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P a r a l l e l M a c h i n e s : A R e b u t t a l

C r a z y E d d i e

A u g u s t 9 , 2 0 0 8

A b s t r a c t

B e c a u s e T u r i n g M a c h i n e s a r e a b s t r a c t i o n s e x i s t i n g w i t h o u t r e a l t i m e , t h e c o n c l u s i o n s o f A n d r e w

B o u c h e r a r e f a l s e a n d m i s l e a d i n g . T h i s a r t i c l e e x p l a i n s w h y , d i s c u s s e s t h e l i m i t a t i o n s o f t h e T u r i n g

M a c h i n e c o n c e p t , a n d d i s c u s s e s w h e t h e r t h i s m a t t e r s i n t h e q u e s t i o n o f A I .

I n t r o d u c t i o n

I n P a r a l l e l M a c h i n e s

1

, A n d r e w B o u c h e r a r g u e s t h a t t w o T u r i n g M a c h i n e s r u n n i n g i n p a r a l l e l e x i b i t c o m p u -

t a t i o n a l a c t i v i t i e s t h a t c a n n o t b e m i m i c e d b y a U n i v e r s a l T u r i n g M a c h i n e . T h i s , h e c o n t e n d s , i s d u e t o t h e

t i m e c o n s t r a i n t s i n t r o d u c e d b y p a r a l l e l p r o c e s s i n g . T o e x p l a i n t h i s , B o u c h e r u s e s t w o i l l u s t r a t i o n d e v i c e s :

t w o T u r i n g M a c h i n e s c o m m u n i c a t i n g i n a n u n s p e c i e d m a n n e r ; a n d a s h a r e d p r i n t e r o n a t y p i c a l c o m p u t e r

n e t w o r k .

T h e p r o b l e m w i t h B o u c h e r ' s i l l u s t r a t i o n s i s t h a t t h e r s t v i o l a t e s t h e d e n i t i o n o f T u r i n g M a c h i n e a n d

t h e r e f o r e o f c o m p u t i n g d e v i c e , t h e s e c o n d d o e s n o t a c t u a l l y r e s u l t i n w h a t h e c l a i m s . T h e s e i s s u e s s p e a k t o

t h e h e a r t o f B o u c h e r ' s a r g u m e n t a n d a r e n o t j u s t t h e c o n s e q u e n c e o f p o o r c h o i c e o f i l l u s t r a t i o n o n h i s p a r t .

T o s h o w t h i s I ' l l h a v e t o g o o v e r s o m e d e n i t i o n s . R e a d e r s a l r e a d y f a m i l i a r w i t h w h a t a T u r i n g M a c h i n e

i s , c o m p u t a b i l i t y t h e o r y , a n d h o w a c o m p u t e r n e t w o r k o p e r a t e s m a y w i s h t o s k i p s o m e s e c t i o n s t h o u g h t h e y

d o p r o v i d e t h e f o u n d a t i o n f o r m y r e b u t t a l o f B o u c h e r ' s a r g u m e n t .

T u r i n g M a c h i n e s a n d C o m p u t a b i l i t y

A T u r i n g M a c h i n e i s a n a b s t r a c t c o n c e p t o f a c o m p u t i n g d e v i c e . I t i s a b l e , t h r o u g h m a n i p u l a t i o n o f a t a p e ,

t o p e r f o r m a n y c o m p u t a t i o n t h a t i s p o s s i b l e t o p e r f o r m . I t i s n e c e s s a r y a t t h i s p o i n t t o n o t e t h a t t h i s d o e s

n o t m e a n i t i s a b l e t o c a l c u l a t e a n y t h i n g a t a l l . T h e r e a r e a n s w e r s a n d p r o b l e m s t h a t a T u r i n g M a c h i n e

c a n n o t d e a l w i t h . T h e s e p r o b l e m s a r e u n c o m p u t a b l e .

I a m n o t g o i n g t o d i v e i n t o t h e f o r m a l d e n i t i o n o f a T u r i n g M a c h i n e f o r t h a t w o u l d r a i s e t h e c o n t e n t o f

t h i s a r t i c l e a b o v e t h e l e v e l o f m u c h o f m y a u d i e n c e . T h o s e w i t h t h e b a c k g r o u n d t o b e a b l e t o u n d e r s t a n d

t h e d e n i t i o n c a n n d i t j u s t a b o u t a n y w h e r e o n t h e I n t e r n e t , i n c l u d i n g w i k i p e d i a . I a m g o i n g t o f o c u s o n

l a y m a n d e n i t i o n s . T h e y a r e w h a t w a s u s e d i n t h e o r i g i n a l a n d a r e a d i q u a t e f o r m y n e e d s .

A T u r i n g M a c h i n e i s c o m p o s e d o f f o u r p a r t s : a n i n n i t e i n l e n g t h t a p e , i n b o t h d i r e c t i o n s , t h a t i s d i v i d e d

i n t o d i s c r e t e c e l l s i n w h i c h c a n b e r e a d a n d w r i t t e n t h e s y m b o l s o f t h e m a c h i n e ' s l a n g u a g e ; a h e a d t h a t

r e a d s o r w r i t e s t h e c o n t e n t o f t h e c e l l i t i s l o c a t e d o n ; a s t a t e t a b l e t h a t s p e c i e s w h a t h a p p e n s w h e n a

p a r t i c u l a r s y m b o l i s f o u n d o n t h e h e a d i n t h e s t a t e t h e m a c h i n e i s i n ; a n d a r e g i s t e r t h a t c o n t a i n s t h e c u r r e n t

s t a t e . E v e n t h i s d e n i t i o n m a y b e s u p e r u o u s l y c o m p l e x f o r t h e t a s k a t h a n d a n d y o u c a n t h i n k o f a T u r i n g

M a c h i n e a s a s e t o f s t a t e s , a c t i o n s , a n d d e c i s i o n s b a s e d o n i n p u t a n d g i v e n t h a t i t c a n s t o r e i t s s t a t e a n d t h e

d a t a i t i s w o r k i n g w i t h .

1

h t t p : / / w w w . a n d r e w b o u c h e r . c o m / p a p e r s / p a r a l l e l . h t m

1

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A n e x a m p l e a t t h i s p o i n t w o u l d b e g o o d . C o n s i d e r a p r o b l e m o f s i m p l e b o o l e a n a d d i t i o n . T h e r e ' s m o r e t h a n

o n e t y p e o f b o o l e a n a d d i t i o n a n d I ' m g o i n g t o p i c k m o d 2 s o t h a t 1 + 1 = 0 , 0 + 0 = 0 , a n d 1 + 0 o r 0 + 1 = 1 . I

w i s h t o c o m p u t e t h e a d d i t i o n o f a n a r b i t r a r y l e n g t h o f b i n a r y d i g i t s . I n o r d e r t o d e v e l o p a T u r i n g m a c h i n e

c a p a b l e o f t h i s I n e e d t w o s t a t e s i n a d d i t i o n t o t h e s t a n d a r d s t a r t a n d e n d , s o m e s i m p l e I / O o p e r a t o r s , a n d

a t h r e e s y m b o l l a n g u a g e t h a t c o n t a i n s a s y m b o l f o r 0 , o n e f o r 1 , a n d a t h i r d f o r t h e s t r i n g t e r m i n a l . H e r e

i s t h a t m a c h i n e d r a w n i n a b a s i c s t a t e d i a g r a m .

T h e a b o v e m a c h i n e s t a r t s i n s t a t e S 0 . I f i t r e a d s a 0 f r o m t h e t a p e i t s t a y s i n s t a t e S 0 a n d m o v e s t o t h e

r i g h t o n t h e t a p e . I f i t r e a d s a 1 i t s w i t c h e s t o S 1 a n d m o v e s t o t h e r i g h t . I f i t r e a d s t h e E N D c h a r a c t e r i t

w r i t e s a 0 o n t h e t a p e a n d s w i t c h e s t o t h e H A L T s t a t e . I f t h e m a c h i n e i s i n s t a t e S 1 i t w i l l p e r f o r m s i m i l a r

a c t i o n s b u t w r i t e a 1 o n t h e t a p e b e f o r e m o v i n g t o H A L T .

I t i s i m p o r t a n t t h a t T u r i n g M a c h i n e s a r e p u r e l y a l g o r i t h m i c . T h e o b j e c t i s t o b e a b l e t o h a n d s o m e

i n s t r u c t i o n s a n d s o m e d a t a t o s o m e o n e a n d t h e y c a n p e r f o r m t h e s t e p s w i t h o u t a n y s o r t o f i n t e r p r e t a t i o n t o

a r r i v e a t t h e c a l c u l a t i o n . I t i s a m i n d l e s s p r o c e s s t h a t w o r k s t h e s a m e e v e r y t i m e w i t h t h e s a m e i n p u t . I

c a n h a n d i t t o a p e r s o n , o r f e e d i t i n t o a m a c h i n e t h a t c a n r e a d T u r i n g M a c h i n e c o n s t r u c t i o n l a n g u a g e a n d

t h e r e s u l t i s t h e s a m e e v e n i f t h e y d o n ' t w o r k a t t h e s a m e s p e e d .

A n y t h i n g t h a t c a n b e c a l c u l a t e d b y s u c h a p r o c e s s i s c o m p u t a b l e . Q u i t e a l o t o f t h i n g s a r e c o m p u t a b l e b u t

t h e r e i s o n e i m p o r t a n t t h i n g t h a t i s n o t , a n d t h a t i s s o m e o f t h e m e m b e r s o f t h e r e a l n u m b e r s e t . I n t e g e r s ,

f r a c t i o n s , a n d n u m b e r s t h a t c a n b e c o m p u t e d t o s o m e l e n g t h o f d i g i t s a r e a l l c o m p u t a b l e n u m b e r s , c a n

b e r e p r e s e n t e d i n s o m e w a y a n d c a l c u l a t e d b y a n a l g o r i t h m i c p r o c e s s . T h e s e a r e t h e o n l y n u m b e r s t h a t a

T u r i n g M a c h i n e , a n d t h u s a n y c o m p u t e r , c a n w o r k w i t h , c o m p u t e , o r a c c e p t a s i n p u t .

I t i s a n i m p o r t a n t n d i n g b y T u r i n g ( t h e m a n w h o i n v e n t e d t h e T u r i n g M a c h i n e ) t h a t t h e r e e x i s t s a T u r i n g

M a c h i n e t h a t c a n a c c e p t , a s i n p u t , a d e s c r i p t i o n o f a n o t h e r T u r i n g M a c h i n e , s o m e i n p u t s , a n d w h e n i t i s

r u n i t w i l l g e n e r a t e t h e s a m e o u t p u t t h a t t h e d e s c r i b e d m a c h i n e w o u l d h a v e b e i n g r u n o n i t s o w n . S u c h

a m a c h i n e i s c a l l e d a U n i v e r s a l T u r i n g M a c h i n e ( U T M ) a n d A N Y T u r i n g M a c h i n e c a n b e r u n o n s u c h a

m a c h i n e . C o m p u t e r s a r e e x a m p l e s o f a t y p e o f U n i v e r s a l T u r i n g M a c h i n e t h o u g h t h e y d o n o t h a v e i n n i t e

s t o r a g e s p a c e a n d a r e a c t u a l l y c o m p l e x c o n s t r u c t i o n s t h a t a r e r a t h e r p a r a l l e l i n n a t u r e .

H o w e v e r , t h e r e a r e c e r t a i n t h i n g s t h a t c a n n o t b e c o m p u t e d b y t h i s U T M . F o r i n s t a n c e t h e r e i s n o w a y t o

c o n s t r u c t a U T M t h a t c a n t e l l i f a n y g i v e n T u r i n g M a c h i n e w i l l e v e r s t o p i t s c a l c u l a t i o n s . A T u r i n g M a c h i n e

c a n e n t e r a n e n d l e s s l o o p a n d t h o u g h t h e r e a r e w a y s t o c o n s t r u c t a U T M t h a t c o u l d r e c o g n i z e s o m e T u r i n g

M a c h i n e s t h a t w i l l d o t h i s , t h e r e i s n o w a y t o c o n s t r u c t o n e t h a t w i l l r e c o g n i z e a n y a n d a l l n o n - h a l t i n g

T u r i n g M a c h i n e s t h a t m i g h t b e f e d i n t o i t .

I t i s a l s o i m p o r t a n t t o n o t e a t t h i s t i m e , b e f o r e I m o v e o n t o B o u c h e r ' s M a c h i n e s , t h a t t h e f a c t t h a t a U T M

w i l l r u n a n y T u r i n g M a c h i n e f e d i n t o i t , t h e r e i s n o g u a r a n t e e t h a t i t c a n r u n s o m e o t h e r k i n d o f m a c h i n e . I f

s o m e t h i n g i s b e i n g d o n e b y a m a c h i n e t h a t c a n n o t b e d o n e i n a T u r i n g M a c h i n e t h e n i t i s n o t a c o m p u t a t i o n ,

t h e m a c h i n e i s n o t a T u r i n g M a c h i n e , a n d i t i s n o t i m p l e m e n t a b l e i n a U T M . F o r e x a m p l e , i f a r e a l n u m b e r

t h a t i s n o t c o m p u t a b l e i s i n v o l v e d i n a p r o c e s s t h a t g e n e r a t e s a n o u t p u t , t h i s i s n o t a c o m p u t a t i o n a n d

c a n n o t b e d o n e i n a T u r i n g M a c h i n e .

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B o u c h e r ' s M a c h i n e s

B o u c h e r ' s M a c h i n e s a r e i n t e r e s t i n g c r e a t u r e s . H i s d e s c r i p t i o n o f t h e m a c h i n e s s e e m s s t r a i g h t f o r w a r d e n o u g h ,

a n d i t i s , b u t h e l e f t o u t m a n y d e t a i l s a n d i t i s i n t h e s e d e t a i l s t h a t t h e p r o b l e m r e s i d e s . T o s e e t h i s I w i l l

d i a g r a m t h e m b o t h a n d s h o w t h a t h e l e a v e s i m p o r t a n t i n f o r m a t i o n o u t t h a t w h e n e n t e r e d i n t o t h e s y s t e m

c r e a t e s a s e t o f m a c h i n e s t h a t g e n e r a t e o u t p u t s t h a t c a n n o t b e d u p l i c a t e d i n a T u r i n g M a c h i n e . T o s t a r t ,

h e r e i s h i s e x a c t d e s c r i p t i o n :

T o s e e t h i s , m o d e l c o m m u n i c a t i o n b e t w e e n t w o T u r i n g m a c h i n e s a s t h e a b i l i t y o f o n e t o

r e a d t h e c o n t e n t s o f t h e s q u a r e w h e r e t h e o t h e r ' s r e a d - w r i t e h e a d h a p p e n s t o b e a t a p a r t i c u l a r

m o m e n t i n t i m e . N o w c o n s i d e r a p a r a l l e l T u r i n g m a c h i n e c o n s i s t i n g o f t w o T u r i n g m a c h i n e s A

a n d B . A ' s p r o g r a m t e l l s i t t o m o v e r i g h t w a r d a c r o s s i t s a r g u m e n t u n t i l i t h i t s t h e r s t 0 , a n d

o n c e i t i s t h e r e , c o m m u n i c a t e w i t h B , b y r e a d i n g w h a t B i s r e a d i n g a t t h a t i n s t a n t i n t i m e ; A

t h e n r e t u r n s t h i s v a l u e a s t h e " a n s w e r . " B m e a n w h i l e s i m p l y a l t e r n a t e s i t s h e a d b e t w e e n a s q u a r e

w h i c h c o n t a i n s 0 a n d a s q u a r e w h i c h c o n t a i n s 1 .

T o e x p o s e t h e f a l l a c y i n B o u c h e r ' s a r g u m e n t i t i s n e c e s s a r y t o l o o k a t t h e t w o m a c h i n e s i n d i v i d u a l l y b e f o r e

c o m p o s i n g a n e t w o r k o u t o f t h e m . L e t ' s s t a r t w i t h t h e r s t . A n i n i t i a l a t t e m p t a t d e s c r i b i n g t h i s m a c h i n e

m i g h t l o o k l i k e t h i s :

T h i s l o o k s l i k e a T u r i n g M a c h i n e b u t i t h a s a c o u p l e o f s e r i o u s p r o b l e m s . F o r o n e , i t d o e s n ' t h a l t . W e

c a n t e l l t h a t b e c a u s e i t s i m p l y d o e s n o t h a v e a h a l t i n g s t a t e . T h i s , i n t u r n , m e a n s t h a t i t a l s o d o e s n ' t

a c t u a l l y c o m p u t e a n y t h i n g . H o w e v e r , i t ' s o b v i o u s l y b e i n g u s e d t o c a l c u l a t e s o m e t h i n g f o r t h e o t h e r B o u c h e r

M a c h i n e . W h a t i s a c t u a l l y b e i n g c a l c u l a t e d i s b a s e d o n t h e t i m e i t t a k e s t o o p t h e h e a d a r o u n d i n t h e

p a r t i c u l a r m a c h i n e i m p l e m e n t i n g t h e a b o v e T u r i n g M a c h i n e . B u t h e r e i n l i e s a v e r y s e r i o u s p r o b l e m ! T u r i n g

M a c h i n e s d o n ' t w o r k i n r e a l t i m e . T u r i n g M a c h i n e s a r e a b s t r a c t m a c h i n e s w o r k i n g i n a u n i v e r s e o f i n n i t i e s :

a n i n n i t e s t o r a g e s p a c e ; a n i n n i t e a m o u n t o f t i m e i n w h i c h t o w o r k ( f o r c o m p u t a t i o n s c a n t a k e a n a r b i t r a r y

n u m b e r o f s t e p s ) ; a n d a n i n n i t e l y s h o r t p e r i o d , o r a r b i t r a r i l y l a r g e o n e , t o d o s t a t e s w i t c h i n g a n d m e c h a n i c a l

m o t i o n s . I n w o r k i n g w i t h T u r i n g M a c h i n e s w e h a v e n o i d e a h o w l o n g i t i s g o i n g t o t a k e t h i s a b o v e d e s c r i b e d

m a c h i n e t o o p a r o u n d a n d w e d o n ' t c a r e . . . o r w o u l d n ' t i f w e w e r e a c t u a l l y c o m p u t i n g s o m e t h i n g .

S o n o w i t i s i m p o r t a n t t o d i s c u s s h o w w e c a n t u r n t h i s m a c h i n e i n t o s o m e t h i n g t h a t i s a T u r i n g M a c h i n e ,

a n d a M a c h i n e t h a t c o m p u t e s s o m e t h i n g . I n B o u c h e r ' s d e s c r i p t i o n o f t h e p r o c e s s g o i n g o n i t b e c o m e s m o r e

c l e a r w h a t t h a t m a c h i n e m u s t b e . W e a r e a t t e m p t i n g t o i m p l e m e n t s o m e t h i n g t h a t w i l l t a k e i t ' s i n p u t a n d

r e t u r n a 0 o r a 1 d e p e n d i n g o n t h a t i n p u t . T h a t i n p u t i s a v a r i a b l e b a s e d o n t i m e . W h a t i s b e i n g c a l c u l a t e d

b y t h i s m a c h i n e i s a c t u a l l y t h e e q u a t i o n o o r ( T / R ) m o d 2 , o r i n a v e r a g e t e r m s , d i v i d e t h e c o n t i n u o u s

v a r i a b l e ' T ' b y ' R ' a n d r e t u r n 0 i f t h a t n u m b e r i s e v e n , 1 o t h e r w i s e . W h a t i s R ? T h a t i s t h e t i m e i t t a k e s

t o d o t h e h e a d m o v e m e n t f r o m o n e c e l l t o t h e o t h e r . W h a t i s T ? T i s l i k e w i s e a v a r i a b l e r e p r e s e n t i n g a

t i m e .

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N o w w h y h a v e I t a k e n y o u t h r o u g h a l l o f t h i s ? B o u c h e r m e n t i o n s t h i s f o r m u l a a l r e a d y , o r o n e p r e t t y

s i m i l a r t o i n , i n h i s a r t i c l e . A m I n o t j u s t p r o v i n g h i s p o i n t ? A c t u a l l y n o . B o u c h e r d i d n o t t a k e u s

t h r o u g h a f u l l d e s c r i p t i o n o f h i s m a c h i n e s a n d t h e r e f o r e d i d n o t e x p o s e R a t t h i s p o i n t . W h a t w e s e e h e r e

i s t h a t t h e c o n t i n u o u s v a r i a b l e t i m e i f i t i s i n d e e d c o n t i n u o u s i s a l r e a d y a n i s s u e a n d f o r t h e v e r y a r g u m e n t

h e u s e s a g a i n s t a U T M i m p l e m e n t i n g t h e p a r a l l e l c o n s t r u c t h e i l l u s t r a t e s i n t h e a b o v e q u o t e . T h e r e a r e

s o m e v a l u e s f o r R t h a t a n y U T M c a n w o r k w i t h , a n d f o r t h o s e v a l u e s o f R a n y U T M c a n i m p l e m e n t t h i s

c a l c u l a t i o n t h e T u r i n g M a c h i n e t h a t c a l c u l a t e s t h i s c o m p u t a t i o n i s a c t u a l l y q u i t e c o m p l e x a n d t h a t ' s w h y I

h a v e c h o s e n n o t t o d r a w i t . H o w e v e r , f o r s o m e v a l u e s o f R t h e r e i s N O T u r i n g M a c h i n e t h a t c a n i m p l e m e n t

t h e c a l c u l a t i o n . F o r t h e s e m a c h i n e s , R c a n n o t b e c o m p u t e d a n d i s t h e r e f o r n o t p o s s i b l e t o g e n e r a t e o r

s t o r e i n a n a l g o r i t h m i c m a n n e r . T h e v a l u e c a n n o t e v e n b e r e p r e s e n t e d b y a n y t h i n g o t h e r t h a n t h e m a c h i n e

t h a t i t i s i m p l e m e n t e d b y .

T h e v a r i a b l e T h a s d i e r e n t p r o b l e m s . T h e p r o b l e m w i t h T i s t h a t o n l y s o m e v a l u e s o f T c a n b e r e p r e s e n t e d

a n d t h e r e f o r e o n l y s o m e v a l u e s o f T t h a t c a n b e t h e i n p u t t o t h i s f u n c t i o n .

R e m e m b e r , t o b e a T u r i n g M a c h i n e i t n e e d s t o r e p r e s e n t a n a l g o r i t h m i c p r o c e s s a n d t h a t i s n o t w h a t w e h a v e

h e r e . O n c e w e i n t r o d u c e t h e t i m e t h a t i t t a k e s t h e m a c h i n e t o d o s o m e t h i n g i n t o t h e v a l u e i t i s c o m p u t i n g ,

i t i s n o l o n g e r p o s s i b l e , i n s o m e c a s e s , t o d o t h e s a m e c a l c u l a t i o n i n a U T M . F u r t h e r m o r e , i n o r d e r t o b e a

T u r i n g M a c h i n e t h e i n p u t s t o t h e s y s t e m m u s t b e r e p r e s e n t a b l e o r c a l c u l a t a b l e a n d a g a i n , t h a t i s n o t w h a t

w e h a v e h e r e . W e w i l l d i s c u s s t h e i m p l i c a t i o n s o f t h i s l a t e r f o r a s w e c a n s e e h e r e , t h i s B o u c h e r M a c h i n e i s

a b l e t o c a l c u l a t e s o m e t h i n g t h a t a T u r i n g M a c h i n e c a n n o t .

N o w l e t s l o o k a t t h e o t h e r m a c h i n e . D o e s i t h a v e t h e s a m e p r o b l e m ? H e r e i s a d r a w i n g o f t h a t m a c h i n e :

T h a t s e e m s s t r a i g h t f o r w a r d e n o u g h e v e n w i t h t h e m y s t e r y p r o c e s s i n q u o t e s . I f , i n f a c t , a l l t h a t w a s b e i n g

d o n e i n B o u c h e r ' s p r o b l e m w a s t h a t t h e m a c h i n e w a s r e a d i n g t o t h e e n d o f a s t r i n g a n d t h e n p r i n t i n g s o m e

v a l u e o u t t h e n t h i s c o u l d b e i m p l e m e n t e d b y a U T M w i t h o u t a n y i s s u e s . B u t t h a t i s n ' t w h a t i s h a p p e n i n g

h e r e . T h e v a l u e t h a t i s b e i n g p r i n t e d i s a c t u a l l y s o m e t h i n g t h a t d e p e n d s o n t i m e , t h i s t i m e b e i n g t h e i n p u t

t o t h e m a c h i n e e x p l a i n e d a b o v e . W h a t t h i s m e a n s i s t h a t t h i s m a c h i n e i t s e l f i s a c t u a l l y c a l c u l a t i n g a t i m e

i n a d d i t i o n t o i t s o t h e r , m a i n o u t p u t . S o a g a i n , f o r t h e s a m e r e a s o n s , w e a r e n o l o n g e r d i s c u s s i n g T u r i n g

M a c h i n e s .

I n s h o r t , i n t h e c a s e o f e a c h o f t h e s e i n d i v i d u a l s e r i a l m a c h i n e s w e c a n s a y , i n t h e w o r d s o f B o u c h e r a b o u t

p a r a l l e l m a c h i n e s , . . . i t i s m o r e a c c u r a t e t o s a y t h a t i t s i m p l y d o e s n o t c o m p u t e a f u n c t i o n a t a l l . O n d e n i t e

i n p u t t h e r e i s n o d e n i t e o u t p u t . I t i s n o t a n e e c t i v e p r o c e d u r e . E x c e p t t h a t i n t h e c a s e o f t h e s e m a c h i n e s

d e n i t e i n p u t i s n o t a t a l l g u a r a n t e e d .

I n t h e e n d , t h i s m e a n s t h a t B o u c h e r ' s i n t r o d u c t i o n o f t i m e , w h i c h h e i s c o r r e c t t o d o , c h a n g e s t h e p r o b l e m

s o t h a t i t i s n o l o n g e r a d i s c u s s i o n a b o u t T u r i n g M a c h i n e s ( i f t i m e i s i n f a c t c o n t i n u o u s , i f n o t t h e n n o n e

o f t h e s e p r o b l e m s w o u l d a p p e a r ) . I t w a s t h i s i n t r o d u c t i o n a n d n o t t h e i n t r o d u c t i o n o f p a r a l l e l i s m t h a t

c a u s e d a n y n o n - d e t e r m i n i s m o r u n c o m p u t a b i l i t y f o r t h a t w a s a l r e a d y e x i s t a n t i n t h e m a c h i n e s h e n e t w o r k e d

t o g e t h e r . B e c a u s e t h e o u t p u t t o t h e r s t m a c h i n e i s d e p e n d e n t o n a p r o c e s s t h a t i s n o t n e c e s s a r i l y c o m -

p u t a b l e , t h e u s e o f t h a t m a c h i n e c a u s e s i n d e t e r m i n i s m f o r w h a t t h i s m a c h i n e w i l l d o i s n o t s o m e t h i n g w e c a n

c o m p u t e o r n e c e s s a r i l y d e t e r m i n e . T h e s e c o n d m a c h i n e h a s t h e s a m e p r o b l e m f o r i t r e l i e s o n t h e p o s s i b l y

u n c o m p u t a b l e t i m e i t t a k e s t o p e r f o r m i t s t a s k a s i n p u t t o t h e p r o c e s s t h a t g e n e r a t e s i t s o u t p u t , a p r o c e s s

t h a t i s n o t a l w a y s c o m p u t a b l e . N e i t h e r o f t h e s e m a c h i n e s c a n b e i m p l e m e n t e d i n a U T M , s o t h e f a c t t h a t

t h e t w o t o g e t h e r a l s o c a n ' t i s n o t a t a l l s u r p r i s i n g .

W e c a n n o w r e f u t e t h e c l a i m s m a d e b y B o u c h e r a b o u t t h i s p a r t i c u l a r e x a m p l e n e t w o r k o f m a c h i n e s . U n d e r

w h a t c o n d i t i o n s a r e t h e t w o m a c h i n e s b o t h d e s c r i b a b l e a s T u r i n g M a c h i n e s ? T h e o n e w i t h m o r e c o n s t r a i n t s

i s t h e m a c h i n e t h a t c a l c u l a t e s t h e o o r o f t h e r a t i o o f T / R . I n o r d e r f o r t h i s c a l c u l a t i o n t o b e p o s s i b l e b y

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a c o m p u t i n g m a c h i n e T , R , a n d T / R m u s t a l l b e c o m p u t a b l e n u m b e r s . F o r t h e o t h e r m a c h i n e , T i s i t s

o u t p u t a n d s o a l l o p e r a n d s u s e d t o c o m p u t e i t m u s t b e c o m p u t a b l e , n a m e l y t h e t i m e i t t a k e s t o l o o k a t t h e

t a p e a n d m o v e t h e h e a d ( r ) a n d t h e l e n g t h o f t h e s u p p l i e d s t r i n g ( | S | ) . O n c e t h e s e c o n s t r a i n t s o n t h e s e

v a r i a b l e s a r e m e t , t h e e n t i r e n e t w o r k e q u a t i o n , X = o o r ( | S | * r / R ) m o d 2 , i s c o m p u t a b l e b e c a u s e b o t h r a n d

R a r e . T h i s t h e n c a n b e i m p l e m e n t e d o n a T u r i n g m a c h i n e .

T h e f a c t t h a t t i m e e x i s t s i s a n i s s u e t h a t i s d e a l t w i t h i n t h e i m p l e m e n t a t i o n o f c o m p u t i n g m a c h i n e s . T h e r e

a r e m a n y c a s e s w h e n t i m e i s i m p o r t a n t a n d o n e o f t h o s e c a s e s i s w h e n y o u a r e t r y i n g t o g e t m a n y c o m p u t e r s

t o t a l k w i t h e a c h o t h e r . A n o t h e r c a s e o f t i m e b e i n g i m p o r t a n t i s w h e n y o u w a n t t o g e t s o m e t h i n g d o n e b y

a p a r t i c u l a r t i m e i n t e r v a l . T h e f a c t t h a t a n y T u r i n g M a c h i n e c a n c o m p u t e s o m e t h i n g d o e s n ' t m e a n t h a t i t

i s u s e f u l t o u s e a n y d e v i c e t h a t i m p l e m e n t s a T u r i n g M a c h i n e t o d o s o . I f i t t a k e s o n e T u r i n g M a c h i n e 2 0

m i n u t e s t o c a l c u l a t e 2 + 2 t h e n t r y i n g t o a s k i t w h a t t h e s q u a r e r o o t o f P I i s a t 1 0 0 d i g i t s o f p r e c i s i o n i s g o i n g

t o t a k e q u i t e a l o n g t i m e . I t c a n , t o b e c e r t a i n , b u t s u c h a d e v i c e w o u l d n o t b e p r a c t i c a l . T h e o n l y t h i n g

t h a t T u r i n g M a c h i n e s a n d c o m p u t a t i o n a l t h e o r y s p e a k a b o u t i s w h e t h e r i t i s p o s s i b l e t h a t a m a c h i n e c a n

c a l c u l a t e a g i v e n p r o b l e m , n o t w h e t h e r i t w i l l d o s o w i t h i n t h e s p a c e a n d l i f e t i m e o f t h e U n i v e r s e m u c h l e s s

w h e n y o u w a n t i t t o . W h e n y o u i n t r o d u c e t i m e i n t o t h e p r o b l e m y o u n d t h a t n o t a n y o l d T u r i n g M a c h i n e

w i l l d o .

C o m p u t e r N e t w o r k s

C o m p u t e r n e t w o r k s m u s t d e a l w i t h a l o t m o r e i s s u e s t h a n t i m e . C o m p u t e r n e t w o r k s h a v e t o a l s o w o r k i n

e n v i r o n m e n t s i n w h i c h t h e y c a n b e i n t e r f e r e d w i t h . P l a c e a p o w e r f u l e l e c t r o m a g n e t i c e l d n e a r a c o m p u t e r

c a b l e a n d i n t e r e s t i n g t h i n g s a r e g o i n g t o h a p p e n . S t r a y e l e c t r o n s c a n c o m e c a r e n i n g t h r o u g h a n d c h a n g e

a 0 i n t o a 1 a n d t h i s c a n h a p p e n a t a n y t i m e i n t h e c o m m u n i c a t i o n . T h e s e a r e a l s o t h i n g s t h a t T u r i n g

M a c h i n e s d o n o t h a v e t o d e a l w i t h ! H o w d o c o m p u t e r n e t w o r k s e v e n f u n c t i o n ?

C o m p u t e r n e t w o r k s w o r k b e c a u s e t h e r e a r e m a n y c o n s t r a i n t s t h a t t h e s y s t e m w o r k s w i t h t h a t a l l o w i t

t o a b s o r b e r r o r . P a c k e t s s e n t a b o u t a r e m a r k e d w i t h d a t a t h a t a l l o w s t h e m a c h i n e s a l o n g t h e p a t h o f

c o m m u n i c a t i o n t o t e l l i f t h e d a t a i s w h a t w a s s e n t . T h e p r o t o c o l s u s e d i n t a l k i n g b a c k a n d f o r t h o f t e n

c o n t a i n m e t h o d s f o r t h e d e s t i n a t i o n m a c h i n e t o i n f o r m t h e s e n d e r t h a t d a t a i s m i s s i n g , a n d m e t h o d s t o

t e l l t h a t i t ' s m i s s i n g t o b e g i n w i t h . T h e h a r d w a r e i t s e l f i s b u i l t i n s u c h a w a y a s t o l i m i t i n t e r f e r e n c e ; f o r

i n s t a n c e , t h e c a b l e u s e d i n m a n y c o m p u t e r n e t w o r k s i s t w i s t e d t i g h t l y s o t h a t i t d o e s n ' t i n t e r f e r e w i t h i t s e l f

( b l e e d o v e r o f d a t a f r o m o n e c a b l e i n t o t h e o t h e r b e c a u s e o f i n d u c t i o n ) .

W e h a v e n ' t i n t r o d u c e d t i m e y e t ! W e d o n ' t h a v e t o i n t r o d u c e p a r a l l e l i s m y e t e i t h e r . I f t w o m a c h i n e s w o r k e d

i n s u c h a w a y t h a t o n e d i d i t s t a s k , s e n t d a t a t o t h e o t h e r t h r o u g h a n e t w o r k , a n d t h e n i t d i d i t s t a s k w e

w o u l d s t i l l h a v e i s s u e s t o c o n t e n d w i t h . W i t h i n t h e d e s c r i p t i o n o f t h e t w o s y s t e m s t h e m s e l v e s w e c o u l d

n o t t e l l h o w m a n y t i m e s i t w o u l d b e n e c e s s a r y t o s e n d d i e r e n t p a c k e t s o f i n f o r m a t i o n t h r o u g h t h e n e t w o r k

c a b l e . W e w o u l d h a v e n o w a y o f k n o w i n g h o w m u c h t i m e , e x a c t l y , i t i s g o i n g t o t a k e f o r t h e p r o c e s s t o

c o m p l e t e . A s s u c h , t h e w h o l e t h i n g c a n ' t b e d e s c r i b e d a s a T u r i n g M a c h i n e , e v e n t h o u g h i t i s s e r i a l , b e c a u s e

w e c a n n o t d e s c r i b e a l l t h e i n f o r m a t i o n t h a t i s i n p u t t o t h e p r o b l e m . T h e o u t s i d e e n v i r o n m e n t c a n a e c t

t h e p r o c e s s a n d t h e r e ' s n o d e s c r i p t i o n o f t h i s e n v i r o n m e n t , i n d e t a i l , w i t h i n t h e s y s t e m . B e c a u s e o f t h i s t h e

p r o c e s s i s u n d e t e r m i n e d w i t h i n t h e d e s c r i p t i o n

2

, a n d w e ' r e s t i l l w o r k i n g i n a s e r i a l s y s t e m !

H o w e v e r , w e c a n s t i l l s a y t h a t t h e w h o l e s y s t e m i m p l e m e n t s a T u r i n g M a c h i n e . T h e w a y w e d o t h i s i s b y

a b s t r a c t i n g c e r t a i n d e t a i l s . W e k n o w t h a t , s h o r t o f a t o t a l l o s s o f c o m m u n i c a t i o n , t h a t t h e r e d u n d a n c y

a n d e r r o r c h e c k i n g t h a t t a k e s p l a c e w i t h i n c e r t a i n p a r t s o f t h e n e t w o r k i n g l a y e r t h a t t h e d a t a s e n t i s t h e

d a t a r e c i e v e d . W e d o n ' t k n o w h o w l o n g i t t o o k , h o w m a n y t i m e s t h e p a c k e t s h a d t o b e s e n t , a n d m a n y

o t h e r p r a c t i c a l d e t a i l s a b o u t t h e p r o c e s s o f g e t t i n g d a t a f r o m o n e p o i n t t o a n o t h e r . W h a t w e d o i s j u s t

a s s u m e i t w i l l g e t t h e r e , T u r i n g M a c h i n e s a r e n o t p r a c t i c a l t h i n g s a n d d o n ' t h a v e t o d e a l w i t h r e a l w o r l d

p r o b l e m s . O n c e w e a b s t r a c t o u t t h e e r r o r c o r r e c t i o n a n d a s s u m e a w o r k i n g s y s t e m i n w h i c h a l l c o n t r o l

p a t h s a r e c l e a r i t i s a t t h a t p o i n t t h a t w e c a n s a y s o m e t h i n g i m p l e m e n t s a T u r i n g M a c h i n e .

2

T h i s i s t h e l a s t p o i n t I w i l l c l a r i f y w i t h i n t h e s y s t e m a n d w i l l s i m p l y c a l l i t u n d e t e r m i n e d f r o m n o w o n . I a m n o t

m a k i n g a s t a t e m e n t a b o u t t h e d e t e r m i n i s t i c v s . n o n - d e t e r m i n i s t i c n a t u r e o f t h e u n i v e r s e , o n l y a b o u t t h e i n a b i l i t y t o d e t e r m i n e

w h a t w i l l h a p p e n w i t h i n t h e s p h e r e o f d e s c r i p t i o n w h i l e s t i l l h a v i n g t o d e a l w i t h i n p u t t h a t l i e s o u t s i d e t h a t d e s c r i p t i o n .

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I n o t h e r w o r d s , c o m p u t e r n e t w o r k s , e v e n c o m p u t e r s t h e m s e l v e s , m u s t o p e r a t e i n t h e r e a l w o r l d i n w h i c h t h e r e

i s e l e c t r i c i n t e r f e r e n c e , l i m i t e d s t o r a g e s p a c e , a n d t i m e c o n s t r a i n t s a n d T u r i n g M a c h i n e s d o n o t . H o w e v e r ,

c o m p u t e r s i m p l e m e n t T u r i n g M a c h i n e s , e x c e p t f o r t h e s p a c e c o n s t r a i n t s ( s o t h e y ' r e l i m i t e d i n t h e s i z e o f

p r o b l e m t h e y c a n c o m p u t e ) , b e c a u s e t h e y i n t e r n a l l y d e a l w i t h t h e e r r o r s a s s o c i a t e d w i t h b e i n g r e a l w o r l d

d e v i c e s a n d i m p l e m e n t a h i g h e r l e v e l a b s t r a c t i o n o n t o p o f t h e s e e r r o r c o r r e c t i o n s y s t e m s . S o m e t i m e s t h i s i s

d o n e a t t h e h a r d w a r e l e v e l a n d t h e c o m p u t e r h a r d w a r e i t s e l f i m p l e m e n t s s o m e a m o u n t o f i n t e r n a l i n t e g r i t y

c h e c k i n g t h a t t h e r e s t o f t h e c o m p u t e r d o e s n ' t h a v e t o d e a l w i t h . S o m e t i m e s i t i s i n t h e s o f t w a r e l e v e l a n d

i n t h o s e c a s e s t h e i n p u t t o t h e s y s t e m i s j u s t c o n s i d e r e d u n k n o w n a n d t h e n d a t a t h a t m a k e s n o s e n s e i s

s i m p l y d i s g a r d e d . W h e n a t t e m p t i n g t o d e s c r i b e a p r a c t i c a l , r e a l w o r l d , s y s t e m a s a T u r i n g M a c h i n e y o u

m u s t p i c k t h e c o r r e c t l e v e l t o d o t h a t i n .

B o u c h e r ' s P r i n t e r P r o b l e m

W o u l d B o u c h e r ' s p r i n t e r p r o b l e m , t h a t y o u c a n ' t t e l l w h i c h c o m p u t e r w i l l g e t t h e p r i n t e r r s t , b e a n u n d e r -

t e r m i n a b l e p r o b l e m i n a c o m p u t e r n e t w o r k ? Y e s , i t w o u l d b e c a u s e o f t h e e r r o r s a s s o c i a t e d w i t h n e t w o r k

c o m m u n i c a t i o n . W o u l d i t b e u n d e t e r m i n a b l e i n a n e t w o r k o f T u r i n g M a c h i n e s ? T h a t ' s a g o o d q u e s t i o n .

F i r s t w e m u s t d e c i d e w h a t i t m e a n s f o r T u r i n g M a c h i n e s t o o p e r a t e i n p a r a l l e l . T h e r e i s n o r e a l t i m e

a s s o c i a t e d w i t h T u r i n g M a c h i n e s b u t w e c o u l d s a y t h a t e a c h o p e r a t i o n t a k e s o n e u n i t o f t i m e . B o u c h e r w o u l d

o b j e c t t o t h i s r i g h t a w a y b u t w e ' l l g e t b a c k t o h i m ; T u r i n g M a c h i n e s d o n ' t h a v e a n y o t h e r t y p e o f t i m e a n d

s o w e h a v e t o p i c k s o m e t h i n g t h a t d o e s n ' t p u r p o s f u l l y i n t r o d u c e i n d e t e r m i n i s m f o r t h e d i s c u s s i o n o f p a r a l l e l

m a c h i n e s t o m a k e s e n s e

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. H i s o b j e c t i o n s a r e t o t h e p o i n t t h o u g h b e c a u s e n o w w e c a n s e e t h a t b y r e m o v i n g

a n y t y p e o f e r r o n e o u s i n p u t t h a t i s n ' t d e c l a r e d a s i n p u t , a n d r e m o v i n g a n y i n d e t e r m i n i s m i n t r o d u c e d b y a n

u n k n o w n s e g m e n t o f t i m e t h a t s t u t a k e s p l a c e i n , t h a t t h e e n t i r e s y s t e m i s V E R Y d e s c r i b a b l e a n d w e c a n

d e t e r m i n e e x a c t l y w h a t w i l l o c c u r a t a n y g i v e n u n i t o f t i m e .

S o t h e n , o n t h e o n e h a n d i t m u s t b e a d m i t t e d t h a t , s h o r t o f c a l c u l a t i n g t h e l o c a t i o n a n d t r a j e c t o r y o f e v e r y

p a r t i c l e i n t h e u n i v e r s e ( i f t h a t ' s e v e n p o s s i b l e ) , w e c a n ' t d e c i d e w h o e x a c t l y w i l l g e t t o p r i n t t o t h e p r i n t e r

r s t , b u t o n t h e o t h e r h a n d t h i s i s n o t a p r o b l e m o f P a r a l l e l i s m b u t o f t h e i n t r o d u c t i o n o f r e a l w o r l d i s s u e s

i n t o a t h e o r e t i c a l f r a m e w o r k . I t m i g h t m a k e s e n s e t h e n t o t r y a n d c r e a t e a p r o b l e m h e r e t h a t m i g h t m a k e

s e n s e o f t h e i s s u e s o n h a n d . S o i n s t e a d o f t r y i n g t o d e c i d e w h a t a n d w h o w e ' l l s p e c i f y . W e w a n t c o m p u t e r

A t o p r i n t a p a g e b e f o r e p r i n t e r B p r i n t s i t s p a g e a n d w e w a n t t h i s t o h a p p e n a f t e r 4 : 5 8 P M a n d b e f o r e

5 : 0 2 P M , w h i c h i s 2 0 m i n u t e s a f t e r t e l l i n g t h e m b o t h t o s e t a b o u t t w o p a r a l l e l p r o c e s s e s w i t h i n a m a r g i n o f

e r r o r o f 2 m i n u t e s b e c a u s e w e ' r e g o i n g t o s t a r t t h a t p r o c e s s a t 4 : 4 0 P M .

W e n e e d o n e m o r e c o n s t r a i n t . W e w a n t t h i s t o h a p p e n a s d e s c r i b e d a n d w i t h i n t h e t i m e c o n s t r a i n t w i t h a

9 9 . 9 8 % c e r t a i n t y . T h i s m e a n s t h a t f o r e v e r y 1 0 , 0 0 0 a t t e m p t s t o d o t h i s t h e s y s t e m m i g h t f a i l t w i c e . T h i s

i s a v e r y s t a b l e s y s t e m r e q u i r e m e n t . T w o f a i l u r e s o u t o f t e n t h o u s a n d w o u l d b e v e r y d i c u l t t o a c h e i v e .

H o w w o u l d w e d o i t t h o u g h ? W e l l , w e d e s c r i b e t h e a l g o r i t h m i n a p e r f e c t w o r l d . T h e c o m p u t a t i o n s t h a t

m u s t o c c u r a r e i m p l e m e n t a b l e b y a T u r i n g M a c h i n e ; w e k n o w t h i s a l r e a d y . O n c e w e k n o w w h a t m u s t b e

d o n e w e c a n s t a r t p l a c i n g e s t e m a t e d t i m e c o n s t r a i n t s o n t h e v a r i o u s o p e r a t i o n s t h a t m u s t o c c u r , w i t h i n a

m a r g i n o f e r r o r t h a t w e w i l l c a l c u l a t e b a s e d o n t h e o n e w e w e r e g i v e n . W e w i l l h a v e t o n d h a r d w a r e t h a t

c a n m a t c h t h e r e q u i r e m e n t s e s t a b l i s h e d b y t h i s p r o c e d u r e . W e h a v e t o d o t h i s f o r b o t h o f t h e s e m a c h i n e s

i n d i v i d u a l l y , p a r a l l e l i s m i s n o t e v e n c o n s i d e r e d y e t a n d a s y o u c a n s e e , n o t a n y o l d T u r i n g M a c h i n e w i l l d o .

P a r a l l e l i s m w i l l i n t r o d u c e a p r o b l e m t h o u g h f o r w e k n o w t h a t t h e p r o c e s s m u s t o c c u r w i t h i n a p a r t i c u l a r 4

m i n u t e w i n d o w . T h i s m e a n s t h a t s y s t e m B m u s t p r i n t i t s d o c u m e n t n o l a t e r t h a n 2 2 m i n u t e s , a n d s y s t e m

A n o s o o n e r t h a n 1 8 m i n u t e s , a f t e r t h e p r o c e s s i s s t a r t e d . T h e r e a r e n o w m o r e c o n s t r a i n t s i n t r o d u c e d i n t o

t h e p r o b l e m b e c a u s e t h e t w o s y s t e m s m u s t d o s o m e t h i n g t o g e t h e r w i t h i n a p a r t i c u l a r w i n d o w . S y s t e m A

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F u r t h e r m o r e , t h e u s e o f t h i s u n i t o f t i m e i s q u i t e a p p r o p r i a t e i n d i s c u s s i n g T u r i n g M a c h i n e s f o r s u c h d i s c u s s i o n s o f t e n

i n v o l v e t h e q u e s t i o n o f c o m p l e x i t y , i n w h i c h t i m e i s t h e o r d e r ( c o u n t ) o f o p e r a t i o n s t h a t m u s t t a k e p l a c e f o r a n a l g o r i t h m

( a c o m p u t a t i o n ) t o c o m p l e t e . S i n c e a l g o r i t h m s u s u a l l y i n v o l v e n u m e r o u s o p e r a t i o n s , t h e c o m p l e x i t y o f t h e a l g o r i t h m h a s a

s t r o n g e r i n u e n c e t h a n t h e r e a l t i m e o f a n y g i v e n o p e r a t i o n o n t h e t i m e i t t a k e s t o c o m p l e t e t h e c o m p u t a t i o n . S o m e o n e

i n t e r e s t e d i n t h i s c o u l d l o o k u p B i g O N o t a t i o n a s a s t a r t i n g p o i n t .

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n e e d s t o b e c o m p l e t e l y n i s h e d , a c c o u n t i n g f o r a n y e r r o r s t h a t c a n t a k e p l a c e , a n d a l l o w B t o g e t i t s j o b

d o n e , a c c o u n t i n g f o r e r r o r , a s w e l l .

N o t a s y m p l e t a s k . I t m i g h t n o t e v e n b e p o s s i b l e . T h e c o n s t r a i n t s m a y b e t o o p a r t i c u l a r f o r t h e h a r d w a r e w e

h a v e . H o w e v e r , t h e s e a r e r e a l w o r l d c o n s t r a i n t s i m p o s e d b y n e e d s o u t s i d e t h e s y s t e m . T h e y d o n o t a e c t t h e

c o m p u t a t i o n s o c c u r i n g . T h o s e c o m p u t a t i o n s c a n b e d o n e i n a n y T u r i n g M a c h i n e a n d i t i s b y a b s o r b i n g t h e

e r r o r s a n d c o n s t r a i n t s w h i l e p r o v i d i n g a n a b s t r a c t c o m p u t a t i o n m a c h i n e t h a t c o m p u t e r s i m p l e m e n t T u r i n g

M a c h i n e s .

B o u c h e r ' s S t a t e m e n t s o n A I

F o l l o w i n g t h e d e s c r i p t i o n o f h i s T u r i n g l i k e m a c h i n e s a n d h i s e x p l a i n a t i o n t h a t t i m e i n t r o d u c e s p r o b l e m s i n

c o m p u t a b i l i t y , B o u c h e r c o n t i n u e s t o q u e s t i o n t h e g o a l s a n d m e t h o d s o f A r t i c i a l I n t e l l i g e n c e r e s e a r c h . M a n y

o f h i s a s s e s s m e n t s a r e , i n f a c t , c o r r e c t . W e d o n o t k n o w w h e t h e r t h e b r a i n i m p l e m e n t s a l o g i c s y s t e m o r

n o t . I f i t d o e s t h e n , u s i n g t h e d e n i t i o n o f l o g i c w e h a v e , i t i s a n i m p l e m e n t a t i o n o f p a r a l l e l T u r i n g

m a c h i n e s . I f t h e b r a i n i s n o t a l o g i c s y s t e m t h e n i t i s d o i n g t h i n g s t h a t a r e n o t c o m p u t a t i o n s a n d t h u s t h e

T u r i n g m a c h i n e c o n c e p t i s i n c o m p a t i b l e w i t h t h e b r a i n i n e v e r y w a y .

O n e w a y w e c o u l d f a l s i f y t h e a s s e r t i o n t h a t t h e b r a i n i s a T u r i n g m a c h i n e w o u l d b e i f w e c o u l d c o m e u p w i t h

a n y t h i n g t h a t i s n o t c o m p u t a b l e . T h e p r o b l e m h e r e i s o n e o f c l a s s i c a t i o n t h o u g h . W e n e e d t o e s t a b l i s h

t h a t i t i s i m p o s s i b l e f o r s o m e t h i n g w e t h i n k , o r s o m e w a y i n w h i c h t h e b r a i n w o r k s t o c o n t r o l s o m e a s p e c t o f

o u r a n a t o m y , i s i m p o s s i b l e t o c o m p u t e . S u c h p r o o f s a r e n o t a l w a y s p o s s i b l e b u t s o m e t h i n g c a n b e p r o v e n

t o b e i m p o s s i b l e , s u c h a s t h e a n s w e r t o t h e h a l t i n g p r o b l e m : t h e h a l t i n g p r o b l e m i s i m p o s s i b l e t o s o l v e .

W e c a n e x e r c i z e o u r l o g i c m u s c l e s a n d t h i n k a b o u t t h i s f o r a b i t t h o u g h a n d a s k o u r s e l v e s i f w e r e a l l y c a n

c o m e u p w i t h a n y t h i n g t h a t c a n n o t b e c o m p u t e d . W e c o u l d j u s t t r y o n e e x a m p l e t o i l l u s t r a t e t h e p r o b l e m s

w i t h t h e a s s u m p t i o n t h a t w e c a n : t h i n k o f a n u m b e r t h a t a c o m p u t e r c o u l d n o t c a l c u l a t e . I ' l l s t a r t a n d j u s t

r a t t l e o a b u n c h o f r a n d o m n u m b e r s :

( . 0 1 7 9 3 9 2 6 7 4 9 6 0 4 7 4 2 9 8 2 0 8 5 7 6 2 0 9 8 7 2 0 4 5 2 4 5 8 7 6 4 7 6 8 ) .

S o , d i d I s u c c e e d ? I t s e e m s o n r s t g l a n c e t h a t I d i d . T h a t s e q u e n c e o f n u m b e r s i s , a s f a r a s I c a n t e l l ,

c o m p l e t e l y r a n d o m . I j u s t l e t m y n g e r s n d s o m e k e y s a n d t h e n d e l e t e d t h e e r r o n e o u s o n e s . C o u l d I c o m e

u p w i t h t h e s a m e n u m b e r i n t h e s a m e w a y ? P r o b a b l y n o t , b u t t h a t ' s n o t r e a l l y a n i m p o r t a n t p o i n t . T h e

q u e s t i o n w e m u s t a s k i s w h e t h e r a c o m p u t e r c o u l d d o s o m e t h i n g s i m i l a r , a n d n o t j u s t s i m i l a r b u t a t l e a s t a s

r a n d o m a s I j u s t d i d . T h e q u e s t i o n w e h a v e t o a s k i s w h e t h e r t h a t n u m b e r w a s a c t u a l l y c r e a t e d r a n d o m l y ,

o r j u s t i n a w a y t h a t a p p e a r s t o b e r a n d o m . C o m p u t e r s c a n b e m a d e t o o u t p u t n u m b e r s t h a t a p p e a r , f o r

a l l p r a c t i c a l p u r p o s e s , t o b e j u s t a s r a n d o m a s t h o s e n u m b e r s a p p e a r t o b e . H o w d o w e k n o w t h a t m y b r a i n

d i d i t a n y d i e r e n t l y ?

T h e a n s w e r i s t h a t w e o b v i o u s l y d o n o t k n o w . W e c a n ' t t e s t i t e i t h e r b e c a u s e o n c e t h a t n u m b e r w a s c r e a t e d

t h e f a c t t h a t i t t e r m i n a t e s m e a n s i t i s a r a t i o n a l n u m b e r a n d i s t h e r e f o r c o m p u t a b l e . A c o m p u t e r c a n

r e p r e s e n t i t a n d b e m a d e t o c o m e u p w i t h i t u p o n r e q u e s t ; i n f a c t i t j u s t d i d a s i t r e n d e r e d t h e i m a g e y o u a r e

r e a d i n g ! W e a r e l e f t w i t h a q u e s t i o n v e r y s i m i l a r t o t h e d e b a t e b e t w e e n d e t e r m i n i s m a n d n o n - d e t e r m i n i s m

a s a b a s i c c o n s t r u c t o f t h e u n i v e r s e ; d o t h i n g s h a p p e n i n a n o r d e r e d m a n n e r o r i s t h e u n i v e r s e a c t u a l l y

c o m p l e t e l y r a n d o m ?

I n D e n n e t t ' s b o o k o n f r e e w i l l , F r e e d o m E v o l v e s , t h e q u e s t i o n o f d e t e r m i s i m i s b r o u g h t u p . D e n n e t t s h o w s

q u i t e w e l l t h a t a r a n d o m u n i v e r s e g i v e s u s n o t h i n g t h a t a p s e u d o - r a n d o m u n i v e r s e c o u l d n o t . T h i s a b i l i t y

t o c o n c e i v e o f o p t i o n s a n d d e c i d e b e t w e e n t h e m , t h i s t h i n g w e c a l l f r e e w i l l , i s t h e s a m e t h i n g e i t h e r w a y . I n

e i t h e r c a s e , w e m u s t c o n c e i v e o f a v a i l a b l e ( a n d n o t a v a i l a b l e ) o p t i o n s w e m u s t c a l c u l a t e p o s s i b i l i t i e s a n d

t h e n d e c i d e b e t w e e n t h e m i n s o m e w a y , e i t h e r c a l c u l a t e d o r r a n d o m . W h a t t h i s i n d i c a t e s i s t h a t a t l e a s t t h e

p e r c e p t i o n s w e h a v e a b o u t o u r s e l v e s a r e n o t o u t s i d e t h e r e a l m o f b e i n g i m p l e m e n t a b l e b y T u r i n g m a c h i n e s ;

e v e r y t h i n g w e a r e s e e m s a s t h o u g h i t c a n b e a c a l c u l a t e d e n g i n e .

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I t a l s o m a k e s g r e a t s e n s e t h a t o u r b r a i n s w o u l d b e l o g i c e n g i n e s . E v e n t h o u g h w e o f t e n a c t i n i l l o g i c a l

m a n n e r s , t h e r e a s o n s w e d o s e e m t o b e e n t i r e l y p r e d i c t a b l e a n d l o g i c a l f r o m a c a l c u l a t i o n p e r s p e c t i v e . T h e

f o r m a t i o n o f f a l s e b e l i e f s i s g o v e r n e d b y p o o r i n p u t s . T h e h o l d i n g o f f a l s e b e l i e f s i n t h e f a c e o f t h e i r o b v i o u s

f a l s i t y c a n b e t h e s i m p l e c o n s e q u e n c e t h a t o u r b r a i n s w h e r e p r o g r a m m e d f o r a n u t t e r l y d i e r e n t p r o b l e m

t h a n i t i s b e i n g f o r c e d t o a d a p t t o n o w t h a t w e h a v e w o r d s a n d i d e a s . L i k e t r y i n g t o d i s p l a y i m a g e s i n

p u r e t e x t , o u r b r a i n s a r e c a p a b l e o f i n v e n t i n g a n d c o n v e r s i n g i n s y m b o l s b u t s o m e t i m e s i t ' s l i m i t a t i o n s m a k e

t h e m s e l v e s p l a i n .

I n s h o r t , a l t h o u g h i t i s n o t y e t p r o v e n t h a t e v e r y t h i n g w e a r e c a n b e d e s c r i b e d i n a f o r m a l l o g i c s y s t e m i t

s e e m s t h a t i t i s m a i n l y w i s h f u l t h i n k i n g a n d e g o t h a t a s s e r t s t h e o t h e r d i r e c t i o n . T h e r e d o e s n ' t s e e m t o b e

a n y r e a s o n t o b e l i e v e i t i s n o t t h e c a s e t h a t o u r s e l v e s , s o u l s , w h a t e v e r y o u w a n t t o c a l l t h e m , a r e c o m p l e t e l y

l o g i c a l i n t h e i r o w n r i g h t . I h a v e y e t t o s e e a n y c o n v i n c i n g e v i d e n c e t h a t o u r b r a i n s a r e n o t l o g i c s y s t e m s

a n d t h e r e s e e m s t o b e p l e n t y o f r e a s o n t o b e l i e v e t h e y a r e ; s i m p l y c o n s i d e r i n g t h e w o r l d t h e y h a d t o e v o l v e

i n i s , I t h i n k , a g r e a t a r g u m e n t t h a t t h e b r a i n w o u l d H A V E t o b e r a t i o n a l w h i l e s o m e t i m e s a c c o u n t i n g f o r

y o u r s t a n d a r d b u g .

C o n c l u d i n g R e m a r k s

I h a v e a r g u e d t h a t B o u c h e r ' s m a c h i n e s w e r e n o t T u r i n g m a c h i n e s t o b e g i n w i t h b e c a u s e t i m e , a p o s s i b l y

u n c o m p u t a b l e r a n g e o f v a l u e s , w a s a p a r t o f t h e c a l c u l a t i o n s t h e y p e r f o r m e d . S i n c e t i m e i n T u r i n g m a c h i n e s

i s s i m p l y t h e d i s c r e t e s t e p s w i t h n o r e a l - w o r l d e q u i v e l e n t , B o u c h e r h a d s t e p p e d o u t s i d e t h e r a n g e o f d i s c u s s i o n

i n w h i c h T u r i n g m a c h i n e s h a v e m e a n i n g . I t w a s t h i s , a n d n o t t h e i n t r o d u c t i o n o f p a r a l l e l i s m i n t h e s y s t e m

t h a t c a u s e d t h e n a l p a r a l l e l T u r i n g m a c h i n e t o b e n o n - d e t e r m i n i s t i c . A l t h o u g h i t i s n o t e s t a b l i s h e d i f

t h e b r a i n i s a r a t i o n a l m a c h i n e i t s e e m s r e a s o n a b l e t o b e l i e v e i t l i k e l y t o b e a n d B o u c h e r h a s n o t p r o v i d e d

a g o o d a r g u m e n t t h a t t h e y a r e n o t . H i s a s s e r t i o n t h a t t h e r e c o u l d b e s o m e s o r t o f l o g i c n o t i m p l e m e n t a b l e

b y s e r i a l c o m p u t a t i o n d e v i c e s h a s n o t b e e n s h o w n .

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