Paredes compuestas

Paredes Compuestas. Problema 1

Se desea estudiar la transferencia de calor a través de una sucesión de capas de diferentes materiales.

En cuyas fronteras están en contacto con un fluido. Se quiere hacer dos geometrías:

a) Cartesiana (paredes rectangulares)b) Cilíndrica

Conducción de calor a través de una pared compuesta situada entre dos corrientes de fluidas a temperaturas Ta y Tb

Paredes Rectangulares

(Diagrama)

Balance de Energía

Aplicado un balance a la lámina de volumen WHdx, se obtiene, para la conducción del calor en la primera región:

𝑞𝑥01 ห 𝑥 𝑊𝐻− 𝑞𝑥01ห 𝑥+ ∆𝑥 𝑊𝐻= 0 Que lleva a: 𝑑𝑞𝑥01𝑑𝑥 = 0

Integrando: 𝑞01 = 𝑞0

Sabemos también que

𝑞𝑥01 = −𝑘01 𝑑𝑇01𝑑𝑥 ¿𝑞0

−𝑘01 𝑑𝑇01𝑑𝑥 = 𝑞0

−𝑘12 𝑑𝑇12𝑑𝑥 = 𝑞0

−𝑘23 𝑑𝑇23𝑑𝑥 = 𝑞0

Siendo 𝑘01 , 𝑘12 y 𝑘23 constantes

Análogamente

𝑇0 − 𝑇1 = −𝑞0 ቀ𝑥0 − 𝑥1𝑘01 ቁ

𝑇1 − 𝑇2 = −𝑞0 ቀ𝑥1 − 𝑥2𝑘12 ቁ

𝑇2 − 𝑇3 = −𝑞0 ቀ𝑥2 − 𝑥3𝑘23 ቁ

Integrando

𝑇𝑎 − 𝑇0 = 𝑞0ℎ0

𝑇3 − 𝑇𝑏 = 𝑞0ℎ3

En las fronteras

Sumando las ecuaciones

𝑇𝑎 − 𝑇𝑏 = 𝑞0൬1ℎ0 + 𝑥1 − 𝑥0𝑘01 + 𝑥2 − 𝑥1𝑘12 + 𝑥3 − 𝑥2𝑘23 + 1ℎ3൰

𝑞0 = 𝑇𝑎 − 𝑇𝑏1ℎ0 σ 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1𝑘𝑖−1,𝑖 + 1ℎ𝑠3𝑖=1 𝑞0=𝑇 𝑎−𝑇 𝑏

1h0

+∑𝑖=1

3 𝑥 𝑖−𝑥 𝑖−1

𝑘1−1 ,𝑖 + 1h3

𝑞0 = 𝑈ሺ𝑇𝑎 − 𝑇𝑏ሻ

O

𝑄0 = 𝑈ሺ𝑊𝐻ሻሺ𝑇𝑎 − 𝑇𝑏ሻ

Donde

𝑈= ൭1ℎ0 + 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1𝑘𝑖−1,𝑖

3𝑖=1 + 1ℎ3൱

−1

Que puede escribirse

Paredes Circulares

(Diagrama)

Balance de Energía

Aplicando un balance a la lámina de volumen 2 𝛑rL ∆𝑟, se obtiene, para la conducción del calor en la primera región:

𝑞𝑟01ห 𝑟 2 𝛑𝐫𝐋− 𝐪𝐫𝟎𝟏ห 𝑟+ ∆𝑟 2𝛑ȁ#ሺ𝐫+ ∆𝐫ሻ𝐋= 𝟎

Que lleva a: 𝑑𝑑𝑟ሺ𝑟𝑞𝑟01ሻ= 0

Integrando: 𝑟𝑞𝑟01 = 𝑟0𝑞0

Sabemos también que

−𝑘01𝑟𝑑𝑇01𝑑𝑟 = 𝑟0𝑞0

−𝑘12𝑟𝑑𝑇12𝑑𝑟 = 𝑟0𝑞0

−𝑘23𝑟𝑑𝑇23𝑑𝑟 = 𝑟0𝑞0

Análogamente

𝑇0 − 𝑇1 = 𝑟0𝑞0൬𝐼𝑛 𝑟1/𝑟0𝑘01 ൰

𝑇1 − 𝑇2 = 𝑟0𝑞0൬𝐼𝑛 𝑟2/𝑟1𝑘12 ൰

𝑇2 − 𝑇3 = 𝑟0𝑞0൬𝐼𝑛 𝑟3/𝑟2𝑘23 ൰

Integrando

Gráficamente

En las fronteras

𝑄0 = 2 𝛑𝐫𝐋0𝑞0 = 2 𝛑𝐫𝐋ሺ𝑇𝑎 − 𝑇𝑏ሻቌ

1𝑟0ℎ0 + 𝐼𝑛 𝑟1/𝑟0𝑘01 + 𝐼𝑛 𝑟2/𝑟1𝑘12 + 𝐼𝑛𝑘23 𝑟3𝑟2 + 1𝑟3ℎ3ቍ

Sumando

𝑄0 = 𝑈0ሺ2𝛑𝑟0𝐿ሻሺ𝑇𝑎 − 𝑇𝑏ሻ

𝑈0 = 𝑟0−1ቌ 1𝑟0ℎ0 + 𝐼𝑛 𝑟1/𝑟𝑖−1𝑘𝑖−1,𝑖3

𝑖=1 + 1𝑟3ℎ3ቍ−1

Sumando

𝑖

Resumen

Ejemplos

Un chip de silicio y su base de aluminio están separados por un pegamento epóxico de espesor 0.02 mm. El Chip y su base tiene 10 mm de largo y son enfriados por una corriente de aire a 25 0C con un coeficiente de convección de 100 W/m2 oK.

Si el chip disipa energía a una tasa de 104 W/m2 ¿Podrá operar correctamente por debajo de una temperatura de 85 0C?

Diagrama

Solución

𝑞} rsub { } = { 𝑐 𝑞 1+𝑞} rsub {2¿

+

Solución

𝑇 𝑐=𝑇 ∞+𝑞} rsub { } {left [h + {1} over {{ } rsub { . } + left ( / right ) + left (1/ h right )} right ]} ^ {−1𝑐 𝑅 𝑡 𝑐 𝐿 𝑘 ¿

𝑇 𝑐=25 °𝐶+104𝑊 /𝑚2

𝑥 [100+ 1(0.9+0.33+100 ) 𝑥10− 4 ]

−1

𝑚2 ∙𝐾 /𝑊

𝑇 𝑐=25 °𝐶+50.3 °𝐶=75.3 °𝐶

Resistencia de contacto

A B

T

x

A B

𝑇 𝐵

𝑇 𝐴

𝑞} rsub {𝑔𝑎𝑝¿

∆ 𝑇

𝑞} rsub {𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑐𝑡 ¿

𝑞} rsub {𝑥¿

Datos para R´´