

= a × h \xµ A»SPÒ

C[S h Gß£x Ai AB CØS Jzu ö\[Szx¯µ® Gß£øu AÁuõÛUP.

h A»SPÒ

a A»SPÒ

h

E¸ (i) E¸ (ii)

C»Á\¨ £õh¡À30 C»Á\¨ £õh¡À 31

CÆÂh¯[PÎØS HØ£, Kº CønPµzvß £µ¨£ÍÄUPõÚ J¸ `zvµzøu¨

¤ßÁ¸©õÖ SÔ¨¤h»õ®.

CÛ, Kº CønPµzvß £µ¨£ÍøÁU PõnUTi¯ CßöÚõ¸ •øÓø¯

Bµõ´÷Áõ®.

J¸ •U÷Põo°ß £µ¨£ÍøÁU Põs£uß ‰»•® Kº CønPµzvß

£µ¨£ÍøÁU Põn»õ®.

D

A B

Ca

a

h

CønPµ® ABCD CÀ Ai AB Cß }Í® a

A»SPÒ GÚÄ® AuØS Kzu ö\[Szx¯µ®

h A»SPÒ GÚÄ® öPõÒ÷Áõ®. ‰ø»

Âmh® DB Cß ‰»® CønPµ® ABCD

BÚx ABD, BCD GßÝ® Cµsk

•U÷PõoPÍõP ÷ÁÓõUP¨£kQÓx.

•U÷Põo ABD Cß £µ¨£ÍÄ = 12 × a × h

•U÷Põo BCD Cß £µ¨£ÍÄ = 12 × a × h (AB = DC BøP¯õÀ)

CønPµ® ABCD Cß £µ¨£ÍÄ = ∆ ABD Cß + ∆BCD Cß

£µ¨£ÍÄ £µ¨£ÍÄ

= 12 × a × h + 12 × a × h

= ah2 + ah

2

= ah

∴ CønPµ® ABCD Cß £µ¨£ÍÄ ah \xµ A»SPÒ BS®.

Kº CønPµzvß £µ¨£ÍÄ = £UPzvß }Í® × A¨£UPzxUS Jzu

ö\[Szx¯µ®

C»Á\¨ £õh¡À32 C»Á\¨ £õh¡À 33

Euõµn® 1

CønPµ® PQRS Cß £µ¨£ÍøÁU PõsP.

S

P Q

R

5 cm

10 cm

CønPµ® PQRS Cß £µ¨£ÍÄ = 10 × 5 = 50∴ CønPµ® PQRS Cß £µ¨£ÍÄ 50 cm2 BS®.

Euõµn® 2

CønPµ® KLMN Cß £µ¨£ÍÄ 48 cm2 B°ß, h Cß ö£Ö©õÚzøuU PõsP.

h

MN

K L11 cm

8 cm

CønPµ® KLMN Cß £µ¨£ÍÄ = 48 cm2

GÚ÷Á 8 × h = 48

h = 488

h = 6 AuõÁx h = 6 cm BS®

£°Ø] 23.1

1. R÷Ç uµ¨£mkÒÍ JÆ÷Áõº CønPµzvÚx® £µ¨£ÍøÁU PõsP.

7 cm

12 cm

10 cm

5 cm

3 cm13 cm

20 cm

8 cm

(i) (ii) (iii)

C»Á\¨ £õh¡À32 C»Á\¨ £õh¡À 33

2. CønPµ® ABCD Cß _ØÓÍÄ 52 cm B°ß,

15 cm

6 cmD C

BA

CønPµzvß £µ¨£ÍøÁU PõsP.

3. CønPµzvß £µ¨£ÍÄ 35 cm2 B°ß, h Cß

h

5 cm

9 cmö£Ö©õÚzøuU PõsP.

4. CønPµzvß £µ¨£ÍÄ 105 cm2 B°ß, £UP® S R

QP

3 cm

PQ Cß }ÍzøuU PoUP.

5. E¸ÂÀ EÒÍ uPÀPÐU÷PØ£

(i) CønPµ® KLMN Cß £µ¨£ÍøÁU PõsP.

(ii) h Cß ö£Ö©õÚzøuU PõsP.

6. ABCD Cß £µ¨£ÍÄ 30 cm2 GÛß, D C

B

3 cm

5 cm

A

F E

CønPµ® ABEF Cß £µ¨£ÍøÁU

PõsP.

12 cm

5 cm 10 cmh

N M

LK

C»Á\¨ £õh¡À34 C»Á\¨ £õh¡À 35

23.2 J¸ \›ÁPzvß £µ¨£ÍÄ

J¸ ÷\õi Gvº¨ £UP[PÒ ©õzvµ® \©õ¢uµ©õPÄÒÍ J¸ |õØ£UPÀ \›ÁP®

GÚ¨£k®. \›ÁP ÁiÁzv»õÚ ]» E¸Á[PÒ R÷Ç uµ¨£mkÒÍÚ.

J¸ \›ÁPzvß £µ¨£ÍøÁU Põs£uØPõÚ J¸ `zvµzøu E¸ÁõUS÷Áõ®.

E¸ÂÀ uµ¨£mkÒÍ |õØ£UP¼À AB, DC BQ¯ £UP[PÎß }Í[PÒ •øÓ÷¯

a A»SPÒ, b A»SPÒ GÚÄ® Aa\©õ¢uµ¨ £UP[PÒ CµskUSªøh°»õÚ

ö\[Szxz yµ® h A»SPÒ GÚÄ® öPõÒ÷Áõ®.

D C

BA

h

b

a

Ca\›ÁPzvÀ ‰ø»Âmh® AC I ÁøµÁuõÀ ö£Ó¨£k® Cµsk •U÷Põo

PÎÚx® £µ¨£ÍÄPøÍU Psk AÁØøÓU TmkÁuß ‰»® \›ÁPzvß

£µ¨£ÍøÁU Põs÷£õ®.

D C

BA

h

b

a

h

•U÷Põo ABC Cß £µ¨£ÍÄ = 12 × AB × h

•U÷Põo ACD Cß £µ¨£ÍÄ = 12 × DC × h

\›ÁP® ABCD Cß £µ¨£ÍÄ = ∆ ABCCß £µ¨£ÍÄ + ∆ ACD Cß £µ¨£ÍÄ

= 12 × AB × h + 12 × DC × h

C»Á\¨ £õh¡À34 C»Á\¨ £õh¡À 35

= 12 × h × (AB + DC)

= 12 × (AB + DC) × h

= 12 × (a + b) h BS®.

J¸ \›ÁPzvß £µ¨£ÍÄ = 12 × \©õ¢uµ¨ £UP[PÒ Cµs

iÚx® }Í[PÎß Tmkz

öuõøP

\©õ¢uµ¨ £UP[PÐU

Qøh°¾ÒÍ ö\[Sz

xz yµ®

×

Euõµn® 1

\›ÁP® ABCD Cß £µ¨£ÍøÁU PõsP.

D C

BA 11 cm

8 cm

6 cm

\›ÁP® ABCD Cß £µ¨£ÍÄ = 12 × (11 + 6) × 8

= 12 × 17 × 84

1

= 68 cm2

Euõµn® 2

\›ÁP® PQRS Cß £µ¨£ÍÄ 70 cm2 B°ß, h Cß ö£Ö©õÚzøuU PõsP.

h

8 cm

12 cm

P Q

S

R

\›ÁP® PQRS Cß £µ¨£ÍÄ = 12 × (12 + 8) × h

= 12 × 20 × h1

10

£µ¨£ÍÄ 70 cm2 GÚz uµ¨£mkÒÍuõÀ,

10 h = 70

h = 7010

h = 7 ∴ h = 7 cm BS®.

C»Á\¨ £õh¡À36 C»Á\¨ £õh¡À 37

£°Ø] 23.2

1. R÷Ç uµ¨£mkÒÍ JÆöÁõ¸ \›ÁPzvÚx® £µ¨£ÍøÁU PõsP.

7 cm

6 cm

13 cm

10 cm

5 cm

8 cm 9 cm 13 cm5 cm

(i) (ii) (iii)

2. \›ÁPzvß £µ¨£ÍÄ 88 cm2 B°ß, h Cß ö£Ö©õÚzøuU PõsP.8 cm

h

14 cm

3. \›ÁPzvß £µ¨£ÍÄ 60 cm2 B°ß, x Cß ö£Ö©õÚzøuU PõsP.

11 cm x

13 cm

4. R÷Ç uµ¨£mkÒÍ JÆöÁõ¸ \›ÁPzv¾® Am\µ® a CÚõÀ Põmh¨£mkÒÍ

}ÍzøuU PõsP. AÆÁa \›ÁP[PÎß £µ¨£ÍÄPÒ R÷Ç uµ¨£mkÒÍÚ.

5 cm

a

18 cm

9 cm

(i)

4 cm

(ii)

£µ¨£ÍÄ 26 cm2 BS® £µ¨£ÍÄ 135 cm2 BS®

a

5. J¸ _Á›ß £UPz ÷uõØÓ® JßÖ E¸ÂÀ Põmh¨

5 m3 m

4 m 4 m

£mkÒÍx. uµ¨£mkÒÍ AÍÃkPÐU÷PØ£a

_Á›ß £µ¨£ÍøÁU PõsP.

C»Á\¨ £õh¡À36 C»Á\¨ £õh¡À 37

6. J¸ \›ÁPzvß £µ¨£ÍÄ 30 cm2 BS®. \©õ¢uµ¨ £UP[PÐUQøh°¾ÒÍ

ö\[Szxz yµ® 3 cm BS®. \©õ¢uµ¨ £UP[PÎß }Í[PÒ GÚU öPõÒÍU

Ti¯,

(i) {øÓöÁs ö£Ö©õÚa ÷\õiPÒ 3 I²®

(ii) {øÓöÁs AÀ»õu ö£Ö©õÚa ÷\õiPÒ 3 I²® PõsP.

23.3 J¸ Ámhzvß £µ¨£ÍÄ

ö\ÆÁP®, \xµ®, •U÷Põo, CønPµ®, \›ÁP® ÷£õßÓ ÁiÁ[PøÍ

Eøh¯ AhºPÎß £µ¨£ÍøÁU PõnÀ £ØÔU PØÖU öPõsh |õ® C¨÷£õx

Ámh ÁiÁzv»õÚ Ahº JßÔß £µ¨£ÍøÁU Põq® •øÓø¯ Bµõ´÷Áõ®.

AuØPõP •u¼À R÷Ç uµ¨£mkÒÍ ö\¯Ø£õmiÀ Dk£kP.

ö\¯Ø£õk 1

£i 1 : 6 cm Bøµø¯ Eøh¯ J¸ Ámhzøuz uõÒ JßÔÀ ÁøµP.

£i 2 : ø©¯zxUThõP ÷|º÷PõkPøÍ ÁøµÁuß ‰»® Ámhzøu C¯ßÓ

Áøµ ]Ô¯ Bøµa]øÓPÍõP¨ ¤›UP (Qmhzumh 16 xskPÒ).

SÔ¨¦ & Bøµa]øÓ Gß£x 2 BøµPÍõ¾® J¸ ÂÀ¼Úõ¾® AøhUP¨£mh

¤µ÷u\©õS®.

£i 3 : Ámhzvß AøµÁõ]ø¯ {ÇØÔ E¸ÂÀ Põmh¨£mkÒÍÁõÖ

GÀ»õ¨ ¤›ÄPøÍ²® •øÓ÷¯ C»UPªmkU öPõÒP.

2πr2 = πr1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

7

7

88

C»Á\¨ £õh¡À38 C»Á\¨ £õh¡À 39

£i 4 : ÷PõkPÒ ÁÈ÷¯ öÁmkÁuß ‰»® GÀ»õ Bøµa]øÓPøÍ²®

÷ÁÓõUSP.

£i 5 : ÷ÁÓõUQU öPõsh Bøµa]øÓPøÍ E¸ÂÀ EÒÍÁõÖ J¸

ö\ÆÁP ÁiÁ® (Qmhzumh) ö£Ó¨£k©õÖ JmiUöPõÒP. (Bøµa

]øÓPÎß GsoUøP AvP›US®÷£õx ö\ÆÁPzvß £µ¨£ÍÄ®

AvP›UQÓx Gß£øuU ÂÍ[QU öPõÒP.)

r1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

7

7

8

88

πr

uõÒ ÃnõPõu PõµnzvÚõÀ ÁmhzvÚx® ö\ÆÁPzvÚx® £µ¨£ÍÄPÒ

\©ÚõP ÇUP ÷Ásk®. Ámhzvß Bøµø¯ r GÚU öPõsk ¤ßÁ¸©õÖ

ö\ÆÁPzvß £µ¨£ÍøÁU Põn»õ®.

ö£Ó¨£k® ö\ÆÁPzvß }Í® = Ámhzvß _ØÓÍÄ × 12

= 2πr × 12

= πr ö£Ó¨£k® ö\ÆÁPzvß AP»® = r

ö\ÆÁPzvß £µ¨£ÍÄ = }Í® × AP»®

= πr × r = πr2

∴ Ámh® JßÔß £µ¨£ÍÄ = πr2

PozuÀPÎß Á\vUPõP π Cß ö£Ö©õÚ® AsnÍÁõP 3.142 AÀ»x 227

GÚ¨ £¯ß£kzu¨£k®.

8

C»Á\¨ £õh¡À38 C»Á\¨ £õh¡À 39

Euõµn® 1

14 cm Bøµø¯ Eøh¯ Ámh ÁiÁzv»õÚ Kº Ah›ß £µ¨£ÍøÁU PõsP.

14 cm

J¸ Ámhzvß £µ¨£ÍÄ = πr2

= 227 × 14 × 14

2

1

= 44 × 14

= 616 cm2

∴ Ámhzvß £µ¨£ÍÄ 616 cm2 BS®.

Euõµn® 2

154 cm2 £µ¨£ÍøÁ Eøh¯ Ámh ÁiÁzv»õÚ Kº Ah›ß Bøµø¯U PoUP.

Ámhzvß £µ¨£ÍÄ = πr2

= 227 × r2

Ámhzvß £µ¨£ÍÄ 154 cm2 GÚz uµ¨£mkÒÍuõÀ

227 r2 = 154

GÚ÷Á, 227

r2 × 7 = 154 × 7

22r2

22 = 1078

22 = 49

r2 = 49GÚ÷Á r = 7 AÀ»x r = –7 BS®.

B°Ý® Bøµ¯õÚx J¸ ©øÓ¨ ö£Ö©õÚ©õP ÇUP •i¯õx.

∴ Ámh ÁiÁzv»õÚ Ah›ß Bøµ 7 cm BS®.


£°Ø] 23.3

1. R÷Ç uµ¨£mkÒÍ AÍÃkPøÍU öPõsh Ámh ÁiÁzv»õÚ AhºPÎß

£µ¨£ÍÄPøÍU PõsP (π Cß ö£Ö©õÚ® 227 GÚU öPõÒP).

(i) Bøµ 14 cm (ii) Bøµ 21 cm (iii) Âmh® 7 cm (iv) Âmh® 21 cm

2. R÷Ç uµ¨£mkÒÍ £µ¨£ÍÄPøÍ Eøh¯ Ámh[PÎß BøµPøÍU PoUP.

(i) 616 cm2 (ii) 1386 cm2 (iii) 38 12 cm2

3. 196 cm2 £µ¨£ÍøÁ Eøh¯ J¸ \xµzv¼¸¢x öÁmiö¯kUPU Ti¯ ªP¨

ö£›¯ Ámhzvß,

(i) Bøµ ¯õx?

(ii) £µ¨£ÍÄ ¯õx?

4. R÷Ç uµ¨£mkÒÍ JÆ÷Áõº E¸Â¾® {ÇØÓ¨£mkÒÍ £Sv°ß £µ¨£

ÍøÁU PõsP.

7 cm

14 cm

(i)

10.5 cm

5. 70 cm }Í•® 14 cm AP»•® EÒÍ ö\ÆÁP ÁiÁzv»õÚ Kº Ah›¼¸¢x

öÁmhUTi¯ 7 cm Bøµ EÒÍ Ámh[PÎß AvTi¯ GsoUøP ¯õx?

ö£õÈ¨¦

² Ai°ß }Í® a A»SPÍõPÄ® E¯µ® h A»SPÍõPÄ® EÒÍ Kº

CønPµzvß £µ¨£ÍÄ ah \xµ A»SPÒ BS®.

² \©õ¢uµ¨ £UP[PÒ CµsiÚx® }Í[PÒ •øÓ÷¯ a, b A»SPÒ BS©õÖ® AU÷PõkPÐUQøh°¾ÒÍ ö\[Szx¯µ® h A»SPÒ

BS©õÖ® EÒÍ J¸ \›ÁPzvß £µ¨£ÍÄ 12 (a + b) h \xµ A»SPÒ

BS®.

² Bøµ r A»SPøÍ Eøh¯ J¸ Ámhzvß £µ¨£ÍÄ πr2 \xµ A»SPÒ

BS®.

(ii)


{PÌuPÄ24C¨£õhzøuU PØ£uß ‰»® }[PÒ

² GÊ©õØÖ¨ £›÷\õuøÚPøÍ AÔ¢xöPõÒÍÁuØS®

² ̄ õuõ°Ý® Kº GÊ©õØÖ¨ £›÷\õuøÚUS›¯ ©õv› öÁÎø¯ GÊxÁuØS®

² Kº GÊ©õØÖ¨ £›÷\õuøÚ°ß \©÷|ºuPÄÒÍ ÷£ÖPøÍ AÔ¢x

öPõÒÁuØS®

² \©÷|ºuPÄÒÍ J¸ ÷£ØÔß {PÌuPøÁU Põs£uØS®


24.1 GÊ©õØÖ¨ £›÷\õuøÚPÒ

J¸ \õuõµn |õn¯® _sh¨£k® £›÷\õuøÚø¯U P¸x÷Áõ®. J¸ |õn¯®

_sh¨£k®÷£õx ""uø» ÷©÷» ÇzuÀ'', ""§ ÷©÷» ÇzuÀ'' Gß£Ú

÷£ÖPÍõS® Gß£øu |õ® AÔ÷Áõ®. AuõÁx £›÷\õuøÚ ö\´¯¨£kÁuØS

•ßÚº GÀ»õ C¯ÀuS ÷£ÖPøÍ²® |õ® AÔ÷Áõ®. GÛÝ® uø» ÷©÷»

ÇUS® AÀ»x § ÷©÷» ÇUS® GßÖ |õ® EÖv¯õPU TÓ•i¯õx.

÷©¾® C¨£›÷\õuøÚø¯ J÷µ {ø»ø©PÎß RÌ £» uhøÁ ö\´¯»õ®.

£›÷\õuøÚ v¸®£a ö\´¯¨£k®÷£õx |õ® ÷£ÖPÎÀ J¸ ÷Põ»zøu CÚ[

Põn •i¯õ©À ÇzuÀ CßÝ÷©õº A®\©õS®. ÷©ØSÔzu A®\[PÒ EÒÍ

£›÷\õuøÚPÒ GÊ©õØÖ¨ £›÷\õuøÚPÒ GÚ¨£k®.

GÊ©õØÖ¨ £›÷\õuøÚPÒ ¤ßÁ¸® ö£õxa ]Ó¨¤¯À¦PøÍU öPõskÒÍÚ.

² £›÷\õuøÚø¯ J÷µ {ø»ø©PÎß RÌ £» uhøÁz v¸®£a ö\´¯»õ®.

² £›÷\õuøÚ {øÓ÷ÁØÓ¨£k •ß£õP Auß GÀ»õ C¯ÀuS ÷£ÖPÐ®

AÔ¯¨£mkÒÍÚ.

² £›÷\õuøÚø¯ {øÓ÷ÁØÖ •ßÚº Auß ÷£øÓ EÖv¯õPU TÓ•i¯õx.

² £›÷\õuøÚ v¸®£a ö\´¯¨£k®÷£õx ÷£ÖPÎÀ J¸ ÷Põ»zøuU

Põn•i¯õx.

÷ÁöÓõº EuõµnzøuU P¸x÷Áõ®.

•P[PÒ 1 öuõhUP® 6 ÁøµUS® C»UPªh¨£mkÒÍ J¸ ÷Põhõu \xµ•Qz

uõ¯UPmøhø¯ E¸mi ÷©÷» ÇUS® •Pzvß GsønU SÔzxU öPõÒ

Ð® £›÷\õuøÚ°ß GÀ»õ¨ ÷£ÖPÐ® AÔ¯¨£mi¸¢uõ¾® £›÷\õuøÚø¯

{øÓ÷ÁØÖÁuØS •ßÚº G¢u¨ ÷£Ö |øhö£Öö©Ú EÖv¯õPU TÓ •i¯õx.

GÛÝ® C¨£›÷\õuøÚø¯ A÷u {£¢uøÚPÎß RÌ £» uhøÁPÒ v¸®£z

v¸®£a ö\´¯»õ®. BÚõÀ ÷£ÖPÎÀ J¸ ÷Põ»® ÇUSö©Ú Gvº£õºUP

•i¯õx. BP÷Á J¸ ÷Põhõu \xµ•Qz uõ¯UPmøhø¯ E¸mi¨ ÷£øÓ

AÁuõÛzuÀ Kº GÊ©õØÖ¨ £›÷\õuøÚ¯õS®.

C»Á\¨ £õh¡À42 C»Á\¨ £õh¡À 43

1. R÷Ç uµ¨£mkÒÍ £›÷\õuøÚPøÍU P¸zvÀ öPõsk AøÁ GÊ©õØÖ¨

£›÷\õuøÚPÒ GÛß Gv÷µ —Ãøh¯õÍzøu²® GÊ©õØÖ¨

£›÷\õuøÚPÒ AÀ» GÛß Gv÷µ —˜ Aøh¯õÍzøu²® CkP.

£›÷\õuøÚ GÊ©õØÖ / GÊ©õØÓÀ»

1. •P[PÎÀ 1 C¼¸¢x 4 Áøµ C»UPªh¨£mh

J¸ |õß•Qz uõ¯UPmøhø¯ E¸mi ÷©ø\

ø¯z öuõk® £UPzvÀ EÒÍ •PzøuU SÔzuÀ.

2. J÷µ {Ó•ÒÍ \ºÁ\©©õÚ £ÁÍ[PøÍU öPõsh

J¸ ø£°¼¸¢x J¸ £ÁÍzøu öÁÎ÷¯ Gkzx

Auß {ÓzøuU SÔzuÀ.

3. SÔzu Kº C»USUS J¸ £¢øu GÔ¢x C»UQÀ

£kQÓuõ Gß£øu AÁuõÛzuÀ.

4. •ÒÍ[Q ÂøuPÒ 5 I |mk 5 vÚ[PÎß

¤ß AÁØÔÀ GzuøÚ •øÍzxÒÍÚ GÚ

AÁuõÛzuÀ.

5. ‰ßÖ \õÂPøÍU öPõsh J¸ \õÂU öPõzv¼

¸¢x GÊ©õØÓõP GkUP¨£k® J¸ \õÂ°ÚõÀ

J¸ PuÄ vÓ£k©õ GÚ¨ £õºzuÀ.

6. £¢x JßøÓ ÷©÷» GÔ¢x Ax R÷Ç ÂÊQßÓuõ

GÚ AÁuõÛzuÀ.

7. 1, 3, 5 GÚ C»UPªh¨£mh ‰ßÖ \ºÁ\©ÚõÚ

AmøhPÒ EÒÍ ö£mi JßÔ¼¸¢x Cµsk

AmøhPøÍ öÁÎ÷¯ Gkzx AÁØÔß

TmkzöuõøP J¸ JØøÓö¯snõP ÇUQß

Óuõ Gß£øu AÁuõÛzuÀ.

24'2 ©õv› öÁÎ

Kº GÊ©õØÖ¨ £›÷\õuøÚ°¼¸¢x QøhUPzuUP GÀ»õ¨ ÷£ÖPøÍ²® J¸

öuõøh°ÚõÀ Põmh»õ®. Azöuõøh°À Kº GÊ©õØÖ¨ £›÷\õuøÚ°ß

÷£ÖPÍõPU QøhUPzuUP GÀ»õ¨ ÷£ÖPÐ® Ah[S®. Ax ©õv› öÁÎ

GÚ¨£k®. ©õv› öÁÎ ö£õxÁõP S CÚõÀ SÔUP¨£k®. AvÀ EÒÍ

‰»P[PÎß GsoUøP n (S) CÚõÀ Põmh¨£k®.

£°Ø] 24.1

C»Á\¨ £õh¡À42 C»Á\¨ £õh¡À 43

Kº Euõµn©õP J¸ |õn¯zøua _sk®÷£õx ÷©÷» ÇUS® £UPzøu

AÁuõÛUS® £›÷\õuøÚ°À QøhUPzuUP GÀ»õ¨ ÷£ÖPÎÚx® öuõøh

AuõÁx ©õv› öÁÎ

S = ™ uø», §š

n (S) = 2

GÚU Põmh»õ®.

CÆÁõ÷Ó •P[PÎÀ 1 öuõhUP® 6 ÁøµUS® C»UPªh¨£mh J¸ ÷Põhõu

\xµ•Qz uõ¯U Pmøhø¯ E¸mk®÷£õx ÷©÷» ÇUS® £UPzvÀ EÒÍ

C»UPzøu AÁuõÛUS® £›÷\õuøÚUS›¯ ©õv› öÁÎ

S = ™ 1, 2, 3, 4, 5, 6š n (S) = 6

GÚU Põmh»õ®.

Euõµn® 1

•P[PÎÀ 1 C¼¸¢u 4 Áøµ C»UP[PÒ GÊu¨£mh JÊ[PõÚ |õß•Q

ÁiÁzv»õÚ J¸ uõ¯UPmøhø¯ ÷©÷» GÔ²®÷£õx ÷©ø\ø¯z öuõk©õÖ

ÂÊ® £UPzv¾ÒÍ C»UPzøuU SÔzxU öPõÒÐ® £›÷\õuøÚUS›¯ ©õv›

öÁÎø¯ GÊxP.

S = ™ 1, 2, 3, 4š n (S) = 4

Euõµn® 2

•øÓ÷¯ B1, B2, W1, W2, W3 GÚU SÔUP¨£mkÒÍ J÷µ AÍÂ»õÚ Cµsk

PÖ¨¦ ©õ¤ÒPÐ® ‰ßÖ öÁÒøÍ ©õ¤ÒPÐ® EÒÍ J¸ ø£°¼¸¢x

GÊ©õØÓõP J¸ ©õ¤øÍ GkUS® £›÷\õuøÚ°ß ©õv› öÁÎø¯ GÊxP.

n(S) Cß ö£Ö©õÚ® ¯õx?

S = ™ B1, B2, W1, W2, W3 šn(S) = 5

Euõµn® 3

J¸ £UP® }» (B) {Ó•® ©ØøÓ¯ £UP® ]Á¨¦ (R) {Ó•® SÔUP¨£mkÒÍ

^µõÚ Amøhz uõÒ JßøÓ Ç uhøÁPÒ GÔ²®÷£õx QøhUS®

÷£ÖPÐUPõÚ ©õv› öÁÎø¯z u¸P.

Ç uhøÁPÐ® }» {Ó® ö£Ó¨£kuÀ (B, B) GÚÄ® •u»õ® uhøÁ }»•®

Cµshõ® uhøÁ ]Á¨¦® QøhzuÀ (B, R) GßÓÁõÖ® SÔUP¨£k®.

Ç uhøÁPÒ GÔ¯¨£kÁuõÀ QøhUS® ÷£ÖPÒ

S = ™ (B, B), (B, R), (R, B), (R, R)š

C»Á\¨ £õh¡À44 C»Á\¨ £õh¡À 45

SÔ¨¦

©õv› öÁÎ°ß öuõøh¨ ¤›ÁõÚx {PÌa] GÚ¨£k®.

£°Ø] 24.2

1. R÷Ç uµ¨£mkÒÍ JÆ÷Áõº GÊ©õØÖ¨ £›÷\õuøÚUS•›¯ ©õv›

öÁÎø¯ GÊxP.

(i) }»®, ]Á¨¦, PÖ¨¦, £aø\ BQ¯ JÆöÁõ¸ {Ó[PÎ¾® J¸ ÷£Úõ

Ãu® EÒÍ J¸ ø£°¼¸¢x GÊ©õÓõP J¸ ÷£ÚõøÁz öu›¢öukzx

Auß {ÓzøuU SÔzuÀ (÷£ÚõUPÒ {Ó® uÂµ GÀ»õ A®\[PÐ®

\ºÁ\©©õÚøÁ).

(ii) 5 C¼¸¢x 15 Áøµ GsPÒ GÊu¨£mkÒÍ \©ÚõÚ AmøhPÐÒÍ

J¸ ø£°¼¸¢x Kº Amøhø¯ öÁÎ÷¯ Gkzx Auß GsønU

SÔzuÀ.

(iii) E¸Â¾ÒÍ umøha _Ç»a ö\´x

K´Áøh¯a ö\´²®÷£õx A®¦USÔ°ß

Gv÷µ²ÒÍ GsøÚU SÔzuÀ.

(iv) J¸ ø£°À J÷µ £¸©Ý® ÁiÁ•® EÒÍ 4 £õØ_øÁ²ÒÍ

CÛ¨¦PÐ® 3 ÷uõh®£Ça _øÁ EÒÍ CÛ¨¦PÐ® EÒÍÚ.

GÊ©õÓõP Kº CÛ¨ø£z öu›¢öukzx Auß _øÁø¯U SÔzuÀ

(v) J¸ |õn¯U SØÔ Cµsk •øÓ _sh¨£k®÷£õx QøhUS® ©õv›

öÁÎø¯z u¸P.

24.3 \© ÷|ºuPÄÒÍ ÷£ÖPÒ

Kº GÊ©õØÖ¨ £›÷\õuøÚ°ß ©õv› öÁÎø¯U P¸x®÷£õx Auß JÆöÁõ¸

÷£Ö® ÷|ºÁuØPõÚ BØÓÀ \©©õP Ç¢uõÀ, A¨£›÷\õuøÚ \©©õ´

÷|µzuUP ÷£ÖPÒ EÒÍ £›÷\õuøÚ GÚ¨£k®. A¨÷£ÖPÒ \© ÷|ºuPÄÒÍ

÷£ÖPÒ GÚ¨£k®.

•P[PÒ 1, 2, 3, 4, 5, 6 GÚ C»UPªh¨£mh J¸ \xµ•Qz uõ¯UPmøhø¯U

P¸x÷Áõ®. Ax ö\´¯¨£mkÒÍ vµÂ¯® uõ¯UPmøh G[Pq® ^µõP¨

£µÂ²ÒÍöuÚU öPõÒ÷Áõ®. A¨÷£õx \©a^º Põµn©õPz uõ¯UPmøh

E¸mh¨£k®÷£õx Auß JÆöÁõ¸ •P•® ÷©÷» Ç¨£uØSa \©

C»Á\¨ £õh¡À44 C»Á\¨ £õh¡À 45

÷|ºuPÄÒÍx Gß£x öuÎÁõS®. J¸ ÷Põhõu |õn¯zvØS® CÆÁõ÷Ó¯õ®.

CÁØøÓ¨ ÷£õßÓ \©a^µõÚøÁ²® ^µõP¨ £µ®¤²ÒÍ vµÂ¯zvÚõ»õÚøÁ

²©õÚ ö£õ¸ÒPÒ ÷Põhõu ö£õ¸ÒPÒ GÚ¨£k®. J¸ ÷Põhõu

|õn¯zøua _skuÀ, J¸ uõ¯U Pmøhø¯ E¸mkuÀ ÷£õßÓ CzuøP¯

£›÷\õuøÚPÒ {PÌuPÄU öPõÒøPø¯ ÂÍUSuø»¨ ö£õÖzuÁøµ

•UQ¯©õÚ Euõµn[PÍõPU P¸u¨£kQßÓÚ.

•P[PÒ 1, 2, 3, 4, 5, 6 GÚ C»UPªh¨£mh J¸ \xµ•Qz uõ¯UPmøhø¯

E¸mi ÷©÷» ÇUS® •Pzvß C»UPzøuU SÔzxU öPõÒÐ®

£›÷\õuøÚø¯U P¸xP. C[S öÁÆ÷ÁÖ £UP[PÒ ÷©÷» Ç¨£uØPõÚ

÷|ºuPÄ \©©õP CÀ»õv¸UP»õ®. BP÷Á AzuøP¯ J¸ uõ¯UPmøh ÷Põhõu

uõ¯UPmøh¯õPU P¸u¨£kÁvÀø». AzuøP¯ £›÷\õuøÚPÎß ÷£ÖPÒ

\©©õP ÷|µõv¸UP»õ®.

C¨÷£õx ÷ÁöÓõ¸ £›÷\õuøÚø¯U P¸x÷Áõ®.

|õßS •P[PÎÀ ]Á¨¦ w¢øu²® Ç •P[PÎÀ }»z w¢øu²® §\¨£mkÒÍ

J¸ ÷Põhõu \xµ•Qz uõ¯UPmøh E¸mh¨£mk ÷©÷» ÇUS® •Pzvß

{Ó® SÔzxU öPõÒÍ¨£k® £›÷\õuøÚ°À ]Á¨¦ {Ó •P® ÷©÷»

Ç¨£uØPõÚ ÷|ºuPÄ }» {Ó •P® ÷©÷» Ç¨£uØPõÚ ÷|ºuPÂ¾®

Ti¯uõS®. C¨£›÷\õuøÚ°ß ÷£ÖPÒ \©©õ´ ÷|µzuUPÚÁÀ».

£°Ø] 24.3

1. R÷Ç uµ¨£mkÒÍ JÆöÁõ¸ £›÷\õuøÚUS® E›¯ ÷£ÖPÒ

\©÷|ºuPÄÒÍÚÁõ, CÀø»¯õ Gß£øuU PõsP.

(i) J¸ ÷Põhõu |õß•Q°ß •P[PÎÀ ]Á¨¦, }»®, ©g\Ò, £aø\

BQ¯ {Ó[PÒ §\¨£mhkÒÍÚ. CuøÚ E¸mk®÷£õx ÷©÷»

ÇUS® •Pzvß {ÓzøuU SÔzuÀ.

(ii) J¸ ÷Põhõu |õn¯® _sh¨£k®÷£õx ÷©÷» ÇUS® £UPzøuU

SÔzxU öPõÒÍÀ.

(iii) 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4 GÚ C»UPªh¨£mh 10 AmøhPÎ¼¸¢x

GÊ©õÓõP GkUP¨£mh Kº Amøh°ß C»UPzøuU SÔzuÀ.

(iv) £UP[PÎÀ 1 öuõhUP® 5 Áøµ C»UP

1

2

ªh¨£mh E¸ÂÀ Põmi¯ÁõÓõÚ •U÷Põn

A›¯zøu J¸ uhøÁ E¸mk®÷£õx {»zøuz

öuõk® £UPzvß C»UPzøuU SÔzxU

öPõÒÍÀ.

C»Á\¨ £õh¡À46 C»Á\¨ £õh¡À 47

(v) J÷µ AÍÂ»õÚ 3 ]Á¨¦ {Ó AmøhPøÍ²® 4 }» {Ó AmøhPøÍ²®

öPõskÒÍ J¸ ø£°¼¸¢x GÊ©õÓõP GkUP¨£mh Kº Amøh°ß

{ÓzøuU SÔzuÀ.

(vi) \©ÚõÚ Bøµa]øÓPÍõP¨ ¤›UP¨£mkÒÍ

A BC

DEF

GH

ÁmhÁiÁzv»õÚ J¸ umiß ø©¯zvÀ ö£õ¸zu¨

£mkÒÍ _miø¯a _ÇØÔ K´Áøh¯a ö\´²®÷£õx

A®¦USÔ K´Ä {ø»US Á¸® ChzxU÷PØ£

Am\µzøuU SÔzuÀ.

(vii) £SvPÒ \©ÚØÓøÁ¯õP¨ ¤›UP¨£mkÒÍ Ámh

ÁmhÁiÁzv»õÚ J¸ umiß ø©¯zvÀ

ö£õ¸zu¨£mkÒÍ _miø¯a _ÇØÔ

K´Áøh¯a ö\´²®÷£õx _mi¯õÚx K´Ä

{ø»US Á¸® ChzxU÷PØ£ {ÓzøuU SÔzuÀ

24'4 \©÷|ºuPÄÒÍ J¸ ÷£ØÔß {PÌuPÄ

J¸ SÔzu GÊ©õØÖ £›÷\õuøÚ°ß JÆöÁõ¸ ÷£Ö® \©©õ´ ÷|¸®÷£õx®

öu›¢öukzu J¸ ÷£Ôß {PÌuPøÁ¨ ¤ßÁ¸©õÖ ö£Ó»õö©Ú }[PÒ

PØÖÒÏºPÒ.

öu›¢öukUP¨£mh J¸

÷£ØÔß {PÌuPÄ

1GÊ©õØÖ¨ £›÷\õuøÚ°ß ©õv› öÁÎ°ß ÷£ÖPÎß

ö©õzu GsoUøP

=

J¸ ÷Põhõu uõ¯U Pmøh E¸mh¨£k® £›÷\õuøÚø¯U P¸xP. C[S

J¸ öu›¢öukzu Gs Qøh¨£uØPõÚ {PÌuPÄ 16

BS®. Euõµn©õP 3

Qøh¨£uØPõÚ {PÌuPÄ 16

BS®.

C¨÷£õx Kº Cµmøh Gs Qøh¨£uØPõÚ {PÌa]ø¯U P¸xP. C¢{PÌa]°ß

{PÌuøÁ¨ ¤ßÁ¸©õÖ PoUP»õ®. ‰ßÖ Cµmøh GsPÐ® ‰ßÖ JØøÓ

GsPÐ® Ç¨£uÚõÀ C¢{PÌa]°ß ÷£ÖPÒ \©©õP ÷|µzuUPÚÁõS®.

BP÷Á Kº Cµmøh Gs Qøh¨£uØPõÚ {PÌuPÄ 36 BS®.

BP÷Á \©©õ´ ÷|µzuUP ÷£ÖPÒ EÒÍ Kº GÊ©õØÖ¨ £›÷\õuøÚ°ß ©õv›

öÁÎ°À EÒÍ J¸ {PÌa]°ß {PÌuPøÁ¨ ¤ßÁ¸©õÖ Põmh»õ®.

{PÌa]°ß {PÌuPÄ ={PÌa]°À EÒÍ ‰»P[PÎß GsoUøP

©õv› öÁÎ°À EÒÍ ‰»P[PÎß GsoUøP

C»Á\¨ £õh¡À46 C»Á\¨ £õh¡À 47

SÔ±kPøÍ¨ £¯ß£kzv CuøÚ¨ ¤ßÁ¸©õÖ GÊu»õ®.

©õv› öÁÎ S C¾ÒÍ ‰»P[PÎß GsoUøP n (S) BPÄ® {PÌa] A CÀ

EÒÍ ‰»P[PÎß GsoUøP n (A) BPÄ® {PÌa] |øhö£Ö® {PÌuPÄ

p (A) BPÄ® Ç¨¤ß,

p (A) =n (A)n (S)

C¨÷£õx ]» Euõµn[PøÍU P¸xÁuß ‰»® ÷©¾® Âh¯[PøÍU PØ÷£õ®.

Euõµn® 1

÷Põhõu J¸ |õn¯zøu J¸ uhøÁ _sk®÷£õx ÷©À÷|õUQ ÇUS®

£UPzøu AÁuõÛUS® J¸ £›÷\õuøÚ°À,

(i) ©õv› öÁÎø¯ GÊv n (S) IU PõsP.

(ii) uø» ö£Ó¨£kÁuØPõÚ ÷£Ö A B°ß ACß ‰»P[PøÍ GÊv n (A) IU

PõsP.

(iii) uø» ö£Ó¨£kÁuØPõÚ {PÌuPÄ p (A) IU PõsP.

(i) S = ™uø»,§š

n (S) = 2

(ii) A = ™uø»š

n (A) = 1

(iii) p (A) = n (A)n (S)

p (A) = 12Euõµn® 2

1, 2, 3, 4 GÚ •P[PÎÀ C»UPªh¨£mkÒÍ ÷Põhõu J¸ |õß•Qz

uõ¯UPmøhø¯ ÷©÷» GÔ¢x ÷©ø\ø¯z öuõk® •Pzvß C»UPzøuU

SÔUS® J¸ £›÷\õuøÚ°À ö£Ó¨£k® Gs

(i) 2 BP Ç¨£uØPõÚ {PÌuPøÁU PõsP.

(ii) Kº Cµmøh GsnõP Ç¨£uØPõÚ {PÌuPøÁU PõsP.

(iii) 1 C¾® ö£›¯ Kº GsnõP Ç¨£uØPõÚ {PÌuPøÁU PõsP.

C[S ©õv› öÁÎ S = ™1, 2, 3, 4š BøP¯õÀ n (S) = 4 BS®.

(i) ÷£Ö 2 Qøh¨£uØPõÚ {PÌuPÄ = 14 .

C»Á\¨ £õh¡À48 C»Á\¨ £õh¡À 49

(ii) Kº Cµmøh Gs Qøh¨£uØPõÚ {PÌa]ø¯ B GÚU öPõshõÀ

B = ™2, 4š BøP¯õÀ n (B) = 2 BS®.

∴ p (B) = n (B)n (S) = 24 = 12 BS®'

(iii) 1C¾® Ti¯ 3 GsPÒ EÒÍÚ ™2, 3, 4š. ∴ 1C¾® Ti¯ Kº Gs Qøh¨£uØPõÚ {PÌuPÄ = 34

£°Ø] 24.4

1. •P[PÎÀ 1 C¼¸¢x 6 ÁøµUS® C»UPªh¨£mh J¸ uõ¯UPmøhø¯

E¸mk®÷£õx ÷©À ÷|õUQ ÇUS® £UPzvß GsønU SÔUS® J¸

£›÷\õuøÚ°À

(i) ö£ÓUTi¯ GÀ»õ C¯ÀuPÄ¨ ÷£ÖPøÍ²® EÒÍhUQ¯ ©õv›

öÁÎø¯ (S) GÊxP. (ii) n(S) Cß ö£Ö©õÚzøuU PõsP.

(iii) Kº Cµmøh Gs ÂÊ® {PÌa]ø¯ A GÚU öPõshõÀ A Cß GÀ»õ

‰»P[PøÍ²® GÊv n(A) IU PõsP.

(iv) A |øhö£ÖÁuØPõÚ P(A) IU PõsP.

(v) •ußø© GsnõS® Kº Gs ÂÊÁuØPõÚ {PÌuPøÁU PõsP.

2. A, B, C, D, E, F, G, H GÚ GÊu¨£mkÒÍ 8 \ºÁ\©ÚõÚ AmøhPøÍU

öPõsh J¸ ø£°¼¸¢x GÊ©õÓõP Kº Amøhø¯ GkUS® J¸

£›÷\õuøÚ°ß

(i) ©õv› öÁÎø¯ GÊxP.

(ii) GÊzx B IU öPõsh Amøh ö£Ó¨£kÁuØPõÚ {PÌuPøÁU

PõsP.

(iii) Kº E°öµÊzx GÊu¨£mh Kº Amøh ö£Ó¨£kÁuØPõÚ

{PÌuPøÁU PõsP.

(iv) GÊzx K GÊu¨£mh Amøh ö£Ó¨£kÁuØPõÚ {PÌuPøÁU PõsP.

3. 1 C¼¸¢x 25 Áøµ GsPÒ Ch¨£mh \ºÁ\©ÚõÚ 25 AmøhPÒ

J¸ ö£mi°À EÒÍÚ. Av¼¸¢x GÊ©õØÓõP Kº Gs GkUP¨£k®

£›÷\õuøÚUS HØ£,

(i) Gs 8 IU öPõsh Amøh ö£Ó¨£kÁuØPõÚ {PÌuPøÁU PõsP.

(ii) 5 Cß ©h[PõS® Kº GsønU öPõsh Kº Amøh ö£Ó¨

£kÁuØPõÚ {PÌuPøÁU PõsP.

(iii) JØøÓ GsnõPÄÒÍ Kº GsønU öPõsh Kº Amøh

ö£Ó¨£kÁuØPõÚ {PÌuPøÁU PõsP.

(iv) \xµ GsnõPÄÒÍ Kº GsønU öPõsh Kº Amøh

ö£Ó¨£kÁuØPõÚ {PÌuPøÁU PõsP.

C»Á\¨ £õh¡À48 C»Á\¨ £õh¡À 49

4. E¸ÂÀ Põmh¨£mkÒÍ E£Pµnzvß Põmiø¯a

(A®¦USÔø¯a) _Ç»a ö\´x K´Áøh¯a ö\´²®

÷£õx A®¦USÔ°ß Aø©ÄU÷PØ£¨ ¤ßÁ¸®

JÆöÁõ¸ \¢uº¨£zvØS©õÚ {PÌuPøÁU PõsP.

(i) Pk® }» {Ó•ÒÍ PmhzvÝÒ÷Í _mi

K´ÁøhuÀ

(ii) ]Á¨¦ {Ó•ÒÍ PmhzvÝÒ÷Í _mi

K´ÁøhuÀ

(iii) ö\®©g\Ò {Ó•ÒÍ PmhzvÝÒ÷Í _mi K´ÁøhuÀ.

5. J¸ £Àöu›Ä ÂÚõzuõÎÀ J¸ ÂÚõÂØSz uµ¨£mkÒÍ 5 ÂøhPÎÀ J¸

Âøh ©õzvµ® \›¯õÚuõS®. Âøh öu›¯õu J¸ ÂÚõÄUS J¸ ©õnÁß

GÊ©õØÓõP J¸ Âøhø¯z öu›¢öukzuõß. AÁÚx Âøh

(i) \›¯õÚuõP Ç¨£uØPõÚ {PÌuPøÁU PõsP.

(ii) ¤øÇ¯õÚuõP Ç¨£uØPõÚ {PÌuPøÁU PõsP.

6. J÷µ AÍÁõÚ ©õ¤ÒPøÍU öPõsh ø£ JßÔÀ 3 ]Á¨¦ {Ó ©õ¤ÒPÐ®

2 PÖ¨¦ {Ó ©õ¤ÒPÐ® 5 öÁÒøÍ {Ó ©õ¤ÒPÐ® EÒÍÚ.

(i) ]Á¨¦ {Ó ©õ¤Ò JßÖ Qøh¨£uØPõÚ {PÌuPøÁU PõsP.

(ii) }» {Ó ©õ¤Ò JßÖ Qøh¨£uØPõÚ {PÌuPøÁU PõsP.

(iii) ]Á¨¦ AÀ»x öÁÒøÍ {Ó ©õ¤Ò JßÖ Qøh¨£uØPõÚ {PÌuPøÁU

PõsP.

(iv) PÖ¨¦ {Ó ©õ¤Ò JßÖ Qøh¨£uØPõÚ {PÌuPøÁU PõsP.

7. GÊ©õÓõPz öu›¢öukUP¨£mh J¸ ©õnÁß J¸ ÁõµzvÀ GzvÚzvÀ

¤Ó¢xÒÍõß Gß£øu Bµõ²® J¸ £›÷\õuøÚø¯U P¸xP.

(i) ©õnÁß v[PmQÇø© ¤Ó¢v¸¨£uØPõÚ {PÌuPøÁU PõsP.

(ii) ©õnÁß bõ°ØÖUQÇø© ¤Ó¢v¸¨£uØPõÚ {PÌuPøÁU PõsP.

(iii) ©õnÁß ¦uß AÀ»x öÁÒÎUQÇø© ¤Ó¢v¸¨£uØPõÚ

{PÌuPøÁU PõsP.

(iv) ©õnÁß \Û, bõ°Ö AÀ»õu J¸ vÚzvÀ ¤Ó¢v¸¨£uØPõÚ

{PÌuPøÁU PõsP.


{PÌuPÄ =1

GÊ©õØÖ¨ £›÷\õuøÚ°ß ©õv› öÁÎ°À

EÒÍ ÷£ÖPÎß ö©õzu GsoUøP

ö£õÈ¨¦

\©÷|ºuPÄøh¯ ÷£ÖPÒ EÒÍ GÊ©õØÖ¨ £›÷\õuøÚ JßÔÀ

² SÔzu J¸ ÷£Ö Qøh¨£uØPõÚ

² J¸ {PÌa]°ß {PÌuPÄ

²

={PÌa]°À EÒÍ ‰»P[PÎß GsoUøP

©õv›öÁÎ°À EÒÍ ‰»P[PÎß

GsoUøP

P(A) =n(A)n(S)


£À÷Põo°ß ÷Põn[PÒ25


² £À÷Põo JßÔß APU÷Põn[PÒ öuõhº£õÚ ÷PzvµPou¨

¤µ]Ú[PøÍz wº¨£uØS®

² £À÷Põo JßÔß ¦ÓU÷Põn[PÒ öuõhº£õÚ ÷PzvµPou¨

¤µ]Ú[PøÍz wº¨£uØS®

² JÊ[PõÚ £À÷PõoPÒ öuõhº£õÚ ¤µ]Ú[PøÍz wº¨£uØS®


‰ßÖ AÀ»x AuØS ÷©Ø£mh ÷|º ÷Põmkz xsh[PÍõÀ AøhUP¨£mh

uÍÄ¸ £À÷Põo GÚ AøÇUP¨£k®. SÂÄ¨ £À÷PõoPÒ, SÈÄ¨ (Â›) £À÷PõoPÒ GÚ Ç ÁøP¨ £À÷PõoPÒ EÒÍÚ.

SÂÄ¨ £À÷PõoPÒ SÈÄ¨ £À÷PõoPÒ

AÁØÔÀ ]» £À÷PõoPÒ £UP[PÎß GsoUøPUS HØ£ Â÷\h ö£¯ºPÍõÀ

AøÇUP¨£k®. 3 £UP[PøÍ, 4 £UP[PøÍ, 5 £UP[PøÍ, 6 £UP[PøÍU

öPõsh £À÷PõoPÒ •øÓ÷¯ •U÷Põo, |õØ£UPÀ, I[÷Põo, AÖ÷Põo

GÚ AøÇUP¨£k®.

}[PÒ •ßøÚ¯ ÁS¨¦UPÎÀ •U÷Põo JßÔß ©ØÖ® |õØ£UPÀ JßÔß

APU÷Põn[PÎß TmkzöuõøP £ØÔ¯ ¤ßÁ¸® ÷£ÖPøÍU PØÖÒÏºPÒ.

•U÷Põo JßÔß APU÷Põn[PÎß TmkzöuõøP 180o BS®.

|õØ£UPÀ JßÔß APU÷Põn[PÎß TmkzöuõøP 360o BS®.

}[PÒ £À÷PõoPÒ öuõhº£õPU PØÖÒÍ ÷©ØSÔ¨¤mh Âh¯[PøÍ ÷©¾®

EÖvö\´x öPõÒÁuØPõPU R÷Ç uµ¨£mkÒÍ «mhØ £°Ø]°À Dk£kP.

C»Á\¨ £õh¡À52 C»Á\¨ £õh¡À 53

«mhØ £°Ø]

1. uµ¨£mkÒÍ E¸UPÎÀ SÂÄ¨ £À÷PõoPøÍz öu›Äö\´P.

(i) (ii) (iii) (iv) (v)

2. ¤ßÁ¸® TØÖPÎÀ \›¯õÚÁØøÓz öu›Äö\´P.

(a) 7 £UP[PøÍU öPõsh £À÷Põo GÊ÷Põo GÚ¨£k®. ( )

(b) G¢uöÁõ¸ £À÷Põo°Úx® APU÷Põn[PÎß GsoUøP Auß

£UP[PÎß GsoUøPUSa \©ÚõS®. ( )

(c) GÀ»õ¨ £UP[PÐ® JßÖUöPõßÖ \©©õÚ £À÷Põo JÊ[PõÚ

£À÷Põo GÚ¨£k®. ( )

(d) £À÷Põo JßÔß Kº Ea]°À EÒÍ APU÷PõnzvÚx® ¦ÓU

÷PõnzvÚx® TmkzöuõøP 180o BS®. ( )

(e) J¸ u\÷Põo°À 11 APU÷Põn[PÒ EÒÍÚ. ( )

(f) |õØ£UPÀ JßÔß ¦ÓU÷Põn[PÎß TmkzöuõøP 180o BS®.( )

3. R÷Ç uµ¨£mkÒÍ JÆöÁõ¸ E¸Â¾® Am\µPou EÖ¨¦UPÍõÀ

SÔUP¨£mkÒÍ ÷Põn[PÎß £¸©ßPøÍU PõsP.

(i) (ii) (iii) (iv)

(v) (vi) (vii)

70x

70x

a

120x2x

x a

a 110x

35x

y

x

100x 3x

2x

a

a 60x

a

a

2a

2a

C»Á\¨ £õh¡À52 C»Á\¨ £õh¡À 53

25.1 £À÷Põo JßÔß APU÷Põn[PÎß TmkzöuõøP

|õØ£UPÀ JßÔß APU÷Põn[PÎß TmkzöuõøPø¯U Põq® J¸ •øÓø¯

•u¼À £õº¨÷£õ®.

O

PQ

RS

a

pw

q r

stuv

dcb

E¸ÂÀ uµ¨£mkÒÍ |õØ£UPÀ PQRS CÝÒ÷Í O Gß£x ¯õ÷uÝö©õ¸

¦ÒÎ¯õS®. PO, QO, RO, SO Gß£ÁØøÓ Cøn¨£uß ‰»® 4 •U÷PõoPÒ

ö£Ó¨£mkÒÍÚ.

•U÷Põo JßÔß APU÷Põn[PÎß TmkzöuõøP 180o BøP¯õÀ,

•U÷Põo PQO IU P¸x®÷£õx p + q + a = 180o

•U÷Põo QRO IU P¸x®÷£õx r + s + b = 180o

•U÷Põo RSO IU P¸x®÷£õx t + u + c = 180o

•U÷Põo SPO IU P¸x®÷£õx v + w + d = 180o

C¢u |õßS \©ß£õkPøÍ²® TmkÁuõÀ

(p + q + a) + (r + s + b) + (t + u + c ) + (v + w + d) = 180o 4 ... (p + q + r + s + t + u + v + w) + (a + b + c + d) = 720o a, b , c, d Gß£Ú ¦ÒÎ O Ia _ØÔ²ÒÍ ÷Põn[PÒ BøP¯õÀ,

a + b + c + d = 360o BS®.

... (p + q + r + s + t + u + v + w) = 720 – 360o

= 360o

... |õØ£UPÀ JßÔß APU÷Põn[PÎß TmkzöuõøP 360o BS®.

C¨÷£õx |õ® n £UP[PøÍU öPõsh £À÷Põo JßÔß APU÷Põn[PÎß

TmkzöuõøPUPõP n CÀ ÷PõøÁ JßøÓ¨ ö£ÖÁuØS¨ ¤ßÁ¸®

ö\¯Ø£õmøha ö\´÷Áõ®.

C»Á\¨ £õh¡À54 C»Á\¨ £õh¡À 55

ö\¯Ø£õk 1

R÷Ç uµ¨£mkÒÍ AmhÁønø¯¨ ¤µvö\´x §µn¨£kzxP.

£À÷Põo E¸ •U÷PõoPÎß

GsoUøP

APU÷Põn[PÎß

TmkzöuõøP

•U÷Põo 3 180o 3 – 360o = 180o

|õØ£UPÀ 4 180o 4 – 360o = 360o

I[÷Põo 5 180o ... – 360o = 540o

AÖ÷Põo ............ ............ ....................................

GÊ÷Põo ............ ............ ....................................

Gs÷Põo ............ ............ ....................................

n £UP[PøÍU

öPõsh £À÷Põo............ ............ ....................................

÷©Ø£i ö\¯Ø£õmiØS HØ£, n GsoUøP¯õÚ £UP[PøÍU öPõsh

£À÷Põo JßÔß APU÷Põn[PÎß TmkzöuõøP 180o n – 360o GßÓ

÷PõøÁø¯¨ ö£ØÔ¸¨¥ºPÒ.

180o n – 360o GßÓ ÷PõøÁø¯ {øÚÂÀ øÁzv¸¨£uØPõP¨ ¤ßÁ¸©õÖ

AuøÚ JÊ[Pø©¨÷£õ®.

180o n – 360o = 90o 2n – 90o 4 = 90o (2n – 4)= (2n – 4) ö\[÷Põn[PÒ

n £UP[PøÍU öPõsh £À÷Põo JßÔß APU÷Põn[PÎß

TmkzöuõøP = (2n – 4) ö\[÷Põn[PÒ.

C»Á\¨ £õh¡À54 C»Á\¨ £õh¡À 55

ö\¯Ø£õk 2

£À÷Põo JßÔß APU÷Põn[PÎß Tmkz

G

F ED

C

B

AO

öuõøPUPõÚ `zvµ® JßøÓ¨ ö£ØÖU öPõÒÍU

Ti¯ CßÝö©õ¸ •øÓ R÷Ç uµ¨£mkÒÍ

C¨¤µ]ÚzvÀ ÂÁ›UP¨£mkÒÍx.

(i) uµ¨£mkÒÍ Á›¨£hzøu¨ £¯ß£kzv

AmhÁønø¯¨ §µn¨£kzxP.

£À÷Põo £UP[PÎß

GsoUøP

£À÷Põo°ß

ö£¯º

•U÷PõoPÎß

GsoUøP

APU÷Põn[PÎß

TmkzöuõøP

OAB 3 •U÷Põo 1 180o 1 = 180o OABC 4 |õØ£UPÀ 2 180o .... = ...... OABCD .............. .............. .............. .............................OABCDE .............. .............. .............. .............................OABCDEF .............. .............. .............. .............................OABCDEFG .............. .............. .............. .............................

(ii) CÆÁmhÁønUS HØ£ n £UP[PøÍU öPõsh £À÷Põo°ß

Kº Ea]ø¯ HøÚ¯ Ea]PÐhß öuõk¨£uõÀ ö£Ó¨£k®

•U÷PõoPÎß GsoUøPø¯ n GÚ GÊxP.

(iii) n £UP[PøÍU öPõsh £À÷Põo°ß APU÷Põn[PÎß

TmkzöuõøP 180o (n – 2) GÚU PõmkP.

SÔ¨¦

Áµ»õØÖŸv°À £õºUS®÷£õx Q÷µUP |õmkU PouÂ¯»õÍµõÚ

³UQ¼mk Gß£Áº ÷Põn[PøÍa ö\[÷Põn[PÎÀ

Gkzxøµzuõº. Euõµn©õP ÷|º÷PõmiÀ Aø©¢xÒÍ ÷Põn[PÒ 2

ö\[÷Põn[PÒ GÚÄ® J¸ |õØ£UP¼ß APU÷Põn[PÎß TmkzöuõøP

4 ö\[÷Põn[PÒ GÚÄ® Põn¨£mhx. CuØ÷PØ£, n £UP[PøÍ

Eøh¯ £À÷Põo JßÔß APU÷Põn[PÎß TmkzöuõøP 2n – 4 ö\[÷Põn[PÒ GÚ |õ® TÓ»õ®. ö\[÷Põnzøu 90o

GÚU TÓ»õ®.

BP÷Á £À÷Põo JßÔß APU÷Põn[PÎß TmkzöuõøPø¯

90o (2n – 4) AÀ»x 180o

(n – 2) AÀ»x C»SÁõP bõ£P® øÁUPUTi¯

AuØSa \©©õÚ ÷ÁÖ J¸ •øÓ°À TÓ»õ®.

C»Á\¨ £õh¡À56 C»Á\¨ £õh¡À 57

Euõµn® 1

|Á÷Põo JßÔß APU÷Põn[PÎß TmkzöuõøPø¯U PõsP.

n £UP[PøÍU öPõsh £À÷Põo°ß APU÷Põn[PÎß

TmkzöuõøP = 180o (n – 2) ... 9 £UP[PøÍU öPõsh £À÷Põo°ß APU÷Põn[PÎß

TmkzöuõøP = 180o (9 – 2) = 180o 7 = 1260o

Euõµn® 2

E¸ÂÀ SÔUP¨£mkÒÍ uµÄPÐUS HØ£ x Cß ö£Ö©õÚzøuU PõsP.

145o

150o

135o

130o

140o

xo

xo

£À÷Põo°ß £UP[PÎß GsoUøP = 7 ... APU÷Põn[PÎß TmkzöuõøP = 180o (7 – 2)

= 180o 5 = 900o

... 145o + 150o + 135o + xo + 130o + 140o + xo = 900o

700o + 2x = 900o

2x = 900o – 700o

2x = 200o

x = 200o

2 = 100o

Euõµn® 3

£À÷Põo JßÔß APU÷Põn[PÎß TmkzöuõøP 1440o BS®. Auß

£UP[PÎß GsoUøPø¯U PõsP.

£UP[PÎß GsoUøP n GÛß,

APU÷Põn[PÎß TmkzöuõøP = 180o (n – 2)... 180o (n – 2) = 1440o

n – 2 = 1440o

180 = 8

n – 2 = 8n = 10

... £UP[PÎß GsoUøP = 10

C»Á\¨ £õh¡À56 C»Á\¨ £õh¡À 57

£°Ø] 25.1

1' R÷Ç uµ¨£mkÒÍ JÆöÁõ¸ £À÷Põo°¾® APU÷Põn[PÎß Tmkz

öuõøPø¯U PõsP.

(i) I[÷Põo (ii) Gs÷Põo

(iii) £ßÛ¸÷Põo (iv) 15 £UP[PøÍU öPõsh £À÷Põo

2' GÊ÷Põo JßÔß |õßS APU÷Põn[PÒ 100o" 112o

" 130o" 150o

BS®. Auß

HøÚ¯ ‰ßÖ ÷Põn[PÐ® JßÖUöPõßÖ \©® BS®. J¸ ÷Põnzvß


3' ABCD GßÓ |õØ£UP¼ß APU÷Põn[PÎß Ç\©TÓõUQPÒ O CÀ

\¢vUQßÓÚ.

(i) a + b + c + d Cß ö£Ö©õÚzøuU PõsP. A aa

b b

cc

dd

B

CO

D

80o (ii) a + b Cß ö£Ö©õÚzøuU PõsP.

(iii) c + d Cß ö£Ö©õÚzøuU PõsP.

(iv) COD

>

Cß ö£Ö©õÚzøuU PõsP.

4' (i) APU÷Põn[PÎß TmkzöuõøP 1620o BPÄÒÍ £À÷Põo JßÔß


(ii) APU÷Põn[PÎß TmkzöuõøP 3600o BPÄÒÍ £À÷Põo JßÔß


25.2 £À÷Põo JßÔß ¦ÓU÷Põn[PÎß TmkzöuõøP

•u¼À •U÷Põo JßÔß ¦ÓU÷Põn[PÎß TmkzöuõøPø¯U Põs÷£õ®.

A

B C D

•U÷Põo ABC CÀ £UP® BC I }mkÁuõÀ EshõS® ÷PõmiÀ D GßÝ®

¦ÒÎ SÔUP¨£mkÒÍx. CD GßÓ ÷Põmkz xshzvØS® £UP® AC CØS®

Cøh°À EÒÍ ÷Põn® ACD

>

BÚx Ea] C C¾ÒÍ J¸ ¦ÓU÷Põn® BS®.

C»Á\¨ £õh¡À58 C»Á\¨ £õh¡À 59

uµ¨£mkÒÍ E¸ÂÀ Põmi¯ÁõÖ £UP® AC I A

B C D

E

}mkÁuõ¾® ¦ÓU÷Põn® JßÖ E¸ÁõS®. Ax

BCE

>

BS®.

SzöuvºU ÷Põn[PÒ \©ÚõS®. BøP¯õÀ C¨¦ÓU÷Põnzvß £¸©Ý®

¦ÓU÷Põn® ACD

>

Cß £¸©ÝUSa \©ÚõS®. BP÷Á CÁØÔÀ G¢uU

÷Põnzøu²® Ea] C CÀ Áøµ¢u ¦ÓU÷Põn©õPU P¸u»õ®. BÚõÀ DCE

>

I¨ ¦ÓU÷Põn©õPU P¸u •i¯õx.

•U÷Põo°ß A, B BQ¯ Ea]PÎ¾® ÷©÷»

SÔ¨¤h¨£mkÒÍÁõÖ ¦ÓU÷Põn[PøÍ Áøµ¯

•i²®.

÷©÷» SÔ¨¤mhÁõÖ, |õØ£UPÀ JßÔß ¦ÓU÷Põn[PøÍ²® Áøµ¯ÖUP

•i²®.

P

Q

S

R A

B

|õØ£UPÀ PQRS CÀ £UP® SR I A Áøµ }mkÁuõÀ QRA

>

GßÓ ¦ÓU÷Põn•®

£UP® QR I }mkÁuõÀ SRB

>

GßÓ ¦ÓU÷Põn•® ö£Ó¨£k®. SzöuvºU

÷Põn[PÒ \©® BøP¯õÀ ¦ÓU÷Põn[PÐ® \©® BS®.

÷©¾® ARB

>

I J¸ ¦ÓU÷Põn©õPU P¸xÁvÀø».

CÆÁõÖ G¢uöÁõ¸ £À÷PõoUS® ¦ÓU÷Põn[PøÍ Áøµ¯ÖUP»õ®.

B

A

C

C»Á\¨ £õh¡À58 C»Á\¨ £õh¡À 59

C¨÷£õx |õ® £À÷Põo JßÔß ¦ÓU÷Põn[PÎß TmkzöuõøPø¯U

Põs£uØS¨ ¤ßÁ¸® ö\¯Ø£õmiÀ Dk£k÷Áõ®.

ö\¯Ø£õk 1

£i 1 : J¸ uõÎÀ I[÷Põo JßøÓ Áøµ¢x Auß ¦ÓU÷Põn[PøÍ a, b, c, d, e GÚU SÔzx {ÇØÖP.

ab

c

d

e

£i 2 : {ÇØÔ¯ (¦ÓU÷Põn[PøÍ Bøµa]øÓ ÁiÁzvÀ) öÁmi

÷ÁÓõUSP. (Áøµ²®÷£õx J÷µ Bøµ°À CÁØøÓ Áøµ¢uõÀ •iÄ

]Ó¢uuõP¨ ö£Ó¨£k®.)

a b c d e

£i 3 : ÷ÁÓõUQ¯ Bøµa]øÓPÎß Ea]PÒ J÷µ ¦ÒÎ°À AuõÁx O CÀ

ö£õ¸¢x©õÖ Akzukzx Á¸©õÖ JßÓß«x JßÖ £i¯õuÁõÖ

E¸ÂÀ Põmi¯ÁõÖ JmkP.

aO

b

£i 4 : AÖ÷Põo JßÖUS® GÊ÷Põo JßÔØS® ÷©ØSÔ¨¤mh

£i•øÓø¯a ö\´P.

£i 5: CÁØÔß ¦ÓU÷Põn[PøÍ²® ÷©ØSÔ¨¤mhÁõÖ JmkÁuß ‰»®

ö£Ó¨£k® ÷£ÖPÎß ö£õx C¯Àø£²® Av¼¸¢x ö£ÓUTi¯

•iÂøÚ²® GÊxP.

÷©÷»²ÒÍ ö\¯Ø£õmi¼¸¢x ö£Ó¨£k® ¦ÓU÷Põn[PÒ GÀ»õ® J¸

¦ÒÎø¯a _ØÔ Aø©²® Gß£øu AÁuõÛUP •i²®. Cv¼¸¢x £À÷Põo

JßÔß ¦ÓU÷Põn[PÎß TmkzöuõøP¯õÚx J¸ ¦ÒÎø¯a _ØÔ²ÒÍ

÷Põn[PÎß TmkzöuõøPUSa \©©õS® GßÓ •i¦US Áµ»õ®. J¸

C»Á\¨ £õh¡À60 C»Á\¨ £õh¡À 61

¦ÒÎø¯a _ØÔ²ÒÍ ÷Põn[PÎß TmkzöuõøP 360o BøP¯õÀ ÷©÷»

Gkzu £À÷Põo°ß ¦ÓU÷Põn[PÎß TmkzöuõøP²® 360o BS®.

C¨÷£õx |õ® n £UP[PøÍU öPõsh £À÷Põo°ß ¦ÓU÷Põn[PÎÀ

TmkzöuõøPUPõÚ J¸ ÷PõøÁø¯ CßöÚõ¸ •øÓ°À ö£Ö÷Áõ®.

n £UP[PøÍU öPõsh £À÷Põo°À n APU÷Põn[PÐ® n ¦ÓU÷Põn[PÐ®

EÒÍÚ Gß£øu AÔ÷Áõ®.

£À÷Põo°ß G¢uöÁõ¸ Ea]°¾®

APU÷Põnzvß ö£Ö©õÚ® + ¦ÓU÷Põnzvß ö£Ö©õÚ® = 180o

... n APU÷Põn[PÎß TmkzöuõøP + n ¦ÓU÷Põn[PÎß

TmkzöuõøP = 180o n BS®.

BÚõÀ n APU÷Põn[PÎß TmkzöuõøP = (2n – 4) ö\[÷Põn[PÒ

BøP¯õÀ

180o(n – 2) + n ¦ÓU÷Põn[PÎß TmkzöuõøP = 180on ... n ¦ÓU÷Põn[PÎß TmkzöuõøP = 180on – 180o(n – 2) = 180on – 180on + 360o

= 360o

n £UP[PøÍU öPõsh £À÷Põo JßÔß ¦ÓU÷Põn[PÎß TmkzöuõøP 360o BS®.

Euõµn® 1

uµ¨£mkÒÍ I[÷Põo°À xo GÚU SÔUP¨£mkÒÍ ¦ÓU÷Põnzvß


¦ÓU÷Põnzvß TmkzöuõøP = 360o

... x + 45o + 80o + 60o + 90o = 360o

x + 275o = 360o

x = 360o–275o

x = 85o 60o

80o

45o

xo

C»Á\¨ £õh¡À60 C»Á\¨ £õh¡À 61

Euõµn® 2

E¸ÂÀ SÔ¨¤h¨£mkÒÍ uµÄPÐU÷PØ£ A

C

DEF

G

B80o

80o

70o

xo

xo2yo

3yo

(i) x Cß ö£Ö©õÚzøuU PõsP.

(ii) y Cß ö£Ö©õÚzøuU PõsP.

(i) •U÷Põo EFG Cß APU÷Põn[PÎß

TmkzöuõøP = 180o

... 80o + x + x = 180o

2x = 180o – 80o = 100o

x = 100o

2 x = 50o

(ii) AÖ÷Põo ABCDEG Cß ¦ÓU÷Põn[PÎß

TmkzöuõøP = 360o

... 70o + 80o + 3y + 2y + x + x = 360o

70o + 80o + 5y + 50o + 50o = 360o

5y = 360o – 250o

5y = 110o

5 y = 22o

Euõµn® 3

|õØ£UPÀ JßÔß ¦ÓU÷Põn[PÒ 2 : 2 : 3 : 3 GßÓ ÂQuzvÀ Aø©¢xÒÍÚ.

JÆöÁõ¸ ¦ÓU÷PõnzvÚx® £¸©øÚU PõsP.

¦ÓU÷Põn[PÎß TmkzöuõøP = 360o

4 ¦ÓU÷Põn[PÎÚx® ÂQu® = 2 : 2 : 3 : 3

... ]Ô¯ ÷Põn® = 360x 210 = 72o

ö£›¯ ÷Põn® = 360o 310 = 108o

∴ ¦ÓU÷Põn[PÒ 72o

" 72o" 108o

" 108o BS®.

C»Á\¨ £õh¡À62 C»Á\¨ £õh¡À 63

£°Ø] 25.2

1. E¸ÂÀ a, b, c, d, e, f Gß£ÁØÓõÀ SÔUP¨£k® ÷Põn[PÎÀ |õØ£UP¼ß

¦ÓU÷Põn[PÒ GøÁ GÚ GÊxP.

ab

cd

ef

2. R÷Ç uµ¨£mkÒÍ JÆöÁõ¸ £À÷Põo°¾® B[Q» GÊzvÚõÀ/

GÊzxUPÎÚõÀ SÔUP¨£mkÒÍ ÷Põn[PÎß £¸©ßPøÍU PõsP.

(i) (ii) (iii)

50o

120o

xy

60o

a

aa

a

aa

a

b

(iv) (v)

115o

a

b

b 70o

40o

y

x

x

3. |õØ£UPÀ JßÔß ¦ÓU÷Põn[PÒ xo, 2xo, 3xo, 4xo GÚU SÔ¨¤h¨

£mkÒÍÚ.

(i) JÆöÁõ¸ ¦ÓU÷PõnzvÚx® £¸©øÚU PõsP.

(ii) JÆöÁõ¸ APU÷PõnzvÚx® £¸©øÚU PõsP.

4. I[÷Põo JßÔß ¦ÓU÷Põn[PÒ 1 : 1 : 2 : 3 : 3 GßÓ ÂQuzvÀ EÒÍÚ.

AvÀ JÆöÁõ¸ ¦ÓU÷PõnzvÚx® £¸©øÚ²® PõsP.

5. £ßÛ¸÷Põo°ß ¦ÓU÷Põn[PÒ JßÖUöPõßÖ \©® BS®. Auß J¸

¦ÓU÷Põnzvß £¸©øÚU PõsP.

6' ¦ÓU÷Põn[PÒ JßÖUöPõßÖ \©©õÚ £À÷Põo JßÔß J¸ ¦ÓU

÷Põn® 18o BS®. A¨£À÷Põo°ß £UP[PÎß GsoUøPø¯U PõsP.

C»Á\¨ £õh¡À62 C»Á\¨ £õh¡À 63

25.3 JÊ[PõÚ £À÷PõoPÒ

£À÷Põo JßÔß £UP[PÒ JßÖUöPõßÖ \©©õPÄ® APU÷Põn[PÒ

JßÖUöPõßÖ \©©õPÄ® EÒÍ÷£õx A¨£À÷Põo JÊ[PõÚ £À÷Põo

GÚ¨£k®.

E¸ÂÀ uµ¨£mkÒÍ I[÷Põo ABCDE CÀ £UP[PÒ

JßÖUöPõßÖ \©©õPÄ® ÷Põn[PÒ JßÖUöPõßÖ

\©©õPÄ® EÒÍÚ. GÚ÷Á Ax Kº JÊ[PõÚ I[÷Põo

BS®.

I[÷Põo PQRST CÀ £UP[PÒ JßÖUöPõßÖ

\©®. ÷Põn[PÒ JßÖUöPõßÖ \©©À». GÚ÷Á

PQRST JÊ[PõÚ I[÷Põo¯ßÖ.

ö\ÆÁP® JßÔß ÷Põn[PÒ JßÖUöPõßÖ C D

A B

\©® BÚõÀ £UP[PÒ JßÖUöPõßÖ \©©À».

GÚ÷Á ö\ÆÁP® Kº JÊ[PõÚ £À÷Põo¯ßÖ.

]» JÊ[PõÚ £À÷PõoPÐUS Â÷\h ö£¯ºPÒ EÒÍÚ. JÊ[PõÚ

•U÷Põo \©£UP •U÷Põo GÚ¨£k®. JÊ[PõÚ |õØ£UPÀ \xµ®

GÚ¨£k®.

Euõµn® 1

JÊ[PõÚ AÖ÷Põo JßÔß J¸ ¦ÓU÷PõnzøuU Psk, Av¼¸¢x J¸

APU÷Põnzvß ö£Ö©õÚzøuU PõsP.

6 ¦ÓU÷Põn[PÎß TmkzöuõøP = 360o

... J¸ ¦ÓU÷Põnzvß ö£Ö©õÚ® = 360o

6 = 60o

¦ÓU÷Põn® + APU÷Põn® = 180o

60x + APU÷Põn® = 180o

... APU÷Põn® = 180o – 60o

= 120o

BA

E

D

C

P Q

R

ST

C»Á\¨ £õh¡À64 C»Á\¨ £õh¡À 65

Euõµn® 2

JÊ[PõÚ £À÷Põo JßÔß APU÷Põn® JßÔß ö£Ö©õÚ® 150oBS®.

Auß

(i) ¦ÓU÷Põn® JßÔß £¸©øÚU PõsP.

(ii) £UP[PÎß GsoUøPø¯U PõsP.

(i) ¦ÓU÷Põn® JßÔß £¸©ß + APU÷Põn® JßÔß £¸©ß = 180x

... ¦ÓU÷Põn® JßÔß £¸©ß + 150o = 180o

... ¦ÓU÷Põn® JßÔß £¸©ß = 180o – 150o

= 30o

(ii) ... £À÷Põo°ß £UP[PÎß GsoUøP = 360o

30o = 12

£°Ø] 25.3

1. JÊ[PõÚ I[÷Põo JßÔß ¦ÓU÷Põn® JßÔß £¸©øÚU PõsP.

Av¼¸¢x APU÷Põn® JßÔß £¸©øÚU Põs÷£õ®.

2. 15 £UP[PøÍ Eøh¯ JÊ[PõÚ £À÷Põo JßÔß ¦ÓU÷Põn® JßÔß

£¸©øÚU PõsP. Av¼¸¢x APU÷Põn® JßÔß £¸©øÚU PõsP.

(i) ¦ÓU÷Põn® JßÔß £¸©ß 120o BPÄÒÍ JÊ[PõÚ £À÷Põo

JßÔß £UP[PÎß GsoUøP ¯õx? Auß Â÷\h ö£¯øµ GÊxP.

(ii) ¦ÓU÷Põn® JßÔß £¸©ß 90oBPÄÒÍ JÊ[PõÚ £À÷Põo°ß

Â÷\h ö£¯øµU Põµn[PÐhß GÊxP.

(iii) ¦ÓU÷Põn® JßÔß £¸©ß 40o BPÄÒÍ JÊ[PõÚ £À÷Põo

JßÔß Â÷\h ö£¯øµ GÊxP.

4. ¦ÓU÷Põnzøu¨ ÷£õßÖ 4 ©h[S £¸©ÝÒÍ APU÷PõnzøuU

öPõsi¸US® JÊ[PõÚ £À÷Põo°ß

(i) ¦ÓU÷Põn® JßÔß £¸©ß

(ii) APU÷Põn® JßÔß £¸©ß

(iii) £UP[PÎß GsoUøP

Gß£ÁØøÓU PõsP.

5. JÊ[PõÚ £À÷Põo JßÔß ¦ÓU÷Põn® GkUPUTi¯ ªPU Ti¯

ö£Ö©õÚ® ¯õx? Aa\¢uº¨£zvÀ A¨£À÷Põo G¨ö£¯º öPõsk

AøÇUP¨£k®?

3.

C»Á\¨ £õh¡À64 C»Á\¨ £õh¡À 65

ö£õÈ¨¦

² n £UP[PøÍU öPõsh £À÷Põo JßÔß AP[÷Põn[Îß

TmkzöuõøP (2n – 4) ö\[÷Põn[PÒ AÀ»x (n – 2) 180o CÚõÀ

uµ¨£k®.

² n £UP[PøÍU öPõsh £À÷Põo JßÔß ¦ÓU÷Põn[PÎß

TmkzöuõøP 360o BS®.

² £À÷Põo JßÔß £UP[PÒ JßÖUöPõßÖ \©ÚõPÄ® APU÷Põn[PÒ

JßÖUöPõßÖ \©©õPÄ® Põn¨£k®÷£õx Ax Kº JÊ[PõÚ

£À÷Põo GÚ¨£k®.

C»Á\¨ £õh¡À66 C»Á\¨ £õh¡À 67

Am\µPou¨ ¤ßÚ[PÒ26

Gs \õº¢u ¤ßÚ[PøÍU TmhÄ® PÈUPÄ® Am\µPouU ÷PõøÁPøÍa

_¸UPÄ® AÁØÔß Aøh¨¦USÔPøÍ }UPÄ® PõµoPøÍ ÷ÁÓõUPÄ®

}[PÒ •ßÚº PØÖÒÏºPÒ. }[PÒ •ßÚº PØÓÁØøÓ «m£uØS¨ ¤ßÁ¸®

«mhÀ £°Ø]°À Dk£kP.

«mhØ £°Ø]

1. _¸USP.

(ii) 57 – 27

(i) 25 + 15

(iii) 1213 – 2

13 – 113

2. öÁØÖU PmhzxUS¨ ö£õ¸zu©õÚ Gsøn GÊxP.

(ii) 34 – 23 = 3 ×

4 × 3 – × 43 × 4

= – 12

= 12

(i) 12 − 14

= 1 × 2 × 2 − 14

= − 14

= 4

(iii) 45 − 310 − 1

3

= 4 × 5 × 6 − 3 ×

10 × 3 − 1 × 103 ×

= − − 1030

= 30

= ÷ 530 ÷ 5

= 6

3. ¤ßÁ¸® Am\µPouU ÷PõøÁPøÍa _¸USP.

(i) 2x + 3x (ii) 3y – y (iii) 5a + 4a + a(iv) 5x + 3y + x + 3y (v) 3y + 2 – y – 2 (vi) 4n –1 + 5 –2n (vii) –3y + 2 – y – 3 + 2y (viii) 5xy – 6xy + 3x + y

(iv) 19 – 29 + 49


² Am\µPou¨ ¤ßÚ[PøÍ AÔ¢xöPõÒÍÄ®

² Am\µPou¨ ¤ßÚ[PøÍU TmhÄ® PÈUPÄ®


C»Á\¨ £õh¡À66 C»Á\¨ £õh¡À 67

4. Â›zöuÊva _¸USP.

(i) 2 (x + y) + 3x (ii) 3 (2x – 4y) + 12y (iii) –(4 – 3x) – 1 (iv) 2 (3x – 2) + 3(x + 2) (v) 3 (m + 1) – 2 (2m –1) (vi) x ( x – y ) + 2xy

5. ¤ßÁ¸® JÆöÁõ¸ TØÖ® \›¯õ°ß zzZZ GÚÄ® uÁÓõ°ß zzZZ GÚÄ®

Gv÷µ SÔUP.

(i) 23 + 14 Cß Âøh

2+ 13 + 4 GßÝ® _¸UP¾USa \©ÚõÚx.

(ii) Ç ¤ßÚ[PÎß Tmhø» AÀ»x PÈzuø»a ö\´ÁuØS AÁØÔß

öuõSvö¯sPÒ \©ÚõP ÇUP ÷Ásk®. AÆÁõÖ CÀ»õÂiß,

AÁØøÓa \©¨£kzvUöPõÒÍ ÷Ásk®.

(iii) Ç A»S¨ ¤ßÚ[PøÍU Tmi¨ ö£Ó¨£k® ¤ßÚzvß

öuõSvö¯s AÆÂ¸ ¤ßÚ[PÎß £Svö¯sPÎß Tmkz

öuõøP¯õP Ç¨£xhß £Svö¯s AÁØÔß ö£¸UP©õS®.

(iv) \©ÚØÓ £Svö¯sPøÍU öPõsh ¤ßÚ[PÒ CµsøhU TmkÁuØS

AÀ»x PÈ¨£uØS, Aø©zxU öPõÒÍ ÷Ási¯ £Svö¯s •uØ

£Svö¯sPÒ CµsiÚx® ö£õ. ©. ]. BP ÇUP ÷Ásk®.

(v) ¤ßÚ[PÒ Cµsiß £Svö¯søn²® öuõSvö¯søn²® J÷µ

GsnõÀ ö£¸UQ A¨¤ßÚzøu GÎ¯ \©Á¾¨ ¤ßÚ©õP ©õØÔU

öPõÒÍ»õ®.

(vi) ¤ßÚ® JßÔß £Svö¯søn²® öuõSvö¯søn²® J÷µ

GsnõÀ ÁSzx A¨¤ßÚzøu GÎ¯ \©Á¾¨ ¤ßÚ©õP ©õØÓ»õ®.

(vii) –3x –2x Gß£øu (–3x) + (–2x) GÚ GÊu»õ®.

(viii) –3(2x –5) Gß£uß Aøh¨¦U SÔPøÍ }USÁuØS 2x I²® –5 I²® 3 BÀ ö£¸UP ÷Ásk®.

(ix) –x – x Gß£øua _¸UQÚõÀ 2x QøhUS®.

(x) 3x + 4y Gß£øua _¸US®÷£õx 7xy GÚ¨ ö£Ó¨£k®.

C»Á\¨ £õh¡À68 C»Á\¨ £õh¡À 69

26.1 Am\µPou¨ ¤ßÚ[PÒ

¤ßÚ® JßÔß öuõSv°À AÀ»x £Sv°À AÀ»x Cµsi¾® Am\µzøu

AÀ»x Am\µPouU ÷PõøÁø¯U öPõskÒÍ J¸ ¤ßÚ® Am\µPou¨

¤ßÚ® GÚ¨£k®.

² öuõSv°À ©õzvµ® Am\µPou EÖ¨ø£ Eøh¯ 5 Am\µPou¨

¤ßÚ[PøÍ GÊxP.

x2 , 3x5 , 7y

20 , 6mn3 , 2t2

5

² öuõSv°À ©õzvµ® Am\µPouU ÷PõøÁø¯ Eøh¯ 5 Am\µPou¨

¤ßÚ[PøÍ GÊxP.

x + 15 , 2x – 1

3 , x + y2 , m – n

7 , 3m – 2n –110

² £Sv°À ©õzvµ® Am\µPou EÖ¨ø£ Eøh¯ 5 Am\µPou¨

¤ßÚ[PøÍ GÊxP.

3x , 23m , 5

2y , 43xy, 5

m2

² £Sv°À ©õzvµ® Am\µPouU ÷PõøÁ JßøÓU öPõsh 5 Am\µPou¨

¤ßÚ[PøÍ GÊxP.

2x + 13 , 2

a + b , 52m – n , 4

3x – 2y , 13x cy +2

² £Sv°¾® öuõSv°¾® Am\µPou EÖ¨¦PøÍ Eøh¯ 5 Am\µPou¨

¤ßÚ[PøÍ GÊxP.

ac , 2ad , 2m

3n , 4x2

5y2 , 2xy3pq

² £Sv°À Am\µPou EÖ¨ø£²® öuõSv°À Am\µPouU ÷PõøÁø¯²®

öPõsh 5 ¤ßÚ[PøÍ GÊxP.

x + 1 2x , 2a + b

c , 3a + d 4a , 2x – 1

c , 4x2 y – a2

b

C»Á\¨ £õh¡À68 C»Á\¨ £õh¡À 69

² £Sv°À Am\µPouU ÷PõøÁø¯²® öuõSv°À Am\µPou EÖ¨ø£²®

öPõsh 5 Am\µPou¨ ¤ßÚ[PøÍ GÊxP.

x 2x +5, a5b + d , 3c

a + b , 4xy5x – 3 , a2

a – b ² £Sv, öuõSv BQ¯ Cµsi¾® Am\µPouU ÷PõøÁPøÍ Eøh¯ 5

¤ßÚ[PøÍ GÊxP.

x + 1 2x – 1, x + y

3x +2y , 3x – 4x + 1 , 4m – 3n

5m + 2n , 4x – y2x + 3y – 4

26.1 £Sv°À {øÓöÁsPøÍ Eøh¯ Am\µPou¨ ¤ßÚ[PøÍU

Tmh¾® PÈzu¾®

£Sv²® öuõSv²® {øÓöÁsPøÍ Eøh¯ ¤ßÚ[PøÍU Tmi²® PÈzx®

EÒÍ Âuzv÷»÷¯ Am\µPou¨ ¤ßÚ[PøÍ²® TmhÄ® PÈUPÄ® •i²®.

Euõµn® 1

_¸USP. 5x9 + 2x

9

5x9 + 2x

9 = 5x + 2x9 (Ç ¤ßÚ[PÎ¾® £SvPÒ \©® BøP¯õÀ)

= 7x9

Euõµn® 2

_¸USP. 5y7 – 3y

7

5y7 – 3y

7 = 5y – 3y7 (£SvPÒ \©® BøP¯õÀ)

= 2y7

C»Á\¨ £õh¡À70 C»Á\¨ £õh¡À 71

Euõµn® 3

_¸USP. 4x15 + 7x

15 – 2x15

4x15 + 7x

15 – 2x15 = 11x – 2x

15 (£SvPÒ \©® BøP¯õÀ)

= 9x15 ( 9, 15 BQ¯ GsPÎß ö£õ. Põ.ö£. I 3 BÀ ÁSzuÀ)

= 3x 5

Euõµn® 4

_¸USP. x + 1

5 + x + 25

x + 15 + x + 2

5 = x + 1 + x + 25 (Ç ¤ßÚ[PÎÚx® £SvPÒ \©® BøP¯õÀ)

= x + x + 1 + 25

= 2x + 35

Euõµn® 5

_¸USP. 2b + 3

7 – b + 27

2b + 37 – b + 2

7 = 2b + 3 – (b + 2)7 (PÈUP¨£k® Am\µPouU ÷PõøÁø¯

Aøh¨¦U SÔUSÒ GÊu ÷Ásk®.)

= 2b + 3 – b – 27

= 2b – b + 3 – 27

= b + 1 7

C»Á\¨ £õh¡À70 C»Á\¨ £õh¡À 71

Euõµn® 6

_¸USP. 7c + 18 – 2c + 1

8 – c – 2 8

7c + 18 – 2c + 1

8 – c – 2 8 = 7c + 1 – (2c + 1) – (c – 2)

8

= 7c + 1– 2c – 1 – c + 28

= 4c + 28

= 2 (2c + 1)8

= 2c + 14

£°Ø] 26.1

1. _¸UQ GÎ¯ ÁiÁzvÀ u¸P.

(i) a5 + a5 (ii) 3d15 + 2d

15 (iii) 2t3 – t

3

(iv) 7k8 – 3k

8 (v) 3k7 + 2k

7 + k7 (vi) 5h

9 – 2h9 – h

9

(vii) 7v10 – 3v

10 + v10 (viii) x8 – 3x

8 (ix) p9 – 4q9 – 5p

9

2. _¸UQ GÎ¯ ÁiÁzvÀ u¸P.

(i) 3y + 1

5 + 2y + 2 5 (ii) 4m – 1

7 + 3m – 2 7 (iii) 5n + 3

8 + 2n – 1 8

(iv) 5c – 210 + 3c + 4

10 (v) 6d + 110 – 2d – 3

10

(vi) 3x + 16 – 2x – 3

6 + x + 46

C»Á\¨ £õh¡À72 C»Á\¨ £õh¡À 73

26.2 \©ÚØÓ {øÓöÁs £Svø¯U öPõsh Am\µPou¨

¤ßÚ[PøÍU Tmh¾® PÈzu¾®

x 6 + 3x

4 ÷£õßÓ \©ÚØÓ {øÓöÁs £Svø¯U öPõsh Am\µPou¨

¤ßÚ[PøÍa _¸US® Âuzøu ÷|õUS÷Áõ®. CÆÁõÓõÚ Am\µPou¨

¤ßÚ[PøÍa \õuõµn Ÿv°»õÚ ¤ßÚ[PøÍ¨ ÷£õ»÷Á _¸UP ÷Ásk®.

uµ¨£mh ¤ßÚ[PÎß £Svö¯sPÎß ö£õx ©h[S JßøÓ¨ ö£õx¨

£Sv¯õPU öPõÒÍ ÷Ásk®. Ç¨¤Ý® ö£õx ©h[SPÎÀ ]Ô¯øu¨

ö£õx¨ £Svö¯snõPU öPõshõÀ _¸UPÀ C»SÁõS®.

Euõµn©õP, ÷©ØSÔzu Ç ¤ßÚ[PÎ¾® £SvPÎß 6 E® 4 E® EÒÍÚ.

AÁØÔß ö£õx ©h[SPÎÀ ]Ô¯x 12 BS®. GÚ÷Á JÆöÁõ¸ ¤ßÚz-

vÚx® £Sv 12 BS©õÖ EÒÍ \©Á¾¨ ¤ßÚzøu¨ ö£Ó÷Ásk® x 6

CÀ

£Sv 12 I¨ ö£ÖÁuØPõP¨ £Svö¯søn 2 BÀ ö£¸UP ÷Ásk® ( 126

BøP¯õÀ 2 ö£Ó¨£kQÓx). A÷u Âu©õP 3x 4

CÀ £Sv 12 I¨ ö£ÖÁ

uØPõP¨ £Svö¯søn 3 BÀ ö£¸UP ÷Ásk® (124 BøP¯õÀ 3

ö£Ó¨£kQÓx). BP÷Á uµ¨£mh Ç ¤ßÚ[PøÍ²® _¸USÁuØPõP¨

¤ßÁ¸©õÖ GÊu»õ®.

C¨¤ßÚ[PÎß £Svø¯²® öuõSvø¯²® _¸US®÷£õx

x 6 + 3x

4 = 2 2 × x

6 + 3 3 × 3x

4 GÚ¨ ö£Ó¨£k®.

Ç ¤ßÚ[PÎ¾® J÷µ £Svö¯s Ç¨£uõÀ, CÆÁõÖ GÊu»õ®.

2x 12 + 9x

12

BP÷Á x 6 + 3x

4 = 11x 12 BS®.

CuøÚ ÷©¾® ]» Euõµn[PÎß ‰»® PõsP.

Euõµn® 1

_¸USP. 2y 5 + y

4

2y 5 + y

4 = 4 × 2y 4 × 5 + 5 × y

5 × 4 (5, 4 BQ¯ GsPÎß ö£õ.©.]. 20 BøP¯õÀ

ö£õx¨ £Svö¯s 20 BS©õÖ \©Á¾¨

= 8y 20 + 5y

20 ¤ßÚ[PøÍ¨ ö£ØÖU öPõÒÍÀ)

= 13y 20

C»Á\¨ £õh¡À72 C»Á\¨ £õh¡À 73

Euõµn® 2

_¸USP. 2t 3 – t 2

2t 3 – t 2 = 2 × 2t

2 × 3 – 3 × t 3 × 2 (3, 2 BQ¯ GsPÎß ö£õ.©.]. 6 Bø¯õÀ

ö£õx¨ £Svö¯s 6 BS©õÖ \©Á¾¨

= 4t 6 – 3t

6 ¤ßÚ[PøÍ¨ ö£ØÖUöPõÒÐuÀ)

= 4t – 3t6

= t 6

Euõµn® 3

_¸USP. 3v 2 – 4v

5 + 3v 4

3v 2 – 4v

5 + 3v 4 = 10 × 3v

10 × 2 – 4 × 4v4 × 5 + 5 × 3v

5 × 4 (2, 5, 4, BQ¯ GsPÎß

ö£õ.©.]. 20 BøP¯õÀ

= 30v 20 – 16v

20 + 15v 20 £Svö¯s 20 BS®©õÖ

\©Á¾¨ ¤ßÚ[PøÍ¨

= 29v 20 ö£ØÖU öPõÒÍÀ)

£SvPÒ \©ÚØÖU Põn¨£k® ÷ÁøÍPÎÀ £SvPÎß ö£õ.©.]. ö£õx¨

£Svö¯s BS©õÖ ¤ßÚ[PøÍ ©õØÔ¯ø©zxa _¸USÁx C»S

ÁõQÂk® Gß£x Euõµn[PÎß ‰»® öuÎÁõQÓx. Am\µPouU ÷PõøÁ

JßÖ Gs JßÔÚõÀ ö£¸UP¨£k® \¢uº¨£zøu ÷|õUS÷Áõ®. C[÷P

Am\µPouU ÷PõøÁPøÍ Aøh¨¦U SÔUSÒ GÊxÁx •UQ¯©õÚx.

Euõµn® 4

_¸USP. x + 1

2 + 2x + 1 3 (2, 3 BQ¯ GsPÎß ö£õ.©.]. 6 BS®)

x + 1 2 + 2x + 1

3 = 3 (x +1) 3 × 2 + 2 (2x +1)

2 × 3 (Am\µPouU ÷PõøÁø¯ Aøh¨¦USÒ

GÊxuÀ)

= 3x + 3 6 + 4x + 2

6 (Aøh¨¦ }USuÀ)

= 3x + 3 + 4x + 26

= 7x + 5 6

C»Á\¨ £õh¡À74 C»Á\¨ £õh¡À 75

Euõµn® 4

_¸USP. 5y – 1

6 – 3y – 2 4

5y – 1 6 – 3y – 2

4 = 2 (5y – 1) 2 × 6 – 3 (3y – 2)

3 × 4 (4, 6 BQ¯ GsPÎß ö£õ.©.]. 12 BS®)

= 2 (5y – 1) 12 – 3 (3y – 2)

12 (2 CÚõ¾® – 3 CÚõ¾® ö£¸UQ

Aøh¨¦PøÍ }USuÀ)

= 2 (5y – 1) – 3 (3y – 2)12

= 10y – 9y – 2 + 6 12

= y + 4 12

Euõµn® 6

_¸USP. 3m + 2n 5 – 2m – n

10 – 3m – 2n 15

3m + 2n

5 – 2m – n 10 – 3m – 2n

15 (5,10, 15 BQ¯ GsPÎß ö£õ.©.]. 30 BS®)

= 6 (3m + 2n) 6 × 5 – 3 (2m – n)

3 × 10 – 2 (3m – 2n) 2 × 15

= 6 (3m + 2n) 30 – 3 (2m – n)

30 – 2 (3m – 2n)30

= 6m + 19n 30

£°Ø] 26.2

1. _¸UQ Âøhø¯ GÎ¯ ÁiÁzvÀ u¸P.

(i) a3 + a

6 (ii) b4 + b 12 (iii) 5x

3 – 3x5

(iv) 3y4 – 5y

16 (v) a2 + a 3 (vi) c3 − c

4

(vii) 3d10 + 2d

15 (viii) 5m6 − 3m

10 (ix) 3n7 + n

5

C»Á\¨ £õh¡À74 C»Á\¨ £õh¡À 75


(i) a2 + a

3 + a 4 (ii) c

5 + 3c 16 + 2c

15(iii) 3x

5 + x 6 – 2x

15 (iv) 3n4 – 3n

8 – n2


(i) 2a

5 + 3a − 2 6 (ii) 2b − 1

8 + 3b12

(iii) 3c + 2 6 + 2c − 1

9 (iv) 5t − 3 10 − 3t

15

(v) 2m − n 12 − 3m + n

9 (vi) 3y + 1 10 + 2y − 1

5 + 4 − y 20

(vii) 3x − y 4 + 2x + y

6 − 5x − 2y 3 (viii) 3y + 2

3 − y − 1 4 − 2y − 3

8

26.3 £Sv°À \©ÚõÚ Am\µPou EÖ¨¦ÒÍ Am\µPou¨

¤ßÚ[PøÍU Tmh¾® PÈzu¾®

CÆÁõÓõÚ Am\µPou¨ ¤ßÚ[PÐUS Euõµn©õP 2

5x + 1

5x IU Tmh»õ®.

C¨¤ßÚ[PÎß £SvPÒ Am\µPou EÖ¨¦PÍõ°Ý® AøÁ \©ß

BøP¯õÀ \õuõµn©õÚ ¤ßÚ[PøÍa _¸US® Âuzv÷»÷¯ _¸UP»õ®.

AuØ÷PØ£

2

5x + 1 5x = 2 + 1

5x

= 35x

GÚa _¸UP»õ®.

Euõµn® 1

_¸USP. 4 7m + 2

7m

4 7m + 2

7m = 4 + 2 7m

= 6

7m

Euõµn® 2

_¸USP. 56n – 1

6n

56n – 1

6n = 5 – 1 6n

= 4

6n

= 2 3n

(ö£õxU Põµo¯õÚ 2 BÀ

ÁSzuõÀ GÎ¯ ¤ßÚ©õS®)

C»Á\¨ £õh¡À76 C»Á\¨ £õh¡À 77

Euõµn® 3

_¸USP. 3a 4b + 1

4b – a 4b

3a 4b + 1

4b – a 4b = 3a + 1 – a

4b (ö£õx¨ £Sv 4b BS®.) = 2a + 1

4b

Euõµn® 4

_¸USP. 3 x + 1+ 2

x + 1

CÁØÔß £SvPÎÀ Am\µPouU ÷PõøÁPÒ Ç¨¤Ý® AøÁ \©ß

BøP¯õÀ ÷©ØSÔ¨¤mhÁõ÷Ó _¸UPø»a ö\´¯»õ®'

3 x + 1+ 2

x + 1 = 3 + 2 x + 1

= 5

x + 1

Euõµn® 5

_¸USP. 7 x – 3 – 4

x – 3

7 x – 3 – 4

x – 3 = 7 – 4 x – 3 (ö£õx¨ £Sv x – 3 BS®.)

= 3 x – 3

£°Ø] 26.3


(i) 5a + 2

a (ii) 8x + 2

x (iii) 3 y – 1y

(iv) 43y – 2

3y (v) 35t + 2

5t (vi) h2k + 5h

2k

(vii) 72n + 3

2n – 12n (viii) 8

3v – 43v – 1

3v (ix) 5m + 2

m + 1 m

(x) 87xy – 8

7xy + 87xy

C»Á\¨ £õh¡À76 C»Á\¨ £õh¡À 77


(i) 5m + 3 + 2

m + 3 (ii) 8n + 5 + 3

n + 5 (iii) 4a + b + 6

a + b

26.4 öuõSv, £Sv BQ¯ Cµsk® Am\µPouU ÷PõøÁPøÍU

öPõsh ¤ßÚ[PøÍa _¸USuÀ

Euõµn® 1

_¸USP. 5x

2x + 1 + 3x 2x + 1

5x 2x + 1 + 3x

2x + 1 = 5x + 3x2x + 1 (ö£õx¨ £Sv 2x + 1 BS®.)

= 8x

2x + 1

Euõµn® 2

_¸USP. 7y

3y – 1 + 2y 3y – 1

7y 3y – 1 + 2y

3y – 1 = 7y – 2y3y – 1 (ö£õx¨ £Sv 3y – 1 BS®.)

= 5y

3y – 1

Euõµn® 3

_¸USP. 2x – 15x + 1 + 3x + 2

5x + 1

2x – 15x + 1 + 3x + 2

5x + 1 = 2x – 1 + 3x + 25x + 1 (ö£õx¨ £Sv 5x + 1 BS®.)

= 2x + 3x – 1 + 25x + 1

= 5x + 1

5x + 1

= 1


Euõµn® 4

9m – 15m – 1 + 3m

5m – 1 – 2m + 1 5m – 1 _¸USP.

9m – 15m – 1 + 3m

5m – 1 – 2m + 1 5m – 1 = 9m – 1 + 3m – (2m + 1)

5m – 1 (PÈUP¨£k® Am\µ

PouU ÷PõøÁPøÍ Aøh¨¦U SÔUSÒ

GÊu ÷Ásk®)

= 9m – 1 + 3m – 2m – 15m – 1

(– 1 CÚõÀ ö£¸UQ

Aøh¨¦ }USuÀ) = 9m + 3m – 2m – 1 – 1

5m – 1 = 10m – 2

5m – 1

= 2(5m – 1) (5m – 1) (öuõSv°À ö£õxU Põµoø¯

÷ÁÓõUQ GÎ¯ ÁiÁzvÀ

GÊxuÀ ) = 2

£°Ø] 26.4


(i) k

3k – 1 + 2 3k – 1 (ii) 2h

5h – 2 – h 5h – 2

(iii) 3t3t – 1 – 1

3t – 1 (iv) 2k + 1 5k + 1 – k – 2

5k + 1

(v) 2y3y +2 – y

3y +2 + 1 3y +2 (vi) 2a + 1

5a – 2 – 3a 5a – 2 – 3

5a – 2

(vii) 8m + 10 2m + 3 – 4m + 1

2m + 3 + 2m 2m + 3 (viii) m

m + n – m – n m + n – m – n

m + n


AÍÂøh¨ £h[PÒ27 C¨£õhzøuU PØ£uß ‰»® }[PÒ

² vø\÷PõøÍ AÔ¢x öPõÒÁuØS®

² Qøhz uÍzvß «xÒÍ Aø©Âh[PÎß vø\÷PõÒ, yµ® Gß£Ú

uµ¨£kªhzx E›¯ AÍÂøh¨ £hzøu Áøµ¢x öu›¯õu Po¯[PøÍU

Põs£uØS®


27.1 vø\÷PõÒ

vø\÷PõÒ Gß£x Qøhz uÍzvÀ ö£õ¸Ò JßÔß Aø©øÁU PõmkÁuØS¨

£¯ß£kzu¨£k® ©ØÖö©õ¸ AÍÃhõS®. ¦ÒÎ A C¼¸¢x ¦ÒÎ B Cß

vø\÷PõÒ Gß£x ¦ÒÎ A C¼¸¢x •u¼À ÁhUS vø\ø¯ ÷|õUQ¯

¤ß ¦ÒÎ B I ÷|õUSÁuØPõP Á»g_È¯õPz v¸®¦® ÷Põn® BS®.

¤ßÁ¸® E¸UPÎÀ J¸ ¦ÒÎ SÔzx ©ØÖö©õ¸ ¦ÒÎ°ß vø\÷PõÒ

Põmh¨£mkÒÍx.

8o

A

B

Á

62o

A

B

Á(i) (ii)

A C¼¸¢x B Cß vø\÷PõÒ 008oA C¼¸¢x B Cß vø\÷PõÒ 062o

135o

A

B

Á

300o

B

A

Á

(iii) (iv)

A C¼¸¢x B Cß vø\÷PõÒ 135o A C¼¸¢x B Cß vø\÷PõÒ 300o

C»Á\¨ £õh¡À80 C»Á\¨ £õh¡À 81

vø\÷PõÒ 360o C¾® SøÓ¢u ö£Ö©õÚ® BøP¯õÀ £¯ß£kzu¨£k® Gs

SÔPÎß E¯º¢u£m\ GsoUøP ‰ßÖ BS®. GÚ÷Á vø\÷PõÒ ‰ßÖ

C»UP[PøÍU öPõsk GÊu¨£kÁx ÁÇUP®. ÁhUShß Á»g_È¯õP

BUS® _ÇØ]U ÷Põn® 1o, 2o, ..., 9o Gß£Ú vø\÷PõÍõP •øÓ÷¯ 001o,

002o, ..., 009o GÚÄ® 10o, 11o, ..., 99o Gß£Ú •øÓ÷¯ 010o, 011o, ..., 099o GÚÄ®

GÊu¨£k®.

GÚ÷Á vø\÷PõÒ

(i) ÁhUSz vø\ø¯ Ai¨£øh¯õPU öPõsk AÍUP¨£k®.

(ii) AÍUS® ÷£õUS ÁhUShß Á»g_È¯õP Aø©²®.

(iii) vø\÷PõÒ ‰ßÖ C»UP[PøÍU öPõsk GÊu¨£k®.

vø\¯ÔP¸Â JßÔß ‰»® ÁhUSz vø\ø¯ C»SÁõP AÔ¢xöPõÒÍ

•i²® BøP¯õÀ P¨£À ©ØÖ® BPõ¯Â©õÚ¨ £¯n[PÎß÷£õx CÆÁÍÃk

£µÁ»õP¨ £¯ß£kzu¨£kQßÓx. R÷Ç uµ¨£mkÒÍ Euõµn[PÎß ‰»®

vø\÷PõÒ £ØÔ¯ AÔøÁ Â¸zvö\´x öPõÒÍ»õ®.

Euõµn® 1

(i) |õßS ¤µuõÚ vø\PøÍz vø\÷PõÎÀ u¸P.

(ii) |õßS E£ vø\PøÍz vø\÷PõÎÀ u¸P.

(i)

vø\ vø\÷PõÒ

ÁhUS

QÇUS

öuØS

÷©ØS

000o

090o

180o

270o

Á

öu

Q÷©

C»Á\¨ £õh¡À80 C»Á\¨ £õh¡À 81

(ii)

vø\ vø\÷PõÒ

Áh QÇUS

öuß QÇUS

öuß ÷©ØS

Áh ÷©ØS

045o

135o

225o

315o

Á

Á.÷© Á.Q

öu.Qöu.÷©

öu

Q÷©

Euõµn® 2

A C¼¸¢x B Cß vø\÷PõÒ 065o BS®. CzuPÁø»¨ £¸©mhõÚ Á›¨£h®

JßÔÀ Põmi, B C¼¸¢x A Cß vø\÷PõøÍU PõsP.

A C¼¸¢x B Cß vø\÷PõÒ 065o BøP¯õÀ A CÀ Áøµ¯¨£mh ÁhUSz

vø\²hß AB GßÓ vø\Áøµ Á»g_È¯õP 65o ÷Põnzøu BUSQßÓx.

65o

A

B

Á

B C¼¸¢x A Cß vø\÷PõøÍU Põs£uØS B CÀ Áøµ¯¨£mh ÁhUSz

vø\²hß BA GßÓ vø\Áøµ Á»g_È¯õP BUS® ÷PõnzøuU Põn

÷Ásk®.

65o

A

B

Á

Á

65o

A

B

Á

Á

115o

C»Á\¨ £õh¡À82 C»Á\¨ £õh¡À 83

A C¾® B C¾® ÁhUøPU Põmk® ÷PõkPÒ \©õ¢uµ©õÚøÁ. AU÷PõkPÒ

Cµsk® AB GßÝ® SÖU÷Põi°ÚõÀ öÁmh¨£mk HØ£k® ÷|¯U

÷Põn[PÒ ªøP{µ¨¤PÍõS®. Auß ‰»® 115o GßÝ® ö£Ö©õÚ®

ö£Ó¨£mkÒÍx.

J¸ ¦ÒÎø¯a _ØÔ²ÒÍ ÷Põn[PÎß TmkzöuõøP 360o BøP¯õÀ

B C¼¸¢x A Cß vø\÷PõÒ = 360o − 115o = 245o

£°Ø] 27.1

1. £õøP©õÛø¯¨ £¯ß£kzvU ÷Põn[PøÍ ÁøµÁuß ‰»® ¤ßÁ¸®

JÆöÁõ¸ vø\÷PõøÍ²® Á›¨£h® JßÔÀ PõmkP.

(i) E C¼¸¢x F Cß vø\÷PõÒ 005o

(ii) P C¼¸¢x Q Cß vø\÷PõÒ 075o

(iii) M C¼¸¢x N Cß vø\÷PõÒ 105o

(iv) J C¼¸¢x H Cß vø\÷PõÒ 270o

(v) C C¼¸¢x D Cß vø\÷PõÒ 310o

2. ¤ßÁ¸® JÆöÁõ¸ \¢uº¨£zv¾® X C¼¸¢x Y Cß vø\÷PõøÍU

PõsP.

18o

X

YÁ

42o

X

Y

150o X

Y

ÁÁ

X

Y

40o

(i) (ii)Á

(iii) (iv)

3. E¸ÂÀ Põmh¨£mkÒÍ uµÄPÐU÷PØ£

10o

Á

A

B

C(i) A C¼¸¢x B Cß vø\÷PõÒ

(ii) B C¼¸¢x A Cß vø\÷PõÒ

(iii) C C¼¸¢x B Cß vø\÷PõÒ

Gß£ÁØøÓU PõsP.

C»Á\¨ £õh¡À82 C»Á\¨ £õh¡À 83

4. ABC J¸ \©£UP •U÷Põo BS®. A CØS ÁhU÷P B Aø©¢xÒÍx.

(i) CzuPÁÀPøÍ¨ £¸©mhõÚ Á›¨£h® JßÔÀ PõmkP.

(ii) Av¼¸¢x ¤ßÁ¸® vø\÷PõÒPøÍU PõsP.

(a) A C¼¸¢x B Cß vø\÷PõÒ (b) A C¼¸¢x C Cß vø\÷PõÒ

(c) B C¼¸¢x C Cß vø\÷PõÒ (d) C C¼¸¢x B Cß vø\÷PõÒ

(e) C C¼¸¢x A Cß vø\÷PõÒ (f) B C¼¸¢x A Cß vø\÷PõÒ

27.2 ÷Põn©õÛ

vø\÷PõÒ, yµ® Gß£ÁØÔß ‰»® uÍ® JßÔß «xÒÍ Aø©Âh[PøÍ

ÂÁ›UP •i²®. CuØPõPz vø\÷PõøÍU Põs£uØS J¸

÷Põn©õÛø¯¨ £¯ß£kzu»õ®.

›â÷£õ® umk

÷Põn©õÛ

£õÚ® EÔg_® SÇõ´

÷Põn©õÛ ^{ø»zuuõP ÇzuÀ ÷Ásk®&

£õÚ® EÔg_® SÇõ´ _Ç¾® ÁøP°À

ö£õ¸zu¨£mkÒÍ ]Ö ÁøÍ¯®

² AÍÃkPøÍ GÊu ÷Ási¯ ChzvÀ Qøh¯õÚ £»øPø¯U öPõsh

÷©ø\°ß (Qøhz uÍ®) «x vø\¯ÔP¸Âø¯ øÁzx, ÷©ø\°ß «x

ÁhUSz vø\ø¯U SÔzxU öPõÒP.

² C¨÷£õx u¯õ›zxU öPõsh ÷Põn©õÛø¯ ÷©ø\°ß «x øÁzx —0˜

GßÓ Áõ]¨¦ ÁhUSz vø\²hß ö£õ¸¢x©õÖ Aø©zxU öPõÒP.

² £õÚ® EÔg_® SÇõø¯a _ÇØÔ AuÞhõPz ÷uøÁ¯õÚ Chzøu

AÁuõÛzx ÁhUShß Á»g_È¯õP BUS® ÷Põnzøu AÍ¢x öPõÒP.

² AuøÚ ‰ßÖ C»UP[PøÍU öPõshuõP GÊvU öPõÒÐ®÷£õx

÷uøÁ¯õÚ Chzvß vø\÷PõÒ ö£Ó¨£k®.

² AÍÃmøh¨ ö£ØÓ ¦ÒÎ°¼¸¢x AÁuõÛUP¨£mh ChzxUS›¯

yµzøu AÍÄ |õhõÂß ‰»® ö£ÖP.

² AÆÂhzvß Aø©øÁ¨ ö£Ó¨£mh yµ®, vø\÷PõÒ Gß£ÁØÔß ‰»®

ÂÁ›UP •i²®.

C»Á\¨ £õh¡À84 C»Á\¨ £õh¡À 85

R÷Ç Euõµn® JßÖ uµ¨£mkÒÍx.

£»õ ©µ®

öußÚ©µ®

QnÖ

225o145o

25 m18

m

20 m85o

Á

BA

D

C

AÁuõÛUP¨£mh

ö£õ¸Ò

vø\

÷PõÒ

yµ®

£»õ ©µ® (B)öußÚ©µ® (C)

QnÖ (D)

085o

145o

225o

20 m25 m18 m

R÷Ç uµ¨£mkÒÍ £°Ø]ø¯a ö\´Áuß ‰»® ÷©¾® ÂÍUPzøu¨ ö£ÖP.

C»Á\¨ £õh¡À84 C»Á\¨ £õh¡À 85

£°Ø] 27.2

1. R÷Ç Põn¨£kÁx J¸ £õh\õø» Aø©¢xÒÍ {»¨ £Sv°ß £¸©mhõÚ

Á›¨ £h® BS®.

A¾Á»P®

|õP©µ®

£õh\õø»U

Pmhh®

~øÇÁõ°À

Á

50o82o 48o

11 m

10 m

12 m

12 m

EnÁP®

Cv¼¸¢x ¤ßÁ¸® Aø©Âh[PøÍ ÂÁ›UP.

(i) A¾Á»Pzv¼¸¢x |õP©µzvß Aø©Âh®

(ii) A¾Á»Pzv¼¸¢x ~øÇÁõ°¼ß Aø©Âh®

(iii) A¾Á»Pzv¼¸¢x EnÁPzvß Aø©Âh®

2. J÷µ Ph¼À Aø©¢xÒÍ P, Q, R GßÝ®P Q

R

150 km

200 km

54o

‰ßÖ xøÓ•P[PÒ Põmh¨£mkÒÍÚ. P

CØSU QÇU÷P Q Aø©¢xÒÍx.

(i) P C¼¸¢x Q CÞhõP R CØSa

ö\ÀÁuØS®

(ii) P C¼¸¢x R CØS ÷|µi¯õPa

ö\ÀÁuØS®

÷uøÁ¯õÚ £õøu°ß ÂÁµzøuz

vø\÷PõÒ, yµ® Gß£ÚÁØÔß ‰»® u¸P.

C»Á\¨ £õh¡À86 C»Á\¨ £õh¡À 87

3. öPõÊ®¤¼¸¢x J¸ SÔ¨¤mh Â©õÚ {ø»¯zxUS¨ £¯oUP ÷Ási¯

Â©õÚzvß Â©õÛUSU öPõÊ®¤¼¸¢x 020o vø\÷PõÎÀ 100 km yµ®

Â©õÚzøua ö\¾zv, ¤ßÚº 080o vø\÷PõÎÀ ÷©¾® 100 km yµ®

Â©õÚzøua ö\¾zu ÷Ásk® GÚ AÔÄÖzu¨£mhx.

(i) CzuPÁÀPøÍ¨ £¸©mhõÚ Á›¨£h® JßÔÀ PõmkP.

(ii) AÆÂ©õÚ {ø»¯zv¼¸¢x öPõÊ®¦US A÷u £õøu°À

v¸®¦ÁuØPõP Â©õÛUS ÁÇ[P¨£h ÷Ási¯ AÔÄÖzuÀPøÍz

u¸P.

27.3 Qøhz uÍzvß «x AÍÂøh¨ £h[PÒ

Qøhz uÍzvß«x Aø©Âh[PøÍU Põmk® AÍÂøh¨£h[PÐUS›¯

Cµsk Euõµn[PÒ R÷Ç uµ¨£mkÒÍÚ.

AÍÂøh 1 : 3300000

ö£¸

¢öu¸

Ai¨£õø

u1

2

PõÀ

Áõ´

AÍÂøh 1 : 1000

öu[S¨ £°ºaö\´øP £µ¢xÒÍ

¤µ÷u\[PÒ

ÁÁ

C»Á\¨ £õh¡À86 C»Á\¨ £õh¡À 87

GÀ»õ AÍÂøh¨ £h[PÎ¾® Ax Áøµ¯¨£mkÒÍ

AÍÂøh²® ÁhUSz vø\²® SÔUP¨£mkÒÍÚ. AÍÂøh¨

£hzv¾ÒÍ AÍÂøh°ÚõÀ (ÂQuzvÚõÀ) Põmh¨£kÁx

¯õx Gß£øuz öuÎÁõP ÂÍ[SÁx •UQ¯®. Euõµn©õP

1 : 500 000 GßÓ AÍÂøh°ÚõÀ P¸u¨£kÁx AÍÂøh¨ £hzvÀ 1 cm }ÍzvÚõÀ 500 000 cm GßÓ Esø© }Í® SÔUP¨£kQßÓx Gß£uõS®. ÷ÁÖ

Âu©õPU TÖÁuõ°ß AÍÂøh¨ £hzvÀ Cµsk ¦ÒÎPÐUQøh°¾ÒÍ

yµ® A¨¦ÒÎPÐUS Cøh°¾ÒÍ Esø©z yµzvß 500 000

1 £[PõS®.

÷©¾® 500 000 cm BÚx 5 km CØSa \©® BøP¯õÀ AÍÂøh¨ £hzvß

1 cm CÚõÀ Põmh¨£k® Esø©z yµ® 5 km GÚÄ® TÓ»õ®.

C¨÷£õx QøhzuÍzvÀ AÍÂøh¨ £h[PøÍ Áøµ²® •øÓø¯

Euõµn[PÒ ]»ÁØÔß ‰»® £õº¨÷£õ®.

Euõµn® 1

•U÷Põo ÁiÁ©õÚ Põoz xsk JßÔß ‰ø»PÒ A, B, C BS®. CUPõoz

xsiÝÒ Aø©¢xÒÍ P GßÓ Chzv¼¸¢x Ea]PÎß Aø©Âh[PÒ

R÷Ç Põmh¨£mkÒÍÚ.

P C¼¸¢x

² 000o vø\÷PõÎÀ 30 m yµzvÀ A Aø©¢xÒÍx.

² 120o vø\÷PõÎÀ 40 m yµzvÀ B Aø©¢xÒÍx.

² 220o vø\÷PõÎÀ 45 m yµzvÀ C Aø©¢xÒÍx.

CzuµÄPÐUS HØ£ AÍÂøh¨ £h® JßøÓ Áøµ¢x Põoz xsiß

_ØÓÍøÁU PõsP.

£i 1: uõÎß Á»x £UPzvß ÷©Ø£Sv°À ÁhUSz vø\ø¯ E¸ÂÀ

Põmi¯ÁõÖ SÔzxU öPõÒP.

£i 2: uµÄPÐU÷PØ£ E¸ÂÀ Põmi²ÒÍÁõÖ

100o

120o

A

BC

P

30 m

40 m45 m

Á

£¸©mhõÚ Á›¨£h® JßøÓ ÁøµP.

C»Á\¨ £õh¡À88 C»Á\¨ £õh¡À 89

£i 3: 30 m, 40 m, 45 m yµ[PøÍU PõmkÁuØS 1 cm CÚõÀ 10 m Põmh¨£k®

ÁøP°À AuõÁx 1:1000 GßÓ AÍÂøhø¯z öu›Äö\´P. C[S

AÍÂøh¯õÚx AÍÂøh¨ £hzøu ÁøµÁuØS›¯ uõÎß AÍÄUS

HØ£÷Á öu›Äö\´¯¨£h ÷Ásk®. Az÷uõk 1000 ÷£õßÓ Â÷\h

GsPøÍz öu›Äö\´ÁuõÀ AÍÂøh¨ £hzøu¨ £›^¼¨£Á¸US

Esø©z yµ[PÒ £ØÔ¯ öuÎøÁ C»SÁõP¨ ö£ØÖU öPõÒÍ •i²®.

£i 4 CÆÁÍÂøhUS HØ£z uµ¨£mkÒÍ JÆöÁõ¸ }Ízøu²® AÍÂøh¨

£hzvÀ PõmkÁuØS›¯ }ÍzøuU PoUP.

PA = 3000 × 10001 cm = 3 cm

PB = 4000 × 1000

1 cm = 4 cm,

PC = 4500 × 10001 cm = 4.5 cm

£i 5 : cm AÍÃmøhU öPõsh ÷|ºÂÎ®ø£²® £õøP©õÛø¯²®

£¯ß£kzv¨ ö£ß]»õÀ R÷Ç SÔ¨¤mhÁõÖ AÍÂøh¨ £hzøu

ÁøµP.

² •u¼À 3 cm }Í•ÒÍ AP GßÓ ÷Põmkz xshzøu {ø»USzuõP

ÁøµP.

² PA Ehß 120o I Aø©US® 4 cm }Í•ÒÍ ÷Põmkz xsh® PB I

ÁøµP.

² PB Ehß 100o I Aø©US® 4.5 cm }Í•ÒÍ ÷Põmkz xsh® PC I ÁøµP.

² AB, BC, AC Gß£ÁØøÓ CønUP.

120o

100o 4 cm

4.5 cm

A

B

P

C

3 cm

£i 6: AB, BC, AC Gß£ÁØÔß }Í[PøÍ AÍUP. AB = 6 cm, AC = 7.1 cm, BC = 6.5 cm GÚ¨ ö£ÖÃºPÒ. GÚ÷Á AÍÂøh¨ £hzvß _ØÓÍÄ

6 + 7.1 + 6.5 = 19.6 cm

£i 7: 1 cm 10 m GßÓ AÍÂøhUS HØ£ Esø© }ÍzøuU PoUP»õ®.

Põo°ß _ØÓÍÄ = 19.6 × 10 = 196 m

Á

C»Á\¨ £õh¡À88 C»Á\¨ £õh¡À 89

Euõµn® 2

P¨£À JßÖ P GßÝ® xøÓ•Pzv¼¸¢x 048o vø\÷PõÎÀ 100 km yµ®

£¯n® ö\´x Q GßÝ® xøÓ•Pzøu AøhQßÓx. ¤ßÚº Q C¼¸¢x

110o vø\÷PõÎÀ 125 km yµ® £¯n® ö\´x R GßÝ® xøÓ•Pzøu

AøhQßÓx. AÍÂøh¨ £hzøu Áøµ¢x P C¼¸¢x R Cß Aø©Âhzøu

ÂÁ›UP.

£i 1: uõÒ JßÔß «x P GßÝ® J¸ ¦ÒÎø¯U SÔUP. P CÀ ÁhUSz

vø\ø¯U SÔUP.

£i 2 : R÷Ç Á›¨£hzvÀ Põmh¨£mhÁõÖ uµ¨£mkÒÍ uPÁÀPøÍU Põmk®

£¸©mhõÚ Á›¨£hzøu Áøµ¢x öPõÒP.

² P C¼¸¢x Q Cß vø\÷PõÒ 048o P BøP¯õÀ

48o

110o

100 k

m 125 kmQ

P

R

N

N

C¾ÒÍ ÁhUShß PQ BUS® ÷Põn® Á»g

_È¯õP 48o BS®.

² Q C¼¸¢x R Cß vø\÷PõÒ 110o BøP¯õÀ Q

C¾ÒÍ ÁhUShß QR BUS® ÷Põn® Á»g

_È¯õP 110o BS®.

P C¾ÒÍ ÁhUS® Q C¾ÒÍ ÁhUS® \©õ¢uµ©õøP¯õÀ Q C¾ÒÍ

ÁhUShß PQ BUS® ÷Põn® = 132o (÷|¯U ÷Põn[PÒ)

C¨÷£õx, PQR

> = 360o − ( 132 + 110) = 360o − 242o

= 118o

£i 3: 100 km I²® 125 km I²® ÁøPSÔ¨£uØS® 1 cm CÚõÀ 25 km Põmh¨£k® ÁøP°À AuõÁx 1:2 500 000 GßÓ AÍÂøhø¯z

öu›Ä ö\´P. (uõÎß AÍÄ ÷£õx©õÚuõ°ß) 1:1 250 000 GßÓ

AÍÂøhø¯²® öu›Äö\´¯»õ®.

£i 4: AÍÂøhUS HØ£ PQ, QR BQ¯ yµ[PøÍ AÍÂøh¨ £hzvÀ

PõmkÁuØS ÷Ási¯ }Í[PøÍU PoUP.

PQ = 25100 cm = 4 cm, QR = 25

125 cm = 5 cm

(AÍÂøh¨ £hzøu Áøµ²®÷£õx ÷Põn[PÒ ©õÖÁvÀø»)

C»Á\¨ £õh¡À90 C»Á\¨ £õh¡À 91

£i 5: ÷©÷» SÔ¨¤mh AÍÃkPÐUS HØ£ ÷|º ÂÎ®¦, £õøP©õÛ,

ö£ß]À Gß£ÁØøÓ¨ £¯ß£kzv AÍÂøh¨ £hzøu ÁøµP.

48o

110o

Q

4 cm

5 cm

N

N

PR

£i 6: PR I AÍ¨£uß ‰»® PR = 7.7 cm GÚ¨ ö£ÖÃºPÒ' NPR

> I AÍ¨£uß

‰»® NPR

> = 82o GÚÄ® ö£ÖÃºPÒ.

£i 7: AÍÂøhUS HØ£ PR Cß Esø© }ÍzøuU PoUP.

PR Cß Esø© }Í® = 7.7 × 25 km = 192.5 km

£i 8: R Cß Aø©Âhzøu¨ ¤ßÁ¸©õÖ ÂÁ›UP»õ®.

xøÓ•P® P C¼¸¢x 082o vø\÷PõÎÀ 192.5 Q÷»õ«ØÓº yµzvÀ

xøÓ•P® R Aø©¢xÒÍx.

£°Ø] 27.3

1. L GßÓ xøÓ•Pzv¼¸¢x K GßÓ xøÓ•PzvØSa ö\ßÖ A[Q¸¢x J GßÓ xøÓ•PzvØSa ö\ßÓ P£¨À JßÔß £¯n¨ £õøu°ß £¸©mhõÚ

Á›¨£h® C[S uµ¨£mkÒÍx.

(i) C¨£¸©mhõÚ Á›¨£hzvØS HØ£¨ ¤ßÁ¸ÁÚÁØøÓU PõsP.

(a) L C¼¸¢x K Cß vø\÷PõÒ

(b) K C¼¸¢x J Cß vø\÷PõÒ

(c)1 cm CÚõÀ 50 km Põmh¨£k®

AÍÂøhUS HØ£ LK, KJ BQ¯ yµ[PøÍ

AÍÂøh¨ £hzvÀ PõmkÁuØS GkUP

÷Ási¯ }Í[PÎß AÍÄPøÍU PõsP.

(ii) ÷©ØPsh AÍÂøhPøÍU öPõsk PhÀ

©õºUPzvß AÍÂøh¨ £h® JßøÓ ÁøµP.

(iii) AÍÂøh¨ £hzvß ‰»®

(a) xøÓ•P® L C¼¸¢x xøÓ•P® J CØSÒÍ yµzøuU PõsP.

(b) xøÓ•P® L C¼¸¢x xøÓ•P® J CØSÒÍ vø\ ÷PõøÍU PõsP. (iv) ø£uPµ]ß öuõhºø£¨ £¯ß£kzvz xøÓ•P® L C¼¸¢x

xøÓ•P® J CØS EÒÍ yµzøuU Pozx ÷©÷» (iii) b CÀ }[PÒ

ö£ØÓ Âøhø¯¨ £›^¼UP.

N

70o

K

L

J

150

km

200 km

C»Á\¨ £õh¡À90 C»Á\¨ £õh¡À 91

2. 1 : 50 000 GßÓ AÍÂøhUS Áøµ¯¨£mhÁ

C

D

A

B

£h® JßÔ¼¸¢x ö£Ó¨£mh J¸ £Sv E¸ÂÀ

Põmh¨£mkÒÍx. A, B, D BQ¯ |Pµ[PÒ J÷µ

÷|º÷PõmiÀ Aø©Á÷uõk A CØS ÁhU÷P C

Aø©¢xÒÍx.

(i) AB, BC, CD, AD BQ¯ ÷Põmkz xsh[PÎß

}Í[PøÍ²® ACD

>

, ADC

>

, CAD

>

BQ¯

÷Põn[PÎß £¸©ßPøÍ²® AÍ¢x

GÊxP.

(ii) AB, BC, CD, AD BQ¯ØÔß Esø©¯õÚ

yµ[PøÍU PoUP.

(iii) A C¼¸¢x B, C, D BQ¯ |Pµ[PÎß Aø©Âh[PøÍz vø\÷PõÒ,

yµ® Gß£ÚÁØÔß ‰»® ÂÁ›UP.

3. £õh\õø» JßÔß öPõiU P®£zv¼¸¢x 025o vø\÷PõÎ¾® 10 m

yµzv¾® A¾Á»P® Aø©¢xÒÍ÷uõk öPõiU P®£zv¼¸¢x 310o

vø\÷PõÎ¾® 12 m yµzv¾® ¤µuõÚ ©sh£® Aø©¢xÒÍx.

(i) CzuPÁÀPøÍU Põmk® Á›¨£h® JßøÓ ÁøµP.

(ii) 1 cm CÚõÀ 2 m Põmh¨£k® AÍÂøhø¯U öPõsk CÁØÔß

AÍÂøh¨ £hzøu ÁøµP.

(iii) AÍÂøh¨ £hzvß ‰»® £õh\õø»US® ¤µuõÚ ©sh£zvØS®

Cøh°¾ÒÍ Qmi¯ yµzøuU PõsP.

(iv) A¾Á»Pzv¼¸¢x ¤µuõÚ ©sh£zvß Aø©Âhzøu ÂÁ›UP.

4. Â©õÛ J¸Áº A GßÓ Â©õÚ {ø»¯zv¼¸¢x 150o vø\÷PõÎß

ÁÈ÷¯ 80 km yµ® uÚx Â©õÚzøua ö\¾zv¯ ¤ß, AÆÂhzv¼¸¢x

200ovø\÷PõÎß ÁÈ÷¯ 150 km yµ® Â©õÚzøua ö\¾zv B GßÝ®

Â©õÚ {ø»¯zøu AøhQßÓõº.

(i) CzuPÁÀPøÍU Põmk® £¸®£i¨ £hzøu ÁøµP.

(ii) ö£õ¸zu©õÚ AÍÂøhø¯U öPõsk AÍÂøh¨ £h® JßøÓ

ÁøµÁuß ‰»®

(a) A C¼¸¢x B Cß vø\÷PõÒ

(b) A C¼¸¢x B Cß yµ®

(c) B C¼¸¢x A Cß vø\÷PõÒ

BQ¯ÁØøÓU PõsP.

C»Á\¨ £õh¡À92 C»Á\¨ £õh¡À 93

5. PmkÁuØS Ez÷u]UP¨£mkÒÍ Ãk JßÔß uÍzvß Qøh¨£hzvØPõÚ

AÍÂøh¨£h® E¸ÂÀ Põmh¨£mkÒÍx. CuøÚU öPõsk R÷Ç

uµ¨£mkÒÍ ÂÚõUPÐUS Âøh u¸P.

2.5 cm

2.5 cm

3.5 cm3 cm3 cm

2 cm

4 cm

4 cm

4 cm4.5 cm 4.5 cm

Á

£kUøP AøÓ - 1 £kUøP AøÓ - 2

\ø©¯»øÓÁµ÷ÁØ£øÓ

£kUøP AøÓ -3PÍg]¯ AøÓ

SÎ¯»øÓ

(i) £kUøP AøÓ 2 Cß Esø©¯õÚ }Í® 4 m GÛß, CUQøh¨£h®

Áøµ¯¨£mkÒÍ AÍÂøhø¯ ÂQu©õPz u¸P.

(ii) Ãmiß Esø©¯õÚ AP»zøuU PõsP.

(iii) SÎ¯»øÓ°ß uÍzvß £µ¨£ÍøÁa \xµ «ØÓ›À PõsP.

6. PÎ¯õmhz uøµ JßÖUSU SÖUPõP ÷©ØQ¼¸¢x QÇUPõP Aø©¢xÒÍ

÷|µõÚ £õøu JßÔß «x {ØS® £¯o J¸Áº 115o vø\÷PõÎÀ öPõiU

P®£® JßøÓ AÁuõÛUQßÓõº. AÁº QÇUS ÷|õUQ 220 m |h¢u ¤ßÚº

AUöPõiU P®£zøu 210o vø\÷PõÎÀ AÁuõÛUQÓõº.

(i) öPõiU P®£zv¼¸¢x £¯o CµshõÁx uhøÁ AÁuõÛzu

Chzvß Aø©øÁ ÂÁ›UP.

(ii) AÍÂøh¨ £h® JßøÓ Áøµ¢x öPõiU P®£zv¼¸¢x £õøuUSÒÍ

Qmi¯ yµzøuU PõsP.

C»Á\¨ £õh¡À92 C»Á\¨ £õh¡À 93

1 : 1 000 000 GßÓ AÍÂøhUS Áøµ¯¨£mh C»[øP°ß ÃvPÒ

öuõhº£õÚ ÷u\¨£hzvß J¸ £Sv C[S uµ¨£mkÒÍx. C[S P¸g

]Á¨¦ {ÓzvÀ Põn¨£kÁx A uµzv»õÚ ö£¸¢öu¸ÁõS®.

(i) £hzvÀ 1 cm CÚõÀ Põmh¨£k® Esø©¯õÚz yµzøu

Q÷»õ«ØÓ›À PõsP.

(ii) A uµzv»õÚ ö£¸¢öu¸ÂÀ X C¼¸¢x Y Áøµ Aø©¢xÒÍ £Sv°ß

}Ízøu J¸ ¡¼ÚõÀ AÍ¢x Esø©¯õÚ yµzøuU Q÷»õ«ØÓ›À

PõsP.

Y

7.

X

C»Á\¨ £õh¡À94 C»Á\¨ £õh¡À 95

uµÄ ÁøPUSÔ¨¦® ÂÍUP©Îzu¾®28


² uµ¨£mkÒÍ £aø\z uµÄPøÍU öPõsk J¸ Tmh©õUPõu «iÓß

£µ®£ø» E¸ÁõUSÁuØS®

² J¸ Tmh©õUPõu «iÓß £µ®£¼ß BPõµ®, Cøh¯®, Cøh

BQ¯ÁØøÓU Põs£uØS®

² uµ¨£mh uµÄPøÍU öPõsk J¸ Tmh©õUQ¯ «iÓß £µ®£ø»

E¸ÁõUSÁuØS®

² J¸ Tmh©õUQ¯ «iÓß £µ®£¼ß BPõµ ÁS¨ø£²® Cøh¯

ÁS¨ø£²® Põs£uØS®


J¸ uµ¨£mh £aø\z uµÄz öuõSv°ß BPõµ®, Cøh¯®, Cøh BQ¯ÁØøÓU

Põq® Âu® £ØÔ }[PÒ uµ® 8 CØ PØÖÒÏºPÒ. AuøÚ {øÚÄTºÁuØS¨

¤ßÁ¸® «mhØ £°Ø]°À Dk£kP.

«mhØ £°Ø]

1. J¸ £õh\õø»U QÔUöPØÖU SÊÂß ÂøÍ¯õmk ÃµºPÎß Á¯xPÒ

R÷Ç uµ¨£mkÒÍÚ.

15, 16, 15, 16, 16, 19, 17, 18, 17, 16, 18 CzuµÄPÎß (i) Ãa_ (ii) BPõµ® (iii) Cøh¯® (iv) Cøh


2. SÔzu J¸ ©õuzvß •uÀ Ç Áõµ[PÎß÷£õx J¸ ÁÎ©sh»

{ø»¯zvÚõõÀ ÷\P›UP¨£mh JÆöÁõ¸ |õÎ¾® Ç¢u Tku»õÚ

öÁ¨£{ø» R÷Ç (ö\À]¯ì £õøP°À) uµ¨£mkÒÍx.

26, 28, 28, 29, 27, 28, 29, 30, 31, 28, 30, 31, 32, 27 CzuµÄPÎß

(i) Ãa_ (ii) BPõµ®

(iii) Cøh¯® (iv) Cøh


C»Á\¨ £õh¡À94 C»Á\¨ £õh¡À 95

28.1 Tmh©õUPõu «iÓß £µ®£ÀPÒ

uµ¨£mh £aø\z uµÄPøÍ¨ (Raw data) £¯ß£kzv G©USz ÷uøÁ¯õÚ

uPÁÀPøÍ¨ ö£Ö®÷£õx uµÄPøÍ EP¢uÁõÖ JÊ[S£kzu ÷Ásk®.

Kº Euõµn©õP J¸ uµÄ¨ £¢v°ß Cøh¯® ÷£õßÓ J¸ ÁøPUSÔ¨¦¨

ö£Ö©õÚzøuU Põs£uØSz uµÄPøÍ HÖÁ›ø\°À AÀ»x CÓ[S

Á›ø\°À JÊ[S£kzu ÷Ásk®.

SøÓ¢u GsoUøP°À uµÄPÒ ÇUS®÷£õx uµÄPøÍ GÎuõP HÖÁ›ø\°À

AÀ»x CÓ[SÁ›ø\°À JÊ[S£kzu»õ®. GÛÝ®, Ti¯ GsoUøP°À

uµÄPÒ ÇUS®÷£õx AÆÁõÖ JÊ[S£kzuÀ KµÍÄUSU PiÚ©õS®.

AzuøP¯ \¢uº¨£[PÎÀ AmhÁønPÒ £¯ß£kzu¨£k®.

J¸ SÔzu ÁS¨¤ß ©õnÁºPÒ J¸ £Ÿmø\°À ö£ØÓ ¦ÒÎPÒ R÷Ç

uµ¨£mkÒÍÚ.

42, 70, 68, 68, 56, 62, 74, 74. 74, 56, 62, 85, 91, 91, 74, 74, 56, 68, 68, 68, 74

CzuPÁÀPøÍ¨ ¤ßÁ¸©õÖ AmhÁøn¨£kzu»õ®.

SÔ¨¦

ÁµÄUSÔPøÍ¨ £¯ß£kzxÁuß ‰»® CÆÁmhønø¯ ÷©¾®

GÎuõPÄ® \›¯õPÄ® u¯õ›zxU öPõÒÍ»õ®.

¦ÒÎPÒ

(uµÄ)ÁµÄU SÔ ©õnÁº

GsoUøP

(«iÓß)4256626870748591

//////

//// /

//// ////

13251

612

C»Á\¨ £õh¡À96 C»Á\¨ £õh¡À 97

C¢u AmhÁøn°ß ‰ßÓõ® {µ¼øÚ «iÓß Gß÷£õ®.

•u¼À «iÓß Gß£uß P¸zx¨ £ØÔ¨ £õº¨÷£õ®.

C[S 42 GßÝ® uµÄ J¸ uhøÁ²® 56 GßÝ® uµÄ ‰ßÖ uhøÁPÐ®

Á¢xÒÍÚ. CÆÁõÖ J¸ SÔzu uµÄ Á¢xÒÍ uhøÁPÎß GsoUøP

AzuµÂß «iÓß GÚ¨£k®.

CuØ÷PØ£ 42 Cß «iÓß 1 E®

56 Cß «iÓß 3 E®

62 Cß «iÓß 2 E®

BS®.

CÆÁõÖ uµÄPøÍ²® AÁØøÓ Jzu «iÓßPøÍ²® öPõsk u¯õ›UP¨£mh

Kº AmhÁøn Tmh©õUPõu «iÓß £µ®£À GÚ¨£k®. ÷©ØSÔzu uµÄU

TmhzøuU PõmkÁuØSz u¯õ›UP¨£mh Tmh©õUPõu «iÓß £µ®£À R÷Ç

uµ¨£mkÒÍx.

¦ÒÎPÒ

(uµÄ) ©õnÁº GsoUøP

(«iÓß)

4256626870748591

132

5161

2

Tmh©õUPõu «iÓß £µ®£¼ß BPõµ®

J¸ uµÄU TmhzvÀ Tku»õÚ uhøÁPÒ Á¸® uµÄ AzuµÄU Tmhzvß

BPõµ® BSö©ÚU PØÖÒÏºPÒ.

÷©ØSÔzu AmhÁøn°ß «iÓß {µ¼À Tku»õÚ «iÓß 6 BS®. «iÓß

6 I Jzu uµÄ 74 BS®. AuõÁx, CzuµÄPÎß BPõµ® 74 BS®.

Tmh©õUPõu «iÓß £µ®£¼ß Cøh¯®

J¸ uµÄU Tmhzvß uµÄPøÍ HÖÁ›ø\°À AÀ»x CÓ[SÁ›ø\°À

JÊ[S£kzx®÷£õx |kÂÀ ÇUS® uµÄ AUTmhzvß Cøh¯® BSö©Ú

}[PÒ PØÖÒÏºPÒ.

C»Á\¨ £õh¡À96 C»Á\¨ £õh¡À 97

C[S ÷©÷» |õ® u¯õ›zu «iÓß AmhÁøn°À 21 uµÄPÒ EÒÍÚ.

AuØ÷PØ£ |kÂÀ EÒÍx 11 B® uµÁõS®. C¨÷£õx 11 B® uµøÁU Põn

÷Ásk®. AuøÚU Põq® Âu® £ØÔ¨ £õº¨÷£õ®.

÷©ØSÔzu uµÄPÎÀ

1 B® uµÄ 42 E®

2 B® uµÄ 56 E®

3 B® uµÄ 56 E®

'

'

'

6 B® uµÄ 62 E® BS® Gß£øuU AÁuõÛUP. AuØ÷PØ£ 11 B® uµøÁ «iÓß {µ¼ß TmkzöuõøPø¯U öPõsk Põn»õ®.

AuØPõP «iÓß {µ¼ß TmkzöuõøPø¯¨ £UPzvÀ GÊx÷Áõ®.

1 3 + 1 = 4 2 + 3 + 1 = 6

5 + 2 + 3 + 1 = 11

«iÓßPÎß TmkzöuõøPuµÄ «iÓß

4256626870748591

1 3251612

21

uµÄU Tmhzvß 11 B® uµÄ 68 GÚ «iÓß {µ¼ß TmkzöuõøPø¯U

öPõsk GÎuõPU Põn»õ®.

uµÄPÎß GsoUøP Tku»õP ÇUS®÷£õx |k÷Á Á¸® uµÄ ÇUS®

uõÚ® £ØÔ J÷µ uhøÁ°À ]¢vzx¨ £õºzuÀ PiÚ©õP ÇUP»õ®. BP÷Á

|kz uõÚzøuU Psk¤i¨£uØS¨ ¤ßÁ¸® £i•øÓPøÍ¨ ¤ß£ØÖP.

C»Á\¨ £õh¡À98 C»Á\¨ £õh¡À 99

SÔ¨¦

uµÄPÎß ö©õzu GsoUøP JØøÓ GsnõP ÇUS®÷£õx |kÂÀ

ÇUS® uµÂß uõÚzøuz uµÄ GsoUøP + 12

C¼¸¢x ö£Ó»õ®.

÷©÷» £õºzuuØ÷PØ£

uµÄU Tmhzvß uµÄ GsoUøP = 21

uµÄU Tmhzvß Cøh¯zvß Aø©Ä = 21 + 12

= 222

= 11 B® DmhõS®.

11 BÁx ChzvÀ Aø©¢vk® uµÄ 68 BS®.

∴uµÄU Tmhzvß Cøh¯® 68 BS®.

AuõÁx ©õnÁºPÒ ö£ØÖÒÍ Cøh¯¨ ¦ÒÎ 68 BS®.

Tmh©õUPõu «iÓß £µ®£¼ß Cøh

J¸ uµÄU Tmhzvß Cøhø¯U Põs£uØSz uµÄPÎß TmkzöuõøPø¯z

uµÄPÎß GsoUøP°ÚõÀ ÁSUP ÷Áskö©Úz uµ® 8 CÀ }[PÒ

PØÖÒÏºPÒ. ¤ßÁ¸® Tmh©õUPõu «iÓß £µ®£ø»U öPõsk uµÄPÎß

Cøhø¯U Põq® Âu® £ØÔ¨ £õº¨÷£õ®.

C[S 42 BÚx J¸ uhøÁ²® 56 BÚx 3 uhøÁPÐ® GßÓÁõÖ

Põn¨£kQßÓx. Cøhø¯U Põs£uØS •Êz uµÄPÎÚx® TmkzöuõøP

Põn¨£h ÷Ásk®.

AuØPõP¨ ¤ßÁ¸©õÖ Kº AmhÁønø¯¨ £¯ß£kzx÷Áõ®.

uµÄ «iÓß

ffx

4256626870748591

1 3 2

5 1

6 1 2

42 × 1 = 42 56× 3 = 16862 × 2 = 12468 × 5 = 34070 × 1 = 70

74 × 6 = 44485 × 1 = 85

91 × 2 = 182 21 1455

C»Á\¨ £õh¡À98 C»Á\¨ £õh¡À 99

uµÄPÎß TmkzöuõøP = 1455 uµÄPÎß Cøh = 1455

21 = 69.28 ≈69(Qmi¯ •ÊöÁsoØS ©mh¢umk®÷£õx)

©õnÁºPÒ ö£ØÖÒÍ Cøh¨ ¦ÒÎ Qmi¯ •ÊöÁsoØS 69 BS®.

Euõµn® 1

Kº Bµ®£¨ £õh\õø»°À uµ® 3 Cß 36 ©õnÁºPÎß voÄPÒ (kg) R÷Ç

uµ¨£mkÒÍÚ.

27 25 20 23 21 26 20 23 21 22 24 25 26 24 23 23 26 24 26 20 24 22 24 25 26 22 23 26 22 24 23 25 24 21 27 27 (i) uµÄPÎß ö£Ö©õÚ Ãaø\U PõsP.

(ii) ÷©ØSÔzu uPÁÀPøÍU öPõsk Tmh©õUPõu «iÓß £µ®£ø»

E¸ÁõUSP.

(iii) AmhÁønø¯U öPõsk ©õnÁºPÎß voÄPÎß

(a) BPõµ® (b) Cøh¯® (c) Cøh


(i) J¸ ©õnÁÛß voÂß Ti¯ ö£Ö©õÚ® = 27 kgJ¸ ©õnÁÛß voÂß SøÓ¢u ö£Ö©õÚ® = 20 kg

∴ uµÄPÎß Ãa_ =27−20 = 7

(ii)

3 6101623273336

«iÓßPÎß

TmkzöuõøP

J¸ ©õnÁÛß

voÄ

x (kg)«iÓß

f

2021222324252627

3 3467463

C»Á\¨ £õh¡À100 C»Á\¨ £õh¡À 101

(iii) (a) uµÄPÎß BPõµ® = 24 kg (b) C[S 36 uµÄPÒ EÒÍÚ. 36 Kº Cµmøh Gs BøP¯õÀ, |kÂÀ 2

uµÄPÒ EÒÍÚ. AzuøP¯ J¸ \¢uº¨£zvÀ Cøh¯z uµÁõÚx |k÷Á

ÇUS® Ç uµÄPÎÚx® \µõ\›¯õS®. •u¼À |k÷Á ÇUS® Ç

uµÄPÎÚx® Aø©ÄPøÍU Põs÷£õ®.

SÔ¨¦

uµÄPÎß ö©õzu GsoUøP Kº Cµmøh GsnõP ÇUS®÷£õx

|k÷Á ÇUS® Ç uµÄPÎÚx® uõÚ[PÒ •øÓ÷¯ uµÄ GsoUøP

2,

uµÄ GsoUøP 2

+ 1BQ¯ÁØÔ¼¸¢x ö£Ó¨£k®.

Cøh¯zvß Aø©Âh® =

36 2

, 36 2

+ 1 = 18, 19 B® uµÄPÒ BS®.

|k÷Á ÇUS® Ç uµÄPÐ® 18 B® uµÄ® 19 B® uµÄ® BS®.

18 B® uõÚzvÀ Ch®ö£Ö® uµÄ = 24 19 B® uõÚzvÀ Ch®ö£Ö® uµÄ = 24

∴uµÄPÎß Cøh¯® = 24 + 242

= 482

= 24 kg

J¸ ©õnÁÛß

voÄ kg x

«iÓß

f f × x

2021222324252627

3 3467463

60 638813816810015681

36 854 uµÄPÎß TmkzöuõøP = 854 kg uµÄPÎß GsoUøP = 36

∴uµÄPÎß Cøh = 854 kg

36 = 23.72 kg (Qmi¯ Cµshõ® u\© uõÚzvØS)

(c)

TmkzöuõøP

C»Á\¨ £õh¡À100 C»Á\¨ £õh¡À 101

£°Ø] 28.1

1. J¸ SÔzu ÁÎ©sh» {ø»¯zvÚõÀ 2016 iö\®£º ©õuzvß J¸ |õÎÀ

Ç¢u Tku»õÚ öÁ¨£{ø» £ØÔa ÷\P›UP¨£mh J¸ uPÁØ Tmh®

R÷Ç uµ¨£mkÒÍx.

28 26 28 28 29 30 28 26 27 27 27 28 26 25 24 24 25 25 26 27 28 28 27 26 28 27 28 29 30 28 27

(i) uµÄPÎß Ãa_ ¯õx?

(ii) CzuµÄPÎß «iÓß £µ®£¾UPõÚ AmhÁønø¯z u¯õ›UP.

(iii) AmhÁønø¯U öPõsk uµÄPÎß BPõµzøuU PõsP.

(iv) 2016 iö\®£º ©õuzvß J¸ |õÎß Cøh¯ öÁ¨£{ø»ø¯U PõsP.

(v) 2016 iö\®£º ©õuzvß J¸ |õÎß Cøh öÁ¨£{ø»ø¯U PõsP.

2. J¸ Põ´PÔa \¢øu°À G¾ªa\® £Ç[PÒ ÂØ£øÚUPõP¨

ö£õvö\´¯¨£mkÒÍÚ. JÆöÁõ¸ ö£õv°¾® Ah[S® G¾ªa\®

£Ç[PÎß GsoUøPPÒ R÷Ç uµ¨£mkÒÍÚ.

5 3 4 6 2 3 4 5 3 4 6 5 3 4 4 2 4 3 5 3 3 4 2 5 3 2 4 3

(i) CzuµÄPÎß Ãa_ ¯õx?

(ii) CzuµÄPøÍU öPõsk J¸ Tmh©õUPõu «iÓß £µ®£ø»

E¸ÁõUSP.

(iii) uµÄPÎß BPõµzøuU PõsP.

(iv) J¸ ö£õv°À EÒÍ G¾ªa\® £Ç[PÎß GsoUøP°ß

Cøh¯zøuU PõsP.

(v) J¸ ö£õv²øÓ°À EÒÍ G¾ªa\® £Ç[PÎß GsoUøP°ß

Cøhø¯U PõsP.

C»Á\¨ £õh¡À102 C»Á\¨ £õh¡À 103

3. J¸ Pøh°À vÚ•® ö\»Âh¨£mh ªß A»SPÎß GsoUøPPÒ

£ØÔ¯ uPÁÀPÒ ¤ßÁ¸® Tmh©õUPõu «iÓß £µ®£¼ß ‰»®

uµ¨£mkÒÍÚ.

J¸ |õÎÀ ö\»Âh¨£mh ªß

A»SPÎß GsoUøP8 9 10 11 12 13 14

|õmPÎß GsoUøP 3 5 8 6 4 3 1(i) «iÓß £µ®£¼ß Ãa_ ¯õx?

(ii) AmhÁønø¯U öPõsk J¸ |õÎÀ ö\»Âh¨£k® ªß A»SPÎß

GsoUøP°ß BPõµ¨ ö£Ö©õÚzøuU PõsP.

(iii) uµÄPÎß Cøh¯zøuU PõsP.

(iv) uPÁÀPÒ ö£Ó¨£mh |õmPÎÀ J¸ |õÎÀ ö\»Âh¨£mh ªß

A»SPÎß GsoUøP°ß Cøhø¯U PõsP.

4. J¸ Qµõª¯ ©¸zxÁ©øÚ°À öÁÎ÷|õ¯õÍº ¤›Â¼¸¢x vÚ•®

]Qaø\ ö£ØÓ ÷|õ¯õÎPÎß GsoUøP £ØÔa ÷\P›UP¨£mh uPÁÀ

PøÍU öPõsk u¯õ›UP¨£mh J¸ Tmh©õUP¨£hõu «iÓß £µ®£À

R÷Ç uµ¨£mkÒÍx.

J¸ |õÎÀ ]Qaø\ ö£ØÓ

÷|õ¯õÎPÎß GsoUøP29 30 31 32 33 34 35

|õmPÎß GoUøP 2 4 6 8 12 6 2

(i) uµÄPÎß ö£Ö©õÚ Ãaø\U PõsP.

(ii) AzuµÄPÎß

(a) BPõµ®

(b) Cøh¯®

(c) Cøh


28.2 Tmh©õUQ¯ «iÓß £µ®£ÀPÒ

C¨£Sv°À Tmh©õUQ¯ «iÓß £µ®£À Gß£uß P¸zøu¨ £ØÔ²® Auß

÷uøÁ £ØÔ²® Ax u¯õ›UP¨£k® Âu® £ØÔ²® £õº¨÷£õ®.

AuØPõP¨ ¤ßÁ¸® EuõµnzøuU P¸xP.

J¸ £Ÿmø\°À ¤ÒøÍPÒ ö£ØÓ ¦ÒÎPÒ £ØÔ¯ uPÁÀPÒ R÷Ç uµ¨£mkÒÍÚ.

21 26 28 32 34 36 36 38 39 39 39 40 41 41 41 41 42 45 48 48 52 53 56 66 68 70 75 80 81 83

C»Á\¨ £õh¡À102 C»Á\¨ £õh¡À 103

Ca\¢uº¨£zvÀ uµÄPÎÒ Ti¯ ö£Ö©õÚ® 83 BP ÇUS® A÷u÷ÁøÍ

SøÓ¢u ö£Ö©õÚ® 21 BS®.

CuØ÷PØ£z uµÄPÎß Ãa_ = 83 − 21 = 62'

C[S uµÄPÎß Ãa_ ö£›uõøP¯õÀ JÆöÁõ¸ ö£Ö©õÚzvß RÊ® J¸

Tmh©õUPõu «iÓß £µ®£ø»z u¯õ›UøP°À ªPÄ® }Í©õÚ «iÓß £µ®£À

QøhUS®. AzuøP¯ \¢uº¨£[PÎÀ AzuµÄPÎß Ãaø\U P¸v GÀ»õz

uµÄPÐ® Ah[S©õÖ Tmh[PÍõP ÁSzx ÁøPSÔUP¨£k®. AzuøP¯ J¸

Tmh® ÁS¨£õ°øh GÚ¨£k®. ÁS¨£õ°øhPÐhß u¯õ›UP¨£k® «iÓß

£µ®£À Tmh©õUQ¯ «iÓß £µ®£À GÚ¨£k®.

AzuøP¯ J¸ Tmh©õUQ¯ «iÓß £µ®£À R÷Ç uµ¨£mkÒÍx.

ÁS¨£õ°øh «iÓß

10 - 1920 - 2930 - 3940 - 49

3652

C[S |õßS ÁS¨£õ°øhPÒ EÒÍÚ.

ÁS¨£õ°øh 10 - 19 CØSz uµ¨£mkÒÍ uµÄU TmhzvÀ 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 GßÝ® ö£Ö©õÚ[PøÍ GkUS® uµÄPÒ EÒÍÚ.

ÁS¨£õ°øh 10 - 19 CØS›¯ 10 ö£Ö©õÚ[PÎß uµÄPøÍ EÒÍhUP»õ®.

BøP¯õÀ CÆÁS¨£õ°øh°ß £¸©ß 10 BPU P¸u¨£k®. Gg]¯ ÁS¨£õ°

øhPÐ® AÆÁõ÷Ó¯õ®.

ÁS¨£õ°øh 10 - 19 Cß «iÓß 3 Gß£x Tmh©õUQ¯ «iÓß £µ®£¾US›¯

uµÄU TmhzvÀ 10, 11, 12, 13, ... , 19 GßÝ® ö£Ö©õÚ[PÎøh÷¯ 3 ö£Ö©õÚ[PÒ ©õzvµ® Ch®ö£ÖQßÓÚ Gß£øuU P¸xQßÓx.

C¨÷£õx |õ® J¸ Tmh©õUQ¯ «iÓß £µ®£À u¯õ›UP¨£k® ÂuzvÀ G©x

PÁÚzøua ö\¾zx÷Áõ®.

uµÄPøÍ ÁS¨£õ°øhPÎß RÌ AmhÁøn¨£kzx®÷£õx •u¼À J¸

ÁS¨£õ°øh°ß £µ®£À AÀ»x ÁS¨£õ°øhPÎß GsoUøP £ØÔz

wº©õÛUP ÷Ásk®.

C»Á\¨ £õh¡À104 C»Á\¨ £õh¡À 105

uµÄPøÍU Tmh©õUS® J¸ ÁS¨£õ°øh°ß £¸©ß wº©õÛUP¨

£mi¸US®÷£õx ¤ßÁ¸©õÖ ÁS¨£õ°øhPÎß GsoUøPø¯¨ ö£Ó»õ®.

² uµÄPÎß ö£Ö©õÚ Ãaø\U PõsP.

² uµÄPÎß ö£Ö©õÚ Ãaø\ J¸ ÁS¨£õ°øh°ß £¸©ÚõÀ ÁSUP.

² A¨÷£õx QøhUS® ö£Ö©õÚzvß Qmi¯ Ti¯ •ÊöÁs ÁS¨£õ°

øhPÎß GsoUøP¯õS®.

¤ßÁ¸® Euõµnzvß ‰»® CuøÚ¨ £õº¨÷£õ®.

30 ¤ÒøÍPÒ J¸ £Ÿmø\°À ö£ØÓ ¦ÒÎPÒ R÷Ç uµ¨£mkÒÍÚ.

21 26 28 32 34 36 36 38 39 39 39 40 41 41 41 41 42 45 48 48 52 53 56 66 68 70 75 80 81 83

CzuµÄPøÍ J¸ ÁS¨£õ°øh°ß £¸©ß 10 BPÄÒÍ ÁS¨£õ°øhPÍõP¨

¤›UP ÷Ási²ÒÍöuÚU P¸x÷Áõ®.

•u¼À ÁS¨£õ°øhPÎß GsoUøPø¯U Põs÷£õ®.

J¸ ÁS¨£õ°øh°ß £¸©øÚ 10 BP GkUP ÷Ásk®. BøP¯õÀ,

ÁS¨£õ°øhPÎß GsoUøP = 6210

= 6.2 7 ^Qmi¯ Tku»õÚ •ÊöÁsoØS

©mh¢umk®÷£õx&

J¸ ÁS¨£õ°øh°ß £¸©øÚ 10 BP GkUS®÷£õx 7 ÁS¨£õ°øhPøÍU

öPõsh J¸ Tmh©õUQ¯ «iÓß £µ®£À QøhUS®.

Auß SøÓ¢u uµÄ 21 BøP¯õÀ •uÀ ÁS¨£õ°øhø¯ 20 Ehß Bµ®¤¨

÷£õ®. 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29 GßÝ® 10 ö£Ö©õÚ[PøÍ²® •u»õ®

ÁS¨£õ°øhUS® Akzu 10 ö£Ö©õÚ[PøÍ Akzu ÁS¨£õ°øhUS®

GßÓÁõÖ ÁS¨£õ°øhPøÍ¨ ¤›¨÷£õ®. AuØ÷PØ£¨ ¤ßÁ¸©õÖ

ÁS¨£õ°øhPÒ QøhUS®.

20 - 29, 30 - 39, 40 - 49, 50 - 59, 60 - 69

C»Á\¨ £õh¡À104 C»Á\¨ £õh¡À 105

70 - 7980 - 89

SÔ¨¦

² C[S •u»õ® ÁS¨£õ°øh 20 CÀ Bµ®¤zuõ¾® ÷uøÁö¯Ûß

21C¾® Bµ®¤UP»õ®. A¨÷£õx ÁS¨£õ°øhPÒ 21 - 30, 31 - 40, 41 - 50 GßÓÁõÖ QøhUS®

² ÁS¨£õ°øhPøÍ BUS®÷£õx EP¢uÁõÖ ÷ÁÖÂu©õPÄ®

ÁS¨¦PøÍU Põn»õ®.

C¨÷£õx JÆöÁõ¸ ÁS¨£õ°øhUS® E›¯ uµÄPøÍ ÁµÄUSÔPøÍU

öPõsk AmhÁøn¨£kzx÷Áõ®.

ÁS¨£õ°øh ÁµÄUSÔ «iÓß

20 - 2930 - 3940 - 4950 - 5960 - 6970 - 7980 - 89

/////// /////// ////

//////////

3893223

SÔ¨¦

ÁµÄUSÔ {µø» «iÓß £µ®£¼À Põmh ÷Ási¯x AÁ]¯ªÀø».

uµÄPÒ Tmh©õUP¨£h ÷Ási¯ ÁS¨£õ°øhPÎß GsoUøP

wº©õÛUP¨£mi¸US®÷£õx ¤ßÁ¸® £i•øÓPøÍ¨ ¤ß£ØÔ J¸

ÁS¨£õ°øh°ß £¸©øÚ¨ ö£Ó»õ®.

² uµÄPÎß ö£Ö©õÚ Ãaø\U PõsP.

² ö£Ö©õÚ Ãaø\z ÷uøÁ¯õÚ ÁS¨¦UPÎß GsoUøP°ÚõÀ

(ÁS¨£õ°øhPÎß GsoUøP 10 C¾® SøÓÁõP ÇzuÀ EP¢ux) ÁSUP.

² A¨÷£õx QøhUS® ö£Ö©õÚzvß Qmi¯ •ÊöÁsøn

ÁS¨£õ°øhPÎß £¸©ÚõPU öPõÒP.

C»Á\¨ £õh¡À106 C»Á\¨ £õh¡À 107

CzuµÄPøÍ¨ £¯ß£kzv 5 ÁS¨£õ°øhPøÍU öPõsh J¸ Tmh©õUQ¯

«iÓß £µ®£À E¸ÁõUP¨£k® Âuzøu¨ £õº¨÷£õ®. •u¼À J¸

ÁS¨£õ°øh°ß £¸©øÚU Põs÷£õ®.

uµÄPÎß Ãa_¨ ö£Ö©õÚ® = 83 – 21 = 62ÁS¨£õ°øhPÎß GsoUøPø¯ 5 BP GkUP ÷Ásk® BøP¯õÀ,

J¸ ÁS¨£õ°øh°ß £¸©ß = 62 5

= 12.4 13 (Qmi¯ Akzu •ÊöÁsoØS

©mh¢umk®÷£õx)

AuØ÷PØ£ J¸ ÁS¨£õ°øh°ß £¸©ß 13 BPÄÒÍ 5 ÁS¨£õ°øhPøÍU

öPõsh J¸ Tmh©õUQ¯ «iÓß £µ®£À QøhUS®.


20 - 3233 - 4546 - 5859 - 7172 - 84

414543

CÆÁõÖ G©x ÷uøÁU÷PØ£z uµ¨£mkÒÍ uµÄPøÍU öPõsk J¸

Tmh©õUQ¯ «iÓß £µ®£ø»z u¯õ›UP»õ®.

C[S öuõhUPU Tmh©õUQ¯ «iÓß £µ®£ø» ©Ö£i²® P¸xP. AvÀ

•u»õ® ÁS¨£õ°øh 20 - 29 BPÄ® Akzu ÁS¨£õ°øh 30 - 39 BPÄ®

GkUP¨£mkÒÍÚ. 29 CØS® 30 CØS® Cøh÷¯ ¦ÒÎPÒ ÇUP •i¯õx.

BøP¯õÀ AÆÁõÖ ÁS¨£õ°øhPøÍz öu›¢öukUP»õ®. AÆÂ¯À¦

Cµshõ® «iÓß £µ®£¼¾® Ç¨£øu AÁuõÛUP.

GÛÝ® }Í®, ÷|µ®, voÄ ÷£õßÓ uµÄPøÍ ÁS¨£õ°øhPÎÀ Ck®÷£õx

•u»õ® ÁS¨£õ°øh •iÁøh²® uµÂ÷»÷¯ Akzu uµÄ Bµ®¤UP

÷Ásk® Gß£øu {øÚÂÀ øÁzxU öPõÒP.

AzuøP¯ Kº Euõµnzøu C¨÷£õx P¸x÷Áõ®.

C»Á\¨ £õh¡À106 C»Á\¨ £õh¡À 107

J¸ ÁS¨¤ß 20 ¤ÒøÍPÎß voÄPÒ Qmi¯ •ÊöÁsoØSU R÷Ç

uµ¨£mkÒÍÚ. C[S uµ¨£mkÒÍ voÄPÒ Qmi¯ •ÊöÁsoØS

©mh¢umh¨£mkÒÍÚ.

31 31 31 32 32 32 32 33 33 34 34 34 35 36 36 38 39 39 40 41

CzuµÄPÐUPõÚ J¸ ÁS¨£õ°øh°ß £¸©ß 3 BPÄÒÍ 4 ÁS¨£õ°øh

PøÍU öPõsh J¸ «iÓß £µ®£ø»z u¯õ›¨÷£õ®.

•u»õ® ÁS¨£õ°øh 30 - 33 BPÄ® Akzu ÁS¨£õ°øh 33 - 36 BPÄ®

ÇUPzuUPuõP¨ ¤ßÁ¸©õÖ ÁS¨£õ°øhPøÍz öu›¢öuk¨÷£õ®.

30 - 3333 - 3636 - 3939 - 42

CÆÁõÖ •u»õ® ÁS¨£õ°øh •iÁøh²® ö£Ö©õÚ©õQ¯ 33 C÷»÷¯

Akzu ÁS¨£õ°øh Bµ®¤UP¨£mkÒÍx. CuØSU Põµn® C[S uµÄPÒ

voÄ £ØÔa ÷\P›UP¨£mi¸¨£uõS®. 33 kg CØS® 34 kg CØSªøh÷¯

voøÁU öPõsh ¤ÒøÍPÒ ÇUP»õ®. Euõµn©õP 33. 2 kg, 33.5 kg, 33.8 kg BQ¯ÁØøÓU P¸u»õ®. BP÷Á J¸ ÁS¨£õ°øh •iÁøh²®

ö£Ö©õÚzv÷»÷¯ Akzu ÁS¨£õ°øh Bµ®¤UP ÷Ásk®.

C[S •u»õ® ÁS¨£õ°øh 33 CÀ •iÁøh²® A÷u÷ÁøÍ Cµshõ®

ÁS¨£õ°øh 33 CÀ Bµ®¤UQßÓx. A¨÷£õx ö£Ö©õÚ® 33 GÆÁS¨£õ

°øhUS E›¯x GßÝ® ÂÚõ GÊQßÓx. CzuøP¯ \¢uº¨£[PÎÀ Ç

ÁS¨£õ°øhPÎÀ ̄ õuõ°Ý® JßÖUS ©õzvµ® A¨ö£Ö©õÚ® GkUP¨£k®.

÷uøÁ HØ£k®÷£õx AÆÁõÖ }º öu›¢öukUS® ÁÇUøPU SÔ¨¤kuÀ

EP¢ux. CÆÁzv¯õ¯zvÀ ¤ßÁ¸©õÖ GkzxUöPõÒ÷Áõ®.

C[S ÁS¨£õ°øh 30 - 33 CÀ 31, 32, 33 BQ¯ uµÄPÐ®

ÁS¨£õ°øh 33 - 36 CÀ 34, 35, 36 BQ¯ uµÄPÐ®

ÁS¨£õ°øh 36 - 39 CÀ 37, 38, 39 BQ¯ uµÄPÐ®

ÁS¨£õ°øh 39 - 42 CÀ 40, 41, 42 BQ¯ uµÄPÐ®

Ch®ö£Ö©õÖ GkUP¨£mkÒÍx.

AÆÁõÖ u¯õ›zu Tmh©õUQ¯ «iÓß £µ®£À R÷Ç uµ¨£mkÒÍx.

C»Á\¨ £õh¡À108 C»Á\¨ £õh¡À 109


30 - 3333 - 3636 - 3939 - 42

9632

SÔ¨¦

Tmh©õUQ¯ «iÓß £µ®£ÀPøÍz u¯õ›US®÷£õx uµÄPÎß C¯Àø£U

P¸v ÁS¨£õ°øhPøÍ Aø©UP ÷Ásk® Gß£øu {øÚÂÀ øÁzxU

öPõÒP.

£°Ø] 28.2

1. 2017 áÚÁ› ©õuzvÀ J¸ Ãhø©¨¦z vmhzvÀ JÆöÁõ¸ Ãmi¾®

ö\»Âh¨£mh ªß A»SPÎß GsoUøPPÒ £ØÔ ©õÛ Áõ]¨£õÍº

÷\P›zu uµÄU Tmh® R÷Ç uµ¨£mkÒÍx.

63 68 75 54 56 58 85 69 62 7290 73 63 76 62 69 78 66 74 6750 74 64 58 88 85 72 70 69 7871 53 82 68 73 67 75 84 59 7274 67

÷©ØSÔzu uµÄPøÍU öPõsk CzuµÄPÐUS›¯ «iÓß AmhÁønø¯z

u¯õ›UP.

2. J¸ £õh\õø»°À uµ® 9 CÀ PØS® ©õnÁºPÒ Pou ÂÚõzuõÎØS¨

ö£ØÓ ¦ÒÎPÎß Tmh® R÷Ç uµ¨£mkÒÍx.

34 27 45 12 63 35 54 29 42 68 73 54 26 11 63 54 33 69 62 38 53 48 63 61 60 44 67 61 79 65 47

(i) ÂÚõzuõÎØS J¸ ©õnÁß ö£ØÓ

(a) Ti¯ ¦ÒÎø¯²®

(b) SøÓ¢u ¦ÒÎø¯²®

PõsP.

C»Á\¨ £õh¡À108 C»Á\¨ £õh¡À 109

(ii) uµÄPÎß Ãaø\U PõsP.

(iii) ÷©ØSÔzu uµÄPøÍ 7 ÁS¨£õ°øhPÎß RÌ AmhÁøn¨£kzv

J¸ Tmh©õUQ¯ «iÓß £µ®£ø» E¸ÁõUSP.

3. Kº Bµ®£ £õh\õø»°ß uµ® 4 Cß J¸ ÁS¨¤ß ¤ÒøÍPÎß E¯µ[PøÍ

(ö\ß›«ØÓ›À) AÍ¢x ö£ØÓ uµÄPÎß Tmh® R÷Ç uµ¨£mkÒÍx. Kº

EP¢u Tmh©õUQ¯ «iÓß £µ®£ø» E¸ÁõUSP.

124 124 138 125 122 129 122 128 131 127 125 120 125 120 121 125 120 132 127 124 126 130 125 131 122 130 129 128 125 122 133 138 125 123 126 125 135 126 132

28.2 Tmh©õUQ¯ «iÓß £µ®£¼ß BPõµ ÁS¨ø£²® Cøh¯

ÁS¨ø£²® PõnÀ

J¸ Tmh©õUQ¯ «iÓß £µ®£ø» E¸ÁõUS® Âu® £ØÔ ÷©ØSÔzu £Sv°À

|õ® PØ÷Óõ®. C¨÷£õx J¸ Tmh©õUQ¯ «iÓß £µ®£¼ß BPõµ ÁS¨ø£²®

Cøh¯ ÁS¨ø£²® Põq® Âu® £ØÔ¨ £õº¨÷£õ®.

Tmh©õUQ¯ «iÓß £µ®£ÀPÎß ÁS¨£õ°øhPÒ £¯ß£kzu¨£kQßÓ

ø©¯õÀ Tmh©õUQ¯ uµÄPÎß BPõµzøu²® Cøh¯zøu²® ÁS¨£õ°øh

PøÍU öPõsk Põmh»õ®.

Ti¯ GsoUøP°À uµÄPÒ Ch®ö£Ö® ÁS¨£õ°øh Tmh©õUQ¯

uµÄPÎß BPõµ ÁS¨¦ BS®. GÀ»õz uµÄPøÍ²® HÖÁ›ø\°À AÀ»x

CÓ[SÁ›ø\°À JÊ[S£kzx®÷£õx |kÂÀ QøhUS® uµÄ Ch®ö£Ö®

ÁS¨£õ°øh Cøh¯ ÁS¨¦ BS®.

Euõµn® 1

¤ÒøÍPÒ J¸ £Ÿmø\°À ö£ØÓ ¦ÒÎPøÍU öPõsk u¯õ›zu Tmh©õUQ¯

«iÓß £µ®£À R÷Ç uµ¨£mkÒÍx.

(i) C¨£µ®£¼ß BPõµ ÁS¨¦

(ii) C¨£µ®£¼ß Cøh¯ ÁS¨¦


C»Á\¨ £õh¡À110 C»Á\¨ £õh¡À 111

«iÓßPÎß TmkzöuõøP

371320

3135


10 - 2021 - 3031 - 4041 - 5051 - 6061 - 70

3467

11

4

(i) Ti¯ «iÓß 11 BøP¯õÀ uµÄPÎß BPõµ ÁS¨¦51−60BS®.

(ii) uµÄU Tmhzvß Cøh¯zvß Aø©Ä = 35 + 1 2

= 1818 B® uµÄ Ch®ö£Ö® ÁS¨£õ°øh Cøh¯ ÁS¨£õS®.

... Cøh¯ ÁS¨¦41−50BS®.

Euõµn® 2

Kº A¾Á»PzvÀ £o¯õØÖ® FÈ¯ºPÎß Á¯xPøÍU öPõsk u¯õ›UP¨

£mkÒÍ Tmh©õUQ¯ «iÓß £µ®£¼ß

(i) BPõµ ÁS¨¦

(ii) Cøh¯ ÁS¨¦


38192528

«iÓßPÎß TmkzöuõøPÁ¯x (Á¸h[PÎÀ)ÁS¨£õ°øh

«iÓß

20 - 2727 - 3434 - 4141 - 5848 - 55

35

1163

(i) Ti¯ «iÓß = 11∴ uµÄPÎß BPõµ ÁS¨¦=34−41

C»Á\¨ £õh¡À110 C»Á\¨ £õh¡À 111

(ii) uµÄU Tmhzvß Cøh¯® ÇUS® uõÚ® = 282 , 28

2 + 1

= 14, 15 B® uµÄPÒ

14 B® uµÄ Ch®ö£Ö® ÁS¨£õ°øh =34−41 15 B® uµÄ Ch®ö£Ö® ÁS¨£õ°øh =34−41

∴ Cøh¯ ÁS¨¦ 34 - 41 BS®.

£°Ø] 28.3

1. ö»õzuºa ^mk ÂØ£øÚ¯õÍº J¸Áº 2016 ©õºa ©õuzvÀ vÚ•® ÂØÓ

ö»õzuºa ^mkUPÎß GsoUøPPÒ R÷Ç uµ¨£mkÒÍÚ.

380 390 379 402 370 385 397 386 377 405 400 381 390 375 392 384 391 385 387 395 390 393 373 386 378 395 379 396 395 391 373

(i) J¸ |õÎÀ Tku»õP ÂØÓ ö»õzuºa ^mkUPÎß GsoUøP ¯õx?

(ii) J¸ |õÎÀ SøÓÁõP ÂØÓ ö»õzuºa ^mkUPÎß GsoUøP ¯õx?

(iii) uµÄPÎß ö£Ö©õÚ Ãaø\U PõsP.

(iv) £¸©ß 6 BPÄÒÍ ÁS¨£õ°øhPøÍ¨ £¯ß£kzvz uµÄPøÍ

AmhÁøn¨£kzv J¸ Tmh©õUQ¯ «iÓß £µ®£ø» E¸ÁõUSP.

(v) AmhÁønø¯U öPõsk

a. uµÄPÎß BPõµ ÁS¨ø£U PõsP.

b. uµÄPÎß Cøh¯® Ch®ö£Ö® ÁS¨£õ°øh ¯õx?

2. 2016 Cß •uÀ uÁøn°À J¸ £õh\õø» ¡»Pzv¼¸¢x öÁÎ÷¯

öPõsk ö\ÀÁuØPõP ÁÇ[P¨£mh ¦zuP[PÎß GsoUøPPÒ £ØÔ¯z

vÚ\› SÔUP¨£mh uµÄU Tmh® R÷Ç uµ¨£mkÒÍx.

27 20 33 37 40 25 15 29 33 32 29 32 25 36 16 35 37 28 34 27 41 36 40 28 27 23 32 33 24 38

(i) uµÄPÎß Ãa_ ¯õx?

(ii) CzuµÄPøÍU öPõsk 15 - 19, 20 - 24, ... GÚ¨ £¸©ß 4 BPÄÒÍ

ÁS¨£õ°øhPøÍ¨ £¯ß£kzv J¸ Tmh©õUQ¯ «iÓß £µ®£ø»

E¸ÁõUSP.


(iii) AmhÁønø¯U öPõsk J¸ |õÐUS 30 C¾® Tku»õP¨ ¦zuP[PÒ

ÁÇ[P¨£mh |õmPÎß GsoUøPø¯U PõsP.

(iv) 31 CØS® 26 CØSªøh÷¯ EÒÍ GsoUøP°À ¦zuP[PÒ ÁÇ[P¨

£mh |õmPÎß GsoUøP ¯õx?

(v) uµÄPÎß BPõµ ÁS¨¦ ¯õx?

(vi) vÚ•® öÁÎ÷¯ öPõsk ö\ÀÁuØS ÁÇ[P¨£mh ¦zuP[PÎß

GsoUøPPÎß Cøh¯® Ch®ö£Ö® ÁS¨£õ°øh ¯õx?

£»ÂÚ¨£°Ø]

1. J¸ öußÚ¢÷uõmhzvÀ ÷u[Põ´PÒ £ÔUP¨£k® J¸ £¸ÁzvÀ JÆ

öÁõ¸ öußøÚ°¼¸¢x® £ÔUP¨£mh ÷u[Põ´PÎß GsoUøPPøÍU

öPõsk ¤ßÁ¸® Tmh©õUPõu «iÓß £µ®£À u¯õ›UP¨£mkÒÍx.

÷u[Põ´PÎß

GsoUøP

«iÓß

81012131415

358752

(i) uµÄPÎß BPõµzøuU PõsP.

(ii) uµÄPÎß Cøh¯zøuU PõsP.

(iii) J¸ öußøÚ°¼¸¢x £ÔUP¨£mh ÷u[Põ´PÎß GsoUøP°ß

Cøhø¯U PõsP.

2. Jmk¨£»øPø¯z u¯õ›¨£uØS ÁÇ[P¨£mh CÓ¨£º ©µ[PÎß

uskPÎß _ØÓÍÄPøÍ (cm CÀ ) AÍ¢x ö£ØÓ uµÄU Tmh® R÷Ç

uµ¨£mkÒÍx.

95 112 118 86 103 102 94 98 80 9787 105 85 103 95 106 98 94 110 102103 105 90 110 96 100 89 104 98 114106 98 98 112 86 105 97 107 96 92115

(i) ÷©ØSÔzu uµÄPøÍ 8 ÁS¨£õ°øhPÎß RÌ AmhÁøn¨£kzxP.

(ii) uµÄPÎß BPõµ ÁS¨ø£U PõsP.

(iii) uµÄPÎß Cøh¯ ÁS¨ø£U PõsP.


«mhØ £°Ø] 3

£Sv I

1. x − 3 < − 1 GßÝ® \©Û¼°ß wºøÁ Kº Gs ÷Põmiß «x SÔUP.

2. – 4 – 3 – 2 2– 1 30 1 Gs ÷Põmiß «x {ÇØÔ²ÒÍ £Svø¯a

\©Û¼ ‰»® u¸P.

3.

ε

13 Á¯v¾® SøÓ¢u

¤ÒøÍPÒ (S)Bs ¤ÒøÍPÒ (M)

SÔzu J¸ £õh\õø»°À uµ® 9 ©õnÁºPÎß uPÁÀPøÍU SÔ¨£uØPõP

Áøµ¯¨£mkÒÍ öÁß Á›¨£hzvÀ 13 Á¯v¾® SøÓ¢u ö£s ¤ÒøÍPøÍU

SÔUS® ¤µ÷u\zøu {ÇØÖP.

4. AB

ε

f

d

c

e g

96

öÁß Á›¨£hzv¼¸¢x B Cß ‰»P[PøÍ

GÊxP. CzöuõøhUSa \©ÚõS® CßöÚõ¸

öuõøhø¯¨ ö£¯›kP.

5. 10 cm

18 cm

A

CD L

B

M

20 cm

CønPµ® ABCD CÀ BC = 20 cm, BL = 10 cm, DM = 18 cm BS®.

CønPµ® ABCD Cß _ØÓÍøÁU

PõsP.

6. 1 C¼¸¢x 20 Áøµ GsPÒ GÊu¨£mh AmøhPÎß J¸ öuõSv°¼¸¢x

GÊ©õØÓõP GkUP¨£mh Amøh°À SÔUP¨£mkÒÍ Gs J¸ •U÷Põn

GsnõP Ç¨£uØPõÚ {PÌuPøÁU PõsP.

C»Á\¨ £õh¡À114 C»Á\¨ £õh¡À 115

7. —numbers˜ GßÝ® ö\õÀ¼¾ÒÍ GÊzxUPÎß öuõøhø¯ A GÚ¨

ö£¯›mk, AÆöÁÊzxUPÎß öuõøh°¼¸¢x GÊ©õØÓõP Kº GÊzøuz

öu›¢öukzuõÀ Ax GÊzx —m˜ BÁuØPõÚ {PÌuPøÁU PõsP.

8. E¸ÂÀ uµ¨£mkÒÍ uPÁÀPÎ¼¸¢x x Cß ö£Ö©õÚzøuU PõsP.

110o

50o

x

x

9. Kº JÊ[PõÚ £À÷Põo°À Kº APU÷Põnzvß ö£Ö©õÚ® ¦ÓU

÷Põnzøu Âh 150o CÚõÀ Ti¯uõS®. £À÷Põo°ß £UP[PÎß

GsoUøPø¯U PõsP.

10. _¸USP ' x + 1

2 − 3x − 2

6

11. _¸USP ' a + 1a − 3 −

4 − 2aa − 3

12. E¸ÂÀ uµ¨£mkÒÍ uµÄPÎ¼¸¢x

(i) A C¼¸¢x B Cß vø\÷PõøÍ²®

(ii) B C¼¸¢x A Cß vø\÷PõøÍ²®

PõsP.

140oA

B

N

N

C»Á\¨ £õh¡À114 C»Á\¨ £õh¡À 115

13. 1 : 50 000 GßÝ® AÍÂøhUS Áøµ¯¨£mh Kº AÍÂøh¨ £hzvÀ A, B BQ¯ Cµsk |Pµ[PÐUQøh°¾ÒÍ Esø©¯õÚ yµ® 8 km IU

SÔ¨£uØSz ÷uøÁ¯õÚ ÷Põmkz xshzvß }Í® ¯õx?

14. 12, 8, x, 5, 10 GßÝ® uµÄU Tmhzvß Cøh 10 B°ß, Cøh¯zøuU

PõsP.

£Sv II

1. (A) uµ¨£mkÒÍ öÁß Á›¨£hzvÀ EÒÍ uPÁÀPÐU÷PØ£ ∩, ∈BQ¯

SÔ±kPøÍ¨ ö£õ¸zu©õÚ ÁøP°À £¯ß£kzv öÁØÔh[PøÍ

{µ¨¦P.

ε

Q4

21

68

397

5

P

(i) 4 Q (ii) 7 Q

(iii) P ε (iv) P Q (v) (P∩Q) P (B) i. n(P)' I GÊxP.

ii. (Q)' CØS GÊuUTi¯ öuõøh¨ ¤›ÄPÎß GsoUøP ¯õx?

AÁØÖÒ |õßøP GÊxP.

(C) ε = {1 C¼¸¢x 20 Áøµ²ÒÍ Gsq® GsPÒ} A = {1 C¼¸¢x 20 Áøµ²ÒÍ 3 Cß ©h[SPÍõÚ GsPÒ} B = {1 C¼¸¢x 20 Áøµ²ÒÍ 2 Cß ©h[SPÍõÚ GsPÒ} i. ÷©ØSÔzu ‰ßÖ öuõøhPÎÚx® ‰»P[PøÍ GÊxP.

ii. ö£õ¸zu©õÚ ÁøP°À ÷©ØSÔzu öuõøhPøÍ J¸ öÁß

Á›¨£hzvÀ SÔUP.

iii. ÷©÷» (ii) C¼¸¢x R÷Ç uµ¨£mkÒÍ öuõøhPÎß ‰»P[PøÍ

GÊxP.

a. A∩B b. A ∩B

c. A' d. B'

C»Á\¨ £õh¡À116 C»Á\¨ £õh¡À 117

2. £õh\õø» JßÔÀ EÒÍ ]ØÖsia\õø»°À 50 vÚ[PÎÀ ÂØP¨£mh

£õÀ ø£UöPØÖPÎß GsoUøPPÒ R÷Ç uµ¨£mkÒÍÚ.

31 34 38 40 44 43 45 47 45 50 53 52 58 55 54 53 61 63 65 66 66 68 64 63 66 67 62 63 66 70 71 73 74 75 76 72 73 72 74 81 82 82 82 83 83 84 8 85 92 96 (i) CzuµÄPÎß Ãaø\U PõsP.

(ii) ÁS¨£õ°øh 31 - 40, 41 - 51, 50 - 60 GßÓÁõÖ Aø©²® ÁøP°À

Tmh©õUP¨£mh «iÓß AmhÁøn JßøÓz u¯õ›UP.

(iii) ÷©÷» Tmh©õUP¨£mh uµÄPÎß BPõµ ÁS¨ø£²® Cøh¯

ÁS¨ø£²® PõsP.

3. R÷Ç uµ¨£mkÒÍ E¸Á[PÎß £µ¨£ÍÄPøÍU PoUP

7 cm15 cm

6 cm

10 cm

G F>

>

E<<

<< <<

<<D

CBA

10 cm

3.5

4. (a) Kº JÊ[PõÚ £À÷Põo°À Kº APU÷Põnzvß ö£Ö©õÚ® J¸ ¦ÓU

÷Põnzvß ö£Ö©õÚzv¾® 100oTi¯uõ°ß,

(i) J¸ ¦ÓU÷Põnzvß ö£Ö©õÚzøuU PõsP.

(ii) £UP[PÎß GsoUøPø¯U PõsP.

(b) Kº JÊ[PõÚ £À÷Põo°À Kº APU÷PõnzvØS® J¸ ¦ÓU÷Põnz

vØS® Cøh°»õÚ ÂQu® 3 : 1 B°ß, APU÷Põn[PÒ GÀ»õÁØ

ÔÚx® TmkzöuõøPø¯U PõsP.

(c) J¸ £À÷Põo°À APU÷Põn[PÎß TmkzöuõøP ¦ÓU÷Põn[PÎß

TmkzöuõøP°ß I¢x ©h[Põ°ß, Auß £UP[PÎß GsoUøPø¯U

PõsP.

(d) SÔzuöÁõ¸ £À÷Põo°À |õßS APU÷Põn[PÎß ö£Ö©õÚ[PÒ

•øÓ÷¯ 160o" 140o" 130o" 110o BÁxhß Auß Gg]¯ ¦ÓU ÷Põn[PÒ

AøÚzx® 30o Ãu® Aø©²©õ°ß, C¨£À÷Põo°ß £UP[PÎß

GsoUøPø¯U PõsP.

C»Á\¨ £õh¡À116 C»Á\¨ £õh¡À 117

(e) E¸ÂÀ EÒÍÁõÖ SÔzuöÁõ¸ BUPzvÀ J¸ \xµ®, Kº JÊ[PõÚ

AÖ÷Põo, Kº JÊ[PõÚ I[÷Põo BQ¯øÁ JßÖhöÚõßÖ

ö£õ¸zu¨£mkÒÍÚ. x, y, m, n BQ¯ÁØÔß ‰»® SÔUP¨£k®

÷Põn[PÎß ö£Ö©õÚ[PøÍ PõsP

m

x

n n

yy

(f) ABCD Kº JÊ[PõÚ I[÷Põo¯õS®.

(i) Kº Ea]°¾ÒÍ APU÷Põnzvß ö£Ö©õÚzøuU

PõsP. (ii) x Cß ö£Ö©õÚzøuU PõsP.

(iii) EC, AB BQ¯ ÷PõkPÒ \©õ¢uµ©õÚøÁ GÚU

PõmkP.

(iv) t Cß ö£Ö©õÚzøuU PõsP.

5. A i. x – 1 < – 3 GßÝ® \©Û¼ø¯z wºzx, wºÄz öuõøhø¯ Kº Gs ÷Põmiß

«x SÔUP.

ii. 2x

3 > – 2 GßÝ® \©Û¼ø¯z wºzx, wºÄPøÍ Kº Gs ÷Põmiß «x

SÔUP.

B 10 ½ØÓøµU öPõÒÍzuUP J¸ £õzvµzvÀ 3 ½ØÓº }º Esk. AuØS ÷©¾® x l }øµa ÷\ºUS®÷£õx }›ß AÍøÁ 3 + x < 10 GßÝ® \©Û¼ ‰»®

Põmh»õ®. \©Û¼ø¯z wºzx £õzvµzvÀ ÷\ºzu }›ß AÍøÁU PõsP.

C _¸USP.

i. m + 13 – 1 + 2m

2 + 3m + 24

ii. a + 5 a + 3 – 2 – a

3 + a + aa + 3

E

D

C

A B

t

xx


6. A. Qøhz uÍ® JßÔÀ Aø©¢xÒÍ A, B, C GßÝ® 3

A

B

C

N

N

N70x

20x

50x

85 m40 m

75 m

¦ÒÎPÎß £¸©mhõÚ Aø©ÄPøÍU SÔUS®

J¸ £h® C[S uµ¨£mkÒÍx. (i) A C¼¸¢x B Cß vø\÷PõøÍU PõsP.

(ii) B C¼¸¢x A Cß Aø©øÁ ÂÁ›UP.

(iii) C C¼¸¢x A Cß vø\÷PõøÍU PõsP.

B. ÁhUSz öuØPõPa ö\À¾® J¸ ÷|º¨ £õøu°À Aø©¢xÒÍ ¦ÒÎ A C¼¸¢x £õøu°ß Chx £UPzvÀ EÒÍ J¸ £õh\õø» ÁÍÂÀ

Aø©¢xÒÍ J¸ }ºz uõ[Q 230ovø\÷PõÎÀ öu›QÓx. A C¼¸¢x

£õøu ÁÈ÷¯ 140 m öuØS ÷|õUQ Á¢x ¦ÒÎ B C¼¸¢x }ºz uõ[Qø¯

AÁuõÛzu÷£õx vø\÷PõÒ 300o BP Ç¢ux.

i. CzuPÁÀPøÍ AhUQ¯ £¸©mhõÚ £h® JßøÓ ÁøµP.

ii. ö£õ¸zu©õÚ Kº AÍÂøh°À Kº AÍÂøh¨£hzøu Áøµ¢x

Av¼¸¢x }ºz uõ[Q°¼¸¢x A, B BQ¯ ¦ÒÎPÐUSÒÍ yµzøuU

PoUP.

iii. £õøu°¼¸¢x }ºzuõ[QUS EÒÍ ªPÄ® SÖQ¯ yµzøuU PõsP.

7. SÔzu J¸ Á[QUS Á¸øP u¢u ÁõiUøP¯õÍºPÎß GsoUøP²®,

|õmPÎß GsoUøP²® £ØÔ¯ uPÁÀPÒ R÷Ç uµ¨£mkÒÍÚ.

ÁõiUøP¯õÍºPÎß

GsoUøP

65 66 67 68 69 70 71 72

|õmPÎß GsoUøP 2 5 8 10 12 8 6 4

i. ÷©ØSÔzu £µ®£¼ß Ãaø\U PõsP.

ii. ÷©ØSÔzu uµÄPÎß BPõµ®, Cøh¯®, Cøh BQ¯ÁØøÓU Põs£uØS¨

ö£õ¸zu©õÚ Kº AmhÁønø¯z u¯õ›zxz uµÄPøÍU SÔUP. iii. ÷©ØSÔzu AmhÁøn°¼¸¢x uµÄ¨ £µ®£¼ß BPõµ®, Cøh¯®,

Cøh BQ¯ÁØøÓU PoUP.

Date post:	24-Aug-2020
Category:	Documents
Upload:	others
View:	0 times
Download:	0 times

©Û¼PÒ G-9 P-III T/maths 9 I… · 6 C»Á\¨ £õh¡À C»Á\¨ £õh¡À 7 21.1 ax b GßÝ®...

Documents