Para uso exclusivo en el salon de clase. · Funciones de varias variables 41 ... y las funciones...

Julio C. Carrillo E.Profesor Escuela de Matematicas

Universidad Industrial de Santander

Monday, November 5, 2007 at 8:44 am(FA07.01,02)

Para uso exclusivo en el salon de clase.

2007 c© Julio C. Carrillo E.

Universidad

Industrial de

Santander

Escuela de Matematicas

Universidad Industrial de Santander

2008

Agradecimientos a todos aquellos estudiantes que con sus

preguntas ayudan a mejor los contenidos de este mate-

rial.

Definitivamente, hasta los que ensenamos tambien

aprendemos, si prestamos un poco de atencion en cla-

se.

El Autor

Tabla de contenidos

1. Preliminares 11

1.1. El espacio euclidiano n–dimensional . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2. Producto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3. Longitud o norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4. Angulo entre dos vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5. Angulos directores y cosenos directores . . . . . . . . . . . . . 14

1.6. Proyecciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.7. Trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.7.1. Con desplazamiento a lo largo de una lınea recta . . . 15

1.7.2. Con desplazamiento a lo largo de una trayectoria nolineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.8. El producto cruz de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.9. Triple producto escalar de vectores . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.10. Lıneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.11. Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2. Funciones vectoriales 21

2.1. Definicion, dominio, imagen, grafica . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2. Operaciones algebraicas con funciones vectoriales . . . . . . . 22

2.3. Lımite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.4. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.5. Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.6. Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.7. Movimiento curvilıneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.7.1. Vector tangente, Vector tangente unitario, vector nor-mal y plano osculador . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.7.2. Velocidad, rapidez y aceleracion . . . . . . . . . . . . 29

2.7.3. Longitud de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.7.4. Curvatura de una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.7.5. Fuerzas definidas mediante funciones vectoriales . . . 34

2.7.6. Fuerzas definidas mediante campos vectoriales . . . . 38

3. Funciones de varias variables 41

3.1. Las funciones de varias variables . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.2. Lımite y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.2.1. Lımite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.2.2. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.3. Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.4. Gradientes y derivadas direccionales . . . . . . . . . . . . . . 67

3.5. Extremos de funciones de varias variables . . . . . . . . . . . 68

3.5.1. Extremos locales y optimizacion global . . . . . . . . . 69

3.5.2. Optimizacion con restricciones . . . . . . . . . . . . . 74

4. Integracion multiple 77

4.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.2. Integrales dobles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.2.1. Integrales doble sobre dominios rectangulares . . . . . 77

4.2.2. Integrales iteradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.2.3. Integrales dobles sobre regiones mas generales . . . . . 83

4.2.4. Cambio en el orden de integracion . . . . . . . . . . . 84

4.2.5. Integrales dobles en coordenadas polares . . . . . . . . 85

4.2.6. Aplicaciones de las integrales dobles . . . . . . . . . . 86

4.3. Integrales triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.3.1. Aplicaciones de las integrales triples . . . . . . . . . . 91

4.4. Integrales triples en coordenadas cilındricas y esfericas . . . . 92

4.4.1. Coordenadas cilındricas . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.4.2. Coordenadas esfericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.5. Cambio de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

5. Calculo vectorial 95

5.1. Campos vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.1.1. Definicion de campo vectorial, y su primera clasificacion 95

5.1.2. Segunda clasificacion de los campos vectoriales . . . . 98

5.1.3. Lıneas de flujo y flujos de campos vectoriales . . . . . 101

5.2. Calculo integral en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5.2.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5.2.2. Trabajo e integral de lınea . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5.2.3. Curvas y parametrizacion de curvas . . . . . . . . . . 104

5.2.4. Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5.2.5. El Teorema de Green y campos vectoriales divergen-tes, rotacionales y conservativos . . . . . . . . . . . . . 104

5.3. Calculo integral en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5.3.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5.3.2. Integral de lınea en el espacio . . . . . . . . . . . . . . 106

5.3.3. Superficies y parametrizacion de una superficie . . . . 106

5.3.4. Integral de superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

5.3.5. Trabajo e integral de superficie . . . . . . . . . . . . . 106

5.3.6. Teorema de la divergencia de Gauss . . . . . . . . . . 106

iv Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salon de clase – UIS

5.3.7. Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

5.3.8. Consecuencias e implicaciones del Teorema de Greeny Teorema de Stokes sobre campos vectoriales diver-gentes, rotacionales y conservativos . . . . . . . . . . . 106

5.4. Aplicaciones fısicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

5.4.1. Dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

5.4.2. Dinamica de fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

5.4.3. Electromagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

5.4.4. Conduccion de calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

5.4.5. Termodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

Para uso exclusivo en el salon de clase – UIS Calculo en Varias Variables v

3 Funciones de varias variables

3.1. Las funciones de varias variables

Sea D un subconjunto no vacıo de Rn. Una funcion f que asigna a cada pun-Funciones de n variables,

dominio, imagen y grafica to x = (x1, . . . , xn) de D un numero real f(x) = f(x1, . . . , xn) se llama unafuncion de n variables con dominio D y valores reales. La razon de llamarsea f una funcion de n variables es simplemente por las n coordenadas quetiene el punto x = (x1, . . . , xn) y la imagen f(x) = f(x1, . . . , xn) dependede esas n coordenadas. Las coordenadas x1, . . . , xn seran las variables inde-pendientes de f y xn+1 = f(x) = f(x1, . . . , xn) la variable independiente.Entonces, x = (x1, . . . , xn) sera la preimagen y xn+1 = f(x) = f(x1, . . . , xn)la imagen.

Por ejemplo,

f(x, y) =xy

x − y+ ln(x2 + y2)

f(x, y) = x2 + y2

son funciones en dos variables, las independientes son x, y y la variabledependiente es z = f(x, y). De igual modo,

f(x, y, z) = x2 + y2 − z2

es una funcion en tres variables dependientes x, y, z y la variable dependientees w = f(x, y, z). Un ejemplo mas general es la funcion polinomica en cincovariables

f(x1, x2, x3, x4, x5) = x1 − 2x22 + x3x

34x

25

en la cual las cinco variables independientes son x1, x2, x3, x4, x5 y la variabledependiente es x6 = f(x1, x2, x3, x4, x5).Observacion 3.1. Las funciones de n variables tambien se suelen denotarde la forma f : D ⊆ R

n → R. Desde el punto de vista fısico, las funcionesde varias variables son llamadas campos escalares.

Sea f : D ⊆ Rn → R una funcion en n variables. El subconjunto D de R

n

es llamado el dominio de f y el subconjunto R de todas los valores f(x) laimagen de f . La grafica de f es el subconjunto de R

n+1 que consta de todoslos puntos (x, f(x)). Simbolicamente,

Df = D ⊆ Rn

If = {f(x) ∈ R | x ∈ D})

Gf = {(x, f(x)) ∈ Rn+1 | x ∈ D}

Tambien, la imagen y grafica de f se pueden representar en terminos delas variables independientes x1, . . . , xn y la variable dependiente xn+1 =f((x1, . . . , xn)):

If = {f(x1, . . . , xn) | (x1, . . . , xn) ∈ D}

Gf = {(x1, . . . , xn, f(x1, . . . , xn)) ∈ Rn+1 | (x1, . . . , xn) ∈ D}.

Tambien se puede considerar

Gf = {(x1, . . . , xn, xn+1) ∈ Rn+1 | xn+1 = f(x1, . . . , xn)

para algun (x1, . . . , xn) ∈ Df}

Una funcion escalar es una funcion en una variable. Para hacer hacer consis-tentes las definiciones de la grafica de funciones de una y varias variables sedebe considerar en general la grafica f como un subconjunto de R

n+1. Tam-bien por esta razon las funciones de varias variables se designan medianteletras minusculas del alfabeto tales como f , g, etc. Desde el punto de vistageometrico se consideran unicamente graficas de funciones de n variablescuando n = 1, 2. Si n = 1, la grafica de f representa una curva en el planoxy, y una superficie en el espacio tridimensional xyz cuando n = 3.

Por ejemplo, f(x) = x − 3 es una funcion en una variable. Su dominio eimagen consiste del conjunto de los numeros reales y la grafica de todos lospuntos (x, x − 3) en R

2 que geometricamente representa una linea recta enel plano xy.

A cada punto en el plano xy la funcion f(x, y) = x2 + y2 le asigna unnumero real no negativo. Por lo tanto, el dominio de f consiste de R

2,graficamente el plano xy. La imagen consiste de todos los reales no negativos(graficamente la parte no negativa del eje z) y la grafica de f de todos lospunto (x, y, x2+y2), que graficamente representa una superficie en el espaciotridimensional xyz llamada paraboloide.

x y

z

La funcion

f(x, y) =1

√

x2 − y2,

esta definida cuando

x2 − y2 > 0 ≡ y2 < x2 ≡ |y| < |x| ≡ −|x| < y < |x|.

Geometricamente el dominio de f esta representado en la siguiente figura yconsiste de todos los puntos del plano xy que permanecen entre las graficasde y = ±|x|. La imagen es el conjunto de todos los reales positivos, y la

42 Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salon de clase – UIS

grafica el conjunto de todos los puntos (x, y, z) con z = 1/√

x2 − y2. Es-ta grafica no es facil de realizar y el uso de software grafico apropiado esrecomendado, GnuPlot por ejemplo.

1

2

3

−1

−2

−3

1 2 3−1−2−3

x

y

El dominio de la funcion

f(x, y) =√

x2 − y,

consiste de todos los puntos del plano xy tales que y ≤ x2.

1

2

3

−1

−2

−3

1 2 3−1−2−3

x

y

La imagen consiste de todos los reales no negativos y la grafica de todos los

puntos (x, y, z) =(

x, y,√

x2 − y)

. La representacion de la grafica requiere

de software.

El dominio de la funcion

f(x, y) = 10(

x3 + xy4 −x

5

)

e−(x2+y2) + e−((−x−1,225)2+y2)

consiste todos los puntos del plano xy y la imagen de los numeros reales.Formalmente la grafica de f se puede definir del modo hasta ahora hechoy esta en el espacio tridimensional xyz. La siguiente figura representa esta

Para uso exclusivo en el salon de clase – UIS Calculo en Varias Variables 43

grafica en el dominio [−4, 4]× [−4, 4].

x y

z

Al ser las imagenes de las funciones de varias variables numeros, las opera-ciones algebraicas que se realicen con ellas se encuentran determinadas porlas operaciones algebraicas de los numeros reales. Adicionalmente se puedencomponer esas funciones con las funciones escalares (o de una variable) y lasfunciones vectoriales que ya conocemos. A fin de evitar malentendidos conla definicion de composicion de funciones, se incluye la siguiente definicionformal de la composicion de funciones.

Sean A, B, C, D conjuntos no vacıos tales que B, C son de la misma “natu-Definicion de

composicion de funciones raleza”, y f : A → B y g : C → D dos funciones. Si la interseccion If ∩ Dg

es no vacıa, entonces la composicion de las funciones f y g, denotada porg ◦ f , tiene sentido y esta definida por

(g ◦ f)(x) = g(f(x))

para todo x en el dominio de f tal que f(x) esta en la imagen de g.

A B C D

x f(x) ∈ Dg g(f(x))

If ∩ Dg 6= ∅

f g

g◦f

Cuando esto sucede se dice que la funcion composicion g ◦ f tiene sentido.

Sean f, g : D ⊆ Rn → R funciones de varias variables, h : D′ ⊆ R → R unaAlgebra de funciones de

varias variables funcion real y R : I ⊆ R → Rn una funcion vectorial. Para todo x en D se

definen las siguientes funciones:

1. (f + g)(x) = f(x) + g(x)

2. (cf)(x) = cf(x) para toda constante c

3. (fg)(x) = f(x)g(x)

4.

(

f

g

)

(x) =f(x)

g(x)si g(x) 6= 0.


5. Si la funcion composicion h◦f tiene sentido, entonces define la funcionde varias variables

(h ◦ f)(x) = h(f(x)).

6. Si la funcion composicion f ◦R tiene sentido, entonces define la funcionreal

(f ◦ R)(t) = f(R(t)).

Ejemplo 3.2. Si

f(x, y) =xy

x + y, h(t) = 2t + 1, R(t) = (t, t2),

entonces

(h ◦ f)(x, y) = h(f(x, y)) = h

(

xy

x + y

)

=2xy

x + 1+ 1

(f ◦ R)(t) = f(R(t)) = f(t, t2) =t3

t + t2=

t2

1 + tcon t 6= 0.

Por lo tanto, h◦f es una funcion de dos variables y f ◦R es una funcion deuna variable. El dominio de h ◦ f consiste de todos los puntos del plano xytales que x 6= 1, y el dominio de f ◦R de todos los numeros reales t diferentesde 0 y −1. Observe ademas que f se puede representar como el cociente dedos funciones de dos variables, digamos f1(x, y) = xy y f2(x, y) = x + y

3.2. Lımite y continuidad

Persona que trabaje en el campo de la fısica–matematica y sus

aplicaciones y no entienda de que trata el concepto de lımite,

tendra una nocion muy limitada de lo que realmente significa

este campo en el area de las ciencias naturales.

La nocion de lımite esta ıntimamente ligada al problema de la aproximaciony continuidad en problemas del tipo causa–efecto. Matematicamente, unproblemas causa–efecto se representa mediante una funcion f definida de unconjunto no vacio D ⊆ A en un conjunto B. Las causas estan representadaspor los elementos de A y los efectos por elementos de B. Entonces la funcionf : D ⊆ A → B, tal que f(a) = b esta en B, para algun a en D, representala relacion funcional entre causas y efectos, y ademas enfatiza que el efecto bes consecuencia o lo produce la causa a: b = f(a). El conjunto A representael espacio de las causas, los elementos de D las causas predecibles y loselementos de A \D las causas no predecibles. Similarmente, B representa el


espacio de las efectos, la imagen If el espacio de las efectos predecibles, yB \ If el de los efectos no predecibles.

A B

D

a′

a′′

If

b′ = f(a′)

b′′

f

a′′ y b′′ representan posibles causas y efectos no predecibles, respectivamente.A la causa predecible a′ le corresponde un efecto predecible b′ = f(a′).

En la practica y en general, se obtienen (en el laboratorio, por ejemplo) ycon mediana certeza los “valores ideales” del efecto b y la causa a que loproduce. Los valores reales son unicamente estimaciones de ellos y ademasa puede ser eventualmente una causa no predecible. Entonces, el problemade establecer que tan buena es una estimacion de estos valores consiste delo siguiente:

1. Fase de aproximacion: Dada un efecto aproximado, establecer la cau-sa aproximada que lo produce. Se debe cumplir que el efecto aproximadoy debe estar cercano del valor b (i.e., y ≈ b) y ser consecuencia de unacausa x (i.e., y = f(x)), siempre que la causa x este muy cercana delvalor a, aun si no es exactamente a (i..e, x ≈ b y x 6= a). Simbolicamente,

f(x) → b cuando x → a, x 6= a,

2. Fase de cuantificacion del error: En donde hay aproximaciones, hayerrores. En los conjuntos A y B se deben disponer de algun medio (ins-trumento) para cuantificar el error en las aproximaciones entre las causasy los efectos. El error debe entenderse como la medida de la distanciaentre el valor estimado y el valor real, sean en causas o efectos. Cuanti-ficar el error sera el proceso de medir la distancia entre los valores realesy estimados. Si los conjuntos A y B son subconjuntos de R, estos erroresde aproximacion son obtenidos mediante el valor absoluto, y por tanto

dB(f(x), b) := |f(x) − b|, dA(x, a) := |x − a|.

representaran el error en la aproximacion o distancia entre los valoresreales y estimados en los efectos y las causas, respectivamente.

En general, se supone que en los conjuntos A y B es posible definir unaforma de medir distancia de una forma similar a la anterior. Por lo tanto,si sucede que en las causas f(x) ≈ b cuando en los efectos x ≈ b, aun six 6= b, entonces debe tenerse que el error en la aproximacion del efecto,dB(f(x), b), debe ser muy pequeno cuando el error en la aproximaciondel efecto, dA(f(x), a), es muy pequeno, aun si x 6= a. Observe que x 6= asi y solo si dA(x, a) > 0. Simbolicamente,

dB(f(x), b) → 0 cuando dA(x, a) → 0 aun si dA(x, a) > 0.


3. Fase de estimacion de la magnitud del error: Las magnitudes en elerror deben ser de cierto orden. Este es un requerimiento que es estandarcuando se realizan estudios experimentales de problemas causa–efecto.En este tipo de problemas es conocido o dado el orden ǫ del error en laaproximacion de los efectos (en el mundo real esto es precisamente lo quese puede ver o determinar) y se busca entonces establecer o encontrar elorden δ del error en la aproximacion en las causas, pero de tal modo queel error en la aproximacion de los efectos sea del orden ǫ previamentedado cuando el error en la aproximacion en las causas sea del orden δencontrado, aun si el error en las causas no es cero,

Decir que “el error en la aproximacion es de cierto orden” significa que“el error en la aproximacion es menor que el orden de aproximacion”.Por lo tanto, en el caso en discusion debemos tener lo siguiente.

Dado el orden ǫ > 0 del error en la aproximacion del efecto b,se busca establecer un orden δ > 0 del error en la aproxima-cion de la causa a, de tal modo que dB(f(x), b) < ǫ cuandodA(x, a) < δ, aun si dA(x, a) > 0. Simbolicamente,

Dado un ǫ > 0, se busca un δ > 0 tal que dB(f(x), b) < ǫcuando 0 < dA(x, a) < δ.

La notacion matematica de lımite resume estos tres procesos:

lımx→a

f(x) = b.

El problema causa–efecto definido mediante f es un continuo o es continuocuando

lımx→a

f(x) = f(a).

3.2.1. Lımite

Sea f : D ⊆ Rn → R una funcion de varias variables y a un punto queLımite de una funcion de

varias variables no necesariamente pertenece al dominio de f . Se dice que lımx→a f(x) = Lsi dado un ǫ > 0 existe un δ > 0 tal que |f(x) − L| < ǫ siempre que0 < ‖x− a‖ < δ.

Observe que

‖x − a‖ =√

(x1 − a1)2 + · · · + (xn − an)2

representa la distancia entre los puntos x y a en Rn y

|f(x) − L|

la distancia entre los numeros reales f(x) y L. En el siguiente sentido debeentenderse el concepto de existencia del lımite L de f en a:

Cuando el punto x esta suficientemente cercano de a, pero x 6=a, entonces el valor de f(x) estara muy cercano de L. La norma‖x− a‖ y el valor absoluto |f(x)−L| son una medida del erroren esas aproximaciones. Cuantificado el orden ǫ del error en laaproximacion de f(x) a L, se busca entonces cuantificar el ordenδ del error en la aproximacion de x a a. Por eso se suele tambiendenotar el lımite de la forma “f(x) → a cuando x → a”, y selee “f(x) tiende a a cuando x tiende a a”.


Geometricamente, los puntos x se encuentran localizados en el interior deuna esfera n–dimensional de centro en a y radio δ, sin el punto a, y losvalores f(x) en el intervalo abierto (L − ǫ, L + ǫ).Proposicion 3.3. Sea f : D ⊆ R

n → R una funcion de varias variables yUnicidad del lımite

a un punto que no necesariamente pertenece al dominio de f . Si el lımitelımx→a f(x) existe entonces el lımite es unico; es decir, si lımx→a f(x) = L1

y lımx→a f(x) = L2 entonces L1 = L2.

El contrarrecıproco de este resultado es una herramienta valiosa para probarque un cierto lımite no existe:

Si el lımite lımx→a f(x) no es unico, entonces lımx→a f(x) noexiste.

A diferencia del calculo de funciones de una variables, en donde existenunicamente dos direcciones para aproximar el punto al cual se toma el lımite,para las funciones de varias variables existen multiplies direcciones, y ademastrayectorias, para que el punto x aproxime el punto lımite a. Si el lımiteexiste, entonces el lımite es independiente de la trayectoria que pase por elpunto. Si el lımite no existe, es suficiente demostrar que a lo largo de dostrayectorias C1 y C2 que pasen por el punto a, la funcion f(x) tiene doslimites distintos.Ejemplo 3.4. Sea

f(x, y) =xy

x2 + y2.

El dominio de f consiste de todos los puntos del plano xy con excepcion delorigen. Consideremos la ecuacion y = mx de una recta de pendiente m quepasa por el origen. Entonces

f(x, y) =mx2

x2 + m2x2=

m

1 + m2→

m

1 + m2cuando x → 0, y = mx,

o

lımx→0

y=mx

f(x, y) = lımx→0

mx2

x2 + m2x2=

m

1 + m2.

Por lo tanto el lımite de f en el origen del plano no existe: diferentes va-lores de m producen curvas diferentes a lo largo de las cuales f tiene limi-tes diferentes. Para cualquier otro punto del plano xy el lımite de f existe(probarlo).Ejemplo 3.5. La funcion

f(x, y) =x2 − y2

x2 + y2

tambien esta definida para todo punto del plano xy con excepcion del origen.De nuevo, observe que

lımx→0y=0

f(x, y) = lımx→0

x2 − 0

x2 + 0= 1,

lımx=0y→0

f(x, y) = lımy→0

0 − y2

0 + y2= −1,

en donde x = 0 es una recta horizontal que pasa por el origen y y = 0 esuna recta vertical que tambien pasa por el origen. Por lo tanto, f no tienelımite en el origen del plano xy.


Ejemplo 3.6. Tambien la funcion

f(x, y) =x4 − y4

x2 + y2

esta definida para todo punto del plano xy con excepcion del origen. Noobstante, como el lımite

lım(x,y)→(0,0)

x4 − y4

x2 + y2= lım

(x,y)→(0,0)

(x2 − y2)(x2 + y2)

x2 + y2

= lım(x,y)→(0,0)

(x2 − y2) = 0 − 0 = 0

e independiente de la trayectoria que pase por el origen del plano xy, enton-ces f tiene lımite cero en el origen.

Ejemplo 3.7. Determine si el lımite de la funcion f(x, y) =3x2y

x2 + y2existe

en (0, 0).

Solucion. Como

lımx→0

y=mx

f(x, y) = lımx→0

3x2(mx)

x2 + (mx)2=

3mx

1 + m2= 0

y

lımx=0y→0

f(x, y) = lımy→0

0

y2= 0,

e igual sucede tomando el lımite a lo largo de las parabolas y = ax2 yx = ay2 con a 6= 0, se puede intuir que el lımite vale 0. Desafortunadamenteesto no prueba que el lımite es 0, pues el resultado depende de la trayectoriaque pasa por el origen. Para demostrar que el lımite es cero se aplica ladefinicion de lımite.

Sea ǫ > 0 dado. Se debe encontrar un δ > 0 tal que∣

∣

∣

∣

3x2y

x2 + y2− 0

∣

∣

∣

∣

< ǫ siempre que 0 < ‖(x, y) − (0, 0)‖ < δ

o equivalentemente,

3x2|y|

x2 + y2< ǫ siempre que 0 <

√

x2 + y2 < δ

Pero

x2 < x2 + y2, y2 < x2 + y2.

Por lo tanto,

3x2|y|

x2 + y2< 3|y| = 3

√

y2 < 3√

x2 + y2 < 3δ.

Como se requiere que

3x2|y|

x2 + y2< ǫ,


es suficiente elegir 3δ = ǫ. Entonces δ = ǫ/3 y al hacer 0 <√

x2 + y2 < ǫ/3se obtiene

∣

∣

∣

∣

3x2y

x2 + y2− 0

∣

∣

∣

∣

≤ 3√

x2 + y2 < 3( ǫ

3

)

= ǫ

Por consiguiente,

lım(x,y)→(0,0)

3x2y

x2 + y2= 0.

Proposicion 3.8. Sean f, g : D ⊆ Rn → R funciones de n variables quePropiedades del lımite

poseen lımite en un punto a que no necesariamente pertenece a D. Entonceslas funciones f + g, cf (c un constante cualquiera), fg, f/g tambien poseenlımite en a y ademas

1. lımx→a

(f(x) + g(x)) = lımx→a

f(x) + lımx→a

g(x)

2. lımx→a

(cf(x)) = c lımx→a

f(x)

3. lımx→a

f(x)g(x) = lımx→a

f(x) lımx→a

g(x)

4. lımx→a

f(x)

g(x)=

lımx→a

f(x)

lımx→a

g(x)si lım

x→ag(x) 6= 0.

5. Sea h : D′ ⊆ R → R una funcion real tal que la funcion compuesta h ◦ festa definida. Si los lımites lım

x→af(x)(≡ L) y lım

t→Lh(t) existen, entonces

el lımite de h ◦ f existe en a y ademas

lımx→a

h(f(x)) = h(

lımx→a

f(x))

.

6. Sea R : D′ ⊆ R → Rn una funcion vectorial tal que la funcion compuesta

f ◦ R esta definida. Si los lımites lımt→t0

R(t)(≡ L) y lımx→L

f(x) existen,

entonces el lımite de f ◦ R existe en t0 y ademas

lımt→t0

f(R(t)) = f

(

lımt→t0

R(t)

)

.

3.2.2. Continuidad

Definicion 3.9. Se dice que una funcion de varias variables f : D ⊆ Rn →Continuidad puntual

R es continua en a si y solo si

lımx→a

f(x) = f(a),

o lo que es lo mismo,

lımh→0

f(a + h) = f(a).

En caso contrario, f se dice es discontinua en a.

Esta definicion significa que f(a) y lımite de f en a existen, y el valor de fy el lımite de f son iguales en a. De otro lado, la condicion de existencia def(a) es equivalente a la condicion que el punto a pertenezca al dominio def .


Ejemplo 3.10. La funcion f(x, y) =x2 − y2

x2 + y2no tiene lımite en el origen

del plano. Entonces f es discontinua en (0, 0). Tambien se puede argumentarque f no esta definida en el origen del plano.Ejemplo 3.11. La funcion

f(x, y) =

x4 − y4

x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0)

1 si (x, y) = (0, 0)

tiene lımite cero en el origen del plano y f(0, 0) = 1. Entonces f es discon-tinua en el origen.Proposicion 3.12. Sean f, g : D ⊆ R

n → R funciones de n variablesPropiedades de la

continuidad puntual que son continuas en el punto a. Entonces las funciones f + g, cf (c unconstante cualquiera), fg, f/g tambien continuas en a y ademas

1. lımx→a

(f(x) + g(x)) = f(a) + g(a)

2. lımx→a

(cf(x)) = cf(a)

3. lımx→a

f(x)g(x) = f(a) g(a)

4. lımx→a

f(x)

g(x)=

f(a)

g(a)si g(a) 6= 0.

5. Sea h : D′ ⊆ R → R una funcion de una variable tal que la funcioncompuesta h ◦ f esta definida. Si f es continua en a y h es continua enf(a), entonces la funcion de varias variables h ◦ f es continua en a yademas

lımx→a

h(f(x)) = h(

lımx→a

f(x))

.

6. Sea R : D′ ⊆ R → Rn una funcion vectorial tal que la funcion compuesta

f ◦ R esta definida. Si R es continua en t0 y f es continua en R(t0),entonces la funcion escalar f ◦ R es continua en t0 y ademas

lımt→t0

f(R(t)) = f(R(t0)).

Definicion 3.13. Una funcion de varias variables f es continua en el unContinuidad global y

propiedades conjunto D′ si f es continua en cada punto de D′.

Las propiedades de continuidad de funciones de varias variables en un con-junto de su dominio se obtienen de una manera natural de las propiedadesde continuidad puntual.

Los monomios x, y y c, con c un escalar cualquiera, se puede demostrarfacilmente son funciones continuas en R

2:

lım(x,y)→(a,b)

x = a

lım(x,y)→(a,b)

y = b

lım(x,y)→(a,b)

c = c

para cualquier punto (a, b) en R2. Por lo tanto, de las propiedades del pro-

ducto de funciones continuas el monomio cxnym, para algun numero enterono negativo m, es tambien continuo en R

2:

lım(x,y)→(a,b)

cxmym = cambm


para cualquier punto (a, b) en R2. De la propiedad de la suma de funciones

continuas el polinomio p(x, y) en dos variables sera tambien una funcioncontinua en R

2:

lım(x,y)→(a,b)

p(x, y) = p(a, b)

para todo punto (a, b) en R2.

Ejemplo 3.14. Evaluar

lım(x,y)→(1,−2)

(x2y3 − x3y2 + 3x + 2y).

Solucion. Como los polinomio son funciones continuas en R2, entonces

lım(x,y)→(1,−2)

(x2y3 − x3y2 + 3x + 2y) = −8 − 4 + 3 − 4 = −13.

Una funcion racional f en dos variables es el cociente de dos polinomios, ysera una funcion continua en R

2 con excepcion de aquellos puntos (x, y) endonde el denominador de f se anula. Por ejemplo, la funcion racional

f(x, y) =2xy + 1

x2 + y2

esta definida en todo R2 con excepcion del origen. Por tanto, f es continua

en R2 con excepcion del origen.

Ejemplo 3.15. Determine la continuidad de la funcion

f(x, y) = ln(x2 + y2 − 1).

Solucion. La funcion logaritmo natural es continua para todo numero realpositivo, y la funcion g(x, y) = x2 + y2 − 1 es continua para todo valor dex y y. De la propiedad de composicion de funciones continuas se concluyeque la funcion f es continua para todos los puntos (x, y) en R

2 tales quex2 + y2 > 1.

Ejemplo 3.16. Determine la continuidad de la funcion

f(x, y) =

√

1 − x2 − y2

x2 − y2.

Solucion. De la propiedad de composicion de funciones continua se tieneque el numerador de f es continuo para todo punto (x, y) en R

2 tal quex2 + y2 < 1. El denominador de f es continuo para todo punto (x, y) enR

2, y es cero cuando y = ±|x|. De la propiedad del cociente de funcionescontinuas se obtiene que f es continua para todo punto (x, y) en R

2 tal quex2 + y2 < 1 y y 6= ±|x|.

3.3. Derivada

La derivada de una funcion escalar f(x) se puede considerar como el lımitedel cociente diferencias de Newton de la funcion a lo largo del eje x:

f ′(x) = lımh→0

f(x + h) − f(x)

h.


La derivada de una funcion en n variables su puede considerar de igualmanera, solo que existiran n posibles alternativas (o ejes coordenados) cadauna de las cuales se llaman las derivadas parciales de la funcion con respectoa la direccion considerada.Definicion 3.17. Sea f : D ⊆ R

n → R una funcion de n variables. LasDerivadas parciales

derivadas parciales fx1, . . . , fxn

de f con respecto a las variables x1, . . . , xn

en el punto x = (x1, . . . , xn) se define en forma vectorial como

fxj(x) = lım

h→0

f(x + hej) − f(x)

h

o en forma cartesiana como

fxj(x1, . . . , xn) = lım

h→0

f(x1, . . . , xj + h, . . . , xn) − f(x1, . . . , xn)

h,

para j = 1, . . . , n, si cada uno de estos limites existe. Otras notaciones delas derivada parcial de f con respecto a la variable xj son las siguientes:

fxj(x) = fj(x) =

∂f

∂xj

(x) = ∂jf(x) = Dxjf(x) = Djf(x).

Cuando n = 2, se denota z = f(x, y) y las derivadas parciales de f tambiense denotan como

fx =∂f

∂x=

∂z

∂x= zx

fy =∂f

∂y=

∂z

∂x= zy

Cuando n = 3, se considera w = f(x, y, z) y las derivadas parciales de ftambien se denotan como

fx =∂f

∂x=

∂w

∂x= wx

fy =∂f

∂y=

∂w

∂y= wy

fz =∂f

∂z=

∂w

∂z= wz

Ejemplo 3.18. Considere la funcion f(x, y) = x2y. Entonces

fx(x, y) = lımh→0

f(x + h, y) − f(x, y)

h= lım

h→0

(x + h)2y − x2y

h

= lımh→0

(x + h)2 − x2

h· y =

d(x2)

dx· y = 2xy

Similarmente,

fx(x, y) = x2.

Al calcularse la derivada parcial de f con respecto a la variable xj como ellımite de la variacion de los cocientes de diferencias de Newton a lo largo dela direccion del eje coordenado xj , ej , se mantienen fijas las restantes direc-ciones. Por esto, en lugar de calcular la derivada parcial de f con respectoa la variable xj mediante la definicion, la derivada parcial fxj

se puedencalcular de forma directa manteniendo las otras variables fijas y derivandocon respecto a la variable xj . Las reglas ordinarias de la derivacion aplican.


Ejemplo 3.19. Encuentre fx y fy si f(x, y) = x3y − x sen y.

Solucion. para encontrar fx se considera y constante y se deriva con res-pecto a x:

fx(x, y) = 3x2y − sen y.

Similarmente, para encontrar fy se considera x constante y se deriva conrespecto a y:

fy(x, y) = x3 − x cos y.

Ejemplo 3.20. Encuentre las derivadas parciales de la funcion f(x, y, z) =

xyze−x2−y2−z2

.

Solucion. Al igual que en el caso de las funciones de dos variables, cadavez que se va a derivar con respecto a una de las variable se consideran lasotras dos como constantes y se deriva aplicando las reglas ordinarias de laderivada. En este caso,

fx(x, y) = yze−x2−y2−z2

− 2x2yze−x2−y2−z2

fy(x, y) = xze−x2−y2−z2

− 2xy2ze−x2−y2−z2

fz(x, y) = xye−x2−y2−z2

− 2xyz2e−x2−y2−z2

Considere la grafica de funcion de dos variables z = f(x, y). El plano x = x0Interpretacion de las

derivadas parciales interseca la grafica de f en la curva plana de la figura y el valor fy(x0, y0)es la pendiente de la recta tangente a esta curva en el punto P .

b P (x0, y0, z0)

(x0, y0, 0)x y

z

Tambien, el plano y = y0 interseca la grafica de f en la curva plana de lafigura y el valor fx(x0, y0) es la pendiente de la recta tangente a esta curvaen el punto P .


bP (x0, y0, z0)

(x0, y0, 0)x y

z

Ejemplo 3.21. Considere el paraboloide de ecuacion f(x, y) = 9− x2 − y2.(a) El paraboloide y el plano x = 1 se intersecan en una curva C1. Encontrarlas ecuaciones parametricas de la recta tangente en (1, 1, 7). (b) Igualmente,el paraboloide y el plano y = 1 se intersecan en curva C2. Encontrar lasecuaciones parametricas de la recta tangente en (1, 1, 7). (c) Encuentre alecuacion del plano tangente al paraboloide en el punto (1, 1, 7).

Solucion. (a) Como fy(x, y) = −2y entonces fy(1, 1) = −2 es la pendientede la recta tangente a la curva en (1, 1, 7) y como esta recta tiene el vectordirector d1 = (0, 1,−2), entonces

x = 1, y = 1 + t, z = 7 − 2t

representan las ecuaciones parametricas de la recta tangente en (1, 1,−7).

(b) En este caso, fy(x, y) = −2x y fx(1, 1) = −2 es la pendiente de larecta tangente a C2 en (1, 1,−7). Como el vector director de esta recta esd2 = (1, 0,−2), entonces

x = 1 + t, y = 1, z = 7 − 2t

representan las ecuaciones parametricas de la recta tangente en (1, 1,−7).

(c) El vector normal al plano tangente esta dado por

η = d1 × d2 =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

i j k

0 1 −21 0 −2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= (−2,−2,−1).

y

−2(x − 1) − 2(y − 1) − (z + 7) = 0

representa la ecuacion del plano tangente en el punto (1, 1,−7).

Por ser las derivadas parciales de una funcion de varias variables otra funcionDerivadas parciales de

segundo orden de varias variables, se puede nuevamente intentar calcular sus derivadasparciales. Sea f : D ⊆ R

n → R una funcion de n variables. Las segundaderivada parcial fxixj

de f con respecto a las variables x1, . . . , xn en el puntox = (x1, . . . , xn) se define en forma vectorial como

fxjxk(x) = lım

h→0

fxj(x + hek) − fxj

(x)

h


para j, k = 1, . . . , n, si el lımite existe. Las segundas derivadas parciales de fse suelen llamar derivadas parciales de segundo orden, y tambien se denotande la siguiente forma:

fxjxk(x) =

(

fxj(x))

xk= fjk(x) =

∂

∂xk

(

∂f

∂xj

(x)

)

=∂2f

∂xk∂xj

(x)

Las segundas derivadas parciales fxjxkse llaman mixtas cuando j es dife-Segundas derivadas

parciales mixtas rente de k. Una funcion z = f(x, y) en dos variables tiene cuatro segundasderivadas parciales, de las cuales dos son derivadas parciales mixtas:

fxx =∂

∂x

(

∂f

∂x

)

=∂2f

∂x2

fxy =∂

∂y

(

∂f

∂x

)

=∂2f

∂y∂x

fyx =∂

∂x

(

∂f

∂y

)

=∂2f

∂x∂y

fyy =∂

∂y

(

∂f

∂y

)

=∂2f

∂y2

Operativamente hablando, es facil pensar como calcular las derivadas par-Derivadas parciales de

orden superior ciales de orden m de una funcion de n variables. Desde el punto de vistamatematico la notacion se complica un poco, pero no es sustancialmente im-portante en la comprension de lo que entenderemos como todas las derivadasparciales de orden m de f .

Las derivadas parciales de orden m de una funcion en n variables f se puedendenotar por

∂mf

∂xj11 ∂xj2

2 · · · ∂xjmn

en donde los escalares j1, . . . , jm son numeros enteros no negativos tales quej1 + j2 + · · · + jm = m. Es decir,

∂mf

∂xj11 ∂xj2

2 · · · ∂xjmn

=∂j1+j2+···+jmf

∂xj11 ∂xj2

2 · · ·∂xjmn

=∂j1

∂xj11

(

∂j2

∂xj22

(

· · ·

(

∂jmf

∂xjmm

))

)

Por ejemplo, si f es una funcion en cuatro variables x, y, z, w entonces unaderivada parcial de sexto orden de f es

∂6f

∂x2∂y∂w3=

∂2

∂x2

(

∂

∂y

(

∂3f

∂w3

))

:= f3012 := fw3yx2

Las derivadas parciales de orden m de f se pueden clasificar en dos cate-Derivadas parciales

mixtas de orden superior gorıas. Las derivadas parciales de exactamente orden m de f con respectoa la variable xk seran

∂mf

∂xmk

=∂

∂xk

(

∂

∂xk

(

· · ·

(

∂f

∂xk

)))

(m veces) para k = 1, . . . , n.

Cualquier otra derivada de orden m de f que no sea con respecto unicamentea una de las variables x1, . . . , xn seran las derivadas parciales mixtas deorden m de f .


Ejemplo 3.22. Encuentre las terceras derivadas parciales de la funcionf(x, y) = xey − 3 cos(x − y).

Solucion.

fx(x, y) = ey + sen(x − y) fy(x, y) = xey − sen(x − y)

fxx(x, y) = cos(x − y) fxy(x, y) = ey − cos(x − y)

fyx(x, y) = ey − cos(x − y) fyy(x, y) = xey + cos(x − y)

fxxx(x, y) = − sen(x − y) fxxy(x, y) = sen(x − y)

fxyx(x, y) = sen(x − y) fxyy(x, y) = ey − sen(x − y)

fyxx(x, y) = sen(x − y) fyxy(x, y) = ey − sen(x − y)

fyyx(x, y) = ey − sen(x − y) fyyy(x, y) = xey + sen(x − y)

En el ejemplo anterior, las derivadas parciales mixtas de segundo y tercer or-den son iguales: fxy = fyx, fxxy = fxyx = fyxx, fxyy = fyxy = fyyx. LeonardEuler establecio y demostro por primera vez en 1734, en relacion con susestudios de hidrodinamica, las condiciones que garantizaban esta igualdad.En general, este resultado se cumple bajo las siguientes condiciones.Proposicion 3.23. Sea f : D ⊆ R

n → R una funcion de varias variables.Las derivadas parciales mixtas con respecto a las mismas variables y deorden m de f son iguales si tales derivadas parciales son continuas.

En otras palabras, si f : D ⊆ Rn → R es una funcion de varias variables

cuyas derivadas parciales hasta de orden m son continuas entonces las deri-vadas parciales mixtas de f con respecto a las mismas variables y hasta deorden m son continuas.

Intuitivamente, la derivada parcial de una funcion de dos variables no existeProblema de la no

existencia de las

derivadas parciales

cuando la grafica de la funcion tiene dobleces, esquinas, huecos, hoyos opicos. Por ejemplo, la funcion f(x, y) = −x2|y| no tiene derivada parcialcon respecto a y en todo punto de la forma (x, 0), en donde x es un numeroreal cualquiera diferente de cero. Se observa de la figura que grafica de ftiene un doblez a lo largo del eje x debido a la funcion |y|. De acuerdo a ladefinicion de la derivada parcial de f ,

fy(x, 0) = lımh→0

f(x, 0 + h) − f(x, 0)

h= lım

h→0

−x2|h|

h=

{

x2 si h → 0−

−x2 si h → 0+

Como el lımite no es unico para todo x diferente de cero, entonces fx(x, 0)no existe para todos esos valores de x; no obstante, fy(0, 0) = 0. Tambiense puede demostrar que la derivada parcial fx(0, 0) existe y es cero.

x y

z


Ejemplo 3.24. Sea f(x, y) = −x2|y|. (a) Determine si existen un plano quepasa por el punto (0, 0, 0) de la grafica de f . En caso afirmativo, encuentrela ecuacion del plano. (b) ¿Es el plano tangente a la grafica de f en (0, 0, 0)?¿Se puede garantiza que el plano tangente a la grafica de f en (0, 0, 0) existe?(c) ¿Que relacion se puede establecer entre la existencia de las derivadasparciales en un punto y la existencia de un plano tangente a la grafica de fen ese mismo punto?

Solucion. (a) Ambas derivadas parciales fx(0, 0) y fy(0, 0) existen y soncero. Por lo tanto, los vectores directores a las rectas tangentes cuandox = 0 y y = 0 son d1 = (0, 1, 0) = j y d2 = (1, 0, 0) = i, respectivamente.La existencia de esto dos vectores no colineales determina la existencia delplano que pasa por el punto (0, 0, 0) de la grafica de f . El vector normal alplano es η = j × i = −k y la ecuacion del plano que pasa por (0, 0, 0) esz = 0.

(b) El plano que pasa por el punto (0, 0, 0) existe, pero desafortunadamenteno es tangente a la grafica en ese punto. Este hecho se puede observardirectamente de la grafica de f . Formalmente, por ejemplo los dos puntos(0, 0, 0) y (0, 2, 0) son distintos y pertenecen tanto a la grafica de f como alplano z = 0. Esto nos garantiza que existe un plano que pasa por el punto(0, 0, 0) de la grafica de f pero no es tangente a la grafica de f en (0, 0, 0).En consecuencia, no existe un plano tangente a la grafica de f en (0, 0, 0).

(c) Este ejemplo permite concluir que en general la existencia de las deriva-das parciales de una funcion en varias variables no garantizan la existenciadel plano tangente a la grafica de la funcion. Cosa bien distinta sucede enlas funciones de una variable en donde la existencia de la derivada de lafuncion implica la existencia de la recta tangente a la grafica de la funcion.En conclusion, la existencia de las derivadas parciales de una funcion en masde una variable no garantiza la existencia del plano tangente a la grafica dela funcion.

Intuitivamente una funcion en dos variables se puede considerar “suave” siFunciones suaves de

varias variables su grafica no tiene dobleces, esquinas, huecos, hoyos o picos. El problema escomo convertir esta nocion intuitiva de suavidad en una nocion matematicaque aplique a cualquier funcion en varias variables. Al igual que en funcionesde una variable, la clave esta en la existencia de las derivadas parciales.Definicion 3.25. Una funcion de varias variables f : D ⊆ R

n → R se dice“suave” de orden k en D si las derivadas parciales de orden k de f existeny son continuas para todo x en D. Se asume que f tiene suavidad de ordencero si f es continua, y que f es suave si f tiene suavidad de cualquierorden.Ejemplo 3.26. La funcion f(x, y) = x|x|y4 tiene suavidad de orden ceroy de primer orden, pero no tiene suavidad de segundo orden ni de ningunorden mayor que dos. Claramente f es continua, y las primeras derivadasparciales de f existen y son continuas:

fx(x, y) = 2|x|y, fy(x, y) = 4x|x|y3.

No obstante, la segunda derivada parcial fxx de f no existe a largo de todo


punto (0, y) en el eje y, con y 6= 0:

fxx(0, y) = lımh→0

fx(0 + h, y) − f(0, y)

h= lım

h→0

2|0 + h|y − 2|0|y

h

= lımh→0

|h|

h(2y) =

{

−2y si h → 0−

2y si h → 0+

Por lo tanto f tiene suavidad de primer orden.

Aparentemente la diferenciabilidad de una funcion f en varias variables es,Diferenciabilidad

en cierto modo, una medida de que tan suave es la funcion. ¿Y por que tantoruido con la diferenciabilidad? Bien, se me ocurre explicarlo de otra maneraque no sea la del mecanismo que decide que tan suave es no una funcion envarias variable, y ella es una razon practica. Aunque pueda parecer una ideasin sentido, la diferenciabilidad de f es de gran utilidad en el campo de lasaplicaciones; en particular, desde el punto de vista computacional. Supongaque f es una funcion de varias variables que involucra funciones trascen-dentes. En la practica los valores de f(x) para un x dado, no se podranobtener de forma exacta; de hecho, ni las calculadoras y computadoras masavanzadas de hoy dıa lo pueden hacer. Lo que se hace es recurrir a estimaruna aproximacion de f(x) mediante el valor p(x) de un polinomio lineal pen n variables. ¿Porque un polinomio lineal? Porque ellos son los polino-mios de menor grado en n variables que involucran las cuatro operacioneselementales con las cuales los seres humanos y las computadoras sabemosoperar: suma, resta, multiplicacion y division en sus variables.

Tratemos de entender lo que vamos a hacer. Empecemos por el caso massencillo. En las funciones de una variable el valor de f(x) es aproximado porel valor de un polinomio lineal p(x) que representa la ecuacion de la rectatangente a la grafica de f en el punto (x0, f(x0)), en donde x0 un valor muycercano a x. Si pretendemos seguir este camino para el caso de las funcionesf en varias variables y tratamos encontrar la ecuacion del plano tangentemediante las derivadas parciales como se hizo en el Ejemplo 3.21, nos vamosa encontrar con una seria dificultad. En el Ejemplo 3.24 se muestra el casode una funcion que tiene derivadas parciales en un punto, pero no tiene unplano tangente a la grafica de la funcion en ese punto. En ese caso la funcionf no es suave, tiene un doblez a lo largo del eje x. Debemos intuir entoncesque parte de la medida que tan suave es una funcion f de varias variablesesta ligada a la existencia de sus derivadas parciales. Lo que no esta claro escomo esto eventualmente implique que se puedan aproximar localmente losvalores de f(x) por los valores p(x) de un polinomio lineal p en n variablesque pasa por el punto (a, f(a)).

No nos desanimemos y continuemos. Si la idea previa de encontrar la ecua-cion de un plano tangente a la grafica de una funcion en mas de una variablecon las derivadas parciales no funciona, busquemos otra manera de hacer-lo, y ademas tratemos de disenar algun instrumento (matematico) que nosindique cuando nos vamos a enfrentar a ese dificultad.

De ser f suave alrededor de un punto (a, f(a)), esperamos (lo mismo quesucede con funciones de una variable) que los valores f(x) de la funcionen puntos x muy cercanos a a, se puedan aproximar localmente por losvalores p(x) de un polinomio lineal p en n variables que pasa por el punto(a, f(a)). Obviamente existira un error en esta aproximacion y debera ser


posible estimarlo de la forma

|f(x) − p(x)|,

para todo x cercano a a; cercanıa que dependera de que tan distante seencuentre x de a y la cual se mide por ‖x − a‖.

Como el error en la aproximacion de p(x) a f(x) depende que tan cercanoeste x de a, se requiere entonces que error en la aproximacion |f(x)− p(x)|relativo a la distancia entre x y a tienda a cero siempre que x este muycercano de a; i.e.,

|f(x) − p(x)|

‖x − a‖→ 0 siempre que x → a,

o en otras palabras

lımx→a

|f(x) − p(x)|

‖x − a‖= 0.

Si definimos el error1 (no absoluto) E(x, a) como

E(x, a) :=f(x) − p(x)

‖x − a‖,

entonces tendremos que

f(x) = p(x) + E(x, a) ‖x − a‖

donde

lımx→a

|E(x, a)| = 0.

Evidentemente, esto nos indica que el valor f(x) es aproximado por el valorde p(x) y que el error E(x, a) ‖x − a‖ en esa aproximacion es muy pequeno,casi cero, en cercanıas de a.

Nos queda aun por establecer la cuestion de como obtener el polinomio linealp. Del Calculo de funciones en una variable sabemos que las valores de f(x)se pueden aproximar por los valores de la recta tangente (un polinomio linealen una variable) a la grafica de f en un punto (x0, f(x0)), donde el valor xesta suficientemente cercano al valor x0. Recordemos que la pendiente de larecta tangente en el punto (x0, f(x0)) esta dada por

f ′(x0) = lımx→x0

f(x) − f(x0)

x − x0,

si el lımite existe. Supongamos que el lımite existe. El lımite anterior significaque existe un numero m = f ′(x0) tal que

lımx→x0

|f(x) − f(x0) − m(x − x0)|

|x − x0|= 0.

De nuevo, al definir el error E(x, x0) de la forma

E(x, x0) :=f(x) − f(x0) − m(x − x0)

|x − x0|

1 ¿Porque esta definicion es consistente?


tendremos que f es derivable en x0 si existe un numero m = f ′(x0) tal que

f(x) = f(x0) = m(x − x0) + E(x, x0)|x − x0|

donde

lımx→x0

|E(x, x0)| = 0.

Es claro entonces como generalizar esta idea al problema de la aproximacionde los valores de una funcion en n variables mediante un polinomio linealen n variables.Definicion 3.27. Se dice que una funcion f en n variables es diferenciableDiferenciabilidad,

aproximacion lineal y

plano tangente

en a si existe un vector Df(a) en Rn tal que

f(x) = f(a) + Df(a) · (x − a) + E(x, a) ‖x − a‖

donde

lımx→a

|E(x, a)| = 0.

El vector Df(a) se llama la derivada o gradiente de f en a, y se sueleEl gradiente

denotar por ∇f(a).

Si f es diferenciable en a, entonces el polinomio lineal en n variables

p(x) = f(a) + Df(a) · (x − a)

se llama la ecuacion cartesiana del plano tangente a f que pasa por el punto(a, f(a)), y ası la diferenciabilidad de f en a es equivalente a la existenciade un plano en el cual el punto p(x) aproxima el valor de f(x) en el sentidoindicado anteriormente.Observacion 3.28. Al reescribir la ecuacion del polinomio p en la formavectorial:

(Df(a), 1) · (x − a, p(x) − f(a)) = 0

concluimos que el vector (Df(a), 1) es normal a la “grafica” de f en el punto(a, f(a)), y que efectivamente el polinomio lineal p(x) dado es la ecuacionde un plano tangente a f en el punto (a, f(a)). ¡Voila! Podemos decir queresolvimos nuestro problema, aun sea necesario un poco mas de formalismopara establecer que esta conjetura es cierta (cf. Proposicion ??).Observacion 3.29. Muchos problemas en la fısica e ingenierıa requierendel uso de metodos vectoriales o matriciales relacionados con funciones devarias variables, el llamado analisis vectorial. El ejemplo mas evidente ynecesario es el de obtener una notacion eficiente de la regla de la cadena.En este caso los vectores Df(x0) y ∇f(a) son diferentes. Primero que todo,se deben considerar los vectores de R

n como matrices en Rn×1 de n filas y

una columna y redefinir su producto escalar: si x y y son dos vectores deR

n ≡ Rn×1, entonces se define el producto escalar entre x y x por

x · y = xT y = x1y1 + · · · + xnyn,

donde xT representa la transpuesta de x, una matriz de orden 1 × n.

Segundo, si la funcion en n variables f : D ⊆ Rn → R es diferenciable en

a entonces la derivada de f en a, Df(a) existe y es una matriz de orden


1× n. El gradiente de f en a, ∇f(a), es la matriz de orden n× 1 obtenidacomo la transpuesta de la derivada Df(a):

∇f(a)T = Df(a),

o viceversa: Df(a)T = ∇f(a). De acuerdo con esta notacion, el polinomiodel plano tangente a la grafica de f en (a, f(a)) tendra la forma

p(x) = f(a) + ∇f(a) · (x − a)

= f(a) + ∇f(a)T (x − a)

= f(a) + Df(a)(x − a)

en donde x − a se considera como una matriz de orden n × 1.

Ahora el problema de aproximar los valores de f(x) mediante los valores delpolinomio p(x) se reduce a poder encontrar el gradiente (o la derivada) de f .Vamos por partes. Al igual que en el caso de funciones en una variable, paraempezar se debe establece la unicidad de la derivada y que derivabilidadimplica continuidad.Proposicion 3.30. Si el gradiente de la funcion f : D ⊆ R

n → R en nvariables existe en un punto a, entonces el gradiente es unico.

Entre otras cosas, este resultado nos garantiza que existe un unico planotangente a la grafica de f y en consecuencia existe un unico polinomio p(x)que satisface el punto (a, p(x)) y permite aproximar el valor de f(x) parax en cercanıa de a.Proposicion 3.31. Si la funcion f : D ⊆ R

n → R en n variables esContinuidad y

diferenciabilidad diferenciable en a en D, entonces f es continua en a.

Demostracion. Si f es diferenciable en a,

f(x) = f(a) + ∇f(a) · (x − a) + E(x, a) ‖x − a‖

en donde

lımx→a

|E(x, a)| = 0.

Por lo tanto,

0 ≤ |f(x) − f(a)| ≤ |∇f(a) · (x − a)| + |E(x, a)| ‖x − a‖

= ‖∇f(a)‖ ‖x − a‖ | cos θ| + |E(x, a)| ‖x − a‖

≤ ‖∇f(a)‖ ‖x − a‖ + |E(x, a)| ‖x − a‖

en donde los terminos del lado derecho de la ultima desigualdad tienden acero cuando x → a, y entonces

lımx→a

f(x) = f(a).

Por lo tanto, f es continua en a.

Hasta ahora seguimos sin disponer de una herramienta para encontrar elDiferenciabilidad y

existencia de las

derivadas parciales

gradiente de una funcion de varias variables, y de por si la definicion no esutil para hacerlo. Sin embargo, y como se vera a continuacion, la diferencia-bilidad de la funcion implica la existencia de sus derivadas parciales y unaforma de calcular el gradiente de la funcion.


Proposicion 3.32. Si la funcion de n variables f : D ⊆ Rn → R es

diferenciable en x, entonces las primeras derivadas parciales de f existenen x y ademas el gradiente es el vector de esas derivadas parciales en x:

∇f(x) =

(

∂f

∂x1(x), . . . ,

∂f

∂xn

(x)

)

Demostracion. Si f es diferenciable en a, entonces

lımx→a

|f(x) − f(a) −∇f(a) · (x − a)|

‖x − a‖= 0

Sea x = a + hej . Entonces

lımx→a

|f(a + hej) − f(a) − h(∇f(a))j |

|h|= 0

o tambien,

lımx→a

∣

∣

∣

∣

f(a + hej) − f(a)

h− (∇f(a))j

∣

∣

∣

∣

= 0.

Esto implica que

lımx→a

f(a + hej) − f(a)

h= (∇f(a))j

y por tanto,

∂f

∂xj

(a) = (∇f(a))j ,

la j–esima componente del gradiente.

No obstante lo anterior, poder obtener el gradiente de f depende que fsea diferenciable, cosa que aun no sabemos como establecer ni condicionesque las garantizan. Afortunadamente el siguiente criterio nos resuelve elproblema.Proposicion 3.33. Si la funcion f : D ⊆ R

n → R en varias variables tieneprimeras derivadas parciales en todo punto cercano a a y si ademas esasderivadas parciales son continuas en x, entonces f es diferenciable en a.

El siguiente diagrama resume los resultados anteriores.

Definicion dediferenciabilidad

Parciales continuas DiferenciabilidadExistencia de las

derivadas parciales

Continuidad Gradiente

Obviamente este diagrama nos dice tambien que la existencia del gradienteno implica que la funcion es continua. ¿Existe un ejemplo?


Ejemplo 3.34. Mostrar que la funcion

f(x, y) =x2 − y2

x2 + y2

es diferenciable en todos en plano xy excepto en el origen.

Solucion. Las derivadas parciales de f

∂f

∂x=

2x(x2 + y2) − 2x(x2 − y2)

(x2 + y2)2=

4xy2

(x2 + y2)2

∂f

∂y=

−2y(x2 + y2) − 2y(x2 − y2)

(x2 + y2)2=

−4x2y

(x2 + y2)2

son continuas excepto cuando (x, y) = (0, 0). La Proposicion 3.31 y su con-trarrecıproco garantizan que f es diferenciable en todos los puntos del planoxy con excepcion del origen. Ademas la Proposicion 3.32 garantiza que elgradiente de f existe y esta definido por

∇f(x, y) =4xy

(x2 + y2)2(y,−x)

todos los puntos del plano xy con excepcion del origen.

Tenemos un asunto por resolver respecto a la diferenciabilidad de funcionesde varias variables. A la diferencial se le debe exigir que cumpla las mismaspropiedades de la derivada usual: Si f, g son funciones en varias variables ydiferenciables y c es un escalar, entonces las funciones f + g y cf deben serdiferenciables y

D(f + g) = Df + Dg

D(cf) = cD(f)

Es decir, D debe ser una transformacion lineal, y Df(x) es un vector (W.H.Young, 1908; M. Frechet, 1911). A continuacion se establece que las propie-dades algebraicas del gradiente se comportan como las reglas usual de lasderivadas.Proposicion 3.35. Supongamos de los gradiente de las funciones f y gReglas del gradiente

existen. Entonces

1. ∇(f(x) + g(x)) = ∇f(x) + ∇g(x)

2. ∇(cf(x)) = c∇f(x)

3. ∇(f(x)g(x)) = f(x)∇f(x) + g(x)∇f(x)

4. ∇

(

f(x)

g(x)

)

=g(x)∇f(x) − f(x)∇g(x)

g2(x)

Demostracion.

∇(fg) =

(

∂(fg)

∂x1, . . . ,

∂(fg)

∂xn

)

=

(

f∂g

∂x1+ g

∂f

∂x1, . . . , f

∂g

∂xn

+ g∂f

∂xn

)

= f

(

∂g

∂x1, . . . ,

∂g

∂xn

)

+ g

(

∂f

∂x1, . . . ,

∂f

∂xn

)

= f∇g + g∇f

Las otras demostraciones son similares.


Ejemplo 3.36. Encuentre la derivada de f si f(x, y) = (x2−y2)/(x2 +y2).

Solucion. De las reglas de la derivada, y la Proposicion 3.32 el gradienteo derivada de f existe y esta definido por

∇f(x, y) =

(

2x(x2 + y2) − 2x(x2 − y2)

(x2 + y2)2,−2y(x2 + y2) − 2y(x2 − y2)

(x2 + y2)2

)

=

(

4xy2

(x2 + y2)2,

−4x2y

(x2 + y2)2

)

para todo punto del plano con excepcion del origen.

Si f es una funcion de n variables y diferenciable en a entoncesDiferenciales

f(x) − f(a) = ∇f(a) · (x − a) + E(x, a) ‖x − a‖

en donde

lımx→a

E(x, a) = 0.

Sea ∆f(x) = f(x − f(a) el incremento de f , y ∆x = x − a el incrementoen x. Entonces

∆f(x) = ∇f(a) · ∆x + E(x, a) ‖∆x‖

en donde

lım∆x→0

E(x, a) = 0.

Tenemos ası que ∇f(a) · ∆x sera una buena aproximacion del incremento∆f(x). Esto sugiere la siguiente definicion.Definicion 3.37. Sea f una funcion diferenciable, y sea dx = (dx1, . . . , dxn)el vector diferencial de x (el vector de los diferenciales dx1, . . . , dxn dex1, . . . , xn). La diferencial (total) de f , denotada como df(x), se define enforma vectorial como

df(x) = ∇f(x) · dx

o en forma cartesiana como

df(x1, . . . , xn) =∂f

∂x1(x1, . . . , xn)dx1 + · · · +

∂f

∂xn

(x1, . . . , xn)dxn

Ejemplo 3.38. Encuentre la ecuacion del plano tangente a f(x, y) = x2+y2

en el punto (1, 1, 2).

Solucion. Observe que ∇f(x, y) = (2x, 2y). Por lo tanto

z − 2 = 2(x − 1) + 2(y − 1)

o bien

2x + 2y − z = 2


La diferencial con el uso adquirio el nombre de gradiente o campo gradiente,El campo gradiente

debido a que este vector genera un campo vectorial que es tangente en cadapunto a las curvas de nivel de f . El gradiente asociado con cada punto x

en el dominio de f es el vector ∇f(x). El conjunto de todos esos vectoresen R

n se llama el campo gradiente de f . Geometricamente, el gradiente serepresenta una flecha de origen en x y extremo x+∇f(x). Si z = 9−x2−y2

entonces ∇f(x, y) = −2(x, y)

La Regla de la cadena establece condiciones para la existencia de la derivadaRegla de la cadena

de la composicion de funciones, y una forma de calcularla. Las funciones devarias variables se pueden componer, hasta el momento, con una funcion deuna variable o una funcion de una variable:

D ⊆ Rn If ⊆ I ⊆ R R

x f(x) h(f(x))

f h

h◦f

o de una funcion vectorial con una funcion de varias variables

I ⊆ R IR ⊆ D ⊆ Rn

R

t R(t) f(R(t))

R f

f◦R

En el primer caso la composicion es una funcion en varias variables y en elsegundo una funcion escalar o de una variable.Proposicion 3.39. Sean f : I ⊆ R

n → R una funcion de n variables yh : I ⊆ R → R una funcion escalar tales que la interseccion If ∩ Dh es novacıa. Se define la funcion compuesta v = h ◦ f como

v(t) = h(f(x)).

Si f es diferenciable es x y h es derivable en f(x) entonces v es diferenciableen x y es igual

∇v(x) = h′(f(x))∇f(x)

Sea t = f(x). Entonces la derivada ∇v(x) = h′(t)∇f(x) se podra escribirde la forma

∂v

∂x1=

dh

dt

∂f

∂x1

Proposicion 3.40. Sean R : I ⊆ R → Rn una funcion vectorial y f : D ⊆

Rn → R una funcion de n variables tales que la interseccion IR ∩Df es no

vacıa. Se define la funcion compuesta u = f ◦ R como

u(t) = f(R(t)).

Si existe un punto t en el que R′(t) existe y f es diferenciable en R(t)entonces u′(t) existe y es igual al producto escalar

u′(t) = ∇f(R(t)) · R′(t)

Las componentes de x = R(t) dependeran de t: R(t) = x = (x1(t), . . . , xn(t)).Entonces la derivada u′(t) = ∇f(x) · R′(t) se podra escribir de la forma

du

dt=

∂f

∂x1

dx1

dt+ · · · +

∂f

∂xn

dxn

dt


3.4. Gradientes y derivadas direccionales

Las derivadas direccionales son especialmente importantes para establecerun sentido fısico y geometrico de la derivada o gradiente de una funcion fen n varias variables, y en especial para demostrar que el polinomio linealen n variables, p(x) = f(a) + ∇f(a) · (x − a) representa efectivamente laecuacion del plano tangente a la grafica de f en el punto de coordenadas(a, f(a)); asunto que aun esta por demostrar.Definicion 3.41. Sea f : D ⊆ R

n → R una funcion de n variables. SeDerivada direccional

define la derivada de f en a en la direccion del vector u como

Duf(a) = lımh→0

f(a + hu) − f(a)

h,

si el lımite existe. Si u es un vector unitario, Duf(a) se llama la derivadadireccional de f en a en la direccion u.Proposicion 3.42. Si f es diferenciable en a entoncesDiferenciabilidad y

derivada direccionalDuf(x0) = ∇f(x0) · u.

Demostracion. Si f es diferenciable en a las derivadas parciales de f ena existen y ademas

f(x) = f(a) + ∇f(a) · (x − a) + E(x, a) ‖x − a‖

en donde E(x, a) → 0 cuando t → 0. Supongamos que x es un punto enla recta x = a + hu para algun escalar h. Observe que x → a si y solo sih → 0. Por lo tanto,

f(a + hu) − f(a)

h= ∇f(a) · u ± E(a + hu, a)

en donde E(a+hu, a) → 0 cuando h → 0. Como el lımite del lado izquierdode esta ecuacion existe, entonces se concluye que Duf(a) existe. Tomandolımite cuando h tiende a cero en ambos lados de la ecuacion anterior seobtiene el resultado.

Proposicion 3.43. Si ∇f(a) es diferente de cero, entonces ∇f(a) apuntaSentido geometrico del

gradiente en la direccion a lo largo de la cual f crece mas rapido.

Demostracion. Si u es un vector unitario entonces

Duf(a) = ∇f(a) · u = ‖∇f(a)‖ ‖u‖ cos θ = ‖∇f(a)‖ cos θ,

donde θ representa el angulo entre u y ∇f(a). Este angulo es maximocuando θ = 0; esto es, cuando u y ∇f(a) son paralelos. Se considera en lahipotesis que ∇f(a) 6= 0, porque si ∇f(a) = 0 entonces Duf(a) = 0 paracualquier u.

Es decir, si nos queremos mover en la direccion en la cual f crece masrapido, debemos hacerlo en la direccion ∇f(a). Analogamente, si deseamosmovernos en la direccion en la cual f decrece mas rapido, debemos hacerloen la direccion −∇f(a).

La siguiente proposicion establece una relacion directa entre el gradiente ylas curvas de nivel.


Proposicion 3.44. Sea f : Rn → R una funcion con primeras derivadasSentido geometrico del

gradiente parciales continuas y a un punto en el conjunto de nivel Lk(f) definida porf(x) = k, para alguna constante k. Entonces ∇f(a) es normal a Lk(f) en elsiguiente sentido: para todo vector v tangente a una trayectoria C en Lk(f)que pasa por a se cumple que ∇f(a) · v = 0.

Demostracion. Si C es una trayectoria en Lk(f) que pasa por a y estadefinida por R(t), entonces existe un escalar t0 tal que R(t0) = a y ademasf(R(t0)) = k. Como v es tangente a C en a entonces v y R′(t0) son colineales.Sin perdida de generalidad supongamos que v = R′(t0). Ası que derivandoen ambos lados de la ecuacion f(R(t0)) = k con respecto a t y aplicando laregla de la cadena tenemos que

0 =d

dtf(R(t0)) =

d

dtf(R(t))

∣

∣

∣

∣

t=t0

= ∇f(R(t)) · R′(t)

∣

∣

∣

∣

t=t0

= ∇f(R(t0)) · R′(t0) = ∇f(a) · v

Definicion 3.45. Sea S el conjunto de nivel n–dimensional formada porPlano tangente

los puntos x en Rn tales que f(x) = k, para k una constante dada. El plano

tangente a S en un punto a de S se define por la ecuacion vectorial

∇f(a) · (x − a) = 0

si ∇f(a) es diferente del vector nulo.Proposicion 3.46. Sea f una funcion en n variables que es diferenciableSentido geometrico del

gradiente en a. Entonces la ecuacion del plano tangente a la grafica de f en el puntode coordenadas (a, f(a)) esta dada por el polinomio lineal en n variables,

p(x) = f(a) + ∇f(a) · (x − a).

Demostracion. Consideremos el caso n = 2 y sea z = f(x, y). Sea gla funcion en tres variables definida de la forma g(x, y, z) = f(x, y) − z.Observe que la grafica Gf de f coincide con la curva de nivel Lk(g) de gcuando k = 0; es decir, Gf = L0(g). Entonces tendremos que el vector∇g(x0, y0, z0) = (fx(x0, y0), fy(x0, y0),−1) = (∇f(x0, y0),−1) es normal ala grafica de f en el punto (x0, y0, z0) = (x0, y0, f(x0, y0)). En consecuencia,este vector y este punto determinan un plano tangente a la grafica de f ental punto, y su ecuacion esta dada de la forma,

(∇f(x0, y0),−1) · (x − x0, y − y0, z − f(x0, y0)) = 0;

o lo que es lo mismo,

z = f(x0, y0) + ∇f(x0, y0) · (x − x0, y − y0).

3.5. Extremos de funciones de varias variables

Sea f : D ⊆ Rn → R una funcion y M un subconjunto de R

n tal que lainterseccion D ∩ M es no vacıa; usualmente se considera M es un subcon-junto del dominio D de f . Un problema de optimizacion no lineal tiene laestructura estandar dada por

mın{f(x) | x ∈ M}


o

max{f(x) | x ∈ M},

donde M es un subconjunto de Rn, el cual puede representar o no una

trayectoria en Rn.

Por ejemplo, M puede ser la bola n–dimensional

B(O, r) = {x ∈ Rn | ‖x‖ ≤ r}

con centro en el origen de Rn y radio positivo r; o el conjunto de nivel

Lk(g) = {x ∈ Rn | g(x) = k},

donde k es una constante apropiada. Cuando M = B(O, r), el problema sesuele llamar de optimizacion global, y cuando M = Lk(g) un problema deoptimizacion con restricciones. Ambos tipos de problemas de optimizacionseran discutidos en esta seccion.

3.5.1. Extremos locales y optimizacion global

Un problema de optimizacion sin restricciones (o global) consiste en el pro-blema de encontrar los extremos locales o extremos absolutos de una ciertafuncion f de varias variables, donde f se considera definida en todo sudominio. Se estudian resultados que garantizan condiciones que permitenestablecer cuales son los extremos locales de f , si ellos existen. Como ve-remos, el criterio de la primera derivada para funciones de una variable nose puede extender al caso de funciones de varias variables. La extensiondel criterio de la segunda derivada es posible y su demostracion require delteorema de Taylor para funciones variables. Las condiciones que permitencuales son los extremos locales de f requieren de algunos resultados de Alge-bra Lineal. Finalmente, es oportuno aclarar que desafortunadamente no sepueden establecer criterios que permitan encontrar los extremos absolutosde un problema de optimizacion sin restricciones.

Para a en Rn y ǫ > 0, B(a, ǫ) denota la vecindad (abierta) de a de radio ǫ

definida como

B(a, ǫ) = {x ∈ Rn | ‖x − a‖ < ǫ}

Maximos, mınimos y puntos de silla

Primero que todo consideremos un subconjunto M de Rn que no sea una

trayectoria.Definicion 3.47. Sea f : D ⊆ R

n → R una funcion de varias variables y Mun subconjunto de R

n tal que M ⊆ D. Se dice que f tiene un mınimo localo relativo en un punto a de M si existe una vecindad abierta U de a en Mtal que f(x) ≥ f(a) para todo x en U . El numero f(a) se llama el mınimorelativo de f en M . Se dice que f tiene un mınimo global o absoluto en unpunto a de M si f(x) ≥ f(x) para todo x en M , y el numero f(a) se llamael maximo global/absoluto de f en M . Si las dos anteriores desigualdades secumplen en el sentido estricto, se dice que f tiene un mınimo local estrictoen M y un mınimo global estricto en M , respectivamente.

El maximo local o relativo y el maximo global o absoluto se definen de formasimilar.


Definicion 3.48. Un extremo local (absoluto) es un numero que es un mıni-mo local (absoluto) o un maximo (global). Por convencion, un extremo seraun extremo absoluto y un maximo o un mınimo seran un maximo ab-

soluto o un mınimo absoluto.

Las siguientes definiciones y resultados son necesarios para obtener el criteriode la segunda derivada para funciones de varias variables.

Teorema de Taylor de segundo orden

Si f es diferenciable en a y tiene un punto crıtico en a entonces

f(x) − f(a) = E1(x, a) ‖x − a‖

donde E1(x, a) → 0 cuando x → a. Por lo tanto, se necesita mas informa-cion de f en a en terminos de E1(x, a) ‖x − a‖ para determinar el signoalgebraico de f(x)− f(a). El Teorema de Taylor de segundo orden permiteresolver esta dificultad.Definicion 3.49. Sea f : D ⊆ R

n → R una funcion de varias variables conLa matriz hessiana y el

hessiano segundas derivadas parciales ∂2f/∂xi∂xj continuas. La matriz hessiana

de f es la matriz de las segundas derivadas parciales de f ,

[

∂2f

∂xi∂xj

(x)

]

=

∂2f

∂x2

1

(x) ∂2f∂x1∂x2

(x) · · · ∂2f∂x1∂xn

(x)∂2f

∂x2∂x1

(x) ∂2f

∂x2

2

(x) · · · ∂2f∂x2∂xn

(x)

......

. . ....

∂2f∂xn∂x1

(x) ∂2f∂xn∂x2

(x) · · · ∂2f∂x2

n(x)

y se denota como D2f(x). Observemos que la matriz hessiana es una matrizcuadrada de orden n y simetrica. El determinante de la matriz hessiana def se llama el hessiano de f . Ademas,

D2f(x) =[

∇(

∂f∂x1

(x))

∇(

∂f∂x2

(x))

· · · ∇(

∂f∂xn

(x))]

El termino “hessiana” fue acunado por James Joseph Sylvester en honordel matematico aleman Ludwig Otto Hesse, quien habıa usado el termino“determinantes funcionales”.Proposicion 3.50. Sea f : D ⊆ R

n → R una funcion de varias variablesFormula de Taylor de

segundo orden con segundas derivadas parciales ∂2f/∂xi∂xj continuas en una vecindad Vde a. Entonces para x en V se tiene

f(x) = f(a) + Df(a)(x − a) +1

2!(x − a)T D2f(a)(x − a)

+ E2(x, a) ‖x − a‖2

en donde E2(x, a) → 0 cuando x → a.

Demostracion. Sea {a + td | t ∈ R} la ecuacion de la recta que pasa porel punto a en la direccion del vector d = x−a. Definamos la funcion escalarφ(t) = f(a + td). Observe que φ tiene segundas derivadas continuas en unavecindad de t = 0 tal que φ(0) = f(a) y φ(1) = f(x). Por el Teorema deTaylor para funciones de una variable,

φ(1) = φ(0) + φ′(0) +1

2!φ′′(c), donde 0 < c < 1.


De la regla de la cadena,

φ′(0) =d

dtf(a + td)

∣

∣

∣

∣

t=0

= Df(a)d = ∇f(a) · d

y

φ′′(c) =d

dt(Df(a + td) d)

∣

∣

∣

∣

t=c

=

(

d

dtDf(a + td)

∣

∣

∣

∣

t=c

)

d

= (D2f(a + cd)d)d ≡ dT D2f(a + cd)d,

en notacion vectorial. Ahora definamos E2(d + a, a) por la ecuacion

E2(d + a, a) ‖d‖2 =1

2!dT [D2f(a + cd) − D2f(a)]d,

si d 6= O, y E2(a, O) si d = O. Entonces,

f(x) = f(a) + Df(a)d +1

2!dT D2f(a)d + E2(a + d, a) ‖d‖2 .

Como

∣

∣

∣dT [D2f(a + cd) − D2f(a)]d

∣

∣

∣

≤

n∑

i=1

n∑

j=1

∣

∣

∣

∣

∂2f

∂xi∂xj

(a + cd) −∂2f

∂xi∂xj

(a)

∣

∣

∣

∣

‖d‖2,

se tiene que

|E2(d + a, a)| ≤1

2!

n∑

i=1

n∑

j=1

∣

∣

∣

∣

∂2f

∂xi∂xj

(a + cd) −∂2f

∂xi∂xj

(a)

∣

∣

∣

∣

para d no nulo. Como las segundas derivadas parciales son continuas en a,entonces

lımd→0

∂2f

∂xi∂xj

(a + cd) =∂2f

∂xi∂xj

(a),

ası que E2(d+a, a) → 0 cuando d → 0. Observe que x → a cuando d → O.Esto termina la demostracion.

Condiciones para la existencia de extremos

Para dar condiciones necesarias y suficientes para la existencia de extre-mos locales se consideran resultados de Algebra Lineal avanzada. Estos re-sultados conciernen a los topicos de matrices simetricas, formas bilineales,matrices definido positivas y definido negativas, valores y vectores propios.Este enfoque fue apropiadamente establecido por James Joseph Sylvester,especialmente, y aunque solo se considera parte de su teorıa, se recomiendala lectura de libros avanzados en estos topicos cuando se requiera realizaraplicaciones matematicas que involucren el problema de determinar los ex-tremos relativos de funciones en mas de dos variables.Proposicion 3.51. Si f tiene primeras derivadas parciales continuas enCondiciones necesarias de

primer orden M y f tiene un mınimo local en a entonces Df(a) = O.


Demostracion. Supongamos que Df(a) 6= O. Entonces existe un vectorno nulo ξ en R

n tal que Dξf(a) = Df(a) · ξ = α < 0 (Por ejemplo ξ =−Df(a)T = −∇f(a)).

Considerando la variacion de f a lo largo de la linea recta que pasa por a

en la direccion del vector ξ, se tiene la funcion escalar

φ(t) = f(a + tξ)

Por la regla de la cadena, φ′(t) = Df(a + tξ)ξ. Como φ(0) = f(a) y φ esdiferenciable en t = 0, del teorema de Taylor en funciones de una variabletenemos que si t 6= 0

φ(t) = φ(0) + φ′(0)t + E1(t, 0)|t| = φ(0) + t

(

φ′(0) +E1(t, 0)|t|

t

)

Como E1(t,0)|t|t

→ 0 cuando t → 0 y φ′(0) = Df(a)ξ = α < 0 entonces

existe un t0 tal que φ′(0) + E1(t,0)|t|t

≤ α2 para todo t ∈ (0, t0). Entonces

φ(t) ≤ φ(0) +1

2αt

para todo t ∈ (0, t0). Como α < 0 esto implica que

φ(t) < φ(0),

o lo que es igual

f(a + tξ) < f(a)

para todo t ∈ (0, t0). Sin embargo esto contradice que a sea un mınimo localde f .

Aunque el recıproco de este resultado no es cierto en general, el nos indicaque si una funcion f en varias variables es diferenciable, entonces f puedetener un extremo local en todos aquellos puntos de su dominio en donde sugradiente se anula. Esta observacion motiva la siguiente definicion.Definicion 3.52. Sea f : D ⊆ R

n → R una funcion de varias variablesdiferenciable en a. Si ∇f(a) = 0 entonces el punto a se llama un puntocrıtico o estacionario, de f . Un punto crıtico de f es un punto de silla sitoda vecindad U de a contiene puntos x y x′ distintos tales que f(x) > f(a)y f(x′) < f(a).

La Proposicion 3.51 establece una condicion necesaria para que f tenga unpunto critico en a, pero no es una condicion suficiente para que f tenga unmınimo local en a. Condiciones suficientes son dadas en la Proposicion 3.56,pero antes se hace necesario considerar algunos preliminares para obtenereste resultado.Definicion 3.53. Sea A una matriz simetrica de orden n×n. A es definidopositiva (negativa) si xT Ax > 0 (< 0) para todo vector no nulo x de R

n.Se dice que A es semidefinido positiva (negativa) si xT Ax ≥ 0 (≤ 0) paratodo vector x de R

n.


Sea A = [aij ] una matriz de orden n × n. Entonces A tiene n submatricesdiagonales Ak de orden k × k, para k = 1, . . . , n, definidas por

Ak =

a11 a12 · · · a1k

a21 a22 · · · a2k

......

. . ....

ak1 ak2 · · · akk

;

o por simplicidad, Ak = [aij ]k×k. Los numeros reales det Ak = |Ak| sellaman los subdeterminantes diagonales de A.Proposicion 3.54. Sea A una matriz simetrica de orden n × n.Lema de Sylvester

a. A es definido positiva si y solo si |Ak| > 0 para k = 1, . . . , n.

b. A es definido negativa si y solo si |A1| < 0, |A2| > 0, |A3| < 0, . . .Proposicion 3.55. Sea f : D ⊆ R

n → R una funcion de varias varia-Condicion necesaria de

segundo orden bles con terceras derivadas parciales continuas y a un mınimo local de f .Entonces Df(a) = 0 y D2f(a) es semidefinido positiva.

Demostracion. La demostracion se sigue del Teorema de Taylor para fun-ciones de varias variables y el criterio de Sylvester.

La siguiente proposicion establece condiciones suficiente para la existenciade la extremos locales.Proposicion 3.56. Sea f : D ⊆ R

n → R una funcion de varias variablesCriterio de la segunda

derivada con terceras derivadas parciales continuas y a un punto crıtico de f . SiD2f(a) es semidefinido positiva entonces f(a) es un mınimo local fuerte def .

Demostracion. Del Teorema de Taylor y la hipotesis que ∇f(a) = 0 te-nemos

f(x) = f(a) +1

2(x − a)T D2f(a)(x − a) + E2(x, a) ‖x − a‖

2

en donde E2(x, a) → 0 cuando x → a.

Si la matriz simetrica D2f(a) es definido positiva, entonces existe una cons-tante positiva λ1 (que puede ser tomada como el menor valor propio de

D2f(a)) tal que (x−a)T D2f(a)(x− a) ≥ λ1 ‖x − a‖2

para todo vector x

de Rn (cf. Gilbert Strang, Linear Algebra). Por lo tanto,

f(x) − f(a) ≥1

2λ1 ‖x − a‖

2+ E2(x, a) ‖x − a‖

2

en donde E2(x, a) → 0 cuando x → a. Como la expresion del lado derechodebe ser positiva cuando x → a, se sigue que f(x) > f(a) en algunavecindad de a; i.e., f(a) es un mınimo local fuerte de f .

En el caso de maximos locales de f la situacion es totalmente analoga. Sif tiene un maximo local en a entonces a debe ser un punto critico de f .Si ademas D2f(a) es definido negativa, entonces f(a) es un maximo localfuerte de f . Ademas es facil de demostrar que si a es un punto estacionariode f , entonces

1. f(a) no es ni maximo local ni mınimo local si D2f(a) tiene valorespropios positivos y negativos.


2. f(a) puede ser o no un maximo local si D2f(a) es semidefinido positiva.

El siguiente resultado es un caso particular de la anterior proposicion.Corolario 3.57. Sea f(x, y) una funcion con terceras derivadas parcialescontinuas en un conjunto abierto D en R

2. Sea ademas (x0, y0) un puntocrıtico de f . Entonces,

a. Si fxx(x0, y0) > 0 y fxx(x0, y0)fyy(x0, y0) − f2xy(x0, y0) > 0 entonces f

tiene un mınimo local en (x0, y0).

b. Si fxx(x0, y0) < 0 y fxx(x0, y0)fyy(x0, y0) − f2xy(x0, y0) > 0 entonces f

tiene un maximo local en (x0, y0).

c. Si fxx(x0, y0)fyy(x0, y0) − f2xy(x0, y0) < 0 entonces f tiene un punto de

silla en (x0, y0).

d. Si fxx(x0, y0)fyy(x0, y0) − f2xy(x0, y0) = 0 el criterio no decide nada.

De nuevo se aclara que el criterio de la segunda derivada garantiza condi-ciones que permiten clasificar los puntos crıticos de una funcion en variasvariables como extremos locales. Desafortunadamente, el criterio no existecriterio alguno que permita obtener los extremos absolutos de la funcion.

3.5.2. Optimizacion con restricciones

Un problema de optimizacion con restricciones consiste en el problema deencontrar los extremos locales o extremos absolutos de una cierta funcionf de varias variables en un subconjunto M de su dominio. Se considera loscasos cuando M es un conjunto cerrado y acotado y cuando M es el conjuntode nivel de una funcion g en varias variables dada.

Extremos de funciones definidas en conjuntos cerrados y acotados

El siguiente resultado es un criterio para obtener los extremos de una funcionen varias variables en un conjunto cerrado y acotado de su dominio.Proposicion 3.58 (Weierstrass). Sea M un subconjunto no vacıo, cerradoy acotado de R

n. Si f : M ⊆ Rn → R es una funcion continua, entonces

existen puntos a y a′ en M tal que f(a) ≤ f(x) ≤ f(a′) para todo x en M .

La prueba estandar se obtiene notando que si f es continua entonces laimagen de un conjunto cerrado y acotado es tambien un conjunto cerrado yacotado. Como M es cerrado y acotado, se sigue que f(M) debe ser tambiencerrado y acotado. Por tanto, f alcanza su mınimo absoluto y su maximoabsoluto en algunos puntos a y a′ en M , respectivamente. Esto precisamentegarantiza que f(a) ≤ f(x) ≤ f(a′) para todo x en M .

Como M es un conjunto es un conjunto cerrado, se puede considerar a Mcomo un conjunto formado por su interior y su frontera. Para encontrarlos extremos de f se procede primero a encontrar los extremos locales def en el interior de M mediante el criterio de la segunda derivada. Luegose encuentran los extremos locales de f sobre su frontera. De acuerdo conel Teorema de Weierstrass podemos garantizar que el menor y el mayor deestos extremos locales seran los extremos de f en el conjunto M .Ejemplo 3.59. Encuentre los extremos de la funcion f(x, y) = x2 − y2 −2xy + 1 en el conjunto [−1, 2]× [−1, 2].

Extremos de funciones a lo largo de conjuntos de nivel, multiplicadores de Lagrange

Ahora se busca resolver el problema de encontrar los extremos de una fun-cion de varias variables f(x) cuando x tiene la restriccion de pertenecer a un


conjunto de nivel M en el dominio de f . Simbolicamente, se busca resolverel problema

mın{f(x) | x ∈ M}

o

max{f(x) | x ∈ M}

donde M ⊆ Df usualmente dado de la forma

M = {x ∈ Rn | g(x) = k}

para alguna constante apropiada k. Observe que M = Lk(g) y por tantola ecuacion g(x) = k, llamada de igualdad, es la restriccion que define aM . Por lo tanto, se busca optimizar la funcion f para todo vector x en elconjunto de nivel de g, Lk(g) con k dado.

En general, tambien se puede considerar

M = {x ∈ Rn | gi(x) = ki, i = 1, . . . , m}

para constantes apropiadas ki, y m < n. Es claro que el conjunto n–dimensional M esta definido por las restricciones gi(x) = ki para i =1, . . . , m.

Geometricamente,Proposicion 3.60. Sean f, g : D ⊆ R

n → R dos funciones suaves dadas.Teorema de

multiplicadores de

Lagrange

Sean M el conjunto de nivel de g con valor k y a un punto en D tal queg(a) = k. Si ∇g(a) 6= O y f tiene un extremo en a entonces existe unnumero real λ tal que

∇f(a) = λg(a).

Demostracion. Sea R(t) una trayectoria en M que pasa por a. EntoncesR(t0) = a para algun t = t0. Ademas se tendra que ∇g(a) es tangente a Men el punto a, en el sentido que

∇g(a) · R′(t0) = 0.

De otro lado si f restringida a M tiene un maximo en a, entonces la funcionen una variable f(R(t)) tiene un maximo en t = t0. Del calculo de funcionesde una variable se tiene que

d

dtf(R(t0)) = 0.

De la regla de la cadena,

d

dtf(R(t)) = ∇f(R(t)) · R′(t).

Por lo tanto, en t = t0 se tiene que

∇f(a) · R′(t0) = 0;

es decir, ∇f(a) tambien es perpendicular a M en a. Como el espacio tangen-te a M en a es una recta, entonces los vectores gradientes ∇f(a) y ∇g(a)son paralelos. Como ∇g(a) 6= O, entonces ∇f(a) es multiplo escalar de∇g(a).


Proposicion 3.61. Sean f, g : D ⊆ Rn → R dos funciones suaves dadasCriterio de la segunda

derivada para extremos

restringidos

(con segundas derivadas parciales continuas al menos). Sean M el conjuntode nivel de g con valor k y a un punto en D tal que g(a) = k. Supongamosque ∇g(a) 6= O y

∇f(a) = λ0g(a)

para algun escalar λ0. Se define la funcion auxiliar h = f − λg en n + 1variables (λ, x) = (λ, x1, . . . , xn), y el punto x0 = (λ0, a) = (λ0, a1, . . . , an)en su dominio. Sea |D2h(x0)| el hessiano de h, el cual esta dado como sigue:

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

0 −gx1−gx2

· · · −gxn

−gx1hx1x1

hx1x2· · · hx1xn

−gx2hx1x2

hx2x2· · · hx2xn

......

.... . .

...−gxn

hx1xnhxnx2

· · · hxnxn

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

Sean D2h(x0)k las submatrices diagonales de D2h(x0) de orden k ≥ 3.Entonces,

a. Si los subdeterminantes |D2h(x0)k| son positivos para todo orden k ≥ 3entonces f restringida a M tiene un mınimo local en a.

b. Si los subdeterminantes alternan los signos de la forma |D2h(x0)3| > 0,|D2h(x0)4| < 0, |D2h(x0)5| > 0, . . . entonces f restringida a M tiene unmaximo local en a.

c. Sea n = 2. Si |D2h(x0)| = 0 entonces el criterio no decide y f restrin-gida a M puede tener un maximo local o un mınimo local en a o ni unau otra cosa.

Sea n > 2. Si para k ≥ 3 alguno de los subdeterminantes |D2h(x0)k| esdiferente de cero y no siguen los patrones anteriores entonces f restrin-gida a M no tiene un mınimo local ni un maximo local en a; tendra unpunto de silla en a.


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