REPBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAMINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSAUNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITECNICA DE LA FUERZA ARMADANCLEO MIRANDAEXTENSIN SANTA TERESA DEL TUY

ECUACIN DE LA TANGENTE A UNA PARBOLA, ECUACIN CUADRTICA, COORDENADAS POLARES Y ECUACIONES PARAMTRICAS.

AUTORES:Hernndez Jahimary V-17687335Hernndez Jean V-24283690PROFESOR:Ing. lvarez Romualdo

Santa Teresa del Tuy, Mayo de 2015

INTRODUCCIN

La Geometra Analtica, es fundamental para el estudio y desarrollo de nuevos materiales que nos facilitan la vida diaria, razn por la cual esta asignatura siempre influye en la vida de todo ser humano. El objetivo del presente trabajo es ayudarnos a obtener conocimientos sobre el curso de Geometra Analtica a comprender de qu manera se relaciona esta asignatura con su entorno, con las actividades que realiza y consigo mismo. Se tomaran puntos como, La Ecuacin de una tangente de la Parbola y en sus diferentes representaciones , ecuacin cuadrtica, coordenadas polares y ecuaciones paramtricas.Grard Desargues (Lyon, 1591 Lyon, 1661). Matemtico y arquitecto francs.Profesordematemticasen Pars, fue el iniciador de legeometraproyectiva. Estableci lateorade la involucin sobre una recta, de la que se deduce el teorema que lleva su nombre para un haz puntual de cnicas y formul el teorema sobre lostringuloshomolgicos que tambin llevan su nombre. Introdujo la idea del punto en el infinito de una recta que hace posible identificar en trminos proyectivos un cilindro con un cono de vrtice en el infinito.

PARBOLA

unaparbolaes laseccin cnica resultante de cortar unconorecto con unplanocuyo ngulo de inclinacin respecto al eje de revolucin del cono sea igual al presentado por sugeneratriz. El plano resultar por lo tanto paralelo a dicha recta.Se define tambin como el lugar geomtricode los puntos de un plano que equidistan de una recta llamada directriz, y un punto exterior a ella llamadofoco. Engeometra proyectiva, la parbola se define como la curva envolvente de las rectas que unen pares de puntos homlogos en unaproyectividadsemejante osemejanza.La parbola aparece en muchas ramas de las ciencias aplicadas debido a que su forma se corresponde con las grficas de lasecuaciones cuadrticas. Por ejemplo, son parbolas las trayectorias ideales de los cuerpos que se mueven bajo la influencia exclusiva de lagravedad

ECUACION DE LA TANGENTE A UNA PARABOLA

La tangente se define como una recta que tiene solo un punto en comn. Como la ecuacin de la parbola es de segundo grado, consideremos los tres casos siguientes:

Tangente en un punto de contacto dado Tangente con una pendiente dada Tangente trazada desde un punto exterior Tangente en un punto de contacto dado

1. Tangente en un punto de contacto dado: se determinara la ecuacin de la tangente de la parbola y2=4px, en un punto cualquiera P1 ( x1, y1) de la parbola.

La ecuacin de la tangente buscada es de la formay-y1 = m(x-x1) (2)en donde est por determinarse la pendiente m. Si el valor de y dado por la ecuacin (2) es sustituido en la ecuacin (1) , se obtiene:(y1 + mx mx1)2 = 4px , la cual se reduce a:m2 x2 + (2my1 2m2x1 - 4p) x + ( y12 + m2x12 2mx1y1) = 0Para la tangencia, el discriminante de esta ecuacin debe anularse, y escribimos:(2my1 2m2x1 - 4p)2 4m2 ( y12 + m2x12 2mx1y1) = 0, la cual se reduce a:x1m2 y1m + p = 0, (3)pero como P1 (x1, y1) est sobre la parbola, tenemos:y12 = 4px1 (4)

de donde , Si sustituimos este valor de m en (2), obtenemos, despus de simplificar y ordenar los trminos,

De la ecuacin (4), , y si se sustituye este valor en la ltima ecuacin se obtiene la forma ms comn de la ecuacin de la tangente, y1 y 2p (x + x1)Segn la ecuacin obtenida, tenemos el teorema que damos a continuacin:Teorema 4: la tangente a la parbola y = 4px en cualquier punto P (x, y) de la curva tiene por ecuacin:yy = 2p(x + x)1. Tangente con una pendiente dada: Se considera ahora el problema general de determinar la ecuacin de la tangente de pendiente m a la parbola.La ecuacin buscada es de la forma: y = mx + kla condicin para la tangencia es (2mk 4p)2 4k2m2 = 0Obteniendo de all la siguiente ecuacin:y = mx + , m 0

Teorema 5: la tangente de pendiente m a la parbola y = 4px tiene por ecuacin:y = mx + p/m2. Tangente trazada desde un punto exterior: Principio del formularioFinal del formularioPara estudiar este caso resolveremos el siguiente problema.EjemploHallar las ecuaciones de las tangentes trazadas desde el punto (2,-4) a la parbola .

en donde el parmetro m es la pendiente de la tangente buscada.Reordenando la ecuacin tenemos:

Ecuacin CuadrticaLas funciones cuya ecuacin es: y = ax2 + bx + ccon a, b y c nmeros y a distinto de 0 (el valor de b y c si puede ser 0)se llaman cuadrticas y se representan mediante parbolas con su eje paralelo al eje Y.Estas parbolas son ms o menos abiertas y con las ramas hacia arriba o hacia abajo, segn cual sea el valor de a: Si a > 0, las ramas van hacia arriba. Si a < 0, las ramas van hacia abajo.Adems cuanto mayor sea |a|, menos abierta esla parbola. El eje de simetra de la parbola es la rectavertical que divide a sta en dos partes iguales.El vrtice de la parbola es el punto de corte de dicho eje con la parbola y tiene de coordenadas

El eje de simetra tiene por ecuacin

El punto de corte con el eje de ordenadas ser el (0,c), mientras que los puntos de corte con el eje de abscisas tendrn por abscisas las soluciones de la ecuacin ax2 + bx + c = 0 y por ordenada 0.Observar que la parbola siempre cortar al eje de ordenadas, pero al eje de abscisas puede que no lo corte, lo corte en dos puntos o solamente en uno.

Para representar una parbola primero se obtiene la abscisa y ordenada del vrtice y luego se calculan la abscisa y ordenada de puntos prximos a l. De esta manera se obtiene la forma de la curva en su parte ms interesante.

Ejemplo:Representar la funcin cuadrtica de ecuacin y = 2x2 - 4x + 5

1 Calculamos las coordenadas del vrtice. Como a = 2, b = - 4, c = 5, la abscisa del vrtice ser-(-4/2 2)=1, la ordenada del vrtice se obtendr sustituyendo la abscisa en la x de la funcin: 212 4 1 + 5 = 3 Con lo cual el vrtice tendr de coordenadas (1, 3) .

2 Determinamos puntos de la parbola a izquierda y derecha delvrtice, dando valores a x y obteniendo los correspondientesvalores de y, al sustituir la x en la funcin por esos valores.x-1023

y115511

3 Representamos grficamente esos puntos obtenidos en el plano y los unimos. El eje de simetra de la parbola tiene por ecuacin x = 1.El punto de interseccin con el eje de ordenadas es el (0,5).No se corta con el eje de abscisas porque la ecuacin 2x2 - 4x + 5 = 0 no tiene solucin.

Coordenadas Polares

Por medio de un sistema de coordenadas en un plano, es posible localizar cualquier punto del plano. En el sistema rectangular, llamado as a que las coordenadas de un punto geomtricamente describen un rectngulo, esto se efecta refiriendo el punto a dos rectas fijas perpendicularmente llamadas ejes de coordenadas (XY). En el sistema polar, un punto se localiza especificando su posicin relativa con respecto a una recta fija y a un punto fijo de esa recta. La recta fija se hace llamar eje polar; el punto fijo se llama polo. Como se muestra en la figura 1, la recta horizontal OA es el eje polar y el punto O es el polo. Tracemos el segmento OP y designemos su longitud por r. Llamemos a1 ngulo AOP. Evidentemente, la posicin del punto P con relacin a1 eje polar y a1 polo es determinada cuando se conocen r y .Estas dos cantidades se llaman las coordenadas polares del punto P; en particular, r se llama radio vector y 8 ngulo polar, ngulo vectorial o argumento de P. Las coordenadas polares de un punto se indican dentro de un parntesis, escribindose primero el radio vector. As, las coordenadas de P se escriben ( r , ). La lnea recta que pasa por el polo y es perpendicular a1 eje polar se llama el eje a 90. El ngulo polar se mide como en trigonometra considerando el eje polar como lado inicial y el radio vector como lado final del ngulo, es decir, partiendo del eje polar hacia el radio vector; se considera positivo o negativo segn que el sentido seguido sea opuesto a1 de las manecillas de un reloj o el mismo. Algunos autores, siguiendo 10s convenios hechos en Trigonometra, consideran que el radio vector nunca debe ser considerado como negativo; otros autores, en cambio, admiten que el radio vector puede tomar todos los valores reales. Nosotros seguiremos este ltimo convenio. Segn esto, si un punto tiene un radio vector negativo, se mide primero el ngulo polar de la manera ordinaria, y despus se toma el radio vector en la prolongaci6n del lado final. As, un punto P, de coordenadas (- r , ) , se localiza como se indica en la figura 1.

Figura 1. Sistema de coordenadas polares.

Es evidente que un par de coordenadas polares (r , ) determina uno y solamente un punto en el plano coordenado. El reciproco, en cambio, no es verdadero, porque un punto P determinado por las coordenadas (r, ) est tambin determinada por cualquiera de los pares de coordenadas representadas por (r , + 2n), en donde estdado en radianes y n es un entero cualquiera. El punto P puede determinarse tambin por cualquiera de los pares de coordenadas representados por (- r, +n), en donde n es un entero impar cualquiera. Mientras el sistema rectangular establece una correspondencia biunvoca entre cada punto del plano y un par de nmeros reales, esta correspondencia no es nica en el sistema polar, porque un punto puede estar representado por uno o cualquiera de un nmero infinito de pares de coordenadas polares. Es esta carencia de reciprocidad nica en el sistema polar la que nos conduce, en algunos casos, a resultados que difieren de los obtenidos en el sistema rectangular.Para la mayor parte de nuestros propsitos, un par de coordenadas polares es suficiente para cualquier punto en el plano. Como nuestra capacidad de seleccin en este respecto es ilimitada, convendremos, a menos que se especifique lo contrario, en tomar el radio vector r de un punto particular como positivo y su ngulo polar comprendido entre cero y el ngulo positivo ms pequeo menor que 360, de manera que la variacin de los valores de estdada por:0 360

El trazo de puntos en el sistema de coordenadas polares se facilita considerablemente usando papel coordenado polar (ver Figura 2) que consiste en una serie de circunferencias concntricas y rectas concurrentes. Las circunferencias tienen su centro comn en el polo, y sus radios son mltiplos enteros del radio ms pequeo tomado como unidad de medida. Todas las rectas pasan por el polo, y los ngulos formados por cada par de rectas consecutivas son iguales.

Figura 2. Papel coordenado polar

Figura 3. Puntos trazados en el papel polar.

Paso de Coordenadas Polares a Rectangulares y ViceversaLas coordenadas rectangulares (x, y) de cualquier punto de un plano implican solamente dos variables, X y Y. Por tanto, la ecuacin de cualquier lugar geomtrico en un sistema de coordenadas rectangulares en un plano, contiene una o ambas de estas variables, pero no otras. Por esto es apropiado llamar a una ecuacin de esta clase la ecuacin rectangular del lugar geomtrico. Las coordenadas polares (r , ) de cualquier punto de un plano implican solamente dos variables, r y , de manera que la ecuacin de que cualquier lugar geomtrico en el plano coordenado polar contiene una o ambas variables, pero no otras. Tal ecuacin se llama, de acuerdo con esto, la ecuacin polar del lugar geomtrico. Para un lugar geomtrico determinado, conviene, frecuentemente, saber transformar la ecuacin polar en la ecuacin rectangular, y recprocamente. Para efectuar tal transformacin debemos conocer las relaciones que existen entre las coordenadas rectangulares y las coordenadas polares de cualquier punto del lugar geomtrico. Se obtienen relaciones particularmente simples cuando el polo y eje polar del sistema polar se hacen coincidir, respectivamente con el origen y la parte positiva del eje X del sistema rectangular, tal como se indica en la figura 4. Figura 4.

Sea P un punto cualquiera que tenga por coordenadas rectangulares (x, y) y por coordenadas polares (r, ), entonces, de la figura 4, se observa y deduce inmediatamente las relaciones. x = r cos (1) y = r sen (2)(2) x2+ y2= r2 (3) = arcTg (y/x) (4)r = , (5)sen = , (6)cos (7).Consideremos primero el paso de una ecuacin rectangular a su forma polar. La ecuacin dada contiene como mximo las dos variables x y y. Por tanto, si sustituimos la x y la y por sus valores dados por las ecuaciones (1) y (2)respectivamente, obtenemos la ecuacin polar directamente, aunque no siempre en su forma ms simple. La ecuaci6n (3) puede usarse algunas veces ventajosamente en estatransformacin. Veamos ahora la transformaci6n de una ecuaci6n polar a su forma rectangular. La ecuacin dada contiene como mximo las dos variables r y . Podemos usar, adems delas frmulas (1), (2) y (3)las relaciones (4) y(5) que expresan ay a r, respectivamente,en funcin dex y y. Tambin, si la ecuacin polar contiene algunas funciones trigonomtricas de , podemos expresar primero tales funciones en funci6n de sen y cos y entonces usar la formulas (6) Y (7).Un resumen de los resultados anteriores viene dadoen el teorema siguiente:TEOREMA1 Si el polo y el eje polar del sistema de coordenadas polares coinciden, respectivamente, con el origen y la parle positiva del eje X de un sistema de coordenadas rectangulares, el paso de uno a otro de estos dos sistemas puede ejecutarse por medio de las siguientes frmulas de transformacin:x=rcosy=rsen, x2+ y2= r, = arcTg (y/x)r = sen = , cos =Ejemplo: Hallar las coordenadas rectangulares del punto P cuyas coordenadas polares son (4, 120)Solucin: En este caso r = 4 y = 120, por lo tanto, por el teorema 1:x = r cos = 4(cos120) = 4(-1/2) = -2y = r sen = 4(sen120) = 4() = 2De manera que las coordenadas rectangulares del punto P son(-2, 2).

TRAZADO DE CURVAS EN COORDENADAS POLARESLa construccin de curvas en coordenadas polares constar de los seis pasos siguientes:1. Determinacin de las intersecciones con el eje polar y el ejenormal.2. Determinacin de la simetra de la curva con el eje polar, el eje normal yel polo.3. Determinacin de la extensin del lugar geomtrico.4. Clculo de las coordenadas de un nmero suficiente de puntos paraobtener una grfica adecuada.5. Trazado de la grfica.6. Transformacin de la ecuacin polar a rectangular.Ahora desarrollaremos los pasos 1, 2 y 3, los 4, 5 y 6 no es necesario desarrollarlos.InterseccinLas intersecciones con el eje polar, cuando existen, pueden obtenerse resolviendo la ecuacin polar dada para r, cuando a se le asignan sucesivamente los valores 0, , 2, y en general el valor n, donde n es un entero cualquiera. Anlogamente, si existen algunas intersecciones con el eje a 90o, pueden obtenerse asignado a los valores de n/2 , donde n es un nmero impar cualquiera. Si existe un valor de para el cual r=0,la grficapasa por el polo.SimetraEl estudio de las simetras respecto de los ejes cartesianos y respecto del origen cuando la curva viene descrita en coordenadas polares, r = r(), se realiza de la siguiente forma:1. Simetra respecto del eje OX. La curva en polares definida por r = r() es simtrica respecto del eje OX si se verifica para todo del dominio de la funcin quer(-) = r().2. Simetra respecto del eje OY. La curva en polares definida por r = r() es simtrica respecto del eje OY si se verifica para todo del dominio de la funcin quer ( ) = r() .3. Simetra respecto del origen O. La curva en polares definida por r = r() es simtrica respecto del origen O si se verifica para todo del dominio de la funcin que r ( + ) = r().Extensin del lugar geomtricoPara determinar la extensin de la grfica de un lugar geomtrico dado en coordenadas polares, primero se despeja a r en funcin de , de modo que tenemos r=f().Si r es finitopara todos los valores de , se trata de una curva cerrada. Sir es infinita para ciertos valores de la grfica no es una curva cerrada. Para valores de que hacen a r compleja no hay curva; tales valores constituyen intervalos excluidos del lugar geomtrico. Si lagrfica es una curva cerrada, es til, determinar los valores mximo y mnimo de r.

Ejemplo 4: Discutir y graficar la curva r = 1Cos.a)InterseccinPara = 0, r = 0Para = , r = 2Para = 2, r = 0Las intersecciones son: (0, 0); (2, ); (0, 2)b) Simetra

Con el eje polar Sustituimos a por r = 1Cos(-) = 1 CosComo la ecuacin no se altera, hay simetra con el eje polar. Con el eje normalSustituimos a r pory a por -r = 1Cos(-) r = 1 -CosComo la ecuacin se altera, no existe simetra con el eje normal. Con el poloSe sustituye a r porrr = 1Cos - r = 1CosComo la ecuacin se altera, no hay simetra con el polo

c) Extensin del lugargeomtricoDado que los valores del radio son finitos, podemos decir que la curva es cerrada.r = 1Cos

Como puede observarse en la tabla los valores a partir de empiezan a repetirse, por ser la ecuacin simtrica con el eje polar. Esto implica que cuando una ecuacin tiene esta caracterstica solo es necesario calcular los valores del radio hasta para =

Trazado de curvaTrazado de la curva r = 1cos

Transformar la ecuacin de polara rectangularMultiplicando la ecuacin r = 1Cos miembro a miembro por r, obtenemos:r2= rrCosReemplazando r2por x2+ y2 y r Cos por x tenemos:x2+ y2= rx, pasamos x a sumar al miembro izquierdox2+ y2+ x = r,elevando al cuadrado cada miembro(x2+ y2+ x)2= r2, sustituyendo r2= x2+ y2La ecuacin rectangular buscada sera (x2+ y2+ x)2= x2+ y2ECUACIONES PARAMETRICAS

Representacin analtica de una curva por medio de un par de ecuaciones en los cuales cada una de las dos variables est expresada en funcin de una tercera variable. Por ejemplo, la circunferencia X2 + y2= 1, (1)Puede representarse tambin por las dos ecuacionesX= cos , y= sen , (2)Siendo una variable independiente que puede tomar cualquier valor real. Es decir, Si a se le asigna un valor arbitrario, la ecuaciones (2) determinan un par de valores de x y y que satisfacen a la primera ecuacin. En efecto elevando al cuadrado cada una de las ecuaciones (2) y sumando, obtenemos

X2+ Y2 = cos2 + sen2 ,La cual, para todos los valores de , es idntica a la ecuacin (1). En general, siF(x, y) = 0 (3)Es la ecuacin rectangular de una curva plana C, y cada una de las variables t, de tal manera que podamos escribir X= f (t), Y= g (t), (4)Entonces, si para cualquier valor permisible de la variable independiente t, las ecuaciones (4) determinan un par de valores reales de X y Y que satisfacen la ecuacin (3), las ecuaciones (4) se llaman ecuaciones paramtricas de la curva C, y la variable independiente t , se llama parmetro. Tambin se refiere a las ecuaciones (4) como una representacin paramtrica de la curva C. as las ecuaciones (2) son ecuaciones paramtricas o representaciones paramtricas de la circunsferencia (1), siendo el parmetro.

Ejemplo: Hallar la ecuacin rectangular de la curva cuyas ecuaciones paramtricas son: X= 2+ 3 tg , Y= 1+ 4 sec . (1)Solucin:La presencia de tg y sec como trminos aislados en las ecuaciones paramtricas (1) sugiere el ejemplo de la identidad trigonomtrica fundamental1+ tg2 = sec2 (2)

En efecto si escribimos las ecuaciones (1) en la forma = tg , = sec ,Elevamos despus al cuadrado cada una de estas ecuaciones y sustituimos los resultados en la ecuacin (2), obtendremos1+ o sea, Que es la ecuacin rectangular equivalente a las ecuaciones dadas y que representa una hiprbola.

CONCLUSION

La necesidad de la enseanza de la geometra en la universidad responde al papel que la geometra desempea en la vida cotidiana.Un conocimiento geomtrico es indispensable para desenvolverse y en cuestiones como para orientarse reflexivamente en el espacio o como para hacer estimaciones sobre formas, distancia, tambin para hacer operaciones y clculos relativos a la distribucin de objetos en el espacio.Las cnicas son muy importantes tanto en la vida diaria como en el campo investigativo ya que son herramientas de la geometra analtica y con ella podemos crear muchas cosas por ejemplo en el campo de la arquitectura podemos disear fachadas de edificios con dichas figuras o dichas cnicas el cmo es el caso de la construccin de un puente que puede tener la forma perfecta de una parbola, diseado por un ingeniero civil.Adems saber que dada una ecuacin de cualquiera de los tipos de las cnicas existentes se puede hallar su grfica y recprocamente dada una grfica se puede hallar su ecuacin.

BIBLIOGRAFIA

Geometra AnalticaCharles H.Lehmann, 3era edicin

Referencia en lneahttp///C:/Users/Franquiz/Documents/Coordenadas%20Polares%20_%20Jonathan%20Raul%20Alvarez%20Lopez%20-%20Academia.edu.htm